Theorem funsnfsupp 8890

Description: Finite support for a function extended by a singleton. (Contributed by Stefan O'Rear, 27-Feb-2015.) (Revised by AV, 19-Jul-2019.)

Assertion

Ref	Expression
funsnfsupp	⊢ (((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑊) ∧ (Fun 𝐹 ∧ 𝑋 ∉ dom 𝐹)) → ((𝐹 ∪ {⟨𝑋, 𝑌⟩}) finSupp 𝑍 ↔ 𝐹 finSupp 𝑍))

Proof of Theorem funsnfsupp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 486	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑊) ∧ (Fun 𝐹 ∧ 𝑋 ∉ dom 𝐹)) → (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑊))
2	1	anim2i 619	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑍 ∈ V ∧ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑊) ∧ (Fun 𝐹 ∧ 𝑋 ∉ dom 𝐹))) → (𝑍 ∈ V ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑊)))
3	2	ancomd 465	. . . . . 6 ⊢ ((𝑍 ∈ V ∧ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑊) ∧ (Fun 𝐹 ∧ 𝑋 ∉ dom 𝐹))) → ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑊) ∧ 𝑍 ∈ V))
4		df-3an 1086	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑊 ∧ 𝑍 ∈ V) ↔ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑊) ∧ 𝑍 ∈ V))
5	3, 4	sylibr 237	. . . . 5 ⊢ ((𝑍 ∈ V ∧ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑊) ∧ (Fun 𝐹 ∧ 𝑋 ∉ dom 𝐹))) → (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑊 ∧ 𝑍 ∈ V))
6		snopfsupp 8889	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑊 ∧ 𝑍 ∈ V) → {⟨𝑋, 𝑌⟩} finSupp 𝑍)
7	5, 6	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝑍 ∈ V ∧ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑊) ∧ (Fun 𝐹 ∧ 𝑋 ∉ dom 𝐹))) → {⟨𝑋, 𝑌⟩} finSupp 𝑍)
8		funsng 6386	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑊) → Fun {⟨𝑋, 𝑌⟩})
9		simpl 486	. . . . . . . . 9 ⊢ ((Fun 𝐹 ∧ 𝑋 ∉ dom 𝐹) → Fun 𝐹)
10	8, 9	anim12ci 616	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑊) ∧ (Fun 𝐹 ∧ 𝑋 ∉ dom 𝐹)) → (Fun 𝐹 ∧ Fun {⟨𝑋, 𝑌⟩}))
11		dmsnopg 6042	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑌 ∈ 𝑊 → dom {⟨𝑋, 𝑌⟩} = {𝑋})
12	11	adantl 485	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑊) → dom {⟨𝑋, 𝑌⟩} = {𝑋})
13	12	ineq2d 4117	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑊) → (dom 𝐹 ∩ dom {⟨𝑋, 𝑌⟩}) = (dom 𝐹 ∩ {𝑋}))
14		df-nel 3056	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑋 ∉ dom 𝐹 ↔ ¬ 𝑋 ∈ dom 𝐹)
15		disjsn 4604	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((dom 𝐹 ∩ {𝑋}) = ∅ ↔ ¬ 𝑋 ∈ dom 𝐹)
16	14, 15	sylbb2 241	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑋 ∉ dom 𝐹 → (dom 𝐹 ∩ {𝑋}) = ∅)
17	16	adantl 485	. . . . . . . . 9 ⊢ ((Fun 𝐹 ∧ 𝑋 ∉ dom 𝐹) → (dom 𝐹 ∩ {𝑋}) = ∅)
18	13, 17	sylan9eq 2813	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑊) ∧ (Fun 𝐹 ∧ 𝑋 ∉ dom 𝐹)) → (dom 𝐹 ∩ dom {⟨𝑋, 𝑌⟩}) = ∅)
19	10, 18	jca 515	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑊) ∧ (Fun 𝐹 ∧ 𝑋 ∉ dom 𝐹)) → ((Fun 𝐹 ∧ Fun {⟨𝑋, 𝑌⟩}) ∧ (dom 𝐹 ∩ dom {⟨𝑋, 𝑌⟩}) = ∅))
20	19	adantl 485	. . . . . 6 ⊢ ((𝑍 ∈ V ∧ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑊) ∧ (Fun 𝐹 ∧ 𝑋 ∉ dom 𝐹))) → ((Fun 𝐹 ∧ Fun {⟨𝑋, 𝑌⟩}) ∧ (dom 𝐹 ∩ dom {⟨𝑋, 𝑌⟩}) = ∅))
21		funun 6381	. . . . . 6 ⊢ (((Fun 𝐹 ∧ Fun {⟨𝑋, 𝑌⟩}) ∧ (dom 𝐹 ∩ dom {⟨𝑋, 𝑌⟩}) = ∅) → Fun (𝐹 ∪ {⟨𝑋, 𝑌⟩}))
22	20, 21	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝑍 ∈ V ∧ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑊) ∧ (Fun 𝐹 ∧ 𝑋 ∉ dom 𝐹))) → Fun (𝐹 ∪ {⟨𝑋, 𝑌⟩}))
23	22	fsuppunbi 8887	. . . 4 ⊢ ((𝑍 ∈ V ∧ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑊) ∧ (Fun 𝐹 ∧ 𝑋 ∉ dom 𝐹))) → ((𝐹 ∪ {⟨𝑋, 𝑌⟩}) finSupp 𝑍 ↔ (𝐹 finSupp 𝑍 ∧ {⟨𝑋, 𝑌⟩} finSupp 𝑍)))
24	7, 23	mpbiran2d 707	. . 3 ⊢ ((𝑍 ∈ V ∧ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑊) ∧ (Fun 𝐹 ∧ 𝑋 ∉ dom 𝐹))) → ((𝐹 ∪ {⟨𝑋, 𝑌⟩}) finSupp 𝑍 ↔ 𝐹 finSupp 𝑍))
25	24	ex 416	. 2 ⊢ (𝑍 ∈ V → (((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑊) ∧ (Fun 𝐹 ∧ 𝑋 ∉ dom 𝐹)) → ((𝐹 ∪ {⟨𝑋, 𝑌⟩}) finSupp 𝑍 ↔ 𝐹 finSupp 𝑍)))
26		relfsupp 8868	. . . . 5 ⊢ Rel finSupp
27	26	brrelex2i 5578	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∪ {⟨𝑋, 𝑌⟩}) finSupp 𝑍 → 𝑍 ∈ V)
28	26	brrelex2i 5578	. . . 4 ⊢ (𝐹 finSupp 𝑍 → 𝑍 ∈ V)
29	27, 28	pm5.21ni 382	. . 3 ⊢ (¬ 𝑍 ∈ V → ((𝐹 ∪ {⟨𝑋, 𝑌⟩}) finSupp 𝑍 ↔ 𝐹 finSupp 𝑍))
30	29	a1d 25	. 2 ⊢ (¬ 𝑍 ∈ V → (((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑊) ∧ (Fun 𝐹 ∧ 𝑋 ∉ dom 𝐹)) → ((𝐹 ∪ {⟨𝑋, 𝑌⟩}) finSupp 𝑍 ↔ 𝐹 finSupp 𝑍)))
31	25, 30	pm2.61i 185	1 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑊) ∧ (Fun 𝐹 ∧ 𝑋 ∉ dom 𝐹)) → ((𝐹 ∪ {⟨𝑋, 𝑌⟩}) finSupp 𝑍 ↔ 𝐹 finSupp 𝑍))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   ∧ w3a 1084   = wceq 1538   ∈ wcel 2111   ∉ wnel 3055  Vcvv 3409   ∪ cun 3856   ∩ cin 3857  ∅c0 4225  {csn 4522  ⟨cop 4528   class class class wbr 5032  dom cdm 5524  Fun wfun 6329   finSupp cfsupp 8866

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2729  ax-sep 5169  ax-nul 5176  ax-pr 5298  ax-un 7459

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2557  df-eu 2588  df-clab 2736  df-cleq 2750  df-clel 2830  df-nfc 2901  df-ne 2952  df-nel 3056  df-ral 3075  df-rex 3076  df-reu 3077  df-rab 3079  df-v 3411  df-sbc 3697  df-dif 3861  df-un 3863  df-in 3865  df-ss 3875  df-pss 3877  df-nul 4226  df-if 4421  df-pw 4496  df-sn 4523  df-pr 4525  df-tp 4527  df-op 4529  df-uni 4799  df-br 5033  df-opab 5095  df-tr 5139  df-id 5430  df-eprel 5435  df-po 5443  df-so 5444  df-fr 5483  df-we 5485  df-xp 5530  df-rel 5531  df-cnv 5532  df-co 5533  df-dm 5534  df-rn 5535  df-res 5536  df-ima 5537  df-ord 6172  df-on 6173  df-lim 6174  df-suc 6175  df-iota 6294  df-fun 6337  df-fn 6338  df-f 6339  df-f1 6340  df-fo 6341  df-f1o 6342  df-fv 6343  df-ov 7153  df-oprab 7154  df-mpo 7155  df-om 7580  df-supp 7836  df-1o 8112  df-en 8528  df-fin 8531  df-fsupp 8867

This theorem is referenced by:  islindf4  20603