Theorem funsnfsupp 9384

Description: Finite support for a function extended by a singleton. (Contributed by Stefan O'Rear, 27-Feb-2015.) (Revised by AV, 19-Jul-2019.)

Assertion

Ref	Expression
funsnfsupp	⊢ (((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑊) ∧ (Fun 𝐹 ∧ 𝑋 ∉ dom 𝐹)) → ((𝐹 ∪ {⟨𝑋, 𝑌⟩}) finSupp 𝑍 ↔ 𝐹 finSupp 𝑍))

Proof of Theorem funsnfsupp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 488	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑊) ∧ (Fun 𝐹 ∧ 𝑋 ∉ dom 𝐹)) → (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑊))
2	1	anim2i 629	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑍 ∈ V ∧ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑊) ∧ (Fun 𝐹 ∧ 𝑋 ∉ dom 𝐹))) → (𝑍 ∈ V ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑊)))
3	2	ancomd 467	. . . . . 6 ⊢ ((𝑍 ∈ V ∧ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑊) ∧ (Fun 𝐹 ∧ 𝑋 ∉ dom 𝐹))) → ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑊) ∧ 𝑍 ∈ V))
4		df-3an 1105	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑊 ∧ 𝑍 ∈ V) ↔ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑊) ∧ 𝑍 ∈ V))
5	3, 4	sylibr 237	. . . . 5 ⊢ ((𝑍 ∈ V ∧ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑊) ∧ (Fun 𝐹 ∧ 𝑋 ∉ dom 𝐹))) → (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑊 ∧ 𝑍 ∈ V))
6		snopfsupp 9383	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑊 ∧ 𝑍 ∈ V) → {⟨𝑋, 𝑌⟩} finSupp 𝑍)
7	5, 6	syl 18	. . . 4 ⊢ ((𝑍 ∈ V ∧ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑊) ∧ (Fun 𝐹 ∧ 𝑋 ∉ dom 𝐹))) → {⟨𝑋, 𝑌⟩} finSupp 𝑍)
8		funsng 6591	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑊) → Fun {⟨𝑋, 𝑌⟩})
9		simpl 488	. . . . . . . . 9 ⊢ ((Fun 𝐹 ∧ 𝑋 ∉ dom 𝐹) → Fun 𝐹)
10	8, 9	anim12ci 626	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑊) ∧ (Fun 𝐹 ∧ 𝑋 ∉ dom 𝐹)) → (Fun 𝐹 ∧ Fun {⟨𝑋, 𝑌⟩}))
11		dmsnopg 6214	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑌 ∈ 𝑊 → dom {⟨𝑋, 𝑌⟩} = {𝑋})
12	11	adantl 487	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑊) → dom {⟨𝑋, 𝑌⟩} = {𝑋})
13	12	ineq2d 4166	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑊) → (dom 𝐹 ∩ dom {⟨𝑋, 𝑌⟩}) = (dom 𝐹 ∩ {𝑋}))
14		df-nel 3063	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑋 ∉ dom 𝐹 ↔ ¬ 𝑋 ∈ dom 𝐹)
15		disjsn 4672	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((dom 𝐹 ∩ {𝑋}) = ∅ ↔ ¬ 𝑋 ∈ dom 𝐹)
16	14, 15	sylbb2 241	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑋 ∉ dom 𝐹 → (dom 𝐹 ∩ {𝑋}) = ∅)
17	16	adantl 487	. . . . . . . . 9 ⊢ ((Fun 𝐹 ∧ 𝑋 ∉ dom 𝐹) → (dom 𝐹 ∩ {𝑋}) = ∅)
18	13, 17	sylan9eq 2816	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑊) ∧ (Fun 𝐹 ∧ 𝑋 ∉ dom 𝐹)) → (dom 𝐹 ∩ dom {⟨𝑋, 𝑌⟩}) = ∅)
19	10, 18	jca 521	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑊) ∧ (Fun 𝐹 ∧ 𝑋 ∉ dom 𝐹)) → ((Fun 𝐹 ∧ Fun {⟨𝑋, 𝑌⟩}) ∧ (dom 𝐹 ∩ dom {⟨𝑋, 𝑌⟩}) = ∅))
20	19	adantl 487	. . . . . 6 ⊢ ((𝑍 ∈ V ∧ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑊) ∧ (Fun 𝐹 ∧ 𝑋 ∉ dom 𝐹))) → ((Fun 𝐹 ∧ Fun {⟨𝑋, 𝑌⟩}) ∧ (dom 𝐹 ∩ dom {⟨𝑋, 𝑌⟩}) = ∅))
21		funun 6586	. . . . . 6 ⊢ (((Fun 𝐹 ∧ Fun {⟨𝑋, 𝑌⟩}) ∧ (dom 𝐹 ∩ dom {⟨𝑋, 𝑌⟩}) = ∅) → Fun (𝐹 ∪ {⟨𝑋, 𝑌⟩}))
22	20, 21	syl 18	. . . . 5 ⊢ ((𝑍 ∈ V ∧ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑊) ∧ (Fun 𝐹 ∧ 𝑋 ∉ dom 𝐹))) → Fun (𝐹 ∪ {⟨𝑋, 𝑌⟩}))
23	22	fsuppunbi 9381	. . . 4 ⊢ ((𝑍 ∈ V ∧ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑊) ∧ (Fun 𝐹 ∧ 𝑋 ∉ dom 𝐹))) → ((𝐹 ∪ {⟨𝑋, 𝑌⟩}) finSupp 𝑍 ↔ (𝐹 finSupp 𝑍 ∧ {⟨𝑋, 𝑌⟩} finSupp 𝑍)))
24	7, 23	mpbiran2d 721	. . 3 ⊢ ((𝑍 ∈ V ∧ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑊) ∧ (Fun 𝐹 ∧ 𝑋 ∉ dom 𝐹))) → ((𝐹 ∪ {⟨𝑋, 𝑌⟩}) finSupp 𝑍 ↔ 𝐹 finSupp 𝑍))
25	24	ex 418	. 2 ⊢ (𝑍 ∈ V → (((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑊) ∧ (Fun 𝐹 ∧ 𝑋 ∉ dom 𝐹)) → ((𝐹 ∪ {⟨𝑋, 𝑌⟩}) finSupp 𝑍 ↔ 𝐹 finSupp 𝑍)))
26		relfsupp 9355	. . . . 5 ⊢ Rel finSupp
27	26	brrelex2i 5708	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∪ {⟨𝑋, 𝑌⟩}) finSupp 𝑍 → 𝑍 ∈ V)
28	26	brrelex2i 5708	. . . 4 ⊢ (𝐹 finSupp 𝑍 → 𝑍 ∈ V)
29	27, 28	pm5.21ni 380	. . 3 ⊢ (¬ 𝑍 ∈ V → ((𝐹 ∪ {⟨𝑋, 𝑌⟩}) finSupp 𝑍 ↔ 𝐹 finSupp 𝑍))
30	29	a1d 26	. 2 ⊢ (¬ 𝑍 ∈ V → (((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑊) ∧ (Fun 𝐹 ∧ 𝑋 ∉ dom 𝐹)) → ((𝐹 ∪ {⟨𝑋, 𝑌⟩}) finSupp 𝑍 ↔ 𝐹 finSupp 𝑍)))
31	25, 30	pm2.61i 184	1 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑊) ∧ (Fun 𝐹 ∧ 𝑋 ∉ dom 𝐹)) → ((𝐹 ∪ {⟨𝑋, 𝑌⟩}) finSupp 𝑍 ↔ 𝐹 finSupp 𝑍))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ∉ wnel 3062  Vcvv 3451   ∪ cun 3897   ∩ cin 3898  ∅c0 4279  {csn 4584  ⟨cop 4590   class class class wbr 5103  dom cdm 5651  Fun wfun 6532   finSupp cfsupp 9353

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pr 5391  ax-un 7751

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-br 5104  df-opab 5168  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7878  df-supp 8178  df-1o 8476  df-en 8974  df-fin 8977  df-fsupp 9354

This theorem is used by:  islindf4  22144  evlextv  34174