MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  f1ofveu Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem f1ofveu 7408
Description: There is one domain element for each value of a one-to-one onto function. (Contributed by NM, 26-May-2006.)
Assertion
Ref Expression
f1ofveu ((𝐹:𝐴1-1-onto𝐵𝐶𝐵) → ∃!𝑥𝐴 (𝐹𝑥) = 𝐶)
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝐶   𝑥,𝐹

Proof of Theorem f1ofveu
StepHypRef Expression
1 f1ocnv 6845 . . . 4 (𝐹:𝐴1-1-onto𝐵𝐹:𝐵1-1-onto𝐴)
2 f1of 6833 . . . 4 (𝐹:𝐵1-1-onto𝐴𝐹:𝐵𝐴)
31, 2syl 17 . . 3 (𝐹:𝐴1-1-onto𝐵𝐹:𝐵𝐴)
4 feu 6767 . . 3 ((𝐹:𝐵𝐴𝐶𝐵) → ∃!𝑥𝐴𝐶, 𝑥⟩ ∈ 𝐹)
53, 4sylan 579 . 2 ((𝐹:𝐴1-1-onto𝐵𝐶𝐵) → ∃!𝑥𝐴𝐶, 𝑥⟩ ∈ 𝐹)
6 f1ocnvfvb 7282 . . . . . 6 ((𝐹:𝐴1-1-onto𝐵𝑥𝐴𝐶𝐵) → ((𝐹𝑥) = 𝐶 ↔ (𝐹𝐶) = 𝑥))
763com23 1124 . . . . 5 ((𝐹:𝐴1-1-onto𝐵𝐶𝐵𝑥𝐴) → ((𝐹𝑥) = 𝐶 ↔ (𝐹𝐶) = 𝑥))
8 dff1o4 6841 . . . . . . 7 (𝐹:𝐴1-1-onto𝐵 ↔ (𝐹 Fn 𝐴𝐹 Fn 𝐵))
98simprbi 496 . . . . . 6 (𝐹:𝐴1-1-onto𝐵𝐹 Fn 𝐵)
10 fnopfvb 6945 . . . . . . 7 ((𝐹 Fn 𝐵𝐶𝐵) → ((𝐹𝐶) = 𝑥 ↔ ⟨𝐶, 𝑥⟩ ∈ 𝐹))
11103adant3 1130 . . . . . 6 ((𝐹 Fn 𝐵𝐶𝐵𝑥𝐴) → ((𝐹𝐶) = 𝑥 ↔ ⟨𝐶, 𝑥⟩ ∈ 𝐹))
129, 11syl3an1 1161 . . . . 5 ((𝐹:𝐴1-1-onto𝐵𝐶𝐵𝑥𝐴) → ((𝐹𝐶) = 𝑥 ↔ ⟨𝐶, 𝑥⟩ ∈ 𝐹))
137, 12bitrd 279 . . . 4 ((𝐹:𝐴1-1-onto𝐵𝐶𝐵𝑥𝐴) → ((𝐹𝑥) = 𝐶 ↔ ⟨𝐶, 𝑥⟩ ∈ 𝐹))
14133expa 1116 . . 3 (((𝐹:𝐴1-1-onto𝐵𝐶𝐵) ∧ 𝑥𝐴) → ((𝐹𝑥) = 𝐶 ↔ ⟨𝐶, 𝑥⟩ ∈ 𝐹))
1514reubidva 3387 . 2 ((𝐹:𝐴1-1-onto𝐵𝐶𝐵) → (∃!𝑥𝐴 (𝐹𝑥) = 𝐶 ↔ ∃!𝑥𝐴𝐶, 𝑥⟩ ∈ 𝐹))
165, 15mpbird 257 1 ((𝐹:𝐴1-1-onto𝐵𝐶𝐵) → ∃!𝑥𝐴 (𝐹𝑥) = 𝐶)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 395  w3a 1085   = wceq 1534  wcel 2099  ∃!wreu 3369  cop 4630  ccnv 5671   Fn wfn 6537  wf 6538  1-1-ontowf1o 6541  cfv 6542
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pr 5423
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-ne 2936  df-ral 3057  df-rex 3066  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-nul 4319  df-if 4525  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-br 5143  df-opab 5205  df-id 5570  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550
This theorem is referenced by:  1arith2  16888  uspgredgiedg  28975  disjrdx  32366  reuf1odnf  46410  reuf1od  46411
  Copyright terms: Public domain W3C validator