Theorem xpexd 7474

Description: The Cartesian product of two sets is a set. (Contributed by Glauco Siliprandi, 26-Jun-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
xpexd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
xpexd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑊)

Assertion

Ref	Expression
xpexd	⊢ (𝜑 → (𝐴 × 𝐵) ∈ V)

Proof of Theorem xpexd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xpexd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
2		xpexd.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑊)
3		xpexg 7473	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → (𝐴 × 𝐵) ∈ V)
4	1, 2, 3	syl2anc 586	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 × 𝐵) ∈ V)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2114  Vcvv 3494   × cxp 5553

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2793  ax-sep 5203  ax-nul 5210  ax-pow 5266  ax-pr 5330  ax-un 7461

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ral 3143  df-rex 3144  df-rab 3147  df-v 3496  df-dif 3939  df-un 3941  df-in 3943  df-ss 3952  df-nul 4292  df-if 4468  df-pw 4541  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4839  df-opab 5129  df-xp 5561  df-rel 5562

This theorem is referenced by:  cnvexg  7629  cofunexg  7650  oprabexd  7676  ofmresex  7686  opabex2  7755  offval22  7783  tposexg  7906  marypha1  8898  wdom2d  9044  ixpiunwdom  9055  fnct  9959  fpwwe2lem2  10054  fpwwe2lem5  10056  fpwwe2lem12  10063  fpwwelem  10067  canthwe  10073  pwxpndom  10088  gchhar  10101  trclexlem  14354  isacs1i  16928  brcic  17068  rescval2  17098  reschom  17100  rescabs  17103  setccofval  17342  estrccofval  17379  sylow2a  18744  lsmhash  18831  gsumxp  19096  gsumxp2  19100  opsrval  20255  opsrtoslem2  20265  evlslem4  20288  matbas2d  21032  tsmsxp  22763  ustssel  22814  ustfilxp  22821  trust  22838  restutop  22846  trcfilu  22903  cfiluweak  22904  imasdsf1olem  22983  metustfbas  23167  restmetu  23180  rrxsca  23999  perpln1  26496  perpln2  26497  isperp  26498  suppovss  30426  fsuppcurry1  30461  fsuppcurry2  30462  hashxpe  30529  fedgmullem1  31025  fedgmullem2  31026  fedgmul  31027  metidval  31130  esumiun  31353  madeval  33289  filnetlem3  33728  bj-imdirval  34475  bj-imdirval2  34476  isrngod  35191  isgrpda  35248  iscringd  35291  wdom2d2  39652  unxpwdom3  39715  trclubgNEW  39998  relexpxpmin  40082  rfovd  40367  rfovcnvf1od  40370  fsovrfovd  40375  dvsinax  42217  sge0xp  42731