Users' Mathboxes Mathbox for metakunt < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  metakunt19 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem metakunt19 41496
Description: Domains on restrictions of functions. (Contributed by metakunt, 28-May-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
metakunt19.1 (𝜑𝑀 ∈ ℕ)
metakunt19.2 (𝜑𝐼 ∈ ℕ)
metakunt19.3 (𝜑𝐼𝑀)
metakunt19.4 𝐵 = (𝑥 ∈ (1...𝑀) ↦ if(𝑥 = 𝑀, 𝑀, if(𝑥 < 𝐼, (𝑥 + (𝑀𝐼)), (𝑥 + (1 − 𝐼)))))
metakunt19.5 𝐶 = (𝑥 ∈ (1...(𝐼 − 1)) ↦ (𝑥 + (𝑀𝐼)))
metakunt19.6 𝐷 = (𝑥 ∈ (𝐼...(𝑀 − 1)) ↦ (𝑥 + (1 − 𝐼)))
Assertion
Ref Expression
metakunt19 (𝜑 → ((𝐶 Fn (1...(𝐼 − 1)) ∧ 𝐷 Fn (𝐼...(𝑀 − 1)) ∧ (𝐶𝐷) Fn ((1...(𝐼 − 1)) ∪ (𝐼...(𝑀 − 1)))) ∧ {⟨𝑀, 𝑀⟩} Fn {𝑀}))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐼   𝑥,𝑀   𝜑,𝑥
Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥)   𝐶(𝑥)   𝐷(𝑥)

Proof of Theorem metakunt19
StepHypRef Expression
1 elfzelz 13498 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ (1...(𝐼 − 1)) → 𝑥 ∈ ℤ)
21adantl 481 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (1...(𝐼 − 1))) → 𝑥 ∈ ℤ)
3 metakunt19.1 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑀 ∈ ℕ)
43nnzd 12582 . . . . . . . 8 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
54adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (1...(𝐼 − 1))) → 𝑀 ∈ ℤ)
6 metakunt19.2 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐼 ∈ ℕ)
76nnzd 12582 . . . . . . . 8 (𝜑𝐼 ∈ ℤ)
87adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (1...(𝐼 − 1))) → 𝐼 ∈ ℤ)
95, 8zsubcld 12668 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (1...(𝐼 − 1))) → (𝑀𝐼) ∈ ℤ)
102, 9zaddcld 12667 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ (1...(𝐼 − 1))) → (𝑥 + (𝑀𝐼)) ∈ ℤ)
11 metakunt19.5 . . . . 5 𝐶 = (𝑥 ∈ (1...(𝐼 − 1)) ↦ (𝑥 + (𝑀𝐼)))
1210, 11fmptd 7105 . . . 4 (𝜑𝐶:(1...(𝐼 − 1))⟶ℤ)
1312ffnd 6708 . . 3 (𝜑𝐶 Fn (1...(𝐼 − 1)))
14 elfzelz 13498 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ (𝐼...(𝑀 − 1)) → 𝑥 ∈ ℤ)
1514adantl 481 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐼...(𝑀 − 1))) → 𝑥 ∈ ℤ)
16 1zzd 12590 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐼...(𝑀 − 1))) → 1 ∈ ℤ)
177adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐼...(𝑀 − 1))) → 𝐼 ∈ ℤ)
1816, 17zsubcld 12668 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐼...(𝑀 − 1))) → (1 − 𝐼) ∈ ℤ)
1915, 18zaddcld 12667 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐼...(𝑀 − 1))) → (𝑥 + (1 − 𝐼)) ∈ ℤ)
20 metakunt19.6 . . . . 5 𝐷 = (𝑥 ∈ (𝐼...(𝑀 − 1)) ↦ (𝑥 + (1 − 𝐼)))
2119, 20fmptd 7105 . . . 4 (𝜑𝐷:(𝐼...(𝑀 − 1))⟶ℤ)
2221ffnd 6708 . . 3 (𝜑𝐷 Fn (𝐼...(𝑀 − 1)))
23 metakunt19.3 . . . . . . 7 (𝜑𝐼𝑀)
243, 6, 23metakunt18 41495 . . . . . 6 (𝜑 → ((((1...(𝐼 − 1)) ∩ (𝐼...(𝑀 − 1))) = ∅ ∧ ((1...(𝐼 − 1)) ∩ {𝑀}) = ∅ ∧ ((𝐼...(𝑀 − 1)) ∩ {𝑀}) = ∅) ∧ (((((𝑀𝐼) + 1)...(𝑀 − 1)) ∩ (1...(𝑀𝐼))) = ∅ ∧ ((((𝑀𝐼) + 1)...(𝑀 − 1)) ∩ {𝑀}) = ∅ ∧ ((1...(𝑀𝐼)) ∩ {𝑀}) = ∅)))
2524simpld 494 . . . . 5 (𝜑 → (((1...(𝐼 − 1)) ∩ (𝐼...(𝑀 − 1))) = ∅ ∧ ((1...(𝐼 − 1)) ∩ {𝑀}) = ∅ ∧ ((𝐼...(𝑀 − 1)) ∩ {𝑀}) = ∅))
2625simp1d 1139 . . . 4 (𝜑 → ((1...(𝐼 − 1)) ∩ (𝐼...(𝑀 − 1))) = ∅)
2713, 22, 26fnund 6654 . . 3 (𝜑 → (𝐶𝐷) Fn ((1...(𝐼 − 1)) ∪ (𝐼...(𝑀 − 1))))
2813, 22, 273jca 1125 . 2 (𝜑 → (𝐶 Fn (1...(𝐼 − 1)) ∧ 𝐷 Fn (𝐼...(𝑀 − 1)) ∧ (𝐶𝐷) Fn ((1...(𝐼 − 1)) ∪ (𝐼...(𝑀 − 1)))))
29 fnsng 6590 . . 3 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → {⟨𝑀, 𝑀⟩} Fn {𝑀})
303, 3, 29syl2anc 583 . 2 (𝜑 → {⟨𝑀, 𝑀⟩} Fn {𝑀})
3128, 30jca 511 1 (𝜑 → ((𝐶 Fn (1...(𝐼 − 1)) ∧ 𝐷 Fn (𝐼...(𝑀 − 1)) ∧ (𝐶𝐷) Fn ((1...(𝐼 − 1)) ∪ (𝐼...(𝑀 − 1)))) ∧ {⟨𝑀, 𝑀⟩} Fn {𝑀}))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395  w3a 1084   = wceq 1533  wcel 2098  cun 3938  cin 3939  c0 4314  ifcif 4520  {csn 4620  cop 4626   class class class wbr 5138  cmpt 5221   Fn wfn 6528  (class class class)co 7401  1c1 11107   + caddc 11109   < clt 11245  cle 11246  cmin 11441  cn 12209  cz 12555  ...cfz 13481
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-sep 5289  ax-nul 5296  ax-pow 5353  ax-pr 5417  ax-un 7718  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-pss 3959  df-nul 4315  df-if 4521  df-pw 4596  df-sn 4621  df-pr 4623  df-op 4627  df-uni 4900  df-iun 4989  df-br 5139  df-opab 5201  df-mpt 5222  df-tr 5256  df-id 5564  df-eprel 5570  df-po 5578  df-so 5579  df-fr 5621  df-we 5623  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-pred 6290  df-ord 6357  df-on 6358  df-lim 6359  df-suc 6360  df-iota 6485  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7357  df-ov 7404  df-oprab 7405  df-mpo 7406  df-om 7849  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-frecs 8261  df-wrecs 8292  df-recs 8366  df-rdg 8405  df-er 8699  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-pnf 11247  df-mnf 11248  df-xr 11249  df-ltxr 11250  df-le 11251  df-sub 11443  df-neg 11444  df-nn 12210  df-n0 12470  df-z 12556  df-uz 12820  df-rp 12972  df-fz 13482
This theorem is referenced by:  metakunt20  41497  metakunt21  41498  metakunt22  41499  metakunt25  41502
  Copyright terms: Public domain W3C validator