Theorem setsfun 17249

Description: A structure with replacement is a function if the original structure is a function. (Contributed by AV, 7-Jun-2021.)

Assertion

Ref	Expression
setsfun	⊢ (((𝐺 ∈ 𝑉 ∧ Fun 𝐺) ∧ (𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝐸 ∈ 𝑊)) → Fun (𝐺 sSet ⟨𝐼, 𝐸⟩))

Proof of Theorem setsfun

Step	Hyp	Ref	Expression
1		funres 6582	. . . . 5 ⊢ (Fun 𝐺 → Fun (𝐺 ↾ (V ∖ dom {⟨𝐼, 𝐸⟩})))
2	1	adantl 487	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ 𝑉 ∧ Fun 𝐺) → Fun (𝐺 ↾ (V ∖ dom {⟨𝐼, 𝐸⟩})))
3	2	adantr 486	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ 𝑉 ∧ Fun 𝐺) ∧ (𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝐸 ∈ 𝑊)) → Fun (𝐺 ↾ (V ∖ dom {⟨𝐼, 𝐸⟩})))
4		funsng 6591	. . . 4 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝐸 ∈ 𝑊) → Fun {⟨𝐼, 𝐸⟩})
5	4	adantl 487	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ 𝑉 ∧ Fun 𝐺) ∧ (𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝐸 ∈ 𝑊)) → Fun {⟨𝐼, 𝐸⟩})
6		dmres 6013	. . . . . 6 ⊢ dom (𝐺 ↾ (V ∖ dom {⟨𝐼, 𝐸⟩})) = ((V ∖ dom {⟨𝐼, 𝐸⟩}) ∩ dom 𝐺)
7	6	ineq1i 4169	. . . . 5 ⊢ (dom (𝐺 ↾ (V ∖ dom {⟨𝐼, 𝐸⟩})) ∩ dom {⟨𝐼, 𝐸⟩}) = (((V ∖ dom {⟨𝐼, 𝐸⟩}) ∩ dom 𝐺) ∩ dom {⟨𝐼, 𝐸⟩})
8		in32 4182	. . . . . 6 ⊢ (((V ∖ dom {⟨𝐼, 𝐸⟩}) ∩ dom 𝐺) ∩ dom {⟨𝐼, 𝐸⟩}) = (((V ∖ dom {⟨𝐼, 𝐸⟩}) ∩ dom {⟨𝐼, 𝐸⟩}) ∩ dom 𝐺)
9		disjdifr 4434	. . . . . . 7 ⊢ ((V ∖ dom {⟨𝐼, 𝐸⟩}) ∩ dom {⟨𝐼, 𝐸⟩}) = ∅
10	9	ineq1i 4169	. . . . . 6 ⊢ (((V ∖ dom {⟨𝐼, 𝐸⟩}) ∩ dom {⟨𝐼, 𝐸⟩}) ∩ dom 𝐺) = (∅ ∩ dom 𝐺)
11		0in 4354	. . . . . 6 ⊢ (∅ ∩ dom 𝐺) = ∅
12	8, 10, 11	3eqtri 2792	. . . . 5 ⊢ (((V ∖ dom {⟨𝐼, 𝐸⟩}) ∩ dom 𝐺) ∩ dom {⟨𝐼, 𝐸⟩}) = ∅
13	7, 12	eqtri 2788	. . . 4 ⊢ (dom (𝐺 ↾ (V ∖ dom {⟨𝐼, 𝐸⟩})) ∩ dom {⟨𝐼, 𝐸⟩}) = ∅
14	13	a1i 11	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ 𝑉 ∧ Fun 𝐺) ∧ (𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝐸 ∈ 𝑊)) → (dom (𝐺 ↾ (V ∖ dom {⟨𝐼, 𝐸⟩})) ∩ dom {⟨𝐼, 𝐸⟩}) = ∅)
15		funun 6586	. . 3 ⊢ (((Fun (𝐺 ↾ (V ∖ dom {⟨𝐼, 𝐸⟩})) ∧ Fun {⟨𝐼, 𝐸⟩}) ∧ (dom (𝐺 ↾ (V ∖ dom {⟨𝐼, 𝐸⟩})) ∩ dom {⟨𝐼, 𝐸⟩}) = ∅) → Fun ((𝐺 ↾ (V ∖ dom {⟨𝐼, 𝐸⟩})) ∪ {⟨𝐼, 𝐸⟩}))
16	3, 5, 14, 15	syl21anc 851	. 2 ⊢ (((𝐺 ∈ 𝑉 ∧ Fun 𝐺) ∧ (𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝐸 ∈ 𝑊)) → Fun ((𝐺 ↾ (V ∖ dom {⟨𝐼, 𝐸⟩})) ∪ {⟨𝐼, 𝐸⟩}))
17		opex 5447	. . . . . 6 ⊢ ⟨𝐼, 𝐸⟩ ∈ V
18	17	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (Fun 𝐺 → ⟨𝐼, 𝐸⟩ ∈ V)
19		setsvalg 17244	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ 𝑉 ∧ ⟨𝐼, 𝐸⟩ ∈ V) → (𝐺 sSet ⟨𝐼, 𝐸⟩) = ((𝐺 ↾ (V ∖ dom {⟨𝐼, 𝐸⟩})) ∪ {⟨𝐼, 𝐸⟩}))
20	18, 19	sylan2 605	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ 𝑉 ∧ Fun 𝐺) → (𝐺 sSet ⟨𝐼, 𝐸⟩) = ((𝐺 ↾ (V ∖ dom {⟨𝐼, 𝐸⟩})) ∪ {⟨𝐼, 𝐸⟩}))
21	20	funeqd 6562	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ 𝑉 ∧ Fun 𝐺) → (Fun (𝐺 sSet ⟨𝐼, 𝐸⟩) ↔ Fun ((𝐺 ↾ (V ∖ dom {⟨𝐼, 𝐸⟩})) ∪ {⟨𝐼, 𝐸⟩})))
22	21	adantr 486	. 2 ⊢ (((𝐺 ∈ 𝑉 ∧ Fun 𝐺) ∧ (𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝐸 ∈ 𝑊)) → (Fun (𝐺 sSet ⟨𝐼, 𝐸⟩) ↔ Fun ((𝐺 ↾ (V ∖ dom {⟨𝐼, 𝐸⟩})) ∪ {⟨𝐼, 𝐸⟩})))
23	16, 22	mpbird 260	1 ⊢ (((𝐺 ∈ 𝑉 ∧ Fun 𝐺) ∧ (𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝐸 ∈ 𝑊)) → Fun (𝐺 sSet ⟨𝐼, 𝐸⟩))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2146  Vcvv 3457   ∖ cdif 3903   ∪ cun 3904   ∩ cin 3905  ∅c0 4286  {csn 4591  ⟨cop 4597  dom cdm 5663   ↾ cres 5665  Fun wfun 6534  (class class class)co 7416   sSet csts 17241

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-sep 5259  ax-pr 5406  ax-un 7738

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ral 3082  df-rex 3092  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-nul 4287  df-if 4490  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-br 5112  df-opab 5176  df-id 5558  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-res 5675  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fv 6548  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-sets 17242

This theorem is used by: (None)