Theorem fvsetsid 17260

Description: The value of the structure replacement function for its first argument is its second argument. (Contributed by SO, 12-Jul-2018.)

Assertion

Ref	Expression
fvsetsid	⊢ ((𝐹 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝑊 ∧ 𝑌 ∈ 𝑈) → ((𝐹 sSet ⟨𝑋, 𝑌⟩)‘𝑋) = 𝑌)

Proof of Theorem fvsetsid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		setsval 17259	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑈) → (𝐹 sSet ⟨𝑋, 𝑌⟩) = ((𝐹 ↾ (V ∖ {𝑋})) ∪ {⟨𝑋, 𝑌⟩}))
2	1	3adant2 1149	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝑊 ∧ 𝑌 ∈ 𝑈) → (𝐹 sSet ⟨𝑋, 𝑌⟩) = ((𝐹 ↾ (V ∖ {𝑋})) ∪ {⟨𝑋, 𝑌⟩}))
3	2	fveq1d 6880	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝑊 ∧ 𝑌 ∈ 𝑈) → ((𝐹 sSet ⟨𝑋, 𝑌⟩)‘𝑋) = (((𝐹 ↾ (V ∖ {𝑋})) ∪ {⟨𝑋, 𝑌⟩})‘𝑋))
4		simp2 1155	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝑊 ∧ 𝑌 ∈ 𝑈) → 𝑋 ∈ 𝑊)
5		simp3 1156	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝑊 ∧ 𝑌 ∈ 𝑈) → 𝑌 ∈ 𝑈)
6		neldifsn 4755	. . . . 5 ⊢ ¬ 𝑋 ∈ (V ∖ {𝑋})
7		dmres 6005	. . . . . . 7 ⊢ dom (𝐹 ↾ (V ∖ {𝑋})) = ((V ∖ {𝑋}) ∩ dom 𝐹)
8		inss1 4182	. . . . . . 7 ⊢ ((V ∖ {𝑋}) ∩ dom 𝐹) ⊆ (V ∖ {𝑋})
9	7, 8	eqsstri 3977	. . . . . 6 ⊢ dom (𝐹 ↾ (V ∖ {𝑋})) ⊆ (V ∖ {𝑋})
10	9	sseli 3927	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ∈ dom (𝐹 ↾ (V ∖ {𝑋})) → 𝑋 ∈ (V ∖ {𝑋}))
11	6, 10	mto 200	. . . 4 ⊢ ¬ 𝑋 ∈ dom (𝐹 ↾ (V ∖ {𝑋}))
12	11	a1i 11	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝑊 ∧ 𝑌 ∈ 𝑈) → ¬ 𝑋 ∈ dom (𝐹 ↾ (V ∖ {𝑋})))
13		fsnunfv 7185	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑊 ∧ 𝑌 ∈ 𝑈 ∧ ¬ 𝑋 ∈ dom (𝐹 ↾ (V ∖ {𝑋}))) → (((𝐹 ↾ (V ∖ {𝑋})) ∪ {⟨𝑋, 𝑌⟩})‘𝑋) = 𝑌)
14	4, 5, 12, 13	syl3anc 1398	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝑊 ∧ 𝑌 ∈ 𝑈) → (((𝐹 ↾ (V ∖ {𝑋})) ∪ {⟨𝑋, 𝑌⟩})‘𝑋) = 𝑌)
15	3, 14	eqtrd 2795	1 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝑊 ∧ 𝑌 ∈ 𝑈) → ((𝐹 sSet ⟨𝑋, 𝑌⟩)‘𝑋) = 𝑌)

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  Vcvv 3450   ∖ cdif 3896   ∪ cun 3897   ∩ cin 3898  {csn 4584  ⟨cop 4590  dom cdm 5655   ↾ cres 5657  ‘cfv 6533  (class class class)co 7413   sSet csts 17255

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-sep 5251  ax-pr 5398  ax-un 7736

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-br 5104  df-opab 5168  df-id 5550  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-res 5667  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-fv 6541  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-sets 17256

This theorem is used by:  mdetunilem9  22842