MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  strle1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem strle1 16887
Description: Make a structure from a singleton. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
strle1.i 𝐼 ∈ ℕ
strle1.a 𝐴 = 𝐼
Assertion
Ref Expression
strle1 {⟨𝐴, 𝑋⟩} Struct ⟨𝐼, 𝐼

Proof of Theorem strle1
StepHypRef Expression
1 strle1.i . . 3 𝐼 ∈ ℕ
21nnrei 12010 . . . 4 𝐼 ∈ ℝ
32leidi 11537 . . 3 𝐼𝐼
41, 1, 33pm3.2i 1337 . 2 (𝐼 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ ℕ ∧ 𝐼𝐼)
5 difss 4069 . . . 4 ({⟨𝐴, 𝑋⟩} ∖ {∅}) ⊆ {⟨𝐴, 𝑋⟩}
6 strle1.a . . . . . 6 𝐴 = 𝐼
76, 1eqeltri 2830 . . . . 5 𝐴 ∈ ℕ
8 funsng 6502 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ V) → Fun {⟨𝐴, 𝑋⟩})
97, 8mpan 686 . . . 4 (𝑋 ∈ V → Fun {⟨𝐴, 𝑋⟩})
10 funss 6470 . . . 4 (({⟨𝐴, 𝑋⟩} ∖ {∅}) ⊆ {⟨𝐴, 𝑋⟩} → (Fun {⟨𝐴, 𝑋⟩} → Fun ({⟨𝐴, 𝑋⟩} ∖ {∅})))
115, 9, 10mpsyl 68 . . 3 (𝑋 ∈ V → Fun ({⟨𝐴, 𝑋⟩} ∖ {∅}))
12 fun0 6516 . . . 4 Fun ∅
13 opprc2 4831 . . . . . . . 8 𝑋 ∈ V → ⟨𝐴, 𝑋⟩ = ∅)
1413sneqd 4576 . . . . . . 7 𝑋 ∈ V → {⟨𝐴, 𝑋⟩} = {∅})
1514difeq1d 4059 . . . . . 6 𝑋 ∈ V → ({⟨𝐴, 𝑋⟩} ∖ {∅}) = ({∅} ∖ {∅}))
16 difid 4307 . . . . . 6 ({∅} ∖ {∅}) = ∅
1715, 16eqtrdi 2789 . . . . 5 𝑋 ∈ V → ({⟨𝐴, 𝑋⟩} ∖ {∅}) = ∅)
1817funeqd 6473 . . . 4 𝑋 ∈ V → (Fun ({⟨𝐴, 𝑋⟩} ∖ {∅}) ↔ Fun ∅))
1912, 18mpbiri 257 . . 3 𝑋 ∈ V → Fun ({⟨𝐴, 𝑋⟩} ∖ {∅}))
2011, 19pm2.61i 182 . 2 Fun ({⟨𝐴, 𝑋⟩} ∖ {∅})
21 dmsnopss 6121 . . 3 dom {⟨𝐴, 𝑋⟩} ⊆ {𝐴}
226sneqi 4575 . . . 4 {𝐴} = {𝐼}
231nnzi 12372 . . . . 5 𝐼 ∈ ℤ
24 fzsn 13326 . . . . 5 (𝐼 ∈ ℤ → (𝐼...𝐼) = {𝐼})
2523, 24ax-mp 5 . . . 4 (𝐼...𝐼) = {𝐼}
2622, 25eqtr4i 2764 . . 3 {𝐴} = (𝐼...𝐼)
2721, 26sseqtri 3959 . 2 dom {⟨𝐴, 𝑋⟩} ⊆ (𝐼...𝐼)
28 isstruct 16881 . 2 ({⟨𝐴, 𝑋⟩} Struct ⟨𝐼, 𝐼⟩ ↔ ((𝐼 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ ℕ ∧ 𝐼𝐼) ∧ Fun ({⟨𝐴, 𝑋⟩} ∖ {∅}) ∧ dom {⟨𝐴, 𝑋⟩} ⊆ (𝐼...𝐼)))
294, 20, 27, 28mpbir3an 1339 1 {⟨𝐴, 𝑋⟩} Struct ⟨𝐼, 𝐼
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  w3a 1085   = wceq 1537  wcel 2101  Vcvv 3434  cdif 3886  wss 3889  c0 4259  {csn 4564  cop 4570   class class class wbr 5077  dom cdm 5591  Fun wfun 6441  (class class class)co 7295  cle 11038  cn 12001  cz 12347  ...cfz 13267   Struct cstr 16875
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2103  ax-9 2111  ax-10 2132  ax-11 2149  ax-12 2166  ax-ext 2704  ax-sep 5226  ax-nul 5233  ax-pow 5291  ax-pr 5355  ax-un 7608  ax-cnex 10955  ax-resscn 10956  ax-1cn 10957  ax-icn 10958  ax-addcl 10959  ax-addrcl 10960  ax-mulcl 10961  ax-mulrcl 10962  ax-mulcom 10963  ax-addass 10964  ax-mulass 10965  ax-distr 10966  ax-i2m1 10967  ax-1ne0 10968  ax-1rid 10969  ax-rnegex 10970  ax-rrecex 10971  ax-cnre 10972  ax-pre-lttri 10973  ax-pre-lttrn 10974  ax-pre-ltadd 10975  ax-pre-mulgt0 10976
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2063  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2884  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3223  df-rab 3224  df-v 3436  df-sbc 3719  df-csb 3835  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-pss 3908  df-nul 4260  df-if 4463  df-pw 4538  df-sn 4565  df-pr 4567  df-op 4571  df-uni 4842  df-iun 4929  df-br 5078  df-opab 5140  df-mpt 5161  df-tr 5195  df-id 5491  df-eprel 5497  df-po 5505  df-so 5506  df-fr 5546  df-we 5548  df-xp 5597  df-rel 5598  df-cnv 5599  df-co 5600  df-dm 5601  df-rn 5602  df-res 5603  df-ima 5604  df-pred 6206  df-ord 6273  df-on 6274  df-lim 6275  df-suc 6276  df-iota 6399  df-fun 6449  df-fn 6450  df-f 6451  df-f1 6452  df-fo 6453  df-f1o 6454  df-fv 6455  df-riota 7252  df-ov 7298  df-oprab 7299  df-mpo 7300  df-om 7733  df-1st 7851  df-2nd 7852  df-frecs 8117  df-wrecs 8148  df-recs 8222  df-rdg 8261  df-1o 8317  df-er 8518  df-en 8754  df-dom 8755  df-sdom 8756  df-fin 8757  df-pnf 11039  df-mnf 11040  df-xr 11041  df-ltxr 11042  df-le 11043  df-sub 11235  df-neg 11236  df-nn 12002  df-n0 12262  df-z 12348  df-uz 12611  df-fz 13268  df-struct 16876
This theorem is referenced by:  strle2  16888  strle3  16889  1strstr  16955  1strstr1  16956  srngstr  17047  lmodstr  17063  phlstr  17084  cnfldstr  20627
  Copyright terms: Public domain W3C validator