MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fnsng Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fnsng 6486
Description: Functionality and domain of the singleton of an ordered pair. (Contributed by Mario Carneiro, 30-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
fnsng ((𝐴𝑉𝐵𝑊) → {⟨𝐴, 𝐵⟩} Fn {𝐴})

Proof of Theorem fnsng
StepHypRef Expression
1 funsng 6485 . 2 ((𝐴𝑉𝐵𝑊) → Fun {⟨𝐴, 𝐵⟩})
2 dmsnopg 6116 . . 3 (𝐵𝑊 → dom {⟨𝐴, 𝐵⟩} = {𝐴})
32adantl 482 . 2 ((𝐴𝑉𝐵𝑊) → dom {⟨𝐴, 𝐵⟩} = {𝐴})
4 df-fn 6436 . 2 ({⟨𝐴, 𝐵⟩} Fn {𝐴} ↔ (Fun {⟨𝐴, 𝐵⟩} ∧ dom {⟨𝐴, 𝐵⟩} = {𝐴}))
51, 3, 4sylanbrc 583 1 ((𝐴𝑉𝐵𝑊) → {⟨𝐴, 𝐵⟩} Fn {𝐴})
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396   = wceq 1539  wcel 2106  {csn 4561  cop 4567  dom cdm 5589  Fun wfun 6427   Fn wfn 6428
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pr 5352
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rab 3073  df-v 3434  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-nul 4257  df-if 4460  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-br 5075  df-opab 5137  df-id 5489  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-fun 6435  df-fn 6436
This theorem is referenced by:  fnsn  6492  fnunop  6547  fvsnun2  7055  fsnunfv  7059  mat1dimscm  21624  m1detdiag  21746  actfunsnf1o  32584  actfunsnrndisj  32585  breprexplema  32610  noextenddif  33871  noextendlt  33872  noextendgt  33873  sticksstones11  40112  metakunt19  40143  fnsnbt  40208
  Copyright terms: Public domain W3C validator