Theorem ipasslem9 30600

Description: Lemma for ipassi 30603. Conclude from ipasslem8 30599 the inner product associative law for real numbers. (Contributed by NM, 24-Aug-2007.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
ip1i.1	⊢ 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
ip1i.2	⊢ 𝐺 = ( +𝑣 ‘𝑈)
ip1i.4	⊢ 𝑆 = ( ·𝑠OLD ‘𝑈)
ip1i.7	⊢ 𝑃 = (·𝑖OLD‘𝑈)
ip1i.9	⊢ 𝑈 ∈ CPreHilOLD
ipasslem9.a	⊢ 𝐴 ∈ 𝑋
ipasslem9.b	⊢ 𝐵 ∈ 𝑋

Assertion

Ref	Expression
ipasslem9	⊢ (𝐶 ∈ ℝ → ((𝐶𝑆𝐴)𝑃𝐵) = (𝐶 · (𝐴𝑃𝐵)))

Proof of Theorem ipasslem9

Dummy variable 𝑤 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq1 7412	. . . . . 6 ⊢ (𝑤 = 𝐶 → (𝑤𝑆𝐴) = (𝐶𝑆𝐴))
2	1	oveq1d 7420	. . . . 5 ⊢ (𝑤 = 𝐶 → ((𝑤𝑆𝐴)𝑃𝐵) = ((𝐶𝑆𝐴)𝑃𝐵))
3		oveq1 7412	. . . . 5 ⊢ (𝑤 = 𝐶 → (𝑤 · (𝐴𝑃𝐵)) = (𝐶 · (𝐴𝑃𝐵)))
4	2, 3	oveq12d 7423	. . . 4 ⊢ (𝑤 = 𝐶 → (((𝑤𝑆𝐴)𝑃𝐵) − (𝑤 · (𝐴𝑃𝐵))) = (((𝐶𝑆𝐴)𝑃𝐵) − (𝐶 · (𝐴𝑃𝐵))))
5		eqid 2726	. . . 4 ⊢ (𝑤 ∈ ℝ ↦ (((𝑤𝑆𝐴)𝑃𝐵) − (𝑤 · (𝐴𝑃𝐵)))) = (𝑤 ∈ ℝ ↦ (((𝑤𝑆𝐴)𝑃𝐵) − (𝑤 · (𝐴𝑃𝐵))))
6		ovex 7438	. . . 4 ⊢ (((𝐶𝑆𝐴)𝑃𝐵) − (𝐶 · (𝐴𝑃𝐵))) ∈ V
7	4, 5, 6	fvmpt 6992	. . 3 ⊢ (𝐶 ∈ ℝ → ((𝑤 ∈ ℝ ↦ (((𝑤𝑆𝐴)𝑃𝐵) − (𝑤 · (𝐴𝑃𝐵))))‘𝐶) = (((𝐶𝑆𝐴)𝑃𝐵) − (𝐶 · (𝐴𝑃𝐵))))
8		ip1i.1	. . . . 5 ⊢ 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
9		ip1i.2	. . . . 5 ⊢ 𝐺 = ( +𝑣 ‘𝑈)
10		ip1i.4	. . . . 5 ⊢ 𝑆 = ( ·𝑠OLD ‘𝑈)
11		ip1i.7	. . . . 5 ⊢ 𝑃 = (·𝑖OLD‘𝑈)
12		ip1i.9	. . . . 5 ⊢ 𝑈 ∈ CPreHilOLD
13		ipasslem9.a	. . . . 5 ⊢ 𝐴 ∈ 𝑋
14		ipasslem9.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 ∈ 𝑋
15	8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 5	ipasslem8 30599	. . . 4 ⊢ (𝑤 ∈ ℝ ↦ (((𝑤𝑆𝐴)𝑃𝐵) − (𝑤 · (𝐴𝑃𝐵)))):ℝ⟶{0}
16		fvconst 7158	. . . 4 ⊢ (((𝑤 ∈ ℝ ↦ (((𝑤𝑆𝐴)𝑃𝐵) − (𝑤 · (𝐴𝑃𝐵)))):ℝ⟶{0} ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝑤 ∈ ℝ ↦ (((𝑤𝑆𝐴)𝑃𝐵) − (𝑤 · (𝐴𝑃𝐵))))‘𝐶) = 0)
17	15, 16	mpan 687	. . 3 ⊢ (𝐶 ∈ ℝ → ((𝑤 ∈ ℝ ↦ (((𝑤𝑆𝐴)𝑃𝐵) − (𝑤 · (𝐴𝑃𝐵))))‘𝐶) = 0)
18	7, 17	eqtr3d 2768	. 2 ⊢ (𝐶 ∈ ℝ → (((𝐶𝑆𝐴)𝑃𝐵) − (𝐶 · (𝐴𝑃𝐵))) = 0)
19		recn 11202	. . 3 ⊢ (𝐶 ∈ ℝ → 𝐶 ∈ ℂ)
20	12	phnvi 30578	. . . . . 6 ⊢ 𝑈 ∈ NrmCVec
21	8, 10	nvscl 30388	. . . . . 6 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (𝐶𝑆𝐴) ∈ 𝑋)
22	20, 13, 21	mp3an13 1448	. . . . 5 ⊢ (𝐶 ∈ ℂ → (𝐶𝑆𝐴) ∈ 𝑋)
23	8, 11	dipcl 30474	. . . . . 6 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝐶𝑆𝐴) ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → ((𝐶𝑆𝐴)𝑃𝐵) ∈ ℂ)
24	20, 14, 23	mp3an13 1448	. . . . 5 ⊢ ((𝐶𝑆𝐴) ∈ 𝑋 → ((𝐶𝑆𝐴)𝑃𝐵) ∈ ℂ)
25	22, 24	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝐶 ∈ ℂ → ((𝐶𝑆𝐴)𝑃𝐵) ∈ ℂ)
26	8, 11	dipcl 30474	. . . . . 6 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝐴𝑃𝐵) ∈ ℂ)
27	20, 13, 14, 26	mp3an 1457	. . . . 5 ⊢ (𝐴𝑃𝐵) ∈ ℂ
28		mulcl 11196	. . . . 5 ⊢ ((𝐶 ∈ ℂ ∧ (𝐴𝑃𝐵) ∈ ℂ) → (𝐶 · (𝐴𝑃𝐵)) ∈ ℂ)
29	27, 28	mpan2 688	. . . 4 ⊢ (𝐶 ∈ ℂ → (𝐶 · (𝐴𝑃𝐵)) ∈ ℂ)
30	25, 29	subeq0ad 11585	. . 3 ⊢ (𝐶 ∈ ℂ → ((((𝐶𝑆𝐴)𝑃𝐵) − (𝐶 · (𝐴𝑃𝐵))) = 0 ↔ ((𝐶𝑆𝐴)𝑃𝐵) = (𝐶 · (𝐴𝑃𝐵))))
31	19, 30	syl 17	. 2 ⊢ (𝐶 ∈ ℝ → ((((𝐶𝑆𝐴)𝑃𝐵) − (𝐶 · (𝐴𝑃𝐵))) = 0 ↔ ((𝐶𝑆𝐴)𝑃𝐵) = (𝐶 · (𝐴𝑃𝐵))))
32	18, 31	mpbid 231	1 ⊢ (𝐶 ∈ ℝ → ((𝐶𝑆𝐴)𝑃𝐵) = (𝐶 · (𝐴𝑃𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  {csn 4623   ↦ cmpt 5224  ⟶wf 6533  ‘cfv 6537  (class class class)co 7405  ℂcc 11110  ℝcr 11111  0cc0 11112   · cmul 11117   − cmin 11448  NrmCVeccnv 30346   +_𝑣 cpv 30347  BaseSetcba 30348   ·_𝑠OLD cns 30349  ·_𝑖OLDcdip 30462  CPreHil_OLDccphlo 30574

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-inf2 9638  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190  ax-addf 11191  ax-mulf 11192

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-tp 4628  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-iin 4993  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-se 5625  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-isom 6546  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-of 7667  df-om 7853  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-supp 8147  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-1o 8467  df-2o 8468  df-er 8705  df-map 8824  df-ixp 8894  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-fsupp 9364  df-fi 9408  df-sup 9439  df-inf 9440  df-oi 9507  df-card 9936  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-4 12281  df-5 12282  df-6 12283  df-7 12284  df-8 12285  df-9 12286  df-n0 12477  df-z 12563  df-dec 12682  df-uz 12827  df-q 12937  df-rp 12981  df-xneg 13098  df-xadd 13099  df-xmul 13100  df-ioo 13334  df-icc 13337  df-fz 13491  df-fzo 13634  df-seq 13973  df-exp 14033  df-hash 14296  df-cj 15052  df-re 15053  df-im 15054  df-sqrt 15188  df-abs 15189  df-clim 15438  df-sum 15639  df-struct 17089  df-sets 17106  df-slot 17124  df-ndx 17136  df-base 17154  df-ress 17183  df-plusg 17219  df-mulr 17220  df-starv 17221  df-sca 17222  df-vsca 17223  df-ip 17224  df-tset 17225  df-ple 17226  df-ds 17228  df-unif 17229  df-hom 17230  df-cco 17231  df-rest 17377  df-topn 17378  df-0g 17396  df-gsum 17397  df-topgen 17398  df-pt 17399  df-prds 17402  df-xrs 17457  df-qtop 17462  df-imas 17463  df-xps 17465  df-mre 17539  df-mrc 17540  df-acs 17542  df-mgm 18573  df-sgrp 18652  df-mnd 18668  df-submnd 18714  df-mulg 18996  df-cntz 19233  df-cmn 19702  df-psmet 21232  df-xmet 21233  df-met 21234  df-bl 21235  df-mopn 21236  df-cnfld 21241  df-top 22751  df-topon 22768  df-topsp 22790  df-bases 22804  df-cld 22878  df-ntr 22879  df-cls 22880  df-cn 23086  df-cnp 23087  df-t1 23173  df-haus 23174  df-tx 23421  df-hmeo 23614  df-xms 24181  df-ms 24182  df-tms 24183  df-grpo 30255  df-gid 30256  df-ginv 30257  df-gdiv 30258  df-ablo 30307  df-vc 30321  df-nv 30354  df-va 30357  df-ba 30358  df-sm 30359  df-0v 30360  df-vs 30361  df-nmcv 30362  df-ims 30363  df-dip 30463  df-ph 30575

This theorem is referenced by:  ipasslem11  30602