Theorem fvconst 7102

Description: The value of a constant function. (Contributed by NM, 30-May-1999.)

Assertion

Ref	Expression
fvconst	⊢ ((𝐹:𝐴⟶{𝐵} ∧ 𝐶 ∈ 𝐴) → (𝐹‘𝐶) = 𝐵)

Proof of Theorem fvconst

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ffvelcdm 7019	. 2 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶{𝐵} ∧ 𝐶 ∈ 𝐴) → (𝐹‘𝐶) ∈ {𝐵})
2		elsni 4596	. 2 ⊢ ((𝐹‘𝐶) ∈ {𝐵} → (𝐹‘𝐶) = 𝐵)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶{𝐵} ∧ 𝐶 ∈ 𝐴) → (𝐹‘𝐶) = 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  {csn 4579  ⟶wf 6482  ‘cfv 6486

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pr 5374

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rab 3397  df-v 3440  df-dif 3908  df-un 3910  df-ss 3922  df-nul 4287  df-if 4479  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4862  df-br 5096  df-opab 5158  df-id 5518  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-rn 5634  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-fv 6494

This theorem is referenced by:  fvconst2g  7142  fconst2g  7143  f1cdmsn  7223  nf1const  7245  zrtermorngc  20546  zrtermoringc  20578  ipasslem9  30800  resf1o  32686  elrgspnlem1  33192  ccatmulgnn0dir  34509  prv1n  35403  sticksstones11  42129