MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dvcnvrelem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dvcnvrelem2 24542
Description: Lemma for dvcnvre 24543. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Feb-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 8-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
dvcnvre.f (𝜑𝐹 ∈ (𝑋cn→ℝ))
dvcnvre.d (𝜑 → dom (ℝ D 𝐹) = 𝑋)
dvcnvre.z (𝜑 → ¬ 0 ∈ ran (ℝ D 𝐹))
dvcnvre.1 (𝜑𝐹:𝑋1-1-onto𝑌)
dvcnvre.c (𝜑𝐶𝑋)
dvcnvre.r (𝜑𝑅 ∈ ℝ+)
dvcnvre.s (𝜑 → ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)) ⊆ 𝑋)
dvcnvre.t 𝑇 = (topGen‘ran (,))
dvcnvre.j 𝐽 = (TopOpen‘ℂfld)
dvcnvre.m 𝑀 = (𝐽t 𝑋)
dvcnvre.n 𝑁 = (𝐽t 𝑌)
Assertion
Ref Expression
dvcnvrelem2 (𝜑 → ((𝐹𝐶) ∈ ((int‘𝑇)‘𝑌) ∧ 𝐹 ∈ ((𝑁 CnP 𝑀)‘(𝐹𝐶))))

Proof of Theorem dvcnvrelem2
StepHypRef Expression
1 dvcnvre.t . . . . 5 𝑇 = (topGen‘ran (,))
2 retop 23297 . . . . 5 (topGen‘ran (,)) ∈ Top
31, 2eqeltri 2906 . . . 4 𝑇 ∈ Top
4 dvcnvre.1 . . . . . 6 (𝜑𝐹:𝑋1-1-onto𝑌)
5 f1ofo 6615 . . . . . 6 (𝐹:𝑋1-1-onto𝑌𝐹:𝑋onto𝑌)
6 forn 6586 . . . . . 6 (𝐹:𝑋onto𝑌 → ran 𝐹 = 𝑌)
74, 5, 63syl 18 . . . . 5 (𝜑 → ran 𝐹 = 𝑌)
8 dvcnvre.f . . . . . 6 (𝜑𝐹 ∈ (𝑋cn→ℝ))
9 cncff 23428 . . . . . 6 (𝐹 ∈ (𝑋cn→ℝ) → 𝐹:𝑋⟶ℝ)
10 frn 6513 . . . . . 6 (𝐹:𝑋⟶ℝ → ran 𝐹 ⊆ ℝ)
118, 9, 103syl 18 . . . . 5 (𝜑 → ran 𝐹 ⊆ ℝ)
127, 11eqsstrrd 4003 . . . 4 (𝜑𝑌 ⊆ ℝ)
13 imassrn 5933 . . . . 5 (𝐹 “ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅))) ⊆ ran 𝐹
1413, 7sseqtrid 4016 . . . 4 (𝜑 → (𝐹 “ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅))) ⊆ 𝑌)
15 uniretop 23298 . . . . . 6 ℝ = (topGen‘ran (,))
161unieqi 4839 . . . . . 6 𝑇 = (topGen‘ran (,))
1715, 16eqtr4i 2844 . . . . 5 ℝ = 𝑇
1817ntrss 21591 . . . 4 ((𝑇 ∈ Top ∧ 𝑌 ⊆ ℝ ∧ (𝐹 “ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅))) ⊆ 𝑌) → ((int‘𝑇)‘(𝐹 “ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)))) ⊆ ((int‘𝑇)‘𝑌))
193, 12, 14, 18mp3an2i 1457 . . 3 (𝜑 → ((int‘𝑇)‘(𝐹 “ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)))) ⊆ ((int‘𝑇)‘𝑌))
20 dvcnvre.d . . . . 5 (𝜑 → dom (ℝ D 𝐹) = 𝑋)
21 dvcnvre.z . . . . 5 (𝜑 → ¬ 0 ∈ ran (ℝ D 𝐹))
22 dvcnvre.c . . . . 5 (𝜑𝐶𝑋)
23 dvcnvre.r . . . . 5 (𝜑𝑅 ∈ ℝ+)
24 dvcnvre.s . . . . 5 (𝜑 → ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)) ⊆ 𝑋)
258, 20, 21, 4, 22, 23, 24dvcnvrelem1 24541 . . . 4 (𝜑 → (𝐹𝐶) ∈ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐹 “ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)))))
261fveq2i 6666 . . . . 5 (int‘𝑇) = (int‘(topGen‘ran (,)))
2726fveq1i 6664 . . . 4 ((int‘𝑇)‘(𝐹 “ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)))) = ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐹 “ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅))))
2825, 27eleqtrrdi 2921 . . 3 (𝜑 → (𝐹𝐶) ∈ ((int‘𝑇)‘(𝐹 “ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)))))
2919, 28sseldd 3965 . 2 (𝜑 → (𝐹𝐶) ∈ ((int‘𝑇)‘𝑌))
30 f1ocnv 6620 . . . . . . 7 (𝐹:𝑋1-1-onto𝑌𝐹:𝑌1-1-onto𝑋)
31 f1of 6608 . . . . . . 7 (𝐹:𝑌1-1-onto𝑋𝐹:𝑌𝑋)
324, 30, 313syl 18 . . . . . 6 (𝜑𝐹:𝑌𝑋)
33 ffun 6510 . . . . . 6 (𝐹:𝑌𝑋 → Fun 𝐹)
34 funcnvres 6425 . . . . . 6 (Fun 𝐹(𝐹 ↾ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅))) = (𝐹 ↾ (𝐹 “ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)))))
3532, 33, 343syl 18 . . . . 5 (𝜑(𝐹 ↾ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅))) = (𝐹 ↾ (𝐹 “ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)))))
36 dvbsss 24427 . . . . . . . . . . 11 dom (ℝ D 𝐹) ⊆ ℝ
3720, 36eqsstrrdi 4019 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑋 ⊆ ℝ)
38 ax-resscn 10582 . . . . . . . . . 10 ℝ ⊆ ℂ
3937, 38sstrdi 3976 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑋 ⊆ ℂ)
40 cncfss 23434 . . . . . . . . 9 ((((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)) ⊆ 𝑋𝑋 ⊆ ℂ) → ((𝐹 “ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)))–cn→((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅))) ⊆ ((𝐹 “ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)))–cn𝑋))
4124, 39, 40syl2anc 584 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝐹 “ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)))–cn→((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅))) ⊆ ((𝐹 “ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)))–cn𝑋))
42 f1of1 6607 . . . . . . . . . . 11 (𝐹:𝑋1-1-onto𝑌𝐹:𝑋1-1𝑌)
434, 42syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐹:𝑋1-1𝑌)
44 f1ores 6622 . . . . . . . . . 10 ((𝐹:𝑋1-1𝑌 ∧ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)) ⊆ 𝑋) → (𝐹 ↾ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅))):((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅))–1-1-onto→(𝐹 “ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅))))
4543, 24, 44syl2anc 584 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐹 ↾ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅))):((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅))–1-1-onto→(𝐹 “ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅))))
46 dvcnvre.j . . . . . . . . . . . . . . 15 𝐽 = (TopOpen‘ℂfld)
4746tgioo2 23338 . . . . . . . . . . . . . 14 (topGen‘ran (,)) = (𝐽t ℝ)
481, 47eqtri 2841 . . . . . . . . . . . . 13 𝑇 = (𝐽t ℝ)
4948oveq1i 7155 . . . . . . . . . . . 12 (𝑇t ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅))) = ((𝐽t ℝ) ↾t ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)))
5046cnfldtop 23319 . . . . . . . . . . . . 13 𝐽 ∈ Top
5124, 37sstrd 3974 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)) ⊆ ℝ)
52 reex 10616 . . . . . . . . . . . . . 14 ℝ ∈ V
5352a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ℝ ∈ V)
54 restabs 21701 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐽 ∈ Top ∧ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)) ⊆ ℝ ∧ ℝ ∈ V) → ((𝐽t ℝ) ↾t ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅))) = (𝐽t ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅))))
5550, 51, 53, 54mp3an2i 1457 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((𝐽t ℝ) ↾t ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅))) = (𝐽t ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅))))
5649, 55syl5eq 2865 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑇t ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅))) = (𝐽t ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅))))
5737, 22sseldd 3965 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐶 ∈ ℝ)
5823rpred 12419 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑅 ∈ ℝ)
5957, 58resubcld 11056 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝐶𝑅) ∈ ℝ)
6057, 58readdcld 10658 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝐶 + 𝑅) ∈ ℝ)
61 eqid 2818 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑇t ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅))) = (𝑇t ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)))
621, 61icccmp 23360 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐶𝑅) ∈ ℝ ∧ (𝐶 + 𝑅) ∈ ℝ) → (𝑇t ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅))) ∈ Comp)
6359, 60, 62syl2anc 584 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑇t ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅))) ∈ Comp)
6456, 63eqeltrrd 2911 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐽t ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅))) ∈ Comp)
65 f1of 6608 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐹 ↾ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅))):((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅))–1-1-onto→(𝐹 “ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅))) → (𝐹 ↾ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅))):((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅))⟶(𝐹 “ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅))))
6645, 65syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐹 ↾ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅))):((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅))⟶(𝐹 “ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅))))
6711, 38sstrdi 3976 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ran 𝐹 ⊆ ℂ)
6813, 67sstrid 3975 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝐹 “ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅))) ⊆ ℂ)
69 rescncf 23432 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)) ⊆ 𝑋 → (𝐹 ∈ (𝑋cn→ℝ) → (𝐹 ↾ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅))) ∈ (((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅))–cn→ℝ)))
7024, 8, 69sylc 65 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝐹 ↾ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅))) ∈ (((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅))–cn→ℝ))
71 cncffvrn 23433 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐹 “ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅))) ⊆ ℂ ∧ (𝐹 ↾ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅))) ∈ (((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅))–cn→ℝ)) → ((𝐹 ↾ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅))) ∈ (((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅))–cn→(𝐹 “ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)))) ↔ (𝐹 ↾ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅))):((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅))⟶(𝐹 “ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)))))
7268, 70, 71syl2anc 584 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((𝐹 ↾ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅))) ∈ (((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅))–cn→(𝐹 “ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)))) ↔ (𝐹 ↾ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅))):((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅))⟶(𝐹 “ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)))))
7366, 72mpbird 258 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐹 ↾ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅))) ∈ (((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅))–cn→(𝐹 “ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)))))
74 eqid 2818 . . . . . . . . . . 11 (𝐽t ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅))) = (𝐽t ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)))
7546, 74cncfcnvcn 23456 . . . . . . . . . 10 (((𝐽t ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅))) ∈ Comp ∧ (𝐹 ↾ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅))) ∈ (((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅))–cn→(𝐹 “ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅))))) → ((𝐹 ↾ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅))):((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅))–1-1-onto→(𝐹 “ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅))) ↔ (𝐹 ↾ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅))) ∈ ((𝐹 “ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)))–cn→((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)))))
7664, 73, 75syl2anc 584 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝐹 ↾ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅))):((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅))–1-1-onto→(𝐹 “ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅))) ↔ (𝐹 ↾ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅))) ∈ ((𝐹 “ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)))–cn→((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)))))
7745, 76mpbid 233 . . . . . . . 8 (𝜑(𝐹 ↾ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅))) ∈ ((𝐹 “ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)))–cn→((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅))))
7841, 77sseldd 3965 . . . . . . 7 (𝜑(𝐹 ↾ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅))) ∈ ((𝐹 “ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)))–cn𝑋))
79 eqid 2818 . . . . . . . . 9 (𝐽t (𝐹 “ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)))) = (𝐽t (𝐹 “ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅))))
80 dvcnvre.m . . . . . . . . 9 𝑀 = (𝐽t 𝑋)
8146, 79, 80cncfcn 23444 . . . . . . . 8 (((𝐹 “ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅))) ⊆ ℂ ∧ 𝑋 ⊆ ℂ) → ((𝐹 “ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)))–cn𝑋) = ((𝐽t (𝐹 “ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)))) Cn 𝑀))
8268, 39, 81syl2anc 584 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝐹 “ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)))–cn𝑋) = ((𝐽t (𝐹 “ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)))) Cn 𝑀))
8378, 82eleqtrd 2912 . . . . . 6 (𝜑(𝐹 ↾ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅))) ∈ ((𝐽t (𝐹 “ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)))) Cn 𝑀))
8457, 23ltsubrpd 12451 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐶𝑅) < 𝐶)
8559, 57, 84ltled 10776 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐶𝑅) ≤ 𝐶)
8657, 23ltaddrpd 12452 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐶 < (𝐶 + 𝑅))
8757, 60, 86ltled 10776 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐶 ≤ (𝐶 + 𝑅))
88 elicc2 12789 . . . . . . . . . 10 (((𝐶𝑅) ∈ ℝ ∧ (𝐶 + 𝑅) ∈ ℝ) → (𝐶 ∈ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)) ↔ (𝐶 ∈ ℝ ∧ (𝐶𝑅) ≤ 𝐶𝐶 ≤ (𝐶 + 𝑅))))
8959, 60, 88syl2anc 584 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐶 ∈ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)) ↔ (𝐶 ∈ ℝ ∧ (𝐶𝑅) ≤ 𝐶𝐶 ≤ (𝐶 + 𝑅))))
9057, 85, 87, 89mpbir3and 1334 . . . . . . . 8 (𝜑𝐶 ∈ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)))
91 ffun 6510 . . . . . . . . . 10 (𝐹:𝑋⟶ℝ → Fun 𝐹)
928, 9, 913syl 18 . . . . . . . . 9 (𝜑 → Fun 𝐹)
93 fdm 6515 . . . . . . . . . . 11 (𝐹:𝑋⟶ℝ → dom 𝐹 = 𝑋)
948, 9, 933syl 18 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → dom 𝐹 = 𝑋)
9524, 94sseqtrrd 4005 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)) ⊆ dom 𝐹)
96 funfvima2 6984 . . . . . . . . 9 ((Fun 𝐹 ∧ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)) ⊆ dom 𝐹) → (𝐶 ∈ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)) → (𝐹𝐶) ∈ (𝐹 “ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)))))
9792, 95, 96syl2anc 584 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐶 ∈ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)) → (𝐹𝐶) ∈ (𝐹 “ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)))))
9890, 97mpd 15 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐹𝐶) ∈ (𝐹 “ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅))))
9946cnfldtopon 23318 . . . . . . . . 9 𝐽 ∈ (TopOn‘ℂ)
100 resttopon 21697 . . . . . . . . 9 ((𝐽 ∈ (TopOn‘ℂ) ∧ (𝐹 “ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅))) ⊆ ℂ) → (𝐽t (𝐹 “ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)))) ∈ (TopOn‘(𝐹 “ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)))))
10199, 68, 100sylancr 587 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐽t (𝐹 “ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)))) ∈ (TopOn‘(𝐹 “ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)))))
102 toponuni 21450 . . . . . . . 8 ((𝐽t (𝐹 “ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)))) ∈ (TopOn‘(𝐹 “ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)))) → (𝐹 “ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅))) = (𝐽t (𝐹 “ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)))))
103101, 102syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐹 “ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅))) = (𝐽t (𝐹 “ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)))))
10498, 103eleqtrd 2912 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐹𝐶) ∈ (𝐽t (𝐹 “ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)))))
105 eqid 2818 . . . . . . 7 (𝐽t (𝐹 “ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)))) = (𝐽t (𝐹 “ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅))))
106105cncnpi 21814 . . . . . 6 (((𝐹 ↾ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅))) ∈ ((𝐽t (𝐹 “ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)))) Cn 𝑀) ∧ (𝐹𝐶) ∈ (𝐽t (𝐹 “ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅))))) → (𝐹 ↾ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅))) ∈ (((𝐽t (𝐹 “ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)))) CnP 𝑀)‘(𝐹𝐶)))
10783, 104, 106syl2anc 584 . . . . 5 (𝜑(𝐹 ↾ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅))) ∈ (((𝐽t (𝐹 “ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)))) CnP 𝑀)‘(𝐹𝐶)))
10835, 107eqeltrrd 2911 . . . 4 (𝜑 → (𝐹 ↾ (𝐹 “ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)))) ∈ (((𝐽t (𝐹 “ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)))) CnP 𝑀)‘(𝐹𝐶)))
109 dvcnvre.n . . . . . . . 8 𝑁 = (𝐽t 𝑌)
110109oveq1i 7155 . . . . . . 7 (𝑁t (𝐹 “ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)))) = ((𝐽t 𝑌) ↾t (𝐹 “ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅))))
111 ssexg 5218 . . . . . . . . 9 ((𝑌 ⊆ ℝ ∧ ℝ ∈ V) → 𝑌 ∈ V)
11212, 52, 111sylancl 586 . . . . . . . 8 (𝜑𝑌 ∈ V)
113 restabs 21701 . . . . . . . 8 ((𝐽 ∈ Top ∧ (𝐹 “ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅))) ⊆ 𝑌𝑌 ∈ V) → ((𝐽t 𝑌) ↾t (𝐹 “ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)))) = (𝐽t (𝐹 “ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)))))
11450, 14, 112, 113mp3an2i 1457 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝐽t 𝑌) ↾t (𝐹 “ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)))) = (𝐽t (𝐹 “ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)))))
115110, 114syl5eq 2865 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑁t (𝐹 “ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)))) = (𝐽t (𝐹 “ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)))))
116115oveq1d 7160 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑁t (𝐹 “ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)))) CnP 𝑀) = ((𝐽t (𝐹 “ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)))) CnP 𝑀))
117116fveq1d 6665 . . . 4 (𝜑 → (((𝑁t (𝐹 “ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)))) CnP 𝑀)‘(𝐹𝐶)) = (((𝐽t (𝐹 “ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)))) CnP 𝑀)‘(𝐹𝐶)))
118108, 117eleqtrrd 2913 . . 3 (𝜑 → (𝐹 ↾ (𝐹 “ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)))) ∈ (((𝑁t (𝐹 “ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)))) CnP 𝑀)‘(𝐹𝐶)))
11912, 38sstrdi 3976 . . . . . . 7 (𝜑𝑌 ⊆ ℂ)
120 resttopon 21697 . . . . . . 7 ((𝐽 ∈ (TopOn‘ℂ) ∧ 𝑌 ⊆ ℂ) → (𝐽t 𝑌) ∈ (TopOn‘𝑌))
12199, 119, 120sylancr 587 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐽t 𝑌) ∈ (TopOn‘𝑌))
122109, 121eqeltrid 2914 . . . . 5 (𝜑𝑁 ∈ (TopOn‘𝑌))
123 topontop 21449 . . . . 5 (𝑁 ∈ (TopOn‘𝑌) → 𝑁 ∈ Top)
124122, 123syl 17 . . . 4 (𝜑𝑁 ∈ Top)
125 toponuni 21450 . . . . . 6 (𝑁 ∈ (TopOn‘𝑌) → 𝑌 = 𝑁)
126122, 125syl 17 . . . . 5 (𝜑𝑌 = 𝑁)
12714, 126sseqtrd 4004 . . . 4 (𝜑 → (𝐹 “ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅))) ⊆ 𝑁)
12814, 12sstrd 3974 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐹 “ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅))) ⊆ ℝ)
129 difssd 4106 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (ℝ ∖ 𝑌) ⊆ ℝ)
130128, 129unssd 4159 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝐹 “ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅))) ∪ (ℝ ∖ 𝑌)) ⊆ ℝ)
131 ssun1 4145 . . . . . . . . 9 (𝐹 “ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅))) ⊆ ((𝐹 “ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅))) ∪ (ℝ ∖ 𝑌))
132131a1i 11 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐹 “ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅))) ⊆ ((𝐹 “ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅))) ∪ (ℝ ∖ 𝑌)))
13317ntrss 21591 . . . . . . . 8 ((𝑇 ∈ Top ∧ ((𝐹 “ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅))) ∪ (ℝ ∖ 𝑌)) ⊆ ℝ ∧ (𝐹 “ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅))) ⊆ ((𝐹 “ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅))) ∪ (ℝ ∖ 𝑌))) → ((int‘𝑇)‘(𝐹 “ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)))) ⊆ ((int‘𝑇)‘((𝐹 “ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅))) ∪ (ℝ ∖ 𝑌))))
1343, 130, 132, 133mp3an2i 1457 . . . . . . 7 (𝜑 → ((int‘𝑇)‘(𝐹 “ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)))) ⊆ ((int‘𝑇)‘((𝐹 “ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅))) ∪ (ℝ ∖ 𝑌))))
135134, 28sseldd 3965 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐹𝐶) ∈ ((int‘𝑇)‘((𝐹 “ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅))) ∪ (ℝ ∖ 𝑌))))
136 f1of 6608 . . . . . . . 8 (𝐹:𝑋1-1-onto𝑌𝐹:𝑋𝑌)
1374, 136syl 17 . . . . . . 7 (𝜑𝐹:𝑋𝑌)
138137, 22ffvelrnd 6844 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐹𝐶) ∈ 𝑌)
139135, 138elind 4168 . . . . 5 (𝜑 → (𝐹𝐶) ∈ (((int‘𝑇)‘((𝐹 “ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅))) ∪ (ℝ ∖ 𝑌))) ∩ 𝑌))
140 eqid 2818 . . . . . . . 8 (𝑇t 𝑌) = (𝑇t 𝑌)
14117, 140restntr 21718 . . . . . . 7 ((𝑇 ∈ Top ∧ 𝑌 ⊆ ℝ ∧ (𝐹 “ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅))) ⊆ 𝑌) → ((int‘(𝑇t 𝑌))‘(𝐹 “ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)))) = (((int‘𝑇)‘((𝐹 “ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅))) ∪ (ℝ ∖ 𝑌))) ∩ 𝑌))
1423, 12, 14, 141mp3an2i 1457 . . . . . 6 (𝜑 → ((int‘(𝑇t 𝑌))‘(𝐹 “ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)))) = (((int‘𝑇)‘((𝐹 “ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅))) ∪ (ℝ ∖ 𝑌))) ∩ 𝑌))
143 restabs 21701 . . . . . . . . . 10 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑌 ⊆ ℝ ∧ ℝ ∈ V) → ((𝐽t ℝ) ↾t 𝑌) = (𝐽t 𝑌))
14450, 12, 53, 143mp3an2i 1457 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝐽t ℝ) ↾t 𝑌) = (𝐽t 𝑌))
14548oveq1i 7155 . . . . . . . . 9 (𝑇t 𝑌) = ((𝐽t ℝ) ↾t 𝑌)
146144, 145, 1093eqtr4g 2878 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑇t 𝑌) = 𝑁)
147146fveq2d 6667 . . . . . . 7 (𝜑 → (int‘(𝑇t 𝑌)) = (int‘𝑁))
148147fveq1d 6665 . . . . . 6 (𝜑 → ((int‘(𝑇t 𝑌))‘(𝐹 “ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)))) = ((int‘𝑁)‘(𝐹 “ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)))))
149142, 148eqtr3d 2855 . . . . 5 (𝜑 → (((int‘𝑇)‘((𝐹 “ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅))) ∪ (ℝ ∖ 𝑌))) ∩ 𝑌) = ((int‘𝑁)‘(𝐹 “ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)))))
150139, 149eleqtrd 2912 . . . 4 (𝜑 → (𝐹𝐶) ∈ ((int‘𝑁)‘(𝐹 “ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)))))
151126feq2d 6493 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐹:𝑌𝑋𝐹: 𝑁𝑋))
15232, 151mpbid 233 . . . . 5 (𝜑𝐹: 𝑁𝑋)
153 resttopon 21697 . . . . . . . 8 ((𝐽 ∈ (TopOn‘ℂ) ∧ 𝑋 ⊆ ℂ) → (𝐽t 𝑋) ∈ (TopOn‘𝑋))
15499, 39, 153sylancr 587 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐽t 𝑋) ∈ (TopOn‘𝑋))
15580, 154eqeltrid 2914 . . . . . 6 (𝜑𝑀 ∈ (TopOn‘𝑋))
156 toponuni 21450 . . . . . 6 (𝑀 ∈ (TopOn‘𝑋) → 𝑋 = 𝑀)
157 feq3 6490 . . . . . 6 (𝑋 = 𝑀 → (𝐹: 𝑁𝑋𝐹: 𝑁 𝑀))
158155, 156, 1573syl 18 . . . . 5 (𝜑 → (𝐹: 𝑁𝑋𝐹: 𝑁 𝑀))
159152, 158mpbid 233 . . . 4 (𝜑𝐹: 𝑁 𝑀)
160 eqid 2818 . . . . 5 𝑁 = 𝑁
161 eqid 2818 . . . . 5 𝑀 = 𝑀
162160, 161cnprest 21825 . . . 4 (((𝑁 ∈ Top ∧ (𝐹 “ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅))) ⊆ 𝑁) ∧ ((𝐹𝐶) ∈ ((int‘𝑁)‘(𝐹 “ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)))) ∧ 𝐹: 𝑁 𝑀)) → (𝐹 ∈ ((𝑁 CnP 𝑀)‘(𝐹𝐶)) ↔ (𝐹 ↾ (𝐹 “ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)))) ∈ (((𝑁t (𝐹 “ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)))) CnP 𝑀)‘(𝐹𝐶))))
163124, 127, 150, 159, 162syl22anc 834 . . 3 (𝜑 → (𝐹 ∈ ((𝑁 CnP 𝑀)‘(𝐹𝐶)) ↔ (𝐹 ↾ (𝐹 “ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)))) ∈ (((𝑁t (𝐹 “ ((𝐶𝑅)[,](𝐶 + 𝑅)))) CnP 𝑀)‘(𝐹𝐶))))
164118, 163mpbird 258 . 2 (𝜑𝐹 ∈ ((𝑁 CnP 𝑀)‘(𝐹𝐶)))
16529, 164jca 512 1 (𝜑 → ((𝐹𝐶) ∈ ((int‘𝑇)‘𝑌) ∧ 𝐹 ∈ ((𝑁 CnP 𝑀)‘(𝐹𝐶))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 207  wa 396  w3a 1079   = wceq 1528  wcel 2105  Vcvv 3492  cdif 3930  cun 3931  cin 3932  wss 3933   cuni 4830   class class class wbr 5057  ccnv 5547  dom cdm 5548  ran crn 5549  cres 5550  cima 5551  Fun wfun 6342  wf 6344  1-1wf1 6345  ontowfo 6346  1-1-ontowf1o 6347  cfv 6348  (class class class)co 7145  cc 10523  cr 10524  0cc0 10525   + caddc 10528  cle 10664  cmin 10858  +crp 12377  (,)cioo 12726  [,]cicc 12729  t crest 16682  TopOpenctopn 16683  topGenctg 16699  fldccnfld 20473  Topctop 21429  TopOnctopon 21446  intcnt 21553   Cn ccn 21760   CnP ccnp 21761  Compccmp 21922  cnccncf 23411   D cdv 24388
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-rep 5181  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450  ax-cnex 10581  ax-resscn 10582  ax-1cn 10583  ax-icn 10584  ax-addcl 10585  ax-addrcl 10586  ax-mulcl 10587  ax-mulrcl 10588  ax-mulcom 10589  ax-addass 10590  ax-mulass 10591  ax-distr 10592  ax-i2m1 10593  ax-1ne0 10594  ax-1rid 10595  ax-rnegex 10596  ax-rrecex 10597  ax-cnre 10598  ax-pre-lttri 10599  ax-pre-lttrn 10600  ax-pre-ltadd 10601  ax-pre-mulgt0 10602  ax-pre-sup 10603  ax-addf 10604  ax-mulf 10605
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-nel 3121  df-ral 3140  df-rex 3141  df-reu 3142  df-rmo 3143  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-pss 3951  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-tp 4562  df-op 4564  df-uni 4831  df-int 4868  df-iun 4912  df-iin 4913  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-se 5508  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-isom 6357  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-of 7398  df-om 7570  df-1st 7678  df-2nd 7679  df-supp 7820  df-wrecs 7936  df-recs 7997  df-rdg 8035  df-1o 8091  df-2o 8092  df-oadd 8095  df-er 8278  df-map 8397  df-pm 8398  df-ixp 8450  df-en 8498  df-dom 8499  df-sdom 8500  df-fin 8501  df-fsupp 8822  df-fi 8863  df-sup 8894  df-inf 8895  df-oi 8962  df-card 9356  df-pnf 10665  df-mnf 10666  df-xr 10667  df-ltxr 10668  df-le 10669  df-sub 10860  df-neg 10861  df-div 11286  df-nn 11627  df-2 11688  df-3 11689  df-4 11690  df-5 11691  df-6 11692  df-7 11693  df-8 11694  df-9 11695  df-n0 11886  df-z 11970  df-dec 12087  df-uz 12232  df-q 12337  df-rp 12378  df-xneg 12495  df-xadd 12496  df-xmul 12497  df-ioo 12730  df-ico 12732  df-icc 12733  df-fz 12881  df-fzo 13022  df-seq 13358  df-exp 13418  df-hash 13679  df-cj 14446  df-re 14447  df-im 14448  df-sqrt 14582  df-abs 14583  df-struct 16473  df-ndx 16474  df-slot 16475  df-base 16477  df-sets 16478  df-ress 16479  df-plusg 16566  df-mulr 16567  df-starv 16568  df-sca 16569  df-vsca 16570  df-ip 16571  df-tset 16572  df-ple 16573  df-ds 16575  df-unif 16576  df-hom 16577  df-cco 16578  df-rest 16684  df-topn 16685  df-0g 16703  df-gsum 16704  df-topgen 16705  df-pt 16706  df-prds 16709  df-xrs 16763  df-qtop 16768  df-imas 16769  df-xps 16771  df-mre 16845  df-mrc 16846  df-acs 16848  df-mgm 17840  df-sgrp 17889  df-mnd 17900  df-submnd 17945  df-mulg 18163  df-cntz 18385  df-cmn 18837  df-psmet 20465  df-xmet 20466  df-met 20467  df-bl 20468  df-mopn 20469  df-fbas 20470  df-fg 20471  df-cnfld 20474  df-top 21430  df-topon 21447  df-topsp 21469  df-bases 21482  df-cld 21555  df-ntr 21556  df-cls 21557  df-nei 21634  df-lp 21672  df-perf 21673  df-cn 21763  df-cnp 21764  df-haus 21851  df-cmp 21923  df-tx 22098  df-hmeo 22291  df-fil 22382  df-fm 22474  df-flim 22475  df-flf 22476  df-xms 22857  df-ms 22858  df-tms 22859  df-cncf 23413  df-limc 24391  df-dv 24392
This theorem is referenced by:  dvcnvre  24543
  Copyright terms: Public domain W3C validator