MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  p1evtxdeqlem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem p1evtxdeqlem 29530
Description: Lemma for p1evtxdeq 29531 and p1evtxdp1 29532. (Contributed by AV, 3-Mar-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
p1evtxdeq.v 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
p1evtxdeq.i 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
p1evtxdeq.f (𝜑 → Fun 𝐼)
p1evtxdeq.fv (𝜑 → (Vtx‘𝐹) = 𝑉)
p1evtxdeq.fi (𝜑 → (iEdg‘𝐹) = (𝐼 ∪ {⟨𝐾, 𝐸⟩}))
p1evtxdeq.k (𝜑𝐾𝑋)
p1evtxdeq.d (𝜑𝐾 ∉ dom 𝐼)
p1evtxdeq.u (𝜑𝑈𝑉)
p1evtxdeq.e (𝜑𝐸𝑌)
Assertion
Ref Expression
p1evtxdeqlem (𝜑 → ((VtxDeg‘𝐹)‘𝑈) = (((VtxDeg‘𝐺)‘𝑈) +𝑒 ((VtxDeg‘⟨𝑉, {⟨𝐾, 𝐸⟩}⟩)‘𝑈)))

Proof of Theorem p1evtxdeqlem
StepHypRef Expression
1 p1evtxdeq.i . 2 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
2 p1evtxdeq.v . . . . 5 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
32fvexi 6920 . . . 4 𝑉 ∈ V
4 snex 5436 . . . 4 {⟨𝐾, 𝐸⟩} ∈ V
53, 4pm3.2i 470 . . 3 (𝑉 ∈ V ∧ {⟨𝐾, 𝐸⟩} ∈ V)
6 opiedgfv 29024 . . . 4 ((𝑉 ∈ V ∧ {⟨𝐾, 𝐸⟩} ∈ V) → (iEdg‘⟨𝑉, {⟨𝐾, 𝐸⟩}⟩) = {⟨𝐾, 𝐸⟩})
76eqcomd 2743 . . 3 ((𝑉 ∈ V ∧ {⟨𝐾, 𝐸⟩} ∈ V) → {⟨𝐾, 𝐸⟩} = (iEdg‘⟨𝑉, {⟨𝐾, 𝐸⟩}⟩))
85, 7ax-mp 5 . 2 {⟨𝐾, 𝐸⟩} = (iEdg‘⟨𝑉, {⟨𝐾, 𝐸⟩}⟩)
9 opvtxfv 29021 . . 3 ((𝑉 ∈ V ∧ {⟨𝐾, 𝐸⟩} ∈ V) → (Vtx‘⟨𝑉, {⟨𝐾, 𝐸⟩}⟩) = 𝑉)
105, 9mp1i 13 . 2 (𝜑 → (Vtx‘⟨𝑉, {⟨𝐾, 𝐸⟩}⟩) = 𝑉)
11 p1evtxdeq.fv . 2 (𝜑 → (Vtx‘𝐹) = 𝑉)
12 p1evtxdeq.e . . . . 5 (𝜑𝐸𝑌)
13 dmsnopg 6233 . . . . 5 (𝐸𝑌 → dom {⟨𝐾, 𝐸⟩} = {𝐾})
1412, 13syl 17 . . . 4 (𝜑 → dom {⟨𝐾, 𝐸⟩} = {𝐾})
1514ineq2d 4220 . . 3 (𝜑 → (dom 𝐼 ∩ dom {⟨𝐾, 𝐸⟩}) = (dom 𝐼 ∩ {𝐾}))
16 p1evtxdeq.d . . . . 5 (𝜑𝐾 ∉ dom 𝐼)
17 df-nel 3047 . . . . 5 (𝐾 ∉ dom 𝐼 ↔ ¬ 𝐾 ∈ dom 𝐼)
1816, 17sylib 218 . . . 4 (𝜑 → ¬ 𝐾 ∈ dom 𝐼)
19 disjsn 4711 . . . 4 ((dom 𝐼 ∩ {𝐾}) = ∅ ↔ ¬ 𝐾 ∈ dom 𝐼)
2018, 19sylibr 234 . . 3 (𝜑 → (dom 𝐼 ∩ {𝐾}) = ∅)
2115, 20eqtrd 2777 . 2 (𝜑 → (dom 𝐼 ∩ dom {⟨𝐾, 𝐸⟩}) = ∅)
22 p1evtxdeq.f . 2 (𝜑 → Fun 𝐼)
23 p1evtxdeq.k . . 3 (𝜑𝐾𝑋)
24 funsng 6617 . . 3 ((𝐾𝑋𝐸𝑌) → Fun {⟨𝐾, 𝐸⟩})
2523, 12, 24syl2anc 584 . 2 (𝜑 → Fun {⟨𝐾, 𝐸⟩})
26 p1evtxdeq.u . 2 (𝜑𝑈𝑉)
27 p1evtxdeq.fi . 2 (𝜑 → (iEdg‘𝐹) = (𝐼 ∪ {⟨𝐾, 𝐸⟩}))
281, 8, 2, 10, 11, 21, 22, 25, 26, 27vtxdun 29499 1 (𝜑 → ((VtxDeg‘𝐹)‘𝑈) = (((VtxDeg‘𝐺)‘𝑈) +𝑒 ((VtxDeg‘⟨𝑉, {⟨𝐾, 𝐸⟩}⟩)‘𝑈)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 395   = wceq 1540  wcel 2108  wnel 3046  Vcvv 3480  cun 3949  cin 3950  c0 4333  {csn 4626  cop 4632  dom cdm 5685  Fun wfun 6555  cfv 6561  (class class class)co 7431   +𝑒 cxad 13152  Vtxcvtx 29013  iEdgciedg 29014  VtxDegcvtxdg 29483
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-oadd 8510  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-dju 9941  df-card 9979  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-nn 12267  df-n0 12527  df-xnn0 12600  df-z 12614  df-uz 12879  df-xadd 13155  df-hash 14370  df-vtx 29015  df-iedg 29016  df-vtxdg 29484
This theorem is referenced by:  p1evtxdeq  29531  p1evtxdp1  29532
  Copyright terms: Public domain W3C validator