Theorem fvsetsid 17145

Description: The value of the structure replacement function for its first argument is its second argument. (Contributed by SO, 12-Jul-2018.)

Assertion

Ref	Expression
fvsetsid	⊢ ((𝐹 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝑊 ∧ 𝑌 ∈ 𝑈) → ((𝐹 sSet ⟨𝑋, 𝑌⟩)‘𝑋) = 𝑌)

Proof of Theorem fvsetsid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		setsval 17144	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑈) → (𝐹 sSet ⟨𝑋, 𝑌⟩) = ((𝐹 ↾ (V ∖ {𝑋})) ∪ {⟨𝑋, 𝑌⟩}))
2	1	3adant2 1131	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝑊 ∧ 𝑌 ∈ 𝑈) → (𝐹 sSet ⟨𝑋, 𝑌⟩) = ((𝐹 ↾ (V ∖ {𝑋})) ∪ {⟨𝑋, 𝑌⟩}))
3	2	fveq1d 6863	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝑊 ∧ 𝑌 ∈ 𝑈) → ((𝐹 sSet ⟨𝑋, 𝑌⟩)‘𝑋) = (((𝐹 ↾ (V ∖ {𝑋})) ∪ {⟨𝑋, 𝑌⟩})‘𝑋))
4		simp2 1137	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝑊 ∧ 𝑌 ∈ 𝑈) → 𝑋 ∈ 𝑊)
5		simp3 1138	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝑊 ∧ 𝑌 ∈ 𝑈) → 𝑌 ∈ 𝑈)
6		neldifsn 4759	. . . . 5 ⊢ ¬ 𝑋 ∈ (V ∖ {𝑋})
7		dmres 5986	. . . . . . 7 ⊢ dom (𝐹 ↾ (V ∖ {𝑋})) = ((V ∖ {𝑋}) ∩ dom 𝐹)
8		inss1 4203	. . . . . . 7 ⊢ ((V ∖ {𝑋}) ∩ dom 𝐹) ⊆ (V ∖ {𝑋})
9	7, 8	eqsstri 3996	. . . . . 6 ⊢ dom (𝐹 ↾ (V ∖ {𝑋})) ⊆ (V ∖ {𝑋})
10	9	sseli 3945	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ∈ dom (𝐹 ↾ (V ∖ {𝑋})) → 𝑋 ∈ (V ∖ {𝑋}))
11	6, 10	mto 197	. . . 4 ⊢ ¬ 𝑋 ∈ dom (𝐹 ↾ (V ∖ {𝑋}))
12	11	a1i 11	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝑊 ∧ 𝑌 ∈ 𝑈) → ¬ 𝑋 ∈ dom (𝐹 ↾ (V ∖ {𝑋})))
13		fsnunfv 7164	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑊 ∧ 𝑌 ∈ 𝑈 ∧ ¬ 𝑋 ∈ dom (𝐹 ↾ (V ∖ {𝑋}))) → (((𝐹 ↾ (V ∖ {𝑋})) ∪ {⟨𝑋, 𝑌⟩})‘𝑋) = 𝑌)
14	4, 5, 12, 13	syl3anc 1373	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝑊 ∧ 𝑌 ∈ 𝑈) → (((𝐹 ↾ (V ∖ {𝑋})) ∪ {⟨𝑋, 𝑌⟩})‘𝑋) = 𝑌)
15	3, 14	eqtrd 2765	1 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝑊 ∧ 𝑌 ∈ 𝑈) → ((𝐹 sSet ⟨𝑋, 𝑌⟩)‘𝑋) = 𝑌)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  Vcvv 3450   ∖ cdif 3914   ∪ cun 3915   ∩ cin 3916  {csn 4592  ⟨cop 4598  dom cdm 5641   ↾ cres 5643  ‘cfv 6514  (class class class)co 7390   sSet csts 17140

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pr 5390  ax-un 7714

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-nul 4300  df-if 4492  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-br 5111  df-opab 5173  df-id 5536  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-res 5653  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-fv 6522  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-sets 17141

This theorem is referenced by:  mdetunilem9  22514