Theorem ccatmulgnn0dir 35224

Description: Concatenation of words follow the rule mulgnn0dir 19323 (although applying mulgnn0dir 19323 would require 𝑆 to be a set). In this case 𝐴 is ⟨“𝐾”⟩ to the power 𝑀 in the free monoid. (Contributed by Thierry Arnoux, 5-Oct-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
ccatmulgnn0dir.a	⊢ 𝐴 = ((0..^𝑀) × {𝐾})
ccatmulgnn0dir.b	⊢ 𝐵 = ((0..^𝑁) × {𝐾})
ccatmulgnn0dir.c	⊢ 𝐶 = ((0..^(𝑀 + 𝑁)) × {𝐾})
ccatmulgnn0dir.k	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ 𝑆)
ccatmulgnn0dir.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ0)
ccatmulgnn0dir.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)

Assertion

Ref	Expression
ccatmulgnn0dir	⊢ (𝜑 → (𝐴 ++ 𝐵) = 𝐶)

Proof of Theorem ccatmulgnn0dir

Dummy variable 𝑖 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ccatmulgnn0dir.a	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐴 = ((0..^𝑀) × {𝐾})
2	1	fveq2i 6893	. . . . . . . 8 ⊢ (♯‘𝐴) = (♯‘((0..^𝑀) × {𝐾}))
3		fzofi 14124	. . . . . . . . 9 ⊢ (0..^𝑀) ∈ Fin
4		snfi 9079	. . . . . . . . 9 ⊢ {𝐾} ∈ Fin
5		hashxp 14586	. . . . . . . . 9 ⊢ (((0..^𝑀) ∈ Fin ∧ {𝐾} ∈ Fin) → (♯‘((0..^𝑀) × {𝐾})) = ((♯‘(0..^𝑀)) · (♯‘{𝐾})))
6	3, 4, 5	mp2an 705	. . . . . . . 8 ⊢ (♯‘((0..^𝑀) × {𝐾})) = ((♯‘(0..^𝑀)) · (♯‘{𝐾}))
7	2, 6	eqtri 2783	. . . . . . 7 ⊢ (♯‘𝐴) = ((♯‘(0..^𝑀)) · (♯‘{𝐾}))
8		ccatmulgnn0dir.m	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ0)
9		hashfzo0 14582	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ0 → (♯‘(0..^𝑀)) = 𝑀)
10	8, 9	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (♯‘(0..^𝑀)) = 𝑀)
11		ccatmulgnn0dir.k	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ 𝑆)
12		hashsng 14520	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐾 ∈ 𝑆 → (♯‘{𝐾}) = 1)
13	11, 12	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (♯‘{𝐾}) = 1)
14	10, 13	oveq12d 7442	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((♯‘(0..^𝑀)) · (♯‘{𝐾})) = (𝑀 · 1))
15	7, 14	eqtrid 2807	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐴) = (𝑀 · 1))
16	8	nn0cnd 12676	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℂ)
17	16	mulridd 11333	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑀 · 1) = 𝑀)
18	15, 17	eqtrd 2795	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐴) = 𝑀)
19		ccatmulgnn0dir.b	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐵 = ((0..^𝑁) × {𝐾})
20	19	fveq2i 6893	. . . . . . . 8 ⊢ (♯‘𝐵) = (♯‘((0..^𝑁) × {𝐾}))
21		fzofi 14124	. . . . . . . . 9 ⊢ (0..^𝑁) ∈ Fin
22		hashxp 14586	. . . . . . . . 9 ⊢ (((0..^𝑁) ∈ Fin ∧ {𝐾} ∈ Fin) → (♯‘((0..^𝑁) × {𝐾})) = ((♯‘(0..^𝑁)) · (♯‘{𝐾})))
23	21, 4, 22	mp2an 705	. . . . . . . 8 ⊢ (♯‘((0..^𝑁) × {𝐾})) = ((♯‘(0..^𝑁)) · (♯‘{𝐾}))
24	20, 23	eqtri 2783	. . . . . . 7 ⊢ (♯‘𝐵) = ((♯‘(0..^𝑁)) · (♯‘{𝐾}))
25		ccatmulgnn0dir.n	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
26		hashfzo0 14582	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (♯‘(0..^𝑁)) = 𝑁)
27	25, 26	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (♯‘(0..^𝑁)) = 𝑁)
28	27, 13	oveq12d 7442	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((♯‘(0..^𝑁)) · (♯‘{𝐾})) = (𝑁 · 1))
29	24, 28	eqtrid 2807	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐵) = (𝑁 · 1))
30	25	nn0cnd 12676	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℂ)
31	30	mulridd 11333	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑁 · 1) = 𝑁)
32	29, 31	eqtrd 2795	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐵) = 𝑁)
33	18, 32	oveq12d 7442	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵)) = (𝑀 + 𝑁))
34	33	oveq2d 7440	. . 3 ⊢ (𝜑 → (0..^((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵))) = (0..^(𝑀 + 𝑁)))
35		simpll 779	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵)))) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐴))) → 𝜑)
36		simpr 490	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵)))) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐴))) → 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐴)))
37	18	oveq2d 7440	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (0..^(♯‘𝐴)) = (0..^𝑀))
38	35, 37	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵)))) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐴))) → (0..^(♯‘𝐴)) = (0..^𝑀))
39	36, 38	eleqtrd 2862	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵)))) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐴))) → 𝑖 ∈ (0..^𝑀))
40		fconstg 6774	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∈ 𝑆 → ((0..^𝑀) × {𝐾}):(0..^𝑀)⟶{𝐾})
41	11, 40	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((0..^𝑀) × {𝐾}):(0..^𝑀)⟶{𝐾})
42	1	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = ((0..^𝑀) × {𝐾}))
43	42	feq1d 6696	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐴:(0..^𝑀)⟶{𝐾} ↔ ((0..^𝑀) × {𝐾}):(0..^𝑀)⟶{𝐾}))
44	41, 43	mpbird 260	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴:(0..^𝑀)⟶{𝐾})
45		fvconst 7172	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴:(0..^𝑀)⟶{𝐾} ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝐴‘𝑖) = 𝐾)
46	44, 45	sylan 592	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝐴‘𝑖) = 𝐾)
47	35, 39, 46	syl2anc 596	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵)))) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐴))) → (𝐴‘𝑖) = 𝐾)
48		simpll 779	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵)))) ∧ ¬ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐴))) → 𝜑)
49		simplr 781	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵)))) ∧ ¬ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐴))) → 𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵))))
50		simpr 490	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵)))) ∧ ¬ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐴))) → ¬ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐴)))
51	18, 8	eqeltrd 2860	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐴) ∈ ℕ0)
52	48, 51	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵)))) ∧ ¬ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐴))) → (♯‘𝐴) ∈ ℕ0)
53	52	nn0zd 12725	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵)))) ∧ ¬ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐴))) → (♯‘𝐴) ∈ ℤ)
54	32, 25	eqeltrd 2860	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐵) ∈ ℕ0)
55	48, 54	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵)))) ∧ ¬ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐴))) → (♯‘𝐵) ∈ ℕ0)
56	55	nn0zd 12725	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵)))) ∧ ¬ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐴))) → (♯‘𝐵) ∈ ℤ)
57		fzocatel 13871	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵))) ∧ ¬ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐴))) ∧ ((♯‘𝐴) ∈ ℤ ∧ (♯‘𝐵) ∈ ℤ)) → (𝑖 − (♯‘𝐴)) ∈ (0..^(♯‘𝐵)))
58	49, 50, 53, 56, 57	syl22anc 852	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵)))) ∧ ¬ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐴))) → (𝑖 − (♯‘𝐴)) ∈ (0..^(♯‘𝐵)))
59	32	oveq2d 7440	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (0..^(♯‘𝐵)) = (0..^𝑁))
60	48, 59	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵)))) ∧ ¬ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐴))) → (0..^(♯‘𝐵)) = (0..^𝑁))
61	58, 60	eleqtrd 2862	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵)))) ∧ ¬ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐴))) → (𝑖 − (♯‘𝐴)) ∈ (0..^𝑁))
62		fconstg 6774	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∈ 𝑆 → ((0..^𝑁) × {𝐾}):(0..^𝑁)⟶{𝐾})
63	11, 62	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((0..^𝑁) × {𝐾}):(0..^𝑁)⟶{𝐾})
64	19	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = ((0..^𝑁) × {𝐾}))
65	64	feq1d 6696	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐵:(0..^𝑁)⟶{𝐾} ↔ ((0..^𝑁) × {𝐾}):(0..^𝑁)⟶{𝐾}))
66	63, 65	mpbird 260	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵:(0..^𝑁)⟶{𝐾})
67		fvconst 7172	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵:(0..^𝑁)⟶{𝐾} ∧ (𝑖 − (♯‘𝐴)) ∈ (0..^𝑁)) → (𝐵‘(𝑖 − (♯‘𝐴))) = 𝐾)
68	66, 67	sylan 592	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑖 − (♯‘𝐴)) ∈ (0..^𝑁)) → (𝐵‘(𝑖 − (♯‘𝐴))) = 𝐾)
69	48, 61, 68	syl2anc 596	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵)))) ∧ ¬ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐴))) → (𝐵‘(𝑖 − (♯‘𝐴))) = 𝐾)
70	47, 69	ifeqda 4518	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵)))) → if(𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐴)), (𝐴‘𝑖), (𝐵‘(𝑖 − (♯‘𝐴)))) = 𝐾)
71	34, 70	mpteq12dva 5190	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵))) ↦ if(𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐴)), (𝐴‘𝑖), (𝐵‘(𝑖 − (♯‘𝐴))))) = (𝑖 ∈ (0..^(𝑀 + 𝑁)) ↦ 𝐾))
72		ovex 7457	. . . . 5 ⊢ (0..^𝑀) ∈ V
73		snex 5397	. . . . 5 ⊢ {𝐾} ∈ V
74	72, 73	xpex 7771	. . . 4 ⊢ ((0..^𝑀) × {𝐾}) ∈ V
75	1, 74	eqeltri 2856	. . 3 ⊢ 𝐴 ∈ V
76		ovex 7457	. . . . 5 ⊢ (0..^𝑁) ∈ V
77	76, 73	xpex 7771	. . . 4 ⊢ ((0..^𝑁) × {𝐾}) ∈ V
78	19, 77	eqeltri 2856	. . 3 ⊢ 𝐵 ∈ V
79		ccatfval 14725	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) → (𝐴 ++ 𝐵) = (𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵))) ↦ if(𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐴)), (𝐴‘𝑖), (𝐵‘(𝑖 − (♯‘𝐴))))))
80	75, 78, 79	mp2an 705	. 2 ⊢ (𝐴 ++ 𝐵) = (𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵))) ↦ if(𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐴)), (𝐴‘𝑖), (𝐵‘(𝑖 − (♯‘𝐴)))))
81		ccatmulgnn0dir.c	. . 3 ⊢ 𝐶 = ((0..^(𝑀 + 𝑁)) × {𝐾})
82		fconstmpt 5713	. . 3 ⊢ ((0..^(𝑀 + 𝑁)) × {𝐾}) = (𝑖 ∈ (0..^(𝑀 + 𝑁)) ↦ 𝐾)
83	81, 82	eqtri 2783	. 2 ⊢ 𝐶 = (𝑖 ∈ (0..^(𝑀 + 𝑁)) ↦ 𝐾)
84	71, 80, 83	3eqtr4g 2820	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ++ 𝐵) = 𝐶)

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1569   ∈ wcel 2144  Vcvv 3450  ifcif 4481  {csn 4584   ↦ cmpt 5185   × cxp 5649  ⟶wf 6539  ‘cfv 6543  (class class class)co 7424  Fincfn 8981  0cc0 11207  1c1 11208   + caddc 11210   · cmul 11212   − cmin 11548  ℕ₀cn0 12613  ℤcz 12700  ..^cfzo 13795  ♯chash 14481   ++ cconcat 14722

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7755  ax-cnex 11263  ax-resscn 11264  ax-1cn 11265  ax-icn 11266  ax-addcl 11267  ax-addrcl 11268  ax-mulcl 11269  ax-mulrcl 11270  ax-mulcom 11271  ax-addass 11272  ax-mulass 11273  ax-distr 11274  ax-i2m1 11275  ax-1ne0 11276  ax-1rid 11277  ax-rnegex 11278  ax-rrecex 11279  ax-cnre 11280  ax-pre-lttri 11281  ax-pre-lttrn 11282  ax-pre-ltadd 11283  ax-pre-mulgt0 11284

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-ss 3897  df-pss 4013  df-dif 4046  df-in 4090  df-un 4150  df-nul 4278  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6307  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6497  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7381  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-om 7882  df-1st 8005  df-2nd 8006  df-frecs 8307  df-wrecs 8338  df-recs 8387  df-rdg 8426  df-1o 8484  df-oadd 8488  df-er 8725  df-en 8982  df-dom 8983  df-sdom 8984  df-fin 8985  df-dju 9989  df-card 10027  df-pnf 11352  df-mnf 11353  df-xr 11354  df-ltxr 11355  df-le 11356  df-sub 11550  df-neg 11551  df-nn 12343  df-n0 12614  df-z 12701  df-uz 12973  df-fz 13647  df-fzo 13796  df-hash 14482  df-concat 14723

This theorem is used by:  ofcccat  35225