Theorem ccatmulgnn0dir 34876

Description: Concatenation of words follow the rule mulgnn0dir 19169 (although applying mulgnn0dir 19169 would require 𝑆 to be a set). In this case 𝐴 is ⟨“𝐾”⟩ to the power 𝑀 in the free monoid. (Contributed by Thierry Arnoux, 5-Oct-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
ccatmulgnn0dir.a	⊢ 𝐴 = ((0..^𝑀) × {𝐾})
ccatmulgnn0dir.b	⊢ 𝐵 = ((0..^𝑁) × {𝐾})
ccatmulgnn0dir.c	⊢ 𝐶 = ((0..^(𝑀 + 𝑁)) × {𝐾})
ccatmulgnn0dir.k	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ 𝑆)
ccatmulgnn0dir.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ0)
ccatmulgnn0dir.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)

Assertion

Ref	Expression
ccatmulgnn0dir	⊢ (𝜑 → (𝐴 ++ 𝐵) = 𝐶)

Proof of Theorem ccatmulgnn0dir

Dummy variable 𝑖 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ccatmulgnn0dir.a	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐴 = ((0..^𝑀) × {𝐾})
2	1	fveq2i 6885	. . . . . . . 8 ⊢ (♯‘𝐴) = (♯‘((0..^𝑀) × {𝐾}))
3		fzofi 14009	. . . . . . . . 9 ⊢ (0..^𝑀) ∈ Fin
4		snfi 9039	. . . . . . . . 9 ⊢ {𝐾} ∈ Fin
5		hashxp 14470	. . . . . . . . 9 ⊢ (((0..^𝑀) ∈ Fin ∧ {𝐾} ∈ Fin) → (♯‘((0..^𝑀) × {𝐾})) = ((♯‘(0..^𝑀)) · (♯‘{𝐾})))
6	3, 4, 5	mp2an 704	. . . . . . . 8 ⊢ (♯‘((0..^𝑀) × {𝐾})) = ((♯‘(0..^𝑀)) · (♯‘{𝐾}))
7	2, 6	eqtri 2792	. . . . . . 7 ⊢ (♯‘𝐴) = ((♯‘(0..^𝑀)) · (♯‘{𝐾}))
8		ccatmulgnn0dir.m	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ0)
9		hashfzo0 14466	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ0 → (♯‘(0..^𝑀)) = 𝑀)
10	8, 9	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (♯‘(0..^𝑀)) = 𝑀)
11		ccatmulgnn0dir.k	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ 𝑆)
12		hashsng 14404	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐾 ∈ 𝑆 → (♯‘{𝐾}) = 1)
13	11, 12	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (♯‘{𝐾}) = 1)
14	10, 13	oveq12d 7429	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((♯‘(0..^𝑀)) · (♯‘{𝐾})) = (𝑀 · 1))
15	7, 14	eqtrid 2816	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐴) = (𝑀 · 1))
16	8	nn0cnd 12566	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℂ)
17	16	mulridd 11225	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑀 · 1) = 𝑀)
18	15, 17	eqtrd 2804	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐴) = 𝑀)
19		ccatmulgnn0dir.b	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐵 = ((0..^𝑁) × {𝐾})
20	19	fveq2i 6885	. . . . . . . 8 ⊢ (♯‘𝐵) = (♯‘((0..^𝑁) × {𝐾}))
21		fzofi 14009	. . . . . . . . 9 ⊢ (0..^𝑁) ∈ Fin
22		hashxp 14470	. . . . . . . . 9 ⊢ (((0..^𝑁) ∈ Fin ∧ {𝐾} ∈ Fin) → (♯‘((0..^𝑁) × {𝐾})) = ((♯‘(0..^𝑁)) · (♯‘{𝐾})))
23	21, 4, 22	mp2an 704	. . . . . . . 8 ⊢ (♯‘((0..^𝑁) × {𝐾})) = ((♯‘(0..^𝑁)) · (♯‘{𝐾}))
24	20, 23	eqtri 2792	. . . . . . 7 ⊢ (♯‘𝐵) = ((♯‘(0..^𝑁)) · (♯‘{𝐾}))
25		ccatmulgnn0dir.n	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
26		hashfzo0 14466	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (♯‘(0..^𝑁)) = 𝑁)
27	25, 26	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (♯‘(0..^𝑁)) = 𝑁)
28	27, 13	oveq12d 7429	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((♯‘(0..^𝑁)) · (♯‘{𝐾})) = (𝑁 · 1))
29	24, 28	eqtrid 2816	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐵) = (𝑁 · 1))
30	25	nn0cnd 12566	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℂ)
31	30	mulridd 11225	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑁 · 1) = 𝑁)
32	29, 31	eqtrd 2804	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐵) = 𝑁)
33	18, 32	oveq12d 7429	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵)) = (𝑀 + 𝑁))
34	33	oveq2d 7427	. . 3 ⊢ (𝜑 → (0..^((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵))) = (0..^(𝑀 + 𝑁)))
35		simpll 778	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵)))) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐴))) → 𝜑)
36		simpr 489	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵)))) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐴))) → 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐴)))
37	18	oveq2d 7427	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (0..^(♯‘𝐴)) = (0..^𝑀))
38	35, 37	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵)))) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐴))) → (0..^(♯‘𝐴)) = (0..^𝑀))
39	36, 38	eleqtrd 2871	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵)))) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐴))) → 𝑖 ∈ (0..^𝑀))
40		fconstg 6766	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∈ 𝑆 → ((0..^𝑀) × {𝐾}):(0..^𝑀)⟶{𝐾})
41	11, 40	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((0..^𝑀) × {𝐾}):(0..^𝑀)⟶{𝐾})
42	1	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = ((0..^𝑀) × {𝐾}))
43	42	feq1d 6688	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐴:(0..^𝑀)⟶{𝐾} ↔ ((0..^𝑀) × {𝐾}):(0..^𝑀)⟶{𝐾}))
44	41, 43	mpbird 260	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴:(0..^𝑀)⟶{𝐾})
45		fvconst 7161	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴:(0..^𝑀)⟶{𝐾} ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝐴‘𝑖) = 𝐾)
46	44, 45	sylan 591	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝐴‘𝑖) = 𝐾)
47	35, 39, 46	syl2anc 595	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵)))) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐴))) → (𝐴‘𝑖) = 𝐾)
48		simpll 778	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵)))) ∧ ¬ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐴))) → 𝜑)
49		simplr 780	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵)))) ∧ ¬ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐴))) → 𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵))))
50		simpr 489	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵)))) ∧ ¬ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐴))) → ¬ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐴)))
51	18, 8	eqeltrd 2869	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐴) ∈ ℕ0)
52	48, 51	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵)))) ∧ ¬ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐴))) → (♯‘𝐴) ∈ ℕ0)
53	52	nn0zd 12615	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵)))) ∧ ¬ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐴))) → (♯‘𝐴) ∈ ℤ)
54	32, 25	eqeltrd 2869	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐵) ∈ ℕ0)
55	48, 54	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵)))) ∧ ¬ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐴))) → (♯‘𝐵) ∈ ℕ0)
56	55	nn0zd 12615	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵)))) ∧ ¬ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐴))) → (♯‘𝐵) ∈ ℤ)
57		fzocatel 13757	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵))) ∧ ¬ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐴))) ∧ ((♯‘𝐴) ∈ ℤ ∧ (♯‘𝐵) ∈ ℤ)) → (𝑖 − (♯‘𝐴)) ∈ (0..^(♯‘𝐵)))
58	49, 50, 53, 56, 57	syl22anc 851	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵)))) ∧ ¬ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐴))) → (𝑖 − (♯‘𝐴)) ∈ (0..^(♯‘𝐵)))
59	32	oveq2d 7427	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (0..^(♯‘𝐵)) = (0..^𝑁))
60	48, 59	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵)))) ∧ ¬ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐴))) → (0..^(♯‘𝐵)) = (0..^𝑁))
61	58, 60	eleqtrd 2871	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵)))) ∧ ¬ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐴))) → (𝑖 − (♯‘𝐴)) ∈ (0..^𝑁))
62		fconstg 6766	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∈ 𝑆 → ((0..^𝑁) × {𝐾}):(0..^𝑁)⟶{𝐾})
63	11, 62	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((0..^𝑁) × {𝐾}):(0..^𝑁)⟶{𝐾})
64	19	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = ((0..^𝑁) × {𝐾}))
65	64	feq1d 6688	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐵:(0..^𝑁)⟶{𝐾} ↔ ((0..^𝑁) × {𝐾}):(0..^𝑁)⟶{𝐾}))
66	63, 65	mpbird 260	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵:(0..^𝑁)⟶{𝐾})
67		fvconst 7161	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵:(0..^𝑁)⟶{𝐾} ∧ (𝑖 − (♯‘𝐴)) ∈ (0..^𝑁)) → (𝐵‘(𝑖 − (♯‘𝐴))) = 𝐾)
68	66, 67	sylan 591	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑖 − (♯‘𝐴)) ∈ (0..^𝑁)) → (𝐵‘(𝑖 − (♯‘𝐴))) = 𝐾)
69	48, 61, 68	syl2anc 595	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵)))) ∧ ¬ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐴))) → (𝐵‘(𝑖 − (♯‘𝐴))) = 𝐾)
70	47, 69	ifeqda 4529	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵)))) → if(𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐴)), (𝐴‘𝑖), (𝐵‘(𝑖 − (♯‘𝐴)))) = 𝐾)
71	34, 70	mpteq12dva 5201	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵))) ↦ if(𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐴)), (𝐴‘𝑖), (𝐵‘(𝑖 − (♯‘𝐴))))) = (𝑖 ∈ (0..^(𝑀 + 𝑁)) ↦ 𝐾))
72		ovex 7444	. . . . 5 ⊢ (0..^𝑀) ∈ V
73		snex 5411	. . . . 5 ⊢ {𝐾} ∈ V
74	72, 73	xpex 7751	. . . 4 ⊢ ((0..^𝑀) × {𝐾}) ∈ V
75	1, 74	eqeltri 2865	. . 3 ⊢ 𝐴 ∈ V
76		ovex 7444	. . . . 5 ⊢ (0..^𝑁) ∈ V
77	76, 73	xpex 7751	. . . 4 ⊢ ((0..^𝑁) × {𝐾}) ∈ V
78	19, 77	eqeltri 2865	. . 3 ⊢ 𝐵 ∈ V
79		ccatfval 14609	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) → (𝐴 ++ 𝐵) = (𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵))) ↦ if(𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐴)), (𝐴‘𝑖), (𝐵‘(𝑖 − (♯‘𝐴))))))
80	75, 78, 79	mp2an 704	. 2 ⊢ (𝐴 ++ 𝐵) = (𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵))) ↦ if(𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐴)), (𝐴‘𝑖), (𝐵‘(𝑖 − (♯‘𝐴)))))
81		ccatmulgnn0dir.c	. . 3 ⊢ 𝐶 = ((0..^(𝑀 + 𝑁)) × {𝐾})
82		fconstmpt 5724	. . 3 ⊢ ((0..^(𝑀 + 𝑁)) × {𝐾}) = (𝑖 ∈ (0..^(𝑀 + 𝑁)) ↦ 𝐾)
83	81, 82	eqtri 2792	. 2 ⊢ 𝐶 = (𝑖 ∈ (0..^(𝑀 + 𝑁)) ↦ 𝐾)
84	71, 80, 83	3eqtr4g 2829	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ++ 𝐵) = 𝐶)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 400   = wceq 1567   ∈ wcel 2149  Vcvv 3463  ifcif 4492  {csn 4594   ↦ cmpt 5196   × cxp 5660  ⟶wf 6533  ‘cfv 6537  (class class class)co 7411  Fincfn 8942  0cc0 11099  1c1 11100   + caddc 11102   · cmul 11104   − cmin 11440  ℕ₀cn0 12503  ℤcz 12590  ..^cfzo 13681  ♯chash 14365   ++ cconcat 14606

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-rep 5242  ax-sep 5261  ax-nul 5271  ax-pow 5337  ax-pr 5405  ax-un 7733  ax-cnex 11155  ax-resscn 11156  ax-1cn 11157  ax-icn 11158  ax-addcl 11159  ax-addrcl 11160  ax-mulcl 11161  ax-mulrcl 11162  ax-mulcom 11163  ax-addass 11164  ax-mulass 11165  ax-distr 11166  ax-i2m1 11167  ax-1ne0 11168  ax-1rid 11169  ax-rnegex 11170  ax-rrecex 11171  ax-cnre 11172  ax-pre-lttri 11173  ax-pre-lttrn 11174  ax-pre-ltadd 11175  ax-pre-mulgt0 11176

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4877  df-int 4917  df-iun 4962  df-br 5114  df-opab 5178  df-mpt 5197  df-tr 5223  df-id 5557  df-eprel 5562  df-po 5570  df-so 5571  df-fr 5615  df-we 5617  df-xp 5668  df-rel 5669  df-cnv 5670  df-co 5671  df-dm 5672  df-rn 5673  df-res 5674  df-ima 5675  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7368  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7862  df-1st 7985  df-2nd 7986  df-frecs 8277  df-wrecs 8308  df-recs 8357  df-rdg 8396  df-1o 8452  df-oadd 8456  df-er 8693  df-en 8943  df-dom 8944  df-sdom 8945  df-fin 8946  df-dju 9886  df-card 9924  df-pnf 11244  df-mnf 11245  df-xr 11246  df-ltxr 11247  df-le 11248  df-sub 11442  df-neg 11443  df-nn 12233  df-n0 12504  df-z 12591  df-uz 12862  df-fz 13535  df-fzo 13682  df-hash 14366  df-concat 14607

This theorem is referenced by:  ofcccat  34877