MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dvcnvrelem2 Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem dvcnvrelem2 25542
Description: Lemma for dvcnvre 25543. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Feb-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 8-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
dvcnvre.f (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ (𝑋–cn→ℝ))
dvcnvre.d (πœ‘ β†’ dom (ℝ D 𝐹) = 𝑋)
dvcnvre.z (πœ‘ β†’ Β¬ 0 ∈ ran (ℝ D 𝐹))
dvcnvre.1 (πœ‘ β†’ 𝐹:𝑋–1-1-ontoβ†’π‘Œ)
dvcnvre.c (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ 𝑋)
dvcnvre.r (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ ℝ+)
dvcnvre.s (πœ‘ β†’ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅)) βŠ† 𝑋)
dvcnvre.t 𝑇 = (topGenβ€˜ran (,))
dvcnvre.j 𝐽 = (TopOpenβ€˜β„‚fld)
dvcnvre.m 𝑀 = (𝐽 β†Ύt 𝑋)
dvcnvre.n 𝑁 = (𝐽 β†Ύt π‘Œ)
Assertion
Ref Expression
dvcnvrelem2 (πœ‘ β†’ ((πΉβ€˜πΆ) ∈ ((intβ€˜π‘‡)β€˜π‘Œ) ∧ ◑𝐹 ∈ ((𝑁 CnP 𝑀)β€˜(πΉβ€˜πΆ))))
Proof of Theorem dvcnvrelem2
StepHypRef Expression
1 dvcnvre.t . . . . 5 𝑇 = (topGenβ€˜ran (,))
2 retop 24285 . . . . 5 (topGenβ€˜ran (,)) ∈ Top
31, 2eqeltri 2829 . . . 4 𝑇 ∈ Top
4 dvcnvre.1 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐹:𝑋–1-1-ontoβ†’π‘Œ)
5 f1ofo 6840 . . . . . 6 (𝐹:𝑋–1-1-ontoβ†’π‘Œ β†’ 𝐹:𝑋–ontoβ†’π‘Œ)
6 forn 6808 . . . . . 6 (𝐹:𝑋–ontoβ†’π‘Œ β†’ ran 𝐹 = π‘Œ)
74, 5, 63syl 18 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ran 𝐹 = π‘Œ)
8 dvcnvre.f . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ (𝑋–cn→ℝ))
9 cncff 24416 . . . . . 6 (𝐹 ∈ (𝑋–cn→ℝ) β†’ 𝐹:π‘‹βŸΆβ„)
10 frn 6724 . . . . . 6 (𝐹:π‘‹βŸΆβ„ β†’ ran 𝐹 βŠ† ℝ)
118, 9, 103syl 18 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ran 𝐹 βŠ† ℝ)
127, 11eqsstrrd 4021 . . . 4 (πœ‘ β†’ π‘Œ βŠ† ℝ)
13 imassrn 6070 . . . . 5 (𝐹 β€œ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅))) βŠ† ran 𝐹
1413, 7sseqtrid 4034 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝐹 β€œ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅))) βŠ† π‘Œ)
15 uniretop 24286 . . . . . 6 ℝ = βˆͺ (topGenβ€˜ran (,))
161unieqi 4921 . . . . . 6 βˆͺ 𝑇 = βˆͺ (topGenβ€˜ran (,))
1715, 16eqtr4i 2763 . . . . 5 ℝ = βˆͺ 𝑇
1817ntrss 22566 . . . 4 ((𝑇 ∈ Top ∧ π‘Œ βŠ† ℝ ∧ (𝐹 β€œ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅))) βŠ† π‘Œ) β†’ ((intβ€˜π‘‡)β€˜(𝐹 β€œ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅)))) βŠ† ((intβ€˜π‘‡)β€˜π‘Œ))
193, 12, 14, 18mp3an2i 1466 . . 3 (πœ‘ β†’ ((intβ€˜π‘‡)β€˜(𝐹 β€œ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅)))) βŠ† ((intβ€˜π‘‡)β€˜π‘Œ))
20 dvcnvre.d . . . . 5 (πœ‘ β†’ dom (ℝ D 𝐹) = 𝑋)
21 dvcnvre.z . . . . 5 (πœ‘ β†’ Β¬ 0 ∈ ran (ℝ D 𝐹))
22 dvcnvre.c . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ 𝑋)
23 dvcnvre.r . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ ℝ+)
24 dvcnvre.s . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅)) βŠ† 𝑋)
258, 20, 21, 4, 22, 23, 24dvcnvrelem1 25541 . . . 4 (πœ‘ β†’ (πΉβ€˜πΆ) ∈ ((intβ€˜(topGenβ€˜ran (,)))β€˜(𝐹 β€œ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅)))))
261fveq2i 6894 . . . . 5 (intβ€˜π‘‡) = (intβ€˜(topGenβ€˜ran (,)))
2726fveq1i 6892 . . . 4 ((intβ€˜π‘‡)β€˜(𝐹 β€œ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅)))) = ((intβ€˜(topGenβ€˜ran (,)))β€˜(𝐹 β€œ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅))))
2825, 27eleqtrrdi 2844 . . 3 (πœ‘ β†’ (πΉβ€˜πΆ) ∈ ((intβ€˜π‘‡)β€˜(𝐹 β€œ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅)))))
2919, 28sseldd 3983 . 2 (πœ‘ β†’ (πΉβ€˜πΆ) ∈ ((intβ€˜π‘‡)β€˜π‘Œ))
30 f1ocnv 6845 . . . . . . 7 (𝐹:𝑋–1-1-ontoβ†’π‘Œ β†’ ◑𝐹:π‘Œβ€“1-1-onto→𝑋)
31 f1of 6833 . . . . . . 7 (◑𝐹:π‘Œβ€“1-1-onto→𝑋 β†’ ◑𝐹:π‘ŒβŸΆπ‘‹)
324, 30, 313syl 18 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ◑𝐹:π‘ŒβŸΆπ‘‹)
33 ffun 6720 . . . . . 6 (◑𝐹:π‘ŒβŸΆπ‘‹ β†’ Fun ◑𝐹)
34 funcnvres 6626 . . . . . 6 (Fun ◑𝐹 β†’ β—‘(𝐹 β†Ύ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅))) = (◑𝐹 β†Ύ (𝐹 β€œ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅)))))
3532, 33, 343syl 18 . . . . 5 (πœ‘ β†’ β—‘(𝐹 β†Ύ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅))) = (◑𝐹 β†Ύ (𝐹 β€œ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅)))))
36 dvbsss 25426 . . . . . . . . . . 11 dom (ℝ D 𝐹) βŠ† ℝ
3720, 36eqsstrrdi 4037 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝑋 βŠ† ℝ)
38 ax-resscn 11169 . . . . . . . . . 10 ℝ βŠ† β„‚
3937, 38sstrdi 3994 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝑋 βŠ† β„‚)
40 cncfss 24422 . . . . . . . . 9 ((((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅)) βŠ† 𝑋 ∧ 𝑋 βŠ† β„‚) β†’ ((𝐹 β€œ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅)))–cnβ†’((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅))) βŠ† ((𝐹 β€œ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅)))–cn→𝑋))
4124, 39, 40syl2anc 584 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ ((𝐹 β€œ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅)))–cnβ†’((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅))) βŠ† ((𝐹 β€œ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅)))–cn→𝑋))
42 f1of1 6832 . . . . . . . . . . 11 (𝐹:𝑋–1-1-ontoβ†’π‘Œ β†’ 𝐹:𝑋–1-1β†’π‘Œ)
434, 42syl 17 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝐹:𝑋–1-1β†’π‘Œ)
44 f1ores 6847 . . . . . . . . . 10 ((𝐹:𝑋–1-1β†’π‘Œ ∧ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅)) βŠ† 𝑋) β†’ (𝐹 β†Ύ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅))):((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅))–1-1-ontoβ†’(𝐹 β€œ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅))))
4543, 24, 44syl2anc 584 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (𝐹 β†Ύ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅))):((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅))–1-1-ontoβ†’(𝐹 β€œ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅))))
46 dvcnvre.j . . . . . . . . . . . . . . 15 𝐽 = (TopOpenβ€˜β„‚fld)
4746tgioo2 24326 . . . . . . . . . . . . . 14 (topGenβ€˜ran (,)) = (𝐽 β†Ύt ℝ)
481, 47eqtri 2760 . . . . . . . . . . . . 13 𝑇 = (𝐽 β†Ύt ℝ)
4948oveq1i 7421 . . . . . . . . . . . 12 (𝑇 β†Ύt ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅))) = ((𝐽 β†Ύt ℝ) β†Ύt ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅)))
5046cnfldtop 24307 . . . . . . . . . . . . 13 𝐽 ∈ Top
5124, 37sstrd 3992 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅)) βŠ† ℝ)
52 reex 11203 . . . . . . . . . . . . . 14 ℝ ∈ V
5352a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ ℝ ∈ V)
54 restabs 22676 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐽 ∈ Top ∧ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅)) βŠ† ℝ ∧ ℝ ∈ V) β†’ ((𝐽 β†Ύt ℝ) β†Ύt ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅))) = (𝐽 β†Ύt ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅))))
5550, 51, 53, 54mp3an2i 1466 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ ((𝐽 β†Ύt ℝ) β†Ύt ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅))) = (𝐽 β†Ύt ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅))))
5649, 55eqtrid 2784 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (𝑇 β†Ύt ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅))) = (𝐽 β†Ύt ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅))))
5737, 22sseldd 3983 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ ℝ)
5823rpred 13018 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ ℝ)
5957, 58resubcld 11644 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ (𝐢 βˆ’ 𝑅) ∈ ℝ)
6057, 58readdcld 11245 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ (𝐢 + 𝑅) ∈ ℝ)
61 eqid 2732 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑇 β†Ύt ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅))) = (𝑇 β†Ύt ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅)))
621, 61icccmp 24348 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐢 βˆ’ 𝑅) ∈ ℝ ∧ (𝐢 + 𝑅) ∈ ℝ) β†’ (𝑇 β†Ύt ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅))) ∈ Comp)
6359, 60, 62syl2anc 584 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (𝑇 β†Ύt ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅))) ∈ Comp)
6456, 63eqeltrrd 2834 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (𝐽 β†Ύt ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅))) ∈ Comp)
65 f1of 6833 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐹 β†Ύ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅))):((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅))–1-1-ontoβ†’(𝐹 β€œ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅))) β†’ (𝐹 β†Ύ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅))):((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅))⟢(𝐹 β€œ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅))))
6645, 65syl 17 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (𝐹 β†Ύ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅))):((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅))⟢(𝐹 β€œ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅))))
6711, 38sstrdi 3994 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ ran 𝐹 βŠ† β„‚)
6813, 67sstrid 3993 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ (𝐹 β€œ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅))) βŠ† β„‚)
69 rescncf 24420 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅)) βŠ† 𝑋 β†’ (𝐹 ∈ (𝑋–cn→ℝ) β†’ (𝐹 β†Ύ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅))) ∈ (((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅))–cn→ℝ)))
7024, 8, 69sylc 65 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ (𝐹 β†Ύ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅))) ∈ (((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅))–cn→ℝ))
71 cncfcdm 24421 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐹 β€œ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅))) βŠ† β„‚ ∧ (𝐹 β†Ύ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅))) ∈ (((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅))–cn→ℝ)) β†’ ((𝐹 β†Ύ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅))) ∈ (((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅))–cnβ†’(𝐹 β€œ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅)))) ↔ (𝐹 β†Ύ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅))):((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅))⟢(𝐹 β€œ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅)))))
7268, 70, 71syl2anc 584 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ ((𝐹 β†Ύ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅))) ∈ (((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅))–cnβ†’(𝐹 β€œ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅)))) ↔ (𝐹 β†Ύ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅))):((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅))⟢(𝐹 β€œ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅)))))
7366, 72mpbird 256 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (𝐹 β†Ύ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅))) ∈ (((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅))–cnβ†’(𝐹 β€œ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅)))))
74 eqid 2732 . . . . . . . . . . 11 (𝐽 β†Ύt ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅))) = (𝐽 β†Ύt ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅)))
7546, 74cncfcnvcn 24448 . . . . . . . . . 10 (((𝐽 β†Ύt ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅))) ∈ Comp ∧ (𝐹 β†Ύ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅))) ∈ (((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅))–cnβ†’(𝐹 β€œ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅))))) β†’ ((𝐹 β†Ύ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅))):((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅))–1-1-ontoβ†’(𝐹 β€œ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅))) ↔ β—‘(𝐹 β†Ύ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅))) ∈ ((𝐹 β€œ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅)))–cnβ†’((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅)))))
7664, 73, 75syl2anc 584 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ ((𝐹 β†Ύ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅))):((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅))–1-1-ontoβ†’(𝐹 β€œ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅))) ↔ β—‘(𝐹 β†Ύ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅))) ∈ ((𝐹 β€œ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅)))–cnβ†’((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅)))))
7745, 76mpbid 231 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ β—‘(𝐹 β†Ύ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅))) ∈ ((𝐹 β€œ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅)))–cnβ†’((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅))))
7841, 77sseldd 3983 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ β—‘(𝐹 β†Ύ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅))) ∈ ((𝐹 β€œ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅)))–cn→𝑋))
79 eqid 2732 . . . . . . . . 9 (𝐽 β†Ύt (𝐹 β€œ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅)))) = (𝐽 β†Ύt (𝐹 β€œ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅))))
80 dvcnvre.m . . . . . . . . 9 𝑀 = (𝐽 β†Ύt 𝑋)
8146, 79, 80cncfcn 24433 . . . . . . . 8 (((𝐹 β€œ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅))) βŠ† β„‚ ∧ 𝑋 βŠ† β„‚) β†’ ((𝐹 β€œ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅)))–cn→𝑋) = ((𝐽 β†Ύt (𝐹 β€œ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅)))) Cn 𝑀))
8268, 39, 81syl2anc 584 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ((𝐹 β€œ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅)))–cn→𝑋) = ((𝐽 β†Ύt (𝐹 β€œ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅)))) Cn 𝑀))
8378, 82eleqtrd 2835 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ β—‘(𝐹 β†Ύ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅))) ∈ ((𝐽 β†Ύt (𝐹 β€œ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅)))) Cn 𝑀))
8457, 23ltsubrpd 13050 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (𝐢 βˆ’ 𝑅) < 𝐢)
8559, 57, 84ltled 11364 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (𝐢 βˆ’ 𝑅) ≀ 𝐢)
8657, 23ltaddrpd 13051 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝐢 < (𝐢 + 𝑅))
8757, 60, 86ltled 11364 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝐢 ≀ (𝐢 + 𝑅))
88 elicc2 13391 . . . . . . . . . 10 (((𝐢 βˆ’ 𝑅) ∈ ℝ ∧ (𝐢 + 𝑅) ∈ ℝ) β†’ (𝐢 ∈ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅)) ↔ (𝐢 ∈ ℝ ∧ (𝐢 βˆ’ 𝑅) ≀ 𝐢 ∧ 𝐢 ≀ (𝐢 + 𝑅))))
8959, 60, 88syl2anc 584 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (𝐢 ∈ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅)) ↔ (𝐢 ∈ ℝ ∧ (𝐢 βˆ’ 𝑅) ≀ 𝐢 ∧ 𝐢 ≀ (𝐢 + 𝑅))))
9057, 85, 87, 89mpbir3and 1342 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅)))
91 ffun 6720 . . . . . . . . . 10 (𝐹:π‘‹βŸΆβ„ β†’ Fun 𝐹)
928, 9, 913syl 18 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ Fun 𝐹)
93 fdm 6726 . . . . . . . . . . 11 (𝐹:π‘‹βŸΆβ„ β†’ dom 𝐹 = 𝑋)
948, 9, 933syl 18 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ dom 𝐹 = 𝑋)
9524, 94sseqtrrd 4023 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅)) βŠ† dom 𝐹)
96 funfvima2 7235 . . . . . . . . 9 ((Fun 𝐹 ∧ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅)) βŠ† dom 𝐹) β†’ (𝐢 ∈ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅)) β†’ (πΉβ€˜πΆ) ∈ (𝐹 β€œ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅)))))
9792, 95, 96syl2anc 584 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (𝐢 ∈ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅)) β†’ (πΉβ€˜πΆ) ∈ (𝐹 β€œ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅)))))
9890, 97mpd 15 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (πΉβ€˜πΆ) ∈ (𝐹 β€œ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅))))
9946cnfldtopon 24306 . . . . . . . . 9 𝐽 ∈ (TopOnβ€˜β„‚)
100 resttopon 22672 . . . . . . . . 9 ((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜β„‚) ∧ (𝐹 β€œ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅))) βŠ† β„‚) β†’ (𝐽 β†Ύt (𝐹 β€œ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅)))) ∈ (TopOnβ€˜(𝐹 β€œ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅)))))
10199, 68, 100sylancr 587 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (𝐽 β†Ύt (𝐹 β€œ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅)))) ∈ (TopOnβ€˜(𝐹 β€œ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅)))))
102 toponuni 22423 . . . . . . . 8 ((𝐽 β†Ύt (𝐹 β€œ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅)))) ∈ (TopOnβ€˜(𝐹 β€œ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅)))) β†’ (𝐹 β€œ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅))) = βˆͺ (𝐽 β†Ύt (𝐹 β€œ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅)))))
103101, 102syl 17 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (𝐹 β€œ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅))) = βˆͺ (𝐽 β†Ύt (𝐹 β€œ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅)))))
10498, 103eleqtrd 2835 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (πΉβ€˜πΆ) ∈ βˆͺ (𝐽 β†Ύt (𝐹 β€œ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅)))))
105 eqid 2732 . . . . . . 7 βˆͺ (𝐽 β†Ύt (𝐹 β€œ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅)))) = βˆͺ (𝐽 β†Ύt (𝐹 β€œ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅))))
106105cncnpi 22789 . . . . . 6 ((β—‘(𝐹 β†Ύ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅))) ∈ ((𝐽 β†Ύt (𝐹 β€œ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅)))) Cn 𝑀) ∧ (πΉβ€˜πΆ) ∈ βˆͺ (𝐽 β†Ύt (𝐹 β€œ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅))))) β†’ β—‘(𝐹 β†Ύ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅))) ∈ (((𝐽 β†Ύt (𝐹 β€œ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅)))) CnP 𝑀)β€˜(πΉβ€˜πΆ)))
10783, 104, 106syl2anc 584 . . . . 5 (πœ‘ β†’ β—‘(𝐹 β†Ύ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅))) ∈ (((𝐽 β†Ύt (𝐹 β€œ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅)))) CnP 𝑀)β€˜(πΉβ€˜πΆ)))
10835, 107eqeltrrd 2834 . . . 4 (πœ‘ β†’ (◑𝐹 β†Ύ (𝐹 β€œ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅)))) ∈ (((𝐽 β†Ύt (𝐹 β€œ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅)))) CnP 𝑀)β€˜(πΉβ€˜πΆ)))
109 dvcnvre.n . . . . . . . 8 𝑁 = (𝐽 β†Ύt π‘Œ)
110109oveq1i 7421 . . . . . . 7 (𝑁 β†Ύt (𝐹 β€œ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅)))) = ((𝐽 β†Ύt π‘Œ) β†Ύt (𝐹 β€œ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅))))
111 ssexg 5323 . . . . . . . . 9 ((π‘Œ βŠ† ℝ ∧ ℝ ∈ V) β†’ π‘Œ ∈ V)
11212, 52, 111sylancl 586 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ V)
113 restabs 22676 . . . . . . . 8 ((𝐽 ∈ Top ∧ (𝐹 β€œ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅))) βŠ† π‘Œ ∧ π‘Œ ∈ V) β†’ ((𝐽 β†Ύt π‘Œ) β†Ύt (𝐹 β€œ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅)))) = (𝐽 β†Ύt (𝐹 β€œ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅)))))
11450, 14, 112, 113mp3an2i 1466 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ((𝐽 β†Ύt π‘Œ) β†Ύt (𝐹 β€œ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅)))) = (𝐽 β†Ύt (𝐹 β€œ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅)))))
115110, 114eqtrid 2784 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝑁 β†Ύt (𝐹 β€œ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅)))) = (𝐽 β†Ύt (𝐹 β€œ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅)))))
116115oveq1d 7426 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((𝑁 β†Ύt (𝐹 β€œ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅)))) CnP 𝑀) = ((𝐽 β†Ύt (𝐹 β€œ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅)))) CnP 𝑀))
117116fveq1d 6893 . . . 4 (πœ‘ β†’ (((𝑁 β†Ύt (𝐹 β€œ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅)))) CnP 𝑀)β€˜(πΉβ€˜πΆ)) = (((𝐽 β†Ύt (𝐹 β€œ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅)))) CnP 𝑀)β€˜(πΉβ€˜πΆ)))
118108, 117eleqtrrd 2836 . . 3 (πœ‘ β†’ (◑𝐹 β†Ύ (𝐹 β€œ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅)))) ∈ (((𝑁 β†Ύt (𝐹 β€œ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅)))) CnP 𝑀)β€˜(πΉβ€˜πΆ)))
11912, 38sstrdi 3994 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ π‘Œ βŠ† β„‚)
120 resttopon 22672 . . . . . . 7 ((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜β„‚) ∧ π‘Œ βŠ† β„‚) β†’ (𝐽 β†Ύt π‘Œ) ∈ (TopOnβ€˜π‘Œ))
12199, 119, 120sylancr 587 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝐽 β†Ύt π‘Œ) ∈ (TopOnβ€˜π‘Œ))
122109, 121eqeltrid 2837 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ (TopOnβ€˜π‘Œ))
123 topontop 22422 . . . . 5 (𝑁 ∈ (TopOnβ€˜π‘Œ) β†’ 𝑁 ∈ Top)
124122, 123syl 17 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ Top)
125 toponuni 22423 . . . . . 6 (𝑁 ∈ (TopOnβ€˜π‘Œ) β†’ π‘Œ = βˆͺ 𝑁)
126122, 125syl 17 . . . . 5 (πœ‘ β†’ π‘Œ = βˆͺ 𝑁)
12714, 126sseqtrd 4022 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝐹 β€œ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅))) βŠ† βˆͺ 𝑁)
12814, 12sstrd 3992 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (𝐹 β€œ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅))) βŠ† ℝ)
129 difssd 4132 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (ℝ βˆ– π‘Œ) βŠ† ℝ)
130128, 129unssd 4186 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ ((𝐹 β€œ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅))) βˆͺ (ℝ βˆ– π‘Œ)) βŠ† ℝ)
131 ssun1 4172 . . . . . . . . 9 (𝐹 β€œ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅))) βŠ† ((𝐹 β€œ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅))) βˆͺ (ℝ βˆ– π‘Œ))
132131a1i 11 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (𝐹 β€œ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅))) βŠ† ((𝐹 β€œ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅))) βˆͺ (ℝ βˆ– π‘Œ)))
13317ntrss 22566 . . . . . . . 8 ((𝑇 ∈ Top ∧ ((𝐹 β€œ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅))) βˆͺ (ℝ βˆ– π‘Œ)) βŠ† ℝ ∧ (𝐹 β€œ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅))) βŠ† ((𝐹 β€œ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅))) βˆͺ (ℝ βˆ– π‘Œ))) β†’ ((intβ€˜π‘‡)β€˜(𝐹 β€œ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅)))) βŠ† ((intβ€˜π‘‡)β€˜((𝐹 β€œ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅))) βˆͺ (ℝ βˆ– π‘Œ))))
1343, 130, 132, 133mp3an2i 1466 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ((intβ€˜π‘‡)β€˜(𝐹 β€œ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅)))) βŠ† ((intβ€˜π‘‡)β€˜((𝐹 β€œ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅))) βˆͺ (ℝ βˆ– π‘Œ))))
135134, 28sseldd 3983 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (πΉβ€˜πΆ) ∈ ((intβ€˜π‘‡)β€˜((𝐹 β€œ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅))) βˆͺ (ℝ βˆ– π‘Œ))))
136 f1of 6833 . . . . . . . 8 (𝐹:𝑋–1-1-ontoβ†’π‘Œ β†’ 𝐹:π‘‹βŸΆπ‘Œ)
1374, 136syl 17 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐹:π‘‹βŸΆπ‘Œ)
138137, 22ffvelcdmd 7087 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (πΉβ€˜πΆ) ∈ π‘Œ)
139135, 138elind 4194 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (πΉβ€˜πΆ) ∈ (((intβ€˜π‘‡)β€˜((𝐹 β€œ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅))) βˆͺ (ℝ βˆ– π‘Œ))) ∩ π‘Œ))
140 eqid 2732 . . . . . . . 8 (𝑇 β†Ύt π‘Œ) = (𝑇 β†Ύt π‘Œ)
14117, 140restntr 22693 . . . . . . 7 ((𝑇 ∈ Top ∧ π‘Œ βŠ† ℝ ∧ (𝐹 β€œ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅))) βŠ† π‘Œ) β†’ ((intβ€˜(𝑇 β†Ύt π‘Œ))β€˜(𝐹 β€œ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅)))) = (((intβ€˜π‘‡)β€˜((𝐹 β€œ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅))) βˆͺ (ℝ βˆ– π‘Œ))) ∩ π‘Œ))
1423, 12, 14, 141mp3an2i 1466 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((intβ€˜(𝑇 β†Ύt π‘Œ))β€˜(𝐹 β€œ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅)))) = (((intβ€˜π‘‡)β€˜((𝐹 β€œ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅))) βˆͺ (ℝ βˆ– π‘Œ))) ∩ π‘Œ))
143 restabs 22676 . . . . . . . . . 10 ((𝐽 ∈ Top ∧ π‘Œ βŠ† ℝ ∧ ℝ ∈ V) β†’ ((𝐽 β†Ύt ℝ) β†Ύt π‘Œ) = (𝐽 β†Ύt π‘Œ))
14450, 12, 53, 143mp3an2i 1466 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ ((𝐽 β†Ύt ℝ) β†Ύt π‘Œ) = (𝐽 β†Ύt π‘Œ))
14548oveq1i 7421 . . . . . . . . 9 (𝑇 β†Ύt π‘Œ) = ((𝐽 β†Ύt ℝ) β†Ύt π‘Œ)
146144, 145, 1093eqtr4g 2797 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (𝑇 β†Ύt π‘Œ) = 𝑁)
147146fveq2d 6895 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (intβ€˜(𝑇 β†Ύt π‘Œ)) = (intβ€˜π‘))
148147fveq1d 6893 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((intβ€˜(𝑇 β†Ύt π‘Œ))β€˜(𝐹 β€œ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅)))) = ((intβ€˜π‘)β€˜(𝐹 β€œ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅)))))
149142, 148eqtr3d 2774 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (((intβ€˜π‘‡)β€˜((𝐹 β€œ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅))) βˆͺ (ℝ βˆ– π‘Œ))) ∩ π‘Œ) = ((intβ€˜π‘)β€˜(𝐹 β€œ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅)))))
150139, 149eleqtrd 2835 . . . 4 (πœ‘ β†’ (πΉβ€˜πΆ) ∈ ((intβ€˜π‘)β€˜(𝐹 β€œ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅)))))
151126feq2d 6703 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (◑𝐹:π‘ŒβŸΆπ‘‹ ↔ ◑𝐹:βˆͺ π‘βŸΆπ‘‹))
15232, 151mpbid 231 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ◑𝐹:βˆͺ π‘βŸΆπ‘‹)
153 resttopon 22672 . . . . . . . 8 ((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜β„‚) ∧ 𝑋 βŠ† β„‚) β†’ (𝐽 β†Ύt 𝑋) ∈ (TopOnβ€˜π‘‹))
15499, 39, 153sylancr 587 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (𝐽 β†Ύt 𝑋) ∈ (TopOnβ€˜π‘‹))
15580, 154eqeltrid 2837 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹))
156 toponuni 22423 . . . . . 6 (𝑀 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) β†’ 𝑋 = βˆͺ 𝑀)
157 feq3 6700 . . . . . 6 (𝑋 = βˆͺ 𝑀 β†’ (◑𝐹:βˆͺ π‘βŸΆπ‘‹ ↔ ◑𝐹:βˆͺ π‘βŸΆβˆͺ 𝑀))
158155, 156, 1573syl 18 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (◑𝐹:βˆͺ π‘βŸΆπ‘‹ ↔ ◑𝐹:βˆͺ π‘βŸΆβˆͺ 𝑀))
159152, 158mpbid 231 . . . 4 (πœ‘ β†’ ◑𝐹:βˆͺ π‘βŸΆβˆͺ 𝑀)
160 eqid 2732 . . . . 5 βˆͺ 𝑁 = βˆͺ 𝑁
161 eqid 2732 . . . . 5 βˆͺ 𝑀 = βˆͺ 𝑀
162160, 161cnprest 22800 . . . 4 (((𝑁 ∈ Top ∧ (𝐹 β€œ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅))) βŠ† βˆͺ 𝑁) ∧ ((πΉβ€˜πΆ) ∈ ((intβ€˜π‘)β€˜(𝐹 β€œ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅)))) ∧ ◑𝐹:βˆͺ π‘βŸΆβˆͺ 𝑀)) β†’ (◑𝐹 ∈ ((𝑁 CnP 𝑀)β€˜(πΉβ€˜πΆ)) ↔ (◑𝐹 β†Ύ (𝐹 β€œ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅)))) ∈ (((𝑁 β†Ύt (𝐹 β€œ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅)))) CnP 𝑀)β€˜(πΉβ€˜πΆ))))
163124, 127, 150, 159, 162syl22anc 837 . . 3 (πœ‘ β†’ (◑𝐹 ∈ ((𝑁 CnP 𝑀)β€˜(πΉβ€˜πΆ)) ↔ (◑𝐹 β†Ύ (𝐹 β€œ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅)))) ∈ (((𝑁 β†Ύt (𝐹 β€œ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅)))) CnP 𝑀)β€˜(πΉβ€˜πΆ))))
164118, 163mpbird 256 . 2 (πœ‘ β†’ ◑𝐹 ∈ ((𝑁 CnP 𝑀)β€˜(πΉβ€˜πΆ)))
16529, 164jca 512 1 (πœ‘ β†’ ((πΉβ€˜πΆ) ∈ ((intβ€˜π‘‡)β€˜π‘Œ) ∧ ◑𝐹 ∈ ((𝑁 CnP 𝑀)β€˜(πΉβ€˜πΆ))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  Vcvv 3474   βˆ– cdif 3945   βˆͺ cun 3946   ∩ cin 3947   βŠ† wss 3948  βˆͺ cuni 4908   class class class wbr 5148  β—‘ccnv 5675  dom cdm 5676  ran crn 5677   β†Ύ cres 5678   β€œ cima 5679  Fun wfun 6537  βŸΆwf 6539  β€“1-1β†’wf1 6540  β€“ontoβ†’wfo 6541  β€“1-1-ontoβ†’wf1o 6542  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7411  β„‚cc 11110  β„cr 11111  0cc0 11112   + caddc 11115   ≀ cle 11251   βˆ’ cmin 11446  β„+crp 12976  (,)cioo 13326  [,]cicc 13329   β†Ύt crest 17368  TopOpenctopn 17369  topGenctg 17385  β„‚fldccnfld 20950  Topctop 22402  TopOnctopon 22419  intcnt 22528   Cn ccn 22735   CnP ccnp 22736  Compccmp 22897  β€“cnβ†’ccncf 24399   D cdv 25387
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190  ax-addf 11191  ax-mulf 11192
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-iin 5000  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-of 7672  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-supp 8149  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-2o 8469  df-er 8705  df-map 8824  df-pm 8825  df-ixp 8894  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-fsupp 9364  df-fi 9408  df-sup 9439  df-inf 9440  df-oi 9507  df-card 9936  df-pnf 11252  df-mnf 11253  df-xr 11254  df-ltxr 11255  df-le 11256  df-sub 11448  df-neg 11449  df-div 11874  df-nn 12215  df-2 12277  df-3 12278  df-4 12279  df-5 12280  df-6 12281  df-7 12282  df-8 12283  df-9 12284  df-n0 12475  df-z 12561  df-dec 12680  df-uz 12825  df-q 12935  df-rp 12977  df-xneg 13094  df-xadd 13095  df-xmul 13096  df-ioo 13330  df-ico 13332  df-icc 13333  df-fz 13487  df-fzo 13630  df-seq 13969  df-exp 14030  df-hash 14293  df-cj 15048  df-re 15049  df-im 15050  df-sqrt 15184  df-abs 15185  df-struct 17082  df-sets 17099  df-slot 17117  df-ndx 17129  df-base 17147  df-ress 17176  df-plusg 17212  df-mulr 17213  df-starv 17214  df-sca 17215  df-vsca 17216  df-ip 17217  df-tset 17218  df-ple 17219  df-ds 17221  df-unif 17222  df-hom 17223  df-cco 17224  df-rest 17370  df-topn 17371  df-0g 17389  df-gsum 17390  df-topgen 17391  df-pt 17392  df-prds 17395  df-xrs 17450  df-qtop 17455  df-imas 17456  df-xps 17458  df-mre 17532  df-mrc 17533  df-acs 17535  df-mgm 18563  df-sgrp 18612  df-mnd 18628  df-submnd 18674  df-mulg 18953  df-cntz 19183  df-cmn 19652  df-psmet 20942  df-xmet 20943  df-met 20944  df-bl 20945  df-mopn 20946  df-fbas 20947  df-fg 20948  df-cnfld 20951  df-top 22403  df-topon 22420  df-topsp 22442  df-bases 22456  df-cld 22530  df-ntr 22531  df-cls 22532  df-nei 22609  df-lp 22647  df-perf 22648  df-cn 22738  df-cnp 22739  df-haus 22826  df-cmp 22898  df-tx 23073  df-hmeo 23266  df-fil 23357  df-fm 23449  df-flim 23450  df-flf 23451  df-xms 23833  df-ms 23834  df-tms 23835  df-cncf 24401  df-limc 25390  df-dv 25391
This theorem is referenced by:  dvcnvre  25543
  Copyright terms: Public domain W3C validator