MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  snopfsupp Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem snopfsupp 9388
Description: A singleton containing an ordered pair is a finitely supported function. (Contributed by AV, 19-Jul-2019.)
Assertion
Ref Expression
snopfsupp ((𝑋𝑉𝑌𝑊𝑍𝑈) → {⟨𝑋, 𝑌⟩} finSupp 𝑍)

Proof of Theorem snopfsupp
StepHypRef Expression
1 snfi 9046 . . . 4 {𝑋} ∈ Fin
2 snopsuppss 8166 . . . 4 ({⟨𝑋, 𝑌⟩} supp 𝑍) ⊆ {𝑋}
31, 2pm3.2i 471 . . 3 ({𝑋} ∈ Fin ∧ ({⟨𝑋, 𝑌⟩} supp 𝑍) ⊆ {𝑋})
4 ssfi 9175 . . 3 (({𝑋} ∈ Fin ∧ ({⟨𝑋, 𝑌⟩} supp 𝑍) ⊆ {𝑋}) → ({⟨𝑋, 𝑌⟩} supp 𝑍) ∈ Fin)
53, 4mp1i 13 . 2 ((𝑋𝑉𝑌𝑊𝑍𝑈) → ({⟨𝑋, 𝑌⟩} supp 𝑍) ∈ Fin)
6 funsng 6599 . . . 4 ((𝑋𝑉𝑌𝑊) → Fun {⟨𝑋, 𝑌⟩})
763adant3 1132 . . 3 ((𝑋𝑉𝑌𝑊𝑍𝑈) → Fun {⟨𝑋, 𝑌⟩})
8 snex 5431 . . . 4 {⟨𝑋, 𝑌⟩} ∈ V
98a1i 11 . . 3 ((𝑋𝑉𝑌𝑊𝑍𝑈) → {⟨𝑋, 𝑌⟩} ∈ V)
10 simp3 1138 . . 3 ((𝑋𝑉𝑌𝑊𝑍𝑈) → 𝑍𝑈)
11 funisfsupp 9369 . . 3 ((Fun {⟨𝑋, 𝑌⟩} ∧ {⟨𝑋, 𝑌⟩} ∈ V ∧ 𝑍𝑈) → ({⟨𝑋, 𝑌⟩} finSupp 𝑍 ↔ ({⟨𝑋, 𝑌⟩} supp 𝑍) ∈ Fin))
127, 9, 10, 11syl3anc 1371 . 2 ((𝑋𝑉𝑌𝑊𝑍𝑈) → ({⟨𝑋, 𝑌⟩} finSupp 𝑍 ↔ ({⟨𝑋, 𝑌⟩} supp 𝑍) ∈ Fin))
135, 12mpbird 256 1 ((𝑋𝑉𝑌𝑊𝑍𝑈) → {⟨𝑋, 𝑌⟩} finSupp 𝑍)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 396  w3a 1087  wcel 2106  Vcvv 3474  wss 3948  {csn 4628  cop 4634   class class class wbr 5148  Fun wfun 6537  (class class class)co 7411   supp csupp 8148  Fincfn 8941   finSupp cfsupp 9363
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pr 5427  ax-un 7727
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-br 5149  df-opab 5211  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-supp 8149  df-1o 8468  df-en 8942  df-fin 8945  df-fsupp 9364
This theorem is referenced by:  funsnfsupp  9389
  Copyright terms: Public domain W3C validator