Theorem resss 5949

Description: A class includes its restriction. Exercise 15 of [TakeutiZaring] p. 25. (Contributed by NM, 2-Aug-1994.)

Assertion

Ref	Expression
resss	⊢ (𝐴 ↾ 𝐵) ⊆ 𝐴

Proof of Theorem resss

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-res 5626	. 2 ⊢ (𝐴 ↾ 𝐵) = (𝐴 ∩ (𝐵 × V))
2		inss1 4184	. 2 ⊢ (𝐴 ∩ (𝐵 × V)) ⊆ 𝐴
3	1, 2	eqsstri 3976	1 ⊢ (𝐴 ↾ 𝐵) ⊆ 𝐴

Syntax hints:  Vcvv 3436   ∩ cin 3896   ⊆ wss 3897   × cxp 5612   ↾ cres 5616

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-ext 2703

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-tru 1544  df-ex 1781  df-sb 2068  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-v 3438  df-in 3904  df-ss 3914  df-res 5626

This theorem is referenced by:  dmresss  5959  rnresss  5965  relssres  5970  resexg  5975  iss  5983  mptss  5990  relresfld  6223  funres  6523  funres11  6558  funcnvres  6559  2elresin  6602  fssres  6689  foimacnv  6780  frxp  8056  fnwelem  8061  tposss  8157  dftpos4  8175  smores  8272  smores2  8274  tfrlem15  8311  finresfin  9156  imafi  9199  fidomdm  9218  marypha1lem  9317  hartogslem1  9428  r0weon  9903  ackbij2lem3  10131  axdc3lem2  10342  dmct  10415  smobeth  10477  wunres  10622  vdwnnlem1  16907  symgsssg  19379  symgfisg  19380  psgnunilem5  19406  odf1o2  19485  gsumzres  19821  gsumzaddlem  19833  gsumzadd  19834  gsum2dlem2  19883  dprdfadd  19934  dprdres  19942  dprd2dlem1  19955  dprd2da  19956  lindfres  21760  opsrtoslem2  21991  txss12  23520  txbasval  23521  fmss  23861  ustneism  24139  trust  24144  isngp2  24512  equivcau  25227  metsscmetcld  25242  volf  25457  dvcnvrelem1  25949  pserdv  26366  dvlog  26587  dchrelbas2  27175  issubgr2  29250  subgrprop2  29252  uhgrspansubgr  29269  hlimadd  31173  hlimcaui  31216  hhssabloilem  31241  hhsst  31246  hhsssh2  31250  hhsscms  31258  occllem  31283  nlelchi  32041  hmopidmchi  32131  fnresin  32607  fressupp  32669  imafi2  32693  pfxrn2  32921  omsmon  34311  carsggect  34331  eulerpartlemmf  34388  funpartss  35988  brresi2  37770  bnd2lem  37841  idresssidinxp  38356  disjimres  38858  aks6d1c2  42233  eqresfnbd  42335  diophrw  42862  dnnumch2  43148  lmhmlnmsplit  43190  hbtlem6  43232  dfrcl2  43777  relexpaddss  43821  cotrclrcl  43845  frege131d  43867  resimass  45347  fourierdlem42  46257  fourierdlem80  46294  isubgredgss  47975  isubgrsubgr  47979  setrecsres  49813