MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  noextend Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem noextend 27037
Description: Extending a surreal by one sign value results in a new surreal. (Contributed by Scott Fenton, 22-Nov-2021.)
Hypothesis
Ref Expression
noextend.1 𝑋 ∈ {1o, 2o}
Assertion
Ref Expression
noextend (𝐴 No → (𝐴 ∪ {⟨dom 𝐴, 𝑋⟩}) ∈ No )

Proof of Theorem noextend
StepHypRef Expression
1 nofun 27020 . . 3 (𝐴 No → Fun 𝐴)
2 dmexg 7844 . . . 4 (𝐴 No → dom 𝐴 ∈ V)
3 noextend.1 . . . 4 𝑋 ∈ {1o, 2o}
4 funsng 6556 . . . 4 ((dom 𝐴 ∈ V ∧ 𝑋 ∈ {1o, 2o}) → Fun {⟨dom 𝐴, 𝑋⟩})
52, 3, 4sylancl 587 . . 3 (𝐴 No → Fun {⟨dom 𝐴, 𝑋⟩})
63elexi 3466 . . . . . 6 𝑋 ∈ V
76dmsnop 6172 . . . . 5 dom {⟨dom 𝐴, 𝑋⟩} = {dom 𝐴}
87ineq2i 4173 . . . 4 (dom 𝐴 ∩ dom {⟨dom 𝐴, 𝑋⟩}) = (dom 𝐴 ∩ {dom 𝐴})
9 nodmord 27024 . . . . . 6 (𝐴 No → Ord dom 𝐴)
10 ordirr 6339 . . . . . 6 (Ord dom 𝐴 → ¬ dom 𝐴 ∈ dom 𝐴)
119, 10syl 17 . . . . 5 (𝐴 No → ¬ dom 𝐴 ∈ dom 𝐴)
12 disjsn 4676 . . . . 5 ((dom 𝐴 ∩ {dom 𝐴}) = ∅ ↔ ¬ dom 𝐴 ∈ dom 𝐴)
1311, 12sylibr 233 . . . 4 (𝐴 No → (dom 𝐴 ∩ {dom 𝐴}) = ∅)
148, 13eqtrid 2785 . . 3 (𝐴 No → (dom 𝐴 ∩ dom {⟨dom 𝐴, 𝑋⟩}) = ∅)
15 funun 6551 . . 3 (((Fun 𝐴 ∧ Fun {⟨dom 𝐴, 𝑋⟩}) ∧ (dom 𝐴 ∩ dom {⟨dom 𝐴, 𝑋⟩}) = ∅) → Fun (𝐴 ∪ {⟨dom 𝐴, 𝑋⟩}))
161, 5, 14, 15syl21anc 837 . 2 (𝐴 No → Fun (𝐴 ∪ {⟨dom 𝐴, 𝑋⟩}))
177uneq2i 4124 . . . 4 (dom 𝐴 ∪ dom {⟨dom 𝐴, 𝑋⟩}) = (dom 𝐴 ∪ {dom 𝐴})
18 dmun 5870 . . . 4 dom (𝐴 ∪ {⟨dom 𝐴, 𝑋⟩}) = (dom 𝐴 ∪ dom {⟨dom 𝐴, 𝑋⟩})
19 df-suc 6327 . . . 4 suc dom 𝐴 = (dom 𝐴 ∪ {dom 𝐴})
2017, 18, 193eqtr4i 2771 . . 3 dom (𝐴 ∪ {⟨dom 𝐴, 𝑋⟩}) = suc dom 𝐴
21 nodmon 27021 . . . 4 (𝐴 No → dom 𝐴 ∈ On)
22 onsuc 7750 . . . 4 (dom 𝐴 ∈ On → suc dom 𝐴 ∈ On)
2321, 22syl 17 . . 3 (𝐴 No → suc dom 𝐴 ∈ On)
2420, 23eqeltrid 2838 . 2 (𝐴 No → dom (𝐴 ∪ {⟨dom 𝐴, 𝑋⟩}) ∈ On)
25 rnun 6102 . . . 4 ran (𝐴 ∪ {⟨dom 𝐴, 𝑋⟩}) = (ran 𝐴 ∪ ran {⟨dom 𝐴, 𝑋⟩})
26 rnsnopg 6177 . . . . . 6 (dom 𝐴 ∈ V → ran {⟨dom 𝐴, 𝑋⟩} = {𝑋})
272, 26syl 17 . . . . 5 (𝐴 No → ran {⟨dom 𝐴, 𝑋⟩} = {𝑋})
2827uneq2d 4127 . . . 4 (𝐴 No → (ran 𝐴 ∪ ran {⟨dom 𝐴, 𝑋⟩}) = (ran 𝐴 ∪ {𝑋}))
2925, 28eqtrid 2785 . . 3 (𝐴 No → ran (𝐴 ∪ {⟨dom 𝐴, 𝑋⟩}) = (ran 𝐴 ∪ {𝑋}))
30 norn 27022 . . . 4 (𝐴 No → ran 𝐴 ⊆ {1o, 2o})
31 snssi 4772 . . . . 5 (𝑋 ∈ {1o, 2o} → {𝑋} ⊆ {1o, 2o})
323, 31mp1i 13 . . . 4 (𝐴 No → {𝑋} ⊆ {1o, 2o})
3330, 32unssd 4150 . . 3 (𝐴 No → (ran 𝐴 ∪ {𝑋}) ⊆ {1o, 2o})
3429, 33eqsstrd 3986 . 2 (𝐴 No → ran (𝐴 ∪ {⟨dom 𝐴, 𝑋⟩}) ⊆ {1o, 2o})
35 elno2 27025 . 2 ((𝐴 ∪ {⟨dom 𝐴, 𝑋⟩}) ∈ No ↔ (Fun (𝐴 ∪ {⟨dom 𝐴, 𝑋⟩}) ∧ dom (𝐴 ∪ {⟨dom 𝐴, 𝑋⟩}) ∈ On ∧ ran (𝐴 ∪ {⟨dom 𝐴, 𝑋⟩}) ⊆ {1o, 2o}))
3616, 24, 34, 35syl3anbrc 1344 1 (𝐴 No → (𝐴 ∪ {⟨dom 𝐴, 𝑋⟩}) ∈ No )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4   = wceq 1542  wcel 2107  Vcvv 3447  cun 3912  cin 3913  wss 3914  c0 4286  {csn 4590  {cpr 4592  cop 4596  dom cdm 5637  ran crn 5638  Ord word 6320  Oncon0 6321  suc csuc 6323  Fun wfun 6494  1oc1o 8409  2oc2o 8410   No csur 27011
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5246  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pr 5388  ax-un 7676
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3933  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4870  df-iun 4960  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-tr 5227  df-id 5535  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5592  df-we 5594  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-ord 6324  df-on 6325  df-suc 6327  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-no 27014
This theorem is referenced by:  noextendlt  27040  noextendgt  27041  nosupno  27074  nosupbnd1  27085  nosupbnd2lem1  27086  noinfno  27089  noinfbnd1  27100  noinfbnd2lem1  27101
  Copyright terms: Public domain W3C validator