Theorem strle1 17256

Description: Make a structure from a singleton. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Aug-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
strle1.i	⊢ 𝐼 ∈ ℕ
strle1.a	⊢ 𝐴 = 𝐼

Assertion

Ref	Expression
strle1	⊢ {⟨𝐴, 𝑋⟩} Struct ⟨𝐼, 𝐼⟩

Proof of Theorem strle1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		strle1.i	. . 3 ⊢ 𝐼 ∈ ℕ
2	1	nnrei 12270	. . . 4 ⊢ 𝐼 ∈ ℝ
3	2	leidi 11776	. . 3 ⊢ 𝐼 ≤ 𝐼
4	1, 1, 3	3pm3.2i 1358	. 2 ⊢ (𝐼 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ≤ 𝐼)
5		difss 4086	. . . 4 ⊢ ({⟨𝐴, 𝑋⟩} ∖ {∅}) ⊆ {⟨𝐴, 𝑋⟩}
6		strle1.a	. . . . . 6 ⊢ 𝐴 = 𝐼
7	6, 1	eqeltri 2858	. . . . 5 ⊢ 𝐴 ∈ ℕ
8		funsng 6588	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ V) → Fun {⟨𝐴, 𝑋⟩})
9	7, 8	mpan 703	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∈ V → Fun {⟨𝐴, 𝑋⟩})
10		funss 6556	. . . 4 ⊢ (({⟨𝐴, 𝑋⟩} ∖ {∅}) ⊆ {⟨𝐴, 𝑋⟩} → (Fun {⟨𝐴, 𝑋⟩} → Fun ({⟨𝐴, 𝑋⟩} ∖ {∅})))
11	5, 9, 10	mpsyl 69	. . 3 ⊢ (𝑋 ∈ V → Fun ({⟨𝐴, 𝑋⟩} ∖ {∅}))
12		fun0 6602	. . . 4 ⊢ Fun ∅
13		opprc2 4861	. . . . . . . 8 ⊢ (¬ 𝑋 ∈ V → ⟨𝐴, 𝑋⟩ = ∅)
14	13	sneqd 4599	. . . . . . 7 ⊢ (¬ 𝑋 ∈ V → {⟨𝐴, 𝑋⟩} = {∅})
15	14	difeq1d 4076	. . . . . 6 ⊢ (¬ 𝑋 ∈ V → ({⟨𝐴, 𝑋⟩} ∖ {∅}) = ({∅} ∖ {∅}))
16		difid 4328	. . . . . 6 ⊢ ({∅} ∖ {∅}) = ∅
17	15, 16	eqtrdi 2813	. . . . 5 ⊢ (¬ 𝑋 ∈ V → ({⟨𝐴, 𝑋⟩} ∖ {∅}) = ∅)
18	17	funeqd 6559	. . . 4 ⊢ (¬ 𝑋 ∈ V → (Fun ({⟨𝐴, 𝑋⟩} ∖ {∅}) ↔ Fun ∅))
19	12, 18	mpbiri 261	. . 3 ⊢ (¬ 𝑋 ∈ V → Fun ({⟨𝐴, 𝑋⟩} ∖ {∅}))
20	11, 19	pm2.61i 184	. 2 ⊢ Fun ({⟨𝐴, 𝑋⟩} ∖ {∅})
21		dmsnopss 6214	. . 3 ⊢ dom {⟨𝐴, 𝑋⟩} ⊆ {𝐴}
22	6	sneqi 4598	. . . 4 ⊢ {𝐴} = {𝐼}
23	1	nnzi 12646	. . . . 5 ⊢ 𝐼 ∈ ℤ
24		fzsn 13625	. . . . 5 ⊢ (𝐼 ∈ ℤ → (𝐼...𝐼) = {𝐼})
25	23, 24	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (𝐼...𝐼) = {𝐼}
26	22, 25	eqtr4i 2788	. . 3 ⊢ {𝐴} = (𝐼...𝐼)
27	21, 26	sseqtri 3982	. 2 ⊢ dom {⟨𝐴, 𝑋⟩} ⊆ (𝐼...𝐼)
28		isstruct 17250	. 2 ⊢ ({⟨𝐴, 𝑋⟩} Struct ⟨𝐼, 𝐼⟩ ↔ ((𝐼 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ≤ 𝐼) ∧ Fun ({⟨𝐴, 𝑋⟩} ∖ {∅}) ∧ dom {⟨𝐴, 𝑋⟩} ⊆ (𝐼...𝐼)))
29	4, 20, 27, 28	mpbir3an 1360	1 ⊢ {⟨𝐴, 𝑋⟩} Struct ⟨𝐼, 𝐼⟩

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  Vcvv 3453   ∖ cdif 3899   ⊆ wss 3902  ∅c0 4282  {csn 4587  ⟨cop 4593   class class class wbr 5107  dom cdm 5659  Fun wfun 6531  (class class class)co 7417   ≤ cle 11272  ℕcn 12261  ℤcz 12619  ...cfz 13565   Struct cstr 17244

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7740  ax-cnex 11184  ax-resscn 11185  ax-1cn 11186  ax-icn 11187  ax-addcl 11188  ax-addrcl 11189  ax-mulcl 11190  ax-mulrcl 11191  ax-mulcom 11192  ax-addass 11193  ax-mulass 11194  ax-distr 11195  ax-i2m1 11196  ax-1ne0 11197  ax-1rid 11198  ax-rnegex 11199  ax-rrecex 11200  ax-cnre 11201  ax-pre-lttri 11202  ax-pre-lttrn 11203  ax-pre-ltadd 11204  ax-pre-mulgt0 11205

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7374  df-ov 7420  df-oprab 7421  df-mpo 7422  df-om 7867  df-1st 7990  df-2nd 7991  df-frecs 8284  df-wrecs 8315  df-recs 8364  df-rdg 8403  df-1o 8459  df-er 8700  df-en 8957  df-dom 8958  df-sdom 8959  df-fin 8960  df-pnf 11273  df-mnf 11274  df-xr 11275  df-ltxr 11276  df-le 11277  df-sub 11471  df-neg 11472  df-nn 12262  df-n0 12533  df-z 12620  df-uz 12892  df-fz 13566  df-struct 17245

This theorem is used by:  strle2  17257  strle3  17258  1strstr  17321  srngstr  17400  lmodstr  17416  phlstr  17437  cnfldstr  21593