MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  snopfsupp Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem snopfsupp 8832
Description: A singleton containing an ordered pair is a finitely supported function. (Contributed by AV, 19-Jul-2019.)
Assertion
Ref Expression
snopfsupp ((𝑋𝑉𝑌𝑊𝑍𝑈) → {⟨𝑋, 𝑌⟩} finSupp 𝑍)

Proof of Theorem snopfsupp
StepHypRef Expression
1 snfi 8570 . . . 4 {𝑋} ∈ Fin
2 snopsuppss 7821 . . . 4 ({⟨𝑋, 𝑌⟩} supp 𝑍) ⊆ {𝑋}
31, 2pm3.2i 473 . . 3 ({𝑋} ∈ Fin ∧ ({⟨𝑋, 𝑌⟩} supp 𝑍) ⊆ {𝑋})
4 ssfi 8714 . . 3 (({𝑋} ∈ Fin ∧ ({⟨𝑋, 𝑌⟩} supp 𝑍) ⊆ {𝑋}) → ({⟨𝑋, 𝑌⟩} supp 𝑍) ∈ Fin)
53, 4mp1i 13 . 2 ((𝑋𝑉𝑌𝑊𝑍𝑈) → ({⟨𝑋, 𝑌⟩} supp 𝑍) ∈ Fin)
6 funsng 6379 . . . 4 ((𝑋𝑉𝑌𝑊) → Fun {⟨𝑋, 𝑌⟩})
763adant3 1128 . . 3 ((𝑋𝑉𝑌𝑊𝑍𝑈) → Fun {⟨𝑋, 𝑌⟩})
8 snex 5306 . . . 4 {⟨𝑋, 𝑌⟩} ∈ V
98a1i 11 . . 3 ((𝑋𝑉𝑌𝑊𝑍𝑈) → {⟨𝑋, 𝑌⟩} ∈ V)
10 simp3 1134 . . 3 ((𝑋𝑉𝑌𝑊𝑍𝑈) → 𝑍𝑈)
11 funisfsupp 8814 . . 3 ((Fun {⟨𝑋, 𝑌⟩} ∧ {⟨𝑋, 𝑌⟩} ∈ V ∧ 𝑍𝑈) → ({⟨𝑋, 𝑌⟩} finSupp 𝑍 ↔ ({⟨𝑋, 𝑌⟩} supp 𝑍) ∈ Fin))
127, 9, 10, 11syl3anc 1367 . 2 ((𝑋𝑉𝑌𝑊𝑍𝑈) → ({⟨𝑋, 𝑌⟩} finSupp 𝑍 ↔ ({⟨𝑋, 𝑌⟩} supp 𝑍) ∈ Fin))
135, 12mpbird 259 1 ((𝑋𝑉𝑌𝑊𝑍𝑈) → {⟨𝑋, 𝑌⟩} finSupp 𝑍)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 208  wa 398  w3a 1083  wcel 2114  Vcvv 3473  wss 3912  {csn 4541  cop 4547   class class class wbr 5040  Fun wfun 6323  (class class class)co 7131   supp csupp 7806  Fincfn 8485   finSupp cfsupp 8809
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2792  ax-sep 5177  ax-nul 5184  ax-pow 5240  ax-pr 5304  ax-un 7437
This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2653  df-clab 2799  df-cleq 2813  df-clel 2891  df-nfc 2959  df-ne 3007  df-ral 3130  df-rex 3131  df-rab 3134  df-v 3475  df-sbc 3752  df-dif 3915  df-un 3917  df-in 3919  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4268  df-if 4442  df-pw 4515  df-sn 4542  df-pr 4544  df-tp 4546  df-op 4548  df-uni 4813  df-br 5041  df-opab 5103  df-tr 5147  df-id 5434  df-eprel 5439  df-po 5448  df-so 5449  df-fr 5488  df-we 5490  df-xp 5535  df-rel 5536  df-cnv 5537  df-co 5538  df-dm 5539  df-rn 5540  df-res 5541  df-ima 5542  df-ord 6168  df-on 6169  df-lim 6170  df-suc 6171  df-iota 6288  df-fun 6331  df-fn 6332  df-f 6333  df-f1 6334  df-fo 6335  df-f1o 6336  df-fv 6337  df-ov 7134  df-oprab 7135  df-mpo 7136  df-om 7557  df-supp 7807  df-1o 8078  df-er 8265  df-en 8486  df-fin 8489  df-fsupp 8810
This theorem is referenced by:  funsnfsupp  8833
  Copyright terms: Public domain W3C validator