Theorem efopnlem2 27042

Description: Lemma for efopn 27043. (Contributed by Mario Carneiro, 2-May-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
efopn.j	⊢ 𝐽 = (TopOpen‘ℂfld)

Assertion

Ref	Expression
efopnlem2	⊢ ((𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 𝑅 < π) → (exp “ (0(ball‘(abs ∘ − ))𝑅)) ∈ 𝐽)

Proof of Theorem efopnlem2

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		logf1o 26949	. . . . . . . 8 ⊢ log:(ℂ ∖ {0})⟶1-1ontoran log
2		f1orn 6865	. . . . . . . . 9 ⊢ (log:(ℂ ∖ {0})⟶1-1ontoran log ↔ (log Fn (ℂ ∖ {0}) ∧ Fun ◡log))
3	2	simprbi 503	. . . . . . . 8 ⊢ (log:(ℂ ∖ {0})⟶1-1ontoran log → Fun ◡log)
4		funcnvres 6648	. . . . . . . 8 ⊢ (Fun ◡log → ◡(log ↾ (ℂ ∖ (-∞(,]0))) = (◡log ↾ (log “ (ℂ ∖ (-∞(,]0)))))
5	1, 3, 4	mp2b 10	. . . . . . 7 ⊢ ◡(log ↾ (ℂ ∖ (-∞(,]0))) = (◡log ↾ (log “ (ℂ ∖ (-∞(,]0))))
6		df-log 26941	. . . . . . . . . 10 ⊢ log = ◡(exp ↾ (◡ℑ “ ( -π(,]π)))
7	6	cnveqi 5864	. . . . . . . . 9 ⊢ ◡log = ◡◡(exp ↾ (◡ℑ “ ( -π(,]π)))
8		relres 6012	. . . . . . . . . 10 ⊢ Rel (exp ↾ (◡ℑ “ ( -π(,]π)))
9		dfrel2 6199	. . . . . . . . . 10 ⊢ (Rel (exp ↾ (◡ℑ “ ( -π(,]π))) ↔ ◡◡(exp ↾ (◡ℑ “ ( -π(,]π))) = (exp ↾ (◡ℑ “ ( -π(,]π))))
10	8, 9	mpbi 233	. . . . . . . . 9 ⊢ ◡◡(exp ↾ (◡ℑ “ ( -π(,]π))) = (exp ↾ (◡ℑ “ ( -π(,]π)))
11	7, 10	eqtri 2786	. . . . . . . 8 ⊢ ◡log = (exp ↾ (◡ℑ “ ( -π(,]π)))
12	11	reseq1i 5982	. . . . . . 7 ⊢ (◡log ↾ (log “ (ℂ ∖ (-∞(,]0)))) = ((exp ↾ (◡ℑ “ ( -π(,]π))) ↾ (log “ (ℂ ∖ (-∞(,]0))))
13		imassrn 6216	. . . . . . . . 9 ⊢ (log “ (ℂ ∖ (-∞(,]0))) ⊆ ran log
14		logrn 26943	. . . . . . . . 9 ⊢ ran log = (◡ℑ “ ( -π(,]π))
15	13, 14	sseqtri 3961	. . . . . . . 8 ⊢ (log “ (ℂ ∖ (-∞(,]0))) ⊆ (◡ℑ “ ( -π(,]π))
16		resabs1 6014	. . . . . . . 8 ⊢ ((log “ (ℂ ∖ (-∞(,]0))) ⊆ (◡ℑ “ ( -π(,]π)) → ((exp ↾ (◡ℑ “ ( -π(,]π))) ↾ (log “ (ℂ ∖ (-∞(,]0)))) = (exp ↾ (log “ (ℂ ∖ (-∞(,]0)))))
17	15, 16	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ ((exp ↾ (◡ℑ “ ( -π(,]π))) ↾ (log “ (ℂ ∖ (-∞(,]0)))) = (exp ↾ (log “ (ℂ ∖ (-∞(,]0))))
18	5, 12, 17	3eqtri 2790	. . . . . 6 ⊢ ◡(log ↾ (ℂ ∖ (-∞(,]0))) = (exp ↾ (log “ (ℂ ∖ (-∞(,]0))))
19	18	imaeq1i 6067	. . . . 5 ⊢ (◡(log ↾ (ℂ ∖ (-∞(,]0))) “ (0(ball‘(abs ∘ − ))𝑅)) = ((exp ↾ (log “ (ℂ ∖ (-∞(,]0)))) “ (0(ball‘(abs ∘ − ))𝑅))
20		cnxmet 25146	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ)
21		0cnd 11338	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 𝑅 < π) → 0 ∈ ℂ)
22		rpxr 13170	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ+ → 𝑅 ∈ ℝ*)
23	22	adantr 486	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 𝑅 < π) → 𝑅 ∈ ℝ*)
24		blssm 24792	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ) ∧ 0 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) → (0(ball‘(abs ∘ − ))𝑅) ⊆ ℂ)
25	20, 21, 23, 24	mp3an2i 1496	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 𝑅 < π) → (0(ball‘(abs ∘ − ))𝑅) ⊆ ℂ)
26	25	sselda 3913	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 𝑅 < π) ∧ 𝑥 ∈ (0(ball‘(abs ∘ − ))𝑅)) → 𝑥 ∈ ℂ)
27	26	imcld 15405	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 𝑅 < π) ∧ 𝑥 ∈ (0(ball‘(abs ∘ − ))𝑅)) → (ℑ‘𝑥) ∈ ℝ)
28		efopnlem1 27041	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 𝑅 < π) ∧ 𝑥 ∈ (0(ball‘(abs ∘ − ))𝑅)) → (abs‘(ℑ‘𝑥)) < π)
29		pire 26840	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ π ∈ ℝ
30		abslt 15525	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((ℑ‘𝑥) ∈ ℝ ∧ π ∈ ℝ) → ((abs‘(ℑ‘𝑥)) < π ↔ ( -π < (ℑ‘𝑥) ∧ (ℑ‘𝑥) < π)))
31	27, 29, 30	sylancl 598	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 𝑅 < π) ∧ 𝑥 ∈ (0(ball‘(abs ∘ − ))𝑅)) → ((abs‘(ℑ‘𝑥)) < π ↔ ( -π < (ℑ‘𝑥) ∧ (ℑ‘𝑥) < π)))
32	28, 31	mpbid 235	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 𝑅 < π) ∧ 𝑥 ∈ (0(ball‘(abs ∘ − ))𝑅)) → ( -π < (ℑ‘𝑥) ∧ (ℑ‘𝑥) < π))
33	32	simpld 500	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 𝑅 < π) ∧ 𝑥 ∈ (0(ball‘(abs ∘ − ))𝑅)) → -π < (ℑ‘𝑥))
34	32	simprd 501	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 𝑅 < π) ∧ 𝑥 ∈ (0(ball‘(abs ∘ − ))𝑅)) → (ℑ‘𝑥) < π)
35	29	renegcli 11658	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ -π ∈ ℝ
36	35	rexri 11406	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ -π ∈ ℝ*
37	29	rexri 11406	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ π ∈ ℝ*
38		elioo2 13557	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (( -π ∈ ℝ* ∧ π ∈ ℝ*) → ((ℑ‘𝑥) ∈ ( -π(,)π) ↔ ((ℑ‘𝑥) ∈ ℝ ∧ -π < (ℑ‘𝑥) ∧ (ℑ‘𝑥) < π)))
39	36, 37, 38	mp2an 705	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((ℑ‘𝑥) ∈ ( -π(,)π) ↔ ((ℑ‘𝑥) ∈ ℝ ∧ -π < (ℑ‘𝑥) ∧ (ℑ‘𝑥) < π))
40	27, 33, 34, 39	syl3anbrc 1362	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 𝑅 < π) ∧ 𝑥 ∈ (0(ball‘(abs ∘ − ))𝑅)) → (ℑ‘𝑥) ∈ ( -π(,)π))
41		imf 15323	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ℑ:ℂ⟶ℝ
42		ffn 6739	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (ℑ:ℂ⟶ℝ → ℑ Fn ℂ)
43		elpreima 7088	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (ℑ Fn ℂ → (𝑥 ∈ (◡ℑ “ ( -π(,)π)) ↔ (𝑥 ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝑥) ∈ ( -π(,)π))))
44	41, 42, 43	mp2b 10	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ (◡ℑ “ ( -π(,)π)) ↔ (𝑥 ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝑥) ∈ ( -π(,)π)))
45	26, 40, 44	sylanbrc 595	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 𝑅 < π) ∧ 𝑥 ∈ (0(ball‘(abs ∘ − ))𝑅)) → 𝑥 ∈ (◡ℑ “ ( -π(,)π)))
46	45	ex 418	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 𝑅 < π) → (𝑥 ∈ (0(ball‘(abs ∘ − ))𝑅) → 𝑥 ∈ (◡ℑ “ ( -π(,)π))))
47	46	ssrdv 3919	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 𝑅 < π) → (0(ball‘(abs ∘ − ))𝑅) ⊆ (◡ℑ “ ( -π(,)π)))
48		df-ima 5671	. . . . . . . 8 ⊢ (log “ (ℂ ∖ (-∞(,]0))) = ran (log ↾ (ℂ ∖ (-∞(,]0)))
49		eqid 2763	. . . . . . . . . 10 ⊢ (ℂ ∖ (-∞(,]0)) = (ℂ ∖ (-∞(,]0))
50	49	logf1o2 27035	. . . . . . . . 9 ⊢ (log ↾ (ℂ ∖ (-∞(,]0))):(ℂ ∖ (-∞(,]0))⟶1-1onto(◡ℑ “ ( -π(,)π))
51		f1ofo 6862	. . . . . . . . 9 ⊢ ((log ↾ (ℂ ∖ (-∞(,]0))):(ℂ ∖ (-∞(,]0))⟶1-1onto(◡ℑ “ ( -π(,)π)) → (log ↾ (ℂ ∖ (-∞(,]0))):(ℂ ∖ (-∞(,]0))⟶onto(◡ℑ “ ( -π(,)π)))
52		forn 6829	. . . . . . . . 9 ⊢ ((log ↾ (ℂ ∖ (-∞(,]0))):(ℂ ∖ (-∞(,]0))⟶onto(◡ℑ “ ( -π(,)π)) → ran (log ↾ (ℂ ∖ (-∞(,]0))) = (◡ℑ “ ( -π(,)π)))
53	50, 51, 52	mp2b 10	. . . . . . . 8 ⊢ ran (log ↾ (ℂ ∖ (-∞(,]0))) = (◡ℑ “ ( -π(,)π))
54	48, 53	eqtri 2786	. . . . . . 7 ⊢ (log “ (ℂ ∖ (-∞(,]0))) = (◡ℑ “ ( -π(,)π))
55	47, 54	sseqtrrdi 3954	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 𝑅 < π) → (0(ball‘(abs ∘ − ))𝑅) ⊆ (log “ (ℂ ∖ (-∞(,]0))))
56		resima2 6075	. . . . . 6 ⊢ ((0(ball‘(abs ∘ − ))𝑅) ⊆ (log “ (ℂ ∖ (-∞(,]0))) → ((exp ↾ (log “ (ℂ ∖ (-∞(,]0)))) “ (0(ball‘(abs ∘ − ))𝑅)) = (exp “ (0(ball‘(abs ∘ − ))𝑅)))
57	55, 56	syl 18	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 𝑅 < π) → ((exp ↾ (log “ (ℂ ∖ (-∞(,]0)))) “ (0(ball‘(abs ∘ − ))𝑅)) = (exp “ (0(ball‘(abs ∘ − ))𝑅)))
58	19, 57	eqtrid 2810	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 𝑅 < π) → (◡(log ↾ (ℂ ∖ (-∞(,]0))) “ (0(ball‘(abs ∘ − ))𝑅)) = (exp “ (0(ball‘(abs ∘ − ))𝑅)))
59	49	logcn 27032	. . . . . 6 ⊢ (log ↾ (ℂ ∖ (-∞(,]0))) ∈ ((ℂ ∖ (-∞(,]0))–cn→ℂ)
60		difss 4075	. . . . . . 7 ⊢ (ℂ ∖ (-∞(,]0)) ⊆ ℂ
61		ssid 3935	. . . . . . 7 ⊢ ℂ ⊆ ℂ
62		efopn.j	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐽 = (TopOpen‘ℂfld)
63		eqid 2763	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐽 ↾t (ℂ ∖ (-∞(,]0))) = (𝐽 ↾t (ℂ ∖ (-∞(,]0)))
64	62	cnfldtopon 25156	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐽 ∈ (TopOn‘ℂ)
65	64	toponrestid 23294	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐽 = (𝐽 ↾t ℂ)
66	62, 63, 65	cncfcn 25286	. . . . . . 7 ⊢ (((ℂ ∖ (-∞(,]0)) ⊆ ℂ ∧ ℂ ⊆ ℂ) → ((ℂ ∖ (-∞(,]0))–cn→ℂ) = ((𝐽 ↾t (ℂ ∖ (-∞(,]0))) Cn 𝐽))
67	60, 61, 66	mp2an 705	. . . . . 6 ⊢ ((ℂ ∖ (-∞(,]0))–cn→ℂ) = ((𝐽 ↾t (ℂ ∖ (-∞(,]0))) Cn 𝐽)
68	59, 67	eleqtri 2862	. . . . 5 ⊢ (log ↾ (ℂ ∖ (-∞(,]0))) ∈ ((𝐽 ↾t (ℂ ∖ (-∞(,]0))) Cn 𝐽)
69	62	cnfldtopn 25155	. . . . . . 7 ⊢ 𝐽 = (MetOpen‘(abs ∘ − ))
70	69	blopn 24874	. . . . . 6 ⊢ (((abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ) ∧ 0 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) → (0(ball‘(abs ∘ − ))𝑅) ∈ 𝐽)
71	20, 21, 23, 70	mp3an2i 1496	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 𝑅 < π) → (0(ball‘(abs ∘ − ))𝑅) ∈ 𝐽)
72		cnima 23638	. . . . 5 ⊢ (((log ↾ (ℂ ∖ (-∞(,]0))) ∈ ((𝐽 ↾t (ℂ ∖ (-∞(,]0))) Cn 𝐽) ∧ (0(ball‘(abs ∘ − ))𝑅) ∈ 𝐽) → (◡(log ↾ (ℂ ∖ (-∞(,]0))) “ (0(ball‘(abs ∘ − ))𝑅)) ∈ (𝐽 ↾t (ℂ ∖ (-∞(,]0))))
73	68, 71, 72	sylancr 599	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 𝑅 < π) → (◡(log ↾ (ℂ ∖ (-∞(,]0))) “ (0(ball‘(abs ∘ − ))𝑅)) ∈ (𝐽 ↾t (ℂ ∖ (-∞(,]0))))
74	58, 73	eqeltrrd 2865	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 𝑅 < π) → (exp “ (0(ball‘(abs ∘ − ))𝑅)) ∈ (𝐽 ↾t (ℂ ∖ (-∞(,]0))))
75	62	cnfldtop 25157	. . . 4 ⊢ 𝐽 ∈ Top
76	49	logdmopn 27034	. . . . 5 ⊢ (ℂ ∖ (-∞(,]0)) ∈ (TopOpen‘ℂfld)
77	76, 62	eleqtrri 2863	. . . 4 ⊢ (ℂ ∖ (-∞(,]0)) ∈ 𝐽
78		restopn2 23550	. . . 4 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ (ℂ ∖ (-∞(,]0)) ∈ 𝐽) → ((exp “ (0(ball‘(abs ∘ − ))𝑅)) ∈ (𝐽 ↾t (ℂ ∖ (-∞(,]0))) ↔ ((exp “ (0(ball‘(abs ∘ − ))𝑅)) ∈ 𝐽 ∧ (exp “ (0(ball‘(abs ∘ − ))𝑅)) ⊆ (ℂ ∖ (-∞(,]0)))))
79	75, 77, 78	mp2an 705	. . 3 ⊢ ((exp “ (0(ball‘(abs ∘ − ))𝑅)) ∈ (𝐽 ↾t (ℂ ∖ (-∞(,]0))) ↔ ((exp “ (0(ball‘(abs ∘ − ))𝑅)) ∈ 𝐽 ∧ (exp “ (0(ball‘(abs ∘ − ))𝑅)) ⊆ (ℂ ∖ (-∞(,]0))))
80	74, 79	sylib 221	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 𝑅 < π) → ((exp “ (0(ball‘(abs ∘ − ))𝑅)) ∈ 𝐽 ∧ (exp “ (0(ball‘(abs ∘ − ))𝑅)) ⊆ (ℂ ∖ (-∞(,]0))))
81	80	simpld 500	1 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 𝑅 < π) → (exp “ (0(ball‘(abs ∘ − ))𝑅)) ∈ 𝐽)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2147   ⊆ wss 3900   ∖ cdif 4048  {csn 4588   class class class wbr 5108  ^◡ccnv 5657  ran crn 5659   ↾ cres 5660   “ cima 5661   ∘ ccom 5662  Rel wrel 5663  Fun wfun 6560   Fn wfn 6561  ⟶wf 6562  ⟶ontowfo 6564  ⟶1-1ontowf1o 6565  ‘cfv 6566  (class class class)co 7451  ℂcc 11237  ℝcr 11238  0cc0 11239  -∞cmnf 11380  ℝ^*cxr 11381   < clt 11382   − cmin 11580   -cneg 11581  ℝ⁺crp 13160  (,)cioo 13516  (,]cioc 13517  ℑcim 15308  abscabs 15444  expce 16271  πcpi 16276   ↾_t crest 17641  TopOpenctopn 17642  ∞Metcxmet 21714  ballcbl 21716  ℂ_fldccnfld 21729  Topctop 23266   Cn ccn 23597  –cn→ccncf 25252  logclog 26939

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5238  ax-sep 5255  ax-nul 5266  ax-pow 5334  ax-pr 5398  ax-un 7783  ax-inf2 9679  ax-cnex 11295  ax-resscn 11296  ax-1cn 11297  ax-icn 11298  ax-addcl 11299  ax-addrcl 11300  ax-mulcl 11301  ax-mulrcl 11302  ax-mulcom 11303  ax-addass 11304  ax-mulass 11305  ax-distr 11306  ax-i2m1 11307  ax-1ne0 11308  ax-1rid 11309  ax-rnegex 11310  ax-rrecex 11311  ax-cnre 11312  ax-pre-lttri 11313  ax-pre-lttrn 11314  ax-pre-ltadd 11315  ax-pre-mulgt0 11316  ax-pre-sup 11317  ax-addf 11318

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-tp 4593  df-op 4841  df-uni 4873  df-int 4913  df-iun 4958  df-iin 4959  df-br 5109  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-se 5612  df-we 5613  df-xp 5664  df-rel 5665  df-cnv 5666  df-co 5667  df-dm 5668  df-rn 5669  df-res 5670  df-ima 5671  df-pred 6330  df-ord 6391  df-on 6392  df-lim 6393  df-suc 6394  df-iota 6520  df-fun 6568  df-fn 6569  df-f 6570  df-f1 6571  df-fo 6572  df-f1o 6573  df-fv 6574  df-isom 6575  df-riota 7408  df-ov 7454  df-oprab 7455  df-mpo 7456  df-of 7725  df-om 7912  df-1st 8035  df-2nd 8036  df-supp 8215  df-frecs 8337  df-wrecs 8368  df-recs 8417  df-rdg 8456  df-1o 8514  df-2o 8515  df-er 8755  df-map 8887  df-pm 8888  df-ixp 8964  df-en 9012  df-dom 9013  df-sdom 9014  df-fin 9015  df-fsupp 9392  df-fi 9440  df-sup 9471  df-inf 9472  df-oi 9541  df-card 10057  df-pnf 11384  df-mnf 11385  df-xr 11386  df-ltxr 11387  df-le 11388  df-sub 11582  df-neg 11583  df-div 12014  df-nn 12376  df-2 12445  df-3 12446  df-4 12447  df-5 12448  df-6 12449  df-7 12450  df-8 12451  df-9 12452  df-n0 12647  df-z 12734  df-dec 12855  df-uz 13006  df-q 13116  df-rp 13161  df-xneg 13281  df-xadd 13282  df-xmul 13283  df-ioo 13520  df-ioc 13521  df-ico 13522  df-icc 13523  df-fz 13680  df-fzo 13829  df-fl 13972  df-mod 14050  df-seq 14185  df-exp 14245  df-fac 14459  df-bc 14488  df-hash 14516  df-shft 15263  df-cj 15309  df-re 15310  df-im 15311  df-sqrt 15445  df-abs 15446  df-limsup 15682  df-clim 15699  df-rlim 15700  df-sum 15898  df-ef 16277  df-sin 16279  df-cos 16280  df-tan 16281  df-pi 16282  df-struct 17369  df-sets 17386  df-slot 17404  df-ndx 17416  df-base 17432  df-ress 17453  df-plusg 17486  df-mulr 17487  df-starv 17488  df-sca 17489  df-vsca 17490  df-ip 17491  df-tset 17492  df-ple 17493  df-ds 17495  df-unif 17496  df-hom 17497  df-cco 17498  df-euf 17499  df-rest 17643  df-topn 17644  df-0g 17662  df-gsum 17663  df-topgen 17664  df-pt 17665  df-prds 17668  df-xrs 17724  df-qtop 17729  df-imas 17730  df-xps 17732  df-mre 17806  df-mrc 17807  df-acs 17809  df-mgm 18866  df-sgrp 18958  df-mnd 18974  df-submnd 19029  df-mulg 19328  df-cntz 19582  df-cmn 20047  df-psmet 21721  df-xmet 21722  df-met 21723  df-bl 21724  df-mopn 21725  df-fbas 21726  df-fg 21727  df-cnfld 21730  df-top 23267  df-topon 23284  df-topsp 23306  df-bases 23319  df-cld 23392  df-ntr 23393  df-cls 23394  df-nei 23471  df-lp 23509  df-perf 23510  df-cn 23600  df-cnp 23601  df-haus 23688  df-cmp 23760  df-tx 23936  df-hmeo 24129  df-fil 24220  df-fm 24312  df-flim 24313  df-flf 24314  df-xms 24694  df-ms 24695  df-tms 24696  df-cncf 25254  df-limc 26241  df-dv 26242  df-log 26941

This theorem is used by:  efopn  27043