Theorem xpexd 7690

Description: The Cartesian product of two sets is a set. (Contributed by Glauco Siliprandi, 26-Jun-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
xpexd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
xpexd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑊)

Assertion

Ref	Expression
xpexd	⊢ (𝜑 → (𝐴 × 𝐵) ∈ V)

Proof of Theorem xpexd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xpexd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
2		xpexd.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑊)
3		xpexg 7689	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → (𝐴 × 𝐵) ∈ V)
4	1, 2, 3	syl2anc 584	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 × 𝐵) ∈ V)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2113  Vcvv 3437   × cxp 5617

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-ext 2705  ax-sep 5236  ax-nul 5246  ax-pow 5305  ax-pr 5372  ax-un 7674

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-sb 2068  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-ral 3049  df-rex 3058  df-rab 3397  df-v 3439  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-nul 4283  df-if 4475  df-pw 4551  df-sn 4576  df-pr 4578  df-op 4582  df-uni 4859  df-opab 5156  df-xp 5625  df-rel 5626

This theorem is referenced by:  cnvexg  7860  fabexd  7873  cofunexg  7887  oprabexd  7913  ofmresex  7923  opabex2  7995  offval22  8024  sexp2  8082  sexp3  8089  tposexg  8176  mapunen  9066  marypha1  9325  wdom2d  9473  ixpiunwdom  9483  ttrclexg  9620  fnct  10435  fpwwe2lem2  10530  fpwwe2lem4  10532  fpwwe2lem11  10539  fpwwelem  10543  canthwe  10549  pwxpndom  10564  gchhar  10577  trclexlem  14903  isacs1i  17565  brcic  17707  rescval2  17737  reschom  17739  rescabs  17742  setccofval  17991  estrccofval  18037  sylow2a  19533  gsumxp  19890  gsumxp2  19894  opsrval  21982  opsrtoslem2  21992  evlslem4  22012  matbas2d  22339  tsmsxp  24071  ustssel  24122  ustfilxp  24129  trust  24145  restutop  24153  trcfilu  24209  cfiluweak  24210  imasdsf1olem  24289  metustfbas  24473  restmetu  24486  rrxsca  25324  madeval  27794  perpln1  28689  perpln2  28690  isperp  28691  suppovss  32666  fsuppcurry1  32711  fsuppcurry2  32712  hashxpe  32794  gsumpart  33044  gsumwrd2dccat  33054  elrgspnlem2  33217  elrgspnsubrunlem2  33222  erlval  33232  rlocval  33233  rlocbas  33241  rlocaddval  33242  rlocmulval  33243  fedgmullem1  33663  fedgmullem2  33664  fedgmul  33665  metidval  33924  esumiun  34128  filnetlem3  36445  numiunnum  36535  bj-imdirvallem  37245  bj-imdirval2  37248  bj-imdirco  37255  bj-iminvval2  37259  isrngod  37958  isgrpda  38015  iscringd  38058  aks6d1c6lem2  42284  evlsevl  42689  wdom2d2  43152  unxpwdom3  43212  trclubgNEW  43735  relexpxpmin  43834  rfovd  44118  rfovcnvf1od  44121  fsovrfovd  44126  dvsinax  46035  sge0xp  46551  gpgvtx  48167  gpgiedg  48168  imasubclem1  49229  fucofvalg  49443