MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  efopnlem2 Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem efopnlem2 26398
Description: Lemma for efopn 26399. (Contributed by Mario Carneiro, 2-May-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
efopn.j 𝐽 = (TopOpenβ€˜β„‚fld)
Assertion
Ref Expression
efopnlem2 ((𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 𝑅 < Ο€) β†’ (exp β€œ (0(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))𝑅)) ∈ 𝐽)
Proof of Theorem efopnlem2
Dummy variable π‘₯ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 logf1o 26306 . . . . . . . 8 log:(β„‚ βˆ– {0})–1-1-ontoβ†’ran log
2 f1orn 6844 . . . . . . . . 9 (log:(β„‚ βˆ– {0})–1-1-ontoβ†’ran log ↔ (log Fn (β„‚ βˆ– {0}) ∧ Fun β—‘log))
32simprbi 496 . . . . . . . 8 (log:(β„‚ βˆ– {0})–1-1-ontoβ†’ran log β†’ Fun β—‘log)
4 funcnvres 6627 . . . . . . . 8 (Fun β—‘log β†’ β—‘(log β†Ύ (β„‚ βˆ– (-∞(,]0))) = (β—‘log β†Ύ (log β€œ (β„‚ βˆ– (-∞(,]0)))))
51, 3, 4mp2b 10 . . . . . . 7 β—‘(log β†Ύ (β„‚ βˆ– (-∞(,]0))) = (β—‘log β†Ύ (log β€œ (β„‚ βˆ– (-∞(,]0))))
6 df-log 26298 . . . . . . . . . 10 log = β—‘(exp β†Ύ (β—‘β„‘ β€œ (-Ο€(,]Ο€)))
76cnveqi 5875 . . . . . . . . 9 β—‘log = β—‘β—‘(exp β†Ύ (β—‘β„‘ β€œ (-Ο€(,]Ο€)))
8 relres 6011 . . . . . . . . . 10 Rel (exp β†Ύ (β—‘β„‘ β€œ (-Ο€(,]Ο€)))
9 dfrel2 6189 . . . . . . . . . 10 (Rel (exp β†Ύ (β—‘β„‘ β€œ (-Ο€(,]Ο€))) ↔ β—‘β—‘(exp β†Ύ (β—‘β„‘ β€œ (-Ο€(,]Ο€))) = (exp β†Ύ (β—‘β„‘ β€œ (-Ο€(,]Ο€))))
108, 9mpbi 229 . . . . . . . . 9 β—‘β—‘(exp β†Ύ (β—‘β„‘ β€œ (-Ο€(,]Ο€))) = (exp β†Ύ (β—‘β„‘ β€œ (-Ο€(,]Ο€)))
117, 10eqtri 2759 . . . . . . . 8 β—‘log = (exp β†Ύ (β—‘β„‘ β€œ (-Ο€(,]Ο€)))
1211reseq1i 5978 . . . . . . 7 (β—‘log β†Ύ (log β€œ (β„‚ βˆ– (-∞(,]0)))) = ((exp β†Ύ (β—‘β„‘ β€œ (-Ο€(,]Ο€))) β†Ύ (log β€œ (β„‚ βˆ– (-∞(,]0))))
13 imassrn 6071 . . . . . . . . 9 (log β€œ (β„‚ βˆ– (-∞(,]0))) βŠ† ran log
14 logrn 26300 . . . . . . . . 9 ran log = (β—‘β„‘ β€œ (-Ο€(,]Ο€))
1513, 14sseqtri 4019 . . . . . . . 8 (log β€œ (β„‚ βˆ– (-∞(,]0))) βŠ† (β—‘β„‘ β€œ (-Ο€(,]Ο€))
16 resabs1 6012 . . . . . . . 8 ((log β€œ (β„‚ βˆ– (-∞(,]0))) βŠ† (β—‘β„‘ β€œ (-Ο€(,]Ο€)) β†’ ((exp β†Ύ (β—‘β„‘ β€œ (-Ο€(,]Ο€))) β†Ύ (log β€œ (β„‚ βˆ– (-∞(,]0)))) = (exp β†Ύ (log β€œ (β„‚ βˆ– (-∞(,]0)))))
1715, 16ax-mp 5 . . . . . . 7 ((exp β†Ύ (β—‘β„‘ β€œ (-Ο€(,]Ο€))) β†Ύ (log β€œ (β„‚ βˆ– (-∞(,]0)))) = (exp β†Ύ (log β€œ (β„‚ βˆ– (-∞(,]0))))
185, 12, 173eqtri 2763 . . . . . 6 β—‘(log β†Ύ (β„‚ βˆ– (-∞(,]0))) = (exp β†Ύ (log β€œ (β„‚ βˆ– (-∞(,]0))))
1918imaeq1i 6057 . . . . 5 (β—‘(log β†Ύ (β„‚ βˆ– (-∞(,]0))) β€œ (0(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))𝑅)) = ((exp β†Ύ (log β€œ (β„‚ βˆ– (-∞(,]0)))) β€œ (0(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))𝑅))
20 cnxmet 24510 . . . . . . . . . . . 12 (abs ∘ βˆ’ ) ∈ (∞Metβ€˜β„‚)
21 0cnd 11212 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 𝑅 < Ο€) β†’ 0 ∈ β„‚)
22 rpxr 12988 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑅 ∈ ℝ+ β†’ 𝑅 ∈ ℝ*)
2322adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 𝑅 < Ο€) β†’ 𝑅 ∈ ℝ*)
24 blssm 24145 . . . . . . . . . . . 12 (((abs ∘ βˆ’ ) ∈ (∞Metβ€˜β„‚) ∧ 0 ∈ β„‚ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) β†’ (0(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))𝑅) βŠ† β„‚)
2520, 21, 23, 24mp3an2i 1465 . . . . . . . . . . 11 ((𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 𝑅 < Ο€) β†’ (0(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))𝑅) βŠ† β„‚)
2625sselda 3983 . . . . . . . . . 10 (((𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 𝑅 < Ο€) ∧ π‘₯ ∈ (0(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))𝑅)) β†’ π‘₯ ∈ β„‚)
2726imcld 15147 . . . . . . . . . . 11 (((𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 𝑅 < Ο€) ∧ π‘₯ ∈ (0(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))𝑅)) β†’ (β„‘β€˜π‘₯) ∈ ℝ)
28 efopnlem1 26397 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 𝑅 < Ο€) ∧ π‘₯ ∈ (0(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))𝑅)) β†’ (absβ€˜(β„‘β€˜π‘₯)) < Ο€)
29 pire 26201 . . . . . . . . . . . . . 14 Ο€ ∈ ℝ
30 abslt 15266 . . . . . . . . . . . . . 14 (((β„‘β€˜π‘₯) ∈ ℝ ∧ Ο€ ∈ ℝ) β†’ ((absβ€˜(β„‘β€˜π‘₯)) < Ο€ ↔ (-Ο€ < (β„‘β€˜π‘₯) ∧ (β„‘β€˜π‘₯) < Ο€)))
3127, 29, 30sylancl 585 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 𝑅 < Ο€) ∧ π‘₯ ∈ (0(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))𝑅)) β†’ ((absβ€˜(β„‘β€˜π‘₯)) < Ο€ ↔ (-Ο€ < (β„‘β€˜π‘₯) ∧ (β„‘β€˜π‘₯) < Ο€)))
3228, 31mpbid 231 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 𝑅 < Ο€) ∧ π‘₯ ∈ (0(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))𝑅)) β†’ (-Ο€ < (β„‘β€˜π‘₯) ∧ (β„‘β€˜π‘₯) < Ο€))
3332simpld 494 . . . . . . . . . . 11 (((𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 𝑅 < Ο€) ∧ π‘₯ ∈ (0(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))𝑅)) β†’ -Ο€ < (β„‘β€˜π‘₯))
3432simprd 495 . . . . . . . . . . 11 (((𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 𝑅 < Ο€) ∧ π‘₯ ∈ (0(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))𝑅)) β†’ (β„‘β€˜π‘₯) < Ο€)
3529renegcli 11526 . . . . . . . . . . . . 13 -Ο€ ∈ ℝ
3635rexri 11277 . . . . . . . . . . . 12 -Ο€ ∈ ℝ*
3729rexri 11277 . . . . . . . . . . . 12 Ο€ ∈ ℝ*
38 elioo2 13370 . . . . . . . . . . . 12 ((-Ο€ ∈ ℝ* ∧ Ο€ ∈ ℝ*) β†’ ((β„‘β€˜π‘₯) ∈ (-Ο€(,)Ο€) ↔ ((β„‘β€˜π‘₯) ∈ ℝ ∧ -Ο€ < (β„‘β€˜π‘₯) ∧ (β„‘β€˜π‘₯) < Ο€)))
3936, 37, 38mp2an 689 . . . . . . . . . . 11 ((β„‘β€˜π‘₯) ∈ (-Ο€(,)Ο€) ↔ ((β„‘β€˜π‘₯) ∈ ℝ ∧ -Ο€ < (β„‘β€˜π‘₯) ∧ (β„‘β€˜π‘₯) < Ο€))
4027, 33, 34, 39syl3anbrc 1342 . . . . . . . . . 10 (((𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 𝑅 < Ο€) ∧ π‘₯ ∈ (0(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))𝑅)) β†’ (β„‘β€˜π‘₯) ∈ (-Ο€(,)Ο€))
41 imf 15065 . . . . . . . . . . 11 β„‘:β„‚βŸΆβ„
42 ffn 6718 . . . . . . . . . . 11 (β„‘:β„‚βŸΆβ„ β†’ β„‘ Fn β„‚)
43 elpreima 7060 . . . . . . . . . . 11 (β„‘ Fn β„‚ β†’ (π‘₯ ∈ (β—‘β„‘ β€œ (-Ο€(,)Ο€)) ↔ (π‘₯ ∈ β„‚ ∧ (β„‘β€˜π‘₯) ∈ (-Ο€(,)Ο€))))
4441, 42, 43mp2b 10 . . . . . . . . . 10 (π‘₯ ∈ (β—‘β„‘ β€œ (-Ο€(,)Ο€)) ↔ (π‘₯ ∈ β„‚ ∧ (β„‘β€˜π‘₯) ∈ (-Ο€(,)Ο€)))
4526, 40, 44sylanbrc 582 . . . . . . . . 9 (((𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 𝑅 < Ο€) ∧ π‘₯ ∈ (0(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))𝑅)) β†’ π‘₯ ∈ (β—‘β„‘ β€œ (-Ο€(,)Ο€)))
4645ex 412 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 𝑅 < Ο€) β†’ (π‘₯ ∈ (0(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))𝑅) β†’ π‘₯ ∈ (β—‘β„‘ β€œ (-Ο€(,)Ο€))))
4746ssrdv 3989 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 𝑅 < Ο€) β†’ (0(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))𝑅) βŠ† (β—‘β„‘ β€œ (-Ο€(,)Ο€)))
48 df-ima 5690 . . . . . . . 8 (log β€œ (β„‚ βˆ– (-∞(,]0))) = ran (log β†Ύ (β„‚ βˆ– (-∞(,]0)))
49 eqid 2731 . . . . . . . . . 10 (β„‚ βˆ– (-∞(,]0)) = (β„‚ βˆ– (-∞(,]0))
5049logf1o2 26391 . . . . . . . . 9 (log β†Ύ (β„‚ βˆ– (-∞(,]0))):(β„‚ βˆ– (-∞(,]0))–1-1-ontoβ†’(β—‘β„‘ β€œ (-Ο€(,)Ο€))
51 f1ofo 6841 . . . . . . . . 9 ((log β†Ύ (β„‚ βˆ– (-∞(,]0))):(β„‚ βˆ– (-∞(,]0))–1-1-ontoβ†’(β—‘β„‘ β€œ (-Ο€(,)Ο€)) β†’ (log β†Ύ (β„‚ βˆ– (-∞(,]0))):(β„‚ βˆ– (-∞(,]0))–ontoβ†’(β—‘β„‘ β€œ (-Ο€(,)Ο€)))
52 forn 6809 . . . . . . . . 9 ((log β†Ύ (β„‚ βˆ– (-∞(,]0))):(β„‚ βˆ– (-∞(,]0))–ontoβ†’(β—‘β„‘ β€œ (-Ο€(,)Ο€)) β†’ ran (log β†Ύ (β„‚ βˆ– (-∞(,]0))) = (β—‘β„‘ β€œ (-Ο€(,)Ο€)))
5350, 51, 52mp2b 10 . . . . . . . 8 ran (log β†Ύ (β„‚ βˆ– (-∞(,]0))) = (β—‘β„‘ β€œ (-Ο€(,)Ο€))
5448, 53eqtri 2759 . . . . . . 7 (log β€œ (β„‚ βˆ– (-∞(,]0))) = (β—‘β„‘ β€œ (-Ο€(,)Ο€))
5547, 54sseqtrrdi 4034 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 𝑅 < Ο€) β†’ (0(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))𝑅) βŠ† (log β€œ (β„‚ βˆ– (-∞(,]0))))
56 resima2 6017 . . . . . 6 ((0(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))𝑅) βŠ† (log β€œ (β„‚ βˆ– (-∞(,]0))) β†’ ((exp β†Ύ (log β€œ (β„‚ βˆ– (-∞(,]0)))) β€œ (0(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))𝑅)) = (exp β€œ (0(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))𝑅)))
5755, 56syl 17 . . . . 5 ((𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 𝑅 < Ο€) β†’ ((exp β†Ύ (log β€œ (β„‚ βˆ– (-∞(,]0)))) β€œ (0(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))𝑅)) = (exp β€œ (0(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))𝑅)))
5819, 57eqtrid 2783 . . . 4 ((𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 𝑅 < Ο€) β†’ (β—‘(log β†Ύ (β„‚ βˆ– (-∞(,]0))) β€œ (0(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))𝑅)) = (exp β€œ (0(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))𝑅)))
5949logcn 26388 . . . . . 6 (log β†Ύ (β„‚ βˆ– (-∞(,]0))) ∈ ((β„‚ βˆ– (-∞(,]0))–cnβ†’β„‚)
60 difss 4132 . . . . . . 7 (β„‚ βˆ– (-∞(,]0)) βŠ† β„‚
61 ssid 4005 . . . . . . 7 β„‚ βŠ† β„‚
62 efopn.j . . . . . . . 8 𝐽 = (TopOpenβ€˜β„‚fld)
63 eqid 2731 . . . . . . . 8 (𝐽 β†Ύt (β„‚ βˆ– (-∞(,]0))) = (𝐽 β†Ύt (β„‚ βˆ– (-∞(,]0)))
6462cnfldtopon 24520 . . . . . . . . 9 𝐽 ∈ (TopOnβ€˜β„‚)
6564toponrestid 22644 . . . . . . . 8 𝐽 = (𝐽 β†Ύt β„‚)
6662, 63, 65cncfcn 24651 . . . . . . 7 (((β„‚ βˆ– (-∞(,]0)) βŠ† β„‚ ∧ β„‚ βŠ† β„‚) β†’ ((β„‚ βˆ– (-∞(,]0))–cnβ†’β„‚) = ((𝐽 β†Ύt (β„‚ βˆ– (-∞(,]0))) Cn 𝐽))
6760, 61, 66mp2an 689 . . . . . 6 ((β„‚ βˆ– (-∞(,]0))–cnβ†’β„‚) = ((𝐽 β†Ύt (β„‚ βˆ– (-∞(,]0))) Cn 𝐽)
6859, 67eleqtri 2830 . . . . 5 (log β†Ύ (β„‚ βˆ– (-∞(,]0))) ∈ ((𝐽 β†Ύt (β„‚ βˆ– (-∞(,]0))) Cn 𝐽)
6962cnfldtopn 24519 . . . . . . 7 𝐽 = (MetOpenβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))
7069blopn 24230 . . . . . 6 (((abs ∘ βˆ’ ) ∈ (∞Metβ€˜β„‚) ∧ 0 ∈ β„‚ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) β†’ (0(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))𝑅) ∈ 𝐽)
7120, 21, 23, 70mp3an2i 1465 . . . . 5 ((𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 𝑅 < Ο€) β†’ (0(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))𝑅) ∈ 𝐽)
72 cnima 22990 . . . . 5 (((log β†Ύ (β„‚ βˆ– (-∞(,]0))) ∈ ((𝐽 β†Ύt (β„‚ βˆ– (-∞(,]0))) Cn 𝐽) ∧ (0(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))𝑅) ∈ 𝐽) β†’ (β—‘(log β†Ύ (β„‚ βˆ– (-∞(,]0))) β€œ (0(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))𝑅)) ∈ (𝐽 β†Ύt (β„‚ βˆ– (-∞(,]0))))
7368, 71, 72sylancr 586 . . . 4 ((𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 𝑅 < Ο€) β†’ (β—‘(log β†Ύ (β„‚ βˆ– (-∞(,]0))) β€œ (0(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))𝑅)) ∈ (𝐽 β†Ύt (β„‚ βˆ– (-∞(,]0))))
7458, 73eqeltrrd 2833 . . 3 ((𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 𝑅 < Ο€) β†’ (exp β€œ (0(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))𝑅)) ∈ (𝐽 β†Ύt (β„‚ βˆ– (-∞(,]0))))
7562cnfldtop 24521 . . . 4 𝐽 ∈ Top
7649logdmopn 26390 . . . . 5 (β„‚ βˆ– (-∞(,]0)) ∈ (TopOpenβ€˜β„‚fld)
7776, 62eleqtrri 2831 . . . 4 (β„‚ βˆ– (-∞(,]0)) ∈ 𝐽
78 restopn2 22902 . . . 4 ((𝐽 ∈ Top ∧ (β„‚ βˆ– (-∞(,]0)) ∈ 𝐽) β†’ ((exp β€œ (0(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))𝑅)) ∈ (𝐽 β†Ύt (β„‚ βˆ– (-∞(,]0))) ↔ ((exp β€œ (0(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))𝑅)) ∈ 𝐽 ∧ (exp β€œ (0(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))𝑅)) βŠ† (β„‚ βˆ– (-∞(,]0)))))
7975, 77, 78mp2an 689 . . 3 ((exp β€œ (0(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))𝑅)) ∈ (𝐽 β†Ύt (β„‚ βˆ– (-∞(,]0))) ↔ ((exp β€œ (0(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))𝑅)) ∈ 𝐽 ∧ (exp β€œ (0(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))𝑅)) βŠ† (β„‚ βˆ– (-∞(,]0))))
8074, 79sylib 217 . 2 ((𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 𝑅 < Ο€) β†’ ((exp β€œ (0(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))𝑅)) ∈ 𝐽 ∧ (exp β€œ (0(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))𝑅)) βŠ† (β„‚ βˆ– (-∞(,]0))))
8180simpld 494 1 ((𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 𝑅 < Ο€) β†’ (exp β€œ (0(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))𝑅)) ∈ 𝐽)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2105   βˆ– cdif 3946   βŠ† wss 3949  {csn 4629   class class class wbr 5149  β—‘ccnv 5676  ran crn 5678   β†Ύ cres 5679   β€œ cima 5680   ∘ ccom 5681  Rel wrel 5682  Fun wfun 6538   Fn wfn 6539  βŸΆwf 6540  β€“ontoβ†’wfo 6542  β€“1-1-ontoβ†’wf1o 6543  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7412  β„‚cc 11111  β„cr 11112  0cc0 11113  -∞cmnf 11251  β„*cxr 11252   < clt 11253   βˆ’ cmin 11449  -cneg 11450  β„+crp 12979  (,)cioo 13329  (,]cioc 13330  β„‘cim 15050  abscabs 15186  expce 16010  Ο€cpi 16015   β†Ύt crest 17371  TopOpenctopn 17372  βˆžMetcxmet 21130  ballcbl 21132  β„‚fldccnfld 21145  Topctop 22616   Cn ccn 22949  β€“cnβ†’ccncf 24617  logclog 26296
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7728  ax-inf2 9639  ax-cnex 11169  ax-resscn 11170  ax-1cn 11171  ax-icn 11172  ax-addcl 11173  ax-addrcl 11174  ax-mulcl 11175  ax-mulrcl 11176  ax-mulcom 11177  ax-addass 11178  ax-mulass 11179  ax-distr 11180  ax-i2m1 11181  ax-1ne0 11182  ax-1rid 11183  ax-rnegex 11184  ax-rrecex 11185  ax-cnre 11186  ax-pre-lttri 11187  ax-pre-lttrn 11188  ax-pre-ltadd 11189  ax-pre-mulgt0 11190  ax-pre-sup 11191  ax-addf 11192  ax-mulf 11193
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-tp 4634  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-iin 5001  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-se 5633  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-isom 6553  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-of 7673  df-om 7859  df-1st 7978  df-2nd 7979  df-supp 8150  df-frecs 8269  df-wrecs 8300  df-recs 8374  df-rdg 8413  df-1o 8469  df-2o 8470  df-er 8706  df-map 8825  df-pm 8826  df-ixp 8895  df-en 8943  df-dom 8944  df-sdom 8945  df-fin 8946  df-fsupp 9365  df-fi 9409  df-sup 9440  df-inf 9441  df-oi 9508  df-card 9937  df-pnf 11255  df-mnf 11256  df-xr 11257  df-ltxr 11258  df-le 11259  df-sub 11451  df-neg 11452  df-div 11877  df-nn 12218  df-2 12280  df-3 12281  df-4 12282  df-5 12283  df-6 12284  df-7 12285  df-8 12286  df-9 12287  df-n0 12478  df-z 12564  df-dec 12683  df-uz 12828  df-q 12938  df-rp 12980  df-xneg 13097  df-xadd 13098  df-xmul 13099  df-ioo 13333  df-ioc 13334  df-ico 13335  df-icc 13336  df-fz 13490  df-fzo 13633  df-fl 13762  df-mod 13840  df-seq 13972  df-exp 14033  df-fac 14239  df-bc 14268  df-hash 14296  df-shft 15019  df-cj 15051  df-re 15052  df-im 15053  df-sqrt 15187  df-abs 15188  df-limsup 15420  df-clim 15437  df-rlim 15438  df-sum 15638  df-ef 16016  df-sin 16018  df-cos 16019  df-tan 16020  df-pi 16021  df-struct 17085  df-sets 17102  df-slot 17120  df-ndx 17132  df-base 17150  df-ress 17179  df-plusg 17215  df-mulr 17216  df-starv 17217  df-sca 17218  df-vsca 17219  df-ip 17220  df-tset 17221  df-ple 17222  df-ds 17224  df-unif 17225  df-hom 17226  df-cco 17227  df-rest 17373  df-topn 17374  df-0g 17392  df-gsum 17393  df-topgen 17394  df-pt 17395  df-prds 17398  df-xrs 17453  df-qtop 17458  df-imas 17459  df-xps 17461  df-mre 17535  df-mrc 17536  df-acs 17538  df-mgm 18566  df-sgrp 18645  df-mnd 18661  df-submnd 18707  df-mulg 18988  df-cntz 19223  df-cmn 19692  df-psmet 21137  df-xmet 21138  df-met 21139  df-bl 21140  df-mopn 21141  df-fbas 21142  df-fg 21143  df-cnfld 21146  df-top 22617  df-topon 22634  df-topsp 22656  df-bases 22670  df-cld 22744  df-ntr 22745  df-cls 22746  df-nei 22823  df-lp 22861  df-perf 22862  df-cn 22952  df-cnp 22953  df-haus 23040  df-cmp 23112  df-tx 23287  df-hmeo 23480  df-fil 23571  df-fm 23663  df-flim 23664  df-flf 23665  df-xms 24047  df-ms 24048  df-tms 24049  df-cncf 24619  df-limc 25616  df-dv 25617  df-log 26298
This theorem is referenced by:  efopn  26399
  Copyright terms: Public domain W3C validator