MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  snopfsupp Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem snopfsupp 9386
Description: A singleton containing an ordered pair is a finitely supported function. (Contributed by AV, 19-Jul-2019.)
Assertion
Ref Expression
snopfsupp ((𝑋𝑉𝑌𝑊𝑍𝑈) → {⟨𝑋, 𝑌⟩} finSupp 𝑍)

Proof of Theorem snopfsupp
StepHypRef Expression
1 snfi 9044 . . . 4 {𝑋} ∈ Fin
2 snopsuppss 8164 . . . 4 ({⟨𝑋, 𝑌⟩} supp 𝑍) ⊆ {𝑋}
31, 2pm3.2i 472 . . 3 ({𝑋} ∈ Fin ∧ ({⟨𝑋, 𝑌⟩} supp 𝑍) ⊆ {𝑋})
4 ssfi 9173 . . 3 (({𝑋} ∈ Fin ∧ ({⟨𝑋, 𝑌⟩} supp 𝑍) ⊆ {𝑋}) → ({⟨𝑋, 𝑌⟩} supp 𝑍) ∈ Fin)
53, 4mp1i 13 . 2 ((𝑋𝑉𝑌𝑊𝑍𝑈) → ({⟨𝑋, 𝑌⟩} supp 𝑍) ∈ Fin)
6 funsng 6600 . . . 4 ((𝑋𝑉𝑌𝑊) → Fun {⟨𝑋, 𝑌⟩})
763adant3 1133 . . 3 ((𝑋𝑉𝑌𝑊𝑍𝑈) → Fun {⟨𝑋, 𝑌⟩})
8 snex 5432 . . . 4 {⟨𝑋, 𝑌⟩} ∈ V
98a1i 11 . . 3 ((𝑋𝑉𝑌𝑊𝑍𝑈) → {⟨𝑋, 𝑌⟩} ∈ V)
10 simp3 1139 . . 3 ((𝑋𝑉𝑌𝑊𝑍𝑈) → 𝑍𝑈)
11 funisfsupp 9367 . . 3 ((Fun {⟨𝑋, 𝑌⟩} ∧ {⟨𝑋, 𝑌⟩} ∈ V ∧ 𝑍𝑈) → ({⟨𝑋, 𝑌⟩} finSupp 𝑍 ↔ ({⟨𝑋, 𝑌⟩} supp 𝑍) ∈ Fin))
127, 9, 10, 11syl3anc 1372 . 2 ((𝑋𝑉𝑌𝑊𝑍𝑈) → ({⟨𝑋, 𝑌⟩} finSupp 𝑍 ↔ ({⟨𝑋, 𝑌⟩} supp 𝑍) ∈ Fin))
135, 12mpbird 257 1 ((𝑋𝑉𝑌𝑊𝑍𝑈) → {⟨𝑋, 𝑌⟩} finSupp 𝑍)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 397  w3a 1088  wcel 2107  Vcvv 3475  wss 3949  {csn 4629  cop 4635   class class class wbr 5149  Fun wfun 6538  (class class class)co 7409   supp csupp 8146  Fincfn 8939   finSupp cfsupp 9361
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pr 5428  ax-un 7725
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-br 5150  df-opab 5212  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-supp 8147  df-1o 8466  df-en 8940  df-fin 8943  df-fsupp 9362
This theorem is referenced by:  funsnfsupp  9387
  Copyright terms: Public domain W3C validator