Theorem mat1dimscm 22770

Description: The scalar multiplication in the algebra of matrices with dimension 1. (Contributed by AV, 16-Aug-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
mat1dim.a	⊢ 𝐴 = ({𝐸} Mat 𝑅)
mat1dim.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
mat1dim.o	⊢ 𝑂 = ⟨𝐸, 𝐸⟩

Assertion

Ref	Expression
mat1dimscm	⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → (𝑋( ·𝑠 ‘𝐴){⟨𝑂, 𝑌⟩}) = {⟨𝑂, (𝑋(.r‘𝑅)𝑌)⟩})

Proof of Theorem mat1dimscm

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mat1dim.o	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑂 = ⟨𝐸, 𝐸⟩
2		opex 5432	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ⟨𝐸, 𝐸⟩ ∈ V
3	1, 2	eqeltri 2857	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑂 ∈ V
4	3	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑌 ∈ 𝐵 → 𝑂 ∈ V)
5	4	anim2i 629	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑂 ∈ V))
6	5	ancomd 467	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑂 ∈ V ∧ 𝑋 ∈ 𝐵))
7		fnsng 6584	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑂 ∈ V ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → {⟨𝑂, 𝑋⟩} Fn {𝑂})
8	6, 7	syl 18	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → {⟨𝑂, 𝑋⟩} Fn {𝑂})
9	8	adantl 487	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → {⟨𝑂, 𝑋⟩} Fn {𝑂})
10		xpsng 7132	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑂 ∈ V ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ({𝑂} × {𝑋}) = {⟨𝑂, 𝑋⟩})
11	6, 10	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ({𝑂} × {𝑋}) = {⟨𝑂, 𝑋⟩})
12	11	adantl 487	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → ({𝑂} × {𝑋}) = {⟨𝑂, 𝑋⟩})
13	12	fneq1d 6624	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → (({𝑂} × {𝑋}) Fn {𝑂} ↔ {⟨𝑂, 𝑋⟩} Fn {𝑂}))
14	9, 13	mpbird 260	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → ({𝑂} × {𝑋}) Fn {𝑂})
15		xpsng 7132	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐸 ∈ 𝑉 ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) → ({𝐸} × {𝐸}) = {⟨𝐸, 𝐸⟩})
16	1	sneqi 4595	. . . . . . . . 9 ⊢ {𝑂} = {⟨𝐸, 𝐸⟩}
17	15, 16	eqtr4di 2814	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐸 ∈ 𝑉 ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) → ({𝐸} × {𝐸}) = {𝑂})
18	17	anidms 577	. . . . . . 7 ⊢ (𝐸 ∈ 𝑉 → ({𝐸} × {𝐸}) = {𝑂})
19	18	ad2antlr 740	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → ({𝐸} × {𝐸}) = {𝑂})
20	19	xpeq1d 5680	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → (({𝐸} × {𝐸}) × {𝑋}) = ({𝑂} × {𝑋}))
21	20	fneq1d 6624	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → ((({𝐸} × {𝐸}) × {𝑋}) Fn {𝑂} ↔ ({𝑂} × {𝑋}) Fn {𝑂}))
22	14, 21	mpbird 260	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → (({𝐸} × {𝐸}) × {𝑋}) Fn {𝑂})
23	3	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐵 → 𝑂 ∈ V)
24		fnsng 6584	. . . . 5 ⊢ ((𝑂 ∈ V ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → {⟨𝑂, 𝑌⟩} Fn {𝑂})
25	23, 24	sylan 592	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → {⟨𝑂, 𝑌⟩} Fn {𝑂})
26	25	adantl 487	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → {⟨𝑂, 𝑌⟩} Fn {𝑂})
27		snex 5397	. . . 4 ⊢ {𝑂} ∈ V
28	27	a1i 11	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → {𝑂} ∈ V)
29		inidm 4172	. . 3 ⊢ ({𝑂} ∩ {𝑂}) = {𝑂}
30		elsni 4601	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑂} → 𝑥 = 𝑂)
31		fveq2 6877	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑂 → ((({𝐸} × {𝐸}) × {𝑋})‘𝑥) = ((({𝐸} × {𝐸}) × {𝑋})‘𝑂))
32	15	anidms 577	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐸 ∈ 𝑉 → ({𝐸} × {𝐸}) = {⟨𝐸, 𝐸⟩})
33	32	ad2antlr 740	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → ({𝐸} × {𝐸}) = {⟨𝐸, 𝐸⟩})
34	33	xpeq1d 5680	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → (({𝐸} × {𝐸}) × {𝑋}) = ({⟨𝐸, 𝐸⟩} × {𝑋}))
35	2	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑌 ∈ 𝐵 → ⟨𝐸, 𝐸⟩ ∈ V)
36	35	anim2i 629	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ ⟨𝐸, 𝐸⟩ ∈ V))
37	36	ancomd 467	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (⟨𝐸, 𝐸⟩ ∈ V ∧ 𝑋 ∈ 𝐵))
38		xpsng 7132	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((⟨𝐸, 𝐸⟩ ∈ V ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ({⟨𝐸, 𝐸⟩} × {𝑋}) = {⟨⟨𝐸, 𝐸⟩, 𝑋⟩})
39	1	eqcomi 2770	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ⟨𝐸, 𝐸⟩ = 𝑂
40	39	opeq1i 4836	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ⟨⟨𝐸, 𝐸⟩, 𝑋⟩ = ⟨𝑂, 𝑋⟩
41	40	sneqi 4595	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ {⟨⟨𝐸, 𝐸⟩, 𝑋⟩} = {⟨𝑂, 𝑋⟩}
42	38, 41	eqtrdi 2812	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((⟨𝐸, 𝐸⟩ ∈ V ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ({⟨𝐸, 𝐸⟩} × {𝑋}) = {⟨𝑂, 𝑋⟩})
43	37, 42	syl 18	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ({⟨𝐸, 𝐸⟩} × {𝑋}) = {⟨𝑂, 𝑋⟩})
44	43	adantl 487	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → ({⟨𝐸, 𝐸⟩} × {𝑋}) = {⟨𝑂, 𝑋⟩})
45	34, 44	eqtrd 2796	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → (({𝐸} × {𝐸}) × {𝑋}) = {⟨𝑂, 𝑋⟩})
46	45	fveq1d 6879	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → ((({𝐸} × {𝐸}) × {𝑋})‘𝑂) = ({⟨𝑂, 𝑋⟩}‘𝑂))
47		fvsng 7177	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑂 ∈ V ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ({⟨𝑂, 𝑋⟩}‘𝑂) = 𝑋)
48	6, 47	syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ({⟨𝑂, 𝑋⟩}‘𝑂) = 𝑋)
49	48	adantl 487	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → ({⟨𝑂, 𝑋⟩}‘𝑂) = 𝑋)
50	46, 49	eqtrd 2796	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → ((({𝐸} × {𝐸}) × {𝑋})‘𝑂) = 𝑋)
51	31, 50	sylan9eq 2816	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 = 𝑂 ∧ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵))) → ((({𝐸} × {𝐸}) × {𝑋})‘𝑥) = 𝑋)
52	51	ex 418	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑂 → (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → ((({𝐸} × {𝐸}) × {𝑋})‘𝑥) = 𝑋))
53	30, 52	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑂} → (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → ((({𝐸} × {𝐸}) × {𝑋})‘𝑥) = 𝑋))
54	53	impcom 413	. . 3 ⊢ ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑥 ∈ {𝑂}) → ((({𝐸} × {𝐸}) × {𝑋})‘𝑥) = 𝑋)
55		fveq2 6877	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑂 → ({⟨𝑂, 𝑌⟩}‘𝑥) = ({⟨𝑂, 𝑌⟩}‘𝑂))
56		fvsng 7177	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑂 ∈ V ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ({⟨𝑂, 𝑌⟩}‘𝑂) = 𝑌)
57	23, 56	sylan 592	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ({⟨𝑂, 𝑌⟩}‘𝑂) = 𝑌)
58	57	adantl 487	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → ({⟨𝑂, 𝑌⟩}‘𝑂) = 𝑌)
59	55, 58	sylan9eq 2816	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 = 𝑂 ∧ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵))) → ({⟨𝑂, 𝑌⟩}‘𝑥) = 𝑌)
60	59	ex 418	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑂 → (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → ({⟨𝑂, 𝑌⟩}‘𝑥) = 𝑌))
61	30, 60	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑂} → (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → ({⟨𝑂, 𝑌⟩}‘𝑥) = 𝑌))
62	61	impcom 413	. . 3 ⊢ ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑥 ∈ {𝑂}) → ({⟨𝑂, 𝑌⟩}‘𝑥) = 𝑌)
63	22, 26, 28, 28, 29, 54, 62	offval 7691	. 2 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → ((({𝐸} × {𝐸}) × {𝑋}) ∘f (.r‘𝑅){⟨𝑂, 𝑌⟩}) = (𝑥 ∈ {𝑂} ↦ (𝑋(.r‘𝑅)𝑌)))
64		simprl 783	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → 𝑋 ∈ 𝐵)
65		simpr 490	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → 𝑌 ∈ 𝐵)
66	65	anim2i 629	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) ∧ 𝑌 ∈ 𝐵))
67		df-3an 1105	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ↔ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) ∧ 𝑌 ∈ 𝐵))
68	66, 67	sylibr 237	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → (𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵))
69		mat1dim.a	. . . . 5 ⊢ 𝐴 = ({𝐸} Mat 𝑅)
70		mat1dim.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
71	69, 70, 1	mat1dimbas 22767	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → {⟨𝑂, 𝑌⟩} ∈ (Base‘𝐴))
72	68, 71	syl 18	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → {⟨𝑂, 𝑌⟩} ∈ (Base‘𝐴))
73		eqid 2761	. . . 4 ⊢ (Base‘𝐴) = (Base‘𝐴)
74		eqid 2761	. . . 4 ⊢ ( ·𝑠 ‘𝐴) = ( ·𝑠 ‘𝐴)
75		eqid 2761	. . . 4 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
76		eqid 2761	. . . 4 ⊢ ({𝐸} × {𝐸}) = ({𝐸} × {𝐸})
77	69, 73, 70, 74, 75, 76	matvsca2 22723	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ {⟨𝑂, 𝑌⟩} ∈ (Base‘𝐴)) → (𝑋( ·𝑠 ‘𝐴){⟨𝑂, 𝑌⟩}) = ((({𝐸} × {𝐸}) × {𝑋}) ∘f (.r‘𝑅){⟨𝑂, 𝑌⟩}))
78	64, 72, 77	syl2anc 596	. 2 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → (𝑋( ·𝑠 ‘𝐴){⟨𝑂, 𝑌⟩}) = ((({𝐸} × {𝐸}) × {𝑋}) ∘f (.r‘𝑅){⟨𝑂, 𝑌⟩}))
79		3anass 1111	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ↔ (𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)))
80	79	biimpri 231	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → (𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵))
81	80	adantlr 728	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → (𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵))
82	70, 75	ringcl 20457	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋(.r‘𝑅)𝑌) ∈ 𝐵)
83	81, 82	syl 18	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → (𝑋(.r‘𝑅)𝑌) ∈ 𝐵)
84		fmptsn 7164	. . 3 ⊢ ((𝑂 ∈ V ∧ (𝑋(.r‘𝑅)𝑌) ∈ 𝐵) → {⟨𝑂, (𝑋(.r‘𝑅)𝑌)⟩} = (𝑥 ∈ {𝑂} ↦ (𝑋(.r‘𝑅)𝑌)))
85	3, 83, 84	sylancr 599	. 2 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → {⟨𝑂, (𝑋(.r‘𝑅)𝑌)⟩} = (𝑥 ∈ {𝑂} ↦ (𝑋(.r‘𝑅)𝑌)))
86	63, 78, 85	3eqtr4d 2806	1 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸 ∈ 𝑉) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → (𝑋( ·𝑠 ‘𝐴){⟨𝑂, 𝑌⟩}) = {⟨𝑂, (𝑋(.r‘𝑅)𝑌)⟩})

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  Vcvv 3451  {csn 4584  ⟨cop 4590   ↦ cmpt 5186   × cxp 5649   Fn wfn 6526  ‘cfv 6531  (class class class)co 7412   ∘_f cof 7680  Basecbs 17367  ._rcmulr 17409   ·_𝑠 cvsca 17412  Ringcrg 20439   Mat cmat 22702

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-rep 5232  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7740  ax-cnex 11237  ax-resscn 11238  ax-1cn 11239  ax-icn 11240  ax-addcl 11241  ax-addrcl 11242  ax-mulcl 11243  ax-mulrcl 11244  ax-mulcom 11245  ax-addass 11246  ax-mulass 11247  ax-distr 11248  ax-i2m1 11249  ax-1ne0 11250  ax-1rid 11251  ax-rnegex 11252  ax-rrecex 11253  ax-cnre 11254  ax-pre-lttri 11255  ax-pre-lttrn 11256  ax-pre-ltadd 11257  ax-pre-mulgt0 11258

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-ot 4593  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6297  df-ord 6358  df-on 6359  df-lim 6360  df-suc 6361  df-iota 6487  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-of 7682  df-om 7867  df-1st 7990  df-2nd 7991  df-supp 8162  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8363  df-rdg 8402  df-1o 8460  df-er 8701  df-map 8833  df-ixp 8910  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-fin 8961  df-fsupp 9338  df-sup 9418  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11524  df-neg 11525  df-nn 12317  df-2 12386  df-3 12387  df-4 12388  df-5 12389  df-6 12390  df-7 12391  df-8 12392  df-9 12393  df-n0 12588  df-z 12675  df-dec 12796  df-uz 12947  df-fz 13621  df-struct 17305  df-sets 17322  df-slot 17340  df-ndx 17352  df-base 17368  df-ress 17389  df-plusg 17421  df-mulr 17422  df-sca 17424  df-vsca 17425  df-ip 17426  df-tset 17427  df-ple 17428  df-ds 17430  df-hom 17432  df-cco 17433  df-0g 17592  df-prds 17598  df-pws 17600  df-mgm 18796  df-sgrp 18888  df-mnd 18904  df-mgp 20341  df-ring 20441  df-sra 21428  df-rgmod 21429  df-dsmm 22018  df-frlm 22033  df-mat 22703

This theorem is used by:  mat1scmat  22834