Theorem ccatmulgnn0dir 34558

Description: Concatenation of words follow the rule mulgnn0dir 19123 (although applying mulgnn0dir 19123 would require 𝑆 to be a set). In this case 𝐴 is ⟨“𝐾”⟩ to the power 𝑀 in the free monoid. (Contributed by Thierry Arnoux, 5-Oct-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
ccatmulgnn0dir.a	⊢ 𝐴 = ((0..^𝑀) × {𝐾})
ccatmulgnn0dir.b	⊢ 𝐵 = ((0..^𝑁) × {𝐾})
ccatmulgnn0dir.c	⊢ 𝐶 = ((0..^(𝑀 + 𝑁)) × {𝐾})
ccatmulgnn0dir.k	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ 𝑆)
ccatmulgnn0dir.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ0)
ccatmulgnn0dir.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)

Assertion

Ref	Expression
ccatmulgnn0dir	⊢ (𝜑 → (𝐴 ++ 𝐵) = 𝐶)

Proof of Theorem ccatmulgnn0dir

Dummy variable 𝑖 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ccatmulgnn0dir.a	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐴 = ((0..^𝑀) × {𝐾})
2	1	fveq2i 6908	. . . . . . . 8 ⊢ (♯‘𝐴) = (♯‘((0..^𝑀) × {𝐾}))
3		fzofi 14016	. . . . . . . . 9 ⊢ (0..^𝑀) ∈ Fin
4		snfi 9084	. . . . . . . . 9 ⊢ {𝐾} ∈ Fin
5		hashxp 14474	. . . . . . . . 9 ⊢ (((0..^𝑀) ∈ Fin ∧ {𝐾} ∈ Fin) → (♯‘((0..^𝑀) × {𝐾})) = ((♯‘(0..^𝑀)) · (♯‘{𝐾})))
6	3, 4, 5	mp2an 692	. . . . . . . 8 ⊢ (♯‘((0..^𝑀) × {𝐾})) = ((♯‘(0..^𝑀)) · (♯‘{𝐾}))
7	2, 6	eqtri 2764	. . . . . . 7 ⊢ (♯‘𝐴) = ((♯‘(0..^𝑀)) · (♯‘{𝐾}))
8		ccatmulgnn0dir.m	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ0)
9		hashfzo0 14470	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ0 → (♯‘(0..^𝑀)) = 𝑀)
10	8, 9	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (♯‘(0..^𝑀)) = 𝑀)
11		ccatmulgnn0dir.k	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ 𝑆)
12		hashsng 14409	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐾 ∈ 𝑆 → (♯‘{𝐾}) = 1)
13	11, 12	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (♯‘{𝐾}) = 1)
14	10, 13	oveq12d 7450	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((♯‘(0..^𝑀)) · (♯‘{𝐾})) = (𝑀 · 1))
15	7, 14	eqtrid 2788	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐴) = (𝑀 · 1))
16	8	nn0cnd 12591	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℂ)
17	16	mulridd 11279	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑀 · 1) = 𝑀)
18	15, 17	eqtrd 2776	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐴) = 𝑀)
19		ccatmulgnn0dir.b	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐵 = ((0..^𝑁) × {𝐾})
20	19	fveq2i 6908	. . . . . . . 8 ⊢ (♯‘𝐵) = (♯‘((0..^𝑁) × {𝐾}))
21		fzofi 14016	. . . . . . . . 9 ⊢ (0..^𝑁) ∈ Fin
22		hashxp 14474	. . . . . . . . 9 ⊢ (((0..^𝑁) ∈ Fin ∧ {𝐾} ∈ Fin) → (♯‘((0..^𝑁) × {𝐾})) = ((♯‘(0..^𝑁)) · (♯‘{𝐾})))
23	21, 4, 22	mp2an 692	. . . . . . . 8 ⊢ (♯‘((0..^𝑁) × {𝐾})) = ((♯‘(0..^𝑁)) · (♯‘{𝐾}))
24	20, 23	eqtri 2764	. . . . . . 7 ⊢ (♯‘𝐵) = ((♯‘(0..^𝑁)) · (♯‘{𝐾}))
25		ccatmulgnn0dir.n	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
26		hashfzo0 14470	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (♯‘(0..^𝑁)) = 𝑁)
27	25, 26	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (♯‘(0..^𝑁)) = 𝑁)
28	27, 13	oveq12d 7450	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((♯‘(0..^𝑁)) · (♯‘{𝐾})) = (𝑁 · 1))
29	24, 28	eqtrid 2788	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐵) = (𝑁 · 1))
30	25	nn0cnd 12591	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℂ)
31	30	mulridd 11279	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑁 · 1) = 𝑁)
32	29, 31	eqtrd 2776	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐵) = 𝑁)
33	18, 32	oveq12d 7450	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵)) = (𝑀 + 𝑁))
34	33	oveq2d 7448	. . 3 ⊢ (𝜑 → (0..^((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵))) = (0..^(𝑀 + 𝑁)))
35		simpll 766	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵)))) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐴))) → 𝜑)
36		simpr 484	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵)))) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐴))) → 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐴)))
37	18	oveq2d 7448	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (0..^(♯‘𝐴)) = (0..^𝑀))
38	35, 37	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵)))) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐴))) → (0..^(♯‘𝐴)) = (0..^𝑀))
39	36, 38	eleqtrd 2842	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵)))) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐴))) → 𝑖 ∈ (0..^𝑀))
40		fconstg 6794	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∈ 𝑆 → ((0..^𝑀) × {𝐾}):(0..^𝑀)⟶{𝐾})
41	11, 40	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((0..^𝑀) × {𝐾}):(0..^𝑀)⟶{𝐾})
42	1	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = ((0..^𝑀) × {𝐾}))
43	42	feq1d 6719	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐴:(0..^𝑀)⟶{𝐾} ↔ ((0..^𝑀) × {𝐾}):(0..^𝑀)⟶{𝐾}))
44	41, 43	mpbird 257	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴:(0..^𝑀)⟶{𝐾})
45		fvconst 7183	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴:(0..^𝑀)⟶{𝐾} ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝐴‘𝑖) = 𝐾)
46	44, 45	sylan 580	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝐴‘𝑖) = 𝐾)
47	35, 39, 46	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵)))) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐴))) → (𝐴‘𝑖) = 𝐾)
48		simpll 766	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵)))) ∧ ¬ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐴))) → 𝜑)
49		simplr 768	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵)))) ∧ ¬ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐴))) → 𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵))))
50		simpr 484	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵)))) ∧ ¬ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐴))) → ¬ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐴)))
51	18, 8	eqeltrd 2840	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐴) ∈ ℕ0)
52	48, 51	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵)))) ∧ ¬ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐴))) → (♯‘𝐴) ∈ ℕ0)
53	52	nn0zd 12641	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵)))) ∧ ¬ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐴))) → (♯‘𝐴) ∈ ℤ)
54	32, 25	eqeltrd 2840	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐵) ∈ ℕ0)
55	48, 54	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵)))) ∧ ¬ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐴))) → (♯‘𝐵) ∈ ℕ0)
56	55	nn0zd 12641	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵)))) ∧ ¬ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐴))) → (♯‘𝐵) ∈ ℤ)
57		fzocatel 13769	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵))) ∧ ¬ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐴))) ∧ ((♯‘𝐴) ∈ ℤ ∧ (♯‘𝐵) ∈ ℤ)) → (𝑖 − (♯‘𝐴)) ∈ (0..^(♯‘𝐵)))
58	49, 50, 53, 56, 57	syl22anc 838	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵)))) ∧ ¬ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐴))) → (𝑖 − (♯‘𝐴)) ∈ (0..^(♯‘𝐵)))
59	32	oveq2d 7448	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (0..^(♯‘𝐵)) = (0..^𝑁))
60	48, 59	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵)))) ∧ ¬ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐴))) → (0..^(♯‘𝐵)) = (0..^𝑁))
61	58, 60	eleqtrd 2842	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵)))) ∧ ¬ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐴))) → (𝑖 − (♯‘𝐴)) ∈ (0..^𝑁))
62		fconstg 6794	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∈ 𝑆 → ((0..^𝑁) × {𝐾}):(0..^𝑁)⟶{𝐾})
63	11, 62	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((0..^𝑁) × {𝐾}):(0..^𝑁)⟶{𝐾})
64	19	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = ((0..^𝑁) × {𝐾}))
65	64	feq1d 6719	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐵:(0..^𝑁)⟶{𝐾} ↔ ((0..^𝑁) × {𝐾}):(0..^𝑁)⟶{𝐾}))
66	63, 65	mpbird 257	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵:(0..^𝑁)⟶{𝐾})
67		fvconst 7183	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵:(0..^𝑁)⟶{𝐾} ∧ (𝑖 − (♯‘𝐴)) ∈ (0..^𝑁)) → (𝐵‘(𝑖 − (♯‘𝐴))) = 𝐾)
68	66, 67	sylan 580	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑖 − (♯‘𝐴)) ∈ (0..^𝑁)) → (𝐵‘(𝑖 − (♯‘𝐴))) = 𝐾)
69	48, 61, 68	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵)))) ∧ ¬ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐴))) → (𝐵‘(𝑖 − (♯‘𝐴))) = 𝐾)
70	47, 69	ifeqda 4561	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵)))) → if(𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐴)), (𝐴‘𝑖), (𝐵‘(𝑖 − (♯‘𝐴)))) = 𝐾)
71	34, 70	mpteq12dva 5230	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵))) ↦ if(𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐴)), (𝐴‘𝑖), (𝐵‘(𝑖 − (♯‘𝐴))))) = (𝑖 ∈ (0..^(𝑀 + 𝑁)) ↦ 𝐾))
72		ovex 7465	. . . . 5 ⊢ (0..^𝑀) ∈ V
73		snex 5435	. . . . 5 ⊢ {𝐾} ∈ V
74	72, 73	xpex 7774	. . . 4 ⊢ ((0..^𝑀) × {𝐾}) ∈ V
75	1, 74	eqeltri 2836	. . 3 ⊢ 𝐴 ∈ V
76		ovex 7465	. . . . 5 ⊢ (0..^𝑁) ∈ V
77	76, 73	xpex 7774	. . . 4 ⊢ ((0..^𝑁) × {𝐾}) ∈ V
78	19, 77	eqeltri 2836	. . 3 ⊢ 𝐵 ∈ V
79		ccatfval 14612	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) → (𝐴 ++ 𝐵) = (𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵))) ↦ if(𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐴)), (𝐴‘𝑖), (𝐵‘(𝑖 − (♯‘𝐴))))))
80	75, 78, 79	mp2an 692	. 2 ⊢ (𝐴 ++ 𝐵) = (𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵))) ↦ if(𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐴)), (𝐴‘𝑖), (𝐵‘(𝑖 − (♯‘𝐴)))))
81		ccatmulgnn0dir.c	. . 3 ⊢ 𝐶 = ((0..^(𝑀 + 𝑁)) × {𝐾})
82		fconstmpt 5746	. . 3 ⊢ ((0..^(𝑀 + 𝑁)) × {𝐾}) = (𝑖 ∈ (0..^(𝑀 + 𝑁)) ↦ 𝐾)
83	81, 82	eqtri 2764	. 2 ⊢ 𝐶 = (𝑖 ∈ (0..^(𝑀 + 𝑁)) ↦ 𝐾)
84	71, 80, 83	3eqtr4g 2801	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ++ 𝐵) = 𝐶)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1539   ∈ wcel 2107  Vcvv 3479  ifcif 4524  {csn 4625   ↦ cmpt 5224   × cxp 5682  ⟶wf 6556  ‘cfv 6560  (class class class)co 7432  Fincfn 8986  0cc0 11156  1c1 11157   + caddc 11159   · cmul 11161   − cmin 11493  ℕ₀cn0 12528  ℤcz 12615  ..^cfzo 13695  ♯chash 14370   ++ cconcat 14609

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2707  ax-rep 5278  ax-sep 5295  ax-nul 5305  ax-pow 5364  ax-pr 5431  ax-un 7756  ax-cnex 11212  ax-resscn 11213  ax-1cn 11214  ax-icn 11215  ax-addcl 11216  ax-addrcl 11217  ax-mulcl 11218  ax-mulrcl 11219  ax-mulcom 11220  ax-addass 11221  ax-mulass 11222  ax-distr 11223  ax-i2m1 11224  ax-1ne0 11225  ax-1rid 11226  ax-rnegex 11227  ax-rrecex 11228  ax-cnre 11229  ax-pre-lttri 11230  ax-pre-lttrn 11231  ax-pre-ltadd 11232  ax-pre-mulgt0 11233

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-nfc 2891  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-reu 3380  df-rab 3436  df-v 3481  df-sbc 3788  df-csb 3899  df-dif 3953  df-un 3955  df-in 3957  df-ss 3967  df-pss 3970  df-nul 4333  df-if 4525  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4907  df-int 4946  df-iun 4992  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5577  df-eprel 5583  df-po 5591  df-so 5592  df-fr 5636  df-we 5638  df-xp 5690  df-rel 5691  df-cnv 5692  df-co 5693  df-dm 5694  df-rn 5695  df-res 5696  df-ima 5697  df-pred 6320  df-ord 6386  df-on 6387  df-lim 6388  df-suc 6389  df-iota 6513  df-fun 6562  df-fn 6563  df-f 6564  df-f1 6565  df-fo 6566  df-f1o 6567  df-fv 6568  df-riota 7389  df-ov 7435  df-oprab 7436  df-mpo 7437  df-om 7889  df-1st 8015  df-2nd 8016  df-frecs 8307  df-wrecs 8338  df-recs 8412  df-rdg 8451  df-1o 8507  df-oadd 8511  df-er 8746  df-en 8987  df-dom 8988  df-sdom 8989  df-fin 8990  df-dju 9942  df-card 9980  df-pnf 11298  df-mnf 11299  df-xr 11300  df-ltxr 11301  df-le 11302  df-sub 11495  df-neg 11496  df-nn 12268  df-n0 12529  df-z 12616  df-uz 12880  df-fz 13549  df-fzo 13696  df-hash 14371  df-concat 14610

This theorem is referenced by:  ofcccat  34559