Step | Hyp | Ref
| Expression |
1 | | ral0 4468 |
. . . 4
โข
โ๐ค โ
โ
(๐โ๐ค) = if(๐ค โ ( I โพ ๐), 1 , 0 ) |
2 | | simpr 485 |
. . . . 5
โข ((๐ โง ๐ โ ๐ต) โ ๐ โ ๐ต) |
3 | | f1oi 6819 |
. . . . . . . 8
โข ( I
โพ ๐):๐โ1-1-ontoโ๐ |
4 | | f1of 6781 |
. . . . . . . 8
โข (( I
โพ ๐):๐โ1-1-ontoโ๐ โ ( I โพ ๐):๐โถ๐) |
5 | 3, 4 | mp1i 13 |
. . . . . . 7
โข (๐ โ ( I โพ ๐):๐โถ๐) |
6 | | mdetuni.n |
. . . . . . . 8
โข (๐ โ ๐ โ Fin) |
7 | 6, 6 | elmapd 8737 |
. . . . . . 7
โข (๐ โ (( I โพ ๐) โ (๐ โm ๐) โ ( I โพ ๐):๐โถ๐)) |
8 | 5, 7 | mpbird 256 |
. . . . . 6
โข (๐ โ ( I โพ ๐) โ (๐ โm ๐)) |
9 | 8 | adantr 481 |
. . . . 5
โข ((๐ โง ๐ โ ๐ต) โ ( I โพ ๐) โ (๐ โm ๐)) |
10 | | simplrl 775 |
. . . . . . . . . . . . 13
โข (((๐ โง (๐ฆ โ ๐ต โง ๐ง โ (๐ โm ๐))) โง โ๐ค โ (๐ ร ๐)(๐ฆโ๐ค) = if(๐ค โ ๐ง, 1 , 0 )) โ ๐ฆ โ ๐ต) |
11 | | mdetuni.a |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
โข ๐ด = (๐ Mat ๐
) |
12 | | mdetuni.k |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
โข ๐พ = (Baseโ๐
) |
13 | | mdetuni.b |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
โข ๐ต = (Baseโ๐ด) |
14 | 11, 12, 13 | matbas2i 21723 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
โข (๐ฆ โ ๐ต โ ๐ฆ โ (๐พ โm (๐ ร ๐))) |
15 | | elmapi 8745 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
โข (๐ฆ โ (๐พ โm (๐ ร ๐)) โ ๐ฆ:(๐ ร ๐)โถ๐พ) |
16 | 14, 15 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
โข (๐ฆ โ ๐ต โ ๐ฆ:(๐ ร ๐)โถ๐พ) |
17 | 16 | feqmptd 6907 |
. . . . . . . . . . . . . 14
โข (๐ฆ โ ๐ต โ ๐ฆ = (๐ค โ (๐ ร ๐) โฆ (๐ฆโ๐ค))) |
18 | 17 | fveq2d 6843 |
. . . . . . . . . . . . 13
โข (๐ฆ โ ๐ต โ (๐ทโ๐ฆ) = (๐ทโ(๐ค โ (๐ ร ๐) โฆ (๐ฆโ๐ค)))) |
19 | 10, 18 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . 12
โข (((๐ โง (๐ฆ โ ๐ต โง ๐ง โ (๐ โm ๐))) โง โ๐ค โ (๐ ร ๐)(๐ฆโ๐ค) = if(๐ค โ ๐ง, 1 , 0 )) โ (๐ทโ๐ฆ) = (๐ทโ(๐ค โ (๐ ร ๐) โฆ (๐ฆโ๐ค)))) |
20 | | eqid 2737 |
. . . . . . . . . . . . . 14
โข (๐ ร ๐) = (๐ ร ๐) |
21 | | mpteq12 5195 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
โข (((๐ ร ๐) = (๐ ร ๐) โง โ๐ค โ (๐ ร ๐)(๐ฆโ๐ค) = if(๐ค โ ๐ง, 1 , 0 )) โ (๐ค โ (๐ ร ๐) โฆ (๐ฆโ๐ค)) = (๐ค โ (๐ ร ๐) โฆ if(๐ค โ ๐ง, 1 , 0 ))) |
22 | 21 | fveq2d 6843 |
. . . . . . . . . . . . . 14
โข (((๐ ร ๐) = (๐ ร ๐) โง โ๐ค โ (๐ ร ๐)(๐ฆโ๐ค) = if(๐ค โ ๐ง, 1 , 0 )) โ (๐ทโ(๐ค โ (๐ ร ๐) โฆ (๐ฆโ๐ค))) = (๐ทโ(๐ค โ (๐ ร ๐) โฆ if(๐ค โ ๐ง, 1 , 0 )))) |
23 | 20, 22 | mpan 688 |
. . . . . . . . . . . . 13
โข
(โ๐ค โ
(๐ ร ๐)(๐ฆโ๐ค) = if(๐ค โ ๐ง, 1 , 0 ) โ (๐ทโ(๐ค โ (๐ ร ๐) โฆ (๐ฆโ๐ค))) = (๐ทโ(๐ค โ (๐ ร ๐) โฆ if(๐ค โ ๐ง, 1 , 0 )))) |
24 | 23 | adantl 482 |
. . . . . . . . . . . 12
โข (((๐ โง (๐ฆ โ ๐ต โง ๐ง โ (๐ โm ๐))) โง โ๐ค โ (๐ ร ๐)(๐ฆโ๐ค) = if(๐ค โ ๐ง, 1 , 0 )) โ (๐ทโ(๐ค โ (๐ ร ๐) โฆ (๐ฆโ๐ค))) = (๐ทโ(๐ค โ (๐ ร ๐) โฆ if(๐ค โ ๐ง, 1 , 0 )))) |
25 | | eleq1 2825 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
โข (๐ = ๐ง โ (๐ โ (๐ โm ๐) โ ๐ง โ (๐ โm ๐))) |
26 | 25 | anbi2d 629 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
โข (๐ = ๐ง โ ((๐ โง ๐ โ (๐ โm ๐)) โ (๐ โง ๐ง โ (๐ โm ๐)))) |
27 | | elequ2 2121 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
โข (๐ = ๐ง โ (๐ค โ ๐ โ ๐ค โ ๐ง)) |
28 | 27 | ifbid 4507 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
โข (๐ = ๐ง โ if(๐ค โ ๐, 1 , 0 ) = if(๐ค โ ๐ง, 1 , 0 )) |
29 | 28 | mpteq2dv 5205 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
โข (๐ = ๐ง โ (๐ค โ (๐ ร ๐) โฆ if(๐ค โ ๐, 1 , 0 )) = (๐ค โ (๐ ร ๐) โฆ if(๐ค โ ๐ง, 1 , 0 ))) |
30 | 29 | fveq2d 6843 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
โข (๐ = ๐ง โ (๐ทโ(๐ค โ (๐ ร ๐) โฆ if(๐ค โ ๐, 1 , 0 ))) = (๐ทโ(๐ค โ (๐ ร ๐) โฆ if(๐ค โ ๐ง, 1 , 0 )))) |
31 | 30 | eqeq1d 2739 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
โข (๐ = ๐ง โ ((๐ทโ(๐ค โ (๐ ร ๐) โฆ if(๐ค โ ๐, 1 , 0 ))) = 0 โ (๐ทโ(๐ค โ (๐ ร ๐) โฆ if(๐ค โ ๐ง, 1 , 0 ))) = 0 )) |
32 | 26, 31 | imbi12d 344 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
โข (๐ = ๐ง โ (((๐ โง ๐ โ (๐ โm ๐)) โ (๐ทโ(๐ค โ (๐ ร ๐) โฆ if(๐ค โ ๐, 1 , 0 ))) = 0 ) โ ((๐ โง ๐ง โ (๐ โm ๐)) โ (๐ทโ(๐ค โ (๐ ร ๐) โฆ if(๐ค โ ๐ง, 1 , 0 ))) = 0 ))) |
33 | | eleq1 2825 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
โข (๐ค = โจ๐, ๐โฉ โ (๐ค โ ๐ โ โจ๐, ๐โฉ โ ๐)) |
34 | 33 | ifbid 4507 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
โข (๐ค = โจ๐, ๐โฉ โ if(๐ค โ ๐, 1 , 0 ) = if(โจ๐, ๐โฉ โ ๐, 1 , 0 )) |
35 | 34 | mpompt 7464 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
โข (๐ค โ (๐ ร ๐) โฆ if(๐ค โ ๐, 1 , 0 )) = (๐ โ ๐, ๐ โ ๐ โฆ if(โจ๐, ๐โฉ โ ๐, 1 , 0 )) |
36 | | elmapi 8745 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
โข (๐ โ (๐ โm ๐) โ ๐:๐โถ๐) |
37 | 36 | adantl 482 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
โข ((๐ โง ๐ โ (๐ โm ๐)) โ ๐:๐โถ๐) |
38 | 37 | ffnd 6666 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
โข ((๐ โง ๐ โ (๐ โm ๐)) โ ๐ Fn ๐) |
39 | 38 | 3ad2ant1 1133 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
โข (((๐ โง ๐ โ (๐ โm ๐)) โง ๐ โ ๐ โง ๐ โ ๐) โ ๐ Fn ๐) |
40 | | simp2 1137 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
โข (((๐ โง ๐ โ (๐ โm ๐)) โง ๐ โ ๐ โง ๐ โ ๐) โ ๐ โ ๐) |
41 | | fnopfvb 6893 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
โข ((๐ Fn ๐ โง ๐ โ ๐) โ ((๐โ๐) = ๐ โ โจ๐, ๐โฉ โ ๐)) |
42 | 39, 40, 41 | syl2anc 584 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
โข (((๐ โง ๐ โ (๐ โm ๐)) โง ๐ โ ๐ โง ๐ โ ๐) โ ((๐โ๐) = ๐ โ โจ๐, ๐โฉ โ ๐)) |
43 | 42 | bicomd 222 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
โข (((๐ โง ๐ โ (๐ โm ๐)) โง ๐ โ ๐ โง ๐ โ ๐) โ (โจ๐, ๐โฉ โ ๐ โ (๐โ๐) = ๐)) |
44 | 43 | ifbid 4507 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
โข (((๐ โง ๐ โ (๐ โm ๐)) โง ๐ โ ๐ โง ๐ โ ๐) โ if(โจ๐, ๐โฉ โ ๐, 1 , 0 ) = if((๐โ๐) = ๐, 1 , 0 )) |
45 | 44 | mpoeq3dva 7428 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
โข ((๐ โง ๐ โ (๐ โm ๐)) โ (๐ โ ๐, ๐ โ ๐ โฆ if(โจ๐, ๐โฉ โ ๐, 1 , 0 )) = (๐ โ ๐, ๐ โ ๐ โฆ if((๐โ๐) = ๐, 1 , 0 ))) |
46 | 35, 45 | eqtrid 2789 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
โข ((๐ โง ๐ โ (๐ โm ๐)) โ (๐ค โ (๐ ร ๐) โฆ if(๐ค โ ๐, 1 , 0 )) = (๐ โ ๐, ๐ โ ๐ โฆ if((๐โ๐) = ๐, 1 , 0 ))) |
47 | 46 | fveq2d 6843 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
โข ((๐ โง ๐ โ (๐ โm ๐)) โ (๐ทโ(๐ค โ (๐ ร ๐) โฆ if(๐ค โ ๐, 1 , 0 ))) = (๐ทโ(๐ โ ๐, ๐ โ ๐ โฆ if((๐โ๐) = ๐, 1 , 0 )))) |
48 | | mdetuni.0g |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
โข 0 =
(0gโ๐
) |
49 | | mdetuni.1r |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
โข 1 =
(1rโ๐
) |
50 | | mdetuni.pg |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
โข + =
(+gโ๐
) |
51 | | mdetuni.tg |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
โข ยท =
(.rโ๐
) |
52 | | mdetuni.r |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
โข (๐ โ ๐
โ Ring) |
53 | | mdetuni.ff |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
โข (๐ โ ๐ท:๐ตโถ๐พ) |
54 | | mdetuni.al |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
โข (๐ โ โ๐ฅ โ ๐ต โ๐ฆ โ ๐ โ๐ง โ ๐ ((๐ฆ โ ๐ง โง โ๐ค โ ๐ (๐ฆ๐ฅ๐ค) = (๐ง๐ฅ๐ค)) โ (๐ทโ๐ฅ) = 0 )) |
55 | | mdetuni.li |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
โข (๐ โ โ๐ฅ โ ๐ต โ๐ฆ โ ๐ต โ๐ง โ ๐ต โ๐ค โ ๐ (((๐ฅ โพ ({๐ค} ร ๐)) = ((๐ฆ โพ ({๐ค} ร ๐)) โf + (๐ง โพ ({๐ค} ร ๐))) โง (๐ฅ โพ ((๐ โ {๐ค}) ร ๐)) = (๐ฆ โพ ((๐ โ {๐ค}) ร ๐)) โง (๐ฅ โพ ((๐ โ {๐ค}) ร ๐)) = (๐ง โพ ((๐ โ {๐ค}) ร ๐))) โ (๐ทโ๐ฅ) = ((๐ทโ๐ฆ) + (๐ทโ๐ง)))) |
56 | | mdetuni.sc |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
โข (๐ โ โ๐ฅ โ ๐ต โ๐ฆ โ ๐พ โ๐ง โ ๐ต โ๐ค โ ๐ (((๐ฅ โพ ({๐ค} ร ๐)) = ((({๐ค} ร ๐) ร {๐ฆ}) โf ยท (๐ง โพ ({๐ค} ร ๐))) โง (๐ฅ โพ ((๐ โ {๐ค}) ร ๐)) = (๐ง โพ ((๐ โ {๐ค}) ร ๐))) โ (๐ทโ๐ฅ) = (๐ฆ ยท (๐ทโ๐ง)))) |
57 | | mdetunilem9.id |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
โข (๐ โ (๐ทโ(1rโ๐ด)) = 0 ) |
58 | 11, 13, 12, 48, 49, 50, 51, 6, 52, 53, 54, 55, 56, 57 | mdetunilem8 21920 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
โข ((๐ โง ๐:๐โถ๐) โ (๐ทโ(๐ โ ๐, ๐ โ ๐ โฆ if((๐โ๐) = ๐, 1 , 0 ))) = 0 ) |
59 | 36, 58 | sylan2 593 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
โข ((๐ โง ๐ โ (๐ โm ๐)) โ (๐ทโ(๐ โ ๐, ๐ โ ๐ โฆ if((๐โ๐) = ๐, 1 , 0 ))) = 0 ) |
60 | 47, 59 | eqtrd 2777 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
โข ((๐ โง ๐ โ (๐ โm ๐)) โ (๐ทโ(๐ค โ (๐ ร ๐) โฆ if(๐ค โ ๐, 1 , 0 ))) = 0 ) |
61 | 32, 60 | chvarvv 2002 |
. . . . . . . . . . . . . 14
โข ((๐ โง ๐ง โ (๐ โm ๐)) โ (๐ทโ(๐ค โ (๐ ร ๐) โฆ if(๐ค โ ๐ง, 1 , 0 ))) = 0 ) |
62 | 61 | adantrl 714 |
. . . . . . . . . . . . 13
โข ((๐ โง (๐ฆ โ ๐ต โง ๐ง โ (๐ โm ๐))) โ (๐ทโ(๐ค โ (๐ ร ๐) โฆ if(๐ค โ ๐ง, 1 , 0 ))) = 0 ) |
63 | 62 | adantr 481 |
. . . . . . . . . . . 12
โข (((๐ โง (๐ฆ โ ๐ต โง ๐ง โ (๐ โm ๐))) โง โ๐ค โ (๐ ร ๐)(๐ฆโ๐ค) = if(๐ค โ ๐ง, 1 , 0 )) โ (๐ทโ(๐ค โ (๐ ร ๐) โฆ if(๐ค โ ๐ง, 1 , 0 ))) = 0 ) |
64 | 19, 24, 63 | 3eqtrd 2781 |
. . . . . . . . . . 11
โข (((๐ โง (๐ฆ โ ๐ต โง ๐ง โ (๐ โm ๐))) โง โ๐ค โ (๐ ร ๐)(๐ฆโ๐ค) = if(๐ค โ ๐ง, 1 , 0 )) โ (๐ทโ๐ฆ) = 0 ) |
65 | 64 | ex 413 |
. . . . . . . . . 10
โข ((๐ โง (๐ฆ โ ๐ต โง ๐ง โ (๐ โm ๐))) โ (โ๐ค โ (๐ ร ๐)(๐ฆโ๐ค) = if(๐ค โ ๐ง, 1 , 0 ) โ (๐ทโ๐ฆ) = 0 )) |
66 | 65 | ralrimivva 3195 |
. . . . . . . . 9
โข (๐ โ โ๐ฆ โ ๐ต โ๐ง โ (๐ โm ๐)(โ๐ค โ (๐ ร ๐)(๐ฆโ๐ค) = if(๐ค โ ๐ง, 1 , 0 ) โ (๐ทโ๐ฆ) = 0 )) |
67 | | xpfi 9219 |
. . . . . . . . . . 11
โข ((๐ โ Fin โง ๐ โ Fin) โ (๐ ร ๐) โ Fin) |
68 | 6, 6, 67 | syl2anc 584 |
. . . . . . . . . 10
โข (๐ โ (๐ ร ๐) โ Fin) |
69 | | raleq 3307 |
. . . . . . . . . . . . 13
โข (๐ฅ = (๐ ร ๐) โ (โ๐ค โ ๐ฅ (๐ฆโ๐ค) = if(๐ค โ ๐ง, 1 , 0 ) โ โ๐ค โ (๐ ร ๐)(๐ฆโ๐ค) = if(๐ค โ ๐ง, 1 , 0 ))) |
70 | 69 | imbi1d 341 |
. . . . . . . . . . . 12
โข (๐ฅ = (๐ ร ๐) โ ((โ๐ค โ ๐ฅ (๐ฆโ๐ค) = if(๐ค โ ๐ง, 1 , 0 ) โ (๐ทโ๐ฆ) = 0 ) โ (โ๐ค โ (๐ ร ๐)(๐ฆโ๐ค) = if(๐ค โ ๐ง, 1 , 0 ) โ (๐ทโ๐ฆ) = 0 ))) |
71 | 70 | 2ralbidv 3210 |
. . . . . . . . . . 11
โข (๐ฅ = (๐ ร ๐) โ (โ๐ฆ โ ๐ต โ๐ง โ (๐ โm ๐)(โ๐ค โ ๐ฅ (๐ฆโ๐ค) = if(๐ค โ ๐ง, 1 , 0 ) โ (๐ทโ๐ฆ) = 0 ) โ โ๐ฆ โ ๐ต โ๐ง โ (๐ โm ๐)(โ๐ค โ (๐ ร ๐)(๐ฆโ๐ค) = if(๐ค โ ๐ง, 1 , 0 ) โ (๐ทโ๐ฆ) = 0 ))) |
72 | | mdetunilem9.y |
. . . . . . . . . . 11
โข ๐ = {๐ฅ โฃ โ๐ฆ โ ๐ต โ๐ง โ (๐ โm ๐)(โ๐ค โ ๐ฅ (๐ฆโ๐ค) = if(๐ค โ ๐ง, 1 , 0 ) โ (๐ทโ๐ฆ) = 0 )} |
73 | 71, 72 | elab2g 3630 |
. . . . . . . . . 10
โข ((๐ ร ๐) โ Fin โ ((๐ ร ๐) โ ๐ โ โ๐ฆ โ ๐ต โ๐ง โ (๐ โm ๐)(โ๐ค โ (๐ ร ๐)(๐ฆโ๐ค) = if(๐ค โ ๐ง, 1 , 0 ) โ (๐ทโ๐ฆ) = 0 ))) |
74 | 68, 73 | syl 17 |
. . . . . . . . 9
โข (๐ โ ((๐ ร ๐) โ ๐ โ โ๐ฆ โ ๐ต โ๐ง โ (๐ โm ๐)(โ๐ค โ (๐ ร ๐)(๐ฆโ๐ค) = if(๐ค โ ๐ง, 1 , 0 ) โ (๐ทโ๐ฆ) = 0 ))) |
75 | 66, 74 | mpbird 256 |
. . . . . . . 8
โข (๐ โ (๐ ร ๐) โ ๐) |
76 | | ssid 3964 |
. . . . . . . . 9
โข (๐ ร ๐) โ (๐ ร ๐) |
77 | 68 | 3ad2ant1 1133 |
. . . . . . . . . . 11
โข ((๐ โง (๐ ร ๐) โ (๐ ร ๐) โง ยฌ โ
โ ๐) โ (๐ ร ๐) โ Fin) |
78 | | sseq1 3967 |
. . . . . . . . . . . . . 14
โข (๐ = โ
โ (๐ โ (๐ ร ๐) โ โ
โ (๐ ร ๐))) |
79 | 78 | 3anbi2d 1441 |
. . . . . . . . . . . . 13
โข (๐ = โ
โ ((๐ โง ๐ โ (๐ ร ๐) โง ยฌ โ
โ ๐) โ (๐ โง โ
โ (๐ ร ๐) โง ยฌ โ
โ ๐))) |
80 | | eleq1 2825 |
. . . . . . . . . . . . . 14
โข (๐ = โ
โ (๐ โ ๐ โ โ
โ ๐)) |
81 | 80 | notbid 317 |
. . . . . . . . . . . . 13
โข (๐ = โ
โ (ยฌ ๐ โ ๐ โ ยฌ โ
โ ๐)) |
82 | 79, 81 | imbi12d 344 |
. . . . . . . . . . . 12
โข (๐ = โ
โ (((๐ โง ๐ โ (๐ ร ๐) โง ยฌ โ
โ ๐) โ ยฌ ๐ โ ๐) โ ((๐ โง โ
โ (๐ ร ๐) โง ยฌ โ
โ ๐) โ ยฌ โ
โ
๐))) |
83 | | sseq1 3967 |
. . . . . . . . . . . . . 14
โข (๐ = ๐ โ (๐ โ (๐ ร ๐) โ ๐ โ (๐ ร ๐))) |
84 | 83 | 3anbi2d 1441 |
. . . . . . . . . . . . 13
โข (๐ = ๐ โ ((๐ โง ๐ โ (๐ ร ๐) โง ยฌ โ
โ ๐) โ (๐ โง ๐ โ (๐ ร ๐) โง ยฌ โ
โ ๐))) |
85 | | eleq1 2825 |
. . . . . . . . . . . . . 14
โข (๐ = ๐ โ (๐ โ ๐ โ ๐ โ ๐)) |
86 | 85 | notbid 317 |
. . . . . . . . . . . . 13
โข (๐ = ๐ โ (ยฌ ๐ โ ๐ โ ยฌ ๐ โ ๐)) |
87 | 84, 86 | imbi12d 344 |
. . . . . . . . . . . 12
โข (๐ = ๐ โ (((๐ โง ๐ โ (๐ ร ๐) โง ยฌ โ
โ ๐) โ ยฌ ๐ โ ๐) โ ((๐ โง ๐ โ (๐ ร ๐) โง ยฌ โ
โ ๐) โ ยฌ ๐ โ ๐))) |
88 | | sseq1 3967 |
. . . . . . . . . . . . . 14
โข (๐ = (๐ โช {๐}) โ (๐ โ (๐ ร ๐) โ (๐ โช {๐}) โ (๐ ร ๐))) |
89 | 88 | 3anbi2d 1441 |
. . . . . . . . . . . . 13
โข (๐ = (๐ โช {๐}) โ ((๐ โง ๐ โ (๐ ร ๐) โง ยฌ โ
โ ๐) โ (๐ โง (๐ โช {๐}) โ (๐ ร ๐) โง ยฌ โ
โ ๐))) |
90 | | eleq1 2825 |
. . . . . . . . . . . . . 14
โข (๐ = (๐ โช {๐}) โ (๐ โ ๐ โ (๐ โช {๐}) โ ๐)) |
91 | 90 | notbid 317 |
. . . . . . . . . . . . 13
โข (๐ = (๐ โช {๐}) โ (ยฌ ๐ โ ๐ โ ยฌ (๐ โช {๐}) โ ๐)) |
92 | 89, 91 | imbi12d 344 |
. . . . . . . . . . . 12
โข (๐ = (๐ โช {๐}) โ (((๐ โง ๐ โ (๐ ร ๐) โง ยฌ โ
โ ๐) โ ยฌ ๐ โ ๐) โ ((๐ โง (๐ โช {๐}) โ (๐ ร ๐) โง ยฌ โ
โ ๐) โ ยฌ (๐ โช {๐}) โ ๐))) |
93 | | sseq1 3967 |
. . . . . . . . . . . . . 14
โข (๐ = (๐ ร ๐) โ (๐ โ (๐ ร ๐) โ (๐ ร ๐) โ (๐ ร ๐))) |
94 | 93 | 3anbi2d 1441 |
. . . . . . . . . . . . 13
โข (๐ = (๐ ร ๐) โ ((๐ โง ๐ โ (๐ ร ๐) โง ยฌ โ
โ ๐) โ (๐ โง (๐ ร ๐) โ (๐ ร ๐) โง ยฌ โ
โ ๐))) |
95 | | eleq1 2825 |
. . . . . . . . . . . . . 14
โข (๐ = (๐ ร ๐) โ (๐ โ ๐ โ (๐ ร ๐) โ ๐)) |
96 | 95 | notbid 317 |
. . . . . . . . . . . . 13
โข (๐ = (๐ ร ๐) โ (ยฌ ๐ โ ๐ โ ยฌ (๐ ร ๐) โ ๐)) |
97 | 94, 96 | imbi12d 344 |
. . . . . . . . . . . 12
โข (๐ = (๐ ร ๐) โ (((๐ โง ๐ โ (๐ ร ๐) โง ยฌ โ
โ ๐) โ ยฌ ๐ โ ๐) โ ((๐ โง (๐ ร ๐) โ (๐ ร ๐) โง ยฌ โ
โ ๐) โ ยฌ (๐ ร ๐) โ ๐))) |
98 | | simp3 1138 |
. . . . . . . . . . . 12
โข ((๐ โง โ
โ (๐ ร ๐) โง ยฌ โ
โ ๐) โ ยฌ โ
โ
๐) |
99 | | ssun1 4130 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
โข ๐ โ (๐ โช {๐}) |
100 | | sstr2 3949 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
โข (๐ โ (๐ โช {๐}) โ ((๐ โช {๐}) โ (๐ ร ๐) โ ๐ โ (๐ ร ๐))) |
101 | 99, 100 | ax-mp 5 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
โข ((๐ โช {๐}) โ (๐ ร ๐) โ ๐ โ (๐ ร ๐)) |
102 | 101 | 3anim2i 1153 |
. . . . . . . . . . . . . 14
โข ((๐ โง (๐ โช {๐}) โ (๐ ร ๐) โง ยฌ โ
โ ๐) โ (๐ โง ๐ โ (๐ ร ๐) โง ยฌ โ
โ ๐)) |
103 | 102 | imim1i 63 |
. . . . . . . . . . . . 13
โข (((๐ โง ๐ โ (๐ ร ๐) โง ยฌ โ
โ ๐) โ ยฌ ๐ โ ๐) โ ((๐ โง (๐ โช {๐}) โ (๐ ร ๐) โง ยฌ โ
โ ๐) โ ยฌ ๐ โ ๐)) |
104 | | simpl1 1191 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
โข (((๐ โง (๐ โช {๐}) โ (๐ ร ๐) โง (๐ โช {๐}) โ ๐) โง ((๐ โ ๐ต โง ๐ โ (๐ โm ๐)) โง โ๐ค โ ๐ (๐โ๐ค) = if(๐ค โ ๐, 1 , 0 ))) โ ๐) |
105 | | simpl2 1192 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
โข (((๐ โง (๐ โช {๐}) โ (๐ ร ๐) โง (๐ โช {๐}) โ ๐) โง ((๐ โ ๐ต โง ๐ โ (๐ โm ๐)) โง โ๐ค โ ๐ (๐โ๐ค) = if(๐ค โ ๐, 1 , 0 ))) โ (๐ โช {๐}) โ (๐ ร ๐)) |
106 | | simprll 777 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
โข (((๐ โง (๐ โช {๐}) โ (๐ ร ๐) โง (๐ โช {๐}) โ ๐) โง ((๐ โ ๐ต โง ๐ โ (๐ โm ๐)) โง โ๐ค โ ๐ (๐โ๐ค) = if(๐ค โ ๐, 1 , 0 ))) โ ๐ โ ๐ต) |
107 | 11, 12, 13 | matbas2i 21723 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
โข (๐ โ ๐ต โ ๐ โ (๐พ โm (๐ ร ๐))) |
108 | | elmapi 8745 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
โข (๐ โ (๐พ โm (๐ ร ๐)) โ ๐:(๐ ร ๐)โถ๐พ) |
109 | 107, 108 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
โข (๐ โ ๐ต โ ๐:(๐ ร ๐)โถ๐พ) |
110 | 109 | 3ad2ant3 1135 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
โข ((๐ โง (๐ โช {๐}) โ (๐ ร ๐) โง ๐ โ ๐ต) โ ๐:(๐ ร ๐)โถ๐พ) |
111 | 110 | feqmptd 6907 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
โข ((๐ โง (๐ โช {๐}) โ (๐ ร ๐) โง ๐ โ ๐ต) โ ๐ = (๐ โ (๐ ร ๐) โฆ (๐โ๐))) |
112 | 111 | reseq1d 5934 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
โข ((๐ โง (๐ โช {๐}) โ (๐ ร ๐) โง ๐ โ ๐ต) โ (๐ โพ ({(1st โ๐)} ร ๐)) = ((๐ โ (๐ ร ๐) โฆ (๐โ๐)) โพ ({(1st โ๐)} ร ๐))) |
113 | 52 | 3ad2ant1 1133 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . 36
โข ((๐ โง (๐ โช {๐}) โ (๐ ร ๐) โง ๐ โ ๐ต) โ ๐
โ Ring) |
114 | | ringgrp 19923 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . 36
โข (๐
โ Ring โ ๐
โ Grp) |
115 | 113, 114 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. 35
โข ((๐ โง (๐ โช {๐}) โ (๐ ร ๐) โง ๐ โ ๐ต) โ ๐
โ Grp) |
116 | 115 | adantr 481 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
โข (((๐ โง (๐ โช {๐}) โ (๐ ร ๐) โง ๐ โ ๐ต) โง ๐ โ ({(1st โ๐)} ร ๐)) โ ๐
โ Grp) |
117 | 110 | adantr 481 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. 35
โข (((๐ โง (๐ โช {๐}) โ (๐ ร ๐) โง ๐ โ ๐ต) โง ๐ โ ({(1st โ๐)} ร ๐)) โ ๐:(๐ ร ๐)โถ๐พ) |
118 | | simp2 1137 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . 41
โข ((๐ โง (๐ โช {๐}) โ (๐ ร ๐) โง ๐ โ ๐ต) โ (๐ โช {๐}) โ (๐ ร ๐)) |
119 | 118 | unssbd 4146 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . 40
โข ((๐ โง (๐ โช {๐}) โ (๐ ร ๐) โง ๐ โ ๐ต) โ {๐} โ (๐ ร ๐)) |
120 | | vex 3447 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . 41
โข ๐ โ V |
121 | 120 | snss 4744 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . 40
โข (๐ โ (๐ ร ๐) โ {๐} โ (๐ ร ๐)) |
122 | 119, 121 | sylibr 233 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . 39
โข ((๐ โง (๐ โช {๐}) โ (๐ ร ๐) โง ๐ โ ๐ต) โ ๐ โ (๐ ร ๐)) |
123 | | xp1st 7945 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . 39
โข (๐ โ (๐ ร ๐) โ (1st โ๐) โ ๐) |
124 | 122, 123 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . 38
โข ((๐ โง (๐ โช {๐}) โ (๐ ร ๐) โง ๐ โ ๐ต) โ (1st โ๐) โ ๐) |
125 | 124 | snssd 4767 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . 37
โข ((๐ โง (๐ โช {๐}) โ (๐ ร ๐) โง ๐ โ ๐ต) โ {(1st โ๐)} โ ๐) |
126 | | xpss1 5650 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . 37
โข
({(1st โ๐)} โ ๐ โ ({(1st โ๐)} ร ๐) โ (๐ ร ๐)) |
127 | 125, 126 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . 36
โข ((๐ โง (๐ โช {๐}) โ (๐ ร ๐) โง ๐ โ ๐ต) โ ({(1st โ๐)} ร ๐) โ (๐ ร ๐)) |
128 | 127 | sselda 3942 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. 35
โข (((๐ โง (๐ โช {๐}) โ (๐ ร ๐) โง ๐ โ ๐ต) โง ๐ โ ({(1st โ๐)} ร ๐)) โ ๐ โ (๐ ร ๐)) |
129 | 117, 128 | ffvelcdmd 7032 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
โข (((๐ โง (๐ โช {๐}) โ (๐ ร ๐) โง ๐ โ ๐ต) โง ๐ โ ({(1st โ๐)} ร ๐)) โ (๐โ๐) โ ๐พ) |
130 | 12, 49 | ringidcl 19943 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . 37
โข (๐
โ Ring โ 1 โ ๐พ) |
131 | 113, 130 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . 36
โข ((๐ โง (๐ โช {๐}) โ (๐ ร ๐) โง ๐ โ ๐ต) โ 1 โ ๐พ) |
132 | 12, 48 | ring0cl 19944 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . 37
โข (๐
โ Ring โ 0 โ ๐พ) |
133 | 113, 132 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . 36
โข ((๐ โง (๐ โช {๐}) โ (๐ ร ๐) โง ๐ โ ๐ต) โ 0 โ ๐พ) |
134 | 131, 133 | ifcld 4530 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. 35
โข ((๐ โง (๐ โช {๐}) โ (๐ ร ๐) โง ๐ โ ๐ต) โ if(๐ โ ๐, 1 , 0 ) โ ๐พ) |
135 | 134 | adantr 481 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
โข (((๐ โง (๐ โช {๐}) โ (๐ ร ๐) โง ๐ โ ๐ต) โง ๐ โ ({(1st โ๐)} ร ๐)) โ if(๐ โ ๐, 1 , 0 ) โ ๐พ) |
136 | | eqid 2737 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. 35
โข
(-gโ๐
) = (-gโ๐
) |
137 | 12, 50, 136 | grpnpcan 18798 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
โข ((๐
โ Grp โง (๐โ๐) โ ๐พ โง if(๐ โ ๐, 1 , 0 ) โ ๐พ) โ (((๐โ๐)(-gโ๐
)if(๐ โ ๐, 1 , 0 )) + if(๐ โ ๐, 1 , 0 )) = (๐โ๐)) |
138 | 116, 129,
135, 137 | syl3anc 1371 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
โข (((๐ โง (๐ โช {๐}) โ (๐ ร ๐) โง ๐ โ ๐ต) โง ๐ โ ({(1st โ๐)} ร ๐)) โ (((๐โ๐)(-gโ๐
)if(๐ โ ๐, 1 , 0 )) + if(๐ โ ๐, 1 , 0 )) = (๐โ๐)) |
139 | 138 | eqcomd 2743 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
โข (((๐ โง (๐ โช {๐}) โ (๐ ร ๐) โง ๐ โ ๐ต) โง ๐ โ ({(1st โ๐)} ร ๐)) โ (๐โ๐) = (((๐โ๐)(-gโ๐
)if(๐ โ ๐, 1 , 0 )) + if(๐ โ ๐, 1 , 0 ))) |
140 | 139 | adantr 481 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
โข ((((๐ โง (๐ โช {๐}) โ (๐ ร ๐) โง ๐ โ ๐ต) โง ๐ โ ({(1st โ๐)} ร ๐)) โง ๐ = ๐) โ (๐โ๐) = (((๐โ๐)(-gโ๐
)if(๐ โ ๐, 1 , 0 )) + if(๐ โ ๐, 1 , 0 ))) |
141 | | iftrue 4490 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
โข (๐ = ๐ โ if(๐ = ๐, ((๐โ๐)(-gโ๐
)if(๐ โ ๐, 1 , 0 )), 0 ) = ((๐โ๐)(-gโ๐
)if(๐ โ ๐, 1 , 0 ))) |
142 | | iftrue 4490 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
โข (๐ = ๐ โ if(๐ = ๐, if(๐ โ ๐, 1 , 0 ), (๐โ๐)) = if(๐ โ ๐, 1 , 0 )) |
143 | 141, 142 | oveq12d 7369 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
โข (๐ = ๐ โ (if(๐ = ๐, ((๐โ๐)(-gโ๐
)if(๐ โ ๐, 1 , 0 )), 0 ) + if(๐ = ๐, if(๐ โ ๐, 1 , 0 ), (๐โ๐))) = (((๐โ๐)(-gโ๐
)if(๐ โ ๐, 1 , 0 )) + if(๐ โ ๐, 1 , 0 ))) |
144 | 143 | adantl 482 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
โข ((((๐ โง (๐ โช {๐}) โ (๐ ร ๐) โง ๐ โ ๐ต) โง ๐ โ ({(1st โ๐)} ร ๐)) โง ๐ = ๐) โ (if(๐ = ๐, ((๐โ๐)(-gโ๐
)if(๐ โ ๐, 1 , 0 )), 0 ) + if(๐ = ๐, if(๐ โ ๐, 1 , 0 ), (๐โ๐))) = (((๐โ๐)(-gโ๐
)if(๐ โ ๐, 1 , 0 )) + if(๐ โ ๐, 1 , 0 ))) |
145 | 140, 144 | eqtr4d 2780 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
โข ((((๐ โง (๐ โช {๐}) โ (๐ ร ๐) โง ๐ โ ๐ต) โง ๐ โ ({(1st โ๐)} ร ๐)) โง ๐ = ๐) โ (๐โ๐) = (if(๐ = ๐, ((๐โ๐)(-gโ๐
)if(๐ โ ๐, 1 , 0 )), 0 ) + if(๐ = ๐, if(๐ โ ๐, 1 , 0 ), (๐โ๐)))) |
146 | 12, 50, 48 | grplid 18740 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
โข ((๐
โ Grp โง (๐โ๐) โ ๐พ) โ ( 0 + (๐โ๐)) = (๐โ๐)) |
147 | 116, 129,
146 | syl2anc 584 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
โข (((๐ โง (๐ โช {๐}) โ (๐ ร ๐) โง ๐ โ ๐ต) โง ๐ โ ({(1st โ๐)} ร ๐)) โ ( 0 + (๐โ๐)) = (๐โ๐)) |
148 | 147 | eqcomd 2743 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
โข (((๐ โง (๐ โช {๐}) โ (๐ ร ๐) โง ๐ โ ๐ต) โง ๐ โ ({(1st โ๐)} ร ๐)) โ (๐โ๐) = ( 0 + (๐โ๐))) |
149 | 148 | adantr 481 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
โข ((((๐ โง (๐ โช {๐}) โ (๐ ร ๐) โง ๐ โ ๐ต) โง ๐ โ ({(1st โ๐)} ร ๐)) โง ยฌ ๐ = ๐) โ (๐โ๐) = ( 0 + (๐โ๐))) |
150 | | iffalse 4493 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
โข (ยฌ
๐ = ๐ โ if(๐ = ๐, ((๐โ๐)(-gโ๐
)if(๐ โ ๐, 1 , 0 )), 0 ) = 0 ) |
151 | | iffalse 4493 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
โข (ยฌ
๐ = ๐ โ if(๐ = ๐, if(๐ โ ๐, 1 , 0 ), (๐โ๐)) = (๐โ๐)) |
152 | 150, 151 | oveq12d 7369 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
โข (ยฌ
๐ = ๐ โ (if(๐ = ๐, ((๐โ๐)(-gโ๐
)if(๐ โ ๐, 1 , 0 )), 0 ) + if(๐ = ๐, if(๐ โ ๐, 1 , 0 ), (๐โ๐))) = ( 0 + (๐โ๐))) |
153 | 152 | adantl 482 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
โข ((((๐ โง (๐ โช {๐}) โ (๐ ร ๐) โง ๐ โ ๐ต) โง ๐ โ ({(1st โ๐)} ร ๐)) โง ยฌ ๐ = ๐) โ (if(๐ = ๐, ((๐โ๐)(-gโ๐
)if(๐ โ ๐, 1 , 0 )), 0 ) + if(๐ = ๐, if(๐ โ ๐, 1 , 0 ), (๐โ๐))) = ( 0 + (๐โ๐))) |
154 | 149, 153 | eqtr4d 2780 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
โข ((((๐ โง (๐ โช {๐}) โ (๐ ร ๐) โง ๐ โ ๐ต) โง ๐ โ ({(1st โ๐)} ร ๐)) โง ยฌ ๐ = ๐) โ (๐โ๐) = (if(๐ = ๐, ((๐โ๐)(-gโ๐
)if(๐ โ ๐, 1 , 0 )), 0 ) + if(๐ = ๐, if(๐ โ ๐, 1 , 0 ), (๐โ๐)))) |
155 | 145, 154 | pm2.61dan 811 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
โข (((๐ โง (๐ โช {๐}) โ (๐ ร ๐) โง ๐ โ ๐ต) โง ๐ โ ({(1st โ๐)} ร ๐)) โ (๐โ๐) = (if(๐ = ๐, ((๐โ๐)(-gโ๐
)if(๐ โ ๐, 1 , 0 )), 0 ) + if(๐ = ๐, if(๐ โ ๐, 1 , 0 ), (๐โ๐)))) |
156 | 155 | mpteq2dva 5203 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
โข ((๐ โง (๐ โช {๐}) โ (๐ ร ๐) โง ๐ โ ๐ต) โ (๐ โ ({(1st โ๐)} ร ๐) โฆ (๐โ๐)) = (๐ โ ({(1st โ๐)} ร ๐) โฆ (if(๐ = ๐, ((๐โ๐)(-gโ๐
)if(๐ โ ๐, 1 , 0 )), 0 ) + if(๐ = ๐, if(๐ โ ๐, 1 , 0 ), (๐โ๐))))) |
157 | | snfi 8946 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
โข
{(1st โ๐)} โ Fin |
158 | 6 | 3ad2ant1 1133 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
โข ((๐ โง (๐ โช {๐}) โ (๐ ร ๐) โง ๐ โ ๐ต) โ ๐ โ Fin) |
159 | | xpfi 9219 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
โข
(({(1st โ๐)} โ Fin โง ๐ โ Fin) โ ({(1st
โ๐)} ร ๐) โ Fin) |
160 | 157, 158,
159 | sylancr 587 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
โข ((๐ โง (๐ โช {๐}) โ (๐ ร ๐) โง ๐ โ ๐ต) โ ({(1st โ๐)} ร ๐) โ Fin) |
161 | | ovex 7384 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
โข ((๐โ๐)(-gโ๐
)if(๐ โ ๐, 1 , 0 )) โ
V |
162 | 48 | fvexi 6853 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
โข 0 โ
V |
163 | 161, 162 | ifex 4534 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
โข if(๐ = ๐, ((๐โ๐)(-gโ๐
)if(๐ โ ๐, 1 , 0 )), 0 ) โ
V |
164 | 163 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
โข (((๐ โง (๐ โช {๐}) โ (๐ ร ๐) โง ๐ โ ๐ต) โง ๐ โ ({(1st โ๐)} ร ๐)) โ if(๐ = ๐, ((๐โ๐)(-gโ๐
)if(๐ โ ๐, 1 , 0 )), 0 ) โ
V) |
165 | 49 | fvexi 6853 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
โข 1 โ
V |
166 | 165, 162 | ifex 4534 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
โข if(๐ โ ๐, 1 , 0 ) โ
V |
167 | | fvex 6852 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
โข (๐โ๐) โ V |
168 | 166, 167 | ifex 4534 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
โข if(๐ = ๐, if(๐ โ ๐, 1 , 0 ), (๐โ๐)) โ V |
169 | 168 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
โข (((๐ โง (๐ โช {๐}) โ (๐ ร ๐) โง ๐ โ ๐ต) โง ๐ โ ({(1st โ๐)} ร ๐)) โ if(๐ = ๐, if(๐ โ ๐, 1 , 0 ), (๐โ๐)) โ V) |
170 | | xp1st 7945 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
โข (๐ โ ({(1st
โ๐)} ร ๐) โ (1st
โ๐) โ
{(1st โ๐)}) |
171 | | elsni 4601 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
โข
((1st โ๐) โ {(1st โ๐)} โ (1st
โ๐) = (1st
โ๐)) |
172 | | iftrue 4490 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
โข
((1st โ๐) = (1st โ๐) โ if((1st โ๐) = (1st โ๐), if(๐ = ๐, ((๐โ๐)(-gโ๐
)if(๐ โ ๐, 1 , 0 )), 0 ), (๐โ๐)) = if(๐ = ๐, ((๐โ๐)(-gโ๐
)if(๐ โ ๐, 1 , 0 )), 0 )) |
173 | 170, 171,
172 | 3syl 18 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
โข (๐ โ ({(1st
โ๐)} ร ๐) โ if((1st
โ๐) = (1st
โ๐), if(๐ = ๐, ((๐โ๐)(-gโ๐
)if(๐ โ ๐, 1 , 0 )), 0 ), (๐โ๐)) = if(๐ = ๐, ((๐โ๐)(-gโ๐
)if(๐ โ ๐, 1 , 0 )), 0 )) |
174 | 173 | mpteq2ia 5206 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
โข (๐ โ ({(1st
โ๐)} ร ๐) โฆ if((1st
โ๐) = (1st
โ๐), if(๐ = ๐, ((๐โ๐)(-gโ๐
)if(๐ โ ๐, 1 , 0 )), 0 ), (๐โ๐))) = (๐ โ ({(1st โ๐)} ร ๐) โฆ if(๐ = ๐, ((๐โ๐)(-gโ๐
)if(๐ โ ๐, 1 , 0 )), 0 )) |
175 | 174 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
โข ((๐ โง (๐ โช {๐}) โ (๐ ร ๐) โง ๐ โ ๐ต) โ (๐ โ ({(1st โ๐)} ร ๐) โฆ if((1st โ๐) = (1st โ๐), if(๐ = ๐, ((๐โ๐)(-gโ๐
)if(๐ โ ๐, 1 , 0 )), 0 ), (๐โ๐))) = (๐ โ ({(1st โ๐)} ร ๐) โฆ if(๐ = ๐, ((๐โ๐)(-gโ๐
)if(๐ โ ๐, 1 , 0 )), 0 ))) |
176 | | eqidd 2738 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
โข ((๐ โง (๐ โช {๐}) โ (๐ ร ๐) โง ๐ โ ๐ต) โ (๐ โ ({(1st โ๐)} ร ๐) โฆ if(๐ = ๐, if(๐ โ ๐, 1 , 0 ), (๐โ๐))) = (๐ โ ({(1st โ๐)} ร ๐) โฆ if(๐ = ๐, if(๐ โ ๐, 1 , 0 ), (๐โ๐)))) |
177 | 160, 164,
169, 175, 176 | offval2 7629 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
โข ((๐ โง (๐ โช {๐}) โ (๐ ร ๐) โง ๐ โ ๐ต) โ ((๐ โ ({(1st โ๐)} ร ๐) โฆ if((1st โ๐) = (1st โ๐), if(๐ = ๐, ((๐โ๐)(-gโ๐
)if(๐ โ ๐, 1 , 0 )), 0 ), (๐โ๐))) โf + (๐ โ ({(1st โ๐)} ร ๐) โฆ if(๐ = ๐, if(๐ โ ๐, 1 , 0 ), (๐โ๐)))) = (๐ โ ({(1st โ๐)} ร ๐) โฆ (if(๐ = ๐, ((๐โ๐)(-gโ๐
)if(๐ โ ๐, 1 , 0 )), 0 ) + if(๐ = ๐, if(๐ โ ๐, 1 , 0 ), (๐โ๐))))) |
178 | 156, 177 | eqtr4d 2780 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
โข ((๐ โง (๐ โช {๐}) โ (๐ ร ๐) โง ๐ โ ๐ต) โ (๐ โ ({(1st โ๐)} ร ๐) โฆ (๐โ๐)) = ((๐ โ ({(1st โ๐)} ร ๐) โฆ if((1st โ๐) = (1st โ๐), if(๐ = ๐, ((๐โ๐)(-gโ๐
)if(๐ โ ๐, 1 , 0 )), 0 ), (๐โ๐))) โf + (๐ โ ({(1st โ๐)} ร ๐) โฆ if(๐ = ๐, if(๐ โ ๐, 1 , 0 ), (๐โ๐))))) |
179 | 127 | resmptd 5992 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
โข ((๐ โง (๐ โช {๐}) โ (๐ ร ๐) โง ๐ โ ๐ต) โ ((๐ โ (๐ ร ๐) โฆ (๐โ๐)) โพ ({(1st โ๐)} ร ๐)) = (๐ โ ({(1st โ๐)} ร ๐) โฆ (๐โ๐))) |
180 | 127 | resmptd 5992 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
โข ((๐ โง (๐ โช {๐}) โ (๐ ร ๐) โง ๐ โ ๐ต) โ ((๐ โ (๐ ร ๐) โฆ if((1st โ๐) = (1st โ๐), if(๐ = ๐, ((๐โ๐)(-gโ๐
)if(๐ โ ๐, 1 , 0 )), 0 ), (๐โ๐))) โพ ({(1st โ๐)} ร ๐)) = (๐ โ ({(1st โ๐)} ร ๐) โฆ if((1st โ๐) = (1st โ๐), if(๐ = ๐, ((๐โ๐)(-gโ๐
)if(๐ โ ๐, 1 , 0 )), 0 ), (๐โ๐)))) |
181 | 127 | resmptd 5992 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
โข ((๐ โง (๐ โช {๐}) โ (๐ ร ๐) โง ๐ โ ๐ต) โ ((๐ โ (๐ ร ๐) โฆ if(๐ = ๐, if(๐ โ ๐, 1 , 0 ), (๐โ๐))) โพ ({(1st โ๐)} ร ๐)) = (๐ โ ({(1st โ๐)} ร ๐) โฆ if(๐ = ๐, if(๐ โ ๐, 1 , 0 ), (๐โ๐)))) |
182 | 180, 181 | oveq12d 7369 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
โข ((๐ โง (๐ โช {๐}) โ (๐ ร ๐) โง ๐ โ ๐ต) โ (((๐ โ (๐ ร ๐) โฆ if((1st โ๐) = (1st โ๐), if(๐ = ๐, ((๐โ๐)(-gโ๐
)if(๐ โ ๐, 1 , 0 )), 0 ), (๐โ๐))) โพ ({(1st โ๐)} ร ๐)) โf + ((๐ โ (๐ ร ๐) โฆ if(๐ = ๐, if(๐ โ ๐, 1 , 0 ), (๐โ๐))) โพ ({(1st โ๐)} ร ๐))) = ((๐ โ ({(1st โ๐)} ร ๐) โฆ if((1st โ๐) = (1st โ๐), if(๐ = ๐, ((๐โ๐)(-gโ๐
)if(๐ โ ๐, 1 , 0 )), 0 ), (๐โ๐))) โf + (๐ โ ({(1st โ๐)} ร ๐) โฆ if(๐ = ๐, if(๐ โ ๐, 1 , 0 ), (๐โ๐))))) |
183 | 178, 179,
182 | 3eqtr4d 2787 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
โข ((๐ โง (๐ โช {๐}) โ (๐ ร ๐) โง ๐ โ ๐ต) โ ((๐ โ (๐ ร ๐) โฆ (๐โ๐)) โพ ({(1st โ๐)} ร ๐)) = (((๐ โ (๐ ร ๐) โฆ if((1st โ๐) = (1st โ๐), if(๐ = ๐, ((๐โ๐)(-gโ๐
)if(๐ โ ๐, 1 , 0 )), 0 ), (๐โ๐))) โพ ({(1st โ๐)} ร ๐)) โf + ((๐ โ (๐ ร ๐) โฆ if(๐ = ๐, if(๐ โ ๐, 1 , 0 ), (๐โ๐))) โพ ({(1st โ๐)} ร ๐)))) |
184 | 112, 183 | eqtrd 2777 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
โข ((๐ โง (๐ โช {๐}) โ (๐ ร ๐) โง ๐ โ ๐ต) โ (๐ โพ ({(1st โ๐)} ร ๐)) = (((๐ โ (๐ ร ๐) โฆ if((1st โ๐) = (1st โ๐), if(๐ = ๐, ((๐โ๐)(-gโ๐
)if(๐ โ ๐, 1 , 0 )), 0 ), (๐โ๐))) โพ ({(1st โ๐)} ร ๐)) โf + ((๐ โ (๐ ร ๐) โฆ if(๐ = ๐, if(๐ โ ๐, 1 , 0 ), (๐โ๐))) โพ ({(1st โ๐)} ร ๐)))) |
185 | 111 | reseq1d 5934 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
โข ((๐ โง (๐ โช {๐}) โ (๐ ร ๐) โง ๐ โ ๐ต) โ (๐ โพ ((๐ โ {(1st โ๐)}) ร ๐)) = ((๐ โ (๐ ร ๐) โฆ (๐โ๐)) โพ ((๐ โ {(1st โ๐)}) ร ๐))) |
186 | | xp1st 7945 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
โข (๐ โ ((๐ โ {(1st โ๐)}) ร ๐) โ (1st โ๐) โ (๐ โ {(1st โ๐)})) |
187 | | eldifsni 4748 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
โข
((1st โ๐) โ (๐ โ {(1st โ๐)}) โ (1st
โ๐) โ
(1st โ๐)) |
188 | 186, 187 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
โข (๐ โ ((๐ โ {(1st โ๐)}) ร ๐) โ (1st โ๐) โ (1st
โ๐)) |
189 | 188 | neneqd 2946 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
โข (๐ โ ((๐ โ {(1st โ๐)}) ร ๐) โ ยฌ (1st โ๐) = (1st โ๐)) |
190 | 189 | adantl 482 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
โข (((๐ โง (๐ โช {๐}) โ (๐ ร ๐) โง ๐ โ ๐ต) โง ๐ โ ((๐ โ {(1st โ๐)}) ร ๐)) โ ยฌ (1st โ๐) = (1st โ๐)) |
191 | 190 | iffalsed 4495 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
โข (((๐ โง (๐ โช {๐}) โ (๐ ร ๐) โง ๐ โ ๐ต) โง ๐ โ ((๐ โ {(1st โ๐)}) ร ๐)) โ if((1st โ๐) = (1st โ๐), if(๐ = ๐, ((๐โ๐)(-gโ๐
)if(๐ โ ๐, 1 , 0 )), 0 ), (๐โ๐)) = (๐โ๐)) |
192 | 191 | mpteq2dva 5203 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
โข ((๐ โง (๐ โช {๐}) โ (๐ ร ๐) โง ๐ โ ๐ต) โ (๐ โ ((๐ โ {(1st โ๐)}) ร ๐) โฆ if((1st โ๐) = (1st โ๐), if(๐ = ๐, ((๐โ๐)(-gโ๐
)if(๐ โ ๐, 1 , 0 )), 0 ), (๐โ๐))) = (๐ โ ((๐ โ {(1st โ๐)}) ร ๐) โฆ (๐โ๐))) |
193 | | difss 4089 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
โข (๐ โ {(1st
โ๐)}) โ ๐ |
194 | | xpss1 5650 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
โข ((๐ โ {(1st
โ๐)}) โ ๐ โ ((๐ โ {(1st โ๐)}) ร ๐) โ (๐ ร ๐)) |
195 | 193, 194 | ax-mp 5 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
โข ((๐ โ {(1st
โ๐)}) ร ๐) โ (๐ ร ๐) |
196 | | resmpt 5989 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
โข (((๐ โ {(1st
โ๐)}) ร ๐) โ (๐ ร ๐) โ ((๐ โ (๐ ร ๐) โฆ if((1st โ๐) = (1st โ๐), if(๐ = ๐, ((๐โ๐)(-gโ๐
)if(๐ โ ๐, 1 , 0 )), 0 ), (๐โ๐))) โพ ((๐ โ {(1st โ๐)}) ร ๐)) = (๐ โ ((๐ โ {(1st โ๐)}) ร ๐) โฆ if((1st โ๐) = (1st โ๐), if(๐ = ๐, ((๐โ๐)(-gโ๐
)if(๐ โ ๐, 1 , 0 )), 0 ), (๐โ๐)))) |
197 | 195, 196 | mp1i 13 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
โข ((๐ โง (๐ โช {๐}) โ (๐ ร ๐) โง ๐ โ ๐ต) โ ((๐ โ (๐ ร ๐) โฆ if((1st โ๐) = (1st โ๐), if(๐ = ๐, ((๐โ๐)(-gโ๐
)if(๐ โ ๐, 1 , 0 )), 0 ), (๐โ๐))) โพ ((๐ โ {(1st โ๐)}) ร ๐)) = (๐ โ ((๐ โ {(1st โ๐)}) ร ๐) โฆ if((1st โ๐) = (1st โ๐), if(๐ = ๐, ((๐โ๐)(-gโ๐
)if(๐ โ ๐, 1 , 0 )), 0 ), (๐โ๐)))) |
198 | | resmpt 5989 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
โข (((๐ โ {(1st
โ๐)}) ร ๐) โ (๐ ร ๐) โ ((๐ โ (๐ ร ๐) โฆ (๐โ๐)) โพ ((๐ โ {(1st โ๐)}) ร ๐)) = (๐ โ ((๐ โ {(1st โ๐)}) ร ๐) โฆ (๐โ๐))) |
199 | 195, 198 | mp1i 13 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
โข ((๐ โง (๐ โช {๐}) โ (๐ ร ๐) โง ๐ โ ๐ต) โ ((๐ โ (๐ ร ๐) โฆ (๐โ๐)) โพ ((๐ โ {(1st โ๐)}) ร ๐)) = (๐ โ ((๐ โ {(1st โ๐)}) ร ๐) โฆ (๐โ๐))) |
200 | 192, 197,
199 | 3eqtr4rd 2788 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
โข ((๐ โง (๐ โช {๐}) โ (๐ ร ๐) โง ๐ โ ๐ต) โ ((๐ โ (๐ ร ๐) โฆ (๐โ๐)) โพ ((๐ โ {(1st โ๐)}) ร ๐)) = ((๐ โ (๐ ร ๐) โฆ if((1st โ๐) = (1st โ๐), if(๐ = ๐, ((๐โ๐)(-gโ๐
)if(๐ โ ๐, 1 , 0 )), 0 ), (๐โ๐))) โพ ((๐ โ {(1st โ๐)}) ร ๐))) |
201 | 185, 200 | eqtrd 2777 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
โข ((๐ โง (๐ โช {๐}) โ (๐ ร ๐) โง ๐ โ ๐ต) โ (๐ โพ ((๐ โ {(1st โ๐)}) ร ๐)) = ((๐ โ (๐ ร ๐) โฆ if((1st โ๐) = (1st โ๐), if(๐ = ๐, ((๐โ๐)(-gโ๐
)if(๐ โ ๐, 1 , 0 )), 0 ), (๐โ๐))) โพ ((๐ โ {(1st โ๐)}) ร ๐))) |
202 | | fveq2 6839 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
โข (๐ = ๐ โ (1st โ๐) = (1st โ๐)) |
203 | 190, 202 | nsyl 140 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
โข (((๐ โง (๐ โช {๐}) โ (๐ ร ๐) โง ๐ โ ๐ต) โง ๐ โ ((๐ โ {(1st โ๐)}) ร ๐)) โ ยฌ ๐ = ๐) |
204 | 203 | iffalsed 4495 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
โข (((๐ โง (๐ โช {๐}) โ (๐ ร ๐) โง ๐ โ ๐ต) โง ๐ โ ((๐ โ {(1st โ๐)}) ร ๐)) โ if(๐ = ๐, if(๐ โ ๐, 1 , 0 ), (๐โ๐)) = (๐โ๐)) |
205 | 204 | mpteq2dva 5203 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
โข ((๐ โง (๐ โช {๐}) โ (๐ ร ๐) โง ๐ โ ๐ต) โ (๐ โ ((๐ โ {(1st โ๐)}) ร ๐) โฆ if(๐ = ๐, if(๐ โ ๐, 1 , 0 ), (๐โ๐))) = (๐ โ ((๐ โ {(1st โ๐)}) ร ๐) โฆ (๐โ๐))) |
206 | | resmpt 5989 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
โข (((๐ โ {(1st
โ๐)}) ร ๐) โ (๐ ร ๐) โ ((๐ โ (๐ ร ๐) โฆ if(๐ = ๐, if(๐ โ ๐, 1 , 0 ), (๐โ๐))) โพ ((๐ โ {(1st โ๐)}) ร ๐)) = (๐ โ ((๐ โ {(1st โ๐)}) ร ๐) โฆ if(๐ = ๐, if(๐ โ ๐, 1 , 0 ), (๐โ๐)))) |
207 | 195, 206 | mp1i 13 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
โข ((๐ โง (๐ โช {๐}) โ (๐ ร ๐) โง ๐ โ ๐ต) โ ((๐ โ (๐ ร ๐) โฆ if(๐ = ๐, if(๐ โ ๐, 1 , 0 ), (๐โ๐))) โพ ((๐ โ {(1st โ๐)}) ร ๐)) = (๐ โ ((๐ โ {(1st โ๐)}) ร ๐) โฆ if(๐ = ๐, if(๐ โ ๐, 1 , 0 ), (๐โ๐)))) |
208 | 205, 207,
199 | 3eqtr4rd 2788 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
โข ((๐ โง (๐ โช {๐}) โ (๐ ร ๐) โง ๐ โ ๐ต) โ ((๐ โ (๐ ร ๐) โฆ (๐โ๐)) โพ ((๐ โ {(1st โ๐)}) ร ๐)) = ((๐ โ (๐ ร ๐) โฆ if(๐ = ๐, if(๐ โ ๐, 1 , 0 ), (๐โ๐))) โพ ((๐ โ {(1st โ๐)}) ร ๐))) |
209 | 185, 208 | eqtrd 2777 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
โข ((๐ โง (๐ โช {๐}) โ (๐ ร ๐) โง ๐ โ ๐ต) โ (๐ โพ ((๐ โ {(1st โ๐)}) ร ๐)) = ((๐ โ (๐ ร ๐) โฆ if(๐ = ๐, if(๐ โ ๐, 1 , 0 ), (๐โ๐))) โพ ((๐ โ {(1st โ๐)}) ร ๐))) |
210 | 134 | adantr 481 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
โข (((๐ โง (๐ โช {๐}) โ (๐ ร ๐) โง ๐ โ ๐ต) โง ๐ โ (๐ ร ๐)) โ if(๐ โ ๐, 1 , 0 ) โ ๐พ) |
211 | 110 | ffvelcdmda 7031 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
โข (((๐ โง (๐ โช {๐}) โ (๐ ร ๐) โง ๐ โ ๐ต) โง ๐ โ (๐ ร ๐)) โ (๐โ๐) โ ๐พ) |
212 | 210, 211 | ifcld 4530 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
โข (((๐ โง (๐ โช {๐}) โ (๐ ร ๐) โง ๐ โ ๐ต) โง ๐ โ (๐ ร ๐)) โ if(๐ = ๐, if(๐ โ ๐, 1 , 0 ), (๐โ๐)) โ ๐พ) |
213 | 212 | fmpttd 7059 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
โข ((๐ โง (๐ โช {๐}) โ (๐ ร ๐) โง ๐ โ ๐ต) โ (๐ โ (๐ ร ๐) โฆ if(๐ = ๐, if(๐ โ ๐, 1 , 0 ), (๐โ๐))):(๐ ร ๐)โถ๐พ) |
214 | 12 | fvexi 6853 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
โข ๐พ โ V |
215 | 67 | anidms 567 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
โข (๐ โ Fin โ (๐ ร ๐) โ Fin) |
216 | 158, 215 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
โข ((๐ โง (๐ โช {๐}) โ (๐ ร ๐) โง ๐ โ ๐ต) โ (๐ ร ๐) โ Fin) |
217 | | elmapg 8736 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
โข ((๐พ โ V โง (๐ ร ๐) โ Fin) โ ((๐ โ (๐ ร ๐) โฆ if(๐ = ๐, if(๐ โ ๐, 1 , 0 ), (๐โ๐))) โ (๐พ โm (๐ ร ๐)) โ (๐ โ (๐ ร ๐) โฆ if(๐ = ๐, if(๐ โ ๐, 1 , 0 ), (๐โ๐))):(๐ ร ๐)โถ๐พ)) |
218 | 214, 216,
217 | sylancr 587 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
โข ((๐ โง (๐ โช {๐}) โ (๐ ร ๐) โง ๐ โ ๐ต) โ ((๐ โ (๐ ร ๐) โฆ if(๐ = ๐, if(๐ โ ๐, 1 , 0 ), (๐โ๐))) โ (๐พ โm (๐ ร ๐)) โ (๐ โ (๐ ร ๐) โฆ if(๐ = ๐, if(๐ โ ๐, 1 , 0 ), (๐โ๐))):(๐ ร ๐)โถ๐พ)) |
219 | 213, 218 | mpbird 256 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
โข ((๐ โง (๐ โช {๐}) โ (๐ ร ๐) โง ๐ โ ๐ต) โ (๐ โ (๐ ร ๐) โฆ if(๐ = ๐, if(๐ โ ๐, 1 , 0 ), (๐โ๐))) โ (๐พ โm (๐ ร ๐))) |
220 | 11, 12 | matbas2 21722 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
โข ((๐ โ Fin โง ๐
โ Ring) โ (๐พ โm (๐ ร ๐)) = (Baseโ๐ด)) |
221 | 158, 113,
220 | syl2anc 584 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
โข ((๐ โง (๐ โช {๐}) โ (๐ ร ๐) โง ๐ โ ๐ต) โ (๐พ โm (๐ ร ๐)) = (Baseโ๐ด)) |
222 | 221, 13 | eqtr4di 2795 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
โข ((๐ โง (๐ โช {๐}) โ (๐ ร ๐) โง ๐ โ ๐ต) โ (๐พ โm (๐ ร ๐)) = ๐ต) |
223 | 219, 222 | eleqtrd 2840 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
โข ((๐ โง (๐ โช {๐}) โ (๐ ร ๐) โง ๐ โ ๐ต) โ (๐ โ (๐ ร ๐) โฆ if(๐ = ๐, if(๐ โ ๐, 1 , 0 ), (๐โ๐))) โ ๐ต) |
224 | | simp3 1138 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
โข ((๐ โง (๐ โช {๐}) โ (๐ ร ๐) โง ๐ โ ๐ต) โ ๐ โ ๐ต) |
225 | 115 | adantr 481 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
โข (((๐ โง (๐ โช {๐}) โ (๐ ร ๐) โง ๐ โ ๐ต) โง ๐ โ (๐ ร ๐)) โ ๐
โ Grp) |
226 | 12, 136 | grpsubcl 18786 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
โข ((๐
โ Grp โง (๐โ๐) โ ๐พ โง if(๐ โ ๐, 1 , 0 ) โ ๐พ) โ ((๐โ๐)(-gโ๐
)if(๐ โ ๐, 1 , 0 )) โ ๐พ) |
227 | 225, 211,
210, 226 | syl3anc 1371 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
โข (((๐ โง (๐ โช {๐}) โ (๐ ร ๐) โง ๐ โ ๐ต) โง ๐ โ (๐ ร ๐)) โ ((๐โ๐)(-gโ๐
)if(๐ โ ๐, 1 , 0 )) โ ๐พ) |
228 | 133 | adantr 481 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
โข (((๐ โง (๐ โช {๐}) โ (๐ ร ๐) โง ๐ โ ๐ต) โง ๐ โ (๐ ร ๐)) โ 0 โ ๐พ) |
229 | 227, 228 | ifcld 4530 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
โข (((๐ โง (๐ โช {๐}) โ (๐ ร ๐) โง ๐ โ ๐ต) โง ๐ โ (๐ ร ๐)) โ if(๐ = ๐, ((๐โ๐)(-gโ๐
)if(๐ โ ๐, 1 , 0 )), 0 ) โ ๐พ) |
230 | 229, 211 | ifcld 4530 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
โข (((๐ โง (๐ โช {๐}) โ (๐ ร ๐) โง ๐ โ ๐ต) โง ๐ โ (๐ ร ๐)) โ if((1st โ๐) = (1st โ๐), if(๐ = ๐, ((๐โ๐)(-gโ๐
)if(๐ โ ๐, 1 , 0 )), 0 ), (๐โ๐)) โ ๐พ) |
231 | 230 | fmpttd 7059 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
โข ((๐ โง (๐ โช {๐}) โ (๐ ร ๐) โง ๐ โ ๐ต) โ (๐ โ (๐ ร ๐) โฆ if((1st โ๐) = (1st โ๐), if(๐ = ๐, ((๐โ๐)(-gโ๐
)if(๐ โ ๐, 1 , 0 )), 0 ), (๐โ๐))):(๐ ร ๐)โถ๐พ) |
232 | | elmapg 8736 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
โข ((๐พ โ V โง (๐ ร ๐) โ Fin) โ ((๐ โ (๐ ร ๐) โฆ if((1st โ๐) = (1st โ๐), if(๐ = ๐, ((๐โ๐)(-gโ๐
)if(๐ โ ๐, 1 , 0 )), 0 ), (๐โ๐))) โ (๐พ โm (๐ ร ๐)) โ (๐ โ (๐ ร ๐) โฆ if((1st โ๐) = (1st โ๐), if(๐ = ๐, ((๐โ๐)(-gโ๐
)if(๐ โ ๐, 1 , 0 )), 0 ), (๐โ๐))):(๐ ร ๐)โถ๐พ)) |
233 | 214, 216,
232 | sylancr 587 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
โข ((๐ โง (๐ โช {๐}) โ (๐ ร ๐) โง ๐ โ ๐ต) โ ((๐ โ (๐ ร ๐) โฆ if((1st โ๐) = (1st โ๐), if(๐ = ๐, ((๐โ๐)(-gโ๐
)if(๐ โ ๐, 1 , 0 )), 0 ), (๐โ๐))) โ (๐พ โm (๐ ร ๐)) โ (๐ โ (๐ ร ๐) โฆ if((1st โ๐) = (1st โ๐), if(๐ = ๐, ((๐โ๐)(-gโ๐
)if(๐ โ ๐, 1 , 0 )), 0 ), (๐โ๐))):(๐ ร ๐)โถ๐พ)) |
234 | 231, 233 | mpbird 256 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
โข ((๐ โง (๐ โช {๐}) โ (๐ ร ๐) โง ๐ โ ๐ต) โ (๐ โ (๐ ร ๐) โฆ if((1st โ๐) = (1st โ๐), if(๐ = ๐, ((๐โ๐)(-gโ๐
)if(๐ โ ๐, 1 , 0 )), 0 ), (๐โ๐))) โ (๐พ โm (๐ ร ๐))) |
235 | 234, 222 | eleqtrd 2840 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
โข ((๐ โง (๐ โช {๐}) โ (๐ ร ๐) โง ๐ โ ๐ต) โ (๐ โ (๐ ร ๐) โฆ if((1st โ๐) = (1st โ๐), if(๐ = ๐, ((๐โ๐)(-gโ๐
)if(๐ โ ๐, 1 , 0 )), 0 ), (๐โ๐))) โ ๐ต) |
236 | 55 | 3ad2ant1 1133 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
โข ((๐ โง (๐ โช {๐}) โ (๐ ร ๐) โง ๐ โ ๐ต) โ โ๐ฅ โ ๐ต โ๐ฆ โ ๐ต โ๐ง โ ๐ต โ๐ค โ ๐ (((๐ฅ โพ ({๐ค} ร ๐)) = ((๐ฆ โพ ({๐ค} ร ๐)) โf + (๐ง โพ ({๐ค} ร ๐))) โง (๐ฅ โพ ((๐ โ {๐ค}) ร ๐)) = (๐ฆ โพ ((๐ โ {๐ค}) ร ๐)) โง (๐ฅ โพ ((๐ โ {๐ค}) ร ๐)) = (๐ง โพ ((๐ โ {๐ค}) ร ๐))) โ (๐ทโ๐ฅ) = ((๐ทโ๐ฆ) + (๐ทโ๐ง)))) |
237 | | reseq1 5929 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
โข (๐ฅ = ๐ โ (๐ฅ โพ ({๐ค} ร ๐)) = (๐ โพ ({๐ค} ร ๐))) |
238 | 237 | eqeq1d 2739 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
โข (๐ฅ = ๐ โ ((๐ฅ โพ ({๐ค} ร ๐)) = ((๐ฆ โพ ({๐ค} ร ๐)) โf + (๐ง โพ ({๐ค} ร ๐))) โ (๐ โพ ({๐ค} ร ๐)) = ((๐ฆ โพ ({๐ค} ร ๐)) โf + (๐ง โพ ({๐ค} ร ๐))))) |
239 | | reseq1 5929 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
โข (๐ฅ = ๐ โ (๐ฅ โพ ((๐ โ {๐ค}) ร ๐)) = (๐ โพ ((๐ โ {๐ค}) ร ๐))) |
240 | 239 | eqeq1d 2739 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
โข (๐ฅ = ๐ โ ((๐ฅ โพ ((๐ โ {๐ค}) ร ๐)) = (๐ฆ โพ ((๐ โ {๐ค}) ร ๐)) โ (๐ โพ ((๐ โ {๐ค}) ร ๐)) = (๐ฆ โพ ((๐ โ {๐ค}) ร ๐)))) |
241 | 239 | eqeq1d 2739 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
โข (๐ฅ = ๐ โ ((๐ฅ โพ ((๐ โ {๐ค}) ร ๐)) = (๐ง โพ ((๐ โ {๐ค}) ร ๐)) โ (๐ โพ ((๐ โ {๐ค}) ร ๐)) = (๐ง โพ ((๐ โ {๐ค}) ร ๐)))) |
242 | 238, 240,
241 | 3anbi123d 1436 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
โข (๐ฅ = ๐ โ (((๐ฅ โพ ({๐ค} ร ๐)) = ((๐ฆ โพ ({๐ค} ร ๐)) โf + (๐ง โพ ({๐ค} ร ๐))) โง (๐ฅ โพ ((๐ โ {๐ค}) ร ๐)) = (๐ฆ โพ ((๐ โ {๐ค}) ร ๐)) โง (๐ฅ โพ ((๐ โ {๐ค}) ร ๐)) = (๐ง โพ ((๐ โ {๐ค}) ร ๐))) โ ((๐ โพ ({๐ค} ร ๐)) = ((๐ฆ โพ ({๐ค} ร ๐)) โf + (๐ง โพ ({๐ค} ร ๐))) โง (๐ โพ ((๐ โ {๐ค}) ร ๐)) = (๐ฆ โพ ((๐ โ {๐ค}) ร ๐)) โง (๐ โพ ((๐ โ {๐ค}) ร ๐)) = (๐ง โพ ((๐ โ {๐ค}) ร ๐))))) |
243 | | fveqeq2 6848 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
โข (๐ฅ = ๐ โ ((๐ทโ๐ฅ) = ((๐ทโ๐ฆ) + (๐ทโ๐ง)) โ (๐ทโ๐) = ((๐ทโ๐ฆ) + (๐ทโ๐ง)))) |
244 | 242, 243 | imbi12d 344 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
โข (๐ฅ = ๐ โ ((((๐ฅ โพ ({๐ค} ร ๐)) = ((๐ฆ โพ ({๐ค} ร ๐)) โf + (๐ง โพ ({๐ค} ร ๐))) โง (๐ฅ โพ ((๐ โ {๐ค}) ร ๐)) = (๐ฆ โพ ((๐ โ {๐ค}) ร ๐)) โง (๐ฅ โพ ((๐ โ {๐ค}) ร ๐)) = (๐ง โพ ((๐ โ {๐ค}) ร ๐))) โ (๐ทโ๐ฅ) = ((๐ทโ๐ฆ) + (๐ทโ๐ง))) โ (((๐ โพ ({๐ค} ร ๐)) = ((๐ฆ โพ ({๐ค} ร ๐)) โf + (๐ง โพ ({๐ค} ร ๐))) โง (๐ โพ ((๐ โ {๐ค}) ร ๐)) = (๐ฆ โพ ((๐ โ {๐ค}) ร ๐)) โง (๐ โพ ((๐ โ {๐ค}) ร ๐)) = (๐ง โพ ((๐ โ {๐ค}) ร ๐))) โ (๐ทโ๐) = ((๐ทโ๐ฆ) + (๐ทโ๐ง))))) |
245 | 244 | 2ralbidv 3210 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
โข (๐ฅ = ๐ โ (โ๐ง โ ๐ต โ๐ค โ ๐ (((๐ฅ โพ ({๐ค} ร ๐)) = ((๐ฆ โพ ({๐ค} ร ๐)) โf + (๐ง โพ ({๐ค} ร ๐))) โง (๐ฅ โพ ((๐ โ {๐ค}) ร ๐)) = (๐ฆ โพ ((๐ โ {๐ค}) ร ๐)) โง (๐ฅ โพ ((๐ โ {๐ค}) ร ๐)) = (๐ง โพ ((๐ โ {๐ค}) ร ๐))) โ (๐ทโ๐ฅ) = ((๐ทโ๐ฆ) + (๐ทโ๐ง))) โ โ๐ง โ ๐ต โ๐ค โ ๐ (((๐ โพ ({๐ค} ร ๐)) = ((๐ฆ โพ ({๐ค} ร ๐)) โf + (๐ง โพ ({๐ค} ร ๐))) โง (๐ โพ ((๐ โ {๐ค}) ร ๐)) = (๐ฆ โพ ((๐ โ {๐ค}) ร ๐)) โง (๐ โพ ((๐ โ {๐ค}) ร ๐)) = (๐ง โพ ((๐ โ {๐ค}) ร ๐))) โ (๐ทโ๐) = ((๐ทโ๐ฆ) + (๐ทโ๐ง))))) |
246 | | reseq1 5929 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
โข (๐ฆ = (๐ โ (๐ ร ๐) โฆ if((1st โ๐) = (1st โ๐), if(๐ = ๐, ((๐โ๐)(-gโ๐
)if(๐ โ ๐, 1 , 0 )), 0 ), (๐โ๐))) โ (๐ฆ โพ ({๐ค} ร ๐)) = ((๐ โ (๐ ร ๐) โฆ if((1st โ๐) = (1st โ๐), if(๐ = ๐, ((๐โ๐)(-gโ๐
)if(๐ โ ๐, 1 , 0 )), 0 ), (๐โ๐))) โพ ({๐ค} ร ๐))) |
247 | 246 | oveq1d 7366 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
โข (๐ฆ = (๐ โ (๐ ร ๐) โฆ if((1st โ๐) = (1st โ๐), if(๐ = ๐, ((๐โ๐)(-gโ๐
)if(๐ โ ๐, 1 , 0 )), 0 ), (๐โ๐))) โ ((๐ฆ โพ ({๐ค} ร ๐)) โf + (๐ง โพ ({๐ค} ร ๐))) = (((๐ โ (๐ ร ๐) โฆ if((1st โ๐) = (1st โ๐), if(๐ = ๐, ((๐โ๐)(-gโ๐
)if(๐ โ ๐, 1 , 0 )), 0 ), (๐โ๐))) โพ ({๐ค} ร ๐)) โf + (๐ง โพ ({๐ค} ร ๐)))) |
248 | 247 | eqeq2d 2748 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
โข (๐ฆ = (๐ โ (๐ ร ๐) โฆ if((1st โ๐) = (1st โ๐), if(๐ = ๐, ((๐โ๐)(-gโ๐
)if(๐ โ ๐, 1 , 0 )), 0 ), (๐โ๐))) โ ((๐ โพ ({๐ค} ร ๐)) = ((๐ฆ โพ ({๐ค} ร ๐)) โf + (๐ง โพ ({๐ค} ร ๐))) โ (๐ โพ ({๐ค} ร ๐)) = (((๐ โ (๐ ร ๐) โฆ if((1st โ๐) = (1st โ๐), if(๐ = ๐, ((๐โ๐)(-gโ๐
)if(๐ โ ๐, 1 , 0 )), 0 ), (๐โ๐))) โพ ({๐ค} ร ๐)) โf + (๐ง โพ ({๐ค} ร ๐))))) |
249 | | reseq1 5929 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
โข (๐ฆ = (๐ โ (๐ ร ๐) โฆ if((1st โ๐) = (1st โ๐), if(๐ = ๐, ((๐โ๐)(-gโ๐
)if(๐ โ ๐, 1 , 0 )), 0 ), (๐โ๐))) โ (๐ฆ โพ ((๐ โ {๐ค}) ร ๐)) = ((๐ โ (๐ ร ๐) โฆ if((1st โ๐) = (1st โ๐), if(๐ = ๐, ((๐โ๐)(-gโ๐
)if(๐ โ ๐, 1 , 0 )), 0 ), (๐โ๐))) โพ ((๐ โ {๐ค}) ร ๐))) |
250 | 249 | eqeq2d 2748 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
โข (๐ฆ = (๐ โ (๐ ร ๐) โฆ if((1st โ๐) = (1st โ๐), if(๐ = ๐, ((๐โ๐)(-gโ๐
)if(๐ โ ๐, 1 , 0 )), 0 ), (๐โ๐))) โ ((๐ โพ ((๐ โ {๐ค}) ร ๐)) = (๐ฆ โพ ((๐ โ {๐ค}) ร ๐)) โ (๐ โพ ((๐ โ {๐ค}) ร ๐)) = ((๐ โ (๐ ร ๐) โฆ if((1st โ๐) = (1st โ๐), if(๐ = ๐, ((๐โ๐)(-gโ๐
)if(๐ โ ๐, 1 , 0 )), 0 ), (๐โ๐))) โพ ((๐ โ {๐ค}) ร ๐)))) |
251 | 248, 250 | 3anbi12d 1437 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
โข (๐ฆ = (๐ โ (๐ ร ๐) โฆ if((1st โ๐) = (1st โ๐), if(๐ = ๐, ((๐โ๐)(-gโ๐
)if(๐ โ ๐, 1 , 0 )), 0 ), (๐โ๐))) โ (((๐ โพ ({๐ค} ร ๐)) = ((๐ฆ โพ ({๐ค} ร ๐)) โf + (๐ง โพ ({๐ค} ร ๐))) โง (๐ โพ ((๐ โ {๐ค}) ร ๐)) = (๐ฆ โพ ((๐ โ {๐ค}) ร ๐)) โง (๐ โพ ((๐ โ {๐ค}) ร ๐)) = (๐ง โพ ((๐ โ {๐ค}) ร ๐))) โ ((๐ โพ ({๐ค} ร ๐)) = (((๐ โ (๐ ร ๐) โฆ if((1st โ๐) = (1st โ๐), if(๐ = ๐, ((๐โ๐)(-gโ๐
)if(๐ โ ๐, 1 , 0 )), 0 ), (๐โ๐))) โพ ({๐ค} ร ๐)) โf + (๐ง โพ ({๐ค} ร ๐))) โง (๐ โพ ((๐ โ {๐ค}) ร ๐)) = ((๐ โ (๐ ร ๐) โฆ if((1st โ๐) = (1st โ๐), if(๐ = ๐, ((๐โ๐)(-gโ๐
)if(๐ โ ๐, 1 , 0 )), 0 ), (๐โ๐))) โพ ((๐ โ {๐ค}) ร ๐)) โง (๐ โพ ((๐ โ {๐ค}) ร ๐)) = (๐ง โพ ((๐ โ {๐ค}) ร ๐))))) |
252 | | fveq2 6839 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
โข (๐ฆ = (๐ โ (๐ ร ๐) โฆ if((1st โ๐) = (1st โ๐), if(๐ = ๐, ((๐โ๐)(-gโ๐
)if(๐ โ ๐, 1 , 0 )), 0 ), (๐โ๐))) โ (๐ทโ๐ฆ) = (๐ทโ(๐ โ (๐ ร ๐) โฆ if((1st โ๐) = (1st โ๐), if(๐ = ๐, ((๐โ๐)(-gโ๐
)if(๐ โ ๐, 1 , 0 )), 0 ), (๐โ๐))))) |
253 | 252 | oveq1d 7366 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
โข (๐ฆ = (๐ โ (๐ ร ๐) โฆ if((1st โ๐) = (1st โ๐), if(๐ = ๐, ((๐โ๐)(-gโ๐
)if(๐ โ ๐, 1 , 0 )), 0 ), (๐โ๐))) โ ((๐ทโ๐ฆ) + (๐ทโ๐ง)) = ((๐ทโ(๐ โ (๐ ร ๐) โฆ if((1st โ๐) = (1st โ๐), if(๐ = ๐, ((๐โ๐)(-gโ๐
)if(๐ โ ๐, 1 , 0 )), 0 ), (๐โ๐)))) + (๐ทโ๐ง))) |
254 | 253 | eqeq2d 2748 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
โข (๐ฆ = (๐ โ (๐ ร ๐) โฆ if((1st โ๐) = (1st โ๐), if(๐ = ๐, ((๐โ๐)(-gโ๐
)if(๐ โ ๐, 1 , 0 )), 0 ), (๐โ๐))) โ ((๐ทโ๐) = ((๐ทโ๐ฆ) + (๐ทโ๐ง)) โ (๐ทโ๐) = ((๐ทโ(๐ โ (๐ ร ๐) โฆ if((1st โ๐) = (1st โ๐), if(๐ = ๐, ((๐โ๐)(-gโ๐
)if(๐ โ ๐, 1 , 0 )), 0 ), (๐โ๐)))) + (๐ทโ๐ง)))) |
255 | 251, 254 | imbi12d 344 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
โข (๐ฆ = (๐ โ (๐ ร ๐) โฆ if((1st โ๐) = (1st โ๐), if(๐ = ๐, ((๐โ๐)(-gโ๐
)if(๐ โ ๐, 1 , 0 )), 0 ), (๐โ๐))) โ ((((๐ โพ ({๐ค} ร ๐)) = ((๐ฆ โพ ({๐ค} ร ๐)) โf + (๐ง โพ ({๐ค} ร ๐))) โง (๐ โพ ((๐ โ {๐ค}) ร ๐)) = (๐ฆ โพ ((๐ โ {๐ค}) ร ๐)) โง (๐ โพ ((๐ โ {๐ค}) ร ๐)) = (๐ง โพ ((๐ โ {๐ค}) ร ๐))) โ (๐ทโ๐) = ((๐ทโ๐ฆ) + (๐ทโ๐ง))) โ (((๐ โพ ({๐ค} ร ๐)) = (((๐ โ (๐ ร ๐) โฆ if((1st โ๐) = (1st โ๐), if(๐ = ๐, ((๐โ๐)(-gโ๐
)if(๐ โ ๐, 1 , 0 )), 0 ), (๐โ๐))) โพ ({๐ค} ร ๐)) โf + (๐ง โพ ({๐ค} ร ๐))) โง (๐ โพ ((๐ โ {๐ค}) ร ๐)) = ((๐ โ (๐ ร ๐) โฆ if((1st โ๐) = (1st โ๐), if(๐ = ๐, ((๐โ๐)(-gโ๐
)if(๐ โ ๐, 1 , 0 )), 0 ), (๐โ๐))) โพ ((๐ โ {๐ค}) ร ๐)) โง (๐ โพ ((๐ โ {๐ค}) ร ๐)) = (๐ง โพ ((๐ โ {๐ค}) ร ๐))) โ (๐ทโ๐) = ((๐ทโ(๐ โ (๐ ร ๐) โฆ if((1st โ๐) = (1st โ๐), if(๐ = ๐, ((๐โ๐)(-gโ๐
)if(๐ โ ๐, 1 , 0 )), 0 ), (๐โ๐)))) + (๐ทโ๐ง))))) |
256 | 255 | 2ralbidv 3210 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
โข (๐ฆ = (๐ โ (๐ ร ๐) โฆ if((1st โ๐) = (1st โ๐), if(๐ = ๐, ((๐โ๐)(-gโ๐
)if(๐ โ ๐, 1 , 0 )), 0 ), (๐โ๐))) โ (โ๐ง โ ๐ต โ๐ค โ ๐ (((๐ โพ ({๐ค} ร ๐)) = ((๐ฆ โพ ({๐ค} ร ๐)) โf + (๐ง โพ ({๐ค} ร ๐))) โง (๐ โพ ((๐ โ {๐ค}) ร ๐)) = (๐ฆ โพ ((๐ โ {๐ค}) ร ๐)) โง (๐ โพ ((๐ โ {๐ค}) ร ๐)) = (๐ง โพ ((๐ โ {๐ค}) ร ๐))) โ (๐ทโ๐) = ((๐ทโ๐ฆ) + (๐ทโ๐ง))) โ โ๐ง โ ๐ต โ๐ค โ ๐ (((๐ โพ ({๐ค} ร ๐)) = (((๐ โ (๐ ร ๐) โฆ if((1st โ๐) = (1st โ๐), if(๐ = ๐, ((๐โ๐)(-gโ๐
)if(๐ โ ๐, 1 , 0 )), 0 ), (๐โ๐))) โพ ({๐ค} ร ๐)) โf + (๐ง โพ ({๐ค} ร ๐))) โง (๐ โพ ((๐ โ {๐ค}) ร ๐)) = ((๐ โ (๐ ร ๐) โฆ if((1st โ๐) = (1st โ๐), if(๐ = ๐, ((๐โ๐)(-gโ๐
)if(๐ โ ๐, 1 , 0 )), 0 ), (๐โ๐))) โพ ((๐ โ {๐ค}) ร ๐)) โง (๐ โพ ((๐ โ {๐ค}) ร ๐)) = (๐ง โพ ((๐ โ {๐ค}) ร ๐))) โ (๐ทโ๐) = ((๐ทโ(๐ โ (๐ ร ๐) โฆ if((1st โ๐) = (1st โ๐), if(๐ = ๐, ((๐โ๐)(-gโ๐
)if(๐ โ ๐, 1 , 0 )), 0 ), (๐โ๐)))) + (๐ทโ๐ง))))) |
257 | 245, 256 | rspc2va 3589 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
โข (((๐ โ ๐ต โง (๐ โ (๐ ร ๐) โฆ if((1st โ๐) = (1st โ๐), if(๐ = ๐, ((๐โ๐)(-gโ๐
)if(๐ โ ๐, 1 , 0 )), 0 ), (๐โ๐))) โ ๐ต) โง โ๐ฅ โ ๐ต โ๐ฆ โ ๐ต โ๐ง โ ๐ต โ๐ค โ ๐ (((๐ฅ โพ ({๐ค} ร ๐)) = ((๐ฆ โพ ({๐ค} ร ๐)) โf + (๐ง โพ ({๐ค} ร ๐))) โง (๐ฅ โพ ((๐ โ {๐ค}) ร ๐)) = (๐ฆ โพ ((๐ โ {๐ค}) ร ๐)) โง (๐ฅ โพ ((๐ โ {๐ค}) ร ๐)) = (๐ง โพ ((๐ โ {๐ค}) ร ๐))) โ (๐ทโ๐ฅ) = ((๐ทโ๐ฆ) + (๐ทโ๐ง)))) โ โ๐ง โ ๐ต โ๐ค โ ๐ (((๐ โพ ({๐ค} ร ๐)) = (((๐ โ (๐ ร ๐) โฆ if((1st โ๐) = (1st โ๐), if(๐ = ๐, ((๐โ๐)(-gโ๐
)if(๐ โ ๐, 1 , 0 )), 0 ), (๐โ๐))) โพ ({๐ค} ร ๐)) โf + (๐ง โพ ({๐ค} ร ๐))) โง (๐ โพ ((๐ โ {๐ค}) ร ๐)) = ((๐ โ (๐ ร ๐) โฆ if((1st โ๐) = (1st โ๐), if(๐ = ๐, ((๐โ๐)(-gโ๐
)if(๐ โ ๐, 1 , 0 )), 0 ), (๐โ๐))) โพ ((๐ โ {๐ค}) ร ๐)) โง (๐ โพ ((๐ โ {๐ค}) ร ๐)) = (๐ง โพ ((๐ โ {๐ค}) ร ๐))) โ (๐ทโ๐) = ((๐ทโ(๐ โ (๐ ร ๐) โฆ if((1st โ๐) = (1st โ๐), if(๐ = ๐, ((๐โ๐)(-gโ๐
)if(๐ โ ๐, 1 , 0 )), 0 ), (๐โ๐)))) + (๐ทโ๐ง)))) |
258 | 224, 235,
236, 257 | syl21anc 836 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
โข ((๐ โง (๐ โช {๐}) โ (๐ ร ๐) โง ๐ โ ๐ต) โ โ๐ง โ ๐ต โ๐ค โ ๐ (((๐ โพ ({๐ค} ร ๐)) = (((๐ โ (๐ ร ๐) โฆ if((1st โ๐) = (1st โ๐), if(๐ = ๐, ((๐โ๐)(-gโ๐
)if(๐ โ ๐, 1 , 0 )), 0 ), (๐โ๐))) โพ ({๐ค} ร ๐)) โf + (๐ง โพ ({๐ค} ร ๐))) โง (๐ โพ ((๐ โ {๐ค}) ร ๐)) = ((๐ โ (๐ ร ๐) โฆ if((1st โ๐) = (1st โ๐), if(๐ = ๐, ((๐โ๐)(-gโ๐
)if(๐ โ ๐, 1 , 0 )), 0 ), (๐โ๐))) โพ ((๐ โ {๐ค}) ร ๐)) โง (๐ โพ ((๐ โ {๐ค}) ร ๐)) = (๐ง โพ ((๐ โ {๐ค}) ร ๐))) โ (๐ทโ๐) = ((๐ทโ(๐ โ (๐ ร ๐) โฆ if((1st โ๐) = (1st โ๐), if(๐ = ๐, ((๐โ๐)(-gโ๐
)if(๐ โ ๐, 1 , 0 )), 0 ), (๐โ๐)))) + (๐ทโ๐ง)))) |
259 | | reseq1 5929 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
โข (๐ง = (๐ โ (๐ ร ๐) โฆ if(๐ = ๐, if(๐ โ ๐, 1 , 0 ), (๐โ๐))) โ (๐ง โพ ({๐ค} ร ๐)) = ((๐ โ (๐ ร ๐) โฆ if(๐ = ๐, if(๐ โ ๐, 1 , 0 ), (๐โ๐))) โพ ({๐ค} ร ๐))) |
260 | 259 | oveq2d 7367 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
โข (๐ง = (๐ โ (๐ ร ๐) โฆ if(๐ = ๐, if(๐ โ ๐, 1 , 0 ), (๐โ๐))) โ (((๐ โ (๐ ร ๐) โฆ if((1st โ๐) = (1st โ๐), if(๐ = ๐, ((๐โ๐)(-gโ๐
)if(๐ โ ๐, 1 , 0 )), 0 ), (๐โ๐))) โพ ({๐ค} ร ๐)) โf + (๐ง โพ ({๐ค} ร ๐))) = (((๐ โ (๐ ร ๐) โฆ if((1st โ๐) = (1st โ๐), if(๐ = ๐, ((๐โ๐)(-gโ๐
)if(๐ โ ๐, 1 , 0 )), 0 ), (๐โ๐))) โพ ({๐ค} ร ๐)) โf + ((๐ โ (๐ ร ๐) โฆ if(๐ = ๐, if(๐ โ ๐, 1 , 0 ), (๐โ๐))) โพ ({๐ค} ร ๐)))) |
261 | 260 | eqeq2d 2748 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
โข (๐ง = (๐ โ (๐ ร ๐) โฆ if(๐ = ๐, if(๐ โ ๐, 1 , 0 ), (๐โ๐))) โ ((๐ โพ ({๐ค} ร ๐)) = (((๐ โ (๐ ร ๐) โฆ if((1st โ๐) = (1st โ๐), if(๐ = ๐, ((๐โ๐)(-gโ๐
)if(๐ โ ๐, 1 , 0 )), 0 ), (๐โ๐))) โพ ({๐ค} ร ๐)) โf + (๐ง โพ ({๐ค} ร ๐))) โ (๐ โพ ({๐ค} ร ๐)) = (((๐ โ (๐ ร ๐) โฆ if((1st โ๐) = (1st โ๐), if(๐ = ๐, ((๐โ๐)(-gโ๐
)if(๐ โ ๐, 1 , 0 )), 0 ), (๐โ๐))) โพ ({๐ค} ร ๐)) โf + ((๐ โ (๐ ร ๐) โฆ if(๐ = ๐, if(๐ โ ๐, 1 , 0 ), (๐โ๐))) โพ ({๐ค} ร ๐))))) |
262 | | reseq1 5929 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
โข (๐ง = (๐ โ (๐ ร ๐) โฆ if(๐ = ๐, if(๐ โ ๐, 1 , 0 ), (๐โ๐))) โ (๐ง โพ ((๐ โ {๐ค}) ร ๐)) = ((๐ โ (๐ ร ๐) โฆ if(๐ = ๐, if(๐ โ ๐, 1 , 0 ), (๐โ๐))) โพ ((๐ โ {๐ค}) ร ๐))) |
263 | 262 | eqeq2d 2748 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
โข (๐ง = (๐ โ (๐ ร ๐) โฆ if(๐ = ๐, if(๐ โ ๐, 1 , 0 ), (๐โ๐))) โ ((๐ โพ ((๐ โ {๐ค}) ร ๐)) = (๐ง โพ ((๐ โ {๐ค}) ร ๐)) โ (๐ โพ ((๐ โ {๐ค}) ร ๐)) = ((๐ โ (๐ ร ๐) โฆ if(๐ = ๐, if(๐ โ ๐, 1 , 0 ), (๐โ๐))) โพ ((๐ โ {๐ค}) ร ๐)))) |
264 | 261, 263 | 3anbi13d 1438 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
โข (๐ง = (๐ โ (๐ ร ๐) โฆ if(๐ = ๐, if(๐ โ ๐, 1 , 0 ), (๐โ๐))) โ (((๐ โพ ({๐ค} ร ๐)) = (((๐ โ (๐ ร ๐) โฆ if((1st โ๐) = (1st โ๐), if(๐ = ๐, ((๐โ๐)(-gโ๐
)if(๐ โ ๐, 1 , 0 )), 0 ), (๐โ๐))) โพ ({๐ค} ร ๐)) โf + (๐ง โพ ({๐ค} ร ๐))) โง (๐ โพ ((๐ โ {๐ค}) ร ๐)) = ((๐ โ (๐ ร ๐) โฆ if((1st โ๐) = (1st โ๐), if(๐ = ๐, ((๐โ๐)(-gโ๐
)if(๐ โ ๐, 1 , 0 )), 0 ), (๐โ๐))) โพ ((๐ โ {๐ค}) ร ๐)) โง (๐ โพ ((๐ โ {๐ค}) ร ๐)) = (๐ง โพ ((๐ โ {๐ค}) ร ๐))) โ ((๐ โพ ({๐ค} ร ๐)) = (((๐ โ (๐ ร ๐) โฆ if((1st โ๐) = (1st โ๐), if(๐ = ๐, ((๐โ๐)(-gโ๐
)if(๐ โ ๐, 1 , 0 )), 0 ), (๐โ๐))) โพ ({๐ค} ร ๐)) โf + ((๐ โ (๐ ร ๐) โฆ if(๐ = ๐, if(๐ โ ๐, 1 , 0 ), (๐โ๐))) โพ ({๐ค} ร ๐))) โง (๐ โพ ((๐ โ {๐ค}) ร ๐)) = ((๐ โ (๐ ร ๐) โฆ if((1st โ๐) = (1st โ๐), if(๐ = ๐, ((๐โ๐)(-gโ๐
)if(๐ โ ๐, 1 , 0 )), 0 ), (๐โ๐))) โพ ((๐ โ {๐ค}) ร ๐)) โง (๐ โพ ((๐ โ {๐ค}) ร ๐)) = ((๐ โ (๐ ร ๐) โฆ if(๐ = ๐, if(๐ โ ๐, 1 , 0 ), (๐โ๐))) โพ ((๐ โ {๐ค}) ร ๐))))) |
265 | | fveq2 6839 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
โข (๐ง = (๐ โ (๐ ร ๐) โฆ if(๐ = ๐, if(๐ โ ๐, 1 , 0 ), (๐โ๐))) โ (๐ทโ๐ง) = (๐ทโ(๐ โ (๐ ร ๐) โฆ if(๐ = ๐, if(๐ โ ๐, 1 , 0 ), (๐โ๐))))) |
266 | 265 | oveq2d 7367 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
โข (๐ง = (๐ โ (๐ ร ๐) โฆ if(๐ = ๐, if(๐ โ ๐, 1 , 0 ), (๐โ๐))) โ ((๐ทโ(๐ โ (๐ ร ๐) โฆ if((1st โ๐) = (1st โ๐), if(๐ = ๐, ((๐โ๐)(-gโ๐
)if(๐ โ ๐, 1 , 0 )), 0 ), (๐โ๐)))) + (๐ทโ๐ง)) = ((๐ทโ(๐ โ (๐ ร ๐) โฆ if((1st โ๐) = (1st โ๐), if(๐ = ๐, ((๐โ๐)(-gโ๐
)if(๐ โ ๐, 1 , 0 )), 0 ), (๐โ๐)))) + (๐ทโ(๐ โ (๐ ร ๐) โฆ if(๐ = ๐, if(๐ โ ๐, 1 , 0 ), (๐โ๐)))))) |
267 | 266 | eqeq2d 2748 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
โข (๐ง = (๐ โ (๐ ร ๐) โฆ if(๐ = ๐, if(๐ โ ๐, 1 , 0 ), (๐โ๐))) โ ((๐ทโ๐) = ((๐ทโ(๐ โ (๐ ร ๐) โฆ if((1st โ๐) = (1st โ๐), if(๐ = ๐, ((๐โ๐)(-gโ๐
)if(๐ โ ๐, 1 , 0 )), 0 ), (๐โ๐)))) + (๐ทโ๐ง)) โ (๐ทโ๐) = ((๐ทโ(๐ โ (๐ ร ๐) โฆ if((1st โ๐) = (1st โ๐), if(๐ = ๐, ((๐โ๐)(-gโ๐
)if(๐ โ ๐, 1 , 0 )), 0 ), (๐โ๐)))) + (๐ทโ(๐ โ (๐ ร ๐) โฆ if(๐ = ๐, if(๐ โ ๐, 1 , 0 ), (๐โ๐))))))) |
268 | 264, 267 | imbi12d 344 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
โข (๐ง = (๐ โ (๐ ร ๐) โฆ if(๐ = ๐, if(๐ โ ๐, 1 , 0 ), (๐โ๐))) โ ((((๐ โพ ({๐ค} ร ๐)) = (((๐ โ (๐ ร ๐) โฆ if((1st โ๐) = (1st โ๐), if(๐ = ๐, ((๐โ๐)(-gโ๐
)if(๐ โ ๐, 1 , 0 )), 0 ), (๐โ๐))) โพ ({๐ค} ร ๐)) โf + (๐ง โพ ({๐ค} ร ๐))) โง (๐ โพ ((๐ โ {๐ค}) ร ๐)) = ((๐ โ (๐ ร ๐) โฆ if((1st โ๐) = (1st โ๐), if(๐ = ๐, ((๐โ๐)(-gโ๐
)if(๐ โ ๐, 1 , 0 )), 0 ), (๐โ๐))) โพ ((๐ โ {๐ค}) ร ๐)) โง (๐ โพ ((๐ โ {๐ค}) ร ๐)) = (๐ง โพ ((๐ โ {๐ค}) ร ๐))) โ (๐ทโ๐) = ((๐ทโ(๐ โ (๐ ร ๐) โฆ if((1st โ๐) = (1st โ๐), if(๐ = ๐, ((๐โ๐)(-gโ๐
)if(๐ โ ๐, 1 , 0 )), 0 ), (๐โ๐)))) + (๐ทโ๐ง))) โ (((๐ โพ ({๐ค} ร ๐)) = (((๐ โ (๐ ร ๐) โฆ if((1st โ๐) = (1st โ๐), if(๐ = ๐, ((๐โ๐)(-gโ๐
)if(๐ โ ๐, 1 , 0 )), 0 ), (๐โ๐))) โพ ({๐ค} ร ๐)) โf + ((๐ โ (๐ ร ๐) โฆ if(๐ = ๐, if(๐ โ ๐, 1 , 0 ), (๐โ๐))) โพ ({๐ค} ร ๐))) โง (๐ โพ ((๐ โ {๐ค}) ร ๐)) = ((๐ โ (๐ ร ๐) โฆ if((1st โ๐) = (1st โ๐), if(๐ = ๐, ((๐โ๐)(-gโ๐
)if(๐ โ ๐, 1 , 0 )), 0 ), (๐โ๐))) โพ ((๐ โ {๐ค}) ร ๐)) โง (๐ โพ ((๐ โ {๐ค}) ร ๐)) = ((๐ โ (๐ ร ๐) โฆ if(๐ = ๐, if(๐ โ ๐, 1 , 0 ), (๐โ๐))) โพ ((๐ โ {๐ค}) ร ๐))) โ (๐ทโ๐) = ((๐ทโ(๐ โ (๐ ร ๐) โฆ if((1st โ๐) = (1st โ๐), if(๐ = ๐, ((๐โ๐)(-gโ๐
)if(๐ โ ๐, 1 , 0 )), 0 ), (๐โ๐)))) + (๐ทโ(๐ โ (๐ ร ๐) โฆ if(๐ = ๐, if(๐ โ ๐, 1 , 0 ), (๐โ๐)))))))) |
269 | | sneq 4594 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
โข (๐ค = (1st โ๐) โ {๐ค} = {(1st โ๐)}) |
270 | 269 | xpeq1d 5660 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
โข (๐ค = (1st โ๐) โ ({๐ค} ร ๐) = ({(1st โ๐)} ร ๐)) |
271 | 270 | reseq2d 5935 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
โข (๐ค = (1st โ๐) โ (๐ โพ ({๐ค} ร ๐)) = (๐ โพ ({(1st โ๐)} ร ๐))) |
272 | 270 | reseq2d 5935 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
โข (๐ค = (1st โ๐) โ ((๐ โ (๐ ร ๐) โฆ if((1st โ๐) = (1st โ๐), if(๐ = ๐, ((๐โ๐)(-gโ๐
)if(๐ โ ๐, 1 , 0 )), 0 ), (๐โ๐))) โพ ({๐ค} ร ๐)) = ((๐ โ (๐ ร ๐) โฆ if((1st โ๐) = (1st โ๐), if(๐ = ๐, ((๐โ๐)(-gโ๐
)if(๐ โ ๐, 1 , 0 )), 0 ), (๐โ๐))) โพ ({(1st โ๐)} ร ๐))) |
273 | 270 | reseq2d 5935 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
โข (๐ค = (1st โ๐) โ ((๐ โ (๐ ร ๐) โฆ if(๐ = ๐, if(๐ โ ๐, 1 , 0 ), (๐โ๐))) โพ ({๐ค} ร ๐)) = ((๐ โ (๐ ร ๐) โฆ if(๐ = ๐, if(๐ โ ๐, 1 , 0 ), (๐โ๐))) โพ ({(1st โ๐)} ร ๐))) |
274 | 272, 273 | oveq12d 7369 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
โข (๐ค = (1st โ๐) โ (((๐ โ (๐ ร ๐) โฆ if((1st โ๐) = (1st โ๐), if(๐ = ๐, ((๐โ๐)(-gโ๐
)if(๐ โ ๐, 1 , 0 )), 0 ), (๐โ๐))) โพ ({๐ค} ร ๐)) โf + ((๐ โ (๐ ร ๐) โฆ if(๐ = ๐, if(๐ โ ๐, 1 , 0 ), (๐โ๐))) โพ ({๐ค} ร ๐))) = (((๐ โ (๐ ร ๐) โฆ if((1st โ๐) = (1st โ๐), if(๐ = ๐, ((๐โ๐)(-gโ๐
)if(๐ โ ๐, 1 , 0 )), 0 ), (๐โ๐))) โพ ({(1st โ๐)} ร ๐)) โf + ((๐ โ (๐ ร ๐) โฆ if(๐ = ๐, if(๐ โ ๐, 1 , 0 ), (๐โ๐))) โพ ({(1st โ๐)} ร ๐)))) |
275 | 271, 274 | eqeq12d 2753 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
โข (๐ค = (1st โ๐) โ ((๐ โพ ({๐ค} ร ๐)) = (((๐ โ (๐ ร ๐) โฆ if((1st โ๐) = (1st โ๐), if(๐ = ๐, ((๐โ๐)(-gโ๐
)if(๐ โ ๐, 1 , 0 )), 0 ), (๐โ๐))) โพ ({๐ค} ร ๐)) โf + ((๐ โ (๐ ร ๐) โฆ if(๐ = ๐, if(๐ โ ๐, 1 , 0 ), (๐โ๐))) โพ ({๐ค} ร ๐))) โ (๐ โพ ({(1st โ๐)} ร ๐)) = (((๐ โ (๐ ร ๐) โฆ if((1st โ๐) = (1st โ๐), if(๐ = ๐, ((๐โ๐)(-gโ๐
)if(๐ โ ๐, 1 , 0 )), 0 ), (๐โ๐))) โพ ({(1st โ๐)} ร ๐)) โf + ((๐ โ (๐ ร ๐) โฆ if(๐ = ๐, if(๐ โ ๐, 1 , 0 ), (๐โ๐))) โพ ({(1st โ๐)} ร ๐))))) |
276 | 269 | difeq2d 4080 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
โข (๐ค = (1st โ๐) โ (๐ โ {๐ค}) = (๐ โ {(1st โ๐)})) |
277 | 276 | xpeq1d 5660 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
โข (๐ค = (1st โ๐) โ ((๐ โ {๐ค}) ร ๐) = ((๐ โ {(1st โ๐)}) ร ๐)) |
278 | 277 | reseq2d 5935 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
โข (๐ค = (1st โ๐) โ (๐ โพ ((๐ โ {๐ค}) ร ๐)) = (๐ โพ ((๐ โ {(1st โ๐)}) ร ๐))) |
279 | 277 | reseq2d 5935 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
โข (๐ค = (1st โ๐) โ ((๐ โ (๐ ร ๐) โฆ if((1st โ๐) = (1st โ๐), if(๐ = ๐, ((๐โ๐)(-gโ๐
)if(๐ โ ๐, 1 , 0 )), 0 ), (๐โ๐))) โพ ((๐ โ {๐ค}) ร ๐)) = ((๐ โ (๐ ร ๐) โฆ if((1st โ๐) = (1st โ๐), if(๐ = ๐, ((๐โ๐)(-gโ๐
)if(๐ โ ๐, 1 , 0 )), 0 ), (๐โ๐))) โพ ((๐ โ {(1st โ๐)}) ร ๐))) |
280 | 278, 279 | eqeq12d 2753 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
โข (๐ค = (1st โ๐) โ ((๐ โพ ((๐ โ {๐ค}) ร ๐)) = ((๐ โ (๐ ร ๐) โฆ if((1st โ๐) = (1st โ๐), if(๐ = ๐, ((๐โ๐)(-gโ๐
)if(๐ โ ๐, 1 , 0 )), 0 ), (๐โ๐))) โพ ((๐ โ {๐ค}) ร ๐)) โ (๐ โพ ((๐ โ {(1st โ๐)}) ร ๐)) = ((๐ โ (๐ ร ๐) โฆ if((1st โ๐) = (1st โ๐), if(๐ = ๐, ((๐โ๐)(-gโ๐
)if(๐ โ ๐, 1 , 0 )), 0 ), (๐โ๐))) โพ ((๐ โ {(1st โ๐)}) ร ๐)))) |
281 | 277 | reseq2d 5935 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
โข (๐ค = (1st โ๐) โ ((๐ โ (๐ ร ๐) โฆ if(๐ = ๐, if(๐ โ ๐, 1 , 0 ), (๐โ๐))) โพ ((๐ โ {๐ค}) ร ๐)) = ((๐ โ (๐ ร ๐) โฆ if(๐ = ๐, if(๐ โ ๐, 1 , 0 ), (๐โ๐))) โพ ((๐ โ {(1st โ๐)}) ร ๐))) |
282 | 278, 281 | eqeq12d 2753 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
โข (๐ค = (1st โ๐) โ ((๐ โพ ((๐ โ {๐ค}) ร ๐)) = ((๐ โ (๐ ร ๐) โฆ if(๐ = ๐, if(๐ โ ๐, 1 , 0 ), (๐โ๐))) โพ ((๐ โ {๐ค}) ร ๐)) โ (๐ โพ ((๐ โ {(1st โ๐)}) ร ๐)) = ((๐ โ (๐ ร ๐) โฆ if(๐ = ๐, if(๐ โ ๐, 1 , 0 ), (๐โ๐))) โพ ((๐ โ {(1st โ๐)}) ร ๐)))) |
283 | 275, 280,
282 | 3anbi123d 1436 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
โข (๐ค = (1st โ๐) โ (((๐ โพ ({๐ค} ร ๐)) = (((๐ โ (๐ ร ๐) โฆ if((1st โ๐) = (1st โ๐), if(๐ = ๐, ((๐โ๐)(-gโ๐
)if(๐ โ ๐, 1 , 0 )), 0 ), (๐โ๐))) โพ ({๐ค} ร ๐)) โf + ((๐ โ (๐ ร ๐) โฆ if(๐ = ๐, if(๐ โ ๐, 1 , 0 ), (๐โ๐))) โพ ({๐ค} ร ๐))) โง (๐ โพ ((๐ โ {๐ค}) ร ๐)) = ((๐ โ (๐ ร ๐) โฆ if((1st โ๐) = (1st โ๐), if(๐ = ๐, ((๐โ๐)(-gโ๐
)if(๐ โ ๐, 1 , 0 )), 0 ), (๐โ๐))) โพ ((๐ โ {๐ค}) ร ๐)) โง (๐ โพ ((๐ โ {๐ค}) ร ๐)) = ((๐ โ (๐ ร ๐) โฆ if(๐ = ๐, if(๐ โ ๐, 1 , 0 ), (๐โ๐))) โพ ((๐ โ {๐ค}) ร ๐))) โ ((๐ โพ ({(1st โ๐)} ร ๐)) = (((๐ โ (๐ ร ๐) โฆ if((1st โ๐) = (1st โ๐), if(๐ = ๐, ((๐โ๐)(-gโ๐
)if(๐ โ ๐, 1 , 0 )), 0 ), (๐โ๐))) โพ ({(1st โ๐)} ร ๐)) โf + ((๐ โ (๐ ร ๐) โฆ if(๐ = ๐, if(๐ โ ๐, 1 , 0 ), (๐โ๐))) โพ ({(1st โ๐)} ร ๐))) โง (๐ โพ ((๐ โ {(1st โ๐)}) ร ๐)) = ((๐ โ (๐ ร ๐) โฆ if((1st โ๐) = (1st โ๐), if(๐ = ๐, ((๐โ๐)(-gโ๐
)if(๐ โ ๐, 1 , 0 )), 0 ), (๐โ๐))) โพ ((๐ โ {(1st โ๐)}) ร ๐)) โง (๐ โพ ((๐ โ {(1st โ๐)}) ร ๐)) = ((๐ โ (๐ ร ๐) โฆ if(๐ = ๐, if(๐ โ ๐, 1 , 0 ), (๐โ๐))) โพ ((๐ โ {(1st โ๐)}) ร ๐))))) |
284 | 283 | imbi1d 341 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
โข (๐ค = (1st โ๐) โ ((((๐ โพ ({๐ค} ร ๐)) = (((๐ โ (๐ ร ๐) โฆ if((1st โ๐) = (1st โ๐), if(๐ = ๐, ((๐โ๐)(-gโ๐
)if(๐ โ ๐, 1 , 0 )), 0 ), (๐โ๐))) โพ ({๐ค} ร ๐)) โf + ((๐ โ (๐ ร ๐) โฆ if(๐ = ๐, if(๐ โ ๐, 1 , 0 ), (๐โ๐))) โพ ({๐ค} ร ๐))) โง (๐ โพ ((๐ โ {๐ค}) ร ๐)) = ((๐ โ (๐ ร ๐) โฆ if((1st โ๐) = (1st โ๐), if(๐ = ๐, ((๐โ๐)(-gโ๐
)if(๐ โ ๐, 1 , 0 )), 0 ), (๐โ๐))) โพ ((๐ โ {๐ค}) ร ๐)) โง (๐ โพ ((๐ โ {๐ค}) ร ๐)) = ((๐ โ (๐ ร ๐) โฆ if(๐ = ๐, if(๐ โ ๐, 1 , 0 ), (๐โ๐))) โพ ((๐ โ {๐ค}) ร ๐))) โ (๐ทโ๐) = ((๐ทโ(๐ โ (๐ ร ๐) โฆ if((1st โ๐) = (1st โ๐), if(๐ = ๐, ((๐โ๐)(-gโ๐
)if(๐ โ ๐, 1 , 0 )), 0 ), (๐โ๐)))) + (๐ทโ(๐ โ (๐ ร ๐) โฆ if(๐ = ๐, if(๐ โ ๐, 1 , 0 ), (๐โ๐)))))) โ (((๐ โพ ({(1st โ๐)} ร ๐)) = (((๐ โ (๐ ร ๐) โฆ if((1st โ๐) = (1st โ๐), if(๐ = ๐, ((๐โ๐)(-gโ๐
)if(๐ โ ๐, 1 , 0 )), 0 ), (๐โ๐))) โพ ({(1st โ๐)} ร ๐)) โf + ((๐ โ (๐ ร ๐) โฆ if(๐ = ๐, if(๐ โ ๐, 1 , 0 ), (๐โ๐))) โพ ({(1st โ๐)} ร ๐))) โง (๐ โพ ((๐ โ {(1st โ๐)}) ร ๐)) = ((๐ โ (๐ ร ๐) โฆ if((1st โ๐) = (1st โ๐), if(๐ = ๐, ((๐โ๐)(-gโ๐
)if(๐ โ ๐, 1 , 0 )), 0 ), (๐โ๐))) โพ ((๐ โ {(1st โ๐)}) ร ๐)) โง (๐ โพ ((๐ โ {(1st โ๐)}) ร ๐)) = ((๐ โ (๐ ร ๐) โฆ if(๐ = ๐, if(๐ โ ๐, 1 , 0 ), (๐โ๐))) โพ ((๐ โ {(1st โ๐)}) ร ๐))) โ (๐ทโ๐) = ((๐ทโ(๐ โ (๐ ร ๐) โฆ if((1st โ๐) = (1st โ๐), if(๐ = ๐, ((๐โ๐)(-gโ๐
)if(๐ โ ๐, 1 , 0 )), 0 ), (๐โ๐)))) + (๐ทโ(๐ โ (๐ ร ๐) โฆ if(๐ = ๐, if(๐ โ ๐, 1 , 0 ), (๐โ๐)))))))) |
285 | 268, 284 | rspc2va 3589 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
โข ((((๐ โ (๐ ร ๐) โฆ if(๐ = ๐, if(๐ โ ๐, 1 , 0 ), (๐โ๐))) โ ๐ต โง (1st โ๐) โ ๐) โง โ๐ง โ ๐ต โ๐ค โ ๐ (((๐ โพ ({๐ค} ร ๐)) = (((๐ โ (๐ ร ๐) โฆ if((1st โ๐) = (1st โ๐), if(๐ = ๐, ((๐โ๐)(-gโ๐
)if(๐ โ ๐, 1 , 0 )), 0 ), (๐โ๐))) โพ ({๐ค} ร ๐)) โf + (๐ง โพ ({๐ค} ร ๐))) โง (๐ โพ ((๐ โ {๐ค}) ร ๐)) = ((๐ โ (๐ ร ๐) โฆ if((1st โ๐) = (1st โ๐), if(๐ = ๐, ((๐โ๐)(-gโ๐
)if(๐ โ ๐, 1 , 0 )), 0 ), (๐โ๐))) โพ ((๐ โ {๐ค}) ร ๐)) โง (๐ โพ ((๐ โ {๐ค}) ร ๐)) = (๐ง โพ ((๐ โ {๐ค}) ร ๐))) โ (๐ทโ๐) = ((๐ทโ(๐ โ (๐ ร ๐) โฆ if((1st โ๐) = (1st โ๐), if(๐ = ๐, ((๐โ๐)(-gโ๐
)if(๐ โ ๐, 1 , 0 )), 0 ), (๐โ๐)))) + (๐ทโ๐ง)))) โ (((๐ โพ ({(1st โ๐)} ร ๐)) = (((๐ โ (๐ ร ๐) โฆ if((1st โ๐) = (1st โ๐), if(๐ = ๐, ((๐โ๐)(-gโ๐
)if(๐ โ ๐, 1 , 0 )), 0 ), (๐โ๐))) โพ ({(1st โ๐)} ร ๐)) โf + ((๐ โ (๐ ร ๐) โฆ if(๐ = ๐, if(๐ โ ๐, 1 , 0 ), (๐โ๐))) โพ ({(1st โ๐)} ร ๐))) โง (๐ โพ ((๐ โ {(1st โ๐)}) ร ๐)) = ((๐ โ (๐ ร ๐) โฆ if((1st โ๐) = (1st โ๐), if(๐ = ๐, ((๐โ๐)(-gโ๐
)if(๐ โ ๐, 1 , 0 )), 0 ), (๐โ๐))) โพ ((๐ โ {(1st โ๐)}) ร ๐)) โง (๐ โพ ((๐ โ {(1st โ๐)}) ร ๐)) = ((๐ โ (๐ ร ๐) โฆ if(๐ = ๐, if(๐ โ ๐, 1 , 0 ), (๐โ๐))) โพ ((๐ โ {(1st โ๐)}) ร ๐))) โ (๐ทโ๐) = ((๐ทโ(๐ โ (๐ ร ๐) โฆ if((1st โ๐) = (1st โ๐), if(๐ = ๐, ((๐โ๐)(-gโ๐
)if(๐ โ ๐, 1 , 0 )), 0 ), (๐โ๐)))) + (๐ทโ(๐ โ (๐ ร ๐) โฆ if(๐ = ๐, if(๐ โ ๐, 1 , 0 ), (๐โ๐))))))) |
286 | 223, 124,
258, 285 | syl21anc 836 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
โข ((๐ โง (๐ โช {๐}) โ (๐ ร ๐) โง ๐ โ ๐ต) โ (((๐ โพ ({(1st โ๐)} ร ๐)) = (((๐ โ (๐ ร ๐) โฆ if((1st โ๐) = (1st โ๐), if(๐ = ๐, ((๐โ๐)(-gโ๐
)if(๐ โ ๐, 1 , 0 )), 0 ), (๐โ๐))) โพ ({(1st โ๐)} ร ๐)) โf + ((๐ โ (๐ ร ๐) โฆ if(๐ = ๐, if(๐ โ ๐, 1 , 0 ), (๐โ๐))) โพ ({(1st โ๐)} ร ๐))) โง (๐ โพ ((๐ โ {(1st โ๐)}) ร ๐)) = ((๐ โ (๐ ร ๐) โฆ if((1st โ๐) = (1st โ๐), if(๐ = ๐, ((๐โ๐)(-gโ๐
)if(๐ โ ๐, 1 , 0 )), 0 ), (๐โ๐))) โพ ((๐ โ {(1st โ๐)}) ร ๐)) โง (๐ โพ ((๐ โ {(1st โ๐)}) ร ๐)) = ((๐ โ (๐ ร ๐) โฆ if(๐ = ๐, if(๐ โ ๐, 1 , 0 ), (๐โ๐))) โพ ((๐ โ {(1st โ๐)}) ร ๐))) โ (๐ทโ๐) = ((๐ทโ(๐ โ (๐ ร ๐) โฆ if((1st โ๐) = (1st โ๐), if(๐ = ๐, ((๐โ๐)(-gโ๐
)if(๐ โ ๐, 1 , 0 )), 0 ), (๐โ๐)))) + (๐ทโ(๐ โ (๐ ร ๐) โฆ if(๐ = ๐, if(๐ โ ๐, 1 , 0 ), (๐โ๐))))))) |
287 | 184, 201,
209, 286 | mp3and 1464 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
โข ((๐ โง (๐ โช {๐}) โ (๐ ร ๐) โง ๐ โ ๐ต) โ (๐ทโ๐) = ((๐ทโ(๐ โ (๐ ร ๐) โฆ if((1st โ๐) = (1st โ๐), if(๐ = ๐, ((๐โ๐)(-gโ๐
)if(๐ โ ๐, 1 , 0 )), 0 ), (๐โ๐)))) + (๐ทโ(๐ โ (๐ ร ๐) โฆ if(๐ = ๐, if(๐ โ ๐, 1 , 0 ), (๐โ๐)))))) |
288 | 104, 105,
106, 287 | syl3anc 1371 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
โข (((๐ โง (๐ โช {๐}) โ (๐ ร ๐) โง (๐ โช {๐}) โ ๐) โง ((๐ โ ๐ต โง ๐ โ (๐ โm ๐)) โง โ๐ค โ ๐ (๐โ๐ค) = if(๐ค โ ๐, 1 , 0 ))) โ (๐ทโ๐) = ((๐ทโ(๐ โ (๐ ร ๐) โฆ if((1st โ๐) = (1st โ๐), if(๐ = ๐, ((๐โ๐)(-gโ๐
)if(๐ โ ๐, 1 , 0 )), 0 ), (๐โ๐)))) + (๐ทโ(๐ โ (๐ ร ๐) โฆ if(๐ = ๐, if(๐ โ ๐, 1 , 0 ), (๐โ๐)))))) |
289 | | fveq2 6839 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
โข (๐ = ๐ โ (๐โ๐) = (๐โ๐)) |
290 | | elequ1 2113 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. 35
โข (๐ = ๐ โ (๐ โ ๐ โ ๐ โ ๐)) |
291 | 290 | ifbid 4507 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
โข (๐ = ๐ โ if(๐ โ ๐, 1 , 0 ) = if(๐ โ ๐, 1 , 0 )) |
292 | 289, 291 | oveq12d 7369 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
โข (๐ = ๐ โ ((๐โ๐)(-gโ๐
)if(๐ โ ๐, 1 , 0 )) = ((๐โ๐)(-gโ๐
)if(๐ โ ๐, 1 , 0 ))) |
293 | 292 | adantl 482 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
โข ((((๐ โง (๐ โช {๐}) โ (๐ ร ๐) โง ๐ โ ๐ต) โง ๐ โ ({(1st โ๐)} ร ๐)) โง ๐ = ๐) โ ((๐โ๐)(-gโ๐
)if(๐ โ ๐, 1 , 0 )) = ((๐โ๐)(-gโ๐
)if(๐ โ ๐, 1 , 0 ))) |
294 | 110, 122 | ffvelcdmd 7032 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. 35
โข ((๐ โง (๐ โช {๐}) โ (๐ ร ๐) โง ๐ โ ๐ต) โ (๐โ๐) โ ๐พ) |
295 | 131, 133 | ifcld 4530 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. 35
โข ((๐ โง (๐ โช {๐}) โ (๐ ร ๐) โง ๐ โ ๐ต) โ if(๐ โ ๐, 1 , 0 ) โ ๐พ) |
296 | 12, 136 | grpsubcl 18786 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. 35
โข ((๐
โ Grp โง (๐โ๐) โ ๐พ โง if(๐ โ ๐, 1 , 0 ) โ ๐พ) โ ((๐โ๐)(-gโ๐
)if(๐ โ ๐, 1 , 0 )) โ ๐พ) |
297 | 115, 294,
295, 296 | syl3anc 1371 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
โข ((๐ โง (๐ โช {๐}) โ (๐ ร ๐) โง ๐ โ ๐ต) โ ((๐โ๐)(-gโ๐
)if(๐ โ ๐, 1 , 0 )) โ ๐พ) |
298 | 12, 51, 49 | ringridm 19947 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
โข ((๐
โ Ring โง ((๐โ๐)(-gโ๐
)if(๐ โ ๐, 1 , 0 )) โ ๐พ) โ (((๐โ๐)(-gโ๐
)if(๐ โ ๐, 1 , 0 )) ยท 1 ) = ((๐โ๐)(-gโ๐
)if(๐ โ ๐, 1 , 0 ))) |
299 | 113, 297,
298 | syl2anc 584 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
โข ((๐ โง (๐ โช {๐}) โ (๐ ร ๐) โง ๐ โ ๐ต) โ (((๐โ๐)(-gโ๐
)if(๐ โ ๐, 1 , 0 )) ยท 1 ) = ((๐โ๐)(-gโ๐
)if(๐ โ ๐, 1 , 0 ))) |
300 | 299 | ad2antrr 724 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
โข ((((๐ โง (๐ โช {๐}) โ (๐ ร ๐) โง ๐ โ ๐ต) โง ๐ โ ({(1st โ๐)} ร ๐)) โง ๐ = ๐) โ (((๐โ๐)(-gโ๐
)if(๐ โ ๐, 1 , 0 )) ยท 1 ) = ((๐โ๐)(-gโ๐
)if(๐ โ ๐, 1 , 0 ))) |
301 | 293, 300 | eqtr4d 2780 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
โข ((((๐ โง (๐ โช {๐}) โ (๐ ร ๐) โง ๐ โ ๐ต) โง ๐ โ ({(1st โ๐)} ร ๐)) โง ๐ = ๐) โ ((๐โ๐)(-gโ๐
)if(๐ โ ๐, 1 , 0 )) = (((๐โ๐)(-gโ๐
)if(๐ โ ๐, 1 , 0 )) ยท 1 )) |
302 | 141 | adantl 482 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
โข ((((๐ โง (๐ โช {๐}) โ (๐ ร ๐) โง ๐ โ ๐ต) โง ๐ โ ({(1st โ๐)} ร ๐)) โง ๐ = ๐) โ if(๐ = ๐, ((๐โ๐)(-gโ๐
)if(๐ โ ๐, 1 , 0 )), 0 ) = ((๐โ๐)(-gโ๐
)if(๐ โ ๐, 1 , 0 ))) |
303 | | iftrue 4490 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
โข (๐ = ๐ โ if(๐ = ๐, 1 , 0 ) = 1 ) |
304 | 303 | oveq2d 7367 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
โข (๐ = ๐ โ (((๐โ๐)(-gโ๐
)if(๐ โ ๐, 1 , 0 )) ยท if(๐ = ๐, 1 , 0 )) = (((๐โ๐)(-gโ๐
)if(๐ โ ๐, 1 , 0 )) ยท 1 )) |
305 | 304 | adantl 482 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
โข ((((๐ โง (๐ โช {๐}) โ (๐ ร ๐) โง ๐ โ ๐ต) โง ๐ โ ({(1st โ๐)} ร ๐)) โง ๐ = ๐) โ (((๐โ๐)(-gโ๐
)if(๐ โ ๐, 1 , 0 )) ยท if(๐ = ๐, 1 , 0 )) = (((๐โ๐)(-gโ๐
)if(๐ โ ๐, 1 , 0 )) ยท 1 )) |
306 | 301, 302,
305 | 3eqtr4d 2787 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
โข ((((๐ โง (๐ โช {๐}) โ (๐ ร ๐) โง ๐ โ ๐ต) โง ๐ โ ({(1st โ๐)} ร ๐)) โง ๐ = ๐) โ if(๐ = ๐, ((๐โ๐)(-gโ๐
)if(๐ โ ๐, 1 , 0 )), 0 ) = (((๐โ๐)(-gโ๐
)if(๐ โ ๐, 1 , 0 )) ยท if(๐ = ๐, 1 , 0 ))) |
307 | 12, 51, 48 | ringrz 19965 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
โข ((๐
โ Ring โง ((๐โ๐)(-gโ๐
)if(๐ โ ๐, 1 , 0 )) โ ๐พ) โ (((๐โ๐)(-gโ๐
)if(๐ โ ๐, 1 , 0 )) ยท 0 ) = 0 ) |
308 | 113, 297,
307 | syl2anc 584 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
โข ((๐ โง (๐ โช {๐}) โ (๐ ร ๐) โง ๐ โ ๐ต) โ (((๐โ๐)(-gโ๐
)if(๐ โ ๐, 1 , 0 )) ยท 0 ) = 0 ) |
309 | 308 | eqcomd 2743 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
โข ((๐ โง (๐ โช {๐}) โ (๐ ร ๐) โง ๐ โ ๐ต) โ 0 = (((๐โ๐)(-gโ๐
)if(๐ โ ๐, 1 , 0 )) ยท 0 )) |
310 | 309 | ad2antrr 724 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
โข ((((๐ โง (๐ โช {๐}) โ (๐ ร ๐) โง ๐ โ ๐ต) โง ๐ โ ({(1st โ๐)} ร ๐)) โง ยฌ ๐ = ๐) โ 0 = (((๐โ๐)(-gโ๐
)if(๐ โ ๐, 1 , 0 )) ยท 0 )) |
311 | 150 | adantl 482 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
โข ((((๐ โง (๐ โช {๐}) โ (๐ ร ๐) โง ๐ โ ๐ต) โง ๐ โ ({(1st โ๐)} ร ๐)) โง ยฌ ๐ = ๐) โ if(๐ = ๐, ((๐โ๐)(-gโ๐
)if(๐ โ ๐, 1 , 0 )), 0 ) = 0 ) |
312 | | iffalse 4493 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
โข (ยฌ
๐ = ๐ โ if(๐ = ๐, 1 , 0 ) = 0 ) |
313 | 312 | oveq2d 7367 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
โข (ยฌ
๐ = ๐ โ (((๐โ๐)(-gโ๐
)if(๐ โ ๐, 1 , 0 )) ยท if(๐ = ๐, 1 , 0 )) = (((๐โ๐)(-gโ๐
)if(๐ โ ๐, 1 , 0 )) ยท 0 )) |
314 | 313 | adantl 482 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
โข ((((๐ โง (๐ โช {๐}) โ (๐ ร ๐) โง ๐ โ ๐ต) โง ๐ โ ({(1st โ๐)} ร ๐)) โง ยฌ ๐ = ๐) โ (((๐โ๐)(-gโ๐
)if(๐ โ ๐, 1 , 0 )) ยท if(๐ = ๐, 1 , 0 )) = (((๐โ๐)(-gโ๐
)if(๐ โ ๐, 1 , 0 )) ยท 0 )) |
315 | 310, 311,
314 | 3eqtr4d 2787 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
โข ((((๐ โง (๐ โช {๐}) โ (๐ ร ๐) โง ๐ โ ๐ต) โง ๐ โ ({(1st โ๐)} ร ๐)) โง ยฌ ๐ = ๐) โ if(๐ = ๐, ((๐โ๐)(-gโ๐
)if(๐ โ ๐, 1 , 0 )), 0 ) = (((๐โ๐)(-gโ๐
)if(๐ โ ๐, 1 , 0 )) ยท if(๐ = ๐, 1 , 0 ))) |
316 | 306, 315 | pm2.61dan 811 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
โข (((๐ โง (๐ โช {๐}) โ (๐ ร ๐) โง ๐ โ ๐ต) โง ๐ โ ({(1st โ๐)} ร ๐)) โ if(๐ = ๐, ((๐โ๐)(-gโ๐
)if(๐ โ ๐, 1 , 0 )), 0 ) = (((๐โ๐)(-gโ๐
)if(๐ โ ๐, 1 , 0 )) ยท if(๐ = ๐, 1 , 0 ))) |
317 | 170 | adantl 482 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
โข (((๐ โง (๐ โช {๐}) โ (๐ ร ๐) โง ๐ โ ๐ต) โง ๐ โ ({(1st โ๐)} ร ๐)) โ (1st โ๐) โ {(1st
โ๐)}) |
318 | 317, 171 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
โข (((๐ โง (๐ โช {๐}) โ (๐ ร ๐) โง ๐ โ ๐ต) โง ๐ โ ({(1st โ๐)} ร ๐)) โ (1st โ๐) = (1st โ๐)) |
319 | 318 | iftrued 4492 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
โข (((๐ โง (๐ โช {๐}) โ (๐ ร ๐) โง ๐ โ ๐ต) โง ๐ โ ({(1st โ๐)} ร ๐)) โ if((1st โ๐) = (1st โ๐), if(๐ = ๐, ((๐โ๐)(-gโ๐
)if(๐ โ ๐, 1 , 0 )), 0 ), (๐โ๐)) = if(๐ = ๐, ((๐โ๐)(-gโ๐
)if(๐ โ ๐, 1 , 0 )), 0 )) |
320 | 318 | iftrued 4492 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
โข (((๐ โง (๐ โช {๐}) โ (๐ ร ๐) โง ๐ โ ๐ต) โง ๐ โ ({(1st โ๐)} ร ๐)) โ if((1st โ๐) = (1st โ๐), if(๐ = ๐, 1 , 0 ), (๐โ๐)) = if(๐ = ๐, 1 , 0 )) |
321 | 320 | oveq2d 7367 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
โข (((๐ โง (๐ โช {๐}) โ (๐ ร ๐) โง ๐ โ ๐ต) โง ๐ โ ({(1st โ๐)} ร ๐)) โ (((๐โ๐)(-gโ๐
)if(๐ โ ๐, 1 , 0 )) ยท if((1st
โ๐) = (1st
โ๐), if(๐ = ๐, 1 , 0 ), (๐โ๐))) = (((๐โ๐)(-gโ๐
)if(๐ โ ๐, 1 , 0 )) ยท if(๐ = ๐, 1 , 0 ))) |
322 | 316, 319,
321 | 3eqtr4d 2787 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
โข (((๐ โง (๐ โช {๐}) โ (๐ ร ๐) โง ๐ โ ๐ต) โง ๐ โ ({(1st โ๐)} ร ๐)) โ if((1st โ๐) = (1st โ๐), if(๐ = ๐, ((๐โ๐)(-gโ๐
)if(๐ โ ๐, 1 , 0 )), 0 ), (๐โ๐)) = (((๐โ๐)(-gโ๐
)if(๐ โ ๐, 1 , 0 )) ยท if((1st
โ๐) = (1st
โ๐), if(๐ = ๐, 1 , 0 ), (๐โ๐)))) |
323 | 322 | mpteq2dva 5203 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
โข ((๐ โง (๐ โช {๐}) โ (๐ ร ๐) โง ๐ โ ๐ต) โ (๐ โ ({(1st โ๐)} ร ๐) โฆ if((1st โ๐) = (1st โ๐), if(๐ = ๐, ((๐โ๐)(-gโ๐
)if(๐ โ ๐, 1 , 0 )), 0 ), (๐โ๐))) = (๐ โ ({(1st โ๐)} ร ๐) โฆ (((๐โ๐)(-gโ๐
)if(๐ โ ๐, 1 , 0 )) ยท if((1st
โ๐) = (1st
โ๐), if(๐ = ๐, 1 , 0 ), (๐โ๐))))) |
324 | | ovexd 7386 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
โข (((๐ โง (๐ โช {๐}) โ (๐ ร ๐) โง ๐ โ ๐ต) โง ๐ โ ({(1st โ๐)} ร ๐)) โ ((๐โ๐)(-gโ๐
)if(๐ โ ๐, 1 , 0 )) โ
V) |
325 | 165, 162 | ifex 4534 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
โข if(๐ = ๐, 1 , 0 ) โ
V |
326 | 325, 167 | ifex 4534 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
โข
if((1st โ๐) = (1st โ๐), if(๐ = ๐, 1 , 0 ), (๐โ๐)) โ V |
327 | 326 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
โข (((๐ โง (๐ โช {๐}) โ (๐ ร ๐) โง ๐ โ ๐ต) โง ๐ โ ({(1st โ๐)} ร ๐)) โ if((1st โ๐) = (1st โ๐), if(๐ = ๐, 1 , 0 ), (๐โ๐)) โ V) |
328 | | fconstmpt 5692 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
โข
(({(1st โ๐)} ร ๐) ร {((๐โ๐)(-gโ๐
)if(๐ โ ๐, 1 , 0 ))}) = (๐ โ ({(1st โ๐)} ร ๐) โฆ ((๐โ๐)(-gโ๐
)if(๐ โ ๐, 1 , 0 ))) |
329 | 328 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
โข ((๐ โง (๐ โช {๐}) โ (๐ ร ๐) โง ๐ โ ๐ต) โ (({(1st โ๐)} ร ๐) ร {((๐โ๐)(-gโ๐
)if(๐ โ ๐, 1 , 0 ))}) = (๐ โ ({(1st โ๐)} ร ๐) โฆ ((๐โ๐)(-gโ๐
)if(๐ โ ๐, 1 , 0 )))) |
330 | 127 | resmptd 5992 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
โข ((๐ โง (๐ โช {๐}) โ (๐ ร ๐) โง ๐ โ ๐ต) โ ((๐ โ (๐ ร ๐) โฆ if((1st โ๐) = (1st โ๐), if(๐ = ๐, 1 , 0 ), (๐โ๐))) โพ ({(1st โ๐)} ร ๐)) = (๐ โ ({(1st โ๐)} ร ๐) โฆ if((1st โ๐) = (1st โ๐), if(๐ = ๐, 1 , 0 ), (๐โ๐)))) |
331 | 160, 324,
327, 329, 330 | offval2 7629 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
โข ((๐ โง (๐ โช {๐}) โ (๐ ร ๐) โง ๐ โ ๐ต) โ ((({(1st โ๐)} ร ๐) ร {((๐โ๐)(-gโ๐
)if(๐ โ ๐, 1 , 0 ))}) โf
ยท
((๐ โ (๐ ร ๐) โฆ if((1st โ๐) = (1st โ๐), if(๐ = ๐, 1 , 0 ), (๐โ๐))) โพ ({(1st โ๐)} ร ๐))) = (๐ โ ({(1st โ๐)} ร ๐) โฆ (((๐โ๐)(-gโ๐
)if(๐ โ ๐, 1 , 0 )) ยท if((1st
โ๐) = (1st
โ๐), if(๐ = ๐, 1 , 0 ), (๐โ๐))))) |
332 | 323, 180,
331 | 3eqtr4d 2787 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
โข ((๐ โง (๐ โช {๐}) โ (๐ ร ๐) โง ๐ โ ๐ต) โ ((๐ โ (๐ ร ๐) โฆ if((1st โ๐) = (1st โ๐), if(๐ = ๐, ((๐โ๐)(-gโ๐
)if(๐ โ ๐, 1 , 0 )), 0 ), (๐โ๐))) โพ ({(1st โ๐)} ร ๐)) = ((({(1st โ๐)} ร ๐) ร {((๐โ๐)(-gโ๐
)if(๐ โ ๐, 1 , 0 ))}) โf
ยท
((๐ โ (๐ ร ๐) โฆ if((1st โ๐) = (1st โ๐), if(๐ = ๐, 1 , 0 ), (๐โ๐))) โพ ({(1st โ๐)} ร ๐)))) |
333 | | iffalse 4493 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
โข (ยฌ
(1st โ๐) =
(1st โ๐)
โ if((1st โ๐) = (1st โ๐), if(๐ = ๐, ((๐โ๐)(-gโ๐
)if(๐ โ ๐, 1 , 0 )), 0 ), (๐โ๐)) = (๐โ๐)) |
334 | | iffalse 4493 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
โข (ยฌ
(1st โ๐) =
(1st โ๐)
โ if((1st โ๐) = (1st โ๐), if(๐ = ๐, 1 , 0 ), (๐โ๐)) = (๐โ๐)) |
335 | 333, 334 | eqtr4d 2780 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
โข (ยฌ
(1st โ๐) =
(1st โ๐)
โ if((1st โ๐) = (1st โ๐), if(๐ = ๐, ((๐โ๐)(-gโ๐
)if(๐ โ ๐, 1 , 0 )), 0 ), (๐โ๐)) = if((1st โ๐) = (1st โ๐), if(๐ = ๐, 1 , 0 ), (๐โ๐))) |
336 | 190, 335 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
โข (((๐ โง (๐ โช {๐}) โ (๐ ร ๐) โง ๐ โ ๐ต) โง ๐ โ ((๐ โ {(1st โ๐)}) ร ๐)) โ if((1st โ๐) = (1st โ๐), if(๐ = ๐, ((๐โ๐)(-gโ๐
)if(๐ โ ๐, 1 , 0 )), 0 ), (๐โ๐)) = if((1st โ๐) = (1st โ๐), if(๐ = ๐, 1 , 0 ), (๐โ๐))) |
337 | 336 | mpteq2dva 5203 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
โข ((๐ โง (๐ โช {๐}) โ (๐ ร ๐) โง ๐ โ ๐ต) โ (๐ โ ((๐ โ {(1st โ๐)}) ร ๐) โฆ if((1st โ๐) = (1st โ๐), if(๐ = ๐, ((๐โ๐)(-gโ๐
)if(๐ โ ๐, 1 , 0 )), 0 ), (๐โ๐))) = (๐ โ ((๐ โ {(1st โ๐)}) ร ๐) โฆ if((1st โ๐) = (1st โ๐), if(๐ = ๐, 1 , 0 ), (๐โ๐)))) |
338 | | resmpt 5989 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
โข (((๐ โ {(1st
โ๐)}) ร ๐) โ (๐ ร ๐) โ ((๐ โ (๐ ร ๐) โฆ if((1st โ๐) = (1st โ๐), if(๐ = ๐, 1 , 0 ), (๐โ๐))) โพ ((๐ โ {(1st โ๐)}) ร ๐)) = (๐ โ ((๐ โ {(1st โ๐)}) ร ๐) โฆ if((1st โ๐) = (1st โ๐), if(๐ = ๐, 1 , 0 ), (๐โ๐)))) |
339 | 195, 338 | mp1i 13 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
โข ((๐ โง (๐ โช {๐}) โ (๐ ร ๐) โง ๐ โ ๐ต) โ ((๐ โ (๐ ร ๐) โฆ if((1st โ๐) = (1st โ๐), if(๐ = ๐, 1 , 0 ), (๐โ๐))) โพ ((๐ โ {(1st โ๐)}) ร ๐)) = (๐ โ ((๐ โ {(1st โ๐)}) ร ๐) โฆ if((1st โ๐) = (1st โ๐), if(๐ = ๐, 1 , 0 ), (๐โ๐)))) |
340 | 337, 197,
339 | 3eqtr4d 2787 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
โข ((๐ โง (๐ โช {๐}) โ (๐ ร ๐) โง ๐ โ ๐ต) โ ((๐ โ (๐ ร ๐) โฆ if((1st โ๐) = (1st โ๐), if(๐ = ๐, ((๐โ๐)(-gโ๐
)if(๐ โ ๐, 1 , 0 )), 0 ), (๐โ๐))) โพ ((๐ โ {(1st โ๐)}) ร ๐)) = ((๐ โ (๐ ร ๐) โฆ if((1st โ๐) = (1st โ๐), if(๐ = ๐, 1 , 0 ), (๐โ๐))) โพ ((๐ โ {(1st โ๐)}) ร ๐))) |
341 | 131, 133 | ifcld 4530 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
โข ((๐ โง (๐ โช {๐}) โ (๐ ร ๐) โง ๐ โ ๐ต) โ if(๐ = ๐, 1 , 0 ) โ ๐พ) |
342 | 341 | adantr 481 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
โข (((๐ โง (๐ โช {๐}) โ (๐ ร ๐) โง ๐ โ ๐ต) โง ๐ โ (๐ ร ๐)) โ if(๐ = ๐, 1 , 0 ) โ ๐พ) |
343 | 342, 211 | ifcld 4530 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
โข (((๐ โง (๐ โช {๐}) โ (๐ ร ๐) โง ๐ โ ๐ต) โง ๐ โ (๐ ร ๐)) โ if((1st โ๐) = (1st โ๐), if(๐ = ๐, 1 , 0 ), (๐โ๐)) โ ๐พ) |
344 | 343 | fmpttd 7059 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
โข ((๐ โง (๐ โช {๐}) โ (๐ ร ๐) โง ๐ โ ๐ต) โ (๐ โ (๐ ร ๐) โฆ if((1st โ๐) = (1st โ๐), if(๐ = ๐, 1 , 0 ), (๐โ๐))):(๐ ร ๐)โถ๐พ) |
345 | | elmapg 8736 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
โข ((๐พ โ V โง (๐ ร ๐) โ Fin) โ ((๐ โ (๐ ร ๐) โฆ if((1st โ๐) = (1st โ๐), if(๐ = ๐, 1 , 0 ), (๐โ๐))) โ (๐พ โm (๐ ร ๐)) โ (๐ โ (๐ ร ๐) โฆ if((1st โ๐) = (1st โ๐), if(๐ = ๐, 1 , 0 ), (๐โ๐))):(๐ ร ๐)โถ๐พ)) |
346 | 214, 216,
345 | sylancr 587 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
โข ((๐ โง (๐ โช {๐}) โ (๐ ร ๐) โง ๐ โ ๐ต) โ ((๐ โ (๐ ร ๐) โฆ if((1st โ๐) = (1st โ๐), if(๐ = ๐, 1 , 0 ), (๐โ๐))) โ (๐พ โm (๐ ร ๐)) โ (๐ โ (๐ ร ๐) โฆ if((1st โ๐) = (1st โ๐), if(๐ = ๐, 1 , 0 ), (๐โ๐))):(๐ ร ๐)โถ๐พ)) |
347 | 344, 346 | mpbird 256 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
โข ((๐ โง (๐ โช {๐}) โ (๐ ร ๐) โง ๐ โ ๐ต) โ (๐ โ (๐ ร ๐) โฆ if((1st โ๐) = (1st โ๐), if(๐ = ๐, 1 , 0 ), (๐โ๐))) โ (๐พ โm (๐ ร ๐))) |
348 | 347, 222 | eleqtrd 2840 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
โข ((๐ โง (๐ โช {๐}) โ (๐ ร ๐) โง ๐ โ ๐ต) โ (๐ โ (๐ ร ๐) โฆ if((1st โ๐) = (1st โ๐), if(๐ = ๐, 1 , 0 ), (๐โ๐))) โ ๐ต) |
349 | 56 | 3ad2ant1 1133 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
โข ((๐ โง (๐ โช {๐}) โ (๐ ร ๐) โง ๐ โ ๐ต) โ โ๐ฅ โ ๐ต โ๐ฆ โ ๐พ โ๐ง โ ๐ต โ๐ค โ ๐ (((๐ฅ โพ ({๐ค} ร ๐)) = ((({๐ค} ร ๐) ร {๐ฆ}) โf ยท (๐ง โพ ({๐ค} ร ๐))) โง (๐ฅ โพ ((๐ โ {๐ค}) ร ๐)) = (๐ง โพ ((๐ โ {๐ค}) ร ๐))) โ (๐ทโ๐ฅ) = (๐ฆ ยท (๐ทโ๐ง)))) |
350 | | reseq1 5929 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
โข (๐ฅ = (๐ โ (๐ ร ๐) โฆ if((1st โ๐) = (1st โ๐), if(๐ = ๐, ((๐โ๐)(-gโ๐
)if(๐ โ ๐, 1 , 0 )), 0 ), (๐โ๐))) โ (๐ฅ โพ ({๐ค} ร ๐)) = ((๐ โ (๐ ร ๐) โฆ if((1st โ๐) = (1st โ๐), if(๐ = ๐, ((๐โ๐)(-gโ๐
)if(๐ โ ๐, 1 , 0 )), 0 ), (๐โ๐))) โพ ({๐ค} ร ๐))) |
351 | 350 | eqeq1d 2739 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
โข (๐ฅ = (๐ โ (๐ ร ๐) โฆ if((1st โ๐) = (1st โ๐), if(๐ = ๐, ((๐โ๐)(-gโ๐
)if(๐ โ ๐, 1 , 0 )), 0 ), (๐โ๐))) โ ((๐ฅ โพ ({๐ค} ร ๐)) = ((({๐ค} ร ๐) ร {๐ฆ}) โf ยท (๐ง โพ ({๐ค} ร ๐))) โ ((๐ โ (๐ ร ๐) โฆ if((1st โ๐) = (1st โ๐), if(๐ = ๐, ((๐โ๐)(-gโ๐
)if(๐ โ ๐, 1 , 0 )), 0 ), (๐โ๐))) โพ ({๐ค} ร ๐)) = ((({๐ค} ร ๐) ร {๐ฆ}) โf ยท (๐ง โพ ({๐ค} ร ๐))))) |
352 | | reseq1 5929 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
โข (๐ฅ = (๐ โ (๐ ร ๐) โฆ if((1st โ๐) = (1st โ๐), if(๐ = ๐, ((๐โ๐)(-gโ๐
)if(๐ โ ๐, 1 , 0 )), 0 ), (๐โ๐))) โ (๐ฅ โพ ((๐ โ {๐ค}) ร ๐)) = ((๐ โ (๐ ร ๐) โฆ if((1st โ๐) = (1st โ๐), if(๐ = ๐, ((๐โ๐)(-gโ๐
)if(๐ โ ๐, 1 , 0 )), 0 ), (๐โ๐))) โพ ((๐ โ {๐ค}) ร ๐))) |
353 | 352 | eqeq1d 2739 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
โข (๐ฅ = (๐ โ (๐ ร ๐) โฆ if((1st โ๐) = (1st โ๐), if(๐ = ๐, ((๐โ๐)(-gโ๐
)if(๐ โ ๐, 1 , 0 )), 0 ), (๐โ๐))) โ ((๐ฅ โพ ((๐ โ {๐ค}) ร ๐)) = (๐ง โพ ((๐ โ {๐ค}) ร ๐)) โ ((๐ โ (๐ ร ๐) โฆ if((1st โ๐) = (1st โ๐), if(๐ = ๐, ((๐โ๐)(-gโ๐
)if(๐ โ ๐, 1 , 0 )), 0 ), (๐โ๐))) โพ ((๐ โ {๐ค}) ร ๐)) = (๐ง โพ ((๐ โ {๐ค}) ร ๐)))) |
354 | 351, 353 | anbi12d 631 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
โข (๐ฅ = (๐ โ (๐ ร ๐) โฆ if((1st โ๐) = (1st โ๐), if(๐ = ๐, ((๐โ๐)(-gโ๐
)if(๐ โ ๐, 1 , 0 )), 0 ), (๐โ๐))) โ (((๐ฅ โพ ({๐ค} ร ๐)) = ((({๐ค} ร ๐) ร {๐ฆ}) โf ยท (๐ง โพ ({๐ค} ร ๐))) โง (๐ฅ โพ ((๐ โ {๐ค}) ร ๐)) = (๐ง โพ ((๐ โ {๐ค}) ร ๐))) โ (((๐ โ (๐ ร ๐) โฆ if((1st โ๐) = (1st โ๐), if(๐ = ๐, ((๐โ๐)(-gโ๐
)if(๐ โ ๐, 1 , 0 )), 0 ), (๐โ๐))) โพ ({๐ค} ร ๐)) = ((({๐ค} ร ๐) ร {๐ฆ}) โf ยท (๐ง โพ ({๐ค} ร ๐))) โง ((๐ โ (๐ ร ๐) โฆ if((1st โ๐) = (1st โ๐), if(๐ = ๐, ((๐โ๐)(-gโ๐
)if(๐ โ ๐, 1 , 0 )), 0 ), (๐โ๐))) โพ ((๐ โ {๐ค}) ร ๐)) = (๐ง โพ ((๐ โ {๐ค}) ร ๐))))) |
355 | | fveqeq2 6848 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
โข (๐ฅ = (๐ โ (๐ ร ๐) โฆ if((1st โ๐) = (1st โ๐), if(๐ = ๐, ((๐โ๐)(-gโ๐
)if(๐ โ ๐, 1 , 0 )), 0 ), (๐โ๐))) โ ((๐ทโ๐ฅ) = (๐ฆ ยท (๐ทโ๐ง)) โ (๐ทโ(๐ โ (๐ ร ๐) โฆ if((1st โ๐) = (1st โ๐), if(๐ = ๐, ((๐โ๐)(-gโ๐
)if(๐ โ ๐, 1 , 0 )), 0 ), (๐โ๐)))) = (๐ฆ ยท (๐ทโ๐ง)))) |
356 | 354, 355 | imbi12d 344 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
โข (๐ฅ = (๐ โ (๐ ร ๐) โฆ if((1st โ๐) = (1st โ๐), if(๐ = ๐, ((๐โ๐)(-gโ๐
)if(๐ โ ๐, 1 , 0 )), 0 ), (๐โ๐))) โ ((((๐ฅ โพ ({๐ค} ร ๐)) = ((({๐ค} ร ๐) ร {๐ฆ}) โf ยท (๐ง โพ ({๐ค} ร ๐))) โง (๐ฅ โพ ((๐ โ {๐ค}) ร ๐)) = (๐ง โพ ((๐ โ {๐ค}) ร ๐))) โ (๐ทโ๐ฅ) = (๐ฆ ยท (๐ทโ๐ง))) โ ((((๐ โ (๐ ร ๐) โฆ if((1st โ๐) = (1st โ๐), if(๐ = ๐, ((๐โ๐)(-gโ๐
)if(๐ โ ๐, 1 , 0 )), 0 ), (๐โ๐))) โพ ({๐ค} ร ๐)) = ((({๐ค} ร ๐) ร {๐ฆ}) โf ยท (๐ง โพ ({๐ค} ร ๐))) โง ((๐ โ (๐ ร ๐) โฆ if((1st โ๐) = (1st โ๐), if(๐ = ๐, ((๐โ๐)(-gโ๐
)if(๐ โ ๐, 1 , 0 )), 0 ), (๐โ๐))) โพ ((๐ โ {๐ค}) ร ๐)) = (๐ง โพ ((๐ โ {๐ค}) ร ๐))) โ (๐ทโ(๐ โ (๐ ร ๐) โฆ if((1st โ๐) = (1st โ๐), if(๐ = ๐, ((๐โ๐)(-gโ๐
)if(๐ โ ๐, 1 , 0 )), 0 ), (๐โ๐)))) = (๐ฆ ยท (๐ทโ๐ง))))) |
357 | 356 | 2ralbidv 3210 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
โข (๐ฅ = (๐ โ (๐ ร ๐) โฆ if((1st โ๐) = (1st โ๐), if(๐ = ๐, ((๐โ๐)(-gโ๐
)if(๐ โ ๐, 1 , 0 )), 0 ), (๐โ๐))) โ (โ๐ง โ ๐ต โ๐ค โ ๐ (((๐ฅ โพ ({๐ค} ร ๐)) = ((({๐ค} ร ๐) ร {๐ฆ}) โf ยท (๐ง โพ ({๐ค} ร ๐))) โง (๐ฅ โพ ((๐ โ {๐ค}) ร ๐)) = (๐ง โพ ((๐ โ {๐ค}) ร ๐))) โ (๐ทโ๐ฅ) = (๐ฆ ยท (๐ทโ๐ง))) โ โ๐ง โ ๐ต โ๐ค โ ๐ ((((๐ โ (๐ ร ๐) โฆ if((1st โ๐) = (1st โ๐), if(๐ = ๐, ((๐โ๐)(-gโ๐
)if(๐ โ ๐, 1 , 0 )), 0 ), (๐โ๐))) โพ ({๐ค} ร ๐)) = ((({๐ค} ร ๐) ร {๐ฆ}) โf ยท (๐ง โพ ({๐ค} ร ๐))) โง ((๐ โ (๐ ร ๐) โฆ if((1st โ๐) = (1st โ๐), if(๐ = ๐, ((๐โ๐)(-gโ๐
)if(๐ โ ๐, 1 , 0 )), 0 ), (๐โ๐))) โพ ((๐ โ {๐ค}) ร ๐)) = (๐ง โพ ((๐ โ {๐ค}) ร ๐))) โ (๐ทโ(๐ โ (๐ ร ๐) โฆ if((1st โ๐) = (1st โ๐), if(๐ = ๐, ((๐โ๐)(-gโ๐
)if(๐ โ ๐, 1 , 0 )), 0 ), (๐โ๐)))) = (๐ฆ ยท (๐ทโ๐ง))))) |
358 | | sneq 4594 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. 35
โข (๐ฆ = ((๐โ๐)(-gโ๐
)if(๐ โ ๐, 1 , 0 )) โ {๐ฆ} = {((๐โ๐)(-gโ๐
)if(๐ โ ๐, 1 , 0 ))}) |
359 | 358 | xpeq2d 5661 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
โข (๐ฆ = ((๐โ๐)(-gโ๐
)if(๐ โ ๐, 1 , 0 )) โ (({๐ค} ร ๐) ร {๐ฆ}) = (({๐ค} ร ๐) ร {((๐โ๐)(-gโ๐
)if(๐ โ ๐, 1 , 0 ))})) |
360 | 359 | oveq1d 7366 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
โข (๐ฆ = ((๐โ๐)(-gโ๐
)if(๐ โ ๐, 1 , 0 )) โ ((({๐ค} ร ๐) ร {๐ฆ}) โf ยท (๐ง โพ ({๐ค} ร ๐))) = ((({๐ค} ร ๐) ร {((๐โ๐)(-gโ๐
)if(๐ โ ๐, 1 , 0 ))}) โf
ยท
(๐ง โพ ({๐ค} ร ๐)))) |
361 | 360 | eqeq2d 2748 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
โข (๐ฆ = ((๐โ๐)(-gโ๐
)if(๐ โ ๐, 1 , 0 )) โ (((๐ โ (๐ ร ๐) โฆ if((1st โ๐) = (1st โ๐), if(๐ = ๐, ((๐โ๐)(-gโ๐
)if(๐ โ ๐, 1 , 0 )), 0 ), (๐โ๐))) โพ ({๐ค} ร ๐)) = ((({๐ค} ร ๐) ร {๐ฆ}) โf ยท (๐ง โพ ({๐ค} ร ๐))) โ ((๐ โ (๐ ร ๐) โฆ if((1st โ๐) = (1st โ๐), if(๐ = ๐, ((๐โ๐)(-gโ๐
)if(๐ โ ๐, 1 , 0 )), 0 ), (๐โ๐))) โพ ({๐ค} ร ๐)) = ((({๐ค} ร ๐) ร {((๐โ๐)(-gโ๐
)if(๐ โ ๐, 1 , 0 ))}) โf
ยท
(๐ง โพ ({๐ค} ร ๐))))) |
362 | 361 | anbi1d 630 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
โข (๐ฆ = ((๐โ๐)(-gโ๐
)if(๐ โ ๐, 1 , 0 )) โ ((((๐ โ (๐ ร ๐) โฆ if((1st โ๐) = (1st โ๐), if(๐ = ๐, ((๐โ๐)(-gโ๐
)if(๐ โ ๐, 1 , 0 )), 0 ), (๐โ๐))) โพ ({๐ค} ร ๐)) = ((({๐ค} ร ๐) ร {๐ฆ}) โf ยท (๐ง โพ ({๐ค} ร ๐))) โง ((๐ โ (๐ ร ๐) โฆ if((1st โ๐) = (1st โ๐), if(๐ = ๐, ((๐โ๐)(-gโ๐
)if(๐ โ ๐, 1 , 0 )), 0 ), (๐โ๐))) โพ ((๐ โ {๐ค}) ร ๐)) = (๐ง โพ ((๐ โ {๐ค}) ร ๐))) โ (((๐ โ (๐ ร ๐) โฆ if((1st โ๐) = (1st โ๐), if(๐ = ๐, ((๐โ๐)(-gโ๐
)if(๐ โ ๐, 1 , 0 )), 0 ), (๐โ๐))) โพ ({๐ค} ร ๐)) = ((({๐ค} ร ๐) ร {((๐โ๐)(-gโ๐
)if(๐ โ ๐, 1 , 0 ))}) โf
ยท
(๐ง โพ ({๐ค} ร ๐))) โง ((๐ โ (๐ ร ๐) โฆ if((1st โ๐) = (1st โ๐), if(๐ = ๐, ((๐โ๐)(-gโ๐
)if(๐ โ ๐, 1 , 0 )), 0 ), (๐โ๐))) โพ ((๐ โ {๐ค}) ร ๐)) = (๐ง โพ ((๐ โ {๐ค}) ร ๐))))) |
363 | | oveq1 7358 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
โข (๐ฆ = ((๐โ๐)(-gโ๐
)if(๐ โ ๐, 1 , 0 )) โ (๐ฆ ยท (๐ทโ๐ง)) = (((๐โ๐)(-gโ๐
)if(๐ โ ๐, 1 , 0 )) ยท (๐ทโ๐ง))) |
364 | 363 | eqeq2d 2748 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
โข (๐ฆ = ((๐โ๐)(-gโ๐
)if(๐ โ ๐, 1 , 0 )) โ ((๐ทโ(๐ โ (๐ ร ๐) โฆ if((1st โ๐) = (1st โ๐), if(๐ = ๐, ((๐โ๐)(-gโ๐
)if(๐ โ ๐, 1 , 0 )), 0 ), (๐โ๐)))) = (๐ฆ ยท (๐ทโ๐ง)) โ (๐ทโ(๐ โ (๐ ร ๐) โฆ if((1st โ๐) = (1st โ๐), if(๐ = ๐, ((๐โ๐)(-gโ๐
)if(๐ โ ๐, 1 , 0 )), 0 ), (๐โ๐)))) = (((๐โ๐)(-gโ๐
)if(๐ โ ๐, 1 , 0 )) ยท (๐ทโ๐ง)))) |
365 | 362, 364 | imbi12d 344 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
โข (๐ฆ = ((๐โ๐)(-gโ๐
)if(๐ โ ๐, 1 , 0 )) โ (((((๐ โ (๐ ร ๐) โฆ if((1st โ๐) = (1st โ๐), if(๐ = ๐, ((๐โ๐)(-gโ๐
)if(๐ โ ๐, 1 , 0 )), 0 ), (๐โ๐))) โพ ({๐ค} ร ๐)) = ((({๐ค} ร ๐) ร {๐ฆ}) โf ยท (๐ง โพ ({๐ค} ร ๐))) โง ((๐ โ (๐ ร ๐) โฆ if((1st โ๐) = (1st โ๐), if(๐ = ๐, ((๐โ๐)(-gโ๐
)if(๐ โ ๐, 1 , 0 )), 0 ), (๐โ๐))) โพ ((๐ โ {๐ค}) ร ๐)) = (๐ง โพ ((๐ โ {๐ค}) ร ๐))) โ (๐ทโ(๐ โ (๐ ร ๐) โฆ if((1st โ๐) = (1st โ๐), if(๐ = ๐, ((๐โ๐)(-gโ๐
)if(๐ โ ๐, 1 , 0 )), 0 ), (๐โ๐)))) = (๐ฆ ยท (๐ทโ๐ง))) โ ((((๐ โ (๐ ร ๐) โฆ if((1st โ๐) = (1st โ๐), if(๐ = ๐, ((๐โ๐)(-gโ๐
)if(๐ โ ๐, 1 , 0 )), 0 ), (๐โ๐))) โพ ({๐ค} ร ๐)) = ((({๐ค} ร ๐) ร {((๐โ๐)(-gโ๐
)if(๐ โ ๐, 1 , 0 ))}) โf
ยท
(๐ง โพ ({๐ค} ร ๐))) โง ((๐ โ (๐ ร ๐) โฆ if((1st โ๐) = (1st โ๐), if(๐ = ๐, ((๐โ๐)(-gโ๐
)if(๐ โ ๐, 1 , 0 )), 0 ), (๐โ๐))) โพ ((๐ โ {๐ค}) ร ๐)) = (๐ง โพ ((๐ โ {๐ค}) ร ๐))) โ (๐ทโ(๐ โ (๐ ร ๐) โฆ if((1st โ๐) = (1st โ๐), if(๐ = ๐, ((๐โ๐)(-gโ๐
)if(๐ โ ๐, 1 , 0 )), 0 ), (๐โ๐)))) = (((๐โ๐)(-gโ๐
)if(๐ โ ๐, 1 , 0 )) ยท (๐ทโ๐ง))))) |
366 | 365 | 2ralbidv 3210 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
โข (๐ฆ = ((๐โ๐)(-gโ๐
)if(๐ โ ๐, 1 , 0 )) โ (โ๐ง โ ๐ต โ๐ค โ ๐ ((((๐ โ (๐ ร ๐) โฆ if((1st โ๐) = (1st โ๐), if(๐ = ๐, ((๐โ๐)(-gโ๐
)if(๐ โ ๐, 1 , 0 )), 0 ), (๐โ๐))) โพ ({๐ค} ร ๐)) = ((({๐ค} ร ๐) ร {๐ฆ}) โf ยท (๐ง โพ ({๐ค} ร ๐))) โง ((๐ โ (๐ ร ๐) โฆ if((1st โ๐) = (1st โ๐), if(๐ = ๐, ((๐โ๐)(-gโ๐
)if(๐ โ ๐, 1 , 0 )), 0 ), (๐โ๐))) โพ ((๐ โ {๐ค}) ร ๐)) = (๐ง โพ ((๐ โ {๐ค}) ร ๐))) โ (๐ทโ(๐ โ (๐ ร ๐) โฆ if((1st โ๐) = (1st โ๐), if(๐ = ๐, ((๐โ๐)(-gโ๐
)if(๐ โ ๐, 1 , 0 )), 0 ), (๐โ๐)))) = (๐ฆ ยท (๐ทโ๐ง))) โ โ๐ง โ ๐ต โ๐ค โ ๐ ((((๐ โ (๐ ร ๐) โฆ if((1st โ๐) = (1st โ๐), if(๐ = ๐, ((๐โ๐)(-gโ๐
)if(๐ โ ๐, 1 , 0 )), 0 ), (๐โ๐))) โพ ({๐ค} ร ๐)) = ((({๐ค} ร ๐) ร {((๐โ๐)(-gโ๐
)if(๐ โ ๐, 1 , 0 ))}) โf
ยท
(๐ง โพ ({๐ค} ร ๐))) โง ((๐ โ (๐ ร ๐) โฆ if((1st โ๐) = (1st โ๐), if(๐ = ๐, ((๐โ๐)(-gโ๐
)if(๐ โ ๐, 1 , 0 )), 0 ), (๐โ๐))) โพ ((๐ โ {๐ค}) ร ๐)) = (๐ง โพ ((๐ โ {๐ค}) ร ๐))) โ (๐ทโ(๐ โ (๐ ร ๐) โฆ if((1st โ๐) = (1st โ๐), if(๐ = ๐, ((๐โ๐)(-gโ๐
)if(๐ โ ๐, 1 , 0 )), 0 ), (๐โ๐)))) = (((๐โ๐)(-gโ๐
)if(๐ โ ๐, 1 , 0 )) ยท (๐ทโ๐ง))))) |
367 | 357, 366 | rspc2va 3589 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
โข ((((๐ โ (๐ ร ๐) โฆ if((1st โ๐) = (1st โ๐), if(๐ = ๐, ((๐โ๐)(-gโ๐
)if(๐ โ ๐, 1 , 0 )), 0 ), (๐โ๐))) โ ๐ต โง ((๐โ๐)(-gโ๐
)if(๐ โ ๐, 1 , 0 )) โ ๐พ) โง โ๐ฅ โ ๐ต โ๐ฆ โ ๐พ โ๐ง โ ๐ต โ๐ค โ ๐ (((๐ฅ โพ ({๐ค} ร ๐)) = ((({๐ค} ร ๐) ร {๐ฆ}) โf ยท (๐ง โพ ({๐ค} ร ๐))) โง (๐ฅ โพ ((๐ โ {๐ค}) ร ๐)) = (๐ง โพ ((๐ โ {๐ค}) ร ๐))) โ (๐ทโ๐ฅ) = (๐ฆ ยท (๐ทโ๐ง)))) โ โ๐ง โ ๐ต โ๐ค โ ๐ ((((๐ โ (๐ ร ๐) โฆ if((1st โ๐) = (1st โ๐), if(๐ = ๐, ((๐โ๐)(-gโ๐
)if(๐ โ ๐, 1 , 0 )), 0 ), (๐โ๐))) โพ ({๐ค} ร ๐)) = ((({๐ค} ร ๐) ร {((๐โ๐)(-gโ๐
)if(๐ โ ๐, 1 , 0 ))}) โf
ยท
(๐ง โพ ({๐ค} ร ๐))) โง ((๐ โ (๐ ร ๐) โฆ if((1st โ๐) = (1st โ๐), if(๐ = ๐, ((๐โ๐)(-gโ๐
)if(๐ โ ๐, 1 , 0 )), 0 ), (๐โ๐))) โพ ((๐ โ {๐ค}) ร ๐)) = (๐ง โพ ((๐ โ {๐ค}) ร ๐))) โ (๐ทโ(๐ โ (๐ ร ๐) โฆ if((1st โ๐) = (1st โ๐), if(๐ = ๐, ((๐โ๐)(-gโ๐
)if(๐ โ ๐, 1 , 0 )), 0 ), (๐โ๐)))) = (((๐โ๐)(-gโ๐
)if(๐ โ ๐, 1 , 0 )) ยท (๐ทโ๐ง)))) |
368 | 235, 297,
349, 367 | syl21anc 836 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
โข ((๐ โง (๐ โช {๐}) โ (๐ ร ๐) โง ๐ โ ๐ต) โ โ๐ง โ ๐ต โ๐ค โ ๐ ((((๐ โ (๐ ร ๐) โฆ if((1st โ๐) = (1st โ๐), if(๐ = ๐, ((๐โ๐)(-gโ๐
)if(๐ โ ๐, 1 , 0 )), 0 ), (๐โ๐))) โพ ({๐ค} ร ๐)) = ((({๐ค} ร ๐) ร {((๐โ๐)(-gโ๐
)if(๐ โ ๐, 1 , 0 ))}) โf
ยท
(๐ง โพ ({๐ค} ร ๐))) โง ((๐ โ (๐ ร ๐) โฆ if((1st โ๐) = (1st โ๐), if(๐ = ๐, ((๐โ๐)(-gโ๐
)if(๐ โ ๐, 1 , 0 )), 0 ), (๐โ๐))) โพ ((๐ โ {๐ค}) ร ๐)) = (๐ง โพ ((๐ โ {๐ค}) ร ๐))) โ (๐ทโ(๐ โ (๐ ร ๐) โฆ if((1st โ๐) = (1st โ๐), if(๐ = ๐, ((๐โ๐)(-gโ๐
)if(๐ โ ๐, 1 , 0 )), 0 ), (๐โ๐)))) = (((๐โ๐)(-gโ๐
)if(๐ โ ๐, 1 , 0 )) ยท (๐ทโ๐ง)))) |
369 | | reseq1 5929 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
โข (๐ง = (๐ โ (๐ ร ๐) โฆ if((1st โ๐) = (1st โ๐), if(๐ = ๐, 1 , 0 ), (๐โ๐))) โ (๐ง โพ ({๐ค} ร ๐)) = ((๐ โ (๐ ร ๐) โฆ if((1st โ๐) = (1st โ๐), if(๐ = ๐, 1 , 0 ), (๐โ๐))) โพ ({๐ค} ร ๐))) |
370 | 369 | oveq2d 7367 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
โข (๐ง = (๐ โ (๐ ร ๐) โฆ if((1st โ๐) = (1st โ๐), if(๐ = ๐, 1 , 0 ), (๐โ๐))) โ ((({๐ค} ร ๐) ร {((๐โ๐)(-gโ๐
)if(๐ โ ๐, 1 , 0 ))}) โf
ยท
(๐ง โพ ({๐ค} ร ๐))) = ((({๐ค} ร ๐) ร {((๐โ๐)(-gโ๐
)if(๐ โ ๐, 1 , 0 ))}) โf
ยท
((๐ โ (๐ ร ๐) โฆ if((1st โ๐) = (1st โ๐), if(๐ = ๐, 1 , 0 ), (๐โ๐))) โพ ({๐ค} ร ๐)))) |
371 | 370 | eqeq2d 2748 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
โข (๐ง = (๐ โ (๐ ร ๐) โฆ if((1st โ๐) = (1st โ๐), if(๐ = ๐, 1 , 0 ), (๐โ๐))) โ (((๐ โ (๐ ร ๐) โฆ if((1st โ๐) = (1st โ๐), if(๐ = ๐, ((๐โ๐)(-gโ๐
)if(๐ โ ๐, 1 , 0 )), 0 ), (๐โ๐))) โพ ({๐ค} ร ๐)) = ((({๐ค} ร ๐) ร {((๐โ๐)(-gโ๐
)if(๐ โ ๐, 1 , 0 ))}) โf
ยท
(๐ง โพ ({๐ค} ร ๐))) โ ((๐ โ (๐ ร ๐) โฆ if((1st โ๐) = (1st โ๐), if(๐ = ๐, ((๐โ๐)(-gโ๐
)if(๐ โ ๐, 1 , 0 )), 0 ), (๐โ๐))) โพ ({๐ค} ร ๐)) = ((({๐ค} ร ๐) ร {((๐โ๐)(-gโ๐
)if(๐ โ ๐, 1 , 0 ))}) โf
ยท
((๐ โ (๐ ร ๐) โฆ if((1st โ๐) = (1st โ๐), if(๐ = ๐, 1 , 0 ), (๐โ๐))) โพ ({๐ค} ร ๐))))) |
372 | | reseq1 5929 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
โข (๐ง = (๐ โ (๐ ร ๐) โฆ if((1st โ๐) = (1st โ๐), if(๐ = ๐, 1 , 0 ), (๐โ๐))) โ (๐ง โพ ((๐ โ {๐ค}) ร ๐)) = ((๐ โ (๐ ร ๐) โฆ if((1st โ๐) = (1st โ๐), if(๐ = ๐, 1 , 0 ), (๐โ๐))) โพ ((๐ โ {๐ค}) ร ๐))) |
373 | 372 | eqeq2d 2748 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
โข (๐ง = (๐ โ (๐ ร ๐) โฆ if((1st โ๐) = (1st โ๐), if(๐ = ๐, 1 , 0 ), (๐โ๐))) โ (((๐ โ (๐ ร ๐) โฆ if((1st โ๐) = (1st โ๐), if(๐ = ๐, ((๐โ๐)(-gโ๐
)if(๐ โ ๐, 1 , 0 )), 0 ), (๐โ๐))) โพ ((๐ โ {๐ค}) ร ๐)) = (๐ง โพ ((๐ โ {๐ค}) ร ๐)) โ ((๐ โ (๐ ร ๐) โฆ if((1st โ๐) = (1st โ๐), if(๐ = ๐, ((๐โ๐)(-gโ๐
)if(๐ โ ๐, 1 , 0 )), 0 ), (๐โ๐))) โพ ((๐ โ {๐ค}) ร ๐)) = ((๐ โ (๐ ร ๐) โฆ if((1st โ๐) = (1st โ๐), if(๐ = ๐, 1 , 0 ), (๐โ๐))) โพ ((๐ โ {๐ค}) ร ๐)))) |
374 | 371, 373 | anbi12d 631 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
โข (๐ง = (๐ โ (๐ ร ๐) โฆ if((1st โ๐) = (1st โ๐), if(๐ = ๐, 1 , 0 ), (๐โ๐))) โ ((((๐ โ (๐ ร ๐) โฆ if((1st โ๐) = (1st โ๐), if(๐ = ๐, ((๐โ๐)(-gโ๐
)if(๐ โ ๐, 1 , 0 )), 0 ), (๐โ๐))) โพ ({๐ค} ร ๐)) = ((({๐ค} ร ๐) ร {((๐โ๐)(-gโ๐
)if(๐ โ ๐, 1 , 0 ))}) โf
ยท
(๐ง โพ ({๐ค} ร ๐))) โง ((๐ โ (๐ ร ๐) โฆ if((1st โ๐) = (1st โ๐), if(๐ = ๐, ((๐โ๐)(-gโ๐
)if(๐ โ ๐, 1 , 0 )), 0 ), (๐โ๐))) โพ ((๐ โ {๐ค}) ร ๐)) = (๐ง โพ ((๐ โ {๐ค}) ร ๐))) โ (((๐ โ (๐ ร ๐) โฆ if((1st โ๐) = (1st โ๐), if(๐ = ๐, ((๐โ๐)(-gโ๐
)if(๐ โ ๐, 1 , 0 )), 0 ), (๐โ๐))) โพ ({๐ค} ร ๐)) = ((({๐ค} ร ๐) ร {((๐โ๐)(-gโ๐
)if(๐ โ ๐, 1 , 0 ))}) โf
ยท
((๐ โ (๐ ร ๐) โฆ if((1st โ๐) = (1st โ๐), if(๐ = ๐, 1 , 0 ), (๐โ๐))) โพ ({๐ค} ร ๐))) โง ((๐ โ (๐ ร ๐) โฆ if((1st โ๐) = (1st โ๐), if(๐ = ๐, ((๐โ๐)(-gโ๐
)if(๐ โ ๐, 1 , 0 )), 0 ), (๐โ๐))) โพ ((๐ โ {๐ค}) ร ๐)) = ((๐ โ (๐ ร ๐) โฆ if((1st โ๐) = (1st โ๐), if(๐ = ๐, 1 , 0 ), (๐โ๐))) โพ ((๐ โ {๐ค}) ร ๐))))) |
375 | | fveq2 6839 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
โข (๐ง = (๐ โ (๐ ร ๐) โฆ if((1st โ๐) = (1st โ๐), if(๐ = ๐, 1 , 0 ), (๐โ๐))) โ (๐ทโ๐ง) = (๐ทโ(๐ โ (๐ ร ๐) โฆ if((1st โ๐) = (1st โ๐), if(๐ = ๐, 1 , 0 ), (๐โ๐))))) |
376 | 375 | oveq2d 7367 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
โข (๐ง = (๐ โ (๐ ร ๐) โฆ if((1st โ๐) = (1st โ๐), if(๐ = ๐, 1 , 0 ), (๐โ๐))) โ (((๐โ๐)(-gโ๐
)if(๐ โ ๐, 1 , 0 )) ยท (๐ทโ๐ง)) = (((๐โ๐)(-gโ๐
)if(๐ โ ๐, 1 , 0 )) ยท (๐ทโ(๐ โ (๐ ร ๐) โฆ if((1st โ๐) = (1st โ๐), if(๐ = ๐, 1 , 0 ), (๐โ๐)))))) |
377 | 376 | eqeq2d 2748 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
โข (๐ง = (๐ โ (๐ ร ๐) โฆ if((1st โ๐) = (1st โ๐), if(๐ = ๐, 1 , 0 ), (๐โ๐))) โ ((๐ทโ(๐ โ (๐ ร ๐) โฆ if((1st โ๐) = (1st โ๐), if(๐ = ๐, ((๐โ๐)(-gโ๐
)if(๐ โ ๐, 1 , 0 )), 0 ), (๐โ๐)))) = (((๐โ๐)(-gโ๐
)if(๐ โ ๐, 1 , 0 )) ยท (๐ทโ๐ง)) โ (๐ทโ(๐ โ (๐ ร ๐) โฆ if((1st โ๐) = (1st โ๐), if(๐ = ๐, ((๐โ๐)(-gโ๐
)if(๐ โ ๐, 1 , 0 )), 0 ), (๐โ๐)))) = (((๐โ๐)(-gโ๐
)if(๐ โ ๐, 1 , 0 )) ยท (๐ทโ(๐ โ (๐ ร ๐) โฆ if((1st โ๐) = (1st โ๐), if(๐ = ๐, 1 , 0 ), (๐โ๐))))))) |
378 | 374, 377 | imbi12d 344 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
โข (๐ง = (๐ โ (๐ ร ๐) โฆ if((1st โ๐) = (1st โ๐), if(๐ = ๐, 1 , 0 ), (๐โ๐))) โ (((((๐ โ (๐ ร ๐) โฆ if((1st โ๐) = (1st โ๐), if(๐ = ๐, ((๐โ๐)(-gโ๐
)if(๐ โ ๐, 1 , 0 )), 0 ), (๐โ๐))) โพ ({๐ค} ร ๐)) = ((({๐ค} ร ๐) ร {((๐โ๐)(-gโ๐
)if(๐ โ ๐, 1 , 0 ))}) โf
ยท
(๐ง โพ ({๐ค} ร ๐))) โง ((๐ โ (๐ ร ๐) โฆ if((1st โ๐) = (1st โ๐), if(๐ = ๐, ((๐โ๐)(-gโ๐
)if(๐ โ ๐, 1 , 0 )), 0 ), (๐โ๐))) โพ ((๐ โ {๐ค}) ร ๐)) = (๐ง โพ ((๐ โ {๐ค}) ร ๐))) โ (๐ทโ(๐ โ (๐ ร ๐) โฆ if((1st โ๐) = (1st โ๐), if(๐ = ๐, ((๐โ๐)(-gโ๐
)if(๐ โ ๐, 1 , 0 )), 0 ), (๐โ๐)))) = (((๐โ๐)(-gโ๐
)if(๐ โ ๐, 1 , 0 )) ยท (๐ทโ๐ง))) โ ((((๐ โ (๐ ร ๐) โฆ if((1st โ๐) = (1st โ๐), if(๐ = ๐, ((๐โ๐)(-gโ๐
)if(๐ โ ๐, 1 , 0 )), 0 ), (๐โ๐))) โพ ({๐ค} ร ๐)) = ((({๐ค} ร ๐) ร {((๐โ๐)(-gโ๐
)if(๐ โ ๐, 1 , 0 ))}) โf
ยท
((๐ โ (๐ ร ๐) โฆ if((1st โ๐) = (1st โ๐), if(๐ = ๐, 1 , 0 ), (๐โ๐))) โพ ({๐ค} ร ๐))) โง ((๐ โ (๐ ร ๐) โฆ if((1st โ๐) = (1st โ๐), if(๐ = ๐, ((๐โ๐)(-gโ๐
)if(๐ โ ๐, 1 , 0 )), 0 ), (๐โ๐))) โพ ((๐ โ {๐ค}) ร ๐)) = ((๐ โ (๐ ร ๐) โฆ if((1st โ๐) = (1st โ๐), if(๐ = ๐, 1 , 0 ), (๐โ๐))) โพ ((๐ โ {๐ค}) ร ๐))) โ (๐ทโ(๐ โ (๐ ร ๐) โฆ if((1st โ๐) = (1st โ๐), if(๐ = ๐, ((๐โ๐)(-gโ๐
)if(๐ โ ๐, 1 , 0 )), 0 ), (๐โ๐)))) = (((๐โ๐)(-gโ๐
)if(๐ โ ๐, 1 , 0 )) ยท (๐ทโ(๐ โ (๐ ร ๐) โฆ if((1st โ๐) = (1st โ๐), if(๐ = ๐, 1 , 0 ), (๐โ๐)))))))) |
379 | 270 | xpeq1d 5660 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
โข (๐ค = (1st โ๐) โ (({๐ค} ร ๐) ร {((๐โ๐)(-gโ๐
)if(๐ โ ๐, 1 , 0 ))}) = (({(1st
โ๐)} ร ๐) ร {((๐โ๐)(-gโ๐
)if(๐ โ ๐, 1 , 0 ))})) |
380 | 270 | reseq2d 5935 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
โข (๐ค = (1st โ๐) โ ((๐ โ (๐ ร ๐) โฆ if((1st โ๐) = (1st โ๐), if(๐ = ๐, 1 , 0 ), (๐โ๐))) โพ ({๐ค} ร ๐)) = ((๐ โ (๐ ร ๐) โฆ if((1st โ๐) = (1st โ๐), if(๐ = ๐, 1 , 0 ), (๐โ๐))) โพ ({(1st โ๐)} ร ๐))) |
381 | 379, 380 | oveq12d 7369 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
โข (๐ค = (1st โ๐) โ ((({๐ค} ร ๐) ร {((๐โ๐)(-gโ๐
)if(๐ โ ๐, 1 , 0 ))}) โf
ยท
((๐ โ (๐ ร ๐) โฆ if((1st โ๐) = (1st โ๐), if(๐ = ๐, 1 , 0 ), (๐โ๐))) โพ ({๐ค} ร ๐))) = ((({(1st โ๐)} ร ๐) ร {((๐โ๐)(-gโ๐
)if(๐ โ ๐, 1 , 0 ))}) โf
ยท
((๐ โ (๐ ร ๐) โฆ if((1st โ๐) = (1st โ๐), if(๐ = ๐, 1 , 0 ), (๐โ๐))) โพ ({(1st โ๐)} ร ๐)))) |
382 | 272, 381 | eqeq12d 2753 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
โข (๐ค = (1st โ๐) โ (((๐ โ (๐ ร ๐) โฆ if((1st โ๐) = (1st โ๐), if(๐ = ๐, ((๐โ๐)(-gโ๐
)if(๐ โ ๐, 1 , 0 )), 0 ), (๐โ๐))) โพ ({๐ค} ร ๐)) = ((({๐ค} ร ๐) ร {((๐โ๐)(-gโ๐
)if(๐ โ ๐, 1 , 0 ))}) โf
ยท
((๐ โ (๐ ร ๐) โฆ if((1st โ๐) = (1st โ๐), if(๐ = ๐, 1 , 0 ), (๐โ๐))) โพ ({๐ค} ร ๐))) โ ((๐ โ (๐ ร ๐) โฆ if((1st โ๐) = (1st โ๐), if(๐ = ๐, ((๐โ๐)(-gโ๐
)if(๐ โ ๐, 1 , 0 )), 0 ), (๐โ๐))) โพ ({(1st โ๐)} ร ๐)) = ((({(1st โ๐)} ร ๐) ร {((๐โ๐)(-gโ๐
)if(๐ โ ๐, 1 , 0 ))}) โf
ยท
((๐ โ (๐ ร ๐) โฆ if((1st โ๐) = (1st โ๐), if(๐ = ๐, 1 , 0 ), (๐โ๐))) โพ ({(1st โ๐)} ร ๐))))) |
383 | 277 | reseq2d 5935 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
โข (๐ค = (1st โ๐) โ ((๐ โ (๐ ร ๐) โฆ if((1st โ๐) = (1st โ๐), if(๐ = ๐, 1 , 0 ), (๐โ๐))) โพ ((๐ โ {๐ค}) ร ๐)) = ((๐ โ (๐ ร ๐) โฆ if((1st โ๐) = (1st โ๐), if(๐ = ๐, 1 , 0 ), (๐โ๐))) โพ ((๐ โ {(1st โ๐)}) ร ๐))) |
384 | 279, 383 | eqeq12d 2753 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
โข (๐ค = (1st โ๐) โ (((๐ โ (๐ ร ๐) โฆ if((1st โ๐) = (1st โ๐), if(๐ = ๐, ((๐โ๐)(-gโ๐
)if(๐ โ ๐, 1 , 0 )), 0 ), (๐โ๐))) โพ ((๐ โ {๐ค}) ร ๐)) = ((๐ โ (๐ ร ๐) โฆ if((1st โ๐) = (1st โ๐), if(๐ = ๐, 1 , 0 ), (๐โ๐))) โพ ((๐ โ {๐ค}) ร ๐)) โ ((๐ โ (๐ ร ๐) โฆ if((1st โ๐) = (1st โ๐), if(๐ = ๐, ((๐โ๐)(-gโ๐
)if(๐ โ ๐, 1 , 0 )), 0 ), (๐โ๐))) โพ ((๐ โ {(1st โ๐)}) ร ๐)) = ((๐ โ (๐ ร ๐) โฆ if((1st โ๐) = (1st โ๐), if(๐ = ๐, 1 , 0 ), (๐โ๐))) โพ ((๐ โ {(1st โ๐)}) ร ๐)))) |
385 | 382, 384 | anbi12d 631 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
โข (๐ค = (1st โ๐) โ ((((๐ โ (๐ ร ๐) โฆ if((1st โ๐) = (1st โ๐), if(๐ = ๐, ((๐โ๐)(-gโ๐
)if(๐ โ ๐, 1 , 0 )), 0 ), (๐โ๐))) โพ ({๐ค} ร ๐)) = ((({๐ค} ร ๐) ร {((๐โ๐)(-gโ๐
)if(๐ โ ๐, 1 , 0 ))}) โf
ยท
((๐ โ (๐ ร ๐) โฆ if((1st โ๐) = (1st โ๐), if(๐ = ๐, 1 , 0 ), (๐โ๐))) โพ ({๐ค} ร ๐))) โง ((๐ โ (๐ ร ๐) โฆ if((1st โ๐) = (1st โ๐), if(๐ = ๐, ((๐โ๐)(-gโ๐
)if(๐ โ ๐, 1 , 0 )), 0 ), (๐โ๐))) โพ ((๐ โ {๐ค}) ร ๐)) = ((๐ โ (๐ ร ๐) โฆ if((1st โ๐) = (1st โ๐), if(๐ = ๐, 1 , 0 ), (๐โ๐))) โพ ((๐ โ {๐ค}) ร ๐))) โ (((๐ โ (๐ ร ๐) โฆ if((1st โ๐) = (1st โ๐), if(๐ = ๐, ((๐โ๐)(-gโ๐
)if(๐ โ ๐, 1 , 0 )), 0 ), (๐โ๐))) โพ ({(1st โ๐)} ร ๐)) = ((({(1st โ๐)} ร ๐) ร {((๐โ๐)(-gโ๐
)if(๐ โ ๐, 1 , 0 ))}) โf
ยท
((๐ โ (๐ ร ๐) โฆ if((1st โ๐) = (1st โ๐), if(๐ = ๐, 1 , 0 ), (๐โ๐))) โพ ({(1st โ๐)} ร ๐))) โง ((๐ โ (๐ ร ๐) โฆ if((1st โ๐) = (1st โ๐), if(๐ = ๐, ((๐โ๐)(-gโ๐
)if(๐ โ ๐, 1 , 0 )), 0 ), (๐โ๐))) โพ ((๐ โ {(1st โ๐)}) ร ๐)) = ((๐ โ (๐ ร ๐) โฆ if((1st โ๐) = (1st โ๐), if(๐ = ๐, 1 , 0 ), (๐โ๐))) โพ ((๐ โ {(1st โ๐)}) ร ๐))))) |
386 | 385 | imbi1d 341 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
โข (๐ค = (1st โ๐) โ (((((๐ โ (๐ ร ๐) โฆ if((1st โ๐) = (1st โ๐), if(๐ = ๐, ((๐โ๐)(-gโ๐
)if(๐ โ ๐, 1 , 0 )), 0 ), (๐โ๐))) โพ ({๐ค} ร ๐)) = ((({๐ค} ร ๐) ร {((๐โ๐)(-gโ๐
)if(๐ โ ๐, 1 , 0 ))}) โf
ยท
((๐ โ (๐ ร ๐) โฆ if((1st โ๐) = (1st โ๐), if(๐ = ๐, 1 , 0 ), (๐โ๐))) โพ ({๐ค} ร ๐))) โง ((๐ โ (๐ ร ๐) โฆ if((1st โ๐) = (1st โ๐), if(๐ = ๐, ((๐โ๐)(-gโ๐
)if(๐ โ ๐, 1 , 0 )), 0 ), (๐โ๐))) โพ ((๐ โ {๐ค}) ร ๐)) = ((๐ โ (๐ ร ๐) โฆ if((1st โ๐) = (1st โ๐), if(๐ = ๐, 1 , 0 ), (๐โ๐))) โพ ((๐ โ {๐ค}) ร ๐))) โ (๐ทโ(๐ โ (๐ ร ๐) โฆ if((1st โ๐) = (1st โ๐), if(๐ = ๐, ((๐โ๐)(-gโ๐
)if(๐ โ ๐, 1 , 0 )), 0 ), (๐โ๐)))) = (((๐โ๐)(-gโ๐
)if(๐ โ ๐, 1 , 0 )) ยท (๐ทโ(๐ โ (๐ ร ๐) โฆ if((1st โ๐) = (1st โ๐), if(๐ = ๐, 1 , 0 ), (๐โ๐)))))) โ ((((๐ โ (๐ ร ๐) โฆ if((1st โ๐) = (1st โ๐), if(๐ = ๐, ((๐โ๐)(-gโ๐
)if(๐ โ ๐, 1 , 0 )), 0 ), (๐โ๐))) โพ ({(1st โ๐)} ร ๐)) = ((({(1st โ๐)} ร ๐) ร {((๐โ๐)(-gโ๐
)if(๐ โ ๐, 1 , 0 ))}) โf
ยท
((๐ โ (๐ ร ๐) โฆ if((1st โ๐) = (1st โ๐), if(๐ = ๐, 1 , 0 ), (๐โ๐))) โพ ({(1st โ๐)} ร ๐))) โง ((๐ โ (๐ ร ๐) โฆ if((1st โ๐) = (1st โ๐), if(๐ = ๐, ((๐โ๐)(-gโ๐
)if(๐ โ ๐, 1 , 0 )), 0 ), (๐โ๐))) โพ ((๐ โ {(1st โ๐)}) ร ๐)) = ((๐ โ (๐ ร ๐) โฆ if((1st โ๐) = (1st โ๐), if(๐ = ๐, 1 , 0 ), (๐โ๐))) โพ ((๐ โ {(1st โ๐)}) ร ๐))) โ (๐ทโ(๐ โ (๐ ร ๐) โฆ if((1st โ๐) = (1st โ๐), if(๐ = ๐, ((๐โ๐)(-gโ๐
)if(๐ โ ๐, 1 , 0 )), 0 ), (๐โ๐)))) = (((๐โ๐)(-gโ๐
)if(๐ โ ๐, 1 , 0 )) ยท (๐ทโ(๐ โ (๐ ร ๐) โฆ if((1st โ๐) = (1st โ๐), if(๐ = ๐, 1 , 0 ), (๐โ๐)))))))) |
387 | 378, 386 | rspc2va 3589 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
โข ((((๐ โ (๐ ร ๐) โฆ if((1st โ๐) = (1st โ๐), if(๐ = ๐, 1 , 0 ), (๐โ๐))) โ ๐ต โง (1st โ๐) โ ๐) โง โ๐ง โ ๐ต โ๐ค โ ๐ ((((๐ โ (๐ ร ๐) โฆ if((1st โ๐) = (1st โ๐), if(๐ = ๐, ((๐โ๐)(-gโ๐
)if(๐ โ ๐, 1 , 0 )), 0 ), (๐โ๐))) โพ ({๐ค} ร ๐)) = ((({๐ค} ร ๐) ร {((๐โ๐)(-gโ๐
)if(๐ โ ๐, 1 , 0 ))}) โf
ยท
(๐ง โพ ({๐ค} ร ๐))) โง ((๐ โ (๐ ร ๐) โฆ if((1st โ๐) = (1st โ๐), if(๐ = ๐, ((๐โ๐)(-gโ๐
)if(๐ โ ๐, 1 , 0 )), 0 ), (๐โ๐))) โพ ((๐ โ {๐ค}) ร ๐)) = (๐ง โพ ((๐ โ {๐ค}) ร ๐))) โ (๐ทโ(๐ โ (๐ ร ๐) โฆ if((1st โ๐) = (1st โ๐), if(๐ = ๐, ((๐โ๐)(-gโ๐
)if(๐ โ ๐, 1 , 0 )), 0 ), (๐โ๐)))) = (((๐โ๐)(-gโ๐
)if(๐ โ ๐, 1 , 0 )) ยท (๐ทโ๐ง)))) โ ((((๐ โ (๐ ร ๐) โฆ if((1st โ๐) = (1st โ๐), if(๐ = ๐, ((๐โ๐)(-gโ๐
)if(๐ โ ๐, 1 , 0 )), 0 ), (๐โ๐))) โพ ({(1st โ๐)} ร ๐)) = ((({(1st โ๐)} ร ๐) ร {((๐โ๐)(-gโ๐
)if(๐ โ ๐, 1 , 0 ))}) โf
ยท
((๐ โ (๐ ร ๐) โฆ if((1st โ๐) = (1st โ๐), if(๐ = ๐, 1 , 0 ), (๐โ๐))) โพ ({(1st โ๐)} ร ๐))) โง ((๐ โ (๐ ร ๐) โฆ if((1st โ๐) = (1st โ๐), if(๐ = ๐, ((๐โ๐)(-gโ๐
)if(๐ โ ๐, 1 , 0 )), 0 ), (๐โ๐))) โพ ((๐ โ {(1st โ๐)}) ร ๐)) = ((๐ โ (๐ ร ๐) โฆ if((1st โ๐) = (1st โ๐), if(๐ = ๐, 1 , 0 ), (๐โ๐))) โพ ((๐ โ {(1st โ๐)}) ร ๐))) โ (๐ทโ(๐ โ (๐ ร ๐) โฆ if((1st โ๐) = (1st โ๐), if(๐ = ๐, ((๐โ๐)(-gโ๐
)if(๐ โ ๐, 1 , 0 )), 0 ), (๐โ๐)))) = (((๐โ๐)(-gโ๐
)if(๐ โ ๐, 1 , 0 )) ยท (๐ทโ(๐ โ (๐ ร ๐) โฆ if((1st โ๐) = (1st โ๐), if(๐ = ๐, 1 , 0 ), (๐โ๐))))))) |
388 | 348, 124,
368, 387 | syl21anc 836 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
โข ((๐ โง (๐ โช {๐}) โ (๐ ร ๐) โง ๐ โ ๐ต) โ ((((๐ โ (๐ ร ๐) โฆ if((1st โ๐) = (1st โ๐), if(๐ = ๐, ((๐โ๐)(-gโ๐
)if(๐ โ ๐, 1 , 0 )), 0 ), (๐โ๐))) โพ ({(1st โ๐)} ร ๐)) = ((({(1st โ๐)} ร ๐) ร {((๐โ๐)(-gโ๐
)if(๐ โ ๐, 1 , 0 ))}) โf
ยท
((๐ โ (๐ ร ๐) โฆ if((1st โ๐) = (1st โ๐), if(๐ = ๐, 1 , 0 ), (๐โ๐))) โพ ({(1st โ๐)} ร ๐))) โง ((๐ โ (๐ ร ๐) โฆ if((1st โ๐) = (1st โ๐), if(๐ = ๐, ((๐โ๐)(-gโ๐
)if(๐ โ ๐, 1 , 0 )), 0 ), (๐โ๐))) โพ ((๐ โ {(1st โ๐)}) ร ๐)) = ((๐ โ (๐ ร ๐) โฆ if((1st โ๐) = (1st โ๐), if(๐ = ๐, 1 , 0 ), (๐โ๐))) โพ ((๐ โ {(1st โ๐)}) ร ๐))) โ (๐ทโ(๐ โ (๐ ร ๐) โฆ if((1st โ๐) = (1st โ๐), if(๐ = ๐, ((๐โ๐)(-gโ๐
)if(๐ โ ๐, 1 , 0 )), 0 ), (๐โ๐)))) = (((๐โ๐)(-gโ๐
)if(๐ โ ๐, 1 , 0 )) ยท (๐ทโ(๐ โ (๐ ร ๐) โฆ if((1st โ๐) = (1st โ๐), if(๐ = ๐, 1 , 0 ), (๐โ๐))))))) |
389 | 332, 340,
388 | mp2and 697 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
โข ((๐ โง (๐ โช {๐}) โ (๐ ร ๐) โง ๐ โ ๐ต) โ (๐ทโ(๐ โ (๐ ร ๐) โฆ if((1st โ๐) = (1st โ๐), if(๐ = ๐, ((๐โ๐)(-gโ๐
)if(๐ โ ๐, 1 , 0 )), 0 ), (๐โ๐)))) = (((๐โ๐)(-gโ๐
)if(๐ โ ๐, 1 , 0 )) ยท (๐ทโ(๐ โ (๐ ร ๐) โฆ if((1st โ๐) = (1st โ๐), if(๐ = ๐, 1 , 0 ), (๐โ๐)))))) |
390 | 389 | oveq1d 7366 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
โข ((๐ โง (๐ โช {๐}) โ (๐ ร ๐) โง ๐ โ ๐ต) โ ((๐ทโ(๐ โ (๐ ร ๐) โฆ if((1st โ๐) = (1st โ๐), if(๐ = ๐, ((๐โ๐)(-gโ๐
)if(๐ โ ๐, 1 , 0 )), 0 ), (๐โ๐)))) + (๐ทโ(๐ โ (๐ ร ๐) โฆ if(๐ = ๐, if(๐ โ ๐, 1 , 0 ), (๐โ๐))))) = ((((๐โ๐)(-gโ๐
)if(๐ โ ๐, 1 , 0 )) ยท (๐ทโ(๐ โ (๐ ร ๐) โฆ if((1st โ๐) = (1st โ๐), if(๐ = ๐, 1 , 0 ), (๐โ๐))))) + (๐ทโ(๐ โ (๐ ร ๐) โฆ if(๐ = ๐, if(๐ โ ๐, 1 , 0 ), (๐โ๐)))))) |
391 | 104, 105,
106, 390 | syl3anc 1371 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
โข (((๐ โง (๐ โช {๐}) โ (๐ ร ๐) โง (๐ โช {๐}) โ ๐) โง ((๐ โ ๐ต โง ๐ โ (๐ โm ๐)) โง โ๐ค โ ๐ (๐โ๐ค) = if(๐ค โ ๐, 1 , 0 ))) โ ((๐ทโ(๐ โ (๐ ร ๐) โฆ if((1st โ๐) = (1st โ๐), if(๐ = ๐, ((๐โ๐)(-gโ๐
)if(๐ โ ๐, 1 , 0 )), 0 ), (๐โ๐)))) + (๐ทโ(๐ โ (๐ ร ๐) โฆ if(๐ = ๐, if(๐ โ ๐, 1 , 0 ), (๐โ๐))))) = ((((๐โ๐)(-gโ๐
)if(๐ โ ๐, 1 , 0 )) ยท (๐ทโ(๐ โ (๐ ร ๐) โฆ if((1st โ๐) = (1st โ๐), if(๐ = ๐, 1 , 0 ), (๐โ๐))))) + (๐ทโ(๐ โ (๐ ร ๐) โฆ if(๐ = ๐, if(๐ โ ๐, 1 , 0 ), (๐โ๐)))))) |
392 | | simpl3 1193 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
โข (((๐ โง (๐ โช {๐}) โ (๐ ร ๐) โง (๐ โช {๐}) โ ๐) โง ((๐ โ ๐ต โง ๐ โ (๐ โm ๐)) โง โ๐ค โ ๐ (๐โ๐ค) = if(๐ค โ ๐, 1 , 0 ))) โ (๐ โช {๐}) โ ๐) |
393 | | simprlr 778 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
โข (((๐ โง (๐ โช {๐}) โ (๐ ร ๐) โง (๐ โช {๐}) โ ๐) โง ((๐ โ ๐ต โง ๐ โ (๐ โm ๐)) โง โ๐ค โ ๐ (๐โ๐ค) = if(๐ค โ ๐, 1 , 0 ))) โ ๐ โ (๐ โm ๐)) |
394 | | simprr 771 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
โข (((๐ โง (๐ โช {๐}) โ (๐ ร ๐) โง (๐ โช {๐}) โ ๐) โง ((๐ โ ๐ต โง ๐ โ (๐ โm ๐)) โง โ๐ค โ ๐ (๐โ๐ค) = if(๐ค โ ๐, 1 , 0 ))) โ โ๐ค โ ๐ (๐โ๐ค) = if(๐ค โ ๐, 1 , 0 )) |
395 | | ralss 4012 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
โข (๐ โ (๐ โช {๐}) โ (โ๐ค โ ๐ (๐โ๐ค) = if(๐ค โ ๐, 1 , 0 ) โ โ๐ค โ (๐ โช {๐})(๐ค โ ๐ โ (๐โ๐ค) = if(๐ค โ ๐, 1 , 0 )))) |
396 | 99, 395 | ax-mp 5 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
โข
(โ๐ค โ
๐ (๐โ๐ค) = if(๐ค โ ๐, 1 , 0 ) โ โ๐ค โ (๐ โช {๐})(๐ค โ ๐ โ (๐โ๐ค) = if(๐ค โ ๐, 1 , 0 ))) |
397 | | iftrue 4490 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . 37
โข
((1st โ๐ค) = (1st โ๐) โ if((1st โ๐ค) = (1st โ๐), if(๐ค = ๐, 1 , 0 ), (๐โ๐ค)) = if(๐ค = ๐, 1 , 0 )) |
398 | 397 | adantl 482 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . 36
โข
(((((๐ โง (๐ โช {๐}) โ (๐ ร ๐) โง ๐ โ ๐ต) โง ๐ โ (๐ โm ๐)) โง ๐ค โ (๐ โช {๐})) โง (1st โ๐ค) = (1st โ๐)) โ if((1st
โ๐ค) = (1st
โ๐), if(๐ค = ๐, 1 , 0 ), (๐โ๐ค)) = if(๐ค = ๐, 1 , 0 )) |
399 | | ibar 529 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . 39
โข
((1st โ๐ค) = (1st โ๐) โ ((2nd โ๐ค) = (2nd โ๐) โ ((1st
โ๐ค) = (1st
โ๐) โง
(2nd โ๐ค) =
(2nd โ๐)))) |
400 | 399 | adantl 482 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . 38
โข
(((((๐ โง (๐ โช {๐}) โ (๐ ร ๐) โง ๐ โ ๐ต) โง ๐ โ (๐ โm ๐)) โง ๐ค โ (๐ โช {๐})) โง (1st โ๐ค) = (1st โ๐)) โ ((2nd
โ๐ค) = (2nd
โ๐) โ
((1st โ๐ค)
= (1st โ๐)
โง (2nd โ๐ค) = (2nd โ๐)))) |
401 | | relxp 5649 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . 41
โข Rel
(๐ ร ๐) |
402 | | simpl2 1192 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . 43
โข (((๐ โง (๐ โช {๐}) โ (๐ ร ๐) โง ๐ โ ๐ต) โง ๐ โ (๐ โm ๐)) โ (๐ โช {๐}) โ (๐ ร ๐)) |
403 | 402 | sselda 3942 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . 42
โข ((((๐ โง (๐ โช {๐}) โ (๐ ร ๐) โง ๐ โ ๐ต) โง ๐ โ (๐ โm ๐)) โง ๐ค โ (๐ โช {๐})) โ ๐ค โ (๐ ร ๐)) |
404 | 403 | adantr 481 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . 41
โข
(((((๐ โง (๐ โช {๐}) โ (๐ ร ๐) โง ๐ โ ๐ต) โง ๐ โ (๐ โm ๐)) โง ๐ค โ (๐ โช {๐})) โง (1st โ๐ค) = (1st โ๐)) โ ๐ค โ (๐ ร ๐)) |
405 | | 1st2nd 7963 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . 41
โข ((Rel
(๐ ร ๐) โง ๐ค โ (๐ ร ๐)) โ ๐ค = โจ(1st โ๐ค), (2nd โ๐ค)โฉ) |
406 | 401, 404,
405 | sylancr 587 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . 40
โข
(((((๐ โง (๐ โช {๐}) โ (๐ ร ๐) โง ๐ โ ๐ต) โง ๐ โ (๐ โm ๐)) โง ๐ค โ (๐ โช {๐})) โง (1st โ๐ค) = (1st โ๐)) โ ๐ค = โจ(1st โ๐ค), (2nd โ๐ค)โฉ) |
407 | 406 | eleq1d 2822 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . 39
โข
(((((๐ โง (๐ โช {๐}) โ (๐ ร ๐) โง ๐ โ ๐ต) โง ๐ โ (๐ โm ๐)) โง ๐ค โ (๐ โช {๐})) โง (1st โ๐ค) = (1st โ๐)) โ (๐ค โ (๐ sSet โจ(1st โ๐), (2nd โ๐)โฉ) โ
โจ(1st โ๐ค), (2nd โ๐ค)โฉ โ (๐ sSet โจ(1st โ๐), (2nd โ๐)โฉ))) |
408 | | simpr 485 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . 43
โข (((๐ โง (๐ โช {๐}) โ (๐ ร ๐) โง ๐ โ ๐ต) โง ๐ โ (๐ โm ๐)) โ ๐ โ (๐ โm ๐)) |
409 | | elmapi 8745 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . 44
โข (๐ โ (๐ โm ๐) โ ๐:๐โถ๐) |
410 | 409 | adantl 482 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . 43
โข (((๐ โง (๐ โช {๐}) โ (๐ ร ๐) โง ๐ โ ๐ต) โง ๐ โ (๐ โm ๐)) โ ๐:๐โถ๐) |
411 | 124 | adantr 481 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . 43
โข (((๐ โง (๐ โช {๐}) โ (๐ ร ๐) โง ๐ โ ๐ต) โง ๐ โ (๐ โm ๐)) โ (1st โ๐) โ ๐) |
412 | | xp2nd 7946 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . 45
โข (๐ โ (๐ ร ๐) โ (2nd โ๐) โ ๐) |
413 | 122, 412 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . 44
โข ((๐ โง (๐ โช {๐}) โ (๐ ร ๐) โง ๐ โ ๐ต) โ (2nd โ๐) โ ๐) |
414 | 413 | adantr 481 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . 43
โข (((๐ โง (๐ โช {๐}) โ (๐ ร ๐) โง ๐ โ ๐ต) โง ๐ โ (๐ โm ๐)) โ (2nd โ๐) โ ๐) |
415 | | fsets 17001 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . 43
โข (((๐ โ (๐ โm ๐) โง ๐:๐โถ๐) โง (1st โ๐) โ ๐ โง (2nd โ๐) โ ๐) โ (๐ sSet โจ(1st โ๐), (2nd โ๐)โฉ):๐โถ๐) |
416 | 408, 410,
411, 414, 415 | syl211anc 1376 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . 42
โข (((๐ โง (๐ โช {๐}) โ (๐ ร ๐) โง ๐ โ ๐ต) โง ๐ โ (๐ โm ๐)) โ (๐ sSet โจ(1st โ๐), (2nd โ๐)โฉ):๐โถ๐) |
417 | 416 | ffnd 6666 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . 41
โข (((๐ โง (๐ โช {๐}) โ (๐ ร ๐) โง ๐ โ ๐ต) โง ๐ โ (๐ โm ๐)) โ (๐ sSet โจ(1st โ๐), (2nd โ๐)โฉ) Fn ๐) |
418 | 417 | ad2antrr 724 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . 40
โข
(((((๐ โง (๐ โช {๐}) โ (๐ ร ๐) โง ๐ โ ๐ต) โง ๐ โ (๐ โm ๐)) โง ๐ค โ (๐ โช {๐})) โง (1st โ๐ค) = (1st โ๐)) โ (๐ sSet โจ(1st โ๐), (2nd โ๐)โฉ) Fn ๐) |
419 | | xp1st 7945 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . 42
โข (๐ค โ (๐ ร ๐) โ (1st โ๐ค) โ ๐) |
420 | 403, 419 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . 41
โข ((((๐ โง (๐ โช {๐}) โ (๐ ร ๐) โง ๐ โ ๐ต) โง ๐ โ (๐ โm ๐)) โง ๐ค โ (๐ โช {๐})) โ (1st โ๐ค) โ ๐) |
421 | 420 | adantr 481 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . 40
โข
(((((๐ โง (๐ โช {๐}) โ (๐ ร ๐) โง ๐ โ ๐ต) โง ๐ โ (๐ โm ๐)) โง ๐ค โ (๐ โช {๐})) โง (1st โ๐ค) = (1st โ๐)) โ (1st
โ๐ค) โ ๐) |
422 | | fnopfvb 6893 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . 40
โข (((๐ sSet โจ(1st
โ๐), (2nd
โ๐)โฉ) Fn ๐ โง (1st
โ๐ค) โ ๐) โ (((๐ sSet โจ(1st โ๐), (2nd โ๐)โฉ)โ(1st
โ๐ค)) =
(2nd โ๐ค)
โ โจ(1st โ๐ค), (2nd โ๐ค)โฉ โ (๐ sSet โจ(1st โ๐), (2nd โ๐)โฉ))) |
423 | 418, 421,
422 | syl2anc 584 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . 39
โข
(((((๐ โง (๐ โช {๐}) โ (๐ ร ๐) โง ๐ โ ๐ต) โง ๐ โ (๐ โm ๐)) โง ๐ค โ (๐ โช {๐})) โง (1st โ๐ค) = (1st โ๐)) โ (((๐ sSet โจ(1st โ๐), (2nd โ๐)โฉ)โ(1st
โ๐ค)) =
(2nd โ๐ค)
โ โจ(1st โ๐ค), (2nd โ๐ค)โฉ โ (๐ sSet โจ(1st โ๐), (2nd โ๐)โฉ))) |
424 | | fveq2 6839 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . 43
โข
((1st โ๐ค) = (1st โ๐) โ ((๐ sSet โจ(1st โ๐), (2nd โ๐)โฉ)โ(1st
โ๐ค)) = ((๐ sSet โจ(1st
โ๐), (2nd
โ๐)โฉ)โ(1st โ๐))) |
425 | 424 | adantl 482 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . 42
โข
(((((๐ โง (๐ โช {๐}) โ (๐ ร ๐) โง ๐ โ ๐ต) โง ๐ โ (๐ โm ๐)) โง ๐ค โ (๐ โช {๐})) โง (1st โ๐ค) = (1st โ๐)) โ ((๐ sSet โจ(1st โ๐), (2nd โ๐)โฉ)โ(1st
โ๐ค)) = ((๐ sSet โจ(1st
โ๐), (2nd
โ๐)โฉ)โ(1st โ๐))) |
426 | | vex 3447 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . 43
โข ๐ โ V |
427 | | fvex 6852 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . 43
โข
(1st โ๐) โ V |
428 | | fvex 6852 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . 43
โข
(2nd โ๐) โ V |
429 | | fvsetsid 17000 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . 43
โข ((๐ โ V โง (1st
โ๐) โ V โง
(2nd โ๐)
โ V) โ ((๐ sSet
โจ(1st โ๐), (2nd โ๐)โฉ)โ(1st โ๐)) = (2nd
โ๐)) |
430 | 426, 427,
428, 429 | mp3an 1461 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . 42
โข ((๐ sSet โจ(1st
โ๐), (2nd
โ๐)โฉ)โ(1st โ๐)) = (2nd
โ๐) |
431 | 425, 430 | eqtrdi 2793 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . 41
โข
(((((๐ โง (๐ โช {๐}) โ (๐ ร ๐) โง ๐ โ ๐ต) โง ๐ โ (๐ โm ๐)) โง ๐ค โ (๐ โช {๐})) โง (1st โ๐ค) = (1st โ๐)) โ ((๐ sSet โจ(1st โ๐), (2nd โ๐)โฉ)โ(1st
โ๐ค)) =
(2nd โ๐)) |
432 | 431 | eqeq1d 2739 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . 40
โข
(((((๐ โง (๐ โช {๐}) โ (๐ ร ๐) โง ๐ โ ๐ต) โง ๐ โ (๐ โm ๐)) โง ๐ค โ (๐ โช {๐})) โง (1st โ๐ค) = (1st โ๐)) โ (((๐ sSet โจ(1st โ๐), (2nd โ๐)โฉ)โ(1st
โ๐ค)) =
(2nd โ๐ค)
โ (2nd โ๐) = (2nd โ๐ค))) |
433 | | eqcom 2744 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . 40
โข
((2nd โ๐) = (2nd โ๐ค) โ (2nd โ๐ค) = (2nd โ๐)) |
434 | 432, 433 | bitrdi 286 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . 39
โข
(((((๐ โง (๐ โช {๐}) โ (๐ ร ๐) โง ๐ โ ๐ต) โง ๐ โ (๐ โm ๐)) โง ๐ค โ (๐ โช {๐})) โง (1st โ๐ค) = (1st โ๐)) โ (((๐ sSet โจ(1st โ๐), (2nd โ๐)โฉ)โ(1st
โ๐ค)) =
(2nd โ๐ค)
โ (2nd โ๐ค) = (2nd โ๐))) |
435 | 407, 423,
434 | 3bitr2rd 307 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . 38
โข
(((((๐ โง (๐ โช {๐}) โ (๐ ร ๐) โง ๐ โ ๐ต) โง ๐ โ (๐ โm ๐)) โง ๐ค โ (๐ โช {๐})) โง (1st โ๐ค) = (1st โ๐)) โ ((2nd
โ๐ค) = (2nd
โ๐) โ ๐ค โ (๐ sSet โจ(1st โ๐), (2nd โ๐)โฉ))) |
436 | 122 | ad3antrrr 728 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . 39
โข
(((((๐ โง (๐ โช {๐}) โ (๐ ร ๐) โง ๐ โ ๐ต) โง ๐ โ (๐ โm ๐)) โง ๐ค โ (๐ โช {๐})) โง (1st โ๐ค) = (1st โ๐)) โ ๐ โ (๐ ร ๐)) |
437 | | xpopth 7954 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . 39
โข ((๐ค โ (๐ ร ๐) โง ๐ โ (๐ ร ๐)) โ (((1st โ๐ค) = (1st โ๐) โง (2nd
โ๐ค) = (2nd
โ๐)) โ ๐ค = ๐)) |
438 | 404, 436,
437 | syl2anc 584 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . 38
โข
(((((๐ โง (๐ โช {๐}) โ (๐ ร ๐) โง ๐ โ ๐ต) โง ๐ โ (๐ โm ๐)) โง ๐ค โ (๐ โช {๐})) โง (1st โ๐ค) = (1st โ๐)) โ (((1st
โ๐ค) = (1st
โ๐) โง
(2nd โ๐ค) =
(2nd โ๐))
โ ๐ค = ๐)) |
439 | 400, 435,
438 | 3bitr3rd 309 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . 37
โข
(((((๐ โง (๐ โช {๐}) โ (๐ ร ๐) โง ๐ โ ๐ต) โง ๐ โ (๐ โm ๐)) โง ๐ค โ (๐ โช {๐})) โง (1st โ๐ค) = (1st โ๐)) โ (๐ค = ๐ โ ๐ค โ (๐ sSet โจ(1st โ๐), (2nd โ๐)โฉ))) |
440 | 439 | ifbid 4507 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . 36
โข
(((((๐ โง (๐ โช {๐}) โ (๐ ร ๐) โง ๐ โ ๐ต) โง ๐ โ (๐ โm ๐)) โง ๐ค โ (๐ โช {๐})) โง (1st โ๐ค) = (1st โ๐)) โ if(๐ค = ๐, 1 , 0 ) = if(๐ค โ (๐ sSet โจ(1st โ๐), (2nd โ๐)โฉ), 1 , 0 )) |
441 | 398, 440 | eqtrd 2777 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. 35
โข
(((((๐ โง (๐ โช {๐}) โ (๐ ร ๐) โง ๐ โ ๐ต) โง ๐ โ (๐ โm ๐)) โง ๐ค โ (๐ โช {๐})) โง (1st โ๐ค) = (1st โ๐)) โ if((1st
โ๐ค) = (1st
โ๐), if(๐ค = ๐, 1 , 0 ), (๐โ๐ค)) = if(๐ค โ (๐ sSet โจ(1st โ๐), (2nd โ๐)โฉ), 1 , 0 )) |
442 | 441 | a1d 25 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
โข
(((((๐ โง (๐ โช {๐}) โ (๐ ร ๐) โง ๐ โ ๐ต) โง ๐ โ (๐ โm ๐)) โง ๐ค โ (๐ โช {๐})) โง (1st โ๐ค) = (1st โ๐)) โ ((๐ค โ ๐ โ (๐โ๐ค) = if(๐ค โ ๐, 1 , 0 )) โ
if((1st โ๐ค) = (1st โ๐), if(๐ค = ๐, 1 , 0 ), (๐โ๐ค)) = if(๐ค โ (๐ sSet โจ(1st โ๐), (2nd โ๐)โฉ), 1 , 0 ))) |
443 | | elsni 4601 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . 40
โข (๐ค โ {๐} โ ๐ค = ๐) |
444 | 443 | fveq2d 6843 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . 39
โข (๐ค โ {๐} โ (1st โ๐ค) = (1st โ๐)) |
445 | 444 | con3i 154 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . 38
โข (ยฌ
(1st โ๐ค) =
(1st โ๐)
โ ยฌ ๐ค โ
{๐}) |
446 | 445 | adantl 482 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . 37
โข ((๐ค โ (๐ โช {๐}) โง ยฌ (1st โ๐ค) = (1st โ๐)) โ ยฌ ๐ค โ {๐}) |
447 | | elun 4106 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . 39
โข (๐ค โ (๐ โช {๐}) โ (๐ค โ ๐ โจ ๐ค โ {๐})) |
448 | 447 | biimpi 215 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . 38
โข (๐ค โ (๐ โช {๐}) โ (๐ค โ ๐ โจ ๐ค โ {๐})) |
449 | 448 | adantr 481 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . 37
โข ((๐ค โ (๐ โช {๐}) โง ยฌ (1st โ๐ค) = (1st โ๐)) โ (๐ค โ ๐ โจ ๐ค โ {๐})) |
450 | | orel2 889 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . 37
โข (ยฌ
๐ค โ {๐} โ ((๐ค โ ๐ โจ ๐ค โ {๐}) โ ๐ค โ ๐)) |
451 | 446, 449,
450 | sylc 65 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . 36
โข ((๐ค โ (๐ โช {๐}) โง ยฌ (1st โ๐ค) = (1st โ๐)) โ ๐ค โ ๐) |
452 | 451 | adantll 712 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. 35
โข
(((((๐ โง (๐ โช {๐}) โ (๐ ร ๐) โง ๐ โ ๐ต) โง ๐ โ (๐ โm ๐)) โง ๐ค โ (๐ โช {๐})) โง ยฌ (1st โ๐ค) = (1st โ๐)) โ ๐ค โ ๐) |
453 | | iffalse 4493 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . 38
โข (ยฌ
(1st โ๐ค) =
(1st โ๐)
โ if((1st โ๐ค) = (1st โ๐), if(๐ค = ๐, 1 , 0 ), if(๐ค โ ๐, 1 , 0 )) = if(๐ค โ ๐, 1 , 0 )) |
454 | 453 | adantl 482 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . 37
โข
(((((๐ โง (๐ โช {๐}) โ (๐ ร ๐) โง ๐ โ ๐ต) โง ๐ โ (๐ โm ๐)) โง ๐ค โ (๐ โช {๐})) โง ยฌ (1st โ๐ค) = (1st โ๐)) โ if((1st
โ๐ค) = (1st
โ๐), if(๐ค = ๐, 1 , 0 ), if(๐ค โ ๐, 1 , 0 )) = if(๐ค โ ๐, 1 , 0 )) |
455 | | setsres 17010 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . 41
โข (๐ โ V โ ((๐ sSet โจ(1st
โ๐), (2nd
โ๐)โฉ) โพ (V
โ {(1st โ๐)})) = (๐ โพ (V โ {(1st
โ๐)}))) |
456 | 455 | eleq2d 2823 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . 40
โข (๐ โ V โ
(โจ(1st โ๐ค), (2nd โ๐ค)โฉ โ ((๐ sSet โจ(1st โ๐), (2nd โ๐)โฉ) โพ (V โ
{(1st โ๐)})) โ โจ(1st
โ๐ค), (2nd
โ๐ค)โฉ โ
(๐ โพ (V โ
{(1st โ๐)})))) |
457 | 426, 456 | mp1i 13 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . 39
โข
(((((๐ โง (๐ โช {๐}) โ (๐ ร ๐) โง ๐ โ ๐ต) โง ๐ โ (๐ โm ๐)) โง ๐ค โ (๐ โช {๐})) โง ยฌ (1st โ๐ค) = (1st โ๐)) โ (โจ(1st
โ๐ค), (2nd
โ๐ค)โฉ โ
((๐ sSet
โจ(1st โ๐), (2nd โ๐)โฉ) โพ (V โ {(1st
โ๐)})) โ
โจ(1st โ๐ค), (2nd โ๐ค)โฉ โ (๐ โพ (V โ {(1st
โ๐)})))) |
458 | | fvex 6852 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . 42
โข
(1st โ๐ค) โ V |
459 | 458 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . 41
โข (ยฌ
(1st โ๐ค) =
(1st โ๐)
โ (1st โ๐ค) โ V) |
460 | | neqne 2949 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . 41
โข (ยฌ
(1st โ๐ค) =
(1st โ๐)
โ (1st โ๐ค) โ (1st โ๐)) |
461 | | eldifsn 4745 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . 41
โข
((1st โ๐ค) โ (V โ {(1st
โ๐)}) โ
((1st โ๐ค)
โ V โง (1st โ๐ค) โ (1st โ๐))) |
462 | 459, 460,
461 | sylanbrc 583 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . 40
โข (ยฌ
(1st โ๐ค) =
(1st โ๐)
โ (1st โ๐ค) โ (V โ {(1st
โ๐)})) |
463 | | fvex 6852 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . 43
โข
(2nd โ๐ค) โ V |
464 | 463 | opres 5945 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . 42
โข
((1st โ๐ค) โ (V โ {(1st
โ๐)}) โ
(โจ(1st โ๐ค), (2nd โ๐ค)โฉ โ ((๐ sSet โจ(1st โ๐), (2nd โ๐)โฉ) โพ (V โ
{(1st โ๐)})) โ โจ(1st
โ๐ค), (2nd
โ๐ค)โฉ โ
(๐ sSet
โจ(1st โ๐), (2nd โ๐)โฉ))) |
465 | 464 | adantl 482 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . 41
โข ((๐ค โ (๐ ร ๐) โง (1st โ๐ค) โ (V โ
{(1st โ๐)})) โ (โจ(1st
โ๐ค), (2nd
โ๐ค)โฉ โ
((๐ sSet
โจ(1st โ๐), (2nd โ๐)โฉ) โพ (V โ {(1st
โ๐)})) โ
โจ(1st โ๐ค), (2nd โ๐ค)โฉ โ (๐ sSet โจ(1st โ๐), (2nd โ๐)โฉ))) |
466 | | 1st2nd2 7952 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . 43
โข (๐ค โ (๐ ร ๐) โ ๐ค = โจ(1st โ๐ค), (2nd โ๐ค)โฉ) |
467 | 466 | eleq1d 2822 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . 42
โข (๐ค โ (๐ ร ๐) โ (๐ค โ (๐ sSet โจ(1st โ๐), (2nd โ๐)โฉ) โ
โจ(1st โ๐ค), (2nd โ๐ค)โฉ โ (๐ sSet โจ(1st โ๐), (2nd โ๐)โฉ))) |
468 | 467 | adantr 481 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . 41
โข ((๐ค โ (๐ ร ๐) โง (1st โ๐ค) โ (V โ
{(1st โ๐)})) โ (๐ค โ (๐ sSet โจ(1st โ๐), (2nd โ๐)โฉ) โ
โจ(1st โ๐ค), (2nd โ๐ค)โฉ โ (๐ sSet โจ(1st โ๐), (2nd โ๐)โฉ))) |
469 | 465, 468 | bitr4d 281 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . 40
โข ((๐ค โ (๐ ร ๐) โง (1st โ๐ค) โ (V โ
{(1st โ๐)})) โ (โจ(1st
โ๐ค), (2nd
โ๐ค)โฉ โ
((๐ sSet
โจ(1st โ๐), (2nd โ๐)โฉ) โพ (V โ {(1st
โ๐)})) โ ๐ค โ (๐ sSet โจ(1st โ๐), (2nd โ๐)โฉ))) |
470 | 403, 462,
469 | syl2an 596 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . 39
โข
(((((๐ โง (๐ โช {๐}) โ (๐ ร ๐) โง ๐ โ ๐ต) โง ๐ โ (๐ โm ๐)) โง ๐ค โ (๐ โช {๐})) โง ยฌ (1st โ๐ค) = (1st โ๐)) โ (โจ(1st
โ๐ค), (2nd
โ๐ค)โฉ โ
((๐ sSet
โจ(1st โ๐), (2nd โ๐)โฉ) โพ (V โ {(1st
โ๐)})) โ ๐ค โ (๐ sSet โจ(1st โ๐), (2nd โ๐)โฉ))) |
471 | 463 | opres 5945 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . 42
โข
((1st โ๐ค) โ (V โ {(1st
โ๐)}) โ
(โจ(1st โ๐ค), (2nd โ๐ค)โฉ โ (๐ โพ (V โ {(1st
โ๐)})) โ
โจ(1st โ๐ค), (2nd โ๐ค)โฉ โ ๐)) |
472 | 471 | adantl 482 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . 41
โข ((๐ค โ (๐ ร ๐) โง (1st โ๐ค) โ (V โ
{(1st โ๐)})) โ (โจ(1st
โ๐ค), (2nd
โ๐ค)โฉ โ
(๐ โพ (V โ
{(1st โ๐)})) โ โจ(1st
โ๐ค), (2nd
โ๐ค)โฉ โ
๐)) |
473 | 466 | eleq1d 2822 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . 42
โข (๐ค โ (๐ ร ๐) โ (๐ค โ ๐ โ โจ(1st โ๐ค), (2nd โ๐ค)โฉ โ ๐)) |
474 | 473 | adantr 481 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . 41
โข ((๐ค โ (๐ ร ๐) โง (1st โ๐ค) โ (V โ
{(1st โ๐)})) โ (๐ค โ ๐ โ โจ(1st โ๐ค), (2nd โ๐ค)โฉ โ ๐)) |
475 | 472, 474 | bitr4d 281 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . 40
โข ((๐ค โ (๐ ร ๐) โง (1st โ๐ค) โ (V โ
{(1st โ๐)})) โ (โจ(1st
โ๐ค), (2nd
โ๐ค)โฉ โ
(๐ โพ (V โ
{(1st โ๐)})) โ ๐ค โ ๐)) |
476 | 403, 462,
475 | syl2an 596 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . 39
โข
(((((๐ โง (๐ โช {๐}) โ (๐ ร ๐) โง ๐ โ ๐ต) โง ๐ โ (๐ โm ๐)) โง ๐ค โ (๐ โช {๐})) โง ยฌ (1st โ๐ค) = (1st โ๐)) โ (โจ(1st
โ๐ค), (2nd
โ๐ค)โฉ โ
(๐ โพ (V โ
{(1st โ๐)})) โ ๐ค โ ๐)) |
477 | 457, 470,
476 | 3bitr3rd 309 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . 38
โข
(((((๐ โง (๐ โช {๐}) โ (๐ ร ๐) โง ๐ โ ๐ต) โง ๐ โ (๐ โm ๐)) โง ๐ค โ (๐ โช {๐})) โง ยฌ (1st โ๐ค) = (1st โ๐)) โ (๐ค โ ๐ โ ๐ค โ (๐ sSet โจ(1st โ๐), (2nd โ๐)โฉ))) |
478 | 477 | ifbid 4507 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . 37
โข
(((((๐ โง (๐ โช {๐}) โ (๐ ร ๐) โง ๐ โ ๐ต) โง ๐ โ (๐ โm ๐)) โง ๐ค โ (๐ โช {๐})) โง ยฌ (1st โ๐ค) = (1st โ๐)) โ if(๐ค โ ๐, 1 , 0 ) = if(๐ค โ (๐ sSet โจ(1st โ๐), (2nd โ๐)โฉ), 1 , 0 )) |
479 | 454, 478 | eqtrd 2777 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . 36
โข
(((((๐ โง (๐ โช {๐}) โ (๐ ร ๐) โง ๐ โ ๐ต) โง ๐ โ (๐ โm ๐)) โง ๐ค โ (๐ โช {๐})) โง ยฌ (1st โ๐ค) = (1st โ๐)) โ if((1st
โ๐ค) = (1st
โ๐), if(๐ค = ๐, 1 , 0 ), if(๐ค โ ๐, 1 , 0 )) = if(๐ค โ (๐ sSet โจ(1st โ๐), (2nd โ๐)โฉ), 1 , 0 )) |
480 | | ifeq2 4489 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . 37
โข ((๐โ๐ค) = if(๐ค โ ๐, 1 , 0 ) โ
if((1st โ๐ค) = (1st โ๐), if(๐ค = ๐, 1 , 0 ), (๐โ๐ค)) = if((1st โ๐ค) = (1st โ๐), if(๐ค = ๐, 1 , 0 ), if(๐ค โ ๐, 1 , 0 ))) |
481 | 480 | eqeq1d 2739 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . 36
โข ((๐โ๐ค) = if(๐ค โ ๐, 1 , 0 ) โ
(if((1st โ๐ค) = (1st โ๐), if(๐ค = ๐, 1 , 0 ), (๐โ๐ค)) = if(๐ค โ (๐ sSet โจ(1st โ๐), (2nd โ๐)โฉ), 1 , 0 ) โ
if((1st โ๐ค) = (1st โ๐), if(๐ค = ๐, 1 , 0 ), if(๐ค โ ๐, 1 , 0 )) = if(๐ค โ (๐ sSet โจ(1st โ๐), (2nd โ๐)โฉ), 1 , 0 ))) |
482 | 479, 481 | syl5ibrcom 246 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. 35
โข
(((((๐ โง (๐ โช {๐}) โ (๐ ร ๐) โง ๐ โ ๐ต) โง ๐ โ (๐ โm ๐)) โง ๐ค โ (๐ โช {๐})) โง ยฌ (1st โ๐ค) = (1st โ๐)) โ ((๐โ๐ค) = if(๐ค โ ๐, 1 , 0 ) โ
if((1st โ๐ค) = (1st โ๐), if(๐ค = ๐, 1 , 0 ), (๐โ๐ค)) = if(๐ค โ (๐ sSet โจ(1st โ๐), (2nd โ๐)โฉ), 1 , 0 ))) |
483 | 452, 482 | embantd 59 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
โข
(((((๐ โง (๐ โช {๐}) โ (๐ ร ๐) โง ๐ โ ๐ต) โง ๐ โ (๐ โm ๐)) โง ๐ค โ (๐ โช {๐})) โง ยฌ (1st โ๐ค) = (1st โ๐)) โ ((๐ค โ ๐ โ (๐โ๐ค) = if(๐ค โ ๐, 1 , 0 )) โ
if((1st โ๐ค) = (1st โ๐), if(๐ค = ๐, 1 , 0 ), (๐โ๐ค)) = if(๐ค โ (๐ sSet โจ(1st โ๐), (2nd โ๐)โฉ), 1 , 0 ))) |
484 | 442, 483 | pm2.61dan 811 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
โข ((((๐ โง (๐ โช {๐}) โ (๐ ร ๐) โง ๐ โ ๐ต) โง ๐ โ (๐ โm ๐)) โง ๐ค โ (๐ โช {๐})) โ ((๐ค โ ๐ โ (๐โ๐ค) = if(๐ค โ ๐, 1 , 0 )) โ
if((1st โ๐ค) = (1st โ๐), if(๐ค = ๐, 1 , 0 ), (๐โ๐ค)) = if(๐ค โ (๐ sSet โจ(1st โ๐), (2nd โ๐)โฉ), 1 , 0 ))) |
485 | | fveqeq2 6848 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . 37
โข (๐ = ๐ค โ ((1st โ๐) = (1st โ๐) โ (1st
โ๐ค) = (1st
โ๐))) |
486 | | equequ1 2028 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . 38
โข (๐ = ๐ค โ (๐ = ๐ โ ๐ค = ๐)) |
487 | 486 | ifbid 4507 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . 37
โข (๐ = ๐ค โ if(๐ = ๐, 1 , 0 ) = if(๐ค = ๐, 1 , 0 )) |
488 | | fveq2 6839 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . 37
โข (๐ = ๐ค โ (๐โ๐) = (๐โ๐ค)) |
489 | 485, 487,
488 | ifbieq12d 4512 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . 36
โข (๐ = ๐ค โ if((1st โ๐) = (1st โ๐), if(๐ = ๐, 1 , 0 ), (๐โ๐)) = if((1st โ๐ค) = (1st โ๐), if(๐ค = ๐, 1 , 0 ), (๐โ๐ค))) |
490 | | eqid 2737 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . 36
โข (๐ โ (๐ ร ๐) โฆ if((1st โ๐) = (1st โ๐), if(๐ = ๐, 1 , 0 ), (๐โ๐))) = (๐ โ (๐ ร ๐) โฆ if((1st โ๐) = (1st โ๐), if(๐ = ๐, 1 , 0 ), (๐โ๐))) |
491 | 165, 162 | ifex 4534 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . 37
โข if(๐ค = ๐, 1 , 0 ) โ
V |
492 | | fvex 6852 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . 37
โข (๐โ๐ค) โ V |
493 | 491, 492 | ifex 4534 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . 36
โข
if((1st โ๐ค) = (1st โ๐), if(๐ค = ๐, 1 , 0 ), (๐โ๐ค)) โ V |
494 | 489, 490,
493 | fvmpt 6945 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. 35
โข (๐ค โ (๐ ร ๐) โ ((๐ โ (๐ ร ๐) โฆ if((1st โ๐) = (1st โ๐), if(๐ = ๐, 1 , 0 ), (๐โ๐)))โ๐ค) = if((1st โ๐ค) = (1st โ๐), if(๐ค = ๐, 1 , 0 ), (๐โ๐ค))) |
495 | 494 | eqeq1d 2739 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
โข (๐ค โ (๐ ร ๐) โ (((๐ โ (๐ ร ๐) โฆ if((1st โ๐) = (1st โ๐), if(๐ = ๐, 1 , 0 ), (๐โ๐)))โ๐ค) = if(๐ค โ (๐ sSet โจ(1st โ๐), (2nd โ๐)โฉ), 1 , 0 ) โ
if((1st โ๐ค) = (1st โ๐), if(๐ค = ๐, 1 , 0 ), (๐โ๐ค)) = if(๐ค โ (๐ sSet โจ(1st โ๐), (2nd โ๐)โฉ), 1 , 0 ))) |
496 | 403, 495 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
โข ((((๐ โง (๐ โช {๐}) โ (๐ ร ๐) โง ๐ โ ๐ต) โง ๐ โ (๐ โm ๐)) โง ๐ค โ (๐ โช {๐})) โ (((๐ โ (๐ ร ๐) โฆ if((1st โ๐) = (1st โ๐), if(๐ = ๐, 1 , 0 ), (๐โ๐)))โ๐ค) = if(๐ค โ (๐ sSet โจ(1st โ๐), (2nd โ๐)โฉ), 1 , 0 ) โ
if((1st โ๐ค) = (1st โ๐), if(๐ค = ๐, 1 , 0 ), (๐โ๐ค)) = if(๐ค โ (๐ sSet โจ(1st โ๐), (2nd โ๐)โฉ), 1 , 0 ))) |
497 | 484, 496 | sylibrd 258 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
โข ((((๐ โง (๐ โช {๐}) โ (๐ ร ๐) โง ๐ โ ๐ต) โง ๐ โ (๐ โm ๐)) โง ๐ค โ (๐ โช {๐})) โ ((๐ค โ ๐ โ (๐โ๐ค) = if(๐ค โ ๐, 1 , 0 )) โ ((๐ โ (๐ ร ๐) โฆ if((1st โ๐) = (1st โ๐), if(๐ = ๐, 1 , 0 ), (๐โ๐)))โ๐ค) = if(๐ค โ (๐ sSet โจ(1st โ๐), (2nd โ๐)โฉ), 1 , 0 ))) |
498 | 497 | ralimdva 3162 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
โข (((๐ โง (๐ โช {๐}) โ (๐ ร ๐) โง ๐ โ ๐ต) โง ๐ โ (๐ โm ๐)) โ (โ๐ค โ (๐ โช {๐})(๐ค โ ๐ โ (๐โ๐ค) = if(๐ค โ ๐, 1 , 0 )) โ โ๐ค โ (๐ โช {๐})((๐ โ (๐ ร ๐) โฆ if((1st โ๐) = (1st โ๐), if(๐ = ๐, 1 , 0 ), (๐โ๐)))โ๐ค) = if(๐ค โ (๐ sSet โจ(1st โ๐), (2nd โ๐)โฉ), 1 , 0 ))) |
499 | 396, 498 | biimtrid 241 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
โข (((๐ โง (๐ โช {๐}) โ (๐ ร ๐) โง ๐ โ ๐ต) โง ๐ โ (๐ โm ๐)) โ (โ๐ค โ ๐ (๐โ๐ค) = if(๐ค โ ๐, 1 , 0 ) โ โ๐ค โ (๐ โช {๐})((๐ โ (๐ ร ๐) โฆ if((1st โ๐) = (1st โ๐), if(๐ = ๐, 1 , 0 ), (๐โ๐)))โ๐ค) = if(๐ค โ (๐ sSet โจ(1st โ๐), (2nd โ๐)โฉ), 1 , 0 ))) |
500 | 499 | impr 455 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
โข (((๐ โง (๐ โช {๐}) โ (๐ ร ๐) โง ๐ โ ๐ต) โง (๐ โ (๐ โm ๐) โง โ๐ค โ ๐ (๐โ๐ค) = if(๐ค โ ๐, 1 , 0 ))) โ โ๐ค โ (๐ โช {๐})((๐ โ (๐ ร ๐) โฆ if((1st โ๐) = (1st โ๐), if(๐ = ๐, 1 , 0 ), (๐โ๐)))โ๐ค) = if(๐ค โ (๐ sSet โจ(1st โ๐), (2nd โ๐)โฉ), 1 , 0 )) |
501 | 500 | 3adantr1 1169 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
โข (((๐ โง (๐ โช {๐}) โ (๐ ร ๐) โง ๐ โ ๐ต) โง ((๐ โช {๐}) โ ๐ โง ๐ โ (๐ โm ๐) โง โ๐ค โ ๐ (๐โ๐ค) = if(๐ค โ ๐, 1 , 0 ))) โ โ๐ค โ (๐ โช {๐})((๐ โ (๐ ร ๐) โฆ if((1st โ๐) = (1st โ๐), if(๐ = ๐, 1 , 0 ), (๐โ๐)))โ๐ค) = if(๐ค โ (๐ sSet โจ(1st โ๐), (2nd โ๐)โฉ), 1 , 0 )) |
502 | 348 | adantr 481 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
โข (((๐ โง (๐ โช {๐}) โ (๐ ร ๐) โง ๐ โ ๐ต) โง ((๐ โช {๐}) โ ๐ โง ๐ โ (๐ โm ๐) โง โ๐ค โ ๐ (๐โ๐ค) = if(๐ค โ ๐, 1 , 0 ))) โ (๐ โ (๐ ร ๐) โฆ if((1st โ๐) = (1st โ๐), if(๐ = ๐, 1 , 0 ), (๐โ๐))) โ ๐ต) |
503 | | simpr2 1195 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
โข (((๐ โง (๐ โช {๐}) โ (๐ ร ๐) โง ๐ โ ๐ต) โง ((๐ โช {๐}) โ ๐ โง ๐ โ (๐ โm ๐) โง โ๐ค โ ๐ (๐โ๐ค) = if(๐ค โ ๐, 1 , 0 ))) โ ๐ โ (๐ โm ๐)) |
504 | 503, 409 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
โข (((๐ โง (๐ โช {๐}) โ (๐ ร ๐) โง ๐ โ ๐ต) โง ((๐ โช {๐}) โ ๐ โง ๐ โ (๐ โm ๐) โง โ๐ค โ ๐ (๐โ๐ค) = if(๐ค โ ๐, 1 , 0 ))) โ ๐:๐โถ๐) |
505 | 124 | adantr 481 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
โข (((๐ โง (๐ โช {๐}) โ (๐ ร ๐) โง ๐ โ ๐ต) โง ((๐ โช {๐}) โ ๐ โง ๐ โ (๐ โm ๐) โง โ๐ค โ ๐ (๐โ๐ค) = if(๐ค โ ๐, 1 , 0 ))) โ (1st
โ๐) โ ๐) |
506 | 413 | adantr 481 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
โข (((๐ โง (๐ โช {๐}) โ (๐ ร ๐) โง ๐ โ ๐ต) โง ((๐ โช {๐}) โ ๐ โง ๐ โ (๐ โm ๐) โง โ๐ค โ ๐ (๐โ๐ค) = if(๐ค โ ๐, 1 , 0 ))) โ (2nd
โ๐) โ ๐) |
507 | 503, 504,
505, 506, 415 | syl211anc 1376 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
โข (((๐ โง (๐ โช {๐}) โ (๐ ร ๐) โง ๐ โ ๐ต) โง ((๐ โช {๐}) โ ๐ โง ๐ โ (๐ โm ๐) โง โ๐ค โ ๐ (๐โ๐ค) = if(๐ค โ ๐, 1 , 0 ))) โ (๐ sSet โจ(1st
โ๐), (2nd
โ๐)โฉ):๐โถ๐) |
508 | 158, 158 | elmapd 8737 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
โข ((๐ โง (๐ โช {๐}) โ (๐ ร ๐) โง ๐ โ ๐ต) โ ((๐ sSet โจ(1st โ๐), (2nd โ๐)โฉ) โ (๐ โm ๐) โ (๐ sSet โจ(1st โ๐), (2nd โ๐)โฉ):๐โถ๐)) |
509 | 508 | adantr 481 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
โข (((๐ โง (๐ โช {๐}) โ (๐ ร ๐) โง ๐ โ ๐ต) โง ((๐ โช {๐}) โ ๐ โง ๐ โ (๐ โm ๐) โง โ๐ค โ ๐ (๐โ๐ค) = if(๐ค โ ๐, 1 , 0 ))) โ ((๐ sSet โจ(1st
โ๐), (2nd
โ๐)โฉ) โ
(๐ โm ๐) โ (๐ sSet โจ(1st โ๐), (2nd โ๐)โฉ):๐โถ๐)) |
510 | 507, 509 | mpbird 256 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
โข (((๐ โง (๐ โช {๐}) โ (๐ ร ๐) โง ๐ โ ๐ต) โง ((๐ โช {๐}) โ ๐ โง ๐ โ (๐ โm ๐) โง โ๐ค โ ๐ (๐โ๐ค) = if(๐ค โ ๐, 1 , 0 ))) โ (๐ sSet โจ(1st
โ๐), (2nd
โ๐)โฉ) โ
(๐ โm ๐)) |
511 | | simpr1 1194 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
โข (((๐ โง (๐ โช {๐}) โ (๐ ร ๐) โง ๐ โ ๐ต) โง ((๐ โช {๐}) โ ๐ โง ๐ โ (๐ โm ๐) โง โ๐ค โ ๐ (๐โ๐ค) = if(๐ค โ ๐, 1 , 0 ))) โ (๐ โช {๐}) โ ๐) |
512 | | raleq 3307 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
โข (๐ฅ = (๐ โช {๐}) โ (โ๐ค โ ๐ฅ (๐ฆโ๐ค) = if(๐ค โ ๐ง, 1 , 0 ) โ โ๐ค โ (๐ โช {๐})(๐ฆโ๐ค) = if(๐ค โ ๐ง, 1 , 0 ))) |
513 | 512 | imbi1d 341 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
โข (๐ฅ = (๐ โช {๐}) โ ((โ๐ค โ ๐ฅ (๐ฆโ๐ค) = if(๐ค โ ๐ง, 1 , 0 ) โ (๐ทโ๐ฆ) = 0 ) โ (โ๐ค โ (๐ โช {๐})(๐ฆโ๐ค) = if(๐ค โ ๐ง, 1 , 0 ) โ (๐ทโ๐ฆ) = 0 ))) |
514 | 513 | 2ralbidv 3210 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
โข (๐ฅ = (๐ โช {๐}) โ (โ๐ฆ โ ๐ต โ๐ง โ (๐ โm ๐)(โ๐ค โ ๐ฅ (๐ฆโ๐ค) = if(๐ค โ ๐ง, 1 , 0 ) โ (๐ทโ๐ฆ) = 0 ) โ โ๐ฆ โ ๐ต โ๐ง โ (๐ โm ๐)(โ๐ค โ (๐ โช {๐})(๐ฆโ๐ค) = if(๐ค โ ๐ง, 1 , 0 ) โ (๐ทโ๐ฆ) = 0 ))) |
515 | 514, 72 | elab2g 3630 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
โข ((๐ โช {๐}) โ ๐ โ ((๐ โช {๐}) โ ๐ โ โ๐ฆ โ ๐ต โ๐ง โ (๐ โm ๐)(โ๐ค โ (๐ โช {๐})(๐ฆโ๐ค) = if(๐ค โ ๐ง, 1 , 0 ) โ (๐ทโ๐ฆ) = 0 ))) |
516 | 515 | ibi 266 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
โข ((๐ โช {๐}) โ ๐ โ โ๐ฆ โ ๐ต โ๐ง โ (๐ โm ๐)(โ๐ค โ (๐ โช {๐})(๐ฆโ๐ค) = if(๐ค โ ๐ง, 1 , 0 ) โ (๐ทโ๐ฆ) = 0 )) |
517 | 511, 516 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
โข (((๐ โง (๐ โช {๐}) โ (๐ ร ๐) โง ๐ โ ๐ต) โง ((๐ โช {๐}) โ ๐ โง ๐ โ (๐ โm ๐) โง โ๐ค โ ๐ (๐โ๐ค) = if(๐ค โ ๐, 1 , 0 ))) โ โ๐ฆ โ ๐ต โ๐ง โ (๐ โm ๐)(โ๐ค โ (๐ โช {๐})(๐ฆโ๐ค) = if(๐ค โ ๐ง, 1 , 0 ) โ (๐ทโ๐ฆ) = 0 )) |
518 | | fveq1 6838 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
โข (๐ฆ = (๐ โ (๐ ร ๐) โฆ if((1st โ๐) = (1st โ๐), if(๐ = ๐, 1 , 0 ), (๐โ๐))) โ (๐ฆโ๐ค) = ((๐ โ (๐ ร ๐) โฆ if((1st โ๐) = (1st โ๐), if(๐ = ๐, 1 , 0 ), (๐โ๐)))โ๐ค)) |
519 | 518 | eqeq1d 2739 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
โข (๐ฆ = (๐ โ (๐ ร ๐) โฆ if((1st โ๐) = (1st โ๐), if(๐ = ๐, 1 , 0 ), (๐โ๐))) โ ((๐ฆโ๐ค) = if(๐ค โ ๐ง, 1 , 0 ) โ ((๐ โ (๐ ร ๐) โฆ if((1st โ๐) = (1st โ๐), if(๐ = ๐, 1 , 0 ), (๐โ๐)))โ๐ค) = if(๐ค โ ๐ง, 1 , 0 ))) |
520 | 519 | ralbidv 3172 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
โข (๐ฆ = (๐ โ (๐ ร ๐) โฆ if((1st โ๐) = (1st โ๐), if(๐ = ๐, 1 , 0 ), (๐โ๐))) โ (โ๐ค โ (๐ โช {๐})(๐ฆโ๐ค) = if(๐ค โ ๐ง, 1 , 0 ) โ โ๐ค โ (๐ โช {๐})((๐ โ (๐ ร ๐) โฆ if((1st โ๐) = (1st โ๐), if(๐ = ๐, 1 , 0 ), (๐โ๐)))โ๐ค) = if(๐ค โ ๐ง, 1 , 0 ))) |
521 | | fveqeq2 6848 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
โข (๐ฆ = (๐ โ (๐ ร ๐) โฆ if((1st โ๐) = (1st โ๐), if(๐ = ๐, 1 , 0 ), (๐โ๐))) โ ((๐ทโ๐ฆ) = 0 โ (๐ทโ(๐ โ (๐ ร ๐) โฆ if((1st โ๐) = (1st โ๐), if(๐ = ๐, 1 , 0 ), (๐โ๐)))) = 0 )) |
522 | 520, 521 | imbi12d 344 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
โข (๐ฆ = (๐ โ (๐ ร ๐) โฆ if((1st โ๐) = (1st โ๐), if(๐ = ๐, 1 , 0 ), (๐โ๐))) โ ((โ๐ค โ (๐ โช {๐})(๐ฆโ๐ค) = if(๐ค โ ๐ง, 1 , 0 ) โ (๐ทโ๐ฆ) = 0 ) โ (โ๐ค โ (๐ โช {๐})((๐ โ (๐ ร ๐) โฆ if((1st โ๐) = (1st โ๐), if(๐ = ๐, 1 , 0 ), (๐โ๐)))โ๐ค) = if(๐ค โ ๐ง, 1 , 0 ) โ (๐ทโ(๐ โ (๐ ร ๐) โฆ if((1st โ๐) = (1st โ๐), if(๐ = ๐, 1 , 0 ), (๐โ๐)))) = 0 ))) |
523 | | eleq2 2826 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
โข (๐ง = (๐ sSet โจ(1st โ๐), (2nd โ๐)โฉ) โ (๐ค โ ๐ง โ ๐ค โ (๐ sSet โจ(1st โ๐), (2nd โ๐)โฉ))) |
524 | 523 | ifbid 4507 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
โข (๐ง = (๐ sSet โจ(1st โ๐), (2nd โ๐)โฉ) โ if(๐ค โ ๐ง, 1 , 0 ) = if(๐ค โ (๐ sSet โจ(1st โ๐), (2nd โ๐)โฉ), 1 , 0 )) |
525 | 524 | eqeq2d 2748 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
โข (๐ง = (๐ sSet โจ(1st โ๐), (2nd โ๐)โฉ) โ (((๐ โ (๐ ร ๐) โฆ if((1st โ๐) = (1st โ๐), if(๐ = ๐, 1 , 0 ), (๐โ๐)))โ๐ค) = if(๐ค โ ๐ง, 1 , 0 ) โ ((๐ โ (๐ ร ๐) โฆ if((1st โ๐) = (1st โ๐), if(๐ = ๐, 1 , 0 ), (๐โ๐)))โ๐ค) = if(๐ค โ (๐ sSet โจ(1st โ๐), (2nd โ๐)โฉ), 1 , 0 ))) |
526 | 525 | ralbidv 3172 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
โข (๐ง = (๐ sSet โจ(1st โ๐), (2nd โ๐)โฉ) โ (โ๐ค โ (๐ โช {๐})((๐ โ (๐ ร ๐) โฆ if((1st โ๐) = (1st โ๐), if(๐ = ๐, 1 , 0 ), (๐โ๐)))โ๐ค) = if(๐ค โ ๐ง, 1 , 0 ) โ โ๐ค โ (๐ โช {๐})((๐ โ (๐ ร ๐) โฆ if((1st โ๐) = (1st โ๐), if(๐ = ๐, 1 , 0 ), (๐โ๐)))โ๐ค) = if(๐ค โ (๐ sSet โจ(1st โ๐), (2nd โ๐)โฉ), 1 , 0 ))) |
527 | 526 | imbi1d 341 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
โข (๐ง = (๐ sSet โจ(1st โ๐), (2nd โ๐)โฉ) โ ((โ๐ค โ (๐ โช {๐})((๐ โ (๐ ร ๐) โฆ if((1st โ๐) = (1st โ๐), if(๐ = ๐, 1 , 0 ), (๐โ๐)))โ๐ค) = if(๐ค โ ๐ง, 1 , 0 ) โ (๐ทโ(๐ โ (๐ ร ๐) โฆ if((1st โ๐) = (1st โ๐), if(๐ = ๐, 1 , 0 ), (๐โ๐)))) = 0 ) โ (โ๐ค โ (๐ โช {๐})((๐ โ (๐ ร ๐) โฆ if((1st โ๐) = (1st โ๐), if(๐ = ๐, 1 , 0 ), (๐โ๐)))โ๐ค) = if(๐ค โ (๐ sSet โจ(1st โ๐), (2nd โ๐)โฉ), 1 , 0 ) โ (๐ทโ(๐ โ (๐ ร ๐) โฆ if((1st โ๐) = (1st โ๐), if(๐ = ๐, 1 , 0 ), (๐โ๐)))) = 0 ))) |
528 | 522, 527 | rspc2va 3589 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
โข ((((๐ โ (๐ ร ๐) โฆ if((1st โ๐) = (1st โ๐), if(๐ = ๐, 1 , 0 ), (๐โ๐))) โ ๐ต โง (๐ sSet โจ(1st โ๐), (2nd โ๐)โฉ) โ (๐ โm ๐)) โง โ๐ฆ โ ๐ต โ๐ง โ (๐ โm ๐)(โ๐ค โ (๐ โช {๐})(๐ฆโ๐ค) = if(๐ค โ ๐ง, 1 , 0 ) โ (๐ทโ๐ฆ) = 0 )) โ (โ๐ค โ (๐ โช {๐})((๐ โ (๐ ร ๐) โฆ if((1st โ๐) = (1st โ๐), if(๐ = ๐, 1 , 0 ), (๐โ๐)))โ๐ค) = if(๐ค โ (๐ sSet โจ(1st โ๐), (2nd โ๐)โฉ), 1 , 0 ) โ (๐ทโ(๐ โ (๐ ร ๐) โฆ if((1st โ๐) = (1st โ๐), if(๐ = ๐, 1 , 0 ), (๐โ๐)))) = 0 )) |
529 | 502, 510,
517, 528 | syl21anc 836 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
โข (((๐ โง (๐ โช {๐}) โ (๐ ร ๐) โง ๐ โ ๐ต) โง ((๐ โช {๐}) โ ๐ โง ๐ โ (๐ โm ๐) โง โ๐ค โ ๐ (๐โ๐ค) = if(๐ค โ ๐, 1 , 0 ))) โ (โ๐ค โ (๐ โช {๐})((๐ โ (๐ ร ๐) โฆ if((1st โ๐) = (1st โ๐), if(๐ = ๐, 1 , 0 ), (๐โ๐)))โ๐ค) = if(๐ค โ (๐ sSet โจ(1st โ๐), (2nd โ๐)โฉ), 1 , 0 ) โ (๐ทโ(๐ โ (๐ ร ๐) โฆ if((1st โ๐) = (1st โ๐), if(๐ = ๐, 1 , 0 ), (๐โ๐)))) = 0 )) |
530 | 501, 529 | mpd 15 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
โข (((๐ โง (๐ โช {๐}) โ (๐ ร ๐) โง ๐ โ ๐ต) โง ((๐ โช {๐}) โ ๐ โง ๐ โ (๐ โm ๐) โง โ๐ค โ ๐ (๐โ๐ค) = if(๐ค โ ๐, 1 , 0 ))) โ (๐ทโ(๐ โ (๐ ร ๐) โฆ if((1st โ๐) = (1st โ๐), if(๐ = ๐, 1 , 0 ), (๐โ๐)))) = 0 ) |
531 | 530 | oveq2d 7367 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
โข (((๐ โง (๐ โช {๐}) โ (๐ ร ๐) โง ๐ โ ๐ต) โง ((๐ โช {๐}) โ ๐ โง ๐ โ (๐ โm ๐) โง โ๐ค โ ๐ (๐โ๐ค) = if(๐ค โ ๐, 1 , 0 ))) โ (((๐โ๐)(-gโ๐
)if(๐ โ ๐, 1 , 0 )) ยท (๐ทโ(๐ โ (๐ ร ๐) โฆ if((1st โ๐) = (1st โ๐), if(๐ = ๐, 1 , 0 ), (๐โ๐))))) = (((๐โ๐)(-gโ๐
)if(๐ โ ๐, 1 , 0 )) ยท 0 )) |
532 | 118 | unssad 4145 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
โข ((๐ โง (๐ โช {๐}) โ (๐ ร ๐) โง ๐ โ ๐ต) โ ๐ โ (๐ ร ๐)) |
533 | 532 | adantr 481 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
โข (((๐ โง (๐ โช {๐}) โ (๐ ร ๐) โง ๐ โ ๐ต) โง ((๐ โช {๐}) โ ๐ โง ๐ โ (๐ โm ๐) โง โ๐ค โ ๐ (๐โ๐ค) = if(๐ค โ ๐, 1 , 0 ))) โ ๐ โ (๐ ร ๐)) |
534 | | simpr3 1196 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
โข (((๐ โง (๐ โช {๐}) โ (๐ ร ๐) โง ๐ โ ๐ต) โง ((๐ โช {๐}) โ ๐ โง ๐ โ (๐ โm ๐) โง โ๐ค โ ๐ (๐โ๐ค) = if(๐ค โ ๐, 1 , 0 ))) โ โ๐ค โ ๐ (๐โ๐ค) = if(๐ค โ ๐, 1 , 0 )) |
535 | | ssel2 3937 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
โข ((๐ โ (๐ ร ๐) โง ๐ค โ ๐) โ ๐ค โ (๐ ร ๐)) |
536 | 535 | adantr 481 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
โข (((๐ โ (๐ ร ๐) โง ๐ค โ ๐) โง (๐โ๐ค) = if(๐ค โ ๐, 1 , 0 )) โ ๐ค โ (๐ ร ๐)) |
537 | | elequ1 2113 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . 36
โข (๐ = ๐ค โ (๐ โ ๐ โ ๐ค โ ๐)) |
538 | 537 | ifbid 4507 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. 35
โข (๐ = ๐ค โ if(๐ โ ๐, 1 , 0 ) = if(๐ค โ ๐, 1 , 0 )) |
539 | 486, 538,
488 | ifbieq12d 4512 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
โข (๐ = ๐ค โ if(๐ = ๐, if(๐ โ ๐, 1 , 0 ), (๐โ๐)) = if(๐ค = ๐, if(๐ค โ ๐, 1 , 0 ), (๐โ๐ค))) |
540 | | eqid 2737 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
โข (๐ โ (๐ ร ๐) โฆ if(๐ = ๐, if(๐ โ ๐, 1 , 0 ), (๐โ๐))) = (๐ โ (๐ ร ๐) โฆ if(๐ = ๐, if(๐ โ ๐, 1 , 0 ), (๐โ๐))) |
541 | 165, 162 | ifex 4534 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. 35
โข if(๐ค โ ๐, 1 , 0 ) โ
V |
542 | 541, 492 | ifex 4534 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
โข if(๐ค = ๐, if(๐ค โ ๐, 1 , 0 ), (๐โ๐ค)) โ V |
543 | 539, 540,
542 | fvmpt 6945 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
โข (๐ค โ (๐ ร ๐) โ ((๐ โ (๐ ร ๐) โฆ if(๐ = ๐, if(๐ โ ๐, 1 , 0 ), (๐โ๐)))โ๐ค) = if(๐ค = ๐, if(๐ค โ ๐, 1 , 0 ), (๐โ๐ค))) |
544 | 536, 543 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
โข (((๐ โ (๐ ร ๐) โง ๐ค โ ๐) โง (๐โ๐ค) = if(๐ค โ ๐, 1 , 0 )) โ ((๐ โ (๐ ร ๐) โฆ if(๐ = ๐, if(๐ โ ๐, 1 , 0 ), (๐โ๐)))โ๐ค) = if(๐ค = ๐, if(๐ค โ ๐, 1 , 0 ), (๐โ๐ค))) |
545 | | ifeq2 4489 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
โข ((๐โ๐ค) = if(๐ค โ ๐, 1 , 0 ) โ if(๐ค = ๐, if(๐ค โ ๐, 1 , 0 ), (๐โ๐ค)) = if(๐ค = ๐, if(๐ค โ ๐, 1 , 0 ), if(๐ค โ ๐, 1 , 0 ))) |
546 | 545 | adantl 482 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
โข (((๐ โ (๐ ร ๐) โง ๐ค โ ๐) โง (๐โ๐ค) = if(๐ค โ ๐, 1 , 0 )) โ if(๐ค = ๐, if(๐ค โ ๐, 1 , 0 ), (๐โ๐ค)) = if(๐ค = ๐, if(๐ค โ ๐, 1 , 0 ), if(๐ค โ ๐, 1 , 0 ))) |
547 | | ifid 4524 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
โข if(๐ค = ๐, if(๐ค โ ๐, 1 , 0 ), if(๐ค โ ๐, 1 , 0 )) = if(๐ค โ ๐, 1 , 0 ) |
548 | 546, 547 | eqtrdi 2793 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
โข (((๐ โ (๐ ร ๐) โง ๐ค โ ๐) โง (๐โ๐ค) = if(๐ค โ ๐, 1 , 0 )) โ if(๐ค = ๐, if(๐ค โ ๐, 1 , 0 ), (๐โ๐ค)) = if(๐ค โ ๐, 1 , 0 )) |
549 | 544, 548 | eqtrd 2777 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
โข (((๐ โ (๐ ร ๐) โง ๐ค โ ๐) โง (๐โ๐ค) = if(๐ค โ ๐, 1 , 0 )) โ ((๐ โ (๐ ร ๐) โฆ if(๐ = ๐, if(๐ โ ๐, 1 , 0 ), (๐โ๐)))โ๐ค) = if(๐ค โ ๐, 1 , 0 )) |
550 | 549 | ex 413 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
โข ((๐ โ (๐ ร ๐) โง ๐ค โ ๐) โ ((๐โ๐ค) = if(๐ค โ ๐, 1 , 0 ) โ ((๐ โ (๐ ร ๐) โฆ if(๐ = ๐, if(๐ โ ๐, 1 , 0 ), (๐โ๐)))โ๐ค) = if(๐ค โ ๐, 1 , 0 ))) |
551 | 550 | ralimdva 3162 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
โข (๐ โ (๐ ร ๐) โ (โ๐ค โ ๐ (๐โ๐ค) = if(๐ค โ ๐, 1 , 0 ) โ โ๐ค โ ๐ ((๐ โ (๐ ร ๐) โฆ if(๐ = ๐, if(๐ โ ๐, 1 , 0 ), (๐โ๐)))โ๐ค) = if(๐ค โ ๐, 1 , 0 ))) |
552 | 533, 534,
551 | sylc 65 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
โข (((๐ โง (๐ โช {๐}) โ (๐ ร ๐) โง ๐ โ ๐ต) โง ((๐ โช {๐}) โ ๐ โง ๐ โ (๐ โm ๐) โง โ๐ค โ ๐ (๐โ๐ค) = if(๐ค โ ๐, 1 , 0 ))) โ โ๐ค โ ๐ ((๐ โ (๐ ร ๐) โฆ if(๐ = ๐, if(๐ โ ๐, 1 , 0 ), (๐โ๐)))โ๐ค) = if(๐ค โ ๐, 1 , 0 )) |
553 | 142, 291 | eqtrd 2777 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
โข (๐ = ๐ โ if(๐ = ๐, if(๐ โ ๐, 1 , 0 ), (๐โ๐)) = if(๐ โ ๐, 1 , 0 )) |
554 | 165, 162 | ifex 4534 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
โข if(๐ โ ๐, 1 , 0 ) โ
V |
555 | 553, 540,
554 | fvmpt 6945 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
โข (๐ โ (๐ ร ๐) โ ((๐ โ (๐ ร ๐) โฆ if(๐ = ๐, if(๐ โ ๐, 1 , 0 ), (๐โ๐)))โ๐) = if(๐ โ ๐, 1 , 0 )) |
556 | 122, 555 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
โข ((๐ โง (๐ โช {๐}) โ (๐ ร ๐) โง ๐ โ ๐ต) โ ((๐ โ (๐ ร ๐) โฆ if(๐ = ๐, if(๐ โ ๐, 1 , 0 ), (๐โ๐)))โ๐) = if(๐ โ ๐, 1 , 0 )) |
557 | 556 | adantr 481 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
โข (((๐ โง (๐ โช {๐}) โ (๐ ร ๐) โง ๐ โ ๐ต) โง ((๐ โช {๐}) โ ๐ โง ๐ โ (๐ โm ๐) โง โ๐ค โ ๐ (๐โ๐ค) = if(๐ค โ ๐, 1 , 0 ))) โ ((๐ โ (๐ ร ๐) โฆ if(๐ = ๐, if(๐ โ ๐, 1 , 0 ), (๐โ๐)))โ๐) = if(๐ โ ๐, 1 , 0 )) |
558 | | fveq2 6839 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
โข (๐ค = ๐ โ ((๐ โ (๐ ร ๐) โฆ if(๐ = ๐, if(๐ โ ๐, 1 , 0 ), (๐โ๐)))โ๐ค) = ((๐ โ (๐ ร ๐) โฆ if(๐ = ๐, if(๐ โ ๐, 1 , 0 ), (๐โ๐)))โ๐)) |
559 | | elequ1 2113 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
โข (๐ค = ๐ โ (๐ค โ ๐ โ ๐ โ ๐)) |
560 | 559 | ifbid 4507 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
โข (๐ค = ๐ โ if(๐ค โ ๐, 1 , 0 ) = if(๐ โ ๐, 1 , 0 )) |
561 | 558, 560 | eqeq12d 2753 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
โข (๐ค = ๐ โ (((๐ โ (๐ ร ๐) โฆ if(๐ = ๐, if(๐ โ ๐, 1 , 0 ), (๐โ๐)))โ๐ค) = if(๐ค โ ๐, 1 , 0 ) โ ((๐ โ (๐ ร ๐) โฆ if(๐ = ๐, if(๐ โ ๐, 1 , 0 ), (๐โ๐)))โ๐) = if(๐ โ ๐, 1 , 0 ))) |
562 | 561 | ralunsn 4849 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
โข (๐ โ V โ (โ๐ค โ (๐ โช {๐})((๐ โ (๐ ร ๐) โฆ if(๐ = ๐, if(๐ โ ๐, 1 , 0 ), (๐โ๐)))โ๐ค) = if(๐ค โ ๐, 1 , 0 ) โ (โ๐ค โ ๐ ((๐ โ (๐ ร ๐) โฆ if(๐ = ๐, if(๐ โ ๐, 1 , 0 ), (๐โ๐)))โ๐ค) = if(๐ค โ ๐, 1 , 0 ) โง ((๐ โ (๐ ร ๐) โฆ if(๐ = ๐, if(๐ โ ๐, 1 , 0 ), (๐โ๐)))โ๐) = if(๐ โ ๐, 1 , 0 )))) |
563 | 562 | elv 3449 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
โข
(โ๐ค โ
(๐ โช {๐})((๐ โ (๐ ร ๐) โฆ if(๐ = ๐, if(๐ โ ๐, 1 , 0 ), (๐โ๐)))โ๐ค) = if(๐ค โ ๐, 1 , 0 ) โ (โ๐ค โ ๐ ((๐ โ (๐ ร ๐) โฆ if(๐ = ๐, if(๐ โ ๐, 1 , 0 ), (๐โ๐)))โ๐ค) = if(๐ค โ ๐, 1 , 0 ) โง ((๐ โ (๐ ร ๐) โฆ if(๐ = ๐, if(๐ โ ๐, 1 , 0 ), (๐โ๐)))โ๐) = if(๐ โ ๐, 1 , 0 ))) |
564 | 552, 557,
563 | sylanbrc 583 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
โข (((๐ โง (๐ โช {๐}) โ (๐ ร ๐) โง ๐ โ ๐ต) โง ((๐ โช {๐}) โ ๐ โง ๐ โ (๐ โm ๐) โง โ๐ค โ ๐ (๐โ๐ค) = if(๐ค โ ๐, 1 , 0 ))) โ โ๐ค โ (๐ โช {๐})((๐ โ (๐ ร ๐) โฆ if(๐ = ๐, if(๐ โ ๐, 1 , 0 ), (๐โ๐)))โ๐ค) = if(๐ค โ ๐, 1 , 0 )) |
565 | 223 | adantr 481 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
โข (((๐ โง (๐ โช {๐}) โ (๐ ร ๐) โง ๐ โ ๐ต) โง ((๐ โช {๐}) โ ๐ โง ๐ โ (๐ โm ๐) โง โ๐ค โ ๐ (๐โ๐ค) = if(๐ค โ ๐, 1 , 0 ))) โ (๐ โ (๐ ร ๐) โฆ if(๐ = ๐, if(๐ โ ๐, 1 , 0 ), (๐โ๐))) โ ๐ต) |
566 | | fveq1 6838 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
โข (๐ฆ = (๐ โ (๐ ร ๐) โฆ if(๐ = ๐, if(๐ โ ๐, 1 , 0 ), (๐โ๐))) โ (๐ฆโ๐ค) = ((๐ โ (๐ ร ๐) โฆ if(๐ = ๐, if(๐ โ ๐, 1 , 0 ), (๐โ๐)))โ๐ค)) |
567 | 566 | eqeq1d 2739 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
โข (๐ฆ = (๐ โ (๐ ร ๐) โฆ if(๐ = ๐, if(๐ โ ๐, 1 , 0 ), (๐โ๐))) โ ((๐ฆโ๐ค) = if(๐ค โ ๐ง, 1 , 0 ) โ ((๐ โ (๐ ร ๐) โฆ if(๐ = ๐, if(๐ โ ๐, 1 , 0 ), (๐โ๐)))โ๐ค) = if(๐ค โ ๐ง, 1 , 0 ))) |
568 | 567 | ralbidv 3172 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
โข (๐ฆ = (๐ โ (๐ ร ๐) โฆ if(๐ = ๐, if(๐ โ ๐, 1 , 0 ), (๐โ๐))) โ (โ๐ค โ (๐ โช {๐})(๐ฆโ๐ค) = if(๐ค โ ๐ง, 1 , 0 ) โ โ๐ค โ (๐ โช {๐})((๐ โ (๐ ร ๐) โฆ if(๐ = ๐, if(๐ โ ๐, 1 , 0 ), (๐โ๐)))โ๐ค) = if(๐ค โ ๐ง, 1 , 0 ))) |
569 | | fveqeq2 6848 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
โข (๐ฆ = (๐ โ (๐ ร ๐) โฆ if(๐ = ๐, if(๐ โ ๐, 1 , 0 ), (๐โ๐))) โ ((๐ทโ๐ฆ) = 0 โ (๐ทโ(๐ โ (๐ ร ๐) โฆ if(๐ = ๐, if(๐ โ ๐, 1 , 0 ), (๐โ๐)))) = 0 )) |
570 | 568, 569 | imbi12d 344 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
โข (๐ฆ = (๐ โ (๐ ร ๐) โฆ if(๐ = ๐, if(๐ โ ๐, 1 , 0 ), (๐โ๐))) โ ((โ๐ค โ (๐ โช {๐})(๐ฆโ๐ค) = if(๐ค โ ๐ง, 1 , 0 ) โ (๐ทโ๐ฆ) = 0 ) โ (โ๐ค โ (๐ โช {๐})((๐ โ (๐ ร ๐) โฆ if(๐ = ๐, if(๐ โ ๐, 1 , 0 ), (๐โ๐)))โ๐ค) = if(๐ค โ ๐ง, 1 , 0 ) โ (๐ทโ(๐ โ (๐ ร ๐) โฆ if(๐ = ๐, if(๐ โ ๐, 1 , 0 ), (๐โ๐)))) = 0 ))) |
571 | | elequ2 2121 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
โข (๐ง = ๐ โ (๐ค โ ๐ง โ ๐ค โ ๐)) |
572 | 571 | ifbid 4507 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
โข (๐ง = ๐ โ if(๐ค โ ๐ง, 1 , 0 ) = if(๐ค โ ๐, 1 , 0 )) |
573 | 572 | eqeq2d 2748 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
โข (๐ง = ๐ โ (((๐ โ (๐ ร ๐) โฆ if(๐ = ๐, if(๐ โ ๐, 1 , 0 ), (๐โ๐)))โ๐ค) = if(๐ค โ ๐ง, 1 , 0 ) โ ((๐ โ (๐ ร ๐) โฆ if(๐ = ๐, if(๐ โ ๐, 1 , 0 ), (๐โ๐)))โ๐ค) = if(๐ค โ ๐, 1 , 0 ))) |
574 | 573 | ralbidv 3172 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
โข (๐ง = ๐ โ (โ๐ค โ (๐ โช {๐})((๐ โ (๐ ร ๐) โฆ if(๐ = ๐, if(๐ โ ๐, 1 , 0 ), (๐โ๐)))โ๐ค) = if(๐ค โ ๐ง, 1 , 0 ) โ โ๐ค โ (๐ โช {๐})((๐ โ (๐ ร ๐) โฆ if(๐ = ๐, if(๐ โ ๐, 1 , 0 ), (๐โ๐)))โ๐ค) = if(๐ค โ ๐, 1 , 0 ))) |
575 | 574 | imbi1d 341 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
โข (๐ง = ๐ โ ((โ๐ค โ (๐ โช {๐})((๐ โ (๐ ร ๐) โฆ if(๐ = ๐, if(๐ โ ๐, 1 , 0 ), (๐โ๐)))โ๐ค) = if(๐ค โ ๐ง, 1 , 0 ) โ (๐ทโ(๐ โ (๐ ร ๐) โฆ if(๐ = ๐, if(๐ โ ๐, 1 , 0 ), (๐โ๐)))) = 0 ) โ (โ๐ค โ (๐ โช {๐})((๐ โ (๐ ร ๐) โฆ if(๐ = ๐, if(๐ โ ๐, 1 , 0 ), (๐โ๐)))โ๐ค) = if(๐ค โ ๐, 1 , 0 ) โ (๐ทโ(๐ โ (๐ ร ๐) โฆ if(๐ = ๐, if(๐ โ ๐, 1 , 0 ), (๐โ๐)))) = 0 ))) |
576 | 570, 575 | rspc2va 3589 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
โข ((((๐ โ (๐ ร ๐) โฆ if(๐ = ๐, if(๐ โ ๐, 1 , 0 ), (๐โ๐))) โ ๐ต โง ๐ โ (๐ โm ๐)) โง โ๐ฆ โ ๐ต โ๐ง โ (๐ โm ๐)(โ๐ค โ (๐ โช {๐})(๐ฆโ๐ค) = if(๐ค โ ๐ง, 1 , 0 ) โ (๐ทโ๐ฆ) = 0 )) โ (โ๐ค โ (๐ โช {๐})((๐ โ (๐ ร ๐) โฆ if(๐ = ๐, if(๐ โ ๐, 1 , 0 ), (๐โ๐)))โ๐ค) = if(๐ค โ ๐, 1 , 0 ) โ (๐ทโ(๐ โ (๐ ร ๐) โฆ if(๐ = ๐, if(๐ โ ๐, 1 , 0 ), (๐โ๐)))) = 0 )) |
577 | 565, 503,
517, 576 | syl21anc 836 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
โข (((๐ โง (๐ โช {๐}) โ (๐ ร ๐) โง ๐ โ ๐ต) โง ((๐ โช {๐}) โ ๐ โง ๐ โ (๐ โm ๐) โง โ๐ค โ ๐ (๐โ๐ค) = if(๐ค โ ๐, 1 , 0 ))) โ (โ๐ค โ (๐ โช {๐})((๐ โ (๐ ร ๐) โฆ if(๐ = ๐, if(๐ โ ๐, 1 , 0 ), (๐โ๐)))โ๐ค) = if(๐ค โ ๐, 1 , 0 ) โ (๐ทโ(๐ โ (๐ ร ๐) โฆ if(๐ = ๐, if(๐ โ ๐, 1 , 0 ), (๐โ๐)))) = 0 )) |
578 | 564, 577 | mpd 15 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
โข (((๐ โง (๐ โช {๐}) โ (๐ ร ๐) โง ๐ โ ๐ต) โง ((๐ โช {๐}) โ ๐ โง ๐ โ (๐ โm ๐) โง โ๐ค โ ๐ (๐โ๐ค) = if(๐ค โ ๐, 1 , 0 ))) โ (๐ทโ(๐ โ (๐ ร ๐) โฆ if(๐ = ๐, if(๐ โ ๐, 1 , 0 ), (๐โ๐)))) = 0 ) |
579 | 531, 578 | oveq12d 7369 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
โข (((๐ โง (๐ โช {๐}) โ (๐ ร ๐) โง ๐ โ ๐ต) โง ((๐ โช {๐}) โ ๐ โง ๐ โ (๐ โm ๐) โง โ๐ค โ ๐ (๐โ๐ค) = if(๐ค โ ๐, 1 , 0 ))) โ ((((๐โ๐)(-gโ๐
)if(๐ โ ๐, 1 , 0 )) ยท (๐ทโ(๐ โ (๐ ร ๐) โฆ if((1st โ๐) = (1st โ๐), if(๐ = ๐, 1 , 0 ), (๐โ๐))))) + (๐ทโ(๐ โ (๐ ร ๐) โฆ if(๐ = ๐, if(๐ โ ๐, 1 , 0 ), (๐โ๐))))) = ((((๐โ๐)(-gโ๐
)if(๐ โ ๐, 1 , 0 )) ยท 0 ) + 0 )) |
580 | 308 | oveq1d 7366 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
โข ((๐ โง (๐ โช {๐}) โ (๐ ร ๐) โง ๐ โ ๐ต) โ ((((๐โ๐)(-gโ๐
)if(๐ โ ๐, 1 , 0 )) ยท 0 ) + 0 ) = ( 0 + 0 )) |
581 | 12, 50, 48 | grplid 18740 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
โข ((๐
โ Grp โง 0 โ ๐พ) โ ( 0 + 0 ) = 0 ) |
582 | 115, 133,
581 | syl2anc 584 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
โข ((๐ โง (๐ โช {๐}) โ (๐ ร ๐) โง ๐ โ ๐ต) โ ( 0 + 0 ) = 0 ) |
583 | 580, 582 | eqtrd 2777 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
โข ((๐ โง (๐ โช {๐}) โ (๐ ร ๐) โง ๐ โ ๐ต) โ ((((๐โ๐)(-gโ๐
)if(๐ โ ๐, 1 , 0 )) ยท 0 ) + 0 ) = 0 ) |
584 | 583 | adantr 481 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
โข (((๐ โง (๐ โช {๐}) โ (๐ ร ๐) โง ๐ โ ๐ต) โง ((๐ โช {๐}) โ ๐ โง ๐ โ (๐ โm ๐) โง โ๐ค โ ๐ (๐โ๐ค) = if(๐ค โ ๐, 1 , 0 ))) โ ((((๐โ๐)(-gโ๐
)if(๐ โ ๐, 1 , 0 )) ยท 0 ) + 0 ) = 0 ) |
585 | 579, 584 | eqtrd 2777 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
โข (((๐ โง (๐ โช {๐}) โ (๐ ร ๐) โง ๐ โ ๐ต) โง ((๐ โช {๐}) โ ๐ โง ๐ โ (๐ โm ๐) โง โ๐ค โ ๐ (๐โ๐ค) = if(๐ค โ ๐, 1 , 0 ))) โ ((((๐โ๐)(-gโ๐
)if(๐ โ ๐, 1 , 0 )) ยท (๐ทโ(๐ โ (๐ ร ๐) โฆ if((1st โ๐) = (1st โ๐), if(๐ = ๐, 1 , 0 ), (๐โ๐))))) + (๐ทโ(๐ โ (๐ ร ๐) โฆ if(๐ = ๐, if(๐ โ ๐, 1 , 0 ), (๐โ๐))))) = 0 ) |
586 | 104, 105,
106, 392, 393, 394, 585 | syl33anc 1385 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
โข (((๐ โง (๐ โช {๐}) โ (๐ ร ๐) โง (๐ โช {๐}) โ ๐) โง ((๐ โ ๐ต โง ๐ โ (๐ โm ๐)) โง โ๐ค โ ๐ (๐โ๐ค) = if(๐ค โ ๐, 1 , 0 ))) โ ((((๐โ๐)(-gโ๐
)if(๐ โ ๐, 1 , 0 )) ยท (๐ทโ(๐ โ (๐ ร ๐) โฆ if((1st โ๐) = (1st โ๐), if(๐ = ๐, 1 , 0 ), (๐โ๐))))) + (๐ทโ(๐ โ (๐ ร ๐) โฆ if(๐ = ๐, if(๐ โ ๐, 1 , 0 ), (๐โ๐))))) = 0 ) |
587 | 288, 391,
586 | 3eqtrd 2781 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
โข (((๐ โง (๐ โช {๐}) โ (๐ ร ๐) โง (๐ โช {๐}) โ ๐) โง ((๐ โ ๐ต โง ๐ โ (๐ โm ๐)) โง โ๐ค โ ๐ (๐โ๐ค) = if(๐ค โ ๐, 1 , 0 ))) โ (๐ทโ๐) = 0 ) |
588 | 587 | expr 457 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
โข (((๐ โง (๐ โช {๐}) โ (๐ ร ๐) โง (๐ โช {๐}) โ ๐) โง (๐ โ ๐ต โง ๐ โ (๐ โm ๐))) โ (โ๐ค โ ๐ (๐โ๐ค) = if(๐ค โ ๐, 1 , 0 ) โ (๐ทโ๐) = 0 )) |
589 | 588 | ralrimivva 3195 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
โข ((๐ โง (๐ โช {๐}) โ (๐ ร ๐) โง (๐ โช {๐}) โ ๐) โ โ๐ โ ๐ต โ๐ โ (๐ โm ๐)(โ๐ค โ ๐ (๐โ๐ค) = if(๐ค โ ๐, 1 , 0 ) โ (๐ทโ๐) = 0 )) |
590 | | fveq1 6838 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
โข (๐ = ๐ฆ โ (๐โ๐ค) = (๐ฆโ๐ค)) |
591 | 590 | eqeq1d 2739 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
โข (๐ = ๐ฆ โ ((๐โ๐ค) = if(๐ค โ ๐, 1 , 0 ) โ (๐ฆโ๐ค) = if(๐ค โ ๐, 1 , 0 ))) |
592 | 591 | ralbidv 3172 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
โข (๐ = ๐ฆ โ (โ๐ค โ ๐ (๐โ๐ค) = if(๐ค โ ๐, 1 , 0 ) โ โ๐ค โ ๐ (๐ฆโ๐ค) = if(๐ค โ ๐, 1 , 0 ))) |
593 | | fveqeq2 6848 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
โข (๐ = ๐ฆ โ ((๐ทโ๐) = 0 โ (๐ทโ๐ฆ) = 0 )) |
594 | 592, 593 | imbi12d 344 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
โข (๐ = ๐ฆ โ ((โ๐ค โ ๐ (๐โ๐ค) = if(๐ค โ ๐, 1 , 0 ) โ (๐ทโ๐) = 0 ) โ (โ๐ค โ ๐ (๐ฆโ๐ค) = if(๐ค โ ๐, 1 , 0 ) โ (๐ทโ๐ฆ) = 0 ))) |
595 | | elequ2 2121 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
โข (๐ = ๐ง โ (๐ค โ ๐ โ ๐ค โ ๐ง)) |
596 | 595 | ifbid 4507 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
โข (๐ = ๐ง โ if(๐ค โ ๐, 1 , 0 ) = if(๐ค โ ๐ง, 1 , 0 )) |
597 | 596 | eqeq2d 2748 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
โข (๐ = ๐ง โ ((๐ฆโ๐ค) = if(๐ค โ ๐, 1 , 0 ) โ (๐ฆโ๐ค) = if(๐ค โ ๐ง, 1 , 0 ))) |
598 | 597 | ralbidv 3172 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
โข (๐ = ๐ง โ (โ๐ค โ ๐ (๐ฆโ๐ค) = if(๐ค โ ๐, 1 , 0 ) โ โ๐ค โ ๐ (๐ฆโ๐ค) = if(๐ค โ ๐ง, 1 , 0 ))) |
599 | 598 | imbi1d 341 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
โข (๐ = ๐ง โ ((โ๐ค โ ๐ (๐ฆโ๐ค) = if(๐ค โ ๐, 1 , 0 ) โ (๐ทโ๐ฆ) = 0 ) โ (โ๐ค โ ๐ (๐ฆโ๐ค) = if(๐ค โ ๐ง, 1 , 0 ) โ (๐ทโ๐ฆ) = 0 ))) |
600 | 594, 599 | cbvral2vw 3225 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
โข
(โ๐ โ
๐ต โ๐ โ (๐ โm ๐)(โ๐ค โ ๐ (๐โ๐ค) = if(๐ค โ ๐, 1 , 0 ) โ (๐ทโ๐) = 0 ) โ โ๐ฆ โ ๐ต โ๐ง โ (๐ โm ๐)(โ๐ค โ ๐ (๐ฆโ๐ค) = if(๐ค โ ๐ง, 1 , 0 ) โ (๐ทโ๐ฆ) = 0 )) |
601 | 589, 600 | sylib 217 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
โข ((๐ โง (๐ โช {๐}) โ (๐ ร ๐) โง (๐ โช {๐}) โ ๐) โ โ๐ฆ โ ๐ต โ๐ง โ (๐ โm ๐)(โ๐ค โ ๐ (๐ฆโ๐ค) = if(๐ค โ ๐ง, 1 , 0 ) โ (๐ทโ๐ฆ) = 0 )) |
602 | | vex 3447 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
โข ๐ โ V |
603 | | raleq 3307 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
โข (๐ฅ = ๐ โ (โ๐ค โ ๐ฅ (๐ฆโ๐ค) = if(๐ค โ ๐ง, 1 , 0 ) โ โ๐ค โ ๐ (๐ฆโ๐ค) = if(๐ค โ ๐ง, 1 , 0 ))) |
604 | 603 | imbi1d 341 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
โข (๐ฅ = ๐ โ ((โ๐ค โ ๐ฅ (๐ฆโ๐ค) = if(๐ค โ ๐ง, 1 , 0 ) โ (๐ทโ๐ฆ) = 0 ) โ (โ๐ค โ ๐ (๐ฆโ๐ค) = if(๐ค โ ๐ง, 1 , 0 ) โ (๐ทโ๐ฆ) = 0 ))) |
605 | 604 | 2ralbidv 3210 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
โข (๐ฅ = ๐ โ (โ๐ฆ โ ๐ต โ๐ง โ (๐ โm ๐)(โ๐ค โ ๐ฅ (๐ฆโ๐ค) = if(๐ค โ ๐ง, 1 , 0 ) โ (๐ทโ๐ฆ) = 0 ) โ โ๐ฆ โ ๐ต โ๐ง โ (๐ โm ๐)(โ๐ค โ ๐ (๐ฆโ๐ค) = if(๐ค โ ๐ง, 1 , 0 ) โ (๐ทโ๐ฆ) = 0 ))) |
606 | 602, 605,
72 | elab2 3632 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
โข (๐ โ ๐ โ โ๐ฆ โ ๐ต โ๐ง โ (๐ โm ๐)(โ๐ค โ ๐ (๐ฆโ๐ค) = if(๐ค โ ๐ง, 1 , 0 ) โ (๐ทโ๐ฆ) = 0 )) |
607 | 601, 606 | sylibr 233 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
โข ((๐ โง (๐ โช {๐}) โ (๐ ร ๐) โง (๐ โช {๐}) โ ๐) โ ๐ โ ๐) |
608 | 607 | 3expia 1121 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
โข ((๐ โง (๐ โช {๐}) โ (๐ ร ๐)) โ ((๐ โช {๐}) โ ๐ โ ๐ โ ๐)) |
609 | 608 | con3d 152 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
โข ((๐ โง (๐ โช {๐}) โ (๐ ร ๐)) โ (ยฌ ๐ โ ๐ โ ยฌ (๐ โช {๐}) โ ๐)) |
610 | 609 | 3adant3 1132 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
โข ((๐ โง (๐ โช {๐}) โ (๐ ร ๐) โง ยฌ โ
โ ๐) โ (ยฌ ๐ โ ๐ โ ยฌ (๐ โช {๐}) โ ๐)) |
611 | 610 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . 14
โข ((๐ โ Fin โง ยฌ ๐ โ ๐) โ ((๐ โง (๐ โช {๐}) โ (๐ ร ๐) โง ยฌ โ
โ ๐) โ (ยฌ ๐ โ ๐ โ ยฌ (๐ โช {๐}) โ ๐))) |
612 | 611 | a2d 29 |
. . . . . . . . . . . . 13
โข ((๐ โ Fin โง ยฌ ๐ โ ๐) โ (((๐ โง (๐ โช {๐}) โ (๐ ร ๐) โง ยฌ โ
โ ๐) โ ยฌ ๐ โ ๐) โ ((๐ โง (๐ โช {๐}) โ (๐ ร ๐) โง ยฌ โ
โ ๐) โ ยฌ (๐ โช {๐}) โ ๐))) |
613 | 103, 612 | syl5 34 |
. . . . . . . . . . . 12
โข ((๐ โ Fin โง ยฌ ๐ โ ๐) โ (((๐ โง ๐ โ (๐ ร ๐) โง ยฌ โ
โ ๐) โ ยฌ ๐ โ ๐) โ ((๐ โง (๐ โช {๐}) โ (๐ ร ๐) โง ยฌ โ
โ ๐) โ ยฌ (๐ โช {๐}) โ ๐))) |
614 | 82, 87, 92, 97, 98, 613 | findcard2s 9067 |
. . . . . . . . . . 11
โข ((๐ ร ๐) โ Fin โ ((๐ โง (๐ ร ๐) โ (๐ ร ๐) โง ยฌ โ
โ ๐) โ ยฌ (๐ ร ๐) โ ๐)) |
615 | 77, 614 | mpcom 38 |
. . . . . . . . . 10
โข ((๐ โง (๐ ร ๐) โ (๐ ร ๐) โง ยฌ โ
โ ๐) โ ยฌ (๐ ร ๐) โ ๐) |
616 | 615 | 3exp 1119 |
. . . . . . . . 9
โข (๐ โ ((๐ ร ๐) โ (๐ ร ๐) โ (ยฌ โ
โ ๐ โ ยฌ (๐ ร ๐) โ ๐))) |
617 | 76, 616 | mpi 20 |
. . . . . . . 8
โข (๐ โ (ยฌ โ
โ
๐ โ ยฌ (๐ ร ๐) โ ๐)) |
618 | 75, 617 | mt4d 117 |
. . . . . . 7
โข (๐ โ โ
โ ๐) |
619 | 618 | adantr 481 |
. . . . . 6
โข ((๐ โง ๐ โ ๐ต) โ โ
โ ๐) |
620 | | 0ex 5262 |
. . . . . . 7
โข โ
โ V |
621 | | raleq 3307 |
. . . . . . . . 9
โข (๐ฅ = โ
โ (โ๐ค โ ๐ฅ (๐ฆโ๐ค) = if(๐ค โ ๐ง, 1 , 0 ) โ โ๐ค โ โ
(๐ฆโ๐ค) = if(๐ค โ ๐ง, 1 , 0 ))) |
622 | 621 | imbi1d 341 |
. . . . . . . 8
โข (๐ฅ = โ
โ
((โ๐ค โ ๐ฅ (๐ฆโ๐ค) = if(๐ค โ ๐ง, 1 , 0 ) โ (๐ทโ๐ฆ) = 0 ) โ (โ๐ค โ โ
(๐ฆโ๐ค) = if(๐ค โ ๐ง, 1 , 0 ) โ (๐ทโ๐ฆ) = 0 ))) |
623 | 622 | 2ralbidv 3210 |
. . . . . . 7
โข (๐ฅ = โ
โ (โ๐ฆ โ ๐ต โ๐ง โ (๐ โm ๐)(โ๐ค โ ๐ฅ (๐ฆโ๐ค) = if(๐ค โ ๐ง, 1 , 0 ) โ (๐ทโ๐ฆ) = 0 ) โ โ๐ฆ โ ๐ต โ๐ง โ (๐ โm ๐)(โ๐ค โ โ
(๐ฆโ๐ค) = if(๐ค โ ๐ง, 1 , 0 ) โ (๐ทโ๐ฆ) = 0 ))) |
624 | 620, 623,
72 | elab2 3632 |
. . . . . 6
โข (โ
โ ๐ โ
โ๐ฆ โ ๐ต โ๐ง โ (๐ โm ๐)(โ๐ค โ โ
(๐ฆโ๐ค) = if(๐ค โ ๐ง, 1 , 0 ) โ (๐ทโ๐ฆ) = 0 )) |
625 | 619, 624 | sylib 217 |
. . . . 5
โข ((๐ โง ๐ โ ๐ต) โ โ๐ฆ โ ๐ต โ๐ง โ (๐ โm ๐)(โ๐ค โ โ
(๐ฆโ๐ค) = if(๐ค โ ๐ง, 1 , 0 ) โ (๐ทโ๐ฆ) = 0 )) |
626 | | fveq1 6838 |
. . . . . . . . 9
โข (๐ฆ = ๐ โ (๐ฆโ๐ค) = (๐โ๐ค)) |
627 | 626 | eqeq1d 2739 |
. . . . . . . 8
โข (๐ฆ = ๐ โ ((๐ฆโ๐ค) = if(๐ค โ ๐ง, 1 , 0 ) โ (๐โ๐ค) = if(๐ค โ ๐ง, 1 , 0 ))) |
628 | 627 | ralbidv 3172 |
. . . . . . 7
โข (๐ฆ = ๐ โ (โ๐ค โ โ
(๐ฆโ๐ค) = if(๐ค โ ๐ง, 1 , 0 ) โ โ๐ค โ โ
(๐โ๐ค) = if(๐ค โ ๐ง, 1 , 0 ))) |
629 | | fveqeq2 6848 |
. . . . . . 7
โข (๐ฆ = ๐ โ ((๐ทโ๐ฆ) = 0 โ (๐ทโ๐) = 0 )) |
630 | 628, 629 | imbi12d 344 |
. . . . . 6
โข (๐ฆ = ๐ โ ((โ๐ค โ โ
(๐ฆโ๐ค) = if(๐ค โ ๐ง, 1 , 0 ) โ (๐ทโ๐ฆ) = 0 ) โ (โ๐ค โ โ
(๐โ๐ค) = if(๐ค โ ๐ง, 1 , 0 ) โ (๐ทโ๐) = 0 ))) |
631 | | eleq2 2826 |
. . . . . . . . . 10
โข (๐ง = ( I โพ ๐) โ (๐ค โ ๐ง โ ๐ค โ ( I โพ ๐))) |
632 | 631 | ifbid 4507 |
. . . . . . . . 9
โข (๐ง = ( I โพ ๐) โ if(๐ค โ ๐ง, 1 , 0 ) = if(๐ค โ ( I โพ ๐), 1 , 0 )) |
633 | 632 | eqeq2d 2748 |
. . . . . . . 8
โข (๐ง = ( I โพ ๐) โ ((๐โ๐ค) = if(๐ค โ ๐ง, 1 , 0 ) โ (๐โ๐ค) = if(๐ค โ ( I โพ ๐), 1 , 0 ))) |
634 | 633 | ralbidv 3172 |
. . . . . . 7
โข (๐ง = ( I โพ ๐) โ (โ๐ค โ โ
(๐โ๐ค) = if(๐ค โ ๐ง, 1 , 0 ) โ โ๐ค โ โ
(๐โ๐ค) = if(๐ค โ ( I โพ ๐), 1 , 0 ))) |
635 | 634 | imbi1d 341 |
. . . . . 6
โข (๐ง = ( I โพ ๐) โ ((โ๐ค โ โ
(๐โ๐ค) = if(๐ค โ ๐ง, 1 , 0 ) โ (๐ทโ๐) = 0 ) โ (โ๐ค โ โ
(๐โ๐ค) = if(๐ค โ ( I โพ ๐), 1 , 0 ) โ (๐ทโ๐) = 0 ))) |
636 | 630, 635 | rspc2va 3589 |
. . . . 5
โข (((๐ โ ๐ต โง ( I โพ ๐) โ (๐ โm ๐)) โง โ๐ฆ โ ๐ต โ๐ง โ (๐ โm ๐)(โ๐ค โ โ
(๐ฆโ๐ค) = if(๐ค โ ๐ง, 1 , 0 ) โ (๐ทโ๐ฆ) = 0 )) โ (โ๐ค โ โ
(๐โ๐ค) = if(๐ค โ ( I โพ ๐), 1 , 0 ) โ (๐ทโ๐) = 0 )) |
637 | 2, 9, 625, 636 | syl21anc 836 |
. . . 4
โข ((๐ โง ๐ โ ๐ต) โ (โ๐ค โ โ
(๐โ๐ค) = if(๐ค โ ( I โพ ๐), 1 , 0 ) โ (๐ทโ๐) = 0 )) |
638 | 1, 637 | mpi 20 |
. . 3
โข ((๐ โง ๐ โ ๐ต) โ (๐ทโ๐) = 0 ) |
639 | 638 | mpteq2dva 5203 |
. 2
โข (๐ โ (๐ โ ๐ต โฆ (๐ทโ๐)) = (๐ โ ๐ต โฆ 0 )) |
640 | 53 | feqmptd 6907 |
. 2
โข (๐ โ ๐ท = (๐ โ ๐ต โฆ (๐ทโ๐))) |
641 | | fconstmpt 5692 |
. . 3
โข (๐ต ร { 0 }) = (๐ โ ๐ต โฆ 0 ) |
642 | 641 | a1i 11 |
. 2
โข (๐ โ (๐ต ร { 0 }) = (๐ โ ๐ต โฆ 0 )) |
643 | 639, 640,
642 | 3eqtr4d 2787 |
1
โข (๐ โ ๐ท = (๐ต ร { 0 })) |