Theorem ipasslem9 30767

Description: Lemma for ipassi 30770. Conclude from ipasslem8 30766 the inner product associative law for real numbers. (Contributed by NM, 24-Aug-2007.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
ip1i.1	⊢ 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
ip1i.2	⊢ 𝐺 = ( +𝑣 ‘𝑈)
ip1i.4	⊢ 𝑆 = ( ·𝑠OLD ‘𝑈)
ip1i.7	⊢ 𝑃 = (·𝑖OLD‘𝑈)
ip1i.9	⊢ 𝑈 ∈ CPreHilOLD
ipasslem9.a	⊢ 𝐴 ∈ 𝑋
ipasslem9.b	⊢ 𝐵 ∈ 𝑋

Assertion

Ref	Expression
ipasslem9	⊢ (𝐶 ∈ ℝ → ((𝐶𝑆𝐴)𝑃𝐵) = (𝐶 · (𝐴𝑃𝐵)))

Proof of Theorem ipasslem9

Dummy variable 𝑤 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq1 7394	. . . . . 6 ⊢ (𝑤 = 𝐶 → (𝑤𝑆𝐴) = (𝐶𝑆𝐴))
2	1	oveq1d 7402	. . . . 5 ⊢ (𝑤 = 𝐶 → ((𝑤𝑆𝐴)𝑃𝐵) = ((𝐶𝑆𝐴)𝑃𝐵))
3		oveq1 7394	. . . . 5 ⊢ (𝑤 = 𝐶 → (𝑤 · (𝐴𝑃𝐵)) = (𝐶 · (𝐴𝑃𝐵)))
4	2, 3	oveq12d 7405	. . . 4 ⊢ (𝑤 = 𝐶 → (((𝑤𝑆𝐴)𝑃𝐵) − (𝑤 · (𝐴𝑃𝐵))) = (((𝐶𝑆𝐴)𝑃𝐵) − (𝐶 · (𝐴𝑃𝐵))))
5		eqid 2729	. . . 4 ⊢ (𝑤 ∈ ℝ ↦ (((𝑤𝑆𝐴)𝑃𝐵) − (𝑤 · (𝐴𝑃𝐵)))) = (𝑤 ∈ ℝ ↦ (((𝑤𝑆𝐴)𝑃𝐵) − (𝑤 · (𝐴𝑃𝐵))))
6		ovex 7420	. . . 4 ⊢ (((𝐶𝑆𝐴)𝑃𝐵) − (𝐶 · (𝐴𝑃𝐵))) ∈ V
7	4, 5, 6	fvmpt 6968	. . 3 ⊢ (𝐶 ∈ ℝ → ((𝑤 ∈ ℝ ↦ (((𝑤𝑆𝐴)𝑃𝐵) − (𝑤 · (𝐴𝑃𝐵))))‘𝐶) = (((𝐶𝑆𝐴)𝑃𝐵) − (𝐶 · (𝐴𝑃𝐵))))
8		ip1i.1	. . . . 5 ⊢ 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
9		ip1i.2	. . . . 5 ⊢ 𝐺 = ( +𝑣 ‘𝑈)
10		ip1i.4	. . . . 5 ⊢ 𝑆 = ( ·𝑠OLD ‘𝑈)
11		ip1i.7	. . . . 5 ⊢ 𝑃 = (·𝑖OLD‘𝑈)
12		ip1i.9	. . . . 5 ⊢ 𝑈 ∈ CPreHilOLD
13		ipasslem9.a	. . . . 5 ⊢ 𝐴 ∈ 𝑋
14		ipasslem9.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 ∈ 𝑋
15	8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 5	ipasslem8 30766	. . . 4 ⊢ (𝑤 ∈ ℝ ↦ (((𝑤𝑆𝐴)𝑃𝐵) − (𝑤 · (𝐴𝑃𝐵)))):ℝ⟶{0}
16		fvconst 7136	. . . 4 ⊢ (((𝑤 ∈ ℝ ↦ (((𝑤𝑆𝐴)𝑃𝐵) − (𝑤 · (𝐴𝑃𝐵)))):ℝ⟶{0} ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝑤 ∈ ℝ ↦ (((𝑤𝑆𝐴)𝑃𝐵) − (𝑤 · (𝐴𝑃𝐵))))‘𝐶) = 0)
17	15, 16	mpan 690	. . 3 ⊢ (𝐶 ∈ ℝ → ((𝑤 ∈ ℝ ↦ (((𝑤𝑆𝐴)𝑃𝐵) − (𝑤 · (𝐴𝑃𝐵))))‘𝐶) = 0)
18	7, 17	eqtr3d 2766	. 2 ⊢ (𝐶 ∈ ℝ → (((𝐶𝑆𝐴)𝑃𝐵) − (𝐶 · (𝐴𝑃𝐵))) = 0)
19		recn 11158	. . 3 ⊢ (𝐶 ∈ ℝ → 𝐶 ∈ ℂ)
20	12	phnvi 30745	. . . . . 6 ⊢ 𝑈 ∈ NrmCVec
21	8, 10	nvscl 30555	. . . . . 6 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (𝐶𝑆𝐴) ∈ 𝑋)
22	20, 13, 21	mp3an13 1454	. . . . 5 ⊢ (𝐶 ∈ ℂ → (𝐶𝑆𝐴) ∈ 𝑋)
23	8, 11	dipcl 30641	. . . . . 6 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝐶𝑆𝐴) ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → ((𝐶𝑆𝐴)𝑃𝐵) ∈ ℂ)
24	20, 14, 23	mp3an13 1454	. . . . 5 ⊢ ((𝐶𝑆𝐴) ∈ 𝑋 → ((𝐶𝑆𝐴)𝑃𝐵) ∈ ℂ)
25	22, 24	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝐶 ∈ ℂ → ((𝐶𝑆𝐴)𝑃𝐵) ∈ ℂ)
26	8, 11	dipcl 30641	. . . . . 6 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝐴𝑃𝐵) ∈ ℂ)
27	20, 13, 14, 26	mp3an 1463	. . . . 5 ⊢ (𝐴𝑃𝐵) ∈ ℂ
28		mulcl 11152	. . . . 5 ⊢ ((𝐶 ∈ ℂ ∧ (𝐴𝑃𝐵) ∈ ℂ) → (𝐶 · (𝐴𝑃𝐵)) ∈ ℂ)
29	27, 28	mpan2 691	. . . 4 ⊢ (𝐶 ∈ ℂ → (𝐶 · (𝐴𝑃𝐵)) ∈ ℂ)
30	25, 29	subeq0ad 11543	. . 3 ⊢ (𝐶 ∈ ℂ → ((((𝐶𝑆𝐴)𝑃𝐵) − (𝐶 · (𝐴𝑃𝐵))) = 0 ↔ ((𝐶𝑆𝐴)𝑃𝐵) = (𝐶 · (𝐴𝑃𝐵))))
31	19, 30	syl 17	. 2 ⊢ (𝐶 ∈ ℝ → ((((𝐶𝑆𝐴)𝑃𝐵) − (𝐶 · (𝐴𝑃𝐵))) = 0 ↔ ((𝐶𝑆𝐴)𝑃𝐵) = (𝐶 · (𝐴𝑃𝐵))))
32	18, 31	mpbid 232	1 ⊢ (𝐶 ∈ ℝ → ((𝐶𝑆𝐴)𝑃𝐵) = (𝐶 · (𝐴𝑃𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  {csn 4589   ↦ cmpt 5188  ⟶wf 6507  ‘cfv 6511  (class class class)co 7387  ℂcc 11066  ℝcr 11067  0cc0 11068   · cmul 11073   − cmin 11405  NrmCVeccnv 30513   +_𝑣 cpv 30514  BaseSetcba 30515   ·_𝑠OLD cns 30516  ·_𝑖OLDcdip 30629  CPreHil_OLDccphlo 30741

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5234  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711  ax-inf2 9594  ax-cnex 11124  ax-resscn 11125  ax-1cn 11126  ax-icn 11127  ax-addcl 11128  ax-addrcl 11129  ax-mulcl 11130  ax-mulrcl 11131  ax-mulcom 11132  ax-addass 11133  ax-mulass 11134  ax-distr 11135  ax-i2m1 11136  ax-1ne0 11137  ax-1rid 11138  ax-rnegex 11139  ax-rrecex 11140  ax-cnre 11141  ax-pre-lttri 11142  ax-pre-lttrn 11143  ax-pre-ltadd 11144  ax-pre-mulgt0 11145  ax-pre-sup 11146  ax-addf 11147  ax-mulf 11148

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3354  df-reu 3355  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3934  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-tp 4594  df-op 4596  df-uni 4872  df-int 4911  df-iun 4957  df-iin 4958  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-tr 5215  df-id 5533  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5591  df-se 5592  df-we 5593  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6274  df-ord 6335  df-on 6336  df-lim 6337  df-suc 6338  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-isom 6520  df-riota 7344  df-ov 7390  df-oprab 7391  df-mpo 7392  df-of 7653  df-om 7843  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-supp 8140  df-frecs 8260  df-wrecs 8291  df-recs 8340  df-rdg 8378  df-1o 8434  df-2o 8435  df-er 8671  df-map 8801  df-ixp 8871  df-en 8919  df-dom 8920  df-sdom 8921  df-fin 8922  df-fsupp 9313  df-fi 9362  df-sup 9393  df-inf 9394  df-oi 9463  df-card 9892  df-pnf 11210  df-mnf 11211  df-xr 11212  df-ltxr 11213  df-le 11214  df-sub 11407  df-neg 11408  df-div 11836  df-nn 12187  df-2 12249  df-3 12250  df-4 12251  df-5 12252  df-6 12253  df-7 12254  df-8 12255  df-9 12256  df-n0 12443  df-z 12530  df-dec 12650  df-uz 12794  df-q 12908  df-rp 12952  df-xneg 13072  df-xadd 13073  df-xmul 13074  df-ioo 13310  df-icc 13313  df-fz 13469  df-fzo 13616  df-seq 13967  df-exp 14027  df-hash 14296  df-cj 15065  df-re 15066  df-im 15067  df-sqrt 15201  df-abs 15202  df-clim 15454  df-sum 15653  df-struct 17117  df-sets 17134  df-slot 17152  df-ndx 17164  df-base 17180  df-ress 17201  df-plusg 17233  df-mulr 17234  df-starv 17235  df-sca 17236  df-vsca 17237  df-ip 17238  df-tset 17239  df-ple 17240  df-ds 17242  df-unif 17243  df-hom 17244  df-cco 17245  df-rest 17385  df-topn 17386  df-0g 17404  df-gsum 17405  df-topgen 17406  df-pt 17407  df-prds 17410  df-xrs 17465  df-qtop 17470  df-imas 17471  df-xps 17473  df-mre 17547  df-mrc 17548  df-acs 17550  df-mgm 18567  df-sgrp 18646  df-mnd 18662  df-submnd 18711  df-mulg 19000  df-cntz 19249  df-cmn 19712  df-psmet 21256  df-xmet 21257  df-met 21258  df-bl 21259  df-mopn 21260  df-cnfld 21265  df-top 22781  df-topon 22798  df-topsp 22820  df-bases 22833  df-cld 22906  df-ntr 22907  df-cls 22908  df-cn 23114  df-cnp 23115  df-t1 23201  df-haus 23202  df-tx 23449  df-hmeo 23642  df-xms 24208  df-ms 24209  df-tms 24210  df-grpo 30422  df-gid 30423  df-ginv 30424  df-gdiv 30425  df-ablo 30474  df-vc 30488  df-nv 30521  df-va 30524  df-ba 30525  df-sm 30526  df-0v 30527  df-vs 30528  df-nmcv 30529  df-ims 30530  df-dip 30630  df-ph 30742

This theorem is referenced by:  ipasslem11  30769