MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  f1ofveu Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem f1ofveu 7352
Description: There is one domain element for each value of a one-to-one onto function. (Contributed by NM, 26-May-2006.)
Assertion
Ref Expression
f1ofveu ((𝐹:𝐴1-1-onto𝐵𝐶𝐵) → ∃!𝑥𝐴 (𝐹𝑥) = 𝐶)
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝐶   𝑥,𝐹

Proof of Theorem f1ofveu
StepHypRef Expression
1 f1ocnv 6797 . . . 4 (𝐹:𝐴1-1-onto𝐵𝐹:𝐵1-1-onto𝐴)
2 f1of 6785 . . . 4 (𝐹:𝐵1-1-onto𝐴𝐹:𝐵𝐴)
31, 2syl 17 . . 3 (𝐹:𝐴1-1-onto𝐵𝐹:𝐵𝐴)
4 feu 6719 . . 3 ((𝐹:𝐵𝐴𝐶𝐵) → ∃!𝑥𝐴𝐶, 𝑥⟩ ∈ 𝐹)
53, 4sylan 581 . 2 ((𝐹:𝐴1-1-onto𝐵𝐶𝐵) → ∃!𝑥𝐴𝐶, 𝑥⟩ ∈ 𝐹)
6 f1ocnvfvb 7226 . . . . . 6 ((𝐹:𝐴1-1-onto𝐵𝑥𝐴𝐶𝐵) → ((𝐹𝑥) = 𝐶 ↔ (𝐹𝐶) = 𝑥))
763com23 1127 . . . . 5 ((𝐹:𝐴1-1-onto𝐵𝐶𝐵𝑥𝐴) → ((𝐹𝑥) = 𝐶 ↔ (𝐹𝐶) = 𝑥))
8 dff1o4 6793 . . . . . . 7 (𝐹:𝐴1-1-onto𝐵 ↔ (𝐹 Fn 𝐴𝐹 Fn 𝐵))
98simprbi 498 . . . . . 6 (𝐹:𝐴1-1-onto𝐵𝐹 Fn 𝐵)
10 fnopfvb 6897 . . . . . . 7 ((𝐹 Fn 𝐵𝐶𝐵) → ((𝐹𝐶) = 𝑥 ↔ ⟨𝐶, 𝑥⟩ ∈ 𝐹))
11103adant3 1133 . . . . . 6 ((𝐹 Fn 𝐵𝐶𝐵𝑥𝐴) → ((𝐹𝐶) = 𝑥 ↔ ⟨𝐶, 𝑥⟩ ∈ 𝐹))
129, 11syl3an1 1164 . . . . 5 ((𝐹:𝐴1-1-onto𝐵𝐶𝐵𝑥𝐴) → ((𝐹𝐶) = 𝑥 ↔ ⟨𝐶, 𝑥⟩ ∈ 𝐹))
137, 12bitrd 279 . . . 4 ((𝐹:𝐴1-1-onto𝐵𝐶𝐵𝑥𝐴) → ((𝐹𝑥) = 𝐶 ↔ ⟨𝐶, 𝑥⟩ ∈ 𝐹))
14133expa 1119 . . 3 (((𝐹:𝐴1-1-onto𝐵𝐶𝐵) ∧ 𝑥𝐴) → ((𝐹𝑥) = 𝐶 ↔ ⟨𝐶, 𝑥⟩ ∈ 𝐹))
1514reubidva 3370 . 2 ((𝐹:𝐴1-1-onto𝐵𝐶𝐵) → (∃!𝑥𝐴 (𝐹𝑥) = 𝐶 ↔ ∃!𝑥𝐴𝐶, 𝑥⟩ ∈ 𝐹))
165, 15mpbird 257 1 ((𝐹:𝐴1-1-onto𝐵𝐶𝐵) → ∃!𝑥𝐴 (𝐹𝑥) = 𝐶)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 397  w3a 1088   = wceq 1542  wcel 2107  ∃!wreu 3352  cop 4593  ccnv 5633   Fn wfn 6492  wf 6493  1-1-ontowf1o 6496  cfv 6497
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pr 5385
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-ne 2945  df-ral 3066  df-rex 3075  df-reu 3355  df-rab 3409  df-v 3448  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-nul 4284  df-if 4488  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-br 5107  df-opab 5169  df-id 5532  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505
This theorem is referenced by:  1arith2  16801  disjrdx  31512  reuf1odnf  45346  reuf1od  45347
  Copyright terms: Public domain W3C validator