MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fnsng Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fnsng 6391
Description: Functionality and domain of the singleton of an ordered pair. (Contributed by Mario Carneiro, 30-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
fnsng ((𝐴𝑉𝐵𝑊) → {⟨𝐴, 𝐵⟩} Fn {𝐴})

Proof of Theorem fnsng
StepHypRef Expression
1 funsng 6390 . 2 ((𝐴𝑉𝐵𝑊) → Fun {⟨𝐴, 𝐵⟩})
2 dmsnopg 6045 . . 3 (𝐵𝑊 → dom {⟨𝐴, 𝐵⟩} = {𝐴})
32adantl 485 . 2 ((𝐴𝑉𝐵𝑊) → dom {⟨𝐴, 𝐵⟩} = {𝐴})
4 df-fn 6342 . 2 ({⟨𝐴, 𝐵⟩} Fn {𝐴} ↔ (Fun {⟨𝐴, 𝐵⟩} ∧ dom {⟨𝐴, 𝐵⟩} = {𝐴}))
51, 3, 4sylanbrc 586 1 ((𝐴𝑉𝐵𝑊) → {⟨𝐴, 𝐵⟩} Fn {𝐴})
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 399   = wceq 1542  wcel 2114  {csn 4516  cop 4522  dom cdm 5525  Fun wfun 6333   Fn wfn 6334
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2020  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2710  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pr 5296
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2075  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2730  df-clel 2811  df-nfc 2881  df-ral 3058  df-rex 3059  df-v 3400  df-dif 3846  df-un 3848  df-in 3850  df-ss 3860  df-nul 4212  df-if 4415  df-sn 4517  df-pr 4519  df-op 4523  df-br 5031  df-opab 5093  df-id 5429  df-xp 5531  df-rel 5532  df-cnv 5533  df-co 5534  df-dm 5535  df-fun 6341  df-fn 6342
This theorem is referenced by:  fnsn  6397  fnunop  6451  fvsnun2  6957  fsnunfv  6961  mat1dimscm  21228  m1detdiag  21350  actfunsnf1o  32156  actfunsnrndisj  32157  breprexplema  32182  noextenddif  33516  noextendlt  33517  noextendgt  33518  metakunt19  39756  fnsnbt  39812
  Copyright terms: Public domain W3C validator