Theorem setsfun 17147

Description: A structure with replacement is a function if the original structure is a function. (Contributed by AV, 7-Jun-2021.)

Assertion

Ref	Expression
setsfun	⊢ (((𝐺 ∈ 𝑉 ∧ Fun 𝐺) ∧ (𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝐸 ∈ 𝑊)) → Fun (𝐺 sSet ⟨𝐼, 𝐸⟩))

Proof of Theorem setsfun

Step	Hyp	Ref	Expression
1		funres 6566	. . . . 5 ⊢ (Fun 𝐺 → Fun (𝐺 ↾ (V ∖ dom {⟨𝐼, 𝐸⟩})))
2	1	adantl 481	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ 𝑉 ∧ Fun 𝐺) → Fun (𝐺 ↾ (V ∖ dom {⟨𝐼, 𝐸⟩})))
3	2	adantr 480	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ 𝑉 ∧ Fun 𝐺) ∧ (𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝐸 ∈ 𝑊)) → Fun (𝐺 ↾ (V ∖ dom {⟨𝐼, 𝐸⟩})))
4		funsng 6575	. . . 4 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝐸 ∈ 𝑊) → Fun {⟨𝐼, 𝐸⟩})
5	4	adantl 481	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ 𝑉 ∧ Fun 𝐺) ∧ (𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝐸 ∈ 𝑊)) → Fun {⟨𝐼, 𝐸⟩})
6		dmres 5991	. . . . . 6 ⊢ dom (𝐺 ↾ (V ∖ dom {⟨𝐼, 𝐸⟩})) = ((V ∖ dom {⟨𝐼, 𝐸⟩}) ∩ dom 𝐺)
7	6	ineq1i 4187	. . . . 5 ⊢ (dom (𝐺 ↾ (V ∖ dom {⟨𝐼, 𝐸⟩})) ∩ dom {⟨𝐼, 𝐸⟩}) = (((V ∖ dom {⟨𝐼, 𝐸⟩}) ∩ dom 𝐺) ∩ dom {⟨𝐼, 𝐸⟩})
8		in32 4201	. . . . . 6 ⊢ (((V ∖ dom {⟨𝐼, 𝐸⟩}) ∩ dom 𝐺) ∩ dom {⟨𝐼, 𝐸⟩}) = (((V ∖ dom {⟨𝐼, 𝐸⟩}) ∩ dom {⟨𝐼, 𝐸⟩}) ∩ dom 𝐺)
9		disjdifr 4444	. . . . . . 7 ⊢ ((V ∖ dom {⟨𝐼, 𝐸⟩}) ∩ dom {⟨𝐼, 𝐸⟩}) = ∅
10	9	ineq1i 4187	. . . . . 6 ⊢ (((V ∖ dom {⟨𝐼, 𝐸⟩}) ∩ dom {⟨𝐼, 𝐸⟩}) ∩ dom 𝐺) = (∅ ∩ dom 𝐺)
11		0in 4368	. . . . . 6 ⊢ (∅ ∩ dom 𝐺) = ∅
12	8, 10, 11	3eqtri 2757	. . . . 5 ⊢ (((V ∖ dom {⟨𝐼, 𝐸⟩}) ∩ dom 𝐺) ∩ dom {⟨𝐼, 𝐸⟩}) = ∅
13	7, 12	eqtri 2753	. . . 4 ⊢ (dom (𝐺 ↾ (V ∖ dom {⟨𝐼, 𝐸⟩})) ∩ dom {⟨𝐼, 𝐸⟩}) = ∅
14	13	a1i 11	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ 𝑉 ∧ Fun 𝐺) ∧ (𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝐸 ∈ 𝑊)) → (dom (𝐺 ↾ (V ∖ dom {⟨𝐼, 𝐸⟩})) ∩ dom {⟨𝐼, 𝐸⟩}) = ∅)
15		funun 6570	. . 3 ⊢ (((Fun (𝐺 ↾ (V ∖ dom {⟨𝐼, 𝐸⟩})) ∧ Fun {⟨𝐼, 𝐸⟩}) ∧ (dom (𝐺 ↾ (V ∖ dom {⟨𝐼, 𝐸⟩})) ∩ dom {⟨𝐼, 𝐸⟩}) = ∅) → Fun ((𝐺 ↾ (V ∖ dom {⟨𝐼, 𝐸⟩})) ∪ {⟨𝐼, 𝐸⟩}))
16	3, 5, 14, 15	syl21anc 837	. 2 ⊢ (((𝐺 ∈ 𝑉 ∧ Fun 𝐺) ∧ (𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝐸 ∈ 𝑊)) → Fun ((𝐺 ↾ (V ∖ dom {⟨𝐼, 𝐸⟩})) ∪ {⟨𝐼, 𝐸⟩}))
17		opex 5432	. . . . . 6 ⊢ ⟨𝐼, 𝐸⟩ ∈ V
18	17	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (Fun 𝐺 → ⟨𝐼, 𝐸⟩ ∈ V)
19		setsvalg 17142	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ 𝑉 ∧ ⟨𝐼, 𝐸⟩ ∈ V) → (𝐺 sSet ⟨𝐼, 𝐸⟩) = ((𝐺 ↾ (V ∖ dom {⟨𝐼, 𝐸⟩})) ∪ {⟨𝐼, 𝐸⟩}))
20	18, 19	sylan2 593	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ 𝑉 ∧ Fun 𝐺) → (𝐺 sSet ⟨𝐼, 𝐸⟩) = ((𝐺 ↾ (V ∖ dom {⟨𝐼, 𝐸⟩})) ∪ {⟨𝐼, 𝐸⟩}))
21	20	funeqd 6546	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ 𝑉 ∧ Fun 𝐺) → (Fun (𝐺 sSet ⟨𝐼, 𝐸⟩) ↔ Fun ((𝐺 ↾ (V ∖ dom {⟨𝐼, 𝐸⟩})) ∪ {⟨𝐼, 𝐸⟩})))
22	21	adantr 480	. 2 ⊢ (((𝐺 ∈ 𝑉 ∧ Fun 𝐺) ∧ (𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝐸 ∈ 𝑊)) → (Fun (𝐺 sSet ⟨𝐼, 𝐸⟩) ↔ Fun ((𝐺 ↾ (V ∖ dom {⟨𝐼, 𝐸⟩})) ∪ {⟨𝐼, 𝐸⟩})))
23	16, 22	mpbird 257	1 ⊢ (((𝐺 ∈ 𝑉 ∧ Fun 𝐺) ∧ (𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝐸 ∈ 𝑊)) → Fun (𝐺 sSet ⟨𝐼, 𝐸⟩))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  Vcvv 3455   ∖ cdif 3919   ∪ cun 3920   ∩ cin 3921  ∅c0 4304  {csn 4597  ⟨cop 4603  dom cdm 5646   ↾ cres 5648  Fun wfun 6513  (class class class)co 7394   sSet csts 17139

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-sep 5259  ax-nul 5269  ax-pr 5395  ax-un 7718

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2880  df-ral 3047  df-rex 3056  df-rab 3412  df-v 3457  df-sbc 3762  df-dif 3925  df-un 3927  df-in 3929  df-ss 3939  df-nul 4305  df-if 4497  df-sn 4598  df-pr 4600  df-op 4604  df-uni 4880  df-br 5116  df-opab 5178  df-id 5541  df-xp 5652  df-rel 5653  df-cnv 5654  df-co 5655  df-dm 5656  df-res 5658  df-iota 6472  df-fun 6521  df-fv 6527  df-ov 7397  df-oprab 7398  df-mpo 7399  df-sets 17140

This theorem is referenced by: (None)