Theorem fnsng 6592

Description: Functionality and domain of the singleton of an ordered pair. (Contributed by Mario Carneiro, 30-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
fnsng	⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → {⟨𝐴, 𝐵⟩} Fn {𝐴})

Proof of Theorem fnsng

Step	Hyp	Ref	Expression
1		funsng 6591	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → Fun {⟨𝐴, 𝐵⟩})
2		dmsnopg 6214	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑊 → dom {⟨𝐴, 𝐵⟩} = {𝐴})
3	2	adantl 487	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → dom {⟨𝐴, 𝐵⟩} = {𝐴})
4		df-fn 6541	. 2 ⊢ ({⟨𝐴, 𝐵⟩} Fn {𝐴} ↔ (Fun {⟨𝐴, 𝐵⟩} ∧ dom {⟨𝐴, 𝐵⟩} = {𝐴}))
5	1, 3, 4	sylanbrc 595	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → {⟨𝐴, 𝐵⟩} Fn {𝐴})

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  {csn 4584  ⟨cop 4590  dom cdm 5651  Fun wfun 6532   Fn wfn 6533

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-ext 2733  ax-sep 5249  ax-pr 5391

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-sb 2100  df-mo 2565  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rab 3414  df-v 3453  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-br 5104  df-opab 5168  df-id 5546  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-fun 6540  df-fn 6541

This theorem is used by:  fnsn  6598  fnunop  6655  fnsnbg  7169  fvsnun2  7188  fsnunfv  7192  mat1dimscm  22790  m1detdiag  22912  noextenddif  28025  noextendlt  28026  noextendgt  28027  actfunsnf1o  35233  actfunsnrndisj  35234  breprexplema  35259  sticksstones11  43207