Theorem metakunt19 39687

Description: Domains on restrictions of functions. (Contributed by metakunt, 28-May-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
metakunt19.1	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)
metakunt19.2	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ ℕ)
metakunt19.3	⊢ (𝜑 → 𝐼 ≤ 𝑀)
metakunt19.4	⊢ 𝐵 = (𝑥 ∈ (1...𝑀) ↦ if(𝑥 = 𝑀, 𝑀, if(𝑥 < 𝐼, (𝑥 + (𝑀 − 𝐼)), (𝑥 + (1 − 𝐼)))))
metakunt19.5	⊢ 𝐶 = (𝑥 ∈ (1...(𝐼 − 1)) ↦ (𝑥 + (𝑀 − 𝐼)))
metakunt19.6	⊢ 𝐷 = (𝑥 ∈ (𝐼...(𝑀 − 1)) ↦ (𝑥 + (1 − 𝐼)))

Assertion

Ref	Expression
metakunt19	⊢ (𝜑 → ((𝐶 Fn (1...(𝐼 − 1)) ∧ 𝐷 Fn (𝐼...(𝑀 − 1)) ∧ (𝐶 ∪ 𝐷) Fn ((1...(𝐼 − 1)) ∪ (𝐼...(𝑀 − 1)))) ∧ {⟨𝑀, 𝑀⟩} Fn {𝑀}))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐼   𝑥,𝑀   𝜑,𝑥

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥)   𝐶(𝑥)   𝐷(𝑥)

Proof of Theorem metakunt19

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfzelz 12956	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ (1...(𝐼 − 1)) → 𝑥 ∈ ℤ)
2	1	adantl 485	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...(𝐼 − 1))) → 𝑥 ∈ ℤ)
3		metakunt19.1	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)
4	3	nnzd 12125	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
5	4	adantr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...(𝐼 − 1))) → 𝑀 ∈ ℤ)
6		metakunt19.2	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ ℕ)
7	6	nnzd 12125	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ ℤ)
8	7	adantr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...(𝐼 − 1))) → 𝐼 ∈ ℤ)
9	5, 8	zsubcld 12131	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...(𝐼 − 1))) → (𝑀 − 𝐼) ∈ ℤ)
10	2, 9	zaddcld 12130	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...(𝐼 − 1))) → (𝑥 + (𝑀 − 𝐼)) ∈ ℤ)
11		metakunt19.5	. . . . 5 ⊢ 𝐶 = (𝑥 ∈ (1...(𝐼 − 1)) ↦ (𝑥 + (𝑀 − 𝐼)))
12	10, 11	fmptd 6869	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶:(1...(𝐼 − 1))⟶ℤ)
13	12	ffnd 6499	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 Fn (1...(𝐼 − 1)))
14		elfzelz 12956	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐼...(𝑀 − 1)) → 𝑥 ∈ ℤ)
15	14	adantl 485	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐼...(𝑀 − 1))) → 𝑥 ∈ ℤ)
16		1zzd 12052	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐼...(𝑀 − 1))) → 1 ∈ ℤ)
17	7	adantr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐼...(𝑀 − 1))) → 𝐼 ∈ ℤ)
18	16, 17	zsubcld 12131	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐼...(𝑀 − 1))) → (1 − 𝐼) ∈ ℤ)
19	15, 18	zaddcld 12130	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐼...(𝑀 − 1))) → (𝑥 + (1 − 𝐼)) ∈ ℤ)
20		metakunt19.6	. . . . 5 ⊢ 𝐷 = (𝑥 ∈ (𝐼...(𝑀 − 1)) ↦ (𝑥 + (1 − 𝐼)))
21	19, 20	fmptd 6869	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐷:(𝐼...(𝑀 − 1))⟶ℤ)
22	21	ffnd 6499	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐷 Fn (𝐼...(𝑀 − 1)))
23		metakunt19.3	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ≤ 𝑀)
24	3, 6, 23	metakunt18 39686	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((((1...(𝐼 − 1)) ∩ (𝐼...(𝑀 − 1))) = ∅ ∧ ((1...(𝐼 − 1)) ∩ {𝑀}) = ∅ ∧ ((𝐼...(𝑀 − 1)) ∩ {𝑀}) = ∅) ∧ (((((𝑀 − 𝐼) + 1)...(𝑀 − 1)) ∩ (1...(𝑀 − 𝐼))) = ∅ ∧ ((((𝑀 − 𝐼) + 1)...(𝑀 − 1)) ∩ {𝑀}) = ∅ ∧ ((1...(𝑀 − 𝐼)) ∩ {𝑀}) = ∅)))
25	24	simpld 498	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((1...(𝐼 − 1)) ∩ (𝐼...(𝑀 − 1))) = ∅ ∧ ((1...(𝐼 − 1)) ∩ {𝑀}) = ∅ ∧ ((𝐼...(𝑀 − 1)) ∩ {𝑀}) = ∅))
26	25	simp1d 1139	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((1...(𝐼 − 1)) ∩ (𝐼...(𝑀 − 1))) = ∅)
27	13, 22, 26	fnund 6446	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ∪ 𝐷) Fn ((1...(𝐼 − 1)) ∪ (𝐼...(𝑀 − 1))))
28	13, 22, 27	3jca 1125	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐶 Fn (1...(𝐼 − 1)) ∧ 𝐷 Fn (𝐼...(𝑀 − 1)) ∧ (𝐶 ∪ 𝐷) Fn ((1...(𝐼 − 1)) ∪ (𝐼...(𝑀 − 1)))))
29		fnsng 6387	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → {⟨𝑀, 𝑀⟩} Fn {𝑀})
30	3, 3, 29	syl2anc 587	. 2 ⊢ (𝜑 → {⟨𝑀, 𝑀⟩} Fn {𝑀})
31	28, 30	jca 515	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 Fn (1...(𝐼 − 1)) ∧ 𝐷 Fn (𝐼...(𝑀 − 1)) ∧ (𝐶 ∪ 𝐷) Fn ((1...(𝐼 − 1)) ∪ (𝐼...(𝑀 − 1)))) ∧ {⟨𝑀, 𝑀⟩} Fn {𝑀}))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   ∧ w3a 1084   = wceq 1538   ∈ wcel 2111   ∪ cun 3856   ∩ cin 3857  ∅c0 4225  ifcif 4420  {csn 4522  ⟨cop 4528   class class class wbr 5032   ↦ cmpt 5112   Fn wfn 6330  (class class class)co 7150  1c1 10576   + caddc 10578   < clt 10713   ≤ cle 10714   − cmin 10908  ℕcn 11674  ℤcz 12020  ...cfz 12939

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2729  ax-sep 5169  ax-nul 5176  ax-pow 5234  ax-pr 5298  ax-un 7459  ax-cnex 10631  ax-resscn 10632  ax-1cn 10633  ax-icn 10634  ax-addcl 10635  ax-addrcl 10636  ax-mulcl 10637  ax-mulrcl 10638  ax-mulcom 10639  ax-addass 10640  ax-mulass 10641  ax-distr 10642  ax-i2m1 10643  ax-1ne0 10644  ax-1rid 10645  ax-rnegex 10646  ax-rrecex 10647  ax-cnre 10648  ax-pre-lttri 10649  ax-pre-lttrn 10650  ax-pre-ltadd 10651  ax-pre-mulgt0 10652

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2557  df-eu 2588  df-clab 2736  df-cleq 2750  df-clel 2830  df-nfc 2901  df-ne 2952  df-nel 3056  df-ral 3075  df-rex 3076  df-reu 3077  df-rab 3079  df-v 3411  df-sbc 3697  df-csb 3806  df-dif 3861  df-un 3863  df-in 3865  df-ss 3875  df-pss 3877  df-nul 4226  df-if 4421  df-pw 4496  df-sn 4523  df-pr 4525  df-tp 4527  df-op 4529  df-uni 4799  df-iun 4885  df-br 5033  df-opab 5095  df-mpt 5113  df-tr 5139  df-id 5430  df-eprel 5435  df-po 5443  df-so 5444  df-fr 5483  df-we 5485  df-xp 5530  df-rel 5531  df-cnv 5532  df-co 5533  df-dm 5534  df-rn 5535  df-res 5536  df-ima 5537  df-pred 6126  df-ord 6172  df-on 6173  df-lim 6174  df-suc 6175  df-iota 6294  df-fun 6337  df-fn 6338  df-f 6339  df-f1 6340  df-fo 6341  df-f1o 6342  df-fv 6343  df-riota 7108  df-ov 7153  df-oprab 7154  df-mpo 7155  df-om 7580  df-1st 7693  df-2nd 7694  df-wrecs 7957  df-recs 8018  df-rdg 8056  df-er 8299  df-en 8528  df-dom 8529  df-sdom 8530  df-pnf 10715  df-mnf 10716  df-xr 10717  df-ltxr 10718  df-le 10719  df-sub 10910  df-neg 10911  df-nn 11675  df-n0 11935  df-z 12021  df-uz 12283  df-rp 12431  df-fz 12940

This theorem is referenced by:  metakunt20  39688  metakunt21  39689  metakunt22  39690  metakunt25  39693