MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mat1dimscm Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mat1dimscm 22393
Description: The scalar multiplication in the algebra of matrices with dimension 1. (Contributed by AV, 16-Aug-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
mat1dim.a ๐ด = ({๐ธ} Mat ๐‘…)
mat1dim.b ๐ต = (Baseโ€˜๐‘…)
mat1dim.o ๐‘‚ = โŸจ๐ธ, ๐ธโŸฉ
Assertion
Ref Expression
mat1dimscm (((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐ธ โˆˆ ๐‘‰) โˆง (๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต)) โ†’ (๐‘‹( ยท๐‘  โ€˜๐ด){โŸจ๐‘‚, ๐‘ŒโŸฉ}) = {โŸจ๐‘‚, (๐‘‹(.rโ€˜๐‘…)๐‘Œ)โŸฉ})

Proof of Theorem mat1dimscm
Dummy variable ๐‘ฅ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mat1dim.o . . . . . . . . . . 11 ๐‘‚ = โŸจ๐ธ, ๐ธโŸฉ
2 opex 5460 . . . . . . . . . . 11 โŸจ๐ธ, ๐ธโŸฉ โˆˆ V
31, 2eqeltri 2821 . . . . . . . . . 10 ๐‘‚ โˆˆ V
43a1i 11 . . . . . . . . 9 (๐‘Œ โˆˆ ๐ต โ†’ ๐‘‚ โˆˆ V)
54anim2i 615 . . . . . . . 8 ((๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต) โ†’ (๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘‚ โˆˆ V))
65ancomd 460 . . . . . . 7 ((๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต) โ†’ (๐‘‚ โˆˆ V โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต))
7 fnsng 6599 . . . . . . 7 ((๐‘‚ โˆˆ V โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โ†’ {โŸจ๐‘‚, ๐‘‹โŸฉ} Fn {๐‘‚})
86, 7syl 17 . . . . . 6 ((๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต) โ†’ {โŸจ๐‘‚, ๐‘‹โŸฉ} Fn {๐‘‚})
98adantl 480 . . . . 5 (((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐ธ โˆˆ ๐‘‰) โˆง (๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต)) โ†’ {โŸจ๐‘‚, ๐‘‹โŸฉ} Fn {๐‘‚})
10 xpsng 7143 . . . . . . . 8 ((๐‘‚ โˆˆ V โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โ†’ ({๐‘‚} ร— {๐‘‹}) = {โŸจ๐‘‚, ๐‘‹โŸฉ})
116, 10syl 17 . . . . . . 7 ((๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต) โ†’ ({๐‘‚} ร— {๐‘‹}) = {โŸจ๐‘‚, ๐‘‹โŸฉ})
1211adantl 480 . . . . . 6 (((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐ธ โˆˆ ๐‘‰) โˆง (๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต)) โ†’ ({๐‘‚} ร— {๐‘‹}) = {โŸจ๐‘‚, ๐‘‹โŸฉ})
1312fneq1d 6641 . . . . 5 (((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐ธ โˆˆ ๐‘‰) โˆง (๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต)) โ†’ (({๐‘‚} ร— {๐‘‹}) Fn {๐‘‚} โ†” {โŸจ๐‘‚, ๐‘‹โŸฉ} Fn {๐‘‚}))
149, 13mpbird 256 . . . 4 (((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐ธ โˆˆ ๐‘‰) โˆง (๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต)) โ†’ ({๐‘‚} ร— {๐‘‹}) Fn {๐‘‚})
15 xpsng 7143 . . . . . . . . 9 ((๐ธ โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐ธ โˆˆ ๐‘‰) โ†’ ({๐ธ} ร— {๐ธ}) = {โŸจ๐ธ, ๐ธโŸฉ})
161sneqi 4635 . . . . . . . . 9 {๐‘‚} = {โŸจ๐ธ, ๐ธโŸฉ}
1715, 16eqtr4di 2783 . . . . . . . 8 ((๐ธ โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐ธ โˆˆ ๐‘‰) โ†’ ({๐ธ} ร— {๐ธ}) = {๐‘‚})
1817anidms 565 . . . . . . 7 (๐ธ โˆˆ ๐‘‰ โ†’ ({๐ธ} ร— {๐ธ}) = {๐‘‚})
1918ad2antlr 725 . . . . . 6 (((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐ธ โˆˆ ๐‘‰) โˆง (๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต)) โ†’ ({๐ธ} ร— {๐ธ}) = {๐‘‚})
2019xpeq1d 5701 . . . . 5 (((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐ธ โˆˆ ๐‘‰) โˆง (๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต)) โ†’ (({๐ธ} ร— {๐ธ}) ร— {๐‘‹}) = ({๐‘‚} ร— {๐‘‹}))
2120fneq1d 6641 . . . 4 (((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐ธ โˆˆ ๐‘‰) โˆง (๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต)) โ†’ ((({๐ธ} ร— {๐ธ}) ร— {๐‘‹}) Fn {๐‘‚} โ†” ({๐‘‚} ร— {๐‘‹}) Fn {๐‘‚}))
2214, 21mpbird 256 . . 3 (((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐ธ โˆˆ ๐‘‰) โˆง (๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต)) โ†’ (({๐ธ} ร— {๐ธ}) ร— {๐‘‹}) Fn {๐‘‚})
233a1i 11 . . . . 5 (๐‘‹ โˆˆ ๐ต โ†’ ๐‘‚ โˆˆ V)
24 fnsng 6599 . . . . 5 ((๐‘‚ โˆˆ V โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต) โ†’ {โŸจ๐‘‚, ๐‘ŒโŸฉ} Fn {๐‘‚})
2523, 24sylan 578 . . . 4 ((๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต) โ†’ {โŸจ๐‘‚, ๐‘ŒโŸฉ} Fn {๐‘‚})
2625adantl 480 . . 3 (((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐ธ โˆˆ ๐‘‰) โˆง (๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต)) โ†’ {โŸจ๐‘‚, ๐‘ŒโŸฉ} Fn {๐‘‚})
27 snex 5427 . . . 4 {๐‘‚} โˆˆ V
2827a1i 11 . . 3 (((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐ธ โˆˆ ๐‘‰) โˆง (๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต)) โ†’ {๐‘‚} โˆˆ V)
29 inidm 4213 . . 3 ({๐‘‚} โˆฉ {๐‘‚}) = {๐‘‚}
30 elsni 4641 . . . . 5 (๐‘ฅ โˆˆ {๐‘‚} โ†’ ๐‘ฅ = ๐‘‚)
31 fveq2 6891 . . . . . . 7 (๐‘ฅ = ๐‘‚ โ†’ ((({๐ธ} ร— {๐ธ}) ร— {๐‘‹})โ€˜๐‘ฅ) = ((({๐ธ} ร— {๐ธ}) ร— {๐‘‹})โ€˜๐‘‚))
3215anidms 565 . . . . . . . . . . . 12 (๐ธ โˆˆ ๐‘‰ โ†’ ({๐ธ} ร— {๐ธ}) = {โŸจ๐ธ, ๐ธโŸฉ})
3332ad2antlr 725 . . . . . . . . . . 11 (((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐ธ โˆˆ ๐‘‰) โˆง (๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต)) โ†’ ({๐ธ} ร— {๐ธ}) = {โŸจ๐ธ, ๐ธโŸฉ})
3433xpeq1d 5701 . . . . . . . . . 10 (((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐ธ โˆˆ ๐‘‰) โˆง (๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต)) โ†’ (({๐ธ} ร— {๐ธ}) ร— {๐‘‹}) = ({โŸจ๐ธ, ๐ธโŸฉ} ร— {๐‘‹}))
352a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘Œ โˆˆ ๐ต โ†’ โŸจ๐ธ, ๐ธโŸฉ โˆˆ V)
3635anim2i 615 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต) โ†’ (๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง โŸจ๐ธ, ๐ธโŸฉ โˆˆ V))
3736ancomd 460 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต) โ†’ (โŸจ๐ธ, ๐ธโŸฉ โˆˆ V โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต))
38 xpsng 7143 . . . . . . . . . . . . 13 ((โŸจ๐ธ, ๐ธโŸฉ โˆˆ V โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โ†’ ({โŸจ๐ธ, ๐ธโŸฉ} ร— {๐‘‹}) = {โŸจโŸจ๐ธ, ๐ธโŸฉ, ๐‘‹โŸฉ})
391eqcomi 2734 . . . . . . . . . . . . . . 15 โŸจ๐ธ, ๐ธโŸฉ = ๐‘‚
4039opeq1i 4872 . . . . . . . . . . . . . 14 โŸจโŸจ๐ธ, ๐ธโŸฉ, ๐‘‹โŸฉ = โŸจ๐‘‚, ๐‘‹โŸฉ
4140sneqi 4635 . . . . . . . . . . . . 13 {โŸจโŸจ๐ธ, ๐ธโŸฉ, ๐‘‹โŸฉ} = {โŸจ๐‘‚, ๐‘‹โŸฉ}
4238, 41eqtrdi 2781 . . . . . . . . . . . 12 ((โŸจ๐ธ, ๐ธโŸฉ โˆˆ V โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โ†’ ({โŸจ๐ธ, ๐ธโŸฉ} ร— {๐‘‹}) = {โŸจ๐‘‚, ๐‘‹โŸฉ})
4337, 42syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต) โ†’ ({โŸจ๐ธ, ๐ธโŸฉ} ร— {๐‘‹}) = {โŸจ๐‘‚, ๐‘‹โŸฉ})
4443adantl 480 . . . . . . . . . 10 (((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐ธ โˆˆ ๐‘‰) โˆง (๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต)) โ†’ ({โŸจ๐ธ, ๐ธโŸฉ} ร— {๐‘‹}) = {โŸจ๐‘‚, ๐‘‹โŸฉ})
4534, 44eqtrd 2765 . . . . . . . . 9 (((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐ธ โˆˆ ๐‘‰) โˆง (๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต)) โ†’ (({๐ธ} ร— {๐ธ}) ร— {๐‘‹}) = {โŸจ๐‘‚, ๐‘‹โŸฉ})
4645fveq1d 6893 . . . . . . . 8 (((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐ธ โˆˆ ๐‘‰) โˆง (๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต)) โ†’ ((({๐ธ} ร— {๐ธ}) ร— {๐‘‹})โ€˜๐‘‚) = ({โŸจ๐‘‚, ๐‘‹โŸฉ}โ€˜๐‘‚))
47 fvsng 7184 . . . . . . . . . 10 ((๐‘‚ โˆˆ V โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โ†’ ({โŸจ๐‘‚, ๐‘‹โŸฉ}โ€˜๐‘‚) = ๐‘‹)
486, 47syl 17 . . . . . . . . 9 ((๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต) โ†’ ({โŸจ๐‘‚, ๐‘‹โŸฉ}โ€˜๐‘‚) = ๐‘‹)
4948adantl 480 . . . . . . . 8 (((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐ธ โˆˆ ๐‘‰) โˆง (๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต)) โ†’ ({โŸจ๐‘‚, ๐‘‹โŸฉ}โ€˜๐‘‚) = ๐‘‹)
5046, 49eqtrd 2765 . . . . . . 7 (((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐ธ โˆˆ ๐‘‰) โˆง (๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต)) โ†’ ((({๐ธ} ร— {๐ธ}) ร— {๐‘‹})โ€˜๐‘‚) = ๐‘‹)
5131, 50sylan9eq 2785 . . . . . 6 ((๐‘ฅ = ๐‘‚ โˆง ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐ธ โˆˆ ๐‘‰) โˆง (๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต))) โ†’ ((({๐ธ} ร— {๐ธ}) ร— {๐‘‹})โ€˜๐‘ฅ) = ๐‘‹)
5251ex 411 . . . . 5 (๐‘ฅ = ๐‘‚ โ†’ (((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐ธ โˆˆ ๐‘‰) โˆง (๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต)) โ†’ ((({๐ธ} ร— {๐ธ}) ร— {๐‘‹})โ€˜๐‘ฅ) = ๐‘‹))
5330, 52syl 17 . . . 4 (๐‘ฅ โˆˆ {๐‘‚} โ†’ (((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐ธ โˆˆ ๐‘‰) โˆง (๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต)) โ†’ ((({๐ธ} ร— {๐ธ}) ร— {๐‘‹})โ€˜๐‘ฅ) = ๐‘‹))
5453impcom 406 . . 3 ((((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐ธ โˆˆ ๐‘‰) โˆง (๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต)) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ {๐‘‚}) โ†’ ((({๐ธ} ร— {๐ธ}) ร— {๐‘‹})โ€˜๐‘ฅ) = ๐‘‹)
55 fveq2 6891 . . . . . . 7 (๐‘ฅ = ๐‘‚ โ†’ ({โŸจ๐‘‚, ๐‘ŒโŸฉ}โ€˜๐‘ฅ) = ({โŸจ๐‘‚, ๐‘ŒโŸฉ}โ€˜๐‘‚))
56 fvsng 7184 . . . . . . . . 9 ((๐‘‚ โˆˆ V โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต) โ†’ ({โŸจ๐‘‚, ๐‘ŒโŸฉ}โ€˜๐‘‚) = ๐‘Œ)
5723, 56sylan 578 . . . . . . . 8 ((๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต) โ†’ ({โŸจ๐‘‚, ๐‘ŒโŸฉ}โ€˜๐‘‚) = ๐‘Œ)
5857adantl 480 . . . . . . 7 (((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐ธ โˆˆ ๐‘‰) โˆง (๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต)) โ†’ ({โŸจ๐‘‚, ๐‘ŒโŸฉ}โ€˜๐‘‚) = ๐‘Œ)
5955, 58sylan9eq 2785 . . . . . 6 ((๐‘ฅ = ๐‘‚ โˆง ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐ธ โˆˆ ๐‘‰) โˆง (๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต))) โ†’ ({โŸจ๐‘‚, ๐‘ŒโŸฉ}โ€˜๐‘ฅ) = ๐‘Œ)
6059ex 411 . . . . 5 (๐‘ฅ = ๐‘‚ โ†’ (((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐ธ โˆˆ ๐‘‰) โˆง (๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต)) โ†’ ({โŸจ๐‘‚, ๐‘ŒโŸฉ}โ€˜๐‘ฅ) = ๐‘Œ))
6130, 60syl 17 . . . 4 (๐‘ฅ โˆˆ {๐‘‚} โ†’ (((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐ธ โˆˆ ๐‘‰) โˆง (๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต)) โ†’ ({โŸจ๐‘‚, ๐‘ŒโŸฉ}โ€˜๐‘ฅ) = ๐‘Œ))
6261impcom 406 . . 3 ((((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐ธ โˆˆ ๐‘‰) โˆง (๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต)) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ {๐‘‚}) โ†’ ({โŸจ๐‘‚, ๐‘ŒโŸฉ}โ€˜๐‘ฅ) = ๐‘Œ)
6322, 26, 28, 28, 29, 54, 62offval 7690 . 2 (((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐ธ โˆˆ ๐‘‰) โˆง (๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต)) โ†’ ((({๐ธ} ร— {๐ธ}) ร— {๐‘‹}) โˆ˜f (.rโ€˜๐‘…){โŸจ๐‘‚, ๐‘ŒโŸฉ}) = (๐‘ฅ โˆˆ {๐‘‚} โ†ฆ (๐‘‹(.rโ€˜๐‘…)๐‘Œ)))
64 simprl 769 . . 3 (((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐ธ โˆˆ ๐‘‰) โˆง (๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต)) โ†’ ๐‘‹ โˆˆ ๐ต)
65 simpr 483 . . . . . 6 ((๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต) โ†’ ๐‘Œ โˆˆ ๐ต)
6665anim2i 615 . . . . 5 (((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐ธ โˆˆ ๐‘‰) โˆง (๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต)) โ†’ ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐ธ โˆˆ ๐‘‰) โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต))
67 df-3an 1086 . . . . 5 ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐ธ โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต) โ†” ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐ธ โˆˆ ๐‘‰) โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต))
6866, 67sylibr 233 . . . 4 (((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐ธ โˆˆ ๐‘‰) โˆง (๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต)) โ†’ (๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐ธ โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต))
69 mat1dim.a . . . . 5 ๐ด = ({๐ธ} Mat ๐‘…)
70 mat1dim.b . . . . 5 ๐ต = (Baseโ€˜๐‘…)
7169, 70, 1mat1dimbas 22390 . . . 4 ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐ธ โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต) โ†’ {โŸจ๐‘‚, ๐‘ŒโŸฉ} โˆˆ (Baseโ€˜๐ด))
7268, 71syl 17 . . 3 (((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐ธ โˆˆ ๐‘‰) โˆง (๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต)) โ†’ {โŸจ๐‘‚, ๐‘ŒโŸฉ} โˆˆ (Baseโ€˜๐ด))
73 eqid 2725 . . . 4 (Baseโ€˜๐ด) = (Baseโ€˜๐ด)
74 eqid 2725 . . . 4 ( ยท๐‘  โ€˜๐ด) = ( ยท๐‘  โ€˜๐ด)
75 eqid 2725 . . . 4 (.rโ€˜๐‘…) = (.rโ€˜๐‘…)
76 eqid 2725 . . . 4 ({๐ธ} ร— {๐ธ}) = ({๐ธ} ร— {๐ธ})
7769, 73, 70, 74, 75, 76matvsca2 22346 . . 3 ((๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง {โŸจ๐‘‚, ๐‘ŒโŸฉ} โˆˆ (Baseโ€˜๐ด)) โ†’ (๐‘‹( ยท๐‘  โ€˜๐ด){โŸจ๐‘‚, ๐‘ŒโŸฉ}) = ((({๐ธ} ร— {๐ธ}) ร— {๐‘‹}) โˆ˜f (.rโ€˜๐‘…){โŸจ๐‘‚, ๐‘ŒโŸฉ}))
7864, 72, 77syl2anc 582 . 2 (((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐ธ โˆˆ ๐‘‰) โˆง (๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต)) โ†’ (๐‘‹( ยท๐‘  โ€˜๐ด){โŸจ๐‘‚, ๐‘ŒโŸฉ}) = ((({๐ธ} ร— {๐ธ}) ร— {๐‘‹}) โˆ˜f (.rโ€˜๐‘…){โŸจ๐‘‚, ๐‘ŒโŸฉ}))
79 3anass 1092 . . . . . 6 ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต) โ†” (๐‘… โˆˆ Ring โˆง (๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต)))
8079biimpri 227 . . . . 5 ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง (๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต)) โ†’ (๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต))
8180adantlr 713 . . . 4 (((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐ธ โˆˆ ๐‘‰) โˆง (๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต)) โ†’ (๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต))
8270, 75ringcl 20192 . . . 4 ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต) โ†’ (๐‘‹(.rโ€˜๐‘…)๐‘Œ) โˆˆ ๐ต)
8381, 82syl 17 . . 3 (((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐ธ โˆˆ ๐‘‰) โˆง (๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต)) โ†’ (๐‘‹(.rโ€˜๐‘…)๐‘Œ) โˆˆ ๐ต)
84 fmptsn 7171 . . 3 ((๐‘‚ โˆˆ V โˆง (๐‘‹(.rโ€˜๐‘…)๐‘Œ) โˆˆ ๐ต) โ†’ {โŸจ๐‘‚, (๐‘‹(.rโ€˜๐‘…)๐‘Œ)โŸฉ} = (๐‘ฅ โˆˆ {๐‘‚} โ†ฆ (๐‘‹(.rโ€˜๐‘…)๐‘Œ)))
853, 83, 84sylancr 585 . 2 (((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐ธ โˆˆ ๐‘‰) โˆง (๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต)) โ†’ {โŸจ๐‘‚, (๐‘‹(.rโ€˜๐‘…)๐‘Œ)โŸฉ} = (๐‘ฅ โˆˆ {๐‘‚} โ†ฆ (๐‘‹(.rโ€˜๐‘…)๐‘Œ)))
8663, 78, 853eqtr4d 2775 1 (((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐ธ โˆˆ ๐‘‰) โˆง (๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต)) โ†’ (๐‘‹( ยท๐‘  โ€˜๐ด){โŸจ๐‘‚, ๐‘ŒโŸฉ}) = {โŸจ๐‘‚, (๐‘‹(.rโ€˜๐‘…)๐‘Œ)โŸฉ})
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 394   โˆง w3a 1084   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098  Vcvv 3463  {csn 4624  โŸจcop 4630   โ†ฆ cmpt 5226   ร— cxp 5670   Fn wfn 6537  โ€˜cfv 6542  (class class class)co 7415   โˆ˜f cof 7679  Basecbs 17177  .rcmulr 17231   ยท๐‘  cvsca 17234  Ringcrg 20175   Mat cmat 22323
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5280  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7737  ax-cnex 11192  ax-resscn 11193  ax-1cn 11194  ax-icn 11195  ax-addcl 11196  ax-addrcl 11197  ax-mulcl 11198  ax-mulrcl 11199  ax-mulcom 11200  ax-addass 11201  ax-mulass 11202  ax-distr 11203  ax-i2m1 11204  ax-1ne0 11205  ax-1rid 11206  ax-rnegex 11207  ax-rrecex 11208  ax-cnre 11209  ax-pre-lttri 11210  ax-pre-lttrn 11211  ax-pre-ltadd 11212  ax-pre-mulgt0 11213
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-pss 3960  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-tp 4629  df-op 4631  df-ot 4633  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7371  df-ov 7418  df-oprab 7419  df-mpo 7420  df-of 7681  df-om 7868  df-1st 7989  df-2nd 7990  df-supp 8162  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8388  df-rdg 8427  df-1o 8483  df-er 8721  df-map 8843  df-ixp 8913  df-en 8961  df-dom 8962  df-sdom 8963  df-fin 8964  df-fsupp 9384  df-sup 9463  df-pnf 11278  df-mnf 11279  df-xr 11280  df-ltxr 11281  df-le 11282  df-sub 11474  df-neg 11475  df-nn 12241  df-2 12303  df-3 12304  df-4 12305  df-5 12306  df-6 12307  df-7 12308  df-8 12309  df-9 12310  df-n0 12501  df-z 12587  df-dec 12706  df-uz 12851  df-fz 13515  df-struct 17113  df-sets 17130  df-slot 17148  df-ndx 17160  df-base 17178  df-ress 17207  df-plusg 17243  df-mulr 17244  df-sca 17246  df-vsca 17247  df-ip 17248  df-tset 17249  df-ple 17250  df-ds 17252  df-hom 17254  df-cco 17255  df-0g 17420  df-prds 17426  df-pws 17428  df-mgm 18597  df-sgrp 18676  df-mnd 18692  df-mgp 20077  df-ring 20177  df-sra 21060  df-rgmod 21061  df-dsmm 21668  df-frlm 21683  df-mat 22324
This theorem is referenced by:  mat1scmat  22457
  Copyright terms: Public domain W3C validator