Theorem strle1 16339

Description: Make a structure from a singleton. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Aug-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
strle1.i	⊢ 𝐼 ∈ ℕ
strle1.a	⊢ 𝐴 = 𝐼

Assertion

Ref	Expression
strle1	⊢ {⟨𝐴, 𝑋⟩} Struct ⟨𝐼, 𝐼⟩

Proof of Theorem strle1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		strle1.i	. . 3 ⊢ 𝐼 ∈ ℕ
2	1	nnrei 11367	. . . 4 ⊢ 𝐼 ∈ ℝ
3	2	leidi 10893	. . 3 ⊢ 𝐼 ≤ 𝐼
4	1, 1, 3	3pm3.2i 1442	. 2 ⊢ (𝐼 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ≤ 𝐼)
5		difss 3966	. . . 4 ⊢ ({⟨𝐴, 𝑋⟩} ∖ {∅}) ⊆ {⟨𝐴, 𝑋⟩}
6		strle1.a	. . . . . 6 ⊢ 𝐴 = 𝐼
7	6, 1	eqeltri 2902	. . . . 5 ⊢ 𝐴 ∈ ℕ
8		funsng 6177	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ V) → Fun {⟨𝐴, 𝑋⟩})
9	7, 8	mpan 681	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∈ V → Fun {⟨𝐴, 𝑋⟩})
10		funss 6146	. . . 4 ⊢ (({⟨𝐴, 𝑋⟩} ∖ {∅}) ⊆ {⟨𝐴, 𝑋⟩} → (Fun {⟨𝐴, 𝑋⟩} → Fun ({⟨𝐴, 𝑋⟩} ∖ {∅})))
11	5, 9, 10	mpsyl 68	. . 3 ⊢ (𝑋 ∈ V → Fun ({⟨𝐴, 𝑋⟩} ∖ {∅}))
12		fun0 6191	. . . 4 ⊢ Fun ∅
13		opprc2 4650	. . . . . . . 8 ⊢ (¬ 𝑋 ∈ V → ⟨𝐴, 𝑋⟩ = ∅)
14	13	sneqd 4411	. . . . . . 7 ⊢ (¬ 𝑋 ∈ V → {⟨𝐴, 𝑋⟩} = {∅})
15	14	difeq1d 3956	. . . . . 6 ⊢ (¬ 𝑋 ∈ V → ({⟨𝐴, 𝑋⟩} ∖ {∅}) = ({∅} ∖ {∅}))
16		difid 4180	. . . . . 6 ⊢ ({∅} ∖ {∅}) = ∅
17	15, 16	syl6eq 2877	. . . . 5 ⊢ (¬ 𝑋 ∈ V → ({⟨𝐴, 𝑋⟩} ∖ {∅}) = ∅)
18	17	funeqd 6149	. . . 4 ⊢ (¬ 𝑋 ∈ V → (Fun ({⟨𝐴, 𝑋⟩} ∖ {∅}) ↔ Fun ∅))
19	12, 18	mpbiri 250	. . 3 ⊢ (¬ 𝑋 ∈ V → Fun ({⟨𝐴, 𝑋⟩} ∖ {∅}))
20	11, 19	pm2.61i 177	. 2 ⊢ Fun ({⟨𝐴, 𝑋⟩} ∖ {∅})
21		dmsnopss 5852	. . 3 ⊢ dom {⟨𝐴, 𝑋⟩} ⊆ {𝐴}
22	6	sneqi 4410	. . . 4 ⊢ {𝐴} = {𝐼}
23	1	nnzi 11736	. . . . 5 ⊢ 𝐼 ∈ ℤ
24		fzsn 12683	. . . . 5 ⊢ (𝐼 ∈ ℤ → (𝐼...𝐼) = {𝐼})
25	23, 24	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (𝐼...𝐼) = {𝐼}
26	22, 25	eqtr4i 2852	. . 3 ⊢ {𝐴} = (𝐼...𝐼)
27	21, 26	sseqtri 3862	. 2 ⊢ dom {⟨𝐴, 𝑋⟩} ⊆ (𝐼...𝐼)
28		isstruct 16242	. 2 ⊢ ({⟨𝐴, 𝑋⟩} Struct ⟨𝐼, 𝐼⟩ ↔ ((𝐼 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ≤ 𝐼) ∧ Fun ({⟨𝐴, 𝑋⟩} ∖ {∅}) ∧ dom {⟨𝐴, 𝑋⟩} ⊆ (𝐼...𝐼)))
29	4, 20, 27, 28	mpbir3an 1445	1 ⊢ {⟨𝐴, 𝑋⟩} Struct ⟨𝐼, 𝐼⟩

Syntax hints:  ¬ wn 3   ∧ w3a 1111   = wceq 1656   ∈ wcel 2164  Vcvv 3414   ∖ cdif 3795   ⊆ wss 3798  ∅c0 4146  {csn 4399  ⟨cop 4405   class class class wbr 4875  dom cdm 5346  Fun wfun 6121  (class class class)co 6910   ≤ cle 10399  ℕcn 11357  ℤcz 11711  ...cfz 12626   Struct cstr 16225

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1894  ax-4 1908  ax-5 2009  ax-6 2075  ax-7 2112  ax-8 2166  ax-9 2173  ax-10 2192  ax-11 2207  ax-12 2220  ax-13 2389  ax-ext 2803  ax-sep 5007  ax-nul 5015  ax-pow 5067  ax-pr 5129  ax-un 7214  ax-cnex 10315  ax-resscn 10316  ax-1cn 10317  ax-icn 10318  ax-addcl 10319  ax-addrcl 10320  ax-mulcl 10321  ax-mulrcl 10322  ax-mulcom 10323  ax-addass 10324  ax-mulass 10325  ax-distr 10326  ax-i2m1 10327  ax-1ne0 10328  ax-1rid 10329  ax-rnegex 10330  ax-rrecex 10331  ax-cnre 10332  ax-pre-lttri 10333  ax-pre-lttrn 10334  ax-pre-ltadd 10335  ax-pre-mulgt0 10336

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 879  df-3or 1112  df-3an 1113  df-tru 1660  df-ex 1879  df-nf 1883  df-sb 2068  df-mo 2605  df-eu 2640  df-clab 2812  df-cleq 2818  df-clel 2821  df-nfc 2958  df-ne 3000  df-nel 3103  df-ral 3122  df-rex 3123  df-reu 3124  df-rab 3126  df-v 3416  df-sbc 3663  df-csb 3758  df-dif 3801  df-un 3803  df-in 3805  df-ss 3812  df-pss 3814  df-nul 4147  df-if 4309  df-pw 4382  df-sn 4400  df-pr 4402  df-tp 4404  df-op 4406  df-uni 4661  df-int 4700  df-iun 4744  df-br 4876  df-opab 4938  df-mpt 4955  df-tr 4978  df-id 5252  df-eprel 5257  df-po 5265  df-so 5266  df-fr 5305  df-we 5307  df-xp 5352  df-rel 5353  df-cnv 5354  df-co 5355  df-dm 5356  df-rn 5357  df-res 5358  df-ima 5359  df-pred 5924  df-ord 5970  df-on 5971  df-lim 5972  df-suc 5973  df-iota 6090  df-fun 6129  df-fn 6130  df-f 6131  df-f1 6132  df-fo 6133  df-f1o 6134  df-fv 6135  df-riota 6871  df-ov 6913  df-oprab 6914  df-mpt2 6915  df-om 7332  df-1st 7433  df-2nd 7434  df-wrecs 7677  df-recs 7739  df-rdg 7777  df-1o 7831  df-oadd 7835  df-er 8014  df-en 8229  df-dom 8230  df-sdom 8231  df-fin 8232  df-pnf 10400  df-mnf 10401  df-xr 10402  df-ltxr 10403  df-le 10404  df-sub 10594  df-neg 10595  df-nn 11358  df-n0 11626  df-z 11712  df-uz 11976  df-fz 12627  df-struct 16231

This theorem is referenced by:  strle2  16340  strle3  16341  1strstr  16345  srngstr  16374  lmodstr  16383  phlstr  16400  cnfldstr  20115