Theorem ipasslem9 31160

Description: Lemma for ipassi 31163. Conclude from ipasslem8 31159 the inner product associative law for real numbers. (Contributed by NM, 24-Aug-2007.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
ip1i.1	⊢ 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
ip1i.2	⊢ 𝐺 = ( +𝑣 ‘𝑈)
ip1i.4	⊢ 𝑆 = ( ·𝑠OLD ‘𝑈)
ip1i.7	⊢ 𝑃 = (·𝑖OLD‘𝑈)
ip1i.9	⊢ 𝑈 ∈ CPreHilOLD
ipasslem9.a	⊢ 𝐴 ∈ 𝑋
ipasslem9.b	⊢ 𝐵 ∈ 𝑋

Assertion

Ref	Expression
ipasslem9	⊢ (𝐶 ∈ ℝ → ((𝐶𝑆𝐴)𝑃𝐵) = (𝐶 · (𝐴𝑃𝐵)))

Proof of Theorem ipasslem9

Dummy variable 𝑤 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq1 7421	. . . . . 6 ⊢ (𝑤 = 𝐶 → (𝑤𝑆𝐴) = (𝐶𝑆𝐴))
2	1	oveq1d 7429	. . . . 5 ⊢ (𝑤 = 𝐶 → ((𝑤𝑆𝐴)𝑃𝐵) = ((𝐶𝑆𝐴)𝑃𝐵))
3		oveq1 7421	. . . . 5 ⊢ (𝑤 = 𝐶 → (𝑤 · (𝐴𝑃𝐵)) = (𝐶 · (𝐴𝑃𝐵)))
4	2, 3	oveq12d 7432	. . . 4 ⊢ (𝑤 = 𝐶 → (((𝑤𝑆𝐴)𝑃𝐵) − (𝑤 · (𝐴𝑃𝐵))) = (((𝐶𝑆𝐴)𝑃𝐵) − (𝐶 · (𝐴𝑃𝐵))))
5		eqid 2770	. . . 4 ⊢ (𝑤 ∈ ℝ ↦ (((𝑤𝑆𝐴)𝑃𝐵) − (𝑤 · (𝐴𝑃𝐵)))) = (𝑤 ∈ ℝ ↦ (((𝑤𝑆𝐴)𝑃𝐵) − (𝑤 · (𝐴𝑃𝐵))))
6		ovex 7447	. . . 4 ⊢ (((𝐶𝑆𝐴)𝑃𝐵) − (𝐶 · (𝐴𝑃𝐵))) ∈ V
7	4, 5, 6	fvmpt 6993	. . 3 ⊢ (𝐶 ∈ ℝ → ((𝑤 ∈ ℝ ↦ (((𝑤𝑆𝐴)𝑃𝐵) − (𝑤 · (𝐴𝑃𝐵))))‘𝐶) = (((𝐶𝑆𝐴)𝑃𝐵) − (𝐶 · (𝐴𝑃𝐵))))
8		ip1i.1	. . . . 5 ⊢ 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
9		ip1i.2	. . . . 5 ⊢ 𝐺 = ( +𝑣 ‘𝑈)
10		ip1i.4	. . . . 5 ⊢ 𝑆 = ( ·𝑠OLD ‘𝑈)
11		ip1i.7	. . . . 5 ⊢ 𝑃 = (·𝑖OLD‘𝑈)
12		ip1i.9	. . . . 5 ⊢ 𝑈 ∈ CPreHilOLD
13		ipasslem9.a	. . . . 5 ⊢ 𝐴 ∈ 𝑋
14		ipasslem9.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 ∈ 𝑋
15	8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 5	ipasslem8 31159	. . . 4 ⊢ (𝑤 ∈ ℝ ↦ (((𝑤𝑆𝐴)𝑃𝐵) − (𝑤 · (𝐴𝑃𝐵)))):ℝ⟶{0}
16		fvconst 7164	. . . 4 ⊢ (((𝑤 ∈ ℝ ↦ (((𝑤𝑆𝐴)𝑃𝐵) − (𝑤 · (𝐴𝑃𝐵)))):ℝ⟶{0} ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝑤 ∈ ℝ ↦ (((𝑤𝑆𝐴)𝑃𝐵) − (𝑤 · (𝐴𝑃𝐵))))‘𝐶) = 0)
17	15, 16	mpan 702	. . 3 ⊢ (𝐶 ∈ ℝ → ((𝑤 ∈ ℝ ↦ (((𝑤𝑆𝐴)𝑃𝐵) − (𝑤 · (𝐴𝑃𝐵))))‘𝐶) = 0)
18	7, 17	eqtr3d 2807	. 2 ⊢ (𝐶 ∈ ℝ → (((𝐶𝑆𝐴)𝑃𝐵) − (𝐶 · (𝐴𝑃𝐵))) = 0)
19		recn 11193	. . 3 ⊢ (𝐶 ∈ ℝ → 𝐶 ∈ ℂ)
20	12	phnvi 31138	. . . . . 6 ⊢ 𝑈 ∈ NrmCVec
21	8, 10	nvscl 30948	. . . . . 6 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (𝐶𝑆𝐴) ∈ 𝑋)
22	20, 13, 21	mp3an13 1479	. . . . 5 ⊢ (𝐶 ∈ ℂ → (𝐶𝑆𝐴) ∈ 𝑋)
23	8, 11	dipcl 31034	. . . . . 6 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝐶𝑆𝐴) ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → ((𝐶𝑆𝐴)𝑃𝐵) ∈ ℂ)
24	20, 14, 23	mp3an13 1479	. . . . 5 ⊢ ((𝐶𝑆𝐴) ∈ 𝑋 → ((𝐶𝑆𝐴)𝑃𝐵) ∈ ℂ)
25	22, 24	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝐶 ∈ ℂ → ((𝐶𝑆𝐴)𝑃𝐵) ∈ ℂ)
26	8, 11	dipcl 31034	. . . . . 6 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝐴𝑃𝐵) ∈ ℂ)
27	20, 13, 14, 26	mp3an 1488	. . . . 5 ⊢ (𝐴𝑃𝐵) ∈ ℂ
28		mulcl 11187	. . . . 5 ⊢ ((𝐶 ∈ ℂ ∧ (𝐴𝑃𝐵) ∈ ℂ) → (𝐶 · (𝐴𝑃𝐵)) ∈ ℂ)
29	27, 28	mpan2 703	. . . 4 ⊢ (𝐶 ∈ ℂ → (𝐶 · (𝐴𝑃𝐵)) ∈ ℂ)
30	25, 29	subeq0ad 11582	. . 3 ⊢ (𝐶 ∈ ℂ → ((((𝐶𝑆𝐴)𝑃𝐵) − (𝐶 · (𝐴𝑃𝐵))) = 0 ↔ ((𝐶𝑆𝐴)𝑃𝐵) = (𝐶 · (𝐴𝑃𝐵))))
31	19, 30	syl 18	. 2 ⊢ (𝐶 ∈ ℝ → ((((𝐶𝑆𝐴)𝑃𝐵) − (𝐶 · (𝐴𝑃𝐵))) = 0 ↔ ((𝐶𝑆𝐴)𝑃𝐵) = (𝐶 · (𝐴𝑃𝐵))))
32	18, 31	mpbid 235	1 ⊢ (𝐶 ∈ ℝ → ((𝐶𝑆𝐴)𝑃𝐵) = (𝐶 · (𝐴𝑃𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   = wceq 1568   ∈ wcel 2150  {csn 4594   ↦ cmpt 5197  ⟶wf 6536  ‘cfv 6540  (class class class)co 7414  ℂcc 11101  ℝcr 11102  0cc0 11103   · cmul 11108   − cmin 11444  NrmCVeccnv 30906   +_𝑣 cpv 30907  BaseSetcba 30908   ·_𝑠OLD cns 30909  ·_𝑖OLDcdip 31022  CPreHil_OLDccphlo 31134

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1823  ax-4 1837  ax-5 1938  ax-6 1995  ax-7 2036  ax-8 2152  ax-9 2160  ax-10 2183  ax-11 2199  ax-12 2220  ax-ext 2742  ax-rep 5243  ax-sep 5262  ax-nul 5274  ax-pow 5340  ax-pr 5408  ax-un 7736  ax-inf2 9613  ax-cnex 11159  ax-resscn 11160  ax-1cn 11161  ax-icn 11162  ax-addcl 11163  ax-addrcl 11164  ax-mulcl 11165  ax-mulrcl 11166  ax-mulcom 11167  ax-addass 11168  ax-mulass 11169  ax-distr 11170  ax-i2m1 11171  ax-1ne0 11172  ax-1rid 11173  ax-rnegex 11174  ax-rrecex 11175  ax-cnre 11176  ax-pre-lttri 11177  ax-pre-lttrn 11178  ax-pre-ltadd 11179  ax-pre-mulgt0 11180  ax-pre-sup 11181  ax-addf 11182  ax-mulf 11183

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1571  df-fal 1581  df-ex 1808  df-nf 1812  df-sb 2099  df-mo 2574  df-eu 2604  df-clab 2749  df-cleq 2762  df-clel 2845  df-nfc 2919  df-ne 2966  df-nel 3072  df-ral 3087  df-rex 3097  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3464  df-sbc 3753  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-tp 4599  df-op 4601  df-uni 4878  df-int 4918  df-iun 4963  df-iin 4964  df-br 5115  df-opab 5179  df-mpt 5198  df-tr 5224  df-id 5560  df-eprel 5565  df-po 5573  df-so 5574  df-fr 5618  df-se 5619  df-we 5620  df-xp 5671  df-rel 5672  df-cnv 5673  df-co 5674  df-dm 5675  df-rn 5676  df-res 5677  df-ima 5678  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-isom 6549  df-riota 7371  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-of 7678  df-om 7866  df-1st 7989  df-2nd 7990  df-supp 8160  df-frecs 8281  df-wrecs 8312  df-recs 8361  df-rdg 8400  df-1o 8456  df-2o 8457  df-er 8697  df-map 8829  df-ixp 8899  df-en 8947  df-dom 8948  df-sdom 8949  df-fin 8950  df-fsupp 9325  df-fi 9374  df-sup 9405  df-inf 9406  df-oi 9475  df-card 9928  df-pnf 11248  df-mnf 11249  df-xr 11250  df-ltxr 11251  df-le 11252  df-sub 11446  df-neg 11447  df-div 11875  df-nn 12237  df-2 12306  df-3 12307  df-4 12308  df-5 12309  df-6 12310  df-7 12311  df-8 12312  df-9 12313  df-n0 12508  df-z 12595  df-dec 12715  df-uz 12866  df-q 12976  df-rp 13020  df-xneg 13140  df-xadd 13141  df-xmul 13142  df-ioo 13379  df-icc 13382  df-fz 13539  df-fzo 13686  df-seq 14041  df-exp 14101  df-hash 14370  df-cj 15153  df-re 15154  df-im 15155  df-sqrt 15289  df-abs 15290  df-clim 15542  df-sum 15741  df-struct 17210  df-sets 17227  df-slot 17245  df-ndx 17257  df-base 17273  df-ress 17294  df-plusg 17326  df-mulr 17327  df-starv 17328  df-sca 17329  df-vsca 17330  df-ip 17331  df-tset 17332  df-ple 17333  df-ds 17335  df-unif 17336  df-hom 17337  df-cco 17338  df-rest 17478  df-topn 17479  df-0g 17497  df-gsum 17498  df-topgen 17499  df-pt 17500  df-prds 17503  df-xrs 17559  df-qtop 17564  df-imas 17565  df-xps 17567  df-mre 17641  df-mrc 17642  df-acs 17644  df-mgm 18701  df-sgrp 18780  df-mnd 18796  df-submnd 18845  df-mulg 19137  df-cntz 19390  df-cmn 19855  df-psmet 21497  df-xmet 21498  df-met 21499  df-bl 21500  df-mopn 21501  df-cnfld 21506  df-top 23034  df-topon 23051  df-topsp 23073  df-bases 23086  df-cld 23159  df-ntr 23160  df-cls 23161  df-cn 23367  df-cnp 23368  df-t1 23454  df-haus 23455  df-tx 23702  df-hmeo 23895  df-xms 24460  df-ms 24461  df-tms 24462  df-grpo 30815  df-gid 30816  df-ginv 30817  df-gdiv 30818  df-ablo 30867  df-vc 30881  df-nv 30914  df-va 30917  df-ba 30918  df-sm 30919  df-0v 30920  df-vs 30921  df-nmcv 30922  df-ims 30923  df-dip 31023  df-ph 31135

This theorem is referenced by:  ipasslem11  31162