Theorem setsfun 17141

Description: A structure with replacement is a function if the original structure is a function. (Contributed by AV, 7-Jun-2021.)

Assertion

Ref	Expression
setsfun	⊢ (((𝐺 ∈ 𝑉 ∧ Fun 𝐺) ∧ (𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝐸 ∈ 𝑊)) → Fun (𝐺 sSet ⟨𝐼, 𝐸⟩))

Proof of Theorem setsfun

Step	Hyp	Ref	Expression
1		funres 6558	. . . . 5 ⊢ (Fun 𝐺 → Fun (𝐺 ↾ (V ∖ dom {⟨𝐼, 𝐸⟩})))
2	1	adantl 481	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ 𝑉 ∧ Fun 𝐺) → Fun (𝐺 ↾ (V ∖ dom {⟨𝐼, 𝐸⟩})))
3	2	adantr 480	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ 𝑉 ∧ Fun 𝐺) ∧ (𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝐸 ∈ 𝑊)) → Fun (𝐺 ↾ (V ∖ dom {⟨𝐼, 𝐸⟩})))
4		funsng 6567	. . . 4 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝐸 ∈ 𝑊) → Fun {⟨𝐼, 𝐸⟩})
5	4	adantl 481	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ 𝑉 ∧ Fun 𝐺) ∧ (𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝐸 ∈ 𝑊)) → Fun {⟨𝐼, 𝐸⟩})
6		dmres 5983	. . . . . 6 ⊢ dom (𝐺 ↾ (V ∖ dom {⟨𝐼, 𝐸⟩})) = ((V ∖ dom {⟨𝐼, 𝐸⟩}) ∩ dom 𝐺)
7	6	ineq1i 4179	. . . . 5 ⊢ (dom (𝐺 ↾ (V ∖ dom {⟨𝐼, 𝐸⟩})) ∩ dom {⟨𝐼, 𝐸⟩}) = (((V ∖ dom {⟨𝐼, 𝐸⟩}) ∩ dom 𝐺) ∩ dom {⟨𝐼, 𝐸⟩})
8		in32 4193	. . . . . 6 ⊢ (((V ∖ dom {⟨𝐼, 𝐸⟩}) ∩ dom 𝐺) ∩ dom {⟨𝐼, 𝐸⟩}) = (((V ∖ dom {⟨𝐼, 𝐸⟩}) ∩ dom {⟨𝐼, 𝐸⟩}) ∩ dom 𝐺)
9		disjdifr 4436	. . . . . . 7 ⊢ ((V ∖ dom {⟨𝐼, 𝐸⟩}) ∩ dom {⟨𝐼, 𝐸⟩}) = ∅
10	9	ineq1i 4179	. . . . . 6 ⊢ (((V ∖ dom {⟨𝐼, 𝐸⟩}) ∩ dom {⟨𝐼, 𝐸⟩}) ∩ dom 𝐺) = (∅ ∩ dom 𝐺)
11		0in 4360	. . . . . 6 ⊢ (∅ ∩ dom 𝐺) = ∅
12	8, 10, 11	3eqtri 2756	. . . . 5 ⊢ (((V ∖ dom {⟨𝐼, 𝐸⟩}) ∩ dom 𝐺) ∩ dom {⟨𝐼, 𝐸⟩}) = ∅
13	7, 12	eqtri 2752	. . . 4 ⊢ (dom (𝐺 ↾ (V ∖ dom {⟨𝐼, 𝐸⟩})) ∩ dom {⟨𝐼, 𝐸⟩}) = ∅
14	13	a1i 11	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ 𝑉 ∧ Fun 𝐺) ∧ (𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝐸 ∈ 𝑊)) → (dom (𝐺 ↾ (V ∖ dom {⟨𝐼, 𝐸⟩})) ∩ dom {⟨𝐼, 𝐸⟩}) = ∅)
15		funun 6562	. . 3 ⊢ (((Fun (𝐺 ↾ (V ∖ dom {⟨𝐼, 𝐸⟩})) ∧ Fun {⟨𝐼, 𝐸⟩}) ∧ (dom (𝐺 ↾ (V ∖ dom {⟨𝐼, 𝐸⟩})) ∩ dom {⟨𝐼, 𝐸⟩}) = ∅) → Fun ((𝐺 ↾ (V ∖ dom {⟨𝐼, 𝐸⟩})) ∪ {⟨𝐼, 𝐸⟩}))
16	3, 5, 14, 15	syl21anc 837	. 2 ⊢ (((𝐺 ∈ 𝑉 ∧ Fun 𝐺) ∧ (𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝐸 ∈ 𝑊)) → Fun ((𝐺 ↾ (V ∖ dom {⟨𝐼, 𝐸⟩})) ∪ {⟨𝐼, 𝐸⟩}))
17		opex 5424	. . . . . 6 ⊢ ⟨𝐼, 𝐸⟩ ∈ V
18	17	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (Fun 𝐺 → ⟨𝐼, 𝐸⟩ ∈ V)
19		setsvalg 17136	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ 𝑉 ∧ ⟨𝐼, 𝐸⟩ ∈ V) → (𝐺 sSet ⟨𝐼, 𝐸⟩) = ((𝐺 ↾ (V ∖ dom {⟨𝐼, 𝐸⟩})) ∪ {⟨𝐼, 𝐸⟩}))
20	18, 19	sylan2 593	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ 𝑉 ∧ Fun 𝐺) → (𝐺 sSet ⟨𝐼, 𝐸⟩) = ((𝐺 ↾ (V ∖ dom {⟨𝐼, 𝐸⟩})) ∪ {⟨𝐼, 𝐸⟩}))
21	20	funeqd 6538	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ 𝑉 ∧ Fun 𝐺) → (Fun (𝐺 sSet ⟨𝐼, 𝐸⟩) ↔ Fun ((𝐺 ↾ (V ∖ dom {⟨𝐼, 𝐸⟩})) ∪ {⟨𝐼, 𝐸⟩})))
22	21	adantr 480	. 2 ⊢ (((𝐺 ∈ 𝑉 ∧ Fun 𝐺) ∧ (𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝐸 ∈ 𝑊)) → (Fun (𝐺 sSet ⟨𝐼, 𝐸⟩) ↔ Fun ((𝐺 ↾ (V ∖ dom {⟨𝐼, 𝐸⟩})) ∪ {⟨𝐼, 𝐸⟩})))
23	16, 22	mpbird 257	1 ⊢ (((𝐺 ∈ 𝑉 ∧ Fun 𝐺) ∧ (𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝐸 ∈ 𝑊)) → Fun (𝐺 sSet ⟨𝐼, 𝐸⟩))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  Vcvv 3447   ∖ cdif 3911   ∪ cun 3912   ∩ cin 3913  ∅c0 4296  {csn 4589  ⟨cop 4595  dom cdm 5638   ↾ cres 5640  Fun wfun 6505  (class class class)co 7387   sSet csts 17133

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pr 5387  ax-un 7711

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-nul 4297  df-if 4489  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-br 5108  df-opab 5170  df-id 5533  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-res 5650  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fv 6519  df-ov 7390  df-oprab 7391  df-mpo 7392  df-sets 17134

This theorem is referenced by: (None)