Users' Mathboxes Mathbox for metakunt < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  metakunt19 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem metakunt19 41731
Description: Domains on restrictions of functions. (Contributed by metakunt, 28-May-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
metakunt19.1 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„•)
metakunt19.2 (πœ‘ β†’ 𝐼 ∈ β„•)
metakunt19.3 (πœ‘ β†’ 𝐼 ≀ 𝑀)
metakunt19.4 𝐡 = (π‘₯ ∈ (1...𝑀) ↦ if(π‘₯ = 𝑀, 𝑀, if(π‘₯ < 𝐼, (π‘₯ + (𝑀 βˆ’ 𝐼)), (π‘₯ + (1 βˆ’ 𝐼)))))
metakunt19.5 𝐢 = (π‘₯ ∈ (1...(𝐼 βˆ’ 1)) ↦ (π‘₯ + (𝑀 βˆ’ 𝐼)))
metakunt19.6 𝐷 = (π‘₯ ∈ (𝐼...(𝑀 βˆ’ 1)) ↦ (π‘₯ + (1 βˆ’ 𝐼)))
Assertion
Ref Expression
metakunt19 (πœ‘ β†’ ((𝐢 Fn (1...(𝐼 βˆ’ 1)) ∧ 𝐷 Fn (𝐼...(𝑀 βˆ’ 1)) ∧ (𝐢 βˆͺ 𝐷) Fn ((1...(𝐼 βˆ’ 1)) βˆͺ (𝐼...(𝑀 βˆ’ 1)))) ∧ {βŸ¨π‘€, π‘€βŸ©} Fn {𝑀}))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝐼   π‘₯,𝑀   πœ‘,π‘₯
Allowed substitution hints:   𝐡(π‘₯)   𝐢(π‘₯)   𝐷(π‘₯)

Proof of Theorem metakunt19
StepHypRef Expression
1 elfzelz 13533 . . . . . . 7 (π‘₯ ∈ (1...(𝐼 βˆ’ 1)) β†’ π‘₯ ∈ β„€)
21adantl 480 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (1...(𝐼 βˆ’ 1))) β†’ π‘₯ ∈ β„€)
3 metakunt19.1 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„•)
43nnzd 12615 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„€)
54adantr 479 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (1...(𝐼 βˆ’ 1))) β†’ 𝑀 ∈ β„€)
6 metakunt19.2 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝐼 ∈ β„•)
76nnzd 12615 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐼 ∈ β„€)
87adantr 479 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (1...(𝐼 βˆ’ 1))) β†’ 𝐼 ∈ β„€)
95, 8zsubcld 12701 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (1...(𝐼 βˆ’ 1))) β†’ (𝑀 βˆ’ 𝐼) ∈ β„€)
102, 9zaddcld 12700 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (1...(𝐼 βˆ’ 1))) β†’ (π‘₯ + (𝑀 βˆ’ 𝐼)) ∈ β„€)
11 metakunt19.5 . . . . 5 𝐢 = (π‘₯ ∈ (1...(𝐼 βˆ’ 1)) ↦ (π‘₯ + (𝑀 βˆ’ 𝐼)))
1210, 11fmptd 7119 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐢:(1...(𝐼 βˆ’ 1))βŸΆβ„€)
1312ffnd 6718 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐢 Fn (1...(𝐼 βˆ’ 1)))
14 elfzelz 13533 . . . . . . 7 (π‘₯ ∈ (𝐼...(𝑀 βˆ’ 1)) β†’ π‘₯ ∈ β„€)
1514adantl 480 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐼...(𝑀 βˆ’ 1))) β†’ π‘₯ ∈ β„€)
16 1zzd 12623 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐼...(𝑀 βˆ’ 1))) β†’ 1 ∈ β„€)
177adantr 479 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐼...(𝑀 βˆ’ 1))) β†’ 𝐼 ∈ β„€)
1816, 17zsubcld 12701 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐼...(𝑀 βˆ’ 1))) β†’ (1 βˆ’ 𝐼) ∈ β„€)
1915, 18zaddcld 12700 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐼...(𝑀 βˆ’ 1))) β†’ (π‘₯ + (1 βˆ’ 𝐼)) ∈ β„€)
20 metakunt19.6 . . . . 5 𝐷 = (π‘₯ ∈ (𝐼...(𝑀 βˆ’ 1)) ↦ (π‘₯ + (1 βˆ’ 𝐼)))
2119, 20fmptd 7119 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐷:(𝐼...(𝑀 βˆ’ 1))βŸΆβ„€)
2221ffnd 6718 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐷 Fn (𝐼...(𝑀 βˆ’ 1)))
23 metakunt19.3 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐼 ≀ 𝑀)
243, 6, 23metakunt18 41730 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((((1...(𝐼 βˆ’ 1)) ∩ (𝐼...(𝑀 βˆ’ 1))) = βˆ… ∧ ((1...(𝐼 βˆ’ 1)) ∩ {𝑀}) = βˆ… ∧ ((𝐼...(𝑀 βˆ’ 1)) ∩ {𝑀}) = βˆ…) ∧ (((((𝑀 βˆ’ 𝐼) + 1)...(𝑀 βˆ’ 1)) ∩ (1...(𝑀 βˆ’ 𝐼))) = βˆ… ∧ ((((𝑀 βˆ’ 𝐼) + 1)...(𝑀 βˆ’ 1)) ∩ {𝑀}) = βˆ… ∧ ((1...(𝑀 βˆ’ 𝐼)) ∩ {𝑀}) = βˆ…)))
2524simpld 493 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (((1...(𝐼 βˆ’ 1)) ∩ (𝐼...(𝑀 βˆ’ 1))) = βˆ… ∧ ((1...(𝐼 βˆ’ 1)) ∩ {𝑀}) = βˆ… ∧ ((𝐼...(𝑀 βˆ’ 1)) ∩ {𝑀}) = βˆ…))
2625simp1d 1139 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((1...(𝐼 βˆ’ 1)) ∩ (𝐼...(𝑀 βˆ’ 1))) = βˆ…)
2713, 22, 26fnund 6664 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝐢 βˆͺ 𝐷) Fn ((1...(𝐼 βˆ’ 1)) βˆͺ (𝐼...(𝑀 βˆ’ 1))))
2813, 22, 273jca 1125 . 2 (πœ‘ β†’ (𝐢 Fn (1...(𝐼 βˆ’ 1)) ∧ 𝐷 Fn (𝐼...(𝑀 βˆ’ 1)) ∧ (𝐢 βˆͺ 𝐷) Fn ((1...(𝐼 βˆ’ 1)) βˆͺ (𝐼...(𝑀 βˆ’ 1)))))
29 fnsng 6600 . . 3 ((𝑀 ∈ β„• ∧ 𝑀 ∈ β„•) β†’ {βŸ¨π‘€, π‘€βŸ©} Fn {𝑀})
303, 3, 29syl2anc 582 . 2 (πœ‘ β†’ {βŸ¨π‘€, π‘€βŸ©} Fn {𝑀})
3128, 30jca 510 1 (πœ‘ β†’ ((𝐢 Fn (1...(𝐼 βˆ’ 1)) ∧ 𝐷 Fn (𝐼...(𝑀 βˆ’ 1)) ∧ (𝐢 βˆͺ 𝐷) Fn ((1...(𝐼 βˆ’ 1)) βˆͺ (𝐼...(𝑀 βˆ’ 1)))) ∧ {βŸ¨π‘€, π‘€βŸ©} Fn {𝑀}))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 394   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   βˆͺ cun 3937   ∩ cin 3938  βˆ…c0 4318  ifcif 4524  {csn 4624  βŸ¨cop 4630   class class class wbr 5143   ↦ cmpt 5226   Fn wfn 6538  (class class class)co 7416  1c1 11139   + caddc 11141   < clt 11278   ≀ cle 11279   βˆ’ cmin 11474  β„•cn 12242  β„€cz 12588  ...cfz 13516
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7738  ax-cnex 11194  ax-resscn 11195  ax-1cn 11196  ax-icn 11197  ax-addcl 11198  ax-addrcl 11199  ax-mulcl 11200  ax-mulrcl 11201  ax-mulcom 11202  ax-addass 11203  ax-mulass 11204  ax-distr 11205  ax-i2m1 11206  ax-1ne0 11207  ax-1rid 11208  ax-rnegex 11209  ax-rrecex 11210  ax-cnre 11211  ax-pre-lttri 11212  ax-pre-lttrn 11213  ax-pre-ltadd 11214  ax-pre-mulgt0 11215
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3769  df-csb 3885  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3956  df-pss 3959  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7372  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7869  df-1st 7991  df-2nd 7992  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-er 8723  df-en 8963  df-dom 8964  df-sdom 8965  df-pnf 11280  df-mnf 11281  df-xr 11282  df-ltxr 11283  df-le 11284  df-sub 11476  df-neg 11477  df-nn 12243  df-n0 12503  df-z 12589  df-uz 12853  df-rp 13007  df-fz 13517
This theorem is referenced by:  metakunt20  41732  metakunt21  41733  metakunt22  41734  metakunt25  41737
  Copyright terms: Public domain W3C validator