Theorem xpexd 7579

Description: The Cartesian product of two sets is a set. (Contributed by Glauco Siliprandi, 26-Jun-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
xpexd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
xpexd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑊)

Assertion

Ref	Expression
xpexd	⊢ (𝜑 → (𝐴 × 𝐵) ∈ V)

Proof of Theorem xpexd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xpexd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
2		xpexd.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑊)
3		xpexg 7578	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → (𝐴 × 𝐵) ∈ V)
4	1, 2, 3	syl2anc 583	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 × 𝐵) ∈ V)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2108  Vcvv 3422   × cxp 5578

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-sb 2069  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-ral 3068  df-rex 3069  df-rab 3072  df-v 3424  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-op 4565  df-uni 4837  df-opab 5133  df-xp 5586  df-rel 5587

This theorem is referenced by:  cnvexg  7745  cofunexg  7765  oprabexd  7791  ofmresex  7801  opabex2  7870  offval22  7899  tposexg  8027  mapunen  8882  marypha1  9123  wdom2d  9269  ixpiunwdom  9279  fnct  10224  fpwwe2lem2  10319  fpwwe2lem4  10321  fpwwe2lem11  10328  fpwwelem  10332  canthwe  10338  pwxpndom  10353  gchhar  10366  trclexlem  14633  isacs1i  17283  brcic  17427  rescval2  17457  reschom  17460  rescabs  17464  setccofval  17713  estrccofval  17761  sylow2a  19139  gsumxp  19492  gsumxp2  19496  opsrval  21157  opsrtoslem2  21173  evlslem4  21194  matbas2d  21480  tsmsxp  23214  ustssel  23265  ustfilxp  23272  trust  23289  restutop  23297  trcfilu  23354  cfiluweak  23355  imasdsf1olem  23434  metustfbas  23619  restmetu  23632  rrxsca  24465  perpln1  26975  perpln2  26976  isperp  26977  suppovss  30919  fsuppcurry1  30962  fsuppcurry2  30963  hashxpe  31029  gsumpart  31217  fedgmullem1  31612  fedgmullem2  31613  fedgmul  31614  metidval  31742  esumiun  31962  ttrclexg  33709  sexp2  33720  sexp3  33726  madeval  33963  filnetlem3  34496  bj-imdirvallem  35278  bj-imdirval2  35281  bj-imdirco  35288  bj-iminvval2  35292  isrngod  35983  isgrpda  36040  iscringd  36083  evlsbagval  40198  wdom2d2  40773  unxpwdom3  40836  trclubgNEW  41115  relexpxpmin  41214  rfovd  41498  rfovcnvf1od  41501  fsovrfovd  41506  dvsinax  43344  sge0xp  43857