Theorem xpexd 7601

Description: The Cartesian product of two sets is a set. (Contributed by Glauco Siliprandi, 26-Jun-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
xpexd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
xpexd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑊)

Assertion

Ref	Expression
xpexd	⊢ (𝜑 → (𝐴 × 𝐵) ∈ V)

Proof of Theorem xpexd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xpexd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
2		xpexd.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑊)
3		xpexg 7600	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → (𝐴 × 𝐵) ∈ V)
4	1, 2, 3	syl2anc 584	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 × 𝐵) ∈ V)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2106  Vcvv 3432   × cxp 5587

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-ext 2709  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-sb 2068  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rab 3073  df-v 3434  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-opab 5137  df-xp 5595  df-rel 5596

This theorem is referenced by:  cnvexg  7771  cofunexg  7791  oprabexd  7818  ofmresex  7828  opabex2  7897  offval22  7928  tposexg  8056  mapunen  8933  marypha1  9193  wdom2d  9339  ixpiunwdom  9349  ttrclexg  9481  fnct  10293  fpwwe2lem2  10388  fpwwe2lem4  10390  fpwwe2lem11  10397  fpwwelem  10401  canthwe  10407  pwxpndom  10422  gchhar  10435  trclexlem  14705  isacs1i  17366  brcic  17510  rescval2  17540  reschom  17543  rescabs  17547  rescabsOLD  17548  setccofval  17797  estrccofval  17845  sylow2a  19224  gsumxp  19577  gsumxp2  19581  opsrval  21247  opsrtoslem2  21263  evlslem4  21284  matbas2d  21572  tsmsxp  23306  ustssel  23357  ustfilxp  23364  trust  23381  restutop  23389  trcfilu  23446  cfiluweak  23447  imasdsf1olem  23526  metustfbas  23713  restmetu  23726  rrxsca  24560  perpln1  27071  perpln2  27072  isperp  27073  suppovss  31017  fsuppcurry1  31060  fsuppcurry2  31061  hashxpe  31127  gsumpart  31315  fedgmullem1  31710  fedgmullem2  31711  fedgmul  31712  metidval  31840  esumiun  32062  sexp2  33793  sexp3  33799  madeval  34036  filnetlem3  34569  bj-imdirvallem  35351  bj-imdirval2  35354  bj-imdirco  35361  bj-iminvval2  35365  isrngod  36056  isgrpda  36113  iscringd  36156  evlsbagval  40275  wdom2d2  40857  unxpwdom3  40920  trclubgNEW  41226  relexpxpmin  41325  rfovd  41609  rfovcnvf1od  41612  fsovrfovd  41617  dvsinax  43454  sge0xp  43967