MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fvsetsid Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fvsetsid 17140
Description: The value of the structure replacement function for its first argument is its second argument. (Contributed by SO, 12-Jul-2018.)
Assertion
Ref Expression
fvsetsid ((𝐹𝑉𝑋𝑊𝑌𝑈) → ((𝐹 sSet ⟨𝑋, 𝑌⟩)‘𝑋) = 𝑌)

Proof of Theorem fvsetsid
StepHypRef Expression
1 setsval 17139 . . . 4 ((𝐹𝑉𝑌𝑈) → (𝐹 sSet ⟨𝑋, 𝑌⟩) = ((𝐹 ↾ (V ∖ {𝑋})) ∪ {⟨𝑋, 𝑌⟩}))
213adant2 1128 . . 3 ((𝐹𝑉𝑋𝑊𝑌𝑈) → (𝐹 sSet ⟨𝑋, 𝑌⟩) = ((𝐹 ↾ (V ∖ {𝑋})) ∪ {⟨𝑋, 𝑌⟩}))
32fveq1d 6898 . 2 ((𝐹𝑉𝑋𝑊𝑌𝑈) → ((𝐹 sSet ⟨𝑋, 𝑌⟩)‘𝑋) = (((𝐹 ↾ (V ∖ {𝑋})) ∪ {⟨𝑋, 𝑌⟩})‘𝑋))
4 simp2 1134 . . 3 ((𝐹𝑉𝑋𝑊𝑌𝑈) → 𝑋𝑊)
5 simp3 1135 . . 3 ((𝐹𝑉𝑋𝑊𝑌𝑈) → 𝑌𝑈)
6 neldifsn 4797 . . . . 5 ¬ 𝑋 ∈ (V ∖ {𝑋})
7 dmres 6017 . . . . . . 7 dom (𝐹 ↾ (V ∖ {𝑋})) = ((V ∖ {𝑋}) ∩ dom 𝐹)
8 inss1 4227 . . . . . . 7 ((V ∖ {𝑋}) ∩ dom 𝐹) ⊆ (V ∖ {𝑋})
97, 8eqsstri 4011 . . . . . 6 dom (𝐹 ↾ (V ∖ {𝑋})) ⊆ (V ∖ {𝑋})
109sseli 3972 . . . . 5 (𝑋 ∈ dom (𝐹 ↾ (V ∖ {𝑋})) → 𝑋 ∈ (V ∖ {𝑋}))
116, 10mto 196 . . . 4 ¬ 𝑋 ∈ dom (𝐹 ↾ (V ∖ {𝑋}))
1211a1i 11 . . 3 ((𝐹𝑉𝑋𝑊𝑌𝑈) → ¬ 𝑋 ∈ dom (𝐹 ↾ (V ∖ {𝑋})))
13 fsnunfv 7196 . . 3 ((𝑋𝑊𝑌𝑈 ∧ ¬ 𝑋 ∈ dom (𝐹 ↾ (V ∖ {𝑋}))) → (((𝐹 ↾ (V ∖ {𝑋})) ∪ {⟨𝑋, 𝑌⟩})‘𝑋) = 𝑌)
144, 5, 12, 13syl3anc 1368 . 2 ((𝐹𝑉𝑋𝑊𝑌𝑈) → (((𝐹 ↾ (V ∖ {𝑋})) ∪ {⟨𝑋, 𝑌⟩})‘𝑋) = 𝑌)
153, 14eqtrd 2765 1 ((𝐹𝑉𝑋𝑊𝑌𝑈) → ((𝐹 sSet ⟨𝑋, 𝑌⟩)‘𝑋) = 𝑌)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  w3a 1084   = wceq 1533  wcel 2098  Vcvv 3461  cdif 3941  cun 3942  cin 3943  {csn 4630  cop 4636  dom cdm 5678  cres 5680  cfv 6549  (class class class)co 7419   sSet csts 17135
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pr 5429  ax-un 7741
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2930  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rab 3419  df-v 3463  df-sbc 3774  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-nul 4323  df-if 4531  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4910  df-br 5150  df-opab 5212  df-id 5576  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-res 5690  df-iota 6501  df-fun 6551  df-fn 6552  df-fv 6557  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-sets 17136
This theorem is referenced by:  mdetunilem9  22566
  Copyright terms: Public domain W3C validator