Theorem mat1dimscm 21532

Description: The scalar multiplication in the algebra of matrices with dimension 1. (Contributed by AV, 16-Aug-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
mat1dim.a	⊢ 𝐴 = ({𝐸} Mat 𝑅)
mat1dim.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
mat1dim.o	⊢ 𝑂 = ⟨𝐸, 𝐸⟩

Assertion

Ref	Expression
mat1dimscm	⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → (𝑋( ·𝑠 ‘𝐴){⟨𝑂, 𝑌⟩}) = {⟨𝑂, (𝑋(.r‘𝑅)𝑌)⟩})

Proof of Theorem mat1dimscm

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mat1dim.o	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑂 = ⟨𝐸, 𝐸⟩
2		opex 5373	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ⟨𝐸, 𝐸⟩ ∈ V
3	1, 2	eqeltri 2835	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑂 ∈ V
4	3	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑌 ∈ 𝐵 → 𝑂 ∈ V)
5	4	anim2i 616	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑂 ∈ V))
6	5	ancomd 461	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑂 ∈ V ∧ 𝑋 ∈ 𝐵))
7		fnsng 6470	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑂 ∈ V ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → {⟨𝑂, 𝑋⟩} Fn {𝑂})
8	6, 7	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → {⟨𝑂, 𝑋⟩} Fn {𝑂})
9	8	adantl 481	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → {⟨𝑂, 𝑋⟩} Fn {𝑂})
10		xpsng 6993	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑂 ∈ V ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ({𝑂} × {𝑋}) = {⟨𝑂, 𝑋⟩})
11	6, 10	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ({𝑂} × {𝑋}) = {⟨𝑂, 𝑋⟩})
12	11	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → ({𝑂} × {𝑋}) = {⟨𝑂, 𝑋⟩})
13	12	fneq1d 6510	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → (({𝑂} × {𝑋}) Fn {𝑂} ↔ {⟨𝑂, 𝑋⟩} Fn {𝑂}))
14	9, 13	mpbird 256	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → ({𝑂} × {𝑋}) Fn {𝑂})
15		xpsng 6993	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐸 ∈ 𝑉 ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) → ({𝐸} × {𝐸}) = {⟨𝐸, 𝐸⟩})
16	1	sneqi 4569	. . . . . . . . 9 ⊢ {𝑂} = {⟨𝐸, 𝐸⟩}
17	15, 16	eqtr4di 2797	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐸 ∈ 𝑉 ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) → ({𝐸} × {𝐸}) = {𝑂})
18	17	anidms 566	. . . . . . 7 ⊢ (𝐸 ∈ 𝑉 → ({𝐸} × {𝐸}) = {𝑂})
19	18	ad2antlr 723	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → ({𝐸} × {𝐸}) = {𝑂})
20	19	xpeq1d 5609	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → (({𝐸} × {𝐸}) × {𝑋}) = ({𝑂} × {𝑋}))
21	20	fneq1d 6510	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → ((({𝐸} × {𝐸}) × {𝑋}) Fn {𝑂} ↔ ({𝑂} × {𝑋}) Fn {𝑂}))
22	14, 21	mpbird 256	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → (({𝐸} × {𝐸}) × {𝑋}) Fn {𝑂})
23	3	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐵 → 𝑂 ∈ V)
24		fnsng 6470	. . . . 5 ⊢ ((𝑂 ∈ V ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → {⟨𝑂, 𝑌⟩} Fn {𝑂})
25	23, 24	sylan 579	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → {⟨𝑂, 𝑌⟩} Fn {𝑂})
26	25	adantl 481	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → {⟨𝑂, 𝑌⟩} Fn {𝑂})
27		snex 5349	. . . 4 ⊢ {𝑂} ∈ V
28	27	a1i 11	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → {𝑂} ∈ V)
29		inidm 4149	. . 3 ⊢ ({𝑂} ∩ {𝑂}) = {𝑂}
30		elsni 4575	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑂} → 𝑥 = 𝑂)
31		fveq2 6756	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑂 → ((({𝐸} × {𝐸}) × {𝑋})‘𝑥) = ((({𝐸} × {𝐸}) × {𝑋})‘𝑂))
32	15	anidms 566	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐸 ∈ 𝑉 → ({𝐸} × {𝐸}) = {⟨𝐸, 𝐸⟩})
33	32	ad2antlr 723	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → ({𝐸} × {𝐸}) = {⟨𝐸, 𝐸⟩})
34	33	xpeq1d 5609	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → (({𝐸} × {𝐸}) × {𝑋}) = ({⟨𝐸, 𝐸⟩} × {𝑋}))
35	2	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑌 ∈ 𝐵 → ⟨𝐸, 𝐸⟩ ∈ V)
36	35	anim2i 616	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ ⟨𝐸, 𝐸⟩ ∈ V))
37	36	ancomd 461	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (⟨𝐸, 𝐸⟩ ∈ V ∧ 𝑋 ∈ 𝐵))
38		xpsng 6993	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((⟨𝐸, 𝐸⟩ ∈ V ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ({⟨𝐸, 𝐸⟩} × {𝑋}) = {⟨⟨𝐸, 𝐸⟩, 𝑋⟩})
39	1	eqcomi 2747	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ⟨𝐸, 𝐸⟩ = 𝑂
40	39	opeq1i 4804	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ⟨⟨𝐸, 𝐸⟩, 𝑋⟩ = ⟨𝑂, 𝑋⟩
41	40	sneqi 4569	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ {⟨⟨𝐸, 𝐸⟩, 𝑋⟩} = {⟨𝑂, 𝑋⟩}
42	38, 41	eqtrdi 2795	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((⟨𝐸, 𝐸⟩ ∈ V ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ({⟨𝐸, 𝐸⟩} × {𝑋}) = {⟨𝑂, 𝑋⟩})
43	37, 42	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ({⟨𝐸, 𝐸⟩} × {𝑋}) = {⟨𝑂, 𝑋⟩})
44	43	adantl 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → ({⟨𝐸, 𝐸⟩} × {𝑋}) = {⟨𝑂, 𝑋⟩})
45	34, 44	eqtrd 2778	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → (({𝐸} × {𝐸}) × {𝑋}) = {⟨𝑂, 𝑋⟩})
46	45	fveq1d 6758	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → ((({𝐸} × {𝐸}) × {𝑋})‘𝑂) = ({⟨𝑂, 𝑋⟩}‘𝑂))
47		fvsng 7034	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑂 ∈ V ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ({⟨𝑂, 𝑋⟩}‘𝑂) = 𝑋)
48	6, 47	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ({⟨𝑂, 𝑋⟩}‘𝑂) = 𝑋)
49	48	adantl 481	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → ({⟨𝑂, 𝑋⟩}‘𝑂) = 𝑋)
50	46, 49	eqtrd 2778	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → ((({𝐸} × {𝐸}) × {𝑋})‘𝑂) = 𝑋)
51	31, 50	sylan9eq 2799	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 = 𝑂 ∧ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵))) → ((({𝐸} × {𝐸}) × {𝑋})‘𝑥) = 𝑋)
52	51	ex 412	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑂 → (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → ((({𝐸} × {𝐸}) × {𝑋})‘𝑥) = 𝑋))
53	30, 52	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑂} → (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → ((({𝐸} × {𝐸}) × {𝑋})‘𝑥) = 𝑋))
54	53	impcom 407	. . 3 ⊢ ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑥 ∈ {𝑂}) → ((({𝐸} × {𝐸}) × {𝑋})‘𝑥) = 𝑋)
55		fveq2 6756	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑂 → ({⟨𝑂, 𝑌⟩}‘𝑥) = ({⟨𝑂, 𝑌⟩}‘𝑂))
56		fvsng 7034	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑂 ∈ V ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ({⟨𝑂, 𝑌⟩}‘𝑂) = 𝑌)
57	23, 56	sylan 579	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ({⟨𝑂, 𝑌⟩}‘𝑂) = 𝑌)
58	57	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → ({⟨𝑂, 𝑌⟩}‘𝑂) = 𝑌)
59	55, 58	sylan9eq 2799	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 = 𝑂 ∧ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵))) → ({⟨𝑂, 𝑌⟩}‘𝑥) = 𝑌)
60	59	ex 412	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑂 → (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → ({⟨𝑂, 𝑌⟩}‘𝑥) = 𝑌))
61	30, 60	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑂} → (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → ({⟨𝑂, 𝑌⟩}‘𝑥) = 𝑌))
62	61	impcom 407	. . 3 ⊢ ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑥 ∈ {𝑂}) → ({⟨𝑂, 𝑌⟩}‘𝑥) = 𝑌)
63	22, 26, 28, 28, 29, 54, 62	offval 7520	. 2 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → ((({𝐸} × {𝐸}) × {𝑋}) ∘f (.r‘𝑅){⟨𝑂, 𝑌⟩}) = (𝑥 ∈ {𝑂} ↦ (𝑋(.r‘𝑅)𝑌)))
64		simprl 767	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → 𝑋 ∈ 𝐵)
65		simpr 484	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → 𝑌 ∈ 𝐵)
66	65	anim2i 616	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) ∧ 𝑌 ∈ 𝐵))
67		df-3an 1087	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ↔ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) ∧ 𝑌 ∈ 𝐵))
68	66, 67	sylibr 233	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → (𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵))
69		mat1dim.a	. . . . 5 ⊢ 𝐴 = ({𝐸} Mat 𝑅)
70		mat1dim.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
71	69, 70, 1	mat1dimbas 21529	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → {⟨𝑂, 𝑌⟩} ∈ (Base‘𝐴))
72	68, 71	syl 17	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → {⟨𝑂, 𝑌⟩} ∈ (Base‘𝐴))
73		eqid 2738	. . . 4 ⊢ (Base‘𝐴) = (Base‘𝐴)
74		eqid 2738	. . . 4 ⊢ ( ·𝑠 ‘𝐴) = ( ·𝑠 ‘𝐴)
75		eqid 2738	. . . 4 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
76		eqid 2738	. . . 4 ⊢ ({𝐸} × {𝐸}) = ({𝐸} × {𝐸})
77	69, 73, 70, 74, 75, 76	matvsca2 21485	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ {⟨𝑂, 𝑌⟩} ∈ (Base‘𝐴)) → (𝑋( ·𝑠 ‘𝐴){⟨𝑂, 𝑌⟩}) = ((({𝐸} × {𝐸}) × {𝑋}) ∘f (.r‘𝑅){⟨𝑂, 𝑌⟩}))
78	64, 72, 77	syl2anc 583	. 2 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → (𝑋( ·𝑠 ‘𝐴){⟨𝑂, 𝑌⟩}) = ((({𝐸} × {𝐸}) × {𝑋}) ∘f (.r‘𝑅){⟨𝑂, 𝑌⟩}))
79		3anass 1093	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ↔ (𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)))
80	79	biimpri 227	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → (𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵))
81	80	adantlr 711	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → (𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵))
82	70, 75	ringcl 19715	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋(.r‘𝑅)𝑌) ∈ 𝐵)
83	81, 82	syl 17	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → (𝑋(.r‘𝑅)𝑌) ∈ 𝐵)
84		fmptsn 7021	. . 3 ⊢ ((𝑂 ∈ V ∧ (𝑋(.r‘𝑅)𝑌) ∈ 𝐵) → {⟨𝑂, (𝑋(.r‘𝑅)𝑌)⟩} = (𝑥 ∈ {𝑂} ↦ (𝑋(.r‘𝑅)𝑌)))
85	3, 83, 84	sylancr 586	. 2 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → {⟨𝑂, (𝑋(.r‘𝑅)𝑌)⟩} = (𝑥 ∈ {𝑂} ↦ (𝑋(.r‘𝑅)𝑌)))
86	63, 78, 85	3eqtr4d 2788	1 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → (𝑋( ·𝑠 ‘𝐴){⟨𝑂, 𝑌⟩}) = {⟨𝑂, (𝑋(.r‘𝑅)𝑌)⟩})

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1085   = wceq 1539   ∈ wcel 2108  Vcvv 3422  {csn 4558  ⟨cop 4564   ↦ cmpt 5153   × cxp 5578   Fn wfn 6413  ‘cfv 6418  (class class class)co 7255   ∘_f cof 7509  Basecbs 16840  ._rcmulr 16889   ·_𝑠 cvsca 16892  Ringcrg 19698   Mat cmat 21464

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-rep 5205  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-ot 4567  df-uni 4837  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-of 7511  df-om 7688  df-1st 7804  df-2nd 7805  df-supp 7949  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-1o 8267  df-er 8456  df-map 8575  df-ixp 8644  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-fin 8695  df-fsupp 9059  df-sup 9131  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-nn 11904  df-2 11966  df-3 11967  df-4 11968  df-5 11969  df-6 11970  df-7 11971  df-8 11972  df-9 11973  df-n0 12164  df-z 12250  df-dec 12367  df-uz 12512  df-fz 13169  df-struct 16776  df-sets 16793  df-slot 16811  df-ndx 16823  df-base 16841  df-ress 16868  df-plusg 16901  df-mulr 16902  df-sca 16904  df-vsca 16905  df-ip 16906  df-tset 16907  df-ple 16908  df-ds 16910  df-hom 16912  df-cco 16913  df-0g 17069  df-prds 17075  df-pws 17077  df-mgm 18241  df-sgrp 18290  df-mnd 18301  df-mgp 19636  df-ring 19700  df-sra 20349  df-rgmod 20350  df-dsmm 20849  df-frlm 20864  df-mat 21465

This theorem is referenced by:  mat1scmat  21596