MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dvcnvrelem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dvcnvrelem2 24001
Description: Lemma for dvcnvre 24002. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Feb-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 8-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
dvcnvre.f (𝜑𝐹 ∈ (𝑋cn→ℝ))
dvcnvre.d (𝜑 → dom (ℝ D 𝐹) = 𝑋)
dvcnvre.z (𝜑 → ¬ 0 ∈ ran (ℝ D 𝐹))
dvcnvre.1 (𝜑𝐹:𝑋1-1-onto𝑌)
dvcnvre.c (𝜑𝐶𝑋)
dvcnvre.r (𝜑𝑅 ∈ ℝ+)
dvcnvre.s (𝜑 → ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)) ⊆ 𝑋)
dvcnvre.t 𝑇 = (topGen‘ran (,))
dvcnvre.j 𝐽 = (TopOpen‘ℂfld)
dvcnvre.m 𝑀 = (𝐽t 𝑋)
dvcnvre.n 𝑁 = (𝐽t 𝑌)
Assertion
Ref Expression
dvcnvrelem2 (𝜑 → ((𝐹𝐶) ∈ ((int‘𝑇)‘𝑌) ∧ 𝐹 ∈ ((𝑁 CnP 𝑀)‘(𝐹𝐶))))

Proof of Theorem dvcnvrelem2
StepHypRef Expression
1 dvcnvre.t . . . . . 6 𝑇 = (topGen‘ran (,))
2 retop 22785 . . . . . 6 (topGen‘ran (,)) ∈ Top
31, 2eqeltri 2846 . . . . 5 𝑇 ∈ Top
43a1i 11 . . . 4 (𝜑𝑇 ∈ Top)
5 dvcnvre.1 . . . . . 6 (𝜑𝐹:𝑋1-1-onto𝑌)
6 f1ofo 6285 . . . . . 6 (𝐹:𝑋1-1-onto𝑌𝐹:𝑋onto𝑌)
7 forn 6259 . . . . . 6 (𝐹:𝑋onto𝑌 → ran 𝐹 = 𝑌)
85, 6, 73syl 18 . . . . 5 (𝜑 → ran 𝐹 = 𝑌)
9 dvcnvre.f . . . . . 6 (𝜑𝐹 ∈ (𝑋cn→ℝ))
10 cncff 22916 . . . . . 6 (𝐹 ∈ (𝑋cn→ℝ) → 𝐹:𝑋⟶ℝ)
11 frn 6193 . . . . . 6 (𝐹:𝑋⟶ℝ → ran 𝐹 ⊆ ℝ)
129, 10, 113syl 18 . . . . 5 (𝜑 → ran 𝐹 ⊆ ℝ)
138, 12eqsstr3d 3789 . . . 4 (𝜑𝑌 ⊆ ℝ)
14 imassrn 5618 . . . . 5 (𝐹 “ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅))) ⊆ ran 𝐹
1514, 8syl5sseq 3802 . . . 4 (𝜑 → (𝐹 “ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅))) ⊆ 𝑌)
16 uniretop 22786 . . . . . 6 ℝ = (topGen‘ran (,))
171unieqi 4583 . . . . . 6 𝑇 = (topGen‘ran (,))
1816, 17eqtr4i 2796 . . . . 5 ℝ = 𝑇
1918ntrss 21080 . . . 4 ((𝑇 ∈ Top ∧ 𝑌 ⊆ ℝ ∧ (𝐹 “ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅))) ⊆ 𝑌) → ((int‘𝑇)‘(𝐹 “ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)))) ⊆ ((int‘𝑇)‘𝑌))
204, 13, 15, 19syl3anc 1476 . . 3 (𝜑 → ((int‘𝑇)‘(𝐹 “ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)))) ⊆ ((int‘𝑇)‘𝑌))
21 dvcnvre.d . . . . 5 (𝜑 → dom (ℝ D 𝐹) = 𝑋)
22 dvcnvre.z . . . . 5 (𝜑 → ¬ 0 ∈ ran (ℝ D 𝐹))
23 dvcnvre.c . . . . 5 (𝜑𝐶𝑋)
24 dvcnvre.r . . . . 5 (𝜑𝑅 ∈ ℝ+)
25 dvcnvre.s . . . . 5 (𝜑 → ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)) ⊆ 𝑋)
269, 21, 22, 5, 23, 24, 25dvcnvrelem1 24000 . . . 4 (𝜑 → (𝐹𝐶) ∈ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐹 “ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)))))
271fveq2i 6335 . . . . 5 (int‘𝑇) = (int‘(topGen‘ran (,)))
2827fveq1i 6333 . . . 4 ((int‘𝑇)‘(𝐹 “ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)))) = ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐹 “ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅))))
2926, 28syl6eleqr 2861 . . 3 (𝜑 → (𝐹𝐶) ∈ ((int‘𝑇)‘(𝐹 “ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)))))
3020, 29sseldd 3753 . 2 (𝜑 → (𝐹𝐶) ∈ ((int‘𝑇)‘𝑌))
31 f1ocnv 6290 . . . . . . 7 (𝐹:𝑋1-1-onto𝑌𝐹:𝑌1-1-onto𝑋)
32 f1of 6278 . . . . . . 7 (𝐹:𝑌1-1-onto𝑋𝐹:𝑌𝑋)
335, 31, 323syl 18 . . . . . 6 (𝜑𝐹:𝑌𝑋)
34 ffun 6188 . . . . . 6 (𝐹:𝑌𝑋 → Fun 𝐹)
35 funcnvres 6107 . . . . . 6 (Fun 𝐹(𝐹 ↾ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅))) = (𝐹 ↾ (𝐹 “ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)))))
3633, 34, 353syl 18 . . . . 5 (𝜑(𝐹 ↾ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅))) = (𝐹 ↾ (𝐹 “ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)))))
37 dvbsss 23886 . . . . . . . . . . 11 dom (ℝ D 𝐹) ⊆ ℝ
3821, 37syl6eqssr 3805 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑋 ⊆ ℝ)
39 ax-resscn 10195 . . . . . . . . . 10 ℝ ⊆ ℂ
4038, 39syl6ss 3764 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑋 ⊆ ℂ)
41 cncfss 22922 . . . . . . . . 9 ((((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)) ⊆ 𝑋𝑋 ⊆ ℂ) → ((𝐹 “ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)))–cn→((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅))) ⊆ ((𝐹 “ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)))–cn𝑋))
4225, 40, 41syl2anc 573 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝐹 “ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)))–cn→((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅))) ⊆ ((𝐹 “ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)))–cn𝑋))
43 f1of1 6277 . . . . . . . . . . 11 (𝐹:𝑋1-1-onto𝑌𝐹:𝑋1-1𝑌)
445, 43syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐹:𝑋1-1𝑌)
45 f1ores 6292 . . . . . . . . . 10 ((𝐹:𝑋1-1𝑌 ∧ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)) ⊆ 𝑋) → (𝐹 ↾ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅))):((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅))–1-1-onto→(𝐹 “ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅))))
4644, 25, 45syl2anc 573 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐹 ↾ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅))):((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅))–1-1-onto→(𝐹 “ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅))))
47 dvcnvre.j . . . . . . . . . . . . . . 15 𝐽 = (TopOpen‘ℂfld)
4847tgioo2 22826 . . . . . . . . . . . . . 14 (topGen‘ran (,)) = (𝐽t ℝ)
491, 48eqtri 2793 . . . . . . . . . . . . 13 𝑇 = (𝐽t ℝ)
5049oveq1i 6803 . . . . . . . . . . . 12 (𝑇t ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅))) = ((𝐽t ℝ) ↾t ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)))
5147cnfldtop 22807 . . . . . . . . . . . . . 14 𝐽 ∈ Top
5251a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐽 ∈ Top)
5325, 38sstrd 3762 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)) ⊆ ℝ)
54 reex 10229 . . . . . . . . . . . . . 14 ℝ ∈ V
5554a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ℝ ∈ V)
56 restabs 21190 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐽 ∈ Top ∧ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)) ⊆ ℝ ∧ ℝ ∈ V) → ((𝐽t ℝ) ↾t ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅))) = (𝐽t ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅))))
5752, 53, 55, 56syl3anc 1476 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((𝐽t ℝ) ↾t ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅))) = (𝐽t ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅))))
5850, 57syl5eq 2817 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑇t ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅))) = (𝐽t ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅))))
5938, 23sseldd 3753 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐶 ∈ ℝ)
6024rpred 12075 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑅 ∈ ℝ)
6159, 60resubcld 10660 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝐶𝑅) ∈ ℝ)
6259, 60readdcld 10271 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝐶 + 𝑅) ∈ ℝ)
63 eqid 2771 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑇t ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅))) = (𝑇t ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)))
641, 63icccmp 22848 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐶𝑅) ∈ ℝ ∧ (𝐶 + 𝑅) ∈ ℝ) → (𝑇t ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅))) ∈ Comp)
6561, 62, 64syl2anc 573 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑇t ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅))) ∈ Comp)
6658, 65eqeltrrd 2851 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐽t ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅))) ∈ Comp)
67 f1of 6278 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐹 ↾ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅))):((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅))–1-1-onto→(𝐹 “ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅))) → (𝐹 ↾ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅))):((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅))⟶(𝐹 “ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅))))
6846, 67syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐹 ↾ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅))):((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅))⟶(𝐹 “ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅))))
6912, 39syl6ss 3764 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ran 𝐹 ⊆ ℂ)
7014, 69syl5ss 3763 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝐹 “ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅))) ⊆ ℂ)
71 rescncf 22920 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)) ⊆ 𝑋 → (𝐹 ∈ (𝑋cn→ℝ) → (𝐹 ↾ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅))) ∈ (((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅))–cn→ℝ)))
7225, 9, 71sylc 65 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝐹 ↾ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅))) ∈ (((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅))–cn→ℝ))
73 cncffvrn 22921 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐹 “ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅))) ⊆ ℂ ∧ (𝐹 ↾ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅))) ∈ (((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅))–cn→ℝ)) → ((𝐹 ↾ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅))) ∈ (((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅))–cn→(𝐹 “ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)))) ↔ (𝐹 ↾ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅))):((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅))⟶(𝐹 “ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)))))
7470, 72, 73syl2anc 573 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((𝐹 ↾ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅))) ∈ (((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅))–cn→(𝐹 “ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)))) ↔ (𝐹 ↾ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅))):((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅))⟶(𝐹 “ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)))))
7568, 74mpbird 247 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐹 ↾ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅))) ∈ (((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅))–cn→(𝐹 “ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)))))
76 eqid 2771 . . . . . . . . . . 11 (𝐽t ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅))) = (𝐽t ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)))
7747, 76cncfcnvcn 22944 . . . . . . . . . 10 (((𝐽t ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅))) ∈ Comp ∧ (𝐹 ↾ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅))) ∈ (((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅))–cn→(𝐹 “ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅))))) → ((𝐹 ↾ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅))):((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅))–1-1-onto→(𝐹 “ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅))) ↔ (𝐹 ↾ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅))) ∈ ((𝐹 “ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)))–cn→((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)))))
7866, 75, 77syl2anc 573 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝐹 ↾ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅))):((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅))–1-1-onto→(𝐹 “ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅))) ↔ (𝐹 ↾ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅))) ∈ ((𝐹 “ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)))–cn→((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)))))
7946, 78mpbid 222 . . . . . . . 8 (𝜑(𝐹 ↾ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅))) ∈ ((𝐹 “ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)))–cn→((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅))))
8042, 79sseldd 3753 . . . . . . 7 (𝜑(𝐹 ↾ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅))) ∈ ((𝐹 “ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)))–cn𝑋))
81 eqid 2771 . . . . . . . . 9 (𝐽t (𝐹 “ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)))) = (𝐽t (𝐹 “ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅))))
82 dvcnvre.m . . . . . . . . 9 𝑀 = (𝐽t 𝑋)
8347, 81, 82cncfcn 22932 . . . . . . . 8 (((𝐹 “ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅))) ⊆ ℂ ∧ 𝑋 ⊆ ℂ) → ((𝐹 “ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)))–cn𝑋) = ((𝐽t (𝐹 “ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)))) Cn 𝑀))
8470, 40, 83syl2anc 573 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝐹 “ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)))–cn𝑋) = ((𝐽t (𝐹 “ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)))) Cn 𝑀))
8580, 84eleqtrd 2852 . . . . . 6 (𝜑(𝐹 ↾ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅))) ∈ ((𝐽t (𝐹 “ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)))) Cn 𝑀))
8659, 24ltsubrpd 12107 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐶𝑅) < 𝐶)
8761, 59, 86ltled 10387 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐶𝑅) ≤ 𝐶)
8859, 24ltaddrpd 12108 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐶 < (𝐶 + 𝑅))
8959, 62, 88ltled 10387 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐶 ≤ (𝐶 + 𝑅))
90 elicc2 12443 . . . . . . . . . 10 (((𝐶𝑅) ∈ ℝ ∧ (𝐶 + 𝑅) ∈ ℝ) → (𝐶 ∈ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)) ↔ (𝐶 ∈ ℝ ∧ (𝐶𝑅) ≤ 𝐶𝐶 ≤ (𝐶 + 𝑅))))
9161, 62, 90syl2anc 573 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐶 ∈ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)) ↔ (𝐶 ∈ ℝ ∧ (𝐶𝑅) ≤ 𝐶𝐶 ≤ (𝐶 + 𝑅))))
9259, 87, 89, 91mpbir3and 1427 . . . . . . . 8 (𝜑𝐶 ∈ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)))
93 ffun 6188 . . . . . . . . . 10 (𝐹:𝑋⟶ℝ → Fun 𝐹)
949, 10, 933syl 18 . . . . . . . . 9 (𝜑 → Fun 𝐹)
95 fdm 6191 . . . . . . . . . . 11 (𝐹:𝑋⟶ℝ → dom 𝐹 = 𝑋)
969, 10, 953syl 18 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → dom 𝐹 = 𝑋)
9725, 96sseqtr4d 3791 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)) ⊆ dom 𝐹)
98 funfvima2 6636 . . . . . . . . 9 ((Fun 𝐹 ∧ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)) ⊆ dom 𝐹) → (𝐶 ∈ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)) → (𝐹𝐶) ∈ (𝐹 “ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)))))
9994, 97, 98syl2anc 573 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐶 ∈ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)) → (𝐹𝐶) ∈ (𝐹 “ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)))))
10092, 99mpd 15 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐹𝐶) ∈ (𝐹 “ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅))))
10147cnfldtopon 22806 . . . . . . . . 9 𝐽 ∈ (TopOn‘ℂ)
102 resttopon 21186 . . . . . . . . 9 ((𝐽 ∈ (TopOn‘ℂ) ∧ (𝐹 “ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅))) ⊆ ℂ) → (𝐽t (𝐹 “ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)))) ∈ (TopOn‘(𝐹 “ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)))))
103101, 70, 102sylancr 575 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐽t (𝐹 “ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)))) ∈ (TopOn‘(𝐹 “ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)))))
104 toponuni 20939 . . . . . . . 8 ((𝐽t (𝐹 “ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)))) ∈ (TopOn‘(𝐹 “ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)))) → (𝐹 “ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅))) = (𝐽t (𝐹 “ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)))))
105103, 104syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐹 “ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅))) = (𝐽t (𝐹 “ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)))))
106100, 105eleqtrd 2852 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐹𝐶) ∈ (𝐽t (𝐹 “ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)))))
107 eqid 2771 . . . . . . 7 (𝐽t (𝐹 “ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)))) = (𝐽t (𝐹 “ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅))))
108107cncnpi 21303 . . . . . 6 (((𝐹 ↾ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅))) ∈ ((𝐽t (𝐹 “ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)))) Cn 𝑀) ∧ (𝐹𝐶) ∈ (𝐽t (𝐹 “ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅))))) → (𝐹 ↾ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅))) ∈ (((𝐽t (𝐹 “ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)))) CnP 𝑀)‘(𝐹𝐶)))
10985, 106, 108syl2anc 573 . . . . 5 (𝜑(𝐹 ↾ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅))) ∈ (((𝐽t (𝐹 “ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)))) CnP 𝑀)‘(𝐹𝐶)))
11036, 109eqeltrrd 2851 . . . 4 (𝜑 → (𝐹 ↾ (𝐹 “ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)))) ∈ (((𝐽t (𝐹 “ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)))) CnP 𝑀)‘(𝐹𝐶)))
111 dvcnvre.n . . . . . . . 8 𝑁 = (𝐽t 𝑌)
112111oveq1i 6803 . . . . . . 7 (𝑁t (𝐹 “ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)))) = ((𝐽t 𝑌) ↾t (𝐹 “ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅))))
113 ssexg 4938 . . . . . . . . 9 ((𝑌 ⊆ ℝ ∧ ℝ ∈ V) → 𝑌 ∈ V)
11413, 54, 113sylancl 574 . . . . . . . 8 (𝜑𝑌 ∈ V)
115 restabs 21190 . . . . . . . 8 ((𝐽 ∈ Top ∧ (𝐹 “ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅))) ⊆ 𝑌𝑌 ∈ V) → ((𝐽t 𝑌) ↾t (𝐹 “ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)))) = (𝐽t (𝐹 “ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)))))
11652, 15, 114, 115syl3anc 1476 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝐽t 𝑌) ↾t (𝐹 “ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)))) = (𝐽t (𝐹 “ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)))))
117112, 116syl5eq 2817 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑁t (𝐹 “ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)))) = (𝐽t (𝐹 “ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)))))
118117oveq1d 6808 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑁t (𝐹 “ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)))) CnP 𝑀) = ((𝐽t (𝐹 “ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)))) CnP 𝑀))
119118fveq1d 6334 . . . 4 (𝜑 → (((𝑁t (𝐹 “ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)))) CnP 𝑀)‘(𝐹𝐶)) = (((𝐽t (𝐹 “ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)))) CnP 𝑀)‘(𝐹𝐶)))
120110, 119eleqtrrd 2853 . . 3 (𝜑 → (𝐹 ↾ (𝐹 “ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)))) ∈ (((𝑁t (𝐹 “ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)))) CnP 𝑀)‘(𝐹𝐶)))
12113, 39syl6ss 3764 . . . . . . 7 (𝜑𝑌 ⊆ ℂ)
122 resttopon 21186 . . . . . . 7 ((𝐽 ∈ (TopOn‘ℂ) ∧ 𝑌 ⊆ ℂ) → (𝐽t 𝑌) ∈ (TopOn‘𝑌))
123101, 121, 122sylancr 575 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐽t 𝑌) ∈ (TopOn‘𝑌))
124111, 123syl5eqel 2854 . . . . 5 (𝜑𝑁 ∈ (TopOn‘𝑌))
125 topontop 20938 . . . . 5 (𝑁 ∈ (TopOn‘𝑌) → 𝑁 ∈ Top)
126124, 125syl 17 . . . 4 (𝜑𝑁 ∈ Top)
127 toponuni 20939 . . . . . 6 (𝑁 ∈ (TopOn‘𝑌) → 𝑌 = 𝑁)
128124, 127syl 17 . . . . 5 (𝜑𝑌 = 𝑁)
12915, 128sseqtrd 3790 . . . 4 (𝜑 → (𝐹 “ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅))) ⊆ 𝑁)
13015, 13sstrd 3762 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐹 “ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅))) ⊆ ℝ)
131 difssd 3889 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (ℝ ∖ 𝑌) ⊆ ℝ)
132130, 131unssd 3940 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝐹 “ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅))) ∪ (ℝ ∖ 𝑌)) ⊆ ℝ)
133 ssun1 3927 . . . . . . . . 9 (𝐹 “ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅))) ⊆ ((𝐹 “ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅))) ∪ (ℝ ∖ 𝑌))
134133a1i 11 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐹 “ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅))) ⊆ ((𝐹 “ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅))) ∪ (ℝ ∖ 𝑌)))
13518ntrss 21080 . . . . . . . 8 ((𝑇 ∈ Top ∧ ((𝐹 “ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅))) ∪ (ℝ ∖ 𝑌)) ⊆ ℝ ∧ (𝐹 “ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅))) ⊆ ((𝐹 “ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅))) ∪ (ℝ ∖ 𝑌))) → ((int‘𝑇)‘(𝐹 “ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)))) ⊆ ((int‘𝑇)‘((𝐹 “ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅))) ∪ (ℝ ∖ 𝑌))))
1364, 132, 134, 135syl3anc 1476 . . . . . . 7 (𝜑 → ((int‘𝑇)‘(𝐹 “ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)))) ⊆ ((int‘𝑇)‘((𝐹 “ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅))) ∪ (ℝ ∖ 𝑌))))
137136, 29sseldd 3753 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐹𝐶) ∈ ((int‘𝑇)‘((𝐹 “ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅))) ∪ (ℝ ∖ 𝑌))))
138 f1of 6278 . . . . . . . 8 (𝐹:𝑋1-1-onto𝑌𝐹:𝑋𝑌)
1395, 138syl 17 . . . . . . 7 (𝜑𝐹:𝑋𝑌)
140139, 23ffvelrnd 6503 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐹𝐶) ∈ 𝑌)
141137, 140elind 3949 . . . . 5 (𝜑 → (𝐹𝐶) ∈ (((int‘𝑇)‘((𝐹 “ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅))) ∪ (ℝ ∖ 𝑌))) ∩ 𝑌))
142 eqid 2771 . . . . . . . 8 (𝑇t 𝑌) = (𝑇t 𝑌)
14318, 142restntr 21207 . . . . . . 7 ((𝑇 ∈ Top ∧ 𝑌 ⊆ ℝ ∧ (𝐹 “ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅))) ⊆ 𝑌) → ((int‘(𝑇t 𝑌))‘(𝐹 “ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)))) = (((int‘𝑇)‘((𝐹 “ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅))) ∪ (ℝ ∖ 𝑌))) ∩ 𝑌))
1444, 13, 15, 143syl3anc 1476 . . . . . 6 (𝜑 → ((int‘(𝑇t 𝑌))‘(𝐹 “ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)))) = (((int‘𝑇)‘((𝐹 “ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅))) ∪ (ℝ ∖ 𝑌))) ∩ 𝑌))
145 restabs 21190 . . . . . . . . . 10 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑌 ⊆ ℝ ∧ ℝ ∈ V) → ((𝐽t ℝ) ↾t 𝑌) = (𝐽t 𝑌))
14652, 13, 55, 145syl3anc 1476 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝐽t ℝ) ↾t 𝑌) = (𝐽t 𝑌))
14749oveq1i 6803 . . . . . . . . 9 (𝑇t 𝑌) = ((𝐽t ℝ) ↾t 𝑌)
148146, 147, 1113eqtr4g 2830 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑇t 𝑌) = 𝑁)
149148fveq2d 6336 . . . . . . 7 (𝜑 → (int‘(𝑇t 𝑌)) = (int‘𝑁))
150149fveq1d 6334 . . . . . 6 (𝜑 → ((int‘(𝑇t 𝑌))‘(𝐹 “ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)))) = ((int‘𝑁)‘(𝐹 “ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)))))
151144, 150eqtr3d 2807 . . . . 5 (𝜑 → (((int‘𝑇)‘((𝐹 “ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅))) ∪ (ℝ ∖ 𝑌))) ∩ 𝑌) = ((int‘𝑁)‘(𝐹 “ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)))))
152141, 151eleqtrd 2852 . . . 4 (𝜑 → (𝐹𝐶) ∈ ((int‘𝑁)‘(𝐹 “ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)))))
153128feq2d 6171 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐹:𝑌𝑋𝐹: 𝑁𝑋))
15433, 153mpbid 222 . . . . 5 (𝜑𝐹: 𝑁𝑋)
155 resttopon 21186 . . . . . . . 8 ((𝐽 ∈ (TopOn‘ℂ) ∧ 𝑋 ⊆ ℂ) → (𝐽t 𝑋) ∈ (TopOn‘𝑋))
156101, 40, 155sylancr 575 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐽t 𝑋) ∈ (TopOn‘𝑋))
15782, 156syl5eqel 2854 . . . . . 6 (𝜑𝑀 ∈ (TopOn‘𝑋))
158 toponuni 20939 . . . . . 6 (𝑀 ∈ (TopOn‘𝑋) → 𝑋 = 𝑀)
159 feq3 6168 . . . . . 6 (𝑋 = 𝑀 → (𝐹: 𝑁𝑋𝐹: 𝑁 𝑀))
160157, 158, 1593syl 18 . . . . 5 (𝜑 → (𝐹: 𝑁𝑋𝐹: 𝑁 𝑀))
161154, 160mpbid 222 . . . 4 (𝜑𝐹: 𝑁 𝑀)
162 eqid 2771 . . . . 5 𝑁 = 𝑁
163 eqid 2771 . . . . 5 𝑀 = 𝑀
164162, 163cnprest 21314 . . . 4 (((𝑁 ∈ Top ∧ (𝐹 “ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅))) ⊆ 𝑁) ∧ ((𝐹𝐶) ∈ ((int‘𝑁)‘(𝐹 “ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)))) ∧ 𝐹: 𝑁 𝑀)) → (𝐹 ∈ ((𝑁 CnP 𝑀)‘(𝐹𝐶)) ↔ (𝐹 ↾ (𝐹 “ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)))) ∈ (((𝑁t (𝐹 “ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)))) CnP 𝑀)‘(𝐹𝐶))))
165126, 129, 152, 161, 164syl22anc 1477 . . 3 (𝜑 → (𝐹 ∈ ((𝑁 CnP 𝑀)‘(𝐹𝐶)) ↔ (𝐹 ↾ (𝐹 “ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)))) ∈ (((𝑁t (𝐹 “ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)))) CnP 𝑀)‘(𝐹𝐶))))
166120, 165mpbird 247 . 2 (𝜑𝐹 ∈ ((𝑁 CnP 𝑀)‘(𝐹𝐶)))
16730, 166jca 501 1 (𝜑 → ((𝐹𝐶) ∈ ((int‘𝑇)‘𝑌) ∧ 𝐹 ∈ ((𝑁 CnP 𝑀)‘(𝐹𝐶))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wa 382  w3a 1071   = wceq 1631  wcel 2145  Vcvv 3351  cdif 3720  cun 3721  cin 3722  wss 3723   cuni 4574   class class class wbr 4786  ccnv 5248  dom cdm 5249  ran crn 5250  cres 5251  cima 5252  Fun wfun 6025  wf 6027  1-1wf1 6028  ontowfo 6029  1-1-ontowf1o 6030  cfv 6031  (class class class)co 6793  cc 10136  cr 10137  0cc0 10138   + caddc 10141  cle 10277  cmin 10468  +crp 12035  (,)cioo 12380  [,]cicc 12383  t crest 16289  TopOpenctopn 16290  topGenctg 16306  fldccnfld 19961  Topctop 20918  TopOnctopon 20935  intcnt 21042   Cn ccn 21249   CnP ccnp 21250  Compccmp 21410  cnccncf 22899   D cdv 23847
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-rep 4904  ax-sep 4915  ax-nul 4923  ax-pow 4974  ax-pr 5034  ax-un 7096  ax-inf2 8702  ax-cnex 10194  ax-resscn 10195  ax-1cn 10196  ax-icn 10197  ax-addcl 10198  ax-addrcl 10199  ax-mulcl 10200  ax-mulrcl 10201  ax-mulcom 10202  ax-addass 10203  ax-mulass 10204  ax-distr 10205  ax-i2m1 10206  ax-1ne0 10207  ax-1rid 10208  ax-rnegex 10209  ax-rrecex 10210  ax-cnre 10211  ax-pre-lttri 10212  ax-pre-lttrn 10213  ax-pre-ltadd 10214  ax-pre-mulgt0 10215  ax-pre-sup 10216  ax-addf 10217  ax-mulf 10218
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 835  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4226  df-pw 4299  df-sn 4317  df-pr 4319  df-tp 4321  df-op 4323  df-uni 4575  df-int 4612  df-iun 4656  df-iin 4657  df-br 4787  df-opab 4847  df-mpt 4864  df-tr 4887  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-se 5209  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5823  df-ord 5869  df-on 5870  df-lim 5871  df-suc 5872  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-isom 6040  df-riota 6754  df-ov 6796  df-oprab 6797  df-mpt2 6798  df-of 7044  df-om 7213  df-1st 7315  df-2nd 7316  df-supp 7447  df-wrecs 7559  df-recs 7621  df-rdg 7659  df-1o 7713  df-2o 7714  df-oadd 7717  df-er 7896  df-map 8011  df-pm 8012  df-ixp 8063  df-en 8110  df-dom 8111  df-sdom 8112  df-fin 8113  df-fsupp 8432  df-fi 8473  df-sup 8504  df-inf 8505  df-oi 8571  df-card 8965  df-cda 9192  df-pnf 10278  df-mnf 10279  df-xr 10280  df-ltxr 10281  df-le 10282  df-sub 10470  df-neg 10471  df-div 10887  df-nn 11223  df-2 11281  df-3 11282  df-4 11283  df-5 11284  df-6 11285  df-7 11286  df-8 11287  df-9 11288  df-n0 11495  df-z 11580  df-dec 11696  df-uz 11889  df-q 11992  df-rp 12036  df-xneg 12151  df-xadd 12152  df-xmul 12153  df-ioo 12384  df-ico 12386  df-icc 12387  df-fz 12534  df-fzo 12674  df-seq 13009  df-exp 13068  df-hash 13322  df-cj 14047  df-re 14048  df-im 14049  df-sqrt 14183  df-abs 14184  df-struct 16066  df-ndx 16067  df-slot 16068  df-base 16070  df-sets 16071  df-ress 16072  df-plusg 16162  df-mulr 16163  df-starv 16164  df-sca 16165  df-vsca 16166  df-ip 16167  df-tset 16168  df-ple 16169  df-ds 16172  df-unif 16173  df-hom 16174  df-cco 16175  df-rest 16291  df-topn 16292  df-0g 16310  df-gsum 16311  df-topgen 16312  df-pt 16313  df-prds 16316  df-xrs 16370  df-qtop 16375  df-imas 16376  df-xps 16378  df-mre 16454  df-mrc 16455  df-acs 16457  df-mgm 17450  df-sgrp 17492  df-mnd 17503  df-submnd 17544  df-mulg 17749  df-cntz 17957  df-cmn 18402  df-psmet 19953  df-xmet 19954  df-met 19955  df-bl 19956  df-mopn 19957  df-fbas 19958  df-fg 19959  df-cnfld 19962  df-top 20919  df-topon 20936  df-topsp 20958  df-bases 20971  df-cld 21044  df-ntr 21045  df-cls 21046  df-nei 21123  df-lp 21161  df-perf 21162  df-cn 21252  df-cnp 21253  df-haus 21340  df-cmp 21411  df-tx 21586  df-hmeo 21779  df-fil 21870  df-fm 21962  df-flim 21963  df-flf 21964  df-xms 22345  df-ms 22346  df-tms 22347  df-cncf 22901  df-limc 23850  df-dv 23851
This theorem is referenced by:  dvcnvre  24002
  Copyright terms: Public domain W3C validator