MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mat1dimscm Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mat1dimscm 21012
Description: The scalar multiplication in the algebra of matrices with dimension 1. (Contributed by AV, 16-Aug-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
mat1dim.a 𝐴 = ({𝐸} Mat 𝑅)
mat1dim.b 𝐵 = (Base‘𝑅)
mat1dim.o 𝑂 = ⟨𝐸, 𝐸
Assertion
Ref Expression
mat1dimscm (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸𝑉) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵)) → (𝑋( ·𝑠𝐴){⟨𝑂, 𝑌⟩}) = {⟨𝑂, (𝑋(.r𝑅)𝑌)⟩})

Proof of Theorem mat1dimscm
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mat1dim.o . . . . . . . . . . 11 𝑂 = ⟨𝐸, 𝐸
2 opex 5347 . . . . . . . . . . 11 𝐸, 𝐸⟩ ∈ V
31, 2eqeltri 2906 . . . . . . . . . 10 𝑂 ∈ V
43a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝑌𝐵𝑂 ∈ V)
54anim2i 616 . . . . . . . 8 ((𝑋𝐵𝑌𝐵) → (𝑋𝐵𝑂 ∈ V))
65ancomd 462 . . . . . . 7 ((𝑋𝐵𝑌𝐵) → (𝑂 ∈ V ∧ 𝑋𝐵))
7 fnsng 6399 . . . . . . 7 ((𝑂 ∈ V ∧ 𝑋𝐵) → {⟨𝑂, 𝑋⟩} Fn {𝑂})
86, 7syl 17 . . . . . 6 ((𝑋𝐵𝑌𝐵) → {⟨𝑂, 𝑋⟩} Fn {𝑂})
98adantl 482 . . . . 5 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸𝑉) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵)) → {⟨𝑂, 𝑋⟩} Fn {𝑂})
10 xpsng 6893 . . . . . . . 8 ((𝑂 ∈ V ∧ 𝑋𝐵) → ({𝑂} × {𝑋}) = {⟨𝑂, 𝑋⟩})
116, 10syl 17 . . . . . . 7 ((𝑋𝐵𝑌𝐵) → ({𝑂} × {𝑋}) = {⟨𝑂, 𝑋⟩})
1211adantl 482 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸𝑉) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵)) → ({𝑂} × {𝑋}) = {⟨𝑂, 𝑋⟩})
1312fneq1d 6439 . . . . 5 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸𝑉) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵)) → (({𝑂} × {𝑋}) Fn {𝑂} ↔ {⟨𝑂, 𝑋⟩} Fn {𝑂}))
149, 13mpbird 258 . . . 4 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸𝑉) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵)) → ({𝑂} × {𝑋}) Fn {𝑂})
15 xpsng 6893 . . . . . . . . 9 ((𝐸𝑉𝐸𝑉) → ({𝐸} × {𝐸}) = {⟨𝐸, 𝐸⟩})
161sneqi 4568 . . . . . . . . 9 {𝑂} = {⟨𝐸, 𝐸⟩}
1715, 16syl6eqr 2871 . . . . . . . 8 ((𝐸𝑉𝐸𝑉) → ({𝐸} × {𝐸}) = {𝑂})
1817anidms 567 . . . . . . 7 (𝐸𝑉 → ({𝐸} × {𝐸}) = {𝑂})
1918ad2antlr 723 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸𝑉) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵)) → ({𝐸} × {𝐸}) = {𝑂})
2019xpeq1d 5577 . . . . 5 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸𝑉) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵)) → (({𝐸} × {𝐸}) × {𝑋}) = ({𝑂} × {𝑋}))
2120fneq1d 6439 . . . 4 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸𝑉) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵)) → ((({𝐸} × {𝐸}) × {𝑋}) Fn {𝑂} ↔ ({𝑂} × {𝑋}) Fn {𝑂}))
2214, 21mpbird 258 . . 3 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸𝑉) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵)) → (({𝐸} × {𝐸}) × {𝑋}) Fn {𝑂})
233a1i 11 . . . . 5 (𝑋𝐵𝑂 ∈ V)
24 fnsng 6399 . . . . 5 ((𝑂 ∈ V ∧ 𝑌𝐵) → {⟨𝑂, 𝑌⟩} Fn {𝑂})
2523, 24sylan 580 . . . 4 ((𝑋𝐵𝑌𝐵) → {⟨𝑂, 𝑌⟩} Fn {𝑂})
2625adantl 482 . . 3 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸𝑉) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵)) → {⟨𝑂, 𝑌⟩} Fn {𝑂})
27 snex 5322 . . . 4 {𝑂} ∈ V
2827a1i 11 . . 3 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸𝑉) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵)) → {𝑂} ∈ V)
29 inidm 4192 . . 3 ({𝑂} ∩ {𝑂}) = {𝑂}
30 elsni 4574 . . . . 5 (𝑥 ∈ {𝑂} → 𝑥 = 𝑂)
31 fveq2 6663 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑂 → ((({𝐸} × {𝐸}) × {𝑋})‘𝑥) = ((({𝐸} × {𝐸}) × {𝑋})‘𝑂))
3215anidms 567 . . . . . . . . . . . 12 (𝐸𝑉 → ({𝐸} × {𝐸}) = {⟨𝐸, 𝐸⟩})
3332ad2antlr 723 . . . . . . . . . . 11 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸𝑉) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵)) → ({𝐸} × {𝐸}) = {⟨𝐸, 𝐸⟩})
3433xpeq1d 5577 . . . . . . . . . 10 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸𝑉) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵)) → (({𝐸} × {𝐸}) × {𝑋}) = ({⟨𝐸, 𝐸⟩} × {𝑋}))
352a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑌𝐵 → ⟨𝐸, 𝐸⟩ ∈ V)
3635anim2i 616 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑋𝐵𝑌𝐵) → (𝑋𝐵 ∧ ⟨𝐸, 𝐸⟩ ∈ V))
3736ancomd 462 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑋𝐵𝑌𝐵) → (⟨𝐸, 𝐸⟩ ∈ V ∧ 𝑋𝐵))
38 xpsng 6893 . . . . . . . . . . . . 13 ((⟨𝐸, 𝐸⟩ ∈ V ∧ 𝑋𝐵) → ({⟨𝐸, 𝐸⟩} × {𝑋}) = {⟨⟨𝐸, 𝐸⟩, 𝑋⟩})
391eqcomi 2827 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝐸, 𝐸⟩ = 𝑂
4039opeq1i 4798 . . . . . . . . . . . . . 14 ⟨⟨𝐸, 𝐸⟩, 𝑋⟩ = ⟨𝑂, 𝑋
4140sneqi 4568 . . . . . . . . . . . . 13 {⟨⟨𝐸, 𝐸⟩, 𝑋⟩} = {⟨𝑂, 𝑋⟩}
4238, 41syl6eq 2869 . . . . . . . . . . . 12 ((⟨𝐸, 𝐸⟩ ∈ V ∧ 𝑋𝐵) → ({⟨𝐸, 𝐸⟩} × {𝑋}) = {⟨𝑂, 𝑋⟩})
4337, 42syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((𝑋𝐵𝑌𝐵) → ({⟨𝐸, 𝐸⟩} × {𝑋}) = {⟨𝑂, 𝑋⟩})
4443adantl 482 . . . . . . . . . 10 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸𝑉) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵)) → ({⟨𝐸, 𝐸⟩} × {𝑋}) = {⟨𝑂, 𝑋⟩})
4534, 44eqtrd 2853 . . . . . . . . 9 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸𝑉) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵)) → (({𝐸} × {𝐸}) × {𝑋}) = {⟨𝑂, 𝑋⟩})
4645fveq1d 6665 . . . . . . . 8 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸𝑉) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵)) → ((({𝐸} × {𝐸}) × {𝑋})‘𝑂) = ({⟨𝑂, 𝑋⟩}‘𝑂))
47 fvsng 6934 . . . . . . . . . 10 ((𝑂 ∈ V ∧ 𝑋𝐵) → ({⟨𝑂, 𝑋⟩}‘𝑂) = 𝑋)
486, 47syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝑋𝐵𝑌𝐵) → ({⟨𝑂, 𝑋⟩}‘𝑂) = 𝑋)
4948adantl 482 . . . . . . . 8 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸𝑉) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵)) → ({⟨𝑂, 𝑋⟩}‘𝑂) = 𝑋)
5046, 49eqtrd 2853 . . . . . . 7 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸𝑉) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵)) → ((({𝐸} × {𝐸}) × {𝑋})‘𝑂) = 𝑋)
5131, 50sylan9eq 2873 . . . . . 6 ((𝑥 = 𝑂 ∧ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸𝑉) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵))) → ((({𝐸} × {𝐸}) × {𝑋})‘𝑥) = 𝑋)
5251ex 413 . . . . 5 (𝑥 = 𝑂 → (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸𝑉) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵)) → ((({𝐸} × {𝐸}) × {𝑋})‘𝑥) = 𝑋))
5330, 52syl 17 . . . 4 (𝑥 ∈ {𝑂} → (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸𝑉) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵)) → ((({𝐸} × {𝐸}) × {𝑋})‘𝑥) = 𝑋))
5453impcom 408 . . 3 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸𝑉) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵)) ∧ 𝑥 ∈ {𝑂}) → ((({𝐸} × {𝐸}) × {𝑋})‘𝑥) = 𝑋)
55 fveq2 6663 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑂 → ({⟨𝑂, 𝑌⟩}‘𝑥) = ({⟨𝑂, 𝑌⟩}‘𝑂))
56 fvsng 6934 . . . . . . . . 9 ((𝑂 ∈ V ∧ 𝑌𝐵) → ({⟨𝑂, 𝑌⟩}‘𝑂) = 𝑌)
5723, 56sylan 580 . . . . . . . 8 ((𝑋𝐵𝑌𝐵) → ({⟨𝑂, 𝑌⟩}‘𝑂) = 𝑌)
5857adantl 482 . . . . . . 7 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸𝑉) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵)) → ({⟨𝑂, 𝑌⟩}‘𝑂) = 𝑌)
5955, 58sylan9eq 2873 . . . . . 6 ((𝑥 = 𝑂 ∧ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸𝑉) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵))) → ({⟨𝑂, 𝑌⟩}‘𝑥) = 𝑌)
6059ex 413 . . . . 5 (𝑥 = 𝑂 → (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸𝑉) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵)) → ({⟨𝑂, 𝑌⟩}‘𝑥) = 𝑌))
6130, 60syl 17 . . . 4 (𝑥 ∈ {𝑂} → (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸𝑉) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵)) → ({⟨𝑂, 𝑌⟩}‘𝑥) = 𝑌))
6261impcom 408 . . 3 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸𝑉) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵)) ∧ 𝑥 ∈ {𝑂}) → ({⟨𝑂, 𝑌⟩}‘𝑥) = 𝑌)
6322, 26, 28, 28, 29, 54, 62offval 7405 . 2 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸𝑉) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵)) → ((({𝐸} × {𝐸}) × {𝑋}) ∘f (.r𝑅){⟨𝑂, 𝑌⟩}) = (𝑥 ∈ {𝑂} ↦ (𝑋(.r𝑅)𝑌)))
64 simprl 767 . . 3 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸𝑉) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵)) → 𝑋𝐵)
65 simpr 485 . . . . . 6 ((𝑋𝐵𝑌𝐵) → 𝑌𝐵)
6665anim2i 616 . . . . 5 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸𝑉) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵)) → ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸𝑉) ∧ 𝑌𝐵))
67 df-3an 1081 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸𝑉𝑌𝐵) ↔ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸𝑉) ∧ 𝑌𝐵))
6866, 67sylibr 235 . . . 4 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸𝑉) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵)) → (𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸𝑉𝑌𝐵))
69 mat1dim.a . . . . 5 𝐴 = ({𝐸} Mat 𝑅)
70 mat1dim.b . . . . 5 𝐵 = (Base‘𝑅)
7169, 70, 1mat1dimbas 21009 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸𝑉𝑌𝐵) → {⟨𝑂, 𝑌⟩} ∈ (Base‘𝐴))
7268, 71syl 17 . . 3 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸𝑉) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵)) → {⟨𝑂, 𝑌⟩} ∈ (Base‘𝐴))
73 eqid 2818 . . . 4 (Base‘𝐴) = (Base‘𝐴)
74 eqid 2818 . . . 4 ( ·𝑠𝐴) = ( ·𝑠𝐴)
75 eqid 2818 . . . 4 (.r𝑅) = (.r𝑅)
76 eqid 2818 . . . 4 ({𝐸} × {𝐸}) = ({𝐸} × {𝐸})
7769, 73, 70, 74, 75, 76matvsca2 20965 . . 3 ((𝑋𝐵 ∧ {⟨𝑂, 𝑌⟩} ∈ (Base‘𝐴)) → (𝑋( ·𝑠𝐴){⟨𝑂, 𝑌⟩}) = ((({𝐸} × {𝐸}) × {𝑋}) ∘f (.r𝑅){⟨𝑂, 𝑌⟩}))
7864, 72, 77syl2anc 584 . 2 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸𝑉) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵)) → (𝑋( ·𝑠𝐴){⟨𝑂, 𝑌⟩}) = ((({𝐸} × {𝐸}) × {𝑋}) ∘f (.r𝑅){⟨𝑂, 𝑌⟩}))
79 3anass 1087 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ↔ (𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵)))
8079biimpri 229 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵)) → (𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵))
8180adantlr 711 . . . 4 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸𝑉) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵)) → (𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵))
8270, 75ringcl 19240 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → (𝑋(.r𝑅)𝑌) ∈ 𝐵)
8381, 82syl 17 . . 3 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸𝑉) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵)) → (𝑋(.r𝑅)𝑌) ∈ 𝐵)
84 fmptsn 6921 . . 3 ((𝑂 ∈ V ∧ (𝑋(.r𝑅)𝑌) ∈ 𝐵) → {⟨𝑂, (𝑋(.r𝑅)𝑌)⟩} = (𝑥 ∈ {𝑂} ↦ (𝑋(.r𝑅)𝑌)))
853, 83, 84sylancr 587 . 2 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸𝑉) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵)) → {⟨𝑂, (𝑋(.r𝑅)𝑌)⟩} = (𝑥 ∈ {𝑂} ↦ (𝑋(.r𝑅)𝑌)))
8663, 78, 853eqtr4d 2863 1 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸𝑉) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵)) → (𝑋( ·𝑠𝐴){⟨𝑂, 𝑌⟩}) = {⟨𝑂, (𝑋(.r𝑅)𝑌)⟩})
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396  w3a 1079   = wceq 1528  wcel 2105  Vcvv 3492  {csn 4557  cop 4563  cmpt 5137   × cxp 5546   Fn wfn 6343  cfv 6348  (class class class)co 7145  f cof 7396  Basecbs 16471  .rcmulr 16554   ·𝑠 cvsca 16557  Ringcrg 19226   Mat cmat 20944
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-rep 5181  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450  ax-cnex 10581  ax-resscn 10582  ax-1cn 10583  ax-icn 10584  ax-addcl 10585  ax-addrcl 10586  ax-mulcl 10587  ax-mulrcl 10588  ax-mulcom 10589  ax-addass 10590  ax-mulass 10591  ax-distr 10592  ax-i2m1 10593  ax-1ne0 10594  ax-1rid 10595  ax-rnegex 10596  ax-rrecex 10597  ax-cnre 10598  ax-pre-lttri 10599  ax-pre-lttrn 10600  ax-pre-ltadd 10601  ax-pre-mulgt0 10602
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-nel 3121  df-ral 3140  df-rex 3141  df-reu 3142  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-pss 3951  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-tp 4562  df-op 4564  df-ot 4566  df-uni 4831  df-int 4868  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-of 7398  df-om 7570  df-1st 7678  df-2nd 7679  df-supp 7820  df-wrecs 7936  df-recs 7997  df-rdg 8035  df-1o 8091  df-oadd 8095  df-er 8278  df-map 8397  df-ixp 8450  df-en 8498  df-dom 8499  df-sdom 8500  df-fin 8501  df-fsupp 8822  df-sup 8894  df-pnf 10665  df-mnf 10666  df-xr 10667  df-ltxr 10668  df-le 10669  df-sub 10860  df-neg 10861  df-nn 11627  df-2 11688  df-3 11689  df-4 11690  df-5 11691  df-6 11692  df-7 11693  df-8 11694  df-9 11695  df-n0 11886  df-z 11970  df-dec 12087  df-uz 12232  df-fz 12881  df-struct 16473  df-ndx 16474  df-slot 16475  df-base 16477  df-sets 16478  df-ress 16479  df-plusg 16566  df-mulr 16567  df-sca 16569  df-vsca 16570  df-ip 16571  df-tset 16572  df-ple 16573  df-ds 16575  df-hom 16577  df-cco 16578  df-0g 16703  df-prds 16709  df-pws 16711  df-mgm 17840  df-sgrp 17889  df-mnd 17900  df-mgp 19169  df-ring 19228  df-sra 19873  df-rgmod 19874  df-dsmm 20804  df-frlm 20819  df-mat 20945
This theorem is referenced by:  mat1scmat  21076
  Copyright terms: Public domain W3C validator