Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ccatmulgnn0dir Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ccatmulgnn0dir 31490
Description: Concatenation of words follow the rule mulgnn0dir 18053 (although applying mulgnn0dir 18053 would require 𝑆 to be a set). In this case 𝐴 is ⟨“𝐾”⟩ to the power 𝑀 in the free monoid. (Contributed by Thierry Arnoux, 5-Oct-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
ccatmulgnn0dir.a 𝐴 = ((0..^𝑀) × {𝐾})
ccatmulgnn0dir.b 𝐵 = ((0..^𝑁) × {𝐾})
ccatmulgnn0dir.c 𝐶 = ((0..^(𝑀 + 𝑁)) × {𝐾})
ccatmulgnn0dir.k (𝜑𝐾𝑆)
ccatmulgnn0dir.m (𝜑𝑀 ∈ ℕ0)
ccatmulgnn0dir.n (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
Assertion
Ref Expression
ccatmulgnn0dir (𝜑 → (𝐴 ++ 𝐵) = 𝐶)

Proof of Theorem ccatmulgnn0dir
Dummy variable 𝑖 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ccatmulgnn0dir.a . . . . . . . . 9 𝐴 = ((0..^𝑀) × {𝐾})
21fveq2i 6507 . . . . . . . 8 (♯‘𝐴) = (♯‘((0..^𝑀) × {𝐾}))
3 fzofi 13163 . . . . . . . . 9 (0..^𝑀) ∈ Fin
4 snfi 8397 . . . . . . . . 9 {𝐾} ∈ Fin
5 hashxp 13614 . . . . . . . . 9 (((0..^𝑀) ∈ Fin ∧ {𝐾} ∈ Fin) → (♯‘((0..^𝑀) × {𝐾})) = ((♯‘(0..^𝑀)) · (♯‘{𝐾})))
63, 4, 5mp2an 680 . . . . . . . 8 (♯‘((0..^𝑀) × {𝐾})) = ((♯‘(0..^𝑀)) · (♯‘{𝐾}))
72, 6eqtri 2804 . . . . . . 7 (♯‘𝐴) = ((♯‘(0..^𝑀)) · (♯‘{𝐾}))
8 ccatmulgnn0dir.m . . . . . . . . 9 (𝜑𝑀 ∈ ℕ0)
9 hashfzo0 13610 . . . . . . . . 9 (𝑀 ∈ ℕ0 → (♯‘(0..^𝑀)) = 𝑀)
108, 9syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 → (♯‘(0..^𝑀)) = 𝑀)
11 ccatmulgnn0dir.k . . . . . . . . 9 (𝜑𝐾𝑆)
12 hashsng 13550 . . . . . . . . 9 (𝐾𝑆 → (♯‘{𝐾}) = 1)
1311, 12syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 → (♯‘{𝐾}) = 1)
1410, 13oveq12d 7000 . . . . . . 7 (𝜑 → ((♯‘(0..^𝑀)) · (♯‘{𝐾})) = (𝑀 · 1))
157, 14syl5eq 2828 . . . . . 6 (𝜑 → (♯‘𝐴) = (𝑀 · 1))
168nn0cnd 11775 . . . . . . 7 (𝜑𝑀 ∈ ℂ)
1716mulid1d 10463 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑀 · 1) = 𝑀)
1815, 17eqtrd 2816 . . . . 5 (𝜑 → (♯‘𝐴) = 𝑀)
19 ccatmulgnn0dir.b . . . . . . . . 9 𝐵 = ((0..^𝑁) × {𝐾})
2019fveq2i 6507 . . . . . . . 8 (♯‘𝐵) = (♯‘((0..^𝑁) × {𝐾}))
21 fzofi 13163 . . . . . . . . 9 (0..^𝑁) ∈ Fin
22 hashxp 13614 . . . . . . . . 9 (((0..^𝑁) ∈ Fin ∧ {𝐾} ∈ Fin) → (♯‘((0..^𝑁) × {𝐾})) = ((♯‘(0..^𝑁)) · (♯‘{𝐾})))
2321, 4, 22mp2an 680 . . . . . . . 8 (♯‘((0..^𝑁) × {𝐾})) = ((♯‘(0..^𝑁)) · (♯‘{𝐾}))
2420, 23eqtri 2804 . . . . . . 7 (♯‘𝐵) = ((♯‘(0..^𝑁)) · (♯‘{𝐾}))
25 ccatmulgnn0dir.n . . . . . . . . 9 (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
26 hashfzo0 13610 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℕ0 → (♯‘(0..^𝑁)) = 𝑁)
2725, 26syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 → (♯‘(0..^𝑁)) = 𝑁)
2827, 13oveq12d 7000 . . . . . . 7 (𝜑 → ((♯‘(0..^𝑁)) · (♯‘{𝐾})) = (𝑁 · 1))
2924, 28syl5eq 2828 . . . . . 6 (𝜑 → (♯‘𝐵) = (𝑁 · 1))
3025nn0cnd 11775 . . . . . . 7 (𝜑𝑁 ∈ ℂ)
3130mulid1d 10463 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑁 · 1) = 𝑁)
3229, 31eqtrd 2816 . . . . 5 (𝜑 → (♯‘𝐵) = 𝑁)
3318, 32oveq12d 7000 . . . 4 (𝜑 → ((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵)) = (𝑀 + 𝑁))
3433oveq2d 6998 . . 3 (𝜑 → (0..^((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵))) = (0..^(𝑀 + 𝑁)))
35 simpll 755 . . . . 5 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵)))) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐴))) → 𝜑)
36 simpr 477 . . . . . 6 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵)))) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐴))) → 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐴)))
3718oveq2d 6998 . . . . . . 7 (𝜑 → (0..^(♯‘𝐴)) = (0..^𝑀))
3835, 37syl 17 . . . . . 6 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵)))) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐴))) → (0..^(♯‘𝐴)) = (0..^𝑀))
3936, 38eleqtrd 2870 . . . . 5 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵)))) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐴))) → 𝑖 ∈ (0..^𝑀))
40 fconstg 6400 . . . . . . . 8 (𝐾𝑆 → ((0..^𝑀) × {𝐾}):(0..^𝑀)⟶{𝐾})
4111, 40syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → ((0..^𝑀) × {𝐾}):(0..^𝑀)⟶{𝐾})
421a1i 11 . . . . . . . 8 (𝜑𝐴 = ((0..^𝑀) × {𝐾}))
4342feq1d 6334 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐴:(0..^𝑀)⟶{𝐾} ↔ ((0..^𝑀) × {𝐾}):(0..^𝑀)⟶{𝐾}))
4441, 43mpbird 249 . . . . . 6 (𝜑𝐴:(0..^𝑀)⟶{𝐾})
45 fvconst 6755 . . . . . 6 ((𝐴:(0..^𝑀)⟶{𝐾} ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝐴𝑖) = 𝐾)
4644, 45sylan 572 . . . . 5 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝐴𝑖) = 𝐾)
4735, 39, 46syl2anc 576 . . . 4 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵)))) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐴))) → (𝐴𝑖) = 𝐾)
48 simpll 755 . . . . 5 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵)))) ∧ ¬ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐴))) → 𝜑)
49 simplr 757 . . . . . . 7 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵)))) ∧ ¬ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐴))) → 𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵))))
50 simpr 477 . . . . . . 7 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵)))) ∧ ¬ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐴))) → ¬ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐴)))
5118, 8eqeltrd 2868 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (♯‘𝐴) ∈ ℕ0)
5248, 51syl 17 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵)))) ∧ ¬ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐴))) → (♯‘𝐴) ∈ ℕ0)
5352nn0zd 11904 . . . . . . 7 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵)))) ∧ ¬ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐴))) → (♯‘𝐴) ∈ ℤ)
5432, 25eqeltrd 2868 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (♯‘𝐵) ∈ ℕ0)
5548, 54syl 17 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵)))) ∧ ¬ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐴))) → (♯‘𝐵) ∈ ℕ0)
5655nn0zd 11904 . . . . . . 7 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵)))) ∧ ¬ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐴))) → (♯‘𝐵) ∈ ℤ)
57 fzocatel 12922 . . . . . . 7 (((𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵))) ∧ ¬ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐴))) ∧ ((♯‘𝐴) ∈ ℤ ∧ (♯‘𝐵) ∈ ℤ)) → (𝑖 − (♯‘𝐴)) ∈ (0..^(♯‘𝐵)))
5849, 50, 53, 56, 57syl22anc 827 . . . . . 6 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵)))) ∧ ¬ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐴))) → (𝑖 − (♯‘𝐴)) ∈ (0..^(♯‘𝐵)))
5932oveq2d 6998 . . . . . . 7 (𝜑 → (0..^(♯‘𝐵)) = (0..^𝑁))
6048, 59syl 17 . . . . . 6 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵)))) ∧ ¬ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐴))) → (0..^(♯‘𝐵)) = (0..^𝑁))
6158, 60eleqtrd 2870 . . . . 5 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵)))) ∧ ¬ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐴))) → (𝑖 − (♯‘𝐴)) ∈ (0..^𝑁))
62 fconstg 6400 . . . . . . . 8 (𝐾𝑆 → ((0..^𝑁) × {𝐾}):(0..^𝑁)⟶{𝐾})
6311, 62syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → ((0..^𝑁) × {𝐾}):(0..^𝑁)⟶{𝐾})
6419a1i 11 . . . . . . . 8 (𝜑𝐵 = ((0..^𝑁) × {𝐾}))
6564feq1d 6334 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐵:(0..^𝑁)⟶{𝐾} ↔ ((0..^𝑁) × {𝐾}):(0..^𝑁)⟶{𝐾}))
6663, 65mpbird 249 . . . . . 6 (𝜑𝐵:(0..^𝑁)⟶{𝐾})
67 fvconst 6755 . . . . . 6 ((𝐵:(0..^𝑁)⟶{𝐾} ∧ (𝑖 − (♯‘𝐴)) ∈ (0..^𝑁)) → (𝐵‘(𝑖 − (♯‘𝐴))) = 𝐾)
6866, 67sylan 572 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑖 − (♯‘𝐴)) ∈ (0..^𝑁)) → (𝐵‘(𝑖 − (♯‘𝐴))) = 𝐾)
6948, 61, 68syl2anc 576 . . . 4 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵)))) ∧ ¬ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐴))) → (𝐵‘(𝑖 − (♯‘𝐴))) = 𝐾)
7047, 69ifeqda 4388 . . 3 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵)))) → if(𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐴)), (𝐴𝑖), (𝐵‘(𝑖 − (♯‘𝐴)))) = 𝐾)
7134, 70mpteq12dva 5016 . 2 (𝜑 → (𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵))) ↦ if(𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐴)), (𝐴𝑖), (𝐵‘(𝑖 − (♯‘𝐴))))) = (𝑖 ∈ (0..^(𝑀 + 𝑁)) ↦ 𝐾))
72 ovex 7014 . . . . 5 (0..^𝑀) ∈ V
73 snex 5192 . . . . 5 {𝐾} ∈ V
7472, 73xpex 7299 . . . 4 ((0..^𝑀) × {𝐾}) ∈ V
751, 74eqeltri 2864 . . 3 𝐴 ∈ V
76 ovex 7014 . . . . 5 (0..^𝑁) ∈ V
7776, 73xpex 7299 . . . 4 ((0..^𝑁) × {𝐾}) ∈ V
7819, 77eqeltri 2864 . . 3 𝐵 ∈ V
79 ccatfval 13742 . . 3 ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) → (𝐴 ++ 𝐵) = (𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵))) ↦ if(𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐴)), (𝐴𝑖), (𝐵‘(𝑖 − (♯‘𝐴))))))
8075, 78, 79mp2an 680 . 2 (𝐴 ++ 𝐵) = (𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵))) ↦ if(𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐴)), (𝐴𝑖), (𝐵‘(𝑖 − (♯‘𝐴)))))
81 ccatmulgnn0dir.c . . 3 𝐶 = ((0..^(𝑀 + 𝑁)) × {𝐾})
82 fconstmpt 5468 . . 3 ((0..^(𝑀 + 𝑁)) × {𝐾}) = (𝑖 ∈ (0..^(𝑀 + 𝑁)) ↦ 𝐾)
8381, 82eqtri 2804 . 2 𝐶 = (𝑖 ∈ (0..^(𝑀 + 𝑁)) ↦ 𝐾)
8471, 80, 833eqtr4g 2841 1 (𝜑 → (𝐴 ++ 𝐵) = 𝐶)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 387   = wceq 1508  wcel 2051  Vcvv 3417  ifcif 4353  {csn 4444  cmpt 5013   × cxp 5409  wf 6189  cfv 6193  (class class class)co 6982  Fincfn 8312  0cc0 10341  1c1 10342   + caddc 10344   · cmul 10346  cmin 10676  0cn0 11713  cz 11799  ..^cfzo 12855  chash 13511   ++ cconcat 13739
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1759  ax-4 1773  ax-5 1870  ax-6 1929  ax-7 1966  ax-8 2053  ax-9 2060  ax-10 2080  ax-11 2094  ax-12 2107  ax-13 2302  ax-ext 2752  ax-rep 5053  ax-sep 5064  ax-nul 5071  ax-pow 5123  ax-pr 5190  ax-un 7285  ax-cnex 10397  ax-resscn 10398  ax-1cn 10399  ax-icn 10400  ax-addcl 10401  ax-addrcl 10402  ax-mulcl 10403  ax-mulrcl 10404  ax-mulcom 10405  ax-addass 10406  ax-mulass 10407  ax-distr 10408  ax-i2m1 10409  ax-1ne0 10410  ax-1rid 10411  ax-rnegex 10412  ax-rrecex 10413  ax-cnre 10414  ax-pre-lttri 10415  ax-pre-lttrn 10416  ax-pre-ltadd 10417  ax-pre-mulgt0 10418
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 835  df-3or 1070  df-3an 1071  df-tru 1511  df-ex 1744  df-nf 1748  df-sb 2017  df-mo 2551  df-eu 2589  df-clab 2761  df-cleq 2773  df-clel 2848  df-nfc 2920  df-ne 2970  df-nel 3076  df-ral 3095  df-rex 3096  df-reu 3097  df-rmo 3098  df-rab 3099  df-v 3419  df-sbc 3684  df-csb 3789  df-dif 3834  df-un 3836  df-in 3838  df-ss 3845  df-pss 3847  df-nul 4182  df-if 4354  df-pw 4427  df-sn 4445  df-pr 4447  df-tp 4449  df-op 4451  df-uni 4718  df-int 4755  df-iun 4799  df-br 4935  df-opab 4997  df-mpt 5014  df-tr 5036  df-id 5316  df-eprel 5321  df-po 5330  df-so 5331  df-fr 5370  df-we 5372  df-xp 5417  df-rel 5418  df-cnv 5419  df-co 5420  df-dm 5421  df-rn 5422  df-res 5423  df-ima 5424  df-pred 5991  df-ord 6037  df-on 6038  df-lim 6039  df-suc 6040  df-iota 6157  df-fun 6195  df-fn 6196  df-f 6197  df-f1 6198  df-fo 6199  df-f1o 6200  df-fv 6201  df-riota 6943  df-ov 6985  df-oprab 6986  df-mpo 6987  df-om 7403  df-1st 7507  df-2nd 7508  df-wrecs 7756  df-recs 7818  df-rdg 7856  df-1o 7911  df-oadd 7915  df-er 8095  df-en 8313  df-dom 8314  df-sdom 8315  df-fin 8316  df-dju 9130  df-card 9168  df-pnf 10482  df-mnf 10483  df-xr 10484  df-ltxr 10485  df-le 10486  df-sub 10678  df-neg 10679  df-nn 11446  df-n0 11714  df-z 11800  df-uz 12065  df-fz 12715  df-fzo 12856  df-hash 13512  df-concat 13740
This theorem is referenced by:  ofcccat  31491
  Copyright terms: Public domain W3C validator