Theorem fvsetsid 17202

Description: The value of the structure replacement function for its first argument is its second argument. (Contributed by SO, 12-Jul-2018.)

Assertion

Ref	Expression
fvsetsid	⊢ ((𝐹 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝑊 ∧ 𝑌 ∈ 𝑈) → ((𝐹 sSet ⟨𝑋, 𝑌⟩)‘𝑋) = 𝑌)

Proof of Theorem fvsetsid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		setsval 17201	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑈) → (𝐹 sSet ⟨𝑋, 𝑌⟩) = ((𝐹 ↾ (V ∖ {𝑋})) ∪ {⟨𝑋, 𝑌⟩}))
2	1	3adant2 1130	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝑊 ∧ 𝑌 ∈ 𝑈) → (𝐹 sSet ⟨𝑋, 𝑌⟩) = ((𝐹 ↾ (V ∖ {𝑋})) ∪ {⟨𝑋, 𝑌⟩}))
3	2	fveq1d 6909	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝑊 ∧ 𝑌 ∈ 𝑈) → ((𝐹 sSet ⟨𝑋, 𝑌⟩)‘𝑋) = (((𝐹 ↾ (V ∖ {𝑋})) ∪ {⟨𝑋, 𝑌⟩})‘𝑋))
4		simp2 1136	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝑊 ∧ 𝑌 ∈ 𝑈) → 𝑋 ∈ 𝑊)
5		simp3 1137	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝑊 ∧ 𝑌 ∈ 𝑈) → 𝑌 ∈ 𝑈)
6		neldifsn 4797	. . . . 5 ⊢ ¬ 𝑋 ∈ (V ∖ {𝑋})
7		dmres 6032	. . . . . . 7 ⊢ dom (𝐹 ↾ (V ∖ {𝑋})) = ((V ∖ {𝑋}) ∩ dom 𝐹)
8		inss1 4245	. . . . . . 7 ⊢ ((V ∖ {𝑋}) ∩ dom 𝐹) ⊆ (V ∖ {𝑋})
9	7, 8	eqsstri 4030	. . . . . 6 ⊢ dom (𝐹 ↾ (V ∖ {𝑋})) ⊆ (V ∖ {𝑋})
10	9	sseli 3991	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ∈ dom (𝐹 ↾ (V ∖ {𝑋})) → 𝑋 ∈ (V ∖ {𝑋}))
11	6, 10	mto 197	. . . 4 ⊢ ¬ 𝑋 ∈ dom (𝐹 ↾ (V ∖ {𝑋}))
12	11	a1i 11	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝑊 ∧ 𝑌 ∈ 𝑈) → ¬ 𝑋 ∈ dom (𝐹 ↾ (V ∖ {𝑋})))
13		fsnunfv 7207	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑊 ∧ 𝑌 ∈ 𝑈 ∧ ¬ 𝑋 ∈ dom (𝐹 ↾ (V ∖ {𝑋}))) → (((𝐹 ↾ (V ∖ {𝑋})) ∪ {⟨𝑋, 𝑌⟩})‘𝑋) = 𝑌)
14	4, 5, 12, 13	syl3anc 1370	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝑊 ∧ 𝑌 ∈ 𝑈) → (((𝐹 ↾ (V ∖ {𝑋})) ∪ {⟨𝑋, 𝑌⟩})‘𝑋) = 𝑌)
15	3, 14	eqtrd 2775	1 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝑊 ∧ 𝑌 ∈ 𝑈) → ((𝐹 sSet ⟨𝑋, 𝑌⟩)‘𝑋) = 𝑌)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ w3a 1086   = wceq 1537   ∈ wcel 2106  Vcvv 3478   ∖ cdif 3960   ∪ cun 3961   ∩ cin 3962  {csn 4631  ⟨cop 4637  dom cdm 5689   ↾ cres 5691  ‘cfv 6563  (class class class)co 7431   sSet csts 17197

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pr 5438  ax-un 7754

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-nul 4340  df-if 4532  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-br 5149  df-opab 5211  df-id 5583  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-res 5701  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-fv 6571  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-sets 17198

This theorem is referenced by:  mdetunilem9  22642