Theorem idfu2nda 49085

Description: Value of the morphism part of the identity functor. (Contributed by Zhi Wang, 10-Nov-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
idfu2nda.i	⊢ 𝐼 = (idfunc‘𝐶)
idfu2nda.d	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (𝐷 Func 𝐸))
idfu2nda.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝐷))
idfu2nda.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
idfu2nda.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
idfu2nda.h	⊢ (𝜑 → 𝐻 = (𝑋(Hom ‘𝐷)𝑌))

Assertion

Ref	Expression
idfu2nda	⊢ (𝜑 → (𝑋(2nd ‘𝐼)𝑌) = ( I ↾ 𝐻))

Proof of Theorem idfu2nda

Step	Hyp	Ref	Expression
1		idfu2nda.i	. . 3 ⊢ 𝐼 = (idfunc‘𝐶)
2		eqid 2729	. . 3 ⊢ (Base‘𝐶) = (Base‘𝐶)
3		idfu2nda.d	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (𝐷 Func 𝐸))
4	1, 3	eqeltrrid 2833	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (idfunc‘𝐶) ∈ (𝐷 Func 𝐸))
5		idfurcl 49080	. . . 4 ⊢ ((idfunc‘𝐶) ∈ (𝐷 Func 𝐸) → 𝐶 ∈ Cat)
6	4, 5	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ Cat)
7		eqid 2729	. . 3 ⊢ (Hom ‘𝐶) = (Hom ‘𝐶)
8		idfu2nda.x	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
9		idfu2nda.b	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝐷))
10	1, 3, 9	idfu1stalem 49082	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝐶))
11	8, 10	eleqtrd 2830	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (Base‘𝐶))
12		idfu2nda.y	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
13	12, 10	eleqtrd 2830	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (Base‘𝐶))
14	1, 2, 6, 7, 11, 13	idfu2nd 17819	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑋(2nd ‘𝐼)𝑌) = ( I ↾ (𝑋(Hom ‘𝐶)𝑌)))
15		idfu2nda.h	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐻 = (𝑋(Hom ‘𝐷)𝑌))
16		eqid 2729	. . . . 5 ⊢ (Hom ‘𝐷) = (Hom ‘𝐷)
17	1	idfucl 17823	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐶 ∈ Cat → 𝐼 ∈ (𝐶 Func 𝐶))
18	6, 17	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (𝐶 Func 𝐶))
19	18	func1st2nd 49058	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (1st ‘𝐼)(𝐶 Func 𝐶)(2nd ‘𝐼))
20	3	func1st2nd 49058	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (1st ‘𝐼)(𝐷 Func 𝐸)(2nd ‘𝐼))
21	19, 20	funchomf 49079	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (Homf ‘𝐶) = (Homf ‘𝐷))
22	2, 7, 16, 21, 11, 13	homfeqval 17638	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑋(Hom ‘𝐶)𝑌) = (𝑋(Hom ‘𝐷)𝑌))
23	15, 22	eqtr4d 2767	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐻 = (𝑋(Hom ‘𝐶)𝑌))
24	23	reseq2d 5939	. 2 ⊢ (𝜑 → ( I ↾ 𝐻) = ( I ↾ (𝑋(Hom ‘𝐶)𝑌)))
25	14, 24	eqtr4d 2767	1 ⊢ (𝜑 → (𝑋(2nd ‘𝐼)𝑌) = ( I ↾ 𝐻))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   I cid 5525   ↾ cres 5633  ‘cfv 6499  (class class class)co 7369  1^st c1st 7945  2^nd c2nd 7946  Basecbs 17155  Hom chom 17207  Catccat 17605   Func cfunc 17796  id_funccidfu 17797

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5229  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5315  ax-pr 5382  ax-un 7691

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-id 5526  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-riota 7326  df-ov 7372  df-oprab 7373  df-mpo 7374  df-1st 7947  df-2nd 7948  df-map 8778  df-ixp 8848  df-cat 17609  df-cid 17610  df-homf 17611  df-func 17800  df-idfu 17801

This theorem is referenced by:  imaidfu  49092  idfth  49140