Theorem ipasslem9 28211

Description: Lemma for ipassi 28214. Conclude from ipasslem8 28210 the inner product associative law for real numbers. (Contributed by NM, 24-Aug-2007.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
ip1i.1	⊢ 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
ip1i.2	⊢ 𝐺 = ( +𝑣 ‘𝑈)
ip1i.4	⊢ 𝑆 = ( ·𝑠OLD ‘𝑈)
ip1i.7	⊢ 𝑃 = (·𝑖OLD‘𝑈)
ip1i.9	⊢ 𝑈 ∈ CPreHilOLD
ipasslem9.a	⊢ 𝐴 ∈ 𝑋
ipasslem9.b	⊢ 𝐵 ∈ 𝑋

Assertion

Ref	Expression
ipasslem9	⊢ (𝐶 ∈ ℝ → ((𝐶𝑆𝐴)𝑃𝐵) = (𝐶 · (𝐴𝑃𝐵)))

Proof of Theorem ipasslem9

Dummy variable 𝑤 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq1 6884	. . . . . 6 ⊢ (𝑤 = 𝐶 → (𝑤𝑆𝐴) = (𝐶𝑆𝐴))
2	1	oveq1d 6892	. . . . 5 ⊢ (𝑤 = 𝐶 → ((𝑤𝑆𝐴)𝑃𝐵) = ((𝐶𝑆𝐴)𝑃𝐵))
3		oveq1 6884	. . . . 5 ⊢ (𝑤 = 𝐶 → (𝑤 · (𝐴𝑃𝐵)) = (𝐶 · (𝐴𝑃𝐵)))
4	2, 3	oveq12d 6895	. . . 4 ⊢ (𝑤 = 𝐶 → (((𝑤𝑆𝐴)𝑃𝐵) − (𝑤 · (𝐴𝑃𝐵))) = (((𝐶𝑆𝐴)𝑃𝐵) − (𝐶 · (𝐴𝑃𝐵))))
5		eqid 2798	. . . 4 ⊢ (𝑤 ∈ ℝ ↦ (((𝑤𝑆𝐴)𝑃𝐵) − (𝑤 · (𝐴𝑃𝐵)))) = (𝑤 ∈ ℝ ↦ (((𝑤𝑆𝐴)𝑃𝐵) − (𝑤 · (𝐴𝑃𝐵))))
6		ovex 6909	. . . 4 ⊢ (((𝐶𝑆𝐴)𝑃𝐵) − (𝐶 · (𝐴𝑃𝐵))) ∈ V
7	4, 5, 6	fvmpt 6506	. . 3 ⊢ (𝐶 ∈ ℝ → ((𝑤 ∈ ℝ ↦ (((𝑤𝑆𝐴)𝑃𝐵) − (𝑤 · (𝐴𝑃𝐵))))‘𝐶) = (((𝐶𝑆𝐴)𝑃𝐵) − (𝐶 · (𝐴𝑃𝐵))))
8		ip1i.1	. . . . 5 ⊢ 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
9		ip1i.2	. . . . 5 ⊢ 𝐺 = ( +𝑣 ‘𝑈)
10		ip1i.4	. . . . 5 ⊢ 𝑆 = ( ·𝑠OLD ‘𝑈)
11		ip1i.7	. . . . 5 ⊢ 𝑃 = (·𝑖OLD‘𝑈)
12		ip1i.9	. . . . 5 ⊢ 𝑈 ∈ CPreHilOLD
13		ipasslem9.a	. . . . 5 ⊢ 𝐴 ∈ 𝑋
14		ipasslem9.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 ∈ 𝑋
15	8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 5	ipasslem8 28210	. . . 4 ⊢ (𝑤 ∈ ℝ ↦ (((𝑤𝑆𝐴)𝑃𝐵) − (𝑤 · (𝐴𝑃𝐵)))):ℝ⟶{0}
16		fvconst 6658	. . . 4 ⊢ (((𝑤 ∈ ℝ ↦ (((𝑤𝑆𝐴)𝑃𝐵) − (𝑤 · (𝐴𝑃𝐵)))):ℝ⟶{0} ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝑤 ∈ ℝ ↦ (((𝑤𝑆𝐴)𝑃𝐵) − (𝑤 · (𝐴𝑃𝐵))))‘𝐶) = 0)
17	15, 16	mpan 682	. . 3 ⊢ (𝐶 ∈ ℝ → ((𝑤 ∈ ℝ ↦ (((𝑤𝑆𝐴)𝑃𝐵) − (𝑤 · (𝐴𝑃𝐵))))‘𝐶) = 0)
18	7, 17	eqtr3d 2834	. 2 ⊢ (𝐶 ∈ ℝ → (((𝐶𝑆𝐴)𝑃𝐵) − (𝐶 · (𝐴𝑃𝐵))) = 0)
19		recn 10313	. . 3 ⊢ (𝐶 ∈ ℝ → 𝐶 ∈ ℂ)
20	12	phnvi 28189	. . . . . 6 ⊢ 𝑈 ∈ NrmCVec
21	8, 10	nvscl 27999	. . . . . 6 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (𝐶𝑆𝐴) ∈ 𝑋)
22	20, 13, 21	mp3an13 1577	. . . . 5 ⊢ (𝐶 ∈ ℂ → (𝐶𝑆𝐴) ∈ 𝑋)
23	8, 11	dipcl 28085	. . . . . 6 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝐶𝑆𝐴) ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → ((𝐶𝑆𝐴)𝑃𝐵) ∈ ℂ)
24	20, 14, 23	mp3an13 1577	. . . . 5 ⊢ ((𝐶𝑆𝐴) ∈ 𝑋 → ((𝐶𝑆𝐴)𝑃𝐵) ∈ ℂ)
25	22, 24	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝐶 ∈ ℂ → ((𝐶𝑆𝐴)𝑃𝐵) ∈ ℂ)
26	8, 11	dipcl 28085	. . . . . 6 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝐴𝑃𝐵) ∈ ℂ)
27	20, 13, 14, 26	mp3an 1586	. . . . 5 ⊢ (𝐴𝑃𝐵) ∈ ℂ
28		mulcl 10307	. . . . 5 ⊢ ((𝐶 ∈ ℂ ∧ (𝐴𝑃𝐵) ∈ ℂ) → (𝐶 · (𝐴𝑃𝐵)) ∈ ℂ)
29	27, 28	mpan2 683	. . . 4 ⊢ (𝐶 ∈ ℂ → (𝐶 · (𝐴𝑃𝐵)) ∈ ℂ)
30	25, 29	subeq0ad 10693	. . 3 ⊢ (𝐶 ∈ ℂ → ((((𝐶𝑆𝐴)𝑃𝐵) − (𝐶 · (𝐴𝑃𝐵))) = 0 ↔ ((𝐶𝑆𝐴)𝑃𝐵) = (𝐶 · (𝐴𝑃𝐵))))
31	19, 30	syl 17	. 2 ⊢ (𝐶 ∈ ℝ → ((((𝐶𝑆𝐴)𝑃𝐵) − (𝐶 · (𝐴𝑃𝐵))) = 0 ↔ ((𝐶𝑆𝐴)𝑃𝐵) = (𝐶 · (𝐴𝑃𝐵))))
32	18, 31	mpbid 224	1 ⊢ (𝐶 ∈ ℝ → ((𝐶𝑆𝐴)𝑃𝐵) = (𝐶 · (𝐴𝑃𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 198   = wceq 1653   ∈ wcel 2157  {csn 4367   ↦ cmpt 4921  ⟶wf 6096  ‘cfv 6100  (class class class)co 6877  ℂcc 10221  ℝcr 10222  0cc0 10223   · cmul 10228   − cmin 10555  NrmCVeccnv 27957   +_𝑣 cpv 27958  BaseSetcba 27959   ·_𝑠OLD cns 27960  ·_𝑖OLDcdip 28073  CPreHil_OLDccphlo 28185

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1891  ax-4 1905  ax-5 2006  ax-6 2072  ax-7 2107  ax-8 2159  ax-9 2166  ax-10 2185  ax-11 2200  ax-12 2213  ax-13 2377  ax-ext 2776  ax-rep 4963  ax-sep 4974  ax-nul 4982  ax-pow 5034  ax-pr 5096  ax-un 7182  ax-inf2 8787  ax-cnex 10279  ax-resscn 10280  ax-1cn 10281  ax-icn 10282  ax-addcl 10283  ax-addrcl 10284  ax-mulcl 10285  ax-mulrcl 10286  ax-mulcom 10287  ax-addass 10288  ax-mulass 10289  ax-distr 10290  ax-i2m1 10291  ax-1ne0 10292  ax-1rid 10293  ax-rnegex 10294  ax-rrecex 10295  ax-cnre 10296  ax-pre-lttri 10297  ax-pre-lttrn 10298  ax-pre-ltadd 10299  ax-pre-mulgt0 10300  ax-pre-sup 10301  ax-addf 10302  ax-mulf 10303

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 386  df-or 875  df-3or 1109  df-3an 1110  df-tru 1657  df-fal 1667  df-ex 1876  df-nf 1880  df-sb 2065  df-mo 2591  df-eu 2609  df-clab 2785  df-cleq 2791  df-clel 2794  df-nfc 2929  df-ne 2971  df-nel 3074  df-ral 3093  df-rex 3094  df-reu 3095  df-rmo 3096  df-rab 3097  df-v 3386  df-sbc 3633  df-csb 3728  df-dif 3771  df-un 3773  df-in 3775  df-ss 3782  df-pss 3784  df-nul 4115  df-if 4277  df-pw 4350  df-sn 4368  df-pr 4370  df-tp 4372  df-op 4374  df-uni 4628  df-int 4667  df-iun 4711  df-iin 4712  df-br 4843  df-opab 4905  df-mpt 4922  df-tr 4945  df-id 5219  df-eprel 5224  df-po 5232  df-so 5233  df-fr 5270  df-se 5271  df-we 5272  df-xp 5317  df-rel 5318  df-cnv 5319  df-co 5320  df-dm 5321  df-rn 5322  df-res 5323  df-ima 5324  df-pred 5897  df-ord 5943  df-on 5944  df-lim 5945  df-suc 5946  df-iota 6063  df-fun 6102  df-fn 6103  df-f 6104  df-f1 6105  df-fo 6106  df-f1o 6107  df-fv 6108  df-isom 6109  df-riota 6838  df-ov 6880  df-oprab 6881  df-mpt2 6882  df-of 7130  df-om 7299  df-1st 7400  df-2nd 7401  df-supp 7532  df-wrecs 7644  df-recs 7706  df-rdg 7744  df-1o 7798  df-2o 7799  df-oadd 7802  df-er 7981  df-map 8096  df-ixp 8148  df-en 8195  df-dom 8196  df-sdom 8197  df-fin 8198  df-fsupp 8517  df-fi 8558  df-sup 8589  df-inf 8590  df-oi 8656  df-card 9050  df-cda 9277  df-pnf 10364  df-mnf 10365  df-xr 10366  df-ltxr 10367  df-le 10368  df-sub 10557  df-neg 10558  df-div 10976  df-nn 11312  df-2 11373  df-3 11374  df-4 11375  df-5 11376  df-6 11377  df-7 11378  df-8 11379  df-9 11380  df-n0 11578  df-z 11664  df-dec 11781  df-uz 11928  df-q 12031  df-rp 12072  df-xneg 12190  df-xadd 12191  df-xmul 12192  df-ioo 12425  df-icc 12428  df-fz 12578  df-fzo 12718  df-seq 13053  df-exp 13112  df-hash 13368  df-cj 14177  df-re 14178  df-im 14179  df-sqrt 14313  df-abs 14314  df-clim 14557  df-sum 14755  df-struct 16183  df-ndx 16184  df-slot 16185  df-base 16187  df-sets 16188  df-ress 16189  df-plusg 16277  df-mulr 16278  df-starv 16279  df-sca 16280  df-vsca 16281  df-ip 16282  df-tset 16283  df-ple 16284  df-ds 16286  df-unif 16287  df-hom 16288  df-cco 16289  df-rest 16395  df-topn 16396  df-0g 16414  df-gsum 16415  df-topgen 16416  df-pt 16417  df-prds 16420  df-xrs 16474  df-qtop 16479  df-imas 16480  df-xps 16482  df-mre 16558  df-mrc 16559  df-acs 16561  df-mgm 17554  df-sgrp 17596  df-mnd 17607  df-submnd 17648  df-mulg 17854  df-cntz 18059  df-cmn 18507  df-psmet 20057  df-xmet 20058  df-met 20059  df-bl 20060  df-mopn 20061  df-cnfld 20066  df-top 21024  df-topon 21041  df-topsp 21063  df-bases 21076  df-cld 21149  df-ntr 21150  df-cls 21151  df-cn 21357  df-cnp 21358  df-t1 21444  df-haus 21445  df-tx 21691  df-hmeo 21884  df-xms 22450  df-ms 22451  df-tms 22452  df-grpo 27866  df-gid 27867  df-ginv 27868  df-gdiv 27869  df-ablo 27918  df-vc 27932  df-nv 27965  df-va 27968  df-ba 27969  df-sm 27970  df-0v 27971  df-vs 27972  df-nmcv 27973  df-ims 27974  df-dip 28074  df-ph 28186

This theorem is referenced by:  ipasslem11  28213