Theorem snopfsupp 9351

Description: A singleton containing an ordered pair is a finitely supported function. (Contributed by AV, 19-Jul-2019.)

Assertion

Ref	Expression
snopfsupp	⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑊 ∧ 𝑍 ∈ 𝑈) → {⟨𝑋, 𝑌⟩} finSupp 𝑍)

Proof of Theorem snopfsupp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		snfi 9040	. . . 4 ⊢ {𝑋} ∈ Fin
2		snopsuppss 8175	. . . 4 ⊢ ({⟨𝑋, 𝑌⟩} supp 𝑍) ⊆ {𝑋}
3	1, 2	pm3.2i 475	. . 3 ⊢ ({𝑋} ∈ Fin ∧ ({⟨𝑋, 𝑌⟩} supp 𝑍) ⊆ {𝑋})
4		ssfi 9157	. . 3 ⊢ (({𝑋} ∈ Fin ∧ ({⟨𝑋, 𝑌⟩} supp 𝑍) ⊆ {𝑋}) → ({⟨𝑋, 𝑌⟩} supp 𝑍) ∈ Fin)
5	3, 4	mp1i 14	. 2 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑊 ∧ 𝑍 ∈ 𝑈) → ({⟨𝑋, 𝑌⟩} supp 𝑍) ∈ Fin)
6		funsng 6588	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑊) → Fun {⟨𝑋, 𝑌⟩})
7	6	3adant3 1148	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑊 ∧ 𝑍 ∈ 𝑈) → Fun {⟨𝑋, 𝑌⟩})
8		snex 5411	. . . 4 ⊢ {⟨𝑋, 𝑌⟩} ∈ V
9	8	a1i 11	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑊 ∧ 𝑍 ∈ 𝑈) → {⟨𝑋, 𝑌⟩} ∈ V)
10		simp3 1154	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑊 ∧ 𝑍 ∈ 𝑈) → 𝑍 ∈ 𝑈)
11		funisfsupp 9327	. . 3 ⊢ ((Fun {⟨𝑋, 𝑌⟩} ∧ {⟨𝑋, 𝑌⟩} ∈ V ∧ 𝑍 ∈ 𝑈) → ({⟨𝑋, 𝑌⟩} finSupp 𝑍 ↔ ({⟨𝑋, 𝑌⟩} supp 𝑍) ∈ Fin))
12	7, 9, 10, 11	syl3anc 1396	. 2 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑊 ∧ 𝑍 ∈ 𝑈) → ({⟨𝑋, 𝑌⟩} finSupp 𝑍 ↔ ({⟨𝑋, 𝑌⟩} supp 𝑍) ∈ Fin))
13	5, 12	mpbird 260	1 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑊 ∧ 𝑍 ∈ 𝑈) → {⟨𝑋, 𝑌⟩} finSupp 𝑍)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   ∧ w3a 1101   ∈ wcel 2149  Vcvv 3463   ⊆ wss 3913  {csn 4594  ⟨cop 4600   class class class wbr 5113  Fun wfun 6531  (class class class)co 7411   supp csupp 8156  Fincfn 8943   finSupp cfsupp 9321

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-sep 5261  ax-nul 5271  ax-pr 5405  ax-un 7733

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-ral 3086  df-rex 3096  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4877  df-br 5114  df-opab 5178  df-tr 5223  df-id 5557  df-eprel 5562  df-po 5570  df-so 5571  df-fr 5615  df-we 5617  df-xp 5668  df-rel 5669  df-cnv 5670  df-co 5671  df-dm 5672  df-rn 5673  df-res 5674  df-ima 5675  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7863  df-supp 8157  df-1o 8453  df-en 8944  df-fin 8947  df-fsupp 9322

This theorem is referenced by:  funsnfsupp  9352  0mplrim  33849  selvply1rhmlem1  33855  selvply1rhmlem2  33856  selvply1rhmlem4  33858