MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  xpexd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem xpexd 7468
Description: The Cartesian product of two sets is a set. (Contributed by Glauco Siliprandi, 26-Jun-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
xpexd.1 (𝜑𝐴𝑉)
xpexd.2 (𝜑𝐵𝑊)
Assertion
Ref Expression
xpexd (𝜑 → (𝐴 × 𝐵) ∈ V)

Proof of Theorem xpexd
StepHypRef Expression
1 xpexd.1 . 2 (𝜑𝐴𝑉)
2 xpexd.2 . 2 (𝜑𝐵𝑊)
3 xpexg 7467 . 2 ((𝐴𝑉𝐵𝑊) → (𝐴 × 𝐵) ∈ V)
41, 2, 3syl2anc 587 1 (𝜑 → (𝐴 × 𝐵) ∈ V)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wcel 2115  Vcvv 3480   × cxp 5540
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-sep 5189  ax-nul 5196  ax-pow 5253  ax-pr 5317  ax-un 7455
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ral 3138  df-rex 3139  df-rab 3142  df-v 3482  df-dif 3922  df-un 3924  df-in 3926  df-ss 3936  df-nul 4277  df-if 4451  df-pw 4524  df-sn 4551  df-pr 4553  df-op 4557  df-uni 4825  df-opab 5115  df-xp 5548  df-rel 5549
This theorem is referenced by:  cnvexg  7624  cofunexg  7645  oprabexd  7671  ofmresex  7681  opabex2  7750  offval22  7779  tposexg  7902  marypha1  8895  wdom2d  9041  ixpiunwdom  9051  fnct  9957  fpwwe2lem2  10052  fpwwe2lem5  10054  fpwwe2lem12  10061  fpwwelem  10065  canthwe  10071  pwxpndom  10086  gchhar  10099  trclexlem  14354  isacs1i  16928  brcic  17068  rescval2  17098  reschom  17100  rescabs  17103  setccofval  17342  estrccofval  17379  sylow2a  18744  lsmhash  18831  gsumxp  19096  gsumxp2  19100  opsrval  20255  opsrtoslem2  20265  evlslem4  20288  matbas2d  21032  tsmsxp  22763  ustssel  22814  ustfilxp  22821  trust  22838  restutop  22846  trcfilu  22903  cfiluweak  22904  imasdsf1olem  22983  metustfbas  23167  restmetu  23180  rrxsca  24003  perpln1  26507  perpln2  26508  isperp  26509  suppovss  30437  fsuppcurry1  30472  fsuppcurry2  30473  hashxpe  30540  fedgmullem1  31085  fedgmullem2  31086  fedgmul  31087  metidval  31190  esumiun  31410  madeval  33346  filnetlem3  33785  bj-imdirvallem  34540  bj-imdirval2  34543  bj-imdirco  34550  bj-iminvval2  34554  isrngod  35281  isgrpda  35338  iscringd  35381  wdom2d2  39892  unxpwdom3  39955  trclubgNEW  40234  relexpxpmin  40334  rfovd  40619  rfovcnvf1od  40622  fsovrfovd  40627  dvsinax  42481  sge0xp  42994
  Copyright terms: Public domain W3C validator