MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  p1evtxdeqlem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem p1evtxdeqlem 27208
Description: Lemma for p1evtxdeq 27209 and p1evtxdp1 27210. (Contributed by AV, 3-Mar-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
p1evtxdeq.v 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
p1evtxdeq.i 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
p1evtxdeq.f (𝜑 → Fun 𝐼)
p1evtxdeq.fv (𝜑 → (Vtx‘𝐹) = 𝑉)
p1evtxdeq.fi (𝜑 → (iEdg‘𝐹) = (𝐼 ∪ {⟨𝐾, 𝐸⟩}))
p1evtxdeq.k (𝜑𝐾𝑋)
p1evtxdeq.d (𝜑𝐾 ∉ dom 𝐼)
p1evtxdeq.u (𝜑𝑈𝑉)
p1evtxdeq.e (𝜑𝐸𝑌)
Assertion
Ref Expression
p1evtxdeqlem (𝜑 → ((VtxDeg‘𝐹)‘𝑈) = (((VtxDeg‘𝐺)‘𝑈) +𝑒 ((VtxDeg‘⟨𝑉, {⟨𝐾, 𝐸⟩}⟩)‘𝑈)))

Proof of Theorem p1evtxdeqlem
StepHypRef Expression
1 p1evtxdeq.i . 2 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
2 p1evtxdeq.v . . . . 5 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
32fvexi 6681 . . . 4 𝑉 ∈ V
4 snex 5328 . . . 4 {⟨𝐾, 𝐸⟩} ∈ V
53, 4pm3.2i 471 . . 3 (𝑉 ∈ V ∧ {⟨𝐾, 𝐸⟩} ∈ V)
6 opiedgfv 26706 . . . 4 ((𝑉 ∈ V ∧ {⟨𝐾, 𝐸⟩} ∈ V) → (iEdg‘⟨𝑉, {⟨𝐾, 𝐸⟩}⟩) = {⟨𝐾, 𝐸⟩})
76eqcomd 2832 . . 3 ((𝑉 ∈ V ∧ {⟨𝐾, 𝐸⟩} ∈ V) → {⟨𝐾, 𝐸⟩} = (iEdg‘⟨𝑉, {⟨𝐾, 𝐸⟩}⟩))
85, 7ax-mp 5 . 2 {⟨𝐾, 𝐸⟩} = (iEdg‘⟨𝑉, {⟨𝐾, 𝐸⟩}⟩)
9 opvtxfv 26703 . . 3 ((𝑉 ∈ V ∧ {⟨𝐾, 𝐸⟩} ∈ V) → (Vtx‘⟨𝑉, {⟨𝐾, 𝐸⟩}⟩) = 𝑉)
105, 9mp1i 13 . 2 (𝜑 → (Vtx‘⟨𝑉, {⟨𝐾, 𝐸⟩}⟩) = 𝑉)
11 p1evtxdeq.fv . 2 (𝜑 → (Vtx‘𝐹) = 𝑉)
12 p1evtxdeq.e . . . . 5 (𝜑𝐸𝑌)
13 dmsnopg 6068 . . . . 5 (𝐸𝑌 → dom {⟨𝐾, 𝐸⟩} = {𝐾})
1412, 13syl 17 . . . 4 (𝜑 → dom {⟨𝐾, 𝐸⟩} = {𝐾})
1514ineq2d 4193 . . 3 (𝜑 → (dom 𝐼 ∩ dom {⟨𝐾, 𝐸⟩}) = (dom 𝐼 ∩ {𝐾}))
16 p1evtxdeq.d . . . . 5 (𝜑𝐾 ∉ dom 𝐼)
17 df-nel 3129 . . . . 5 (𝐾 ∉ dom 𝐼 ↔ ¬ 𝐾 ∈ dom 𝐼)
1816, 17sylib 219 . . . 4 (𝜑 → ¬ 𝐾 ∈ dom 𝐼)
19 disjsn 4646 . . . 4 ((dom 𝐼 ∩ {𝐾}) = ∅ ↔ ¬ 𝐾 ∈ dom 𝐼)
2018, 19sylibr 235 . . 3 (𝜑 → (dom 𝐼 ∩ {𝐾}) = ∅)
2115, 20eqtrd 2861 . 2 (𝜑 → (dom 𝐼 ∩ dom {⟨𝐾, 𝐸⟩}) = ∅)
22 p1evtxdeq.f . 2 (𝜑 → Fun 𝐼)
23 p1evtxdeq.k . . 3 (𝜑𝐾𝑋)
24 funsng 6402 . . 3 ((𝐾𝑋𝐸𝑌) → Fun {⟨𝐾, 𝐸⟩})
2523, 12, 24syl2anc 584 . 2 (𝜑 → Fun {⟨𝐾, 𝐸⟩})
26 p1evtxdeq.u . 2 (𝜑𝑈𝑉)
27 p1evtxdeq.fi . 2 (𝜑 → (iEdg‘𝐹) = (𝐼 ∪ {⟨𝐾, 𝐸⟩}))
281, 8, 2, 10, 11, 21, 22, 25, 26, 27vtxdun 27177 1 (𝜑 → ((VtxDeg‘𝐹)‘𝑈) = (((VtxDeg‘𝐺)‘𝑈) +𝑒 ((VtxDeg‘⟨𝑉, {⟨𝐾, 𝐸⟩}⟩)‘𝑈)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 396   = wceq 1530  wcel 2107  wnel 3128  Vcvv 3500  cun 3938  cin 3939  c0 4295  {csn 4564  cop 4570  dom cdm 5554  Fun wfun 6346  cfv 6352  (class class class)co 7148   +𝑒 cxad 12495  Vtxcvtx 26695  iEdgciedg 26696  VtxDegcvtxdg 27161
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1904  ax-6 1963  ax-7 2008  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2153  ax-12 2169  ax-ext 2798  ax-rep 5187  ax-sep 5200  ax-nul 5207  ax-pow 5263  ax-pr 5326  ax-un 7451  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 844  df-3or 1082  df-3an 1083  df-tru 1533  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2063  df-mo 2620  df-eu 2652  df-clab 2805  df-cleq 2819  df-clel 2898  df-nfc 2968  df-ne 3022  df-nel 3129  df-ral 3148  df-rex 3149  df-reu 3150  df-rmo 3151  df-rab 3152  df-v 3502  df-sbc 3777  df-csb 3888  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3956  df-pss 3958  df-nul 4296  df-if 4471  df-pw 4544  df-sn 4565  df-pr 4567  df-tp 4569  df-op 4571  df-uni 4838  df-int 4875  df-iun 4919  df-br 5064  df-opab 5126  df-mpt 5144  df-tr 5170  df-id 5459  df-eprel 5464  df-po 5473  df-so 5474  df-fr 5513  df-we 5515  df-xp 5560  df-rel 5561  df-cnv 5562  df-co 5563  df-dm 5564  df-rn 5565  df-res 5566  df-ima 5567  df-pred 6146  df-ord 6192  df-on 6193  df-lim 6194  df-suc 6195  df-iota 6312  df-fun 6354  df-fn 6355  df-f 6356  df-f1 6357  df-fo 6358  df-f1o 6359  df-fv 6360  df-riota 7106  df-ov 7151  df-oprab 7152  df-mpo 7153  df-om 7569  df-1st 7680  df-2nd 7681  df-wrecs 7938  df-recs 7999  df-rdg 8037  df-1o 8093  df-oadd 8097  df-er 8279  df-en 8499  df-dom 8500  df-sdom 8501  df-fin 8502  df-dju 9319  df-card 9357  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-nn 11628  df-n0 11887  df-xnn0 11957  df-z 11971  df-uz 12233  df-xadd 12498  df-hash 13681  df-vtx 26697  df-iedg 26698  df-vtxdg 27162
This theorem is referenced by:  p1evtxdeq  27209  p1evtxdp1  27210
  Copyright terms: Public domain W3C validator