MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  funsnfsupp Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem funsnfsupp 9432
Description: Finite support for a function extended by a singleton. (Contributed by Stefan O'Rear, 27-Feb-2015.) (Revised by AV, 19-Jul-2019.)
Assertion
Ref Expression
funsnfsupp (((𝑋𝑉𝑌𝑊) ∧ (Fun 𝐹𝑋 ∉ dom 𝐹)) → ((𝐹 ∪ {⟨𝑋, 𝑌⟩}) finSupp 𝑍𝐹 finSupp 𝑍))

Proof of Theorem funsnfsupp
StepHypRef Expression
1 simpl 482 . . . . . . . 8 (((𝑋𝑉𝑌𝑊) ∧ (Fun 𝐹𝑋 ∉ dom 𝐹)) → (𝑋𝑉𝑌𝑊))
21anim2i 617 . . . . . . 7 ((𝑍 ∈ V ∧ ((𝑋𝑉𝑌𝑊) ∧ (Fun 𝐹𝑋 ∉ dom 𝐹))) → (𝑍 ∈ V ∧ (𝑋𝑉𝑌𝑊)))
32ancomd 461 . . . . . 6 ((𝑍 ∈ V ∧ ((𝑋𝑉𝑌𝑊) ∧ (Fun 𝐹𝑋 ∉ dom 𝐹))) → ((𝑋𝑉𝑌𝑊) ∧ 𝑍 ∈ V))
4 df-3an 1089 . . . . . 6 ((𝑋𝑉𝑌𝑊𝑍 ∈ V) ↔ ((𝑋𝑉𝑌𝑊) ∧ 𝑍 ∈ V))
53, 4sylibr 234 . . . . 5 ((𝑍 ∈ V ∧ ((𝑋𝑉𝑌𝑊) ∧ (Fun 𝐹𝑋 ∉ dom 𝐹))) → (𝑋𝑉𝑌𝑊𝑍 ∈ V))
6 snopfsupp 9431 . . . . 5 ((𝑋𝑉𝑌𝑊𝑍 ∈ V) → {⟨𝑋, 𝑌⟩} finSupp 𝑍)
75, 6syl 17 . . . 4 ((𝑍 ∈ V ∧ ((𝑋𝑉𝑌𝑊) ∧ (Fun 𝐹𝑋 ∉ dom 𝐹))) → {⟨𝑋, 𝑌⟩} finSupp 𝑍)
8 funsng 6617 . . . . . . . . 9 ((𝑋𝑉𝑌𝑊) → Fun {⟨𝑋, 𝑌⟩})
9 simpl 482 . . . . . . . . 9 ((Fun 𝐹𝑋 ∉ dom 𝐹) → Fun 𝐹)
108, 9anim12ci 614 . . . . . . . 8 (((𝑋𝑉𝑌𝑊) ∧ (Fun 𝐹𝑋 ∉ dom 𝐹)) → (Fun 𝐹 ∧ Fun {⟨𝑋, 𝑌⟩}))
11 dmsnopg 6233 . . . . . . . . . . 11 (𝑌𝑊 → dom {⟨𝑋, 𝑌⟩} = {𝑋})
1211adantl 481 . . . . . . . . . 10 ((𝑋𝑉𝑌𝑊) → dom {⟨𝑋, 𝑌⟩} = {𝑋})
1312ineq2d 4220 . . . . . . . . 9 ((𝑋𝑉𝑌𝑊) → (dom 𝐹 ∩ dom {⟨𝑋, 𝑌⟩}) = (dom 𝐹 ∩ {𝑋}))
14 df-nel 3047 . . . . . . . . . . 11 (𝑋 ∉ dom 𝐹 ↔ ¬ 𝑋 ∈ dom 𝐹)
15 disjsn 4711 . . . . . . . . . . 11 ((dom 𝐹 ∩ {𝑋}) = ∅ ↔ ¬ 𝑋 ∈ dom 𝐹)
1614, 15sylbb2 238 . . . . . . . . . 10 (𝑋 ∉ dom 𝐹 → (dom 𝐹 ∩ {𝑋}) = ∅)
1716adantl 481 . . . . . . . . 9 ((Fun 𝐹𝑋 ∉ dom 𝐹) → (dom 𝐹 ∩ {𝑋}) = ∅)
1813, 17sylan9eq 2797 . . . . . . . 8 (((𝑋𝑉𝑌𝑊) ∧ (Fun 𝐹𝑋 ∉ dom 𝐹)) → (dom 𝐹 ∩ dom {⟨𝑋, 𝑌⟩}) = ∅)
1910, 18jca 511 . . . . . . 7 (((𝑋𝑉𝑌𝑊) ∧ (Fun 𝐹𝑋 ∉ dom 𝐹)) → ((Fun 𝐹 ∧ Fun {⟨𝑋, 𝑌⟩}) ∧ (dom 𝐹 ∩ dom {⟨𝑋, 𝑌⟩}) = ∅))
2019adantl 481 . . . . . 6 ((𝑍 ∈ V ∧ ((𝑋𝑉𝑌𝑊) ∧ (Fun 𝐹𝑋 ∉ dom 𝐹))) → ((Fun 𝐹 ∧ Fun {⟨𝑋, 𝑌⟩}) ∧ (dom 𝐹 ∩ dom {⟨𝑋, 𝑌⟩}) = ∅))
21 funun 6612 . . . . . 6 (((Fun 𝐹 ∧ Fun {⟨𝑋, 𝑌⟩}) ∧ (dom 𝐹 ∩ dom {⟨𝑋, 𝑌⟩}) = ∅) → Fun (𝐹 ∪ {⟨𝑋, 𝑌⟩}))
2220, 21syl 17 . . . . 5 ((𝑍 ∈ V ∧ ((𝑋𝑉𝑌𝑊) ∧ (Fun 𝐹𝑋 ∉ dom 𝐹))) → Fun (𝐹 ∪ {⟨𝑋, 𝑌⟩}))
2322fsuppunbi 9429 . . . 4 ((𝑍 ∈ V ∧ ((𝑋𝑉𝑌𝑊) ∧ (Fun 𝐹𝑋 ∉ dom 𝐹))) → ((𝐹 ∪ {⟨𝑋, 𝑌⟩}) finSupp 𝑍 ↔ (𝐹 finSupp 𝑍 ∧ {⟨𝑋, 𝑌⟩} finSupp 𝑍)))
247, 23mpbiran2d 708 . . 3 ((𝑍 ∈ V ∧ ((𝑋𝑉𝑌𝑊) ∧ (Fun 𝐹𝑋 ∉ dom 𝐹))) → ((𝐹 ∪ {⟨𝑋, 𝑌⟩}) finSupp 𝑍𝐹 finSupp 𝑍))
2524ex 412 . 2 (𝑍 ∈ V → (((𝑋𝑉𝑌𝑊) ∧ (Fun 𝐹𝑋 ∉ dom 𝐹)) → ((𝐹 ∪ {⟨𝑋, 𝑌⟩}) finSupp 𝑍𝐹 finSupp 𝑍)))
26 relfsupp 9403 . . . . 5 Rel finSupp
2726brrelex2i 5742 . . . 4 ((𝐹 ∪ {⟨𝑋, 𝑌⟩}) finSupp 𝑍𝑍 ∈ V)
2826brrelex2i 5742 . . . 4 (𝐹 finSupp 𝑍𝑍 ∈ V)
2927, 28pm5.21ni 377 . . 3 𝑍 ∈ V → ((𝐹 ∪ {⟨𝑋, 𝑌⟩}) finSupp 𝑍𝐹 finSupp 𝑍))
3029a1d 25 . 2 𝑍 ∈ V → (((𝑋𝑉𝑌𝑊) ∧ (Fun 𝐹𝑋 ∉ dom 𝐹)) → ((𝐹 ∪ {⟨𝑋, 𝑌⟩}) finSupp 𝑍𝐹 finSupp 𝑍)))
3125, 30pm2.61i 182 1 (((𝑋𝑉𝑌𝑊) ∧ (Fun 𝐹𝑋 ∉ dom 𝐹)) → ((𝐹 ∪ {⟨𝑋, 𝑌⟩}) finSupp 𝑍𝐹 finSupp 𝑍))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 206  wa 395  w3a 1087   = wceq 1540  wcel 2108  wnel 3046  Vcvv 3480  cun 3949  cin 3950  c0 4333  {csn 4626  cop 4632   class class class wbr 5143  dom cdm 5685  Fun wfun 6555   finSupp cfsupp 9401
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pr 5432  ax-un 7755
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-br 5144  df-opab 5206  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-supp 8186  df-1o 8506  df-en 8986  df-fin 8989  df-fsupp 9402
This theorem is referenced by:  islindf4  21858
  Copyright terms: Public domain W3C validator