Theorem fvsetsid 17216

Description: The value of the structure replacement function for its first argument is its second argument. (Contributed by SO, 12-Jul-2018.)

Assertion

Ref	Expression
fvsetsid	⊢ ((𝐹 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝑊 ∧ 𝑌 ∈ 𝑈) → ((𝐹 sSet ⟨𝑋, 𝑌⟩)‘𝑋) = 𝑌)

Proof of Theorem fvsetsid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		setsval 17215	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑈) → (𝐹 sSet ⟨𝑋, 𝑌⟩) = ((𝐹 ↾ (V ∖ {𝑋})) ∪ {⟨𝑋, 𝑌⟩}))
2	1	3adant2 1147	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝑊 ∧ 𝑌 ∈ 𝑈) → (𝐹 sSet ⟨𝑋, 𝑌⟩) = ((𝐹 ↾ (V ∖ {𝑋})) ∪ {⟨𝑋, 𝑌⟩}))
3	2	fveq1d 6873	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝑊 ∧ 𝑌 ∈ 𝑈) → ((𝐹 sSet ⟨𝑋, 𝑌⟩)‘𝑋) = (((𝐹 ↾ (V ∖ {𝑋})) ∪ {⟨𝑋, 𝑌⟩})‘𝑋))
4		simp2 1153	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝑊 ∧ 𝑌 ∈ 𝑈) → 𝑋 ∈ 𝑊)
5		simp3 1154	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝑊 ∧ 𝑌 ∈ 𝑈) → 𝑌 ∈ 𝑈)
6		neldifsn 4755	. . . . 5 ⊢ ¬ 𝑋 ∈ (V ∖ {𝑋})
7		dmres 6001	. . . . . . 7 ⊢ dom (𝐹 ↾ (V ∖ {𝑋})) = ((V ∖ {𝑋}) ∩ dom 𝐹)
8		inss1 4191	. . . . . . 7 ⊢ ((V ∖ {𝑋}) ∩ dom 𝐹) ⊆ (V ∖ {𝑋})
9	7, 8	eqsstri 3985	. . . . . 6 ⊢ dom (𝐹 ↾ (V ∖ {𝑋})) ⊆ (V ∖ {𝑋})
10	9	sseli 3935	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ∈ dom (𝐹 ↾ (V ∖ {𝑋})) → 𝑋 ∈ (V ∖ {𝑋}))
11	6, 10	mto 200	. . . 4 ⊢ ¬ 𝑋 ∈ dom (𝐹 ↾ (V ∖ {𝑋}))
12	11	a1i 11	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝑊 ∧ 𝑌 ∈ 𝑈) → ¬ 𝑋 ∈ dom (𝐹 ↾ (V ∖ {𝑋})))
13		fsnunfv 7175	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑊 ∧ 𝑌 ∈ 𝑈 ∧ ¬ 𝑋 ∈ dom (𝐹 ↾ (V ∖ {𝑋}))) → (((𝐹 ↾ (V ∖ {𝑋})) ∪ {⟨𝑋, 𝑌⟩})‘𝑋) = 𝑌)
14	4, 5, 12, 13	syl3anc 1394	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝑊 ∧ 𝑌 ∈ 𝑈) → (((𝐹 ↾ (V ∖ {𝑋})) ∪ {⟨𝑋, 𝑌⟩})‘𝑋) = 𝑌)
15	3, 14	eqtrd 2800	1 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝑊 ∧ 𝑌 ∈ 𝑈) → ((𝐹 sSet ⟨𝑋, 𝑌⟩)‘𝑋) = 𝑌)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ w3a 1101   = wceq 1563   ∈ wcel 2145  Vcvv 3457   ∖ cdif 3904   ∪ cun 3905   ∩ cin 3906  {csn 4585  ⟨cop 4591  dom cdm 5651   ↾ cres 5653  ‘cfv 6525  (class class class)co 7400   sSet csts 17211

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1818  ax-4 1832  ax-5 1933  ax-6 1990  ax-7 2031  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2737  ax-sep 5250  ax-pr 5394  ax-un 7722

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3an 1103  df-tru 1566  df-fal 1576  df-ex 1803  df-nf 1807  df-sb 2094  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rab 3418  df-v 3459  df-sbc 3748  df-dif 3910  df-un 3912  df-in 3914  df-ss 3924  df-nul 4289  df-if 4484  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-br 5105  df-opab 5167  df-id 5546  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-res 5663  df-iota 6481  df-fun 6527  df-fn 6528  df-fv 6533  df-ov 7403  df-oprab 7404  df-mpo 7405  df-sets 17212

This theorem is referenced by:  mdetunilem9  22734