Theorem setsfun0 16971

Description: A structure with replacement without the empty set is a function if the original structure without the empty set is a function. This variant of setsfun 16970 is useful for proofs based on isstruct2 16948 which requires Fun (𝐹 ∖ {∅}) for 𝐹 to be an extensible structure. (Contributed by AV, 7-Jun-2021.)

Assertion

Ref	Expression
setsfun0	⊢ (((𝐺 ∈ 𝑉 ∧ Fun (𝐺 ∖ {∅})) ∧ (𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝐸 ∈ 𝑊)) → Fun ((𝐺 sSet ⟨𝐼, 𝐸⟩) ∖ {∅}))

Proof of Theorem setsfun0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		funres 6531	. . . . . 6 ⊢ (Fun (𝐺 ∖ {∅}) → Fun ((𝐺 ∖ {∅}) ↾ (V ∖ dom {⟨𝐼, 𝐸⟩})))
2	1	adantl 483	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ 𝑉 ∧ Fun (𝐺 ∖ {∅})) → Fun ((𝐺 ∖ {∅}) ↾ (V ∖ dom {⟨𝐼, 𝐸⟩})))
3	2	adantr 482	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ 𝑉 ∧ Fun (𝐺 ∖ {∅})) ∧ (𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝐸 ∈ 𝑊)) → Fun ((𝐺 ∖ {∅}) ↾ (V ∖ dom {⟨𝐼, 𝐸⟩})))
4		funsng 6540	. . . . 5 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝐸 ∈ 𝑊) → Fun {⟨𝐼, 𝐸⟩})
5	4	adantl 483	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ 𝑉 ∧ Fun (𝐺 ∖ {∅})) ∧ (𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝐸 ∈ 𝑊)) → Fun {⟨𝐼, 𝐸⟩})
6		dmres 5950	. . . . . . 7 ⊢ dom ((𝐺 ∖ {∅}) ↾ (V ∖ dom {⟨𝐼, 𝐸⟩})) = ((V ∖ dom {⟨𝐼, 𝐸⟩}) ∩ dom (𝐺 ∖ {∅}))
7	6	ineq1i 4160	. . . . . 6 ⊢ (dom ((𝐺 ∖ {∅}) ↾ (V ∖ dom {⟨𝐼, 𝐸⟩})) ∩ dom {⟨𝐼, 𝐸⟩}) = (((V ∖ dom {⟨𝐼, 𝐸⟩}) ∩ dom (𝐺 ∖ {∅})) ∩ dom {⟨𝐼, 𝐸⟩})
8		in32 4173	. . . . . . 7 ⊢ (((V ∖ dom {⟨𝐼, 𝐸⟩}) ∩ dom (𝐺 ∖ {∅})) ∩ dom {⟨𝐼, 𝐸⟩}) = (((V ∖ dom {⟨𝐼, 𝐸⟩}) ∩ dom {⟨𝐼, 𝐸⟩}) ∩ dom (𝐺 ∖ {∅}))
9		disjdifr 4424	. . . . . . . 8 ⊢ ((V ∖ dom {⟨𝐼, 𝐸⟩}) ∩ dom {⟨𝐼, 𝐸⟩}) = ∅
10	9	ineq1i 4160	. . . . . . 7 ⊢ (((V ∖ dom {⟨𝐼, 𝐸⟩}) ∩ dom {⟨𝐼, 𝐸⟩}) ∩ dom (𝐺 ∖ {∅})) = (∅ ∩ dom (𝐺 ∖ {∅}))
11		0in 4345	. . . . . . 7 ⊢ (∅ ∩ dom (𝐺 ∖ {∅})) = ∅
12	8, 10, 11	3eqtri 2769	. . . . . 6 ⊢ (((V ∖ dom {⟨𝐼, 𝐸⟩}) ∩ dom (𝐺 ∖ {∅})) ∩ dom {⟨𝐼, 𝐸⟩}) = ∅
13	7, 12	eqtri 2765	. . . . 5 ⊢ (dom ((𝐺 ∖ {∅}) ↾ (V ∖ dom {⟨𝐼, 𝐸⟩})) ∩ dom {⟨𝐼, 𝐸⟩}) = ∅
14	13	a1i 11	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ 𝑉 ∧ Fun (𝐺 ∖ {∅})) ∧ (𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝐸 ∈ 𝑊)) → (dom ((𝐺 ∖ {∅}) ↾ (V ∖ dom {⟨𝐼, 𝐸⟩})) ∩ dom {⟨𝐼, 𝐸⟩}) = ∅)
15		funun 6535	. . . 4 ⊢ (((Fun ((𝐺 ∖ {∅}) ↾ (V ∖ dom {⟨𝐼, 𝐸⟩})) ∧ Fun {⟨𝐼, 𝐸⟩}) ∧ (dom ((𝐺 ∖ {∅}) ↾ (V ∖ dom {⟨𝐼, 𝐸⟩})) ∩ dom {⟨𝐼, 𝐸⟩}) = ∅) → Fun (((𝐺 ∖ {∅}) ↾ (V ∖ dom {⟨𝐼, 𝐸⟩})) ∪ {⟨𝐼, 𝐸⟩}))
16	3, 5, 14, 15	syl21anc 836	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ 𝑉 ∧ Fun (𝐺 ∖ {∅})) ∧ (𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝐸 ∈ 𝑊)) → Fun (((𝐺 ∖ {∅}) ↾ (V ∖ dom {⟨𝐼, 𝐸⟩})) ∪ {⟨𝐼, 𝐸⟩}))
17		difundir 4232	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ↾ (V ∖ dom {⟨𝐼, 𝐸⟩})) ∪ {⟨𝐼, 𝐸⟩}) ∖ {∅}) = (((𝐺 ↾ (V ∖ dom {⟨𝐼, 𝐸⟩})) ∖ {∅}) ∪ ({⟨𝐼, 𝐸⟩} ∖ {∅}))
18		resdifcom 5947	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ↾ (V ∖ dom {⟨𝐼, 𝐸⟩})) ∖ {∅}) = ((𝐺 ∖ {∅}) ↾ (V ∖ dom {⟨𝐼, 𝐸⟩}))
19	18	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ 𝑉 ∧ Fun (𝐺 ∖ {∅})) ∧ (𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝐸 ∈ 𝑊)) → ((𝐺 ↾ (V ∖ dom {⟨𝐼, 𝐸⟩})) ∖ {∅}) = ((𝐺 ∖ {∅}) ↾ (V ∖ dom {⟨𝐼, 𝐸⟩})))
20		elex 3460	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑈 → 𝐼 ∈ V)
21		elex 3460	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐸 ∈ 𝑊 → 𝐸 ∈ V)
22	20, 21	anim12i 614	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝐸 ∈ 𝑊) → (𝐼 ∈ V ∧ 𝐸 ∈ V))
23		opnz 5423	. . . . . . . . 9 ⊢ (⟨𝐼, 𝐸⟩ ≠ ∅ ↔ (𝐼 ∈ V ∧ 𝐸 ∈ V))
24	22, 23	sylibr 233	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝐸 ∈ 𝑊) → ⟨𝐼, 𝐸⟩ ≠ ∅)
25	24	adantl 483	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐺 ∈ 𝑉 ∧ Fun (𝐺 ∖ {∅})) ∧ (𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝐸 ∈ 𝑊)) → ⟨𝐼, 𝐸⟩ ≠ ∅)
26		disjsn2 4665	. . . . . . 7 ⊢ (⟨𝐼, 𝐸⟩ ≠ ∅ → ({⟨𝐼, 𝐸⟩} ∩ {∅}) = ∅)
27		disjdif2 4431	. . . . . . 7 ⊢ (({⟨𝐼, 𝐸⟩} ∩ {∅}) = ∅ → ({⟨𝐼, 𝐸⟩} ∖ {∅}) = {⟨𝐼, 𝐸⟩})
28	25, 26, 27	3syl 18	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ 𝑉 ∧ Fun (𝐺 ∖ {∅})) ∧ (𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝐸 ∈ 𝑊)) → ({⟨𝐼, 𝐸⟩} ∖ {∅}) = {⟨𝐼, 𝐸⟩})
29	19, 28	uneq12d 4116	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ 𝑉 ∧ Fun (𝐺 ∖ {∅})) ∧ (𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝐸 ∈ 𝑊)) → (((𝐺 ↾ (V ∖ dom {⟨𝐼, 𝐸⟩})) ∖ {∅}) ∪ ({⟨𝐼, 𝐸⟩} ∖ {∅})) = (((𝐺 ∖ {∅}) ↾ (V ∖ dom {⟨𝐼, 𝐸⟩})) ∪ {⟨𝐼, 𝐸⟩}))
30	17, 29	eqtrid 2789	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ 𝑉 ∧ Fun (𝐺 ∖ {∅})) ∧ (𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝐸 ∈ 𝑊)) → (((𝐺 ↾ (V ∖ dom {⟨𝐼, 𝐸⟩})) ∪ {⟨𝐼, 𝐸⟩}) ∖ {∅}) = (((𝐺 ∖ {∅}) ↾ (V ∖ dom {⟨𝐼, 𝐸⟩})) ∪ {⟨𝐼, 𝐸⟩}))
31	30	funeqd 6511	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ 𝑉 ∧ Fun (𝐺 ∖ {∅})) ∧ (𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝐸 ∈ 𝑊)) → (Fun (((𝐺 ↾ (V ∖ dom {⟨𝐼, 𝐸⟩})) ∪ {⟨𝐼, 𝐸⟩}) ∖ {∅}) ↔ Fun (((𝐺 ∖ {∅}) ↾ (V ∖ dom {⟨𝐼, 𝐸⟩})) ∪ {⟨𝐼, 𝐸⟩})))
32	16, 31	mpbird 257	. 2 ⊢ (((𝐺 ∈ 𝑉 ∧ Fun (𝐺 ∖ {∅})) ∧ (𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝐸 ∈ 𝑊)) → Fun (((𝐺 ↾ (V ∖ dom {⟨𝐼, 𝐸⟩})) ∪ {⟨𝐼, 𝐸⟩}) ∖ {∅}))
33		opex 5414	. . . . . . 7 ⊢ ⟨𝐼, 𝐸⟩ ∈ V
34	33	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (Fun (𝐺 ∖ {∅}) → ⟨𝐼, 𝐸⟩ ∈ V)
35		setsvalg 16965	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ 𝑉 ∧ ⟨𝐼, 𝐸⟩ ∈ V) → (𝐺 sSet ⟨𝐼, 𝐸⟩) = ((𝐺 ↾ (V ∖ dom {⟨𝐼, 𝐸⟩})) ∪ {⟨𝐼, 𝐸⟩}))
36	34, 35	sylan2 594	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ 𝑉 ∧ Fun (𝐺 ∖ {∅})) → (𝐺 sSet ⟨𝐼, 𝐸⟩) = ((𝐺 ↾ (V ∖ dom {⟨𝐼, 𝐸⟩})) ∪ {⟨𝐼, 𝐸⟩}))
37	36	difeq1d 4073	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ 𝑉 ∧ Fun (𝐺 ∖ {∅})) → ((𝐺 sSet ⟨𝐼, 𝐸⟩) ∖ {∅}) = (((𝐺 ↾ (V ∖ dom {⟨𝐼, 𝐸⟩})) ∪ {⟨𝐼, 𝐸⟩}) ∖ {∅}))
38	37	funeqd 6511	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ 𝑉 ∧ Fun (𝐺 ∖ {∅})) → (Fun ((𝐺 sSet ⟨𝐼, 𝐸⟩) ∖ {∅}) ↔ Fun (((𝐺 ↾ (V ∖ dom {⟨𝐼, 𝐸⟩})) ∪ {⟨𝐼, 𝐸⟩}) ∖ {∅})))
39	38	adantr 482	. 2 ⊢ (((𝐺 ∈ 𝑉 ∧ Fun (𝐺 ∖ {∅})) ∧ (𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝐸 ∈ 𝑊)) → (Fun ((𝐺 sSet ⟨𝐼, 𝐸⟩) ∖ {∅}) ↔ Fun (((𝐺 ↾ (V ∖ dom {⟨𝐼, 𝐸⟩})) ∪ {⟨𝐼, 𝐸⟩}) ∖ {∅})))
40	32, 39	mpbird 257	1 ⊢ (((𝐺 ∈ 𝑉 ∧ Fun (𝐺 ∖ {∅})) ∧ (𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝐸 ∈ 𝑊)) → Fun ((𝐺 sSet ⟨𝐼, 𝐸⟩) ∖ {∅}))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2941  Vcvv 3442   ∖ cdif 3899   ∪ cun 3900   ∩ cin 3901  ∅c0 4274  {csn 4578  ⟨cop 4584  dom cdm 5625   ↾ cres 5627  Fun wfun 6478  (class class class)co 7342   sSet csts 16962

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2708  ax-sep 5248  ax-nul 5255  ax-pr 5377  ax-un 7655

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rab 3405  df-v 3444  df-sbc 3732  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-nul 4275  df-if 4479  df-sn 4579  df-pr 4581  df-op 4585  df-uni 4858  df-br 5098  df-opab 5160  df-id 5523  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-res 5637  df-iota 6436  df-fun 6486  df-fv 6492  df-ov 7345  df-oprab 7346  df-mpo 7347  df-sets 16963

This theorem is referenced by:  setsn0fun  16972  setsstruct2  16973