Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  strle1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem strle1 16339
 Description: Make a structure from a singleton. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
strle1.i 𝐼 ∈ ℕ
strle1.a 𝐴 = 𝐼
Assertion
Ref Expression
strle1 {⟨𝐴, 𝑋⟩} Struct ⟨𝐼, 𝐼

Proof of Theorem strle1
StepHypRef Expression
1 strle1.i . . 3 𝐼 ∈ ℕ
21nnrei 11367 . . . 4 𝐼 ∈ ℝ
32leidi 10893 . . 3 𝐼𝐼
41, 1, 33pm3.2i 1442 . 2 (𝐼 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ ℕ ∧ 𝐼𝐼)
5 difss 3966 . . . 4 ({⟨𝐴, 𝑋⟩} ∖ {∅}) ⊆ {⟨𝐴, 𝑋⟩}
6 strle1.a . . . . . 6 𝐴 = 𝐼
76, 1eqeltri 2902 . . . . 5 𝐴 ∈ ℕ
8 funsng 6177 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ V) → Fun {⟨𝐴, 𝑋⟩})
97, 8mpan 681 . . . 4 (𝑋 ∈ V → Fun {⟨𝐴, 𝑋⟩})
10 funss 6146 . . . 4 (({⟨𝐴, 𝑋⟩} ∖ {∅}) ⊆ {⟨𝐴, 𝑋⟩} → (Fun {⟨𝐴, 𝑋⟩} → Fun ({⟨𝐴, 𝑋⟩} ∖ {∅})))
115, 9, 10mpsyl 68 . . 3 (𝑋 ∈ V → Fun ({⟨𝐴, 𝑋⟩} ∖ {∅}))
12 fun0 6191 . . . 4 Fun ∅
13 opprc2 4650 . . . . . . . 8 𝑋 ∈ V → ⟨𝐴, 𝑋⟩ = ∅)
1413sneqd 4411 . . . . . . 7 𝑋 ∈ V → {⟨𝐴, 𝑋⟩} = {∅})
1514difeq1d 3956 . . . . . 6 𝑋 ∈ V → ({⟨𝐴, 𝑋⟩} ∖ {∅}) = ({∅} ∖ {∅}))
16 difid 4180 . . . . . 6 ({∅} ∖ {∅}) = ∅
1715, 16syl6eq 2877 . . . . 5 𝑋 ∈ V → ({⟨𝐴, 𝑋⟩} ∖ {∅}) = ∅)
1817funeqd 6149 . . . 4 𝑋 ∈ V → (Fun ({⟨𝐴, 𝑋⟩} ∖ {∅}) ↔ Fun ∅))
1912, 18mpbiri 250 . . 3 𝑋 ∈ V → Fun ({⟨𝐴, 𝑋⟩} ∖ {∅}))
2011, 19pm2.61i 177 . 2 Fun ({⟨𝐴, 𝑋⟩} ∖ {∅})
21 dmsnopss 5852 . . 3 dom {⟨𝐴, 𝑋⟩} ⊆ {𝐴}
226sneqi 4410 . . . 4 {𝐴} = {𝐼}
231nnzi 11736 . . . . 5 𝐼 ∈ ℤ
24 fzsn 12683 . . . . 5 (𝐼 ∈ ℤ → (𝐼...𝐼) = {𝐼})
2523, 24ax-mp 5 . . . 4 (𝐼...𝐼) = {𝐼}
2622, 25eqtr4i 2852 . . 3 {𝐴} = (𝐼...𝐼)
2721, 26sseqtri 3862 . 2 dom {⟨𝐴, 𝑋⟩} ⊆ (𝐼...𝐼)
28 isstruct 16242 . 2 ({⟨𝐴, 𝑋⟩} Struct ⟨𝐼, 𝐼⟩ ↔ ((𝐼 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ ℕ ∧ 𝐼𝐼) ∧ Fun ({⟨𝐴, 𝑋⟩} ∖ {∅}) ∧ dom {⟨𝐴, 𝑋⟩} ⊆ (𝐼...𝐼)))
294, 20, 27, 28mpbir3an 1445 1 {⟨𝐴, 𝑋⟩} Struct ⟨𝐼, 𝐼
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   ∧ w3a 1111   = wceq 1656   ∈ wcel 2164  Vcvv 3414   ∖ cdif 3795   ⊆ wss 3798  ∅c0 4146  {csn 4399  ⟨cop 4405   class class class wbr 4875  dom cdm 5346  Fun wfun 6121  (class class class)co 6910   ≤ cle 10399  ℕcn 11357  ℤcz 11711  ...cfz 12626   Struct cstr 16225 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1894  ax-4 1908  ax-5 2009  ax-6 2075  ax-7 2112  ax-8 2166  ax-9 2173  ax-10 2192  ax-11 2207  ax-12 2220  ax-13 2389  ax-ext 2803  ax-sep 5007  ax-nul 5015  ax-pow 5067  ax-pr 5129  ax-un 7214  ax-cnex 10315  ax-resscn 10316  ax-1cn 10317  ax-icn 10318  ax-addcl 10319  ax-addrcl 10320  ax-mulcl 10321  ax-mulrcl 10322  ax-mulcom 10323  ax-addass 10324  ax-mulass 10325  ax-distr 10326  ax-i2m1 10327  ax-1ne0 10328  ax-1rid 10329  ax-rnegex 10330  ax-rrecex 10331  ax-cnre 10332  ax-pre-lttri 10333  ax-pre-lttrn 10334  ax-pre-ltadd 10335  ax-pre-mulgt0 10336 This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 879  df-3or 1112  df-3an 1113  df-tru 1660  df-ex 1879  df-nf 1883  df-sb 2068  df-mo 2605  df-eu 2640  df-clab 2812  df-cleq 2818  df-clel 2821  df-nfc 2958  df-ne 3000  df-nel 3103  df-ral 3122  df-rex 3123  df-reu 3124  df-rab 3126  df-v 3416  df-sbc 3663  df-csb 3758  df-dif 3801  df-un 3803  df-in 3805  df-ss 3812  df-pss 3814  df-nul 4147  df-if 4309  df-pw 4382  df-sn 4400  df-pr 4402  df-tp 4404  df-op 4406  df-uni 4661  df-int 4700  df-iun 4744  df-br 4876  df-opab 4938  df-mpt 4955  df-tr 4978  df-id 5252  df-eprel 5257  df-po 5265  df-so 5266  df-fr 5305  df-we 5307  df-xp 5352  df-rel 5353  df-cnv 5354  df-co 5355  df-dm 5356  df-rn 5357  df-res 5358  df-ima 5359  df-pred 5924  df-ord 5970  df-on 5971  df-lim 5972  df-suc 5973  df-iota 6090  df-fun 6129  df-fn 6130  df-f 6131  df-f1 6132  df-fo 6133  df-f1o 6134  df-fv 6135  df-riota 6871  df-ov 6913  df-oprab 6914  df-mpt2 6915  df-om 7332  df-1st 7433  df-2nd 7434  df-wrecs 7677  df-recs 7739  df-rdg 7777  df-1o 7831  df-oadd 7835  df-er 8014  df-en 8229  df-dom 8230  df-sdom 8231  df-fin 8232  df-pnf 10400  df-mnf 10401  df-xr 10402  df-ltxr 10403  df-le 10404  df-sub 10594  df-neg 10595  df-nn 11358  df-n0 11626  df-z 11712  df-uz 11976  df-fz 12627  df-struct 16231 This theorem is referenced by:  strle2  16340  strle3  16341  1strstr  16345  srngstr  16374  lmodstr  16383  phlstr  16400  cnfldstr  20115
 Copyright terms: Public domain W3C validator