Theorem mat1dimscm 21624

Description: The scalar multiplication in the algebra of matrices with dimension 1. (Contributed by AV, 16-Aug-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
mat1dim.a	⊢ 𝐴 = ({𝐸} Mat 𝑅)
mat1dim.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
mat1dim.o	⊢ 𝑂 = ⟨𝐸, 𝐸⟩

Assertion

Ref	Expression
mat1dimscm	⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → (𝑋( ·𝑠 ‘𝐴){⟨𝑂, 𝑌⟩}) = {⟨𝑂, (𝑋(.r‘𝑅)𝑌)⟩})

Proof of Theorem mat1dimscm

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mat1dim.o	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑂 = ⟨𝐸, 𝐸⟩
2		opex 5379	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ⟨𝐸, 𝐸⟩ ∈ V
3	1, 2	eqeltri 2835	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑂 ∈ V
4	3	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑌 ∈ 𝐵 → 𝑂 ∈ V)
5	4	anim2i 617	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑂 ∈ V))
6	5	ancomd 462	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑂 ∈ V ∧ 𝑋 ∈ 𝐵))
7		fnsng 6486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑂 ∈ V ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → {⟨𝑂, 𝑋⟩} Fn {𝑂})
8	6, 7	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → {⟨𝑂, 𝑋⟩} Fn {𝑂})
9	8	adantl 482	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → {⟨𝑂, 𝑋⟩} Fn {𝑂})
10		xpsng 7011	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑂 ∈ V ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ({𝑂} × {𝑋}) = {⟨𝑂, 𝑋⟩})
11	6, 10	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ({𝑂} × {𝑋}) = {⟨𝑂, 𝑋⟩})
12	11	adantl 482	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → ({𝑂} × {𝑋}) = {⟨𝑂, 𝑋⟩})
13	12	fneq1d 6526	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → (({𝑂} × {𝑋}) Fn {𝑂} ↔ {⟨𝑂, 𝑋⟩} Fn {𝑂}))
14	9, 13	mpbird 256	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → ({𝑂} × {𝑋}) Fn {𝑂})
15		xpsng 7011	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐸 ∈ 𝑉 ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) → ({𝐸} × {𝐸}) = {⟨𝐸, 𝐸⟩})
16	1	sneqi 4572	. . . . . . . . 9 ⊢ {𝑂} = {⟨𝐸, 𝐸⟩}
17	15, 16	eqtr4di 2796	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐸 ∈ 𝑉 ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) → ({𝐸} × {𝐸}) = {𝑂})
18	17	anidms 567	. . . . . . 7 ⊢ (𝐸 ∈ 𝑉 → ({𝐸} × {𝐸}) = {𝑂})
19	18	ad2antlr 724	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → ({𝐸} × {𝐸}) = {𝑂})
20	19	xpeq1d 5618	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → (({𝐸} × {𝐸}) × {𝑋}) = ({𝑂} × {𝑋}))
21	20	fneq1d 6526	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → ((({𝐸} × {𝐸}) × {𝑋}) Fn {𝑂} ↔ ({𝑂} × {𝑋}) Fn {𝑂}))
22	14, 21	mpbird 256	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → (({𝐸} × {𝐸}) × {𝑋}) Fn {𝑂})
23	3	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐵 → 𝑂 ∈ V)
24		fnsng 6486	. . . . 5 ⊢ ((𝑂 ∈ V ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → {⟨𝑂, 𝑌⟩} Fn {𝑂})
25	23, 24	sylan 580	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → {⟨𝑂, 𝑌⟩} Fn {𝑂})
26	25	adantl 482	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → {⟨𝑂, 𝑌⟩} Fn {𝑂})
27		snex 5354	. . . 4 ⊢ {𝑂} ∈ V
28	27	a1i 11	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → {𝑂} ∈ V)
29		inidm 4152	. . 3 ⊢ ({𝑂} ∩ {𝑂}) = {𝑂}
30		elsni 4578	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑂} → 𝑥 = 𝑂)
31		fveq2 6774	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑂 → ((({𝐸} × {𝐸}) × {𝑋})‘𝑥) = ((({𝐸} × {𝐸}) × {𝑋})‘𝑂))
32	15	anidms 567	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐸 ∈ 𝑉 → ({𝐸} × {𝐸}) = {⟨𝐸, 𝐸⟩})
33	32	ad2antlr 724	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → ({𝐸} × {𝐸}) = {⟨𝐸, 𝐸⟩})
34	33	xpeq1d 5618	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → (({𝐸} × {𝐸}) × {𝑋}) = ({⟨𝐸, 𝐸⟩} × {𝑋}))
35	2	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑌 ∈ 𝐵 → ⟨𝐸, 𝐸⟩ ∈ V)
36	35	anim2i 617	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ ⟨𝐸, 𝐸⟩ ∈ V))
37	36	ancomd 462	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (⟨𝐸, 𝐸⟩ ∈ V ∧ 𝑋 ∈ 𝐵))
38		xpsng 7011	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((⟨𝐸, 𝐸⟩ ∈ V ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ({⟨𝐸, 𝐸⟩} × {𝑋}) = {⟨⟨𝐸, 𝐸⟩, 𝑋⟩})
39	1	eqcomi 2747	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ⟨𝐸, 𝐸⟩ = 𝑂
40	39	opeq1i 4807	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ⟨⟨𝐸, 𝐸⟩, 𝑋⟩ = ⟨𝑂, 𝑋⟩
41	40	sneqi 4572	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ {⟨⟨𝐸, 𝐸⟩, 𝑋⟩} = {⟨𝑂, 𝑋⟩}
42	38, 41	eqtrdi 2794	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((⟨𝐸, 𝐸⟩ ∈ V ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ({⟨𝐸, 𝐸⟩} × {𝑋}) = {⟨𝑂, 𝑋⟩})
43	37, 42	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ({⟨𝐸, 𝐸⟩} × {𝑋}) = {⟨𝑂, 𝑋⟩})
44	43	adantl 482	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → ({⟨𝐸, 𝐸⟩} × {𝑋}) = {⟨𝑂, 𝑋⟩})
45	34, 44	eqtrd 2778	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → (({𝐸} × {𝐸}) × {𝑋}) = {⟨𝑂, 𝑋⟩})
46	45	fveq1d 6776	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → ((({𝐸} × {𝐸}) × {𝑋})‘𝑂) = ({⟨𝑂, 𝑋⟩}‘𝑂))
47		fvsng 7052	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑂 ∈ V ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ({⟨𝑂, 𝑋⟩}‘𝑂) = 𝑋)
48	6, 47	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ({⟨𝑂, 𝑋⟩}‘𝑂) = 𝑋)
49	48	adantl 482	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → ({⟨𝑂, 𝑋⟩}‘𝑂) = 𝑋)
50	46, 49	eqtrd 2778	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → ((({𝐸} × {𝐸}) × {𝑋})‘𝑂) = 𝑋)
51	31, 50	sylan9eq 2798	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 = 𝑂 ∧ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵))) → ((({𝐸} × {𝐸}) × {𝑋})‘𝑥) = 𝑋)
52	51	ex 413	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑂 → (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → ((({𝐸} × {𝐸}) × {𝑋})‘𝑥) = 𝑋))
53	30, 52	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑂} → (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → ((({𝐸} × {𝐸}) × {𝑋})‘𝑥) = 𝑋))
54	53	impcom 408	. . 3 ⊢ ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑥 ∈ {𝑂}) → ((({𝐸} × {𝐸}) × {𝑋})‘𝑥) = 𝑋)
55		fveq2 6774	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑂 → ({⟨𝑂, 𝑌⟩}‘𝑥) = ({⟨𝑂, 𝑌⟩}‘𝑂))
56		fvsng 7052	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑂 ∈ V ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ({⟨𝑂, 𝑌⟩}‘𝑂) = 𝑌)
57	23, 56	sylan 580	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ({⟨𝑂, 𝑌⟩}‘𝑂) = 𝑌)
58	57	adantl 482	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → ({⟨𝑂, 𝑌⟩}‘𝑂) = 𝑌)
59	55, 58	sylan9eq 2798	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 = 𝑂 ∧ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵))) → ({⟨𝑂, 𝑌⟩}‘𝑥) = 𝑌)
60	59	ex 413	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑂 → (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → ({⟨𝑂, 𝑌⟩}‘𝑥) = 𝑌))
61	30, 60	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑂} → (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → ({⟨𝑂, 𝑌⟩}‘𝑥) = 𝑌))
62	61	impcom 408	. . 3 ⊢ ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑥 ∈ {𝑂}) → ({⟨𝑂, 𝑌⟩}‘𝑥) = 𝑌)
63	22, 26, 28, 28, 29, 54, 62	offval 7542	. 2 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → ((({𝐸} × {𝐸}) × {𝑋}) ∘f (.r‘𝑅){⟨𝑂, 𝑌⟩}) = (𝑥 ∈ {𝑂} ↦ (𝑋(.r‘𝑅)𝑌)))
64		simprl 768	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → 𝑋 ∈ 𝐵)
65		simpr 485	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → 𝑌 ∈ 𝐵)
66	65	anim2i 617	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) ∧ 𝑌 ∈ 𝐵))
67		df-3an 1088	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ↔ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) ∧ 𝑌 ∈ 𝐵))
68	66, 67	sylibr 233	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → (𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵))
69		mat1dim.a	. . . . 5 ⊢ 𝐴 = ({𝐸} Mat 𝑅)
70		mat1dim.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
71	69, 70, 1	mat1dimbas 21621	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → {⟨𝑂, 𝑌⟩} ∈ (Base‘𝐴))
72	68, 71	syl 17	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → {⟨𝑂, 𝑌⟩} ∈ (Base‘𝐴))
73		eqid 2738	. . . 4 ⊢ (Base‘𝐴) = (Base‘𝐴)
74		eqid 2738	. . . 4 ⊢ ( ·𝑠 ‘𝐴) = ( ·𝑠 ‘𝐴)
75		eqid 2738	. . . 4 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
76		eqid 2738	. . . 4 ⊢ ({𝐸} × {𝐸}) = ({𝐸} × {𝐸})
77	69, 73, 70, 74, 75, 76	matvsca2 21577	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ {⟨𝑂, 𝑌⟩} ∈ (Base‘𝐴)) → (𝑋( ·𝑠 ‘𝐴){⟨𝑂, 𝑌⟩}) = ((({𝐸} × {𝐸}) × {𝑋}) ∘f (.r‘𝑅){⟨𝑂, 𝑌⟩}))
78	64, 72, 77	syl2anc 584	. 2 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → (𝑋( ·𝑠 ‘𝐴){⟨𝑂, 𝑌⟩}) = ((({𝐸} × {𝐸}) × {𝑋}) ∘f (.r‘𝑅){⟨𝑂, 𝑌⟩}))
79		3anass 1094	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ↔ (𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)))
80	79	biimpri 227	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → (𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵))
81	80	adantlr 712	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → (𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵))
82	70, 75	ringcl 19800	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋(.r‘𝑅)𝑌) ∈ 𝐵)
83	81, 82	syl 17	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → (𝑋(.r‘𝑅)𝑌) ∈ 𝐵)
84		fmptsn 7039	. . 3 ⊢ ((𝑂 ∈ V ∧ (𝑋(.r‘𝑅)𝑌) ∈ 𝐵) → {⟨𝑂, (𝑋(.r‘𝑅)𝑌)⟩} = (𝑥 ∈ {𝑂} ↦ (𝑋(.r‘𝑅)𝑌)))
85	3, 83, 84	sylancr 587	. 2 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → {⟨𝑂, (𝑋(.r‘𝑅)𝑌)⟩} = (𝑥 ∈ {𝑂} ↦ (𝑋(.r‘𝑅)𝑌)))
86	63, 78, 85	3eqtr4d 2788	1 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → (𝑋( ·𝑠 ‘𝐴){⟨𝑂, 𝑌⟩}) = {⟨𝑂, (𝑋(.r‘𝑅)𝑌)⟩})

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   ∧ w3a 1086   = wceq 1539   ∈ wcel 2106  Vcvv 3432  {csn 4561  ⟨cop 4567   ↦ cmpt 5157   × cxp 5587   Fn wfn 6428  ‘cfv 6433  (class class class)co 7275   ∘_f cof 7531  Basecbs 16912  ._rcmulr 16963   ·_𝑠 cvsca 16966  Ringcrg 19783   Mat cmat 21554

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5209  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-tp 4566  df-op 4568  df-ot 4570  df-uni 4840  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-of 7533  df-om 7713  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-supp 7978  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-1o 8297  df-er 8498  df-map 8617  df-ixp 8686  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-fin 8737  df-fsupp 9129  df-sup 9201  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-nn 11974  df-2 12036  df-3 12037  df-4 12038  df-5 12039  df-6 12040  df-7 12041  df-8 12042  df-9 12043  df-n0 12234  df-z 12320  df-dec 12438  df-uz 12583  df-fz 13240  df-struct 16848  df-sets 16865  df-slot 16883  df-ndx 16895  df-base 16913  df-ress 16942  df-plusg 16975  df-mulr 16976  df-sca 16978  df-vsca 16979  df-ip 16980  df-tset 16981  df-ple 16982  df-ds 16984  df-hom 16986  df-cco 16987  df-0g 17152  df-prds 17158  df-pws 17160  df-mgm 18326  df-sgrp 18375  df-mnd 18386  df-mgp 19721  df-ring 19785  df-sra 20434  df-rgmod 20435  df-dsmm 20939  df-frlm 20954  df-mat 21555

This theorem is referenced by:  mat1scmat  21688