MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  strle1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem strle1 17130
Description: Make a structure from a singleton. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
strle1.i 𝐼 ∈ ℕ
strle1.a 𝐴 = 𝐼
Assertion
Ref Expression
strle1 {⟨𝐴, 𝑋⟩} Struct ⟨𝐼, 𝐼

Proof of Theorem strle1
StepHypRef Expression
1 strle1.i . . 3 𝐼 ∈ ℕ
21nnrei 12254 . . . 4 𝐼 ∈ ℝ
32leidi 11780 . . 3 𝐼𝐼
41, 1, 33pm3.2i 1336 . 2 (𝐼 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ ℕ ∧ 𝐼𝐼)
5 difss 4128 . . . 4 ({⟨𝐴, 𝑋⟩} ∖ {∅}) ⊆ {⟨𝐴, 𝑋⟩}
6 strle1.a . . . . . 6 𝐴 = 𝐼
76, 1eqeltri 2821 . . . . 5 𝐴 ∈ ℕ
8 funsng 6605 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ V) → Fun {⟨𝐴, 𝑋⟩})
97, 8mpan 688 . . . 4 (𝑋 ∈ V → Fun {⟨𝐴, 𝑋⟩})
10 funss 6573 . . . 4 (({⟨𝐴, 𝑋⟩} ∖ {∅}) ⊆ {⟨𝐴, 𝑋⟩} → (Fun {⟨𝐴, 𝑋⟩} → Fun ({⟨𝐴, 𝑋⟩} ∖ {∅})))
115, 9, 10mpsyl 68 . . 3 (𝑋 ∈ V → Fun ({⟨𝐴, 𝑋⟩} ∖ {∅}))
12 fun0 6619 . . . 4 Fun ∅
13 opprc2 4900 . . . . . . . 8 𝑋 ∈ V → ⟨𝐴, 𝑋⟩ = ∅)
1413sneqd 4642 . . . . . . 7 𝑋 ∈ V → {⟨𝐴, 𝑋⟩} = {∅})
1514difeq1d 4117 . . . . . 6 𝑋 ∈ V → ({⟨𝐴, 𝑋⟩} ∖ {∅}) = ({∅} ∖ {∅}))
16 difid 4372 . . . . . 6 ({∅} ∖ {∅}) = ∅
1715, 16eqtrdi 2781 . . . . 5 𝑋 ∈ V → ({⟨𝐴, 𝑋⟩} ∖ {∅}) = ∅)
1817funeqd 6576 . . . 4 𝑋 ∈ V → (Fun ({⟨𝐴, 𝑋⟩} ∖ {∅}) ↔ Fun ∅))
1912, 18mpbiri 257 . . 3 𝑋 ∈ V → Fun ({⟨𝐴, 𝑋⟩} ∖ {∅}))
2011, 19pm2.61i 182 . 2 Fun ({⟨𝐴, 𝑋⟩} ∖ {∅})
21 dmsnopss 6220 . . 3 dom {⟨𝐴, 𝑋⟩} ⊆ {𝐴}
226sneqi 4641 . . . 4 {𝐴} = {𝐼}
231nnzi 12619 . . . . 5 𝐼 ∈ ℤ
24 fzsn 13578 . . . . 5 (𝐼 ∈ ℤ → (𝐼...𝐼) = {𝐼})
2523, 24ax-mp 5 . . . 4 (𝐼...𝐼) = {𝐼}
2622, 25eqtr4i 2756 . . 3 {𝐴} = (𝐼...𝐼)
2721, 26sseqtri 4013 . 2 dom {⟨𝐴, 𝑋⟩} ⊆ (𝐼...𝐼)
28 isstruct 17124 . 2 ({⟨𝐴, 𝑋⟩} Struct ⟨𝐼, 𝐼⟩ ↔ ((𝐼 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ ℕ ∧ 𝐼𝐼) ∧ Fun ({⟨𝐴, 𝑋⟩} ∖ {∅}) ∧ dom {⟨𝐴, 𝑋⟩} ⊆ (𝐼...𝐼)))
294, 20, 27, 28mpbir3an 1338 1 {⟨𝐴, 𝑋⟩} Struct ⟨𝐼, 𝐼
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  w3a 1084   = wceq 1533  wcel 2098  Vcvv 3461  cdif 3941  wss 3944  c0 4322  {csn 4630  cop 4636   class class class wbr 5149  dom cdm 5678  Fun wfun 6543  (class class class)co 7419  cle 11281  cn 12245  cz 12591  ...cfz 13519   Struct cstr 17118
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7741  ax-cnex 11196  ax-resscn 11197  ax-1cn 11198  ax-icn 11199  ax-addcl 11200  ax-addrcl 11201  ax-mulcl 11202  ax-mulrcl 11203  ax-mulcom 11204  ax-addass 11205  ax-mulass 11206  ax-distr 11207  ax-i2m1 11208  ax-1ne0 11209  ax-1rid 11210  ax-rnegex 11211  ax-rrecex 11212  ax-cnre 11213  ax-pre-lttri 11214  ax-pre-lttrn 11215  ax-pre-ltadd 11216  ax-pre-mulgt0 11217
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2930  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-reu 3364  df-rab 3419  df-v 3463  df-sbc 3774  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3964  df-nul 4323  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4910  df-iun 4999  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6307  df-ord 6374  df-on 6375  df-lim 6376  df-suc 6377  df-iota 6501  df-fun 6551  df-fn 6552  df-f 6553  df-f1 6554  df-fo 6555  df-f1o 6556  df-fv 6557  df-riota 7375  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-om 7872  df-1st 7994  df-2nd 7995  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-1o 8487  df-er 8725  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-fin 8968  df-pnf 11282  df-mnf 11283  df-xr 11284  df-ltxr 11285  df-le 11286  df-sub 11478  df-neg 11479  df-nn 12246  df-n0 12506  df-z 12592  df-uz 12856  df-fz 13520  df-struct 17119
This theorem is referenced by:  strle2  17131  strle3  17132  1strstr  17198  1strstr1  17199  srngstr  17293  lmodstr  17309  phlstr  17330  cnfldstr  21298  cnfldstrOLD  21313
  Copyright terms: Public domain W3C validator