Mathbox for metakunt < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  metakunt19 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem metakunt19 39687
 Description: Domains on restrictions of functions. (Contributed by metakunt, 28-May-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
metakunt19.1 (𝜑𝑀 ∈ ℕ)
metakunt19.2 (𝜑𝐼 ∈ ℕ)
metakunt19.3 (𝜑𝐼𝑀)
metakunt19.4 𝐵 = (𝑥 ∈ (1...𝑀) ↦ if(𝑥 = 𝑀, 𝑀, if(𝑥 < 𝐼, (𝑥 + (𝑀𝐼)), (𝑥 + (1 − 𝐼)))))
metakunt19.5 𝐶 = (𝑥 ∈ (1...(𝐼 − 1)) ↦ (𝑥 + (𝑀𝐼)))
metakunt19.6 𝐷 = (𝑥 ∈ (𝐼...(𝑀 − 1)) ↦ (𝑥 + (1 − 𝐼)))
Assertion
Ref Expression
metakunt19 (𝜑 → ((𝐶 Fn (1...(𝐼 − 1)) ∧ 𝐷 Fn (𝐼...(𝑀 − 1)) ∧ (𝐶𝐷) Fn ((1...(𝐼 − 1)) ∪ (𝐼...(𝑀 − 1)))) ∧ {⟨𝑀, 𝑀⟩} Fn {𝑀}))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐼   𝑥,𝑀   𝜑,𝑥
Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥)   𝐶(𝑥)   𝐷(𝑥)

Proof of Theorem metakunt19
StepHypRef Expression
1 elfzelz 12956 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ (1...(𝐼 − 1)) → 𝑥 ∈ ℤ)
21adantl 485 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (1...(𝐼 − 1))) → 𝑥 ∈ ℤ)
3 metakunt19.1 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑀 ∈ ℕ)
43nnzd 12125 . . . . . . . 8 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
54adantr 484 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (1...(𝐼 − 1))) → 𝑀 ∈ ℤ)
6 metakunt19.2 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐼 ∈ ℕ)
76nnzd 12125 . . . . . . . 8 (𝜑𝐼 ∈ ℤ)
87adantr 484 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (1...(𝐼 − 1))) → 𝐼 ∈ ℤ)
95, 8zsubcld 12131 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (1...(𝐼 − 1))) → (𝑀𝐼) ∈ ℤ)
102, 9zaddcld 12130 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ (1...(𝐼 − 1))) → (𝑥 + (𝑀𝐼)) ∈ ℤ)
11 metakunt19.5 . . . . 5 𝐶 = (𝑥 ∈ (1...(𝐼 − 1)) ↦ (𝑥 + (𝑀𝐼)))
1210, 11fmptd 6869 . . . 4 (𝜑𝐶:(1...(𝐼 − 1))⟶ℤ)
1312ffnd 6499 . . 3 (𝜑𝐶 Fn (1...(𝐼 − 1)))
14 elfzelz 12956 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ (𝐼...(𝑀 − 1)) → 𝑥 ∈ ℤ)
1514adantl 485 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐼...(𝑀 − 1))) → 𝑥 ∈ ℤ)
16 1zzd 12052 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐼...(𝑀 − 1))) → 1 ∈ ℤ)
177adantr 484 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐼...(𝑀 − 1))) → 𝐼 ∈ ℤ)
1816, 17zsubcld 12131 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐼...(𝑀 − 1))) → (1 − 𝐼) ∈ ℤ)
1915, 18zaddcld 12130 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐼...(𝑀 − 1))) → (𝑥 + (1 − 𝐼)) ∈ ℤ)
20 metakunt19.6 . . . . 5 𝐷 = (𝑥 ∈ (𝐼...(𝑀 − 1)) ↦ (𝑥 + (1 − 𝐼)))
2119, 20fmptd 6869 . . . 4 (𝜑𝐷:(𝐼...(𝑀 − 1))⟶ℤ)
2221ffnd 6499 . . 3 (𝜑𝐷 Fn (𝐼...(𝑀 − 1)))
23 metakunt19.3 . . . . . . 7 (𝜑𝐼𝑀)
243, 6, 23metakunt18 39686 . . . . . 6 (𝜑 → ((((1...(𝐼 − 1)) ∩ (𝐼...(𝑀 − 1))) = ∅ ∧ ((1...(𝐼 − 1)) ∩ {𝑀}) = ∅ ∧ ((𝐼...(𝑀 − 1)) ∩ {𝑀}) = ∅) ∧ (((((𝑀𝐼) + 1)...(𝑀 − 1)) ∩ (1...(𝑀𝐼))) = ∅ ∧ ((((𝑀𝐼) + 1)...(𝑀 − 1)) ∩ {𝑀}) = ∅ ∧ ((1...(𝑀𝐼)) ∩ {𝑀}) = ∅)))
2524simpld 498 . . . . 5 (𝜑 → (((1...(𝐼 − 1)) ∩ (𝐼...(𝑀 − 1))) = ∅ ∧ ((1...(𝐼 − 1)) ∩ {𝑀}) = ∅ ∧ ((𝐼...(𝑀 − 1)) ∩ {𝑀}) = ∅))
2625simp1d 1139 . . . 4 (𝜑 → ((1...(𝐼 − 1)) ∩ (𝐼...(𝑀 − 1))) = ∅)
2713, 22, 26fnund 6446 . . 3 (𝜑 → (𝐶𝐷) Fn ((1...(𝐼 − 1)) ∪ (𝐼...(𝑀 − 1))))
2813, 22, 273jca 1125 . 2 (𝜑 → (𝐶 Fn (1...(𝐼 − 1)) ∧ 𝐷 Fn (𝐼...(𝑀 − 1)) ∧ (𝐶𝐷) Fn ((1...(𝐼 − 1)) ∪ (𝐼...(𝑀 − 1)))))
29 fnsng 6387 . . 3 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → {⟨𝑀, 𝑀⟩} Fn {𝑀})
303, 3, 29syl2anc 587 . 2 (𝜑 → {⟨𝑀, 𝑀⟩} Fn {𝑀})
3128, 30jca 515 1 (𝜑 → ((𝐶 Fn (1...(𝐼 − 1)) ∧ 𝐷 Fn (𝐼...(𝑀 − 1)) ∧ (𝐶𝐷) Fn ((1...(𝐼 − 1)) ∪ (𝐼...(𝑀 − 1)))) ∧ {⟨𝑀, 𝑀⟩} Fn {𝑀}))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   ∧ w3a 1084   = wceq 1538   ∈ wcel 2111   ∪ cun 3856   ∩ cin 3857  ∅c0 4225  ifcif 4420  {csn 4522  ⟨cop 4528   class class class wbr 5032   ↦ cmpt 5112   Fn wfn 6330  (class class class)co 7150  1c1 10576   + caddc 10578   < clt 10713   ≤ cle 10714   − cmin 10908  ℕcn 11674  ℤcz 12020  ...cfz 12939 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2729  ax-sep 5169  ax-nul 5176  ax-pow 5234  ax-pr 5298  ax-un 7459  ax-cnex 10631  ax-resscn 10632  ax-1cn 10633  ax-icn 10634  ax-addcl 10635  ax-addrcl 10636  ax-mulcl 10637  ax-mulrcl 10638  ax-mulcom 10639  ax-addass 10640  ax-mulass 10641  ax-distr 10642  ax-i2m1 10643  ax-1ne0 10644  ax-1rid 10645  ax-rnegex 10646  ax-rrecex 10647  ax-cnre 10648  ax-pre-lttri 10649  ax-pre-lttrn 10650  ax-pre-ltadd 10651  ax-pre-mulgt0 10652 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2557  df-eu 2588  df-clab 2736  df-cleq 2750  df-clel 2830  df-nfc 2901  df-ne 2952  df-nel 3056  df-ral 3075  df-rex 3076  df-reu 3077  df-rab 3079  df-v 3411  df-sbc 3697  df-csb 3806  df-dif 3861  df-un 3863  df-in 3865  df-ss 3875  df-pss 3877  df-nul 4226  df-if 4421  df-pw 4496  df-sn 4523  df-pr 4525  df-tp 4527  df-op 4529  df-uni 4799  df-iun 4885  df-br 5033  df-opab 5095  df-mpt 5113  df-tr 5139  df-id 5430  df-eprel 5435  df-po 5443  df-so 5444  df-fr 5483  df-we 5485  df-xp 5530  df-rel 5531  df-cnv 5532  df-co 5533  df-dm 5534  df-rn 5535  df-res 5536  df-ima 5537  df-pred 6126  df-ord 6172  df-on 6173  df-lim 6174  df-suc 6175  df-iota 6294  df-fun 6337  df-fn 6338  df-f 6339  df-f1 6340  df-fo 6341  df-f1o 6342  df-fv 6343  df-riota 7108  df-ov 7153  df-oprab 7154  df-mpo 7155  df-om 7580  df-1st 7693  df-2nd 7694  df-wrecs 7957  df-recs 8018  df-rdg 8056  df-er 8299  df-en 8528  df-dom 8529  df-sdom 8530  df-pnf 10715  df-mnf 10716  df-xr 10717  df-ltxr 10718  df-le 10719  df-sub 10910  df-neg 10911  df-nn 11675  df-n0 11935  df-z 12021  df-uz 12283  df-rp 12431  df-fz 12940 This theorem is referenced by:  metakunt20  39688  metakunt21  39689  metakunt22  39690  metakunt25  39693
 Copyright terms: Public domain W3C validator