Theorem strle1 17192

Description: Make a structure from a singleton. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Aug-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
strle1.i	⊢ 𝐼 ∈ ℕ
strle1.a	⊢ 𝐴 = 𝐼

Assertion

Ref	Expression
strle1	⊢ {⟨𝐴, 𝑋⟩} Struct ⟨𝐼, 𝐼⟩

Proof of Theorem strle1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		strle1.i	. . 3 ⊢ 𝐼 ∈ ℕ
2	1	nnrei 12273	. . . 4 ⊢ 𝐼 ∈ ℝ
3	2	leidi 11795	. . 3 ⊢ 𝐼 ≤ 𝐼
4	1, 1, 3	3pm3.2i 1338	. 2 ⊢ (𝐼 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ≤ 𝐼)
5		difss 4146	. . . 4 ⊢ ({⟨𝐴, 𝑋⟩} ∖ {∅}) ⊆ {⟨𝐴, 𝑋⟩}
6		strle1.a	. . . . . 6 ⊢ 𝐴 = 𝐼
7	6, 1	eqeltri 2835	. . . . 5 ⊢ 𝐴 ∈ ℕ
8		funsng 6619	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ V) → Fun {⟨𝐴, 𝑋⟩})
9	7, 8	mpan 690	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∈ V → Fun {⟨𝐴, 𝑋⟩})
10		funss 6587	. . . 4 ⊢ (({⟨𝐴, 𝑋⟩} ∖ {∅}) ⊆ {⟨𝐴, 𝑋⟩} → (Fun {⟨𝐴, 𝑋⟩} → Fun ({⟨𝐴, 𝑋⟩} ∖ {∅})))
11	5, 9, 10	mpsyl 68	. . 3 ⊢ (𝑋 ∈ V → Fun ({⟨𝐴, 𝑋⟩} ∖ {∅}))
12		fun0 6633	. . . 4 ⊢ Fun ∅
13		opprc2 4903	. . . . . . . 8 ⊢ (¬ 𝑋 ∈ V → ⟨𝐴, 𝑋⟩ = ∅)
14	13	sneqd 4643	. . . . . . 7 ⊢ (¬ 𝑋 ∈ V → {⟨𝐴, 𝑋⟩} = {∅})
15	14	difeq1d 4135	. . . . . 6 ⊢ (¬ 𝑋 ∈ V → ({⟨𝐴, 𝑋⟩} ∖ {∅}) = ({∅} ∖ {∅}))
16		difid 4382	. . . . . 6 ⊢ ({∅} ∖ {∅}) = ∅
17	15, 16	eqtrdi 2791	. . . . 5 ⊢ (¬ 𝑋 ∈ V → ({⟨𝐴, 𝑋⟩} ∖ {∅}) = ∅)
18	17	funeqd 6590	. . . 4 ⊢ (¬ 𝑋 ∈ V → (Fun ({⟨𝐴, 𝑋⟩} ∖ {∅}) ↔ Fun ∅))
19	12, 18	mpbiri 258	. . 3 ⊢ (¬ 𝑋 ∈ V → Fun ({⟨𝐴, 𝑋⟩} ∖ {∅}))
20	11, 19	pm2.61i 182	. 2 ⊢ Fun ({⟨𝐴, 𝑋⟩} ∖ {∅})
21		dmsnopss 6236	. . 3 ⊢ dom {⟨𝐴, 𝑋⟩} ⊆ {𝐴}
22	6	sneqi 4642	. . . 4 ⊢ {𝐴} = {𝐼}
23	1	nnzi 12639	. . . . 5 ⊢ 𝐼 ∈ ℤ
24		fzsn 13603	. . . . 5 ⊢ (𝐼 ∈ ℤ → (𝐼...𝐼) = {𝐼})
25	23, 24	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (𝐼...𝐼) = {𝐼}
26	22, 25	eqtr4i 2766	. . 3 ⊢ {𝐴} = (𝐼...𝐼)
27	21, 26	sseqtri 4032	. 2 ⊢ dom {⟨𝐴, 𝑋⟩} ⊆ (𝐼...𝐼)
28		isstruct 17186	. 2 ⊢ ({⟨𝐴, 𝑋⟩} Struct ⟨𝐼, 𝐼⟩ ↔ ((𝐼 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ≤ 𝐼) ∧ Fun ({⟨𝐴, 𝑋⟩} ∖ {∅}) ∧ dom {⟨𝐴, 𝑋⟩} ⊆ (𝐼...𝐼)))
29	4, 20, 27, 28	mpbir3an 1340	1 ⊢ {⟨𝐴, 𝑋⟩} Struct ⟨𝐼, 𝐼⟩

Syntax hints:  ¬ wn 3   ∧ w3a 1086   = wceq 1537   ∈ wcel 2106  Vcvv 3478   ∖ cdif 3960   ⊆ wss 3963  ∅c0 4339  {csn 4631  ⟨cop 4637   class class class wbr 5148  dom cdm 5689  Fun wfun 6557  (class class class)co 7431   ≤ cle 11294  ℕcn 12264  ℤcz 12611  ...cfz 13544   Struct cstr 17180

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-nn 12265  df-n0 12525  df-z 12612  df-uz 12877  df-fz 13545  df-struct 17181

This theorem is referenced by:  strle2  17193  strle3  17194  1strstr  17260  1strstr1  17261  srngstr  17355  lmodstr  17371  phlstr  17392  cnfldstr  21384  cnfldstrOLD  21399