MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mat1dimscm Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mat1dimscm 22332
Description: The scalar multiplication in the algebra of matrices with dimension 1. (Contributed by AV, 16-Aug-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
mat1dim.a ๐ด = ({๐ธ} Mat ๐‘…)
mat1dim.b ๐ต = (Baseโ€˜๐‘…)
mat1dim.o ๐‘‚ = โŸจ๐ธ, ๐ธโŸฉ
Assertion
Ref Expression
mat1dimscm (((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐ธ โˆˆ ๐‘‰) โˆง (๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต)) โ†’ (๐‘‹( ยท๐‘  โ€˜๐ด){โŸจ๐‘‚, ๐‘ŒโŸฉ}) = {โŸจ๐‘‚, (๐‘‹(.rโ€˜๐‘…)๐‘Œ)โŸฉ})

Proof of Theorem mat1dimscm
Dummy variable ๐‘ฅ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mat1dim.o . . . . . . . . . . 11 ๐‘‚ = โŸจ๐ธ, ๐ธโŸฉ
2 opex 5457 . . . . . . . . . . 11 โŸจ๐ธ, ๐ธโŸฉ โˆˆ V
31, 2eqeltri 2823 . . . . . . . . . 10 ๐‘‚ โˆˆ V
43a1i 11 . . . . . . . . 9 (๐‘Œ โˆˆ ๐ต โ†’ ๐‘‚ โˆˆ V)
54anim2i 616 . . . . . . . 8 ((๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต) โ†’ (๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘‚ โˆˆ V))
65ancomd 461 . . . . . . 7 ((๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต) โ†’ (๐‘‚ โˆˆ V โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต))
7 fnsng 6594 . . . . . . 7 ((๐‘‚ โˆˆ V โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โ†’ {โŸจ๐‘‚, ๐‘‹โŸฉ} Fn {๐‘‚})
86, 7syl 17 . . . . . 6 ((๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต) โ†’ {โŸจ๐‘‚, ๐‘‹โŸฉ} Fn {๐‘‚})
98adantl 481 . . . . 5 (((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐ธ โˆˆ ๐‘‰) โˆง (๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต)) โ†’ {โŸจ๐‘‚, ๐‘‹โŸฉ} Fn {๐‘‚})
10 xpsng 7133 . . . . . . . 8 ((๐‘‚ โˆˆ V โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โ†’ ({๐‘‚} ร— {๐‘‹}) = {โŸจ๐‘‚, ๐‘‹โŸฉ})
116, 10syl 17 . . . . . . 7 ((๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต) โ†’ ({๐‘‚} ร— {๐‘‹}) = {โŸจ๐‘‚, ๐‘‹โŸฉ})
1211adantl 481 . . . . . 6 (((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐ธ โˆˆ ๐‘‰) โˆง (๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต)) โ†’ ({๐‘‚} ร— {๐‘‹}) = {โŸจ๐‘‚, ๐‘‹โŸฉ})
1312fneq1d 6636 . . . . 5 (((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐ธ โˆˆ ๐‘‰) โˆง (๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต)) โ†’ (({๐‘‚} ร— {๐‘‹}) Fn {๐‘‚} โ†” {โŸจ๐‘‚, ๐‘‹โŸฉ} Fn {๐‘‚}))
149, 13mpbird 257 . . . 4 (((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐ธ โˆˆ ๐‘‰) โˆง (๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต)) โ†’ ({๐‘‚} ร— {๐‘‹}) Fn {๐‘‚})
15 xpsng 7133 . . . . . . . . 9 ((๐ธ โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐ธ โˆˆ ๐‘‰) โ†’ ({๐ธ} ร— {๐ธ}) = {โŸจ๐ธ, ๐ธโŸฉ})
161sneqi 4634 . . . . . . . . 9 {๐‘‚} = {โŸจ๐ธ, ๐ธโŸฉ}
1715, 16eqtr4di 2784 . . . . . . . 8 ((๐ธ โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐ธ โˆˆ ๐‘‰) โ†’ ({๐ธ} ร— {๐ธ}) = {๐‘‚})
1817anidms 566 . . . . . . 7 (๐ธ โˆˆ ๐‘‰ โ†’ ({๐ธ} ร— {๐ธ}) = {๐‘‚})
1918ad2antlr 724 . . . . . 6 (((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐ธ โˆˆ ๐‘‰) โˆง (๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต)) โ†’ ({๐ธ} ร— {๐ธ}) = {๐‘‚})
2019xpeq1d 5698 . . . . 5 (((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐ธ โˆˆ ๐‘‰) โˆง (๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต)) โ†’ (({๐ธ} ร— {๐ธ}) ร— {๐‘‹}) = ({๐‘‚} ร— {๐‘‹}))
2120fneq1d 6636 . . . 4 (((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐ธ โˆˆ ๐‘‰) โˆง (๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต)) โ†’ ((({๐ธ} ร— {๐ธ}) ร— {๐‘‹}) Fn {๐‘‚} โ†” ({๐‘‚} ร— {๐‘‹}) Fn {๐‘‚}))
2214, 21mpbird 257 . . 3 (((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐ธ โˆˆ ๐‘‰) โˆง (๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต)) โ†’ (({๐ธ} ร— {๐ธ}) ร— {๐‘‹}) Fn {๐‘‚})
233a1i 11 . . . . 5 (๐‘‹ โˆˆ ๐ต โ†’ ๐‘‚ โˆˆ V)
24 fnsng 6594 . . . . 5 ((๐‘‚ โˆˆ V โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต) โ†’ {โŸจ๐‘‚, ๐‘ŒโŸฉ} Fn {๐‘‚})
2523, 24sylan 579 . . . 4 ((๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต) โ†’ {โŸจ๐‘‚, ๐‘ŒโŸฉ} Fn {๐‘‚})
2625adantl 481 . . 3 (((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐ธ โˆˆ ๐‘‰) โˆง (๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต)) โ†’ {โŸจ๐‘‚, ๐‘ŒโŸฉ} Fn {๐‘‚})
27 snex 5424 . . . 4 {๐‘‚} โˆˆ V
2827a1i 11 . . 3 (((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐ธ โˆˆ ๐‘‰) โˆง (๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต)) โ†’ {๐‘‚} โˆˆ V)
29 inidm 4213 . . 3 ({๐‘‚} โˆฉ {๐‘‚}) = {๐‘‚}
30 elsni 4640 . . . . 5 (๐‘ฅ โˆˆ {๐‘‚} โ†’ ๐‘ฅ = ๐‘‚)
31 fveq2 6885 . . . . . . 7 (๐‘ฅ = ๐‘‚ โ†’ ((({๐ธ} ร— {๐ธ}) ร— {๐‘‹})โ€˜๐‘ฅ) = ((({๐ธ} ร— {๐ธ}) ร— {๐‘‹})โ€˜๐‘‚))
3215anidms 566 . . . . . . . . . . . 12 (๐ธ โˆˆ ๐‘‰ โ†’ ({๐ธ} ร— {๐ธ}) = {โŸจ๐ธ, ๐ธโŸฉ})
3332ad2antlr 724 . . . . . . . . . . 11 (((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐ธ โˆˆ ๐‘‰) โˆง (๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต)) โ†’ ({๐ธ} ร— {๐ธ}) = {โŸจ๐ธ, ๐ธโŸฉ})
3433xpeq1d 5698 . . . . . . . . . 10 (((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐ธ โˆˆ ๐‘‰) โˆง (๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต)) โ†’ (({๐ธ} ร— {๐ธ}) ร— {๐‘‹}) = ({โŸจ๐ธ, ๐ธโŸฉ} ร— {๐‘‹}))
352a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘Œ โˆˆ ๐ต โ†’ โŸจ๐ธ, ๐ธโŸฉ โˆˆ V)
3635anim2i 616 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต) โ†’ (๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง โŸจ๐ธ, ๐ธโŸฉ โˆˆ V))
3736ancomd 461 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต) โ†’ (โŸจ๐ธ, ๐ธโŸฉ โˆˆ V โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต))
38 xpsng 7133 . . . . . . . . . . . . 13 ((โŸจ๐ธ, ๐ธโŸฉ โˆˆ V โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โ†’ ({โŸจ๐ธ, ๐ธโŸฉ} ร— {๐‘‹}) = {โŸจโŸจ๐ธ, ๐ธโŸฉ, ๐‘‹โŸฉ})
391eqcomi 2735 . . . . . . . . . . . . . . 15 โŸจ๐ธ, ๐ธโŸฉ = ๐‘‚
4039opeq1i 4871 . . . . . . . . . . . . . 14 โŸจโŸจ๐ธ, ๐ธโŸฉ, ๐‘‹โŸฉ = โŸจ๐‘‚, ๐‘‹โŸฉ
4140sneqi 4634 . . . . . . . . . . . . 13 {โŸจโŸจ๐ธ, ๐ธโŸฉ, ๐‘‹โŸฉ} = {โŸจ๐‘‚, ๐‘‹โŸฉ}
4238, 41eqtrdi 2782 . . . . . . . . . . . 12 ((โŸจ๐ธ, ๐ธโŸฉ โˆˆ V โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โ†’ ({โŸจ๐ธ, ๐ธโŸฉ} ร— {๐‘‹}) = {โŸจ๐‘‚, ๐‘‹โŸฉ})
4337, 42syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต) โ†’ ({โŸจ๐ธ, ๐ธโŸฉ} ร— {๐‘‹}) = {โŸจ๐‘‚, ๐‘‹โŸฉ})
4443adantl 481 . . . . . . . . . 10 (((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐ธ โˆˆ ๐‘‰) โˆง (๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต)) โ†’ ({โŸจ๐ธ, ๐ธโŸฉ} ร— {๐‘‹}) = {โŸจ๐‘‚, ๐‘‹โŸฉ})
4534, 44eqtrd 2766 . . . . . . . . 9 (((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐ธ โˆˆ ๐‘‰) โˆง (๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต)) โ†’ (({๐ธ} ร— {๐ธ}) ร— {๐‘‹}) = {โŸจ๐‘‚, ๐‘‹โŸฉ})
4645fveq1d 6887 . . . . . . . 8 (((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐ธ โˆˆ ๐‘‰) โˆง (๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต)) โ†’ ((({๐ธ} ร— {๐ธ}) ร— {๐‘‹})โ€˜๐‘‚) = ({โŸจ๐‘‚, ๐‘‹โŸฉ}โ€˜๐‘‚))
47 fvsng 7174 . . . . . . . . . 10 ((๐‘‚ โˆˆ V โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โ†’ ({โŸจ๐‘‚, ๐‘‹โŸฉ}โ€˜๐‘‚) = ๐‘‹)
486, 47syl 17 . . . . . . . . 9 ((๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต) โ†’ ({โŸจ๐‘‚, ๐‘‹โŸฉ}โ€˜๐‘‚) = ๐‘‹)
4948adantl 481 . . . . . . . 8 (((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐ธ โˆˆ ๐‘‰) โˆง (๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต)) โ†’ ({โŸจ๐‘‚, ๐‘‹โŸฉ}โ€˜๐‘‚) = ๐‘‹)
5046, 49eqtrd 2766 . . . . . . 7 (((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐ธ โˆˆ ๐‘‰) โˆง (๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต)) โ†’ ((({๐ธ} ร— {๐ธ}) ร— {๐‘‹})โ€˜๐‘‚) = ๐‘‹)
5131, 50sylan9eq 2786 . . . . . 6 ((๐‘ฅ = ๐‘‚ โˆง ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐ธ โˆˆ ๐‘‰) โˆง (๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต))) โ†’ ((({๐ธ} ร— {๐ธ}) ร— {๐‘‹})โ€˜๐‘ฅ) = ๐‘‹)
5251ex 412 . . . . 5 (๐‘ฅ = ๐‘‚ โ†’ (((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐ธ โˆˆ ๐‘‰) โˆง (๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต)) โ†’ ((({๐ธ} ร— {๐ธ}) ร— {๐‘‹})โ€˜๐‘ฅ) = ๐‘‹))
5330, 52syl 17 . . . 4 (๐‘ฅ โˆˆ {๐‘‚} โ†’ (((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐ธ โˆˆ ๐‘‰) โˆง (๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต)) โ†’ ((({๐ธ} ร— {๐ธ}) ร— {๐‘‹})โ€˜๐‘ฅ) = ๐‘‹))
5453impcom 407 . . 3 ((((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐ธ โˆˆ ๐‘‰) โˆง (๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต)) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ {๐‘‚}) โ†’ ((({๐ธ} ร— {๐ธ}) ร— {๐‘‹})โ€˜๐‘ฅ) = ๐‘‹)
55 fveq2 6885 . . . . . . 7 (๐‘ฅ = ๐‘‚ โ†’ ({โŸจ๐‘‚, ๐‘ŒโŸฉ}โ€˜๐‘ฅ) = ({โŸจ๐‘‚, ๐‘ŒโŸฉ}โ€˜๐‘‚))
56 fvsng 7174 . . . . . . . . 9 ((๐‘‚ โˆˆ V โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต) โ†’ ({โŸจ๐‘‚, ๐‘ŒโŸฉ}โ€˜๐‘‚) = ๐‘Œ)
5723, 56sylan 579 . . . . . . . 8 ((๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต) โ†’ ({โŸจ๐‘‚, ๐‘ŒโŸฉ}โ€˜๐‘‚) = ๐‘Œ)
5857adantl 481 . . . . . . 7 (((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐ธ โˆˆ ๐‘‰) โˆง (๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต)) โ†’ ({โŸจ๐‘‚, ๐‘ŒโŸฉ}โ€˜๐‘‚) = ๐‘Œ)
5955, 58sylan9eq 2786 . . . . . 6 ((๐‘ฅ = ๐‘‚ โˆง ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐ธ โˆˆ ๐‘‰) โˆง (๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต))) โ†’ ({โŸจ๐‘‚, ๐‘ŒโŸฉ}โ€˜๐‘ฅ) = ๐‘Œ)
6059ex 412 . . . . 5 (๐‘ฅ = ๐‘‚ โ†’ (((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐ธ โˆˆ ๐‘‰) โˆง (๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต)) โ†’ ({โŸจ๐‘‚, ๐‘ŒโŸฉ}โ€˜๐‘ฅ) = ๐‘Œ))
6130, 60syl 17 . . . 4 (๐‘ฅ โˆˆ {๐‘‚} โ†’ (((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐ธ โˆˆ ๐‘‰) โˆง (๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต)) โ†’ ({โŸจ๐‘‚, ๐‘ŒโŸฉ}โ€˜๐‘ฅ) = ๐‘Œ))
6261impcom 407 . . 3 ((((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐ธ โˆˆ ๐‘‰) โˆง (๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต)) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ {๐‘‚}) โ†’ ({โŸจ๐‘‚, ๐‘ŒโŸฉ}โ€˜๐‘ฅ) = ๐‘Œ)
6322, 26, 28, 28, 29, 54, 62offval 7676 . 2 (((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐ธ โˆˆ ๐‘‰) โˆง (๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต)) โ†’ ((({๐ธ} ร— {๐ธ}) ร— {๐‘‹}) โˆ˜f (.rโ€˜๐‘…){โŸจ๐‘‚, ๐‘ŒโŸฉ}) = (๐‘ฅ โˆˆ {๐‘‚} โ†ฆ (๐‘‹(.rโ€˜๐‘…)๐‘Œ)))
64 simprl 768 . . 3 (((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐ธ โˆˆ ๐‘‰) โˆง (๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต)) โ†’ ๐‘‹ โˆˆ ๐ต)
65 simpr 484 . . . . . 6 ((๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต) โ†’ ๐‘Œ โˆˆ ๐ต)
6665anim2i 616 . . . . 5 (((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐ธ โˆˆ ๐‘‰) โˆง (๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต)) โ†’ ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐ธ โˆˆ ๐‘‰) โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต))
67 df-3an 1086 . . . . 5 ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐ธ โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต) โ†” ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐ธ โˆˆ ๐‘‰) โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต))
6866, 67sylibr 233 . . . 4 (((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐ธ โˆˆ ๐‘‰) โˆง (๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต)) โ†’ (๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐ธ โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต))
69 mat1dim.a . . . . 5 ๐ด = ({๐ธ} Mat ๐‘…)
70 mat1dim.b . . . . 5 ๐ต = (Baseโ€˜๐‘…)
7169, 70, 1mat1dimbas 22329 . . . 4 ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐ธ โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต) โ†’ {โŸจ๐‘‚, ๐‘ŒโŸฉ} โˆˆ (Baseโ€˜๐ด))
7268, 71syl 17 . . 3 (((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐ธ โˆˆ ๐‘‰) โˆง (๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต)) โ†’ {โŸจ๐‘‚, ๐‘ŒโŸฉ} โˆˆ (Baseโ€˜๐ด))
73 eqid 2726 . . . 4 (Baseโ€˜๐ด) = (Baseโ€˜๐ด)
74 eqid 2726 . . . 4 ( ยท๐‘  โ€˜๐ด) = ( ยท๐‘  โ€˜๐ด)
75 eqid 2726 . . . 4 (.rโ€˜๐‘…) = (.rโ€˜๐‘…)
76 eqid 2726 . . . 4 ({๐ธ} ร— {๐ธ}) = ({๐ธ} ร— {๐ธ})
7769, 73, 70, 74, 75, 76matvsca2 22285 . . 3 ((๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง {โŸจ๐‘‚, ๐‘ŒโŸฉ} โˆˆ (Baseโ€˜๐ด)) โ†’ (๐‘‹( ยท๐‘  โ€˜๐ด){โŸจ๐‘‚, ๐‘ŒโŸฉ}) = ((({๐ธ} ร— {๐ธ}) ร— {๐‘‹}) โˆ˜f (.rโ€˜๐‘…){โŸจ๐‘‚, ๐‘ŒโŸฉ}))
7864, 72, 77syl2anc 583 . 2 (((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐ธ โˆˆ ๐‘‰) โˆง (๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต)) โ†’ (๐‘‹( ยท๐‘  โ€˜๐ด){โŸจ๐‘‚, ๐‘ŒโŸฉ}) = ((({๐ธ} ร— {๐ธ}) ร— {๐‘‹}) โˆ˜f (.rโ€˜๐‘…){โŸจ๐‘‚, ๐‘ŒโŸฉ}))
79 3anass 1092 . . . . . 6 ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต) โ†” (๐‘… โˆˆ Ring โˆง (๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต)))
8079biimpri 227 . . . . 5 ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง (๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต)) โ†’ (๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต))
8180adantlr 712 . . . 4 (((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐ธ โˆˆ ๐‘‰) โˆง (๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต)) โ†’ (๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต))
8270, 75ringcl 20155 . . . 4 ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต) โ†’ (๐‘‹(.rโ€˜๐‘…)๐‘Œ) โˆˆ ๐ต)
8381, 82syl 17 . . 3 (((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐ธ โˆˆ ๐‘‰) โˆง (๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต)) โ†’ (๐‘‹(.rโ€˜๐‘…)๐‘Œ) โˆˆ ๐ต)
84 fmptsn 7161 . . 3 ((๐‘‚ โˆˆ V โˆง (๐‘‹(.rโ€˜๐‘…)๐‘Œ) โˆˆ ๐ต) โ†’ {โŸจ๐‘‚, (๐‘‹(.rโ€˜๐‘…)๐‘Œ)โŸฉ} = (๐‘ฅ โˆˆ {๐‘‚} โ†ฆ (๐‘‹(.rโ€˜๐‘…)๐‘Œ)))
853, 83, 84sylancr 586 . 2 (((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐ธ โˆˆ ๐‘‰) โˆง (๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต)) โ†’ {โŸจ๐‘‚, (๐‘‹(.rโ€˜๐‘…)๐‘Œ)โŸฉ} = (๐‘ฅ โˆˆ {๐‘‚} โ†ฆ (๐‘‹(.rโ€˜๐‘…)๐‘Œ)))
8663, 78, 853eqtr4d 2776 1 (((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐ธ โˆˆ ๐‘‰) โˆง (๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต)) โ†’ (๐‘‹( ยท๐‘  โ€˜๐ด){โŸจ๐‘‚, ๐‘ŒโŸฉ}) = {โŸจ๐‘‚, (๐‘‹(.rโ€˜๐‘…)๐‘Œ)โŸฉ})
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 395   โˆง w3a 1084   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098  Vcvv 3468  {csn 4623  โŸจcop 4629   โ†ฆ cmpt 5224   ร— cxp 5667   Fn wfn 6532  โ€˜cfv 6537  (class class class)co 7405   โˆ˜f cof 7665  Basecbs 17153  .rcmulr 17207   ยท๐‘  cvsca 17210  Ringcrg 20138   Mat cmat 22262
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-tp 4628  df-op 4630  df-ot 4632  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-of 7667  df-om 7853  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-supp 8147  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-1o 8467  df-er 8705  df-map 8824  df-ixp 8894  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-fsupp 9364  df-sup 9439  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-4 12281  df-5 12282  df-6 12283  df-7 12284  df-8 12285  df-9 12286  df-n0 12477  df-z 12563  df-dec 12682  df-uz 12827  df-fz 13491  df-struct 17089  df-sets 17106  df-slot 17124  df-ndx 17136  df-base 17154  df-ress 17183  df-plusg 17219  df-mulr 17220  df-sca 17222  df-vsca 17223  df-ip 17224  df-tset 17225  df-ple 17226  df-ds 17228  df-hom 17230  df-cco 17231  df-0g 17396  df-prds 17402  df-pws 17404  df-mgm 18573  df-sgrp 18652  df-mnd 18668  df-mgp 20040  df-ring 20140  df-sra 21021  df-rgmod 21022  df-dsmm 21627  df-frlm 21642  df-mat 22263
This theorem is referenced by:  mat1scmat  22396
  Copyright terms: Public domain W3C validator