MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mat1dimscm Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mat1dimscm 20607
Description: The scalar multiplication in the algebra of matrices with dimension 1. (Contributed by AV, 16-Aug-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
mat1dim.a 𝐴 = ({𝐸} Mat 𝑅)
mat1dim.b 𝐵 = (Base‘𝑅)
mat1dim.o 𝑂 = ⟨𝐸, 𝐸
Assertion
Ref Expression
mat1dimscm (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸𝑉) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵)) → (𝑋( ·𝑠𝐴){⟨𝑂, 𝑌⟩}) = {⟨𝑂, (𝑋(.r𝑅)𝑌)⟩})

Proof of Theorem mat1dimscm
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mat1dim.o . . . . . . . . . . 11 𝑂 = ⟨𝐸, 𝐸
2 opex 5123 . . . . . . . . . . 11 𝐸, 𝐸⟩ ∈ V
31, 2eqeltri 2874 . . . . . . . . . 10 𝑂 ∈ V
43a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝑌𝐵𝑂 ∈ V)
54anim2i 611 . . . . . . . 8 ((𝑋𝐵𝑌𝐵) → (𝑋𝐵𝑂 ∈ V))
65ancomd 454 . . . . . . 7 ((𝑋𝐵𝑌𝐵) → (𝑂 ∈ V ∧ 𝑋𝐵))
7 fnsng 6152 . . . . . . 7 ((𝑂 ∈ V ∧ 𝑋𝐵) → {⟨𝑂, 𝑋⟩} Fn {𝑂})
86, 7syl 17 . . . . . 6 ((𝑋𝐵𝑌𝐵) → {⟨𝑂, 𝑋⟩} Fn {𝑂})
98adantl 474 . . . . 5 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸𝑉) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵)) → {⟨𝑂, 𝑋⟩} Fn {𝑂})
10 xpsng 6633 . . . . . . . 8 ((𝑂 ∈ V ∧ 𝑋𝐵) → ({𝑂} × {𝑋}) = {⟨𝑂, 𝑋⟩})
116, 10syl 17 . . . . . . 7 ((𝑋𝐵𝑌𝐵) → ({𝑂} × {𝑋}) = {⟨𝑂, 𝑋⟩})
1211adantl 474 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸𝑉) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵)) → ({𝑂} × {𝑋}) = {⟨𝑂, 𝑋⟩})
1312fneq1d 6192 . . . . 5 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸𝑉) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵)) → (({𝑂} × {𝑋}) Fn {𝑂} ↔ {⟨𝑂, 𝑋⟩} Fn {𝑂}))
149, 13mpbird 249 . . . 4 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸𝑉) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵)) → ({𝑂} × {𝑋}) Fn {𝑂})
15 xpsng 6633 . . . . . . . . 9 ((𝐸𝑉𝐸𝑉) → ({𝐸} × {𝐸}) = {⟨𝐸, 𝐸⟩})
161sneqi 4379 . . . . . . . . 9 {𝑂} = {⟨𝐸, 𝐸⟩}
1715, 16syl6eqr 2851 . . . . . . . 8 ((𝐸𝑉𝐸𝑉) → ({𝐸} × {𝐸}) = {𝑂})
1817anidms 563 . . . . . . 7 (𝐸𝑉 → ({𝐸} × {𝐸}) = {𝑂})
1918ad2antlr 719 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸𝑉) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵)) → ({𝐸} × {𝐸}) = {𝑂})
2019xpeq1d 5341 . . . . 5 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸𝑉) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵)) → (({𝐸} × {𝐸}) × {𝑋}) = ({𝑂} × {𝑋}))
2120fneq1d 6192 . . . 4 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸𝑉) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵)) → ((({𝐸} × {𝐸}) × {𝑋}) Fn {𝑂} ↔ ({𝑂} × {𝑋}) Fn {𝑂}))
2214, 21mpbird 249 . . 3 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸𝑉) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵)) → (({𝐸} × {𝐸}) × {𝑋}) Fn {𝑂})
233a1i 11 . . . . 5 (𝑋𝐵𝑂 ∈ V)
24 fnsng 6152 . . . . 5 ((𝑂 ∈ V ∧ 𝑌𝐵) → {⟨𝑂, 𝑌⟩} Fn {𝑂})
2523, 24sylan 576 . . . 4 ((𝑋𝐵𝑌𝐵) → {⟨𝑂, 𝑌⟩} Fn {𝑂})
2625adantl 474 . . 3 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸𝑉) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵)) → {⟨𝑂, 𝑌⟩} Fn {𝑂})
27 snex 5099 . . . 4 {𝑂} ∈ V
2827a1i 11 . . 3 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸𝑉) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵)) → {𝑂} ∈ V)
29 inidm 4018 . . 3 ({𝑂} ∩ {𝑂}) = {𝑂}
30 elsni 4385 . . . . 5 (𝑥 ∈ {𝑂} → 𝑥 = 𝑂)
31 fveq2 6411 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑂 → ((({𝐸} × {𝐸}) × {𝑋})‘𝑥) = ((({𝐸} × {𝐸}) × {𝑋})‘𝑂))
3215anidms 563 . . . . . . . . . . . 12 (𝐸𝑉 → ({𝐸} × {𝐸}) = {⟨𝐸, 𝐸⟩})
3332ad2antlr 719 . . . . . . . . . . 11 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸𝑉) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵)) → ({𝐸} × {𝐸}) = {⟨𝐸, 𝐸⟩})
3433xpeq1d 5341 . . . . . . . . . 10 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸𝑉) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵)) → (({𝐸} × {𝐸}) × {𝑋}) = ({⟨𝐸, 𝐸⟩} × {𝑋}))
352a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑌𝐵 → ⟨𝐸, 𝐸⟩ ∈ V)
3635anim2i 611 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑋𝐵𝑌𝐵) → (𝑋𝐵 ∧ ⟨𝐸, 𝐸⟩ ∈ V))
3736ancomd 454 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑋𝐵𝑌𝐵) → (⟨𝐸, 𝐸⟩ ∈ V ∧ 𝑋𝐵))
38 xpsng 6633 . . . . . . . . . . . . 13 ((⟨𝐸, 𝐸⟩ ∈ V ∧ 𝑋𝐵) → ({⟨𝐸, 𝐸⟩} × {𝑋}) = {⟨⟨𝐸, 𝐸⟩, 𝑋⟩})
391eqcomi 2808 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝐸, 𝐸⟩ = 𝑂
4039opeq1i 4596 . . . . . . . . . . . . . 14 ⟨⟨𝐸, 𝐸⟩, 𝑋⟩ = ⟨𝑂, 𝑋
4140sneqi 4379 . . . . . . . . . . . . 13 {⟨⟨𝐸, 𝐸⟩, 𝑋⟩} = {⟨𝑂, 𝑋⟩}
4238, 41syl6eq 2849 . . . . . . . . . . . 12 ((⟨𝐸, 𝐸⟩ ∈ V ∧ 𝑋𝐵) → ({⟨𝐸, 𝐸⟩} × {𝑋}) = {⟨𝑂, 𝑋⟩})
4337, 42syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((𝑋𝐵𝑌𝐵) → ({⟨𝐸, 𝐸⟩} × {𝑋}) = {⟨𝑂, 𝑋⟩})
4443adantl 474 . . . . . . . . . 10 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸𝑉) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵)) → ({⟨𝐸, 𝐸⟩} × {𝑋}) = {⟨𝑂, 𝑋⟩})
4534, 44eqtrd 2833 . . . . . . . . 9 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸𝑉) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵)) → (({𝐸} × {𝐸}) × {𝑋}) = {⟨𝑂, 𝑋⟩})
4645fveq1d 6413 . . . . . . . 8 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸𝑉) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵)) → ((({𝐸} × {𝐸}) × {𝑋})‘𝑂) = ({⟨𝑂, 𝑋⟩}‘𝑂))
47 fvsng 6676 . . . . . . . . . 10 ((𝑂 ∈ V ∧ 𝑋𝐵) → ({⟨𝑂, 𝑋⟩}‘𝑂) = 𝑋)
486, 47syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝑋𝐵𝑌𝐵) → ({⟨𝑂, 𝑋⟩}‘𝑂) = 𝑋)
4948adantl 474 . . . . . . . 8 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸𝑉) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵)) → ({⟨𝑂, 𝑋⟩}‘𝑂) = 𝑋)
5046, 49eqtrd 2833 . . . . . . 7 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸𝑉) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵)) → ((({𝐸} × {𝐸}) × {𝑋})‘𝑂) = 𝑋)
5131, 50sylan9eq 2853 . . . . . 6 ((𝑥 = 𝑂 ∧ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸𝑉) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵))) → ((({𝐸} × {𝐸}) × {𝑋})‘𝑥) = 𝑋)
5251ex 402 . . . . 5 (𝑥 = 𝑂 → (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸𝑉) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵)) → ((({𝐸} × {𝐸}) × {𝑋})‘𝑥) = 𝑋))
5330, 52syl 17 . . . 4 (𝑥 ∈ {𝑂} → (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸𝑉) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵)) → ((({𝐸} × {𝐸}) × {𝑋})‘𝑥) = 𝑋))
5453impcom 397 . . 3 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸𝑉) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵)) ∧ 𝑥 ∈ {𝑂}) → ((({𝐸} × {𝐸}) × {𝑋})‘𝑥) = 𝑋)
55 fveq2 6411 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑂 → ({⟨𝑂, 𝑌⟩}‘𝑥) = ({⟨𝑂, 𝑌⟩}‘𝑂))
56 fvsng 6676 . . . . . . . . 9 ((𝑂 ∈ V ∧ 𝑌𝐵) → ({⟨𝑂, 𝑌⟩}‘𝑂) = 𝑌)
5723, 56sylan 576 . . . . . . . 8 ((𝑋𝐵𝑌𝐵) → ({⟨𝑂, 𝑌⟩}‘𝑂) = 𝑌)
5857adantl 474 . . . . . . 7 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸𝑉) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵)) → ({⟨𝑂, 𝑌⟩}‘𝑂) = 𝑌)
5955, 58sylan9eq 2853 . . . . . 6 ((𝑥 = 𝑂 ∧ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸𝑉) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵))) → ({⟨𝑂, 𝑌⟩}‘𝑥) = 𝑌)
6059ex 402 . . . . 5 (𝑥 = 𝑂 → (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸𝑉) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵)) → ({⟨𝑂, 𝑌⟩}‘𝑥) = 𝑌))
6130, 60syl 17 . . . 4 (𝑥 ∈ {𝑂} → (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸𝑉) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵)) → ({⟨𝑂, 𝑌⟩}‘𝑥) = 𝑌))
6261impcom 397 . . 3 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸𝑉) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵)) ∧ 𝑥 ∈ {𝑂}) → ({⟨𝑂, 𝑌⟩}‘𝑥) = 𝑌)
6322, 26, 28, 28, 29, 54, 62offval 7138 . 2 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸𝑉) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵)) → ((({𝐸} × {𝐸}) × {𝑋}) ∘𝑓 (.r𝑅){⟨𝑂, 𝑌⟩}) = (𝑥 ∈ {𝑂} ↦ (𝑋(.r𝑅)𝑌)))
64 simprl 788 . . 3 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸𝑉) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵)) → 𝑋𝐵)
65 simpr 478 . . . . . 6 ((𝑋𝐵𝑌𝐵) → 𝑌𝐵)
6665anim2i 611 . . . . 5 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸𝑉) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵)) → ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸𝑉) ∧ 𝑌𝐵))
67 df-3an 1110 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸𝑉𝑌𝐵) ↔ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸𝑉) ∧ 𝑌𝐵))
6866, 67sylibr 226 . . . 4 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸𝑉) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵)) → (𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸𝑉𝑌𝐵))
69 mat1dim.a . . . . 5 𝐴 = ({𝐸} Mat 𝑅)
70 mat1dim.b . . . . 5 𝐵 = (Base‘𝑅)
7169, 70, 1mat1dimbas 20604 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸𝑉𝑌𝐵) → {⟨𝑂, 𝑌⟩} ∈ (Base‘𝐴))
7268, 71syl 17 . . 3 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸𝑉) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵)) → {⟨𝑂, 𝑌⟩} ∈ (Base‘𝐴))
73 eqid 2799 . . . 4 (Base‘𝐴) = (Base‘𝐴)
74 eqid 2799 . . . 4 ( ·𝑠𝐴) = ( ·𝑠𝐴)
75 eqid 2799 . . . 4 (.r𝑅) = (.r𝑅)
76 eqid 2799 . . . 4 ({𝐸} × {𝐸}) = ({𝐸} × {𝐸})
7769, 73, 70, 74, 75, 76matvsca2 20559 . . 3 ((𝑋𝐵 ∧ {⟨𝑂, 𝑌⟩} ∈ (Base‘𝐴)) → (𝑋( ·𝑠𝐴){⟨𝑂, 𝑌⟩}) = ((({𝐸} × {𝐸}) × {𝑋}) ∘𝑓 (.r𝑅){⟨𝑂, 𝑌⟩}))
7864, 72, 77syl2anc 580 . 2 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸𝑉) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵)) → (𝑋( ·𝑠𝐴){⟨𝑂, 𝑌⟩}) = ((({𝐸} × {𝐸}) × {𝑋}) ∘𝑓 (.r𝑅){⟨𝑂, 𝑌⟩}))
79 3anass 1117 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ↔ (𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵)))
8079biimpri 220 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵)) → (𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵))
8180adantlr 707 . . . 4 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸𝑉) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵)) → (𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵))
8270, 75ringcl 18877 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → (𝑋(.r𝑅)𝑌) ∈ 𝐵)
8381, 82syl 17 . . 3 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸𝑉) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵)) → (𝑋(.r𝑅)𝑌) ∈ 𝐵)
84 fmptsn 6662 . . 3 ((𝑂 ∈ V ∧ (𝑋(.r𝑅)𝑌) ∈ 𝐵) → {⟨𝑂, (𝑋(.r𝑅)𝑌)⟩} = (𝑥 ∈ {𝑂} ↦ (𝑋(.r𝑅)𝑌)))
853, 83, 84sylancr 582 . 2 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸𝑉) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵)) → {⟨𝑂, (𝑋(.r𝑅)𝑌)⟩} = (𝑥 ∈ {𝑂} ↦ (𝑋(.r𝑅)𝑌)))
8663, 78, 853eqtr4d 2843 1 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐸𝑉) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵)) → (𝑋( ·𝑠𝐴){⟨𝑂, 𝑌⟩}) = {⟨𝑂, (𝑋(.r𝑅)𝑌)⟩})
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 385  w3a 1108   = wceq 1653  wcel 2157  Vcvv 3385  {csn 4368  cop 4374  cmpt 4922   × cxp 5310   Fn wfn 6096  cfv 6101  (class class class)co 6878  𝑓 cof 7129  Basecbs 16184  .rcmulr 16268   ·𝑠 cvsca 16271  Ringcrg 18863   Mat cmat 20538
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1891  ax-4 1905  ax-5 2006  ax-6 2072  ax-7 2107  ax-8 2159  ax-9 2166  ax-10 2185  ax-11 2200  ax-12 2213  ax-13 2377  ax-ext 2777  ax-rep 4964  ax-sep 4975  ax-nul 4983  ax-pow 5035  ax-pr 5097  ax-un 7183  ax-cnex 10280  ax-resscn 10281  ax-1cn 10282  ax-icn 10283  ax-addcl 10284  ax-addrcl 10285  ax-mulcl 10286  ax-mulrcl 10287  ax-mulcom 10288  ax-addass 10289  ax-mulass 10290  ax-distr 10291  ax-i2m1 10292  ax-1ne0 10293  ax-1rid 10294  ax-rnegex 10295  ax-rrecex 10296  ax-cnre 10297  ax-pre-lttri 10298  ax-pre-lttrn 10299  ax-pre-ltadd 10300  ax-pre-mulgt0 10301
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 386  df-or 875  df-3or 1109  df-3an 1110  df-tru 1657  df-ex 1876  df-nf 1880  df-sb 2065  df-mo 2591  df-eu 2609  df-clab 2786  df-cleq 2792  df-clel 2795  df-nfc 2930  df-ne 2972  df-nel 3075  df-ral 3094  df-rex 3095  df-reu 3096  df-rab 3098  df-v 3387  df-sbc 3634  df-csb 3729  df-dif 3772  df-un 3774  df-in 3776  df-ss 3783  df-pss 3785  df-nul 4116  df-if 4278  df-pw 4351  df-sn 4369  df-pr 4371  df-tp 4373  df-op 4375  df-ot 4377  df-uni 4629  df-int 4668  df-iun 4712  df-br 4844  df-opab 4906  df-mpt 4923  df-tr 4946  df-id 5220  df-eprel 5225  df-po 5233  df-so 5234  df-fr 5271  df-we 5273  df-xp 5318  df-rel 5319  df-cnv 5320  df-co 5321  df-dm 5322  df-rn 5323  df-res 5324  df-ima 5325  df-pred 5898  df-ord 5944  df-on 5945  df-lim 5946  df-suc 5947  df-iota 6064  df-fun 6103  df-fn 6104  df-f 6105  df-f1 6106  df-fo 6107  df-f1o 6108  df-fv 6109  df-riota 6839  df-ov 6881  df-oprab 6882  df-mpt2 6883  df-of 7131  df-om 7300  df-1st 7401  df-2nd 7402  df-supp 7533  df-wrecs 7645  df-recs 7707  df-rdg 7745  df-1o 7799  df-oadd 7803  df-er 7982  df-map 8097  df-ixp 8149  df-en 8196  df-dom 8197  df-sdom 8198  df-fin 8199  df-fsupp 8518  df-sup 8590  df-pnf 10365  df-mnf 10366  df-xr 10367  df-ltxr 10368  df-le 10369  df-sub 10558  df-neg 10559  df-nn 11313  df-2 11376  df-3 11377  df-4 11378  df-5 11379  df-6 11380  df-7 11381  df-8 11382  df-9 11383  df-n0 11581  df-z 11667  df-dec 11784  df-uz 11931  df-fz 12581  df-struct 16186  df-ndx 16187  df-slot 16188  df-base 16190  df-sets 16191  df-ress 16192  df-plusg 16280  df-mulr 16281  df-sca 16283  df-vsca 16284  df-ip 16285  df-tset 16286  df-ple 16287  df-ds 16289  df-hom 16291  df-cco 16292  df-0g 16417  df-prds 16423  df-pws 16425  df-mgm 17557  df-sgrp 17599  df-mnd 17610  df-mgp 18806  df-ring 18865  df-sra 19495  df-rgmod 19496  df-dsmm 20401  df-frlm 20416  df-mat 20539
This theorem is referenced by:  mat1scmat  20671
  Copyright terms: Public domain W3C validator