Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fvsetsid Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fvsetsid 16493
 Description: The value of the structure replacement function for its first argument is its second argument. (Contributed by SO, 12-Jul-2018.)
Assertion
Ref Expression
fvsetsid ((𝐹𝑉𝑋𝑊𝑌𝑈) → ((𝐹 sSet ⟨𝑋, 𝑌⟩)‘𝑋) = 𝑌)

Proof of Theorem fvsetsid
StepHypRef Expression
1 setsval 16491 . . . 4 ((𝐹𝑉𝑌𝑈) → (𝐹 sSet ⟨𝑋, 𝑌⟩) = ((𝐹 ↾ (V ∖ {𝑋})) ∪ {⟨𝑋, 𝑌⟩}))
213adant2 1128 . . 3 ((𝐹𝑉𝑋𝑊𝑌𝑈) → (𝐹 sSet ⟨𝑋, 𝑌⟩) = ((𝐹 ↾ (V ∖ {𝑋})) ∪ {⟨𝑋, 𝑌⟩}))
32fveq1d 6645 . 2 ((𝐹𝑉𝑋𝑊𝑌𝑈) → ((𝐹 sSet ⟨𝑋, 𝑌⟩)‘𝑋) = (((𝐹 ↾ (V ∖ {𝑋})) ∪ {⟨𝑋, 𝑌⟩})‘𝑋))
4 simp2 1134 . . 3 ((𝐹𝑉𝑋𝑊𝑌𝑈) → 𝑋𝑊)
5 simp3 1135 . . 3 ((𝐹𝑉𝑋𝑊𝑌𝑈) → 𝑌𝑈)
6 neldifsn 4698 . . . . 5 ¬ 𝑋 ∈ (V ∖ {𝑋})
7 dmres 5848 . . . . . . 7 dom (𝐹 ↾ (V ∖ {𝑋})) = ((V ∖ {𝑋}) ∩ dom 𝐹)
8 inss1 4180 . . . . . . 7 ((V ∖ {𝑋}) ∩ dom 𝐹) ⊆ (V ∖ {𝑋})
97, 8eqsstri 3977 . . . . . 6 dom (𝐹 ↾ (V ∖ {𝑋})) ⊆ (V ∖ {𝑋})
109sseli 3939 . . . . 5 (𝑋 ∈ dom (𝐹 ↾ (V ∖ {𝑋})) → 𝑋 ∈ (V ∖ {𝑋}))
116, 10mto 200 . . . 4 ¬ 𝑋 ∈ dom (𝐹 ↾ (V ∖ {𝑋}))
1211a1i 11 . . 3 ((𝐹𝑉𝑋𝑊𝑌𝑈) → ¬ 𝑋 ∈ dom (𝐹 ↾ (V ∖ {𝑋})))
13 fsnunfv 6922 . . 3 ((𝑋𝑊𝑌𝑈 ∧ ¬ 𝑋 ∈ dom (𝐹 ↾ (V ∖ {𝑋}))) → (((𝐹 ↾ (V ∖ {𝑋})) ∪ {⟨𝑋, 𝑌⟩})‘𝑋) = 𝑌)
144, 5, 12, 13syl3anc 1368 . 2 ((𝐹𝑉𝑋𝑊𝑌𝑈) → (((𝐹 ↾ (V ∖ {𝑋})) ∪ {⟨𝑋, 𝑌⟩})‘𝑋) = 𝑌)
153, 14eqtrd 2856 1 ((𝐹𝑉𝑋𝑊𝑌𝑈) → ((𝐹 sSet ⟨𝑋, 𝑌⟩)‘𝑋) = 𝑌)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ w3a 1084   = wceq 1538   ∈ wcel 2115  Vcvv 3471   ∖ cdif 3907   ∪ cun 3908   ∩ cin 3909  {csn 4540  ⟨cop 4546  dom cdm 5528   ↾ cres 5530  ‘cfv 6328  (class class class)co 7130   sSet csts 16459 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2178  ax-ext 2793  ax-sep 5176  ax-nul 5183  ax-pr 5303  ax-un 7436 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2623  df-eu 2654  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2892  df-nfc 2960  df-ne 3008  df-ral 3131  df-rex 3132  df-rab 3135  df-v 3473  df-sbc 3750  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-nul 4267  df-if 4441  df-sn 4541  df-pr 4543  df-op 4547  df-uni 4812  df-br 5040  df-opab 5102  df-id 5433  df-xp 5534  df-rel 5535  df-cnv 5536  df-co 5537  df-dm 5538  df-res 5540  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-fv 6336  df-ov 7133  df-oprab 7134  df-mpo 7135  df-sets 16468 This theorem is referenced by:  mdetunilem9  21204
 Copyright terms: Public domain W3C validator