Users' Mathboxes Mathbox for metakunt < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  metakunt19 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem metakunt19 40641
Description: Domains on restrictions of functions. (Contributed by metakunt, 28-May-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
metakunt19.1 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„•)
metakunt19.2 (πœ‘ β†’ 𝐼 ∈ β„•)
metakunt19.3 (πœ‘ β†’ 𝐼 ≀ 𝑀)
metakunt19.4 𝐡 = (π‘₯ ∈ (1...𝑀) ↦ if(π‘₯ = 𝑀, 𝑀, if(π‘₯ < 𝐼, (π‘₯ + (𝑀 βˆ’ 𝐼)), (π‘₯ + (1 βˆ’ 𝐼)))))
metakunt19.5 𝐢 = (π‘₯ ∈ (1...(𝐼 βˆ’ 1)) ↦ (π‘₯ + (𝑀 βˆ’ 𝐼)))
metakunt19.6 𝐷 = (π‘₯ ∈ (𝐼...(𝑀 βˆ’ 1)) ↦ (π‘₯ + (1 βˆ’ 𝐼)))
Assertion
Ref Expression
metakunt19 (πœ‘ β†’ ((𝐢 Fn (1...(𝐼 βˆ’ 1)) ∧ 𝐷 Fn (𝐼...(𝑀 βˆ’ 1)) ∧ (𝐢 βˆͺ 𝐷) Fn ((1...(𝐼 βˆ’ 1)) βˆͺ (𝐼...(𝑀 βˆ’ 1)))) ∧ {βŸ¨π‘€, π‘€βŸ©} Fn {𝑀}))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝐼   π‘₯,𝑀   πœ‘,π‘₯
Allowed substitution hints:   𝐡(π‘₯)   𝐢(π‘₯)   𝐷(π‘₯)

Proof of Theorem metakunt19
StepHypRef Expression
1 elfzelz 13447 . . . . . . 7 (π‘₯ ∈ (1...(𝐼 βˆ’ 1)) β†’ π‘₯ ∈ β„€)
21adantl 483 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (1...(𝐼 βˆ’ 1))) β†’ π‘₯ ∈ β„€)
3 metakunt19.1 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„•)
43nnzd 12531 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„€)
54adantr 482 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (1...(𝐼 βˆ’ 1))) β†’ 𝑀 ∈ β„€)
6 metakunt19.2 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝐼 ∈ β„•)
76nnzd 12531 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐼 ∈ β„€)
87adantr 482 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (1...(𝐼 βˆ’ 1))) β†’ 𝐼 ∈ β„€)
95, 8zsubcld 12617 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (1...(𝐼 βˆ’ 1))) β†’ (𝑀 βˆ’ 𝐼) ∈ β„€)
102, 9zaddcld 12616 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (1...(𝐼 βˆ’ 1))) β†’ (π‘₯ + (𝑀 βˆ’ 𝐼)) ∈ β„€)
11 metakunt19.5 . . . . 5 𝐢 = (π‘₯ ∈ (1...(𝐼 βˆ’ 1)) ↦ (π‘₯ + (𝑀 βˆ’ 𝐼)))
1210, 11fmptd 7063 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐢:(1...(𝐼 βˆ’ 1))βŸΆβ„€)
1312ffnd 6670 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐢 Fn (1...(𝐼 βˆ’ 1)))
14 elfzelz 13447 . . . . . . 7 (π‘₯ ∈ (𝐼...(𝑀 βˆ’ 1)) β†’ π‘₯ ∈ β„€)
1514adantl 483 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐼...(𝑀 βˆ’ 1))) β†’ π‘₯ ∈ β„€)
16 1zzd 12539 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐼...(𝑀 βˆ’ 1))) β†’ 1 ∈ β„€)
177adantr 482 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐼...(𝑀 βˆ’ 1))) β†’ 𝐼 ∈ β„€)
1816, 17zsubcld 12617 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐼...(𝑀 βˆ’ 1))) β†’ (1 βˆ’ 𝐼) ∈ β„€)
1915, 18zaddcld 12616 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐼...(𝑀 βˆ’ 1))) β†’ (π‘₯ + (1 βˆ’ 𝐼)) ∈ β„€)
20 metakunt19.6 . . . . 5 𝐷 = (π‘₯ ∈ (𝐼...(𝑀 βˆ’ 1)) ↦ (π‘₯ + (1 βˆ’ 𝐼)))
2119, 20fmptd 7063 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐷:(𝐼...(𝑀 βˆ’ 1))βŸΆβ„€)
2221ffnd 6670 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐷 Fn (𝐼...(𝑀 βˆ’ 1)))
23 metakunt19.3 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐼 ≀ 𝑀)
243, 6, 23metakunt18 40640 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((((1...(𝐼 βˆ’ 1)) ∩ (𝐼...(𝑀 βˆ’ 1))) = βˆ… ∧ ((1...(𝐼 βˆ’ 1)) ∩ {𝑀}) = βˆ… ∧ ((𝐼...(𝑀 βˆ’ 1)) ∩ {𝑀}) = βˆ…) ∧ (((((𝑀 βˆ’ 𝐼) + 1)...(𝑀 βˆ’ 1)) ∩ (1...(𝑀 βˆ’ 𝐼))) = βˆ… ∧ ((((𝑀 βˆ’ 𝐼) + 1)...(𝑀 βˆ’ 1)) ∩ {𝑀}) = βˆ… ∧ ((1...(𝑀 βˆ’ 𝐼)) ∩ {𝑀}) = βˆ…)))
2524simpld 496 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (((1...(𝐼 βˆ’ 1)) ∩ (𝐼...(𝑀 βˆ’ 1))) = βˆ… ∧ ((1...(𝐼 βˆ’ 1)) ∩ {𝑀}) = βˆ… ∧ ((𝐼...(𝑀 βˆ’ 1)) ∩ {𝑀}) = βˆ…))
2625simp1d 1143 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((1...(𝐼 βˆ’ 1)) ∩ (𝐼...(𝑀 βˆ’ 1))) = βˆ…)
2713, 22, 26fnund 6616 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝐢 βˆͺ 𝐷) Fn ((1...(𝐼 βˆ’ 1)) βˆͺ (𝐼...(𝑀 βˆ’ 1))))
2813, 22, 273jca 1129 . 2 (πœ‘ β†’ (𝐢 Fn (1...(𝐼 βˆ’ 1)) ∧ 𝐷 Fn (𝐼...(𝑀 βˆ’ 1)) ∧ (𝐢 βˆͺ 𝐷) Fn ((1...(𝐼 βˆ’ 1)) βˆͺ (𝐼...(𝑀 βˆ’ 1)))))
29 fnsng 6554 . . 3 ((𝑀 ∈ β„• ∧ 𝑀 ∈ β„•) β†’ {βŸ¨π‘€, π‘€βŸ©} Fn {𝑀})
303, 3, 29syl2anc 585 . 2 (πœ‘ β†’ {βŸ¨π‘€, π‘€βŸ©} Fn {𝑀})
3128, 30jca 513 1 (πœ‘ β†’ ((𝐢 Fn (1...(𝐼 βˆ’ 1)) ∧ 𝐷 Fn (𝐼...(𝑀 βˆ’ 1)) ∧ (𝐢 βˆͺ 𝐷) Fn ((1...(𝐼 βˆ’ 1)) βˆͺ (𝐼...(𝑀 βˆ’ 1)))) ∧ {βŸ¨π‘€, π‘€βŸ©} Fn {𝑀}))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   βˆͺ cun 3909   ∩ cin 3910  βˆ…c0 4283  ifcif 4487  {csn 4587  βŸ¨cop 4593   class class class wbr 5106   ↦ cmpt 5189   Fn wfn 6492  (class class class)co 7358  1c1 11057   + caddc 11059   < clt 11194   ≀ cle 11195   βˆ’ cmin 11390  β„•cn 12158  β„€cz 12504  ...cfz 13430
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-cnex 11112  ax-resscn 11113  ax-1cn 11114  ax-icn 11115  ax-addcl 11116  ax-addrcl 11117  ax-mulcl 11118  ax-mulrcl 11119  ax-mulcom 11120  ax-addass 11121  ax-mulass 11122  ax-distr 11123  ax-i2m1 11124  ax-1ne0 11125  ax-1rid 11126  ax-rnegex 11127  ax-rrecex 11128  ax-cnre 11129  ax-pre-lttri 11130  ax-pre-lttrn 11131  ax-pre-ltadd 11132  ax-pre-mulgt0 11133
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7804  df-1st 7922  df-2nd 7923  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-er 8651  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-pnf 11196  df-mnf 11197  df-xr 11198  df-ltxr 11199  df-le 11200  df-sub 11392  df-neg 11393  df-nn 12159  df-n0 12419  df-z 12505  df-uz 12769  df-rp 12921  df-fz 13431
This theorem is referenced by:  metakunt20  40642  metakunt21  40643  metakunt22  40644  metakunt25  40647
  Copyright terms: Public domain W3C validator