Users' Mathboxes Mathbox for Mario Carneiro < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  prv1n Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem prv1n 34065
Description: No wff encoded as a Godel-set of membership is true in a model with only one element. (Contributed by AV, 19-Nov-2023.)
Assertion
Ref Expression
prv1n ((𝐼 ∈ Ο‰ ∧ 𝐽 ∈ Ο‰ ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) β†’ Β¬ {𝑋}⊧(πΌβˆˆπ‘”π½))

Proof of Theorem prv1n
Dummy variable π‘Ž is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2737 . . . . . 6 (Ο‰ Γ— {𝑋}) = (Ο‰ Γ— {𝑋})
2 omex 9586 . . . . . . . 8 Ο‰ ∈ V
3 snex 5393 . . . . . . . 8 {𝑋} ∈ V
42, 3xpex 7692 . . . . . . 7 (Ο‰ Γ— {𝑋}) ∈ V
5 eqeq1 2741 . . . . . . 7 (π‘Ž = (Ο‰ Γ— {𝑋}) β†’ (π‘Ž = (Ο‰ Γ— {𝑋}) ↔ (Ο‰ Γ— {𝑋}) = (Ο‰ Γ— {𝑋})))
64, 5spcev 3568 . . . . . 6 ((Ο‰ Γ— {𝑋}) = (Ο‰ Γ— {𝑋}) β†’ βˆƒπ‘Ž π‘Ž = (Ο‰ Γ— {𝑋}))
71, 6mp1i 13 . . . . 5 ((𝐼 ∈ Ο‰ ∧ 𝐽 ∈ Ο‰ ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) β†’ βˆƒπ‘Ž π‘Ž = (Ο‰ Γ— {𝑋}))
83, 2pm3.2i 472 . . . . . . . 8 ({𝑋} ∈ V ∧ Ο‰ ∈ V)
9 elmapg 8785 . . . . . . . 8 (({𝑋} ∈ V ∧ Ο‰ ∈ V) β†’ (π‘Ž ∈ ({𝑋} ↑m Ο‰) ↔ π‘Ž:Ο‰βŸΆ{𝑋}))
108, 9mp1i 13 . . . . . . 7 ((𝐼 ∈ Ο‰ ∧ 𝐽 ∈ Ο‰ ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) β†’ (π‘Ž ∈ ({𝑋} ↑m Ο‰) ↔ π‘Ž:Ο‰βŸΆ{𝑋}))
11 fconst2g 7157 . . . . . . . 8 (𝑋 ∈ 𝑉 β†’ (π‘Ž:Ο‰βŸΆ{𝑋} ↔ π‘Ž = (Ο‰ Γ— {𝑋})))
12113ad2ant3 1136 . . . . . . 7 ((𝐼 ∈ Ο‰ ∧ 𝐽 ∈ Ο‰ ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) β†’ (π‘Ž:Ο‰βŸΆ{𝑋} ↔ π‘Ž = (Ο‰ Γ— {𝑋})))
1310, 12bitrd 279 . . . . . 6 ((𝐼 ∈ Ο‰ ∧ 𝐽 ∈ Ο‰ ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) β†’ (π‘Ž ∈ ({𝑋} ↑m Ο‰) ↔ π‘Ž = (Ο‰ Γ— {𝑋})))
1413exbidv 1925 . . . . 5 ((𝐼 ∈ Ο‰ ∧ 𝐽 ∈ Ο‰ ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) β†’ (βˆƒπ‘Ž π‘Ž ∈ ({𝑋} ↑m Ο‰) ↔ βˆƒπ‘Ž π‘Ž = (Ο‰ Γ— {𝑋})))
157, 14mpbird 257 . . . 4 ((𝐼 ∈ Ο‰ ∧ 𝐽 ∈ Ο‰ ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) β†’ βˆƒπ‘Ž π‘Ž ∈ ({𝑋} ↑m Ο‰))
16 neq0 4310 . . . 4 (Β¬ ({𝑋} ↑m Ο‰) = βˆ… ↔ βˆƒπ‘Ž π‘Ž ∈ ({𝑋} ↑m Ο‰))
1715, 16sylibr 233 . . 3 ((𝐼 ∈ Ο‰ ∧ 𝐽 ∈ Ο‰ ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) β†’ Β¬ ({𝑋} ↑m Ο‰) = βˆ…)
18 eqcom 2744 . . 3 (({𝑋} ↑m Ο‰) = βˆ… ↔ βˆ… = ({𝑋} ↑m Ο‰))
1917, 18sylnib 328 . 2 ((𝐼 ∈ Ο‰ ∧ 𝐽 ∈ Ο‰ ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) β†’ Β¬ βˆ… = ({𝑋} ↑m Ο‰))
20 ovex 7395 . . . . 5 (πΌβˆˆπ‘”π½) ∈ V
213, 20pm3.2i 472 . . . 4 ({𝑋} ∈ V ∧ (πΌβˆˆπ‘”π½) ∈ V)
22 prv 34062 . . . 4 (({𝑋} ∈ V ∧ (πΌβˆˆπ‘”π½) ∈ V) β†’ ({𝑋}⊧(πΌβˆˆπ‘”π½) ↔ ({𝑋} Sat∈ (πΌβˆˆπ‘”π½)) = ({𝑋} ↑m Ο‰)))
2321, 22mp1i 13 . . 3 ((𝐼 ∈ Ο‰ ∧ 𝐽 ∈ Ο‰ ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) β†’ ({𝑋}⊧(πΌβˆˆπ‘”π½) ↔ ({𝑋} Sat∈ (πΌβˆˆπ‘”π½)) = ({𝑋} ↑m Ο‰)))
24 goel 33981 . . . . . . . . 9 ((𝐼 ∈ Ο‰ ∧ 𝐽 ∈ Ο‰) β†’ (πΌβˆˆπ‘”π½) = βŸ¨βˆ…, ⟨𝐼, 𝐽⟩⟩)
25 0ex 5269 . . . . . . . . . . . 12 βˆ… ∈ V
2625snid 4627 . . . . . . . . . . 11 βˆ… ∈ {βˆ…}
2726a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((𝐼 ∈ Ο‰ ∧ 𝐽 ∈ Ο‰) β†’ βˆ… ∈ {βˆ…})
28 opelxpi 5675 . . . . . . . . . 10 ((𝐼 ∈ Ο‰ ∧ 𝐽 ∈ Ο‰) β†’ ⟨𝐼, 𝐽⟩ ∈ (Ο‰ Γ— Ο‰))
2927, 28opelxpd 5676 . . . . . . . . 9 ((𝐼 ∈ Ο‰ ∧ 𝐽 ∈ Ο‰) β†’ βŸ¨βˆ…, ⟨𝐼, 𝐽⟩⟩ ∈ ({βˆ…} Γ— (Ο‰ Γ— Ο‰)))
3024, 29eqeltrd 2838 . . . . . . . 8 ((𝐼 ∈ Ο‰ ∧ 𝐽 ∈ Ο‰) β†’ (πΌβˆˆπ‘”π½) ∈ ({βˆ…} Γ— (Ο‰ Γ— Ο‰)))
31 fmla0xp 34017 . . . . . . . 8 (Fmlaβ€˜βˆ…) = ({βˆ…} Γ— (Ο‰ Γ— Ο‰))
3230, 31eleqtrrdi 2849 . . . . . . 7 ((𝐼 ∈ Ο‰ ∧ 𝐽 ∈ Ο‰) β†’ (πΌβˆˆπ‘”π½) ∈ (Fmlaβ€˜βˆ…))
33323adant3 1133 . . . . . 6 ((𝐼 ∈ Ο‰ ∧ 𝐽 ∈ Ο‰ ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) β†’ (πΌβˆˆπ‘”π½) ∈ (Fmlaβ€˜βˆ…))
34 satefvfmla0 34052 . . . . . 6 (({𝑋} ∈ V ∧ (πΌβˆˆπ‘”π½) ∈ (Fmlaβ€˜βˆ…)) β†’ ({𝑋} Sat∈ (πΌβˆˆπ‘”π½)) = {π‘Ž ∈ ({𝑋} ↑m Ο‰) ∣ (π‘Žβ€˜(1st β€˜(2nd β€˜(πΌβˆˆπ‘”π½)))) ∈ (π‘Žβ€˜(2nd β€˜(2nd β€˜(πΌβˆˆπ‘”π½))))})
353, 33, 34sylancr 588 . . . . 5 ((𝐼 ∈ Ο‰ ∧ 𝐽 ∈ Ο‰ ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) β†’ ({𝑋} Sat∈ (πΌβˆˆπ‘”π½)) = {π‘Ž ∈ ({𝑋} ↑m Ο‰) ∣ (π‘Žβ€˜(1st β€˜(2nd β€˜(πΌβˆˆπ‘”π½)))) ∈ (π‘Žβ€˜(2nd β€˜(2nd β€˜(πΌβˆˆπ‘”π½))))})
3624fveq2d 6851 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐼 ∈ Ο‰ ∧ 𝐽 ∈ Ο‰) β†’ (2nd β€˜(πΌβˆˆπ‘”π½)) = (2nd β€˜βŸ¨βˆ…, ⟨𝐼, 𝐽⟩⟩))
37 opex 5426 . . . . . . . . . . . . . 14 ⟨𝐼, 𝐽⟩ ∈ V
3825, 37op2nd 7935 . . . . . . . . . . . . 13 (2nd β€˜βŸ¨βˆ…, ⟨𝐼, 𝐽⟩⟩) = ⟨𝐼, 𝐽⟩
3936, 38eqtrdi 2793 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐼 ∈ Ο‰ ∧ 𝐽 ∈ Ο‰) β†’ (2nd β€˜(πΌβˆˆπ‘”π½)) = ⟨𝐼, 𝐽⟩)
4039fveq2d 6851 . . . . . . . . . . 11 ((𝐼 ∈ Ο‰ ∧ 𝐽 ∈ Ο‰) β†’ (1st β€˜(2nd β€˜(πΌβˆˆπ‘”π½))) = (1st β€˜βŸ¨πΌ, 𝐽⟩))
41 op1stg 7938 . . . . . . . . . . 11 ((𝐼 ∈ Ο‰ ∧ 𝐽 ∈ Ο‰) β†’ (1st β€˜βŸ¨πΌ, 𝐽⟩) = 𝐼)
4240, 41eqtrd 2777 . . . . . . . . . 10 ((𝐼 ∈ Ο‰ ∧ 𝐽 ∈ Ο‰) β†’ (1st β€˜(2nd β€˜(πΌβˆˆπ‘”π½))) = 𝐼)
4342fveq2d 6851 . . . . . . . . 9 ((𝐼 ∈ Ο‰ ∧ 𝐽 ∈ Ο‰) β†’ (π‘Žβ€˜(1st β€˜(2nd β€˜(πΌβˆˆπ‘”π½)))) = (π‘Žβ€˜πΌ))
4439fveq2d 6851 . . . . . . . . . . 11 ((𝐼 ∈ Ο‰ ∧ 𝐽 ∈ Ο‰) β†’ (2nd β€˜(2nd β€˜(πΌβˆˆπ‘”π½))) = (2nd β€˜βŸ¨πΌ, 𝐽⟩))
45 op2ndg 7939 . . . . . . . . . . 11 ((𝐼 ∈ Ο‰ ∧ 𝐽 ∈ Ο‰) β†’ (2nd β€˜βŸ¨πΌ, 𝐽⟩) = 𝐽)
4644, 45eqtrd 2777 . . . . . . . . . 10 ((𝐼 ∈ Ο‰ ∧ 𝐽 ∈ Ο‰) β†’ (2nd β€˜(2nd β€˜(πΌβˆˆπ‘”π½))) = 𝐽)
4746fveq2d 6851 . . . . . . . . 9 ((𝐼 ∈ Ο‰ ∧ 𝐽 ∈ Ο‰) β†’ (π‘Žβ€˜(2nd β€˜(2nd β€˜(πΌβˆˆπ‘”π½)))) = (π‘Žβ€˜π½))
4843, 47eleq12d 2832 . . . . . . . 8 ((𝐼 ∈ Ο‰ ∧ 𝐽 ∈ Ο‰) β†’ ((π‘Žβ€˜(1st β€˜(2nd β€˜(πΌβˆˆπ‘”π½)))) ∈ (π‘Žβ€˜(2nd β€˜(2nd β€˜(πΌβˆˆπ‘”π½)))) ↔ (π‘Žβ€˜πΌ) ∈ (π‘Žβ€˜π½)))
4948rabbidv 3418 . . . . . . 7 ((𝐼 ∈ Ο‰ ∧ 𝐽 ∈ Ο‰) β†’ {π‘Ž ∈ ({𝑋} ↑m Ο‰) ∣ (π‘Žβ€˜(1st β€˜(2nd β€˜(πΌβˆˆπ‘”π½)))) ∈ (π‘Žβ€˜(2nd β€˜(2nd β€˜(πΌβˆˆπ‘”π½))))} = {π‘Ž ∈ ({𝑋} ↑m Ο‰) ∣ (π‘Žβ€˜πΌ) ∈ (π‘Žβ€˜π½)})
50493adant3 1133 . . . . . 6 ((𝐼 ∈ Ο‰ ∧ 𝐽 ∈ Ο‰ ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) β†’ {π‘Ž ∈ ({𝑋} ↑m Ο‰) ∣ (π‘Žβ€˜(1st β€˜(2nd β€˜(πΌβˆˆπ‘”π½)))) ∈ (π‘Žβ€˜(2nd β€˜(2nd β€˜(πΌβˆˆπ‘”π½))))} = {π‘Ž ∈ ({𝑋} ↑m Ο‰) ∣ (π‘Žβ€˜πΌ) ∈ (π‘Žβ€˜π½)})
51 elmapi 8794 . . . . . . . . . 10 (π‘Ž ∈ ({𝑋} ↑m Ο‰) β†’ π‘Ž:Ο‰βŸΆ{𝑋})
52 elirr 9540 . . . . . . . . . . . 12 Β¬ 𝑋 ∈ 𝑋
53 fvconst 7115 . . . . . . . . . . . . . 14 ((π‘Ž:Ο‰βŸΆ{𝑋} ∧ 𝐼 ∈ Ο‰) β†’ (π‘Žβ€˜πΌ) = 𝑋)
54533ad2antr1 1189 . . . . . . . . . . . . 13 ((π‘Ž:Ο‰βŸΆ{𝑋} ∧ (𝐼 ∈ Ο‰ ∧ 𝐽 ∈ Ο‰ ∧ 𝑋 ∈ 𝑉)) β†’ (π‘Žβ€˜πΌ) = 𝑋)
55 fvconst 7115 . . . . . . . . . . . . . 14 ((π‘Ž:Ο‰βŸΆ{𝑋} ∧ 𝐽 ∈ Ο‰) β†’ (π‘Žβ€˜π½) = 𝑋)
56553ad2antr2 1190 . . . . . . . . . . . . 13 ((π‘Ž:Ο‰βŸΆ{𝑋} ∧ (𝐼 ∈ Ο‰ ∧ 𝐽 ∈ Ο‰ ∧ 𝑋 ∈ 𝑉)) β†’ (π‘Žβ€˜π½) = 𝑋)
5754, 56eleq12d 2832 . . . . . . . . . . . 12 ((π‘Ž:Ο‰βŸΆ{𝑋} ∧ (𝐼 ∈ Ο‰ ∧ 𝐽 ∈ Ο‰ ∧ 𝑋 ∈ 𝑉)) β†’ ((π‘Žβ€˜πΌ) ∈ (π‘Žβ€˜π½) ↔ 𝑋 ∈ 𝑋))
5852, 57mtbiri 327 . . . . . . . . . . 11 ((π‘Ž:Ο‰βŸΆ{𝑋} ∧ (𝐼 ∈ Ο‰ ∧ 𝐽 ∈ Ο‰ ∧ 𝑋 ∈ 𝑉)) β†’ Β¬ (π‘Žβ€˜πΌ) ∈ (π‘Žβ€˜π½))
5958ex 414 . . . . . . . . . 10 (π‘Ž:Ο‰βŸΆ{𝑋} β†’ ((𝐼 ∈ Ο‰ ∧ 𝐽 ∈ Ο‰ ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) β†’ Β¬ (π‘Žβ€˜πΌ) ∈ (π‘Žβ€˜π½)))
6051, 59syl 17 . . . . . . . . 9 (π‘Ž ∈ ({𝑋} ↑m Ο‰) β†’ ((𝐼 ∈ Ο‰ ∧ 𝐽 ∈ Ο‰ ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) β†’ Β¬ (π‘Žβ€˜πΌ) ∈ (π‘Žβ€˜π½)))
6160impcom 409 . . . . . . . 8 (((𝐼 ∈ Ο‰ ∧ 𝐽 ∈ Ο‰ ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ π‘Ž ∈ ({𝑋} ↑m Ο‰)) β†’ Β¬ (π‘Žβ€˜πΌ) ∈ (π‘Žβ€˜π½))
6261ralrimiva 3144 . . . . . . 7 ((𝐼 ∈ Ο‰ ∧ 𝐽 ∈ Ο‰ ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) β†’ βˆ€π‘Ž ∈ ({𝑋} ↑m Ο‰) Β¬ (π‘Žβ€˜πΌ) ∈ (π‘Žβ€˜π½))
63 rabeq0 4349 . . . . . . 7 ({π‘Ž ∈ ({𝑋} ↑m Ο‰) ∣ (π‘Žβ€˜πΌ) ∈ (π‘Žβ€˜π½)} = βˆ… ↔ βˆ€π‘Ž ∈ ({𝑋} ↑m Ο‰) Β¬ (π‘Žβ€˜πΌ) ∈ (π‘Žβ€˜π½))
6462, 63sylibr 233 . . . . . 6 ((𝐼 ∈ Ο‰ ∧ 𝐽 ∈ Ο‰ ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) β†’ {π‘Ž ∈ ({𝑋} ↑m Ο‰) ∣ (π‘Žβ€˜πΌ) ∈ (π‘Žβ€˜π½)} = βˆ…)
6550, 64eqtrd 2777 . . . . 5 ((𝐼 ∈ Ο‰ ∧ 𝐽 ∈ Ο‰ ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) β†’ {π‘Ž ∈ ({𝑋} ↑m Ο‰) ∣ (π‘Žβ€˜(1st β€˜(2nd β€˜(πΌβˆˆπ‘”π½)))) ∈ (π‘Žβ€˜(2nd β€˜(2nd β€˜(πΌβˆˆπ‘”π½))))} = βˆ…)
6635, 65eqtrd 2777 . . . 4 ((𝐼 ∈ Ο‰ ∧ 𝐽 ∈ Ο‰ ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) β†’ ({𝑋} Sat∈ (πΌβˆˆπ‘”π½)) = βˆ…)
6766eqeq1d 2739 . . 3 ((𝐼 ∈ Ο‰ ∧ 𝐽 ∈ Ο‰ ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) β†’ (({𝑋} Sat∈ (πΌβˆˆπ‘”π½)) = ({𝑋} ↑m Ο‰) ↔ βˆ… = ({𝑋} ↑m Ο‰)))
6823, 67bitrd 279 . 2 ((𝐼 ∈ Ο‰ ∧ 𝐽 ∈ Ο‰ ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) β†’ ({𝑋}⊧(πΌβˆˆπ‘”π½) ↔ βˆ… = ({𝑋} ↑m Ο‰)))
6919, 68mtbird 325 1 ((𝐼 ∈ Ο‰ ∧ 𝐽 ∈ Ο‰ ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) β†’ Β¬ {𝑋}⊧(πΌβˆˆπ‘”π½))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542  βˆƒwex 1782   ∈ wcel 2107  βˆ€wral 3065  {crab 3410  Vcvv 3448  βˆ…c0 4287  {csn 4591  βŸ¨cop 4597   class class class wbr 5110   Γ— cxp 5636  βŸΆwf 6497  β€˜cfv 6501  (class class class)co 7362  Ο‰com 7807  1st c1st 7924  2nd c2nd 7925   ↑m cmap 8772  βˆˆπ‘”cgoe 33967  Fmlacfmla 33971   Sat∈ csate 33972  βŠ§cprv 33973
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5247  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-reg 9535  ax-inf2 9584  ax-ac2 10406
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-pss 3934  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-int 4913  df-iun 4961  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-se 5594  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-isom 6510  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-om 7808  df-1st 7926  df-2nd 7927  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-1o 8417  df-2o 8418  df-er 8655  df-map 8774  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-fin 8894  df-card 9882  df-ac 10059  df-goel 33974  df-gona 33975  df-goal 33976  df-sat 33977  df-sate 33978  df-fmla 33979  df-prv 33980
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator