Theorem ovg 7528

Description: The value of an operation class abstraction. (Contributed by Jeff Madsen, 10-Jun-2010.)

Hypotheses

Ref	Expression
ovg.1	⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝜑 ↔ 𝜓))
ovg.2	⊢ (𝑦 = 𝐵 → (𝜓 ↔ 𝜒))
ovg.3	⊢ (𝑧 = 𝐶 → (𝜒 ↔ 𝜃))
ovg.4	⊢ ((𝜏 ∧ (𝑥 ∈ 𝑅 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → ∃!𝑧𝜑)
ovg.5	⊢ 𝐹 = {⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∣ ((𝑥 ∈ 𝑅 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) ∧ 𝜑)}

Assertion

Ref	Expression
ovg	⊢ ((𝜏 ∧ (𝐴 ∈ 𝑅 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝐶 ∈ 𝐷)) → ((𝐴𝐹𝐵) = 𝐶 ↔ 𝜃))

Distinct variable groups:   𝜓,𝑥   𝜒,𝑥,𝑦   𝜃,𝑥,𝑦,𝑧   𝜏,𝑥,𝑦   𝑥,𝑅,𝑦,𝑧   𝑥,𝑆,𝑦,𝑧   𝑥,𝐴,𝑦,𝑧   𝑥,𝐵,𝑦,𝑧   𝑥,𝐶,𝑦,𝑧

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦,𝑧)   𝜓(𝑦,𝑧)   𝜒(𝑧)   𝜏(𝑧)   𝐷(𝑥,𝑦,𝑧)   𝐹(𝑥,𝑦,𝑧)

Proof of Theorem ovg

Dummy variable 𝑐 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-ov 7366	. . . . 5 ⊢ (𝐴𝐹𝐵) = (𝐹‘⟨𝐴, 𝐵⟩)
2		ovg.5	. . . . . 6 ⊢ 𝐹 = {⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∣ ((𝑥 ∈ 𝑅 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) ∧ 𝜑)}
3	2	fveq1i 6835	. . . . 5 ⊢ (𝐹‘⟨𝐴, 𝐵⟩) = ({⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∣ ((𝑥 ∈ 𝑅 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) ∧ 𝜑)}‘⟨𝐴, 𝐵⟩)
4	1, 3	eqtri 2763	. . . 4 ⊢ (𝐴𝐹𝐵) = ({⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∣ ((𝑥 ∈ 𝑅 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) ∧ 𝜑)}‘⟨𝐴, 𝐵⟩)
5	4	eqeq1i 2745	. . 3 ⊢ ((𝐴𝐹𝐵) = 𝐶 ↔ ({⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∣ ((𝑥 ∈ 𝑅 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) ∧ 𝜑)}‘⟨𝐴, 𝐵⟩) = 𝐶)
6		eqeq2 2752	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑐 = 𝐶 → (({⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∣ ((𝑥 ∈ 𝑅 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) ∧ 𝜑)}‘⟨𝐴, 𝐵⟩) = 𝑐 ↔ ({⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∣ ((𝑥 ∈ 𝑅 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) ∧ 𝜑)}‘⟨𝐴, 𝐵⟩) = 𝐶))
7		opeq2 4812	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑐 = 𝐶 → ⟨⟨𝐴, 𝐵⟩, 𝑐⟩ = ⟨⟨𝐴, 𝐵⟩, 𝐶⟩)
8	7	eleq1d 2825	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑐 = 𝐶 → (⟨⟨𝐴, 𝐵⟩, 𝑐⟩ ∈ {⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∣ ((𝑥 ∈ 𝑅 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) ∧ 𝜑)} ↔ ⟨⟨𝐴, 𝐵⟩, 𝐶⟩ ∈ {⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∣ ((𝑥 ∈ 𝑅 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) ∧ 𝜑)}))
9	6, 8	bibi12d 346	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑐 = 𝐶 → ((({⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∣ ((𝑥 ∈ 𝑅 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) ∧ 𝜑)}‘⟨𝐴, 𝐵⟩) = 𝑐 ↔ ⟨⟨𝐴, 𝐵⟩, 𝑐⟩ ∈ {⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∣ ((𝑥 ∈ 𝑅 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) ∧ 𝜑)}) ↔ (({⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∣ ((𝑥 ∈ 𝑅 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) ∧ 𝜑)}‘⟨𝐴, 𝐵⟩) = 𝐶 ↔ ⟨⟨𝐴, 𝐵⟩, 𝐶⟩ ∈ {⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∣ ((𝑥 ∈ 𝑅 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) ∧ 𝜑)})))
10	9	imbi2d 341	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑐 = 𝐶 → (((𝜏 ∧ (𝐴 ∈ 𝑅 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆)) → (({⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∣ ((𝑥 ∈ 𝑅 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) ∧ 𝜑)}‘⟨𝐴, 𝐵⟩) = 𝑐 ↔ ⟨⟨𝐴, 𝐵⟩, 𝑐⟩ ∈ {⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∣ ((𝑥 ∈ 𝑅 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) ∧ 𝜑)})) ↔ ((𝜏 ∧ (𝐴 ∈ 𝑅 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆)) → (({⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∣ ((𝑥 ∈ 𝑅 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) ∧ 𝜑)}‘⟨𝐴, 𝐵⟩) = 𝐶 ↔ ⟨⟨𝐴, 𝐵⟩, 𝐶⟩ ∈ {⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∣ ((𝑥 ∈ 𝑅 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) ∧ 𝜑)}))))
11		ovg.4	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜏 ∧ (𝑥 ∈ 𝑅 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → ∃!𝑧𝜑)
12	11	ex 413	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜏 → ((𝑥 ∈ 𝑅 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → ∃!𝑧𝜑))
13	12	alrimivv 1935	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜏 → ∀𝑥∀𝑦((𝑥 ∈ 𝑅 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → ∃!𝑧𝜑))
14		fnoprabg 7486	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∀𝑥∀𝑦((𝑥 ∈ 𝑅 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → ∃!𝑧𝜑) → {⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∣ ((𝑥 ∈ 𝑅 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) ∧ 𝜑)} Fn {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ (𝑥 ∈ 𝑅 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)})
15	13, 14	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜏 → {⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∣ ((𝑥 ∈ 𝑅 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) ∧ 𝜑)} Fn {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ (𝑥 ∈ 𝑅 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)})
16		eleq1 2828	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝑥 ∈ 𝑅 ↔ 𝐴 ∈ 𝑅))
17	16	anbi1d 637	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → ((𝑥 ∈ 𝑅 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) ↔ (𝐴 ∈ 𝑅 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)))
18		eleq1 2828	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 = 𝐵 → (𝑦 ∈ 𝑆 ↔ 𝐵 ∈ 𝑆))
19	18	anbi2d 636	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 = 𝐵 → ((𝐴 ∈ 𝑅 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) ↔ (𝐴 ∈ 𝑅 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆)))
20	17, 19	opelopabg 5487	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑅 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) → (⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ (𝑥 ∈ 𝑅 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)} ↔ (𝐴 ∈ 𝑅 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆)))
21	20	ibir 269	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑅 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) → ⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ (𝑥 ∈ 𝑅 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)})
22		fnopfvb 6885	. . . . . . . . 9 ⊢ (({⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∣ ((𝑥 ∈ 𝑅 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) ∧ 𝜑)} Fn {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ (𝑥 ∈ 𝑅 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)} ∧ ⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ (𝑥 ∈ 𝑅 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)}) → (({⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∣ ((𝑥 ∈ 𝑅 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) ∧ 𝜑)}‘⟨𝐴, 𝐵⟩) = 𝑐 ↔ ⟨⟨𝐴, 𝐵⟩, 𝑐⟩ ∈ {⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∣ ((𝑥 ∈ 𝑅 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) ∧ 𝜑)}))
23	15, 21, 22	syl2an 602	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜏 ∧ (𝐴 ∈ 𝑅 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆)) → (({⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∣ ((𝑥 ∈ 𝑅 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) ∧ 𝜑)}‘⟨𝐴, 𝐵⟩) = 𝑐 ↔ ⟨⟨𝐴, 𝐵⟩, 𝑐⟩ ∈ {⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∣ ((𝑥 ∈ 𝑅 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) ∧ 𝜑)}))
24	10, 23	vtoclg 3502	. . . . . . 7 ⊢ (𝐶 ∈ 𝐷 → ((𝜏 ∧ (𝐴 ∈ 𝑅 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆)) → (({⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∣ ((𝑥 ∈ 𝑅 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) ∧ 𝜑)}‘⟨𝐴, 𝐵⟩) = 𝐶 ↔ ⟨⟨𝐴, 𝐵⟩, 𝐶⟩ ∈ {⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∣ ((𝑥 ∈ 𝑅 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) ∧ 𝜑)})))
25	24	com12 32	. . . . . 6 ⊢ ((𝜏 ∧ (𝐴 ∈ 𝑅 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆)) → (𝐶 ∈ 𝐷 → (({⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∣ ((𝑥 ∈ 𝑅 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) ∧ 𝜑)}‘⟨𝐴, 𝐵⟩) = 𝐶 ↔ ⟨⟨𝐴, 𝐵⟩, 𝐶⟩ ∈ {⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∣ ((𝑥 ∈ 𝑅 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) ∧ 𝜑)})))
26	25	exp32 421	. . . . 5 ⊢ (𝜏 → (𝐴 ∈ 𝑅 → (𝐵 ∈ 𝑆 → (𝐶 ∈ 𝐷 → (({⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∣ ((𝑥 ∈ 𝑅 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) ∧ 𝜑)}‘⟨𝐴, 𝐵⟩) = 𝐶 ↔ ⟨⟨𝐴, 𝐵⟩, 𝐶⟩ ∈ {⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∣ ((𝑥 ∈ 𝑅 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) ∧ 𝜑)})))))
27	26	3imp2 1356	. . . 4 ⊢ ((𝜏 ∧ (𝐴 ∈ 𝑅 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝐶 ∈ 𝐷)) → (({⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∣ ((𝑥 ∈ 𝑅 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) ∧ 𝜑)}‘⟨𝐴, 𝐵⟩) = 𝐶 ↔ ⟨⟨𝐴, 𝐵⟩, 𝐶⟩ ∈ {⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∣ ((𝑥 ∈ 𝑅 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) ∧ 𝜑)}))
28		ovg.1	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝜑 ↔ 𝜓))
29	17, 28	anbi12d 638	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (((𝑥 ∈ 𝑅 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) ∧ 𝜑) ↔ ((𝐴 ∈ 𝑅 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) ∧ 𝜓)))
30		ovg.2	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = 𝐵 → (𝜓 ↔ 𝜒))
31	19, 30	anbi12d 638	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = 𝐵 → (((𝐴 ∈ 𝑅 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) ∧ 𝜓) ↔ ((𝐴 ∈ 𝑅 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) ∧ 𝜒)))
32		ovg.3	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 = 𝐶 → (𝜒 ↔ 𝜃))
33	32	anbi2d 636	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 = 𝐶 → (((𝐴 ∈ 𝑅 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) ∧ 𝜒) ↔ ((𝐴 ∈ 𝑅 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) ∧ 𝜃)))
34	29, 31, 33	eloprabg 7473	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑅 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝐶 ∈ 𝐷) → (⟨⟨𝐴, 𝐵⟩, 𝐶⟩ ∈ {⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∣ ((𝑥 ∈ 𝑅 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) ∧ 𝜑)} ↔ ((𝐴 ∈ 𝑅 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) ∧ 𝜃)))
35	34	adantl 482	. . . 4 ⊢ ((𝜏 ∧ (𝐴 ∈ 𝑅 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝐶 ∈ 𝐷)) → (⟨⟨𝐴, 𝐵⟩, 𝐶⟩ ∈ {⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∣ ((𝑥 ∈ 𝑅 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) ∧ 𝜑)} ↔ ((𝐴 ∈ 𝑅 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) ∧ 𝜃)))
36	27, 35	bitrd 280	. . 3 ⊢ ((𝜏 ∧ (𝐴 ∈ 𝑅 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝐶 ∈ 𝐷)) → (({⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∣ ((𝑥 ∈ 𝑅 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) ∧ 𝜑)}‘⟨𝐴, 𝐵⟩) = 𝐶 ↔ ((𝐴 ∈ 𝑅 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) ∧ 𝜃)))
37	5, 36	bitrid 284	. 2 ⊢ ((𝜏 ∧ (𝐴 ∈ 𝑅 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝐶 ∈ 𝐷)) → ((𝐴𝐹𝐵) = 𝐶 ↔ ((𝐴 ∈ 𝑅 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) ∧ 𝜃)))
38		biidd 263	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑅 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) → (((𝐴 ∈ 𝑅 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) ∧ 𝜃) ↔ ((𝐴 ∈ 𝑅 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) ∧ 𝜃)))
39	38	bianabs 546	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑅 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) → (((𝐴 ∈ 𝑅 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) ∧ 𝜃) ↔ 𝜃))
40	39	3adant3 1138	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑅 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝐶 ∈ 𝐷) → (((𝐴 ∈ 𝑅 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) ∧ 𝜃) ↔ 𝜃))
41	40	adantl 482	. 2 ⊢ ((𝜏 ∧ (𝐴 ∈ 𝑅 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝐶 ∈ 𝐷)) → (((𝐴 ∈ 𝑅 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) ∧ 𝜃) ↔ 𝜃))
42	37, 41	bitrd 280	1 ⊢ ((𝜏 ∧ (𝐴 ∈ 𝑅 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝐶 ∈ 𝐷)) → ((𝐴𝐹𝐵) = 𝐶 ↔ 𝜃))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 207   ∧ wa 396   ∧ w3a 1092  ∀wal 1545   = wceq 1547   ∈ wcel 2119  ∃!weu 2572  ⟨cop 4568  {copab 5141   Fn wfn 6487  ‘cfv 6492  (class class class)co 7363  {coprab 7364

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2712  ax-sep 5225  ax-nul 5235  ax-pr 5369

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2719  df-cleq 2732  df-clel 2815  df-nfc 2889  df-ne 2936  df-ral 3055  df-rex 3065  df-rab 3393  df-v 3434  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-nul 4269  df-if 4462  df-sn 4563  df-pr 4565  df-op 4569  df-uni 4846  df-br 5080  df-opab 5142  df-id 5520  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-fv 6500  df-ov 7366  df-oprab 7367

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