Theorem fnsng 6622

Description: Functionality and domain of the singleton of an ordered pair. (Contributed by Mario Carneiro, 30-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
fnsng	⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → {⟨𝐴, 𝐵⟩} Fn {𝐴})

Proof of Theorem fnsng

Step	Hyp	Ref	Expression
1		funsng 6621	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → Fun {⟨𝐴, 𝐵⟩})
2		dmsnopg 6233	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑊 → dom {⟨𝐴, 𝐵⟩} = {𝐴})
3	2	adantl 487	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → dom {⟨𝐴, 𝐵⟩} = {𝐴})
4		df-fn 6569	. 2 ⊢ ({⟨𝐴, 𝐵⟩} Fn {𝐴} ↔ (Fun {⟨𝐴, 𝐵⟩} ∧ dom {⟨𝐴, 𝐵⟩} = {𝐴}))
5	1, 3, 4	sylanbrc 595	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → {⟨𝐴, 𝐵⟩} Fn {𝐴})

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2147  {csn 4588  ⟨cop 4840  dom cdm 5658  Fun wfun 6560   Fn wfn 6561

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-ext 2735  ax-sep 5255  ax-pr 5398

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-sb 2102  df-mo 2567  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rab 3417  df-v 3456  df-ss 3901  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4841  df-br 5109  df-opab 5174  df-id 5553  df-xp 5664  df-rel 5665  df-cnv 5666  df-co 5667  df-dm 5668  df-fun 6568  df-fn 6569

This theorem is used by:  fnsn  6628  fnunop  6685  fnsnbg  7201  fvsnun2  7219  fsnunfv  7223  mat1dimscm  22845  m1detdiag  22967  noextenddif  28082  noextendlt  28083  noextendgt  28084  actfunsnf1o  35344  actfunsnrndisj  35345  breprexplema  35370  sticksstones11  43472