MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ipasslem9 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ipasslem9 30692
Description: Lemma for ipassi 30695. Conclude from ipasslem8 30691 the inner product associative law for real numbers. (Contributed by NM, 24-Aug-2007.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
ip1i.1 𝑋 = (BaseSetβ€˜π‘ˆ)
ip1i.2 𝐺 = ( +𝑣 β€˜π‘ˆ)
ip1i.4 𝑆 = ( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)
ip1i.7 𝑃 = (·𝑖OLDβ€˜π‘ˆ)
ip1i.9 π‘ˆ ∈ CPreHilOLD
ipasslem9.a 𝐴 ∈ 𝑋
ipasslem9.b 𝐡 ∈ 𝑋
Assertion
Ref Expression
ipasslem9 (𝐢 ∈ ℝ β†’ ((𝐢𝑆𝐴)𝑃𝐡) = (𝐢 Β· (𝐴𝑃𝐡)))

Proof of Theorem ipasslem9
Dummy variable 𝑀 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq1 7423 . . . . . 6 (𝑀 = 𝐢 β†’ (𝑀𝑆𝐴) = (𝐢𝑆𝐴))
21oveq1d 7431 . . . . 5 (𝑀 = 𝐢 β†’ ((𝑀𝑆𝐴)𝑃𝐡) = ((𝐢𝑆𝐴)𝑃𝐡))
3 oveq1 7423 . . . . 5 (𝑀 = 𝐢 β†’ (𝑀 Β· (𝐴𝑃𝐡)) = (𝐢 Β· (𝐴𝑃𝐡)))
42, 3oveq12d 7434 . . . 4 (𝑀 = 𝐢 β†’ (((𝑀𝑆𝐴)𝑃𝐡) βˆ’ (𝑀 Β· (𝐴𝑃𝐡))) = (((𝐢𝑆𝐴)𝑃𝐡) βˆ’ (𝐢 Β· (𝐴𝑃𝐡))))
5 eqid 2725 . . . 4 (𝑀 ∈ ℝ ↦ (((𝑀𝑆𝐴)𝑃𝐡) βˆ’ (𝑀 Β· (𝐴𝑃𝐡)))) = (𝑀 ∈ ℝ ↦ (((𝑀𝑆𝐴)𝑃𝐡) βˆ’ (𝑀 Β· (𝐴𝑃𝐡))))
6 ovex 7449 . . . 4 (((𝐢𝑆𝐴)𝑃𝐡) βˆ’ (𝐢 Β· (𝐴𝑃𝐡))) ∈ V
74, 5, 6fvmpt 7000 . . 3 (𝐢 ∈ ℝ β†’ ((𝑀 ∈ ℝ ↦ (((𝑀𝑆𝐴)𝑃𝐡) βˆ’ (𝑀 Β· (𝐴𝑃𝐡))))β€˜πΆ) = (((𝐢𝑆𝐴)𝑃𝐡) βˆ’ (𝐢 Β· (𝐴𝑃𝐡))))
8 ip1i.1 . . . . 5 𝑋 = (BaseSetβ€˜π‘ˆ)
9 ip1i.2 . . . . 5 𝐺 = ( +𝑣 β€˜π‘ˆ)
10 ip1i.4 . . . . 5 𝑆 = ( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)
11 ip1i.7 . . . . 5 𝑃 = (·𝑖OLDβ€˜π‘ˆ)
12 ip1i.9 . . . . 5 π‘ˆ ∈ CPreHilOLD
13 ipasslem9.a . . . . 5 𝐴 ∈ 𝑋
14 ipasslem9.b . . . . 5 𝐡 ∈ 𝑋
158, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 5ipasslem8 30691 . . . 4 (𝑀 ∈ ℝ ↦ (((𝑀𝑆𝐴)𝑃𝐡) βˆ’ (𝑀 Β· (𝐴𝑃𝐡)))):β„βŸΆ{0}
16 fvconst 7169 . . . 4 (((𝑀 ∈ ℝ ↦ (((𝑀𝑆𝐴)𝑃𝐡) βˆ’ (𝑀 Β· (𝐴𝑃𝐡)))):β„βŸΆ{0} ∧ 𝐢 ∈ ℝ) β†’ ((𝑀 ∈ ℝ ↦ (((𝑀𝑆𝐴)𝑃𝐡) βˆ’ (𝑀 Β· (𝐴𝑃𝐡))))β€˜πΆ) = 0)
1715, 16mpan 688 . . 3 (𝐢 ∈ ℝ β†’ ((𝑀 ∈ ℝ ↦ (((𝑀𝑆𝐴)𝑃𝐡) βˆ’ (𝑀 Β· (𝐴𝑃𝐡))))β€˜πΆ) = 0)
187, 17eqtr3d 2767 . 2 (𝐢 ∈ ℝ β†’ (((𝐢𝑆𝐴)𝑃𝐡) βˆ’ (𝐢 Β· (𝐴𝑃𝐡))) = 0)
19 recn 11228 . . 3 (𝐢 ∈ ℝ β†’ 𝐢 ∈ β„‚)
2012phnvi 30670 . . . . . 6 π‘ˆ ∈ NrmCVec
218, 10nvscl 30480 . . . . . 6 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐢 ∈ β„‚ ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) β†’ (𝐢𝑆𝐴) ∈ 𝑋)
2220, 13, 21mp3an13 1448 . . . . 5 (𝐢 ∈ β„‚ β†’ (𝐢𝑆𝐴) ∈ 𝑋)
238, 11dipcl 30566 . . . . . 6 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ (𝐢𝑆𝐴) ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ ((𝐢𝑆𝐴)𝑃𝐡) ∈ β„‚)
2420, 14, 23mp3an13 1448 . . . . 5 ((𝐢𝑆𝐴) ∈ 𝑋 β†’ ((𝐢𝑆𝐴)𝑃𝐡) ∈ β„‚)
2522, 24syl 17 . . . 4 (𝐢 ∈ β„‚ β†’ ((𝐢𝑆𝐴)𝑃𝐡) ∈ β„‚)
268, 11dipcl 30566 . . . . . 6 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ (𝐴𝑃𝐡) ∈ β„‚)
2720, 13, 14, 26mp3an 1457 . . . . 5 (𝐴𝑃𝐡) ∈ β„‚
28 mulcl 11222 . . . . 5 ((𝐢 ∈ β„‚ ∧ (𝐴𝑃𝐡) ∈ β„‚) β†’ (𝐢 Β· (𝐴𝑃𝐡)) ∈ β„‚)
2927, 28mpan2 689 . . . 4 (𝐢 ∈ β„‚ β†’ (𝐢 Β· (𝐴𝑃𝐡)) ∈ β„‚)
3025, 29subeq0ad 11611 . . 3 (𝐢 ∈ β„‚ β†’ ((((𝐢𝑆𝐴)𝑃𝐡) βˆ’ (𝐢 Β· (𝐴𝑃𝐡))) = 0 ↔ ((𝐢𝑆𝐴)𝑃𝐡) = (𝐢 Β· (𝐴𝑃𝐡))))
3119, 30syl 17 . 2 (𝐢 ∈ ℝ β†’ ((((𝐢𝑆𝐴)𝑃𝐡) βˆ’ (𝐢 Β· (𝐴𝑃𝐡))) = 0 ↔ ((𝐢𝑆𝐴)𝑃𝐡) = (𝐢 Β· (𝐴𝑃𝐡))))
3218, 31mpbid 231 1 (𝐢 ∈ ℝ β†’ ((𝐢𝑆𝐴)𝑃𝐡) = (𝐢 Β· (𝐴𝑃𝐡)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  {csn 4624   ↦ cmpt 5226  βŸΆwf 6539  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7416  β„‚cc 11136  β„cr 11137  0cc0 11138   Β· cmul 11143   βˆ’ cmin 11474  NrmCVeccnv 30438   +𝑣 cpv 30439  BaseSetcba 30440   ·𝑠OLD cns 30441  Β·π‘–OLDcdip 30554  CPreHilOLDccphlo 30666
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5280  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7738  ax-inf2 9664  ax-cnex 11194  ax-resscn 11195  ax-1cn 11196  ax-icn 11197  ax-addcl 11198  ax-addrcl 11199  ax-mulcl 11200  ax-mulrcl 11201  ax-mulcom 11202  ax-addass 11203  ax-mulass 11204  ax-distr 11205  ax-i2m1 11206  ax-1ne0 11207  ax-1rid 11208  ax-rnegex 11209  ax-rrecex 11210  ax-cnre 11211  ax-pre-lttri 11212  ax-pre-lttrn 11213  ax-pre-ltadd 11214  ax-pre-mulgt0 11215  ax-pre-sup 11216  ax-addf 11217  ax-mulf 11218
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3769  df-csb 3885  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3956  df-pss 3959  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-tp 4629  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-iin 4994  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-se 5628  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7372  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-of 7682  df-om 7869  df-1st 7991  df-2nd 7992  df-supp 8164  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-1o 8485  df-2o 8486  df-er 8723  df-map 8845  df-ixp 8915  df-en 8963  df-dom 8964  df-sdom 8965  df-fin 8966  df-fsupp 9386  df-fi 9434  df-sup 9465  df-inf 9466  df-oi 9533  df-card 9962  df-pnf 11280  df-mnf 11281  df-xr 11282  df-ltxr 11283  df-le 11284  df-sub 11476  df-neg 11477  df-div 11902  df-nn 12243  df-2 12305  df-3 12306  df-4 12307  df-5 12308  df-6 12309  df-7 12310  df-8 12311  df-9 12312  df-n0 12503  df-z 12589  df-dec 12708  df-uz 12853  df-q 12963  df-rp 13007  df-xneg 13124  df-xadd 13125  df-xmul 13126  df-ioo 13360  df-icc 13363  df-fz 13517  df-fzo 13660  df-seq 13999  df-exp 14059  df-hash 14322  df-cj 15078  df-re 15079  df-im 15080  df-sqrt 15214  df-abs 15215  df-clim 15464  df-sum 15665  df-struct 17115  df-sets 17132  df-slot 17150  df-ndx 17162  df-base 17180  df-ress 17209  df-plusg 17245  df-mulr 17246  df-starv 17247  df-sca 17248  df-vsca 17249  df-ip 17250  df-tset 17251  df-ple 17252  df-ds 17254  df-unif 17255  df-hom 17256  df-cco 17257  df-rest 17403  df-topn 17404  df-0g 17422  df-gsum 17423  df-topgen 17424  df-pt 17425  df-prds 17428  df-xrs 17483  df-qtop 17488  df-imas 17489  df-xps 17491  df-mre 17565  df-mrc 17566  df-acs 17568  df-mgm 18599  df-sgrp 18678  df-mnd 18694  df-submnd 18740  df-mulg 19028  df-cntz 19272  df-cmn 19741  df-psmet 21275  df-xmet 21276  df-met 21277  df-bl 21278  df-mopn 21279  df-cnfld 21284  df-top 22814  df-topon 22831  df-topsp 22853  df-bases 22867  df-cld 22941  df-ntr 22942  df-cls 22943  df-cn 23149  df-cnp 23150  df-t1 23236  df-haus 23237  df-tx 23484  df-hmeo 23677  df-xms 24244  df-ms 24245  df-tms 24246  df-grpo 30347  df-gid 30348  df-ginv 30349  df-gdiv 30350  df-ablo 30399  df-vc 30413  df-nv 30446  df-va 30449  df-ba 30450  df-sm 30451  df-0v 30452  df-vs 30453  df-nmcv 30454  df-ims 30455  df-dip 30555  df-ph 30667
This theorem is referenced by:  ipasslem11  30694
  Copyright terms: Public domain W3C validator