Theorem funbrafvb 45064

Description: Equivalence of function value and binary relation, analogous to funbrfvb 6885. (Contributed by Alexander van der Vekens, 25-May-2017.)

Assertion

Ref	Expression
funbrafvb	⊢ ((Fun 𝐹 ∧ 𝐴 ∈ dom 𝐹) → ((𝐹'''𝐴) = 𝐵 ↔ 𝐴𝐹𝐵))

Proof of Theorem funbrafvb

Step	Hyp	Ref	Expression
1		funfn 6519	. 2 ⊢ (Fun 𝐹 ↔ 𝐹 Fn dom 𝐹)
2		fnbrafvb 45062	. 2 ⊢ ((𝐹 Fn dom 𝐹 ∧ 𝐴 ∈ dom 𝐹) → ((𝐹'''𝐴) = 𝐵 ↔ 𝐴𝐹𝐵))
3	1, 2	sylanb 582	1 ⊢ ((Fun 𝐹 ∧ 𝐴 ∈ dom 𝐹) → ((𝐹'''𝐴) = 𝐵 ↔ 𝐴𝐹𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   class class class wbr 5097  dom cdm 5625  Fun wfun 6478   Fn wfn 6479  '''cafv 45025

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2708  ax-sep 5248  ax-nul 5255  ax-pr 5377

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rab 3405  df-v 3444  df-sbc 3732  df-csb 3848  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-nul 4275  df-if 4479  df-sn 4579  df-pr 4581  df-op 4585  df-uni 4858  df-int 4900  df-br 5098  df-opab 5160  df-id 5523  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-res 5637  df-iota 6436  df-fun 6486  df-fn 6487  df-fv 6492  df-aiota 44993  df-dfat 45027  df-afv 45028

This theorem is referenced by:  funbrafv  45066  funbrafv2b  45067  dfaimafn  45073