MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  efopnlem2 Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem efopnlem2 26401
Description: Lemma for efopn 26402. (Contributed by Mario Carneiro, 2-May-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
efopn.j 𝐽 = (TopOpenβ€˜β„‚fld)
Assertion
Ref Expression
efopnlem2 ((𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 𝑅 < Ο€) β†’ (exp β€œ (0(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))𝑅)) ∈ 𝐽)
Proof of Theorem efopnlem2
Dummy variable π‘₯ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 logf1o 26309 . . . . . . . 8 log:(β„‚ βˆ– {0})–1-1-ontoβ†’ran log
2 f1orn 6842 . . . . . . . . 9 (log:(β„‚ βˆ– {0})–1-1-ontoβ†’ran log ↔ (log Fn (β„‚ βˆ– {0}) ∧ Fun β—‘log))
32simprbi 495 . . . . . . . 8 (log:(β„‚ βˆ– {0})–1-1-ontoβ†’ran log β†’ Fun β—‘log)
4 funcnvres 6625 . . . . . . . 8 (Fun β—‘log β†’ β—‘(log β†Ύ (β„‚ βˆ– (-∞(,]0))) = (β—‘log β†Ύ (log β€œ (β„‚ βˆ– (-∞(,]0)))))
51, 3, 4mp2b 10 . . . . . . 7 β—‘(log β†Ύ (β„‚ βˆ– (-∞(,]0))) = (β—‘log β†Ύ (log β€œ (β„‚ βˆ– (-∞(,]0))))
6 df-log 26301 . . . . . . . . . 10 log = β—‘(exp β†Ύ (β—‘β„‘ β€œ (-Ο€(,]Ο€)))
76cnveqi 5873 . . . . . . . . 9 β—‘log = β—‘β—‘(exp β†Ύ (β—‘β„‘ β€œ (-Ο€(,]Ο€)))
8 relres 6009 . . . . . . . . . 10 Rel (exp β†Ύ (β—‘β„‘ β€œ (-Ο€(,]Ο€)))
9 dfrel2 6187 . . . . . . . . . 10 (Rel (exp β†Ύ (β—‘β„‘ β€œ (-Ο€(,]Ο€))) ↔ β—‘β—‘(exp β†Ύ (β—‘β„‘ β€œ (-Ο€(,]Ο€))) = (exp β†Ύ (β—‘β„‘ β€œ (-Ο€(,]Ο€))))
108, 9mpbi 229 . . . . . . . . 9 β—‘β—‘(exp β†Ύ (β—‘β„‘ β€œ (-Ο€(,]Ο€))) = (exp β†Ύ (β—‘β„‘ β€œ (-Ο€(,]Ο€)))
117, 10eqtri 2758 . . . . . . . 8 β—‘log = (exp β†Ύ (β—‘β„‘ β€œ (-Ο€(,]Ο€)))
1211reseq1i 5976 . . . . . . 7 (β—‘log β†Ύ (log β€œ (β„‚ βˆ– (-∞(,]0)))) = ((exp β†Ύ (β—‘β„‘ β€œ (-Ο€(,]Ο€))) β†Ύ (log β€œ (β„‚ βˆ– (-∞(,]0))))
13 imassrn 6069 . . . . . . . . 9 (log β€œ (β„‚ βˆ– (-∞(,]0))) βŠ† ran log
14 logrn 26303 . . . . . . . . 9 ran log = (β—‘β„‘ β€œ (-Ο€(,]Ο€))
1513, 14sseqtri 4017 . . . . . . . 8 (log β€œ (β„‚ βˆ– (-∞(,]0))) βŠ† (β—‘β„‘ β€œ (-Ο€(,]Ο€))
16 resabs1 6010 . . . . . . . 8 ((log β€œ (β„‚ βˆ– (-∞(,]0))) βŠ† (β—‘β„‘ β€œ (-Ο€(,]Ο€)) β†’ ((exp β†Ύ (β—‘β„‘ β€œ (-Ο€(,]Ο€))) β†Ύ (log β€œ (β„‚ βˆ– (-∞(,]0)))) = (exp β†Ύ (log β€œ (β„‚ βˆ– (-∞(,]0)))))
1715, 16ax-mp 5 . . . . . . 7 ((exp β†Ύ (β—‘β„‘ β€œ (-Ο€(,]Ο€))) β†Ύ (log β€œ (β„‚ βˆ– (-∞(,]0)))) = (exp β†Ύ (log β€œ (β„‚ βˆ– (-∞(,]0))))
185, 12, 173eqtri 2762 . . . . . 6 β—‘(log β†Ύ (β„‚ βˆ– (-∞(,]0))) = (exp β†Ύ (log β€œ (β„‚ βˆ– (-∞(,]0))))
1918imaeq1i 6055 . . . . 5 (β—‘(log β†Ύ (β„‚ βˆ– (-∞(,]0))) β€œ (0(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))𝑅)) = ((exp β†Ύ (log β€œ (β„‚ βˆ– (-∞(,]0)))) β€œ (0(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))𝑅))
20 cnxmet 24509 . . . . . . . . . . . 12 (abs ∘ βˆ’ ) ∈ (∞Metβ€˜β„‚)
21 0cnd 11211 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 𝑅 < Ο€) β†’ 0 ∈ β„‚)
22 rpxr 12987 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑅 ∈ ℝ+ β†’ 𝑅 ∈ ℝ*)
2322adantr 479 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 𝑅 < Ο€) β†’ 𝑅 ∈ ℝ*)
24 blssm 24144 . . . . . . . . . . . 12 (((abs ∘ βˆ’ ) ∈ (∞Metβ€˜β„‚) ∧ 0 ∈ β„‚ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) β†’ (0(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))𝑅) βŠ† β„‚)
2520, 21, 23, 24mp3an2i 1464 . . . . . . . . . . 11 ((𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 𝑅 < Ο€) β†’ (0(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))𝑅) βŠ† β„‚)
2625sselda 3981 . . . . . . . . . 10 (((𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 𝑅 < Ο€) ∧ π‘₯ ∈ (0(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))𝑅)) β†’ π‘₯ ∈ β„‚)
2726imcld 15146 . . . . . . . . . . 11 (((𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 𝑅 < Ο€) ∧ π‘₯ ∈ (0(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))𝑅)) β†’ (β„‘β€˜π‘₯) ∈ ℝ)
28 efopnlem1 26400 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 𝑅 < Ο€) ∧ π‘₯ ∈ (0(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))𝑅)) β†’ (absβ€˜(β„‘β€˜π‘₯)) < Ο€)
29 pire 26204 . . . . . . . . . . . . . 14 Ο€ ∈ ℝ
30 abslt 15265 . . . . . . . . . . . . . 14 (((β„‘β€˜π‘₯) ∈ ℝ ∧ Ο€ ∈ ℝ) β†’ ((absβ€˜(β„‘β€˜π‘₯)) < Ο€ ↔ (-Ο€ < (β„‘β€˜π‘₯) ∧ (β„‘β€˜π‘₯) < Ο€)))
3127, 29, 30sylancl 584 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 𝑅 < Ο€) ∧ π‘₯ ∈ (0(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))𝑅)) β†’ ((absβ€˜(β„‘β€˜π‘₯)) < Ο€ ↔ (-Ο€ < (β„‘β€˜π‘₯) ∧ (β„‘β€˜π‘₯) < Ο€)))
3228, 31mpbid 231 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 𝑅 < Ο€) ∧ π‘₯ ∈ (0(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))𝑅)) β†’ (-Ο€ < (β„‘β€˜π‘₯) ∧ (β„‘β€˜π‘₯) < Ο€))
3332simpld 493 . . . . . . . . . . 11 (((𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 𝑅 < Ο€) ∧ π‘₯ ∈ (0(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))𝑅)) β†’ -Ο€ < (β„‘β€˜π‘₯))
3432simprd 494 . . . . . . . . . . 11 (((𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 𝑅 < Ο€) ∧ π‘₯ ∈ (0(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))𝑅)) β†’ (β„‘β€˜π‘₯) < Ο€)
3529renegcli 11525 . . . . . . . . . . . . 13 -Ο€ ∈ ℝ
3635rexri 11276 . . . . . . . . . . . 12 -Ο€ ∈ ℝ*
3729rexri 11276 . . . . . . . . . . . 12 Ο€ ∈ ℝ*
38 elioo2 13369 . . . . . . . . . . . 12 ((-Ο€ ∈ ℝ* ∧ Ο€ ∈ ℝ*) β†’ ((β„‘β€˜π‘₯) ∈ (-Ο€(,)Ο€) ↔ ((β„‘β€˜π‘₯) ∈ ℝ ∧ -Ο€ < (β„‘β€˜π‘₯) ∧ (β„‘β€˜π‘₯) < Ο€)))
3936, 37, 38mp2an 688 . . . . . . . . . . 11 ((β„‘β€˜π‘₯) ∈ (-Ο€(,)Ο€) ↔ ((β„‘β€˜π‘₯) ∈ ℝ ∧ -Ο€ < (β„‘β€˜π‘₯) ∧ (β„‘β€˜π‘₯) < Ο€))
4027, 33, 34, 39syl3anbrc 1341 . . . . . . . . . 10 (((𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 𝑅 < Ο€) ∧ π‘₯ ∈ (0(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))𝑅)) β†’ (β„‘β€˜π‘₯) ∈ (-Ο€(,)Ο€))
41 imf 15064 . . . . . . . . . . 11 β„‘:β„‚βŸΆβ„
42 ffn 6716 . . . . . . . . . . 11 (β„‘:β„‚βŸΆβ„ β†’ β„‘ Fn β„‚)
43 elpreima 7058 . . . . . . . . . . 11 (β„‘ Fn β„‚ β†’ (π‘₯ ∈ (β—‘β„‘ β€œ (-Ο€(,)Ο€)) ↔ (π‘₯ ∈ β„‚ ∧ (β„‘β€˜π‘₯) ∈ (-Ο€(,)Ο€))))
4441, 42, 43mp2b 10 . . . . . . . . . 10 (π‘₯ ∈ (β—‘β„‘ β€œ (-Ο€(,)Ο€)) ↔ (π‘₯ ∈ β„‚ ∧ (β„‘β€˜π‘₯) ∈ (-Ο€(,)Ο€)))
4526, 40, 44sylanbrc 581 . . . . . . . . 9 (((𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 𝑅 < Ο€) ∧ π‘₯ ∈ (0(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))𝑅)) β†’ π‘₯ ∈ (β—‘β„‘ β€œ (-Ο€(,)Ο€)))
4645ex 411 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 𝑅 < Ο€) β†’ (π‘₯ ∈ (0(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))𝑅) β†’ π‘₯ ∈ (β—‘β„‘ β€œ (-Ο€(,)Ο€))))
4746ssrdv 3987 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 𝑅 < Ο€) β†’ (0(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))𝑅) βŠ† (β—‘β„‘ β€œ (-Ο€(,)Ο€)))
48 df-ima 5688 . . . . . . . 8 (log β€œ (β„‚ βˆ– (-∞(,]0))) = ran (log β†Ύ (β„‚ βˆ– (-∞(,]0)))
49 eqid 2730 . . . . . . . . . 10 (β„‚ βˆ– (-∞(,]0)) = (β„‚ βˆ– (-∞(,]0))
5049logf1o2 26394 . . . . . . . . 9 (log β†Ύ (β„‚ βˆ– (-∞(,]0))):(β„‚ βˆ– (-∞(,]0))–1-1-ontoβ†’(β—‘β„‘ β€œ (-Ο€(,)Ο€))
51 f1ofo 6839 . . . . . . . . 9 ((log β†Ύ (β„‚ βˆ– (-∞(,]0))):(β„‚ βˆ– (-∞(,]0))–1-1-ontoβ†’(β—‘β„‘ β€œ (-Ο€(,)Ο€)) β†’ (log β†Ύ (β„‚ βˆ– (-∞(,]0))):(β„‚ βˆ– (-∞(,]0))–ontoβ†’(β—‘β„‘ β€œ (-Ο€(,)Ο€)))
52 forn 6807 . . . . . . . . 9 ((log β†Ύ (β„‚ βˆ– (-∞(,]0))):(β„‚ βˆ– (-∞(,]0))–ontoβ†’(β—‘β„‘ β€œ (-Ο€(,)Ο€)) β†’ ran (log β†Ύ (β„‚ βˆ– (-∞(,]0))) = (β—‘β„‘ β€œ (-Ο€(,)Ο€)))
5350, 51, 52mp2b 10 . . . . . . . 8 ran (log β†Ύ (β„‚ βˆ– (-∞(,]0))) = (β—‘β„‘ β€œ (-Ο€(,)Ο€))
5448, 53eqtri 2758 . . . . . . 7 (log β€œ (β„‚ βˆ– (-∞(,]0))) = (β—‘β„‘ β€œ (-Ο€(,)Ο€))
5547, 54sseqtrrdi 4032 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 𝑅 < Ο€) β†’ (0(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))𝑅) βŠ† (log β€œ (β„‚ βˆ– (-∞(,]0))))
56 resima2 6015 . . . . . 6 ((0(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))𝑅) βŠ† (log β€œ (β„‚ βˆ– (-∞(,]0))) β†’ ((exp β†Ύ (log β€œ (β„‚ βˆ– (-∞(,]0)))) β€œ (0(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))𝑅)) = (exp β€œ (0(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))𝑅)))
5755, 56syl 17 . . . . 5 ((𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 𝑅 < Ο€) β†’ ((exp β†Ύ (log β€œ (β„‚ βˆ– (-∞(,]0)))) β€œ (0(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))𝑅)) = (exp β€œ (0(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))𝑅)))
5819, 57eqtrid 2782 . . . 4 ((𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 𝑅 < Ο€) β†’ (β—‘(log β†Ύ (β„‚ βˆ– (-∞(,]0))) β€œ (0(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))𝑅)) = (exp β€œ (0(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))𝑅)))
5949logcn 26391 . . . . . 6 (log β†Ύ (β„‚ βˆ– (-∞(,]0))) ∈ ((β„‚ βˆ– (-∞(,]0))–cnβ†’β„‚)
60 difss 4130 . . . . . . 7 (β„‚ βˆ– (-∞(,]0)) βŠ† β„‚
61 ssid 4003 . . . . . . 7 β„‚ βŠ† β„‚
62 efopn.j . . . . . . . 8 𝐽 = (TopOpenβ€˜β„‚fld)
63 eqid 2730 . . . . . . . 8 (𝐽 β†Ύt (β„‚ βˆ– (-∞(,]0))) = (𝐽 β†Ύt (β„‚ βˆ– (-∞(,]0)))
6462cnfldtopon 24519 . . . . . . . . 9 𝐽 ∈ (TopOnβ€˜β„‚)
6564toponrestid 22643 . . . . . . . 8 𝐽 = (𝐽 β†Ύt β„‚)
6662, 63, 65cncfcn 24650 . . . . . . 7 (((β„‚ βˆ– (-∞(,]0)) βŠ† β„‚ ∧ β„‚ βŠ† β„‚) β†’ ((β„‚ βˆ– (-∞(,]0))–cnβ†’β„‚) = ((𝐽 β†Ύt (β„‚ βˆ– (-∞(,]0))) Cn 𝐽))
6760, 61, 66mp2an 688 . . . . . 6 ((β„‚ βˆ– (-∞(,]0))–cnβ†’β„‚) = ((𝐽 β†Ύt (β„‚ βˆ– (-∞(,]0))) Cn 𝐽)
6859, 67eleqtri 2829 . . . . 5 (log β†Ύ (β„‚ βˆ– (-∞(,]0))) ∈ ((𝐽 β†Ύt (β„‚ βˆ– (-∞(,]0))) Cn 𝐽)
6962cnfldtopn 24518 . . . . . . 7 𝐽 = (MetOpenβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))
7069blopn 24229 . . . . . 6 (((abs ∘ βˆ’ ) ∈ (∞Metβ€˜β„‚) ∧ 0 ∈ β„‚ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) β†’ (0(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))𝑅) ∈ 𝐽)
7120, 21, 23, 70mp3an2i 1464 . . . . 5 ((𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 𝑅 < Ο€) β†’ (0(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))𝑅) ∈ 𝐽)
72 cnima 22989 . . . . 5 (((log β†Ύ (β„‚ βˆ– (-∞(,]0))) ∈ ((𝐽 β†Ύt (β„‚ βˆ– (-∞(,]0))) Cn 𝐽) ∧ (0(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))𝑅) ∈ 𝐽) β†’ (β—‘(log β†Ύ (β„‚ βˆ– (-∞(,]0))) β€œ (0(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))𝑅)) ∈ (𝐽 β†Ύt (β„‚ βˆ– (-∞(,]0))))
7368, 71, 72sylancr 585 . . . 4 ((𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 𝑅 < Ο€) β†’ (β—‘(log β†Ύ (β„‚ βˆ– (-∞(,]0))) β€œ (0(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))𝑅)) ∈ (𝐽 β†Ύt (β„‚ βˆ– (-∞(,]0))))
7458, 73eqeltrrd 2832 . . 3 ((𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 𝑅 < Ο€) β†’ (exp β€œ (0(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))𝑅)) ∈ (𝐽 β†Ύt (β„‚ βˆ– (-∞(,]0))))
7562cnfldtop 24520 . . . 4 𝐽 ∈ Top
7649logdmopn 26393 . . . . 5 (β„‚ βˆ– (-∞(,]0)) ∈ (TopOpenβ€˜β„‚fld)
7776, 62eleqtrri 2830 . . . 4 (β„‚ βˆ– (-∞(,]0)) ∈ 𝐽
78 restopn2 22901 . . . 4 ((𝐽 ∈ Top ∧ (β„‚ βˆ– (-∞(,]0)) ∈ 𝐽) β†’ ((exp β€œ (0(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))𝑅)) ∈ (𝐽 β†Ύt (β„‚ βˆ– (-∞(,]0))) ↔ ((exp β€œ (0(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))𝑅)) ∈ 𝐽 ∧ (exp β€œ (0(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))𝑅)) βŠ† (β„‚ βˆ– (-∞(,]0)))))
7975, 77, 78mp2an 688 . . 3 ((exp β€œ (0(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))𝑅)) ∈ (𝐽 β†Ύt (β„‚ βˆ– (-∞(,]0))) ↔ ((exp β€œ (0(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))𝑅)) ∈ 𝐽 ∧ (exp β€œ (0(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))𝑅)) βŠ† (β„‚ βˆ– (-∞(,]0))))
8074, 79sylib 217 . 2 ((𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 𝑅 < Ο€) β†’ ((exp β€œ (0(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))𝑅)) ∈ 𝐽 ∧ (exp β€œ (0(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))𝑅)) βŠ† (β„‚ βˆ– (-∞(,]0))))
8180simpld 493 1 ((𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 𝑅 < Ο€) β†’ (exp β€œ (0(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))𝑅)) ∈ 𝐽)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   ∧ w3a 1085   = wceq 1539   ∈ wcel 2104   βˆ– cdif 3944   βŠ† wss 3947  {csn 4627   class class class wbr 5147  β—‘ccnv 5674  ran crn 5676   β†Ύ cres 5677   β€œ cima 5678   ∘ ccom 5679  Rel wrel 5680  Fun wfun 6536   Fn wfn 6537  βŸΆwf 6538  β€“ontoβ†’wfo 6540  β€“1-1-ontoβ†’wf1o 6541  β€˜cfv 6542  (class class class)co 7411  β„‚cc 11110  β„cr 11111  0cc0 11112  -∞cmnf 11250  β„*cxr 11251   < clt 11252   βˆ’ cmin 11448  -cneg 11449  β„+crp 12978  (,)cioo 13328  (,]cioc 13329  β„‘cim 15049  abscabs 15185  expce 16009  Ο€cpi 16014   β†Ύt crest 17370  TopOpenctopn 17371  βˆžMetcxmet 21129  ballcbl 21131  β„‚fldccnfld 21144  Topctop 22615   Cn ccn 22948  β€“cnβ†’ccncf 24616  logclog 26299
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727  ax-inf2 9638  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190  ax-addf 11191  ax-mulf 11192
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-tp 4632  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-se 5631  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-isom 6551  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-of 7672  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-supp 8149  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-2o 8469  df-er 8705  df-map 8824  df-pm 8825  df-ixp 8894  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-fsupp 9364  df-fi 9408  df-sup 9439  df-inf 9440  df-oi 9507  df-card 9936  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-4 12281  df-5 12282  df-6 12283  df-7 12284  df-8 12285  df-9 12286  df-n0 12477  df-z 12563  df-dec 12682  df-uz 12827  df-q 12937  df-rp 12979  df-xneg 13096  df-xadd 13097  df-xmul 13098  df-ioo 13332  df-ioc 13333  df-ico 13334  df-icc 13335  df-fz 13489  df-fzo 13632  df-fl 13761  df-mod 13839  df-seq 13971  df-exp 14032  df-fac 14238  df-bc 14267  df-hash 14295  df-shft 15018  df-cj 15050  df-re 15051  df-im 15052  df-sqrt 15186  df-abs 15187  df-limsup 15419  df-clim 15436  df-rlim 15437  df-sum 15637  df-ef 16015  df-sin 16017  df-cos 16018  df-tan 16019  df-pi 16020  df-struct 17084  df-sets 17101  df-slot 17119  df-ndx 17131  df-base 17149  df-ress 17178  df-plusg 17214  df-mulr 17215  df-starv 17216  df-sca 17217  df-vsca 17218  df-ip 17219  df-tset 17220  df-ple 17221  df-ds 17223  df-unif 17224  df-hom 17225  df-cco 17226  df-rest 17372  df-topn 17373  df-0g 17391  df-gsum 17392  df-topgen 17393  df-pt 17394  df-prds 17397  df-xrs 17452  df-qtop 17457  df-imas 17458  df-xps 17460  df-mre 17534  df-mrc 17535  df-acs 17537  df-mgm 18565  df-sgrp 18644  df-mnd 18660  df-submnd 18706  df-mulg 18987  df-cntz 19222  df-cmn 19691  df-psmet 21136  df-xmet 21137  df-met 21138  df-bl 21139  df-mopn 21140  df-fbas 21141  df-fg 21142  df-cnfld 21145  df-top 22616  df-topon 22633  df-topsp 22655  df-bases 22669  df-cld 22743  df-ntr 22744  df-cls 22745  df-nei 22822  df-lp 22860  df-perf 22861  df-cn 22951  df-cnp 22952  df-haus 23039  df-cmp 23111  df-tx 23286  df-hmeo 23479  df-fil 23570  df-fm 23662  df-flim 23663  df-flf 23664  df-xms 24046  df-ms 24047  df-tms 24048  df-cncf 24618  df-limc 25615  df-dv 25616  df-log 26301
This theorem is referenced by:  efopn  26402
  Copyright terms: Public domain W3C validator