Theorem mat1dimscm 22418

Description: The scalar multiplication in the algebra of matrices with dimension 1. (Contributed by AV, 16-Aug-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
mat1dim.a	⊢ 𝐴 = ({𝐸} Mat 𝑅)
mat1dim.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
mat1dim.o	⊢ 𝑂 = ⟨𝐸, 𝐸⟩

Assertion

Ref	Expression
mat1dimscm	⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → (𝑋( ·𝑠 ‘𝐴){⟨𝑂, 𝑌⟩}) = {⟨𝑂, (𝑋(.r‘𝑅)𝑌)⟩})

Proof of Theorem mat1dimscm

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mat1dim.o	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑂 = ⟨𝐸, 𝐸⟩
2		opex 5444	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ⟨𝐸, 𝐸⟩ ∈ V
3	1, 2	eqeltri 2831	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑂 ∈ V
4	3	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑌 ∈ 𝐵 → 𝑂 ∈ V)
5	4	anim2i 617	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑂 ∈ V))
6	5	ancomd 461	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑂 ∈ V ∧ 𝑋 ∈ 𝐵))
7		fnsng 6593	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑂 ∈ V ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → {⟨𝑂, 𝑋⟩} Fn {𝑂})
8	6, 7	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → {⟨𝑂, 𝑋⟩} Fn {𝑂})
9	8	adantl 481	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → {⟨𝑂, 𝑋⟩} Fn {𝑂})
10		xpsng 7134	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑂 ∈ V ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ({𝑂} × {𝑋}) = {⟨𝑂, 𝑋⟩})
11	6, 10	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ({𝑂} × {𝑋}) = {⟨𝑂, 𝑋⟩})
12	11	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → ({𝑂} × {𝑋}) = {⟨𝑂, 𝑋⟩})
13	12	fneq1d 6636	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → (({𝑂} × {𝑋}) Fn {𝑂} ↔ {⟨𝑂, 𝑋⟩} Fn {𝑂}))
14	9, 13	mpbird 257	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → ({𝑂} × {𝑋}) Fn {𝑂})
15		xpsng 7134	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐸 ∈ 𝑉 ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) → ({𝐸} × {𝐸}) = {⟨𝐸, 𝐸⟩})
16	1	sneqi 4617	. . . . . . . . 9 ⊢ {𝑂} = {⟨𝐸, 𝐸⟩}
17	15, 16	eqtr4di 2789	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐸 ∈ 𝑉 ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) → ({𝐸} × {𝐸}) = {𝑂})
18	17	anidms 566	. . . . . . 7 ⊢ (𝐸 ∈ 𝑉 → ({𝐸} × {𝐸}) = {𝑂})
19	18	ad2antlr 727	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → ({𝐸} × {𝐸}) = {𝑂})
20	19	xpeq1d 5688	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → (({𝐸} × {𝐸}) × {𝑋}) = ({𝑂} × {𝑋}))
21	20	fneq1d 6636	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → ((({𝐸} × {𝐸}) × {𝑋}) Fn {𝑂} ↔ ({𝑂} × {𝑋}) Fn {𝑂}))
22	14, 21	mpbird 257	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → (({𝐸} × {𝐸}) × {𝑋}) Fn {𝑂})
23	3	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐵 → 𝑂 ∈ V)
24		fnsng 6593	. . . . 5 ⊢ ((𝑂 ∈ V ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → {⟨𝑂, 𝑌⟩} Fn {𝑂})
25	23, 24	sylan 580	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → {⟨𝑂, 𝑌⟩} Fn {𝑂})
26	25	adantl 481	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → {⟨𝑂, 𝑌⟩} Fn {𝑂})
27		snex 5411	. . . 4 ⊢ {𝑂} ∈ V
28	27	a1i 11	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → {𝑂} ∈ V)
29		inidm 4207	. . 3 ⊢ ({𝑂} ∩ {𝑂}) = {𝑂}
30		elsni 4623	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑂} → 𝑥 = 𝑂)
31		fveq2 6881	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑂 → ((({𝐸} × {𝐸}) × {𝑋})‘𝑥) = ((({𝐸} × {𝐸}) × {𝑋})‘𝑂))
32	15	anidms 566	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐸 ∈ 𝑉 → ({𝐸} × {𝐸}) = {⟨𝐸, 𝐸⟩})
33	32	ad2antlr 727	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → ({𝐸} × {𝐸}) = {⟨𝐸, 𝐸⟩})
34	33	xpeq1d 5688	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → (({𝐸} × {𝐸}) × {𝑋}) = ({⟨𝐸, 𝐸⟩} × {𝑋}))
35	2	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑌 ∈ 𝐵 → ⟨𝐸, 𝐸⟩ ∈ V)
36	35	anim2i 617	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ ⟨𝐸, 𝐸⟩ ∈ V))
37	36	ancomd 461	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (⟨𝐸, 𝐸⟩ ∈ V ∧ 𝑋 ∈ 𝐵))
38		xpsng 7134	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((⟨𝐸, 𝐸⟩ ∈ V ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ({⟨𝐸, 𝐸⟩} × {𝑋}) = {⟨⟨𝐸, 𝐸⟩, 𝑋⟩})
39	1	eqcomi 2745	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ⟨𝐸, 𝐸⟩ = 𝑂
40	39	opeq1i 4857	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ⟨⟨𝐸, 𝐸⟩, 𝑋⟩ = ⟨𝑂, 𝑋⟩
41	40	sneqi 4617	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ {⟨⟨𝐸, 𝐸⟩, 𝑋⟩} = {⟨𝑂, 𝑋⟩}
42	38, 41	eqtrdi 2787	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((⟨𝐸, 𝐸⟩ ∈ V ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ({⟨𝐸, 𝐸⟩} × {𝑋}) = {⟨𝑂, 𝑋⟩})
43	37, 42	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ({⟨𝐸, 𝐸⟩} × {𝑋}) = {⟨𝑂, 𝑋⟩})
44	43	adantl 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → ({⟨𝐸, 𝐸⟩} × {𝑋}) = {⟨𝑂, 𝑋⟩})
45	34, 44	eqtrd 2771	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → (({𝐸} × {𝐸}) × {𝑋}) = {⟨𝑂, 𝑋⟩})
46	45	fveq1d 6883	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → ((({𝐸} × {𝐸}) × {𝑋})‘𝑂) = ({⟨𝑂, 𝑋⟩}‘𝑂))
47		fvsng 7177	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑂 ∈ V ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ({⟨𝑂, 𝑋⟩}‘𝑂) = 𝑋)
48	6, 47	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ({⟨𝑂, 𝑋⟩}‘𝑂) = 𝑋)
49	48	adantl 481	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → ({⟨𝑂, 𝑋⟩}‘𝑂) = 𝑋)
50	46, 49	eqtrd 2771	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → ((({𝐸} × {𝐸}) × {𝑋})‘𝑂) = 𝑋)
51	31, 50	sylan9eq 2791	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 = 𝑂 ∧ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵))) → ((({𝐸} × {𝐸}) × {𝑋})‘𝑥) = 𝑋)
52	51	ex 412	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑂 → (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → ((({𝐸} × {𝐸}) × {𝑋})‘𝑥) = 𝑋))
53	30, 52	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑂} → (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → ((({𝐸} × {𝐸}) × {𝑋})‘𝑥) = 𝑋))
54	53	impcom 407	. . 3 ⊢ ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑥 ∈ {𝑂}) → ((({𝐸} × {𝐸}) × {𝑋})‘𝑥) = 𝑋)
55		fveq2 6881	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑂 → ({⟨𝑂, 𝑌⟩}‘𝑥) = ({⟨𝑂, 𝑌⟩}‘𝑂))
56		fvsng 7177	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑂 ∈ V ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ({⟨𝑂, 𝑌⟩}‘𝑂) = 𝑌)
57	23, 56	sylan 580	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ({⟨𝑂, 𝑌⟩}‘𝑂) = 𝑌)
58	57	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → ({⟨𝑂, 𝑌⟩}‘𝑂) = 𝑌)
59	55, 58	sylan9eq 2791	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 = 𝑂 ∧ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵))) → ({⟨𝑂, 𝑌⟩}‘𝑥) = 𝑌)
60	59	ex 412	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑂 → (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → ({⟨𝑂, 𝑌⟩}‘𝑥) = 𝑌))
61	30, 60	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑂} → (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → ({⟨𝑂, 𝑌⟩}‘𝑥) = 𝑌))
62	61	impcom 407	. . 3 ⊢ ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑥 ∈ {𝑂}) → ({⟨𝑂, 𝑌⟩}‘𝑥) = 𝑌)
63	22, 26, 28, 28, 29, 54, 62	offval 7685	. 2 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → ((({𝐸} × {𝐸}) × {𝑋}) ∘f (.r‘𝑅){⟨𝑂, 𝑌⟩}) = (𝑥 ∈ {𝑂} ↦ (𝑋(.r‘𝑅)𝑌)))
64		simprl 770	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → 𝑋 ∈ 𝐵)
65		simpr 484	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → 𝑌 ∈ 𝐵)
66	65	anim2i 617	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) ∧ 𝑌 ∈ 𝐵))
67		df-3an 1088	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ↔ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) ∧ 𝑌 ∈ 𝐵))
68	66, 67	sylibr 234	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → (𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵))
69		mat1dim.a	. . . . 5 ⊢ 𝐴 = ({𝐸} Mat 𝑅)
70		mat1dim.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
71	69, 70, 1	mat1dimbas 22415	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → {⟨𝑂, 𝑌⟩} ∈ (Base‘𝐴))
72	68, 71	syl 17	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → {⟨𝑂, 𝑌⟩} ∈ (Base‘𝐴))
73		eqid 2736	. . . 4 ⊢ (Base‘𝐴) = (Base‘𝐴)
74		eqid 2736	. . . 4 ⊢ ( ·𝑠 ‘𝐴) = ( ·𝑠 ‘𝐴)
75		eqid 2736	. . . 4 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
76		eqid 2736	. . . 4 ⊢ ({𝐸} × {𝐸}) = ({𝐸} × {𝐸})
77	69, 73, 70, 74, 75, 76	matvsca2 22371	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ {⟨𝑂, 𝑌⟩} ∈ (Base‘𝐴)) → (𝑋( ·𝑠 ‘𝐴){⟨𝑂, 𝑌⟩}) = ((({𝐸} × {𝐸}) × {𝑋}) ∘f (.r‘𝑅){⟨𝑂, 𝑌⟩}))
78	64, 72, 77	syl2anc 584	. 2 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → (𝑋( ·𝑠 ‘𝐴){⟨𝑂, 𝑌⟩}) = ((({𝐸} × {𝐸}) × {𝑋}) ∘f (.r‘𝑅){⟨𝑂, 𝑌⟩}))
79		3anass 1094	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ↔ (𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)))
80	79	biimpri 228	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → (𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵))
81	80	adantlr 715	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → (𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵))
82	70, 75	ringcl 20215	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋(.r‘𝑅)𝑌) ∈ 𝐵)
83	81, 82	syl 17	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → (𝑋(.r‘𝑅)𝑌) ∈ 𝐵)
84		fmptsn 7164	. . 3 ⊢ ((𝑂 ∈ V ∧ (𝑋(.r‘𝑅)𝑌) ∈ 𝐵) → {⟨𝑂, (𝑋(.r‘𝑅)𝑌)⟩} = (𝑥 ∈ {𝑂} ↦ (𝑋(.r‘𝑅)𝑌)))
85	3, 83, 84	sylancr 587	. 2 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → {⟨𝑂, (𝑋(.r‘𝑅)𝑌)⟩} = (𝑥 ∈ {𝑂} ↦ (𝑋(.r‘𝑅)𝑌)))
86	63, 78, 85	3eqtr4d 2781	1 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → (𝑋( ·𝑠 ‘𝐴){⟨𝑂, 𝑌⟩}) = {⟨𝑂, (𝑋(.r‘𝑅)𝑌)⟩})

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  Vcvv 3464  {csn 4606  ⟨cop 4612   ↦ cmpt 5206   × cxp 5657   Fn wfn 6531  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410   ∘_f cof 7674  Basecbs 17233  ._rcmulr 17277   ·_𝑠 cvsca 17280  Ringcrg 20198   Mat cmat 22350

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2708  ax-rep 5254  ax-sep 5271  ax-nul 5281  ax-pow 5340  ax-pr 5407  ax-un 7734  ax-cnex 11190  ax-resscn 11191  ax-1cn 11192  ax-icn 11193  ax-addcl 11194  ax-addrcl 11195  ax-mulcl 11196  ax-mulrcl 11197  ax-mulcom 11198  ax-addass 11199  ax-mulass 11200  ax-distr 11201  ax-i2m1 11202  ax-1ne0 11203  ax-1rid 11204  ax-rnegex 11205  ax-rrecex 11206  ax-cnre 11207  ax-pre-lttri 11208  ax-pre-lttrn 11209  ax-pre-ltadd 11210  ax-pre-mulgt0 11211

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2810  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3062  df-reu 3365  df-rab 3421  df-v 3466  df-sbc 3771  df-csb 3880  df-dif 3934  df-un 3936  df-in 3938  df-ss 3948  df-pss 3951  df-nul 4314  df-if 4506  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-tp 4611  df-op 4613  df-ot 4615  df-uni 4889  df-iun 4974  df-br 5125  df-opab 5187  df-mpt 5207  df-tr 5235  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-we 5613  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6295  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-of 7676  df-om 7867  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-supp 8165  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-1o 8485  df-er 8724  df-map 8847  df-ixp 8917  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-fin 8968  df-fsupp 9379  df-sup 9459  df-pnf 11276  df-mnf 11277  df-xr 11278  df-ltxr 11279  df-le 11280  df-sub 11473  df-neg 11474  df-nn 12246  df-2 12308  df-3 12309  df-4 12310  df-5 12311  df-6 12312  df-7 12313  df-8 12314  df-9 12315  df-n0 12507  df-z 12594  df-dec 12714  df-uz 12858  df-fz 13530  df-struct 17171  df-sets 17188  df-slot 17206  df-ndx 17218  df-base 17234  df-ress 17257  df-plusg 17289  df-mulr 17290  df-sca 17292  df-vsca 17293  df-ip 17294  df-tset 17295  df-ple 17296  df-ds 17298  df-hom 17300  df-cco 17301  df-0g 17460  df-prds 17466  df-pws 17468  df-mgm 18623  df-sgrp 18702  df-mnd 18718  df-mgp 20106  df-ring 20200  df-sra 21136  df-rgmod 21137  df-dsmm 21697  df-frlm 21712  df-mat 22351

This theorem is referenced by:  mat1scmat  22482