Theorem fvsetsid 17194

Description: The value of the structure replacement function for its first argument is its second argument. (Contributed by SO, 12-Jul-2018.)

Assertion

Ref	Expression
fvsetsid	⊢ ((𝐹 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝑊 ∧ 𝑌 ∈ 𝑈) → ((𝐹 sSet ⟨𝑋, 𝑌⟩)‘𝑋) = 𝑌)

Proof of Theorem fvsetsid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		setsval 17193	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑈) → (𝐹 sSet ⟨𝑋, 𝑌⟩) = ((𝐹 ↾ (V ∖ {𝑋})) ∪ {⟨𝑋, 𝑌⟩}))
2	1	3adant2 1143	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝑊 ∧ 𝑌 ∈ 𝑈) → (𝐹 sSet ⟨𝑋, 𝑌⟩) = ((𝐹 ↾ (V ∖ {𝑋})) ∪ {⟨𝑋, 𝑌⟩}))
3	2	fveq1d 6863	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝑊 ∧ 𝑌 ∈ 𝑈) → ((𝐹 sSet ⟨𝑋, 𝑌⟩)‘𝑋) = (((𝐹 ↾ (V ∖ {𝑋})) ∪ {⟨𝑋, 𝑌⟩})‘𝑋))
4		simp2 1149	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝑊 ∧ 𝑌 ∈ 𝑈) → 𝑋 ∈ 𝑊)
5		simp3 1150	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝑊 ∧ 𝑌 ∈ 𝑈) → 𝑌 ∈ 𝑈)
6		neldifsn 4749	. . . . 5 ⊢ ¬ 𝑋 ∈ (V ∖ {𝑋})
7		dmres 5994	. . . . . . 7 ⊢ dom (𝐹 ↾ (V ∖ {𝑋})) = ((V ∖ {𝑋}) ∩ dom 𝐹)
8		inss1 4186	. . . . . . 7 ⊢ ((V ∖ {𝑋}) ∩ dom 𝐹) ⊆ (V ∖ {𝑋})
9	7, 8	eqsstri 3980	. . . . . 6 ⊢ dom (𝐹 ↾ (V ∖ {𝑋})) ⊆ (V ∖ {𝑋})
10	9	sseli 3930	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ∈ dom (𝐹 ↾ (V ∖ {𝑋})) → 𝑋 ∈ (V ∖ {𝑋}))
11	6, 10	mto 199	. . . 4 ⊢ ¬ 𝑋 ∈ dom (𝐹 ↾ (V ∖ {𝑋}))
12	11	a1i 11	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝑊 ∧ 𝑌 ∈ 𝑈) → ¬ 𝑋 ∈ dom (𝐹 ↾ (V ∖ {𝑋})))
13		fsnunfv 7165	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑊 ∧ 𝑌 ∈ 𝑈 ∧ ¬ 𝑋 ∈ dom (𝐹 ↾ (V ∖ {𝑋}))) → (((𝐹 ↾ (V ∖ {𝑋})) ∪ {⟨𝑋, 𝑌⟩})‘𝑋) = 𝑌)
14	4, 5, 12, 13	syl3anc 1389	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝑊 ∧ 𝑌 ∈ 𝑈) → (((𝐹 ↾ (V ∖ {𝑋})) ∪ {⟨𝑋, 𝑌⟩})‘𝑋) = 𝑌)
15	3, 14	eqtrd 2796	1 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝑊 ∧ 𝑌 ∈ 𝑈) → ((𝐹 sSet ⟨𝑋, 𝑌⟩)‘𝑋) = 𝑌)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ w3a 1097   = wceq 1559   ∈ wcel 2141  Vcvv 3453   ∖ cdif 3899   ∪ cun 3900   ∩ cin 3901  {csn 4579  ⟨cop 4585  dom cdm 5643   ↾ cres 5645  ‘cfv 6515  (class class class)co 7390   sSet csts 17189

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-sep 5243  ax-pr 5387  ax-un 7712

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-ral 3076  df-rex 3086  df-rab 3414  df-v 3455  df-sbc 3743  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-nul 4284  df-if 4478  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4863  df-br 5098  df-opab 5160  df-id 5538  df-xp 5649  df-rel 5650  df-cnv 5651  df-co 5652  df-dm 5653  df-res 5655  df-iota 6471  df-fun 6517  df-fn 6518  df-fv 6523  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-sets 17190

This theorem is referenced by:  mdetunilem9  22667