MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  setsfun Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem setsfun 16872
Description: A structure with replacement is a function if the original structure is a function. (Contributed by AV, 7-Jun-2021.)
Assertion
Ref Expression
setsfun (((𝐺𝑉 ∧ Fun 𝐺) ∧ (𝐼𝑈𝐸𝑊)) → Fun (𝐺 sSet ⟨𝐼, 𝐸⟩))

Proof of Theorem setsfun
StepHypRef Expression
1 funres 6476 . . . . 5 (Fun 𝐺 → Fun (𝐺 ↾ (V ∖ dom {⟨𝐼, 𝐸⟩})))
21adantl 482 . . . 4 ((𝐺𝑉 ∧ Fun 𝐺) → Fun (𝐺 ↾ (V ∖ dom {⟨𝐼, 𝐸⟩})))
32adantr 481 . . 3 (((𝐺𝑉 ∧ Fun 𝐺) ∧ (𝐼𝑈𝐸𝑊)) → Fun (𝐺 ↾ (V ∖ dom {⟨𝐼, 𝐸⟩})))
4 funsng 6485 . . . 4 ((𝐼𝑈𝐸𝑊) → Fun {⟨𝐼, 𝐸⟩})
54adantl 482 . . 3 (((𝐺𝑉 ∧ Fun 𝐺) ∧ (𝐼𝑈𝐸𝑊)) → Fun {⟨𝐼, 𝐸⟩})
6 dmres 5913 . . . . . 6 dom (𝐺 ↾ (V ∖ dom {⟨𝐼, 𝐸⟩})) = ((V ∖ dom {⟨𝐼, 𝐸⟩}) ∩ dom 𝐺)
76ineq1i 4142 . . . . 5 (dom (𝐺 ↾ (V ∖ dom {⟨𝐼, 𝐸⟩})) ∩ dom {⟨𝐼, 𝐸⟩}) = (((V ∖ dom {⟨𝐼, 𝐸⟩}) ∩ dom 𝐺) ∩ dom {⟨𝐼, 𝐸⟩})
8 in32 4155 . . . . . 6 (((V ∖ dom {⟨𝐼, 𝐸⟩}) ∩ dom 𝐺) ∩ dom {⟨𝐼, 𝐸⟩}) = (((V ∖ dom {⟨𝐼, 𝐸⟩}) ∩ dom {⟨𝐼, 𝐸⟩}) ∩ dom 𝐺)
9 disjdifr 4406 . . . . . . 7 ((V ∖ dom {⟨𝐼, 𝐸⟩}) ∩ dom {⟨𝐼, 𝐸⟩}) = ∅
109ineq1i 4142 . . . . . 6 (((V ∖ dom {⟨𝐼, 𝐸⟩}) ∩ dom {⟨𝐼, 𝐸⟩}) ∩ dom 𝐺) = (∅ ∩ dom 𝐺)
11 0in 4327 . . . . . 6 (∅ ∩ dom 𝐺) = ∅
128, 10, 113eqtri 2770 . . . . 5 (((V ∖ dom {⟨𝐼, 𝐸⟩}) ∩ dom 𝐺) ∩ dom {⟨𝐼, 𝐸⟩}) = ∅
137, 12eqtri 2766 . . . 4 (dom (𝐺 ↾ (V ∖ dom {⟨𝐼, 𝐸⟩})) ∩ dom {⟨𝐼, 𝐸⟩}) = ∅
1413a1i 11 . . 3 (((𝐺𝑉 ∧ Fun 𝐺) ∧ (𝐼𝑈𝐸𝑊)) → (dom (𝐺 ↾ (V ∖ dom {⟨𝐼, 𝐸⟩})) ∩ dom {⟨𝐼, 𝐸⟩}) = ∅)
15 funun 6480 . . 3 (((Fun (𝐺 ↾ (V ∖ dom {⟨𝐼, 𝐸⟩})) ∧ Fun {⟨𝐼, 𝐸⟩}) ∧ (dom (𝐺 ↾ (V ∖ dom {⟨𝐼, 𝐸⟩})) ∩ dom {⟨𝐼, 𝐸⟩}) = ∅) → Fun ((𝐺 ↾ (V ∖ dom {⟨𝐼, 𝐸⟩})) ∪ {⟨𝐼, 𝐸⟩}))
163, 5, 14, 15syl21anc 835 . 2 (((𝐺𝑉 ∧ Fun 𝐺) ∧ (𝐼𝑈𝐸𝑊)) → Fun ((𝐺 ↾ (V ∖ dom {⟨𝐼, 𝐸⟩})) ∪ {⟨𝐼, 𝐸⟩}))
17 opex 5379 . . . . . 6 𝐼, 𝐸⟩ ∈ V
1817a1i 11 . . . . 5 (Fun 𝐺 → ⟨𝐼, 𝐸⟩ ∈ V)
19 setsvalg 16867 . . . . 5 ((𝐺𝑉 ∧ ⟨𝐼, 𝐸⟩ ∈ V) → (𝐺 sSet ⟨𝐼, 𝐸⟩) = ((𝐺 ↾ (V ∖ dom {⟨𝐼, 𝐸⟩})) ∪ {⟨𝐼, 𝐸⟩}))
2018, 19sylan2 593 . . . 4 ((𝐺𝑉 ∧ Fun 𝐺) → (𝐺 sSet ⟨𝐼, 𝐸⟩) = ((𝐺 ↾ (V ∖ dom {⟨𝐼, 𝐸⟩})) ∪ {⟨𝐼, 𝐸⟩}))
2120funeqd 6456 . . 3 ((𝐺𝑉 ∧ Fun 𝐺) → (Fun (𝐺 sSet ⟨𝐼, 𝐸⟩) ↔ Fun ((𝐺 ↾ (V ∖ dom {⟨𝐼, 𝐸⟩})) ∪ {⟨𝐼, 𝐸⟩})))
2221adantr 481 . 2 (((𝐺𝑉 ∧ Fun 𝐺) ∧ (𝐼𝑈𝐸𝑊)) → (Fun (𝐺 sSet ⟨𝐼, 𝐸⟩) ↔ Fun ((𝐺 ↾ (V ∖ dom {⟨𝐼, 𝐸⟩})) ∪ {⟨𝐼, 𝐸⟩})))
2316, 22mpbird 256 1 (((𝐺𝑉 ∧ Fun 𝐺) ∧ (𝐼𝑈𝐸𝑊)) → Fun (𝐺 sSet ⟨𝐼, 𝐸⟩))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 396   = wceq 1539  wcel 2106  Vcvv 3432  cdif 3884  cun 3885  cin 3886  c0 4256  {csn 4561  cop 4567  dom cdm 5589  cres 5591  Fun wfun 6427  (class class class)co 7275   sSet csts 16864
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pr 5352  ax-un 7588
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-nul 4257  df-if 4460  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-br 5075  df-opab 5137  df-id 5489  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-res 5601  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fv 6441  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-sets 16865
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator