MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dvcnvrelem2 Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem dvcnvrelem2 25771
Description: Lemma for dvcnvre 25772. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Feb-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 8-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
dvcnvre.f (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ (𝑋–cn→ℝ))
dvcnvre.d (πœ‘ β†’ dom (ℝ D 𝐹) = 𝑋)
dvcnvre.z (πœ‘ β†’ Β¬ 0 ∈ ran (ℝ D 𝐹))
dvcnvre.1 (πœ‘ β†’ 𝐹:𝑋–1-1-ontoβ†’π‘Œ)
dvcnvre.c (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ 𝑋)
dvcnvre.r (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ ℝ+)
dvcnvre.s (πœ‘ β†’ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅)) βŠ† 𝑋)
dvcnvre.t 𝑇 = (topGenβ€˜ran (,))
dvcnvre.j 𝐽 = (TopOpenβ€˜β„‚fld)
dvcnvre.m 𝑀 = (𝐽 β†Ύt 𝑋)
dvcnvre.n 𝑁 = (𝐽 β†Ύt π‘Œ)
Assertion
Ref Expression
dvcnvrelem2 (πœ‘ β†’ ((πΉβ€˜πΆ) ∈ ((intβ€˜π‘‡)β€˜π‘Œ) ∧ ◑𝐹 ∈ ((𝑁 CnP 𝑀)β€˜(πΉβ€˜πΆ))))
Proof of Theorem dvcnvrelem2
StepHypRef Expression
1 dvcnvre.t . . . . 5 𝑇 = (topGenβ€˜ran (,))
2 retop 24499 . . . . 5 (topGenβ€˜ran (,)) ∈ Top
31, 2eqeltri 2828 . . . 4 𝑇 ∈ Top
4 dvcnvre.1 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐹:𝑋–1-1-ontoβ†’π‘Œ)
5 f1ofo 6840 . . . . . 6 (𝐹:𝑋–1-1-ontoβ†’π‘Œ β†’ 𝐹:𝑋–ontoβ†’π‘Œ)
6 forn 6808 . . . . . 6 (𝐹:𝑋–ontoβ†’π‘Œ β†’ ran 𝐹 = π‘Œ)
74, 5, 63syl 18 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ran 𝐹 = π‘Œ)
8 dvcnvre.f . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ (𝑋–cn→ℝ))
9 cncff 24634 . . . . . 6 (𝐹 ∈ (𝑋–cn→ℝ) β†’ 𝐹:π‘‹βŸΆβ„)
10 frn 6724 . . . . . 6 (𝐹:π‘‹βŸΆβ„ β†’ ran 𝐹 βŠ† ℝ)
118, 9, 103syl 18 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ran 𝐹 βŠ† ℝ)
127, 11eqsstrrd 4021 . . . 4 (πœ‘ β†’ π‘Œ βŠ† ℝ)
13 imassrn 6070 . . . . 5 (𝐹 β€œ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅))) βŠ† ran 𝐹
1413, 7sseqtrid 4034 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝐹 β€œ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅))) βŠ† π‘Œ)
15 uniretop 24500 . . . . . 6 ℝ = βˆͺ (topGenβ€˜ran (,))
161unieqi 4921 . . . . . 6 βˆͺ 𝑇 = βˆͺ (topGenβ€˜ran (,))
1715, 16eqtr4i 2762 . . . . 5 ℝ = βˆͺ 𝑇
1817ntrss 22780 . . . 4 ((𝑇 ∈ Top ∧ π‘Œ βŠ† ℝ ∧ (𝐹 β€œ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅))) βŠ† π‘Œ) β†’ ((intβ€˜π‘‡)β€˜(𝐹 β€œ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅)))) βŠ† ((intβ€˜π‘‡)β€˜π‘Œ))
193, 12, 14, 18mp3an2i 1465 . . 3 (πœ‘ β†’ ((intβ€˜π‘‡)β€˜(𝐹 β€œ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅)))) βŠ† ((intβ€˜π‘‡)β€˜π‘Œ))
20 dvcnvre.d . . . . 5 (πœ‘ β†’ dom (ℝ D 𝐹) = 𝑋)
21 dvcnvre.z . . . . 5 (πœ‘ β†’ Β¬ 0 ∈ ran (ℝ D 𝐹))
22 dvcnvre.c . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ 𝑋)
23 dvcnvre.r . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ ℝ+)
24 dvcnvre.s . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅)) βŠ† 𝑋)
258, 20, 21, 4, 22, 23, 24dvcnvrelem1 25770 . . . 4 (πœ‘ β†’ (πΉβ€˜πΆ) ∈ ((intβ€˜(topGenβ€˜ran (,)))β€˜(𝐹 β€œ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅)))))
261fveq2i 6894 . . . . 5 (intβ€˜π‘‡) = (intβ€˜(topGenβ€˜ran (,)))
2726fveq1i 6892 . . . 4 ((intβ€˜π‘‡)β€˜(𝐹 β€œ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅)))) = ((intβ€˜(topGenβ€˜ran (,)))β€˜(𝐹 β€œ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅))))
2825, 27eleqtrrdi 2843 . . 3 (πœ‘ β†’ (πΉβ€˜πΆ) ∈ ((intβ€˜π‘‡)β€˜(𝐹 β€œ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅)))))
2919, 28sseldd 3983 . 2 (πœ‘ β†’ (πΉβ€˜πΆ) ∈ ((intβ€˜π‘‡)β€˜π‘Œ))
30 f1ocnv 6845 . . . . . . 7 (𝐹:𝑋–1-1-ontoβ†’π‘Œ β†’ ◑𝐹:π‘Œβ€“1-1-onto→𝑋)
31 f1of 6833 . . . . . . 7 (◑𝐹:π‘Œβ€“1-1-onto→𝑋 β†’ ◑𝐹:π‘ŒβŸΆπ‘‹)
324, 30, 313syl 18 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ◑𝐹:π‘ŒβŸΆπ‘‹)
33 ffun 6720 . . . . . 6 (◑𝐹:π‘ŒβŸΆπ‘‹ β†’ Fun ◑𝐹)
34 funcnvres 6626 . . . . . 6 (Fun ◑𝐹 β†’ β—‘(𝐹 β†Ύ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅))) = (◑𝐹 β†Ύ (𝐹 β€œ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅)))))
3532, 33, 343syl 18 . . . . 5 (πœ‘ β†’ β—‘(𝐹 β†Ύ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅))) = (◑𝐹 β†Ύ (𝐹 β€œ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅)))))
36 dvbsss 25652 . . . . . . . . . . 11 dom (ℝ D 𝐹) βŠ† ℝ
3720, 36eqsstrrdi 4037 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝑋 βŠ† ℝ)
38 ax-resscn 11171 . . . . . . . . . 10 ℝ βŠ† β„‚
3937, 38sstrdi 3994 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝑋 βŠ† β„‚)
40 cncfss 24640 . . . . . . . . 9 ((((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅)) βŠ† 𝑋 ∧ 𝑋 βŠ† β„‚) β†’ ((𝐹 β€œ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅)))–cnβ†’((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅))) βŠ† ((𝐹 β€œ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅)))–cn→𝑋))
4124, 39, 40syl2anc 583 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ ((𝐹 β€œ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅)))–cnβ†’((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅))) βŠ† ((𝐹 β€œ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅)))–cn→𝑋))
42 f1of1 6832 . . . . . . . . . . 11 (𝐹:𝑋–1-1-ontoβ†’π‘Œ β†’ 𝐹:𝑋–1-1β†’π‘Œ)
434, 42syl 17 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝐹:𝑋–1-1β†’π‘Œ)
44 f1ores 6847 . . . . . . . . . 10 ((𝐹:𝑋–1-1β†’π‘Œ ∧ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅)) βŠ† 𝑋) β†’ (𝐹 β†Ύ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅))):((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅))–1-1-ontoβ†’(𝐹 β€œ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅))))
4543, 24, 44syl2anc 583 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (𝐹 β†Ύ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅))):((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅))–1-1-ontoβ†’(𝐹 β€œ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅))))
46 dvcnvre.j . . . . . . . . . . . . . . 15 𝐽 = (TopOpenβ€˜β„‚fld)
4746tgioo2 24540 . . . . . . . . . . . . . 14 (topGenβ€˜ran (,)) = (𝐽 β†Ύt ℝ)
481, 47eqtri 2759 . . . . . . . . . . . . 13 𝑇 = (𝐽 β†Ύt ℝ)
4948oveq1i 7422 . . . . . . . . . . . 12 (𝑇 β†Ύt ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅))) = ((𝐽 β†Ύt ℝ) β†Ύt ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅)))
5046cnfldtop 24521 . . . . . . . . . . . . 13 𝐽 ∈ Top
5124, 37sstrd 3992 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅)) βŠ† ℝ)
52 reex 11205 . . . . . . . . . . . . . 14 ℝ ∈ V
5352a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ ℝ ∈ V)
54 restabs 22890 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐽 ∈ Top ∧ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅)) βŠ† ℝ ∧ ℝ ∈ V) β†’ ((𝐽 β†Ύt ℝ) β†Ύt ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅))) = (𝐽 β†Ύt ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅))))
5550, 51, 53, 54mp3an2i 1465 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ ((𝐽 β†Ύt ℝ) β†Ύt ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅))) = (𝐽 β†Ύt ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅))))
5649, 55eqtrid 2783 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (𝑇 β†Ύt ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅))) = (𝐽 β†Ύt ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅))))
5737, 22sseldd 3983 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ ℝ)
5823rpred 13021 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ ℝ)
5957, 58resubcld 11647 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ (𝐢 βˆ’ 𝑅) ∈ ℝ)
6057, 58readdcld 11248 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ (𝐢 + 𝑅) ∈ ℝ)
61 eqid 2731 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑇 β†Ύt ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅))) = (𝑇 β†Ύt ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅)))
621, 61icccmp 24562 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐢 βˆ’ 𝑅) ∈ ℝ ∧ (𝐢 + 𝑅) ∈ ℝ) β†’ (𝑇 β†Ύt ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅))) ∈ Comp)
6359, 60, 62syl2anc 583 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (𝑇 β†Ύt ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅))) ∈ Comp)
6456, 63eqeltrrd 2833 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (𝐽 β†Ύt ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅))) ∈ Comp)
65 f1of 6833 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐹 β†Ύ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅))):((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅))–1-1-ontoβ†’(𝐹 β€œ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅))) β†’ (𝐹 β†Ύ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅))):((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅))⟢(𝐹 β€œ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅))))
6645, 65syl 17 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (𝐹 β†Ύ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅))):((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅))⟢(𝐹 β€œ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅))))
6711, 38sstrdi 3994 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ ran 𝐹 βŠ† β„‚)
6813, 67sstrid 3993 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ (𝐹 β€œ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅))) βŠ† β„‚)
69 rescncf 24638 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅)) βŠ† 𝑋 β†’ (𝐹 ∈ (𝑋–cn→ℝ) β†’ (𝐹 β†Ύ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅))) ∈ (((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅))–cn→ℝ)))
7024, 8, 69sylc 65 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ (𝐹 β†Ύ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅))) ∈ (((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅))–cn→ℝ))
71 cncfcdm 24639 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐹 β€œ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅))) βŠ† β„‚ ∧ (𝐹 β†Ύ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅))) ∈ (((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅))–cn→ℝ)) β†’ ((𝐹 β†Ύ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅))) ∈ (((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅))–cnβ†’(𝐹 β€œ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅)))) ↔ (𝐹 β†Ύ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅))):((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅))⟢(𝐹 β€œ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅)))))
7268, 70, 71syl2anc 583 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ ((𝐹 β†Ύ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅))) ∈ (((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅))–cnβ†’(𝐹 β€œ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅)))) ↔ (𝐹 β†Ύ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅))):((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅))⟢(𝐹 β€œ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅)))))
7366, 72mpbird 257 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (𝐹 β†Ύ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅))) ∈ (((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅))–cnβ†’(𝐹 β€œ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅)))))
74 eqid 2731 . . . . . . . . . . 11 (𝐽 β†Ύt ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅))) = (𝐽 β†Ύt ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅)))
7546, 74cncfcnvcn 24667 . . . . . . . . . 10 (((𝐽 β†Ύt ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅))) ∈ Comp ∧ (𝐹 β†Ύ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅))) ∈ (((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅))–cnβ†’(𝐹 β€œ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅))))) β†’ ((𝐹 β†Ύ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅))):((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅))–1-1-ontoβ†’(𝐹 β€œ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅))) ↔ β—‘(𝐹 β†Ύ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅))) ∈ ((𝐹 β€œ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅)))–cnβ†’((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅)))))
7664, 73, 75syl2anc 583 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ ((𝐹 β†Ύ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅))):((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅))–1-1-ontoβ†’(𝐹 β€œ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅))) ↔ β—‘(𝐹 β†Ύ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅))) ∈ ((𝐹 β€œ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅)))–cnβ†’((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅)))))
7745, 76mpbid 231 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ β—‘(𝐹 β†Ύ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅))) ∈ ((𝐹 β€œ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅)))–cnβ†’((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅))))
7841, 77sseldd 3983 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ β—‘(𝐹 β†Ύ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅))) ∈ ((𝐹 β€œ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅)))–cn→𝑋))
79 eqid 2731 . . . . . . . . 9 (𝐽 β†Ύt (𝐹 β€œ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅)))) = (𝐽 β†Ύt (𝐹 β€œ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅))))
80 dvcnvre.m . . . . . . . . 9 𝑀 = (𝐽 β†Ύt 𝑋)
8146, 79, 80cncfcn 24651 . . . . . . . 8 (((𝐹 β€œ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅))) βŠ† β„‚ ∧ 𝑋 βŠ† β„‚) β†’ ((𝐹 β€œ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅)))–cn→𝑋) = ((𝐽 β†Ύt (𝐹 β€œ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅)))) Cn 𝑀))
8268, 39, 81syl2anc 583 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ((𝐹 β€œ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅)))–cn→𝑋) = ((𝐽 β†Ύt (𝐹 β€œ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅)))) Cn 𝑀))
8378, 82eleqtrd 2834 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ β—‘(𝐹 β†Ύ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅))) ∈ ((𝐽 β†Ύt (𝐹 β€œ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅)))) Cn 𝑀))
8457, 23ltsubrpd 13053 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (𝐢 βˆ’ 𝑅) < 𝐢)
8559, 57, 84ltled 11367 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (𝐢 βˆ’ 𝑅) ≀ 𝐢)
8657, 23ltaddrpd 13054 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝐢 < (𝐢 + 𝑅))
8757, 60, 86ltled 11367 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝐢 ≀ (𝐢 + 𝑅))
88 elicc2 13394 . . . . . . . . . 10 (((𝐢 βˆ’ 𝑅) ∈ ℝ ∧ (𝐢 + 𝑅) ∈ ℝ) β†’ (𝐢 ∈ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅)) ↔ (𝐢 ∈ ℝ ∧ (𝐢 βˆ’ 𝑅) ≀ 𝐢 ∧ 𝐢 ≀ (𝐢 + 𝑅))))
8959, 60, 88syl2anc 583 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (𝐢 ∈ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅)) ↔ (𝐢 ∈ ℝ ∧ (𝐢 βˆ’ 𝑅) ≀ 𝐢 ∧ 𝐢 ≀ (𝐢 + 𝑅))))
9057, 85, 87, 89mpbir3and 1341 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅)))
91 ffun 6720 . . . . . . . . . 10 (𝐹:π‘‹βŸΆβ„ β†’ Fun 𝐹)
928, 9, 913syl 18 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ Fun 𝐹)
93 fdm 6726 . . . . . . . . . . 11 (𝐹:π‘‹βŸΆβ„ β†’ dom 𝐹 = 𝑋)
948, 9, 933syl 18 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ dom 𝐹 = 𝑋)
9524, 94sseqtrrd 4023 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅)) βŠ† dom 𝐹)
96 funfvima2 7235 . . . . . . . . 9 ((Fun 𝐹 ∧ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅)) βŠ† dom 𝐹) β†’ (𝐢 ∈ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅)) β†’ (πΉβ€˜πΆ) ∈ (𝐹 β€œ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅)))))
9792, 95, 96syl2anc 583 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (𝐢 ∈ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅)) β†’ (πΉβ€˜πΆ) ∈ (𝐹 β€œ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅)))))
9890, 97mpd 15 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (πΉβ€˜πΆ) ∈ (𝐹 β€œ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅))))
9946cnfldtopon 24520 . . . . . . . . 9 𝐽 ∈ (TopOnβ€˜β„‚)
100 resttopon 22886 . . . . . . . . 9 ((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜β„‚) ∧ (𝐹 β€œ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅))) βŠ† β„‚) β†’ (𝐽 β†Ύt (𝐹 β€œ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅)))) ∈ (TopOnβ€˜(𝐹 β€œ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅)))))
10199, 68, 100sylancr 586 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (𝐽 β†Ύt (𝐹 β€œ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅)))) ∈ (TopOnβ€˜(𝐹 β€œ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅)))))
102 toponuni 22637 . . . . . . . 8 ((𝐽 β†Ύt (𝐹 β€œ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅)))) ∈ (TopOnβ€˜(𝐹 β€œ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅)))) β†’ (𝐹 β€œ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅))) = βˆͺ (𝐽 β†Ύt (𝐹 β€œ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅)))))
103101, 102syl 17 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (𝐹 β€œ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅))) = βˆͺ (𝐽 β†Ύt (𝐹 β€œ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅)))))
10498, 103eleqtrd 2834 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (πΉβ€˜πΆ) ∈ βˆͺ (𝐽 β†Ύt (𝐹 β€œ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅)))))
105 eqid 2731 . . . . . . 7 βˆͺ (𝐽 β†Ύt (𝐹 β€œ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅)))) = βˆͺ (𝐽 β†Ύt (𝐹 β€œ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅))))
106105cncnpi 23003 . . . . . 6 ((β—‘(𝐹 β†Ύ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅))) ∈ ((𝐽 β†Ύt (𝐹 β€œ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅)))) Cn 𝑀) ∧ (πΉβ€˜πΆ) ∈ βˆͺ (𝐽 β†Ύt (𝐹 β€œ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅))))) β†’ β—‘(𝐹 β†Ύ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅))) ∈ (((𝐽 β†Ύt (𝐹 β€œ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅)))) CnP 𝑀)β€˜(πΉβ€˜πΆ)))
10783, 104, 106syl2anc 583 . . . . 5 (πœ‘ β†’ β—‘(𝐹 β†Ύ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅))) ∈ (((𝐽 β†Ύt (𝐹 β€œ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅)))) CnP 𝑀)β€˜(πΉβ€˜πΆ)))
10835, 107eqeltrrd 2833 . . . 4 (πœ‘ β†’ (◑𝐹 β†Ύ (𝐹 β€œ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅)))) ∈ (((𝐽 β†Ύt (𝐹 β€œ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅)))) CnP 𝑀)β€˜(πΉβ€˜πΆ)))
109 dvcnvre.n . . . . . . . 8 𝑁 = (𝐽 β†Ύt π‘Œ)
110109oveq1i 7422 . . . . . . 7 (𝑁 β†Ύt (𝐹 β€œ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅)))) = ((𝐽 β†Ύt π‘Œ) β†Ύt (𝐹 β€œ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅))))
111 ssexg 5323 . . . . . . . . 9 ((π‘Œ βŠ† ℝ ∧ ℝ ∈ V) β†’ π‘Œ ∈ V)
11212, 52, 111sylancl 585 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ V)
113 restabs 22890 . . . . . . . 8 ((𝐽 ∈ Top ∧ (𝐹 β€œ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅))) βŠ† π‘Œ ∧ π‘Œ ∈ V) β†’ ((𝐽 β†Ύt π‘Œ) β†Ύt (𝐹 β€œ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅)))) = (𝐽 β†Ύt (𝐹 β€œ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅)))))
11450, 14, 112, 113mp3an2i 1465 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ((𝐽 β†Ύt π‘Œ) β†Ύt (𝐹 β€œ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅)))) = (𝐽 β†Ύt (𝐹 β€œ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅)))))
115110, 114eqtrid 2783 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝑁 β†Ύt (𝐹 β€œ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅)))) = (𝐽 β†Ύt (𝐹 β€œ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅)))))
116115oveq1d 7427 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((𝑁 β†Ύt (𝐹 β€œ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅)))) CnP 𝑀) = ((𝐽 β†Ύt (𝐹 β€œ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅)))) CnP 𝑀))
117116fveq1d 6893 . . . 4 (πœ‘ β†’ (((𝑁 β†Ύt (𝐹 β€œ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅)))) CnP 𝑀)β€˜(πΉβ€˜πΆ)) = (((𝐽 β†Ύt (𝐹 β€œ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅)))) CnP 𝑀)β€˜(πΉβ€˜πΆ)))
118108, 117eleqtrrd 2835 . . 3 (πœ‘ β†’ (◑𝐹 β†Ύ (𝐹 β€œ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅)))) ∈ (((𝑁 β†Ύt (𝐹 β€œ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅)))) CnP 𝑀)β€˜(πΉβ€˜πΆ)))
11912, 38sstrdi 3994 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ π‘Œ βŠ† β„‚)
120 resttopon 22886 . . . . . . 7 ((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜β„‚) ∧ π‘Œ βŠ† β„‚) β†’ (𝐽 β†Ύt π‘Œ) ∈ (TopOnβ€˜π‘Œ))
12199, 119, 120sylancr 586 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝐽 β†Ύt π‘Œ) ∈ (TopOnβ€˜π‘Œ))
122109, 121eqeltrid 2836 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ (TopOnβ€˜π‘Œ))
123 topontop 22636 . . . . 5 (𝑁 ∈ (TopOnβ€˜π‘Œ) β†’ 𝑁 ∈ Top)
124122, 123syl 17 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ Top)
125 toponuni 22637 . . . . . 6 (𝑁 ∈ (TopOnβ€˜π‘Œ) β†’ π‘Œ = βˆͺ 𝑁)
126122, 125syl 17 . . . . 5 (πœ‘ β†’ π‘Œ = βˆͺ 𝑁)
12714, 126sseqtrd 4022 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝐹 β€œ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅))) βŠ† βˆͺ 𝑁)
12814, 12sstrd 3992 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (𝐹 β€œ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅))) βŠ† ℝ)
129 difssd 4132 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (ℝ βˆ– π‘Œ) βŠ† ℝ)
130128, 129unssd 4186 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ ((𝐹 β€œ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅))) βˆͺ (ℝ βˆ– π‘Œ)) βŠ† ℝ)
131 ssun1 4172 . . . . . . . . 9 (𝐹 β€œ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅))) βŠ† ((𝐹 β€œ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅))) βˆͺ (ℝ βˆ– π‘Œ))
132131a1i 11 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (𝐹 β€œ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅))) βŠ† ((𝐹 β€œ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅))) βˆͺ (ℝ βˆ– π‘Œ)))
13317ntrss 22780 . . . . . . . 8 ((𝑇 ∈ Top ∧ ((𝐹 β€œ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅))) βˆͺ (ℝ βˆ– π‘Œ)) βŠ† ℝ ∧ (𝐹 β€œ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅))) βŠ† ((𝐹 β€œ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅))) βˆͺ (ℝ βˆ– π‘Œ))) β†’ ((intβ€˜π‘‡)β€˜(𝐹 β€œ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅)))) βŠ† ((intβ€˜π‘‡)β€˜((𝐹 β€œ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅))) βˆͺ (ℝ βˆ– π‘Œ))))
1343, 130, 132, 133mp3an2i 1465 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ((intβ€˜π‘‡)β€˜(𝐹 β€œ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅)))) βŠ† ((intβ€˜π‘‡)β€˜((𝐹 β€œ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅))) βˆͺ (ℝ βˆ– π‘Œ))))
135134, 28sseldd 3983 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (πΉβ€˜πΆ) ∈ ((intβ€˜π‘‡)β€˜((𝐹 β€œ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅))) βˆͺ (ℝ βˆ– π‘Œ))))
136 f1of 6833 . . . . . . . 8 (𝐹:𝑋–1-1-ontoβ†’π‘Œ β†’ 𝐹:π‘‹βŸΆπ‘Œ)
1374, 136syl 17 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐹:π‘‹βŸΆπ‘Œ)
138137, 22ffvelcdmd 7087 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (πΉβ€˜πΆ) ∈ π‘Œ)
139135, 138elind 4194 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (πΉβ€˜πΆ) ∈ (((intβ€˜π‘‡)β€˜((𝐹 β€œ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅))) βˆͺ (ℝ βˆ– π‘Œ))) ∩ π‘Œ))
140 eqid 2731 . . . . . . . 8 (𝑇 β†Ύt π‘Œ) = (𝑇 β†Ύt π‘Œ)
14117, 140restntr 22907 . . . . . . 7 ((𝑇 ∈ Top ∧ π‘Œ βŠ† ℝ ∧ (𝐹 β€œ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅))) βŠ† π‘Œ) β†’ ((intβ€˜(𝑇 β†Ύt π‘Œ))β€˜(𝐹 β€œ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅)))) = (((intβ€˜π‘‡)β€˜((𝐹 β€œ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅))) βˆͺ (ℝ βˆ– π‘Œ))) ∩ π‘Œ))
1423, 12, 14, 141mp3an2i 1465 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((intβ€˜(𝑇 β†Ύt π‘Œ))β€˜(𝐹 β€œ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅)))) = (((intβ€˜π‘‡)β€˜((𝐹 β€œ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅))) βˆͺ (ℝ βˆ– π‘Œ))) ∩ π‘Œ))
143 restabs 22890 . . . . . . . . . 10 ((𝐽 ∈ Top ∧ π‘Œ βŠ† ℝ ∧ ℝ ∈ V) β†’ ((𝐽 β†Ύt ℝ) β†Ύt π‘Œ) = (𝐽 β†Ύt π‘Œ))
14450, 12, 53, 143mp3an2i 1465 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ ((𝐽 β†Ύt ℝ) β†Ύt π‘Œ) = (𝐽 β†Ύt π‘Œ))
14548oveq1i 7422 . . . . . . . . 9 (𝑇 β†Ύt π‘Œ) = ((𝐽 β†Ύt ℝ) β†Ύt π‘Œ)
146144, 145, 1093eqtr4g 2796 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (𝑇 β†Ύt π‘Œ) = 𝑁)
147146fveq2d 6895 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (intβ€˜(𝑇 β†Ύt π‘Œ)) = (intβ€˜π‘))
148147fveq1d 6893 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((intβ€˜(𝑇 β†Ύt π‘Œ))β€˜(𝐹 β€œ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅)))) = ((intβ€˜π‘)β€˜(𝐹 β€œ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅)))))
149142, 148eqtr3d 2773 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (((intβ€˜π‘‡)β€˜((𝐹 β€œ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅))) βˆͺ (ℝ βˆ– π‘Œ))) ∩ π‘Œ) = ((intβ€˜π‘)β€˜(𝐹 β€œ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅)))))
150139, 149eleqtrd 2834 . . . 4 (πœ‘ β†’ (πΉβ€˜πΆ) ∈ ((intβ€˜π‘)β€˜(𝐹 β€œ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅)))))
151126feq2d 6703 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (◑𝐹:π‘ŒβŸΆπ‘‹ ↔ ◑𝐹:βˆͺ π‘βŸΆπ‘‹))
15232, 151mpbid 231 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ◑𝐹:βˆͺ π‘βŸΆπ‘‹)
153 resttopon 22886 . . . . . . . 8 ((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜β„‚) ∧ 𝑋 βŠ† β„‚) β†’ (𝐽 β†Ύt 𝑋) ∈ (TopOnβ€˜π‘‹))
15499, 39, 153sylancr 586 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (𝐽 β†Ύt 𝑋) ∈ (TopOnβ€˜π‘‹))
15580, 154eqeltrid 2836 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹))
156 toponuni 22637 . . . . . 6 (𝑀 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) β†’ 𝑋 = βˆͺ 𝑀)
157 feq3 6700 . . . . . 6 (𝑋 = βˆͺ 𝑀 β†’ (◑𝐹:βˆͺ π‘βŸΆπ‘‹ ↔ ◑𝐹:βˆͺ π‘βŸΆβˆͺ 𝑀))
158155, 156, 1573syl 18 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (◑𝐹:βˆͺ π‘βŸΆπ‘‹ ↔ ◑𝐹:βˆͺ π‘βŸΆβˆͺ 𝑀))
159152, 158mpbid 231 . . . 4 (πœ‘ β†’ ◑𝐹:βˆͺ π‘βŸΆβˆͺ 𝑀)
160 eqid 2731 . . . . 5 βˆͺ 𝑁 = βˆͺ 𝑁
161 eqid 2731 . . . . 5 βˆͺ 𝑀 = βˆͺ 𝑀
162160, 161cnprest 23014 . . . 4 (((𝑁 ∈ Top ∧ (𝐹 β€œ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅))) βŠ† βˆͺ 𝑁) ∧ ((πΉβ€˜πΆ) ∈ ((intβ€˜π‘)β€˜(𝐹 β€œ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅)))) ∧ ◑𝐹:βˆͺ π‘βŸΆβˆͺ 𝑀)) β†’ (◑𝐹 ∈ ((𝑁 CnP 𝑀)β€˜(πΉβ€˜πΆ)) ↔ (◑𝐹 β†Ύ (𝐹 β€œ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅)))) ∈ (((𝑁 β†Ύt (𝐹 β€œ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅)))) CnP 𝑀)β€˜(πΉβ€˜πΆ))))
163124, 127, 150, 159, 162syl22anc 836 . . 3 (πœ‘ β†’ (◑𝐹 ∈ ((𝑁 CnP 𝑀)β€˜(πΉβ€˜πΆ)) ↔ (◑𝐹 β†Ύ (𝐹 β€œ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅)))) ∈ (((𝑁 β†Ύt (𝐹 β€œ ((𝐢 βˆ’ 𝑅)[,](𝐢 + 𝑅)))) CnP 𝑀)β€˜(πΉβ€˜πΆ))))
164118, 163mpbird 257 . 2 (πœ‘ β†’ ◑𝐹 ∈ ((𝑁 CnP 𝑀)β€˜(πΉβ€˜πΆ)))
16529, 164jca 511 1 (πœ‘ β†’ ((πΉβ€˜πΆ) ∈ ((intβ€˜π‘‡)β€˜π‘Œ) ∧ ◑𝐹 ∈ ((𝑁 CnP 𝑀)β€˜(πΉβ€˜πΆ))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2105  Vcvv 3473   βˆ– cdif 3945   βˆͺ cun 3946   ∩ cin 3947   βŠ† wss 3948  βˆͺ cuni 4908   class class class wbr 5148  β—‘ccnv 5675  dom cdm 5676  ran crn 5677   β†Ύ cres 5678   β€œ cima 5679  Fun wfun 6537  βŸΆwf 6539  β€“1-1β†’wf1 6540  β€“ontoβ†’wfo 6541  β€“1-1-ontoβ†’wf1o 6542  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7412  β„‚cc 11112  β„cr 11113  0cc0 11114   + caddc 11117   ≀ cle 11254   βˆ’ cmin 11449  β„+crp 12979  (,)cioo 13329  [,]cicc 13332   β†Ύt crest 17371  TopOpenctopn 17372  topGenctg 17388  β„‚fldccnfld 21145  Topctop 22616  TopOnctopon 22633  intcnt 22742   Cn ccn 22949   CnP ccnp 22950  Compccmp 23111  β€“cnβ†’ccncf 24617   D cdv 25613
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7729  ax-cnex 11170  ax-resscn 11171  ax-1cn 11172  ax-icn 11173  ax-addcl 11174  ax-addrcl 11175  ax-mulcl 11176  ax-mulrcl 11177  ax-mulcom 11178  ax-addass 11179  ax-mulass 11180  ax-distr 11181  ax-i2m1 11182  ax-1ne0 11183  ax-1rid 11184  ax-rnegex 11185  ax-rrecex 11186  ax-cnre 11187  ax-pre-lttri 11188  ax-pre-lttrn 11189  ax-pre-ltadd 11190  ax-pre-mulgt0 11191  ax-pre-sup 11192  ax-addf 11193  ax-mulf 11194
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-iin 5000  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-of 7674  df-om 7860  df-1st 7979  df-2nd 7980  df-supp 8151  df-frecs 8270  df-wrecs 8301  df-recs 8375  df-rdg 8414  df-1o 8470  df-2o 8471  df-er 8707  df-map 8826  df-pm 8827  df-ixp 8896  df-en 8944  df-dom 8945  df-sdom 8946  df-fin 8947  df-fsupp 9366  df-fi 9410  df-sup 9441  df-inf 9442  df-oi 9509  df-card 9938  df-pnf 11255  df-mnf 11256  df-xr 11257  df-ltxr 11258  df-le 11259  df-sub 11451  df-neg 11452  df-div 11877  df-nn 12218  df-2 12280  df-3 12281  df-4 12282  df-5 12283  df-6 12284  df-7 12285  df-8 12286  df-9 12287  df-n0 12478  df-z 12564  df-dec 12683  df-uz 12828  df-q 12938  df-rp 12980  df-xneg 13097  df-xadd 13098  df-xmul 13099  df-ioo 13333  df-ico 13335  df-icc 13336  df-fz 13490  df-fzo 13633  df-seq 13972  df-exp 14033  df-hash 14296  df-cj 15051  df-re 15052  df-im 15053  df-sqrt 15187  df-abs 15188  df-struct 17085  df-sets 17102  df-slot 17120  df-ndx 17132  df-base 17150  df-ress 17179  df-plusg 17215  df-mulr 17216  df-starv 17217  df-sca 17218  df-vsca 17219  df-ip 17220  df-tset 17221  df-ple 17222  df-ds 17224  df-unif 17225  df-hom 17226  df-cco 17227  df-rest 17373  df-topn 17374  df-0g 17392  df-gsum 17393  df-topgen 17394  df-pt 17395  df-prds 17398  df-xrs 17453  df-qtop 17458  df-imas 17459  df-xps 17461  df-mre 17535  df-mrc 17536  df-acs 17538  df-mgm 18566  df-sgrp 18645  df-mnd 18661  df-submnd 18707  df-mulg 18988  df-cntz 19223  df-cmn 19692  df-psmet 21137  df-xmet 21138  df-met 21139  df-bl 21140  df-mopn 21141  df-fbas 21142  df-fg 21143  df-cnfld 21146  df-top 22617  df-topon 22634  df-topsp 22656  df-bases 22670  df-cld 22744  df-ntr 22745  df-cls 22746  df-nei 22823  df-lp 22861  df-perf 22862  df-cn 22952  df-cnp 22953  df-haus 23040  df-cmp 23112  df-tx 23287  df-hmeo 23480  df-fil 23571  df-fm 23663  df-flim 23664  df-flf 23665  df-xms 24047  df-ms 24048  df-tms 24049  df-cncf 24619  df-limc 25616  df-dv 25617
This theorem is referenced by:  dvcnvre  25772
  Copyright terms: Public domain W3C validator