Theorem funsnfsupp 9293

Description: Finite support for a function extended by a singleton. (Contributed by Stefan O'Rear, 27-Feb-2015.) (Revised by AV, 19-Jul-2019.)

Assertion

Ref	Expression
funsnfsupp	⊢ (((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑊) ∧ (Fun 𝐹 ∧ 𝑋 ∉ dom 𝐹)) → ((𝐹 ∪ {⟨𝑋, 𝑌⟩}) finSupp 𝑍 ↔ 𝐹 finSupp 𝑍))

Proof of Theorem funsnfsupp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 482	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑊) ∧ (Fun 𝐹 ∧ 𝑋 ∉ dom 𝐹)) → (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑊))
2	1	anim2i 617	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑍 ∈ V ∧ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑊) ∧ (Fun 𝐹 ∧ 𝑋 ∉ dom 𝐹))) → (𝑍 ∈ V ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑊)))
3	2	ancomd 461	. . . . . 6 ⊢ ((𝑍 ∈ V ∧ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑊) ∧ (Fun 𝐹 ∧ 𝑋 ∉ dom 𝐹))) → ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑊) ∧ 𝑍 ∈ V))
4		df-3an 1088	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑊 ∧ 𝑍 ∈ V) ↔ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑊) ∧ 𝑍 ∈ V))
5	3, 4	sylibr 234	. . . . 5 ⊢ ((𝑍 ∈ V ∧ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑊) ∧ (Fun 𝐹 ∧ 𝑋 ∉ dom 𝐹))) → (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑊 ∧ 𝑍 ∈ V))
6		snopfsupp 9292	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑊 ∧ 𝑍 ∈ V) → {⟨𝑋, 𝑌⟩} finSupp 𝑍)
7	5, 6	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝑍 ∈ V ∧ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑊) ∧ (Fun 𝐹 ∧ 𝑋 ∉ dom 𝐹))) → {⟨𝑋, 𝑌⟩} finSupp 𝑍)
8		funsng 6541	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑊) → Fun {⟨𝑋, 𝑌⟩})
9		simpl 482	. . . . . . . . 9 ⊢ ((Fun 𝐹 ∧ 𝑋 ∉ dom 𝐹) → Fun 𝐹)
10	8, 9	anim12ci 614	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑊) ∧ (Fun 𝐹 ∧ 𝑋 ∉ dom 𝐹)) → (Fun 𝐹 ∧ Fun {⟨𝑋, 𝑌⟩}))
11		dmsnopg 6169	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑌 ∈ 𝑊 → dom {⟨𝑋, 𝑌⟩} = {𝑋})
12	11	adantl 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑊) → dom {⟨𝑋, 𝑌⟩} = {𝑋})
13	12	ineq2d 4170	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑊) → (dom 𝐹 ∩ dom {⟨𝑋, 𝑌⟩}) = (dom 𝐹 ∩ {𝑋}))
14		df-nel 3035	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑋 ∉ dom 𝐹 ↔ ¬ 𝑋 ∈ dom 𝐹)
15		disjsn 4666	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((dom 𝐹 ∩ {𝑋}) = ∅ ↔ ¬ 𝑋 ∈ dom 𝐹)
16	14, 15	sylbb2 238	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑋 ∉ dom 𝐹 → (dom 𝐹 ∩ {𝑋}) = ∅)
17	16	adantl 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((Fun 𝐹 ∧ 𝑋 ∉ dom 𝐹) → (dom 𝐹 ∩ {𝑋}) = ∅)
18	13, 17	sylan9eq 2789	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑊) ∧ (Fun 𝐹 ∧ 𝑋 ∉ dom 𝐹)) → (dom 𝐹 ∩ dom {⟨𝑋, 𝑌⟩}) = ∅)
19	10, 18	jca 511	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑊) ∧ (Fun 𝐹 ∧ 𝑋 ∉ dom 𝐹)) → ((Fun 𝐹 ∧ Fun {⟨𝑋, 𝑌⟩}) ∧ (dom 𝐹 ∩ dom {⟨𝑋, 𝑌⟩}) = ∅))
20	19	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝑍 ∈ V ∧ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑊) ∧ (Fun 𝐹 ∧ 𝑋 ∉ dom 𝐹))) → ((Fun 𝐹 ∧ Fun {⟨𝑋, 𝑌⟩}) ∧ (dom 𝐹 ∩ dom {⟨𝑋, 𝑌⟩}) = ∅))
21		funun 6536	. . . . . 6 ⊢ (((Fun 𝐹 ∧ Fun {⟨𝑋, 𝑌⟩}) ∧ (dom 𝐹 ∩ dom {⟨𝑋, 𝑌⟩}) = ∅) → Fun (𝐹 ∪ {⟨𝑋, 𝑌⟩}))
22	20, 21	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝑍 ∈ V ∧ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑊) ∧ (Fun 𝐹 ∧ 𝑋 ∉ dom 𝐹))) → Fun (𝐹 ∪ {⟨𝑋, 𝑌⟩}))
23	22	fsuppunbi 9290	. . . 4 ⊢ ((𝑍 ∈ V ∧ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑊) ∧ (Fun 𝐹 ∧ 𝑋 ∉ dom 𝐹))) → ((𝐹 ∪ {⟨𝑋, 𝑌⟩}) finSupp 𝑍 ↔ (𝐹 finSupp 𝑍 ∧ {⟨𝑋, 𝑌⟩} finSupp 𝑍)))
24	7, 23	mpbiran2d 708	. . 3 ⊢ ((𝑍 ∈ V ∧ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑊) ∧ (Fun 𝐹 ∧ 𝑋 ∉ dom 𝐹))) → ((𝐹 ∪ {⟨𝑋, 𝑌⟩}) finSupp 𝑍 ↔ 𝐹 finSupp 𝑍))
25	24	ex 412	. 2 ⊢ (𝑍 ∈ V → (((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑊) ∧ (Fun 𝐹 ∧ 𝑋 ∉ dom 𝐹)) → ((𝐹 ∪ {⟨𝑋, 𝑌⟩}) finSupp 𝑍 ↔ 𝐹 finSupp 𝑍)))
26		relfsupp 9264	. . . . 5 ⊢ Rel finSupp
27	26	brrelex2i 5679	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∪ {⟨𝑋, 𝑌⟩}) finSupp 𝑍 → 𝑍 ∈ V)
28	26	brrelex2i 5679	. . . 4 ⊢ (𝐹 finSupp 𝑍 → 𝑍 ∈ V)
29	27, 28	pm5.21ni 377	. . 3 ⊢ (¬ 𝑍 ∈ V → ((𝐹 ∪ {⟨𝑋, 𝑌⟩}) finSupp 𝑍 ↔ 𝐹 finSupp 𝑍))
30	29	a1d 25	. 2 ⊢ (¬ 𝑍 ∈ V → (((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑊) ∧ (Fun 𝐹 ∧ 𝑋 ∉ dom 𝐹)) → ((𝐹 ∪ {⟨𝑋, 𝑌⟩}) finSupp 𝑍 ↔ 𝐹 finSupp 𝑍)))
31	25, 30	pm2.61i 182	1 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑊) ∧ (Fun 𝐹 ∧ 𝑋 ∉ dom 𝐹)) → ((𝐹 ∪ {⟨𝑋, 𝑌⟩}) finSupp 𝑍 ↔ 𝐹 finSupp 𝑍))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1541   ∈ wcel 2113   ∉ wnel 3034  Vcvv 3438   ∪ cun 3897   ∩ cin 3898  ∅c0 4283  {csn 4578  ⟨cop 4584   class class class wbr 5096  dom cdm 5622  Fun wfun 6484   finSupp cfsupp 9262

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2706  ax-sep 5239  ax-nul 5249  ax-pr 5375  ax-un 7678

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2809  df-nfc 2883  df-ne 2931  df-nel 3035  df-ral 3050  df-rex 3059  df-reu 3349  df-rab 3398  df-v 3440  df-sbc 3739  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4579  df-pr 4581  df-op 4585  df-uni 4862  df-br 5097  df-opab 5159  df-tr 5204  df-id 5517  df-eprel 5522  df-po 5530  df-so 5531  df-fr 5575  df-we 5577  df-xp 5628  df-rel 5629  df-cnv 5630  df-co 5631  df-dm 5632  df-rn 5633  df-res 5634  df-ima 5635  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-iota 6446  df-fun 6492  df-fn 6493  df-f 6494  df-f1 6495  df-fo 6496  df-f1o 6497  df-fv 6498  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-om 7807  df-supp 8101  df-1o 8395  df-en 8882  df-fin 8885  df-fsupp 9263

This theorem is referenced by:  islindf4  21791  evlextv  33656