Theorem imasubclem1 49910

Description: Lemma for imasubc 49957. (Contributed by Zhi Wang, 6-Nov-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
imasubclem1.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑉)
imasubclem1.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝑊)

Assertion

Ref	Expression
imasubclem1	⊢ (𝜑 → ∪ 𝑥 ∈ ((◡𝐹 “ 𝐴) × (◡𝐺 “ 𝐵))((𝐻‘𝐶) “ 𝐷) ∈ V)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝐹   𝑥,𝐺

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐶(𝑥)   𝐷(𝑥)   𝐻(𝑥)   𝑉(𝑥)   𝑊(𝑥)

Proof of Theorem imasubclem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		imasubclem1.f	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑉)
2		cnvexg 7917	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑉 → ◡𝐹 ∈ V)
3	1, 2	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ◡𝐹 ∈ V)
4	3	imaexd 7909	. . 3 ⊢ (𝜑 → (◡𝐹 “ 𝐴) ∈ V)
5		imasubclem1.g	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝑊)
6		cnvexg 7917	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ 𝑊 → ◡𝐺 ∈ V)
7	5, 6	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ◡𝐺 ∈ V)
8	7	imaexd 7909	. . 3 ⊢ (𝜑 → (◡𝐺 “ 𝐵) ∈ V)
9	4, 8	xpexd 7746	. 2 ⊢ (𝜑 → ((◡𝐹 “ 𝐴) × (◡𝐺 “ 𝐵)) ∈ V)
10		fvex 6894	. . . 4 ⊢ (𝐻‘𝐶) ∈ V
11	10	imaex 7907	. . 3 ⊢ ((𝐻‘𝐶) “ 𝐷) ∈ V
12	11	rgenw 3083	. 2 ⊢ ∀𝑥 ∈ ((◡𝐹 “ 𝐴) × (◡𝐺 “ 𝐵))((𝐻‘𝐶) “ 𝐷) ∈ V
13		iunexg 7956	. 2 ⊢ ((((◡𝐹 “ 𝐴) × (◡𝐺 “ 𝐵)) ∈ V ∧ ∀𝑥 ∈ ((◡𝐹 “ 𝐴) × (◡𝐺 “ 𝐵))((𝐻‘𝐶) “ 𝐷) ∈ V) → ∪ 𝑥 ∈ ((◡𝐹 “ 𝐴) × (◡𝐺 “ 𝐵))((𝐻‘𝐶) “ 𝐷) ∈ V)
14	9, 12, 13	sylancl 597	1 ⊢ (𝜑 → ∪ 𝑥 ∈ ((◡𝐹 “ 𝐴) × (◡𝐺 “ 𝐵))((𝐻‘𝐶) “ 𝐷) ∈ V)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2143  ∀wral 3079  Vcvv 3455  ∪ ciun 4956   × cxp 5659  ^◡ccnv 5660   “ cima 5664  ‘cfv 6536

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-11 2192  ax-ext 2735  ax-rep 5238  ax-sep 5257  ax-nul 5269  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-sb 2097  df-mo 2567  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-ne 2959  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rab 3417  df-v 3457  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-nul 4287  df-if 4488  df-pw 4564  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4873  df-iun 4958  df-br 5110  df-opab 5174  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-iota 6492  df-fv 6544

This theorem is used by:  imasubclem2  49911  imasubclem3  49912