Theorem funbrfvb 6957

Description: Equivalence of function value and binary relation. (Contributed by NM, 26-Mar-2006.)

Assertion

Ref	Expression
funbrfvb	⊢ ((Fun 𝐹 ∧ 𝐴 ∈ dom 𝐹) → ((𝐹‘𝐴) = 𝐵 ↔ 𝐴𝐹𝐵))

Proof of Theorem funbrfvb

Step	Hyp	Ref	Expression
1		funfn 6588	. 2 ⊢ (Fun 𝐹 ↔ 𝐹 Fn dom 𝐹)
2		fnbrfvb 6955	. 2 ⊢ ((𝐹 Fn dom 𝐹 ∧ 𝐴 ∈ dom 𝐹) → ((𝐹‘𝐴) = 𝐵 ↔ 𝐴𝐹𝐵))
3	1, 2	sylanb 579	1 ⊢ ((Fun 𝐹 ∧ 𝐴 ∈ dom 𝐹) → ((𝐹‘𝐴) = 𝐵 ↔ 𝐴𝐹𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   class class class wbr 5152  dom cdm 5682  Fun wfun 6547   Fn wfn 6548  ‘cfv 6553

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pr 5433

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-ne 2938  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rab 3431  df-v 3475  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4327  df-if 4533  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-br 5153  df-opab 5215  df-id 5580  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-fv 6561

This theorem is referenced by:  funbrfv2b  6961  dfimafn  6966  funimass4  6968  eqfunresadj  7374  dcomex  10478  dvidlem  25864  taylthlem1  26328  dfimafnf  32442  funcnvmpt  32474  cantnf2  42785  frege124d  43222  frege129d  43224  ntrclsfv1  43516  ntrneifv1  43540  ntrneifv2  43541