Theorem ccatmulgnn0dir 34726

Description: Concatenation of words follow the rule mulgnn0dir 19071 (although applying mulgnn0dir 19071 would require 𝑆 to be a set). In this case 𝐴 is ⟨“𝐾”⟩ to the power 𝑀 in the free monoid. (Contributed by Thierry Arnoux, 5-Oct-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
ccatmulgnn0dir.a	⊢ 𝐴 = ((0..^𝑀) × {𝐾})
ccatmulgnn0dir.b	⊢ 𝐵 = ((0..^𝑁) × {𝐾})
ccatmulgnn0dir.c	⊢ 𝐶 = ((0..^(𝑀 + 𝑁)) × {𝐾})
ccatmulgnn0dir.k	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ 𝑆)
ccatmulgnn0dir.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ0)
ccatmulgnn0dir.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)

Assertion

Ref	Expression
ccatmulgnn0dir	⊢ (𝜑 → (𝐴 ++ 𝐵) = 𝐶)

Proof of Theorem ccatmulgnn0dir

Dummy variable 𝑖 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ccatmulgnn0dir.a	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐴 = ((0..^𝑀) × {𝐾})
2	1	fveq2i 6830	. . . . . . . 8 ⊢ (♯‘𝐴) = (♯‘((0..^𝑀) × {𝐾}))
3		fzofi 13927	. . . . . . . . 9 ⊢ (0..^𝑀) ∈ Fin
4		snfi 8980	. . . . . . . . 9 ⊢ {𝐾} ∈ Fin
5		hashxp 14387	. . . . . . . . 9 ⊢ (((0..^𝑀) ∈ Fin ∧ {𝐾} ∈ Fin) → (♯‘((0..^𝑀) × {𝐾})) = ((♯‘(0..^𝑀)) · (♯‘{𝐾})))
6	3, 4, 5	mp2an 698	. . . . . . . 8 ⊢ (♯‘((0..^𝑀) × {𝐾})) = ((♯‘(0..^𝑀)) · (♯‘{𝐾}))
7	2, 6	eqtri 2762	. . . . . . 7 ⊢ (♯‘𝐴) = ((♯‘(0..^𝑀)) · (♯‘{𝐾}))
8		ccatmulgnn0dir.m	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ0)
9		hashfzo0 14383	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ0 → (♯‘(0..^𝑀)) = 𝑀)
10	8, 9	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (♯‘(0..^𝑀)) = 𝑀)
11		ccatmulgnn0dir.k	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ 𝑆)
12		hashsng 14322	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐾 ∈ 𝑆 → (♯‘{𝐾}) = 1)
13	11, 12	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (♯‘{𝐾}) = 1)
14	10, 13	oveq12d 7374	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((♯‘(0..^𝑀)) · (♯‘{𝐾})) = (𝑀 · 1))
15	7, 14	eqtrid 2786	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐴) = (𝑀 · 1))
16	8	nn0cnd 12491	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℂ)
17	16	mulridd 11153	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑀 · 1) = 𝑀)
18	15, 17	eqtrd 2774	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐴) = 𝑀)
19		ccatmulgnn0dir.b	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐵 = ((0..^𝑁) × {𝐾})
20	19	fveq2i 6830	. . . . . . . 8 ⊢ (♯‘𝐵) = (♯‘((0..^𝑁) × {𝐾}))
21		fzofi 13927	. . . . . . . . 9 ⊢ (0..^𝑁) ∈ Fin
22		hashxp 14387	. . . . . . . . 9 ⊢ (((0..^𝑁) ∈ Fin ∧ {𝐾} ∈ Fin) → (♯‘((0..^𝑁) × {𝐾})) = ((♯‘(0..^𝑁)) · (♯‘{𝐾})))
23	21, 4, 22	mp2an 698	. . . . . . . 8 ⊢ (♯‘((0..^𝑁) × {𝐾})) = ((♯‘(0..^𝑁)) · (♯‘{𝐾}))
24	20, 23	eqtri 2762	. . . . . . 7 ⊢ (♯‘𝐵) = ((♯‘(0..^𝑁)) · (♯‘{𝐾}))
25		ccatmulgnn0dir.n	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
26		hashfzo0 14383	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (♯‘(0..^𝑁)) = 𝑁)
27	25, 26	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (♯‘(0..^𝑁)) = 𝑁)
28	27, 13	oveq12d 7374	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((♯‘(0..^𝑁)) · (♯‘{𝐾})) = (𝑁 · 1))
29	24, 28	eqtrid 2786	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐵) = (𝑁 · 1))
30	25	nn0cnd 12491	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℂ)
31	30	mulridd 11153	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑁 · 1) = 𝑁)
32	29, 31	eqtrd 2774	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐵) = 𝑁)
33	18, 32	oveq12d 7374	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵)) = (𝑀 + 𝑁))
34	33	oveq2d 7372	. . 3 ⊢ (𝜑 → (0..^((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵))) = (0..^(𝑀 + 𝑁)))
35		simpll 772	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵)))) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐴))) → 𝜑)
36		simpr 485	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵)))) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐴))) → 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐴)))
37	18	oveq2d 7372	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (0..^(♯‘𝐴)) = (0..^𝑀))
38	35, 37	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵)))) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐴))) → (0..^(♯‘𝐴)) = (0..^𝑀))
39	36, 38	eleqtrd 2841	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵)))) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐴))) → 𝑖 ∈ (0..^𝑀))
40		fconstg 6714	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∈ 𝑆 → ((0..^𝑀) × {𝐾}):(0..^𝑀)⟶{𝐾})
41	11, 40	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((0..^𝑀) × {𝐾}):(0..^𝑀)⟶{𝐾})
42	1	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = ((0..^𝑀) × {𝐾}))
43	42	feq1d 6637	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐴:(0..^𝑀)⟶{𝐾} ↔ ((0..^𝑀) × {𝐾}):(0..^𝑀)⟶{𝐾}))
44	41, 43	mpbird 258	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴:(0..^𝑀)⟶{𝐾})
45		fvconst 7106	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴:(0..^𝑀)⟶{𝐾} ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝐴‘𝑖) = 𝐾)
46	44, 45	sylan 586	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝐴‘𝑖) = 𝐾)
47	35, 39, 46	syl2anc 590	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵)))) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐴))) → (𝐴‘𝑖) = 𝐾)
48		simpll 772	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵)))) ∧ ¬ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐴))) → 𝜑)
49		simplr 774	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵)))) ∧ ¬ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐴))) → 𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵))))
50		simpr 485	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵)))) ∧ ¬ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐴))) → ¬ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐴)))
51	18, 8	eqeltrd 2839	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐴) ∈ ℕ0)
52	48, 51	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵)))) ∧ ¬ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐴))) → (♯‘𝐴) ∈ ℕ0)
53	52	nn0zd 12540	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵)))) ∧ ¬ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐴))) → (♯‘𝐴) ∈ ℤ)
54	32, 25	eqeltrd 2839	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐵) ∈ ℕ0)
55	48, 54	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵)))) ∧ ¬ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐴))) → (♯‘𝐵) ∈ ℕ0)
56	55	nn0zd 12540	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵)))) ∧ ¬ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐴))) → (♯‘𝐵) ∈ ℤ)
57		fzocatel 13675	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵))) ∧ ¬ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐴))) ∧ ((♯‘𝐴) ∈ ℤ ∧ (♯‘𝐵) ∈ ℤ)) → (𝑖 − (♯‘𝐴)) ∈ (0..^(♯‘𝐵)))
58	49, 50, 53, 56, 57	syl22anc 844	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵)))) ∧ ¬ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐴))) → (𝑖 − (♯‘𝐴)) ∈ (0..^(♯‘𝐵)))
59	32	oveq2d 7372	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (0..^(♯‘𝐵)) = (0..^𝑁))
60	48, 59	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵)))) ∧ ¬ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐴))) → (0..^(♯‘𝐵)) = (0..^𝑁))
61	58, 60	eleqtrd 2841	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵)))) ∧ ¬ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐴))) → (𝑖 − (♯‘𝐴)) ∈ (0..^𝑁))
62		fconstg 6714	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∈ 𝑆 → ((0..^𝑁) × {𝐾}):(0..^𝑁)⟶{𝐾})
63	11, 62	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((0..^𝑁) × {𝐾}):(0..^𝑁)⟶{𝐾})
64	19	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = ((0..^𝑁) × {𝐾}))
65	64	feq1d 6637	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐵:(0..^𝑁)⟶{𝐾} ↔ ((0..^𝑁) × {𝐾}):(0..^𝑁)⟶{𝐾}))
66	63, 65	mpbird 258	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵:(0..^𝑁)⟶{𝐾})
67		fvconst 7106	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵:(0..^𝑁)⟶{𝐾} ∧ (𝑖 − (♯‘𝐴)) ∈ (0..^𝑁)) → (𝐵‘(𝑖 − (♯‘𝐴))) = 𝐾)
68	66, 67	sylan 586	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑖 − (♯‘𝐴)) ∈ (0..^𝑁)) → (𝐵‘(𝑖 − (♯‘𝐴))) = 𝐾)
69	48, 61, 68	syl2anc 590	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵)))) ∧ ¬ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐴))) → (𝐵‘(𝑖 − (♯‘𝐴))) = 𝐾)
70	47, 69	ifeqda 4491	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵)))) → if(𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐴)), (𝐴‘𝑖), (𝐵‘(𝑖 − (♯‘𝐴)))) = 𝐾)
71	34, 70	mpteq12dva 5158	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵))) ↦ if(𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐴)), (𝐴‘𝑖), (𝐵‘(𝑖 − (♯‘𝐴))))) = (𝑖 ∈ (0..^(𝑀 + 𝑁)) ↦ 𝐾))
72		ovex 7389	. . . . 5 ⊢ (0..^𝑀) ∈ V
73		snex 5368	. . . . 5 ⊢ {𝐾} ∈ V
74	72, 73	xpex 7696	. . . 4 ⊢ ((0..^𝑀) × {𝐾}) ∈ V
75	1, 74	eqeltri 2835	. . 3 ⊢ 𝐴 ∈ V
76		ovex 7389	. . . . 5 ⊢ (0..^𝑁) ∈ V
77	76, 73	xpex 7696	. . . 4 ⊢ ((0..^𝑁) × {𝐾}) ∈ V
78	19, 77	eqeltri 2835	. . 3 ⊢ 𝐵 ∈ V
79		ccatfval 14526	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) → (𝐴 ++ 𝐵) = (𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵))) ↦ if(𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐴)), (𝐴‘𝑖), (𝐵‘(𝑖 − (♯‘𝐴))))))
80	75, 78, 79	mp2an 698	. 2 ⊢ (𝐴 ++ 𝐵) = (𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵))) ↦ if(𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐴)), (𝐴‘𝑖), (𝐵‘(𝑖 − (♯‘𝐴)))))
81		ccatmulgnn0dir.c	. . 3 ⊢ 𝐶 = ((0..^(𝑀 + 𝑁)) × {𝐾})
82		fconstmpt 5680	. . 3 ⊢ ((0..^(𝑀 + 𝑁)) × {𝐾}) = (𝑖 ∈ (0..^(𝑀 + 𝑁)) ↦ 𝐾)
83	81, 82	eqtri 2762	. 2 ⊢ 𝐶 = (𝑖 ∈ (0..^(𝑀 + 𝑁)) ↦ 𝐾)
84	71, 80, 83	3eqtr4g 2799	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ++ 𝐵) = 𝐶)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1547   ∈ wcel 2119  Vcvv 3431  ifcif 4454  {csn 4555   ↦ cmpt 5153   × cxp 5616  ⟶wf 6481  ‘cfv 6485  (class class class)co 7356  Fincfn 8883  0cc0 11029  1c1 11030   + caddc 11032   · cmul 11034   − cmin 11368  ℕ₀cn0 12428  ℤcz 12515  ..^cfzo 13599  ♯chash 14283   ++ cconcat 14523

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2711  ax-rep 5199  ax-sep 5218  ax-nul 5228  ax-pow 5294  ax-pr 5362  ax-un 7678  ax-cnex 11085  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105  ax-pre-mulgt0 11106

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2814  df-nfc 2888  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3064  df-reu 3345  df-rab 3392  df-v 3433  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3903  df-nul 4262  df-if 4455  df-pw 4531  df-sn 4556  df-pr 4558  df-op 4562  df-uni 4839  df-int 4878  df-iun 4923  df-br 5073  df-opab 5135  df-mpt 5154  df-tr 5180  df-id 5513  df-eprel 5518  df-po 5526  df-so 5527  df-fr 5571  df-we 5573  df-xp 5624  df-rel 5625  df-cnv 5626  df-co 5627  df-dm 5628  df-rn 5629  df-res 5630  df-ima 5631  df-pred 6252  df-ord 6313  df-on 6314  df-lim 6315  df-suc 6316  df-iota 6441  df-fun 6487  df-fn 6488  df-f 6489  df-f1 6490  df-fo 6491  df-f1o 6492  df-fv 6493  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-1o 8395  df-oadd 8399  df-er 8633  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-dju 9816  df-card 9854  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-nn 12166  df-n0 12429  df-z 12516  df-uz 12780  df-fz 13453  df-fzo 13600  df-hash 14284  df-concat 14524

This theorem is referenced by:  ofcccat  34727