Theorem p1evtxdeqlem 29486

Description: Lemma for p1evtxdeq 29487 and p1evtxdp1 29488. (Contributed by AV, 3-Mar-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
p1evtxdeq.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
p1evtxdeq.i	⊢ 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
p1evtxdeq.f	⊢ (𝜑 → Fun 𝐼)
p1evtxdeq.fv	⊢ (𝜑 → (Vtx‘𝐹) = 𝑉)
p1evtxdeq.fi	⊢ (𝜑 → (iEdg‘𝐹) = (𝐼 ∪ {⟨𝐾, 𝐸⟩}))
p1evtxdeq.k	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ 𝑋)
p1evtxdeq.d	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∉ dom 𝐼)
p1evtxdeq.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑉)
p1evtxdeq.e	⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ 𝑌)

Assertion

Ref	Expression
p1evtxdeqlem	⊢ (𝜑 → ((VtxDeg‘𝐹)‘𝑈) = (((VtxDeg‘𝐺)‘𝑈) +𝑒 ((VtxDeg‘⟨𝑉, {⟨𝐾, 𝐸⟩}⟩)‘𝑈)))

Proof of Theorem p1evtxdeqlem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		p1evtxdeq.i	. 2 ⊢ 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
2		p1evtxdeq.v	. . . . 5 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
3	2	fvexi 6831	. . . 4 ⊢ 𝑉 ∈ V
4		snex 5369	. . . 4 ⊢ {⟨𝐾, 𝐸⟩} ∈ V
5	3, 4	pm3.2i 470	. . 3 ⊢ (𝑉 ∈ V ∧ {⟨𝐾, 𝐸⟩} ∈ V)
6		opiedgfv 28980	. . . 4 ⊢ ((𝑉 ∈ V ∧ {⟨𝐾, 𝐸⟩} ∈ V) → (iEdg‘⟨𝑉, {⟨𝐾, 𝐸⟩}⟩) = {⟨𝐾, 𝐸⟩})
7	6	eqcomd 2737	. . 3 ⊢ ((𝑉 ∈ V ∧ {⟨𝐾, 𝐸⟩} ∈ V) → {⟨𝐾, 𝐸⟩} = (iEdg‘⟨𝑉, {⟨𝐾, 𝐸⟩}⟩))
8	5, 7	ax-mp 5	. 2 ⊢ {⟨𝐾, 𝐸⟩} = (iEdg‘⟨𝑉, {⟨𝐾, 𝐸⟩}⟩)
9		opvtxfv 28977	. . 3 ⊢ ((𝑉 ∈ V ∧ {⟨𝐾, 𝐸⟩} ∈ V) → (Vtx‘⟨𝑉, {⟨𝐾, 𝐸⟩}⟩) = 𝑉)
10	5, 9	mp1i 13	. 2 ⊢ (𝜑 → (Vtx‘⟨𝑉, {⟨𝐾, 𝐸⟩}⟩) = 𝑉)
11		p1evtxdeq.fv	. 2 ⊢ (𝜑 → (Vtx‘𝐹) = 𝑉)
12		p1evtxdeq.e	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ 𝑌)
13		dmsnopg 6155	. . . . 5 ⊢ (𝐸 ∈ 𝑌 → dom {⟨𝐾, 𝐸⟩} = {𝐾})
14	12, 13	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → dom {⟨𝐾, 𝐸⟩} = {𝐾})
15	14	ineq2d 4165	. . 3 ⊢ (𝜑 → (dom 𝐼 ∩ dom {⟨𝐾, 𝐸⟩}) = (dom 𝐼 ∩ {𝐾}))
16		p1evtxdeq.d	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∉ dom 𝐼)
17		df-nel 3033	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∉ dom 𝐼 ↔ ¬ 𝐾 ∈ dom 𝐼)
18	16, 17	sylib 218	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝐾 ∈ dom 𝐼)
19		disjsn 4659	. . . 4 ⊢ ((dom 𝐼 ∩ {𝐾}) = ∅ ↔ ¬ 𝐾 ∈ dom 𝐼)
20	18, 19	sylibr 234	. . 3 ⊢ (𝜑 → (dom 𝐼 ∩ {𝐾}) = ∅)
21	15, 20	eqtrd 2766	. 2 ⊢ (𝜑 → (dom 𝐼 ∩ dom {⟨𝐾, 𝐸⟩}) = ∅)
22		p1evtxdeq.f	. 2 ⊢ (𝜑 → Fun 𝐼)
23		p1evtxdeq.k	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ 𝑋)
24		funsng 6527	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝑋 ∧ 𝐸 ∈ 𝑌) → Fun {⟨𝐾, 𝐸⟩})
25	23, 12, 24	syl2anc 584	. 2 ⊢ (𝜑 → Fun {⟨𝐾, 𝐸⟩})
26		p1evtxdeq.u	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑉)
27		p1evtxdeq.fi	. 2 ⊢ (𝜑 → (iEdg‘𝐹) = (𝐼 ∪ {⟨𝐾, 𝐸⟩}))
28	1, 8, 2, 10, 11, 21, 22, 25, 26, 27	vtxdun 29455	1 ⊢ (𝜑 → ((VtxDeg‘𝐹)‘𝑈) = (((VtxDeg‘𝐺)‘𝑈) +𝑒 ((VtxDeg‘⟨𝑉, {⟨𝐾, 𝐸⟩}⟩)‘𝑈)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2111   ∉ wnel 3032  Vcvv 3436   ∪ cun 3895   ∩ cin 3896  ∅c0 4278  {csn 4571  ⟨cop 4577  dom cdm 5611  Fun wfun 6470  ‘cfv 6476  (class class class)co 7341   +_𝑒 cxad 13004  Vtxcvtx 28969  iEdgciedg 28970  VtxDegcvtxdg 29439

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-rep 5212  ax-sep 5229  ax-nul 5239  ax-pow 5298  ax-pr 5365  ax-un 7663  ax-cnex 11057  ax-resscn 11058  ax-1cn 11059  ax-icn 11060  ax-addcl 11061  ax-addrcl 11062  ax-mulcl 11063  ax-mulrcl 11064  ax-mulcom 11065  ax-addass 11066  ax-mulass 11067  ax-distr 11068  ax-i2m1 11069  ax-1ne0 11070  ax-1rid 11071  ax-rnegex 11072  ax-rrecex 11073  ax-cnre 11074  ax-pre-lttri 11075  ax-pre-lttrn 11076  ax-pre-ltadd 11077  ax-pre-mulgt0 11078

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3917  df-nul 4279  df-if 4471  df-pw 4547  df-sn 4572  df-pr 4574  df-op 4578  df-uni 4855  df-int 4893  df-iun 4938  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5506  df-eprel 5511  df-po 5519  df-so 5520  df-fr 5564  df-we 5566  df-xp 5617  df-rel 5618  df-cnv 5619  df-co 5620  df-dm 5621  df-rn 5622  df-res 5623  df-ima 5624  df-pred 6243  df-ord 6304  df-on 6305  df-lim 6306  df-suc 6307  df-iota 6432  df-fun 6478  df-fn 6479  df-f 6480  df-f1 6481  df-fo 6482  df-f1o 6483  df-fv 6484  df-riota 7298  df-ov 7344  df-oprab 7345  df-mpo 7346  df-om 7792  df-1st 7916  df-2nd 7917  df-frecs 8206  df-wrecs 8237  df-recs 8286  df-rdg 8324  df-1o 8380  df-oadd 8384  df-er 8617  df-en 8865  df-dom 8866  df-sdom 8867  df-fin 8868  df-dju 9789  df-card 9827  df-pnf 11143  df-mnf 11144  df-xr 11145  df-ltxr 11146  df-le 11147  df-sub 11341  df-neg 11342  df-nn 12121  df-n0 12377  df-xnn0 12450  df-z 12464  df-uz 12728  df-xadd 13007  df-hash 14233  df-vtx 28971  df-iedg 28972  df-vtxdg 29440

This theorem is referenced by:  p1evtxdeq  29487  p1evtxdp1  29488