Theorem strle1 17071

Description: Make a structure from a singleton. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Aug-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
strle1.i	⊢ 𝐼 ∈ ℕ
strle1.a	⊢ 𝐴 = 𝐼

Assertion

Ref	Expression
strle1	⊢ {⟨𝐴, 𝑋⟩} Struct ⟨𝐼, 𝐼⟩

Proof of Theorem strle1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		strle1.i	. . 3 ⊢ 𝐼 ∈ ℕ
2	1	nnrei 12141	. . . 4 ⊢ 𝐼 ∈ ℝ
3	2	leidi 11658	. . 3 ⊢ 𝐼 ≤ 𝐼
4	1, 1, 3	3pm3.2i 1340	. 2 ⊢ (𝐼 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ≤ 𝐼)
5		difss 4085	. . . 4 ⊢ ({⟨𝐴, 𝑋⟩} ∖ {∅}) ⊆ {⟨𝐴, 𝑋⟩}
6		strle1.a	. . . . . 6 ⊢ 𝐴 = 𝐼
7	6, 1	eqeltri 2829	. . . . 5 ⊢ 𝐴 ∈ ℕ
8		funsng 6537	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ V) → Fun {⟨𝐴, 𝑋⟩})
9	7, 8	mpan 690	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∈ V → Fun {⟨𝐴, 𝑋⟩})
10		funss 6505	. . . 4 ⊢ (({⟨𝐴, 𝑋⟩} ∖ {∅}) ⊆ {⟨𝐴, 𝑋⟩} → (Fun {⟨𝐴, 𝑋⟩} → Fun ({⟨𝐴, 𝑋⟩} ∖ {∅})))
11	5, 9, 10	mpsyl 68	. . 3 ⊢ (𝑋 ∈ V → Fun ({⟨𝐴, 𝑋⟩} ∖ {∅}))
12		fun0 6551	. . . 4 ⊢ Fun ∅
13		opprc2 4849	. . . . . . . 8 ⊢ (¬ 𝑋 ∈ V → ⟨𝐴, 𝑋⟩ = ∅)
14	13	sneqd 4587	. . . . . . 7 ⊢ (¬ 𝑋 ∈ V → {⟨𝐴, 𝑋⟩} = {∅})
15	14	difeq1d 4074	. . . . . 6 ⊢ (¬ 𝑋 ∈ V → ({⟨𝐴, 𝑋⟩} ∖ {∅}) = ({∅} ∖ {∅}))
16		difid 4325	. . . . . 6 ⊢ ({∅} ∖ {∅}) = ∅
17	15, 16	eqtrdi 2784	. . . . 5 ⊢ (¬ 𝑋 ∈ V → ({⟨𝐴, 𝑋⟩} ∖ {∅}) = ∅)
18	17	funeqd 6508	. . . 4 ⊢ (¬ 𝑋 ∈ V → (Fun ({⟨𝐴, 𝑋⟩} ∖ {∅}) ↔ Fun ∅))
19	12, 18	mpbiri 258	. . 3 ⊢ (¬ 𝑋 ∈ V → Fun ({⟨𝐴, 𝑋⟩} ∖ {∅}))
20	11, 19	pm2.61i 182	. 2 ⊢ Fun ({⟨𝐴, 𝑋⟩} ∖ {∅})
21		dmsnopss 6166	. . 3 ⊢ dom {⟨𝐴, 𝑋⟩} ⊆ {𝐴}
22	6	sneqi 4586	. . . 4 ⊢ {𝐴} = {𝐼}
23	1	nnzi 12502	. . . . 5 ⊢ 𝐼 ∈ ℤ
24		fzsn 13468	. . . . 5 ⊢ (𝐼 ∈ ℤ → (𝐼...𝐼) = {𝐼})
25	23, 24	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (𝐼...𝐼) = {𝐼}
26	22, 25	eqtr4i 2759	. . 3 ⊢ {𝐴} = (𝐼...𝐼)
27	21, 26	sseqtri 3979	. 2 ⊢ dom {⟨𝐴, 𝑋⟩} ⊆ (𝐼...𝐼)
28		isstruct 17065	. 2 ⊢ ({⟨𝐴, 𝑋⟩} Struct ⟨𝐼, 𝐼⟩ ↔ ((𝐼 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ≤ 𝐼) ∧ Fun ({⟨𝐴, 𝑋⟩} ∖ {∅}) ∧ dom {⟨𝐴, 𝑋⟩} ⊆ (𝐼...𝐼)))
29	4, 20, 27, 28	mpbir3an 1342	1 ⊢ {⟨𝐴, 𝑋⟩} Struct ⟨𝐼, 𝐼⟩

Syntax hints:  ¬ wn 3   ∧ w3a 1086   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  Vcvv 3437   ∖ cdif 3895   ⊆ wss 3898  ∅c0 4282  {csn 4575  ⟨cop 4581   class class class wbr 5093  dom cdm 5619  Fun wfun 6480  (class class class)co 7352   ≤ cle 11154  ℕcn 12132  ℤcz 12475  ...cfz 13409   Struct cstr 17059

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-sep 5236  ax-nul 5246  ax-pow 5305  ax-pr 5372  ax-un 7674  ax-cnex 11069  ax-resscn 11070  ax-1cn 11071  ax-icn 11072  ax-addcl 11073  ax-addrcl 11074  ax-mulcl 11075  ax-mulrcl 11076  ax-mulcom 11077  ax-addass 11078  ax-mulass 11079  ax-distr 11080  ax-i2m1 11081  ax-1ne0 11082  ax-1rid 11083  ax-rnegex 11084  ax-rrecex 11085  ax-cnre 11086  ax-pre-lttri 11087  ax-pre-lttrn 11088  ax-pre-ltadd 11089  ax-pre-mulgt0 11090

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2882  df-ne 2930  df-nel 3034  df-ral 3049  df-rex 3058  df-reu 3348  df-rab 3397  df-v 3439  df-sbc 3738  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3918  df-nul 4283  df-if 4475  df-pw 4551  df-sn 4576  df-pr 4578  df-op 4582  df-uni 4859  df-iun 4943  df-br 5094  df-opab 5156  df-mpt 5175  df-tr 5201  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6253  df-ord 6314  df-on 6315  df-lim 6316  df-suc 6317  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-riota 7309  df-ov 7355  df-oprab 7356  df-mpo 7357  df-om 7803  df-1st 7927  df-2nd 7928  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8297  df-rdg 8335  df-1o 8391  df-er 8628  df-en 8876  df-dom 8877  df-sdom 8878  df-fin 8879  df-pnf 11155  df-mnf 11156  df-xr 11157  df-ltxr 11158  df-le 11159  df-sub 11353  df-neg 11354  df-nn 12133  df-n0 12389  df-z 12476  df-uz 12739  df-fz 13410  df-struct 17060

This theorem is referenced by:  strle2  17072  strle3  17073  1strstr  17136  srngstr  17215  lmodstr  17231  phlstr  17252  cnfldstr  21295  cnfldstrOLD  21310