Theorem imasubclem1 49602

Description: Lemma for imasubc 49649. (Contributed by Zhi Wang, 6-Nov-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
imasubclem1.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑉)
imasubclem1.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝑊)

Assertion

Ref	Expression
imasubclem1	⊢ (𝜑 → ∪ 𝑥 ∈ ((◡𝐹 “ 𝐴) × (◡𝐺 “ 𝐵))((𝐻‘𝐶) “ 𝐷) ∈ V)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝐹   𝑥,𝐺

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐶(𝑥)   𝐷(𝑥)   𝐻(𝑥)   𝑉(𝑥)   𝑊(𝑥)

Proof of Theorem imasubclem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		imasubclem1.f	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑉)
2		cnvexg 7865	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑉 → ◡𝐹 ∈ V)
3	1, 2	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ◡𝐹 ∈ V)
4	3	imaexd 7857	. . 3 ⊢ (𝜑 → (◡𝐹 “ 𝐴) ∈ V)
5		imasubclem1.g	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝑊)
6		cnvexg 7865	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ 𝑊 → ◡𝐺 ∈ V)
7	5, 6	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ◡𝐺 ∈ V)
8	7	imaexd 7857	. . 3 ⊢ (𝜑 → (◡𝐺 “ 𝐵) ∈ V)
9	4, 8	xpexd 7695	. 2 ⊢ (𝜑 → ((◡𝐹 “ 𝐴) × (◡𝐺 “ 𝐵)) ∈ V)
10		fvex 6841	. . . 4 ⊢ (𝐻‘𝐶) ∈ V
11	10	imaex 7855	. . 3 ⊢ ((𝐻‘𝐶) “ 𝐷) ∈ V
12	11	rgenw 3057	. 2 ⊢ ∀𝑥 ∈ ((◡𝐹 “ 𝐴) × (◡𝐺 “ 𝐵))((𝐻‘𝐶) “ 𝐷) ∈ V
13		iunexg 7906	. 2 ⊢ ((((◡𝐹 “ 𝐴) × (◡𝐺 “ 𝐵)) ∈ V ∧ ∀𝑥 ∈ ((◡𝐹 “ 𝐴) × (◡𝐺 “ 𝐵))((𝐻‘𝐶) “ 𝐷) ∈ V) → ∪ 𝑥 ∈ ((◡𝐹 “ 𝐴) × (◡𝐺 “ 𝐵))((𝐻‘𝐶) “ 𝐷) ∈ V)
14	9, 12, 13	sylancl 592	1 ⊢ (𝜑 → ∪ 𝑥 ∈ ((◡𝐹 “ 𝐴) × (◡𝐺 “ 𝐵))((𝐻‘𝐶) “ 𝐷) ∈ V)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2119  ∀wral 3053  Vcvv 3431  ∪ ciun 4922   × cxp 5617  ^◡ccnv 5618   “ cima 5622  ‘cfv 6486

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-11 2168  ax-ext 2711  ax-rep 5200  ax-sep 5219  ax-nul 5229  ax-pow 5295  ax-pr 5363  ax-un 7679

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-sb 2074  df-mo 2543  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2814  df-ne 2935  df-ral 3054  df-rex 3064  df-rab 3392  df-v 3433  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-nul 4263  df-if 4456  df-pw 4532  df-sn 4557  df-pr 4559  df-op 4563  df-uni 4840  df-iun 4924  df-br 5074  df-opab 5136  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-iota 6442  df-fv 6494

This theorem is referenced by:  imasubclem2  49603  imasubclem3  49604