Theorem setsfun0 17330

Description: A structure with replacement without the empty set is a function if the original structure without the empty set is a function. This variant of setsfun 17329 is useful for proofs based on isstruct2 17307 which requires Fun (𝐹 ∖ {∅}) for 𝐹 to be an extensible structure. (Contributed by AV, 7-Jun-2021.)

Assertion

Ref	Expression
setsfun0	⊢ (((𝐺 ∈ 𝑉 ∧ Fun (𝐺 ∖ {∅})) ∧ (𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝐸 ∈ 𝑊)) → Fun ((𝐺 sSet ⟨𝐼, 𝐸⟩) ∖ {∅}))

Proof of Theorem setsfun0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		funres 6574	. . . . . 6 ⊢ (Fun (𝐺 ∖ {∅}) → Fun ((𝐺 ∖ {∅}) ↾ (V ∖ dom {⟨𝐼, 𝐸⟩})))
2	1	adantl 487	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ 𝑉 ∧ Fun (𝐺 ∖ {∅})) → Fun ((𝐺 ∖ {∅}) ↾ (V ∖ dom {⟨𝐼, 𝐸⟩})))
3	2	adantr 486	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ 𝑉 ∧ Fun (𝐺 ∖ {∅})) ∧ (𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝐸 ∈ 𝑊)) → Fun ((𝐺 ∖ {∅}) ↾ (V ∖ dom {⟨𝐼, 𝐸⟩})))
4		funsng 6583	. . . . 5 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝐸 ∈ 𝑊) → Fun {⟨𝐼, 𝐸⟩})
5	4	adantl 487	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ 𝑉 ∧ Fun (𝐺 ∖ {∅})) ∧ (𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝐸 ∈ 𝑊)) → Fun {⟨𝐼, 𝐸⟩})
6		dmres 6003	. . . . . . 7 ⊢ dom ((𝐺 ∖ {∅}) ↾ (V ∖ dom {⟨𝐼, 𝐸⟩})) = ((V ∖ dom {⟨𝐼, 𝐸⟩}) ∩ dom (𝐺 ∖ {∅}))
7	6	ineq1i 4162	. . . . . 6 ⊢ (dom ((𝐺 ∖ {∅}) ↾ (V ∖ dom {⟨𝐼, 𝐸⟩})) ∩ dom {⟨𝐼, 𝐸⟩}) = (((V ∖ dom {⟨𝐼, 𝐸⟩}) ∩ dom (𝐺 ∖ {∅})) ∩ dom {⟨𝐼, 𝐸⟩})
8		in32 4175	. . . . . . 7 ⊢ (((V ∖ dom {⟨𝐼, 𝐸⟩}) ∩ dom (𝐺 ∖ {∅})) ∩ dom {⟨𝐼, 𝐸⟩}) = (((V ∖ dom {⟨𝐼, 𝐸⟩}) ∩ dom {⟨𝐼, 𝐸⟩}) ∩ dom (𝐺 ∖ {∅}))
9		disjdifr 4427	. . . . . . . 8 ⊢ ((V ∖ dom {⟨𝐼, 𝐸⟩}) ∩ dom {⟨𝐼, 𝐸⟩}) = ∅
10	9	ineq1i 4162	. . . . . . 7 ⊢ (((V ∖ dom {⟨𝐼, 𝐸⟩}) ∩ dom {⟨𝐼, 𝐸⟩}) ∩ dom (𝐺 ∖ {∅})) = (∅ ∩ dom (𝐺 ∖ {∅}))
11		0in 4347	. . . . . . 7 ⊢ (∅ ∩ dom (𝐺 ∖ {∅})) = ∅
12	8, 10, 11	3eqtri 2788	. . . . . 6 ⊢ (((V ∖ dom {⟨𝐼, 𝐸⟩}) ∩ dom (𝐺 ∖ {∅})) ∩ dom {⟨𝐼, 𝐸⟩}) = ∅
13	7, 12	eqtri 2784	. . . . 5 ⊢ (dom ((𝐺 ∖ {∅}) ↾ (V ∖ dom {⟨𝐼, 𝐸⟩})) ∩ dom {⟨𝐼, 𝐸⟩}) = ∅
14	13	a1i 11	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ 𝑉 ∧ Fun (𝐺 ∖ {∅})) ∧ (𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝐸 ∈ 𝑊)) → (dom ((𝐺 ∖ {∅}) ↾ (V ∖ dom {⟨𝐼, 𝐸⟩})) ∩ dom {⟨𝐼, 𝐸⟩}) = ∅)
15		funun 6578	. . . 4 ⊢ (((Fun ((𝐺 ∖ {∅}) ↾ (V ∖ dom {⟨𝐼, 𝐸⟩})) ∧ Fun {⟨𝐼, 𝐸⟩}) ∧ (dom ((𝐺 ∖ {∅}) ↾ (V ∖ dom {⟨𝐼, 𝐸⟩})) ∩ dom {⟨𝐼, 𝐸⟩}) = ∅) → Fun (((𝐺 ∖ {∅}) ↾ (V ∖ dom {⟨𝐼, 𝐸⟩})) ∪ {⟨𝐼, 𝐸⟩}))
16	3, 5, 14, 15	syl21anc 851	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ 𝑉 ∧ Fun (𝐺 ∖ {∅})) ∧ (𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝐸 ∈ 𝑊)) → Fun (((𝐺 ∖ {∅}) ↾ (V ∖ dom {⟨𝐼, 𝐸⟩})) ∪ {⟨𝐼, 𝐸⟩}))
17		difundir 4237	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ↾ (V ∖ dom {⟨𝐼, 𝐸⟩})) ∪ {⟨𝐼, 𝐸⟩}) ∖ {∅}) = (((𝐺 ↾ (V ∖ dom {⟨𝐼, 𝐸⟩})) ∖ {∅}) ∪ ({⟨𝐼, 𝐸⟩} ∖ {∅}))
18		resdifcom 5989	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ↾ (V ∖ dom {⟨𝐼, 𝐸⟩})) ∖ {∅}) = ((𝐺 ∖ {∅}) ↾ (V ∖ dom {⟨𝐼, 𝐸⟩}))
19	18	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ 𝑉 ∧ Fun (𝐺 ∖ {∅})) ∧ (𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝐸 ∈ 𝑊)) → ((𝐺 ↾ (V ∖ dom {⟨𝐼, 𝐸⟩})) ∖ {∅}) = ((𝐺 ∖ {∅}) ↾ (V ∖ dom {⟨𝐼, 𝐸⟩})))
20		elex 3472	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑈 → 𝐼 ∈ V)
21		elex 3472	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐸 ∈ 𝑊 → 𝐸 ∈ V)
22	20, 21	anim12i 625	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝐸 ∈ 𝑊) → (𝐼 ∈ V ∧ 𝐸 ∈ V))
23		opnz 5442	. . . . . . . . 9 ⊢ (⟨𝐼, 𝐸⟩ ≠ ∅ ↔ (𝐼 ∈ V ∧ 𝐸 ∈ V))
24	22, 23	sylibr 237	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝐸 ∈ 𝑊) → ⟨𝐼, 𝐸⟩ ≠ ∅)
25	24	adantl 487	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐺 ∈ 𝑉 ∧ Fun (𝐺 ∖ {∅})) ∧ (𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝐸 ∈ 𝑊)) → ⟨𝐼, 𝐸⟩ ≠ ∅)
26		disjsn2 4673	. . . . . . 7 ⊢ (⟨𝐼, 𝐸⟩ ≠ ∅ → ({⟨𝐼, 𝐸⟩} ∩ {∅}) = ∅)
27		disjdif2 4436	. . . . . . 7 ⊢ (({⟨𝐼, 𝐸⟩} ∩ {∅}) = ∅ → ({⟨𝐼, 𝐸⟩} ∖ {∅}) = {⟨𝐼, 𝐸⟩})
28	25, 26, 27	3syl 19	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ 𝑉 ∧ Fun (𝐺 ∖ {∅})) ∧ (𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝐸 ∈ 𝑊)) → ({⟨𝐼, 𝐸⟩} ∖ {∅}) = {⟨𝐼, 𝐸⟩})
29	19, 28	uneq12d 4116	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ 𝑉 ∧ Fun (𝐺 ∖ {∅})) ∧ (𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝐸 ∈ 𝑊)) → (((𝐺 ↾ (V ∖ dom {⟨𝐼, 𝐸⟩})) ∖ {∅}) ∪ ({⟨𝐼, 𝐸⟩} ∖ {∅})) = (((𝐺 ∖ {∅}) ↾ (V ∖ dom {⟨𝐼, 𝐸⟩})) ∪ {⟨𝐼, 𝐸⟩}))
30	17, 29	eqtrid 2808	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ 𝑉 ∧ Fun (𝐺 ∖ {∅})) ∧ (𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝐸 ∈ 𝑊)) → (((𝐺 ↾ (V ∖ dom {⟨𝐼, 𝐸⟩})) ∪ {⟨𝐼, 𝐸⟩}) ∖ {∅}) = (((𝐺 ∖ {∅}) ↾ (V ∖ dom {⟨𝐼, 𝐸⟩})) ∪ {⟨𝐼, 𝐸⟩}))
31	30	funeqd 6553	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ 𝑉 ∧ Fun (𝐺 ∖ {∅})) ∧ (𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝐸 ∈ 𝑊)) → (Fun (((𝐺 ↾ (V ∖ dom {⟨𝐼, 𝐸⟩})) ∪ {⟨𝐼, 𝐸⟩}) ∖ {∅}) ↔ Fun (((𝐺 ∖ {∅}) ↾ (V ∖ dom {⟨𝐼, 𝐸⟩})) ∪ {⟨𝐼, 𝐸⟩})))
32	16, 31	mpbird 260	. 2 ⊢ (((𝐺 ∈ 𝑉 ∧ Fun (𝐺 ∖ {∅})) ∧ (𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝐸 ∈ 𝑊)) → Fun (((𝐺 ↾ (V ∖ dom {⟨𝐼, 𝐸⟩})) ∪ {⟨𝐼, 𝐸⟩}) ∖ {∅}))
33		opex 5432	. . . . . . 7 ⊢ ⟨𝐼, 𝐸⟩ ∈ V
34	33	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (Fun (𝐺 ∖ {∅}) → ⟨𝐼, 𝐸⟩ ∈ V)
35		setsvalg 17324	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ 𝑉 ∧ ⟨𝐼, 𝐸⟩ ∈ V) → (𝐺 sSet ⟨𝐼, 𝐸⟩) = ((𝐺 ↾ (V ∖ dom {⟨𝐼, 𝐸⟩})) ∪ {⟨𝐼, 𝐸⟩}))
36	34, 35	sylan2 605	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ 𝑉 ∧ Fun (𝐺 ∖ {∅})) → (𝐺 sSet ⟨𝐼, 𝐸⟩) = ((𝐺 ↾ (V ∖ dom {⟨𝐼, 𝐸⟩})) ∪ {⟨𝐼, 𝐸⟩}))
37	36	difeq1d 4073	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ 𝑉 ∧ Fun (𝐺 ∖ {∅})) → ((𝐺 sSet ⟨𝐼, 𝐸⟩) ∖ {∅}) = (((𝐺 ↾ (V ∖ dom {⟨𝐼, 𝐸⟩})) ∪ {⟨𝐼, 𝐸⟩}) ∖ {∅}))
38	37	funeqd 6553	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ 𝑉 ∧ Fun (𝐺 ∖ {∅})) → (Fun ((𝐺 sSet ⟨𝐼, 𝐸⟩) ∖ {∅}) ↔ Fun (((𝐺 ↾ (V ∖ dom {⟨𝐼, 𝐸⟩})) ∪ {⟨𝐼, 𝐸⟩}) ∖ {∅})))
39	38	adantr 486	. 2 ⊢ (((𝐺 ∈ 𝑉 ∧ Fun (𝐺 ∖ {∅})) ∧ (𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝐸 ∈ 𝑊)) → (Fun ((𝐺 sSet ⟨𝐼, 𝐸⟩) ∖ {∅}) ↔ Fun (((𝐺 ↾ (V ∖ dom {⟨𝐼, 𝐸⟩})) ∪ {⟨𝐼, 𝐸⟩}) ∖ {∅})))
40	32, 39	mpbird 260	1 ⊢ (((𝐺 ∈ 𝑉 ∧ Fun (𝐺 ∖ {∅})) ∧ (𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝐸 ∈ 𝑊)) → Fun ((𝐺 sSet ⟨𝐼, 𝐸⟩) ∖ {∅}))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2956  Vcvv 3451   ∖ cdif 3896   ∪ cun 3897   ∩ cin 3898  ∅c0 4279  {csn 4584  ⟨cop 4590  dom cdm 5651   ↾ cres 5653  Fun wfun 6525  (class class class)co 7412   sSet csts 17321

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-sep 5249  ax-pr 5391  ax-un 7740

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-br 5104  df-opab 5168  df-id 5546  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-res 5663  df-iota 6487  df-fun 6533  df-fv 6539  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-sets 17322

This theorem is used by:  setsn0fun  17331  setsstruct2  17332