Theorem snopfsupp 9420

Description: A singleton containing an ordered pair is a finitely supported function. (Contributed by AV, 19-Jul-2019.)

Assertion

Ref	Expression
snopfsupp	⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑊 ∧ 𝑍 ∈ 𝑈) → {⟨𝑋, 𝑌⟩} finSupp 𝑍)

Proof of Theorem snopfsupp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		snfi 9109	. . . 4 ⊢ {𝑋} ∈ Fin
2		snopsuppss 8234	. . . 4 ⊢ ({⟨𝑋, 𝑌⟩} supp 𝑍) ⊆ {𝑋}
3	1, 2	pm3.2i 476	. . 3 ⊢ ({𝑋} ∈ Fin ∧ ({⟨𝑋, 𝑌⟩} supp 𝑍) ⊆ {𝑋})
4		ssfi 9226	. . 3 ⊢ (({𝑋} ∈ Fin ∧ ({⟨𝑋, 𝑌⟩} supp 𝑍) ⊆ {𝑋}) → ({⟨𝑋, 𝑌⟩} supp 𝑍) ∈ Fin)
5	3, 4	mp1i 14	. 2 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑊 ∧ 𝑍 ∈ 𝑈) → ({⟨𝑋, 𝑌⟩} supp 𝑍) ∈ Fin)
6		funsng 6621	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑊) → Fun {⟨𝑋, 𝑌⟩})
7	6	3adant3 1150	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑊 ∧ 𝑍 ∈ 𝑈) → Fun {⟨𝑋, 𝑌⟩})
8		snex 5404	. . . 4 ⊢ {⟨𝑋, 𝑌⟩} ∈ V
9	8	a1i 11	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑊 ∧ 𝑍 ∈ 𝑈) → {⟨𝑋, 𝑌⟩} ∈ V)
10		simp3 1156	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑊 ∧ 𝑍 ∈ 𝑈) → 𝑍 ∈ 𝑈)
11		funisfsupp 9397	. . 3 ⊢ ((Fun {⟨𝑋, 𝑌⟩} ∧ {⟨𝑋, 𝑌⟩} ∈ V ∧ 𝑍 ∈ 𝑈) → ({⟨𝑋, 𝑌⟩} finSupp 𝑍 ↔ ({⟨𝑋, 𝑌⟩} supp 𝑍) ∈ Fin))
12	7, 9, 10, 11	syl3anc 1399	. 2 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑊 ∧ 𝑍 ∈ 𝑈) → ({⟨𝑋, 𝑌⟩} finSupp 𝑍 ↔ ({⟨𝑋, 𝑌⟩} supp 𝑍) ∈ Fin))
13	5, 12	mpbird 260	1 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑊 ∧ 𝑍 ∈ 𝑈) → {⟨𝑋, 𝑌⟩} finSupp 𝑍)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   ∈ wcel 2147  Vcvv 3454   ⊆ wss 3900  {csn 4588  ⟨cop 4840   class class class wbr 5108  Fun wfun 6560  (class class class)co 7451   supp csupp 8214  Fincfn 9011   finSupp cfsupp 9391

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5255  ax-nul 5266  ax-pr 5398  ax-un 7783

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-ral 3081  df-rex 3091  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4841  df-uni 4873  df-br 5109  df-opab 5174  df-tr 5219  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-we 5613  df-xp 5664  df-rel 5665  df-cnv 5666  df-co 5667  df-dm 5668  df-rn 5669  df-res 5670  df-ima 5671  df-ord 6391  df-on 6392  df-lim 6393  df-suc 6394  df-iota 6520  df-fun 6568  df-fn 6569  df-f 6570  df-f1 6571  df-fo 6572  df-f1o 6573  df-fv 6574  df-ov 7454  df-oprab 7455  df-mpo 7456  df-om 7912  df-supp 8215  df-1o 8514  df-en 9012  df-fin 9015  df-fsupp 9392

This theorem is used by:  funsnfsupp  9421  0mplrim  34257  selvply1rhmlem1  34263  selvply1rhmlem2  34264  selvply1rhmlem4  34266