MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  p1evtxdeqlem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem p1evtxdeqlem 28509
Description: Lemma for p1evtxdeq 28510 and p1evtxdp1 28511. (Contributed by AV, 3-Mar-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
p1evtxdeq.v 𝑉 = (Vtxβ€˜πΊ)
p1evtxdeq.i 𝐼 = (iEdgβ€˜πΊ)
p1evtxdeq.f (πœ‘ β†’ Fun 𝐼)
p1evtxdeq.fv (πœ‘ β†’ (Vtxβ€˜πΉ) = 𝑉)
p1evtxdeq.fi (πœ‘ β†’ (iEdgβ€˜πΉ) = (𝐼 βˆͺ {⟨𝐾, 𝐸⟩}))
p1evtxdeq.k (πœ‘ β†’ 𝐾 ∈ 𝑋)
p1evtxdeq.d (πœ‘ β†’ 𝐾 βˆ‰ dom 𝐼)
p1evtxdeq.u (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ 𝑉)
p1evtxdeq.e (πœ‘ β†’ 𝐸 ∈ π‘Œ)
Assertion
Ref Expression
p1evtxdeqlem (πœ‘ β†’ ((VtxDegβ€˜πΉ)β€˜π‘ˆ) = (((VtxDegβ€˜πΊ)β€˜π‘ˆ) +𝑒 ((VtxDegβ€˜βŸ¨π‘‰, {⟨𝐾, 𝐸⟩}⟩)β€˜π‘ˆ)))

Proof of Theorem p1evtxdeqlem
StepHypRef Expression
1 p1evtxdeq.i . 2 𝐼 = (iEdgβ€˜πΊ)
2 p1evtxdeq.v . . . . 5 𝑉 = (Vtxβ€˜πΊ)
32fvexi 6860 . . . 4 𝑉 ∈ V
4 snex 5392 . . . 4 {⟨𝐾, 𝐸⟩} ∈ V
53, 4pm3.2i 472 . . 3 (𝑉 ∈ V ∧ {⟨𝐾, 𝐸⟩} ∈ V)
6 opiedgfv 28007 . . . 4 ((𝑉 ∈ V ∧ {⟨𝐾, 𝐸⟩} ∈ V) β†’ (iEdgβ€˜βŸ¨π‘‰, {⟨𝐾, 𝐸⟩}⟩) = {⟨𝐾, 𝐸⟩})
76eqcomd 2739 . . 3 ((𝑉 ∈ V ∧ {⟨𝐾, 𝐸⟩} ∈ V) β†’ {⟨𝐾, 𝐸⟩} = (iEdgβ€˜βŸ¨π‘‰, {⟨𝐾, 𝐸⟩}⟩))
85, 7ax-mp 5 . 2 {⟨𝐾, 𝐸⟩} = (iEdgβ€˜βŸ¨π‘‰, {⟨𝐾, 𝐸⟩}⟩)
9 opvtxfv 28004 . . 3 ((𝑉 ∈ V ∧ {⟨𝐾, 𝐸⟩} ∈ V) β†’ (Vtxβ€˜βŸ¨π‘‰, {⟨𝐾, 𝐸⟩}⟩) = 𝑉)
105, 9mp1i 13 . 2 (πœ‘ β†’ (Vtxβ€˜βŸ¨π‘‰, {⟨𝐾, 𝐸⟩}⟩) = 𝑉)
11 p1evtxdeq.fv . 2 (πœ‘ β†’ (Vtxβ€˜πΉ) = 𝑉)
12 p1evtxdeq.e . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐸 ∈ π‘Œ)
13 dmsnopg 6169 . . . . 5 (𝐸 ∈ π‘Œ β†’ dom {⟨𝐾, 𝐸⟩} = {𝐾})
1412, 13syl 17 . . . 4 (πœ‘ β†’ dom {⟨𝐾, 𝐸⟩} = {𝐾})
1514ineq2d 4176 . . 3 (πœ‘ β†’ (dom 𝐼 ∩ dom {⟨𝐾, 𝐸⟩}) = (dom 𝐼 ∩ {𝐾}))
16 p1evtxdeq.d . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐾 βˆ‰ dom 𝐼)
17 df-nel 3047 . . . . 5 (𝐾 βˆ‰ dom 𝐼 ↔ Β¬ 𝐾 ∈ dom 𝐼)
1816, 17sylib 217 . . . 4 (πœ‘ β†’ Β¬ 𝐾 ∈ dom 𝐼)
19 disjsn 4676 . . . 4 ((dom 𝐼 ∩ {𝐾}) = βˆ… ↔ Β¬ 𝐾 ∈ dom 𝐼)
2018, 19sylibr 233 . . 3 (πœ‘ β†’ (dom 𝐼 ∩ {𝐾}) = βˆ…)
2115, 20eqtrd 2773 . 2 (πœ‘ β†’ (dom 𝐼 ∩ dom {⟨𝐾, 𝐸⟩}) = βˆ…)
22 p1evtxdeq.f . 2 (πœ‘ β†’ Fun 𝐼)
23 p1evtxdeq.k . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐾 ∈ 𝑋)
24 funsng 6556 . . 3 ((𝐾 ∈ 𝑋 ∧ 𝐸 ∈ π‘Œ) β†’ Fun {⟨𝐾, 𝐸⟩})
2523, 12, 24syl2anc 585 . 2 (πœ‘ β†’ Fun {⟨𝐾, 𝐸⟩})
26 p1evtxdeq.u . 2 (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ 𝑉)
27 p1evtxdeq.fi . 2 (πœ‘ β†’ (iEdgβ€˜πΉ) = (𝐼 βˆͺ {⟨𝐾, 𝐸⟩}))
281, 8, 2, 10, 11, 21, 22, 25, 26, 27vtxdun 28478 1 (πœ‘ β†’ ((VtxDegβ€˜πΉ)β€˜π‘ˆ) = (((VtxDegβ€˜πΊ)β€˜π‘ˆ) +𝑒 ((VtxDegβ€˜βŸ¨π‘‰, {⟨𝐾, 𝐸⟩}⟩)β€˜π‘ˆ)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   βˆ‰ wnel 3046  Vcvv 3447   βˆͺ cun 3912   ∩ cin 3913  βˆ…c0 4286  {csn 4590  βŸ¨cop 4596  dom cdm 5637  Fun wfun 6494  β€˜cfv 6500  (class class class)co 7361   +𝑒 cxad 13039  Vtxcvtx 27996  iEdgciedg 27997  VtxDegcvtxdg 28462
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5246  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pow 5324  ax-pr 5388  ax-un 7676  ax-cnex 11115  ax-resscn 11116  ax-1cn 11117  ax-icn 11118  ax-addcl 11119  ax-addrcl 11120  ax-mulcl 11121  ax-mulrcl 11122  ax-mulcom 11123  ax-addass 11124  ax-mulass 11125  ax-distr 11126  ax-i2m1 11127  ax-1ne0 11128  ax-1rid 11129  ax-rnegex 11130  ax-rrecex 11131  ax-cnre 11132  ax-pre-lttri 11133  ax-pre-lttrn 11134  ax-pre-ltadd 11135  ax-pre-mulgt0 11136
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3933  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4870  df-int 4912  df-iun 4960  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-tr 5227  df-id 5535  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5592  df-we 5594  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-pred 6257  df-ord 6324  df-on 6325  df-lim 6326  df-suc 6327  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7317  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-om 7807  df-1st 7925  df-2nd 7926  df-frecs 8216  df-wrecs 8247  df-recs 8321  df-rdg 8360  df-1o 8416  df-oadd 8420  df-er 8654  df-en 8890  df-dom 8891  df-sdom 8892  df-fin 8893  df-dju 9845  df-card 9883  df-pnf 11199  df-mnf 11200  df-xr 11201  df-ltxr 11202  df-le 11203  df-sub 11395  df-neg 11396  df-nn 12162  df-n0 12422  df-xnn0 12494  df-z 12508  df-uz 12772  df-xadd 13042  df-hash 14240  df-vtx 27998  df-iedg 27999  df-vtxdg 28463
This theorem is referenced by:  p1evtxdeq  28510  p1evtxdp1  28511
  Copyright terms: Public domain W3C validator