MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  snopfsupp Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem snopfsupp 9416
Description: A singleton containing an ordered pair is a finitely supported function. (Contributed by AV, 19-Jul-2019.)
Assertion
Ref Expression
snopfsupp ((𝑋𝑉𝑌𝑊𝑍𝑈) → {⟨𝑋, 𝑌⟩} finSupp 𝑍)

Proof of Theorem snopfsupp
StepHypRef Expression
1 snfi 9069 . . . 4 {𝑋} ∈ Fin
2 snopsuppss 8184 . . . 4 ({⟨𝑋, 𝑌⟩} supp 𝑍) ⊆ {𝑋}
31, 2pm3.2i 469 . . 3 ({𝑋} ∈ Fin ∧ ({⟨𝑋, 𝑌⟩} supp 𝑍) ⊆ {𝑋})
4 ssfi 9198 . . 3 (({𝑋} ∈ Fin ∧ ({⟨𝑋, 𝑌⟩} supp 𝑍) ⊆ {𝑋}) → ({⟨𝑋, 𝑌⟩} supp 𝑍) ∈ Fin)
53, 4mp1i 13 . 2 ((𝑋𝑉𝑌𝑊𝑍𝑈) → ({⟨𝑋, 𝑌⟩} supp 𝑍) ∈ Fin)
6 funsng 6605 . . . 4 ((𝑋𝑉𝑌𝑊) → Fun {⟨𝑋, 𝑌⟩})
763adant3 1129 . . 3 ((𝑋𝑉𝑌𝑊𝑍𝑈) → Fun {⟨𝑋, 𝑌⟩})
8 snex 5433 . . . 4 {⟨𝑋, 𝑌⟩} ∈ V
98a1i 11 . . 3 ((𝑋𝑉𝑌𝑊𝑍𝑈) → {⟨𝑋, 𝑌⟩} ∈ V)
10 simp3 1135 . . 3 ((𝑋𝑉𝑌𝑊𝑍𝑈) → 𝑍𝑈)
11 funisfsupp 9393 . . 3 ((Fun {⟨𝑋, 𝑌⟩} ∧ {⟨𝑋, 𝑌⟩} ∈ V ∧ 𝑍𝑈) → ({⟨𝑋, 𝑌⟩} finSupp 𝑍 ↔ ({⟨𝑋, 𝑌⟩} supp 𝑍) ∈ Fin))
127, 9, 10, 11syl3anc 1368 . 2 ((𝑋𝑉𝑌𝑊𝑍𝑈) → ({⟨𝑋, 𝑌⟩} finSupp 𝑍 ↔ ({⟨𝑋, 𝑌⟩} supp 𝑍) ∈ Fin))
135, 12mpbird 256 1 ((𝑋𝑉𝑌𝑊𝑍𝑈) → {⟨𝑋, 𝑌⟩} finSupp 𝑍)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 394  w3a 1084  wcel 2098  Vcvv 3461  wss 3944  {csn 4630  cop 4636   class class class wbr 5149  Fun wfun 6543  (class class class)co 7419   supp csupp 8165  Fincfn 8964   finSupp cfsupp 9387
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pr 5429  ax-un 7741
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2930  df-ral 3051  df-rex 3060  df-reu 3364  df-rab 3419  df-v 3463  df-sbc 3774  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3964  df-nul 4323  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4910  df-br 5150  df-opab 5212  df-tr 5267  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-ord 6374  df-on 6375  df-lim 6376  df-suc 6377  df-iota 6501  df-fun 6551  df-fn 6552  df-f 6553  df-f1 6554  df-fo 6555  df-f1o 6556  df-fv 6557  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-om 7872  df-supp 8166  df-1o 8487  df-en 8965  df-fin 8968  df-fsupp 9388
This theorem is referenced by:  funsnfsupp  9417
  Copyright terms: Public domain W3C validator