Theorem strle1 17316

Description: Make a structure from a singleton. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Aug-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
strle1.i	⊢ 𝐼 ∈ ℕ
strle1.a	⊢ 𝐴 = 𝐼

Assertion

Ref	Expression
strle1	⊢ {⟨𝐴, 𝑋⟩} Struct ⟨𝐼, 𝐼⟩

Proof of Theorem strle1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		strle1.i	. . 3 ⊢ 𝐼 ∈ ℕ
2	1	nnrei 12325	. . . 4 ⊢ 𝐼 ∈ ℝ
3	2	leidi 11831	. . 3 ⊢ 𝐼 ≤ 𝐼
4	1, 1, 3	3pm3.2i 1358	. 2 ⊢ (𝐼 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ≤ 𝐼)
5		difss 4083	. . . 4 ⊢ ({⟨𝐴, 𝑋⟩} ∖ {∅}) ⊆ {⟨𝐴, 𝑋⟩}
6		strle1.a	. . . . . 6 ⊢ 𝐴 = 𝐼
7	6, 1	eqeltri 2857	. . . . 5 ⊢ 𝐴 ∈ ℕ
8		funsng 6583	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ V) → Fun {⟨𝐴, 𝑋⟩})
9	7, 8	mpan 703	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∈ V → Fun {⟨𝐴, 𝑋⟩})
10		funss 6550	. . . 4 ⊢ (({⟨𝐴, 𝑋⟩} ∖ {∅}) ⊆ {⟨𝐴, 𝑋⟩} → (Fun {⟨𝐴, 𝑋⟩} → Fun ({⟨𝐴, 𝑋⟩} ∖ {∅})))
11	5, 9, 10	mpsyl 69	. . 3 ⊢ (𝑋 ∈ V → Fun ({⟨𝐴, 𝑋⟩} ∖ {∅}))
12		fun0 6597	. . . 4 ⊢ Fun ∅
13		opprc2 4858	. . . . . . . 8 ⊢ (¬ 𝑋 ∈ V → ⟨𝐴, 𝑋⟩ = ∅)
14	13	sneqd 4596	. . . . . . 7 ⊢ (¬ 𝑋 ∈ V → {⟨𝐴, 𝑋⟩} = {∅})
15	14	difeq1d 4073	. . . . . 6 ⊢ (¬ 𝑋 ∈ V → ({⟨𝐴, 𝑋⟩} ∖ {∅}) = ({∅} ∖ {∅}))
16		difid 4325	. . . . . 6 ⊢ ({∅} ∖ {∅}) = ∅
17	15, 16	eqtrdi 2812	. . . . 5 ⊢ (¬ 𝑋 ∈ V → ({⟨𝐴, 𝑋⟩} ∖ {∅}) = ∅)
18	17	funeqd 6553	. . . 4 ⊢ (¬ 𝑋 ∈ V → (Fun ({⟨𝐴, 𝑋⟩} ∖ {∅}) ↔ Fun ∅))
19	12, 18	mpbiri 261	. . 3 ⊢ (¬ 𝑋 ∈ V → Fun ({⟨𝐴, 𝑋⟩} ∖ {∅}))
20	11, 19	pm2.61i 184	. 2 ⊢ Fun ({⟨𝐴, 𝑋⟩} ∖ {∅})
21		dmsnopss 6208	. . 3 ⊢ dom {⟨𝐴, 𝑋⟩} ⊆ {𝐴}
22	6	sneqi 4595	. . . 4 ⊢ {𝐴} = {𝐼}
23	1	nnzi 12701	. . . . 5 ⊢ 𝐼 ∈ ℤ
24		fzsn 13680	. . . . 5 ⊢ (𝐼 ∈ ℤ → (𝐼...𝐼) = {𝐼})
25	23, 24	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (𝐼...𝐼) = {𝐼}
26	22, 25	eqtr4i 2787	. . 3 ⊢ {𝐴} = (𝐼...𝐼)
27	21, 26	sseqtri 3979	. 2 ⊢ dom {⟨𝐴, 𝑋⟩} ⊆ (𝐼...𝐼)
28		isstruct 17310	. 2 ⊢ ({⟨𝐴, 𝑋⟩} Struct ⟨𝐼, 𝐼⟩ ↔ ((𝐼 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ≤ 𝐼) ∧ Fun ({⟨𝐴, 𝑋⟩} ∖ {∅}) ∧ dom {⟨𝐴, 𝑋⟩} ⊆ (𝐼...𝐼)))
29	4, 20, 27, 28	mpbir3an 1360	1 ⊢ {⟨𝐴, 𝑋⟩} Struct ⟨𝐼, 𝐼⟩

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  Vcvv 3451   ∖ cdif 3896   ⊆ wss 3899  ∅c0 4279  {csn 4584  ⟨cop 4590   class class class wbr 5103  dom cdm 5651  Fun wfun 6525  (class class class)co 7412   ≤ cle 11325  ℕcn 12316  ℤcz 12674  ...cfz 13620   Struct cstr 17304

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7740  ax-cnex 11237  ax-resscn 11238  ax-1cn 11239  ax-icn 11240  ax-addcl 11241  ax-addrcl 11242  ax-mulcl 11243  ax-mulrcl 11244  ax-mulcom 11245  ax-addass 11246  ax-mulass 11247  ax-distr 11248  ax-i2m1 11249  ax-1ne0 11250  ax-1rid 11251  ax-rnegex 11252  ax-rrecex 11253  ax-cnre 11254  ax-pre-lttri 11255  ax-pre-lttrn 11256  ax-pre-ltadd 11257  ax-pre-mulgt0 11258

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6297  df-ord 6358  df-on 6359  df-lim 6360  df-suc 6361  df-iota 6487  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7867  df-1st 7990  df-2nd 7991  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8363  df-rdg 8402  df-1o 8460  df-er 8701  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-fin 8961  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11524  df-neg 11525  df-nn 12317  df-n0 12588  df-z 12675  df-uz 12947  df-fz 13621  df-struct 17305

This theorem is used by:  strle2  17317  strle3  17318  1strstr  17381  srngstr  17460  lmodstr  17476  phlstr  17497  cnfldstr  21660