MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mat1dimscm Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mat1dimscm 21078
Description: The scalar multiplication in the algebra of matrices with dimension 1. (Contributed by AV, 16-Aug-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
mat1dim.a 𝐴 = ({𝐸} Mat 𝑅)
mat1dim.b 𝐵 = (Base‘𝑅)
mat1dim.o 𝑂 = ⟨𝐸, 𝐸
Assertion
Ref Expression
mat1dimscm (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸𝑉) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵)) → (𝑋( ·𝑠𝐴){⟨𝑂, 𝑌⟩}) = {⟨𝑂, (𝑋(.r𝑅)𝑌)⟩})

Proof of Theorem mat1dimscm
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mat1dim.o . . . . . . . . . . 11 𝑂 = ⟨𝐸, 𝐸
2 opex 5348 . . . . . . . . . . 11 𝐸, 𝐸⟩ ∈ V
31, 2eqeltri 2909 . . . . . . . . . 10 𝑂 ∈ V
43a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝑌𝐵𝑂 ∈ V)
54anim2i 618 . . . . . . . 8 ((𝑋𝐵𝑌𝐵) → (𝑋𝐵𝑂 ∈ V))
65ancomd 464 . . . . . . 7 ((𝑋𝐵𝑌𝐵) → (𝑂 ∈ V ∧ 𝑋𝐵))
7 fnsng 6400 . . . . . . 7 ((𝑂 ∈ V ∧ 𝑋𝐵) → {⟨𝑂, 𝑋⟩} Fn {𝑂})
86, 7syl 17 . . . . . 6 ((𝑋𝐵𝑌𝐵) → {⟨𝑂, 𝑋⟩} Fn {𝑂})
98adantl 484 . . . . 5 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸𝑉) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵)) → {⟨𝑂, 𝑋⟩} Fn {𝑂})
10 xpsng 6895 . . . . . . . 8 ((𝑂 ∈ V ∧ 𝑋𝐵) → ({𝑂} × {𝑋}) = {⟨𝑂, 𝑋⟩})
116, 10syl 17 . . . . . . 7 ((𝑋𝐵𝑌𝐵) → ({𝑂} × {𝑋}) = {⟨𝑂, 𝑋⟩})
1211adantl 484 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸𝑉) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵)) → ({𝑂} × {𝑋}) = {⟨𝑂, 𝑋⟩})
1312fneq1d 6440 . . . . 5 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸𝑉) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵)) → (({𝑂} × {𝑋}) Fn {𝑂} ↔ {⟨𝑂, 𝑋⟩} Fn {𝑂}))
149, 13mpbird 259 . . . 4 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸𝑉) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵)) → ({𝑂} × {𝑋}) Fn {𝑂})
15 xpsng 6895 . . . . . . . . 9 ((𝐸𝑉𝐸𝑉) → ({𝐸} × {𝐸}) = {⟨𝐸, 𝐸⟩})
161sneqi 4571 . . . . . . . . 9 {𝑂} = {⟨𝐸, 𝐸⟩}
1715, 16syl6eqr 2874 . . . . . . . 8 ((𝐸𝑉𝐸𝑉) → ({𝐸} × {𝐸}) = {𝑂})
1817anidms 569 . . . . . . 7 (𝐸𝑉 → ({𝐸} × {𝐸}) = {𝑂})
1918ad2antlr 725 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸𝑉) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵)) → ({𝐸} × {𝐸}) = {𝑂})
2019xpeq1d 5578 . . . . 5 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸𝑉) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵)) → (({𝐸} × {𝐸}) × {𝑋}) = ({𝑂} × {𝑋}))
2120fneq1d 6440 . . . 4 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸𝑉) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵)) → ((({𝐸} × {𝐸}) × {𝑋}) Fn {𝑂} ↔ ({𝑂} × {𝑋}) Fn {𝑂}))
2214, 21mpbird 259 . . 3 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸𝑉) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵)) → (({𝐸} × {𝐸}) × {𝑋}) Fn {𝑂})
233a1i 11 . . . . 5 (𝑋𝐵𝑂 ∈ V)
24 fnsng 6400 . . . . 5 ((𝑂 ∈ V ∧ 𝑌𝐵) → {⟨𝑂, 𝑌⟩} Fn {𝑂})
2523, 24sylan 582 . . . 4 ((𝑋𝐵𝑌𝐵) → {⟨𝑂, 𝑌⟩} Fn {𝑂})
2625adantl 484 . . 3 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸𝑉) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵)) → {⟨𝑂, 𝑌⟩} Fn {𝑂})
27 snex 5323 . . . 4 {𝑂} ∈ V
2827a1i 11 . . 3 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸𝑉) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵)) → {𝑂} ∈ V)
29 inidm 4194 . . 3 ({𝑂} ∩ {𝑂}) = {𝑂}
30 elsni 4577 . . . . 5 (𝑥 ∈ {𝑂} → 𝑥 = 𝑂)
31 fveq2 6664 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑂 → ((({𝐸} × {𝐸}) × {𝑋})‘𝑥) = ((({𝐸} × {𝐸}) × {𝑋})‘𝑂))
3215anidms 569 . . . . . . . . . . . 12 (𝐸𝑉 → ({𝐸} × {𝐸}) = {⟨𝐸, 𝐸⟩})
3332ad2antlr 725 . . . . . . . . . . 11 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸𝑉) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵)) → ({𝐸} × {𝐸}) = {⟨𝐸, 𝐸⟩})
3433xpeq1d 5578 . . . . . . . . . 10 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸𝑉) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵)) → (({𝐸} × {𝐸}) × {𝑋}) = ({⟨𝐸, 𝐸⟩} × {𝑋}))
352a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑌𝐵 → ⟨𝐸, 𝐸⟩ ∈ V)
3635anim2i 618 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑋𝐵𝑌𝐵) → (𝑋𝐵 ∧ ⟨𝐸, 𝐸⟩ ∈ V))
3736ancomd 464 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑋𝐵𝑌𝐵) → (⟨𝐸, 𝐸⟩ ∈ V ∧ 𝑋𝐵))
38 xpsng 6895 . . . . . . . . . . . . 13 ((⟨𝐸, 𝐸⟩ ∈ V ∧ 𝑋𝐵) → ({⟨𝐸, 𝐸⟩} × {𝑋}) = {⟨⟨𝐸, 𝐸⟩, 𝑋⟩})
391eqcomi 2830 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝐸, 𝐸⟩ = 𝑂
4039opeq1i 4799 . . . . . . . . . . . . . 14 ⟨⟨𝐸, 𝐸⟩, 𝑋⟩ = ⟨𝑂, 𝑋
4140sneqi 4571 . . . . . . . . . . . . 13 {⟨⟨𝐸, 𝐸⟩, 𝑋⟩} = {⟨𝑂, 𝑋⟩}
4238, 41syl6eq 2872 . . . . . . . . . . . 12 ((⟨𝐸, 𝐸⟩ ∈ V ∧ 𝑋𝐵) → ({⟨𝐸, 𝐸⟩} × {𝑋}) = {⟨𝑂, 𝑋⟩})
4337, 42syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((𝑋𝐵𝑌𝐵) → ({⟨𝐸, 𝐸⟩} × {𝑋}) = {⟨𝑂, 𝑋⟩})
4443adantl 484 . . . . . . . . . 10 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸𝑉) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵)) → ({⟨𝐸, 𝐸⟩} × {𝑋}) = {⟨𝑂, 𝑋⟩})
4534, 44eqtrd 2856 . . . . . . . . 9 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸𝑉) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵)) → (({𝐸} × {𝐸}) × {𝑋}) = {⟨𝑂, 𝑋⟩})
4645fveq1d 6666 . . . . . . . 8 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸𝑉) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵)) → ((({𝐸} × {𝐸}) × {𝑋})‘𝑂) = ({⟨𝑂, 𝑋⟩}‘𝑂))
47 fvsng 6936 . . . . . . . . . 10 ((𝑂 ∈ V ∧ 𝑋𝐵) → ({⟨𝑂, 𝑋⟩}‘𝑂) = 𝑋)
486, 47syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝑋𝐵𝑌𝐵) → ({⟨𝑂, 𝑋⟩}‘𝑂) = 𝑋)
4948adantl 484 . . . . . . . 8 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸𝑉) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵)) → ({⟨𝑂, 𝑋⟩}‘𝑂) = 𝑋)
5046, 49eqtrd 2856 . . . . . . 7 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸𝑉) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵)) → ((({𝐸} × {𝐸}) × {𝑋})‘𝑂) = 𝑋)
5131, 50sylan9eq 2876 . . . . . 6 ((𝑥 = 𝑂 ∧ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸𝑉) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵))) → ((({𝐸} × {𝐸}) × {𝑋})‘𝑥) = 𝑋)
5251ex 415 . . . . 5 (𝑥 = 𝑂 → (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸𝑉) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵)) → ((({𝐸} × {𝐸}) × {𝑋})‘𝑥) = 𝑋))
5330, 52syl 17 . . . 4 (𝑥 ∈ {𝑂} → (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸𝑉) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵)) → ((({𝐸} × {𝐸}) × {𝑋})‘𝑥) = 𝑋))
5453impcom 410 . . 3 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸𝑉) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵)) ∧ 𝑥 ∈ {𝑂}) → ((({𝐸} × {𝐸}) × {𝑋})‘𝑥) = 𝑋)
55 fveq2 6664 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑂 → ({⟨𝑂, 𝑌⟩}‘𝑥) = ({⟨𝑂, 𝑌⟩}‘𝑂))
56 fvsng 6936 . . . . . . . . 9 ((𝑂 ∈ V ∧ 𝑌𝐵) → ({⟨𝑂, 𝑌⟩}‘𝑂) = 𝑌)
5723, 56sylan 582 . . . . . . . 8 ((𝑋𝐵𝑌𝐵) → ({⟨𝑂, 𝑌⟩}‘𝑂) = 𝑌)
5857adantl 484 . . . . . . 7 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸𝑉) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵)) → ({⟨𝑂, 𝑌⟩}‘𝑂) = 𝑌)
5955, 58sylan9eq 2876 . . . . . 6 ((𝑥 = 𝑂 ∧ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸𝑉) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵))) → ({⟨𝑂, 𝑌⟩}‘𝑥) = 𝑌)
6059ex 415 . . . . 5 (𝑥 = 𝑂 → (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸𝑉) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵)) → ({⟨𝑂, 𝑌⟩}‘𝑥) = 𝑌))
6130, 60syl 17 . . . 4 (𝑥 ∈ {𝑂} → (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸𝑉) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵)) → ({⟨𝑂, 𝑌⟩}‘𝑥) = 𝑌))
6261impcom 410 . . 3 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸𝑉) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵)) ∧ 𝑥 ∈ {𝑂}) → ({⟨𝑂, 𝑌⟩}‘𝑥) = 𝑌)
6322, 26, 28, 28, 29, 54, 62offval 7410 . 2 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸𝑉) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵)) → ((({𝐸} × {𝐸}) × {𝑋}) ∘f (.r𝑅){⟨𝑂, 𝑌⟩}) = (𝑥 ∈ {𝑂} ↦ (𝑋(.r𝑅)𝑌)))
64 simprl 769 . . 3 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸𝑉) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵)) → 𝑋𝐵)
65 simpr 487 . . . . . 6 ((𝑋𝐵𝑌𝐵) → 𝑌𝐵)
6665anim2i 618 . . . . 5 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸𝑉) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵)) → ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸𝑉) ∧ 𝑌𝐵))
67 df-3an 1085 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸𝑉𝑌𝐵) ↔ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸𝑉) ∧ 𝑌𝐵))
6866, 67sylibr 236 . . . 4 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸𝑉) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵)) → (𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸𝑉𝑌𝐵))
69 mat1dim.a . . . . 5 𝐴 = ({𝐸} Mat 𝑅)
70 mat1dim.b . . . . 5 𝐵 = (Base‘𝑅)
7169, 70, 1mat1dimbas 21075 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸𝑉𝑌𝐵) → {⟨𝑂, 𝑌⟩} ∈ (Base‘𝐴))
7268, 71syl 17 . . 3 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸𝑉) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵)) → {⟨𝑂, 𝑌⟩} ∈ (Base‘𝐴))
73 eqid 2821 . . . 4 (Base‘𝐴) = (Base‘𝐴)
74 eqid 2821 . . . 4 ( ·𝑠𝐴) = ( ·𝑠𝐴)
75 eqid 2821 . . . 4 (.r𝑅) = (.r𝑅)
76 eqid 2821 . . . 4 ({𝐸} × {𝐸}) = ({𝐸} × {𝐸})
7769, 73, 70, 74, 75, 76matvsca2 21031 . . 3 ((𝑋𝐵 ∧ {⟨𝑂, 𝑌⟩} ∈ (Base‘𝐴)) → (𝑋( ·𝑠𝐴){⟨𝑂, 𝑌⟩}) = ((({𝐸} × {𝐸}) × {𝑋}) ∘f (.r𝑅){⟨𝑂, 𝑌⟩}))
7864, 72, 77syl2anc 586 . 2 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸𝑉) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵)) → (𝑋( ·𝑠𝐴){⟨𝑂, 𝑌⟩}) = ((({𝐸} × {𝐸}) × {𝑋}) ∘f (.r𝑅){⟨𝑂, 𝑌⟩}))
79 3anass 1091 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ↔ (𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵)))
8079biimpri 230 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵)) → (𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵))
8180adantlr 713 . . . 4 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸𝑉) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵)) → (𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵))
8270, 75ringcl 19305 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → (𝑋(.r𝑅)𝑌) ∈ 𝐵)
8381, 82syl 17 . . 3 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸𝑉) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵)) → (𝑋(.r𝑅)𝑌) ∈ 𝐵)
84 fmptsn 6923 . . 3 ((𝑂 ∈ V ∧ (𝑋(.r𝑅)𝑌) ∈ 𝐵) → {⟨𝑂, (𝑋(.r𝑅)𝑌)⟩} = (𝑥 ∈ {𝑂} ↦ (𝑋(.r𝑅)𝑌)))
853, 83, 84sylancr 589 . 2 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸𝑉) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵)) → {⟨𝑂, (𝑋(.r𝑅)𝑌)⟩} = (𝑥 ∈ {𝑂} ↦ (𝑋(.r𝑅)𝑌)))
8663, 78, 853eqtr4d 2866 1 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸𝑉) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵)) → (𝑋( ·𝑠𝐴){⟨𝑂, 𝑌⟩}) = {⟨𝑂, (𝑋(.r𝑅)𝑌)⟩})
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 398  w3a 1083   = wceq 1533  wcel 2110  Vcvv 3494  {csn 4560  cop 4566  cmpt 5138   × cxp 5547   Fn wfn 6344  cfv 6349  (class class class)co 7150  f cof 7401  Basecbs 16477  .rcmulr 16560   ·𝑠 cvsca 16563  Ringcrg 19291   Mat cmat 21010
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1907  ax-6 1966  ax-7 2011  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2173  ax-ext 2793  ax-rep 5182  ax-sep 5195  ax-nul 5202  ax-pow 5258  ax-pr 5321  ax-un 7455  ax-cnex 10587  ax-resscn 10588  ax-1cn 10589  ax-icn 10590  ax-addcl 10591  ax-addrcl 10592  ax-mulcl 10593  ax-mulrcl 10594  ax-mulcom 10595  ax-addass 10596  ax-mulass 10597  ax-distr 10598  ax-i2m1 10599  ax-1ne0 10600  ax-1rid 10601  ax-rnegex 10602  ax-rrecex 10603  ax-cnre 10604  ax-pre-lttri 10605  ax-pre-lttrn 10606  ax-pre-ltadd 10607  ax-pre-mulgt0 10608
This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1536  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2066  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3772  df-csb 3883  df-dif 3938  df-un 3940  df-in 3942  df-ss 3951  df-pss 3953  df-nul 4291  df-if 4467  df-pw 4540  df-sn 4561  df-pr 4563  df-tp 4565  df-op 4567  df-ot 4569  df-uni 4832  df-int 4869  df-iun 4913  df-br 5059  df-opab 5121  df-mpt 5139  df-tr 5165  df-id 5454  df-eprel 5459  df-po 5468  df-so 5469  df-fr 5508  df-we 5510  df-xp 5555  df-rel 5556  df-cnv 5557  df-co 5558  df-dm 5559  df-rn 5560  df-res 5561  df-ima 5562  df-pred 6142  df-ord 6188  df-on 6189  df-lim 6190  df-suc 6191  df-iota 6308  df-fun 6351  df-fn 6352  df-f 6353  df-f1 6354  df-fo 6355  df-f1o 6356  df-fv 6357  df-riota 7108  df-ov 7153  df-oprab 7154  df-mpo 7155  df-of 7403  df-om 7575  df-1st 7683  df-2nd 7684  df-supp 7825  df-wrecs 7941  df-recs 8002  df-rdg 8040  df-1o 8096  df-oadd 8100  df-er 8283  df-map 8402  df-ixp 8456  df-en 8504  df-dom 8505  df-sdom 8506  df-fin 8507  df-fsupp 8828  df-sup 8900  df-pnf 10671  df-mnf 10672  df-xr 10673  df-ltxr 10674  df-le 10675  df-sub 10866  df-neg 10867  df-nn 11633  df-2 11694  df-3 11695  df-4 11696  df-5 11697  df-6 11698  df-7 11699  df-8 11700  df-9 11701  df-n0 11892  df-z 11976  df-dec 12093  df-uz 12238  df-fz 12887  df-struct 16479  df-ndx 16480  df-slot 16481  df-base 16483  df-sets 16484  df-ress 16485  df-plusg 16572  df-mulr 16573  df-sca 16575  df-vsca 16576  df-ip 16577  df-tset 16578  df-ple 16579  df-ds 16581  df-hom 16583  df-cco 16584  df-0g 16709  df-prds 16715  df-pws 16717  df-mgm 17846  df-sgrp 17895  df-mnd 17906  df-mgp 19234  df-ring 19293  df-sra 19938  df-rgmod 19939  df-dsmm 20870  df-frlm 20885  df-mat 21011
This theorem is referenced by:  mat1scmat  21142
  Copyright terms: Public domain W3C validator