Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ccatmulgnn0dir Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ccatmulgnn0dir 34110
Description: Concatenation of words follow the rule mulgnn0dir 19050 (although applying mulgnn0dir 19050 would require ๐‘† to be a set). In this case ๐ด is โŸจโ€œ๐พโ€โŸฉ to the power ๐‘€ in the free monoid. (Contributed by Thierry Arnoux, 5-Oct-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
ccatmulgnn0dir.a ๐ด = ((0..^๐‘€) ร— {๐พ})
ccatmulgnn0dir.b ๐ต = ((0..^๐‘) ร— {๐พ})
ccatmulgnn0dir.c ๐ถ = ((0..^(๐‘€ + ๐‘)) ร— {๐พ})
ccatmulgnn0dir.k (๐œ‘ โ†’ ๐พ โˆˆ ๐‘†)
ccatmulgnn0dir.m (๐œ‘ โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„•0)
ccatmulgnn0dir.n (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•0)
Assertion
Ref Expression
ccatmulgnn0dir (๐œ‘ โ†’ (๐ด ++ ๐ต) = ๐ถ)

Proof of Theorem ccatmulgnn0dir
Dummy variable ๐‘– is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ccatmulgnn0dir.a . . . . . . . . 9 ๐ด = ((0..^๐‘€) ร— {๐พ})
21fveq2i 6894 . . . . . . . 8 (โ™ฏโ€˜๐ด) = (โ™ฏโ€˜((0..^๐‘€) ร— {๐พ}))
3 fzofi 13963 . . . . . . . . 9 (0..^๐‘€) โˆˆ Fin
4 snfi 9060 . . . . . . . . 9 {๐พ} โˆˆ Fin
5 hashxp 14417 . . . . . . . . 9 (((0..^๐‘€) โˆˆ Fin โˆง {๐พ} โˆˆ Fin) โ†’ (โ™ฏโ€˜((0..^๐‘€) ร— {๐พ})) = ((โ™ฏโ€˜(0..^๐‘€)) ยท (โ™ฏโ€˜{๐พ})))
63, 4, 5mp2an 691 . . . . . . . 8 (โ™ฏโ€˜((0..^๐‘€) ร— {๐พ})) = ((โ™ฏโ€˜(0..^๐‘€)) ยท (โ™ฏโ€˜{๐พ}))
72, 6eqtri 2755 . . . . . . 7 (โ™ฏโ€˜๐ด) = ((โ™ฏโ€˜(0..^๐‘€)) ยท (โ™ฏโ€˜{๐พ}))
8 ccatmulgnn0dir.m . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„•0)
9 hashfzo0 14413 . . . . . . . . 9 (๐‘€ โˆˆ โ„•0 โ†’ (โ™ฏโ€˜(0..^๐‘€)) = ๐‘€)
108, 9syl 17 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (โ™ฏโ€˜(0..^๐‘€)) = ๐‘€)
11 ccatmulgnn0dir.k . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ๐พ โˆˆ ๐‘†)
12 hashsng 14352 . . . . . . . . 9 (๐พ โˆˆ ๐‘† โ†’ (โ™ฏโ€˜{๐พ}) = 1)
1311, 12syl 17 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (โ™ฏโ€˜{๐พ}) = 1)
1410, 13oveq12d 7432 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ((โ™ฏโ€˜(0..^๐‘€)) ยท (โ™ฏโ€˜{๐พ})) = (๐‘€ ยท 1))
157, 14eqtrid 2779 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (โ™ฏโ€˜๐ด) = (๐‘€ ยท 1))
168nn0cnd 12556 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„‚)
1716mulridd 11253 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (๐‘€ ยท 1) = ๐‘€)
1815, 17eqtrd 2767 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (โ™ฏโ€˜๐ด) = ๐‘€)
19 ccatmulgnn0dir.b . . . . . . . . 9 ๐ต = ((0..^๐‘) ร— {๐พ})
2019fveq2i 6894 . . . . . . . 8 (โ™ฏโ€˜๐ต) = (โ™ฏโ€˜((0..^๐‘) ร— {๐พ}))
21 fzofi 13963 . . . . . . . . 9 (0..^๐‘) โˆˆ Fin
22 hashxp 14417 . . . . . . . . 9 (((0..^๐‘) โˆˆ Fin โˆง {๐พ} โˆˆ Fin) โ†’ (โ™ฏโ€˜((0..^๐‘) ร— {๐พ})) = ((โ™ฏโ€˜(0..^๐‘)) ยท (โ™ฏโ€˜{๐พ})))
2321, 4, 22mp2an 691 . . . . . . . 8 (โ™ฏโ€˜((0..^๐‘) ร— {๐พ})) = ((โ™ฏโ€˜(0..^๐‘)) ยท (โ™ฏโ€˜{๐พ}))
2420, 23eqtri 2755 . . . . . . 7 (โ™ฏโ€˜๐ต) = ((โ™ฏโ€˜(0..^๐‘)) ยท (โ™ฏโ€˜{๐พ}))
25 ccatmulgnn0dir.n . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•0)
26 hashfzo0 14413 . . . . . . . . 9 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ (โ™ฏโ€˜(0..^๐‘)) = ๐‘)
2725, 26syl 17 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (โ™ฏโ€˜(0..^๐‘)) = ๐‘)
2827, 13oveq12d 7432 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ((โ™ฏโ€˜(0..^๐‘)) ยท (โ™ฏโ€˜{๐พ})) = (๐‘ ยท 1))
2924, 28eqtrid 2779 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (โ™ฏโ€˜๐ต) = (๐‘ ยท 1))
3025nn0cnd 12556 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„‚)
3130mulridd 11253 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ ยท 1) = ๐‘)
3229, 31eqtrd 2767 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (โ™ฏโ€˜๐ต) = ๐‘)
3318, 32oveq12d 7432 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ((โ™ฏโ€˜๐ด) + (โ™ฏโ€˜๐ต)) = (๐‘€ + ๐‘))
3433oveq2d 7430 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (0..^((โ™ฏโ€˜๐ด) + (โ™ฏโ€˜๐ต))) = (0..^(๐‘€ + ๐‘)))
35 simpll 766 . . . . 5 (((๐œ‘ โˆง ๐‘– โˆˆ (0..^((โ™ฏโ€˜๐ด) + (โ™ฏโ€˜๐ต)))) โˆง ๐‘– โˆˆ (0..^(โ™ฏโ€˜๐ด))) โ†’ ๐œ‘)
36 simpr 484 . . . . . 6 (((๐œ‘ โˆง ๐‘– โˆˆ (0..^((โ™ฏโ€˜๐ด) + (โ™ฏโ€˜๐ต)))) โˆง ๐‘– โˆˆ (0..^(โ™ฏโ€˜๐ด))) โ†’ ๐‘– โˆˆ (0..^(โ™ฏโ€˜๐ด)))
3718oveq2d 7430 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (0..^(โ™ฏโ€˜๐ด)) = (0..^๐‘€))
3835, 37syl 17 . . . . . 6 (((๐œ‘ โˆง ๐‘– โˆˆ (0..^((โ™ฏโ€˜๐ด) + (โ™ฏโ€˜๐ต)))) โˆง ๐‘– โˆˆ (0..^(โ™ฏโ€˜๐ด))) โ†’ (0..^(โ™ฏโ€˜๐ด)) = (0..^๐‘€))
3936, 38eleqtrd 2830 . . . . 5 (((๐œ‘ โˆง ๐‘– โˆˆ (0..^((โ™ฏโ€˜๐ด) + (โ™ฏโ€˜๐ต)))) โˆง ๐‘– โˆˆ (0..^(โ™ฏโ€˜๐ด))) โ†’ ๐‘– โˆˆ (0..^๐‘€))
40 fconstg 6778 . . . . . . . 8 (๐พ โˆˆ ๐‘† โ†’ ((0..^๐‘€) ร— {๐พ}):(0..^๐‘€)โŸถ{๐พ})
4111, 40syl 17 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ((0..^๐‘€) ร— {๐พ}):(0..^๐‘€)โŸถ{๐พ})
421a1i 11 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ๐ด = ((0..^๐‘€) ร— {๐พ}))
4342feq1d 6701 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (๐ด:(0..^๐‘€)โŸถ{๐พ} โ†” ((0..^๐‘€) ร— {๐พ}):(0..^๐‘€)โŸถ{๐พ}))
4441, 43mpbird 257 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ๐ด:(0..^๐‘€)โŸถ{๐พ})
45 fvconst 7167 . . . . . 6 ((๐ด:(0..^๐‘€)โŸถ{๐พ} โˆง ๐‘– โˆˆ (0..^๐‘€)) โ†’ (๐ดโ€˜๐‘–) = ๐พ)
4644, 45sylan 579 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘– โˆˆ (0..^๐‘€)) โ†’ (๐ดโ€˜๐‘–) = ๐พ)
4735, 39, 46syl2anc 583 . . . 4 (((๐œ‘ โˆง ๐‘– โˆˆ (0..^((โ™ฏโ€˜๐ด) + (โ™ฏโ€˜๐ต)))) โˆง ๐‘– โˆˆ (0..^(โ™ฏโ€˜๐ด))) โ†’ (๐ดโ€˜๐‘–) = ๐พ)
48 simpll 766 . . . . 5 (((๐œ‘ โˆง ๐‘– โˆˆ (0..^((โ™ฏโ€˜๐ด) + (โ™ฏโ€˜๐ต)))) โˆง ยฌ ๐‘– โˆˆ (0..^(โ™ฏโ€˜๐ด))) โ†’ ๐œ‘)
49 simplr 768 . . . . . . 7 (((๐œ‘ โˆง ๐‘– โˆˆ (0..^((โ™ฏโ€˜๐ด) + (โ™ฏโ€˜๐ต)))) โˆง ยฌ ๐‘– โˆˆ (0..^(โ™ฏโ€˜๐ด))) โ†’ ๐‘– โˆˆ (0..^((โ™ฏโ€˜๐ด) + (โ™ฏโ€˜๐ต))))
50 simpr 484 . . . . . . 7 (((๐œ‘ โˆง ๐‘– โˆˆ (0..^((โ™ฏโ€˜๐ด) + (โ™ฏโ€˜๐ต)))) โˆง ยฌ ๐‘– โˆˆ (0..^(โ™ฏโ€˜๐ด))) โ†’ ยฌ ๐‘– โˆˆ (0..^(โ™ฏโ€˜๐ด)))
5118, 8eqeltrd 2828 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (โ™ฏโ€˜๐ด) โˆˆ โ„•0)
5248, 51syl 17 . . . . . . . 8 (((๐œ‘ โˆง ๐‘– โˆˆ (0..^((โ™ฏโ€˜๐ด) + (โ™ฏโ€˜๐ต)))) โˆง ยฌ ๐‘– โˆˆ (0..^(โ™ฏโ€˜๐ด))) โ†’ (โ™ฏโ€˜๐ด) โˆˆ โ„•0)
5352nn0zd 12606 . . . . . . 7 (((๐œ‘ โˆง ๐‘– โˆˆ (0..^((โ™ฏโ€˜๐ด) + (โ™ฏโ€˜๐ต)))) โˆง ยฌ ๐‘– โˆˆ (0..^(โ™ฏโ€˜๐ด))) โ†’ (โ™ฏโ€˜๐ด) โˆˆ โ„ค)
5432, 25eqeltrd 2828 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (โ™ฏโ€˜๐ต) โˆˆ โ„•0)
5548, 54syl 17 . . . . . . . 8 (((๐œ‘ โˆง ๐‘– โˆˆ (0..^((โ™ฏโ€˜๐ด) + (โ™ฏโ€˜๐ต)))) โˆง ยฌ ๐‘– โˆˆ (0..^(โ™ฏโ€˜๐ด))) โ†’ (โ™ฏโ€˜๐ต) โˆˆ โ„•0)
5655nn0zd 12606 . . . . . . 7 (((๐œ‘ โˆง ๐‘– โˆˆ (0..^((โ™ฏโ€˜๐ด) + (โ™ฏโ€˜๐ต)))) โˆง ยฌ ๐‘– โˆˆ (0..^(โ™ฏโ€˜๐ด))) โ†’ (โ™ฏโ€˜๐ต) โˆˆ โ„ค)
57 fzocatel 13720 . . . . . . 7 (((๐‘– โˆˆ (0..^((โ™ฏโ€˜๐ด) + (โ™ฏโ€˜๐ต))) โˆง ยฌ ๐‘– โˆˆ (0..^(โ™ฏโ€˜๐ด))) โˆง ((โ™ฏโ€˜๐ด) โˆˆ โ„ค โˆง (โ™ฏโ€˜๐ต) โˆˆ โ„ค)) โ†’ (๐‘– โˆ’ (โ™ฏโ€˜๐ด)) โˆˆ (0..^(โ™ฏโ€˜๐ต)))
5849, 50, 53, 56, 57syl22anc 838 . . . . . 6 (((๐œ‘ โˆง ๐‘– โˆˆ (0..^((โ™ฏโ€˜๐ด) + (โ™ฏโ€˜๐ต)))) โˆง ยฌ ๐‘– โˆˆ (0..^(โ™ฏโ€˜๐ด))) โ†’ (๐‘– โˆ’ (โ™ฏโ€˜๐ด)) โˆˆ (0..^(โ™ฏโ€˜๐ต)))
5932oveq2d 7430 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (0..^(โ™ฏโ€˜๐ต)) = (0..^๐‘))
6048, 59syl 17 . . . . . 6 (((๐œ‘ โˆง ๐‘– โˆˆ (0..^((โ™ฏโ€˜๐ด) + (โ™ฏโ€˜๐ต)))) โˆง ยฌ ๐‘– โˆˆ (0..^(โ™ฏโ€˜๐ด))) โ†’ (0..^(โ™ฏโ€˜๐ต)) = (0..^๐‘))
6158, 60eleqtrd 2830 . . . . 5 (((๐œ‘ โˆง ๐‘– โˆˆ (0..^((โ™ฏโ€˜๐ด) + (โ™ฏโ€˜๐ต)))) โˆง ยฌ ๐‘– โˆˆ (0..^(โ™ฏโ€˜๐ด))) โ†’ (๐‘– โˆ’ (โ™ฏโ€˜๐ด)) โˆˆ (0..^๐‘))
62 fconstg 6778 . . . . . . . 8 (๐พ โˆˆ ๐‘† โ†’ ((0..^๐‘) ร— {๐พ}):(0..^๐‘)โŸถ{๐พ})
6311, 62syl 17 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ((0..^๐‘) ร— {๐พ}):(0..^๐‘)โŸถ{๐พ})
6419a1i 11 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ๐ต = ((0..^๐‘) ร— {๐พ}))
6564feq1d 6701 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (๐ต:(0..^๐‘)โŸถ{๐พ} โ†” ((0..^๐‘) ร— {๐พ}):(0..^๐‘)โŸถ{๐พ}))
6663, 65mpbird 257 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ๐ต:(0..^๐‘)โŸถ{๐พ})
67 fvconst 7167 . . . . . 6 ((๐ต:(0..^๐‘)โŸถ{๐พ} โˆง (๐‘– โˆ’ (โ™ฏโ€˜๐ด)) โˆˆ (0..^๐‘)) โ†’ (๐ตโ€˜(๐‘– โˆ’ (โ™ฏโ€˜๐ด))) = ๐พ)
6866, 67sylan 579 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง (๐‘– โˆ’ (โ™ฏโ€˜๐ด)) โˆˆ (0..^๐‘)) โ†’ (๐ตโ€˜(๐‘– โˆ’ (โ™ฏโ€˜๐ด))) = ๐พ)
6948, 61, 68syl2anc 583 . . . 4 (((๐œ‘ โˆง ๐‘– โˆˆ (0..^((โ™ฏโ€˜๐ด) + (โ™ฏโ€˜๐ต)))) โˆง ยฌ ๐‘– โˆˆ (0..^(โ™ฏโ€˜๐ด))) โ†’ (๐ตโ€˜(๐‘– โˆ’ (โ™ฏโ€˜๐ด))) = ๐พ)
7047, 69ifeqda 4560 . . 3 ((๐œ‘ โˆง ๐‘– โˆˆ (0..^((โ™ฏโ€˜๐ด) + (โ™ฏโ€˜๐ต)))) โ†’ if(๐‘– โˆˆ (0..^(โ™ฏโ€˜๐ด)), (๐ดโ€˜๐‘–), (๐ตโ€˜(๐‘– โˆ’ (โ™ฏโ€˜๐ด)))) = ๐พ)
7134, 70mpteq12dva 5231 . 2 (๐œ‘ โ†’ (๐‘– โˆˆ (0..^((โ™ฏโ€˜๐ด) + (โ™ฏโ€˜๐ต))) โ†ฆ if(๐‘– โˆˆ (0..^(โ™ฏโ€˜๐ด)), (๐ดโ€˜๐‘–), (๐ตโ€˜(๐‘– โˆ’ (โ™ฏโ€˜๐ด))))) = (๐‘– โˆˆ (0..^(๐‘€ + ๐‘)) โ†ฆ ๐พ))
72 ovex 7447 . . . . 5 (0..^๐‘€) โˆˆ V
73 snex 5427 . . . . 5 {๐พ} โˆˆ V
7472, 73xpex 7749 . . . 4 ((0..^๐‘€) ร— {๐พ}) โˆˆ V
751, 74eqeltri 2824 . . 3 ๐ด โˆˆ V
76 ovex 7447 . . . . 5 (0..^๐‘) โˆˆ V
7776, 73xpex 7749 . . . 4 ((0..^๐‘) ร— {๐พ}) โˆˆ V
7819, 77eqeltri 2824 . . 3 ๐ต โˆˆ V
79 ccatfval 14547 . . 3 ((๐ด โˆˆ V โˆง ๐ต โˆˆ V) โ†’ (๐ด ++ ๐ต) = (๐‘– โˆˆ (0..^((โ™ฏโ€˜๐ด) + (โ™ฏโ€˜๐ต))) โ†ฆ if(๐‘– โˆˆ (0..^(โ™ฏโ€˜๐ด)), (๐ดโ€˜๐‘–), (๐ตโ€˜(๐‘– โˆ’ (โ™ฏโ€˜๐ด))))))
8075, 78, 79mp2an 691 . 2 (๐ด ++ ๐ต) = (๐‘– โˆˆ (0..^((โ™ฏโ€˜๐ด) + (โ™ฏโ€˜๐ต))) โ†ฆ if(๐‘– โˆˆ (0..^(โ™ฏโ€˜๐ด)), (๐ดโ€˜๐‘–), (๐ตโ€˜(๐‘– โˆ’ (โ™ฏโ€˜๐ด)))))
81 ccatmulgnn0dir.c . . 3 ๐ถ = ((0..^(๐‘€ + ๐‘)) ร— {๐พ})
82 fconstmpt 5734 . . 3 ((0..^(๐‘€ + ๐‘)) ร— {๐พ}) = (๐‘– โˆˆ (0..^(๐‘€ + ๐‘)) โ†ฆ ๐พ)
8381, 82eqtri 2755 . 2 ๐ถ = (๐‘– โˆˆ (0..^(๐‘€ + ๐‘)) โ†ฆ ๐พ)
8471, 80, 833eqtr4g 2792 1 (๐œ‘ โ†’ (๐ด ++ ๐ต) = ๐ถ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ยฌ wn 3   โ†’ wi 4   โˆง wa 395   = wceq 1534   โˆˆ wcel 2099  Vcvv 3469  ifcif 4524  {csn 4624   โ†ฆ cmpt 5225   ร— cxp 5670  โŸถwf 6538  โ€˜cfv 6542  (class class class)co 7414  Fincfn 8955  0cc0 11130  1c1 11131   + caddc 11133   ยท cmul 11135   โˆ’ cmin 11466  โ„•0cn0 12494  โ„คcz 12580  ..^cfzo 13651  โ™ฏchash 14313   ++ cconcat 14544
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-rep 5279  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7734  ax-cnex 11186  ax-resscn 11187  ax-1cn 11188  ax-icn 11189  ax-addcl 11190  ax-addrcl 11191  ax-mulcl 11192  ax-mulrcl 11193  ax-mulcom 11194  ax-addass 11195  ax-mulass 11196  ax-distr 11197  ax-i2m1 11198  ax-1ne0 11199  ax-1rid 11200  ax-rnegex 11201  ax-rrecex 11202  ax-cnre 11203  ax-pre-lttri 11204  ax-pre-lttrn 11205  ax-pre-ltadd 11206  ax-pre-mulgt0 11207
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-nel 3042  df-ral 3057  df-rex 3066  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7865  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-1o 8480  df-oadd 8484  df-er 8718  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-fin 8959  df-dju 9916  df-card 9954  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11468  df-neg 11469  df-nn 12235  df-n0 12495  df-z 12581  df-uz 12845  df-fz 13509  df-fzo 13652  df-hash 14314  df-concat 14545
This theorem is referenced by:  ofcccat  34111
  Copyright terms: Public domain W3C validator