Theorem funbrafvb 47714

Description: Equivalence of function value and binary relation, analogous to funbrfvb 6916. (Contributed by Alexander van der Vekens, 25-May-2017.)

Assertion

Ref	Expression
funbrafvb	⊢ ((Fun 𝐹 ∧ 𝐴 ∈ dom 𝐹) → ((𝐹'''𝐴) = 𝐵 ↔ 𝐴𝐹𝐵))

Proof of Theorem funbrafvb

Step	Hyp	Ref	Expression
1		funfn 6547	. 2 ⊢ (Fun 𝐹 ↔ 𝐹 Fn dom 𝐹)
2		fnbrafvb 47712	. 2 ⊢ ((𝐹 Fn dom 𝐹 ∧ 𝐴 ∈ dom 𝐹) → ((𝐹'''𝐴) = 𝐵 ↔ 𝐴𝐹𝐵))
3	1, 2	sylanb 590	1 ⊢ ((Fun 𝐹 ∧ 𝐴 ∈ dom 𝐹) → ((𝐹'''𝐴) = 𝐵 ↔ 𝐴𝐹𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 399   = wceq 1559   ∈ wcel 2141   class class class wbr 5099  dom cdm 5645  Fun wfun 6511   Fn wfn 6512  '''cafv 47675

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-sep 5245  ax-nul 5255  ax-pr 5389

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-ral 3076  df-rex 3086  df-rab 3414  df-v 3455  df-sbc 3745  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-sn 4582  df-pr 4584  df-op 4588  df-uni 4865  df-int 4905  df-br 5100  df-opab 5162  df-id 5540  df-xp 5651  df-rel 5652  df-cnv 5653  df-co 5654  df-dm 5655  df-res 5657  df-iota 6473  df-fun 6519  df-fn 6520  df-fv 6525  df-aiota 47643  df-dfat 47677  df-afv 47678

This theorem is referenced by:  funbrafv  47716  funbrafv2b  47717  dfaimafn  47723