Theorem p1evtxdeqlem 29545

Description: Lemma for p1evtxdeq 29546 and p1evtxdp1 29547. (Contributed by AV, 3-Mar-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
p1evtxdeq.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
p1evtxdeq.i	⊢ 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
p1evtxdeq.f	⊢ (𝜑 → Fun 𝐼)
p1evtxdeq.fv	⊢ (𝜑 → (Vtx‘𝐹) = 𝑉)
p1evtxdeq.fi	⊢ (𝜑 → (iEdg‘𝐹) = (𝐼 ∪ {⟨𝐾, 𝐸⟩}))
p1evtxdeq.k	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ 𝑋)
p1evtxdeq.d	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∉ dom 𝐼)
p1evtxdeq.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑉)
p1evtxdeq.e	⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ 𝑌)

Assertion

Ref	Expression
p1evtxdeqlem	⊢ (𝜑 → ((VtxDeg‘𝐹)‘𝑈) = (((VtxDeg‘𝐺)‘𝑈) +𝑒 ((VtxDeg‘⟨𝑉, {⟨𝐾, 𝐸⟩}⟩)‘𝑈)))

Proof of Theorem p1evtxdeqlem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		p1evtxdeq.i	. 2 ⊢ 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
2		p1evtxdeq.v	. . . . 5 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
3	2	fvexi 6921	. . . 4 ⊢ 𝑉 ∈ V
4		snex 5442	. . . 4 ⊢ {⟨𝐾, 𝐸⟩} ∈ V
5	3, 4	pm3.2i 470	. . 3 ⊢ (𝑉 ∈ V ∧ {⟨𝐾, 𝐸⟩} ∈ V)
6		opiedgfv 29039	. . . 4 ⊢ ((𝑉 ∈ V ∧ {⟨𝐾, 𝐸⟩} ∈ V) → (iEdg‘⟨𝑉, {⟨𝐾, 𝐸⟩}⟩) = {⟨𝐾, 𝐸⟩})
7	6	eqcomd 2741	. . 3 ⊢ ((𝑉 ∈ V ∧ {⟨𝐾, 𝐸⟩} ∈ V) → {⟨𝐾, 𝐸⟩} = (iEdg‘⟨𝑉, {⟨𝐾, 𝐸⟩}⟩))
8	5, 7	ax-mp 5	. 2 ⊢ {⟨𝐾, 𝐸⟩} = (iEdg‘⟨𝑉, {⟨𝐾, 𝐸⟩}⟩)
9		opvtxfv 29036	. . 3 ⊢ ((𝑉 ∈ V ∧ {⟨𝐾, 𝐸⟩} ∈ V) → (Vtx‘⟨𝑉, {⟨𝐾, 𝐸⟩}⟩) = 𝑉)
10	5, 9	mp1i 13	. 2 ⊢ (𝜑 → (Vtx‘⟨𝑉, {⟨𝐾, 𝐸⟩}⟩) = 𝑉)
11		p1evtxdeq.fv	. 2 ⊢ (𝜑 → (Vtx‘𝐹) = 𝑉)
12		p1evtxdeq.e	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ 𝑌)
13		dmsnopg 6235	. . . . 5 ⊢ (𝐸 ∈ 𝑌 → dom {⟨𝐾, 𝐸⟩} = {𝐾})
14	12, 13	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → dom {⟨𝐾, 𝐸⟩} = {𝐾})
15	14	ineq2d 4228	. . 3 ⊢ (𝜑 → (dom 𝐼 ∩ dom {⟨𝐾, 𝐸⟩}) = (dom 𝐼 ∩ {𝐾}))
16		p1evtxdeq.d	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∉ dom 𝐼)
17		df-nel 3045	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∉ dom 𝐼 ↔ ¬ 𝐾 ∈ dom 𝐼)
18	16, 17	sylib 218	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝐾 ∈ dom 𝐼)
19		disjsn 4716	. . . 4 ⊢ ((dom 𝐼 ∩ {𝐾}) = ∅ ↔ ¬ 𝐾 ∈ dom 𝐼)
20	18, 19	sylibr 234	. . 3 ⊢ (𝜑 → (dom 𝐼 ∩ {𝐾}) = ∅)
21	15, 20	eqtrd 2775	. 2 ⊢ (𝜑 → (dom 𝐼 ∩ dom {⟨𝐾, 𝐸⟩}) = ∅)
22		p1evtxdeq.f	. 2 ⊢ (𝜑 → Fun 𝐼)
23		p1evtxdeq.k	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ 𝑋)
24		funsng 6619	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝑋 ∧ 𝐸 ∈ 𝑌) → Fun {⟨𝐾, 𝐸⟩})
25	23, 12, 24	syl2anc 584	. 2 ⊢ (𝜑 → Fun {⟨𝐾, 𝐸⟩})
26		p1evtxdeq.u	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑉)
27		p1evtxdeq.fi	. 2 ⊢ (𝜑 → (iEdg‘𝐹) = (𝐼 ∪ {⟨𝐾, 𝐸⟩}))
28	1, 8, 2, 10, 11, 21, 22, 25, 26, 27	vtxdun 29514	1 ⊢ (𝜑 → ((VtxDeg‘𝐹)‘𝑈) = (((VtxDeg‘𝐺)‘𝑈) +𝑒 ((VtxDeg‘⟨𝑉, {⟨𝐾, 𝐸⟩}⟩)‘𝑈)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1537   ∈ wcel 2106   ∉ wnel 3044  Vcvv 3478   ∪ cun 3961   ∩ cin 3962  ∅c0 4339  {csn 4631  ⟨cop 4637  dom cdm 5689  Fun wfun 6557  ‘cfv 6563  (class class class)co 7431   +_𝑒 cxad 13150  Vtxcvtx 29028  iEdgciedg 29029  VtxDegcvtxdg 29498

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-oadd 8509  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-dju 9939  df-card 9977  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-nn 12265  df-n0 12525  df-xnn0 12598  df-z 12612  df-uz 12877  df-xadd 13153  df-hash 14367  df-vtx 29030  df-iedg 29031  df-vtxdg 29499

This theorem is referenced by:  p1evtxdeq  29546  p1evtxdp1  29547