Theorem funsnfsupp 9359

Description: Finite support for a function extended by a singleton. (Contributed by Stefan O'Rear, 27-Feb-2015.) (Revised by AV, 19-Jul-2019.)

Assertion

Ref	Expression
funsnfsupp	⊢ (((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑊) ∧ (Fun 𝐹 ∧ 𝑋 ∉ dom 𝐹)) → ((𝐹 ∪ {⟨𝑋, 𝑌⟩}) finSupp 𝑍 ↔ 𝐹 finSupp 𝑍))

Proof of Theorem funsnfsupp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 488	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑊) ∧ (Fun 𝐹 ∧ 𝑋 ∉ dom 𝐹)) → (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑊))
2	1	anim2i 629	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑍 ∈ V ∧ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑊) ∧ (Fun 𝐹 ∧ 𝑋 ∉ dom 𝐹))) → (𝑍 ∈ V ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑊)))
3	2	ancomd 467	. . . . . 6 ⊢ ((𝑍 ∈ V ∧ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑊) ∧ (Fun 𝐹 ∧ 𝑋 ∉ dom 𝐹))) → ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑊) ∧ 𝑍 ∈ V))
4		df-3an 1105	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑊 ∧ 𝑍 ∈ V) ↔ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑊) ∧ 𝑍 ∈ V))
5	3, 4	sylibr 237	. . . . 5 ⊢ ((𝑍 ∈ V ∧ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑊) ∧ (Fun 𝐹 ∧ 𝑋 ∉ dom 𝐹))) → (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑊 ∧ 𝑍 ∈ V))
6		snopfsupp 9358	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑊 ∧ 𝑍 ∈ V) → {⟨𝑋, 𝑌⟩} finSupp 𝑍)
7	5, 6	syl 18	. . . 4 ⊢ ((𝑍 ∈ V ∧ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑊) ∧ (Fun 𝐹 ∧ 𝑋 ∉ dom 𝐹))) → {⟨𝑋, 𝑌⟩} finSupp 𝑍)
8		funsng 6591	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑊) → Fun {⟨𝑋, 𝑌⟩})
9		simpl 488	. . . . . . . . 9 ⊢ ((Fun 𝐹 ∧ 𝑋 ∉ dom 𝐹) → Fun 𝐹)
10	8, 9	anim12ci 626	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑊) ∧ (Fun 𝐹 ∧ 𝑋 ∉ dom 𝐹)) → (Fun 𝐹 ∧ Fun {⟨𝑋, 𝑌⟩}))
11		dmsnopg 6216	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑌 ∈ 𝑊 → dom {⟨𝑋, 𝑌⟩} = {𝑋})
12	11	adantl 487	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑊) → dom {⟨𝑋, 𝑌⟩} = {𝑋})
13	12	ineq2d 4173	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑊) → (dom 𝐹 ∩ dom {⟨𝑋, 𝑌⟩}) = (dom 𝐹 ∩ {𝑋}))
14		df-nel 3067	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑋 ∉ dom 𝐹 ↔ ¬ 𝑋 ∈ dom 𝐹)
15		disjsn 4679	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((dom 𝐹 ∩ {𝑋}) = ∅ ↔ ¬ 𝑋 ∈ dom 𝐹)
16	14, 15	sylbb2 241	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑋 ∉ dom 𝐹 → (dom 𝐹 ∩ {𝑋}) = ∅)
17	16	adantl 487	. . . . . . . . 9 ⊢ ((Fun 𝐹 ∧ 𝑋 ∉ dom 𝐹) → (dom 𝐹 ∩ {𝑋}) = ∅)
18	13, 17	sylan9eq 2820	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑊) ∧ (Fun 𝐹 ∧ 𝑋 ∉ dom 𝐹)) → (dom 𝐹 ∩ dom {⟨𝑋, 𝑌⟩}) = ∅)
19	10, 18	jca 521	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑊) ∧ (Fun 𝐹 ∧ 𝑋 ∉ dom 𝐹)) → ((Fun 𝐹 ∧ Fun {⟨𝑋, 𝑌⟩}) ∧ (dom 𝐹 ∩ dom {⟨𝑋, 𝑌⟩}) = ∅))
20	19	adantl 487	. . . . . 6 ⊢ ((𝑍 ∈ V ∧ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑊) ∧ (Fun 𝐹 ∧ 𝑋 ∉ dom 𝐹))) → ((Fun 𝐹 ∧ Fun {⟨𝑋, 𝑌⟩}) ∧ (dom 𝐹 ∩ dom {⟨𝑋, 𝑌⟩}) = ∅))
21		funun 6586	. . . . . 6 ⊢ (((Fun 𝐹 ∧ Fun {⟨𝑋, 𝑌⟩}) ∧ (dom 𝐹 ∩ dom {⟨𝑋, 𝑌⟩}) = ∅) → Fun (𝐹 ∪ {⟨𝑋, 𝑌⟩}))
22	20, 21	syl 18	. . . . 5 ⊢ ((𝑍 ∈ V ∧ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑊) ∧ (Fun 𝐹 ∧ 𝑋 ∉ dom 𝐹))) → Fun (𝐹 ∪ {⟨𝑋, 𝑌⟩}))
23	22	fsuppunbi 9356	. . . 4 ⊢ ((𝑍 ∈ V ∧ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑊) ∧ (Fun 𝐹 ∧ 𝑋 ∉ dom 𝐹))) → ((𝐹 ∪ {⟨𝑋, 𝑌⟩}) finSupp 𝑍 ↔ (𝐹 finSupp 𝑍 ∧ {⟨𝑋, 𝑌⟩} finSupp 𝑍)))
24	7, 23	mpbiran2d 721	. . 3 ⊢ ((𝑍 ∈ V ∧ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑊) ∧ (Fun 𝐹 ∧ 𝑋 ∉ dom 𝐹))) → ((𝐹 ∪ {⟨𝑋, 𝑌⟩}) finSupp 𝑍 ↔ 𝐹 finSupp 𝑍))
25	24	ex 418	. 2 ⊢ (𝑍 ∈ V → (((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑊) ∧ (Fun 𝐹 ∧ 𝑋 ∉ dom 𝐹)) → ((𝐹 ∪ {⟨𝑋, 𝑌⟩}) finSupp 𝑍 ↔ 𝐹 finSupp 𝑍)))
26		relfsupp 9330	. . . . 5 ⊢ Rel finSupp
27	26	brrelex2i 5720	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∪ {⟨𝑋, 𝑌⟩}) finSupp 𝑍 → 𝑍 ∈ V)
28	26	brrelex2i 5720	. . . 4 ⊢ (𝐹 finSupp 𝑍 → 𝑍 ∈ V)
29	27, 28	pm5.21ni 380	. . 3 ⊢ (¬ 𝑍 ∈ V → ((𝐹 ∪ {⟨𝑋, 𝑌⟩}) finSupp 𝑍 ↔ 𝐹 finSupp 𝑍))
30	29	a1d 26	. 2 ⊢ (¬ 𝑍 ∈ V → (((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑊) ∧ (Fun 𝐹 ∧ 𝑋 ∉ dom 𝐹)) → ((𝐹 ∪ {⟨𝑋, 𝑌⟩}) finSupp 𝑍 ↔ 𝐹 finSupp 𝑍)))
31	25, 30	pm2.61i 184	1 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑊) ∧ (Fun 𝐹 ∧ 𝑋 ∉ dom 𝐹)) → ((𝐹 ∪ {⟨𝑋, 𝑌⟩}) finSupp 𝑍 ↔ 𝐹 finSupp 𝑍))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2146   ∉ wnel 3066  Vcvv 3457   ∪ cun 3904   ∩ cin 3905  ∅c0 4286  {csn 4591  ⟨cop 4597   class class class wbr 5111  dom cdm 5663  Fun wfun 6534   finSupp cfsupp 9328

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pr 5406  ax-un 7742

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3082  df-rex 3092  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-br 5112  df-opab 5176  df-tr 5221  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-om 7869  df-supp 8163  df-1o 8459  df-en 8950  df-fin 8953  df-fsupp 9329

This theorem is used by:  islindf4  22040  evlextv  33998