MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  strle1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem strle1 17096
Description: Make a structure from a singleton. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
strle1.i 𝐼 ∈ ℕ
strle1.a 𝐴 = 𝐼
Assertion
Ref Expression
strle1 {⟨𝐴, 𝑋⟩} Struct ⟨𝐼, 𝐼

Proof of Theorem strle1
StepHypRef Expression
1 strle1.i . . 3 𝐼 ∈ ℕ
21nnrei 12220 . . . 4 𝐼 ∈ ℝ
32leidi 11747 . . 3 𝐼𝐼
41, 1, 33pm3.2i 1336 . 2 (𝐼 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ ℕ ∧ 𝐼𝐼)
5 difss 4124 . . . 4 ({⟨𝐴, 𝑋⟩} ∖ {∅}) ⊆ {⟨𝐴, 𝑋⟩}
6 strle1.a . . . . . 6 𝐴 = 𝐼
76, 1eqeltri 2821 . . . . 5 𝐴 ∈ ℕ
8 funsng 6590 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ V) → Fun {⟨𝐴, 𝑋⟩})
97, 8mpan 687 . . . 4 (𝑋 ∈ V → Fun {⟨𝐴, 𝑋⟩})
10 funss 6558 . . . 4 (({⟨𝐴, 𝑋⟩} ∖ {∅}) ⊆ {⟨𝐴, 𝑋⟩} → (Fun {⟨𝐴, 𝑋⟩} → Fun ({⟨𝐴, 𝑋⟩} ∖ {∅})))
115, 9, 10mpsyl 68 . . 3 (𝑋 ∈ V → Fun ({⟨𝐴, 𝑋⟩} ∖ {∅}))
12 fun0 6604 . . . 4 Fun ∅
13 opprc2 4891 . . . . . . . 8 𝑋 ∈ V → ⟨𝐴, 𝑋⟩ = ∅)
1413sneqd 4633 . . . . . . 7 𝑋 ∈ V → {⟨𝐴, 𝑋⟩} = {∅})
1514difeq1d 4114 . . . . . 6 𝑋 ∈ V → ({⟨𝐴, 𝑋⟩} ∖ {∅}) = ({∅} ∖ {∅}))
16 difid 4363 . . . . . 6 ({∅} ∖ {∅}) = ∅
1715, 16eqtrdi 2780 . . . . 5 𝑋 ∈ V → ({⟨𝐴, 𝑋⟩} ∖ {∅}) = ∅)
1817funeqd 6561 . . . 4 𝑋 ∈ V → (Fun ({⟨𝐴, 𝑋⟩} ∖ {∅}) ↔ Fun ∅))
1912, 18mpbiri 258 . . 3 𝑋 ∈ V → Fun ({⟨𝐴, 𝑋⟩} ∖ {∅}))
2011, 19pm2.61i 182 . 2 Fun ({⟨𝐴, 𝑋⟩} ∖ {∅})
21 dmsnopss 6204 . . 3 dom {⟨𝐴, 𝑋⟩} ⊆ {𝐴}
226sneqi 4632 . . . 4 {𝐴} = {𝐼}
231nnzi 12585 . . . . 5 𝐼 ∈ ℤ
24 fzsn 13544 . . . . 5 (𝐼 ∈ ℤ → (𝐼...𝐼) = {𝐼})
2523, 24ax-mp 5 . . . 4 (𝐼...𝐼) = {𝐼}
2622, 25eqtr4i 2755 . . 3 {𝐴} = (𝐼...𝐼)
2721, 26sseqtri 4011 . 2 dom {⟨𝐴, 𝑋⟩} ⊆ (𝐼...𝐼)
28 isstruct 17090 . 2 ({⟨𝐴, 𝑋⟩} Struct ⟨𝐼, 𝐼⟩ ↔ ((𝐼 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ ℕ ∧ 𝐼𝐼) ∧ Fun ({⟨𝐴, 𝑋⟩} ∖ {∅}) ∧ dom {⟨𝐴, 𝑋⟩} ⊆ (𝐼...𝐼)))
294, 20, 27, 28mpbir3an 1338 1 {⟨𝐴, 𝑋⟩} Struct ⟨𝐼, 𝐼
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  w3a 1084   = wceq 1533  wcel 2098  Vcvv 3466  cdif 3938  wss 3941  c0 4315  {csn 4621  cop 4627   class class class wbr 5139  dom cdm 5667  Fun wfun 6528  (class class class)co 7402  cle 11248  cn 12211  cz 12557  ...cfz 13485   Struct cstr 17084
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-sep 5290  ax-nul 5297  ax-pow 5354  ax-pr 5418  ax-un 7719  ax-cnex 11163  ax-resscn 11164  ax-1cn 11165  ax-icn 11166  ax-addcl 11167  ax-addrcl 11168  ax-mulcl 11169  ax-mulrcl 11170  ax-mulcom 11171  ax-addass 11172  ax-mulass 11173  ax-distr 11174  ax-i2m1 11175  ax-1ne0 11176  ax-1rid 11177  ax-rnegex 11178  ax-rrecex 11179  ax-cnre 11180  ax-pre-lttri 11181  ax-pre-lttrn 11182  ax-pre-ltadd 11183  ax-pre-mulgt0 11184
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-pss 3960  df-nul 4316  df-if 4522  df-pw 4597  df-sn 4622  df-pr 4624  df-op 4628  df-uni 4901  df-iun 4990  df-br 5140  df-opab 5202  df-mpt 5223  df-tr 5257  df-id 5565  df-eprel 5571  df-po 5579  df-so 5580  df-fr 5622  df-we 5624  df-xp 5673  df-rel 5674  df-cnv 5675  df-co 5676  df-dm 5677  df-rn 5678  df-res 5679  df-ima 5680  df-pred 6291  df-ord 6358  df-on 6359  df-lim 6360  df-suc 6361  df-iota 6486  df-fun 6536  df-fn 6537  df-f 6538  df-f1 6539  df-fo 6540  df-f1o 6541  df-fv 6542  df-riota 7358  df-ov 7405  df-oprab 7406  df-mpo 7407  df-om 7850  df-1st 7969  df-2nd 7970  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-er 8700  df-en 8937  df-dom 8938  df-sdom 8939  df-fin 8940  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446  df-nn 12212  df-n0 12472  df-z 12558  df-uz 12822  df-fz 13486  df-struct 17085
This theorem is referenced by:  strle2  17097  strle3  17098  1strstr  17164  1strstr1  17165  srngstr  17259  lmodstr  17275  phlstr  17296  cnfldstr  21236  cnfldstrOLD  21251
  Copyright terms: Public domain W3C validator