Theorem snopfsupp 9294

Description: A singleton containing an ordered pair is a finitely supported function. (Contributed by AV, 19-Jul-2019.)

Assertion

Ref	Expression
snopfsupp	⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑊 ∧ 𝑍 ∈ 𝑈) → {⟨𝑋, 𝑌⟩} finSupp 𝑍)

Proof of Theorem snopfsupp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		snfi 8980	. . . 4 ⊢ {𝑋} ∈ Fin
2		snopsuppss 8121	. . . 4 ⊢ ({⟨𝑋, 𝑌⟩} supp 𝑍) ⊆ {𝑋}
3	1, 2	pm3.2i 470	. . 3 ⊢ ({𝑋} ∈ Fin ∧ ({⟨𝑋, 𝑌⟩} supp 𝑍) ⊆ {𝑋})
4		ssfi 9097	. . 3 ⊢ (({𝑋} ∈ Fin ∧ ({⟨𝑋, 𝑌⟩} supp 𝑍) ⊆ {𝑋}) → ({⟨𝑋, 𝑌⟩} supp 𝑍) ∈ Fin)
5	3, 4	mp1i 13	. 2 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑊 ∧ 𝑍 ∈ 𝑈) → ({⟨𝑋, 𝑌⟩} supp 𝑍) ∈ Fin)
6		funsng 6543	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑊) → Fun {⟨𝑋, 𝑌⟩})
7	6	3adant3 1132	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑊 ∧ 𝑍 ∈ 𝑈) → Fun {⟨𝑋, 𝑌⟩})
8		snex 5381	. . . 4 ⊢ {⟨𝑋, 𝑌⟩} ∈ V
9	8	a1i 11	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑊 ∧ 𝑍 ∈ 𝑈) → {⟨𝑋, 𝑌⟩} ∈ V)
10		simp3 1138	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑊 ∧ 𝑍 ∈ 𝑈) → 𝑍 ∈ 𝑈)
11		funisfsupp 9270	. . 3 ⊢ ((Fun {⟨𝑋, 𝑌⟩} ∧ {⟨𝑋, 𝑌⟩} ∈ V ∧ 𝑍 ∈ 𝑈) → ({⟨𝑋, 𝑌⟩} finSupp 𝑍 ↔ ({⟨𝑋, 𝑌⟩} supp 𝑍) ∈ Fin))
12	7, 9, 10, 11	syl3anc 1373	. 2 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑊 ∧ 𝑍 ∈ 𝑈) → ({⟨𝑋, 𝑌⟩} finSupp 𝑍 ↔ ({⟨𝑋, 𝑌⟩} supp 𝑍) ∈ Fin))
13	5, 12	mpbird 257	1 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑊 ∧ 𝑍 ∈ 𝑈) → {⟨𝑋, 𝑌⟩} finSupp 𝑍)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   ∈ wcel 2113  Vcvv 3440   ⊆ wss 3901  {csn 4580  ⟨cop 4586   class class class wbr 5098  Fun wfun 6486  (class class class)co 7358   supp csupp 8102  Fincfn 8883   finSupp cfsupp 9264

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pr 5377  ax-un 7680

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3351  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-pss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-br 5099  df-opab 5161  df-tr 5206  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7809  df-supp 8103  df-1o 8397  df-en 8884  df-fin 8887  df-fsupp 9265

This theorem is referenced by:  funsnfsupp  9295