Theorem idfu2nda 49290

Description: Value of the morphism part of the identity functor. (Contributed by Zhi Wang, 10-Nov-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
idfu2nda.i	⊢ 𝐼 = (idfunc‘𝐶)
idfu2nda.d	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (𝐷 Func 𝐸))
idfu2nda.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝐷))
idfu2nda.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
idfu2nda.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
idfu2nda.h	⊢ (𝜑 → 𝐻 = (𝑋(Hom ‘𝐷)𝑌))

Assertion

Ref	Expression
idfu2nda	⊢ (𝜑 → (𝑋(2nd ‘𝐼)𝑌) = ( I ↾ 𝐻))

Proof of Theorem idfu2nda

Step	Hyp	Ref	Expression
1		idfu2nda.i	. . 3 ⊢ 𝐼 = (idfunc‘𝐶)
2		eqid 2734	. . 3 ⊢ (Base‘𝐶) = (Base‘𝐶)
3		idfu2nda.d	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (𝐷 Func 𝐸))
4	1, 3	eqeltrrid 2839	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (idfunc‘𝐶) ∈ (𝐷 Func 𝐸))
5		idfurcl 49285	. . . 4 ⊢ ((idfunc‘𝐶) ∈ (𝐷 Func 𝐸) → 𝐶 ∈ Cat)
6	4, 5	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ Cat)
7		eqid 2734	. . 3 ⊢ (Hom ‘𝐶) = (Hom ‘𝐶)
8		idfu2nda.x	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
9		idfu2nda.b	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝐷))
10	1, 3, 9	idfu1stalem 49287	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝐶))
11	8, 10	eleqtrd 2836	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (Base‘𝐶))
12		idfu2nda.y	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
13	12, 10	eleqtrd 2836	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (Base‘𝐶))
14	1, 2, 6, 7, 11, 13	idfu2nd 17799	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑋(2nd ‘𝐼)𝑌) = ( I ↾ (𝑋(Hom ‘𝐶)𝑌)))
15		idfu2nda.h	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐻 = (𝑋(Hom ‘𝐷)𝑌))
16		eqid 2734	. . . . 5 ⊢ (Hom ‘𝐷) = (Hom ‘𝐷)
17	1	idfucl 17803	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐶 ∈ Cat → 𝐼 ∈ (𝐶 Func 𝐶))
18	6, 17	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (𝐶 Func 𝐶))
19	18	func1st2nd 49263	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (1st ‘𝐼)(𝐶 Func 𝐶)(2nd ‘𝐼))
20	3	func1st2nd 49263	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (1st ‘𝐼)(𝐷 Func 𝐸)(2nd ‘𝐼))
21	19, 20	funchomf 49284	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (Homf ‘𝐶) = (Homf ‘𝐷))
22	2, 7, 16, 21, 11, 13	homfeqval 17618	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑋(Hom ‘𝐶)𝑌) = (𝑋(Hom ‘𝐷)𝑌))
23	15, 22	eqtr4d 2772	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐻 = (𝑋(Hom ‘𝐶)𝑌))
24	23	reseq2d 5936	. 2 ⊢ (𝜑 → ( I ↾ 𝐻) = ( I ↾ (𝑋(Hom ‘𝐶)𝑌)))
25	14, 24	eqtr4d 2772	1 ⊢ (𝜑 → (𝑋(2nd ‘𝐼)𝑌) = ( I ↾ 𝐻))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1541   ∈ wcel 2113   I cid 5516   ↾ cres 5624  ‘cfv 6490  (class class class)co 7356  1^st c1st 7929  2^nd c2nd 7930  Basecbs 17134  Hom chom 17186  Catccat 17585   Func cfunc 17776  id_funccidfu 17777

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2706  ax-rep 5222  ax-sep 5239  ax-nul 5249  ax-pow 5308  ax-pr 5375  ax-un 7678

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2809  df-nfc 2883  df-ne 2931  df-ral 3050  df-rex 3059  df-rmo 3348  df-reu 3349  df-rab 3398  df-v 3440  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4579  df-pr 4581  df-op 4585  df-uni 4862  df-iun 4946  df-br 5097  df-opab 5159  df-mpt 5178  df-id 5517  df-xp 5628  df-rel 5629  df-cnv 5630  df-co 5631  df-dm 5632  df-rn 5633  df-res 5634  df-ima 5635  df-iota 6446  df-fun 6492  df-fn 6493  df-f 6494  df-f1 6495  df-fo 6496  df-f1o 6497  df-fv 6498  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-map 8763  df-ixp 8834  df-cat 17589  df-cid 17590  df-homf 17591  df-func 17780  df-idfu 17781

This theorem is referenced by:  imaidfu  49297  idfth  49345