Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  funsnfsupp Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem funsnfsupp 8710
 Description: Finite support for a function extended by a singleton. (Contributed by Stefan O'Rear, 27-Feb-2015.) (Revised by AV, 19-Jul-2019.)
Assertion
Ref Expression
funsnfsupp (((𝑋𝑉𝑌𝑊) ∧ (Fun 𝐹𝑋 ∉ dom 𝐹)) → ((𝐹 ∪ {⟨𝑋, 𝑌⟩}) finSupp 𝑍𝐹 finSupp 𝑍))

Proof of Theorem funsnfsupp
StepHypRef Expression
1 simpl 483 . . . . . . . 8 (((𝑋𝑉𝑌𝑊) ∧ (Fun 𝐹𝑋 ∉ dom 𝐹)) → (𝑋𝑉𝑌𝑊))
21anim2i 616 . . . . . . 7 ((𝑍 ∈ V ∧ ((𝑋𝑉𝑌𝑊) ∧ (Fun 𝐹𝑋 ∉ dom 𝐹))) → (𝑍 ∈ V ∧ (𝑋𝑉𝑌𝑊)))
32ancomd 462 . . . . . 6 ((𝑍 ∈ V ∧ ((𝑋𝑉𝑌𝑊) ∧ (Fun 𝐹𝑋 ∉ dom 𝐹))) → ((𝑋𝑉𝑌𝑊) ∧ 𝑍 ∈ V))
4 df-3an 1082 . . . . . 6 ((𝑋𝑉𝑌𝑊𝑍 ∈ V) ↔ ((𝑋𝑉𝑌𝑊) ∧ 𝑍 ∈ V))
53, 4sylibr 235 . . . . 5 ((𝑍 ∈ V ∧ ((𝑋𝑉𝑌𝑊) ∧ (Fun 𝐹𝑋 ∉ dom 𝐹))) → (𝑋𝑉𝑌𝑊𝑍 ∈ V))
6 snopfsupp 8709 . . . . 5 ((𝑋𝑉𝑌𝑊𝑍 ∈ V) → {⟨𝑋, 𝑌⟩} finSupp 𝑍)
75, 6syl 17 . . . 4 ((𝑍 ∈ V ∧ ((𝑋𝑉𝑌𝑊) ∧ (Fun 𝐹𝑋 ∉ dom 𝐹))) → {⟨𝑋, 𝑌⟩} finSupp 𝑍)
8 funsng 6282 . . . . . . . . 9 ((𝑋𝑉𝑌𝑊) → Fun {⟨𝑋, 𝑌⟩})
9 simpl 483 . . . . . . . . 9 ((Fun 𝐹𝑋 ∉ dom 𝐹) → Fun 𝐹)
108, 9anim12ci 613 . . . . . . . 8 (((𝑋𝑉𝑌𝑊) ∧ (Fun 𝐹𝑋 ∉ dom 𝐹)) → (Fun 𝐹 ∧ Fun {⟨𝑋, 𝑌⟩}))
11 dmsnopg 5952 . . . . . . . . . . 11 (𝑌𝑊 → dom {⟨𝑋, 𝑌⟩} = {𝑋})
1211adantl 482 . . . . . . . . . 10 ((𝑋𝑉𝑌𝑊) → dom {⟨𝑋, 𝑌⟩} = {𝑋})
1312ineq2d 4115 . . . . . . . . 9 ((𝑋𝑉𝑌𝑊) → (dom 𝐹 ∩ dom {⟨𝑋, 𝑌⟩}) = (dom 𝐹 ∩ {𝑋}))
14 df-nel 3093 . . . . . . . . . . 11 (𝑋 ∉ dom 𝐹 ↔ ¬ 𝑋 ∈ dom 𝐹)
15 disjsn 4560 . . . . . . . . . . 11 ((dom 𝐹 ∩ {𝑋}) = ∅ ↔ ¬ 𝑋 ∈ dom 𝐹)
1614, 15sylbb2 239 . . . . . . . . . 10 (𝑋 ∉ dom 𝐹 → (dom 𝐹 ∩ {𝑋}) = ∅)
1716adantl 482 . . . . . . . . 9 ((Fun 𝐹𝑋 ∉ dom 𝐹) → (dom 𝐹 ∩ {𝑋}) = ∅)
1813, 17sylan9eq 2853 . . . . . . . 8 (((𝑋𝑉𝑌𝑊) ∧ (Fun 𝐹𝑋 ∉ dom 𝐹)) → (dom 𝐹 ∩ dom {⟨𝑋, 𝑌⟩}) = ∅)
1910, 18jca 512 . . . . . . 7 (((𝑋𝑉𝑌𝑊) ∧ (Fun 𝐹𝑋 ∉ dom 𝐹)) → ((Fun 𝐹 ∧ Fun {⟨𝑋, 𝑌⟩}) ∧ (dom 𝐹 ∩ dom {⟨𝑋, 𝑌⟩}) = ∅))
2019adantl 482 . . . . . 6 ((𝑍 ∈ V ∧ ((𝑋𝑉𝑌𝑊) ∧ (Fun 𝐹𝑋 ∉ dom 𝐹))) → ((Fun 𝐹 ∧ Fun {⟨𝑋, 𝑌⟩}) ∧ (dom 𝐹 ∩ dom {⟨𝑋, 𝑌⟩}) = ∅))
21 funun 6277 . . . . . 6 (((Fun 𝐹 ∧ Fun {⟨𝑋, 𝑌⟩}) ∧ (dom 𝐹 ∩ dom {⟨𝑋, 𝑌⟩}) = ∅) → Fun (𝐹 ∪ {⟨𝑋, 𝑌⟩}))
2220, 21syl 17 . . . . 5 ((𝑍 ∈ V ∧ ((𝑋𝑉𝑌𝑊) ∧ (Fun 𝐹𝑋 ∉ dom 𝐹))) → Fun (𝐹 ∪ {⟨𝑋, 𝑌⟩}))
2322fsuppunbi 8707 . . . 4 ((𝑍 ∈ V ∧ ((𝑋𝑉𝑌𝑊) ∧ (Fun 𝐹𝑋 ∉ dom 𝐹))) → ((𝐹 ∪ {⟨𝑋, 𝑌⟩}) finSupp 𝑍 ↔ (𝐹 finSupp 𝑍 ∧ {⟨𝑋, 𝑌⟩} finSupp 𝑍)))
247, 23mpbiran2d 704 . . 3 ((𝑍 ∈ V ∧ ((𝑋𝑉𝑌𝑊) ∧ (Fun 𝐹𝑋 ∉ dom 𝐹))) → ((𝐹 ∪ {⟨𝑋, 𝑌⟩}) finSupp 𝑍𝐹 finSupp 𝑍))
2524ex 413 . 2 (𝑍 ∈ V → (((𝑋𝑉𝑌𝑊) ∧ (Fun 𝐹𝑋 ∉ dom 𝐹)) → ((𝐹 ∪ {⟨𝑋, 𝑌⟩}) finSupp 𝑍𝐹 finSupp 𝑍)))
26 relfsupp 8688 . . . . 5 Rel finSupp
2726brrelex2i 5502 . . . 4 ((𝐹 ∪ {⟨𝑋, 𝑌⟩}) finSupp 𝑍𝑍 ∈ V)
2826brrelex2i 5502 . . . 4 (𝐹 finSupp 𝑍𝑍 ∈ V)
2927, 28pm5.21ni 379 . . 3 𝑍 ∈ V → ((𝐹 ∪ {⟨𝑋, 𝑌⟩}) finSupp 𝑍𝐹 finSupp 𝑍))
3029a1d 25 . 2 𝑍 ∈ V → (((𝑋𝑉𝑌𝑊) ∧ (Fun 𝐹𝑋 ∉ dom 𝐹)) → ((𝐹 ∪ {⟨𝑋, 𝑌⟩}) finSupp 𝑍𝐹 finSupp 𝑍)))
3125, 30pm2.61i 183 1 (((𝑋𝑉𝑌𝑊) ∧ (Fun 𝐹𝑋 ∉ dom 𝐹)) → ((𝐹 ∪ {⟨𝑋, 𝑌⟩}) finSupp 𝑍𝐹 finSupp 𝑍))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 207   ∧ wa 396   ∧ w3a 1080   = wceq 1525   ∈ wcel 2083   ∉ wnel 3092  Vcvv 3440   ∪ cun 3863   ∩ cin 3864  ∅c0 4217  {csn 4478  ⟨cop 4484   class class class wbr 4968  dom cdm 5450  Fun wfun 6226   finSupp cfsupp 8686 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1781  ax-4 1795  ax-5 1892  ax-6 1951  ax-7 1996  ax-8 2085  ax-9 2093  ax-10 2114  ax-11 2128  ax-12 2143  ax-13 2346  ax-ext 2771  ax-sep 5101  ax-nul 5108  ax-pow 5164  ax-pr 5228  ax-un 7326 This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 843  df-3or 1081  df-3an 1082  df-tru 1528  df-ex 1766  df-nf 1770  df-sb 2045  df-mo 2578  df-eu 2614  df-clab 2778  df-cleq 2790  df-clel 2865  df-nfc 2937  df-ne 2987  df-nel 3093  df-ral 3112  df-rex 3113  df-reu 3114  df-rab 3116  df-v 3442  df-sbc 3712  df-csb 3818  df-dif 3868  df-un 3870  df-in 3872  df-ss 3880  df-pss 3882  df-nul 4218  df-if 4388  df-pw 4461  df-sn 4479  df-pr 4481  df-tp 4483  df-op 4485  df-uni 4752  df-int 4789  df-iun 4833  df-br 4969  df-opab 5031  df-mpt 5048  df-tr 5071  df-id 5355  df-eprel 5360  df-po 5369  df-so 5370  df-fr 5409  df-we 5411  df-xp 5456  df-rel 5457  df-cnv 5458  df-co 5459  df-dm 5460  df-rn 5461  df-res 5462  df-ima 5463  df-pred 6030  df-ord 6076  df-on 6077  df-lim 6078  df-suc 6079  df-iota 6196  df-fun 6234  df-fn 6235  df-f 6236  df-f1 6237  df-fo 6238  df-f1o 6239  df-fv 6240  df-ov 7026  df-oprab 7027  df-mpo 7028  df-om 7444  df-supp 7689  df-wrecs 7805  df-recs 7867  df-rdg 7905  df-1o 7960  df-oadd 7964  df-er 8146  df-en 8365  df-fin 8368  df-fsupp 8687 This theorem is referenced by:  islindf4  20668
 Copyright terms: Public domain W3C validator