MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mdetunilem9 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mdetunilem9 21921
Description: Lemma for mdetuni 21923. (Contributed by SO, 15-Jul-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
mdetuni.a ๐ด = (๐‘ Mat ๐‘…)
mdetuni.b ๐ต = (Baseโ€˜๐ด)
mdetuni.k ๐พ = (Baseโ€˜๐‘…)
mdetuni.0g 0 = (0gโ€˜๐‘…)
mdetuni.1r 1 = (1rโ€˜๐‘…)
mdetuni.pg + = (+gโ€˜๐‘…)
mdetuni.tg ยท = (.rโ€˜๐‘…)
mdetuni.n (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ Fin)
mdetuni.r (๐œ‘ โ†’ ๐‘… โˆˆ Ring)
mdetuni.ff (๐œ‘ โ†’ ๐ท:๐ตโŸถ๐พ)
mdetuni.al (๐œ‘ โ†’ โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ โˆ€๐‘ง โˆˆ ๐‘ ((๐‘ฆ โ‰  ๐‘ง โˆง โˆ€๐‘ค โˆˆ ๐‘ (๐‘ฆ๐‘ฅ๐‘ค) = (๐‘ง๐‘ฅ๐‘ค)) โ†’ (๐ทโ€˜๐‘ฅ) = 0 ))
mdetuni.li (๐œ‘ โ†’ โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ต โˆ€๐‘ง โˆˆ ๐ต โˆ€๐‘ค โˆˆ ๐‘ (((๐‘ฅ โ†พ ({๐‘ค} ร— ๐‘)) = ((๐‘ฆ โ†พ ({๐‘ค} ร— ๐‘)) โˆ˜f + (๐‘ง โ†พ ({๐‘ค} ร— ๐‘))) โˆง (๐‘ฅ โ†พ ((๐‘ โˆ– {๐‘ค}) ร— ๐‘)) = (๐‘ฆ โ†พ ((๐‘ โˆ– {๐‘ค}) ร— ๐‘)) โˆง (๐‘ฅ โ†พ ((๐‘ โˆ– {๐‘ค}) ร— ๐‘)) = (๐‘ง โ†พ ((๐‘ โˆ– {๐‘ค}) ร— ๐‘))) โ†’ (๐ทโ€˜๐‘ฅ) = ((๐ทโ€˜๐‘ฆ) + (๐ทโ€˜๐‘ง))))
mdetuni.sc (๐œ‘ โ†’ โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐พ โˆ€๐‘ง โˆˆ ๐ต โˆ€๐‘ค โˆˆ ๐‘ (((๐‘ฅ โ†พ ({๐‘ค} ร— ๐‘)) = ((({๐‘ค} ร— ๐‘) ร— {๐‘ฆ}) โˆ˜f ยท (๐‘ง โ†พ ({๐‘ค} ร— ๐‘))) โˆง (๐‘ฅ โ†พ ((๐‘ โˆ– {๐‘ค}) ร— ๐‘)) = (๐‘ง โ†พ ((๐‘ โˆ– {๐‘ค}) ร— ๐‘))) โ†’ (๐ทโ€˜๐‘ฅ) = (๐‘ฆ ยท (๐ทโ€˜๐‘ง))))
mdetunilem9.id (๐œ‘ โ†’ (๐ทโ€˜(1rโ€˜๐ด)) = 0 )
mdetunilem9.y ๐‘Œ = {๐‘ฅ โˆฃ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ต โˆ€๐‘ง โˆˆ (๐‘ โ†‘m ๐‘)(โˆ€๐‘ค โˆˆ ๐‘ฅ (๐‘ฆโ€˜๐‘ค) = if(๐‘ค โˆˆ ๐‘ง, 1 , 0 ) โ†’ (๐ทโ€˜๐‘ฆ) = 0 )}
Assertion
Ref Expression
mdetunilem9 (๐œ‘ โ†’ ๐ท = (๐ต ร— { 0 }))
Distinct variable groups:   ๐œ‘,๐‘ฅ,๐‘ฆ,๐‘ง,๐‘ค   ๐‘ฅ,๐ต,๐‘ฆ,๐‘ง,๐‘ค   ๐‘ฅ,๐พ,๐‘ฆ,๐‘ง,๐‘ค   ๐‘ฅ,๐‘,๐‘ฆ,๐‘ง,๐‘ค   ๐‘ฅ,๐ท,๐‘ฆ,๐‘ง,๐‘ค   ๐‘ฅ, ยท ,๐‘ฆ,๐‘ง,๐‘ค   ๐‘ฅ, + ,๐‘ฆ,๐‘ง,๐‘ค   ๐‘ฅ, 0 ,๐‘ฆ,๐‘ง,๐‘ค   ๐‘ฅ, 1 ,๐‘ฆ,๐‘ง,๐‘ค   ๐‘ฅ,๐‘…,๐‘ฆ,๐‘ง,๐‘ค   ๐‘ฅ,๐ด,๐‘ฆ,๐‘ง,๐‘ค
Allowed substitution hints:   ๐‘Œ(๐‘ฅ,๐‘ฆ,๐‘ง,๐‘ค)

Proof of Theorem mdetunilem9
Dummy variables ๐‘Ž ๐‘ ๐‘ ๐‘‘ ๐‘’ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ral0 4468 . . . 4 โˆ€๐‘ค โˆˆ โˆ… (๐‘Žโ€˜๐‘ค) = if(๐‘ค โˆˆ ( I โ†พ ๐‘), 1 , 0 )
2 simpr 485 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘Ž โˆˆ ๐ต) โ†’ ๐‘Ž โˆˆ ๐ต)
3 f1oi 6819 . . . . . . . 8 ( I โ†พ ๐‘):๐‘โ€“1-1-ontoโ†’๐‘
4 f1of 6781 . . . . . . . 8 (( I โ†พ ๐‘):๐‘โ€“1-1-ontoโ†’๐‘ โ†’ ( I โ†พ ๐‘):๐‘โŸถ๐‘)
53, 4mp1i 13 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ( I โ†พ ๐‘):๐‘โŸถ๐‘)
6 mdetuni.n . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ Fin)
76, 6elmapd 8737 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (( I โ†พ ๐‘) โˆˆ (๐‘ โ†‘m ๐‘) โ†” ( I โ†พ ๐‘):๐‘โŸถ๐‘))
85, 7mpbird 256 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ( I โ†พ ๐‘) โˆˆ (๐‘ โ†‘m ๐‘))
98adantr 481 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘Ž โˆˆ ๐ต) โ†’ ( I โ†พ ๐‘) โˆˆ (๐‘ โ†‘m ๐‘))
10 simplrl 775 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ฆ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ง โˆˆ (๐‘ โ†‘m ๐‘))) โˆง โˆ€๐‘ค โˆˆ (๐‘ ร— ๐‘)(๐‘ฆโ€˜๐‘ค) = if(๐‘ค โˆˆ ๐‘ง, 1 , 0 )) โ†’ ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต)
11 mdetuni.a . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ๐ด = (๐‘ Mat ๐‘…)
12 mdetuni.k . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ๐พ = (Baseโ€˜๐‘…)
13 mdetuni.b . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ๐ต = (Baseโ€˜๐ด)
1411, 12, 13matbas2i 21723 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐‘ฆ โˆˆ ๐ต โ†’ ๐‘ฆ โˆˆ (๐พ โ†‘m (๐‘ ร— ๐‘)))
15 elmapi 8745 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐‘ฆ โˆˆ (๐พ โ†‘m (๐‘ ร— ๐‘)) โ†’ ๐‘ฆ:(๐‘ ร— ๐‘)โŸถ๐พ)
1614, 15syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐‘ฆ โˆˆ ๐ต โ†’ ๐‘ฆ:(๐‘ ร— ๐‘)โŸถ๐พ)
1716feqmptd 6907 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘ฆ โˆˆ ๐ต โ†’ ๐‘ฆ = (๐‘ค โˆˆ (๐‘ ร— ๐‘) โ†ฆ (๐‘ฆโ€˜๐‘ค)))
1817fveq2d 6843 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘ฆ โˆˆ ๐ต โ†’ (๐ทโ€˜๐‘ฆ) = (๐ทโ€˜(๐‘ค โˆˆ (๐‘ ร— ๐‘) โ†ฆ (๐‘ฆโ€˜๐‘ค))))
1910, 18syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ฆ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ง โˆˆ (๐‘ โ†‘m ๐‘))) โˆง โˆ€๐‘ค โˆˆ (๐‘ ร— ๐‘)(๐‘ฆโ€˜๐‘ค) = if(๐‘ค โˆˆ ๐‘ง, 1 , 0 )) โ†’ (๐ทโ€˜๐‘ฆ) = (๐ทโ€˜(๐‘ค โˆˆ (๐‘ ร— ๐‘) โ†ฆ (๐‘ฆโ€˜๐‘ค))))
20 eqid 2737 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘ ร— ๐‘) = (๐‘ ร— ๐‘)
21 mpteq12 5195 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((๐‘ ร— ๐‘) = (๐‘ ร— ๐‘) โˆง โˆ€๐‘ค โˆˆ (๐‘ ร— ๐‘)(๐‘ฆโ€˜๐‘ค) = if(๐‘ค โˆˆ ๐‘ง, 1 , 0 )) โ†’ (๐‘ค โˆˆ (๐‘ ร— ๐‘) โ†ฆ (๐‘ฆโ€˜๐‘ค)) = (๐‘ค โˆˆ (๐‘ ร— ๐‘) โ†ฆ if(๐‘ค โˆˆ ๐‘ง, 1 , 0 )))
2221fveq2d 6843 . . . . . . . . . . . . . 14 (((๐‘ ร— ๐‘) = (๐‘ ร— ๐‘) โˆง โˆ€๐‘ค โˆˆ (๐‘ ร— ๐‘)(๐‘ฆโ€˜๐‘ค) = if(๐‘ค โˆˆ ๐‘ง, 1 , 0 )) โ†’ (๐ทโ€˜(๐‘ค โˆˆ (๐‘ ร— ๐‘) โ†ฆ (๐‘ฆโ€˜๐‘ค))) = (๐ทโ€˜(๐‘ค โˆˆ (๐‘ ร— ๐‘) โ†ฆ if(๐‘ค โˆˆ ๐‘ง, 1 , 0 ))))
2320, 22mpan 688 . . . . . . . . . . . . 13 (โˆ€๐‘ค โˆˆ (๐‘ ร— ๐‘)(๐‘ฆโ€˜๐‘ค) = if(๐‘ค โˆˆ ๐‘ง, 1 , 0 ) โ†’ (๐ทโ€˜(๐‘ค โˆˆ (๐‘ ร— ๐‘) โ†ฆ (๐‘ฆโ€˜๐‘ค))) = (๐ทโ€˜(๐‘ค โˆˆ (๐‘ ร— ๐‘) โ†ฆ if(๐‘ค โˆˆ ๐‘ง, 1 , 0 ))))
2423adantl 482 . . . . . . . . . . . 12 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ฆ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ง โˆˆ (๐‘ โ†‘m ๐‘))) โˆง โˆ€๐‘ค โˆˆ (๐‘ ร— ๐‘)(๐‘ฆโ€˜๐‘ค) = if(๐‘ค โˆˆ ๐‘ง, 1 , 0 )) โ†’ (๐ทโ€˜(๐‘ค โˆˆ (๐‘ ร— ๐‘) โ†ฆ (๐‘ฆโ€˜๐‘ค))) = (๐ทโ€˜(๐‘ค โˆˆ (๐‘ ร— ๐‘) โ†ฆ if(๐‘ค โˆˆ ๐‘ง, 1 , 0 ))))
25 eleq1 2825 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐‘Ž = ๐‘ง โ†’ (๐‘Ž โˆˆ (๐‘ โ†‘m ๐‘) โ†” ๐‘ง โˆˆ (๐‘ โ†‘m ๐‘)))
2625anbi2d 629 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐‘Ž = ๐‘ง โ†’ ((๐œ‘ โˆง ๐‘Ž โˆˆ (๐‘ โ†‘m ๐‘)) โ†” (๐œ‘ โˆง ๐‘ง โˆˆ (๐‘ โ†‘m ๐‘))))
27 elequ2 2121 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (๐‘Ž = ๐‘ง โ†’ (๐‘ค โˆˆ ๐‘Ž โ†” ๐‘ค โˆˆ ๐‘ง))
2827ifbid 4507 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (๐‘Ž = ๐‘ง โ†’ if(๐‘ค โˆˆ ๐‘Ž, 1 , 0 ) = if(๐‘ค โˆˆ ๐‘ง, 1 , 0 ))
2928mpteq2dv 5205 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (๐‘Ž = ๐‘ง โ†’ (๐‘ค โˆˆ (๐‘ ร— ๐‘) โ†ฆ if(๐‘ค โˆˆ ๐‘Ž, 1 , 0 )) = (๐‘ค โˆˆ (๐‘ ร— ๐‘) โ†ฆ if(๐‘ค โˆˆ ๐‘ง, 1 , 0 )))
3029fveq2d 6843 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐‘Ž = ๐‘ง โ†’ (๐ทโ€˜(๐‘ค โˆˆ (๐‘ ร— ๐‘) โ†ฆ if(๐‘ค โˆˆ ๐‘Ž, 1 , 0 ))) = (๐ทโ€˜(๐‘ค โˆˆ (๐‘ ร— ๐‘) โ†ฆ if(๐‘ค โˆˆ ๐‘ง, 1 , 0 ))))
3130eqeq1d 2739 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐‘Ž = ๐‘ง โ†’ ((๐ทโ€˜(๐‘ค โˆˆ (๐‘ ร— ๐‘) โ†ฆ if(๐‘ค โˆˆ ๐‘Ž, 1 , 0 ))) = 0 โ†” (๐ทโ€˜(๐‘ค โˆˆ (๐‘ ร— ๐‘) โ†ฆ if(๐‘ค โˆˆ ๐‘ง, 1 , 0 ))) = 0 ))
3226, 31imbi12d 344 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐‘Ž = ๐‘ง โ†’ (((๐œ‘ โˆง ๐‘Ž โˆˆ (๐‘ โ†‘m ๐‘)) โ†’ (๐ทโ€˜(๐‘ค โˆˆ (๐‘ ร— ๐‘) โ†ฆ if(๐‘ค โˆˆ ๐‘Ž, 1 , 0 ))) = 0 ) โ†” ((๐œ‘ โˆง ๐‘ง โˆˆ (๐‘ โ†‘m ๐‘)) โ†’ (๐ทโ€˜(๐‘ค โˆˆ (๐‘ ร— ๐‘) โ†ฆ if(๐‘ค โˆˆ ๐‘ง, 1 , 0 ))) = 0 )))
33 eleq1 2825 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (๐‘ค = โŸจ๐‘, ๐‘โŸฉ โ†’ (๐‘ค โˆˆ ๐‘Ž โ†” โŸจ๐‘, ๐‘โŸฉ โˆˆ ๐‘Ž))
3433ifbid 4507 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (๐‘ค = โŸจ๐‘, ๐‘โŸฉ โ†’ if(๐‘ค โˆˆ ๐‘Ž, 1 , 0 ) = if(โŸจ๐‘, ๐‘โŸฉ โˆˆ ๐‘Ž, 1 , 0 ))
3534mpompt 7464 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (๐‘ค โˆˆ (๐‘ ร— ๐‘) โ†ฆ if(๐‘ค โˆˆ ๐‘Ž, 1 , 0 )) = (๐‘ โˆˆ ๐‘, ๐‘ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ if(โŸจ๐‘, ๐‘โŸฉ โˆˆ ๐‘Ž, 1 , 0 ))
36 elmapi 8745 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (๐‘Ž โˆˆ (๐‘ โ†‘m ๐‘) โ†’ ๐‘Ž:๐‘โŸถ๐‘)
3736adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((๐œ‘ โˆง ๐‘Ž โˆˆ (๐‘ โ†‘m ๐‘)) โ†’ ๐‘Ž:๐‘โŸถ๐‘)
3837ffnd 6666 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((๐œ‘ โˆง ๐‘Ž โˆˆ (๐‘ โ†‘m ๐‘)) โ†’ ๐‘Ž Fn ๐‘)
39383ad2ant1 1133 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((๐œ‘ โˆง ๐‘Ž โˆˆ (๐‘ โ†‘m ๐‘)) โˆง ๐‘ โˆˆ ๐‘ โˆง ๐‘ โˆˆ ๐‘) โ†’ ๐‘Ž Fn ๐‘)
40 simp2 1137 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((๐œ‘ โˆง ๐‘Ž โˆˆ (๐‘ โ†‘m ๐‘)) โˆง ๐‘ โˆˆ ๐‘ โˆง ๐‘ โˆˆ ๐‘) โ†’ ๐‘ โˆˆ ๐‘)
41 fnopfvb 6893 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((๐‘Ž Fn ๐‘ โˆง ๐‘ โˆˆ ๐‘) โ†’ ((๐‘Žโ€˜๐‘) = ๐‘ โ†” โŸจ๐‘, ๐‘โŸฉ โˆˆ ๐‘Ž))
4239, 40, 41syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((๐œ‘ โˆง ๐‘Ž โˆˆ (๐‘ โ†‘m ๐‘)) โˆง ๐‘ โˆˆ ๐‘ โˆง ๐‘ โˆˆ ๐‘) โ†’ ((๐‘Žโ€˜๐‘) = ๐‘ โ†” โŸจ๐‘, ๐‘โŸฉ โˆˆ ๐‘Ž))
4342bicomd 222 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((๐œ‘ โˆง ๐‘Ž โˆˆ (๐‘ โ†‘m ๐‘)) โˆง ๐‘ โˆˆ ๐‘ โˆง ๐‘ โˆˆ ๐‘) โ†’ (โŸจ๐‘, ๐‘โŸฉ โˆˆ ๐‘Ž โ†” (๐‘Žโ€˜๐‘) = ๐‘))
4443ifbid 4507 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((๐œ‘ โˆง ๐‘Ž โˆˆ (๐‘ โ†‘m ๐‘)) โˆง ๐‘ โˆˆ ๐‘ โˆง ๐‘ โˆˆ ๐‘) โ†’ if(โŸจ๐‘, ๐‘โŸฉ โˆˆ ๐‘Ž, 1 , 0 ) = if((๐‘Žโ€˜๐‘) = ๐‘, 1 , 0 ))
4544mpoeq3dva 7428 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((๐œ‘ โˆง ๐‘Ž โˆˆ (๐‘ โ†‘m ๐‘)) โ†’ (๐‘ โˆˆ ๐‘, ๐‘ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ if(โŸจ๐‘, ๐‘โŸฉ โˆˆ ๐‘Ž, 1 , 0 )) = (๐‘ โˆˆ ๐‘, ๐‘ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ if((๐‘Žโ€˜๐‘) = ๐‘, 1 , 0 )))
4635, 45eqtrid 2789 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((๐œ‘ โˆง ๐‘Ž โˆˆ (๐‘ โ†‘m ๐‘)) โ†’ (๐‘ค โˆˆ (๐‘ ร— ๐‘) โ†ฆ if(๐‘ค โˆˆ ๐‘Ž, 1 , 0 )) = (๐‘ โˆˆ ๐‘, ๐‘ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ if((๐‘Žโ€˜๐‘) = ๐‘, 1 , 0 )))
4746fveq2d 6843 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐œ‘ โˆง ๐‘Ž โˆˆ (๐‘ โ†‘m ๐‘)) โ†’ (๐ทโ€˜(๐‘ค โˆˆ (๐‘ ร— ๐‘) โ†ฆ if(๐‘ค โˆˆ ๐‘Ž, 1 , 0 ))) = (๐ทโ€˜(๐‘ โˆˆ ๐‘, ๐‘ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ if((๐‘Žโ€˜๐‘) = ๐‘, 1 , 0 ))))
48 mdetuni.0g . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 0 = (0gโ€˜๐‘…)
49 mdetuni.1r . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 1 = (1rโ€˜๐‘…)
50 mdetuni.pg . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 + = (+gโ€˜๐‘…)
51 mdetuni.tg . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ยท = (.rโ€˜๐‘…)
52 mdetuni.r . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (๐œ‘ โ†’ ๐‘… โˆˆ Ring)
53 mdetuni.ff . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (๐œ‘ โ†’ ๐ท:๐ตโŸถ๐พ)
54 mdetuni.al . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (๐œ‘ โ†’ โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ โˆ€๐‘ง โˆˆ ๐‘ ((๐‘ฆ โ‰  ๐‘ง โˆง โˆ€๐‘ค โˆˆ ๐‘ (๐‘ฆ๐‘ฅ๐‘ค) = (๐‘ง๐‘ฅ๐‘ค)) โ†’ (๐ทโ€˜๐‘ฅ) = 0 ))
55 mdetuni.li . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (๐œ‘ โ†’ โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ต โˆ€๐‘ง โˆˆ ๐ต โˆ€๐‘ค โˆˆ ๐‘ (((๐‘ฅ โ†พ ({๐‘ค} ร— ๐‘)) = ((๐‘ฆ โ†พ ({๐‘ค} ร— ๐‘)) โˆ˜f + (๐‘ง โ†พ ({๐‘ค} ร— ๐‘))) โˆง (๐‘ฅ โ†พ ((๐‘ โˆ– {๐‘ค}) ร— ๐‘)) = (๐‘ฆ โ†พ ((๐‘ โˆ– {๐‘ค}) ร— ๐‘)) โˆง (๐‘ฅ โ†พ ((๐‘ โˆ– {๐‘ค}) ร— ๐‘)) = (๐‘ง โ†พ ((๐‘ โˆ– {๐‘ค}) ร— ๐‘))) โ†’ (๐ทโ€˜๐‘ฅ) = ((๐ทโ€˜๐‘ฆ) + (๐ทโ€˜๐‘ง))))
56 mdetuni.sc . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (๐œ‘ โ†’ โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐พ โˆ€๐‘ง โˆˆ ๐ต โˆ€๐‘ค โˆˆ ๐‘ (((๐‘ฅ โ†พ ({๐‘ค} ร— ๐‘)) = ((({๐‘ค} ร— ๐‘) ร— {๐‘ฆ}) โˆ˜f ยท (๐‘ง โ†พ ({๐‘ค} ร— ๐‘))) โˆง (๐‘ฅ โ†พ ((๐‘ โˆ– {๐‘ค}) ร— ๐‘)) = (๐‘ง โ†พ ((๐‘ โˆ– {๐‘ค}) ร— ๐‘))) โ†’ (๐ทโ€˜๐‘ฅ) = (๐‘ฆ ยท (๐ทโ€˜๐‘ง))))
57 mdetunilem9.id . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (๐œ‘ โ†’ (๐ทโ€˜(1rโ€˜๐ด)) = 0 )
5811, 13, 12, 48, 49, 50, 51, 6, 52, 53, 54, 55, 56, 57mdetunilem8 21920 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((๐œ‘ โˆง ๐‘Ž:๐‘โŸถ๐‘) โ†’ (๐ทโ€˜(๐‘ โˆˆ ๐‘, ๐‘ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ if((๐‘Žโ€˜๐‘) = ๐‘, 1 , 0 ))) = 0 )
5936, 58sylan2 593 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐œ‘ โˆง ๐‘Ž โˆˆ (๐‘ โ†‘m ๐‘)) โ†’ (๐ทโ€˜(๐‘ โˆˆ ๐‘, ๐‘ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ if((๐‘Žโ€˜๐‘) = ๐‘, 1 , 0 ))) = 0 )
6047, 59eqtrd 2777 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐œ‘ โˆง ๐‘Ž โˆˆ (๐‘ โ†‘m ๐‘)) โ†’ (๐ทโ€˜(๐‘ค โˆˆ (๐‘ ร— ๐‘) โ†ฆ if(๐‘ค โˆˆ ๐‘Ž, 1 , 0 ))) = 0 )
6132, 60chvarvv 2002 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ง โˆˆ (๐‘ โ†‘m ๐‘)) โ†’ (๐ทโ€˜(๐‘ค โˆˆ (๐‘ ร— ๐‘) โ†ฆ if(๐‘ค โˆˆ ๐‘ง, 1 , 0 ))) = 0 )
6261adantrl 714 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฆ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ง โˆˆ (๐‘ โ†‘m ๐‘))) โ†’ (๐ทโ€˜(๐‘ค โˆˆ (๐‘ ร— ๐‘) โ†ฆ if(๐‘ค โˆˆ ๐‘ง, 1 , 0 ))) = 0 )
6362adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ฆ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ง โˆˆ (๐‘ โ†‘m ๐‘))) โˆง โˆ€๐‘ค โˆˆ (๐‘ ร— ๐‘)(๐‘ฆโ€˜๐‘ค) = if(๐‘ค โˆˆ ๐‘ง, 1 , 0 )) โ†’ (๐ทโ€˜(๐‘ค โˆˆ (๐‘ ร— ๐‘) โ†ฆ if(๐‘ค โˆˆ ๐‘ง, 1 , 0 ))) = 0 )
6419, 24, 633eqtrd 2781 . . . . . . . . . . 11 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ฆ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ง โˆˆ (๐‘ โ†‘m ๐‘))) โˆง โˆ€๐‘ค โˆˆ (๐‘ ร— ๐‘)(๐‘ฆโ€˜๐‘ค) = if(๐‘ค โˆˆ ๐‘ง, 1 , 0 )) โ†’ (๐ทโ€˜๐‘ฆ) = 0 )
6564ex 413 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฆ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ง โˆˆ (๐‘ โ†‘m ๐‘))) โ†’ (โˆ€๐‘ค โˆˆ (๐‘ ร— ๐‘)(๐‘ฆโ€˜๐‘ค) = if(๐‘ค โˆˆ ๐‘ง, 1 , 0 ) โ†’ (๐ทโ€˜๐‘ฆ) = 0 ))
6665ralrimivva 3195 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ต โˆ€๐‘ง โˆˆ (๐‘ โ†‘m ๐‘)(โˆ€๐‘ค โˆˆ (๐‘ ร— ๐‘)(๐‘ฆโ€˜๐‘ค) = if(๐‘ค โˆˆ ๐‘ง, 1 , 0 ) โ†’ (๐ทโ€˜๐‘ฆ) = 0 ))
67 xpfi 9219 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘ โˆˆ Fin) โ†’ (๐‘ ร— ๐‘) โˆˆ Fin)
686, 6, 67syl2anc 584 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ ร— ๐‘) โˆˆ Fin)
69 raleq 3307 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘ฅ = (๐‘ ร— ๐‘) โ†’ (โˆ€๐‘ค โˆˆ ๐‘ฅ (๐‘ฆโ€˜๐‘ค) = if(๐‘ค โˆˆ ๐‘ง, 1 , 0 ) โ†” โˆ€๐‘ค โˆˆ (๐‘ ร— ๐‘)(๐‘ฆโ€˜๐‘ค) = if(๐‘ค โˆˆ ๐‘ง, 1 , 0 )))
7069imbi1d 341 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘ฅ = (๐‘ ร— ๐‘) โ†’ ((โˆ€๐‘ค โˆˆ ๐‘ฅ (๐‘ฆโ€˜๐‘ค) = if(๐‘ค โˆˆ ๐‘ง, 1 , 0 ) โ†’ (๐ทโ€˜๐‘ฆ) = 0 ) โ†” (โˆ€๐‘ค โˆˆ (๐‘ ร— ๐‘)(๐‘ฆโ€˜๐‘ค) = if(๐‘ค โˆˆ ๐‘ง, 1 , 0 ) โ†’ (๐ทโ€˜๐‘ฆ) = 0 )))
71702ralbidv 3210 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ฅ = (๐‘ ร— ๐‘) โ†’ (โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ต โˆ€๐‘ง โˆˆ (๐‘ โ†‘m ๐‘)(โˆ€๐‘ค โˆˆ ๐‘ฅ (๐‘ฆโ€˜๐‘ค) = if(๐‘ค โˆˆ ๐‘ง, 1 , 0 ) โ†’ (๐ทโ€˜๐‘ฆ) = 0 ) โ†” โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ต โˆ€๐‘ง โˆˆ (๐‘ โ†‘m ๐‘)(โˆ€๐‘ค โˆˆ (๐‘ ร— ๐‘)(๐‘ฆโ€˜๐‘ค) = if(๐‘ค โˆˆ ๐‘ง, 1 , 0 ) โ†’ (๐ทโ€˜๐‘ฆ) = 0 )))
72 mdetunilem9.y . . . . . . . . . . 11 ๐‘Œ = {๐‘ฅ โˆฃ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ต โˆ€๐‘ง โˆˆ (๐‘ โ†‘m ๐‘)(โˆ€๐‘ค โˆˆ ๐‘ฅ (๐‘ฆโ€˜๐‘ค) = if(๐‘ค โˆˆ ๐‘ง, 1 , 0 ) โ†’ (๐ทโ€˜๐‘ฆ) = 0 )}
7371, 72elab2g 3630 . . . . . . . . . 10 ((๐‘ ร— ๐‘) โˆˆ Fin โ†’ ((๐‘ ร— ๐‘) โˆˆ ๐‘Œ โ†” โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ต โˆ€๐‘ง โˆˆ (๐‘ โ†‘m ๐‘)(โˆ€๐‘ค โˆˆ (๐‘ ร— ๐‘)(๐‘ฆโ€˜๐‘ค) = if(๐‘ค โˆˆ ๐‘ง, 1 , 0 ) โ†’ (๐ทโ€˜๐‘ฆ) = 0 )))
7468, 73syl 17 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘ ร— ๐‘) โˆˆ ๐‘Œ โ†” โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ต โˆ€๐‘ง โˆˆ (๐‘ โ†‘m ๐‘)(โˆ€๐‘ค โˆˆ (๐‘ ร— ๐‘)(๐‘ฆโ€˜๐‘ค) = if(๐‘ค โˆˆ ๐‘ง, 1 , 0 ) โ†’ (๐ทโ€˜๐‘ฆ) = 0 )))
7566, 74mpbird 256 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ ร— ๐‘) โˆˆ ๐‘Œ)
76 ssid 3964 . . . . . . . . 9 (๐‘ ร— ๐‘) โŠ† (๐‘ ร— ๐‘)
77683ad2ant1 1133 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ ร— ๐‘) โŠ† (๐‘ ร— ๐‘) โˆง ยฌ โˆ… โˆˆ ๐‘Œ) โ†’ (๐‘ ร— ๐‘) โˆˆ Fin)
78 sseq1 3967 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘Ž = โˆ… โ†’ (๐‘Ž โŠ† (๐‘ ร— ๐‘) โ†” โˆ… โŠ† (๐‘ ร— ๐‘)))
79783anbi2d 1441 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘Ž = โˆ… โ†’ ((๐œ‘ โˆง ๐‘Ž โŠ† (๐‘ ร— ๐‘) โˆง ยฌ โˆ… โˆˆ ๐‘Œ) โ†” (๐œ‘ โˆง โˆ… โŠ† (๐‘ ร— ๐‘) โˆง ยฌ โˆ… โˆˆ ๐‘Œ)))
80 eleq1 2825 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘Ž = โˆ… โ†’ (๐‘Ž โˆˆ ๐‘Œ โ†” โˆ… โˆˆ ๐‘Œ))
8180notbid 317 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘Ž = โˆ… โ†’ (ยฌ ๐‘Ž โˆˆ ๐‘Œ โ†” ยฌ โˆ… โˆˆ ๐‘Œ))
8279, 81imbi12d 344 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘Ž = โˆ… โ†’ (((๐œ‘ โˆง ๐‘Ž โŠ† (๐‘ ร— ๐‘) โˆง ยฌ โˆ… โˆˆ ๐‘Œ) โ†’ ยฌ ๐‘Ž โˆˆ ๐‘Œ) โ†” ((๐œ‘ โˆง โˆ… โŠ† (๐‘ ร— ๐‘) โˆง ยฌ โˆ… โˆˆ ๐‘Œ) โ†’ ยฌ โˆ… โˆˆ ๐‘Œ)))
83 sseq1 3967 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘Ž = ๐‘ โ†’ (๐‘Ž โŠ† (๐‘ ร— ๐‘) โ†” ๐‘ โŠ† (๐‘ ร— ๐‘)))
84833anbi2d 1441 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘Ž = ๐‘ โ†’ ((๐œ‘ โˆง ๐‘Ž โŠ† (๐‘ ร— ๐‘) โˆง ยฌ โˆ… โˆˆ ๐‘Œ) โ†” (๐œ‘ โˆง ๐‘ โŠ† (๐‘ ร— ๐‘) โˆง ยฌ โˆ… โˆˆ ๐‘Œ)))
85 eleq1 2825 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘Ž = ๐‘ โ†’ (๐‘Ž โˆˆ ๐‘Œ โ†” ๐‘ โˆˆ ๐‘Œ))
8685notbid 317 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘Ž = ๐‘ โ†’ (ยฌ ๐‘Ž โˆˆ ๐‘Œ โ†” ยฌ ๐‘ โˆˆ ๐‘Œ))
8784, 86imbi12d 344 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘Ž = ๐‘ โ†’ (((๐œ‘ โˆง ๐‘Ž โŠ† (๐‘ ร— ๐‘) โˆง ยฌ โˆ… โˆˆ ๐‘Œ) โ†’ ยฌ ๐‘Ž โˆˆ ๐‘Œ) โ†” ((๐œ‘ โˆง ๐‘ โŠ† (๐‘ ร— ๐‘) โˆง ยฌ โˆ… โˆˆ ๐‘Œ) โ†’ ยฌ ๐‘ โˆˆ ๐‘Œ)))
88 sseq1 3967 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘Ž = (๐‘ โˆช {๐‘}) โ†’ (๐‘Ž โŠ† (๐‘ ร— ๐‘) โ†” (๐‘ โˆช {๐‘}) โŠ† (๐‘ ร— ๐‘)))
89883anbi2d 1441 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘Ž = (๐‘ โˆช {๐‘}) โ†’ ((๐œ‘ โˆง ๐‘Ž โŠ† (๐‘ ร— ๐‘) โˆง ยฌ โˆ… โˆˆ ๐‘Œ) โ†” (๐œ‘ โˆง (๐‘ โˆช {๐‘}) โŠ† (๐‘ ร— ๐‘) โˆง ยฌ โˆ… โˆˆ ๐‘Œ)))
90 eleq1 2825 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘Ž = (๐‘ โˆช {๐‘}) โ†’ (๐‘Ž โˆˆ ๐‘Œ โ†” (๐‘ โˆช {๐‘}) โˆˆ ๐‘Œ))
9190notbid 317 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘Ž = (๐‘ โˆช {๐‘}) โ†’ (ยฌ ๐‘Ž โˆˆ ๐‘Œ โ†” ยฌ (๐‘ โˆช {๐‘}) โˆˆ ๐‘Œ))
9289, 91imbi12d 344 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘Ž = (๐‘ โˆช {๐‘}) โ†’ (((๐œ‘ โˆง ๐‘Ž โŠ† (๐‘ ร— ๐‘) โˆง ยฌ โˆ… โˆˆ ๐‘Œ) โ†’ ยฌ ๐‘Ž โˆˆ ๐‘Œ) โ†” ((๐œ‘ โˆง (๐‘ โˆช {๐‘}) โŠ† (๐‘ ร— ๐‘) โˆง ยฌ โˆ… โˆˆ ๐‘Œ) โ†’ ยฌ (๐‘ โˆช {๐‘}) โˆˆ ๐‘Œ)))
93 sseq1 3967 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘Ž = (๐‘ ร— ๐‘) โ†’ (๐‘Ž โŠ† (๐‘ ร— ๐‘) โ†” (๐‘ ร— ๐‘) โŠ† (๐‘ ร— ๐‘)))
94933anbi2d 1441 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘Ž = (๐‘ ร— ๐‘) โ†’ ((๐œ‘ โˆง ๐‘Ž โŠ† (๐‘ ร— ๐‘) โˆง ยฌ โˆ… โˆˆ ๐‘Œ) โ†” (๐œ‘ โˆง (๐‘ ร— ๐‘) โŠ† (๐‘ ร— ๐‘) โˆง ยฌ โˆ… โˆˆ ๐‘Œ)))
95 eleq1 2825 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘Ž = (๐‘ ร— ๐‘) โ†’ (๐‘Ž โˆˆ ๐‘Œ โ†” (๐‘ ร— ๐‘) โˆˆ ๐‘Œ))
9695notbid 317 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘Ž = (๐‘ ร— ๐‘) โ†’ (ยฌ ๐‘Ž โˆˆ ๐‘Œ โ†” ยฌ (๐‘ ร— ๐‘) โˆˆ ๐‘Œ))
9794, 96imbi12d 344 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘Ž = (๐‘ ร— ๐‘) โ†’ (((๐œ‘ โˆง ๐‘Ž โŠ† (๐‘ ร— ๐‘) โˆง ยฌ โˆ… โˆˆ ๐‘Œ) โ†’ ยฌ ๐‘Ž โˆˆ ๐‘Œ) โ†” ((๐œ‘ โˆง (๐‘ ร— ๐‘) โŠ† (๐‘ ร— ๐‘) โˆง ยฌ โˆ… โˆˆ ๐‘Œ) โ†’ ยฌ (๐‘ ร— ๐‘) โˆˆ ๐‘Œ)))
98 simp3 1138 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง โˆ… โŠ† (๐‘ ร— ๐‘) โˆง ยฌ โˆ… โˆˆ ๐‘Œ) โ†’ ยฌ โˆ… โˆˆ ๐‘Œ)
99 ssun1 4130 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ๐‘ โŠ† (๐‘ โˆช {๐‘})
100 sstr2 3949 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐‘ โŠ† (๐‘ โˆช {๐‘}) โ†’ ((๐‘ โˆช {๐‘}) โŠ† (๐‘ ร— ๐‘) โ†’ ๐‘ โŠ† (๐‘ ร— ๐‘)))
10199, 100ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐‘ โˆช {๐‘}) โŠ† (๐‘ ร— ๐‘) โ†’ ๐‘ โŠ† (๐‘ ร— ๐‘))
1021013anim2i 1153 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ โˆช {๐‘}) โŠ† (๐‘ ร— ๐‘) โˆง ยฌ โˆ… โˆˆ ๐‘Œ) โ†’ (๐œ‘ โˆง ๐‘ โŠ† (๐‘ ร— ๐‘) โˆง ยฌ โˆ… โˆˆ ๐‘Œ))
103102imim1i 63 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ โŠ† (๐‘ ร— ๐‘) โˆง ยฌ โˆ… โˆˆ ๐‘Œ) โ†’ ยฌ ๐‘ โˆˆ ๐‘Œ) โ†’ ((๐œ‘ โˆง (๐‘ โˆช {๐‘}) โŠ† (๐‘ ร— ๐‘) โˆง ยฌ โˆ… โˆˆ ๐‘Œ) โ†’ ยฌ ๐‘ โˆˆ ๐‘Œ))
104 simpl1 1191 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ โˆช {๐‘}) โŠ† (๐‘ ร— ๐‘) โˆง (๐‘ โˆช {๐‘}) โˆˆ ๐‘Œ) โˆง ((๐‘Ž โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘‘ โˆˆ (๐‘ โ†‘m ๐‘)) โˆง โˆ€๐‘ค โˆˆ ๐‘ (๐‘Žโ€˜๐‘ค) = if(๐‘ค โˆˆ ๐‘‘, 1 , 0 ))) โ†’ ๐œ‘)
105 simpl2 1192 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ โˆช {๐‘}) โŠ† (๐‘ ร— ๐‘) โˆง (๐‘ โˆช {๐‘}) โˆˆ ๐‘Œ) โˆง ((๐‘Ž โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘‘ โˆˆ (๐‘ โ†‘m ๐‘)) โˆง โˆ€๐‘ค โˆˆ ๐‘ (๐‘Žโ€˜๐‘ค) = if(๐‘ค โˆˆ ๐‘‘, 1 , 0 ))) โ†’ (๐‘ โˆช {๐‘}) โŠ† (๐‘ ร— ๐‘))
106 simprll 777 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ โˆช {๐‘}) โŠ† (๐‘ ร— ๐‘) โˆง (๐‘ โˆช {๐‘}) โˆˆ ๐‘Œ) โˆง ((๐‘Ž โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘‘ โˆˆ (๐‘ โ†‘m ๐‘)) โˆง โˆ€๐‘ค โˆˆ ๐‘ (๐‘Žโ€˜๐‘ค) = if(๐‘ค โˆˆ ๐‘‘, 1 , 0 ))) โ†’ ๐‘Ž โˆˆ ๐ต)
10711, 12, 13matbas2i 21723 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (๐‘Ž โˆˆ ๐ต โ†’ ๐‘Ž โˆˆ (๐พ โ†‘m (๐‘ ร— ๐‘)))
108 elmapi 8745 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (๐‘Ž โˆˆ (๐พ โ†‘m (๐‘ ร— ๐‘)) โ†’ ๐‘Ž:(๐‘ ร— ๐‘)โŸถ๐พ)
109107, 108syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (๐‘Ž โˆˆ ๐ต โ†’ ๐‘Ž:(๐‘ ร— ๐‘)โŸถ๐พ)
1101093ad2ant3 1135 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ โˆช {๐‘}) โŠ† (๐‘ ร— ๐‘) โˆง ๐‘Ž โˆˆ ๐ต) โ†’ ๐‘Ž:(๐‘ ร— ๐‘)โŸถ๐พ)
111110feqmptd 6907 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ โˆช {๐‘}) โŠ† (๐‘ ร— ๐‘) โˆง ๐‘Ž โˆˆ ๐ต) โ†’ ๐‘Ž = (๐‘’ โˆˆ (๐‘ ร— ๐‘) โ†ฆ (๐‘Žโ€˜๐‘’)))
112111reseq1d 5934 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ โˆช {๐‘}) โŠ† (๐‘ ร— ๐‘) โˆง ๐‘Ž โˆˆ ๐ต) โ†’ (๐‘Ž โ†พ ({(1st โ€˜๐‘)} ร— ๐‘)) = ((๐‘’ โˆˆ (๐‘ ร— ๐‘) โ†ฆ (๐‘Žโ€˜๐‘’)) โ†พ ({(1st โ€˜๐‘)} ร— ๐‘)))
113523ad2ant1 1133 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ โˆช {๐‘}) โŠ† (๐‘ ร— ๐‘) โˆง ๐‘Ž โˆˆ ๐ต) โ†’ ๐‘… โˆˆ Ring)
114 ringgrp 19923 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 (๐‘… โˆˆ Ring โ†’ ๐‘… โˆˆ Grp)
115113, 114syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ โˆช {๐‘}) โŠ† (๐‘ ร— ๐‘) โˆง ๐‘Ž โˆˆ ๐ต) โ†’ ๐‘… โˆˆ Grp)
116115adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ โˆช {๐‘}) โŠ† (๐‘ ร— ๐‘) โˆง ๐‘Ž โˆˆ ๐ต) โˆง ๐‘’ โˆˆ ({(1st โ€˜๐‘)} ร— ๐‘)) โ†’ ๐‘… โˆˆ Grp)
117110adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ โˆช {๐‘}) โŠ† (๐‘ ร— ๐‘) โˆง ๐‘Ž โˆˆ ๐ต) โˆง ๐‘’ โˆˆ ({(1st โ€˜๐‘)} ร— ๐‘)) โ†’ ๐‘Ž:(๐‘ ร— ๐‘)โŸถ๐พ)
118 simp2 1137 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ โˆช {๐‘}) โŠ† (๐‘ ร— ๐‘) โˆง ๐‘Ž โˆˆ ๐ต) โ†’ (๐‘ โˆช {๐‘}) โŠ† (๐‘ ร— ๐‘))
119118unssbd 4146 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ โˆช {๐‘}) โŠ† (๐‘ ร— ๐‘) โˆง ๐‘Ž โˆˆ ๐ต) โ†’ {๐‘} โŠ† (๐‘ ร— ๐‘))
120 vex 3447 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 ๐‘ โˆˆ V
121120snss 4744 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 (๐‘ โˆˆ (๐‘ ร— ๐‘) โ†” {๐‘} โŠ† (๐‘ ร— ๐‘))
122119, 121sylibr 233 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ โˆช {๐‘}) โŠ† (๐‘ ร— ๐‘) โˆง ๐‘Ž โˆˆ ๐ต) โ†’ ๐‘ โˆˆ (๐‘ ร— ๐‘))
123 xp1st 7945 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 (๐‘ โˆˆ (๐‘ ร— ๐‘) โ†’ (1st โ€˜๐‘) โˆˆ ๐‘)
124122, 123syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ โˆช {๐‘}) โŠ† (๐‘ ร— ๐‘) โˆง ๐‘Ž โˆˆ ๐ต) โ†’ (1st โ€˜๐‘) โˆˆ ๐‘)
125124snssd 4767 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ โˆช {๐‘}) โŠ† (๐‘ ร— ๐‘) โˆง ๐‘Ž โˆˆ ๐ต) โ†’ {(1st โ€˜๐‘)} โŠ† ๐‘)
126 xpss1 5650 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ({(1st โ€˜๐‘)} โŠ† ๐‘ โ†’ ({(1st โ€˜๐‘)} ร— ๐‘) โŠ† (๐‘ ร— ๐‘))
127125, 126syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ โˆช {๐‘}) โŠ† (๐‘ ร— ๐‘) โˆง ๐‘Ž โˆˆ ๐ต) โ†’ ({(1st โ€˜๐‘)} ร— ๐‘) โŠ† (๐‘ ร— ๐‘))
128127sselda 3942 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ โˆช {๐‘}) โŠ† (๐‘ ร— ๐‘) โˆง ๐‘Ž โˆˆ ๐ต) โˆง ๐‘’ โˆˆ ({(1st โ€˜๐‘)} ร— ๐‘)) โ†’ ๐‘’ โˆˆ (๐‘ ร— ๐‘))
129117, 128ffvelcdmd 7032 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ โˆช {๐‘}) โŠ† (๐‘ ร— ๐‘) โˆง ๐‘Ž โˆˆ ๐ต) โˆง ๐‘’ โˆˆ ({(1st โ€˜๐‘)} ร— ๐‘)) โ†’ (๐‘Žโ€˜๐‘’) โˆˆ ๐พ)
13012, 49ringidcl 19943 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 (๐‘… โˆˆ Ring โ†’ 1 โˆˆ ๐พ)
131113, 130syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ โˆช {๐‘}) โŠ† (๐‘ ร— ๐‘) โˆง ๐‘Ž โˆˆ ๐ต) โ†’ 1 โˆˆ ๐พ)
13212, 48ring0cl 19944 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 (๐‘… โˆˆ Ring โ†’ 0 โˆˆ ๐พ)
133113, 132syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ โˆช {๐‘}) โŠ† (๐‘ ร— ๐‘) โˆง ๐‘Ž โˆˆ ๐ต) โ†’ 0 โˆˆ ๐พ)
134131, 133ifcld 4530 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ โˆช {๐‘}) โŠ† (๐‘ ร— ๐‘) โˆง ๐‘Ž โˆˆ ๐ต) โ†’ if(๐‘’ โˆˆ ๐‘‘, 1 , 0 ) โˆˆ ๐พ)
135134adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ โˆช {๐‘}) โŠ† (๐‘ ร— ๐‘) โˆง ๐‘Ž โˆˆ ๐ต) โˆง ๐‘’ โˆˆ ({(1st โ€˜๐‘)} ร— ๐‘)) โ†’ if(๐‘’ โˆˆ ๐‘‘, 1 , 0 ) โˆˆ ๐พ)
136 eqid 2737 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (-gโ€˜๐‘…) = (-gโ€˜๐‘…)
13712, 50, 136grpnpcan 18798 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((๐‘… โˆˆ Grp โˆง (๐‘Žโ€˜๐‘’) โˆˆ ๐พ โˆง if(๐‘’ โˆˆ ๐‘‘, 1 , 0 ) โˆˆ ๐พ) โ†’ (((๐‘Žโ€˜๐‘’)(-gโ€˜๐‘…)if(๐‘’ โˆˆ ๐‘‘, 1 , 0 )) + if(๐‘’ โˆˆ ๐‘‘, 1 , 0 )) = (๐‘Žโ€˜๐‘’))
138116, 129, 135, 137syl3anc 1371 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ โˆช {๐‘}) โŠ† (๐‘ ร— ๐‘) โˆง ๐‘Ž โˆˆ ๐ต) โˆง ๐‘’ โˆˆ ({(1st โ€˜๐‘)} ร— ๐‘)) โ†’ (((๐‘Žโ€˜๐‘’)(-gโ€˜๐‘…)if(๐‘’ โˆˆ ๐‘‘, 1 , 0 )) + if(๐‘’ โˆˆ ๐‘‘, 1 , 0 )) = (๐‘Žโ€˜๐‘’))
139138eqcomd 2743 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ โˆช {๐‘}) โŠ† (๐‘ ร— ๐‘) โˆง ๐‘Ž โˆˆ ๐ต) โˆง ๐‘’ โˆˆ ({(1st โ€˜๐‘)} ร— ๐‘)) โ†’ (๐‘Žโ€˜๐‘’) = (((๐‘Žโ€˜๐‘’)(-gโ€˜๐‘…)if(๐‘’ โˆˆ ๐‘‘, 1 , 0 )) + if(๐‘’ โˆˆ ๐‘‘, 1 , 0 )))
140139adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((((๐œ‘ โˆง (๐‘ โˆช {๐‘}) โŠ† (๐‘ ร— ๐‘) โˆง ๐‘Ž โˆˆ ๐ต) โˆง ๐‘’ โˆˆ ({(1st โ€˜๐‘)} ร— ๐‘)) โˆง ๐‘’ = ๐‘) โ†’ (๐‘Žโ€˜๐‘’) = (((๐‘Žโ€˜๐‘’)(-gโ€˜๐‘…)if(๐‘’ โˆˆ ๐‘‘, 1 , 0 )) + if(๐‘’ โˆˆ ๐‘‘, 1 , 0 )))
141 iftrue 4490 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (๐‘’ = ๐‘ โ†’ if(๐‘’ = ๐‘, ((๐‘Žโ€˜๐‘’)(-gโ€˜๐‘…)if(๐‘’ โˆˆ ๐‘‘, 1 , 0 )), 0 ) = ((๐‘Žโ€˜๐‘’)(-gโ€˜๐‘…)if(๐‘’ โˆˆ ๐‘‘, 1 , 0 )))
142 iftrue 4490 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (๐‘’ = ๐‘ โ†’ if(๐‘’ = ๐‘, if(๐‘’ โˆˆ ๐‘‘, 1 , 0 ), (๐‘Žโ€˜๐‘’)) = if(๐‘’ โˆˆ ๐‘‘, 1 , 0 ))
143141, 142oveq12d 7369 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (๐‘’ = ๐‘ โ†’ (if(๐‘’ = ๐‘, ((๐‘Žโ€˜๐‘’)(-gโ€˜๐‘…)if(๐‘’ โˆˆ ๐‘‘, 1 , 0 )), 0 ) + if(๐‘’ = ๐‘, if(๐‘’ โˆˆ ๐‘‘, 1 , 0 ), (๐‘Žโ€˜๐‘’))) = (((๐‘Žโ€˜๐‘’)(-gโ€˜๐‘…)if(๐‘’ โˆˆ ๐‘‘, 1 , 0 )) + if(๐‘’ โˆˆ ๐‘‘, 1 , 0 )))
144143adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((((๐œ‘ โˆง (๐‘ โˆช {๐‘}) โŠ† (๐‘ ร— ๐‘) โˆง ๐‘Ž โˆˆ ๐ต) โˆง ๐‘’ โˆˆ ({(1st โ€˜๐‘)} ร— ๐‘)) โˆง ๐‘’ = ๐‘) โ†’ (if(๐‘’ = ๐‘, ((๐‘Žโ€˜๐‘’)(-gโ€˜๐‘…)if(๐‘’ โˆˆ ๐‘‘, 1 , 0 )), 0 ) + if(๐‘’ = ๐‘, if(๐‘’ โˆˆ ๐‘‘, 1 , 0 ), (๐‘Žโ€˜๐‘’))) = (((๐‘Žโ€˜๐‘’)(-gโ€˜๐‘…)if(๐‘’ โˆˆ ๐‘‘, 1 , 0 )) + if(๐‘’ โˆˆ ๐‘‘, 1 , 0 )))
145140, 144eqtr4d 2780 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((((๐œ‘ โˆง (๐‘ โˆช {๐‘}) โŠ† (๐‘ ร— ๐‘) โˆง ๐‘Ž โˆˆ ๐ต) โˆง ๐‘’ โˆˆ ({(1st โ€˜๐‘)} ร— ๐‘)) โˆง ๐‘’ = ๐‘) โ†’ (๐‘Žโ€˜๐‘’) = (if(๐‘’ = ๐‘, ((๐‘Žโ€˜๐‘’)(-gโ€˜๐‘…)if(๐‘’ โˆˆ ๐‘‘, 1 , 0 )), 0 ) + if(๐‘’ = ๐‘, if(๐‘’ โˆˆ ๐‘‘, 1 , 0 ), (๐‘Žโ€˜๐‘’))))
14612, 50, 48grplid 18740 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((๐‘… โˆˆ Grp โˆง (๐‘Žโ€˜๐‘’) โˆˆ ๐พ) โ†’ ( 0 + (๐‘Žโ€˜๐‘’)) = (๐‘Žโ€˜๐‘’))
147116, 129, 146syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ โˆช {๐‘}) โŠ† (๐‘ ร— ๐‘) โˆง ๐‘Ž โˆˆ ๐ต) โˆง ๐‘’ โˆˆ ({(1st โ€˜๐‘)} ร— ๐‘)) โ†’ ( 0 + (๐‘Žโ€˜๐‘’)) = (๐‘Žโ€˜๐‘’))
148147eqcomd 2743 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ โˆช {๐‘}) โŠ† (๐‘ ร— ๐‘) โˆง ๐‘Ž โˆˆ ๐ต) โˆง ๐‘’ โˆˆ ({(1st โ€˜๐‘)} ร— ๐‘)) โ†’ (๐‘Žโ€˜๐‘’) = ( 0 + (๐‘Žโ€˜๐‘’)))
149148adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((((๐œ‘ โˆง (๐‘ โˆช {๐‘}) โŠ† (๐‘ ร— ๐‘) โˆง ๐‘Ž โˆˆ ๐ต) โˆง ๐‘’ โˆˆ ({(1st โ€˜๐‘)} ร— ๐‘)) โˆง ยฌ ๐‘’ = ๐‘) โ†’ (๐‘Žโ€˜๐‘’) = ( 0 + (๐‘Žโ€˜๐‘’)))
150 iffalse 4493 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (ยฌ ๐‘’ = ๐‘ โ†’ if(๐‘’ = ๐‘, ((๐‘Žโ€˜๐‘’)(-gโ€˜๐‘…)if(๐‘’ โˆˆ ๐‘‘, 1 , 0 )), 0 ) = 0 )
151 iffalse 4493 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (ยฌ ๐‘’ = ๐‘ โ†’ if(๐‘’ = ๐‘, if(๐‘’ โˆˆ ๐‘‘, 1 , 0 ), (๐‘Žโ€˜๐‘’)) = (๐‘Žโ€˜๐‘’))
152150, 151oveq12d 7369 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (ยฌ ๐‘’ = ๐‘ โ†’ (if(๐‘’ = ๐‘, ((๐‘Žโ€˜๐‘’)(-gโ€˜๐‘…)if(๐‘’ โˆˆ ๐‘‘, 1 , 0 )), 0 ) + if(๐‘’ = ๐‘, if(๐‘’ โˆˆ ๐‘‘, 1 , 0 ), (๐‘Žโ€˜๐‘’))) = ( 0 + (๐‘Žโ€˜๐‘’)))
153152adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((((๐œ‘ โˆง (๐‘ โˆช {๐‘}) โŠ† (๐‘ ร— ๐‘) โˆง ๐‘Ž โˆˆ ๐ต) โˆง ๐‘’ โˆˆ ({(1st โ€˜๐‘)} ร— ๐‘)) โˆง ยฌ ๐‘’ = ๐‘) โ†’ (if(๐‘’ = ๐‘, ((๐‘Žโ€˜๐‘’)(-gโ€˜๐‘…)if(๐‘’ โˆˆ ๐‘‘, 1 , 0 )), 0 ) + if(๐‘’ = ๐‘, if(๐‘’ โˆˆ ๐‘‘, 1 , 0 ), (๐‘Žโ€˜๐‘’))) = ( 0 + (๐‘Žโ€˜๐‘’)))
154149, 153eqtr4d 2780 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((((๐œ‘ โˆง (๐‘ โˆช {๐‘}) โŠ† (๐‘ ร— ๐‘) โˆง ๐‘Ž โˆˆ ๐ต) โˆง ๐‘’ โˆˆ ({(1st โ€˜๐‘)} ร— ๐‘)) โˆง ยฌ ๐‘’ = ๐‘) โ†’ (๐‘Žโ€˜๐‘’) = (if(๐‘’ = ๐‘, ((๐‘Žโ€˜๐‘’)(-gโ€˜๐‘…)if(๐‘’ โˆˆ ๐‘‘, 1 , 0 )), 0 ) + if(๐‘’ = ๐‘, if(๐‘’ โˆˆ ๐‘‘, 1 , 0 ), (๐‘Žโ€˜๐‘’))))
155145, 154pm2.61dan 811 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ โˆช {๐‘}) โŠ† (๐‘ ร— ๐‘) โˆง ๐‘Ž โˆˆ ๐ต) โˆง ๐‘’ โˆˆ ({(1st โ€˜๐‘)} ร— ๐‘)) โ†’ (๐‘Žโ€˜๐‘’) = (if(๐‘’ = ๐‘, ((๐‘Žโ€˜๐‘’)(-gโ€˜๐‘…)if(๐‘’ โˆˆ ๐‘‘, 1 , 0 )), 0 ) + if(๐‘’ = ๐‘, if(๐‘’ โˆˆ ๐‘‘, 1 , 0 ), (๐‘Žโ€˜๐‘’))))
156155mpteq2dva 5203 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ โˆช {๐‘}) โŠ† (๐‘ ร— ๐‘) โˆง ๐‘Ž โˆˆ ๐ต) โ†’ (๐‘’ โˆˆ ({(1st โ€˜๐‘)} ร— ๐‘) โ†ฆ (๐‘Žโ€˜๐‘’)) = (๐‘’ โˆˆ ({(1st โ€˜๐‘)} ร— ๐‘) โ†ฆ (if(๐‘’ = ๐‘, ((๐‘Žโ€˜๐‘’)(-gโ€˜๐‘…)if(๐‘’ โˆˆ ๐‘‘, 1 , 0 )), 0 ) + if(๐‘’ = ๐‘, if(๐‘’ โˆˆ ๐‘‘, 1 , 0 ), (๐‘Žโ€˜๐‘’)))))
157 snfi 8946 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 {(1st โ€˜๐‘)} โˆˆ Fin
15863ad2ant1 1133 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ โˆช {๐‘}) โŠ† (๐‘ ร— ๐‘) โˆง ๐‘Ž โˆˆ ๐ต) โ†’ ๐‘ โˆˆ Fin)
159 xpfi 9219 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (({(1st โ€˜๐‘)} โˆˆ Fin โˆง ๐‘ โˆˆ Fin) โ†’ ({(1st โ€˜๐‘)} ร— ๐‘) โˆˆ Fin)
160157, 158, 159sylancr 587 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ โˆช {๐‘}) โŠ† (๐‘ ร— ๐‘) โˆง ๐‘Ž โˆˆ ๐ต) โ†’ ({(1st โ€˜๐‘)} ร— ๐‘) โˆˆ Fin)
161 ovex 7384 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((๐‘Žโ€˜๐‘’)(-gโ€˜๐‘…)if(๐‘’ โˆˆ ๐‘‘, 1 , 0 )) โˆˆ V
16248fvexi 6853 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 0 โˆˆ V
163161, 162ifex 4534 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 if(๐‘’ = ๐‘, ((๐‘Žโ€˜๐‘’)(-gโ€˜๐‘…)if(๐‘’ โˆˆ ๐‘‘, 1 , 0 )), 0 ) โˆˆ V
164163a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ โˆช {๐‘}) โŠ† (๐‘ ร— ๐‘) โˆง ๐‘Ž โˆˆ ๐ต) โˆง ๐‘’ โˆˆ ({(1st โ€˜๐‘)} ร— ๐‘)) โ†’ if(๐‘’ = ๐‘, ((๐‘Žโ€˜๐‘’)(-gโ€˜๐‘…)if(๐‘’ โˆˆ ๐‘‘, 1 , 0 )), 0 ) โˆˆ V)
16549fvexi 6853 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 1 โˆˆ V
166165, 162ifex 4534 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 if(๐‘’ โˆˆ ๐‘‘, 1 , 0 ) โˆˆ V
167 fvex 6852 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (๐‘Žโ€˜๐‘’) โˆˆ V
168166, 167ifex 4534 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 if(๐‘’ = ๐‘, if(๐‘’ โˆˆ ๐‘‘, 1 , 0 ), (๐‘Žโ€˜๐‘’)) โˆˆ V
169168a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ โˆช {๐‘}) โŠ† (๐‘ ร— ๐‘) โˆง ๐‘Ž โˆˆ ๐ต) โˆง ๐‘’ โˆˆ ({(1st โ€˜๐‘)} ร— ๐‘)) โ†’ if(๐‘’ = ๐‘, if(๐‘’ โˆˆ ๐‘‘, 1 , 0 ), (๐‘Žโ€˜๐‘’)) โˆˆ V)
170 xp1st 7945 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (๐‘’ โˆˆ ({(1st โ€˜๐‘)} ร— ๐‘) โ†’ (1st โ€˜๐‘’) โˆˆ {(1st โ€˜๐‘)})
171 elsni 4601 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((1st โ€˜๐‘’) โˆˆ {(1st โ€˜๐‘)} โ†’ (1st โ€˜๐‘’) = (1st โ€˜๐‘))
172 iftrue 4490 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((1st โ€˜๐‘’) = (1st โ€˜๐‘) โ†’ if((1st โ€˜๐‘’) = (1st โ€˜๐‘), if(๐‘’ = ๐‘, ((๐‘Žโ€˜๐‘’)(-gโ€˜๐‘…)if(๐‘’ โˆˆ ๐‘‘, 1 , 0 )), 0 ), (๐‘Žโ€˜๐‘’)) = if(๐‘’ = ๐‘, ((๐‘Žโ€˜๐‘’)(-gโ€˜๐‘…)if(๐‘’ โˆˆ ๐‘‘, 1 , 0 )), 0 ))
173170, 171, 1723syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (๐‘’ โˆˆ ({(1st โ€˜๐‘)} ร— ๐‘) โ†’ if((1st โ€˜๐‘’) = (1st โ€˜๐‘), if(๐‘’ = ๐‘, ((๐‘Žโ€˜๐‘’)(-gโ€˜๐‘…)if(๐‘’ โˆˆ ๐‘‘, 1 , 0 )), 0 ), (๐‘Žโ€˜๐‘’)) = if(๐‘’ = ๐‘, ((๐‘Žโ€˜๐‘’)(-gโ€˜๐‘…)if(๐‘’ โˆˆ ๐‘‘, 1 , 0 )), 0 ))
174173mpteq2ia 5206 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (๐‘’ โˆˆ ({(1st โ€˜๐‘)} ร— ๐‘) โ†ฆ if((1st โ€˜๐‘’) = (1st โ€˜๐‘), if(๐‘’ = ๐‘, ((๐‘Žโ€˜๐‘’)(-gโ€˜๐‘…)if(๐‘’ โˆˆ ๐‘‘, 1 , 0 )), 0 ), (๐‘Žโ€˜๐‘’))) = (๐‘’ โˆˆ ({(1st โ€˜๐‘)} ร— ๐‘) โ†ฆ if(๐‘’ = ๐‘, ((๐‘Žโ€˜๐‘’)(-gโ€˜๐‘…)if(๐‘’ โˆˆ ๐‘‘, 1 , 0 )), 0 ))
175174a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ โˆช {๐‘}) โŠ† (๐‘ ร— ๐‘) โˆง ๐‘Ž โˆˆ ๐ต) โ†’ (๐‘’ โˆˆ ({(1st โ€˜๐‘)} ร— ๐‘) โ†ฆ if((1st โ€˜๐‘’) = (1st โ€˜๐‘), if(๐‘’ = ๐‘, ((๐‘Žโ€˜๐‘’)(-gโ€˜๐‘…)if(๐‘’ โˆˆ ๐‘‘, 1 , 0 )), 0 ), (๐‘Žโ€˜๐‘’))) = (๐‘’ โˆˆ ({(1st โ€˜๐‘)} ร— ๐‘) โ†ฆ if(๐‘’ = ๐‘, ((๐‘Žโ€˜๐‘’)(-gโ€˜๐‘…)if(๐‘’ โˆˆ ๐‘‘, 1 , 0 )), 0 )))
176 eqidd 2738 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ โˆช {๐‘}) โŠ† (๐‘ ร— ๐‘) โˆง ๐‘Ž โˆˆ ๐ต) โ†’ (๐‘’ โˆˆ ({(1st โ€˜๐‘)} ร— ๐‘) โ†ฆ if(๐‘’ = ๐‘, if(๐‘’ โˆˆ ๐‘‘, 1 , 0 ), (๐‘Žโ€˜๐‘’))) = (๐‘’ โˆˆ ({(1st โ€˜๐‘)} ร— ๐‘) โ†ฆ if(๐‘’ = ๐‘, if(๐‘’ โˆˆ ๐‘‘, 1 , 0 ), (๐‘Žโ€˜๐‘’))))
177160, 164, 169, 175, 176offval2 7629 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ โˆช {๐‘}) โŠ† (๐‘ ร— ๐‘) โˆง ๐‘Ž โˆˆ ๐ต) โ†’ ((๐‘’ โˆˆ ({(1st โ€˜๐‘)} ร— ๐‘) โ†ฆ if((1st โ€˜๐‘’) = (1st โ€˜๐‘), if(๐‘’ = ๐‘, ((๐‘Žโ€˜๐‘’)(-gโ€˜๐‘…)if(๐‘’ โˆˆ ๐‘‘, 1 , 0 )), 0 ), (๐‘Žโ€˜๐‘’))) โˆ˜f + (๐‘’ โˆˆ ({(1st โ€˜๐‘)} ร— ๐‘) โ†ฆ if(๐‘’ = ๐‘, if(๐‘’ โˆˆ ๐‘‘, 1 , 0 ), (๐‘Žโ€˜๐‘’)))) = (๐‘’ โˆˆ ({(1st โ€˜๐‘)} ร— ๐‘) โ†ฆ (if(๐‘’ = ๐‘, ((๐‘Žโ€˜๐‘’)(-gโ€˜๐‘…)if(๐‘’ โˆˆ ๐‘‘, 1 , 0 )), 0 ) + if(๐‘’ = ๐‘, if(๐‘’ โˆˆ ๐‘‘, 1 , 0 ), (๐‘Žโ€˜๐‘’)))))
178156, 177eqtr4d 2780 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ โˆช {๐‘}) โŠ† (๐‘ ร— ๐‘) โˆง ๐‘Ž โˆˆ ๐ต) โ†’ (๐‘’ โˆˆ ({(1st โ€˜๐‘)} ร— ๐‘) โ†ฆ (๐‘Žโ€˜๐‘’)) = ((๐‘’ โˆˆ ({(1st โ€˜๐‘)} ร— ๐‘) โ†ฆ if((1st โ€˜๐‘’) = (1st โ€˜๐‘), if(๐‘’ = ๐‘, ((๐‘Žโ€˜๐‘’)(-gโ€˜๐‘…)if(๐‘’ โˆˆ ๐‘‘, 1 , 0 )), 0 ), (๐‘Žโ€˜๐‘’))) โˆ˜f + (๐‘’ โˆˆ ({(1st โ€˜๐‘)} ร— ๐‘) โ†ฆ if(๐‘’ = ๐‘, if(๐‘’ โˆˆ ๐‘‘, 1 , 0 ), (๐‘Žโ€˜๐‘’)))))
179127resmptd 5992 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ โˆช {๐‘}) โŠ† (๐‘ ร— ๐‘) โˆง ๐‘Ž โˆˆ ๐ต) โ†’ ((๐‘’ โˆˆ (๐‘ ร— ๐‘) โ†ฆ (๐‘Žโ€˜๐‘’)) โ†พ ({(1st โ€˜๐‘)} ร— ๐‘)) = (๐‘’ โˆˆ ({(1st โ€˜๐‘)} ร— ๐‘) โ†ฆ (๐‘Žโ€˜๐‘’)))
180127resmptd 5992 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ โˆช {๐‘}) โŠ† (๐‘ ร— ๐‘) โˆง ๐‘Ž โˆˆ ๐ต) โ†’ ((๐‘’ โˆˆ (๐‘ ร— ๐‘) โ†ฆ if((1st โ€˜๐‘’) = (1st โ€˜๐‘), if(๐‘’ = ๐‘, ((๐‘Žโ€˜๐‘’)(-gโ€˜๐‘…)if(๐‘’ โˆˆ ๐‘‘, 1 , 0 )), 0 ), (๐‘Žโ€˜๐‘’))) โ†พ ({(1st โ€˜๐‘)} ร— ๐‘)) = (๐‘’ โˆˆ ({(1st โ€˜๐‘)} ร— ๐‘) โ†ฆ if((1st โ€˜๐‘’) = (1st โ€˜๐‘), if(๐‘’ = ๐‘, ((๐‘Žโ€˜๐‘’)(-gโ€˜๐‘…)if(๐‘’ โˆˆ ๐‘‘, 1 , 0 )), 0 ), (๐‘Žโ€˜๐‘’))))
181127resmptd 5992 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ โˆช {๐‘}) โŠ† (๐‘ ร— ๐‘) โˆง ๐‘Ž โˆˆ ๐ต) โ†’ ((๐‘’ โˆˆ (๐‘ ร— ๐‘) โ†ฆ if(๐‘’ = ๐‘, if(๐‘’ โˆˆ ๐‘‘, 1 , 0 ), (๐‘Žโ€˜๐‘’))) โ†พ ({(1st โ€˜๐‘)} ร— ๐‘)) = (๐‘’ โˆˆ ({(1st โ€˜๐‘)} ร— ๐‘) โ†ฆ if(๐‘’ = ๐‘, if(๐‘’ โˆˆ ๐‘‘, 1 , 0 ), (๐‘Žโ€˜๐‘’))))
182180, 181oveq12d 7369 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ โˆช {๐‘}) โŠ† (๐‘ ร— ๐‘) โˆง ๐‘Ž โˆˆ ๐ต) โ†’ (((๐‘’ โˆˆ (๐‘ ร— ๐‘) โ†ฆ if((1st โ€˜๐‘’) = (1st โ€˜๐‘), if(๐‘’ = ๐‘, ((๐‘Žโ€˜๐‘’)(-gโ€˜๐‘…)if(๐‘’ โˆˆ ๐‘‘, 1 , 0 )), 0 ), (๐‘Žโ€˜๐‘’))) โ†พ ({(1st โ€˜๐‘)} ร— ๐‘)) โˆ˜f + ((๐‘’ โˆˆ (๐‘ ร— ๐‘) โ†ฆ if(๐‘’ = ๐‘, if(๐‘’ โˆˆ ๐‘‘, 1 , 0 ), (๐‘Žโ€˜๐‘’))) โ†พ ({(1st โ€˜๐‘)} ร— ๐‘))) = ((๐‘’ โˆˆ ({(1st โ€˜๐‘)} ร— ๐‘) โ†ฆ if((1st โ€˜๐‘’) = (1st โ€˜๐‘), if(๐‘’ = ๐‘, ((๐‘Žโ€˜๐‘’)(-gโ€˜๐‘…)if(๐‘’ โˆˆ ๐‘‘, 1 , 0 )), 0 ), (๐‘Žโ€˜๐‘’))) โˆ˜f + (๐‘’ โˆˆ ({(1st โ€˜๐‘)} ร— ๐‘) โ†ฆ if(๐‘’ = ๐‘, if(๐‘’ โˆˆ ๐‘‘, 1 , 0 ), (๐‘Žโ€˜๐‘’)))))
183178, 179, 1823eqtr4d 2787 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ โˆช {๐‘}) โŠ† (๐‘ ร— ๐‘) โˆง ๐‘Ž โˆˆ ๐ต) โ†’ ((๐‘’ โˆˆ (๐‘ ร— ๐‘) โ†ฆ (๐‘Žโ€˜๐‘’)) โ†พ ({(1st โ€˜๐‘)} ร— ๐‘)) = (((๐‘’ โˆˆ (๐‘ ร— ๐‘) โ†ฆ if((1st โ€˜๐‘’) = (1st โ€˜๐‘), if(๐‘’ = ๐‘, ((๐‘Žโ€˜๐‘’)(-gโ€˜๐‘…)if(๐‘’ โˆˆ ๐‘‘, 1 , 0 )), 0 ), (๐‘Žโ€˜๐‘’))) โ†พ ({(1st โ€˜๐‘)} ร— ๐‘)) โˆ˜f + ((๐‘’ โˆˆ (๐‘ ร— ๐‘) โ†ฆ if(๐‘’ = ๐‘, if(๐‘’ โˆˆ ๐‘‘, 1 , 0 ), (๐‘Žโ€˜๐‘’))) โ†พ ({(1st โ€˜๐‘)} ร— ๐‘))))
184112, 183eqtrd 2777 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ โˆช {๐‘}) โŠ† (๐‘ ร— ๐‘) โˆง ๐‘Ž โˆˆ ๐ต) โ†’ (๐‘Ž โ†พ ({(1st โ€˜๐‘)} ร— ๐‘)) = (((๐‘’ โˆˆ (๐‘ ร— ๐‘) โ†ฆ if((1st โ€˜๐‘’) = (1st โ€˜๐‘), if(๐‘’ = ๐‘, ((๐‘Žโ€˜๐‘’)(-gโ€˜๐‘…)if(๐‘’ โˆˆ ๐‘‘, 1 , 0 )), 0 ), (๐‘Žโ€˜๐‘’))) โ†พ ({(1st โ€˜๐‘)} ร— ๐‘)) โˆ˜f + ((๐‘’ โˆˆ (๐‘ ร— ๐‘) โ†ฆ if(๐‘’ = ๐‘, if(๐‘’ โˆˆ ๐‘‘, 1 , 0 ), (๐‘Žโ€˜๐‘’))) โ†พ ({(1st โ€˜๐‘)} ร— ๐‘))))
185111reseq1d 5934 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ โˆช {๐‘}) โŠ† (๐‘ ร— ๐‘) โˆง ๐‘Ž โˆˆ ๐ต) โ†’ (๐‘Ž โ†พ ((๐‘ โˆ– {(1st โ€˜๐‘)}) ร— ๐‘)) = ((๐‘’ โˆˆ (๐‘ ร— ๐‘) โ†ฆ (๐‘Žโ€˜๐‘’)) โ†พ ((๐‘ โˆ– {(1st โ€˜๐‘)}) ร— ๐‘)))
186 xp1st 7945 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (๐‘’ โˆˆ ((๐‘ โˆ– {(1st โ€˜๐‘)}) ร— ๐‘) โ†’ (1st โ€˜๐‘’) โˆˆ (๐‘ โˆ– {(1st โ€˜๐‘)}))
187 eldifsni 4748 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((1st โ€˜๐‘’) โˆˆ (๐‘ โˆ– {(1st โ€˜๐‘)}) โ†’ (1st โ€˜๐‘’) โ‰  (1st โ€˜๐‘))
188186, 187syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (๐‘’ โˆˆ ((๐‘ โˆ– {(1st โ€˜๐‘)}) ร— ๐‘) โ†’ (1st โ€˜๐‘’) โ‰  (1st โ€˜๐‘))
189188neneqd 2946 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (๐‘’ โˆˆ ((๐‘ โˆ– {(1st โ€˜๐‘)}) ร— ๐‘) โ†’ ยฌ (1st โ€˜๐‘’) = (1st โ€˜๐‘))
190189adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ โˆช {๐‘}) โŠ† (๐‘ ร— ๐‘) โˆง ๐‘Ž โˆˆ ๐ต) โˆง ๐‘’ โˆˆ ((๐‘ โˆ– {(1st โ€˜๐‘)}) ร— ๐‘)) โ†’ ยฌ (1st โ€˜๐‘’) = (1st โ€˜๐‘))
191190iffalsed 4495 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ โˆช {๐‘}) โŠ† (๐‘ ร— ๐‘) โˆง ๐‘Ž โˆˆ ๐ต) โˆง ๐‘’ โˆˆ ((๐‘ โˆ– {(1st โ€˜๐‘)}) ร— ๐‘)) โ†’ if((1st โ€˜๐‘’) = (1st โ€˜๐‘), if(๐‘’ = ๐‘, ((๐‘Žโ€˜๐‘’)(-gโ€˜๐‘…)if(๐‘’ โˆˆ ๐‘‘, 1 , 0 )), 0 ), (๐‘Žโ€˜๐‘’)) = (๐‘Žโ€˜๐‘’))
192191mpteq2dva 5203 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ โˆช {๐‘}) โŠ† (๐‘ ร— ๐‘) โˆง ๐‘Ž โˆˆ ๐ต) โ†’ (๐‘’ โˆˆ ((๐‘ โˆ– {(1st โ€˜๐‘)}) ร— ๐‘) โ†ฆ if((1st โ€˜๐‘’) = (1st โ€˜๐‘), if(๐‘’ = ๐‘, ((๐‘Žโ€˜๐‘’)(-gโ€˜๐‘…)if(๐‘’ โˆˆ ๐‘‘, 1 , 0 )), 0 ), (๐‘Žโ€˜๐‘’))) = (๐‘’ โˆˆ ((๐‘ โˆ– {(1st โ€˜๐‘)}) ร— ๐‘) โ†ฆ (๐‘Žโ€˜๐‘’)))
193 difss 4089 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (๐‘ โˆ– {(1st โ€˜๐‘)}) โŠ† ๐‘
194 xpss1 5650 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((๐‘ โˆ– {(1st โ€˜๐‘)}) โŠ† ๐‘ โ†’ ((๐‘ โˆ– {(1st โ€˜๐‘)}) ร— ๐‘) โŠ† (๐‘ ร— ๐‘))
195193, 194ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((๐‘ โˆ– {(1st โ€˜๐‘)}) ร— ๐‘) โŠ† (๐‘ ร— ๐‘)
196 resmpt 5989 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((๐‘ โˆ– {(1st โ€˜๐‘)}) ร— ๐‘) โŠ† (๐‘ ร— ๐‘) โ†’ ((๐‘’ โˆˆ (๐‘ ร— ๐‘) โ†ฆ if((1st โ€˜๐‘’) = (1st โ€˜๐‘), if(๐‘’ = ๐‘, ((๐‘Žโ€˜๐‘’)(-gโ€˜๐‘…)if(๐‘’ โˆˆ ๐‘‘, 1 , 0 )), 0 ), (๐‘Žโ€˜๐‘’))) โ†พ ((๐‘ โˆ– {(1st โ€˜๐‘)}) ร— ๐‘)) = (๐‘’ โˆˆ ((๐‘ โˆ– {(1st โ€˜๐‘)}) ร— ๐‘) โ†ฆ if((1st โ€˜๐‘’) = (1st โ€˜๐‘), if(๐‘’ = ๐‘, ((๐‘Žโ€˜๐‘’)(-gโ€˜๐‘…)if(๐‘’ โˆˆ ๐‘‘, 1 , 0 )), 0 ), (๐‘Žโ€˜๐‘’))))
197195, 196mp1i 13 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ โˆช {๐‘}) โŠ† (๐‘ ร— ๐‘) โˆง ๐‘Ž โˆˆ ๐ต) โ†’ ((๐‘’ โˆˆ (๐‘ ร— ๐‘) โ†ฆ if((1st โ€˜๐‘’) = (1st โ€˜๐‘), if(๐‘’ = ๐‘, ((๐‘Žโ€˜๐‘’)(-gโ€˜๐‘…)if(๐‘’ โˆˆ ๐‘‘, 1 , 0 )), 0 ), (๐‘Žโ€˜๐‘’))) โ†พ ((๐‘ โˆ– {(1st โ€˜๐‘)}) ร— ๐‘)) = (๐‘’ โˆˆ ((๐‘ โˆ– {(1st โ€˜๐‘)}) ร— ๐‘) โ†ฆ if((1st โ€˜๐‘’) = (1st โ€˜๐‘), if(๐‘’ = ๐‘, ((๐‘Žโ€˜๐‘’)(-gโ€˜๐‘…)if(๐‘’ โˆˆ ๐‘‘, 1 , 0 )), 0 ), (๐‘Žโ€˜๐‘’))))
198 resmpt 5989 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((๐‘ โˆ– {(1st โ€˜๐‘)}) ร— ๐‘) โŠ† (๐‘ ร— ๐‘) โ†’ ((๐‘’ โˆˆ (๐‘ ร— ๐‘) โ†ฆ (๐‘Žโ€˜๐‘’)) โ†พ ((๐‘ โˆ– {(1st โ€˜๐‘)}) ร— ๐‘)) = (๐‘’ โˆˆ ((๐‘ โˆ– {(1st โ€˜๐‘)}) ร— ๐‘) โ†ฆ (๐‘Žโ€˜๐‘’)))
199195, 198mp1i 13 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ โˆช {๐‘}) โŠ† (๐‘ ร— ๐‘) โˆง ๐‘Ž โˆˆ ๐ต) โ†’ ((๐‘’ โˆˆ (๐‘ ร— ๐‘) โ†ฆ (๐‘Žโ€˜๐‘’)) โ†พ ((๐‘ โˆ– {(1st โ€˜๐‘)}) ร— ๐‘)) = (๐‘’ โˆˆ ((๐‘ โˆ– {(1st โ€˜๐‘)}) ร— ๐‘) โ†ฆ (๐‘Žโ€˜๐‘’)))
200192, 197, 1993eqtr4rd 2788 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ โˆช {๐‘}) โŠ† (๐‘ ร— ๐‘) โˆง ๐‘Ž โˆˆ ๐ต) โ†’ ((๐‘’ โˆˆ (๐‘ ร— ๐‘) โ†ฆ (๐‘Žโ€˜๐‘’)) โ†พ ((๐‘ โˆ– {(1st โ€˜๐‘)}) ร— ๐‘)) = ((๐‘’ โˆˆ (๐‘ ร— ๐‘) โ†ฆ if((1st โ€˜๐‘’) = (1st โ€˜๐‘), if(๐‘’ = ๐‘, ((๐‘Žโ€˜๐‘’)(-gโ€˜๐‘…)if(๐‘’ โˆˆ ๐‘‘, 1 , 0 )), 0 ), (๐‘Žโ€˜๐‘’))) โ†พ ((๐‘ โˆ– {(1st โ€˜๐‘)}) ร— ๐‘)))
201185, 200eqtrd 2777 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ โˆช {๐‘}) โŠ† (๐‘ ร— ๐‘) โˆง ๐‘Ž โˆˆ ๐ต) โ†’ (๐‘Ž โ†พ ((๐‘ โˆ– {(1st โ€˜๐‘)}) ร— ๐‘)) = ((๐‘’ โˆˆ (๐‘ ร— ๐‘) โ†ฆ if((1st โ€˜๐‘’) = (1st โ€˜๐‘), if(๐‘’ = ๐‘, ((๐‘Žโ€˜๐‘’)(-gโ€˜๐‘…)if(๐‘’ โˆˆ ๐‘‘, 1 , 0 )), 0 ), (๐‘Žโ€˜๐‘’))) โ†พ ((๐‘ โˆ– {(1st โ€˜๐‘)}) ร— ๐‘)))
202 fveq2 6839 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (๐‘’ = ๐‘ โ†’ (1st โ€˜๐‘’) = (1st โ€˜๐‘))
203190, 202nsyl 140 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ โˆช {๐‘}) โŠ† (๐‘ ร— ๐‘) โˆง ๐‘Ž โˆˆ ๐ต) โˆง ๐‘’ โˆˆ ((๐‘ โˆ– {(1st โ€˜๐‘)}) ร— ๐‘)) โ†’ ยฌ ๐‘’ = ๐‘)
204203iffalsed 4495 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ โˆช {๐‘}) โŠ† (๐‘ ร— ๐‘) โˆง ๐‘Ž โˆˆ ๐ต) โˆง ๐‘’ โˆˆ ((๐‘ โˆ– {(1st โ€˜๐‘)}) ร— ๐‘)) โ†’ if(๐‘’ = ๐‘, if(๐‘’ โˆˆ ๐‘‘, 1 , 0 ), (๐‘Žโ€˜๐‘’)) = (๐‘Žโ€˜๐‘’))
205204mpteq2dva 5203 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ โˆช {๐‘}) โŠ† (๐‘ ร— ๐‘) โˆง ๐‘Ž โˆˆ ๐ต) โ†’ (๐‘’ โˆˆ ((๐‘ โˆ– {(1st โ€˜๐‘)}) ร— ๐‘) โ†ฆ if(๐‘’ = ๐‘, if(๐‘’ โˆˆ ๐‘‘, 1 , 0 ), (๐‘Žโ€˜๐‘’))) = (๐‘’ โˆˆ ((๐‘ โˆ– {(1st โ€˜๐‘)}) ร— ๐‘) โ†ฆ (๐‘Žโ€˜๐‘’)))
206 resmpt 5989 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((๐‘ โˆ– {(1st โ€˜๐‘)}) ร— ๐‘) โŠ† (๐‘ ร— ๐‘) โ†’ ((๐‘’ โˆˆ (๐‘ ร— ๐‘) โ†ฆ if(๐‘’ = ๐‘, if(๐‘’ โˆˆ ๐‘‘, 1 , 0 ), (๐‘Žโ€˜๐‘’))) โ†พ ((๐‘ โˆ– {(1st โ€˜๐‘)}) ร— ๐‘)) = (๐‘’ โˆˆ ((๐‘ โˆ– {(1st โ€˜๐‘)}) ร— ๐‘) โ†ฆ if(๐‘’ = ๐‘, if(๐‘’ โˆˆ ๐‘‘, 1 , 0 ), (๐‘Žโ€˜๐‘’))))
207195, 206mp1i 13 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ โˆช {๐‘}) โŠ† (๐‘ ร— ๐‘) โˆง ๐‘Ž โˆˆ ๐ต) โ†’ ((๐‘’ โˆˆ (๐‘ ร— ๐‘) โ†ฆ if(๐‘’ = ๐‘, if(๐‘’ โˆˆ ๐‘‘, 1 , 0 ), (๐‘Žโ€˜๐‘’))) โ†พ ((๐‘ โˆ– {(1st โ€˜๐‘)}) ร— ๐‘)) = (๐‘’ โˆˆ ((๐‘ โˆ– {(1st โ€˜๐‘)}) ร— ๐‘) โ†ฆ if(๐‘’ = ๐‘, if(๐‘’ โˆˆ ๐‘‘, 1 , 0 ), (๐‘Žโ€˜๐‘’))))
208205, 207, 1993eqtr4rd 2788 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ โˆช {๐‘}) โŠ† (๐‘ ร— ๐‘) โˆง ๐‘Ž โˆˆ ๐ต) โ†’ ((๐‘’ โˆˆ (๐‘ ร— ๐‘) โ†ฆ (๐‘Žโ€˜๐‘’)) โ†พ ((๐‘ โˆ– {(1st โ€˜๐‘)}) ร— ๐‘)) = ((๐‘’ โˆˆ (๐‘ ร— ๐‘) โ†ฆ if(๐‘’ = ๐‘, if(๐‘’ โˆˆ ๐‘‘, 1 , 0 ), (๐‘Žโ€˜๐‘’))) โ†พ ((๐‘ โˆ– {(1st โ€˜๐‘)}) ร— ๐‘)))
209185, 208eqtrd 2777 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ โˆช {๐‘}) โŠ† (๐‘ ร— ๐‘) โˆง ๐‘Ž โˆˆ ๐ต) โ†’ (๐‘Ž โ†พ ((๐‘ โˆ– {(1st โ€˜๐‘)}) ร— ๐‘)) = ((๐‘’ โˆˆ (๐‘ ร— ๐‘) โ†ฆ if(๐‘’ = ๐‘, if(๐‘’ โˆˆ ๐‘‘, 1 , 0 ), (๐‘Žโ€˜๐‘’))) โ†พ ((๐‘ โˆ– {(1st โ€˜๐‘)}) ร— ๐‘)))
210134adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ โˆช {๐‘}) โŠ† (๐‘ ร— ๐‘) โˆง ๐‘Ž โˆˆ ๐ต) โˆง ๐‘’ โˆˆ (๐‘ ร— ๐‘)) โ†’ if(๐‘’ โˆˆ ๐‘‘, 1 , 0 ) โˆˆ ๐พ)
211110ffvelcdmda 7031 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ โˆช {๐‘}) โŠ† (๐‘ ร— ๐‘) โˆง ๐‘Ž โˆˆ ๐ต) โˆง ๐‘’ โˆˆ (๐‘ ร— ๐‘)) โ†’ (๐‘Žโ€˜๐‘’) โˆˆ ๐พ)
212210, 211ifcld 4530 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ โˆช {๐‘}) โŠ† (๐‘ ร— ๐‘) โˆง ๐‘Ž โˆˆ ๐ต) โˆง ๐‘’ โˆˆ (๐‘ ร— ๐‘)) โ†’ if(๐‘’ = ๐‘, if(๐‘’ โˆˆ ๐‘‘, 1 , 0 ), (๐‘Žโ€˜๐‘’)) โˆˆ ๐พ)
213212fmpttd 7059 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ โˆช {๐‘}) โŠ† (๐‘ ร— ๐‘) โˆง ๐‘Ž โˆˆ ๐ต) โ†’ (๐‘’ โˆˆ (๐‘ ร— ๐‘) โ†ฆ if(๐‘’ = ๐‘, if(๐‘’ โˆˆ ๐‘‘, 1 , 0 ), (๐‘Žโ€˜๐‘’))):(๐‘ ร— ๐‘)โŸถ๐พ)
21412fvexi 6853 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ๐พ โˆˆ V
21567anidms 567 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (๐‘ โˆˆ Fin โ†’ (๐‘ ร— ๐‘) โˆˆ Fin)
216158, 215syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ โˆช {๐‘}) โŠ† (๐‘ ร— ๐‘) โˆง ๐‘Ž โˆˆ ๐ต) โ†’ (๐‘ ร— ๐‘) โˆˆ Fin)
217 elmapg 8736 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((๐พ โˆˆ V โˆง (๐‘ ร— ๐‘) โˆˆ Fin) โ†’ ((๐‘’ โˆˆ (๐‘ ร— ๐‘) โ†ฆ if(๐‘’ = ๐‘, if(๐‘’ โˆˆ ๐‘‘, 1 , 0 ), (๐‘Žโ€˜๐‘’))) โˆˆ (๐พ โ†‘m (๐‘ ร— ๐‘)) โ†” (๐‘’ โˆˆ (๐‘ ร— ๐‘) โ†ฆ if(๐‘’ = ๐‘, if(๐‘’ โˆˆ ๐‘‘, 1 , 0 ), (๐‘Žโ€˜๐‘’))):(๐‘ ร— ๐‘)โŸถ๐พ))
218214, 216, 217sylancr 587 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ โˆช {๐‘}) โŠ† (๐‘ ร— ๐‘) โˆง ๐‘Ž โˆˆ ๐ต) โ†’ ((๐‘’ โˆˆ (๐‘ ร— ๐‘) โ†ฆ if(๐‘’ = ๐‘, if(๐‘’ โˆˆ ๐‘‘, 1 , 0 ), (๐‘Žโ€˜๐‘’))) โˆˆ (๐พ โ†‘m (๐‘ ร— ๐‘)) โ†” (๐‘’ โˆˆ (๐‘ ร— ๐‘) โ†ฆ if(๐‘’ = ๐‘, if(๐‘’ โˆˆ ๐‘‘, 1 , 0 ), (๐‘Žโ€˜๐‘’))):(๐‘ ร— ๐‘)โŸถ๐พ))
219213, 218mpbird 256 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ โˆช {๐‘}) โŠ† (๐‘ ร— ๐‘) โˆง ๐‘Ž โˆˆ ๐ต) โ†’ (๐‘’ โˆˆ (๐‘ ร— ๐‘) โ†ฆ if(๐‘’ = ๐‘, if(๐‘’ โˆˆ ๐‘‘, 1 , 0 ), (๐‘Žโ€˜๐‘’))) โˆˆ (๐พ โ†‘m (๐‘ ร— ๐‘)))
22011, 12matbas2 21722 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โ†’ (๐พ โ†‘m (๐‘ ร— ๐‘)) = (Baseโ€˜๐ด))
221158, 113, 220syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ โˆช {๐‘}) โŠ† (๐‘ ร— ๐‘) โˆง ๐‘Ž โˆˆ ๐ต) โ†’ (๐พ โ†‘m (๐‘ ร— ๐‘)) = (Baseโ€˜๐ด))
222221, 13eqtr4di 2795 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ โˆช {๐‘}) โŠ† (๐‘ ร— ๐‘) โˆง ๐‘Ž โˆˆ ๐ต) โ†’ (๐พ โ†‘m (๐‘ ร— ๐‘)) = ๐ต)
223219, 222eleqtrd 2840 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ โˆช {๐‘}) โŠ† (๐‘ ร— ๐‘) โˆง ๐‘Ž โˆˆ ๐ต) โ†’ (๐‘’ โˆˆ (๐‘ ร— ๐‘) โ†ฆ if(๐‘’ = ๐‘, if(๐‘’ โˆˆ ๐‘‘, 1 , 0 ), (๐‘Žโ€˜๐‘’))) โˆˆ ๐ต)
224 simp3 1138 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ โˆช {๐‘}) โŠ† (๐‘ ร— ๐‘) โˆง ๐‘Ž โˆˆ ๐ต) โ†’ ๐‘Ž โˆˆ ๐ต)
225115adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ โˆช {๐‘}) โŠ† (๐‘ ร— ๐‘) โˆง ๐‘Ž โˆˆ ๐ต) โˆง ๐‘’ โˆˆ (๐‘ ร— ๐‘)) โ†’ ๐‘… โˆˆ Grp)
22612, 136grpsubcl 18786 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((๐‘… โˆˆ Grp โˆง (๐‘Žโ€˜๐‘’) โˆˆ ๐พ โˆง if(๐‘’ โˆˆ ๐‘‘, 1 , 0 ) โˆˆ ๐พ) โ†’ ((๐‘Žโ€˜๐‘’)(-gโ€˜๐‘…)if(๐‘’ โˆˆ ๐‘‘, 1 , 0 )) โˆˆ ๐พ)
227225, 211, 210, 226syl3anc 1371 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ โˆช {๐‘}) โŠ† (๐‘ ร— ๐‘) โˆง ๐‘Ž โˆˆ ๐ต) โˆง ๐‘’ โˆˆ (๐‘ ร— ๐‘)) โ†’ ((๐‘Žโ€˜๐‘’)(-gโ€˜๐‘…)if(๐‘’ โˆˆ ๐‘‘, 1 , 0 )) โˆˆ ๐พ)
228133adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ โˆช {๐‘}) โŠ† (๐‘ ร— ๐‘) โˆง ๐‘Ž โˆˆ ๐ต) โˆง ๐‘’ โˆˆ (๐‘ ร— ๐‘)) โ†’ 0 โˆˆ ๐พ)
229227, 228ifcld 4530 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ โˆช {๐‘}) โŠ† (๐‘ ร— ๐‘) โˆง ๐‘Ž โˆˆ ๐ต) โˆง ๐‘’ โˆˆ (๐‘ ร— ๐‘)) โ†’ if(๐‘’ = ๐‘, ((๐‘Žโ€˜๐‘’)(-gโ€˜๐‘…)if(๐‘’ โˆˆ ๐‘‘, 1 , 0 )), 0 ) โˆˆ ๐พ)
230229, 211ifcld 4530 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ โˆช {๐‘}) โŠ† (๐‘ ร— ๐‘) โˆง ๐‘Ž โˆˆ ๐ต) โˆง ๐‘’ โˆˆ (๐‘ ร— ๐‘)) โ†’ if((1st โ€˜๐‘’) = (1st โ€˜๐‘), if(๐‘’ = ๐‘, ((๐‘Žโ€˜๐‘’)(-gโ€˜๐‘…)if(๐‘’ โˆˆ ๐‘‘, 1 , 0 )), 0 ), (๐‘Žโ€˜๐‘’)) โˆˆ ๐พ)
231230fmpttd 7059 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ โˆช {๐‘}) โŠ† (๐‘ ร— ๐‘) โˆง ๐‘Ž โˆˆ ๐ต) โ†’ (๐‘’ โˆˆ (๐‘ ร— ๐‘) โ†ฆ if((1st โ€˜๐‘’) = (1st โ€˜๐‘), if(๐‘’ = ๐‘, ((๐‘Žโ€˜๐‘’)(-gโ€˜๐‘…)if(๐‘’ โˆˆ ๐‘‘, 1 , 0 )), 0 ), (๐‘Žโ€˜๐‘’))):(๐‘ ร— ๐‘)โŸถ๐พ)
232 elmapg 8736 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((๐พ โˆˆ V โˆง (๐‘ ร— ๐‘) โˆˆ Fin) โ†’ ((๐‘’ โˆˆ (๐‘ ร— ๐‘) โ†ฆ if((1st โ€˜๐‘’) = (1st โ€˜๐‘), if(๐‘’ = ๐‘, ((๐‘Žโ€˜๐‘’)(-gโ€˜๐‘…)if(๐‘’ โˆˆ ๐‘‘, 1 , 0 )), 0 ), (๐‘Žโ€˜๐‘’))) โˆˆ (๐พ โ†‘m (๐‘ ร— ๐‘)) โ†” (๐‘’ โˆˆ (๐‘ ร— ๐‘) โ†ฆ if((1st โ€˜๐‘’) = (1st โ€˜๐‘), if(๐‘’ = ๐‘, ((๐‘Žโ€˜๐‘’)(-gโ€˜๐‘…)if(๐‘’ โˆˆ ๐‘‘, 1 , 0 )), 0 ), (๐‘Žโ€˜๐‘’))):(๐‘ ร— ๐‘)โŸถ๐พ))
233214, 216, 232sylancr 587 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ โˆช {๐‘}) โŠ† (๐‘ ร— ๐‘) โˆง ๐‘Ž โˆˆ ๐ต) โ†’ ((๐‘’ โˆˆ (๐‘ ร— ๐‘) โ†ฆ if((1st โ€˜๐‘’) = (1st โ€˜๐‘), if(๐‘’ = ๐‘, ((๐‘Žโ€˜๐‘’)(-gโ€˜๐‘…)if(๐‘’ โˆˆ ๐‘‘, 1 , 0 )), 0 ), (๐‘Žโ€˜๐‘’))) โˆˆ (๐พ โ†‘m (๐‘ ร— ๐‘)) โ†” (๐‘’ โˆˆ (๐‘ ร— ๐‘) โ†ฆ if((1st โ€˜๐‘’) = (1st โ€˜๐‘), if(๐‘’ = ๐‘, ((๐‘Žโ€˜๐‘’)(-gโ€˜๐‘…)if(๐‘’ โˆˆ ๐‘‘, 1 , 0 )), 0 ), (๐‘Žโ€˜๐‘’))):(๐‘ ร— ๐‘)โŸถ๐พ))
234231, 233mpbird 256 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ โˆช {๐‘}) โŠ† (๐‘ ร— ๐‘) โˆง ๐‘Ž โˆˆ ๐ต) โ†’ (๐‘’ โˆˆ (๐‘ ร— ๐‘) โ†ฆ if((1st โ€˜๐‘’) = (1st โ€˜๐‘), if(๐‘’ = ๐‘, ((๐‘Žโ€˜๐‘’)(-gโ€˜๐‘…)if(๐‘’ โˆˆ ๐‘‘, 1 , 0 )), 0 ), (๐‘Žโ€˜๐‘’))) โˆˆ (๐พ โ†‘m (๐‘ ร— ๐‘)))
235234, 222eleqtrd 2840 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ โˆช {๐‘}) โŠ† (๐‘ ร— ๐‘) โˆง ๐‘Ž โˆˆ ๐ต) โ†’ (๐‘’ โˆˆ (๐‘ ร— ๐‘) โ†ฆ if((1st โ€˜๐‘’) = (1st โ€˜๐‘), if(๐‘’ = ๐‘, ((๐‘Žโ€˜๐‘’)(-gโ€˜๐‘…)if(๐‘’ โˆˆ ๐‘‘, 1 , 0 )), 0 ), (๐‘Žโ€˜๐‘’))) โˆˆ ๐ต)
236553ad2ant1 1133 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ โˆช {๐‘}) โŠ† (๐‘ ร— ๐‘) โˆง ๐‘Ž โˆˆ ๐ต) โ†’ โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ต โˆ€๐‘ง โˆˆ ๐ต โˆ€๐‘ค โˆˆ ๐‘ (((๐‘ฅ โ†พ ({๐‘ค} ร— ๐‘)) = ((๐‘ฆ โ†พ ({๐‘ค} ร— ๐‘)) โˆ˜f + (๐‘ง โ†พ ({๐‘ค} ร— ๐‘))) โˆง (๐‘ฅ โ†พ ((๐‘ โˆ– {๐‘ค}) ร— ๐‘)) = (๐‘ฆ โ†พ ((๐‘ โˆ– {๐‘ค}) ร— ๐‘)) โˆง (๐‘ฅ โ†พ ((๐‘ โˆ– {๐‘ค}) ร— ๐‘)) = (๐‘ง โ†พ ((๐‘ โˆ– {๐‘ค}) ร— ๐‘))) โ†’ (๐ทโ€˜๐‘ฅ) = ((๐ทโ€˜๐‘ฆ) + (๐ทโ€˜๐‘ง))))
237 reseq1 5929 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (๐‘ฅ = ๐‘Ž โ†’ (๐‘ฅ โ†พ ({๐‘ค} ร— ๐‘)) = (๐‘Ž โ†พ ({๐‘ค} ร— ๐‘)))
238237eqeq1d 2739 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (๐‘ฅ = ๐‘Ž โ†’ ((๐‘ฅ โ†พ ({๐‘ค} ร— ๐‘)) = ((๐‘ฆ โ†พ ({๐‘ค} ร— ๐‘)) โˆ˜f + (๐‘ง โ†พ ({๐‘ค} ร— ๐‘))) โ†” (๐‘Ž โ†พ ({๐‘ค} ร— ๐‘)) = ((๐‘ฆ โ†พ ({๐‘ค} ร— ๐‘)) โˆ˜f + (๐‘ง โ†พ ({๐‘ค} ร— ๐‘)))))
239 reseq1 5929 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (๐‘ฅ = ๐‘Ž โ†’ (๐‘ฅ โ†พ ((๐‘ โˆ– {๐‘ค}) ร— ๐‘)) = (๐‘Ž โ†พ ((๐‘ โˆ– {๐‘ค}) ร— ๐‘)))
240239eqeq1d 2739 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (๐‘ฅ = ๐‘Ž โ†’ ((๐‘ฅ โ†พ ((๐‘ โˆ– {๐‘ค}) ร— ๐‘)) = (๐‘ฆ โ†พ ((๐‘ โˆ– {๐‘ค}) ร— ๐‘)) โ†” (๐‘Ž โ†พ ((๐‘ โˆ– {๐‘ค}) ร— ๐‘)) = (๐‘ฆ โ†พ ((๐‘ โˆ– {๐‘ค}) ร— ๐‘))))
241239eqeq1d 2739 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (๐‘ฅ = ๐‘Ž โ†’ ((๐‘ฅ โ†พ ((๐‘ โˆ– {๐‘ค}) ร— ๐‘)) = (๐‘ง โ†พ ((๐‘ โˆ– {๐‘ค}) ร— ๐‘)) โ†” (๐‘Ž โ†พ ((๐‘ โˆ– {๐‘ค}) ร— ๐‘)) = (๐‘ง โ†พ ((๐‘ โˆ– {๐‘ค}) ร— ๐‘))))
242238, 240, 2413anbi123d 1436 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (๐‘ฅ = ๐‘Ž โ†’ (((๐‘ฅ โ†พ ({๐‘ค} ร— ๐‘)) = ((๐‘ฆ โ†พ ({๐‘ค} ร— ๐‘)) โˆ˜f + (๐‘ง โ†พ ({๐‘ค} ร— ๐‘))) โˆง (๐‘ฅ โ†พ ((๐‘ โˆ– {๐‘ค}) ร— ๐‘)) = (๐‘ฆ โ†พ ((๐‘ โˆ– {๐‘ค}) ร— ๐‘)) โˆง (๐‘ฅ โ†พ ((๐‘ โˆ– {๐‘ค}) ร— ๐‘)) = (๐‘ง โ†พ ((๐‘ โˆ– {๐‘ค}) ร— ๐‘))) โ†” ((๐‘Ž โ†พ ({๐‘ค} ร— ๐‘)) = ((๐‘ฆ โ†พ ({๐‘ค} ร— ๐‘)) โˆ˜f + (๐‘ง โ†พ ({๐‘ค} ร— ๐‘))) โˆง (๐‘Ž โ†พ ((๐‘ โˆ– {๐‘ค}) ร— ๐‘)) = (๐‘ฆ โ†พ ((๐‘ โˆ– {๐‘ค}) ร— ๐‘)) โˆง (๐‘Ž โ†พ ((๐‘ โˆ– {๐‘ค}) ร— ๐‘)) = (๐‘ง โ†พ ((๐‘ โˆ– {๐‘ค}) ร— ๐‘)))))
243 fveqeq2 6848 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (๐‘ฅ = ๐‘Ž โ†’ ((๐ทโ€˜๐‘ฅ) = ((๐ทโ€˜๐‘ฆ) + (๐ทโ€˜๐‘ง)) โ†” (๐ทโ€˜๐‘Ž) = ((๐ทโ€˜๐‘ฆ) + (๐ทโ€˜๐‘ง))))
244242, 243imbi12d 344 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (๐‘ฅ = ๐‘Ž โ†’ ((((๐‘ฅ โ†พ ({๐‘ค} ร— ๐‘)) = ((๐‘ฆ โ†พ ({๐‘ค} ร— ๐‘)) โˆ˜f + (๐‘ง โ†พ ({๐‘ค} ร— ๐‘))) โˆง (๐‘ฅ โ†พ ((๐‘ โˆ– {๐‘ค}) ร— ๐‘)) = (๐‘ฆ โ†พ ((๐‘ โˆ– {๐‘ค}) ร— ๐‘)) โˆง (๐‘ฅ โ†พ ((๐‘ โˆ– {๐‘ค}) ร— ๐‘)) = (๐‘ง โ†พ ((๐‘ โˆ– {๐‘ค}) ร— ๐‘))) โ†’ (๐ทโ€˜๐‘ฅ) = ((๐ทโ€˜๐‘ฆ) + (๐ทโ€˜๐‘ง))) โ†” (((๐‘Ž โ†พ ({๐‘ค} ร— ๐‘)) = ((๐‘ฆ โ†พ ({๐‘ค} ร— ๐‘)) โˆ˜f + (๐‘ง โ†พ ({๐‘ค} ร— ๐‘))) โˆง (๐‘Ž โ†พ ((๐‘ โˆ– {๐‘ค}) ร— ๐‘)) = (๐‘ฆ โ†พ ((๐‘ โˆ– {๐‘ค}) ร— ๐‘)) โˆง (๐‘Ž โ†พ ((๐‘ โˆ– {๐‘ค}) ร— ๐‘)) = (๐‘ง โ†พ ((๐‘ โˆ– {๐‘ค}) ร— ๐‘))) โ†’ (๐ทโ€˜๐‘Ž) = ((๐ทโ€˜๐‘ฆ) + (๐ทโ€˜๐‘ง)))))
2452442ralbidv 3210 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (๐‘ฅ = ๐‘Ž โ†’ (โˆ€๐‘ง โˆˆ ๐ต โˆ€๐‘ค โˆˆ ๐‘ (((๐‘ฅ โ†พ ({๐‘ค} ร— ๐‘)) = ((๐‘ฆ โ†พ ({๐‘ค} ร— ๐‘)) โˆ˜f + (๐‘ง โ†พ ({๐‘ค} ร— ๐‘))) โˆง (๐‘ฅ โ†พ ((๐‘ โˆ– {๐‘ค}) ร— ๐‘)) = (๐‘ฆ โ†พ ((๐‘ โˆ– {๐‘ค}) ร— ๐‘)) โˆง (๐‘ฅ โ†พ ((๐‘ โˆ– {๐‘ค}) ร— ๐‘)) = (๐‘ง โ†พ ((๐‘ โˆ– {๐‘ค}) ร— ๐‘))) โ†’ (๐ทโ€˜๐‘ฅ) = ((๐ทโ€˜๐‘ฆ) + (๐ทโ€˜๐‘ง))) โ†” โˆ€๐‘ง โˆˆ ๐ต โˆ€๐‘ค โˆˆ ๐‘ (((๐‘Ž โ†พ ({๐‘ค} ร— ๐‘)) = ((๐‘ฆ โ†พ ({๐‘ค} ร— ๐‘)) โˆ˜f + (๐‘ง โ†พ ({๐‘ค} ร— ๐‘))) โˆง (๐‘Ž โ†พ ((๐‘ โˆ– {๐‘ค}) ร— ๐‘)) = (๐‘ฆ โ†พ ((๐‘ โˆ– {๐‘ค}) ร— ๐‘)) โˆง (๐‘Ž โ†พ ((๐‘ โˆ– {๐‘ค}) ร— ๐‘)) = (๐‘ง โ†พ ((๐‘ โˆ– {๐‘ค}) ร— ๐‘))) โ†’ (๐ทโ€˜๐‘Ž) = ((๐ทโ€˜๐‘ฆ) + (๐ทโ€˜๐‘ง)))))
246 reseq1 5929 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (๐‘ฆ = (๐‘’ โˆˆ (๐‘ ร— ๐‘) โ†ฆ if((1st โ€˜๐‘’) = (1st โ€˜๐‘), if(๐‘’ = ๐‘, ((๐‘Žโ€˜๐‘’)(-gโ€˜๐‘…)if(๐‘’ โˆˆ ๐‘‘, 1 , 0 )), 0 ), (๐‘Žโ€˜๐‘’))) โ†’ (๐‘ฆ โ†พ ({๐‘ค} ร— ๐‘)) = ((๐‘’ โˆˆ (๐‘ ร— ๐‘) โ†ฆ if((1st โ€˜๐‘’) = (1st โ€˜๐‘), if(๐‘’ = ๐‘, ((๐‘Žโ€˜๐‘’)(-gโ€˜๐‘…)if(๐‘’ โˆˆ ๐‘‘, 1 , 0 )), 0 ), (๐‘Žโ€˜๐‘’))) โ†พ ({๐‘ค} ร— ๐‘)))
247246oveq1d 7366 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (๐‘ฆ = (๐‘’ โˆˆ (๐‘ ร— ๐‘) โ†ฆ if((1st โ€˜๐‘’) = (1st โ€˜๐‘), if(๐‘’ = ๐‘, ((๐‘Žโ€˜๐‘’)(-gโ€˜๐‘…)if(๐‘’ โˆˆ ๐‘‘, 1 , 0 )), 0 ), (๐‘Žโ€˜๐‘’))) โ†’ ((๐‘ฆ โ†พ ({๐‘ค} ร— ๐‘)) โˆ˜f + (๐‘ง โ†พ ({๐‘ค} ร— ๐‘))) = (((๐‘’ โˆˆ (๐‘ ร— ๐‘) โ†ฆ if((1st โ€˜๐‘’) = (1st โ€˜๐‘), if(๐‘’ = ๐‘, ((๐‘Žโ€˜๐‘’)(-gโ€˜๐‘…)if(๐‘’ โˆˆ ๐‘‘, 1 , 0 )), 0 ), (๐‘Žโ€˜๐‘’))) โ†พ ({๐‘ค} ร— ๐‘)) โˆ˜f + (๐‘ง โ†พ ({๐‘ค} ร— ๐‘))))
248247eqeq2d 2748 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (๐‘ฆ = (๐‘’ โˆˆ (๐‘ ร— ๐‘) โ†ฆ if((1st โ€˜๐‘’) = (1st โ€˜๐‘), if(๐‘’ = ๐‘, ((๐‘Žโ€˜๐‘’)(-gโ€˜๐‘…)if(๐‘’ โˆˆ ๐‘‘, 1 , 0 )), 0 ), (๐‘Žโ€˜๐‘’))) โ†’ ((๐‘Ž โ†พ ({๐‘ค} ร— ๐‘)) = ((๐‘ฆ โ†พ ({๐‘ค} ร— ๐‘)) โˆ˜f + (๐‘ง โ†พ ({๐‘ค} ร— ๐‘))) โ†” (๐‘Ž โ†พ ({๐‘ค} ร— ๐‘)) = (((๐‘’ โˆˆ (๐‘ ร— ๐‘) โ†ฆ if((1st โ€˜๐‘’) = (1st โ€˜๐‘), if(๐‘’ = ๐‘, ((๐‘Žโ€˜๐‘’)(-gโ€˜๐‘…)if(๐‘’ โˆˆ ๐‘‘, 1 , 0 )), 0 ), (๐‘Žโ€˜๐‘’))) โ†พ ({๐‘ค} ร— ๐‘)) โˆ˜f + (๐‘ง โ†พ ({๐‘ค} ร— ๐‘)))))
249 reseq1 5929 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (๐‘ฆ = (๐‘’ โˆˆ (๐‘ ร— ๐‘) โ†ฆ if((1st โ€˜๐‘’) = (1st โ€˜๐‘), if(๐‘’ = ๐‘, ((๐‘Žโ€˜๐‘’)(-gโ€˜๐‘…)if(๐‘’ โˆˆ ๐‘‘, 1 , 0 )), 0 ), (๐‘Žโ€˜๐‘’))) โ†’ (๐‘ฆ โ†พ ((๐‘ โˆ– {๐‘ค}) ร— ๐‘)) = ((๐‘’ โˆˆ (๐‘ ร— ๐‘) โ†ฆ if((1st โ€˜๐‘’) = (1st โ€˜๐‘), if(๐‘’ = ๐‘, ((๐‘Žโ€˜๐‘’)(-gโ€˜๐‘…)if(๐‘’ โˆˆ ๐‘‘, 1 , 0 )), 0 ), (๐‘Žโ€˜๐‘’))) โ†พ ((๐‘ โˆ– {๐‘ค}) ร— ๐‘)))
250249eqeq2d 2748 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (๐‘ฆ = (๐‘’ โˆˆ (๐‘ ร— ๐‘) โ†ฆ if((1st โ€˜๐‘’) = (1st โ€˜๐‘), if(๐‘’ = ๐‘, ((๐‘Žโ€˜๐‘’)(-gโ€˜๐‘…)if(๐‘’ โˆˆ ๐‘‘, 1 , 0 )), 0 ), (๐‘Žโ€˜๐‘’))) โ†’ ((๐‘Ž โ†พ ((๐‘ โˆ– {๐‘ค}) ร— ๐‘)) = (๐‘ฆ โ†พ ((๐‘ โˆ– {๐‘ค}) ร— ๐‘)) โ†” (๐‘Ž โ†พ ((๐‘ โˆ– {๐‘ค}) ร— ๐‘)) = ((๐‘’ โˆˆ (๐‘ ร— ๐‘) โ†ฆ if((1st โ€˜๐‘’) = (1st โ€˜๐‘), if(๐‘’ = ๐‘, ((๐‘Žโ€˜๐‘’)(-gโ€˜๐‘…)if(๐‘’ โˆˆ ๐‘‘, 1 , 0 )), 0 ), (๐‘Žโ€˜๐‘’))) โ†พ ((๐‘ โˆ– {๐‘ค}) ร— ๐‘))))
251248, 2503anbi12d 1437 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (๐‘ฆ = (๐‘’ โˆˆ (๐‘ ร— ๐‘) โ†ฆ if((1st โ€˜๐‘’) = (1st โ€˜๐‘), if(๐‘’ = ๐‘, ((๐‘Žโ€˜๐‘’)(-gโ€˜๐‘…)if(๐‘’ โˆˆ ๐‘‘, 1 , 0 )), 0 ), (๐‘Žโ€˜๐‘’))) โ†’ (((๐‘Ž โ†พ ({๐‘ค} ร— ๐‘)) = ((๐‘ฆ โ†พ ({๐‘ค} ร— ๐‘)) โˆ˜f + (๐‘ง โ†พ ({๐‘ค} ร— ๐‘))) โˆง (๐‘Ž โ†พ ((๐‘ โˆ– {๐‘ค}) ร— ๐‘)) = (๐‘ฆ โ†พ ((๐‘ โˆ– {๐‘ค}) ร— ๐‘)) โˆง (๐‘Ž โ†พ ((๐‘ โˆ– {๐‘ค}) ร— ๐‘)) = (๐‘ง โ†พ ((๐‘ โˆ– {๐‘ค}) ร— ๐‘))) โ†” ((๐‘Ž โ†พ ({๐‘ค} ร— ๐‘)) = (((๐‘’ โˆˆ (๐‘ ร— ๐‘) โ†ฆ if((1st โ€˜๐‘’) = (1st โ€˜๐‘), if(๐‘’ = ๐‘, ((๐‘Žโ€˜๐‘’)(-gโ€˜๐‘…)if(๐‘’ โˆˆ ๐‘‘, 1 , 0 )), 0 ), (๐‘Žโ€˜๐‘’))) โ†พ ({๐‘ค} ร— ๐‘)) โˆ˜f + (๐‘ง โ†พ ({๐‘ค} ร— ๐‘))) โˆง (๐‘Ž โ†พ ((๐‘ โˆ– {๐‘ค}) ร— ๐‘)) = ((๐‘’ โˆˆ (๐‘ ร— ๐‘) โ†ฆ if((1st โ€˜๐‘’) = (1st โ€˜๐‘), if(๐‘’ = ๐‘, ((๐‘Žโ€˜๐‘’)(-gโ€˜๐‘…)if(๐‘’ โˆˆ ๐‘‘, 1 , 0 )), 0 ), (๐‘Žโ€˜๐‘’))) โ†พ ((๐‘ โˆ– {๐‘ค}) ร— ๐‘)) โˆง (๐‘Ž โ†พ ((๐‘ โˆ– {๐‘ค}) ร— ๐‘)) = (๐‘ง โ†พ ((๐‘ โˆ– {๐‘ค}) ร— ๐‘)))))
252 fveq2 6839 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (๐‘ฆ = (๐‘’ โˆˆ (๐‘ ร— ๐‘) โ†ฆ if((1st โ€˜๐‘’) = (1st โ€˜๐‘), if(๐‘’ = ๐‘, ((๐‘Žโ€˜๐‘’)(-gโ€˜๐‘…)if(๐‘’ โˆˆ ๐‘‘, 1 , 0 )), 0 ), (๐‘Žโ€˜๐‘’))) โ†’ (๐ทโ€˜๐‘ฆ) = (๐ทโ€˜(๐‘’ โˆˆ (๐‘ ร— ๐‘) โ†ฆ if((1st โ€˜๐‘’) = (1st โ€˜๐‘), if(๐‘’ = ๐‘, ((๐‘Žโ€˜๐‘’)(-gโ€˜๐‘…)if(๐‘’ โˆˆ ๐‘‘, 1 , 0 )), 0 ), (๐‘Žโ€˜๐‘’)))))
253252oveq1d 7366 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (๐‘ฆ = (๐‘’ โˆˆ (๐‘ ร— ๐‘) โ†ฆ if((1st โ€˜๐‘’) = (1st โ€˜๐‘), if(๐‘’ = ๐‘, ((๐‘Žโ€˜๐‘’)(-gโ€˜๐‘…)if(๐‘’ โˆˆ ๐‘‘, 1 , 0 )), 0 ), (๐‘Žโ€˜๐‘’))) โ†’ ((๐ทโ€˜๐‘ฆ) + (๐ทโ€˜๐‘ง)) = ((๐ทโ€˜(๐‘’ โˆˆ (๐‘ ร— ๐‘) โ†ฆ if((1st โ€˜๐‘’) = (1st โ€˜๐‘), if(๐‘’ = ๐‘, ((๐‘Žโ€˜๐‘’)(-gโ€˜๐‘…)if(๐‘’ โˆˆ ๐‘‘, 1 , 0 )), 0 ), (๐‘Žโ€˜๐‘’)))) + (๐ทโ€˜๐‘ง)))
254253eqeq2d 2748 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (๐‘ฆ = (๐‘’ โˆˆ (๐‘ ร— ๐‘) โ†ฆ if((1st โ€˜๐‘’) = (1st โ€˜๐‘), if(๐‘’ = ๐‘, ((๐‘Žโ€˜๐‘’)(-gโ€˜๐‘…)if(๐‘’ โˆˆ ๐‘‘, 1 , 0 )), 0 ), (๐‘Žโ€˜๐‘’))) โ†’ ((๐ทโ€˜๐‘Ž) = ((๐ทโ€˜๐‘ฆ) + (๐ทโ€˜๐‘ง)) โ†” (๐ทโ€˜๐‘Ž) = ((๐ทโ€˜(๐‘’ โˆˆ (๐‘ ร— ๐‘) โ†ฆ if((1st โ€˜๐‘’) = (1st โ€˜๐‘), if(๐‘’ = ๐‘, ((๐‘Žโ€˜๐‘’)(-gโ€˜๐‘…)if(๐‘’ โˆˆ ๐‘‘, 1 , 0 )), 0 ), (๐‘Žโ€˜๐‘’)))) + (๐ทโ€˜๐‘ง))))
255251, 254imbi12d 344 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (๐‘ฆ = (๐‘’ โˆˆ (๐‘ ร— ๐‘) โ†ฆ if((1st โ€˜๐‘’) = (1st โ€˜๐‘), if(๐‘’ = ๐‘, ((๐‘Žโ€˜๐‘’)(-gโ€˜๐‘…)if(๐‘’ โˆˆ ๐‘‘, 1 , 0 )), 0 ), (๐‘Žโ€˜๐‘’))) โ†’ ((((๐‘Ž โ†พ ({๐‘ค} ร— ๐‘)) = ((๐‘ฆ โ†พ ({๐‘ค} ร— ๐‘)) โˆ˜f + (๐‘ง โ†พ ({๐‘ค} ร— ๐‘))) โˆง (๐‘Ž โ†พ ((๐‘ โˆ– {๐‘ค}) ร— ๐‘)) = (๐‘ฆ โ†พ ((๐‘ โˆ– {๐‘ค}) ร— ๐‘)) โˆง (๐‘Ž โ†พ ((๐‘ โˆ– {๐‘ค}) ร— ๐‘)) = (๐‘ง โ†พ ((๐‘ โˆ– {๐‘ค}) ร— ๐‘))) โ†’ (๐ทโ€˜๐‘Ž) = ((๐ทโ€˜๐‘ฆ) + (๐ทโ€˜๐‘ง))) โ†” (((๐‘Ž โ†พ ({๐‘ค} ร— ๐‘)) = (((๐‘’ โˆˆ (๐‘ ร— ๐‘) โ†ฆ if((1st โ€˜๐‘’) = (1st โ€˜๐‘), if(๐‘’ = ๐‘, ((๐‘Žโ€˜๐‘’)(-gโ€˜๐‘…)if(๐‘’ โˆˆ ๐‘‘, 1 , 0 )), 0 ), (๐‘Žโ€˜๐‘’))) โ†พ ({๐‘ค} ร— ๐‘)) โˆ˜f + (๐‘ง โ†พ ({๐‘ค} ร— ๐‘))) โˆง (๐‘Ž โ†พ ((๐‘ โˆ– {๐‘ค}) ร— ๐‘)) = ((๐‘’ โˆˆ (๐‘ ร— ๐‘) โ†ฆ if((1st โ€˜๐‘’) = (1st โ€˜๐‘), if(๐‘’ = ๐‘, ((๐‘Žโ€˜๐‘’)(-gโ€˜๐‘…)if(๐‘’ โˆˆ ๐‘‘, 1 , 0 )), 0 ), (๐‘Žโ€˜๐‘’))) โ†พ ((๐‘ โˆ– {๐‘ค}) ร— ๐‘)) โˆง (๐‘Ž โ†พ ((๐‘ โˆ– {๐‘ค}) ร— ๐‘)) = (๐‘ง โ†พ ((๐‘ โˆ– {๐‘ค}) ร— ๐‘))) โ†’ (๐ทโ€˜๐‘Ž) = ((๐ทโ€˜(๐‘’ โˆˆ (๐‘ ร— ๐‘) โ†ฆ if((1st โ€˜๐‘’) = (1st โ€˜๐‘), if(๐‘’ = ๐‘, ((๐‘Žโ€˜๐‘’)(-gโ€˜๐‘…)if(๐‘’ โˆˆ ๐‘‘, 1 , 0 )), 0 ), (๐‘Žโ€˜๐‘’)))) + (๐ทโ€˜๐‘ง)))))
2562552ralbidv 3210 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (๐‘ฆ = (๐‘’ โˆˆ (๐‘ ร— ๐‘) โ†ฆ if((1st โ€˜๐‘’) = (1st โ€˜๐‘), if(๐‘’ = ๐‘, ((๐‘Žโ€˜๐‘’)(-gโ€˜๐‘…)if(๐‘’ โˆˆ ๐‘‘, 1 , 0 )), 0 ), (๐‘Žโ€˜๐‘’))) โ†’ (โˆ€๐‘ง โˆˆ ๐ต โˆ€๐‘ค โˆˆ ๐‘ (((๐‘Ž โ†พ ({๐‘ค} ร— ๐‘)) = ((๐‘ฆ โ†พ ({๐‘ค} ร— ๐‘)) โˆ˜f + (๐‘ง โ†พ ({๐‘ค} ร— ๐‘))) โˆง (๐‘Ž โ†พ ((๐‘ โˆ– {๐‘ค}) ร— ๐‘)) = (๐‘ฆ โ†พ ((๐‘ โˆ– {๐‘ค}) ร— ๐‘)) โˆง (๐‘Ž โ†พ ((๐‘ โˆ– {๐‘ค}) ร— ๐‘)) = (๐‘ง โ†พ ((๐‘ โˆ– {๐‘ค}) ร— ๐‘))) โ†’ (๐ทโ€˜๐‘Ž) = ((๐ทโ€˜๐‘ฆ) + (๐ทโ€˜๐‘ง))) โ†” โˆ€๐‘ง โˆˆ ๐ต โˆ€๐‘ค โˆˆ ๐‘ (((๐‘Ž โ†พ ({๐‘ค} ร— ๐‘)) = (((๐‘’ โˆˆ (๐‘ ร— ๐‘) โ†ฆ if((1st โ€˜๐‘’) = (1st โ€˜๐‘), if(๐‘’ = ๐‘, ((๐‘Žโ€˜๐‘’)(-gโ€˜๐‘…)if(๐‘’ โˆˆ ๐‘‘, 1 , 0 )), 0 ), (๐‘Žโ€˜๐‘’))) โ†พ ({๐‘ค} ร— ๐‘)) โˆ˜f + (๐‘ง โ†พ ({๐‘ค} ร— ๐‘))) โˆง (๐‘Ž โ†พ ((๐‘ โˆ– {๐‘ค}) ร— ๐‘)) = ((๐‘’ โˆˆ (๐‘ ร— ๐‘) โ†ฆ if((1st โ€˜๐‘’) = (1st โ€˜๐‘), if(๐‘’ = ๐‘, ((๐‘Žโ€˜๐‘’)(-gโ€˜๐‘…)if(๐‘’ โˆˆ ๐‘‘, 1 , 0 )), 0 ), (๐‘Žโ€˜๐‘’))) โ†พ ((๐‘ โˆ– {๐‘ค}) ร— ๐‘)) โˆง (๐‘Ž โ†พ ((๐‘ โˆ– {๐‘ค}) ร— ๐‘)) = (๐‘ง โ†พ ((๐‘ โˆ– {๐‘ค}) ร— ๐‘))) โ†’ (๐ทโ€˜๐‘Ž) = ((๐ทโ€˜(๐‘’ โˆˆ (๐‘ ร— ๐‘) โ†ฆ if((1st โ€˜๐‘’) = (1st โ€˜๐‘), if(๐‘’ = ๐‘, ((๐‘Žโ€˜๐‘’)(-gโ€˜๐‘…)if(๐‘’ โˆˆ ๐‘‘, 1 , 0 )), 0 ), (๐‘Žโ€˜๐‘’)))) + (๐ทโ€˜๐‘ง)))))
257245, 256rspc2va 3589 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((๐‘Ž โˆˆ ๐ต โˆง (๐‘’ โˆˆ (๐‘ ร— ๐‘) โ†ฆ if((1st โ€˜๐‘’) = (1st โ€˜๐‘), if(๐‘’ = ๐‘, ((๐‘Žโ€˜๐‘’)(-gโ€˜๐‘…)if(๐‘’ โˆˆ ๐‘‘, 1 , 0 )), 0 ), (๐‘Žโ€˜๐‘’))) โˆˆ ๐ต) โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ต โˆ€๐‘ง โˆˆ ๐ต โˆ€๐‘ค โˆˆ ๐‘ (((๐‘ฅ โ†พ ({๐‘ค} ร— ๐‘)) = ((๐‘ฆ โ†พ ({๐‘ค} ร— ๐‘)) โˆ˜f + (๐‘ง โ†พ ({๐‘ค} ร— ๐‘))) โˆง (๐‘ฅ โ†พ ((๐‘ โˆ– {๐‘ค}) ร— ๐‘)) = (๐‘ฆ โ†พ ((๐‘ โˆ– {๐‘ค}) ร— ๐‘)) โˆง (๐‘ฅ โ†พ ((๐‘ โˆ– {๐‘ค}) ร— ๐‘)) = (๐‘ง โ†พ ((๐‘ โˆ– {๐‘ค}) ร— ๐‘))) โ†’ (๐ทโ€˜๐‘ฅ) = ((๐ทโ€˜๐‘ฆ) + (๐ทโ€˜๐‘ง)))) โ†’ โˆ€๐‘ง โˆˆ ๐ต โˆ€๐‘ค โˆˆ ๐‘ (((๐‘Ž โ†พ ({๐‘ค} ร— ๐‘)) = (((๐‘’ โˆˆ (๐‘ ร— ๐‘) โ†ฆ if((1st โ€˜๐‘’) = (1st โ€˜๐‘), if(๐‘’ = ๐‘, ((๐‘Žโ€˜๐‘’)(-gโ€˜๐‘…)if(๐‘’ โˆˆ ๐‘‘, 1 , 0 )), 0 ), (๐‘Žโ€˜๐‘’))) โ†พ ({๐‘ค} ร— ๐‘)) โˆ˜f + (๐‘ง โ†พ ({๐‘ค} ร— ๐‘))) โˆง (๐‘Ž โ†พ ((๐‘ โˆ– {๐‘ค}) ร— ๐‘)) = ((๐‘’ โˆˆ (๐‘ ร— ๐‘) โ†ฆ if((1st โ€˜๐‘’) = (1st โ€˜๐‘), if(๐‘’ = ๐‘, ((๐‘Žโ€˜๐‘’)(-gโ€˜๐‘…)if(๐‘’ โˆˆ ๐‘‘, 1 , 0 )), 0 ), (๐‘Žโ€˜๐‘’))) โ†พ ((๐‘ โˆ– {๐‘ค}) ร— ๐‘)) โˆง (๐‘Ž โ†พ ((๐‘ โˆ– {๐‘ค}) ร— ๐‘)) = (๐‘ง โ†พ ((๐‘ โˆ– {๐‘ค}) ร— ๐‘))) โ†’ (๐ทโ€˜๐‘Ž) = ((๐ทโ€˜(๐‘’ โˆˆ (๐‘ ร— ๐‘) โ†ฆ if((1st โ€˜๐‘’) = (1st โ€˜๐‘), if(๐‘’ = ๐‘, ((๐‘Žโ€˜๐‘’)(-gโ€˜๐‘…)if(๐‘’ โˆˆ ๐‘‘, 1 , 0 )), 0 ), (๐‘Žโ€˜๐‘’)))) + (๐ทโ€˜๐‘ง))))
258224, 235, 236, 257syl21anc 836 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ โˆช {๐‘}) โŠ† (๐‘ ร— ๐‘) โˆง ๐‘Ž โˆˆ ๐ต) โ†’ โˆ€๐‘ง โˆˆ ๐ต โˆ€๐‘ค โˆˆ ๐‘ (((๐‘Ž โ†พ ({๐‘ค} ร— ๐‘)) = (((๐‘’ โˆˆ (๐‘ ร— ๐‘) โ†ฆ if((1st โ€˜๐‘’) = (1st โ€˜๐‘), if(๐‘’ = ๐‘, ((๐‘Žโ€˜๐‘’)(-gโ€˜๐‘…)if(๐‘’ โˆˆ ๐‘‘, 1 , 0 )), 0 ), (๐‘Žโ€˜๐‘’))) โ†พ ({๐‘ค} ร— ๐‘)) โˆ˜f + (๐‘ง โ†พ ({๐‘ค} ร— ๐‘))) โˆง (๐‘Ž โ†พ ((๐‘ โˆ– {๐‘ค}) ร— ๐‘)) = ((๐‘’ โˆˆ (๐‘ ร— ๐‘) โ†ฆ if((1st โ€˜๐‘’) = (1st โ€˜๐‘), if(๐‘’ = ๐‘, ((๐‘Žโ€˜๐‘’)(-gโ€˜๐‘…)if(๐‘’ โˆˆ ๐‘‘, 1 , 0 )), 0 ), (๐‘Žโ€˜๐‘’))) โ†พ ((๐‘ โˆ– {๐‘ค}) ร— ๐‘)) โˆง (๐‘Ž โ†พ ((๐‘ โˆ– {๐‘ค}) ร— ๐‘)) = (๐‘ง โ†พ ((๐‘ โˆ– {๐‘ค}) ร— ๐‘))) โ†’ (๐ทโ€˜๐‘Ž) = ((๐ทโ€˜(๐‘’ โˆˆ (๐‘ ร— ๐‘) โ†ฆ if((1st โ€˜๐‘’) = (1st โ€˜๐‘), if(๐‘’ = ๐‘, ((๐‘Žโ€˜๐‘’)(-gโ€˜๐‘…)if(๐‘’ โˆˆ ๐‘‘, 1 , 0 )), 0 ), (๐‘Žโ€˜๐‘’)))) + (๐ทโ€˜๐‘ง))))
259 reseq1 5929 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (๐‘ง = (๐‘’ โˆˆ (๐‘ ร— ๐‘) โ†ฆ if(๐‘’ = ๐‘, if(๐‘’ โˆˆ ๐‘‘, 1 , 0 ), (๐‘Žโ€˜๐‘’))) โ†’ (๐‘ง โ†พ ({๐‘ค} ร— ๐‘)) = ((๐‘’ โˆˆ (๐‘ ร— ๐‘) โ†ฆ if(๐‘’ = ๐‘, if(๐‘’ โˆˆ ๐‘‘, 1 , 0 ), (๐‘Žโ€˜๐‘’))) โ†พ ({๐‘ค} ร— ๐‘)))
260259oveq2d 7367 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (๐‘ง = (๐‘’ โˆˆ (๐‘ ร— ๐‘) โ†ฆ if(๐‘’ = ๐‘, if(๐‘’ โˆˆ ๐‘‘, 1 , 0 ), (๐‘Žโ€˜๐‘’))) โ†’ (((๐‘’ โˆˆ (๐‘ ร— ๐‘) โ†ฆ if((1st โ€˜๐‘’) = (1st โ€˜๐‘), if(๐‘’ = ๐‘, ((๐‘Žโ€˜๐‘’)(-gโ€˜๐‘…)if(๐‘’ โˆˆ ๐‘‘, 1 , 0 )), 0 ), (๐‘Žโ€˜๐‘’))) โ†พ ({๐‘ค} ร— ๐‘)) โˆ˜f + (๐‘ง โ†พ ({๐‘ค} ร— ๐‘))) = (((๐‘’ โˆˆ (๐‘ ร— ๐‘) โ†ฆ if((1st โ€˜๐‘’) = (1st โ€˜๐‘), if(๐‘’ = ๐‘, ((๐‘Žโ€˜๐‘’)(-gโ€˜๐‘…)if(๐‘’ โˆˆ ๐‘‘, 1 , 0 )), 0 ), (๐‘Žโ€˜๐‘’))) โ†พ ({๐‘ค} ร— ๐‘)) โˆ˜f + ((๐‘’ โˆˆ (๐‘ ร— ๐‘) โ†ฆ if(๐‘’ = ๐‘, if(๐‘’ โˆˆ ๐‘‘, 1 , 0 ), (๐‘Žโ€˜๐‘’))) โ†พ ({๐‘ค} ร— ๐‘))))
261260eqeq2d 2748 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (๐‘ง = (๐‘’ โˆˆ (๐‘ ร— ๐‘) โ†ฆ if(๐‘’ = ๐‘, if(๐‘’ โˆˆ ๐‘‘, 1 , 0 ), (๐‘Žโ€˜๐‘’))) โ†’ ((๐‘Ž โ†พ ({๐‘ค} ร— ๐‘)) = (((๐‘’ โˆˆ (๐‘ ร— ๐‘) โ†ฆ if((1st โ€˜๐‘’) = (1st โ€˜๐‘), if(๐‘’ = ๐‘, ((๐‘Žโ€˜๐‘’)(-gโ€˜๐‘…)if(๐‘’ โˆˆ ๐‘‘, 1 , 0 )), 0 ), (๐‘Žโ€˜๐‘’))) โ†พ ({๐‘ค} ร— ๐‘)) โˆ˜f + (๐‘ง โ†พ ({๐‘ค} ร— ๐‘))) โ†” (๐‘Ž โ†พ ({๐‘ค} ร— ๐‘)) = (((๐‘’ โˆˆ (๐‘ ร— ๐‘) โ†ฆ if((1st โ€˜๐‘’) = (1st โ€˜๐‘), if(๐‘’ = ๐‘, ((๐‘Žโ€˜๐‘’)(-gโ€˜๐‘…)if(๐‘’ โˆˆ ๐‘‘, 1 , 0 )), 0 ), (๐‘Žโ€˜๐‘’))) โ†พ ({๐‘ค} ร— ๐‘)) โˆ˜f + ((๐‘’ โˆˆ (๐‘ ร— ๐‘) โ†ฆ if(๐‘’ = ๐‘, if(๐‘’ โˆˆ ๐‘‘, 1 , 0 ), (๐‘Žโ€˜๐‘’))) โ†พ ({๐‘ค} ร— ๐‘)))))
262 reseq1 5929 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (๐‘ง = (๐‘’ โˆˆ (๐‘ ร— ๐‘) โ†ฆ if(๐‘’ = ๐‘, if(๐‘’ โˆˆ ๐‘‘, 1 , 0 ), (๐‘Žโ€˜๐‘’))) โ†’ (๐‘ง โ†พ ((๐‘ โˆ– {๐‘ค}) ร— ๐‘)) = ((๐‘’ โˆˆ (๐‘ ร— ๐‘) โ†ฆ if(๐‘’ = ๐‘, if(๐‘’ โˆˆ ๐‘‘, 1 , 0 ), (๐‘Žโ€˜๐‘’))) โ†พ ((๐‘ โˆ– {๐‘ค}) ร— ๐‘)))
263262eqeq2d 2748 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (๐‘ง = (๐‘’ โˆˆ (๐‘ ร— ๐‘) โ†ฆ if(๐‘’ = ๐‘, if(๐‘’ โˆˆ ๐‘‘, 1 , 0 ), (๐‘Žโ€˜๐‘’))) โ†’ ((๐‘Ž โ†พ ((๐‘ โˆ– {๐‘ค}) ร— ๐‘)) = (๐‘ง โ†พ ((๐‘ โˆ– {๐‘ค}) ร— ๐‘)) โ†” (๐‘Ž โ†พ ((๐‘ โˆ– {๐‘ค}) ร— ๐‘)) = ((๐‘’ โˆˆ (๐‘ ร— ๐‘) โ†ฆ if(๐‘’ = ๐‘, if(๐‘’ โˆˆ ๐‘‘, 1 , 0 ), (๐‘Žโ€˜๐‘’))) โ†พ ((๐‘ โˆ– {๐‘ค}) ร— ๐‘))))
264261, 2633anbi13d 1438 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (๐‘ง = (๐‘’ โˆˆ (๐‘ ร— ๐‘) โ†ฆ if(๐‘’ = ๐‘, if(๐‘’ โˆˆ ๐‘‘, 1 , 0 ), (๐‘Žโ€˜๐‘’))) โ†’ (((๐‘Ž โ†พ ({๐‘ค} ร— ๐‘)) = (((๐‘’ โˆˆ (๐‘ ร— ๐‘) โ†ฆ if((1st โ€˜๐‘’) = (1st โ€˜๐‘), if(๐‘’ = ๐‘, ((๐‘Žโ€˜๐‘’)(-gโ€˜๐‘…)if(๐‘’ โˆˆ ๐‘‘, 1 , 0 )), 0 ), (๐‘Žโ€˜๐‘’))) โ†พ ({๐‘ค} ร— ๐‘)) โˆ˜f + (๐‘ง โ†พ ({๐‘ค} ร— ๐‘))) โˆง (๐‘Ž โ†พ ((๐‘ โˆ– {๐‘ค}) ร— ๐‘)) = ((๐‘’ โˆˆ (๐‘ ร— ๐‘) โ†ฆ if((1st โ€˜๐‘’) = (1st โ€˜๐‘), if(๐‘’ = ๐‘, ((๐‘Žโ€˜๐‘’)(-gโ€˜๐‘…)if(๐‘’ โˆˆ ๐‘‘, 1 , 0 )), 0 ), (๐‘Žโ€˜๐‘’))) โ†พ ((๐‘ โˆ– {๐‘ค}) ร— ๐‘)) โˆง (๐‘Ž โ†พ ((๐‘ โˆ– {๐‘ค}) ร— ๐‘)) = (๐‘ง โ†พ ((๐‘ โˆ– {๐‘ค}) ร— ๐‘))) โ†” ((๐‘Ž โ†พ ({๐‘ค} ร— ๐‘)) = (((๐‘’ โˆˆ (๐‘ ร— ๐‘) โ†ฆ if((1st โ€˜๐‘’) = (1st โ€˜๐‘), if(๐‘’ = ๐‘, ((๐‘Žโ€˜๐‘’)(-gโ€˜๐‘…)if(๐‘’ โˆˆ ๐‘‘, 1 , 0 )), 0 ), (๐‘Žโ€˜๐‘’))) โ†พ ({๐‘ค} ร— ๐‘)) โˆ˜f + ((๐‘’ โˆˆ (๐‘ ร— ๐‘) โ†ฆ if(๐‘’ = ๐‘, if(๐‘’ โˆˆ ๐‘‘, 1 , 0 ), (๐‘Žโ€˜๐‘’))) โ†พ ({๐‘ค} ร— ๐‘))) โˆง (๐‘Ž โ†พ ((๐‘ โˆ– {๐‘ค}) ร— ๐‘)) = ((๐‘’ โˆˆ (๐‘ ร— ๐‘) โ†ฆ if((1st โ€˜๐‘’) = (1st โ€˜๐‘), if(๐‘’ = ๐‘, ((๐‘Žโ€˜๐‘’)(-gโ€˜๐‘…)if(๐‘’ โˆˆ ๐‘‘, 1 , 0 )), 0 ), (๐‘Žโ€˜๐‘’))) โ†พ ((๐‘ โˆ– {๐‘ค}) ร— ๐‘)) โˆง (๐‘Ž โ†พ ((๐‘ โˆ– {๐‘ค}) ร— ๐‘)) = ((๐‘’ โˆˆ (๐‘ ร— ๐‘) โ†ฆ if(๐‘’ = ๐‘, if(๐‘’ โˆˆ ๐‘‘, 1 , 0 ), (๐‘Žโ€˜๐‘’))) โ†พ ((๐‘ โˆ– {๐‘ค}) ร— ๐‘)))))
265 fveq2 6839 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (๐‘ง = (๐‘’ โˆˆ (๐‘ ร— ๐‘) โ†ฆ if(๐‘’ = ๐‘, if(๐‘’ โˆˆ ๐‘‘, 1 , 0 ), (๐‘Žโ€˜๐‘’))) โ†’ (๐ทโ€˜๐‘ง) = (๐ทโ€˜(๐‘’ โˆˆ (๐‘ ร— ๐‘) โ†ฆ if(๐‘’ = ๐‘, if(๐‘’ โˆˆ ๐‘‘, 1 , 0 ), (๐‘Žโ€˜๐‘’)))))
266265oveq2d 7367 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (๐‘ง = (๐‘’ โˆˆ (๐‘ ร— ๐‘) โ†ฆ if(๐‘’ = ๐‘, if(๐‘’ โˆˆ ๐‘‘, 1 , 0 ), (๐‘Žโ€˜๐‘’))) โ†’ ((๐ทโ€˜(๐‘’ โˆˆ (๐‘ ร— ๐‘) โ†ฆ if((1st โ€˜๐‘’) = (1st โ€˜๐‘), if(๐‘’ = ๐‘, ((๐‘Žโ€˜๐‘’)(-gโ€˜๐‘…)if(๐‘’ โˆˆ ๐‘‘, 1 , 0 )), 0 ), (๐‘Žโ€˜๐‘’)))) + (๐ทโ€˜๐‘ง)) = ((๐ทโ€˜(๐‘’ โˆˆ (๐‘ ร— ๐‘) โ†ฆ if((1st โ€˜๐‘’) = (1st โ€˜๐‘), if(๐‘’ = ๐‘, ((๐‘Žโ€˜๐‘’)(-gโ€˜๐‘…)if(๐‘’ โˆˆ ๐‘‘, 1 , 0 )), 0 ), (๐‘Žโ€˜๐‘’)))) + (๐ทโ€˜(๐‘’ โˆˆ (๐‘ ร— ๐‘) โ†ฆ if(๐‘’ = ๐‘, if(๐‘’ โˆˆ ๐‘‘, 1 , 0 ), (๐‘Žโ€˜๐‘’))))))
267266eqeq2d 2748 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (๐‘ง = (๐‘’ โˆˆ (๐‘ ร— ๐‘) โ†ฆ if(๐‘’ = ๐‘, if(๐‘’ โˆˆ ๐‘‘, 1 , 0 ), (๐‘Žโ€˜๐‘’))) โ†’ ((๐ทโ€˜๐‘Ž) = ((๐ทโ€˜(๐‘’ โˆˆ (๐‘ ร— ๐‘) โ†ฆ if((1st โ€˜๐‘’) = (1st โ€˜๐‘), if(๐‘’ = ๐‘, ((๐‘Žโ€˜๐‘’)(-gโ€˜๐‘…)if(๐‘’ โˆˆ ๐‘‘, 1 , 0 )), 0 ), (๐‘Žโ€˜๐‘’)))) + (๐ทโ€˜๐‘ง)) โ†” (๐ทโ€˜๐‘Ž) = ((๐ทโ€˜(๐‘’ โˆˆ (๐‘ ร— ๐‘) โ†ฆ if((1st โ€˜๐‘’) = (1st โ€˜๐‘), if(๐‘’ = ๐‘, ((๐‘Žโ€˜๐‘’)(-gโ€˜๐‘…)if(๐‘’ โˆˆ ๐‘‘, 1 , 0 )), 0 ), (๐‘Žโ€˜๐‘’)))) + (๐ทโ€˜(๐‘’ โˆˆ (๐‘ ร— ๐‘) โ†ฆ if(๐‘’ = ๐‘, if(๐‘’ โˆˆ ๐‘‘, 1 , 0 ), (๐‘Žโ€˜๐‘’)))))))
268264, 267imbi12d 344 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (๐‘ง = (๐‘’ โˆˆ (๐‘ ร— ๐‘) โ†ฆ if(๐‘’ = ๐‘, if(๐‘’ โˆˆ ๐‘‘, 1 , 0 ), (๐‘Žโ€˜๐‘’))) โ†’ ((((๐‘Ž โ†พ ({๐‘ค} ร— ๐‘)) = (((๐‘’ โˆˆ (๐‘ ร— ๐‘) โ†ฆ if((1st โ€˜๐‘’) = (1st โ€˜๐‘), if(๐‘’ = ๐‘, ((๐‘Žโ€˜๐‘’)(-gโ€˜๐‘…)if(๐‘’ โˆˆ ๐‘‘, 1 , 0 )), 0 ), (๐‘Žโ€˜๐‘’))) โ†พ ({๐‘ค} ร— ๐‘)) โˆ˜f + (๐‘ง โ†พ ({๐‘ค} ร— ๐‘))) โˆง (๐‘Ž โ†พ ((๐‘ โˆ– {๐‘ค}) ร— ๐‘)) = ((๐‘’ โˆˆ (๐‘ ร— ๐‘) โ†ฆ if((1st โ€˜๐‘’) = (1st โ€˜๐‘), if(๐‘’ = ๐‘, ((๐‘Žโ€˜๐‘’)(-gโ€˜๐‘…)if(๐‘’ โˆˆ ๐‘‘, 1 , 0 )), 0 ), (๐‘Žโ€˜๐‘’))) โ†พ ((๐‘ โˆ– {๐‘ค}) ร— ๐‘)) โˆง (๐‘Ž โ†พ ((๐‘ โˆ– {๐‘ค}) ร— ๐‘)) = (๐‘ง โ†พ ((๐‘ โˆ– {๐‘ค}) ร— ๐‘))) โ†’ (๐ทโ€˜๐‘Ž) = ((๐ทโ€˜(๐‘’ โˆˆ (๐‘ ร— ๐‘) โ†ฆ if((1st โ€˜๐‘’) = (1st โ€˜๐‘), if(๐‘’ = ๐‘, ((๐‘Žโ€˜๐‘’)(-gโ€˜๐‘…)if(๐‘’ โˆˆ ๐‘‘, 1 , 0 )), 0 ), (๐‘Žโ€˜๐‘’)))) + (๐ทโ€˜๐‘ง))) โ†” (((๐‘Ž โ†พ ({๐‘ค} ร— ๐‘)) = (((๐‘’ โˆˆ (๐‘ ร— ๐‘) โ†ฆ if((1st โ€˜๐‘’) = (1st โ€˜๐‘), if(๐‘’ = ๐‘, ((๐‘Žโ€˜๐‘’)(-gโ€˜๐‘…)if(๐‘’ โˆˆ ๐‘‘, 1 , 0 )), 0 ), (๐‘Žโ€˜๐‘’))) โ†พ ({๐‘ค} ร— ๐‘)) โˆ˜f + ((๐‘’ โˆˆ (๐‘ ร— ๐‘) โ†ฆ if(๐‘’ = ๐‘, if(๐‘’ โˆˆ ๐‘‘, 1 , 0 ), (๐‘Žโ€˜๐‘’))) โ†พ ({๐‘ค} ร— ๐‘))) โˆง (๐‘Ž โ†พ ((๐‘ โˆ– {๐‘ค}) ร— ๐‘)) = ((๐‘’ โˆˆ (๐‘ ร— ๐‘) โ†ฆ if((1st โ€˜๐‘’) = (1st โ€˜๐‘), if(๐‘’ = ๐‘, ((๐‘Žโ€˜๐‘’)(-gโ€˜๐‘…)if(๐‘’ โˆˆ ๐‘‘, 1 , 0 )), 0 ), (๐‘Žโ€˜๐‘’))) โ†พ ((๐‘ โˆ– {๐‘ค}) ร— ๐‘)) โˆง (๐‘Ž โ†พ ((๐‘ โˆ– {๐‘ค}) ร— ๐‘)) = ((๐‘’ โˆˆ (๐‘ ร— ๐‘) โ†ฆ if(๐‘’ = ๐‘, if(๐‘’ โˆˆ ๐‘‘, 1 , 0 ), (๐‘Žโ€˜๐‘’))) โ†พ ((๐‘ โˆ– {๐‘ค}) ร— ๐‘))) โ†’ (๐ทโ€˜๐‘Ž) = ((๐ทโ€˜(๐‘’ โˆˆ (๐‘ ร— ๐‘) โ†ฆ if((1st โ€˜๐‘’) = (1st โ€˜๐‘), if(๐‘’ = ๐‘, ((๐‘Žโ€˜๐‘’)(-gโ€˜๐‘…)if(๐‘’ โˆˆ ๐‘‘, 1 , 0 )), 0 ), (๐‘Žโ€˜๐‘’)))) + (๐ทโ€˜(๐‘’ โˆˆ (๐‘ ร— ๐‘) โ†ฆ if(๐‘’ = ๐‘, if(๐‘’ โˆˆ ๐‘‘, 1 , 0 ), (๐‘Žโ€˜๐‘’))))))))
269 sneq 4594 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (๐‘ค = (1st โ€˜๐‘) โ†’ {๐‘ค} = {(1st โ€˜๐‘)})
270269xpeq1d 5660 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (๐‘ค = (1st โ€˜๐‘) โ†’ ({๐‘ค} ร— ๐‘) = ({(1st โ€˜๐‘)} ร— ๐‘))
271270reseq2d 5935 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (๐‘ค = (1st โ€˜๐‘) โ†’ (๐‘Ž โ†พ ({๐‘ค} ร— ๐‘)) = (๐‘Ž โ†พ ({(1st โ€˜๐‘)} ร— ๐‘)))
272270reseq2d 5935 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (๐‘ค = (1st โ€˜๐‘) โ†’ ((๐‘’ โˆˆ (๐‘ ร— ๐‘) โ†ฆ if((1st โ€˜๐‘’) = (1st โ€˜๐‘), if(๐‘’ = ๐‘, ((๐‘Žโ€˜๐‘’)(-gโ€˜๐‘…)if(๐‘’ โˆˆ ๐‘‘, 1 , 0 )), 0 ), (๐‘Žโ€˜๐‘’))) โ†พ ({๐‘ค} ร— ๐‘)) = ((๐‘’ โˆˆ (๐‘ ร— ๐‘) โ†ฆ if((1st โ€˜๐‘’) = (1st โ€˜๐‘), if(๐‘’ = ๐‘, ((๐‘Žโ€˜๐‘’)(-gโ€˜๐‘…)if(๐‘’ โˆˆ ๐‘‘, 1 , 0 )), 0 ), (๐‘Žโ€˜๐‘’))) โ†พ ({(1st โ€˜๐‘)} ร— ๐‘)))
273270reseq2d 5935 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (๐‘ค = (1st โ€˜๐‘) โ†’ ((๐‘’ โˆˆ (๐‘ ร— ๐‘) โ†ฆ if(๐‘’ = ๐‘, if(๐‘’ โˆˆ ๐‘‘, 1 , 0 ), (๐‘Žโ€˜๐‘’))) โ†พ ({๐‘ค} ร— ๐‘)) = ((๐‘’ โˆˆ (๐‘ ร— ๐‘) โ†ฆ if(๐‘’ = ๐‘, if(๐‘’ โˆˆ ๐‘‘, 1 , 0 ), (๐‘Žโ€˜๐‘’))) โ†พ ({(1st โ€˜๐‘)} ร— ๐‘)))
274272, 273oveq12d 7369 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (๐‘ค = (1st โ€˜๐‘) โ†’ (((๐‘’ โˆˆ (๐‘ ร— ๐‘) โ†ฆ if((1st โ€˜๐‘’) = (1st โ€˜๐‘), if(๐‘’ = ๐‘, ((๐‘Žโ€˜๐‘’)(-gโ€˜๐‘…)if(๐‘’ โˆˆ ๐‘‘, 1 , 0 )), 0 ), (๐‘Žโ€˜๐‘’))) โ†พ ({๐‘ค} ร— ๐‘)) โˆ˜f + ((๐‘’ โˆˆ (๐‘ ร— ๐‘) โ†ฆ if(๐‘’ = ๐‘, if(๐‘’ โˆˆ ๐‘‘, 1 , 0 ), (๐‘Žโ€˜๐‘’))) โ†พ ({๐‘ค} ร— ๐‘))) = (((๐‘’ โˆˆ (๐‘ ร— ๐‘) โ†ฆ if((1st โ€˜๐‘’) = (1st โ€˜๐‘), if(๐‘’ = ๐‘, ((๐‘Žโ€˜๐‘’)(-gโ€˜๐‘…)if(๐‘’ โˆˆ ๐‘‘, 1 , 0 )), 0 ), (๐‘Žโ€˜๐‘’))) โ†พ ({(1st โ€˜๐‘)} ร— ๐‘)) โˆ˜f + ((๐‘’ โˆˆ (๐‘ ร— ๐‘) โ†ฆ if(๐‘’ = ๐‘, if(๐‘’ โˆˆ ๐‘‘, 1 , 0 ), (๐‘Žโ€˜๐‘’))) โ†พ ({(1st โ€˜๐‘)} ร— ๐‘))))
275271, 274eqeq12d 2753 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (๐‘ค = (1st โ€˜๐‘) โ†’ ((๐‘Ž โ†พ ({๐‘ค} ร— ๐‘)) = (((๐‘’ โˆˆ (๐‘ ร— ๐‘) โ†ฆ if((1st โ€˜๐‘’) = (1st โ€˜๐‘), if(๐‘’ = ๐‘, ((๐‘Žโ€˜๐‘’)(-gโ€˜๐‘…)if(๐‘’ โˆˆ ๐‘‘, 1 , 0 )), 0 ), (๐‘Žโ€˜๐‘’))) โ†พ ({๐‘ค} ร— ๐‘)) โˆ˜f + ((๐‘’ โˆˆ (๐‘ ร— ๐‘) โ†ฆ if(๐‘’ = ๐‘, if(๐‘’ โˆˆ ๐‘‘, 1 , 0 ), (๐‘Žโ€˜๐‘’))) โ†พ ({๐‘ค} ร— ๐‘))) โ†” (๐‘Ž โ†พ ({(1st โ€˜๐‘)} ร— ๐‘)) = (((๐‘’ โˆˆ (๐‘ ร— ๐‘) โ†ฆ if((1st โ€˜๐‘’) = (1st โ€˜๐‘), if(๐‘’ = ๐‘, ((๐‘Žโ€˜๐‘’)(-gโ€˜๐‘…)if(๐‘’ โˆˆ ๐‘‘, 1 , 0 )), 0 ), (๐‘Žโ€˜๐‘’))) โ†พ ({(1st โ€˜๐‘)} ร— ๐‘)) โˆ˜f + ((๐‘’ โˆˆ (๐‘ ร— ๐‘) โ†ฆ if(๐‘’ = ๐‘, if(๐‘’ โˆˆ ๐‘‘, 1 , 0 ), (๐‘Žโ€˜๐‘’))) โ†พ ({(1st โ€˜๐‘)} ร— ๐‘)))))
276269difeq2d 4080 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (๐‘ค = (1st โ€˜๐‘) โ†’ (๐‘ โˆ– {๐‘ค}) = (๐‘ โˆ– {(1st โ€˜๐‘)}))
277276xpeq1d 5660 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (๐‘ค = (1st โ€˜๐‘) โ†’ ((๐‘ โˆ– {๐‘ค}) ร— ๐‘) = ((๐‘ โˆ– {(1st โ€˜๐‘)}) ร— ๐‘))
278277reseq2d 5935 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (๐‘ค = (1st โ€˜๐‘) โ†’ (๐‘Ž โ†พ ((๐‘ โˆ– {๐‘ค}) ร— ๐‘)) = (๐‘Ž โ†พ ((๐‘ โˆ– {(1st โ€˜๐‘)}) ร— ๐‘)))
279277reseq2d 5935 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (๐‘ค = (1st โ€˜๐‘) โ†’ ((๐‘’ โˆˆ (๐‘ ร— ๐‘) โ†ฆ if((1st โ€˜๐‘’) = (1st โ€˜๐‘), if(๐‘’ = ๐‘, ((๐‘Žโ€˜๐‘’)(-gโ€˜๐‘…)if(๐‘’ โˆˆ ๐‘‘, 1 , 0 )), 0 ), (๐‘Žโ€˜๐‘’))) โ†พ ((๐‘ โˆ– {๐‘ค}) ร— ๐‘)) = ((๐‘’ โˆˆ (๐‘ ร— ๐‘) โ†ฆ if((1st โ€˜๐‘’) = (1st โ€˜๐‘), if(๐‘’ = ๐‘, ((๐‘Žโ€˜๐‘’)(-gโ€˜๐‘…)if(๐‘’ โˆˆ ๐‘‘, 1 , 0 )), 0 ), (๐‘Žโ€˜๐‘’))) โ†พ ((๐‘ โˆ– {(1st โ€˜๐‘)}) ร— ๐‘)))
280278, 279eqeq12d 2753 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (๐‘ค = (1st โ€˜๐‘) โ†’ ((๐‘Ž โ†พ ((๐‘ โˆ– {๐‘ค}) ร— ๐‘)) = ((๐‘’ โˆˆ (๐‘ ร— ๐‘) โ†ฆ if((1st โ€˜๐‘’) = (1st โ€˜๐‘), if(๐‘’ = ๐‘, ((๐‘Žโ€˜๐‘’)(-gโ€˜๐‘…)if(๐‘’ โˆˆ ๐‘‘, 1 , 0 )), 0 ), (๐‘Žโ€˜๐‘’))) โ†พ ((๐‘ โˆ– {๐‘ค}) ร— ๐‘)) โ†” (๐‘Ž โ†พ ((๐‘ โˆ– {(1st โ€˜๐‘)}) ร— ๐‘)) = ((๐‘’ โˆˆ (๐‘ ร— ๐‘) โ†ฆ if((1st โ€˜๐‘’) = (1st โ€˜๐‘), if(๐‘’ = ๐‘, ((๐‘Žโ€˜๐‘’)(-gโ€˜๐‘…)if(๐‘’ โˆˆ ๐‘‘, 1 , 0 )), 0 ), (๐‘Žโ€˜๐‘’))) โ†พ ((๐‘ โˆ– {(1st โ€˜๐‘)}) ร— ๐‘))))
281277reseq2d 5935 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (๐‘ค = (1st โ€˜๐‘) โ†’ ((๐‘’ โˆˆ (๐‘ ร— ๐‘) โ†ฆ if(๐‘’ = ๐‘, if(๐‘’ โˆˆ ๐‘‘, 1 , 0 ), (๐‘Žโ€˜๐‘’))) โ†พ ((๐‘ โˆ– {๐‘ค}) ร— ๐‘)) = ((๐‘’ โˆˆ (๐‘ ร— ๐‘) โ†ฆ if(๐‘’ = ๐‘, if(๐‘’ โˆˆ ๐‘‘, 1 , 0 ), (๐‘Žโ€˜๐‘’))) โ†พ ((๐‘ โˆ– {(1st โ€˜๐‘)}) ร— ๐‘)))
282278, 281eqeq12d 2753 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (๐‘ค = (1st โ€˜๐‘) โ†’ ((๐‘Ž โ†พ ((๐‘ โˆ– {๐‘ค}) ร— ๐‘)) = ((๐‘’ โˆˆ (๐‘ ร— ๐‘) โ†ฆ if(๐‘’ = ๐‘, if(๐‘’ โˆˆ ๐‘‘, 1 , 0 ), (๐‘Žโ€˜๐‘’))) โ†พ ((๐‘ โˆ– {๐‘ค}) ร— ๐‘)) โ†” (๐‘Ž โ†พ ((๐‘ โˆ– {(1st โ€˜๐‘)}) ร— ๐‘)) = ((๐‘’ โˆˆ (๐‘ ร— ๐‘) โ†ฆ if(๐‘’ = ๐‘, if(๐‘’ โˆˆ ๐‘‘, 1 , 0 ), (๐‘Žโ€˜๐‘’))) โ†พ ((๐‘ โˆ– {(1st โ€˜๐‘)}) ร— ๐‘))))
283275, 280, 2823anbi123d 1436 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (๐‘ค = (1st โ€˜๐‘) โ†’ (((๐‘Ž โ†พ ({๐‘ค} ร— ๐‘)) = (((๐‘’ โˆˆ (๐‘ ร— ๐‘) โ†ฆ if((1st โ€˜๐‘’) = (1st โ€˜๐‘), if(๐‘’ = ๐‘, ((๐‘Žโ€˜๐‘’)(-gโ€˜๐‘…)if(๐‘’ โˆˆ ๐‘‘, 1 , 0 )), 0 ), (๐‘Žโ€˜๐‘’))) โ†พ ({๐‘ค} ร— ๐‘)) โˆ˜f + ((๐‘’ โˆˆ (๐‘ ร— ๐‘) โ†ฆ if(๐‘’ = ๐‘, if(๐‘’ โˆˆ ๐‘‘, 1 , 0 ), (๐‘Žโ€˜๐‘’))) โ†พ ({๐‘ค} ร— ๐‘))) โˆง (๐‘Ž โ†พ ((๐‘ โˆ– {๐‘ค}) ร— ๐‘)) = ((๐‘’ โˆˆ (๐‘ ร— ๐‘) โ†ฆ if((1st โ€˜๐‘’) = (1st โ€˜๐‘), if(๐‘’ = ๐‘, ((๐‘Žโ€˜๐‘’)(-gโ€˜๐‘…)if(๐‘’ โˆˆ ๐‘‘, 1 , 0 )), 0 ), (๐‘Žโ€˜๐‘’))) โ†พ ((๐‘ โˆ– {๐‘ค}) ร— ๐‘)) โˆง (๐‘Ž โ†พ ((๐‘ โˆ– {๐‘ค}) ร— ๐‘)) = ((๐‘’ โˆˆ (๐‘ ร— ๐‘) โ†ฆ if(๐‘’ = ๐‘, if(๐‘’ โˆˆ ๐‘‘, 1 , 0 ), (๐‘Žโ€˜๐‘’))) โ†พ ((๐‘ โˆ– {๐‘ค}) ร— ๐‘))) โ†” ((๐‘Ž โ†พ ({(1st โ€˜๐‘)} ร— ๐‘)) = (((๐‘’ โˆˆ (๐‘ ร— ๐‘) โ†ฆ if((1st โ€˜๐‘’) = (1st โ€˜๐‘), if(๐‘’ = ๐‘, ((๐‘Žโ€˜๐‘’)(-gโ€˜๐‘…)if(๐‘’ โˆˆ ๐‘‘, 1 , 0 )), 0 ), (๐‘Žโ€˜๐‘’))) โ†พ ({(1st โ€˜๐‘)} ร— ๐‘)) โˆ˜f + ((๐‘’ โˆˆ (๐‘ ร— ๐‘) โ†ฆ if(๐‘’ = ๐‘, if(๐‘’ โˆˆ ๐‘‘, 1 , 0 ), (๐‘Žโ€˜๐‘’))) โ†พ ({(1st โ€˜๐‘)} ร— ๐‘))) โˆง (๐‘Ž โ†พ ((๐‘ โˆ– {(1st โ€˜๐‘)}) ร— ๐‘)) = ((๐‘’ โˆˆ (๐‘ ร— ๐‘) โ†ฆ if((1st โ€˜๐‘’) = (1st โ€˜๐‘), if(๐‘’ = ๐‘, ((๐‘Žโ€˜๐‘’)(-gโ€˜๐‘…)if(๐‘’ โˆˆ ๐‘‘, 1 , 0 )), 0 ), (๐‘Žโ€˜๐‘’))) โ†พ ((๐‘ โˆ– {(1st โ€˜๐‘)}) ร— ๐‘)) โˆง (๐‘Ž โ†พ ((๐‘ โˆ– {(1st โ€˜๐‘)}) ร— ๐‘)) = ((๐‘’ โˆˆ (๐‘ ร— ๐‘) โ†ฆ if(๐‘’ = ๐‘, if(๐‘’ โˆˆ ๐‘‘, 1 , 0 ), (๐‘Žโ€˜๐‘’))) โ†พ ((๐‘ โˆ– {(1st โ€˜๐‘)}) ร— ๐‘)))))
284283imbi1d 341 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (๐‘ค = (1st โ€˜๐‘) โ†’ ((((๐‘Ž โ†พ ({๐‘ค} ร— ๐‘)) = (((๐‘’ โˆˆ (๐‘ ร— ๐‘) โ†ฆ if((1st โ€˜๐‘’) = (1st โ€˜๐‘), if(๐‘’ = ๐‘, ((๐‘Žโ€˜๐‘’)(-gโ€˜๐‘…)if(๐‘’ โˆˆ ๐‘‘, 1 , 0 )), 0 ), (๐‘Žโ€˜๐‘’))) โ†พ ({๐‘ค} ร— ๐‘)) โˆ˜f + ((๐‘’ โˆˆ (๐‘ ร— ๐‘) โ†ฆ if(๐‘’ = ๐‘, if(๐‘’ โˆˆ ๐‘‘, 1 , 0 ), (๐‘Žโ€˜๐‘’))) โ†พ ({๐‘ค} ร— ๐‘))) โˆง (๐‘Ž โ†พ ((๐‘ โˆ– {๐‘ค}) ร— ๐‘)) = ((๐‘’ โˆˆ (๐‘ ร— ๐‘) โ†ฆ if((1st โ€˜๐‘’) = (1st โ€˜๐‘), if(๐‘’ = ๐‘, ((๐‘Žโ€˜๐‘’)(-gโ€˜๐‘…)if(๐‘’ โˆˆ ๐‘‘, 1 , 0 )), 0 ), (๐‘Žโ€˜๐‘’))) โ†พ ((๐‘ โˆ– {๐‘ค}) ร— ๐‘)) โˆง (๐‘Ž โ†พ ((๐‘ โˆ– {๐‘ค}) ร— ๐‘)) = ((๐‘’ โˆˆ (๐‘ ร— ๐‘) โ†ฆ if(๐‘’ = ๐‘, if(๐‘’ โˆˆ ๐‘‘, 1 , 0 ), (๐‘Žโ€˜๐‘’))) โ†พ ((๐‘ โˆ– {๐‘ค}) ร— ๐‘))) โ†’ (๐ทโ€˜๐‘Ž) = ((๐ทโ€˜(๐‘’ โˆˆ (๐‘ ร— ๐‘) โ†ฆ if((1st โ€˜๐‘’) = (1st โ€˜๐‘), if(๐‘’ = ๐‘, ((๐‘Žโ€˜๐‘’)(-gโ€˜๐‘…)if(๐‘’ โˆˆ ๐‘‘, 1 , 0 )), 0 ), (๐‘Žโ€˜๐‘’)))) + (๐ทโ€˜(๐‘’ โˆˆ (๐‘ ร— ๐‘) โ†ฆ if(๐‘’ = ๐‘, if(๐‘’ โˆˆ ๐‘‘, 1 , 0 ), (๐‘Žโ€˜๐‘’)))))) โ†” (((๐‘Ž โ†พ ({(1st โ€˜๐‘)} ร— ๐‘)) = (((๐‘’ โˆˆ (๐‘ ร— ๐‘) โ†ฆ if((1st โ€˜๐‘’) = (1st โ€˜๐‘), if(๐‘’ = ๐‘, ((๐‘Žโ€˜๐‘’)(-gโ€˜๐‘…)if(๐‘’ โˆˆ ๐‘‘, 1 , 0 )), 0 ), (๐‘Žโ€˜๐‘’))) โ†พ ({(1st โ€˜๐‘)} ร— ๐‘)) โˆ˜f + ((๐‘’ โˆˆ (๐‘ ร— ๐‘) โ†ฆ if(๐‘’ = ๐‘, if(๐‘’ โˆˆ ๐‘‘, 1 , 0 ), (๐‘Žโ€˜๐‘’))) โ†พ ({(1st โ€˜๐‘)} ร— ๐‘))) โˆง (๐‘Ž โ†พ ((๐‘ โˆ– {(1st โ€˜๐‘)}) ร— ๐‘)) = ((๐‘’ โˆˆ (๐‘ ร— ๐‘) โ†ฆ if((1st โ€˜๐‘’) = (1st โ€˜๐‘), if(๐‘’ = ๐‘, ((๐‘Žโ€˜๐‘’)(-gโ€˜๐‘…)if(๐‘’ โˆˆ ๐‘‘, 1 , 0 )), 0 ), (๐‘Žโ€˜๐‘’))) โ†พ ((๐‘ โˆ– {(1st โ€˜๐‘)}) ร— ๐‘)) โˆง (๐‘Ž โ†พ ((๐‘ โˆ– {(1st โ€˜๐‘)}) ร— ๐‘)) = ((๐‘’ โˆˆ (๐‘ ร— ๐‘) โ†ฆ if(๐‘’ = ๐‘, if(๐‘’ โˆˆ ๐‘‘, 1 , 0 ), (๐‘Žโ€˜๐‘’))) โ†พ ((๐‘ โˆ– {(1st โ€˜๐‘)}) ร— ๐‘))) โ†’ (๐ทโ€˜๐‘Ž) = ((๐ทโ€˜(๐‘’ โˆˆ (๐‘ ร— ๐‘) โ†ฆ if((1st โ€˜๐‘’) = (1st โ€˜๐‘), if(๐‘’ = ๐‘, ((๐‘Žโ€˜๐‘’)(-gโ€˜๐‘…)if(๐‘’ โˆˆ ๐‘‘, 1 , 0 )), 0 ), (๐‘Žโ€˜๐‘’)))) + (๐ทโ€˜(๐‘’ โˆˆ (๐‘ ร— ๐‘) โ†ฆ if(๐‘’ = ๐‘, if(๐‘’ โˆˆ ๐‘‘, 1 , 0 ), (๐‘Žโ€˜๐‘’))))))))
285268, 284rspc2va 3589 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((((๐‘’ โˆˆ (๐‘ ร— ๐‘) โ†ฆ if(๐‘’ = ๐‘, if(๐‘’ โˆˆ ๐‘‘, 1 , 0 ), (๐‘Žโ€˜๐‘’))) โˆˆ ๐ต โˆง (1st โ€˜๐‘) โˆˆ ๐‘) โˆง โˆ€๐‘ง โˆˆ ๐ต โˆ€๐‘ค โˆˆ ๐‘ (((๐‘Ž โ†พ ({๐‘ค} ร— ๐‘)) = (((๐‘’ โˆˆ (๐‘ ร— ๐‘) โ†ฆ if((1st โ€˜๐‘’) = (1st โ€˜๐‘), if(๐‘’ = ๐‘, ((๐‘Žโ€˜๐‘’)(-gโ€˜๐‘…)if(๐‘’ โˆˆ ๐‘‘, 1 , 0 )), 0 ), (๐‘Žโ€˜๐‘’))) โ†พ ({๐‘ค} ร— ๐‘)) โˆ˜f + (๐‘ง โ†พ ({๐‘ค} ร— ๐‘))) โˆง (๐‘Ž โ†พ ((๐‘ โˆ– {๐‘ค}) ร— ๐‘)) = ((๐‘’ โˆˆ (๐‘ ร— ๐‘) โ†ฆ if((1st โ€˜๐‘’) = (1st โ€˜๐‘), if(๐‘’ = ๐‘, ((๐‘Žโ€˜๐‘’)(-gโ€˜๐‘…)if(๐‘’ โˆˆ ๐‘‘, 1 , 0 )), 0 ), (๐‘Žโ€˜๐‘’))) โ†พ ((๐‘ โˆ– {๐‘ค}) ร— ๐‘)) โˆง (๐‘Ž โ†พ ((๐‘ โˆ– {๐‘ค}) ร— ๐‘)) = (๐‘ง โ†พ ((๐‘ โˆ– {๐‘ค}) ร— ๐‘))) โ†’ (๐ทโ€˜๐‘Ž) = ((๐ทโ€˜(๐‘’ โˆˆ (๐‘ ร— ๐‘) โ†ฆ if((1st โ€˜๐‘’) = (1st โ€˜๐‘), if(๐‘’ = ๐‘, ((๐‘Žโ€˜๐‘’)(-gโ€˜๐‘…)if(๐‘’ โˆˆ ๐‘‘, 1 , 0 )), 0 ), (๐‘Žโ€˜๐‘’)))) + (๐ทโ€˜๐‘ง)))) โ†’ (((๐‘Ž โ†พ ({(1st โ€˜๐‘)} ร— ๐‘)) = (((๐‘’ โˆˆ (๐‘ ร— ๐‘) โ†ฆ if((1st โ€˜๐‘’) = (1st โ€˜๐‘), if(๐‘’ = ๐‘, ((๐‘Žโ€˜๐‘’)(-gโ€˜๐‘…)if(๐‘’ โˆˆ ๐‘‘, 1 , 0 )), 0 ), (๐‘Žโ€˜๐‘’))) โ†พ ({(1st โ€˜๐‘)} ร— ๐‘)) โˆ˜f + ((๐‘’ โˆˆ (๐‘ ร— ๐‘) โ†ฆ if(๐‘’ = ๐‘, if(๐‘’ โˆˆ ๐‘‘, 1 , 0 ), (๐‘Žโ€˜๐‘’))) โ†พ ({(1st โ€˜๐‘)} ร— ๐‘))) โˆง (๐‘Ž โ†พ ((๐‘ โˆ– {(1st โ€˜๐‘)}) ร— ๐‘)) = ((๐‘’ โˆˆ (๐‘ ร— ๐‘) โ†ฆ if((1st โ€˜๐‘’) = (1st โ€˜๐‘), if(๐‘’ = ๐‘, ((๐‘Žโ€˜๐‘’)(-gโ€˜๐‘…)if(๐‘’ โˆˆ ๐‘‘, 1 , 0 )), 0 ), (๐‘Žโ€˜๐‘’))) โ†พ ((๐‘ โˆ– {(1st โ€˜๐‘)}) ร— ๐‘)) โˆง (๐‘Ž โ†พ ((๐‘ โˆ– {(1st โ€˜๐‘)}) ร— ๐‘)) = ((๐‘’ โˆˆ (๐‘ ร— ๐‘) โ†ฆ if(๐‘’ = ๐‘, if(๐‘’ โˆˆ ๐‘‘, 1 , 0 ), (๐‘Žโ€˜๐‘’))) โ†พ ((๐‘ โˆ– {(1st โ€˜๐‘)}) ร— ๐‘))) โ†’ (๐ทโ€˜๐‘Ž) = ((๐ทโ€˜(๐‘’ โˆˆ (๐‘ ร— ๐‘) โ†ฆ if((1st โ€˜๐‘’) = (1st โ€˜๐‘), if(๐‘’ = ๐‘, ((๐‘Žโ€˜๐‘’)(-gโ€˜๐‘…)if(๐‘’ โˆˆ ๐‘‘, 1 , 0 )), 0 ), (๐‘Žโ€˜๐‘’)))) + (๐ทโ€˜(๐‘’ โˆˆ (๐‘ ร— ๐‘) โ†ฆ if(๐‘’ = ๐‘, if(๐‘’ โˆˆ ๐‘‘, 1 , 0 ), (๐‘Žโ€˜๐‘’)))))))
286223, 124, 258, 285syl21anc 836 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ โˆช {๐‘}) โŠ† (๐‘ ร— ๐‘) โˆง ๐‘Ž โˆˆ ๐ต) โ†’ (((๐‘Ž โ†พ ({(1st โ€˜๐‘)} ร— ๐‘)) = (((๐‘’ โˆˆ (๐‘ ร— ๐‘) โ†ฆ if((1st โ€˜๐‘’) = (1st โ€˜๐‘), if(๐‘’ = ๐‘, ((๐‘Žโ€˜๐‘’)(-gโ€˜๐‘…)if(๐‘’ โˆˆ ๐‘‘, 1 , 0 )), 0 ), (๐‘Žโ€˜๐‘’))) โ†พ ({(1st โ€˜๐‘)} ร— ๐‘)) โˆ˜f + ((๐‘’ โˆˆ (๐‘ ร— ๐‘) โ†ฆ if(๐‘’ = ๐‘, if(๐‘’ โˆˆ ๐‘‘, 1 , 0 ), (๐‘Žโ€˜๐‘’))) โ†พ ({(1st โ€˜๐‘)} ร— ๐‘))) โˆง (๐‘Ž โ†พ ((๐‘ โˆ– {(1st โ€˜๐‘)}) ร— ๐‘)) = ((๐‘’ โˆˆ (๐‘ ร— ๐‘) โ†ฆ if((1st โ€˜๐‘’) = (1st โ€˜๐‘), if(๐‘’ = ๐‘, ((๐‘Žโ€˜๐‘’)(-gโ€˜๐‘…)if(๐‘’ โˆˆ ๐‘‘, 1 , 0 )), 0 ), (๐‘Žโ€˜๐‘’))) โ†พ ((๐‘ โˆ– {(1st โ€˜๐‘)}) ร— ๐‘)) โˆง (๐‘Ž โ†พ ((๐‘ โˆ– {(1st โ€˜๐‘)}) ร— ๐‘)) = ((๐‘’ โˆˆ (๐‘ ร— ๐‘) โ†ฆ if(๐‘’ = ๐‘, if(๐‘’ โˆˆ ๐‘‘, 1 , 0 ), (๐‘Žโ€˜๐‘’))) โ†พ ((๐‘ โˆ– {(1st โ€˜๐‘)}) ร— ๐‘))) โ†’ (๐ทโ€˜๐‘Ž) = ((๐ทโ€˜(๐‘’ โˆˆ (๐‘ ร— ๐‘) โ†ฆ if((1st โ€˜๐‘’) = (1st โ€˜๐‘), if(๐‘’ = ๐‘, ((๐‘Žโ€˜๐‘’)(-gโ€˜๐‘…)if(๐‘’ โˆˆ ๐‘‘, 1 , 0 )), 0 ), (๐‘Žโ€˜๐‘’)))) + (๐ทโ€˜(๐‘’ โˆˆ (๐‘ ร— ๐‘) โ†ฆ if(๐‘’ = ๐‘, if(๐‘’ โˆˆ ๐‘‘, 1 , 0 ), (๐‘Žโ€˜๐‘’)))))))
287184, 201, 209, 286mp3and 1464 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ โˆช {๐‘}) โŠ† (๐‘ ร— ๐‘) โˆง ๐‘Ž โˆˆ ๐ต) โ†’ (๐ทโ€˜๐‘Ž) = ((๐ทโ€˜(๐‘’ โˆˆ (๐‘ ร— ๐‘) โ†ฆ if((1st โ€˜๐‘’) = (1st โ€˜๐‘), if(๐‘’ = ๐‘, ((๐‘Žโ€˜๐‘’)(-gโ€˜๐‘…)if(๐‘’ โˆˆ ๐‘‘, 1 , 0 )), 0 ), (๐‘Žโ€˜๐‘’)))) + (๐ทโ€˜(๐‘’ โˆˆ (๐‘ ร— ๐‘) โ†ฆ if(๐‘’ = ๐‘, if(๐‘’ โˆˆ ๐‘‘, 1 , 0 ), (๐‘Žโ€˜๐‘’))))))
288104, 105, 106, 287syl3anc 1371 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ โˆช {๐‘}) โŠ† (๐‘ ร— ๐‘) โˆง (๐‘ โˆช {๐‘}) โˆˆ ๐‘Œ) โˆง ((๐‘Ž โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘‘ โˆˆ (๐‘ โ†‘m ๐‘)) โˆง โˆ€๐‘ค โˆˆ ๐‘ (๐‘Žโ€˜๐‘ค) = if(๐‘ค โˆˆ ๐‘‘, 1 , 0 ))) โ†’ (๐ทโ€˜๐‘Ž) = ((๐ทโ€˜(๐‘’ โˆˆ (๐‘ ร— ๐‘) โ†ฆ if((1st โ€˜๐‘’) = (1st โ€˜๐‘), if(๐‘’ = ๐‘, ((๐‘Žโ€˜๐‘’)(-gโ€˜๐‘…)if(๐‘’ โˆˆ ๐‘‘, 1 , 0 )), 0 ), (๐‘Žโ€˜๐‘’)))) + (๐ทโ€˜(๐‘’ โˆˆ (๐‘ ร— ๐‘) โ†ฆ if(๐‘’ = ๐‘, if(๐‘’ โˆˆ ๐‘‘, 1 , 0 ), (๐‘Žโ€˜๐‘’))))))
289 fveq2 6839 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (๐‘’ = ๐‘ โ†’ (๐‘Žโ€˜๐‘’) = (๐‘Žโ€˜๐‘))
290 elequ1 2113 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (๐‘’ = ๐‘ โ†’ (๐‘’ โˆˆ ๐‘‘ โ†” ๐‘ โˆˆ ๐‘‘))
291290ifbid 4507 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (๐‘’ = ๐‘ โ†’ if(๐‘’ โˆˆ ๐‘‘, 1 , 0 ) = if(๐‘ โˆˆ ๐‘‘, 1 , 0 ))
292289, 291oveq12d 7369 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (๐‘’ = ๐‘ โ†’ ((๐‘Žโ€˜๐‘’)(-gโ€˜๐‘…)if(๐‘’ โˆˆ ๐‘‘, 1 , 0 )) = ((๐‘Žโ€˜๐‘)(-gโ€˜๐‘…)if(๐‘ โˆˆ ๐‘‘, 1 , 0 )))
293292adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((((๐œ‘ โˆง (๐‘ โˆช {๐‘}) โŠ† (๐‘ ร— ๐‘) โˆง ๐‘Ž โˆˆ ๐ต) โˆง ๐‘’ โˆˆ ({(1st โ€˜๐‘)} ร— ๐‘)) โˆง ๐‘’ = ๐‘) โ†’ ((๐‘Žโ€˜๐‘’)(-gโ€˜๐‘…)if(๐‘’ โˆˆ ๐‘‘, 1 , 0 )) = ((๐‘Žโ€˜๐‘)(-gโ€˜๐‘…)if(๐‘ โˆˆ ๐‘‘, 1 , 0 )))
294110, 122ffvelcdmd 7032 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ โˆช {๐‘}) โŠ† (๐‘ ร— ๐‘) โˆง ๐‘Ž โˆˆ ๐ต) โ†’ (๐‘Žโ€˜๐‘) โˆˆ ๐พ)
295131, 133ifcld 4530 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ โˆช {๐‘}) โŠ† (๐‘ ร— ๐‘) โˆง ๐‘Ž โˆˆ ๐ต) โ†’ if(๐‘ โˆˆ ๐‘‘, 1 , 0 ) โˆˆ ๐พ)
29612, 136grpsubcl 18786 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ((๐‘… โˆˆ Grp โˆง (๐‘Žโ€˜๐‘) โˆˆ ๐พ โˆง if(๐‘ โˆˆ ๐‘‘, 1 , 0 ) โˆˆ ๐พ) โ†’ ((๐‘Žโ€˜๐‘)(-gโ€˜๐‘…)if(๐‘ โˆˆ ๐‘‘, 1 , 0 )) โˆˆ ๐พ)
297115, 294, 295, 296syl3anc 1371 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ โˆช {๐‘}) โŠ† (๐‘ ร— ๐‘) โˆง ๐‘Ž โˆˆ ๐ต) โ†’ ((๐‘Žโ€˜๐‘)(-gโ€˜๐‘…)if(๐‘ โˆˆ ๐‘‘, 1 , 0 )) โˆˆ ๐พ)
29812, 51, 49ringridm 19947 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ((๐‘Žโ€˜๐‘)(-gโ€˜๐‘…)if(๐‘ โˆˆ ๐‘‘, 1 , 0 )) โˆˆ ๐พ) โ†’ (((๐‘Žโ€˜๐‘)(-gโ€˜๐‘…)if(๐‘ โˆˆ ๐‘‘, 1 , 0 )) ยท 1 ) = ((๐‘Žโ€˜๐‘)(-gโ€˜๐‘…)if(๐‘ โˆˆ ๐‘‘, 1 , 0 )))
299113, 297, 298syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ โˆช {๐‘}) โŠ† (๐‘ ร— ๐‘) โˆง ๐‘Ž โˆˆ ๐ต) โ†’ (((๐‘Žโ€˜๐‘)(-gโ€˜๐‘…)if(๐‘ โˆˆ ๐‘‘, 1 , 0 )) ยท 1 ) = ((๐‘Žโ€˜๐‘)(-gโ€˜๐‘…)if(๐‘ โˆˆ ๐‘‘, 1 , 0 )))
300299ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((((๐œ‘ โˆง (๐‘ โˆช {๐‘}) โŠ† (๐‘ ร— ๐‘) โˆง ๐‘Ž โˆˆ ๐ต) โˆง ๐‘’ โˆˆ ({(1st โ€˜๐‘)} ร— ๐‘)) โˆง ๐‘’ = ๐‘) โ†’ (((๐‘Žโ€˜๐‘)(-gโ€˜๐‘…)if(๐‘ โˆˆ ๐‘‘, 1 , 0 )) ยท 1 ) = ((๐‘Žโ€˜๐‘)(-gโ€˜๐‘…)if(๐‘ โˆˆ ๐‘‘, 1 , 0 )))
301293, 300eqtr4d 2780 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((((๐œ‘ โˆง (๐‘ โˆช {๐‘}) โŠ† (๐‘ ร— ๐‘) โˆง ๐‘Ž โˆˆ ๐ต) โˆง ๐‘’ โˆˆ ({(1st โ€˜๐‘)} ร— ๐‘)) โˆง ๐‘’ = ๐‘) โ†’ ((๐‘Žโ€˜๐‘’)(-gโ€˜๐‘…)if(๐‘’ โˆˆ ๐‘‘, 1 , 0 )) = (((๐‘Žโ€˜๐‘)(-gโ€˜๐‘…)if(๐‘ โˆˆ ๐‘‘, 1 , 0 )) ยท 1 ))
302141adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((((๐œ‘ โˆง (๐‘ โˆช {๐‘}) โŠ† (๐‘ ร— ๐‘) โˆง ๐‘Ž โˆˆ ๐ต) โˆง ๐‘’ โˆˆ ({(1st โ€˜๐‘)} ร— ๐‘)) โˆง ๐‘’ = ๐‘) โ†’ if(๐‘’ = ๐‘, ((๐‘Žโ€˜๐‘’)(-gโ€˜๐‘…)if(๐‘’ โˆˆ ๐‘‘, 1 , 0 )), 0 ) = ((๐‘Žโ€˜๐‘’)(-gโ€˜๐‘…)if(๐‘’ โˆˆ ๐‘‘, 1 , 0 )))
303 iftrue 4490 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (๐‘’ = ๐‘ โ†’ if(๐‘’ = ๐‘, 1 , 0 ) = 1 )
304303oveq2d 7367 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (๐‘’ = ๐‘ โ†’ (((๐‘Žโ€˜๐‘)(-gโ€˜๐‘…)if(๐‘ โˆˆ ๐‘‘, 1 , 0 )) ยท if(๐‘’ = ๐‘, 1 , 0 )) = (((๐‘Žโ€˜๐‘)(-gโ€˜๐‘…)if(๐‘ โˆˆ ๐‘‘, 1 , 0 )) ยท 1 ))
305304adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((((๐œ‘ โˆง (๐‘ โˆช {๐‘}) โŠ† (๐‘ ร— ๐‘) โˆง ๐‘Ž โˆˆ ๐ต) โˆง ๐‘’ โˆˆ ({(1st โ€˜๐‘)} ร— ๐‘)) โˆง ๐‘’ = ๐‘) โ†’ (((๐‘Žโ€˜๐‘)(-gโ€˜๐‘…)if(๐‘ โˆˆ ๐‘‘, 1 , 0 )) ยท if(๐‘’ = ๐‘, 1 , 0 )) = (((๐‘Žโ€˜๐‘)(-gโ€˜๐‘…)if(๐‘ โˆˆ ๐‘‘, 1 , 0 )) ยท 1 ))
306301, 302, 3053eqtr4d 2787 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((((๐œ‘ โˆง (๐‘ โˆช {๐‘}) โŠ† (๐‘ ร— ๐‘) โˆง ๐‘Ž โˆˆ ๐ต) โˆง ๐‘’ โˆˆ ({(1st โ€˜๐‘)} ร— ๐‘)) โˆง ๐‘’ = ๐‘) โ†’ if(๐‘’ = ๐‘, ((๐‘Žโ€˜๐‘’)(-gโ€˜๐‘…)if(๐‘’ โˆˆ ๐‘‘, 1 , 0 )), 0 ) = (((๐‘Žโ€˜๐‘)(-gโ€˜๐‘…)if(๐‘ โˆˆ ๐‘‘, 1 , 0 )) ยท if(๐‘’ = ๐‘, 1 , 0 )))
30712, 51, 48ringrz 19965 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ((๐‘Žโ€˜๐‘)(-gโ€˜๐‘…)if(๐‘ โˆˆ ๐‘‘, 1 , 0 )) โˆˆ ๐พ) โ†’ (((๐‘Žโ€˜๐‘)(-gโ€˜๐‘…)if(๐‘ โˆˆ ๐‘‘, 1 , 0 )) ยท 0 ) = 0 )
308113, 297, 307syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ โˆช {๐‘}) โŠ† (๐‘ ร— ๐‘) โˆง ๐‘Ž โˆˆ ๐ต) โ†’ (((๐‘Žโ€˜๐‘)(-gโ€˜๐‘…)if(๐‘ โˆˆ ๐‘‘, 1 , 0 )) ยท 0 ) = 0 )
309308eqcomd 2743 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ โˆช {๐‘}) โŠ† (๐‘ ร— ๐‘) โˆง ๐‘Ž โˆˆ ๐ต) โ†’ 0 = (((๐‘Žโ€˜๐‘)(-gโ€˜๐‘…)if(๐‘ โˆˆ ๐‘‘, 1 , 0 )) ยท 0 ))
310309ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((((๐œ‘ โˆง (๐‘ โˆช {๐‘}) โŠ† (๐‘ ร— ๐‘) โˆง ๐‘Ž โˆˆ ๐ต) โˆง ๐‘’ โˆˆ ({(1st โ€˜๐‘)} ร— ๐‘)) โˆง ยฌ ๐‘’ = ๐‘) โ†’ 0 = (((๐‘Žโ€˜๐‘)(-gโ€˜๐‘…)if(๐‘ โˆˆ ๐‘‘, 1 , 0 )) ยท 0 ))
311150adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((((๐œ‘ โˆง (๐‘ โˆช {๐‘}) โŠ† (๐‘ ร— ๐‘) โˆง ๐‘Ž โˆˆ ๐ต) โˆง ๐‘’ โˆˆ ({(1st โ€˜๐‘)} ร— ๐‘)) โˆง ยฌ ๐‘’ = ๐‘) โ†’ if(๐‘’ = ๐‘, ((๐‘Žโ€˜๐‘’)(-gโ€˜๐‘…)if(๐‘’ โˆˆ ๐‘‘, 1 , 0 )), 0 ) = 0 )
312 iffalse 4493 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (ยฌ ๐‘’ = ๐‘ โ†’ if(๐‘’ = ๐‘, 1 , 0 ) = 0 )
313312oveq2d 7367 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (ยฌ ๐‘’ = ๐‘ โ†’ (((๐‘Žโ€˜๐‘)(-gโ€˜๐‘…)if(๐‘ โˆˆ ๐‘‘, 1 , 0 )) ยท if(๐‘’ = ๐‘, 1 , 0 )) = (((๐‘Žโ€˜๐‘)(-gโ€˜๐‘…)if(๐‘ โˆˆ ๐‘‘, 1 , 0 )) ยท 0 ))
314313adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((((๐œ‘ โˆง (๐‘ โˆช {๐‘}) โŠ† (๐‘ ร— ๐‘) โˆง ๐‘Ž โˆˆ ๐ต) โˆง ๐‘’ โˆˆ ({(1st โ€˜๐‘)} ร— ๐‘)) โˆง ยฌ ๐‘’ = ๐‘) โ†’ (((๐‘Žโ€˜๐‘)(-gโ€˜๐‘…)if(๐‘ โˆˆ ๐‘‘, 1 , 0 )) ยท if(๐‘’ = ๐‘, 1 , 0 )) = (((๐‘Žโ€˜๐‘)(-gโ€˜๐‘…)if(๐‘ โˆˆ ๐‘‘, 1 , 0 )) ยท 0 ))
315310, 311, 3143eqtr4d 2787 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((((๐œ‘ โˆง (๐‘ โˆช {๐‘}) โŠ† (๐‘ ร— ๐‘) โˆง ๐‘Ž โˆˆ ๐ต) โˆง ๐‘’ โˆˆ ({(1st โ€˜๐‘)} ร— ๐‘)) โˆง ยฌ ๐‘’ = ๐‘) โ†’ if(๐‘’ = ๐‘, ((๐‘Žโ€˜๐‘’)(-gโ€˜๐‘…)if(๐‘’ โˆˆ ๐‘‘, 1 , 0 )), 0 ) = (((๐‘Žโ€˜๐‘)(-gโ€˜๐‘…)if(๐‘ โˆˆ ๐‘‘, 1 , 0 )) ยท if(๐‘’ = ๐‘, 1 , 0 )))
316306, 315pm2.61dan 811 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ โˆช {๐‘}) โŠ† (๐‘ ร— ๐‘) โˆง ๐‘Ž โˆˆ ๐ต) โˆง ๐‘’ โˆˆ ({(1st โ€˜๐‘)} ร— ๐‘)) โ†’ if(๐‘’ = ๐‘, ((๐‘Žโ€˜๐‘’)(-gโ€˜๐‘…)if(๐‘’ โˆˆ ๐‘‘, 1 , 0 )), 0 ) = (((๐‘Žโ€˜๐‘)(-gโ€˜๐‘…)if(๐‘ โˆˆ ๐‘‘, 1 , 0 )) ยท if(๐‘’ = ๐‘, 1 , 0 )))
317170adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ โˆช {๐‘}) โŠ† (๐‘ ร— ๐‘) โˆง ๐‘Ž โˆˆ ๐ต) โˆง ๐‘’ โˆˆ ({(1st โ€˜๐‘)} ร— ๐‘)) โ†’ (1st โ€˜๐‘’) โˆˆ {(1st โ€˜๐‘)})
318317, 171syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ โˆช {๐‘}) โŠ† (๐‘ ร— ๐‘) โˆง ๐‘Ž โˆˆ ๐ต) โˆง ๐‘’ โˆˆ ({(1st โ€˜๐‘)} ร— ๐‘)) โ†’ (1st โ€˜๐‘’) = (1st โ€˜๐‘))
319318iftrued 4492 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ โˆช {๐‘}) โŠ† (๐‘ ร— ๐‘) โˆง ๐‘Ž โˆˆ ๐ต) โˆง ๐‘’ โˆˆ ({(1st โ€˜๐‘)} ร— ๐‘)) โ†’ if((1st โ€˜๐‘’) = (1st โ€˜๐‘), if(๐‘’ = ๐‘, ((๐‘Žโ€˜๐‘’)(-gโ€˜๐‘…)if(๐‘’ โˆˆ ๐‘‘, 1 , 0 )), 0 ), (๐‘Žโ€˜๐‘’)) = if(๐‘’ = ๐‘, ((๐‘Žโ€˜๐‘’)(-gโ€˜๐‘…)if(๐‘’ โˆˆ ๐‘‘, 1 , 0 )), 0 ))
320318iftrued 4492 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ โˆช {๐‘}) โŠ† (๐‘ ร— ๐‘) โˆง ๐‘Ž โˆˆ ๐ต) โˆง ๐‘’ โˆˆ ({(1st โ€˜๐‘)} ร— ๐‘)) โ†’ if((1st โ€˜๐‘’) = (1st โ€˜๐‘), if(๐‘’ = ๐‘, 1 , 0 ), (๐‘Žโ€˜๐‘’)) = if(๐‘’ = ๐‘, 1 , 0 ))
321320oveq2d 7367 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ โˆช {๐‘}) โŠ† (๐‘ ร— ๐‘) โˆง ๐‘Ž โˆˆ ๐ต) โˆง ๐‘’ โˆˆ ({(1st โ€˜๐‘)} ร— ๐‘)) โ†’ (((๐‘Žโ€˜๐‘)(-gโ€˜๐‘…)if(๐‘ โˆˆ ๐‘‘, 1 , 0 )) ยท if((1st โ€˜๐‘’) = (1st โ€˜๐‘), if(๐‘’ = ๐‘, 1 , 0 ), (๐‘Žโ€˜๐‘’))) = (((๐‘Žโ€˜๐‘)(-gโ€˜๐‘…)if(๐‘ โˆˆ ๐‘‘, 1 , 0 )) ยท if(๐‘’ = ๐‘, 1 , 0 )))
322316, 319, 3213eqtr4d 2787 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ โˆช {๐‘}) โŠ† (๐‘ ร— ๐‘) โˆง ๐‘Ž โˆˆ ๐ต) โˆง ๐‘’ โˆˆ ({(1st โ€˜๐‘)} ร— ๐‘)) โ†’ if((1st โ€˜๐‘’) = (1st โ€˜๐‘), if(๐‘’ = ๐‘, ((๐‘Žโ€˜๐‘’)(-gโ€˜๐‘…)if(๐‘’ โˆˆ ๐‘‘, 1 , 0 )), 0 ), (๐‘Žโ€˜๐‘’)) = (((๐‘Žโ€˜๐‘)(-gโ€˜๐‘…)if(๐‘ โˆˆ ๐‘‘, 1 , 0 )) ยท if((1st โ€˜๐‘’) = (1st โ€˜๐‘), if(๐‘’ = ๐‘, 1 , 0 ), (๐‘Žโ€˜๐‘’))))
323322mpteq2dva 5203 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ โˆช {๐‘}) โŠ† (๐‘ ร— ๐‘) โˆง ๐‘Ž โˆˆ ๐ต) โ†’ (๐‘’ โˆˆ ({(1st โ€˜๐‘)} ร— ๐‘) โ†ฆ if((1st โ€˜๐‘’) = (1st โ€˜๐‘), if(๐‘’ = ๐‘, ((๐‘Žโ€˜๐‘’)(-gโ€˜๐‘…)if(๐‘’ โˆˆ ๐‘‘, 1 , 0 )), 0 ), (๐‘Žโ€˜๐‘’))) = (๐‘’ โˆˆ ({(1st โ€˜๐‘)} ร— ๐‘) โ†ฆ (((๐‘Žโ€˜๐‘)(-gโ€˜๐‘…)if(๐‘ โˆˆ ๐‘‘, 1 , 0 )) ยท if((1st โ€˜๐‘’) = (1st โ€˜๐‘), if(๐‘’ = ๐‘, 1 , 0 ), (๐‘Žโ€˜๐‘’)))))
324 ovexd 7386 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ โˆช {๐‘}) โŠ† (๐‘ ร— ๐‘) โˆง ๐‘Ž โˆˆ ๐ต) โˆง ๐‘’ โˆˆ ({(1st โ€˜๐‘)} ร— ๐‘)) โ†’ ((๐‘Žโ€˜๐‘)(-gโ€˜๐‘…)if(๐‘ โˆˆ ๐‘‘, 1 , 0 )) โˆˆ V)
325165, 162ifex 4534 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 if(๐‘’ = ๐‘, 1 , 0 ) โˆˆ V
326325, 167ifex 4534 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 if((1st โ€˜๐‘’) = (1st โ€˜๐‘), if(๐‘’ = ๐‘, 1 , 0 ), (๐‘Žโ€˜๐‘’)) โˆˆ V
327326a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ โˆช {๐‘}) โŠ† (๐‘ ร— ๐‘) โˆง ๐‘Ž โˆˆ ๐ต) โˆง ๐‘’ โˆˆ ({(1st โ€˜๐‘)} ร— ๐‘)) โ†’ if((1st โ€˜๐‘’) = (1st โ€˜๐‘), if(๐‘’ = ๐‘, 1 , 0 ), (๐‘Žโ€˜๐‘’)) โˆˆ V)
328 fconstmpt 5692 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (({(1st โ€˜๐‘)} ร— ๐‘) ร— {((๐‘Žโ€˜๐‘)(-gโ€˜๐‘…)if(๐‘ โˆˆ ๐‘‘, 1 , 0 ))}) = (๐‘’ โˆˆ ({(1st โ€˜๐‘)} ร— ๐‘) โ†ฆ ((๐‘Žโ€˜๐‘)(-gโ€˜๐‘…)if(๐‘ โˆˆ ๐‘‘, 1 , 0 )))
329328a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ โˆช {๐‘}) โŠ† (๐‘ ร— ๐‘) โˆง ๐‘Ž โˆˆ ๐ต) โ†’ (({(1st โ€˜๐‘)} ร— ๐‘) ร— {((๐‘Žโ€˜๐‘)(-gโ€˜๐‘…)if(๐‘ โˆˆ ๐‘‘, 1 , 0 ))}) = (๐‘’ โˆˆ ({(1st โ€˜๐‘)} ร— ๐‘) โ†ฆ ((๐‘Žโ€˜๐‘)(-gโ€˜๐‘…)if(๐‘ โˆˆ ๐‘‘, 1 , 0 ))))
330127resmptd 5992 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ โˆช {๐‘}) โŠ† (๐‘ ร— ๐‘) โˆง ๐‘Ž โˆˆ ๐ต) โ†’ ((๐‘’ โˆˆ (๐‘ ร— ๐‘) โ†ฆ if((1st โ€˜๐‘’) = (1st โ€˜๐‘), if(๐‘’ = ๐‘, 1 , 0 ), (๐‘Žโ€˜๐‘’))) โ†พ ({(1st โ€˜๐‘)} ร— ๐‘)) = (๐‘’ โˆˆ ({(1st โ€˜๐‘)} ร— ๐‘) โ†ฆ if((1st โ€˜๐‘’) = (1st โ€˜๐‘), if(๐‘’ = ๐‘, 1 , 0 ), (๐‘Žโ€˜๐‘’))))
331160, 324, 327, 329, 330offval2 7629 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ โˆช {๐‘}) โŠ† (๐‘ ร— ๐‘) โˆง ๐‘Ž โˆˆ ๐ต) โ†’ ((({(1st โ€˜๐‘)} ร— ๐‘) ร— {((๐‘Žโ€˜๐‘)(-gโ€˜๐‘…)if(๐‘ โˆˆ ๐‘‘, 1 , 0 ))}) โˆ˜f ยท ((๐‘’ โˆˆ (๐‘ ร— ๐‘) โ†ฆ if((1st โ€˜๐‘’) = (1st โ€˜๐‘), if(๐‘’ = ๐‘, 1 , 0 ), (๐‘Žโ€˜๐‘’))) โ†พ ({(1st โ€˜๐‘)} ร— ๐‘))) = (๐‘’ โˆˆ ({(1st โ€˜๐‘)} ร— ๐‘) โ†ฆ (((๐‘Žโ€˜๐‘)(-gโ€˜๐‘…)if(๐‘ โˆˆ ๐‘‘, 1 , 0 )) ยท if((1st โ€˜๐‘’) = (1st โ€˜๐‘), if(๐‘’ = ๐‘, 1 , 0 ), (๐‘Žโ€˜๐‘’)))))
332323, 180, 3313eqtr4d 2787 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ โˆช {๐‘}) โŠ† (๐‘ ร— ๐‘) โˆง ๐‘Ž โˆˆ ๐ต) โ†’ ((๐‘’ โˆˆ (๐‘ ร— ๐‘) โ†ฆ if((1st โ€˜๐‘’) = (1st โ€˜๐‘), if(๐‘’ = ๐‘, ((๐‘Žโ€˜๐‘’)(-gโ€˜๐‘…)if(๐‘’ โˆˆ ๐‘‘, 1 , 0 )), 0 ), (๐‘Žโ€˜๐‘’))) โ†พ ({(1st โ€˜๐‘)} ร— ๐‘)) = ((({(1st โ€˜๐‘)} ร— ๐‘) ร— {((๐‘Žโ€˜๐‘)(-gโ€˜๐‘…)if(๐‘ โˆˆ ๐‘‘, 1 , 0 ))}) โˆ˜f ยท ((๐‘’ โˆˆ (๐‘ ร— ๐‘) โ†ฆ if((1st โ€˜๐‘’) = (1st โ€˜๐‘), if(๐‘’ = ๐‘, 1 , 0 ), (๐‘Žโ€˜๐‘’))) โ†พ ({(1st โ€˜๐‘)} ร— ๐‘))))
333 iffalse 4493 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (ยฌ (1st โ€˜๐‘’) = (1st โ€˜๐‘) โ†’ if((1st โ€˜๐‘’) = (1st โ€˜๐‘), if(๐‘’ = ๐‘, ((๐‘Žโ€˜๐‘’)(-gโ€˜๐‘…)if(๐‘’ โˆˆ ๐‘‘, 1 , 0 )), 0 ), (๐‘Žโ€˜๐‘’)) = (๐‘Žโ€˜๐‘’))
334 iffalse 4493 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (ยฌ (1st โ€˜๐‘’) = (1st โ€˜๐‘) โ†’ if((1st โ€˜๐‘’) = (1st โ€˜๐‘), if(๐‘’ = ๐‘, 1 , 0 ), (๐‘Žโ€˜๐‘’)) = (๐‘Žโ€˜๐‘’))
335333, 334eqtr4d 2780 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (ยฌ (1st โ€˜๐‘’) = (1st โ€˜๐‘) โ†’ if((1st โ€˜๐‘’) = (1st โ€˜๐‘), if(๐‘’ = ๐‘, ((๐‘Žโ€˜๐‘’)(-gโ€˜๐‘…)if(๐‘’ โˆˆ ๐‘‘, 1 , 0 )), 0 ), (๐‘Žโ€˜๐‘’)) = if((1st โ€˜๐‘’) = (1st โ€˜๐‘), if(๐‘’ = ๐‘, 1 , 0 ), (๐‘Žโ€˜๐‘’)))
336190, 335syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ โˆช {๐‘}) โŠ† (๐‘ ร— ๐‘) โˆง ๐‘Ž โˆˆ ๐ต) โˆง ๐‘’ โˆˆ ((๐‘ โˆ– {(1st โ€˜๐‘)}) ร— ๐‘)) โ†’ if((1st โ€˜๐‘’) = (1st โ€˜๐‘), if(๐‘’ = ๐‘, ((๐‘Žโ€˜๐‘’)(-gโ€˜๐‘…)if(๐‘’ โˆˆ ๐‘‘, 1 , 0 )), 0 ), (๐‘Žโ€˜๐‘’)) = if((1st โ€˜๐‘’) = (1st โ€˜๐‘), if(๐‘’ = ๐‘, 1 , 0 ), (๐‘Žโ€˜๐‘’)))
337336mpteq2dva 5203 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ โˆช {๐‘}) โŠ† (๐‘ ร— ๐‘) โˆง ๐‘Ž โˆˆ ๐ต) โ†’ (๐‘’ โˆˆ ((๐‘ โˆ– {(1st โ€˜๐‘)}) ร— ๐‘) โ†ฆ if((1st โ€˜๐‘’) = (1st โ€˜๐‘), if(๐‘’ = ๐‘, ((๐‘Žโ€˜๐‘’)(-gโ€˜๐‘…)if(๐‘’ โˆˆ ๐‘‘, 1 , 0 )), 0 ), (๐‘Žโ€˜๐‘’))) = (๐‘’ โˆˆ ((๐‘ โˆ– {(1st โ€˜๐‘)}) ร— ๐‘) โ†ฆ if((1st โ€˜๐‘’) = (1st โ€˜๐‘), if(๐‘’ = ๐‘, 1 , 0 ), (๐‘Žโ€˜๐‘’))))
338 resmpt 5989 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((๐‘ โˆ– {(1st โ€˜๐‘)}) ร— ๐‘) โŠ† (๐‘ ร— ๐‘) โ†’ ((๐‘’ โˆˆ (๐‘ ร— ๐‘) โ†ฆ if((1st โ€˜๐‘’) = (1st โ€˜๐‘), if(๐‘’ = ๐‘, 1 , 0 ), (๐‘Žโ€˜๐‘’))) โ†พ ((๐‘ โˆ– {(1st โ€˜๐‘)}) ร— ๐‘)) = (๐‘’ โˆˆ ((๐‘ โˆ– {(1st โ€˜๐‘)}) ร— ๐‘) โ†ฆ if((1st โ€˜๐‘’) = (1st โ€˜๐‘), if(๐‘’ = ๐‘, 1 , 0 ), (๐‘Žโ€˜๐‘’))))
339195, 338mp1i 13 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ โˆช {๐‘}) โŠ† (๐‘ ร— ๐‘) โˆง ๐‘Ž โˆˆ ๐ต) โ†’ ((๐‘’ โˆˆ (๐‘ ร— ๐‘) โ†ฆ if((1st โ€˜๐‘’) = (1st โ€˜๐‘), if(๐‘’ = ๐‘, 1 , 0 ), (๐‘Žโ€˜๐‘’))) โ†พ ((๐‘ โˆ– {(1st โ€˜๐‘)}) ร— ๐‘)) = (๐‘’ โˆˆ ((๐‘ โˆ– {(1st โ€˜๐‘)}) ร— ๐‘) โ†ฆ if((1st โ€˜๐‘’) = (1st โ€˜๐‘), if(๐‘’ = ๐‘, 1 , 0 ), (๐‘Žโ€˜๐‘’))))
340337, 197, 3393eqtr4d 2787 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ โˆช {๐‘}) โŠ† (๐‘ ร— ๐‘) โˆง ๐‘Ž โˆˆ ๐ต) โ†’ ((๐‘’ โˆˆ (๐‘ ร— ๐‘) โ†ฆ if((1st โ€˜๐‘’) = (1st โ€˜๐‘), if(๐‘’ = ๐‘, ((๐‘Žโ€˜๐‘’)(-gโ€˜๐‘…)if(๐‘’ โˆˆ ๐‘‘, 1 , 0 )), 0 ), (๐‘Žโ€˜๐‘’))) โ†พ ((๐‘ โˆ– {(1st โ€˜๐‘)}) ร— ๐‘)) = ((๐‘’ โˆˆ (๐‘ ร— ๐‘) โ†ฆ if((1st โ€˜๐‘’) = (1st โ€˜๐‘), if(๐‘’ = ๐‘, 1 , 0 ), (๐‘Žโ€˜๐‘’))) โ†พ ((๐‘ โˆ– {(1st โ€˜๐‘)}) ร— ๐‘)))
341131, 133ifcld 4530 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ โˆช {๐‘}) โŠ† (๐‘ ร— ๐‘) โˆง ๐‘Ž โˆˆ ๐ต) โ†’ if(๐‘’ = ๐‘, 1 , 0 ) โˆˆ ๐พ)
342341adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ โˆช {๐‘}) โŠ† (๐‘ ร— ๐‘) โˆง ๐‘Ž โˆˆ ๐ต) โˆง ๐‘’ โˆˆ (๐‘ ร— ๐‘)) โ†’ if(๐‘’ = ๐‘, 1 , 0 ) โˆˆ ๐พ)
343342, 211ifcld 4530 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ โˆช {๐‘}) โŠ† (๐‘ ร— ๐‘) โˆง ๐‘Ž โˆˆ ๐ต) โˆง ๐‘’ โˆˆ (๐‘ ร— ๐‘)) โ†’ if((1st โ€˜๐‘’) = (1st โ€˜๐‘), if(๐‘’ = ๐‘, 1 , 0 ), (๐‘Žโ€˜๐‘’)) โˆˆ ๐พ)
344343fmpttd 7059 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ โˆช {๐‘}) โŠ† (๐‘ ร— ๐‘) โˆง ๐‘Ž โˆˆ ๐ต) โ†’ (๐‘’ โˆˆ (๐‘ ร— ๐‘) โ†ฆ if((1st โ€˜๐‘’) = (1st โ€˜๐‘), if(๐‘’ = ๐‘, 1 , 0 ), (๐‘Žโ€˜๐‘’))):(๐‘ ร— ๐‘)โŸถ๐พ)
345 elmapg 8736 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((๐พ โˆˆ V โˆง (๐‘ ร— ๐‘) โˆˆ Fin) โ†’ ((๐‘’ โˆˆ (๐‘ ร— ๐‘) โ†ฆ if((1st โ€˜๐‘’) = (1st โ€˜๐‘), if(๐‘’ = ๐‘, 1 , 0 ), (๐‘Žโ€˜๐‘’))) โˆˆ (๐พ โ†‘m (๐‘ ร— ๐‘)) โ†” (๐‘’ โˆˆ (๐‘ ร— ๐‘) โ†ฆ if((1st โ€˜๐‘’) = (1st โ€˜๐‘), if(๐‘’ = ๐‘, 1 , 0 ), (๐‘Žโ€˜๐‘’))):(๐‘ ร— ๐‘)โŸถ๐พ))
346214, 216, 345sylancr 587 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ โˆช {๐‘}) โŠ† (๐‘ ร— ๐‘) โˆง ๐‘Ž โˆˆ ๐ต) โ†’ ((๐‘’ โˆˆ (๐‘ ร— ๐‘) โ†ฆ if((1st โ€˜๐‘’) = (1st โ€˜๐‘), if(๐‘’ = ๐‘, 1 , 0 ), (๐‘Žโ€˜๐‘’))) โˆˆ (๐พ โ†‘m (๐‘ ร— ๐‘)) โ†” (๐‘’ โˆˆ (๐‘ ร— ๐‘) โ†ฆ if((1st โ€˜๐‘’) = (1st โ€˜๐‘), if(๐‘’ = ๐‘, 1 , 0 ), (๐‘Žโ€˜๐‘’))):(๐‘ ร— ๐‘)โŸถ๐พ))
347344, 346mpbird 256 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ โˆช {๐‘}) โŠ† (๐‘ ร— ๐‘) โˆง ๐‘Ž โˆˆ ๐ต) โ†’ (๐‘’ โˆˆ (๐‘ ร— ๐‘) โ†ฆ if((1st โ€˜๐‘’) = (1st โ€˜๐‘), if(๐‘’ = ๐‘, 1 , 0 ), (๐‘Žโ€˜๐‘’))) โˆˆ (๐พ โ†‘m (๐‘ ร— ๐‘)))
348347, 222eleqtrd 2840 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ โˆช {๐‘}) โŠ† (๐‘ ร— ๐‘) โˆง ๐‘Ž โˆˆ ๐ต) โ†’ (๐‘’ โˆˆ (๐‘ ร— ๐‘) โ†ฆ if((1st โ€˜๐‘’) = (1st โ€˜๐‘), if(๐‘’ = ๐‘, 1 , 0 ), (๐‘Žโ€˜๐‘’))) โˆˆ ๐ต)
349563ad2ant1 1133 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ โˆช {๐‘}) โŠ† (๐‘ ร— ๐‘) โˆง ๐‘Ž โˆˆ ๐ต) โ†’ โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐พ โˆ€๐‘ง โˆˆ ๐ต โˆ€๐‘ค โˆˆ ๐‘ (((๐‘ฅ โ†พ ({๐‘ค} ร— ๐‘)) = ((({๐‘ค} ร— ๐‘) ร— {๐‘ฆ}) โˆ˜f ยท (๐‘ง โ†พ ({๐‘ค} ร— ๐‘))) โˆง (๐‘ฅ โ†พ ((๐‘ โˆ– {๐‘ค}) ร— ๐‘)) = (๐‘ง โ†พ ((๐‘ โˆ– {๐‘ค}) ร— ๐‘))) โ†’ (๐ทโ€˜๐‘ฅ) = (๐‘ฆ ยท (๐ทโ€˜๐‘ง))))
350 reseq1 5929 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (๐‘ฅ = (๐‘’ โˆˆ (๐‘ ร— ๐‘) โ†ฆ if((1st โ€˜๐‘’) = (1st โ€˜๐‘), if(๐‘’ = ๐‘, ((๐‘Žโ€˜๐‘’)(-gโ€˜๐‘…)if(๐‘’ โˆˆ ๐‘‘, 1 , 0 )), 0 ), (๐‘Žโ€˜๐‘’))) โ†’ (๐‘ฅ โ†พ ({๐‘ค} ร— ๐‘)) = ((๐‘’ โˆˆ (๐‘ ร— ๐‘) โ†ฆ if((1st โ€˜๐‘’) = (1st โ€˜๐‘), if(๐‘’ = ๐‘, ((๐‘Žโ€˜๐‘’)(-gโ€˜๐‘…)if(๐‘’ โˆˆ ๐‘‘, 1 , 0 )), 0 ), (๐‘Žโ€˜๐‘’))) โ†พ ({๐‘ค} ร— ๐‘)))
351350eqeq1d 2739 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (๐‘ฅ = (๐‘’ โˆˆ (๐‘ ร— ๐‘) โ†ฆ if((1st โ€˜๐‘’) = (1st โ€˜๐‘), if(๐‘’ = ๐‘, ((๐‘Žโ€˜๐‘’)(-gโ€˜๐‘…)if(๐‘’ โˆˆ ๐‘‘, 1 , 0 )), 0 ), (๐‘Žโ€˜๐‘’))) โ†’ ((๐‘ฅ โ†พ ({๐‘ค} ร— ๐‘)) = ((({๐‘ค} ร— ๐‘) ร— {๐‘ฆ}) โˆ˜f ยท (๐‘ง โ†พ ({๐‘ค} ร— ๐‘))) โ†” ((๐‘’ โˆˆ (๐‘ ร— ๐‘) โ†ฆ if((1st โ€˜๐‘’) = (1st โ€˜๐‘), if(๐‘’ = ๐‘, ((๐‘Žโ€˜๐‘’)(-gโ€˜๐‘…)if(๐‘’ โˆˆ ๐‘‘, 1 , 0 )), 0 ), (๐‘Žโ€˜๐‘’))) โ†พ ({๐‘ค} ร— ๐‘)) = ((({๐‘ค} ร— ๐‘) ร— {๐‘ฆ}) โˆ˜f ยท (๐‘ง โ†พ ({๐‘ค} ร— ๐‘)))))
352 reseq1 5929 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (๐‘ฅ = (๐‘’ โˆˆ (๐‘ ร— ๐‘) โ†ฆ if((1st โ€˜๐‘’) = (1st โ€˜๐‘), if(๐‘’ = ๐‘, ((๐‘Žโ€˜๐‘’)(-gโ€˜๐‘…)if(๐‘’ โˆˆ ๐‘‘, 1 , 0 )), 0 ), (๐‘Žโ€˜๐‘’))) โ†’ (๐‘ฅ โ†พ ((๐‘ โˆ– {๐‘ค}) ร— ๐‘)) = ((๐‘’ โˆˆ (๐‘ ร— ๐‘) โ†ฆ if((1st โ€˜๐‘’) = (1st โ€˜๐‘), if(๐‘’ = ๐‘, ((๐‘Žโ€˜๐‘’)(-gโ€˜๐‘…)if(๐‘’ โˆˆ ๐‘‘, 1 , 0 )), 0 ), (๐‘Žโ€˜๐‘’))) โ†พ ((๐‘ โˆ– {๐‘ค}) ร— ๐‘)))
353352eqeq1d 2739 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (๐‘ฅ = (๐‘’ โˆˆ (๐‘ ร— ๐‘) โ†ฆ if((1st โ€˜๐‘’) = (1st โ€˜๐‘), if(๐‘’ = ๐‘, ((๐‘Žโ€˜๐‘’)(-gโ€˜๐‘…)if(๐‘’ โˆˆ ๐‘‘, 1 , 0 )), 0 ), (๐‘Žโ€˜๐‘’))) โ†’ ((๐‘ฅ โ†พ ((๐‘ โˆ– {๐‘ค}) ร— ๐‘)) = (๐‘ง โ†พ ((๐‘ โˆ– {๐‘ค}) ร— ๐‘)) โ†” ((๐‘’ โˆˆ (๐‘ ร— ๐‘) โ†ฆ if((1st โ€˜๐‘’) = (1st โ€˜๐‘), if(๐‘’ = ๐‘, ((๐‘Žโ€˜๐‘’)(-gโ€˜๐‘…)if(๐‘’ โˆˆ ๐‘‘, 1 , 0 )), 0 ), (๐‘Žโ€˜๐‘’))) โ†พ ((๐‘ โˆ– {๐‘ค}) ร— ๐‘)) = (๐‘ง โ†พ ((๐‘ โˆ– {๐‘ค}) ร— ๐‘))))
354351, 353anbi12d 631 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (๐‘ฅ = (๐‘’ โˆˆ (๐‘ ร— ๐‘) โ†ฆ if((1st โ€˜๐‘’) = (1st โ€˜๐‘), if(๐‘’ = ๐‘, ((๐‘Žโ€˜๐‘’)(-gโ€˜๐‘…)if(๐‘’ โˆˆ ๐‘‘, 1 , 0 )), 0 ), (๐‘Žโ€˜๐‘’))) โ†’ (((๐‘ฅ โ†พ ({๐‘ค} ร— ๐‘)) = ((({๐‘ค} ร— ๐‘) ร— {๐‘ฆ}) โˆ˜f ยท (๐‘ง โ†พ ({๐‘ค} ร— ๐‘))) โˆง (๐‘ฅ โ†พ ((๐‘ โˆ– {๐‘ค}) ร— ๐‘)) = (๐‘ง โ†พ ((๐‘ โˆ– {๐‘ค}) ร— ๐‘))) โ†” (((๐‘’ โˆˆ (๐‘ ร— ๐‘) โ†ฆ if((1st โ€˜๐‘’) = (1st โ€˜๐‘), if(๐‘’ = ๐‘, ((๐‘Žโ€˜๐‘’)(-gโ€˜๐‘…)if(๐‘’ โˆˆ ๐‘‘, 1 , 0 )), 0 ), (๐‘Žโ€˜๐‘’))) โ†พ ({๐‘ค} ร— ๐‘)) = ((({๐‘ค} ร— ๐‘) ร— {๐‘ฆ}) โˆ˜f ยท (๐‘ง โ†พ ({๐‘ค} ร— ๐‘))) โˆง ((๐‘’ โˆˆ (๐‘ ร— ๐‘) โ†ฆ if((1st โ€˜๐‘’) = (1st โ€˜๐‘), if(๐‘’ = ๐‘, ((๐‘Žโ€˜๐‘’)(-gโ€˜๐‘…)if(๐‘’ โˆˆ ๐‘‘, 1 , 0 )), 0 ), (๐‘Žโ€˜๐‘’))) โ†พ ((๐‘ โˆ– {๐‘ค}) ร— ๐‘)) = (๐‘ง โ†พ ((๐‘ โˆ– {๐‘ค}) ร— ๐‘)))))
355 fveqeq2 6848 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (๐‘ฅ = (๐‘’ โˆˆ (๐‘ ร— ๐‘) โ†ฆ if((1st โ€˜๐‘’) = (1st โ€˜๐‘), if(๐‘’ = ๐‘, ((๐‘Žโ€˜๐‘’)(-gโ€˜๐‘…)if(๐‘’ โˆˆ ๐‘‘, 1 , 0 )), 0 ), (๐‘Žโ€˜๐‘’))) โ†’ ((๐ทโ€˜๐‘ฅ) = (๐‘ฆ ยท (๐ทโ€˜๐‘ง)) โ†” (๐ทโ€˜(๐‘’ โˆˆ (๐‘ ร— ๐‘) โ†ฆ if((1st โ€˜๐‘’) = (1st โ€˜๐‘), if(๐‘’ = ๐‘, ((๐‘Žโ€˜๐‘’)(-gโ€˜๐‘…)if(๐‘’ โˆˆ ๐‘‘, 1 , 0 )), 0 ), (๐‘Žโ€˜๐‘’)))) = (๐‘ฆ ยท (๐ทโ€˜๐‘ง))))
356354, 355imbi12d 344 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (๐‘ฅ = (๐‘’ โˆˆ (๐‘ ร— ๐‘) โ†ฆ if((1st โ€˜๐‘’) = (1st โ€˜๐‘), if(๐‘’ = ๐‘, ((๐‘Žโ€˜๐‘’)(-gโ€˜๐‘…)if(๐‘’ โˆˆ ๐‘‘, 1 , 0 )), 0 ), (๐‘Žโ€˜๐‘’))) โ†’ ((((๐‘ฅ โ†พ ({๐‘ค} ร— ๐‘)) = ((({๐‘ค} ร— ๐‘) ร— {๐‘ฆ}) โˆ˜f ยท (๐‘ง โ†พ ({๐‘ค} ร— ๐‘))) โˆง (๐‘ฅ โ†พ ((๐‘ โˆ– {๐‘ค}) ร— ๐‘)) = (๐‘ง โ†พ ((๐‘ โˆ– {๐‘ค}) ร— ๐‘))) โ†’ (๐ทโ€˜๐‘ฅ) = (๐‘ฆ ยท (๐ทโ€˜๐‘ง))) โ†” ((((๐‘’ โˆˆ (๐‘ ร— ๐‘) โ†ฆ if((1st โ€˜๐‘’) = (1st โ€˜๐‘), if(๐‘’ = ๐‘, ((๐‘Žโ€˜๐‘’)(-gโ€˜๐‘…)if(๐‘’ โˆˆ ๐‘‘, 1 , 0 )), 0 ), (๐‘Žโ€˜๐‘’))) โ†พ ({๐‘ค} ร— ๐‘)) = ((({๐‘ค} ร— ๐‘) ร— {๐‘ฆ}) โˆ˜f ยท (๐‘ง โ†พ ({๐‘ค} ร— ๐‘))) โˆง ((๐‘’ โˆˆ (๐‘ ร— ๐‘) โ†ฆ if((1st โ€˜๐‘’) = (1st โ€˜๐‘), if(๐‘’ = ๐‘, ((๐‘Žโ€˜๐‘’)(-gโ€˜๐‘…)if(๐‘’ โˆˆ ๐‘‘, 1 , 0 )), 0 ), (๐‘Žโ€˜๐‘’))) โ†พ ((๐‘ โˆ– {๐‘ค}) ร— ๐‘)) = (๐‘ง โ†พ ((๐‘ โˆ– {๐‘ค}) ร— ๐‘))) โ†’ (๐ทโ€˜(๐‘’ โˆˆ (๐‘ ร— ๐‘) โ†ฆ if((1st โ€˜๐‘’) = (1st โ€˜๐‘), if(๐‘’ = ๐‘, ((๐‘Žโ€˜๐‘’)(-gโ€˜๐‘…)if(๐‘’ โˆˆ ๐‘‘, 1 , 0 )), 0 ), (๐‘Žโ€˜๐‘’)))) = (๐‘ฆ ยท (๐ทโ€˜๐‘ง)))))
3573562ralbidv 3210 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (๐‘ฅ = (๐‘’ โˆˆ (๐‘ ร— ๐‘) โ†ฆ if((1st โ€˜๐‘’) = (1st โ€˜๐‘), if(๐‘’ = ๐‘, ((๐‘Žโ€˜๐‘’)(-gโ€˜๐‘…)if(๐‘’ โˆˆ ๐‘‘, 1 , 0 )), 0 ), (๐‘Žโ€˜๐‘’))) โ†’ (โˆ€๐‘ง โˆˆ ๐ต โˆ€๐‘ค โˆˆ ๐‘ (((๐‘ฅ โ†พ ({๐‘ค} ร— ๐‘)) = ((({๐‘ค} ร— ๐‘) ร— {๐‘ฆ}) โˆ˜f ยท (๐‘ง โ†พ ({๐‘ค} ร— ๐‘))) โˆง (๐‘ฅ โ†พ ((๐‘ โˆ– {๐‘ค}) ร— ๐‘)) = (๐‘ง โ†พ ((๐‘ โˆ– {๐‘ค}) ร— ๐‘))) โ†’ (๐ทโ€˜๐‘ฅ) = (๐‘ฆ ยท (๐ทโ€˜๐‘ง))) โ†” โˆ€๐‘ง โˆˆ ๐ต โˆ€๐‘ค โˆˆ ๐‘ ((((๐‘’ โˆˆ (๐‘ ร— ๐‘) โ†ฆ if((1st โ€˜๐‘’) = (1st โ€˜๐‘), if(๐‘’ = ๐‘, ((๐‘Žโ€˜๐‘’)(-gโ€˜๐‘…)if(๐‘’ โˆˆ ๐‘‘, 1 , 0 )), 0 ), (๐‘Žโ€˜๐‘’))) โ†พ ({๐‘ค} ร— ๐‘)) = ((({๐‘ค} ร— ๐‘) ร— {๐‘ฆ}) โˆ˜f ยท (๐‘ง โ†พ ({๐‘ค} ร— ๐‘))) โˆง ((๐‘’ โˆˆ (๐‘ ร— ๐‘) โ†ฆ if((1st โ€˜๐‘’) = (1st โ€˜๐‘), if(๐‘’ = ๐‘, ((๐‘Žโ€˜๐‘’)(-gโ€˜๐‘…)if(๐‘’ โˆˆ ๐‘‘, 1 , 0 )), 0 ), (๐‘Žโ€˜๐‘’))) โ†พ ((๐‘ โˆ– {๐‘ค}) ร— ๐‘)) = (๐‘ง โ†พ ((๐‘ โˆ– {๐‘ค}) ร— ๐‘))) โ†’ (๐ทโ€˜(๐‘’ โˆˆ (๐‘ ร— ๐‘) โ†ฆ if((1st โ€˜๐‘’) = (1st โ€˜๐‘), if(๐‘’ = ๐‘, ((๐‘Žโ€˜๐‘’)(-gโ€˜๐‘…)if(๐‘’ โˆˆ ๐‘‘, 1 , 0 )), 0 ), (๐‘Žโ€˜๐‘’)))) = (๐‘ฆ ยท (๐ทโ€˜๐‘ง)))))
358 sneq 4594 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (๐‘ฆ = ((๐‘Žโ€˜๐‘)(-gโ€˜๐‘…)if(๐‘ โˆˆ ๐‘‘, 1 , 0 )) โ†’ {๐‘ฆ} = {((๐‘Žโ€˜๐‘)(-gโ€˜๐‘…)if(๐‘ โˆˆ ๐‘‘, 1 , 0 ))})
359358xpeq2d 5661 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (๐‘ฆ = ((๐‘Žโ€˜๐‘)(-gโ€˜๐‘…)if(๐‘ โˆˆ ๐‘‘, 1 , 0 )) โ†’ (({๐‘ค} ร— ๐‘) ร— {๐‘ฆ}) = (({๐‘ค} ร— ๐‘) ร— {((๐‘Žโ€˜๐‘)(-gโ€˜๐‘…)if(๐‘ โˆˆ ๐‘‘, 1 , 0 ))}))
360359oveq1d 7366 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (๐‘ฆ = ((๐‘Žโ€˜๐‘)(-gโ€˜๐‘…)if(๐‘ โˆˆ ๐‘‘, 1 , 0 )) โ†’ ((({๐‘ค} ร— ๐‘) ร— {๐‘ฆ}) โˆ˜f ยท (๐‘ง โ†พ ({๐‘ค} ร— ๐‘))) = ((({๐‘ค} ร— ๐‘) ร— {((๐‘Žโ€˜๐‘)(-gโ€˜๐‘…)if(๐‘ โˆˆ ๐‘‘, 1 , 0 ))}) โˆ˜f ยท (๐‘ง โ†พ ({๐‘ค} ร— ๐‘))))
361360eqeq2d 2748 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (๐‘ฆ = ((๐‘Žโ€˜๐‘)(-gโ€˜๐‘…)if(๐‘ โˆˆ ๐‘‘, 1 , 0 )) โ†’ (((๐‘’ โˆˆ (๐‘ ร— ๐‘) โ†ฆ if((1st โ€˜๐‘’) = (1st โ€˜๐‘), if(๐‘’ = ๐‘, ((๐‘Žโ€˜๐‘’)(-gโ€˜๐‘…)if(๐‘’ โˆˆ ๐‘‘, 1 , 0 )), 0 ), (๐‘Žโ€˜๐‘’))) โ†พ ({๐‘ค} ร— ๐‘)) = ((({๐‘ค} ร— ๐‘) ร— {๐‘ฆ}) โˆ˜f ยท (๐‘ง โ†พ ({๐‘ค} ร— ๐‘))) โ†” ((๐‘’ โˆˆ (๐‘ ร— ๐‘) โ†ฆ if((1st โ€˜๐‘’) = (1st โ€˜๐‘), if(๐‘’ = ๐‘, ((๐‘Žโ€˜๐‘’)(-gโ€˜๐‘…)if(๐‘’ โˆˆ ๐‘‘, 1 , 0 )), 0 ), (๐‘Žโ€˜๐‘’))) โ†พ ({๐‘ค} ร— ๐‘)) = ((({๐‘ค} ร— ๐‘) ร— {((๐‘Žโ€˜๐‘)(-gโ€˜๐‘…)if(๐‘ โˆˆ ๐‘‘, 1 , 0 ))}) โˆ˜f ยท (๐‘ง โ†พ ({๐‘ค} ร— ๐‘)))))
362361anbi1d 630 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (๐‘ฆ = ((๐‘Žโ€˜๐‘)(-gโ€˜๐‘…)if(๐‘ โˆˆ ๐‘‘, 1 , 0 )) โ†’ ((((๐‘’ โˆˆ (๐‘ ร— ๐‘) โ†ฆ if((1st โ€˜๐‘’) = (1st โ€˜๐‘), if(๐‘’ = ๐‘, ((๐‘Žโ€˜๐‘’)(-gโ€˜๐‘…)if(๐‘’ โˆˆ ๐‘‘, 1 , 0 )), 0 ), (๐‘Žโ€˜๐‘’))) โ†พ ({๐‘ค} ร— ๐‘)) = ((({๐‘ค} ร— ๐‘) ร— {๐‘ฆ}) โˆ˜f ยท (๐‘ง โ†พ ({๐‘ค} ร— ๐‘))) โˆง ((๐‘’ โˆˆ (๐‘ ร— ๐‘) โ†ฆ if((1st โ€˜๐‘’) = (1st โ€˜๐‘), if(๐‘’ = ๐‘, ((๐‘Žโ€˜๐‘’)(-gโ€˜๐‘…)if(๐‘’ โˆˆ ๐‘‘, 1 , 0 )), 0 ), (๐‘Žโ€˜๐‘’))) โ†พ ((๐‘ โˆ– {๐‘ค}) ร— ๐‘)) = (๐‘ง โ†พ ((๐‘ โˆ– {๐‘ค}) ร— ๐‘))) โ†” (((๐‘’ โˆˆ (๐‘ ร— ๐‘) โ†ฆ if((1st โ€˜๐‘’) = (1st โ€˜๐‘), if(๐‘’ = ๐‘, ((๐‘Žโ€˜๐‘’)(-gโ€˜๐‘…)if(๐‘’ โˆˆ ๐‘‘, 1 , 0 )), 0 ), (๐‘Žโ€˜๐‘’))) โ†พ ({๐‘ค} ร— ๐‘)) = ((({๐‘ค} ร— ๐‘) ร— {((๐‘Žโ€˜๐‘)(-gโ€˜๐‘…)if(๐‘ โˆˆ ๐‘‘, 1 , 0 ))}) โˆ˜f ยท (๐‘ง โ†พ ({๐‘ค} ร— ๐‘))) โˆง ((๐‘’ โˆˆ (๐‘ ร— ๐‘) โ†ฆ if((1st โ€˜๐‘’) = (1st โ€˜๐‘), if(๐‘’ = ๐‘, ((๐‘Žโ€˜๐‘’)(-gโ€˜๐‘…)if(๐‘’ โˆˆ ๐‘‘, 1 , 0 )), 0 ), (๐‘Žโ€˜๐‘’))) โ†พ ((๐‘ โˆ– {๐‘ค}) ร— ๐‘)) = (๐‘ง โ†พ ((๐‘ โˆ– {๐‘ค}) ร— ๐‘)))))
363 oveq1 7358 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (๐‘ฆ = ((๐‘Žโ€˜๐‘)(-gโ€˜๐‘…)if(๐‘ โˆˆ ๐‘‘, 1 , 0 )) โ†’ (๐‘ฆ ยท (๐ทโ€˜๐‘ง)) = (((๐‘Žโ€˜๐‘)(-gโ€˜๐‘…)if(๐‘ โˆˆ ๐‘‘, 1 , 0 )) ยท (๐ทโ€˜๐‘ง)))
364363eqeq2d 2748 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (๐‘ฆ = ((๐‘Žโ€˜๐‘)(-gโ€˜๐‘…)if(๐‘ โˆˆ ๐‘‘, 1 , 0 )) โ†’ ((๐ทโ€˜(๐‘’ โˆˆ (๐‘ ร— ๐‘) โ†ฆ if((1st โ€˜๐‘’) = (1st โ€˜๐‘), if(๐‘’ = ๐‘, ((๐‘Žโ€˜๐‘’)(-gโ€˜๐‘…)if(๐‘’ โˆˆ ๐‘‘, 1 , 0 )), 0 ), (๐‘Žโ€˜๐‘’)))) = (๐‘ฆ ยท (๐ทโ€˜๐‘ง)) โ†” (๐ทโ€˜(๐‘’ โˆˆ (๐‘ ร— ๐‘) โ†ฆ if((1st โ€˜๐‘’) = (1st โ€˜๐‘), if(๐‘’ = ๐‘, ((๐‘Žโ€˜๐‘’)(-gโ€˜๐‘…)if(๐‘’ โˆˆ ๐‘‘, 1 , 0 )), 0 ), (๐‘Žโ€˜๐‘’)))) = (((๐‘Žโ€˜๐‘)(-gโ€˜๐‘…)if(๐‘ โˆˆ ๐‘‘, 1 , 0 )) ยท (๐ทโ€˜๐‘ง))))
365362, 364imbi12d 344 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (๐‘ฆ = ((๐‘Žโ€˜๐‘)(-gโ€˜๐‘…)if(๐‘ โˆˆ ๐‘‘, 1 , 0 )) โ†’ (((((๐‘’ โˆˆ (๐‘ ร— ๐‘) โ†ฆ if((1st โ€˜๐‘’) = (1st โ€˜๐‘), if(๐‘’ = ๐‘, ((๐‘Žโ€˜๐‘’)(-gโ€˜๐‘…)if(๐‘’ โˆˆ ๐‘‘, 1 , 0 )), 0 ), (๐‘Žโ€˜๐‘’))) โ†พ ({๐‘ค} ร— ๐‘)) = ((({๐‘ค} ร— ๐‘) ร— {๐‘ฆ}) โˆ˜f ยท (๐‘ง โ†พ ({๐‘ค} ร— ๐‘))) โˆง ((๐‘’ โˆˆ (๐‘ ร— ๐‘) โ†ฆ if((1st โ€˜๐‘’) = (1st โ€˜๐‘), if(๐‘’ = ๐‘, ((๐‘Žโ€˜๐‘’)(-gโ€˜๐‘…)if(๐‘’ โˆˆ ๐‘‘, 1 , 0 )), 0 ), (๐‘Žโ€˜๐‘’))) โ†พ ((๐‘ โˆ– {๐‘ค}) ร— ๐‘)) = (๐‘ง โ†พ ((๐‘ โˆ– {๐‘ค}) ร— ๐‘))) โ†’ (๐ทโ€˜(๐‘’ โˆˆ (๐‘ ร— ๐‘) โ†ฆ if((1st โ€˜๐‘’) = (1st โ€˜๐‘), if(๐‘’ = ๐‘, ((๐‘Žโ€˜๐‘’)(-gโ€˜๐‘…)if(๐‘’ โˆˆ ๐‘‘, 1 , 0 )), 0 ), (๐‘Žโ€˜๐‘’)))) = (๐‘ฆ ยท (๐ทโ€˜๐‘ง))) โ†” ((((๐‘’ โˆˆ (๐‘ ร— ๐‘) โ†ฆ if((1st โ€˜๐‘’) = (1st โ€˜๐‘), if(๐‘’ = ๐‘, ((๐‘Žโ€˜๐‘’)(-gโ€˜๐‘…)if(๐‘’ โˆˆ ๐‘‘, 1 , 0 )), 0 ), (๐‘Žโ€˜๐‘’))) โ†พ ({๐‘ค} ร— ๐‘)) = ((({๐‘ค} ร— ๐‘) ร— {((๐‘Žโ€˜๐‘)(-gโ€˜๐‘…)if(๐‘ โˆˆ ๐‘‘, 1 , 0 ))}) โˆ˜f ยท (๐‘ง โ†พ ({๐‘ค} ร— ๐‘))) โˆง ((๐‘’ โˆˆ (๐‘ ร— ๐‘) โ†ฆ if((1st โ€˜๐‘’) = (1st โ€˜๐‘), if(๐‘’ = ๐‘, ((๐‘Žโ€˜๐‘’)(-gโ€˜๐‘…)if(๐‘’ โˆˆ ๐‘‘, 1 , 0 )), 0 ), (๐‘Žโ€˜๐‘’))) โ†พ ((๐‘ โˆ– {๐‘ค}) ร— ๐‘)) = (๐‘ง โ†พ ((๐‘ โˆ– {๐‘ค}) ร— ๐‘))) โ†’ (๐ทโ€˜(๐‘’ โˆˆ (๐‘ ร— ๐‘) โ†ฆ if((1st โ€˜๐‘’) = (1st โ€˜๐‘), if(๐‘’ = ๐‘, ((๐‘Žโ€˜๐‘’)(-gโ€˜๐‘…)if(๐‘’ โˆˆ ๐‘‘, 1 , 0 )), 0 ), (๐‘Žโ€˜๐‘’)))) = (((๐‘Žโ€˜๐‘)(-gโ€˜๐‘…)if(๐‘ โˆˆ ๐‘‘, 1 , 0 )) ยท (๐ทโ€˜๐‘ง)))))
3663652ralbidv 3210 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (๐‘ฆ = ((๐‘Žโ€˜๐‘)(-gโ€˜๐‘…)if(๐‘ โˆˆ ๐‘‘, 1 , 0 )) โ†’ (โˆ€๐‘ง โˆˆ ๐ต โˆ€๐‘ค โˆˆ ๐‘ ((((๐‘’ โˆˆ (๐‘ ร— ๐‘) โ†ฆ if((1st โ€˜๐‘’) = (1st โ€˜๐‘), if(๐‘’ = ๐‘, ((๐‘Žโ€˜๐‘’)(-gโ€˜๐‘…)if(๐‘’ โˆˆ ๐‘‘, 1 , 0 )), 0 ), (๐‘Žโ€˜๐‘’))) โ†พ ({๐‘ค} ร— ๐‘)) = ((({๐‘ค} ร— ๐‘) ร— {๐‘ฆ}) โˆ˜f ยท (๐‘ง โ†พ ({๐‘ค} ร— ๐‘))) โˆง ((๐‘’ โˆˆ (๐‘ ร— ๐‘) โ†ฆ if((1st โ€˜๐‘’) = (1st โ€˜๐‘), if(๐‘’ = ๐‘, ((๐‘Žโ€˜๐‘’)(-gโ€˜๐‘…)if(๐‘’ โˆˆ ๐‘‘, 1 , 0 )), 0 ), (๐‘Žโ€˜๐‘’))) โ†พ ((๐‘ โˆ– {๐‘ค}) ร— ๐‘)) = (๐‘ง โ†พ ((๐‘ โˆ– {๐‘ค}) ร— ๐‘))) โ†’ (๐ทโ€˜(๐‘’ โˆˆ (๐‘ ร— ๐‘) โ†ฆ if((1st โ€˜๐‘’) = (1st โ€˜๐‘), if(๐‘’ = ๐‘, ((๐‘Žโ€˜๐‘’)(-gโ€˜๐‘…)if(๐‘’ โˆˆ ๐‘‘, 1 , 0 )), 0 ), (๐‘Žโ€˜๐‘’)))) = (๐‘ฆ ยท (๐ทโ€˜๐‘ง))) โ†” โˆ€๐‘ง โˆˆ ๐ต โˆ€๐‘ค โˆˆ ๐‘ ((((๐‘’ โˆˆ (๐‘ ร— ๐‘) โ†ฆ if((1st โ€˜๐‘’) = (1st โ€˜๐‘), if(๐‘’ = ๐‘, ((๐‘Žโ€˜๐‘’)(-gโ€˜๐‘…)if(๐‘’ โˆˆ ๐‘‘, 1 , 0 )), 0 ), (๐‘Žโ€˜๐‘’))) โ†พ ({๐‘ค} ร— ๐‘)) = ((({๐‘ค} ร— ๐‘) ร— {((๐‘Žโ€˜๐‘)(-gโ€˜๐‘…)if(๐‘ โˆˆ ๐‘‘, 1 , 0 ))}) โˆ˜f ยท (๐‘ง โ†พ ({๐‘ค} ร— ๐‘))) โˆง ((๐‘’ โˆˆ (๐‘ ร— ๐‘) โ†ฆ if((1st โ€˜๐‘’) = (1st โ€˜๐‘), if(๐‘’ = ๐‘, ((๐‘Žโ€˜๐‘’)(-gโ€˜๐‘…)if(๐‘’ โˆˆ ๐‘‘, 1 , 0 )), 0 ), (๐‘Žโ€˜๐‘’))) โ†พ ((๐‘ โˆ– {๐‘ค}) ร— ๐‘)) = (๐‘ง โ†พ ((๐‘ โˆ– {๐‘ค}) ร— ๐‘))) โ†’ (๐ทโ€˜(๐‘’ โˆˆ (๐‘ ร— ๐‘) โ†ฆ if((1st โ€˜๐‘’) = (1st โ€˜๐‘), if(๐‘’ = ๐‘, ((๐‘Žโ€˜๐‘’)(-gโ€˜๐‘…)if(๐‘’ โˆˆ ๐‘‘, 1 , 0 )), 0 ), (๐‘Žโ€˜๐‘’)))) = (((๐‘Žโ€˜๐‘)(-gโ€˜๐‘…)if(๐‘ โˆˆ ๐‘‘, 1 , 0 )) ยท (๐ทโ€˜๐‘ง)))))
367357, 366rspc2va 3589 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((((๐‘’ โˆˆ (๐‘ ร— ๐‘) โ†ฆ if((1st โ€˜๐‘’) = (1st โ€˜๐‘), if(๐‘’ = ๐‘, ((๐‘Žโ€˜๐‘’)(-gโ€˜๐‘…)if(๐‘’ โˆˆ ๐‘‘, 1 , 0 )), 0 ), (๐‘Žโ€˜๐‘’))) โˆˆ ๐ต โˆง ((๐‘Žโ€˜๐‘)(-gโ€˜๐‘…)if(๐‘ โˆˆ ๐‘‘, 1 , 0 )) โˆˆ ๐พ) โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐พ โˆ€๐‘ง โˆˆ ๐ต โˆ€๐‘ค โˆˆ ๐‘ (((๐‘ฅ โ†พ ({๐‘ค} ร— ๐‘)) = ((({๐‘ค} ร— ๐‘) ร— {๐‘ฆ}) โˆ˜f ยท (๐‘ง โ†พ ({๐‘ค} ร— ๐‘))) โˆง (๐‘ฅ โ†พ ((๐‘ โˆ– {๐‘ค}) ร— ๐‘)) = (๐‘ง โ†พ ((๐‘ โˆ– {๐‘ค}) ร— ๐‘))) โ†’ (๐ทโ€˜๐‘ฅ) = (๐‘ฆ ยท (๐ทโ€˜๐‘ง)))) โ†’ โˆ€๐‘ง โˆˆ ๐ต โˆ€๐‘ค โˆˆ ๐‘ ((((๐‘’ โˆˆ (๐‘ ร— ๐‘) โ†ฆ if((1st โ€˜๐‘’) = (1st โ€˜๐‘), if(๐‘’ = ๐‘, ((๐‘Žโ€˜๐‘’)(-gโ€˜๐‘…)if(๐‘’ โˆˆ ๐‘‘, 1 , 0 )), 0 ), (๐‘Žโ€˜๐‘’))) โ†พ ({๐‘ค} ร— ๐‘)) = ((({๐‘ค} ร— ๐‘) ร— {((๐‘Žโ€˜๐‘)(-gโ€˜๐‘…)if(๐‘ โˆˆ ๐‘‘, 1 , 0 ))}) โˆ˜f ยท (๐‘ง โ†พ ({๐‘ค} ร— ๐‘))) โˆง ((๐‘’ โˆˆ (๐‘ ร— ๐‘) โ†ฆ if((1st โ€˜๐‘’) = (1st โ€˜๐‘), if(๐‘’ = ๐‘, ((๐‘Žโ€˜๐‘’)(-gโ€˜๐‘…)if(๐‘’ โˆˆ ๐‘‘, 1 , 0 )), 0 ), (๐‘Žโ€˜๐‘’))) โ†พ ((๐‘ โˆ– {๐‘ค}) ร— ๐‘)) = (๐‘ง โ†พ ((๐‘ โˆ– {๐‘ค}) ร— ๐‘))) โ†’ (๐ทโ€˜(๐‘’ โˆˆ (๐‘ ร— ๐‘) โ†ฆ if((1st โ€˜๐‘’) = (1st โ€˜๐‘), if(๐‘’ = ๐‘, ((๐‘Žโ€˜๐‘’)(-gโ€˜๐‘…)if(๐‘’ โˆˆ ๐‘‘, 1 , 0 )), 0 ), (๐‘Žโ€˜๐‘’)))) = (((๐‘Žโ€˜๐‘)(-gโ€˜๐‘…)if(๐‘ โˆˆ ๐‘‘, 1 , 0 )) ยท (๐ทโ€˜๐‘ง))))
368235, 297, 349, 367syl21anc 836 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ โˆช {๐‘}) โŠ† (๐‘ ร— ๐‘) โˆง ๐‘Ž โˆˆ ๐ต) โ†’ โˆ€๐‘ง โˆˆ ๐ต โˆ€๐‘ค โˆˆ ๐‘ ((((๐‘’ โˆˆ (๐‘ ร— ๐‘) โ†ฆ if((1st โ€˜๐‘’) = (1st โ€˜๐‘), if(๐‘’ = ๐‘, ((๐‘Žโ€˜๐‘’)(-gโ€˜๐‘…)if(๐‘’ โˆˆ ๐‘‘, 1 , 0 )), 0 ), (๐‘Žโ€˜๐‘’))) โ†พ ({๐‘ค} ร— ๐‘)) = ((({๐‘ค} ร— ๐‘) ร— {((๐‘Žโ€˜๐‘)(-gโ€˜๐‘…)if(๐‘ โˆˆ ๐‘‘, 1 , 0 ))}) โˆ˜f ยท (๐‘ง โ†พ ({๐‘ค} ร— ๐‘))) โˆง ((๐‘’ โˆˆ (๐‘ ร— ๐‘) โ†ฆ if((1st โ€˜๐‘’) = (1st โ€˜๐‘), if(๐‘’ = ๐‘, ((๐‘Žโ€˜๐‘’)(-gโ€˜๐‘…)if(๐‘’ โˆˆ ๐‘‘, 1 , 0 )), 0 ), (๐‘Žโ€˜๐‘’))) โ†พ ((๐‘ โˆ– {๐‘ค}) ร— ๐‘)) = (๐‘ง โ†พ ((๐‘ โˆ– {๐‘ค}) ร— ๐‘))) โ†’ (๐ทโ€˜(๐‘’ โˆˆ (๐‘ ร— ๐‘) โ†ฆ if((1st โ€˜๐‘’) = (1st โ€˜๐‘), if(๐‘’ = ๐‘, ((๐‘Žโ€˜๐‘’)(-gโ€˜๐‘…)if(๐‘’ โˆˆ ๐‘‘, 1 , 0 )), 0 ), (๐‘Žโ€˜๐‘’)))) = (((๐‘Žโ€˜๐‘)(-gโ€˜๐‘…)if(๐‘ โˆˆ ๐‘‘, 1 , 0 )) ยท (๐ทโ€˜๐‘ง))))
369 reseq1 5929 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (๐‘ง = (๐‘’ โˆˆ (๐‘ ร— ๐‘) โ†ฆ if((1st โ€˜๐‘’) = (1st โ€˜๐‘), if(๐‘’ = ๐‘, 1 , 0 ), (๐‘Žโ€˜๐‘’))) โ†’ (๐‘ง โ†พ ({๐‘ค} ร— ๐‘)) = ((๐‘’ โˆˆ (๐‘ ร— ๐‘) โ†ฆ if((1st โ€˜๐‘’) = (1st โ€˜๐‘), if(๐‘’ = ๐‘, 1 , 0 ), (๐‘Žโ€˜๐‘’))) โ†พ ({๐‘ค} ร— ๐‘)))
370369oveq2d 7367 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (๐‘ง = (๐‘’ โˆˆ (๐‘ ร— ๐‘) โ†ฆ if((1st โ€˜๐‘’) = (1st โ€˜๐‘), if(๐‘’ = ๐‘, 1 , 0 ), (๐‘Žโ€˜๐‘’))) โ†’ ((({๐‘ค} ร— ๐‘) ร— {((๐‘Žโ€˜๐‘)(-gโ€˜๐‘…)if(๐‘ โˆˆ ๐‘‘, 1 , 0 ))}) โˆ˜f ยท (๐‘ง โ†พ ({๐‘ค} ร— ๐‘))) = ((({๐‘ค} ร— ๐‘) ร— {((๐‘Žโ€˜๐‘)(-gโ€˜๐‘…)if(๐‘ โˆˆ ๐‘‘, 1 , 0 ))}) โˆ˜f ยท ((๐‘’ โˆˆ (๐‘ ร— ๐‘) โ†ฆ if((1st โ€˜๐‘’) = (1st โ€˜๐‘), if(๐‘’ = ๐‘, 1 , 0 ), (๐‘Žโ€˜๐‘’))) โ†พ ({๐‘ค} ร— ๐‘))))
371370eqeq2d 2748 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (๐‘ง = (๐‘’ โˆˆ (๐‘ ร— ๐‘) โ†ฆ if((1st โ€˜๐‘’) = (1st โ€˜๐‘), if(๐‘’ = ๐‘, 1 , 0 ), (๐‘Žโ€˜๐‘’))) โ†’ (((๐‘’ โˆˆ (๐‘ ร— ๐‘) โ†ฆ if((1st โ€˜๐‘’) = (1st โ€˜๐‘), if(๐‘’ = ๐‘, ((๐‘Žโ€˜๐‘’)(-gโ€˜๐‘…)if(๐‘’ โˆˆ ๐‘‘, 1 , 0 )), 0 ), (๐‘Žโ€˜๐‘’))) โ†พ ({๐‘ค} ร— ๐‘)) = ((({๐‘ค} ร— ๐‘) ร— {((๐‘Žโ€˜๐‘)(-gโ€˜๐‘…)if(๐‘ โˆˆ ๐‘‘, 1 , 0 ))}) โˆ˜f ยท (๐‘ง โ†พ ({๐‘ค} ร— ๐‘))) โ†” ((๐‘’ โˆˆ (๐‘ ร— ๐‘) โ†ฆ if((1st โ€˜๐‘’) = (1st โ€˜๐‘), if(๐‘’ = ๐‘, ((๐‘Žโ€˜๐‘’)(-gโ€˜๐‘…)if(๐‘’ โˆˆ ๐‘‘, 1 , 0 )), 0 ), (๐‘Žโ€˜๐‘’))) โ†พ ({๐‘ค} ร— ๐‘)) = ((({๐‘ค} ร— ๐‘) ร— {((๐‘Žโ€˜๐‘)(-gโ€˜๐‘…)if(๐‘ โˆˆ ๐‘‘, 1 , 0 ))}) โˆ˜f ยท ((๐‘’ โˆˆ (๐‘ ร— ๐‘) โ†ฆ if((1st โ€˜๐‘’) = (1st โ€˜๐‘), if(๐‘’ = ๐‘, 1 , 0 ), (๐‘Žโ€˜๐‘’))) โ†พ ({๐‘ค} ร— ๐‘)))))
372 reseq1 5929 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (๐‘ง = (๐‘’ โˆˆ (๐‘ ร— ๐‘) โ†ฆ if((1st โ€˜๐‘’) = (1st โ€˜๐‘), if(๐‘’ = ๐‘, 1 , 0 ), (๐‘Žโ€˜๐‘’))) โ†’ (๐‘ง โ†พ ((๐‘ โˆ– {๐‘ค}) ร— ๐‘)) = ((๐‘’ โˆˆ (๐‘ ร— ๐‘) โ†ฆ if((1st โ€˜๐‘’) = (1st โ€˜๐‘), if(๐‘’ = ๐‘, 1 , 0 ), (๐‘Žโ€˜๐‘’))) โ†พ ((๐‘ โˆ– {๐‘ค}) ร— ๐‘)))
373372eqeq2d 2748 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (๐‘ง = (๐‘’ โˆˆ (๐‘ ร— ๐‘) โ†ฆ if((1st โ€˜๐‘’) = (1st โ€˜๐‘), if(๐‘’ = ๐‘, 1 , 0 ), (๐‘Žโ€˜๐‘’))) โ†’ (((๐‘’ โˆˆ (๐‘ ร— ๐‘) โ†ฆ if((1st โ€˜๐‘’) = (1st โ€˜๐‘), if(๐‘’ = ๐‘, ((๐‘Žโ€˜๐‘’)(-gโ€˜๐‘…)if(๐‘’ โˆˆ ๐‘‘, 1 , 0 )), 0 ), (๐‘Žโ€˜๐‘’))) โ†พ ((๐‘ โˆ– {๐‘ค}) ร— ๐‘)) = (๐‘ง โ†พ ((๐‘ โˆ– {๐‘ค}) ร— ๐‘)) โ†” ((๐‘’ โˆˆ (๐‘ ร— ๐‘) โ†ฆ if((1st โ€˜๐‘’) = (1st โ€˜๐‘), if(๐‘’ = ๐‘, ((๐‘Žโ€˜๐‘’)(-gโ€˜๐‘…)if(๐‘’ โˆˆ ๐‘‘, 1 , 0 )), 0 ), (๐‘Žโ€˜๐‘’))) โ†พ ((๐‘ โˆ– {๐‘ค}) ร— ๐‘)) = ((๐‘’ โˆˆ (๐‘ ร— ๐‘) โ†ฆ if((1st โ€˜๐‘’) = (1st โ€˜๐‘), if(๐‘’ = ๐‘, 1 , 0 ), (๐‘Žโ€˜๐‘’))) โ†พ ((๐‘ โˆ– {๐‘ค}) ร— ๐‘))))
374371, 373anbi12d 631 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (๐‘ง = (๐‘’ โˆˆ (๐‘ ร— ๐‘) โ†ฆ if((1st โ€˜๐‘’) = (1st โ€˜๐‘), if(๐‘’ = ๐‘, 1 , 0 ), (๐‘Žโ€˜๐‘’))) โ†’ ((((๐‘’ โˆˆ (๐‘ ร— ๐‘) โ†ฆ if((1st โ€˜๐‘’) = (1st โ€˜๐‘), if(๐‘’ = ๐‘, ((๐‘Žโ€˜๐‘’)(-gโ€˜๐‘…)if(๐‘’ โˆˆ ๐‘‘, 1 , 0 )), 0 ), (๐‘Žโ€˜๐‘’))) โ†พ ({๐‘ค} ร— ๐‘)) = ((({๐‘ค} ร— ๐‘) ร— {((๐‘Žโ€˜๐‘)(-gโ€˜๐‘…)if(๐‘ โˆˆ ๐‘‘, 1 , 0 ))}) โˆ˜f ยท (๐‘ง โ†พ ({๐‘ค} ร— ๐‘))) โˆง ((๐‘’ โˆˆ (๐‘ ร— ๐‘) โ†ฆ if((1st โ€˜๐‘’) = (1st โ€˜๐‘), if(๐‘’ = ๐‘, ((๐‘Žโ€˜๐‘’)(-gโ€˜๐‘…)if(๐‘’ โˆˆ ๐‘‘, 1 , 0 )), 0 ), (๐‘Žโ€˜๐‘’))) โ†พ ((๐‘ โˆ– {๐‘ค}) ร— ๐‘)) = (๐‘ง โ†พ ((๐‘ โˆ– {๐‘ค}) ร— ๐‘))) โ†” (((๐‘’ โˆˆ (๐‘ ร— ๐‘) โ†ฆ if((1st โ€˜๐‘’) = (1st โ€˜๐‘), if(๐‘’ = ๐‘, ((๐‘Žโ€˜๐‘’)(-gโ€˜๐‘…)if(๐‘’ โˆˆ ๐‘‘, 1 , 0 )), 0 ), (๐‘Žโ€˜๐‘’))) โ†พ ({๐‘ค} ร— ๐‘)) = ((({๐‘ค} ร— ๐‘) ร— {((๐‘Žโ€˜๐‘)(-gโ€˜๐‘…)if(๐‘ โˆˆ ๐‘‘, 1 , 0 ))}) โˆ˜f ยท ((๐‘’ โˆˆ (๐‘ ร— ๐‘) โ†ฆ if((1st โ€˜๐‘’) = (1st โ€˜๐‘), if(๐‘’ = ๐‘, 1 , 0 ), (๐‘Žโ€˜๐‘’))) โ†พ ({๐‘ค} ร— ๐‘))) โˆง ((๐‘’ โˆˆ (๐‘ ร— ๐‘) โ†ฆ if((1st โ€˜๐‘’) = (1st โ€˜๐‘), if(๐‘’ = ๐‘, ((๐‘Žโ€˜๐‘’)(-gโ€˜๐‘…)if(๐‘’ โˆˆ ๐‘‘, 1 , 0 )), 0 ), (๐‘Žโ€˜๐‘’))) โ†พ ((๐‘ โˆ– {๐‘ค}) ร— ๐‘)) = ((๐‘’ โˆˆ (๐‘ ร— ๐‘) โ†ฆ if((1st โ€˜๐‘’) = (1st โ€˜๐‘), if(๐‘’ = ๐‘, 1 , 0 ), (๐‘Žโ€˜๐‘’))) โ†พ ((๐‘ โˆ– {๐‘ค}) ร— ๐‘)))))
375 fveq2 6839 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (๐‘ง = (๐‘’ โˆˆ (๐‘ ร— ๐‘) โ†ฆ if((1st โ€˜๐‘’) = (1st โ€˜๐‘), if(๐‘’ = ๐‘, 1 , 0 ), (๐‘Žโ€˜๐‘’))) โ†’ (๐ทโ€˜๐‘ง) = (๐ทโ€˜(๐‘’ โˆˆ (๐‘ ร— ๐‘) โ†ฆ if((1st โ€˜๐‘’) = (1st โ€˜๐‘), if(๐‘’ = ๐‘, 1 , 0 ), (๐‘Žโ€˜๐‘’)))))
376375oveq2d 7367 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (๐‘ง = (๐‘’ โˆˆ (๐‘ ร— ๐‘) โ†ฆ if((1st โ€˜๐‘’) = (1st โ€˜๐‘), if(๐‘’ = ๐‘, 1 , 0 ), (๐‘Žโ€˜๐‘’))) โ†’ (((๐‘Žโ€˜๐‘)(-gโ€˜๐‘…)if(๐‘ โˆˆ ๐‘‘, 1 , 0 )) ยท (๐ทโ€˜๐‘ง)) = (((๐‘Žโ€˜๐‘)(-gโ€˜๐‘…)if(๐‘ โˆˆ ๐‘‘, 1 , 0 )) ยท (๐ทโ€˜(๐‘’ โˆˆ (๐‘ ร— ๐‘) โ†ฆ if((1st โ€˜๐‘’) = (1st โ€˜๐‘), if(๐‘’ = ๐‘, 1 , 0 ), (๐‘Žโ€˜๐‘’))))))
377376eqeq2d 2748 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (๐‘ง = (๐‘’ โˆˆ (๐‘ ร— ๐‘) โ†ฆ if((1st โ€˜๐‘’) = (1st โ€˜๐‘), if(๐‘’ = ๐‘, 1 , 0 ), (๐‘Žโ€˜๐‘’))) โ†’ ((๐ทโ€˜(๐‘’ โˆˆ (๐‘ ร— ๐‘) โ†ฆ if((1st โ€˜๐‘’) = (1st โ€˜๐‘), if(๐‘’ = ๐‘, ((๐‘Žโ€˜๐‘’)(-gโ€˜๐‘…)if(๐‘’ โˆˆ ๐‘‘, 1 , 0 )), 0 ), (๐‘Žโ€˜๐‘’)))) = (((๐‘Žโ€˜๐‘)(-gโ€˜๐‘…)if(๐‘ โˆˆ ๐‘‘, 1 , 0 )) ยท (๐ทโ€˜๐‘ง)) โ†” (๐ทโ€˜(๐‘’ โˆˆ (๐‘ ร— ๐‘) โ†ฆ if((1st โ€˜๐‘’) = (1st โ€˜๐‘), if(๐‘’ = ๐‘, ((๐‘Žโ€˜๐‘’)(-gโ€˜๐‘…)if(๐‘’ โˆˆ ๐‘‘, 1 , 0 )), 0 ), (๐‘Žโ€˜๐‘’)))) = (((๐‘Žโ€˜๐‘)(-gโ€˜๐‘…)if(๐‘ โˆˆ ๐‘‘, 1 , 0 )) ยท (๐ทโ€˜(๐‘’ โˆˆ (๐‘ ร— ๐‘) โ†ฆ if((1st โ€˜๐‘’) = (1st โ€˜๐‘), if(๐‘’ = ๐‘, 1 , 0 ), (๐‘Žโ€˜๐‘’)))))))
378374, 377imbi12d 344 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (๐‘ง = (๐‘’ โˆˆ (๐‘ ร— ๐‘) โ†ฆ if((1st โ€˜๐‘’) = (1st โ€˜๐‘), if(๐‘’ = ๐‘, 1 , 0 ), (๐‘Žโ€˜๐‘’))) โ†’ (((((๐‘’ โˆˆ (๐‘ ร— ๐‘) โ†ฆ if((1st โ€˜๐‘’) = (1st โ€˜๐‘), if(๐‘’ = ๐‘, ((๐‘Žโ€˜๐‘’)(-gโ€˜๐‘…)if(๐‘’ โˆˆ ๐‘‘, 1 , 0 )), 0 ), (๐‘Žโ€˜๐‘’))) โ†พ ({๐‘ค} ร— ๐‘)) = ((({๐‘ค} ร— ๐‘) ร— {((๐‘Žโ€˜๐‘)(-gโ€˜๐‘…)if(๐‘ โˆˆ ๐‘‘, 1 , 0 ))}) โˆ˜f ยท (๐‘ง โ†พ ({๐‘ค} ร— ๐‘))) โˆง ((๐‘’ โˆˆ (๐‘ ร— ๐‘) โ†ฆ if((1st โ€˜๐‘’) = (1st โ€˜๐‘), if(๐‘’ = ๐‘, ((๐‘Žโ€˜๐‘’)(-gโ€˜๐‘…)if(๐‘’ โˆˆ ๐‘‘, 1 , 0 )), 0 ), (๐‘Žโ€˜๐‘’))) โ†พ ((๐‘ โˆ– {๐‘ค}) ร— ๐‘)) = (๐‘ง โ†พ ((๐‘ โˆ– {๐‘ค}) ร— ๐‘))) โ†’ (๐ทโ€˜(๐‘’ โˆˆ (๐‘ ร— ๐‘) โ†ฆ if((1st โ€˜๐‘’) = (1st โ€˜๐‘), if(๐‘’ = ๐‘, ((๐‘Žโ€˜๐‘’)(-gโ€˜๐‘…)if(๐‘’ โˆˆ ๐‘‘, 1 , 0 )), 0 ), (๐‘Žโ€˜๐‘’)))) = (((๐‘Žโ€˜๐‘)(-gโ€˜๐‘…)if(๐‘ โˆˆ ๐‘‘, 1 , 0 )) ยท (๐ทโ€˜๐‘ง))) โ†” ((((๐‘’ โˆˆ (๐‘ ร— ๐‘) โ†ฆ if((1st โ€˜๐‘’) = (1st โ€˜๐‘), if(๐‘’ = ๐‘, ((๐‘Žโ€˜๐‘’)(-gโ€˜๐‘…)if(๐‘’ โˆˆ ๐‘‘, 1 , 0 )), 0 ), (๐‘Žโ€˜๐‘’))) โ†พ ({๐‘ค} ร— ๐‘)) = ((({๐‘ค} ร— ๐‘) ร— {((๐‘Žโ€˜๐‘)(-gโ€˜๐‘…)if(๐‘ โˆˆ ๐‘‘, 1 , 0 ))}) โˆ˜f ยท ((๐‘’ โˆˆ (๐‘ ร— ๐‘) โ†ฆ if((1st โ€˜๐‘’) = (1st โ€˜๐‘), if(๐‘’ = ๐‘, 1 , 0 ), (๐‘Žโ€˜๐‘’))) โ†พ ({๐‘ค} ร— ๐‘))) โˆง ((๐‘’ โˆˆ (๐‘ ร— ๐‘) โ†ฆ if((1st โ€˜๐‘’) = (1st โ€˜๐‘), if(๐‘’ = ๐‘, ((๐‘Žโ€˜๐‘’)(-gโ€˜๐‘…)if(๐‘’ โˆˆ ๐‘‘, 1 , 0 )), 0 ), (๐‘Žโ€˜๐‘’))) โ†พ ((๐‘ โˆ– {๐‘ค}) ร— ๐‘)) = ((๐‘’ โˆˆ (๐‘ ร— ๐‘) โ†ฆ if((1st โ€˜๐‘’) = (1st โ€˜๐‘), if(๐‘’ = ๐‘, 1 , 0 ), (๐‘Žโ€˜๐‘’))) โ†พ ((๐‘ โˆ– {๐‘ค}) ร— ๐‘))) โ†’ (๐ทโ€˜(๐‘’ โˆˆ (๐‘ ร— ๐‘) โ†ฆ if((1st โ€˜๐‘’) = (1st โ€˜๐‘), if(๐‘’ = ๐‘, ((๐‘Žโ€˜๐‘’)(-gโ€˜๐‘…)if(๐‘’ โˆˆ ๐‘‘, 1 , 0 )), 0 ), (๐‘Žโ€˜๐‘’)))) = (((๐‘Žโ€˜๐‘)(-gโ€˜๐‘…)if(๐‘ โˆˆ ๐‘‘, 1 , 0 )) ยท (๐ทโ€˜(๐‘’ โˆˆ (๐‘ ร— ๐‘) โ†ฆ if((1st โ€˜๐‘’) = (1st โ€˜๐‘), if(๐‘’ = ๐‘, 1 , 0 ), (๐‘Žโ€˜๐‘’))))))))
379270xpeq1d 5660 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (๐‘ค = (1st โ€˜๐‘) โ†’ (({๐‘ค} ร— ๐‘) ร— {((๐‘Žโ€˜๐‘)(-gโ€˜๐‘…)if(๐‘ โˆˆ ๐‘‘, 1 , 0 ))}) = (({(1st โ€˜๐‘)} ร— ๐‘) ร— {((๐‘Žโ€˜๐‘)(-gโ€˜๐‘…)if(๐‘ โˆˆ ๐‘‘, 1 , 0 ))}))
380270reseq2d 5935 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (๐‘ค = (1st โ€˜๐‘) โ†’ ((๐‘’ โˆˆ (๐‘ ร— ๐‘) โ†ฆ if((1st โ€˜๐‘’) = (1st โ€˜๐‘), if(๐‘’ = ๐‘, 1 , 0 ), (๐‘Žโ€˜๐‘’))) โ†พ ({๐‘ค} ร— ๐‘)) = ((๐‘’ โˆˆ (๐‘ ร— ๐‘) โ†ฆ if((1st โ€˜๐‘’) = (1st โ€˜๐‘), if(๐‘’ = ๐‘, 1 , 0 ), (๐‘Žโ€˜๐‘’))) โ†พ ({(1st โ€˜๐‘)} ร— ๐‘)))
381379, 380oveq12d 7369 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (๐‘ค = (1st โ€˜๐‘) โ†’ ((({๐‘ค} ร— ๐‘) ร— {((๐‘Žโ€˜๐‘)(-gโ€˜๐‘…)if(๐‘ โˆˆ ๐‘‘, 1 , 0 ))}) โˆ˜f ยท ((๐‘’ โˆˆ (๐‘ ร— ๐‘) โ†ฆ if((1st โ€˜๐‘’) = (1st โ€˜๐‘), if(๐‘’ = ๐‘, 1 , 0 ), (๐‘Žโ€˜๐‘’))) โ†พ ({๐‘ค} ร— ๐‘))) = ((({(1st โ€˜๐‘)} ร— ๐‘) ร— {((๐‘Žโ€˜๐‘)(-gโ€˜๐‘…)if(๐‘ โˆˆ ๐‘‘, 1 , 0 ))}) โˆ˜f ยท ((๐‘’ โˆˆ (๐‘ ร— ๐‘) โ†ฆ if((1st โ€˜๐‘’) = (1st โ€˜๐‘), if(๐‘’ = ๐‘, 1 , 0 ), (๐‘Žโ€˜๐‘’))) โ†พ ({(1st โ€˜๐‘)} ร— ๐‘))))
382272, 381eqeq12d 2753 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (๐‘ค = (1st โ€˜๐‘) โ†’ (((๐‘’ โˆˆ (๐‘ ร— ๐‘) โ†ฆ if((1st โ€˜๐‘’) = (1st โ€˜๐‘), if(๐‘’ = ๐‘, ((๐‘Žโ€˜๐‘’)(-gโ€˜๐‘…)if(๐‘’ โˆˆ ๐‘‘, 1 , 0 )), 0 ), (๐‘Žโ€˜๐‘’))) โ†พ ({๐‘ค} ร— ๐‘)) = ((({๐‘ค} ร— ๐‘) ร— {((๐‘Žโ€˜๐‘)(-gโ€˜๐‘…)if(๐‘ โˆˆ ๐‘‘, 1 , 0 ))}) โˆ˜f ยท ((๐‘’ โˆˆ (๐‘ ร— ๐‘) โ†ฆ if((1st โ€˜๐‘’) = (1st โ€˜๐‘), if(๐‘’ = ๐‘, 1 , 0 ), (๐‘Žโ€˜๐‘’))) โ†พ ({๐‘ค} ร— ๐‘))) โ†” ((๐‘’ โˆˆ (๐‘ ร— ๐‘) โ†ฆ if((1st โ€˜๐‘’) = (1st โ€˜๐‘), if(๐‘’ = ๐‘, ((๐‘Žโ€˜๐‘’)(-gโ€˜๐‘…)if(๐‘’ โˆˆ ๐‘‘, 1 , 0 )), 0 ), (๐‘Žโ€˜๐‘’))) โ†พ ({(1st โ€˜๐‘)} ร— ๐‘)) = ((({(1st โ€˜๐‘)} ร— ๐‘) ร— {((๐‘Žโ€˜๐‘)(-gโ€˜๐‘…)if(๐‘ โˆˆ ๐‘‘, 1 , 0 ))}) โˆ˜f ยท ((๐‘’ โˆˆ (๐‘ ร— ๐‘) โ†ฆ if((1st โ€˜๐‘’) = (1st โ€˜๐‘), if(๐‘’ = ๐‘, 1 , 0 ), (๐‘Žโ€˜๐‘’))) โ†พ ({(1st โ€˜๐‘)} ร— ๐‘)))))
383277reseq2d 5935 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (๐‘ค = (1st โ€˜๐‘) โ†’ ((๐‘’ โˆˆ (๐‘ ร— ๐‘) โ†ฆ if((1st โ€˜๐‘’) = (1st โ€˜๐‘), if(๐‘’ = ๐‘, 1 , 0 ), (๐‘Žโ€˜๐‘’))) โ†พ ((๐‘ โˆ– {๐‘ค}) ร— ๐‘)) = ((๐‘’ โˆˆ (๐‘ ร— ๐‘) โ†ฆ if((1st โ€˜๐‘’) = (1st โ€˜๐‘), if(๐‘’ = ๐‘, 1 , 0 ), (๐‘Žโ€˜๐‘’))) โ†พ ((๐‘ โˆ– {(1st โ€˜๐‘)}) ร— ๐‘)))
384279, 383eqeq12d 2753 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (๐‘ค = (1st โ€˜๐‘) โ†’ (((๐‘’ โˆˆ (๐‘ ร— ๐‘) โ†ฆ if((1st โ€˜๐‘’) = (1st โ€˜๐‘), if(๐‘’ = ๐‘, ((๐‘Žโ€˜๐‘’)(-gโ€˜๐‘…)if(๐‘’ โˆˆ ๐‘‘, 1 , 0 )), 0 ), (๐‘Žโ€˜๐‘’))) โ†พ ((๐‘ โˆ– {๐‘ค}) ร— ๐‘)) = ((๐‘’ โˆˆ (๐‘ ร— ๐‘) โ†ฆ if((1st โ€˜๐‘’) = (1st โ€˜๐‘), if(๐‘’ = ๐‘, 1 , 0 ), (๐‘Žโ€˜๐‘’))) โ†พ ((๐‘ โˆ– {๐‘ค}) ร— ๐‘)) โ†” ((๐‘’ โˆˆ (๐‘ ร— ๐‘) โ†ฆ if((1st โ€˜๐‘’) = (1st โ€˜๐‘), if(๐‘’ = ๐‘, ((๐‘Žโ€˜๐‘’)(-gโ€˜๐‘…)if(๐‘’ โˆˆ ๐‘‘, 1 , 0 )), 0 ), (๐‘Žโ€˜๐‘’))) โ†พ ((๐‘ โˆ– {(1st โ€˜๐‘)}) ร— ๐‘)) = ((๐‘’ โˆˆ (๐‘ ร— ๐‘) โ†ฆ if((1st โ€˜๐‘’) = (1st โ€˜๐‘), if(๐‘’ = ๐‘, 1 , 0 ), (๐‘Žโ€˜๐‘’))) โ†พ ((๐‘ โˆ– {(1st โ€˜๐‘)}) ร— ๐‘))))
385382, 384anbi12d 631 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (๐‘ค = (1st โ€˜๐‘) โ†’ ((((๐‘’ โˆˆ (๐‘ ร— ๐‘) โ†ฆ if((1st โ€˜๐‘’) = (1st โ€˜๐‘), if(๐‘’ = ๐‘, ((๐‘Žโ€˜๐‘’)(-gโ€˜๐‘…)if(๐‘’ โˆˆ ๐‘‘, 1 , 0 )), 0 ), (๐‘Žโ€˜๐‘’))) โ†พ ({๐‘ค} ร— ๐‘)) = ((({๐‘ค} ร— ๐‘) ร— {((๐‘Žโ€˜๐‘)(-gโ€˜๐‘…)if(๐‘ โˆˆ ๐‘‘, 1 , 0 ))}) โˆ˜f ยท ((๐‘’ โˆˆ (๐‘ ร— ๐‘) โ†ฆ if((1st โ€˜๐‘’) = (1st โ€˜๐‘), if(๐‘’ = ๐‘, 1 , 0 ), (๐‘Žโ€˜๐‘’))) โ†พ ({๐‘ค} ร— ๐‘))) โˆง ((๐‘’ โˆˆ (๐‘ ร— ๐‘) โ†ฆ if((1st โ€˜๐‘’) = (1st โ€˜๐‘), if(๐‘’ = ๐‘, ((๐‘Žโ€˜๐‘’)(-gโ€˜๐‘…)if(๐‘’ โˆˆ ๐‘‘, 1 , 0 )), 0 ), (๐‘Žโ€˜๐‘’))) โ†พ ((๐‘ โˆ– {๐‘ค}) ร— ๐‘)) = ((๐‘’ โˆˆ (๐‘ ร— ๐‘) โ†ฆ if((1st โ€˜๐‘’) = (1st โ€˜๐‘), if(๐‘’ = ๐‘, 1 , 0 ), (๐‘Žโ€˜๐‘’))) โ†พ ((๐‘ โˆ– {๐‘ค}) ร— ๐‘))) โ†” (((๐‘’ โˆˆ (๐‘ ร— ๐‘) โ†ฆ if((1st โ€˜๐‘’) = (1st โ€˜๐‘), if(๐‘’ = ๐‘, ((๐‘Žโ€˜๐‘’)(-gโ€˜๐‘…)if(๐‘’ โˆˆ ๐‘‘, 1 , 0 )), 0 ), (๐‘Žโ€˜๐‘’))) โ†พ ({(1st โ€˜๐‘)} ร— ๐‘)) = ((({(1st โ€˜๐‘)} ร— ๐‘) ร— {((๐‘Žโ€˜๐‘)(-gโ€˜๐‘…)if(๐‘ โˆˆ ๐‘‘, 1 , 0 ))}) โˆ˜f ยท ((๐‘’ โˆˆ (๐‘ ร— ๐‘) โ†ฆ if((1st โ€˜๐‘’) = (1st โ€˜๐‘), if(๐‘’ = ๐‘, 1 , 0 ), (๐‘Žโ€˜๐‘’))) โ†พ ({(1st โ€˜๐‘)} ร— ๐‘))) โˆง ((๐‘’ โˆˆ (๐‘ ร— ๐‘) โ†ฆ if((1st โ€˜๐‘’) = (1st โ€˜๐‘), if(๐‘’ = ๐‘, ((๐‘Žโ€˜๐‘’)(-gโ€˜๐‘…)if(๐‘’ โˆˆ ๐‘‘, 1 , 0 )), 0 ), (๐‘Žโ€˜๐‘’))) โ†พ ((๐‘ โˆ– {(1st โ€˜๐‘)}) ร— ๐‘)) = ((๐‘’ โˆˆ (๐‘ ร— ๐‘) โ†ฆ if((1st โ€˜๐‘’) = (1st โ€˜๐‘), if(๐‘’ = ๐‘, 1 , 0 ), (๐‘Žโ€˜๐‘’))) โ†พ ((๐‘ โˆ– {(1st โ€˜๐‘)}) ร— ๐‘)))))
386385imbi1d 341 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (๐‘ค = (1st โ€˜๐‘) โ†’ (((((๐‘’ โˆˆ (๐‘ ร— ๐‘) โ†ฆ if((1st โ€˜๐‘’) = (1st โ€˜๐‘), if(๐‘’ = ๐‘, ((๐‘Žโ€˜๐‘’)(-gโ€˜๐‘…)if(๐‘’ โˆˆ ๐‘‘, 1 , 0 )), 0 ), (๐‘Žโ€˜๐‘’))) โ†พ ({๐‘ค} ร— ๐‘)) = ((({๐‘ค} ร— ๐‘) ร— {((๐‘Žโ€˜๐‘)(-gโ€˜๐‘…)if(๐‘ โˆˆ ๐‘‘, 1 , 0 ))}) โˆ˜f ยท ((๐‘’ โˆˆ (๐‘ ร— ๐‘) โ†ฆ if((1st โ€˜๐‘’) = (1st โ€˜๐‘), if(๐‘’ = ๐‘, 1 , 0 ), (๐‘Žโ€˜๐‘’))) โ†พ ({๐‘ค} ร— ๐‘))) โˆง ((๐‘’ โˆˆ (๐‘ ร— ๐‘) โ†ฆ if((1st โ€˜๐‘’) = (1st โ€˜๐‘), if(๐‘’ = ๐‘, ((๐‘Žโ€˜๐‘’)(-gโ€˜๐‘…)if(๐‘’ โˆˆ ๐‘‘, 1 , 0 )), 0 ), (๐‘Žโ€˜๐‘’))) โ†พ ((๐‘ โˆ– {๐‘ค}) ร— ๐‘)) = ((๐‘’ โˆˆ (๐‘ ร— ๐‘) โ†ฆ if((1st โ€˜๐‘’) = (1st โ€˜๐‘), if(๐‘’ = ๐‘, 1 , 0 ), (๐‘Žโ€˜๐‘’))) โ†พ ((๐‘ โˆ– {๐‘ค}) ร— ๐‘))) โ†’ (๐ทโ€˜(๐‘’ โˆˆ (๐‘ ร— ๐‘) โ†ฆ if((1st โ€˜๐‘’) = (1st โ€˜๐‘), if(๐‘’ = ๐‘, ((๐‘Žโ€˜๐‘’)(-gโ€˜๐‘…)if(๐‘’ โˆˆ ๐‘‘, 1 , 0 )), 0 ), (๐‘Žโ€˜๐‘’)))) = (((๐‘Žโ€˜๐‘)(-gโ€˜๐‘…)if(๐‘ โˆˆ ๐‘‘, 1 , 0 )) ยท (๐ทโ€˜(๐‘’ โˆˆ (๐‘ ร— ๐‘) โ†ฆ if((1st โ€˜๐‘’) = (1st โ€˜๐‘), if(๐‘’ = ๐‘, 1 , 0 ), (๐‘Žโ€˜๐‘’)))))) โ†” ((((๐‘’ โˆˆ (๐‘ ร— ๐‘) โ†ฆ if((1st โ€˜๐‘’) = (1st โ€˜๐‘), if(๐‘’ = ๐‘, ((๐‘Žโ€˜๐‘’)(-gโ€˜๐‘…)if(๐‘’ โˆˆ ๐‘‘, 1 , 0 )), 0 ), (๐‘Žโ€˜๐‘’))) โ†พ ({(1st โ€˜๐‘)} ร— ๐‘)) = ((({(1st โ€˜๐‘)} ร— ๐‘) ร— {((๐‘Žโ€˜๐‘)(-gโ€˜๐‘…)if(๐‘ โˆˆ ๐‘‘, 1 , 0 ))}) โˆ˜f ยท ((๐‘’ โˆˆ (๐‘ ร— ๐‘) โ†ฆ if((1st โ€˜๐‘’) = (1st โ€˜๐‘), if(๐‘’ = ๐‘, 1 , 0 ), (๐‘Žโ€˜๐‘’))) โ†พ ({(1st โ€˜๐‘)} ร— ๐‘))) โˆง ((๐‘’ โˆˆ (๐‘ ร— ๐‘) โ†ฆ if((1st โ€˜๐‘’) = (1st โ€˜๐‘), if(๐‘’ = ๐‘, ((๐‘Žโ€˜๐‘’)(-gโ€˜๐‘…)if(๐‘’ โˆˆ ๐‘‘, 1 , 0 )), 0 ), (๐‘Žโ€˜๐‘’))) โ†พ ((๐‘ โˆ– {(1st โ€˜๐‘)}) ร— ๐‘)) = ((๐‘’ โˆˆ (๐‘ ร— ๐‘) โ†ฆ if((1st โ€˜๐‘’) = (1st โ€˜๐‘), if(๐‘’ = ๐‘, 1 , 0 ), (๐‘Žโ€˜๐‘’))) โ†พ ((๐‘ โˆ– {(1st โ€˜๐‘)}) ร— ๐‘))) โ†’ (๐ทโ€˜(๐‘’ โˆˆ (๐‘ ร— ๐‘) โ†ฆ if((1st โ€˜๐‘’) = (1st โ€˜๐‘), if(๐‘’ = ๐‘, ((๐‘Žโ€˜๐‘’)(-gโ€˜๐‘…)if(๐‘’ โˆˆ ๐‘‘, 1 , 0 )), 0 ), (๐‘Žโ€˜๐‘’)))) = (((๐‘Žโ€˜๐‘)(-gโ€˜๐‘…)if(๐‘ โˆˆ ๐‘‘, 1 , 0 )) ยท (๐ทโ€˜(๐‘’ โˆˆ (๐‘ ร— ๐‘) โ†ฆ if((1st โ€˜๐‘’) = (1st โ€˜๐‘), if(๐‘’ = ๐‘, 1 , 0 ), (๐‘Žโ€˜๐‘’))))))))
387378, 386rspc2va 3589 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((((๐‘’ โˆˆ (๐‘ ร— ๐‘) โ†ฆ if((1st โ€˜๐‘’) = (1st โ€˜๐‘), if(๐‘’ = ๐‘, 1 , 0 ), (๐‘Žโ€˜๐‘’))) โˆˆ ๐ต โˆง (1st โ€˜๐‘) โˆˆ ๐‘) โˆง โˆ€๐‘ง โˆˆ ๐ต โˆ€๐‘ค โˆˆ ๐‘ ((((๐‘’ โˆˆ (๐‘ ร— ๐‘) โ†ฆ if((1st โ€˜๐‘’) = (1st โ€˜๐‘), if(๐‘’ = ๐‘, ((๐‘Žโ€˜๐‘’)(-gโ€˜๐‘…)if(๐‘’ โˆˆ ๐‘‘, 1 , 0 )), 0 ), (๐‘Žโ€˜๐‘’))) โ†พ ({๐‘ค} ร— ๐‘)) = ((({๐‘ค} ร— ๐‘) ร— {((๐‘Žโ€˜๐‘)(-gโ€˜๐‘…)if(๐‘ โˆˆ ๐‘‘, 1 , 0 ))}) โˆ˜f ยท (๐‘ง โ†พ ({๐‘ค} ร— ๐‘))) โˆง ((๐‘’ โˆˆ (๐‘ ร— ๐‘) โ†ฆ if((1st โ€˜๐‘’) = (1st โ€˜๐‘), if(๐‘’ = ๐‘, ((๐‘Žโ€˜๐‘’)(-gโ€˜๐‘…)if(๐‘’ โˆˆ ๐‘‘, 1 , 0 )), 0 ), (๐‘Žโ€˜๐‘’))) โ†พ ((๐‘ โˆ– {๐‘ค}) ร— ๐‘)) = (๐‘ง โ†พ ((๐‘ โˆ– {๐‘ค}) ร— ๐‘))) โ†’ (๐ทโ€˜(๐‘’ โˆˆ (๐‘ ร— ๐‘) โ†ฆ if((1st โ€˜๐‘’) = (1st โ€˜๐‘), if(๐‘’ = ๐‘, ((๐‘Žโ€˜๐‘’)(-gโ€˜๐‘…)if(๐‘’ โˆˆ ๐‘‘, 1 , 0 )), 0 ), (๐‘Žโ€˜๐‘’)))) = (((๐‘Žโ€˜๐‘)(-gโ€˜๐‘…)if(๐‘ โˆˆ ๐‘‘, 1 , 0 )) ยท (๐ทโ€˜๐‘ง)))) โ†’ ((((๐‘’ โˆˆ (๐‘ ร— ๐‘) โ†ฆ if((1st โ€˜๐‘’) = (1st โ€˜๐‘), if(๐‘’ = ๐‘, ((๐‘Žโ€˜๐‘’)(-gโ€˜๐‘…)if(๐‘’ โˆˆ ๐‘‘, 1 , 0 )), 0 ), (๐‘Žโ€˜๐‘’))) โ†พ ({(1st โ€˜๐‘)} ร— ๐‘)) = ((({(1st โ€˜๐‘)} ร— ๐‘) ร— {((๐‘Žโ€˜๐‘)(-gโ€˜๐‘…)if(๐‘ โˆˆ ๐‘‘, 1 , 0 ))}) โˆ˜f ยท ((๐‘’ โˆˆ (๐‘ ร— ๐‘) โ†ฆ if((1st โ€˜๐‘’) = (1st โ€˜๐‘), if(๐‘’ = ๐‘, 1 , 0 ), (๐‘Žโ€˜๐‘’))) โ†พ ({(1st โ€˜๐‘)} ร— ๐‘))) โˆง ((๐‘’ โˆˆ (๐‘ ร— ๐‘) โ†ฆ if((1st โ€˜๐‘’) = (1st โ€˜๐‘), if(๐‘’ = ๐‘, ((๐‘Žโ€˜๐‘’)(-gโ€˜๐‘…)if(๐‘’ โˆˆ ๐‘‘, 1 , 0 )), 0 ), (๐‘Žโ€˜๐‘’))) โ†พ ((๐‘ โˆ– {(1st โ€˜๐‘)}) ร— ๐‘)) = ((๐‘’ โˆˆ (๐‘ ร— ๐‘) โ†ฆ if((1st โ€˜๐‘’) = (1st โ€˜๐‘), if(๐‘’ = ๐‘, 1 , 0 ), (๐‘Žโ€˜๐‘’))) โ†พ ((๐‘ โˆ– {(1st โ€˜๐‘)}) ร— ๐‘))) โ†’ (๐ทโ€˜(๐‘’ โˆˆ (๐‘ ร— ๐‘) โ†ฆ if((1st โ€˜๐‘’) = (1st โ€˜๐‘), if(๐‘’ = ๐‘, ((๐‘Žโ€˜๐‘’)(-gโ€˜๐‘…)if(๐‘’ โˆˆ ๐‘‘, 1 , 0 )), 0 ), (๐‘Žโ€˜๐‘’)))) = (((๐‘Žโ€˜๐‘)(-gโ€˜๐‘…)if(๐‘ โˆˆ ๐‘‘, 1 , 0 )) ยท (๐ทโ€˜(๐‘’ โˆˆ (๐‘ ร— ๐‘) โ†ฆ if((1st โ€˜๐‘’) = (1st โ€˜๐‘), if(๐‘’ = ๐‘, 1 , 0 ), (๐‘Žโ€˜๐‘’)))))))
388348, 124, 368, 387syl21anc 836 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ โˆช {๐‘}) โŠ† (๐‘ ร— ๐‘) โˆง ๐‘Ž โˆˆ ๐ต) โ†’ ((((๐‘’ โˆˆ (๐‘ ร— ๐‘) โ†ฆ if((1st โ€˜๐‘’) = (1st โ€˜๐‘), if(๐‘’ = ๐‘, ((๐‘Žโ€˜๐‘’)(-gโ€˜๐‘…)if(๐‘’ โˆˆ ๐‘‘, 1 , 0 )), 0 ), (๐‘Žโ€˜๐‘’))) โ†พ ({(1st โ€˜๐‘)} ร— ๐‘)) = ((({(1st โ€˜๐‘)} ร— ๐‘) ร— {((๐‘Žโ€˜๐‘)(-gโ€˜๐‘…)if(๐‘ โˆˆ ๐‘‘, 1 , 0 ))}) โˆ˜f ยท ((๐‘’ โˆˆ (๐‘ ร— ๐‘) โ†ฆ if((1st โ€˜๐‘’) = (1st โ€˜๐‘), if(๐‘’ = ๐‘, 1 , 0 ), (๐‘Žโ€˜๐‘’))) โ†พ ({(1st โ€˜๐‘)} ร— ๐‘))) โˆง ((๐‘’ โˆˆ (๐‘ ร— ๐‘) โ†ฆ if((1st โ€˜๐‘’) = (1st โ€˜๐‘), if(๐‘’ = ๐‘, ((๐‘Žโ€˜๐‘’)(-gโ€˜๐‘…)if(๐‘’ โˆˆ ๐‘‘, 1 , 0 )), 0 ), (๐‘Žโ€˜๐‘’))) โ†พ ((๐‘ โˆ– {(1st โ€˜๐‘)}) ร— ๐‘)) = ((๐‘’ โˆˆ (๐‘ ร— ๐‘) โ†ฆ if((1st โ€˜๐‘’) = (1st โ€˜๐‘), if(๐‘’ = ๐‘, 1 , 0 ), (๐‘Žโ€˜๐‘’))) โ†พ ((๐‘ โˆ– {(1st โ€˜๐‘)}) ร— ๐‘))) โ†’ (๐ทโ€˜(๐‘’ โˆˆ (๐‘ ร— ๐‘) โ†ฆ if((1st โ€˜๐‘’) = (1st โ€˜๐‘), if(๐‘’ = ๐‘, ((๐‘Žโ€˜๐‘’)(-gโ€˜๐‘…)if(๐‘’ โˆˆ ๐‘‘, 1 , 0 )), 0 ), (๐‘Žโ€˜๐‘’)))) = (((๐‘Žโ€˜๐‘)(-gโ€˜๐‘…)if(๐‘ โˆˆ ๐‘‘, 1 , 0 )) ยท (๐ทโ€˜(๐‘’ โˆˆ (๐‘ ร— ๐‘) โ†ฆ if((1st โ€˜๐‘’) = (1st โ€˜๐‘), if(๐‘’ = ๐‘, 1 , 0 ), (๐‘Žโ€˜๐‘’)))))))
389332, 340, 388mp2and 697 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ โˆช {๐‘}) โŠ† (๐‘ ร— ๐‘) โˆง ๐‘Ž โˆˆ ๐ต) โ†’ (๐ทโ€˜(๐‘’ โˆˆ (๐‘ ร— ๐‘) โ†ฆ if((1st โ€˜๐‘’) = (1st โ€˜๐‘), if(๐‘’ = ๐‘, ((๐‘Žโ€˜๐‘’)(-gโ€˜๐‘…)if(๐‘’ โˆˆ ๐‘‘, 1 , 0 )), 0 ), (๐‘Žโ€˜๐‘’)))) = (((๐‘Žโ€˜๐‘)(-gโ€˜๐‘…)if(๐‘ โˆˆ ๐‘‘, 1 , 0 )) ยท (๐ทโ€˜(๐‘’ โˆˆ (๐‘ ร— ๐‘) โ†ฆ if((1st โ€˜๐‘’) = (1st โ€˜๐‘), if(๐‘’ = ๐‘, 1 , 0 ), (๐‘Žโ€˜๐‘’))))))
390389oveq1d 7366 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ โˆช {๐‘}) โŠ† (๐‘ ร— ๐‘) โˆง ๐‘Ž โˆˆ ๐ต) โ†’ ((๐ทโ€˜(๐‘’ โˆˆ (๐‘ ร— ๐‘) โ†ฆ if((1st โ€˜๐‘’) = (1st โ€˜๐‘), if(๐‘’ = ๐‘, ((๐‘Žโ€˜๐‘’)(-gโ€˜๐‘…)if(๐‘’ โˆˆ ๐‘‘, 1 , 0 )), 0 ), (๐‘Žโ€˜๐‘’)))) + (๐ทโ€˜(๐‘’ โˆˆ (๐‘ ร— ๐‘) โ†ฆ if(๐‘’ = ๐‘, if(๐‘’ โˆˆ ๐‘‘, 1 , 0 ), (๐‘Žโ€˜๐‘’))))) = ((((๐‘Žโ€˜๐‘)(-gโ€˜๐‘…)if(๐‘ โˆˆ ๐‘‘, 1 , 0 )) ยท (๐ทโ€˜(๐‘’ โˆˆ (๐‘ ร— ๐‘) โ†ฆ if((1st โ€˜๐‘’) = (1st โ€˜๐‘), if(๐‘’ = ๐‘, 1 , 0 ), (๐‘Žโ€˜๐‘’))))) + (๐ทโ€˜(๐‘’ โˆˆ (๐‘ ร— ๐‘) โ†ฆ if(๐‘’ = ๐‘, if(๐‘’ โˆˆ ๐‘‘, 1 , 0 ), (๐‘Žโ€˜๐‘’))))))
391104, 105, 106, 390syl3anc 1371 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ โˆช {๐‘}) โŠ† (๐‘ ร— ๐‘) โˆง (๐‘ โˆช {๐‘}) โˆˆ ๐‘Œ) โˆง ((๐‘Ž โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘‘ โˆˆ (๐‘ โ†‘m ๐‘)) โˆง โˆ€๐‘ค โˆˆ ๐‘ (๐‘Žโ€˜๐‘ค) = if(๐‘ค โˆˆ ๐‘‘, 1 , 0 ))) โ†’ ((๐ทโ€˜(๐‘’ โˆˆ (๐‘ ร— ๐‘) โ†ฆ if((1st โ€˜๐‘’) = (1st โ€˜๐‘), if(๐‘’ = ๐‘, ((๐‘Žโ€˜๐‘’)(-gโ€˜๐‘…)if(๐‘’ โˆˆ ๐‘‘, 1 , 0 )), 0 ), (๐‘Žโ€˜๐‘’)))) + (๐ทโ€˜(๐‘’ โˆˆ (๐‘ ร— ๐‘) โ†ฆ if(๐‘’ = ๐‘, if(๐‘’ โˆˆ ๐‘‘, 1 , 0 ), (๐‘Žโ€˜๐‘’))))) = ((((๐‘Žโ€˜๐‘)(-gโ€˜๐‘…)if(๐‘ โˆˆ ๐‘‘, 1 , 0 )) ยท (๐ทโ€˜(๐‘’ โˆˆ (๐‘ ร— ๐‘) โ†ฆ if((1st โ€˜๐‘’) = (1st โ€˜๐‘), if(๐‘’ = ๐‘, 1 , 0 ), (๐‘Žโ€˜๐‘’))))) + (๐ทโ€˜(๐‘’ โˆˆ (๐‘ ร— ๐‘) โ†ฆ if(๐‘’ = ๐‘, if(๐‘’ โˆˆ ๐‘‘, 1 , 0 ), (๐‘Žโ€˜๐‘’))))))
392 simpl3 1193 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ โˆช {๐‘}) โŠ† (๐‘ ร— ๐‘) โˆง (๐‘ โˆช {๐‘}) โˆˆ ๐‘Œ) โˆง ((๐‘Ž โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘‘ โˆˆ (๐‘ โ†‘m ๐‘)) โˆง โˆ€๐‘ค โˆˆ ๐‘ (๐‘Žโ€˜๐‘ค) = if(๐‘ค โˆˆ ๐‘‘, 1 , 0 ))) โ†’ (๐‘ โˆช {๐‘}) โˆˆ ๐‘Œ)
393 simprlr 778 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ โˆช {๐‘}) โŠ† (๐‘ ร— ๐‘) โˆง (๐‘ โˆช {๐‘}) โˆˆ ๐‘Œ) โˆง ((๐‘Ž โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘‘ โˆˆ (๐‘ โ†‘m ๐‘)) โˆง โˆ€๐‘ค โˆˆ ๐‘ (๐‘Žโ€˜๐‘ค) = if(๐‘ค โˆˆ ๐‘‘, 1 , 0 ))) โ†’ ๐‘‘ โˆˆ (๐‘ โ†‘m ๐‘))
394 simprr 771 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ โˆช {๐‘}) โŠ† (๐‘ ร— ๐‘) โˆง (๐‘ โˆช {๐‘}) โˆˆ ๐‘Œ) โˆง ((๐‘Ž โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘‘ โˆˆ (๐‘ โ†‘m ๐‘)) โˆง โˆ€๐‘ค โˆˆ ๐‘ (๐‘Žโ€˜๐‘ค) = if(๐‘ค โˆˆ ๐‘‘, 1 , 0 ))) โ†’ โˆ€๐‘ค โˆˆ ๐‘ (๐‘Žโ€˜๐‘ค) = if(๐‘ค โˆˆ ๐‘‘, 1 , 0 ))
395 ralss 4012 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (๐‘ โŠ† (๐‘ โˆช {๐‘}) โ†’ (โˆ€๐‘ค โˆˆ ๐‘ (๐‘Žโ€˜๐‘ค) = if(๐‘ค โˆˆ ๐‘‘, 1 , 0 ) โ†” โˆ€๐‘ค โˆˆ (๐‘ โˆช {๐‘})(๐‘ค โˆˆ ๐‘ โ†’ (๐‘Žโ€˜๐‘ค) = if(๐‘ค โˆˆ ๐‘‘, 1 , 0 ))))
39699, 395ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (โˆ€๐‘ค โˆˆ ๐‘ (๐‘Žโ€˜๐‘ค) = if(๐‘ค โˆˆ ๐‘‘, 1 , 0 ) โ†” โˆ€๐‘ค โˆˆ (๐‘ โˆช {๐‘})(๐‘ค โˆˆ ๐‘ โ†’ (๐‘Žโ€˜๐‘ค) = if(๐‘ค โˆˆ ๐‘‘, 1 , 0 )))
397 iftrue 4490 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ((1st โ€˜๐‘ค) = (1st โ€˜๐‘) โ†’ if((1st โ€˜๐‘ค) = (1st โ€˜๐‘), if(๐‘ค = ๐‘, 1 , 0 ), (๐‘Žโ€˜๐‘ค)) = if(๐‘ค = ๐‘, 1 , 0 ))
398397adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 (((((๐œ‘ โˆง (๐‘ โˆช {๐‘}) โŠ† (๐‘ ร— ๐‘) โˆง ๐‘Ž โˆˆ ๐ต) โˆง ๐‘‘ โˆˆ (๐‘ โ†‘m ๐‘)) โˆง ๐‘ค โˆˆ (๐‘ โˆช {๐‘})) โˆง (1st โ€˜๐‘ค) = (1st โ€˜๐‘)) โ†’ if((1st โ€˜๐‘ค) = (1st โ€˜๐‘), if(๐‘ค = ๐‘, 1 , 0 ), (๐‘Žโ€˜๐‘ค)) = if(๐‘ค = ๐‘, 1 , 0 ))
399 ibar 529 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 ((1st โ€˜๐‘ค) = (1st โ€˜๐‘) โ†’ ((2nd โ€˜๐‘ค) = (2nd โ€˜๐‘) โ†” ((1st โ€˜๐‘ค) = (1st โ€˜๐‘) โˆง (2nd โ€˜๐‘ค) = (2nd โ€˜๐‘))))
400399adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 (((((๐œ‘ โˆง (๐‘ โˆช {๐‘}) โŠ† (๐‘ ร— ๐‘) โˆง ๐‘Ž โˆˆ ๐ต) โˆง ๐‘‘ โˆˆ (๐‘ โ†‘m ๐‘)) โˆง ๐‘ค โˆˆ (๐‘ โˆช {๐‘})) โˆง (1st โ€˜๐‘ค) = (1st โ€˜๐‘)) โ†’ ((2nd โ€˜๐‘ค) = (2nd โ€˜๐‘) โ†” ((1st โ€˜๐‘ค) = (1st โ€˜๐‘) โˆง (2nd โ€˜๐‘ค) = (2nd โ€˜๐‘))))
401 relxp 5649 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 Rel (๐‘ ร— ๐‘)
402 simpl2 1192 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ โˆช {๐‘}) โŠ† (๐‘ ร— ๐‘) โˆง ๐‘Ž โˆˆ ๐ต) โˆง ๐‘‘ โˆˆ (๐‘ โ†‘m ๐‘)) โ†’ (๐‘ โˆช {๐‘}) โŠ† (๐‘ ร— ๐‘))
403402sselda 3942 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 ((((๐œ‘ โˆง (๐‘ โˆช {๐‘}) โŠ† (๐‘ ร— ๐‘) โˆง ๐‘Ž โˆˆ ๐ต) โˆง ๐‘‘ โˆˆ (๐‘ โ†‘m ๐‘)) โˆง ๐‘ค โˆˆ (๐‘ โˆช {๐‘})) โ†’ ๐‘ค โˆˆ (๐‘ ร— ๐‘))
404403adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 (((((๐œ‘ โˆง (๐‘ โˆช {๐‘}) โŠ† (๐‘ ร— ๐‘) โˆง ๐‘Ž โˆˆ ๐ต) โˆง ๐‘‘ โˆˆ (๐‘ โ†‘m ๐‘)) โˆง ๐‘ค โˆˆ (๐‘ โˆช {๐‘})) โˆง (1st โ€˜๐‘ค) = (1st โ€˜๐‘)) โ†’ ๐‘ค โˆˆ (๐‘ ร— ๐‘))
405 1st2nd 7963 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 ((Rel (๐‘ ร— ๐‘) โˆง ๐‘ค โˆˆ (๐‘ ร— ๐‘)) โ†’ ๐‘ค = โŸจ(1st โ€˜๐‘ค), (2nd โ€˜๐‘ค)โŸฉ)
406401, 404, 405sylancr 587 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 (((((๐œ‘ โˆง (๐‘ โˆช {๐‘}) โŠ† (๐‘ ร— ๐‘) โˆง ๐‘Ž โˆˆ ๐ต) โˆง ๐‘‘ โˆˆ (๐‘ โ†‘m ๐‘)) โˆง ๐‘ค โˆˆ (๐‘ โˆช {๐‘})) โˆง (1st โ€˜๐‘ค) = (1st โ€˜๐‘)) โ†’ ๐‘ค = โŸจ(1st โ€˜๐‘ค), (2nd โ€˜๐‘ค)โŸฉ)
407406eleq1d 2822 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 (((((๐œ‘ โˆง (๐‘ โˆช {๐‘}) โŠ† (๐‘ ร— ๐‘) โˆง ๐‘Ž โˆˆ ๐ต) โˆง ๐‘‘ โˆˆ (๐‘ โ†‘m ๐‘)) โˆง ๐‘ค โˆˆ (๐‘ โˆช {๐‘})) โˆง (1st โ€˜๐‘ค) = (1st โ€˜๐‘)) โ†’ (๐‘ค โˆˆ (๐‘‘ sSet โŸจ(1st โ€˜๐‘), (2nd โ€˜๐‘)โŸฉ) โ†” โŸจ(1st โ€˜๐‘ค), (2nd โ€˜๐‘ค)โŸฉ โˆˆ (๐‘‘ sSet โŸจ(1st โ€˜๐‘), (2nd โ€˜๐‘)โŸฉ)))
408 simpr 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ โˆช {๐‘}) โŠ† (๐‘ ร— ๐‘) โˆง ๐‘Ž โˆˆ ๐ต) โˆง ๐‘‘ โˆˆ (๐‘ โ†‘m ๐‘)) โ†’ ๐‘‘ โˆˆ (๐‘ โ†‘m ๐‘))
409 elmapi 8745 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 (๐‘‘ โˆˆ (๐‘ โ†‘m ๐‘) โ†’ ๐‘‘:๐‘โŸถ๐‘)
410409adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ โˆช {๐‘}) โŠ† (๐‘ ร— ๐‘) โˆง ๐‘Ž โˆˆ ๐ต) โˆง ๐‘‘ โˆˆ (๐‘ โ†‘m ๐‘)) โ†’ ๐‘‘:๐‘โŸถ๐‘)
411124adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ โˆช {๐‘}) โŠ† (๐‘ ร— ๐‘) โˆง ๐‘Ž โˆˆ ๐ต) โˆง ๐‘‘ โˆˆ (๐‘ โ†‘m ๐‘)) โ†’ (1st โ€˜๐‘) โˆˆ ๐‘)
412 xp2nd 7946 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 (๐‘ โˆˆ (๐‘ ร— ๐‘) โ†’ (2nd โ€˜๐‘) โˆˆ ๐‘)
413122, 412syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ โˆช {๐‘}) โŠ† (๐‘ ร— ๐‘) โˆง ๐‘Ž โˆˆ ๐ต) โ†’ (2nd โ€˜๐‘) โˆˆ ๐‘)
414413adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ โˆช {๐‘}) โŠ† (๐‘ ร— ๐‘) โˆง ๐‘Ž โˆˆ ๐ต) โˆง ๐‘‘ โˆˆ (๐‘ โ†‘m ๐‘)) โ†’ (2nd โ€˜๐‘) โˆˆ ๐‘)
415 fsets 17001 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 (((๐‘‘ โˆˆ (๐‘ โ†‘m ๐‘) โˆง ๐‘‘:๐‘โŸถ๐‘) โˆง (1st โ€˜๐‘) โˆˆ ๐‘ โˆง (2nd โ€˜๐‘) โˆˆ ๐‘) โ†’ (๐‘‘ sSet โŸจ(1st โ€˜๐‘), (2nd โ€˜๐‘)โŸฉ):๐‘โŸถ๐‘)
416408, 410, 411, 414, 415syl211anc 1376 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ โˆช {๐‘}) โŠ† (๐‘ ร— ๐‘) โˆง ๐‘Ž โˆˆ ๐ต) โˆง ๐‘‘ โˆˆ (๐‘ โ†‘m ๐‘)) โ†’ (๐‘‘ sSet โŸจ(1st โ€˜๐‘), (2nd โ€˜๐‘)โŸฉ):๐‘โŸถ๐‘)
417416ffnd 6666 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ โˆช {๐‘}) โŠ† (๐‘ ร— ๐‘) โˆง ๐‘Ž โˆˆ ๐ต) โˆง ๐‘‘ โˆˆ (๐‘ โ†‘m ๐‘)) โ†’ (๐‘‘ sSet โŸจ(1st โ€˜๐‘), (2nd โ€˜๐‘)โŸฉ) Fn ๐‘)
418417ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 (((((๐œ‘ โˆง (๐‘ โˆช {๐‘}) โŠ† (๐‘ ร— ๐‘) โˆง ๐‘Ž โˆˆ ๐ต) โˆง ๐‘‘ โˆˆ (๐‘ โ†‘m ๐‘)) โˆง ๐‘ค โˆˆ (๐‘ โˆช {๐‘})) โˆง (1st โ€˜๐‘ค) = (1st โ€˜๐‘)) โ†’ (๐‘‘ sSet โŸจ(1st โ€˜๐‘), (2nd โ€˜๐‘)โŸฉ) Fn ๐‘)
419 xp1st 7945 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 (๐‘ค โˆˆ (๐‘ ร— ๐‘) โ†’ (1st โ€˜๐‘ค) โˆˆ ๐‘)
420403, 419syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 ((((๐œ‘ โˆง (๐‘ โˆช {๐‘}) โŠ† (๐‘ ร— ๐‘) โˆง ๐‘Ž โˆˆ ๐ต) โˆง ๐‘‘ โˆˆ (๐‘ โ†‘m ๐‘)) โˆง ๐‘ค โˆˆ (๐‘ โˆช {๐‘})) โ†’ (1st โ€˜๐‘ค) โˆˆ ๐‘)
421420adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 (((((๐œ‘ โˆง (๐‘ โˆช {๐‘}) โŠ† (๐‘ ร— ๐‘) โˆง ๐‘Ž โˆˆ ๐ต) โˆง ๐‘‘ โˆˆ (๐‘ โ†‘m ๐‘)) โˆง ๐‘ค โˆˆ (๐‘ โˆช {๐‘})) โˆง (1st โ€˜๐‘ค) = (1st โ€˜๐‘)) โ†’ (1st โ€˜๐‘ค) โˆˆ ๐‘)
422 fnopfvb 6893 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 (((๐‘‘ sSet โŸจ(1st โ€˜๐‘), (2nd โ€˜๐‘)โŸฉ) Fn ๐‘ โˆง (1st โ€˜๐‘ค) โˆˆ ๐‘) โ†’ (((๐‘‘ sSet โŸจ(1st โ€˜๐‘), (2nd โ€˜๐‘)โŸฉ)โ€˜(1st โ€˜๐‘ค)) = (2nd โ€˜๐‘ค) โ†” โŸจ(1st โ€˜๐‘ค), (2nd โ€˜๐‘ค)โŸฉ โˆˆ (๐‘‘ sSet โŸจ(1st โ€˜๐‘), (2nd โ€˜๐‘)โŸฉ)))
423418, 421, 422syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 (((((๐œ‘ โˆง (๐‘ โˆช {๐‘}) โŠ† (๐‘ ร— ๐‘) โˆง ๐‘Ž โˆˆ ๐ต) โˆง ๐‘‘ โˆˆ (๐‘ โ†‘m ๐‘)) โˆง ๐‘ค โˆˆ (๐‘ โˆช {๐‘})) โˆง (1st โ€˜๐‘ค) = (1st โ€˜๐‘)) โ†’ (((๐‘‘ sSet โŸจ(1st โ€˜๐‘), (2nd โ€˜๐‘)โŸฉ)โ€˜(1st โ€˜๐‘ค)) = (2nd โ€˜๐‘ค) โ†” โŸจ(1st โ€˜๐‘ค), (2nd โ€˜๐‘ค)โŸฉ โˆˆ (๐‘‘ sSet โŸจ(1st โ€˜๐‘), (2nd โ€˜๐‘)โŸฉ)))
424 fveq2 6839 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 ((1st โ€˜๐‘ค) = (1st โ€˜๐‘) โ†’ ((๐‘‘ sSet โŸจ(1st โ€˜๐‘), (2nd โ€˜๐‘)โŸฉ)โ€˜(1st โ€˜๐‘ค)) = ((๐‘‘ sSet โŸจ(1st โ€˜๐‘), (2nd โ€˜๐‘)โŸฉ)โ€˜(1st โ€˜๐‘)))
425424adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 (((((๐œ‘ โˆง (๐‘ โˆช {๐‘}) โŠ† (๐‘ ร— ๐‘) โˆง ๐‘Ž โˆˆ ๐ต) โˆง ๐‘‘ โˆˆ (๐‘ โ†‘m ๐‘)) โˆง ๐‘ค โˆˆ (๐‘ โˆช {๐‘})) โˆง (1st โ€˜๐‘ค) = (1st โ€˜๐‘)) โ†’ ((๐‘‘ sSet โŸจ(1st โ€˜๐‘), (2nd โ€˜๐‘)โŸฉ)โ€˜(1st โ€˜๐‘ค)) = ((๐‘‘ sSet โŸจ(1st โ€˜๐‘), (2nd โ€˜๐‘)โŸฉ)โ€˜(1st โ€˜๐‘)))
426 vex 3447 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 ๐‘‘ โˆˆ V
427 fvex 6852 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 (1st โ€˜๐‘) โˆˆ V
428 fvex 6852 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 (2nd โ€˜๐‘) โˆˆ V
429 fvsetsid 17000 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 ((๐‘‘ โˆˆ V โˆง (1st โ€˜๐‘) โˆˆ V โˆง (2nd โ€˜๐‘) โˆˆ V) โ†’ ((๐‘‘ sSet โŸจ(1st โ€˜๐‘), (2nd โ€˜๐‘)โŸฉ)โ€˜(1st โ€˜๐‘)) = (2nd โ€˜๐‘))
430426, 427, 428, 429mp3an 1461 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 ((๐‘‘ sSet โŸจ(1st โ€˜๐‘), (2nd โ€˜๐‘)โŸฉ)โ€˜(1st โ€˜๐‘)) = (2nd โ€˜๐‘)
431425, 430eqtrdi 2793 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 (((((๐œ‘ โˆง (๐‘ โˆช {๐‘}) โŠ† (๐‘ ร— ๐‘) โˆง ๐‘Ž โˆˆ ๐ต) โˆง ๐‘‘ โˆˆ (๐‘ โ†‘m ๐‘)) โˆง ๐‘ค โˆˆ (๐‘ โˆช {๐‘})) โˆง (1st โ€˜๐‘ค) = (1st โ€˜๐‘)) โ†’ ((๐‘‘ sSet โŸจ(1st โ€˜๐‘), (2nd โ€˜๐‘)โŸฉ)โ€˜(1st โ€˜๐‘ค)) = (2nd โ€˜๐‘))
432431eqeq1d 2739 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 (((((๐œ‘ โˆง (๐‘ โˆช {๐‘}) โŠ† (๐‘ ร— ๐‘) โˆง ๐‘Ž โˆˆ ๐ต) โˆง ๐‘‘ โˆˆ (๐‘ โ†‘m ๐‘)) โˆง ๐‘ค โˆˆ (๐‘ โˆช {๐‘})) โˆง (1st โ€˜๐‘ค) = (1st โ€˜๐‘)) โ†’ (((๐‘‘ sSet โŸจ(1st โ€˜๐‘), (2nd โ€˜๐‘)โŸฉ)โ€˜(1st โ€˜๐‘ค)) = (2nd โ€˜๐‘ค) โ†” (2nd โ€˜๐‘) = (2nd โ€˜๐‘ค)))
433 eqcom 2744 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 ((2nd โ€˜๐‘) = (2nd โ€˜๐‘ค) โ†” (2nd โ€˜๐‘ค) = (2nd โ€˜๐‘))
434432, 433bitrdi 286 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 (((((๐œ‘ โˆง (๐‘ โˆช {๐‘}) โŠ† (๐‘ ร— ๐‘) โˆง ๐‘Ž โˆˆ ๐ต) โˆง ๐‘‘ โˆˆ (๐‘ โ†‘m ๐‘)) โˆง ๐‘ค โˆˆ (๐‘ โˆช {๐‘})) โˆง (1st โ€˜๐‘ค) = (1st โ€˜๐‘)) โ†’ (((๐‘‘ sSet โŸจ(1st โ€˜๐‘), (2nd โ€˜๐‘)โŸฉ)โ€˜(1st โ€˜๐‘ค)) = (2nd โ€˜๐‘ค) โ†” (2nd โ€˜๐‘ค) = (2nd โ€˜๐‘)))
435407, 423, 4343bitr2rd 307 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 (((((๐œ‘ โˆง (๐‘ โˆช {๐‘}) โŠ† (๐‘ ร— ๐‘) โˆง ๐‘Ž โˆˆ ๐ต) โˆง ๐‘‘ โˆˆ (๐‘ โ†‘m ๐‘)) โˆง ๐‘ค โˆˆ (๐‘ โˆช {๐‘})) โˆง (1st โ€˜๐‘ค) = (1st โ€˜๐‘)) โ†’ ((2nd โ€˜๐‘ค) = (2nd โ€˜๐‘) โ†” ๐‘ค โˆˆ (๐‘‘ sSet โŸจ(1st โ€˜๐‘), (2nd โ€˜๐‘)โŸฉ)))
436122ad3antrrr 728 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 (((((๐œ‘ โˆง (๐‘ โˆช {๐‘}) โŠ† (๐‘ ร— ๐‘) โˆง ๐‘Ž โˆˆ ๐ต) โˆง ๐‘‘ โˆˆ (๐‘ โ†‘m ๐‘)) โˆง ๐‘ค โˆˆ (๐‘ โˆช {๐‘})) โˆง (1st โ€˜๐‘ค) = (1st โ€˜๐‘)) โ†’ ๐‘ โˆˆ (๐‘ ร— ๐‘))
437 xpopth 7954 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 ((๐‘ค โˆˆ (๐‘ ร— ๐‘) โˆง ๐‘ โˆˆ (๐‘ ร— ๐‘)) โ†’ (((1st โ€˜๐‘ค) = (1st โ€˜๐‘) โˆง (2nd โ€˜๐‘ค) = (2nd โ€˜๐‘)) โ†” ๐‘ค = ๐‘))
438404, 436, 437syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 (((((๐œ‘ โˆง (๐‘ โˆช {๐‘}) โŠ† (๐‘ ร— ๐‘) โˆง ๐‘Ž โˆˆ ๐ต) โˆง ๐‘‘ โˆˆ (๐‘ โ†‘m ๐‘)) โˆง ๐‘ค โˆˆ (๐‘ โˆช {๐‘})) โˆง (1st โ€˜๐‘ค) = (1st โ€˜๐‘)) โ†’ (((1st โ€˜๐‘ค) = (1st โ€˜๐‘) โˆง (2nd โ€˜๐‘ค) = (2nd โ€˜๐‘)) โ†” ๐‘ค = ๐‘))
439400, 435, 4383bitr3rd 309 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 (((((๐œ‘ โˆง (๐‘ โˆช {๐‘}) โŠ† (๐‘ ร— ๐‘) โˆง ๐‘Ž โˆˆ ๐ต) โˆง ๐‘‘ โˆˆ (๐‘ โ†‘m ๐‘)) โˆง ๐‘ค โˆˆ (๐‘ โˆช {๐‘})) โˆง (1st โ€˜๐‘ค) = (1st โ€˜๐‘)) โ†’ (๐‘ค = ๐‘ โ†” ๐‘ค โˆˆ (๐‘‘ sSet โŸจ(1st โ€˜๐‘), (2nd โ€˜๐‘)โŸฉ)))
440439ifbid 4507 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 (((((๐œ‘ โˆง (๐‘ โˆช {๐‘}) โŠ† (๐‘ ร— ๐‘) โˆง ๐‘Ž โˆˆ ๐ต) โˆง ๐‘‘ โˆˆ (๐‘ โ†‘m ๐‘)) โˆง ๐‘ค โˆˆ (๐‘ โˆช {๐‘})) โˆง (1st โ€˜๐‘ค) = (1st โ€˜๐‘)) โ†’ if(๐‘ค = ๐‘, 1 , 0 ) = if(๐‘ค โˆˆ (๐‘‘ sSet โŸจ(1st โ€˜๐‘), (2nd โ€˜๐‘)โŸฉ), 1 , 0 ))
441398, 440eqtrd 2777 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (((((๐œ‘ โˆง (๐‘ โˆช {๐‘}) โŠ† (๐‘ ร— ๐‘) โˆง ๐‘Ž โˆˆ ๐ต) โˆง ๐‘‘ โˆˆ (๐‘ โ†‘m ๐‘)) โˆง ๐‘ค โˆˆ (๐‘ โˆช {๐‘})) โˆง (1st โ€˜๐‘ค) = (1st โ€˜๐‘)) โ†’ if((1st โ€˜๐‘ค) = (1st โ€˜๐‘), if(๐‘ค = ๐‘, 1 , 0 ), (๐‘Žโ€˜๐‘ค)) = if(๐‘ค โˆˆ (๐‘‘ sSet โŸจ(1st โ€˜๐‘), (2nd โ€˜๐‘)โŸฉ), 1 , 0 ))
442441a1d 25 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (((((๐œ‘ โˆง (๐‘ โˆช {๐‘}) โŠ† (๐‘ ร— ๐‘) โˆง ๐‘Ž โˆˆ ๐ต) โˆง ๐‘‘ โˆˆ (๐‘ โ†‘m ๐‘)) โˆง ๐‘ค โˆˆ (๐‘ โˆช {๐‘})) โˆง (1st โ€˜๐‘ค) = (1st โ€˜๐‘)) โ†’ ((๐‘ค โˆˆ ๐‘ โ†’ (๐‘Žโ€˜๐‘ค) = if(๐‘ค โˆˆ ๐‘‘, 1 , 0 )) โ†’ if((1st โ€˜๐‘ค) = (1st โ€˜๐‘), if(๐‘ค = ๐‘, 1 , 0 ), (๐‘Žโ€˜๐‘ค)) = if(๐‘ค โˆˆ (๐‘‘ sSet โŸจ(1st โ€˜๐‘), (2nd โ€˜๐‘)โŸฉ), 1 , 0 )))
443 elsni 4601 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 (๐‘ค โˆˆ {๐‘} โ†’ ๐‘ค = ๐‘)
444443fveq2d 6843 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 (๐‘ค โˆˆ {๐‘} โ†’ (1st โ€˜๐‘ค) = (1st โ€˜๐‘))
445444con3i 154 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 (ยฌ (1st โ€˜๐‘ค) = (1st โ€˜๐‘) โ†’ ยฌ ๐‘ค โˆˆ {๐‘})
446445adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ((๐‘ค โˆˆ (๐‘ โˆช {๐‘}) โˆง ยฌ (1st โ€˜๐‘ค) = (1st โ€˜๐‘)) โ†’ ยฌ ๐‘ค โˆˆ {๐‘})
447 elun 4106 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 (๐‘ค โˆˆ (๐‘ โˆช {๐‘}) โ†” (๐‘ค โˆˆ ๐‘ โˆจ ๐‘ค โˆˆ {๐‘}))
448447biimpi 215 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 (๐‘ค โˆˆ (๐‘ โˆช {๐‘}) โ†’ (๐‘ค โˆˆ ๐‘ โˆจ ๐‘ค โˆˆ {๐‘}))
449448adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ((๐‘ค โˆˆ (๐‘ โˆช {๐‘}) โˆง ยฌ (1st โ€˜๐‘ค) = (1st โ€˜๐‘)) โ†’ (๐‘ค โˆˆ ๐‘ โˆจ ๐‘ค โˆˆ {๐‘}))
450 orel2 889 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 (ยฌ ๐‘ค โˆˆ {๐‘} โ†’ ((๐‘ค โˆˆ ๐‘ โˆจ ๐‘ค โˆˆ {๐‘}) โ†’ ๐‘ค โˆˆ ๐‘))
451446, 449, 450sylc 65 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ((๐‘ค โˆˆ (๐‘ โˆช {๐‘}) โˆง ยฌ (1st โ€˜๐‘ค) = (1st โ€˜๐‘)) โ†’ ๐‘ค โˆˆ ๐‘)
452451adantll 712 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (((((๐œ‘ โˆง (๐‘ โˆช {๐‘}) โŠ† (๐‘ ร— ๐‘) โˆง ๐‘Ž โˆˆ ๐ต) โˆง ๐‘‘ โˆˆ (๐‘ โ†‘m ๐‘)) โˆง ๐‘ค โˆˆ (๐‘ โˆช {๐‘})) โˆง ยฌ (1st โ€˜๐‘ค) = (1st โ€˜๐‘)) โ†’ ๐‘ค โˆˆ ๐‘)
453 iffalse 4493 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 (ยฌ (1st โ€˜๐‘ค) = (1st โ€˜๐‘) โ†’ if((1st โ€˜๐‘ค) = (1st โ€˜๐‘), if(๐‘ค = ๐‘, 1 , 0 ), if(๐‘ค โˆˆ ๐‘‘, 1 , 0 )) = if(๐‘ค โˆˆ ๐‘‘, 1 , 0 ))
454453adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 (((((๐œ‘ โˆง (๐‘ โˆช {๐‘}) โŠ† (๐‘ ร— ๐‘) โˆง ๐‘Ž โˆˆ ๐ต) โˆง ๐‘‘ โˆˆ (๐‘ โ†‘m ๐‘)) โˆง ๐‘ค โˆˆ (๐‘ โˆช {๐‘})) โˆง ยฌ (1st โ€˜๐‘ค) = (1st โ€˜๐‘)) โ†’ if((1st โ€˜๐‘ค) = (1st โ€˜๐‘), if(๐‘ค = ๐‘, 1 , 0 ), if(๐‘ค โˆˆ ๐‘‘, 1 , 0 )) = if(๐‘ค โˆˆ ๐‘‘, 1 , 0 ))
455 setsres 17010 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 (๐‘‘ โˆˆ V โ†’ ((๐‘‘ sSet โŸจ(1st โ€˜๐‘), (2nd โ€˜๐‘)โŸฉ) โ†พ (V โˆ– {(1st โ€˜๐‘)})) = (๐‘‘ โ†พ (V โˆ– {(1st โ€˜๐‘)})))
456455eleq2d 2823 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 (๐‘‘ โˆˆ V โ†’ (โŸจ(1st โ€˜๐‘ค), (2nd โ€˜๐‘ค)โŸฉ โˆˆ ((๐‘‘ sSet โŸจ(1st โ€˜๐‘), (2nd โ€˜๐‘)โŸฉ) โ†พ (V โˆ– {(1st โ€˜๐‘)})) โ†” โŸจ(1st โ€˜๐‘ค), (2nd โ€˜๐‘ค)โŸฉ โˆˆ (๐‘‘ โ†พ (V โˆ– {(1st โ€˜๐‘)}))))
457426, 456mp1i 13 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 (((((๐œ‘ โˆง (๐‘ โˆช {๐‘}) โŠ† (๐‘ ร— ๐‘) โˆง ๐‘Ž โˆˆ ๐ต) โˆง ๐‘‘ โˆˆ (๐‘ โ†‘m ๐‘)) โˆง ๐‘ค โˆˆ (๐‘ โˆช {๐‘})) โˆง ยฌ (1st โ€˜๐‘ค) = (1st โ€˜๐‘)) โ†’ (โŸจ(1st โ€˜๐‘ค), (2nd โ€˜๐‘ค)โŸฉ โˆˆ ((๐‘‘ sSet โŸจ(1st โ€˜๐‘), (2nd โ€˜๐‘)โŸฉ) โ†พ (V โˆ– {(1st โ€˜๐‘)})) โ†” โŸจ(1st โ€˜๐‘ค), (2nd โ€˜๐‘ค)โŸฉ โˆˆ (๐‘‘ โ†พ (V โˆ– {(1st โ€˜๐‘)}))))
458 fvex 6852 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 (1st โ€˜๐‘ค) โˆˆ V
459458a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 (ยฌ (1st โ€˜๐‘ค) = (1st โ€˜๐‘) โ†’ (1st โ€˜๐‘ค) โˆˆ V)
460 neqne 2949 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 (ยฌ (1st โ€˜๐‘ค) = (1st โ€˜๐‘) โ†’ (1st โ€˜๐‘ค) โ‰  (1st โ€˜๐‘))
461 eldifsn 4745 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 ((1st โ€˜๐‘ค) โˆˆ (V โˆ– {(1st โ€˜๐‘)}) โ†” ((1st โ€˜๐‘ค) โˆˆ V โˆง (1st โ€˜๐‘ค) โ‰  (1st โ€˜๐‘)))
462459, 460, 461sylanbrc 583 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 (ยฌ (1st โ€˜๐‘ค) = (1st โ€˜๐‘) โ†’ (1st โ€˜๐‘ค) โˆˆ (V โˆ– {(1st โ€˜๐‘)}))
463 fvex 6852 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 (2nd โ€˜๐‘ค) โˆˆ V
464463opres 5945 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 ((1st โ€˜๐‘ค) โˆˆ (V โˆ– {(1st โ€˜๐‘)}) โ†’ (โŸจ(1st โ€˜๐‘ค), (2nd โ€˜๐‘ค)โŸฉ โˆˆ ((๐‘‘ sSet โŸจ(1st โ€˜๐‘), (2nd โ€˜๐‘)โŸฉ) โ†พ (V โˆ– {(1st โ€˜๐‘)})) โ†” โŸจ(1st โ€˜๐‘ค), (2nd โ€˜๐‘ค)โŸฉ โˆˆ (๐‘‘ sSet โŸจ(1st โ€˜๐‘), (2nd โ€˜๐‘)โŸฉ)))
465464adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 ((๐‘ค โˆˆ (๐‘ ร— ๐‘) โˆง (1st โ€˜๐‘ค) โˆˆ (V โˆ– {(1st โ€˜๐‘)})) โ†’ (โŸจ(1st โ€˜๐‘ค), (2nd โ€˜๐‘ค)โŸฉ โˆˆ ((๐‘‘ sSet โŸจ(1st โ€˜๐‘), (2nd โ€˜๐‘)โŸฉ) โ†พ (V โˆ– {(1st โ€˜๐‘)})) โ†” โŸจ(1st โ€˜๐‘ค), (2nd โ€˜๐‘ค)โŸฉ โˆˆ (๐‘‘ sSet โŸจ(1st โ€˜๐‘), (2nd โ€˜๐‘)โŸฉ)))
466 1st2nd2 7952 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 (๐‘ค โˆˆ (๐‘ ร— ๐‘) โ†’ ๐‘ค = โŸจ(1st โ€˜๐‘ค), (2nd โ€˜๐‘ค)โŸฉ)
467466eleq1d 2822 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 (๐‘ค โˆˆ (๐‘ ร— ๐‘) โ†’ (๐‘ค โˆˆ (๐‘‘ sSet โŸจ(1st โ€˜๐‘), (2nd โ€˜๐‘)โŸฉ) โ†” โŸจ(1st โ€˜๐‘ค), (2nd โ€˜๐‘ค)โŸฉ โˆˆ (๐‘‘ sSet โŸจ(1st โ€˜๐‘), (2nd โ€˜๐‘)โŸฉ)))
468467adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 ((๐‘ค โˆˆ (๐‘ ร— ๐‘) โˆง (1st โ€˜๐‘ค) โˆˆ (V โˆ– {(1st โ€˜๐‘)})) โ†’ (๐‘ค โˆˆ (๐‘‘ sSet โŸจ(1st โ€˜๐‘), (2nd โ€˜๐‘)โŸฉ) โ†” โŸจ(1st โ€˜๐‘ค), (2nd โ€˜๐‘ค)โŸฉ โˆˆ (๐‘‘ sSet โŸจ(1st โ€˜๐‘), (2nd โ€˜๐‘)โŸฉ)))
469465, 468bitr4d 281 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 ((๐‘ค โˆˆ (๐‘ ร— ๐‘) โˆง (1st โ€˜๐‘ค) โˆˆ (V โˆ– {(1st โ€˜๐‘)})) โ†’ (โŸจ(1st โ€˜๐‘ค), (2nd โ€˜๐‘ค)โŸฉ โˆˆ ((๐‘‘ sSet โŸจ(1st โ€˜๐‘), (2nd โ€˜๐‘)โŸฉ) โ†พ (V โˆ– {(1st โ€˜๐‘)})) โ†” ๐‘ค โˆˆ (๐‘‘ sSet โŸจ(1st โ€˜๐‘), (2nd โ€˜๐‘)โŸฉ)))
470403, 462, 469syl2an 596 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 (((((๐œ‘ โˆง (๐‘ โˆช {๐‘}) โŠ† (๐‘ ร— ๐‘) โˆง ๐‘Ž โˆˆ ๐ต) โˆง ๐‘‘ โˆˆ (๐‘ โ†‘m ๐‘)) โˆง ๐‘ค โˆˆ (๐‘ โˆช {๐‘})) โˆง ยฌ (1st โ€˜๐‘ค) = (1st โ€˜๐‘)) โ†’ (โŸจ(1st โ€˜๐‘ค), (2nd โ€˜๐‘ค)โŸฉ โˆˆ ((๐‘‘ sSet โŸจ(1st โ€˜๐‘), (2nd โ€˜๐‘)โŸฉ) โ†พ (V โˆ– {(1st โ€˜๐‘)})) โ†” ๐‘ค โˆˆ (๐‘‘ sSet โŸจ(1st โ€˜๐‘), (2nd โ€˜๐‘)โŸฉ)))
471463opres 5945 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 ((1st โ€˜๐‘ค) โˆˆ (V โˆ– {(1st โ€˜๐‘)}) โ†’ (โŸจ(1st โ€˜๐‘ค), (2nd โ€˜๐‘ค)โŸฉ โˆˆ (๐‘‘ โ†พ (V โˆ– {(1st โ€˜๐‘)})) โ†” โŸจ(1st โ€˜๐‘ค), (2nd โ€˜๐‘ค)โŸฉ โˆˆ ๐‘‘))
472471adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 ((๐‘ค โˆˆ (๐‘ ร— ๐‘) โˆง (1st โ€˜๐‘ค) โˆˆ (V โˆ– {(1st โ€˜๐‘)})) โ†’ (โŸจ(1st โ€˜๐‘ค), (2nd โ€˜๐‘ค)โŸฉ โˆˆ (๐‘‘ โ†พ (V โˆ– {(1st โ€˜๐‘)})) โ†” โŸจ(1st โ€˜๐‘ค), (2nd โ€˜๐‘ค)โŸฉ โˆˆ ๐‘‘))
473466eleq1d 2822 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 (๐‘ค โˆˆ (๐‘ ร— ๐‘) โ†’ (๐‘ค โˆˆ ๐‘‘ โ†” โŸจ(1st โ€˜๐‘ค), (2nd โ€˜๐‘ค)โŸฉ โˆˆ ๐‘‘))
474473adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 ((๐‘ค โˆˆ (๐‘ ร— ๐‘) โˆง (1st โ€˜๐‘ค) โˆˆ (V โˆ– {(1st โ€˜๐‘)})) โ†’ (๐‘ค โˆˆ ๐‘‘ โ†” โŸจ(1st โ€˜๐‘ค), (2nd โ€˜๐‘ค)โŸฉ โˆˆ ๐‘‘))
475472, 474bitr4d 281 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 ((๐‘ค โˆˆ (๐‘ ร— ๐‘) โˆง (1st โ€˜๐‘ค) โˆˆ (V โˆ– {(1st โ€˜๐‘)})) โ†’ (โŸจ(1st โ€˜๐‘ค), (2nd โ€˜๐‘ค)โŸฉ โˆˆ (๐‘‘ โ†พ (V โˆ– {(1st โ€˜๐‘)})) โ†” ๐‘ค โˆˆ ๐‘‘))
476403, 462, 475syl2an 596 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 (((((๐œ‘ โˆง (๐‘ โˆช {๐‘}) โŠ† (๐‘ ร— ๐‘) โˆง ๐‘Ž โˆˆ ๐ต) โˆง ๐‘‘ โˆˆ (๐‘ โ†‘m ๐‘)) โˆง ๐‘ค โˆˆ (๐‘ โˆช {๐‘})) โˆง ยฌ (1st โ€˜๐‘ค) = (1st โ€˜๐‘)) โ†’ (โŸจ(1st โ€˜๐‘ค), (2nd โ€˜๐‘ค)โŸฉ โˆˆ (๐‘‘ โ†พ (V โˆ– {(1st โ€˜๐‘)})) โ†” ๐‘ค โˆˆ ๐‘‘))
477457, 470, 4763bitr3rd 309 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 (((((๐œ‘ โˆง (๐‘ โˆช {๐‘}) โŠ† (๐‘ ร— ๐‘) โˆง ๐‘Ž โˆˆ ๐ต) โˆง ๐‘‘ โˆˆ (๐‘ โ†‘m ๐‘)) โˆง ๐‘ค โˆˆ (๐‘ โˆช {๐‘})) โˆง ยฌ (1st โ€˜๐‘ค) = (1st โ€˜๐‘)) โ†’ (๐‘ค โˆˆ ๐‘‘ โ†” ๐‘ค โˆˆ (๐‘‘ sSet โŸจ(1st โ€˜๐‘), (2nd โ€˜๐‘)โŸฉ)))
478477ifbid 4507 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 (((((๐œ‘ โˆง (๐‘ โˆช {๐‘}) โŠ† (๐‘ ร— ๐‘) โˆง ๐‘Ž โˆˆ ๐ต) โˆง ๐‘‘ โˆˆ (๐‘ โ†‘m ๐‘)) โˆง ๐‘ค โˆˆ (๐‘ โˆช {๐‘})) โˆง ยฌ (1st โ€˜๐‘ค) = (1st โ€˜๐‘)) โ†’ if(๐‘ค โˆˆ ๐‘‘, 1 , 0 ) = if(๐‘ค โˆˆ (๐‘‘ sSet โŸจ(1st โ€˜๐‘), (2nd โ€˜๐‘)โŸฉ), 1 , 0 ))
479454, 478eqtrd 2777 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 (((((๐œ‘ โˆง (๐‘ โˆช {๐‘}) โŠ† (๐‘ ร— ๐‘) โˆง ๐‘Ž โˆˆ ๐ต) โˆง ๐‘‘ โˆˆ (๐‘ โ†‘m ๐‘)) โˆง ๐‘ค โˆˆ (๐‘ โˆช {๐‘})) โˆง ยฌ (1st โ€˜๐‘ค) = (1st โ€˜๐‘)) โ†’ if((1st โ€˜๐‘ค) = (1st โ€˜๐‘), if(๐‘ค = ๐‘, 1 , 0 ), if(๐‘ค โˆˆ ๐‘‘, 1 , 0 )) = if(๐‘ค โˆˆ (๐‘‘ sSet โŸจ(1st โ€˜๐‘), (2nd โ€˜๐‘)โŸฉ), 1 , 0 ))
480 ifeq2 4489 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ((๐‘Žโ€˜๐‘ค) = if(๐‘ค โˆˆ ๐‘‘, 1 , 0 ) โ†’ if((1st โ€˜๐‘ค) = (1st โ€˜๐‘), if(๐‘ค = ๐‘, 1 , 0 ), (๐‘Žโ€˜๐‘ค)) = if((1st โ€˜๐‘ค) = (1st โ€˜๐‘), if(๐‘ค = ๐‘, 1 , 0 ), if(๐‘ค โˆˆ ๐‘‘, 1 , 0 )))
481480eqeq1d 2739 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ((๐‘Žโ€˜๐‘ค) = if(๐‘ค โˆˆ ๐‘‘, 1 , 0 ) โ†’ (if((1st โ€˜๐‘ค) = (1st โ€˜๐‘), if(๐‘ค = ๐‘, 1 , 0 ), (๐‘Žโ€˜๐‘ค)) = if(๐‘ค โˆˆ (๐‘‘ sSet โŸจ(1st โ€˜๐‘), (2nd โ€˜๐‘)โŸฉ), 1 , 0 ) โ†” if((1st โ€˜๐‘ค) = (1st โ€˜๐‘), if(๐‘ค = ๐‘, 1 , 0 ), if(๐‘ค โˆˆ ๐‘‘, 1 , 0 )) = if(๐‘ค โˆˆ (๐‘‘ sSet โŸจ(1st โ€˜๐‘), (2nd โ€˜๐‘)โŸฉ), 1 , 0 )))
482479, 481syl5ibrcom 246 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (((((๐œ‘ โˆง (๐‘ โˆช {๐‘}) โŠ† (๐‘ ร— ๐‘) โˆง ๐‘Ž โˆˆ ๐ต) โˆง ๐‘‘ โˆˆ (๐‘ โ†‘m ๐‘)) โˆง ๐‘ค โˆˆ (๐‘ โˆช {๐‘})) โˆง ยฌ (1st โ€˜๐‘ค) = (1st โ€˜๐‘)) โ†’ ((๐‘Žโ€˜๐‘ค) = if(๐‘ค โˆˆ ๐‘‘, 1 , 0 ) โ†’ if((1st โ€˜๐‘ค) = (1st โ€˜๐‘), if(๐‘ค = ๐‘, 1 , 0 ), (๐‘Žโ€˜๐‘ค)) = if(๐‘ค โˆˆ (๐‘‘ sSet โŸจ(1st โ€˜๐‘), (2nd โ€˜๐‘)โŸฉ), 1 , 0 )))
483452, 482embantd 59 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (((((๐œ‘ โˆง (๐‘ โˆช {๐‘}) โŠ† (๐‘ ร— ๐‘) โˆง ๐‘Ž โˆˆ ๐ต) โˆง ๐‘‘ โˆˆ (๐‘ โ†‘m ๐‘)) โˆง ๐‘ค โˆˆ (๐‘ โˆช {๐‘})) โˆง ยฌ (1st โ€˜๐‘ค) = (1st โ€˜๐‘)) โ†’ ((๐‘ค โˆˆ ๐‘ โ†’ (๐‘Žโ€˜๐‘ค) = if(๐‘ค โˆˆ ๐‘‘, 1 , 0 )) โ†’ if((1st โ€˜๐‘ค) = (1st โ€˜๐‘), if(๐‘ค = ๐‘, 1 , 0 ), (๐‘Žโ€˜๐‘ค)) = if(๐‘ค โˆˆ (๐‘‘ sSet โŸจ(1st โ€˜๐‘), (2nd โ€˜๐‘)โŸฉ), 1 , 0 )))
484442, 483pm2.61dan 811 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((((๐œ‘ โˆง (๐‘ โˆช {๐‘}) โŠ† (๐‘ ร— ๐‘) โˆง ๐‘Ž โˆˆ ๐ต) โˆง ๐‘‘ โˆˆ (๐‘ โ†‘m ๐‘)) โˆง ๐‘ค โˆˆ (๐‘ โˆช {๐‘})) โ†’ ((๐‘ค โˆˆ ๐‘ โ†’ (๐‘Žโ€˜๐‘ค) = if(๐‘ค โˆˆ ๐‘‘, 1 , 0 )) โ†’ if((1st โ€˜๐‘ค) = (1st โ€˜๐‘), if(๐‘ค = ๐‘, 1 , 0 ), (๐‘Žโ€˜๐‘ค)) = if(๐‘ค โˆˆ (๐‘‘ sSet โŸจ(1st โ€˜๐‘), (2nd โ€˜๐‘)โŸฉ), 1 , 0 )))
485 fveqeq2 6848 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 (๐‘’ = ๐‘ค โ†’ ((1st โ€˜๐‘’) = (1st โ€˜๐‘) โ†” (1st โ€˜๐‘ค) = (1st โ€˜๐‘)))
486 equequ1 2028 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 (๐‘’ = ๐‘ค โ†’ (๐‘’ = ๐‘ โ†” ๐‘ค = ๐‘))
487486ifbid 4507 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 (๐‘’ = ๐‘ค โ†’ if(๐‘’ = ๐‘, 1 , 0 ) = if(๐‘ค = ๐‘, 1 , 0 ))
488 fveq2 6839 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 (๐‘’ = ๐‘ค โ†’ (๐‘Žโ€˜๐‘’) = (๐‘Žโ€˜๐‘ค))
489485, 487, 488ifbieq12d 4512 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 (๐‘’ = ๐‘ค โ†’ if((1st โ€˜๐‘’) = (1st โ€˜๐‘), if(๐‘’ = ๐‘, 1 , 0 ), (๐‘Žโ€˜๐‘’)) = if((1st โ€˜๐‘ค) = (1st โ€˜๐‘), if(๐‘ค = ๐‘, 1 , 0 ), (๐‘Žโ€˜๐‘ค)))
490 eqid 2737 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 (๐‘’ โˆˆ (๐‘ ร— ๐‘) โ†ฆ if((1st โ€˜๐‘’) = (1st โ€˜๐‘), if(๐‘’ = ๐‘, 1 , 0 ), (๐‘Žโ€˜๐‘’))) = (๐‘’ โˆˆ (๐‘ ร— ๐‘) โ†ฆ if((1st โ€˜๐‘’) = (1st โ€˜๐‘), if(๐‘’ = ๐‘, 1 , 0 ), (๐‘Žโ€˜๐‘’)))
491165, 162ifex 4534 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 if(๐‘ค = ๐‘, 1 , 0 ) โˆˆ V
492 fvex 6852 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 (๐‘Žโ€˜๐‘ค) โˆˆ V
493491, 492ifex 4534 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 if((1st โ€˜๐‘ค) = (1st โ€˜๐‘), if(๐‘ค = ๐‘, 1 , 0 ), (๐‘Žโ€˜๐‘ค)) โˆˆ V
494489, 490, 493fvmpt 6945 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (๐‘ค โˆˆ (๐‘ ร— ๐‘) โ†’ ((๐‘’ โˆˆ (๐‘ ร— ๐‘) โ†ฆ if((1st โ€˜๐‘’) = (1st โ€˜๐‘), if(๐‘’ = ๐‘, 1 , 0 ), (๐‘Žโ€˜๐‘’)))โ€˜๐‘ค) = if((1st โ€˜๐‘ค) = (1st โ€˜๐‘), if(๐‘ค = ๐‘, 1 , 0 ), (๐‘Žโ€˜๐‘ค)))
495494eqeq1d 2739 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (๐‘ค โˆˆ (๐‘ ร— ๐‘) โ†’ (((๐‘’ โˆˆ (๐‘ ร— ๐‘) โ†ฆ if((1st โ€˜๐‘’) = (1st โ€˜๐‘), if(๐‘’ = ๐‘, 1 , 0 ), (๐‘Žโ€˜๐‘’)))โ€˜๐‘ค) = if(๐‘ค โˆˆ (๐‘‘ sSet โŸจ(1st โ€˜๐‘), (2nd โ€˜๐‘)โŸฉ), 1 , 0 ) โ†” if((1st โ€˜๐‘ค) = (1st โ€˜๐‘), if(๐‘ค = ๐‘, 1 , 0 ), (๐‘Žโ€˜๐‘ค)) = if(๐‘ค โˆˆ (๐‘‘ sSet โŸจ(1st โ€˜๐‘), (2nd โ€˜๐‘)โŸฉ), 1 , 0 )))
496403, 495syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((((๐œ‘ โˆง (๐‘ โˆช {๐‘}) โŠ† (๐‘ ร— ๐‘) โˆง ๐‘Ž โˆˆ ๐ต) โˆง ๐‘‘ โˆˆ (๐‘ โ†‘m ๐‘)) โˆง ๐‘ค โˆˆ (๐‘ โˆช {๐‘})) โ†’ (((๐‘’ โˆˆ (๐‘ ร— ๐‘) โ†ฆ if((1st โ€˜๐‘’) = (1st โ€˜๐‘), if(๐‘’ = ๐‘, 1 , 0 ), (๐‘Žโ€˜๐‘’)))โ€˜๐‘ค) = if(๐‘ค โˆˆ (๐‘‘ sSet โŸจ(1st โ€˜๐‘), (2nd โ€˜๐‘)โŸฉ), 1 , 0 ) โ†” if((1st โ€˜๐‘ค) = (1st โ€˜๐‘), if(๐‘ค = ๐‘, 1 , 0 ), (๐‘Žโ€˜๐‘ค)) = if(๐‘ค โˆˆ (๐‘‘ sSet โŸจ(1st โ€˜๐‘), (2nd โ€˜๐‘)โŸฉ), 1 , 0 )))
497484, 496sylibrd 258 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((((๐œ‘ โˆง (๐‘ โˆช {๐‘}) โŠ† (๐‘ ร— ๐‘) โˆง ๐‘Ž โˆˆ ๐ต) โˆง ๐‘‘ โˆˆ (๐‘ โ†‘m ๐‘)) โˆง ๐‘ค โˆˆ (๐‘ โˆช {๐‘})) โ†’ ((๐‘ค โˆˆ ๐‘ โ†’ (๐‘Žโ€˜๐‘ค) = if(๐‘ค โˆˆ ๐‘‘, 1 , 0 )) โ†’ ((๐‘’ โˆˆ (๐‘ ร— ๐‘) โ†ฆ if((1st โ€˜๐‘’) = (1st โ€˜๐‘), if(๐‘’ = ๐‘, 1 , 0 ), (๐‘Žโ€˜๐‘’)))โ€˜๐‘ค) = if(๐‘ค โˆˆ (๐‘‘ sSet โŸจ(1st โ€˜๐‘), (2nd โ€˜๐‘)โŸฉ), 1 , 0 )))
498497ralimdva 3162 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ โˆช {๐‘}) โŠ† (๐‘ ร— ๐‘) โˆง ๐‘Ž โˆˆ ๐ต) โˆง ๐‘‘ โˆˆ (๐‘ โ†‘m ๐‘)) โ†’ (โˆ€๐‘ค โˆˆ (๐‘ โˆช {๐‘})(๐‘ค โˆˆ ๐‘ โ†’ (๐‘Žโ€˜๐‘ค) = if(๐‘ค โˆˆ ๐‘‘, 1 , 0 )) โ†’ โˆ€๐‘ค โˆˆ (๐‘ โˆช {๐‘})((๐‘’ โˆˆ (๐‘ ร— ๐‘) โ†ฆ if((1st โ€˜๐‘’) = (1st โ€˜๐‘), if(๐‘’ = ๐‘, 1 , 0 ), (๐‘Žโ€˜๐‘’)))โ€˜๐‘ค) = if(๐‘ค โˆˆ (๐‘‘ sSet โŸจ(1st โ€˜๐‘), (2nd โ€˜๐‘)โŸฉ), 1 , 0 )))
499396, 498biimtrid 241 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ โˆช {๐‘}) โŠ† (๐‘ ร— ๐‘) โˆง ๐‘Ž โˆˆ ๐ต) โˆง ๐‘‘ โˆˆ (๐‘ โ†‘m ๐‘)) โ†’ (โˆ€๐‘ค โˆˆ ๐‘ (๐‘Žโ€˜๐‘ค) = if(๐‘ค โˆˆ ๐‘‘, 1 , 0 ) โ†’ โˆ€๐‘ค โˆˆ (๐‘ โˆช {๐‘})((๐‘’ โˆˆ (๐‘ ร— ๐‘) โ†ฆ if((1st โ€˜๐‘’) = (1st โ€˜๐‘), if(๐‘’ = ๐‘, 1 , 0 ), (๐‘Žโ€˜๐‘’)))โ€˜๐‘ค) = if(๐‘ค โˆˆ (๐‘‘ sSet โŸจ(1st โ€˜๐‘), (2nd โ€˜๐‘)โŸฉ), 1 , 0 )))
500499impr 455 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ โˆช {๐‘}) โŠ† (๐‘ ร— ๐‘) โˆง ๐‘Ž โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘‘ โˆˆ (๐‘ โ†‘m ๐‘) โˆง โˆ€๐‘ค โˆˆ ๐‘ (๐‘Žโ€˜๐‘ค) = if(๐‘ค โˆˆ ๐‘‘, 1 , 0 ))) โ†’ โˆ€๐‘ค โˆˆ (๐‘ โˆช {๐‘})((๐‘’ โˆˆ (๐‘ ร— ๐‘) โ†ฆ if((1st โ€˜๐‘’) = (1st โ€˜๐‘), if(๐‘’ = ๐‘, 1 , 0 ), (๐‘Žโ€˜๐‘’)))โ€˜๐‘ค) = if(๐‘ค โˆˆ (๐‘‘ sSet โŸจ(1st โ€˜๐‘), (2nd โ€˜๐‘)โŸฉ), 1 , 0 ))
5015003adantr1 1169 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ โˆช {๐‘}) โŠ† (๐‘ ร— ๐‘) โˆง ๐‘Ž โˆˆ ๐ต) โˆง ((๐‘ โˆช {๐‘}) โˆˆ ๐‘Œ โˆง ๐‘‘ โˆˆ (๐‘ โ†‘m ๐‘) โˆง โˆ€๐‘ค โˆˆ ๐‘ (๐‘Žโ€˜๐‘ค) = if(๐‘ค โˆˆ ๐‘‘, 1 , 0 ))) โ†’ โˆ€๐‘ค โˆˆ (๐‘ โˆช {๐‘})((๐‘’ โˆˆ (๐‘ ร— ๐‘) โ†ฆ if((1st โ€˜๐‘’) = (1st โ€˜๐‘), if(๐‘’ = ๐‘, 1 , 0 ), (๐‘Žโ€˜๐‘’)))โ€˜๐‘ค) = if(๐‘ค โˆˆ (๐‘‘ sSet โŸจ(1st โ€˜๐‘), (2nd โ€˜๐‘)โŸฉ), 1 , 0 ))
502348adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ โˆช {๐‘}) โŠ† (๐‘ ร— ๐‘) โˆง ๐‘Ž โˆˆ ๐ต) โˆง ((๐‘ โˆช {๐‘}) โˆˆ ๐‘Œ โˆง ๐‘‘ โˆˆ (๐‘ โ†‘m ๐‘) โˆง โˆ€๐‘ค โˆˆ ๐‘ (๐‘Žโ€˜๐‘ค) = if(๐‘ค โˆˆ ๐‘‘, 1 , 0 ))) โ†’ (๐‘’ โˆˆ (๐‘ ร— ๐‘) โ†ฆ if((1st โ€˜๐‘’) = (1st โ€˜๐‘), if(๐‘’ = ๐‘, 1 , 0 ), (๐‘Žโ€˜๐‘’))) โˆˆ ๐ต)
503 simpr2 1195 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ โˆช {๐‘}) โŠ† (๐‘ ร— ๐‘) โˆง ๐‘Ž โˆˆ ๐ต) โˆง ((๐‘ โˆช {๐‘}) โˆˆ ๐‘Œ โˆง ๐‘‘ โˆˆ (๐‘ โ†‘m ๐‘) โˆง โˆ€๐‘ค โˆˆ ๐‘ (๐‘Žโ€˜๐‘ค) = if(๐‘ค โˆˆ ๐‘‘, 1 , 0 ))) โ†’ ๐‘‘ โˆˆ (๐‘ โ†‘m ๐‘))
504503, 409syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ โˆช {๐‘}) โŠ† (๐‘ ร— ๐‘) โˆง ๐‘Ž โˆˆ ๐ต) โˆง ((๐‘ โˆช {๐‘}) โˆˆ ๐‘Œ โˆง ๐‘‘ โˆˆ (๐‘ โ†‘m ๐‘) โˆง โˆ€๐‘ค โˆˆ ๐‘ (๐‘Žโ€˜๐‘ค) = if(๐‘ค โˆˆ ๐‘‘, 1 , 0 ))) โ†’ ๐‘‘:๐‘โŸถ๐‘)
505124adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ โˆช {๐‘}) โŠ† (๐‘ ร— ๐‘) โˆง ๐‘Ž โˆˆ ๐ต) โˆง ((๐‘ โˆช {๐‘}) โˆˆ ๐‘Œ โˆง ๐‘‘ โˆˆ (๐‘ โ†‘m ๐‘) โˆง โˆ€๐‘ค โˆˆ ๐‘ (๐‘Žโ€˜๐‘ค) = if(๐‘ค โˆˆ ๐‘‘, 1 , 0 ))) โ†’ (1st โ€˜๐‘) โˆˆ ๐‘)
506413adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ โˆช {๐‘}) โŠ† (๐‘ ร— ๐‘) โˆง ๐‘Ž โˆˆ ๐ต) โˆง ((๐‘ โˆช {๐‘}) โˆˆ ๐‘Œ โˆง ๐‘‘ โˆˆ (๐‘ โ†‘m ๐‘) โˆง โˆ€๐‘ค โˆˆ ๐‘ (๐‘Žโ€˜๐‘ค) = if(๐‘ค โˆˆ ๐‘‘, 1 , 0 ))) โ†’ (2nd โ€˜๐‘) โˆˆ ๐‘)
507503, 504, 505, 506, 415syl211anc 1376 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ โˆช {๐‘}) โŠ† (๐‘ ร— ๐‘) โˆง ๐‘Ž โˆˆ ๐ต) โˆง ((๐‘ โˆช {๐‘}) โˆˆ ๐‘Œ โˆง ๐‘‘ โˆˆ (๐‘ โ†‘m ๐‘) โˆง โˆ€๐‘ค โˆˆ ๐‘ (๐‘Žโ€˜๐‘ค) = if(๐‘ค โˆˆ ๐‘‘, 1 , 0 ))) โ†’ (๐‘‘ sSet โŸจ(1st โ€˜๐‘), (2nd โ€˜๐‘)โŸฉ):๐‘โŸถ๐‘)
508158, 158elmapd 8737 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ โˆช {๐‘}) โŠ† (๐‘ ร— ๐‘) โˆง ๐‘Ž โˆˆ ๐ต) โ†’ ((๐‘‘ sSet โŸจ(1st โ€˜๐‘), (2nd โ€˜๐‘)โŸฉ) โˆˆ (๐‘ โ†‘m ๐‘) โ†” (๐‘‘ sSet โŸจ(1st โ€˜๐‘), (2nd โ€˜๐‘)โŸฉ):๐‘โŸถ๐‘))
509508adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ โˆช {๐‘}) โŠ† (๐‘ ร— ๐‘) โˆง ๐‘Ž โˆˆ ๐ต) โˆง ((๐‘ โˆช {๐‘}) โˆˆ ๐‘Œ โˆง ๐‘‘ โˆˆ (๐‘ โ†‘m ๐‘) โˆง โˆ€๐‘ค โˆˆ ๐‘ (๐‘Žโ€˜๐‘ค) = if(๐‘ค โˆˆ ๐‘‘, 1 , 0 ))) โ†’ ((๐‘‘ sSet โŸจ(1st โ€˜๐‘), (2nd โ€˜๐‘)โŸฉ) โˆˆ (๐‘ โ†‘m ๐‘) โ†” (๐‘‘ sSet โŸจ(1st โ€˜๐‘), (2nd โ€˜๐‘)โŸฉ):๐‘โŸถ๐‘))
510507, 509mpbird 256 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ โˆช {๐‘}) โŠ† (๐‘ ร— ๐‘) โˆง ๐‘Ž โˆˆ ๐ต) โˆง ((๐‘ โˆช {๐‘}) โˆˆ ๐‘Œ โˆง ๐‘‘ โˆˆ (๐‘ โ†‘m ๐‘) โˆง โˆ€๐‘ค โˆˆ ๐‘ (๐‘Žโ€˜๐‘ค) = if(๐‘ค โˆˆ ๐‘‘, 1 , 0 ))) โ†’ (๐‘‘ sSet โŸจ(1st โ€˜๐‘), (2nd โ€˜๐‘)โŸฉ) โˆˆ (๐‘ โ†‘m ๐‘))
511 simpr1 1194 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ โˆช {๐‘}) โŠ† (๐‘ ร— ๐‘) โˆง ๐‘Ž โˆˆ ๐ต) โˆง ((๐‘ โˆช {๐‘}) โˆˆ ๐‘Œ โˆง ๐‘‘ โˆˆ (๐‘ โ†‘m ๐‘) โˆง โˆ€๐‘ค โˆˆ ๐‘ (๐‘Žโ€˜๐‘ค) = if(๐‘ค โˆˆ ๐‘‘, 1 , 0 ))) โ†’ (๐‘ โˆช {๐‘}) โˆˆ ๐‘Œ)
512 raleq 3307 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (๐‘ฅ = (๐‘ โˆช {๐‘}) โ†’ (โˆ€๐‘ค โˆˆ ๐‘ฅ (๐‘ฆโ€˜๐‘ค) = if(๐‘ค โˆˆ ๐‘ง, 1 , 0 ) โ†” โˆ€๐‘ค โˆˆ (๐‘ โˆช {๐‘})(๐‘ฆโ€˜๐‘ค) = if(๐‘ค โˆˆ ๐‘ง, 1 , 0 )))
513512imbi1d 341 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (๐‘ฅ = (๐‘ โˆช {๐‘}) โ†’ ((โˆ€๐‘ค โˆˆ ๐‘ฅ (๐‘ฆโ€˜๐‘ค) = if(๐‘ค โˆˆ ๐‘ง, 1 , 0 ) โ†’ (๐ทโ€˜๐‘ฆ) = 0 ) โ†” (โˆ€๐‘ค โˆˆ (๐‘ โˆช {๐‘})(๐‘ฆโ€˜๐‘ค) = if(๐‘ค โˆˆ ๐‘ง, 1 , 0 ) โ†’ (๐ทโ€˜๐‘ฆ) = 0 )))
5145132ralbidv 3210 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (๐‘ฅ = (๐‘ โˆช {๐‘}) โ†’ (โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ต โˆ€๐‘ง โˆˆ (๐‘ โ†‘m ๐‘)(โˆ€๐‘ค โˆˆ ๐‘ฅ (๐‘ฆโ€˜๐‘ค) = if(๐‘ค โˆˆ ๐‘ง, 1 , 0 ) โ†’ (๐ทโ€˜๐‘ฆ) = 0 ) โ†” โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ต โˆ€๐‘ง โˆˆ (๐‘ โ†‘m ๐‘)(โˆ€๐‘ค โˆˆ (๐‘ โˆช {๐‘})(๐‘ฆโ€˜๐‘ค) = if(๐‘ค โˆˆ ๐‘ง, 1 , 0 ) โ†’ (๐ทโ€˜๐‘ฆ) = 0 )))
515514, 72elab2g 3630 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((๐‘ โˆช {๐‘}) โˆˆ ๐‘Œ โ†’ ((๐‘ โˆช {๐‘}) โˆˆ ๐‘Œ โ†” โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ต โˆ€๐‘ง โˆˆ (๐‘ โ†‘m ๐‘)(โˆ€๐‘ค โˆˆ (๐‘ โˆช {๐‘})(๐‘ฆโ€˜๐‘ค) = if(๐‘ค โˆˆ ๐‘ง, 1 , 0 ) โ†’ (๐ทโ€˜๐‘ฆ) = 0 )))
516515ibi 266 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((๐‘ โˆช {๐‘}) โˆˆ ๐‘Œ โ†’ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ต โˆ€๐‘ง โˆˆ (๐‘ โ†‘m ๐‘)(โˆ€๐‘ค โˆˆ (๐‘ โˆช {๐‘})(๐‘ฆโ€˜๐‘ค) = if(๐‘ค โˆˆ ๐‘ง, 1 , 0 ) โ†’ (๐ทโ€˜๐‘ฆ) = 0 ))
517511, 516syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ โˆช {๐‘}) โŠ† (๐‘ ร— ๐‘) โˆง ๐‘Ž โˆˆ ๐ต) โˆง ((๐‘ โˆช {๐‘}) โˆˆ ๐‘Œ โˆง ๐‘‘ โˆˆ (๐‘ โ†‘m ๐‘) โˆง โˆ€๐‘ค โˆˆ ๐‘ (๐‘Žโ€˜๐‘ค) = if(๐‘ค โˆˆ ๐‘‘, 1 , 0 ))) โ†’ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ต โˆ€๐‘ง โˆˆ (๐‘ โ†‘m ๐‘)(โˆ€๐‘ค โˆˆ (๐‘ โˆช {๐‘})(๐‘ฆโ€˜๐‘ค) = if(๐‘ค โˆˆ ๐‘ง, 1 , 0 ) โ†’ (๐ทโ€˜๐‘ฆ) = 0 ))
518 fveq1 6838 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (๐‘ฆ = (๐‘’ โˆˆ (๐‘ ร— ๐‘) โ†ฆ if((1st โ€˜๐‘’) = (1st โ€˜๐‘), if(๐‘’ = ๐‘, 1 , 0 ), (๐‘Žโ€˜๐‘’))) โ†’ (๐‘ฆโ€˜๐‘ค) = ((๐‘’ โˆˆ (๐‘ ร— ๐‘) โ†ฆ if((1st โ€˜๐‘’) = (1st โ€˜๐‘), if(๐‘’ = ๐‘, 1 , 0 ), (๐‘Žโ€˜๐‘’)))โ€˜๐‘ค))
519518eqeq1d 2739 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (๐‘ฆ = (๐‘’ โˆˆ (๐‘ ร— ๐‘) โ†ฆ if((1st โ€˜๐‘’) = (1st โ€˜๐‘), if(๐‘’ = ๐‘, 1 , 0 ), (๐‘Žโ€˜๐‘’))) โ†’ ((๐‘ฆโ€˜๐‘ค) = if(๐‘ค โˆˆ ๐‘ง, 1 , 0 ) โ†” ((๐‘’ โˆˆ (๐‘ ร— ๐‘) โ†ฆ if((1st โ€˜๐‘’) = (1st โ€˜๐‘), if(๐‘’ = ๐‘, 1 , 0 ), (๐‘Žโ€˜๐‘’)))โ€˜๐‘ค) = if(๐‘ค โˆˆ ๐‘ง, 1 , 0 )))
520519ralbidv 3172 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (๐‘ฆ = (๐‘’ โˆˆ (๐‘ ร— ๐‘) โ†ฆ if((1st โ€˜๐‘’) = (1st โ€˜๐‘), if(๐‘’ = ๐‘, 1 , 0 ), (๐‘Žโ€˜๐‘’))) โ†’ (โˆ€๐‘ค โˆˆ (๐‘ โˆช {๐‘})(๐‘ฆโ€˜๐‘ค) = if(๐‘ค โˆˆ ๐‘ง, 1 , 0 ) โ†” โˆ€๐‘ค โˆˆ (๐‘ โˆช {๐‘})((๐‘’ โˆˆ (๐‘ ร— ๐‘) โ†ฆ if((1st โ€˜๐‘’) = (1st โ€˜๐‘), if(๐‘’ = ๐‘, 1 , 0 ), (๐‘Žโ€˜๐‘’)))โ€˜๐‘ค) = if(๐‘ค โˆˆ ๐‘ง, 1 , 0 )))
521 fveqeq2 6848 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (๐‘ฆ = (๐‘’ โˆˆ (๐‘ ร— ๐‘) โ†ฆ if((1st โ€˜๐‘’) = (1st โ€˜๐‘), if(๐‘’ = ๐‘, 1 , 0 ), (๐‘Žโ€˜๐‘’))) โ†’ ((๐ทโ€˜๐‘ฆ) = 0 โ†” (๐ทโ€˜(๐‘’ โˆˆ (๐‘ ร— ๐‘) โ†ฆ if((1st โ€˜๐‘’) = (1st โ€˜๐‘), if(๐‘’ = ๐‘, 1 , 0 ), (๐‘Žโ€˜๐‘’)))) = 0 ))
522520, 521imbi12d 344 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (๐‘ฆ = (๐‘’ โˆˆ (๐‘ ร— ๐‘) โ†ฆ if((1st โ€˜๐‘’) = (1st โ€˜๐‘), if(๐‘’ = ๐‘, 1 , 0 ), (๐‘Žโ€˜๐‘’))) โ†’ ((โˆ€๐‘ค โˆˆ (๐‘ โˆช {๐‘})(๐‘ฆโ€˜๐‘ค) = if(๐‘ค โˆˆ ๐‘ง, 1 , 0 ) โ†’ (๐ทโ€˜๐‘ฆ) = 0 ) โ†” (โˆ€๐‘ค โˆˆ (๐‘ โˆช {๐‘})((๐‘’ โˆˆ (๐‘ ร— ๐‘) โ†ฆ if((1st โ€˜๐‘’) = (1st โ€˜๐‘), if(๐‘’ = ๐‘, 1 , 0 ), (๐‘Žโ€˜๐‘’)))โ€˜๐‘ค) = if(๐‘ค โˆˆ ๐‘ง, 1 , 0 ) โ†’ (๐ทโ€˜(๐‘’ โˆˆ (๐‘ ร— ๐‘) โ†ฆ if((1st โ€˜๐‘’) = (1st โ€˜๐‘), if(๐‘’ = ๐‘, 1 , 0 ), (๐‘Žโ€˜๐‘’)))) = 0 )))
523 eleq2 2826 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (๐‘ง = (๐‘‘ sSet โŸจ(1st โ€˜๐‘), (2nd โ€˜๐‘)โŸฉ) โ†’ (๐‘ค โˆˆ ๐‘ง โ†” ๐‘ค โˆˆ (๐‘‘ sSet โŸจ(1st โ€˜๐‘), (2nd โ€˜๐‘)โŸฉ)))
524523ifbid 4507 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (๐‘ง = (๐‘‘ sSet โŸจ(1st โ€˜๐‘), (2nd โ€˜๐‘)โŸฉ) โ†’ if(๐‘ค โˆˆ ๐‘ง, 1 , 0 ) = if(๐‘ค โˆˆ (๐‘‘ sSet โŸจ(1st โ€˜๐‘), (2nd โ€˜๐‘)โŸฉ), 1 , 0 ))
525524eqeq2d 2748 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (๐‘ง = (๐‘‘ sSet โŸจ(1st โ€˜๐‘), (2nd โ€˜๐‘)โŸฉ) โ†’ (((๐‘’ โˆˆ (๐‘ ร— ๐‘) โ†ฆ if((1st โ€˜๐‘’) = (1st โ€˜๐‘), if(๐‘’ = ๐‘, 1 , 0 ), (๐‘Žโ€˜๐‘’)))โ€˜๐‘ค) = if(๐‘ค โˆˆ ๐‘ง, 1 , 0 ) โ†” ((๐‘’ โˆˆ (๐‘ ร— ๐‘) โ†ฆ if((1st โ€˜๐‘’) = (1st โ€˜๐‘), if(๐‘’ = ๐‘, 1 , 0 ), (๐‘Žโ€˜๐‘’)))โ€˜๐‘ค) = if(๐‘ค โˆˆ (๐‘‘ sSet โŸจ(1st โ€˜๐‘), (2nd โ€˜๐‘)โŸฉ), 1 , 0 )))
526525ralbidv 3172 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (๐‘ง = (๐‘‘ sSet โŸจ(1st โ€˜๐‘), (2nd โ€˜๐‘)โŸฉ) โ†’ (โˆ€๐‘ค โˆˆ (๐‘ โˆช {๐‘})((๐‘’ โˆˆ (๐‘ ร— ๐‘) โ†ฆ if((1st โ€˜๐‘’) = (1st โ€˜๐‘), if(๐‘’ = ๐‘, 1 , 0 ), (๐‘Žโ€˜๐‘’)))โ€˜๐‘ค) = if(๐‘ค โˆˆ ๐‘ง, 1 , 0 ) โ†” โˆ€๐‘ค โˆˆ (๐‘ โˆช {๐‘})((๐‘’ โˆˆ (๐‘ ร— ๐‘) โ†ฆ if((1st โ€˜๐‘’) = (1st โ€˜๐‘), if(๐‘’ = ๐‘, 1 , 0 ), (๐‘Žโ€˜๐‘’)))โ€˜๐‘ค) = if(๐‘ค โˆˆ (๐‘‘ sSet โŸจ(1st โ€˜๐‘), (2nd โ€˜๐‘)โŸฉ), 1 , 0 )))
527526imbi1d 341 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (๐‘ง = (๐‘‘ sSet โŸจ(1st โ€˜๐‘), (2nd โ€˜๐‘)โŸฉ) โ†’ ((โˆ€๐‘ค โˆˆ (๐‘ โˆช {๐‘})((๐‘’ โˆˆ (๐‘ ร— ๐‘) โ†ฆ if((1st โ€˜๐‘’) = (1st โ€˜๐‘), if(๐‘’ = ๐‘, 1 , 0 ), (๐‘Žโ€˜๐‘’)))โ€˜๐‘ค) = if(๐‘ค โˆˆ ๐‘ง, 1 , 0 ) โ†’ (๐ทโ€˜(๐‘’ โˆˆ (๐‘ ร— ๐‘) โ†ฆ if((1st โ€˜๐‘’) = (1st โ€˜๐‘), if(๐‘’ = ๐‘, 1 , 0 ), (๐‘Žโ€˜๐‘’)))) = 0 ) โ†” (โˆ€๐‘ค โˆˆ (๐‘ โˆช {๐‘})((๐‘’ โˆˆ (๐‘ ร— ๐‘) โ†ฆ if((1st โ€˜๐‘’) = (1st โ€˜๐‘), if(๐‘’ = ๐‘, 1 , 0 ), (๐‘Žโ€˜๐‘’)))โ€˜๐‘ค) = if(๐‘ค โˆˆ (๐‘‘ sSet โŸจ(1st โ€˜๐‘), (2nd โ€˜๐‘)โŸฉ), 1 , 0 ) โ†’ (๐ทโ€˜(๐‘’ โˆˆ (๐‘ ร— ๐‘) โ†ฆ if((1st โ€˜๐‘’) = (1st โ€˜๐‘), if(๐‘’ = ๐‘, 1 , 0 ), (๐‘Žโ€˜๐‘’)))) = 0 )))
528522, 527rspc2va 3589 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((((๐‘’ โˆˆ (๐‘ ร— ๐‘) โ†ฆ if((1st โ€˜๐‘’) = (1st โ€˜๐‘), if(๐‘’ = ๐‘, 1 , 0 ), (๐‘Žโ€˜๐‘’))) โˆˆ ๐ต โˆง (๐‘‘ sSet โŸจ(1st โ€˜๐‘), (2nd โ€˜๐‘)โŸฉ) โˆˆ (๐‘ โ†‘m ๐‘)) โˆง โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ต โˆ€๐‘ง โˆˆ (๐‘ โ†‘m ๐‘)(โˆ€๐‘ค โˆˆ (๐‘ โˆช {๐‘})(๐‘ฆโ€˜๐‘ค) = if(๐‘ค โˆˆ ๐‘ง, 1 , 0 ) โ†’ (๐ทโ€˜๐‘ฆ) = 0 )) โ†’ (โˆ€๐‘ค โˆˆ (๐‘ โˆช {๐‘})((๐‘’ โˆˆ (๐‘ ร— ๐‘) โ†ฆ if((1st โ€˜๐‘’) = (1st โ€˜๐‘), if(๐‘’ = ๐‘, 1 , 0 ), (๐‘Žโ€˜๐‘’)))โ€˜๐‘ค) = if(๐‘ค โˆˆ (๐‘‘ sSet โŸจ(1st โ€˜๐‘), (2nd โ€˜๐‘)โŸฉ), 1 , 0 ) โ†’ (๐ทโ€˜(๐‘’ โˆˆ (๐‘ ร— ๐‘) โ†ฆ if((1st โ€˜๐‘’) = (1st โ€˜๐‘), if(๐‘’ = ๐‘, 1 , 0 ), (๐‘Žโ€˜๐‘’)))) = 0 ))
529502, 510, 517, 528syl21anc 836 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ โˆช {๐‘}) โŠ† (๐‘ ร— ๐‘) โˆง ๐‘Ž โˆˆ ๐ต) โˆง ((๐‘ โˆช {๐‘}) โˆˆ ๐‘Œ โˆง ๐‘‘ โˆˆ (๐‘ โ†‘m ๐‘) โˆง โˆ€๐‘ค โˆˆ ๐‘ (๐‘Žโ€˜๐‘ค) = if(๐‘ค โˆˆ ๐‘‘, 1 , 0 ))) โ†’ (โˆ€๐‘ค โˆˆ (๐‘ โˆช {๐‘})((๐‘’ โˆˆ (๐‘ ร— ๐‘) โ†ฆ if((1st โ€˜๐‘’) = (1st โ€˜๐‘), if(๐‘’ = ๐‘, 1 , 0 ), (๐‘Žโ€˜๐‘’)))โ€˜๐‘ค) = if(๐‘ค โˆˆ (๐‘‘ sSet โŸจ(1st โ€˜๐‘), (2nd โ€˜๐‘)โŸฉ), 1 , 0 ) โ†’ (๐ทโ€˜(๐‘’ โˆˆ (๐‘ ร— ๐‘) โ†ฆ if((1st โ€˜๐‘’) = (1st โ€˜๐‘), if(๐‘’ = ๐‘, 1 , 0 ), (๐‘Žโ€˜๐‘’)))) = 0 ))
530501, 529mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ โˆช {๐‘}) โŠ† (๐‘ ร— ๐‘) โˆง ๐‘Ž โˆˆ ๐ต) โˆง ((๐‘ โˆช {๐‘}) โˆˆ ๐‘Œ โˆง ๐‘‘ โˆˆ (๐‘ โ†‘m ๐‘) โˆง โˆ€๐‘ค โˆˆ ๐‘ (๐‘Žโ€˜๐‘ค) = if(๐‘ค โˆˆ ๐‘‘, 1 , 0 ))) โ†’ (๐ทโ€˜(๐‘’ โˆˆ (๐‘ ร— ๐‘) โ†ฆ if((1st โ€˜๐‘’) = (1st โ€˜๐‘), if(๐‘’ = ๐‘, 1 , 0 ), (๐‘Žโ€˜๐‘’)))) = 0 )
531530oveq2d 7367 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ โˆช {๐‘}) โŠ† (๐‘ ร— ๐‘) โˆง ๐‘Ž โˆˆ ๐ต) โˆง ((๐‘ โˆช {๐‘}) โˆˆ ๐‘Œ โˆง ๐‘‘ โˆˆ (๐‘ โ†‘m ๐‘) โˆง โˆ€๐‘ค โˆˆ ๐‘ (๐‘Žโ€˜๐‘ค) = if(๐‘ค โˆˆ ๐‘‘, 1 , 0 ))) โ†’ (((๐‘Žโ€˜๐‘)(-gโ€˜๐‘…)if(๐‘ โˆˆ ๐‘‘, 1 , 0 )) ยท (๐ทโ€˜(๐‘’ โˆˆ (๐‘ ร— ๐‘) โ†ฆ if((1st โ€˜๐‘’) = (1st โ€˜๐‘), if(๐‘’ = ๐‘, 1 , 0 ), (๐‘Žโ€˜๐‘’))))) = (((๐‘Žโ€˜๐‘)(-gโ€˜๐‘…)if(๐‘ โˆˆ ๐‘‘, 1 , 0 )) ยท 0 ))
532118unssad 4145 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ โˆช {๐‘}) โŠ† (๐‘ ร— ๐‘) โˆง ๐‘Ž โˆˆ ๐ต) โ†’ ๐‘ โŠ† (๐‘ ร— ๐‘))
533532adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ โˆช {๐‘}) โŠ† (๐‘ ร— ๐‘) โˆง ๐‘Ž โˆˆ ๐ต) โˆง ((๐‘ โˆช {๐‘}) โˆˆ ๐‘Œ โˆง ๐‘‘ โˆˆ (๐‘ โ†‘m ๐‘) โˆง โˆ€๐‘ค โˆˆ ๐‘ (๐‘Žโ€˜๐‘ค) = if(๐‘ค โˆˆ ๐‘‘, 1 , 0 ))) โ†’ ๐‘ โŠ† (๐‘ ร— ๐‘))
534 simpr3 1196 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ โˆช {๐‘}) โŠ† (๐‘ ร— ๐‘) โˆง ๐‘Ž โˆˆ ๐ต) โˆง ((๐‘ โˆช {๐‘}) โˆˆ ๐‘Œ โˆง ๐‘‘ โˆˆ (๐‘ โ†‘m ๐‘) โˆง โˆ€๐‘ค โˆˆ ๐‘ (๐‘Žโ€˜๐‘ค) = if(๐‘ค โˆˆ ๐‘‘, 1 , 0 ))) โ†’ โˆ€๐‘ค โˆˆ ๐‘ (๐‘Žโ€˜๐‘ค) = if(๐‘ค โˆˆ ๐‘‘, 1 , 0 ))
535 ssel2 3937 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((๐‘ โŠ† (๐‘ ร— ๐‘) โˆง ๐‘ค โˆˆ ๐‘) โ†’ ๐‘ค โˆˆ (๐‘ ร— ๐‘))
536535adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (((๐‘ โŠ† (๐‘ ร— ๐‘) โˆง ๐‘ค โˆˆ ๐‘) โˆง (๐‘Žโ€˜๐‘ค) = if(๐‘ค โˆˆ ๐‘‘, 1 , 0 )) โ†’ ๐‘ค โˆˆ (๐‘ ร— ๐‘))
537 elequ1 2113 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 (๐‘’ = ๐‘ค โ†’ (๐‘’ โˆˆ ๐‘‘ โ†” ๐‘ค โˆˆ ๐‘‘))
538537ifbid 4507 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (๐‘’ = ๐‘ค โ†’ if(๐‘’ โˆˆ ๐‘‘, 1 , 0 ) = if(๐‘ค โˆˆ ๐‘‘, 1 , 0 ))
539486, 538, 488ifbieq12d 4512 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (๐‘’ = ๐‘ค โ†’ if(๐‘’ = ๐‘, if(๐‘’ โˆˆ ๐‘‘, 1 , 0 ), (๐‘Žโ€˜๐‘’)) = if(๐‘ค = ๐‘, if(๐‘ค โˆˆ ๐‘‘, 1 , 0 ), (๐‘Žโ€˜๐‘ค)))
540 eqid 2737 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (๐‘’ โˆˆ (๐‘ ร— ๐‘) โ†ฆ if(๐‘’ = ๐‘, if(๐‘’ โˆˆ ๐‘‘, 1 , 0 ), (๐‘Žโ€˜๐‘’))) = (๐‘’ โˆˆ (๐‘ ร— ๐‘) โ†ฆ if(๐‘’ = ๐‘, if(๐‘’ โˆˆ ๐‘‘, 1 , 0 ), (๐‘Žโ€˜๐‘’)))
541165, 162ifex 4534 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 if(๐‘ค โˆˆ ๐‘‘, 1 , 0 ) โˆˆ V
542541, 492ifex 4534 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 if(๐‘ค = ๐‘, if(๐‘ค โˆˆ ๐‘‘, 1 , 0 ), (๐‘Žโ€˜๐‘ค)) โˆˆ V
543539, 540, 542fvmpt 6945 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (๐‘ค โˆˆ (๐‘ ร— ๐‘) โ†’ ((๐‘’ โˆˆ (๐‘ ร— ๐‘) โ†ฆ if(๐‘’ = ๐‘, if(๐‘’ โˆˆ ๐‘‘, 1 , 0 ), (๐‘Žโ€˜๐‘’)))โ€˜๐‘ค) = if(๐‘ค = ๐‘, if(๐‘ค โˆˆ ๐‘‘, 1 , 0 ), (๐‘Žโ€˜๐‘ค)))
544536, 543syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (((๐‘ โŠ† (๐‘ ร— ๐‘) โˆง ๐‘ค โˆˆ ๐‘) โˆง (๐‘Žโ€˜๐‘ค) = if(๐‘ค โˆˆ ๐‘‘, 1 , 0 )) โ†’ ((๐‘’ โˆˆ (๐‘ ร— ๐‘) โ†ฆ if(๐‘’ = ๐‘, if(๐‘’ โˆˆ ๐‘‘, 1 , 0 ), (๐‘Žโ€˜๐‘’)))โ€˜๐‘ค) = if(๐‘ค = ๐‘, if(๐‘ค โˆˆ ๐‘‘, 1 , 0 ), (๐‘Žโ€˜๐‘ค)))
545 ifeq2 4489 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((๐‘Žโ€˜๐‘ค) = if(๐‘ค โˆˆ ๐‘‘, 1 , 0 ) โ†’ if(๐‘ค = ๐‘, if(๐‘ค โˆˆ ๐‘‘, 1 , 0 ), (๐‘Žโ€˜๐‘ค)) = if(๐‘ค = ๐‘, if(๐‘ค โˆˆ ๐‘‘, 1 , 0 ), if(๐‘ค โˆˆ ๐‘‘, 1 , 0 )))
546545adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (((๐‘ โŠ† (๐‘ ร— ๐‘) โˆง ๐‘ค โˆˆ ๐‘) โˆง (๐‘Žโ€˜๐‘ค) = if(๐‘ค โˆˆ ๐‘‘, 1 , 0 )) โ†’ if(๐‘ค = ๐‘, if(๐‘ค โˆˆ ๐‘‘, 1 , 0 ), (๐‘Žโ€˜๐‘ค)) = if(๐‘ค = ๐‘, if(๐‘ค โˆˆ ๐‘‘, 1 , 0 ), if(๐‘ค โˆˆ ๐‘‘, 1 , 0 )))
547 ifid 4524 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 if(๐‘ค = ๐‘, if(๐‘ค โˆˆ ๐‘‘, 1 , 0 ), if(๐‘ค โˆˆ ๐‘‘, 1 , 0 )) = if(๐‘ค โˆˆ ๐‘‘, 1 , 0 )
548546, 547eqtrdi 2793 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (((๐‘ โŠ† (๐‘ ร— ๐‘) โˆง ๐‘ค โˆˆ ๐‘) โˆง (๐‘Žโ€˜๐‘ค) = if(๐‘ค โˆˆ ๐‘‘, 1 , 0 )) โ†’ if(๐‘ค = ๐‘, if(๐‘ค โˆˆ ๐‘‘, 1 , 0 ), (๐‘Žโ€˜๐‘ค)) = if(๐‘ค โˆˆ ๐‘‘, 1 , 0 ))
549544, 548eqtrd 2777 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (((๐‘ โŠ† (๐‘ ร— ๐‘) โˆง ๐‘ค โˆˆ ๐‘) โˆง (๐‘Žโ€˜๐‘ค) = if(๐‘ค โˆˆ ๐‘‘, 1 , 0 )) โ†’ ((๐‘’ โˆˆ (๐‘ ร— ๐‘) โ†ฆ if(๐‘’ = ๐‘, if(๐‘’ โˆˆ ๐‘‘, 1 , 0 ), (๐‘Žโ€˜๐‘’)))โ€˜๐‘ค) = if(๐‘ค โˆˆ ๐‘‘, 1 , 0 ))
550549ex 413 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((๐‘ โŠ† (๐‘ ร— ๐‘) โˆง ๐‘ค โˆˆ ๐‘) โ†’ ((๐‘Žโ€˜๐‘ค) = if(๐‘ค โˆˆ ๐‘‘, 1 , 0 ) โ†’ ((๐‘’ โˆˆ (๐‘ ร— ๐‘) โ†ฆ if(๐‘’ = ๐‘, if(๐‘’ โˆˆ ๐‘‘, 1 , 0 ), (๐‘Žโ€˜๐‘’)))โ€˜๐‘ค) = if(๐‘ค โˆˆ ๐‘‘, 1 , 0 )))
551550ralimdva 3162 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (๐‘ โŠ† (๐‘ ร— ๐‘) โ†’ (โˆ€๐‘ค โˆˆ ๐‘ (๐‘Žโ€˜๐‘ค) = if(๐‘ค โˆˆ ๐‘‘, 1 , 0 ) โ†’ โˆ€๐‘ค โˆˆ ๐‘ ((๐‘’ โˆˆ (๐‘ ร— ๐‘) โ†ฆ if(๐‘’ = ๐‘, if(๐‘’ โˆˆ ๐‘‘, 1 , 0 ), (๐‘Žโ€˜๐‘’)))โ€˜๐‘ค) = if(๐‘ค โˆˆ ๐‘‘, 1 , 0 )))
552533, 534, 551sylc 65 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ โˆช {๐‘}) โŠ† (๐‘ ร— ๐‘) โˆง ๐‘Ž โˆˆ ๐ต) โˆง ((๐‘ โˆช {๐‘}) โˆˆ ๐‘Œ โˆง ๐‘‘ โˆˆ (๐‘ โ†‘m ๐‘) โˆง โˆ€๐‘ค โˆˆ ๐‘ (๐‘Žโ€˜๐‘ค) = if(๐‘ค โˆˆ ๐‘‘, 1 , 0 ))) โ†’ โˆ€๐‘ค โˆˆ ๐‘ ((๐‘’ โˆˆ (๐‘ ร— ๐‘) โ†ฆ if(๐‘’ = ๐‘, if(๐‘’ โˆˆ ๐‘‘, 1 , 0 ), (๐‘Žโ€˜๐‘’)))โ€˜๐‘ค) = if(๐‘ค โˆˆ ๐‘‘, 1 , 0 ))
553142, 291eqtrd 2777 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (๐‘’ = ๐‘ โ†’ if(๐‘’ = ๐‘, if(๐‘’ โˆˆ ๐‘‘, 1 , 0 ), (๐‘Žโ€˜๐‘’)) = if(๐‘ โˆˆ ๐‘‘, 1 , 0 ))
554165, 162ifex 4534 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 if(๐‘ โˆˆ ๐‘‘, 1 , 0 ) โˆˆ V
555553, 540, 554fvmpt 6945 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (๐‘ โˆˆ (๐‘ ร— ๐‘) โ†’ ((๐‘’ โˆˆ (๐‘ ร— ๐‘) โ†ฆ if(๐‘’ = ๐‘, if(๐‘’ โˆˆ ๐‘‘, 1 , 0 ), (๐‘Žโ€˜๐‘’)))โ€˜๐‘) = if(๐‘ โˆˆ ๐‘‘, 1 , 0 ))
556122, 555syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ โˆช {๐‘}) โŠ† (๐‘ ร— ๐‘) โˆง ๐‘Ž โˆˆ ๐ต) โ†’ ((๐‘’ โˆˆ (๐‘ ร— ๐‘) โ†ฆ if(๐‘’ = ๐‘, if(๐‘’ โˆˆ ๐‘‘, 1 , 0 ), (๐‘Žโ€˜๐‘’)))โ€˜๐‘) = if(๐‘ โˆˆ ๐‘‘, 1 , 0 ))
557556adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ โˆช {๐‘}) โŠ† (๐‘ ร— ๐‘) โˆง ๐‘Ž โˆˆ ๐ต) โˆง ((๐‘ โˆช {๐‘}) โˆˆ ๐‘Œ โˆง ๐‘‘ โˆˆ (๐‘ โ†‘m ๐‘) โˆง โˆ€๐‘ค โˆˆ ๐‘ (๐‘Žโ€˜๐‘ค) = if(๐‘ค โˆˆ ๐‘‘, 1 , 0 ))) โ†’ ((๐‘’ โˆˆ (๐‘ ร— ๐‘) โ†ฆ if(๐‘’ = ๐‘, if(๐‘’ โˆˆ ๐‘‘, 1 , 0 ), (๐‘Žโ€˜๐‘’)))โ€˜๐‘) = if(๐‘ โˆˆ ๐‘‘, 1 , 0 ))
558 fveq2 6839 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (๐‘ค = ๐‘ โ†’ ((๐‘’ โˆˆ (๐‘ ร— ๐‘) โ†ฆ if(๐‘’ = ๐‘, if(๐‘’ โˆˆ ๐‘‘, 1 , 0 ), (๐‘Žโ€˜๐‘’)))โ€˜๐‘ค) = ((๐‘’ โˆˆ (๐‘ ร— ๐‘) โ†ฆ if(๐‘’ = ๐‘, if(๐‘’ โˆˆ ๐‘‘, 1 , 0 ), (๐‘Žโ€˜๐‘’)))โ€˜๐‘))
559 elequ1 2113 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (๐‘ค = ๐‘ โ†’ (๐‘ค โˆˆ ๐‘‘ โ†” ๐‘ โˆˆ ๐‘‘))
560559ifbid 4507 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (๐‘ค = ๐‘ โ†’ if(๐‘ค โˆˆ ๐‘‘, 1 , 0 ) = if(๐‘ โˆˆ ๐‘‘, 1 , 0 ))
561558, 560eqeq12d 2753 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (๐‘ค = ๐‘ โ†’ (((๐‘’ โˆˆ (๐‘ ร— ๐‘) โ†ฆ if(๐‘’ = ๐‘, if(๐‘’ โˆˆ ๐‘‘, 1 , 0 ), (๐‘Žโ€˜๐‘’)))โ€˜๐‘ค) = if(๐‘ค โˆˆ ๐‘‘, 1 , 0 ) โ†” ((๐‘’ โˆˆ (๐‘ ร— ๐‘) โ†ฆ if(๐‘’ = ๐‘, if(๐‘’ โˆˆ ๐‘‘, 1 , 0 ), (๐‘Žโ€˜๐‘’)))โ€˜๐‘) = if(๐‘ โˆˆ ๐‘‘, 1 , 0 )))
562561ralunsn 4849 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (๐‘ โˆˆ V โ†’ (โˆ€๐‘ค โˆˆ (๐‘ โˆช {๐‘})((๐‘’ โˆˆ (๐‘ ร— ๐‘) โ†ฆ if(๐‘’ = ๐‘, if(๐‘’ โˆˆ ๐‘‘, 1 , 0 ), (๐‘Žโ€˜๐‘’)))โ€˜๐‘ค) = if(๐‘ค โˆˆ ๐‘‘, 1 , 0 ) โ†” (โˆ€๐‘ค โˆˆ ๐‘ ((๐‘’ โˆˆ (๐‘ ร— ๐‘) โ†ฆ if(๐‘’ = ๐‘, if(๐‘’ โˆˆ ๐‘‘, 1 , 0 ), (๐‘Žโ€˜๐‘’)))โ€˜๐‘ค) = if(๐‘ค โˆˆ ๐‘‘, 1 , 0 ) โˆง ((๐‘’ โˆˆ (๐‘ ร— ๐‘) โ†ฆ if(๐‘’ = ๐‘, if(๐‘’ โˆˆ ๐‘‘, 1 , 0 ), (๐‘Žโ€˜๐‘’)))โ€˜๐‘) = if(๐‘ โˆˆ ๐‘‘, 1 , 0 ))))
563562elv 3449 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (โˆ€๐‘ค โˆˆ (๐‘ โˆช {๐‘})((๐‘’ โˆˆ (๐‘ ร— ๐‘) โ†ฆ if(๐‘’ = ๐‘, if(๐‘’ โˆˆ ๐‘‘, 1 , 0 ), (๐‘Žโ€˜๐‘’)))โ€˜๐‘ค) = if(๐‘ค โˆˆ ๐‘‘, 1 , 0 ) โ†” (โˆ€๐‘ค โˆˆ ๐‘ ((๐‘’ โˆˆ (๐‘ ร— ๐‘) โ†ฆ if(๐‘’ = ๐‘, if(๐‘’ โˆˆ ๐‘‘, 1 , 0 ), (๐‘Žโ€˜๐‘’)))โ€˜๐‘ค) = if(๐‘ค โˆˆ ๐‘‘, 1 , 0 ) โˆง ((๐‘’ โˆˆ (๐‘ ร— ๐‘) โ†ฆ if(๐‘’ = ๐‘, if(๐‘’ โˆˆ ๐‘‘, 1 , 0 ), (๐‘Žโ€˜๐‘’)))โ€˜๐‘) = if(๐‘ โˆˆ ๐‘‘, 1 , 0 )))
564552, 557, 563sylanbrc 583 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ โˆช {๐‘}) โŠ† (๐‘ ร— ๐‘) โˆง ๐‘Ž โˆˆ ๐ต) โˆง ((๐‘ โˆช {๐‘}) โˆˆ ๐‘Œ โˆง ๐‘‘ โˆˆ (๐‘ โ†‘m ๐‘) โˆง โˆ€๐‘ค โˆˆ ๐‘ (๐‘Žโ€˜๐‘ค) = if(๐‘ค โˆˆ ๐‘‘, 1 , 0 ))) โ†’ โˆ€๐‘ค โˆˆ (๐‘ โˆช {๐‘})((๐‘’ โˆˆ (๐‘ ร— ๐‘) โ†ฆ if(๐‘’ = ๐‘, if(๐‘’ โˆˆ ๐‘‘, 1 , 0 ), (๐‘Žโ€˜๐‘’)))โ€˜๐‘ค) = if(๐‘ค โˆˆ ๐‘‘, 1 , 0 ))
565223adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ โˆช {๐‘}) โŠ† (๐‘ ร— ๐‘) โˆง ๐‘Ž โˆˆ ๐ต) โˆง ((๐‘ โˆช {๐‘}) โˆˆ ๐‘Œ โˆง ๐‘‘ โˆˆ (๐‘ โ†‘m ๐‘) โˆง โˆ€๐‘ค โˆˆ ๐‘ (๐‘Žโ€˜๐‘ค) = if(๐‘ค โˆˆ ๐‘‘, 1 , 0 ))) โ†’ (๐‘’ โˆˆ (๐‘ ร— ๐‘) โ†ฆ if(๐‘’ = ๐‘, if(๐‘’ โˆˆ ๐‘‘, 1 , 0 ), (๐‘Žโ€˜๐‘’))) โˆˆ ๐ต)
566 fveq1 6838 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (๐‘ฆ = (๐‘’ โˆˆ (๐‘ ร— ๐‘) โ†ฆ if(๐‘’ = ๐‘, if(๐‘’ โˆˆ ๐‘‘, 1 , 0 ), (๐‘Žโ€˜๐‘’))) โ†’ (๐‘ฆโ€˜๐‘ค) = ((๐‘’ โˆˆ (๐‘ ร— ๐‘) โ†ฆ if(๐‘’ = ๐‘, if(๐‘’ โˆˆ ๐‘‘, 1 , 0 ), (๐‘Žโ€˜๐‘’)))โ€˜๐‘ค))
567566eqeq1d 2739 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (๐‘ฆ = (๐‘’ โˆˆ (๐‘ ร— ๐‘) โ†ฆ if(๐‘’ = ๐‘, if(๐‘’ โˆˆ ๐‘‘, 1 , 0 ), (๐‘Žโ€˜๐‘’))) โ†’ ((๐‘ฆโ€˜๐‘ค) = if(๐‘ค โˆˆ ๐‘ง, 1 , 0 ) โ†” ((๐‘’ โˆˆ (๐‘ ร— ๐‘) โ†ฆ if(๐‘’ = ๐‘, if(๐‘’ โˆˆ ๐‘‘, 1 , 0 ), (๐‘Žโ€˜๐‘’)))โ€˜๐‘ค) = if(๐‘ค โˆˆ ๐‘ง, 1 , 0 )))
568567ralbidv 3172 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (๐‘ฆ = (๐‘’ โˆˆ (๐‘ ร— ๐‘) โ†ฆ if(๐‘’ = ๐‘, if(๐‘’ โˆˆ ๐‘‘, 1 , 0 ), (๐‘Žโ€˜๐‘’))) โ†’ (โˆ€๐‘ค โˆˆ (๐‘ โˆช {๐‘})(๐‘ฆโ€˜๐‘ค) = if(๐‘ค โˆˆ ๐‘ง, 1 , 0 ) โ†” โˆ€๐‘ค โˆˆ (๐‘ โˆช {๐‘})((๐‘’ โˆˆ (๐‘ ร— ๐‘) โ†ฆ if(๐‘’ = ๐‘, if(๐‘’ โˆˆ ๐‘‘, 1 , 0 ), (๐‘Žโ€˜๐‘’)))โ€˜๐‘ค) = if(๐‘ค โˆˆ ๐‘ง, 1 , 0 )))
569 fveqeq2 6848 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (๐‘ฆ = (๐‘’ โˆˆ (๐‘ ร— ๐‘) โ†ฆ if(๐‘’ = ๐‘, if(๐‘’ โˆˆ ๐‘‘, 1 , 0 ), (๐‘Žโ€˜๐‘’))) โ†’ ((๐ทโ€˜๐‘ฆ) = 0 โ†” (๐ทโ€˜(๐‘’ โˆˆ (๐‘ ร— ๐‘) โ†ฆ if(๐‘’ = ๐‘, if(๐‘’ โˆˆ ๐‘‘, 1 , 0 ), (๐‘Žโ€˜๐‘’)))) = 0 ))
570568, 569imbi12d 344 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (๐‘ฆ = (๐‘’ โˆˆ (๐‘ ร— ๐‘) โ†ฆ if(๐‘’ = ๐‘, if(๐‘’ โˆˆ ๐‘‘, 1 , 0 ), (๐‘Žโ€˜๐‘’))) โ†’ ((โˆ€๐‘ค โˆˆ (๐‘ โˆช {๐‘})(๐‘ฆโ€˜๐‘ค) = if(๐‘ค โˆˆ ๐‘ง, 1 , 0 ) โ†’ (๐ทโ€˜๐‘ฆ) = 0 ) โ†” (โˆ€๐‘ค โˆˆ (๐‘ โˆช {๐‘})((๐‘’ โˆˆ (๐‘ ร— ๐‘) โ†ฆ if(๐‘’ = ๐‘, if(๐‘’ โˆˆ ๐‘‘, 1 , 0 ), (๐‘Žโ€˜๐‘’)))โ€˜๐‘ค) = if(๐‘ค โˆˆ ๐‘ง, 1 , 0 ) โ†’ (๐ทโ€˜(๐‘’ โˆˆ (๐‘ ร— ๐‘) โ†ฆ if(๐‘’ = ๐‘, if(๐‘’ โˆˆ ๐‘‘, 1 , 0 ), (๐‘Žโ€˜๐‘’)))) = 0 )))
571 elequ2 2121 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (๐‘ง = ๐‘‘ โ†’ (๐‘ค โˆˆ ๐‘ง โ†” ๐‘ค โˆˆ ๐‘‘))
572571ifbid 4507 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (๐‘ง = ๐‘‘ โ†’ if(๐‘ค โˆˆ ๐‘ง, 1 , 0 ) = if(๐‘ค โˆˆ ๐‘‘, 1 , 0 ))
573572eqeq2d 2748 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (๐‘ง = ๐‘‘ โ†’ (((๐‘’ โˆˆ (๐‘ ร— ๐‘) โ†ฆ if(๐‘’ = ๐‘, if(๐‘’ โˆˆ ๐‘‘, 1 , 0 ), (๐‘Žโ€˜๐‘’)))โ€˜๐‘ค) = if(๐‘ค โˆˆ ๐‘ง, 1 , 0 ) โ†” ((๐‘’ โˆˆ (๐‘ ร— ๐‘) โ†ฆ if(๐‘’ = ๐‘, if(๐‘’ โˆˆ ๐‘‘, 1 , 0 ), (๐‘Žโ€˜๐‘’)))โ€˜๐‘ค) = if(๐‘ค โˆˆ ๐‘‘, 1 , 0 )))
574573ralbidv 3172 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (๐‘ง = ๐‘‘ โ†’ (โˆ€๐‘ค โˆˆ (๐‘ โˆช {๐‘})((๐‘’ โˆˆ (๐‘ ร— ๐‘) โ†ฆ if(๐‘’ = ๐‘, if(๐‘’ โˆˆ ๐‘‘, 1 , 0 ), (๐‘Žโ€˜๐‘’)))โ€˜๐‘ค) = if(๐‘ค โˆˆ ๐‘ง, 1 , 0 ) โ†” โˆ€๐‘ค โˆˆ (๐‘ โˆช {๐‘})((๐‘’ โˆˆ (๐‘ ร— ๐‘) โ†ฆ if(๐‘’ = ๐‘, if(๐‘’ โˆˆ ๐‘‘, 1 , 0 ), (๐‘Žโ€˜๐‘’)))โ€˜๐‘ค) = if(๐‘ค โˆˆ ๐‘‘, 1 , 0 )))
575574imbi1d 341 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (๐‘ง = ๐‘‘ โ†’ ((โˆ€๐‘ค โˆˆ (๐‘ โˆช {๐‘})((๐‘’ โˆˆ (๐‘ ร— ๐‘) โ†ฆ if(๐‘’ = ๐‘, if(๐‘’ โˆˆ ๐‘‘, 1 , 0 ), (๐‘Žโ€˜๐‘’)))โ€˜๐‘ค) = if(๐‘ค โˆˆ ๐‘ง, 1 , 0 ) โ†’ (๐ทโ€˜(๐‘’ โˆˆ (๐‘ ร— ๐‘) โ†ฆ if(๐‘’ = ๐‘, if(๐‘’ โˆˆ ๐‘‘, 1 , 0 ), (๐‘Žโ€˜๐‘’)))) = 0 ) โ†” (โˆ€๐‘ค โˆˆ (๐‘ โˆช {๐‘})((๐‘’ โˆˆ (๐‘ ร— ๐‘) โ†ฆ if(๐‘’ = ๐‘, if(๐‘’ โˆˆ ๐‘‘, 1 , 0 ), (๐‘Žโ€˜๐‘’)))โ€˜๐‘ค) = if(๐‘ค โˆˆ ๐‘‘, 1 , 0 ) โ†’ (๐ทโ€˜(๐‘’ โˆˆ (๐‘ ร— ๐‘) โ†ฆ if(๐‘’ = ๐‘, if(๐‘’ โˆˆ ๐‘‘, 1 , 0 ), (๐‘Žโ€˜๐‘’)))) = 0 )))
576570, 575rspc2va 3589 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((((๐‘’ โˆˆ (๐‘ ร— ๐‘) โ†ฆ if(๐‘’ = ๐‘, if(๐‘’ โˆˆ ๐‘‘, 1 , 0 ), (๐‘Žโ€˜๐‘’))) โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘‘ โˆˆ (๐‘ โ†‘m ๐‘)) โˆง โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ต โˆ€๐‘ง โˆˆ (๐‘ โ†‘m ๐‘)(โˆ€๐‘ค โˆˆ (๐‘ โˆช {๐‘})(๐‘ฆโ€˜๐‘ค) = if(๐‘ค โˆˆ ๐‘ง, 1 , 0 ) โ†’ (๐ทโ€˜๐‘ฆ) = 0 )) โ†’ (โˆ€๐‘ค โˆˆ (๐‘ โˆช {๐‘})((๐‘’ โˆˆ (๐‘ ร— ๐‘) โ†ฆ if(๐‘’ = ๐‘, if(๐‘’ โˆˆ ๐‘‘, 1 , 0 ), (๐‘Žโ€˜๐‘’)))โ€˜๐‘ค) = if(๐‘ค โˆˆ ๐‘‘, 1 , 0 ) โ†’ (๐ทโ€˜(๐‘’ โˆˆ (๐‘ ร— ๐‘) โ†ฆ if(๐‘’ = ๐‘, if(๐‘’ โˆˆ ๐‘‘, 1 , 0 ), (๐‘Žโ€˜๐‘’)))) = 0 ))
577565, 503, 517, 576syl21anc 836 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ โˆช {๐‘}) โŠ† (๐‘ ร— ๐‘) โˆง ๐‘Ž โˆˆ ๐ต) โˆง ((๐‘ โˆช {๐‘}) โˆˆ ๐‘Œ โˆง ๐‘‘ โˆˆ (๐‘ โ†‘m ๐‘) โˆง โˆ€๐‘ค โˆˆ ๐‘ (๐‘Žโ€˜๐‘ค) = if(๐‘ค โˆˆ ๐‘‘, 1 , 0 ))) โ†’ (โˆ€๐‘ค โˆˆ (๐‘ โˆช {๐‘})((๐‘’ โˆˆ (๐‘ ร— ๐‘) โ†ฆ if(๐‘’ = ๐‘, if(๐‘’ โˆˆ ๐‘‘, 1 , 0 ), (๐‘Žโ€˜๐‘’)))โ€˜๐‘ค) = if(๐‘ค โˆˆ ๐‘‘, 1 , 0 ) โ†’ (๐ทโ€˜(๐‘’ โˆˆ (๐‘ ร— ๐‘) โ†ฆ if(๐‘’ = ๐‘, if(๐‘’ โˆˆ ๐‘‘, 1 , 0 ), (๐‘Žโ€˜๐‘’)))) = 0 ))
578564, 577mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ โˆช {๐‘}) โŠ† (๐‘ ร— ๐‘) โˆง ๐‘Ž โˆˆ ๐ต) โˆง ((๐‘ โˆช {๐‘}) โˆˆ ๐‘Œ โˆง ๐‘‘ โˆˆ (๐‘ โ†‘m ๐‘) โˆง โˆ€๐‘ค โˆˆ ๐‘ (๐‘Žโ€˜๐‘ค) = if(๐‘ค โˆˆ ๐‘‘, 1 , 0 ))) โ†’ (๐ทโ€˜(๐‘’ โˆˆ (๐‘ ร— ๐‘) โ†ฆ if(๐‘’ = ๐‘, if(๐‘’ โˆˆ ๐‘‘, 1 , 0 ), (๐‘Žโ€˜๐‘’)))) = 0 )
579531, 578oveq12d 7369 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ โˆช {๐‘}) โŠ† (๐‘ ร— ๐‘) โˆง ๐‘Ž โˆˆ ๐ต) โˆง ((๐‘ โˆช {๐‘}) โˆˆ ๐‘Œ โˆง ๐‘‘ โˆˆ (๐‘ โ†‘m ๐‘) โˆง โˆ€๐‘ค โˆˆ ๐‘ (๐‘Žโ€˜๐‘ค) = if(๐‘ค โˆˆ ๐‘‘, 1 , 0 ))) โ†’ ((((๐‘Žโ€˜๐‘)(-gโ€˜๐‘…)if(๐‘ โˆˆ ๐‘‘, 1 , 0 )) ยท (๐ทโ€˜(๐‘’ โˆˆ (๐‘ ร— ๐‘) โ†ฆ if((1st โ€˜๐‘’) = (1st โ€˜๐‘), if(๐‘’ = ๐‘, 1 , 0 ), (๐‘Žโ€˜๐‘’))))) + (๐ทโ€˜(๐‘’ โˆˆ (๐‘ ร— ๐‘) โ†ฆ if(๐‘’ = ๐‘, if(๐‘’ โˆˆ ๐‘‘, 1 , 0 ), (๐‘Žโ€˜๐‘’))))) = ((((๐‘Žโ€˜๐‘)(-gโ€˜๐‘…)if(๐‘ โˆˆ ๐‘‘, 1 , 0 )) ยท 0 ) + 0 ))
580308oveq1d 7366 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ โˆช {๐‘}) โŠ† (๐‘ ร— ๐‘) โˆง ๐‘Ž โˆˆ ๐ต) โ†’ ((((๐‘Žโ€˜๐‘)(-gโ€˜๐‘…)if(๐‘ โˆˆ ๐‘‘, 1 , 0 )) ยท 0 ) + 0 ) = ( 0 + 0 ))
58112, 50, 48grplid 18740 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((๐‘… โˆˆ Grp โˆง 0 โˆˆ ๐พ) โ†’ ( 0 + 0 ) = 0 )
582115, 133, 581syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ โˆช {๐‘}) โŠ† (๐‘ ร— ๐‘) โˆง ๐‘Ž โˆˆ ๐ต) โ†’ ( 0 + 0 ) = 0 )
583580, 582eqtrd 2777 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ โˆช {๐‘}) โŠ† (๐‘ ร— ๐‘) โˆง ๐‘Ž โˆˆ ๐ต) โ†’ ((((๐‘Žโ€˜๐‘)(-gโ€˜๐‘…)if(๐‘ โˆˆ ๐‘‘, 1 , 0 )) ยท 0 ) + 0 ) = 0 )
584583adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ โˆช {๐‘}) โŠ† (๐‘ ร— ๐‘) โˆง ๐‘Ž โˆˆ ๐ต) โˆง ((๐‘ โˆช {๐‘}) โˆˆ ๐‘Œ โˆง ๐‘‘ โˆˆ (๐‘ โ†‘m ๐‘) โˆง โˆ€๐‘ค โˆˆ ๐‘ (๐‘Žโ€˜๐‘ค) = if(๐‘ค โˆˆ ๐‘‘, 1 , 0 ))) โ†’ ((((๐‘Žโ€˜๐‘)(-gโ€˜๐‘…)if(๐‘ โˆˆ ๐‘‘, 1 , 0 )) ยท 0 ) + 0 ) = 0 )
585579, 584eqtrd 2777 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ โˆช {๐‘}) โŠ† (๐‘ ร— ๐‘) โˆง ๐‘Ž โˆˆ ๐ต) โˆง ((๐‘ โˆช {๐‘}) โˆˆ ๐‘Œ โˆง ๐‘‘ โˆˆ (๐‘ โ†‘m ๐‘) โˆง โˆ€๐‘ค โˆˆ ๐‘ (๐‘Žโ€˜๐‘ค) = if(๐‘ค โˆˆ ๐‘‘, 1 , 0 ))) โ†’ ((((๐‘Žโ€˜๐‘)(-gโ€˜๐‘…)if(๐‘ โˆˆ ๐‘‘, 1 , 0 )) ยท (๐ทโ€˜(๐‘’ โˆˆ (๐‘ ร— ๐‘) โ†ฆ if((1st โ€˜๐‘’) = (1st โ€˜๐‘), if(๐‘’ = ๐‘, 1 , 0 ), (๐‘Žโ€˜๐‘’))))) + (๐ทโ€˜(๐‘’ โˆˆ (๐‘ ร— ๐‘) โ†ฆ if(๐‘’ = ๐‘, if(๐‘’ โˆˆ ๐‘‘, 1 , 0 ), (๐‘Žโ€˜๐‘’))))) = 0 )
586104, 105, 106, 392, 393, 394, 585syl33anc 1385 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ โˆช {๐‘}) โŠ† (๐‘ ร— ๐‘) โˆง (๐‘ โˆช {๐‘}) โˆˆ ๐‘Œ) โˆง ((๐‘Ž โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘‘ โˆˆ (๐‘ โ†‘m ๐‘)) โˆง โˆ€๐‘ค โˆˆ ๐‘ (๐‘Žโ€˜๐‘ค) = if(๐‘ค โˆˆ ๐‘‘, 1 , 0 ))) โ†’ ((((๐‘Žโ€˜๐‘)(-gโ€˜๐‘…)if(๐‘ โˆˆ ๐‘‘, 1 , 0 )) ยท (๐ทโ€˜(๐‘’ โˆˆ (๐‘ ร— ๐‘) โ†ฆ if((1st โ€˜๐‘’) = (1st โ€˜๐‘), if(๐‘’ = ๐‘, 1 , 0 ), (๐‘Žโ€˜๐‘’))))) + (๐ทโ€˜(๐‘’ โˆˆ (๐‘ ร— ๐‘) โ†ฆ if(๐‘’ = ๐‘, if(๐‘’ โˆˆ ๐‘‘, 1 , 0 ), (๐‘Žโ€˜๐‘’))))) = 0 )
587288, 391, 5863eqtrd 2781 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ โˆช {๐‘}) โŠ† (๐‘ ร— ๐‘) โˆง (๐‘ โˆช {๐‘}) โˆˆ ๐‘Œ) โˆง ((๐‘Ž โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘‘ โˆˆ (๐‘ โ†‘m ๐‘)) โˆง โˆ€๐‘ค โˆˆ ๐‘ (๐‘Žโ€˜๐‘ค) = if(๐‘ค โˆˆ ๐‘‘, 1 , 0 ))) โ†’ (๐ทโ€˜๐‘Ž) = 0 )
588587expr 457 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ โˆช {๐‘}) โŠ† (๐‘ ร— ๐‘) โˆง (๐‘ โˆช {๐‘}) โˆˆ ๐‘Œ) โˆง (๐‘Ž โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘‘ โˆˆ (๐‘ โ†‘m ๐‘))) โ†’ (โˆ€๐‘ค โˆˆ ๐‘ (๐‘Žโ€˜๐‘ค) = if(๐‘ค โˆˆ ๐‘‘, 1 , 0 ) โ†’ (๐ทโ€˜๐‘Ž) = 0 ))
589588ralrimivva 3195 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ โˆช {๐‘}) โŠ† (๐‘ ร— ๐‘) โˆง (๐‘ โˆช {๐‘}) โˆˆ ๐‘Œ) โ†’ โˆ€๐‘Ž โˆˆ ๐ต โˆ€๐‘‘ โˆˆ (๐‘ โ†‘m ๐‘)(โˆ€๐‘ค โˆˆ ๐‘ (๐‘Žโ€˜๐‘ค) = if(๐‘ค โˆˆ ๐‘‘, 1 , 0 ) โ†’ (๐ทโ€˜๐‘Ž) = 0 ))
590 fveq1 6838 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (๐‘Ž = ๐‘ฆ โ†’ (๐‘Žโ€˜๐‘ค) = (๐‘ฆโ€˜๐‘ค))
591590eqeq1d 2739 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (๐‘Ž = ๐‘ฆ โ†’ ((๐‘Žโ€˜๐‘ค) = if(๐‘ค โˆˆ ๐‘‘, 1 , 0 ) โ†” (๐‘ฆโ€˜๐‘ค) = if(๐‘ค โˆˆ ๐‘‘, 1 , 0 )))
592591ralbidv 3172 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (๐‘Ž = ๐‘ฆ โ†’ (โˆ€๐‘ค โˆˆ ๐‘ (๐‘Žโ€˜๐‘ค) = if(๐‘ค โˆˆ ๐‘‘, 1 , 0 ) โ†” โˆ€๐‘ค โˆˆ ๐‘ (๐‘ฆโ€˜๐‘ค) = if(๐‘ค โˆˆ ๐‘‘, 1 , 0 )))
593 fveqeq2 6848 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (๐‘Ž = ๐‘ฆ โ†’ ((๐ทโ€˜๐‘Ž) = 0 โ†” (๐ทโ€˜๐‘ฆ) = 0 ))
594592, 593imbi12d 344 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (๐‘Ž = ๐‘ฆ โ†’ ((โˆ€๐‘ค โˆˆ ๐‘ (๐‘Žโ€˜๐‘ค) = if(๐‘ค โˆˆ ๐‘‘, 1 , 0 ) โ†’ (๐ทโ€˜๐‘Ž) = 0 ) โ†” (โˆ€๐‘ค โˆˆ ๐‘ (๐‘ฆโ€˜๐‘ค) = if(๐‘ค โˆˆ ๐‘‘, 1 , 0 ) โ†’ (๐ทโ€˜๐‘ฆ) = 0 )))
595 elequ2 2121 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (๐‘‘ = ๐‘ง โ†’ (๐‘ค โˆˆ ๐‘‘ โ†” ๐‘ค โˆˆ ๐‘ง))
596595ifbid 4507 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (๐‘‘ = ๐‘ง โ†’ if(๐‘ค โˆˆ ๐‘‘, 1 , 0 ) = if(๐‘ค โˆˆ ๐‘ง, 1 , 0 ))
597596eqeq2d 2748 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (๐‘‘ = ๐‘ง โ†’ ((๐‘ฆโ€˜๐‘ค) = if(๐‘ค โˆˆ ๐‘‘, 1 , 0 ) โ†” (๐‘ฆโ€˜๐‘ค) = if(๐‘ค โˆˆ ๐‘ง, 1 , 0 )))
598597ralbidv 3172 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (๐‘‘ = ๐‘ง โ†’ (โˆ€๐‘ค โˆˆ ๐‘ (๐‘ฆโ€˜๐‘ค) = if(๐‘ค โˆˆ ๐‘‘, 1 , 0 ) โ†” โˆ€๐‘ค โˆˆ ๐‘ (๐‘ฆโ€˜๐‘ค) = if(๐‘ค โˆˆ ๐‘ง, 1 , 0 )))
599598imbi1d 341 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (๐‘‘ = ๐‘ง โ†’ ((โˆ€๐‘ค โˆˆ ๐‘ (๐‘ฆโ€˜๐‘ค) = if(๐‘ค โˆˆ ๐‘‘, 1 , 0 ) โ†’ (๐ทโ€˜๐‘ฆ) = 0 ) โ†” (โˆ€๐‘ค โˆˆ ๐‘ (๐‘ฆโ€˜๐‘ค) = if(๐‘ค โˆˆ ๐‘ง, 1 , 0 ) โ†’ (๐ทโ€˜๐‘ฆ) = 0 )))
600594, 599cbvral2vw 3225 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (โˆ€๐‘Ž โˆˆ ๐ต โˆ€๐‘‘ โˆˆ (๐‘ โ†‘m ๐‘)(โˆ€๐‘ค โˆˆ ๐‘ (๐‘Žโ€˜๐‘ค) = if(๐‘ค โˆˆ ๐‘‘, 1 , 0 ) โ†’ (๐ทโ€˜๐‘Ž) = 0 ) โ†” โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ต โˆ€๐‘ง โˆˆ (๐‘ โ†‘m ๐‘)(โˆ€๐‘ค โˆˆ ๐‘ (๐‘ฆโ€˜๐‘ค) = if(๐‘ค โˆˆ ๐‘ง, 1 , 0 ) โ†’ (๐ทโ€˜๐‘ฆ) = 0 ))
601589, 600sylib 217 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ โˆช {๐‘}) โŠ† (๐‘ ร— ๐‘) โˆง (๐‘ โˆช {๐‘}) โˆˆ ๐‘Œ) โ†’ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ต โˆ€๐‘ง โˆˆ (๐‘ โ†‘m ๐‘)(โˆ€๐‘ค โˆˆ ๐‘ (๐‘ฆโ€˜๐‘ค) = if(๐‘ค โˆˆ ๐‘ง, 1 , 0 ) โ†’ (๐ทโ€˜๐‘ฆ) = 0 ))
602 vex 3447 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ๐‘ โˆˆ V
603 raleq 3307 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (๐‘ฅ = ๐‘ โ†’ (โˆ€๐‘ค โˆˆ ๐‘ฅ (๐‘ฆโ€˜๐‘ค) = if(๐‘ค โˆˆ ๐‘ง, 1 , 0 ) โ†” โˆ€๐‘ค โˆˆ ๐‘ (๐‘ฆโ€˜๐‘ค) = if(๐‘ค โˆˆ ๐‘ง, 1 , 0 )))
604603imbi1d 341 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (๐‘ฅ = ๐‘ โ†’ ((โˆ€๐‘ค โˆˆ ๐‘ฅ (๐‘ฆโ€˜๐‘ค) = if(๐‘ค โˆˆ ๐‘ง, 1 , 0 ) โ†’ (๐ทโ€˜๐‘ฆ) = 0 ) โ†” (โˆ€๐‘ค โˆˆ ๐‘ (๐‘ฆโ€˜๐‘ค) = if(๐‘ค โˆˆ ๐‘ง, 1 , 0 ) โ†’ (๐ทโ€˜๐‘ฆ) = 0 )))
6056042ralbidv 3210 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (๐‘ฅ = ๐‘ โ†’ (โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ต โˆ€๐‘ง โˆˆ (๐‘ โ†‘m ๐‘)(โˆ€๐‘ค โˆˆ ๐‘ฅ (๐‘ฆโ€˜๐‘ค) = if(๐‘ค โˆˆ ๐‘ง, 1 , 0 ) โ†’ (๐ทโ€˜๐‘ฆ) = 0 ) โ†” โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ต โˆ€๐‘ง โˆˆ (๐‘ โ†‘m ๐‘)(โˆ€๐‘ค โˆˆ ๐‘ (๐‘ฆโ€˜๐‘ค) = if(๐‘ค โˆˆ ๐‘ง, 1 , 0 ) โ†’ (๐ทโ€˜๐‘ฆ) = 0 )))
606602, 605, 72elab2 3632 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (๐‘ โˆˆ ๐‘Œ โ†” โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ต โˆ€๐‘ง โˆˆ (๐‘ โ†‘m ๐‘)(โˆ€๐‘ค โˆˆ ๐‘ (๐‘ฆโ€˜๐‘ค) = if(๐‘ค โˆˆ ๐‘ง, 1 , 0 ) โ†’ (๐ทโ€˜๐‘ฆ) = 0 ))
607601, 606sylibr 233 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ โˆช {๐‘}) โŠ† (๐‘ ร— ๐‘) โˆง (๐‘ โˆช {๐‘}) โˆˆ ๐‘Œ) โ†’ ๐‘ โˆˆ ๐‘Œ)
6086073expia 1121 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ โˆช {๐‘}) โŠ† (๐‘ ร— ๐‘)) โ†’ ((๐‘ โˆช {๐‘}) โˆˆ ๐‘Œ โ†’ ๐‘ โˆˆ ๐‘Œ))
609608con3d 152 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ โˆช {๐‘}) โŠ† (๐‘ ร— ๐‘)) โ†’ (ยฌ ๐‘ โˆˆ ๐‘Œ โ†’ ยฌ (๐‘ โˆช {๐‘}) โˆˆ ๐‘Œ))
6106093adant3 1132 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ โˆช {๐‘}) โŠ† (๐‘ ร— ๐‘) โˆง ยฌ โˆ… โˆˆ ๐‘Œ) โ†’ (ยฌ ๐‘ โˆˆ ๐‘Œ โ†’ ยฌ (๐‘ โˆช {๐‘}) โˆˆ ๐‘Œ))
611610a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ยฌ ๐‘ โˆˆ ๐‘) โ†’ ((๐œ‘ โˆง (๐‘ โˆช {๐‘}) โŠ† (๐‘ ร— ๐‘) โˆง ยฌ โˆ… โˆˆ ๐‘Œ) โ†’ (ยฌ ๐‘ โˆˆ ๐‘Œ โ†’ ยฌ (๐‘ โˆช {๐‘}) โˆˆ ๐‘Œ)))
612611a2d 29 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ยฌ ๐‘ โˆˆ ๐‘) โ†’ (((๐œ‘ โˆง (๐‘ โˆช {๐‘}) โŠ† (๐‘ ร— ๐‘) โˆง ยฌ โˆ… โˆˆ ๐‘Œ) โ†’ ยฌ ๐‘ โˆˆ ๐‘Œ) โ†’ ((๐œ‘ โˆง (๐‘ โˆช {๐‘}) โŠ† (๐‘ ร— ๐‘) โˆง ยฌ โˆ… โˆˆ ๐‘Œ) โ†’ ยฌ (๐‘ โˆช {๐‘}) โˆˆ ๐‘Œ)))
613103, 612syl5 34 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ยฌ ๐‘ โˆˆ ๐‘) โ†’ (((๐œ‘ โˆง ๐‘ โŠ† (๐‘ ร— ๐‘) โˆง ยฌ โˆ… โˆˆ ๐‘Œ) โ†’ ยฌ ๐‘ โˆˆ ๐‘Œ) โ†’ ((๐œ‘ โˆง (๐‘ โˆช {๐‘}) โŠ† (๐‘ ร— ๐‘) โˆง ยฌ โˆ… โˆˆ ๐‘Œ) โ†’ ยฌ (๐‘ โˆช {๐‘}) โˆˆ ๐‘Œ)))
61482, 87, 92, 97, 98, 613findcard2s 9067 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘ ร— ๐‘) โˆˆ Fin โ†’ ((๐œ‘ โˆง (๐‘ ร— ๐‘) โŠ† (๐‘ ร— ๐‘) โˆง ยฌ โˆ… โˆˆ ๐‘Œ) โ†’ ยฌ (๐‘ ร— ๐‘) โˆˆ ๐‘Œ))
61577, 614mpcom 38 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ ร— ๐‘) โŠ† (๐‘ ร— ๐‘) โˆง ยฌ โˆ… โˆˆ ๐‘Œ) โ†’ ยฌ (๐‘ ร— ๐‘) โˆˆ ๐‘Œ)
6166153exp 1119 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘ ร— ๐‘) โŠ† (๐‘ ร— ๐‘) โ†’ (ยฌ โˆ… โˆˆ ๐‘Œ โ†’ ยฌ (๐‘ ร— ๐‘) โˆˆ ๐‘Œ)))
61776, 616mpi 20 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (ยฌ โˆ… โˆˆ ๐‘Œ โ†’ ยฌ (๐‘ ร— ๐‘) โˆˆ ๐‘Œ))
61875, 617mt4d 117 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ โˆ… โˆˆ ๐‘Œ)
619618adantr 481 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘Ž โˆˆ ๐ต) โ†’ โˆ… โˆˆ ๐‘Œ)
620 0ex 5262 . . . . . . 7 โˆ… โˆˆ V
621 raleq 3307 . . . . . . . . 9 (๐‘ฅ = โˆ… โ†’ (โˆ€๐‘ค โˆˆ ๐‘ฅ (๐‘ฆโ€˜๐‘ค) = if(๐‘ค โˆˆ ๐‘ง, 1 , 0 ) โ†” โˆ€๐‘ค โˆˆ โˆ… (๐‘ฆโ€˜๐‘ค) = if(๐‘ค โˆˆ ๐‘ง, 1 , 0 )))
622621imbi1d 341 . . . . . . . 8 (๐‘ฅ = โˆ… โ†’ ((โˆ€๐‘ค โˆˆ ๐‘ฅ (๐‘ฆโ€˜๐‘ค) = if(๐‘ค โˆˆ ๐‘ง, 1 , 0 ) โ†’ (๐ทโ€˜๐‘ฆ) = 0 ) โ†” (โˆ€๐‘ค โˆˆ โˆ… (๐‘ฆโ€˜๐‘ค) = if(๐‘ค โˆˆ ๐‘ง, 1 , 0 ) โ†’ (๐ทโ€˜๐‘ฆ) = 0 )))
6236222ralbidv 3210 . . . . . . 7 (๐‘ฅ = โˆ… โ†’ (โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ต โˆ€๐‘ง โˆˆ (๐‘ โ†‘m ๐‘)(โˆ€๐‘ค โˆˆ ๐‘ฅ (๐‘ฆโ€˜๐‘ค) = if(๐‘ค โˆˆ ๐‘ง, 1 , 0 ) โ†’ (๐ทโ€˜๐‘ฆ) = 0 ) โ†” โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ต โˆ€๐‘ง โˆˆ (๐‘ โ†‘m ๐‘)(โˆ€๐‘ค โˆˆ โˆ… (๐‘ฆโ€˜๐‘ค) = if(๐‘ค โˆˆ ๐‘ง, 1 , 0 ) โ†’ (๐ทโ€˜๐‘ฆ) = 0 )))
624620, 623, 72elab2 3632 . . . . . 6 (โˆ… โˆˆ ๐‘Œ โ†” โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ต โˆ€๐‘ง โˆˆ (๐‘ โ†‘m ๐‘)(โˆ€๐‘ค โˆˆ โˆ… (๐‘ฆโ€˜๐‘ค) = if(๐‘ค โˆˆ ๐‘ง, 1 , 0 ) โ†’ (๐ทโ€˜๐‘ฆ) = 0 ))
625619, 624sylib 217 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘Ž โˆˆ ๐ต) โ†’ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ต โˆ€๐‘ง โˆˆ (๐‘ โ†‘m ๐‘)(โˆ€๐‘ค โˆˆ โˆ… (๐‘ฆโ€˜๐‘ค) = if(๐‘ค โˆˆ ๐‘ง, 1 , 0 ) โ†’ (๐ทโ€˜๐‘ฆ) = 0 ))
626 fveq1 6838 . . . . . . . . 9 (๐‘ฆ = ๐‘Ž โ†’ (๐‘ฆโ€˜๐‘ค) = (๐‘Žโ€˜๐‘ค))
627626eqeq1d 2739 . . . . . . . 8 (๐‘ฆ = ๐‘Ž โ†’ ((๐‘ฆโ€˜๐‘ค) = if(๐‘ค โˆˆ ๐‘ง, 1 , 0 ) โ†” (๐‘Žโ€˜๐‘ค) = if(๐‘ค โˆˆ ๐‘ง, 1 , 0 )))
628627ralbidv 3172 . . . . . . 7 (๐‘ฆ = ๐‘Ž โ†’ (โˆ€๐‘ค โˆˆ โˆ… (๐‘ฆโ€˜๐‘ค) = if(๐‘ค โˆˆ ๐‘ง, 1 , 0 ) โ†” โˆ€๐‘ค โˆˆ โˆ… (๐‘Žโ€˜๐‘ค) = if(๐‘ค โˆˆ ๐‘ง, 1 , 0 )))
629 fveqeq2 6848 . . . . . . 7 (๐‘ฆ = ๐‘Ž โ†’ ((๐ทโ€˜๐‘ฆ) = 0 โ†” (๐ทโ€˜๐‘Ž) = 0 ))
630628, 629imbi12d 344 . . . . . 6 (๐‘ฆ = ๐‘Ž โ†’ ((โˆ€๐‘ค โˆˆ โˆ… (๐‘ฆโ€˜๐‘ค) = if(๐‘ค โˆˆ ๐‘ง, 1 , 0 ) โ†’ (๐ทโ€˜๐‘ฆ) = 0 ) โ†” (โˆ€๐‘ค โˆˆ โˆ… (๐‘Žโ€˜๐‘ค) = if(๐‘ค โˆˆ ๐‘ง, 1 , 0 ) โ†’ (๐ทโ€˜๐‘Ž) = 0 )))
631 eleq2 2826 . . . . . . . . . 10 (๐‘ง = ( I โ†พ ๐‘) โ†’ (๐‘ค โˆˆ ๐‘ง โ†” ๐‘ค โˆˆ ( I โ†พ ๐‘)))
632631ifbid 4507 . . . . . . . . 9 (๐‘ง = ( I โ†พ ๐‘) โ†’ if(๐‘ค โˆˆ ๐‘ง, 1 , 0 ) = if(๐‘ค โˆˆ ( I โ†พ ๐‘), 1 , 0 ))
633632eqeq2d 2748 . . . . . . . 8 (๐‘ง = ( I โ†พ ๐‘) โ†’ ((๐‘Žโ€˜๐‘ค) = if(๐‘ค โˆˆ ๐‘ง, 1 , 0 ) โ†” (๐‘Žโ€˜๐‘ค) = if(๐‘ค โˆˆ ( I โ†พ ๐‘), 1 , 0 )))
634633ralbidv 3172 . . . . . . 7 (๐‘ง = ( I โ†พ ๐‘) โ†’ (โˆ€๐‘ค โˆˆ โˆ… (๐‘Žโ€˜๐‘ค) = if(๐‘ค โˆˆ ๐‘ง, 1 , 0 ) โ†” โˆ€๐‘ค โˆˆ โˆ… (๐‘Žโ€˜๐‘ค) = if(๐‘ค โˆˆ ( I โ†พ ๐‘), 1 , 0 )))
635634imbi1d 341 . . . . . 6 (๐‘ง = ( I โ†พ ๐‘) โ†’ ((โˆ€๐‘ค โˆˆ โˆ… (๐‘Žโ€˜๐‘ค) = if(๐‘ค โˆˆ ๐‘ง, 1 , 0 ) โ†’ (๐ทโ€˜๐‘Ž) = 0 ) โ†” (โˆ€๐‘ค โˆˆ โˆ… (๐‘Žโ€˜๐‘ค) = if(๐‘ค โˆˆ ( I โ†พ ๐‘), 1 , 0 ) โ†’ (๐ทโ€˜๐‘Ž) = 0 )))
636630, 635rspc2va 3589 . . . . 5 (((๐‘Ž โˆˆ ๐ต โˆง ( I โ†พ ๐‘) โˆˆ (๐‘ โ†‘m ๐‘)) โˆง โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ต โˆ€๐‘ง โˆˆ (๐‘ โ†‘m ๐‘)(โˆ€๐‘ค โˆˆ โˆ… (๐‘ฆโ€˜๐‘ค) = if(๐‘ค โˆˆ ๐‘ง, 1 , 0 ) โ†’ (๐ทโ€˜๐‘ฆ) = 0 )) โ†’ (โˆ€๐‘ค โˆˆ โˆ… (๐‘Žโ€˜๐‘ค) = if(๐‘ค โˆˆ ( I โ†พ ๐‘), 1 , 0 ) โ†’ (๐ทโ€˜๐‘Ž) = 0 ))
6372, 9, 625, 636syl21anc 836 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐‘Ž โˆˆ ๐ต) โ†’ (โˆ€๐‘ค โˆˆ โˆ… (๐‘Žโ€˜๐‘ค) = if(๐‘ค โˆˆ ( I โ†พ ๐‘), 1 , 0 ) โ†’ (๐ทโ€˜๐‘Ž) = 0 ))
6381, 637mpi 20 . . 3 ((๐œ‘ โˆง ๐‘Ž โˆˆ ๐ต) โ†’ (๐ทโ€˜๐‘Ž) = 0 )
639638mpteq2dva 5203 . 2 (๐œ‘ โ†’ (๐‘Ž โˆˆ ๐ต โ†ฆ (๐ทโ€˜๐‘Ž)) = (๐‘Ž โˆˆ ๐ต โ†ฆ 0 ))
64053feqmptd 6907 . 2 (๐œ‘ โ†’ ๐ท = (๐‘Ž โˆˆ ๐ต โ†ฆ (๐ทโ€˜๐‘Ž)))
641 fconstmpt 5692 . . 3 (๐ต ร— { 0 }) = (๐‘Ž โˆˆ ๐ต โ†ฆ 0 )
642641a1i 11 . 2 (๐œ‘ โ†’ (๐ต ร— { 0 }) = (๐‘Ž โˆˆ ๐ต โ†ฆ 0 ))
643639, 640, 6423eqtr4d 2787 1 (๐œ‘ โ†’ ๐ท = (๐ต ร— { 0 }))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ยฌ wn 3   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 396   โˆจ wo 845   โˆง w3a 1087   = wceq 1541   โˆˆ wcel 2106  {cab 2714   โ‰  wne 2941  โˆ€wral 3062  Vcvv 3443   โˆ– cdif 3905   โˆช cun 3906   โŠ† wss 3908  โˆ…c0 4280  ifcif 4484  {csn 4584  โŸจcop 4590   โ†ฆ cmpt 5186   I cid 5528   ร— cxp 5629   โ†พ cres 5633  Rel wrel 5636   Fn wfn 6488  โŸถwf 6489  โ€“1-1-ontoโ†’wf1o 6492  โ€˜cfv 6493  (class class class)co 7351   โˆˆ cmpo 7353   โˆ˜f cof 7607  1st c1st 7911  2nd c2nd 7912   โ†‘m cmap 8723  Fincfn 8841   sSet csts 16995  Basecbs 17043  +gcplusg 17093  .rcmulr 17094  0gc0g 17281  Grpcgrp 18708  -gcsg 18710  1rcur 19872  Ringcrg 19918   Mat cmat 21706
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2708  ax-rep 5240  ax-sep 5254  ax-nul 5261  ax-pow 5318  ax-pr 5382  ax-un 7664  ax-cnex 11065  ax-resscn 11066  ax-1cn 11067  ax-icn 11068  ax-addcl 11069  ax-addrcl 11070  ax-mulcl 11071  ax-mulrcl 11072  ax-mulcom 11073  ax-addass 11074  ax-mulass 11075  ax-distr 11076  ax-i2m1 11077  ax-1ne0 11078  ax-1rid 11079  ax-rnegex 11080  ax-rrecex 11081  ax-cnre 11082  ax-pre-lttri 11083  ax-pre-lttrn 11084  ax-pre-ltadd 11085  ax-pre-mulgt0 11086  ax-addf 11088  ax-mulf 11089
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-xor 1510  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3406  df-v 3445  df-sbc 3738  df-csb 3854  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3927  df-nul 4281  df-if 4485  df-pw 4560  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-ot 4593  df-uni 4864  df-int 4906  df-iun 4954  df-iin 4955  df-br 5104  df-opab 5166  df-mpt 5187  df-tr 5221  df-id 5529  df-eprel 5535  df-po 5543  df-so 5544  df-fr 5586  df-se 5587  df-we 5588  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6251  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-iota 6445  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-isom 6502  df-riota 7307  df-ov 7354  df-oprab 7355  df-mpo 7356  df-of 7609  df-om 7795  df-1st 7913  df-2nd 7914  df-supp 8085  df-tpos 8149  df-frecs 8204  df-wrecs 8235  df-recs 8309  df-rdg 8348  df-1o 8404  df-2o 8405  df-er 8606  df-map 8725  df-ixp 8794  df-en 8842  df-dom 8843  df-sdom 8844  df-fin 8845  df-fsupp 9264  df-sup 9336  df-oi 9404  df-card 9833  df-pnf 11149  df-mnf 11150  df-xr 11151  df-ltxr 11152  df-le 11153  df-sub 11345  df-neg 11346  df-div 11771  df-nn 12112  df-2 12174  df-3 12175  df-4 12176  df-5 12177  df-6 12178  df-7 12179  df-8 12180  df-9 12181  df-n0 12372  df-xnn0 12444  df-z 12458  df-dec 12577  df-uz 12722  df-rp 12870  df-fz 13379  df-fzo 13522  df-seq 13861  df-exp 13922  df-hash 14185  df-word 14357  df-lsw 14405  df-concat 14413  df-s1 14438  df-substr 14487  df-pfx 14517  df-splice 14596  df-reverse 14605  df-s2 14695  df-struct 16979  df-sets 16996  df-slot 17014  df-ndx 17026  df-base 17044  df-ress 17073  df-plusg 17106  df-mulr 17107  df-starv 17108  df-sca 17109  df-vsca 17110  df-ip 17111  df-tset 17112  df-ple 17113  df-ds 17115  df-unif 17116  df-hom 17117  df-cco 17118  df-0g 17283  df-gsum 17284  df-prds 17289  df-pws 17291  df-mre 17426  df-mrc 17427  df-acs 17429  df-mgm 18457  df-sgrp 18506  df-mnd 18517  df-mhm 18561  df-submnd 18562  df-efmnd 18639  df-grp 18711  df-minusg 18712  df-sbg 18713  df-mulg 18832  df-subg 18884  df-ghm 18965  df-gim 19008  df-cntz 19056  df-oppg 19083  df-symg 19108  df-pmtr 19183  df-psgn 19232  df-evpm 19233  df-cmn 19523  df-abl 19524  df-mgp 19856  df-ur 19873  df-ring 19920  df-cring 19921  df-oppr 20002  df-dvdsr 20023  df-unit 20024  df-invr 20054  df-dvr 20065  df-rnghom 20099  df-drng 20140  df-subrg 20173  df-lmod 20277  df-lss 20346  df-sra 20586  df-rgmod 20587  df-cnfld 20750  df-zring 20823  df-zrh 20857  df-dsmm 21091  df-frlm 21106  df-mamu 21685  df-mat 21707
This theorem is referenced by:  mdetuni0  21922
  Copyright terms: Public domain W3C validator