MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  hmeores Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem hmeores 23495
Description: The restriction of a homeomorphism is a homeomorphism. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Sep-2014.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 22-Aug-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
hmeores.1 𝑋 = βˆͺ 𝐽
Assertion
Ref Expression
hmeores ((𝐹 ∈ (𝐽Homeo𝐾) ∧ π‘Œ βŠ† 𝑋) β†’ (𝐹 β†Ύ π‘Œ) ∈ ((𝐽 β†Ύt π‘Œ)Homeo(𝐾 β†Ύt (𝐹 β€œ π‘Œ))))
Proof of Theorem hmeores
StepHypRef Expression
1 hmeocn 23484 . . . . 5 (𝐹 ∈ (𝐽Homeo𝐾) β†’ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
21adantr 481 . . . 4 ((𝐹 ∈ (𝐽Homeo𝐾) ∧ π‘Œ βŠ† 𝑋) β†’ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
3 hmeores.1 . . . . 5 𝑋 = βˆͺ 𝐽
43cnrest 23009 . . . 4 ((𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ∧ π‘Œ βŠ† 𝑋) β†’ (𝐹 β†Ύ π‘Œ) ∈ ((𝐽 β†Ύt π‘Œ) Cn 𝐾))
52, 4sylancom 588 . . 3 ((𝐹 ∈ (𝐽Homeo𝐾) ∧ π‘Œ βŠ† 𝑋) β†’ (𝐹 β†Ύ π‘Œ) ∈ ((𝐽 β†Ύt π‘Œ) Cn 𝐾))
6 cntop2 22965 . . . . . 6 (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) β†’ 𝐾 ∈ Top)
72, 6syl 17 . . . . 5 ((𝐹 ∈ (𝐽Homeo𝐾) ∧ π‘Œ βŠ† 𝑋) β†’ 𝐾 ∈ Top)
8 eqid 2732 . . . . . 6 βˆͺ 𝐾 = βˆͺ 𝐾
98toptopon 22639 . . . . 5 (𝐾 ∈ Top ↔ 𝐾 ∈ (TopOnβ€˜βˆͺ 𝐾))
107, 9sylib 217 . . . 4 ((𝐹 ∈ (𝐽Homeo𝐾) ∧ π‘Œ βŠ† 𝑋) β†’ 𝐾 ∈ (TopOnβ€˜βˆͺ 𝐾))
11 df-ima 5689 . . . . . 6 (𝐹 β€œ π‘Œ) = ran (𝐹 β†Ύ π‘Œ)
1211eqimss2i 4043 . . . . 5 ran (𝐹 β†Ύ π‘Œ) βŠ† (𝐹 β€œ π‘Œ)
1312a1i 11 . . . 4 ((𝐹 ∈ (𝐽Homeo𝐾) ∧ π‘Œ βŠ† 𝑋) β†’ ran (𝐹 β†Ύ π‘Œ) βŠ† (𝐹 β€œ π‘Œ))
14 imassrn 6070 . . . . 5 (𝐹 β€œ π‘Œ) βŠ† ran 𝐹
153, 8cnf 22970 . . . . . . 7 (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) β†’ 𝐹:π‘‹βŸΆβˆͺ 𝐾)
162, 15syl 17 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ (𝐽Homeo𝐾) ∧ π‘Œ βŠ† 𝑋) β†’ 𝐹:π‘‹βŸΆβˆͺ 𝐾)
1716frnd 6725 . . . . 5 ((𝐹 ∈ (𝐽Homeo𝐾) ∧ π‘Œ βŠ† 𝑋) β†’ ran 𝐹 βŠ† βˆͺ 𝐾)
1814, 17sstrid 3993 . . . 4 ((𝐹 ∈ (𝐽Homeo𝐾) ∧ π‘Œ βŠ† 𝑋) β†’ (𝐹 β€œ π‘Œ) βŠ† βˆͺ 𝐾)
19 cnrest2 23010 . . . 4 ((𝐾 ∈ (TopOnβ€˜βˆͺ 𝐾) ∧ ran (𝐹 β†Ύ π‘Œ) βŠ† (𝐹 β€œ π‘Œ) ∧ (𝐹 β€œ π‘Œ) βŠ† βˆͺ 𝐾) β†’ ((𝐹 β†Ύ π‘Œ) ∈ ((𝐽 β†Ύt π‘Œ) Cn 𝐾) ↔ (𝐹 β†Ύ π‘Œ) ∈ ((𝐽 β†Ύt π‘Œ) Cn (𝐾 β†Ύt (𝐹 β€œ π‘Œ)))))
2010, 13, 18, 19syl3anc 1371 . . 3 ((𝐹 ∈ (𝐽Homeo𝐾) ∧ π‘Œ βŠ† 𝑋) β†’ ((𝐹 β†Ύ π‘Œ) ∈ ((𝐽 β†Ύt π‘Œ) Cn 𝐾) ↔ (𝐹 β†Ύ π‘Œ) ∈ ((𝐽 β†Ύt π‘Œ) Cn (𝐾 β†Ύt (𝐹 β€œ π‘Œ)))))
215, 20mpbid 231 . 2 ((𝐹 ∈ (𝐽Homeo𝐾) ∧ π‘Œ βŠ† 𝑋) β†’ (𝐹 β†Ύ π‘Œ) ∈ ((𝐽 β†Ύt π‘Œ) Cn (𝐾 β†Ύt (𝐹 β€œ π‘Œ))))
22 hmeocnvcn 23485 . . . . . 6 (𝐹 ∈ (𝐽Homeo𝐾) β†’ ◑𝐹 ∈ (𝐾 Cn 𝐽))
2322adantr 481 . . . . 5 ((𝐹 ∈ (𝐽Homeo𝐾) ∧ π‘Œ βŠ† 𝑋) β†’ ◑𝐹 ∈ (𝐾 Cn 𝐽))
248, 3cnf 22970 . . . . 5 (◑𝐹 ∈ (𝐾 Cn 𝐽) β†’ ◑𝐹:βˆͺ πΎβŸΆπ‘‹)
25 ffun 6720 . . . . 5 (◑𝐹:βˆͺ πΎβŸΆπ‘‹ β†’ Fun ◑𝐹)
26 funcnvres 6626 . . . . 5 (Fun ◑𝐹 β†’ β—‘(𝐹 β†Ύ π‘Œ) = (◑𝐹 β†Ύ (𝐹 β€œ π‘Œ)))
2723, 24, 25, 264syl 19 . . . 4 ((𝐹 ∈ (𝐽Homeo𝐾) ∧ π‘Œ βŠ† 𝑋) β†’ β—‘(𝐹 β†Ύ π‘Œ) = (◑𝐹 β†Ύ (𝐹 β€œ π‘Œ)))
288cnrest 23009 . . . . 5 ((◑𝐹 ∈ (𝐾 Cn 𝐽) ∧ (𝐹 β€œ π‘Œ) βŠ† βˆͺ 𝐾) β†’ (◑𝐹 β†Ύ (𝐹 β€œ π‘Œ)) ∈ ((𝐾 β†Ύt (𝐹 β€œ π‘Œ)) Cn 𝐽))
2923, 18, 28syl2anc 584 . . . 4 ((𝐹 ∈ (𝐽Homeo𝐾) ∧ π‘Œ βŠ† 𝑋) β†’ (◑𝐹 β†Ύ (𝐹 β€œ π‘Œ)) ∈ ((𝐾 β†Ύt (𝐹 β€œ π‘Œ)) Cn 𝐽))
3027, 29eqeltrd 2833 . . 3 ((𝐹 ∈ (𝐽Homeo𝐾) ∧ π‘Œ βŠ† 𝑋) β†’ β—‘(𝐹 β†Ύ π‘Œ) ∈ ((𝐾 β†Ύt (𝐹 β€œ π‘Œ)) Cn 𝐽))
31 cntop1 22964 . . . . . 6 (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) β†’ 𝐽 ∈ Top)
322, 31syl 17 . . . . 5 ((𝐹 ∈ (𝐽Homeo𝐾) ∧ π‘Œ βŠ† 𝑋) β†’ 𝐽 ∈ Top)
333toptopon 22639 . . . . 5 (𝐽 ∈ Top ↔ 𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹))
3432, 33sylib 217 . . . 4 ((𝐹 ∈ (𝐽Homeo𝐾) ∧ π‘Œ βŠ† 𝑋) β†’ 𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹))
35 dfdm4 5895 . . . . . 6 dom (𝐹 β†Ύ π‘Œ) = ran β—‘(𝐹 β†Ύ π‘Œ)
36 fssres 6757 . . . . . . . 8 ((𝐹:π‘‹βŸΆβˆͺ 𝐾 ∧ π‘Œ βŠ† 𝑋) β†’ (𝐹 β†Ύ π‘Œ):π‘ŒβŸΆβˆͺ 𝐾)
3716, 36sylancom 588 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ (𝐽Homeo𝐾) ∧ π‘Œ βŠ† 𝑋) β†’ (𝐹 β†Ύ π‘Œ):π‘ŒβŸΆβˆͺ 𝐾)
3837fdmd 6728 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ (𝐽Homeo𝐾) ∧ π‘Œ βŠ† 𝑋) β†’ dom (𝐹 β†Ύ π‘Œ) = π‘Œ)
3935, 38eqtr3id 2786 . . . . 5 ((𝐹 ∈ (𝐽Homeo𝐾) ∧ π‘Œ βŠ† 𝑋) β†’ ran β—‘(𝐹 β†Ύ π‘Œ) = π‘Œ)
40 eqimss 4040 . . . . 5 (ran β—‘(𝐹 β†Ύ π‘Œ) = π‘Œ β†’ ran β—‘(𝐹 β†Ύ π‘Œ) βŠ† π‘Œ)
4139, 40syl 17 . . . 4 ((𝐹 ∈ (𝐽Homeo𝐾) ∧ π‘Œ βŠ† 𝑋) β†’ ran β—‘(𝐹 β†Ύ π‘Œ) βŠ† π‘Œ)
42 simpr 485 . . . 4 ((𝐹 ∈ (𝐽Homeo𝐾) ∧ π‘Œ βŠ† 𝑋) β†’ π‘Œ βŠ† 𝑋)
43 cnrest2 23010 . . . 4 ((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ ran β—‘(𝐹 β†Ύ π‘Œ) βŠ† π‘Œ ∧ π‘Œ βŠ† 𝑋) β†’ (β—‘(𝐹 β†Ύ π‘Œ) ∈ ((𝐾 β†Ύt (𝐹 β€œ π‘Œ)) Cn 𝐽) ↔ β—‘(𝐹 β†Ύ π‘Œ) ∈ ((𝐾 β†Ύt (𝐹 β€œ π‘Œ)) Cn (𝐽 β†Ύt π‘Œ))))
4434, 41, 42, 43syl3anc 1371 . . 3 ((𝐹 ∈ (𝐽Homeo𝐾) ∧ π‘Œ βŠ† 𝑋) β†’ (β—‘(𝐹 β†Ύ π‘Œ) ∈ ((𝐾 β†Ύt (𝐹 β€œ π‘Œ)) Cn 𝐽) ↔ β—‘(𝐹 β†Ύ π‘Œ) ∈ ((𝐾 β†Ύt (𝐹 β€œ π‘Œ)) Cn (𝐽 β†Ύt π‘Œ))))
4530, 44mpbid 231 . 2 ((𝐹 ∈ (𝐽Homeo𝐾) ∧ π‘Œ βŠ† 𝑋) β†’ β—‘(𝐹 β†Ύ π‘Œ) ∈ ((𝐾 β†Ύt (𝐹 β€œ π‘Œ)) Cn (𝐽 β†Ύt π‘Œ)))
46 ishmeo 23483 . 2 ((𝐹 β†Ύ π‘Œ) ∈ ((𝐽 β†Ύt π‘Œ)Homeo(𝐾 β†Ύt (𝐹 β€œ π‘Œ))) ↔ ((𝐹 β†Ύ π‘Œ) ∈ ((𝐽 β†Ύt π‘Œ) Cn (𝐾 β†Ύt (𝐹 β€œ π‘Œ))) ∧ β—‘(𝐹 β†Ύ π‘Œ) ∈ ((𝐾 β†Ύt (𝐹 β€œ π‘Œ)) Cn (𝐽 β†Ύt π‘Œ))))
4721, 45, 46sylanbrc 583 1 ((𝐹 ∈ (𝐽Homeo𝐾) ∧ π‘Œ βŠ† 𝑋) β†’ (𝐹 β†Ύ π‘Œ) ∈ ((𝐽 β†Ύt π‘Œ)Homeo(𝐾 β†Ύt (𝐹 β€œ π‘Œ))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   βŠ† wss 3948  βˆͺ cuni 4908  β—‘ccnv 5675  dom cdm 5676  ran crn 5677   β†Ύ cres 5678   β€œ cima 5679  Fun wfun 6537  βŸΆwf 6539  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7411   β†Ύt crest 17370  Topctop 22615  TopOnctopon 22632   Cn ccn 22948  Homeochmeo 23477
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7727
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-map 8824  df-en 8942  df-fin 8945  df-fi 9408  df-rest 17372  df-topgen 17393  df-top 22616  df-topon 22633  df-bases 22669  df-cn 22951  df-hmeo 23479
This theorem is referenced by:  cvmsss2  34551
  Copyright terms: Public domain W3C validator