Theorem idfu2nda 49415

Description: Value of the morphism part of the identity functor. (Contributed by Zhi Wang, 10-Nov-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
idfu2nda.i	⊢ 𝐼 = (idfunc‘𝐶)
idfu2nda.d	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (𝐷 Func 𝐸))
idfu2nda.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝐷))
idfu2nda.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
idfu2nda.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
idfu2nda.h	⊢ (𝜑 → 𝐻 = (𝑋(Hom ‘𝐷)𝑌))

Assertion

Ref	Expression
idfu2nda	⊢ (𝜑 → (𝑋(2nd ‘𝐼)𝑌) = ( I ↾ 𝐻))

Proof of Theorem idfu2nda

Step	Hyp	Ref	Expression
1		idfu2nda.i	. . 3 ⊢ 𝐼 = (idfunc‘𝐶)
2		eqid 2737	. . 3 ⊢ (Base‘𝐶) = (Base‘𝐶)
3		idfu2nda.d	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (𝐷 Func 𝐸))
4	1, 3	eqeltrrid 2842	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (idfunc‘𝐶) ∈ (𝐷 Func 𝐸))
5		idfurcl 49410	. . . 4 ⊢ ((idfunc‘𝐶) ∈ (𝐷 Func 𝐸) → 𝐶 ∈ Cat)
6	4, 5	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ Cat)
7		eqid 2737	. . 3 ⊢ (Hom ‘𝐶) = (Hom ‘𝐶)
8		idfu2nda.x	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
9		idfu2nda.b	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝐷))
10	1, 3, 9	idfu1stalem 49412	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝐶))
11	8, 10	eleqtrd 2839	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (Base‘𝐶))
12		idfu2nda.y	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
13	12, 10	eleqtrd 2839	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (Base‘𝐶))
14	1, 2, 6, 7, 11, 13	idfu2nd 17805	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑋(2nd ‘𝐼)𝑌) = ( I ↾ (𝑋(Hom ‘𝐶)𝑌)))
15		idfu2nda.h	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐻 = (𝑋(Hom ‘𝐷)𝑌))
16		eqid 2737	. . . . 5 ⊢ (Hom ‘𝐷) = (Hom ‘𝐷)
17	1	idfucl 17809	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐶 ∈ Cat → 𝐼 ∈ (𝐶 Func 𝐶))
18	6, 17	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (𝐶 Func 𝐶))
19	18	func1st2nd 49388	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (1st ‘𝐼)(𝐶 Func 𝐶)(2nd ‘𝐼))
20	3	func1st2nd 49388	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (1st ‘𝐼)(𝐷 Func 𝐸)(2nd ‘𝐼))
21	19, 20	funchomf 49409	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (Homf ‘𝐶) = (Homf ‘𝐷))
22	2, 7, 16, 21, 11, 13	homfeqval 17624	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑋(Hom ‘𝐶)𝑌) = (𝑋(Hom ‘𝐷)𝑌))
23	15, 22	eqtr4d 2775	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐻 = (𝑋(Hom ‘𝐶)𝑌))
24	23	reseq2d 5939	. 2 ⊢ (𝜑 → ( I ↾ 𝐻) = ( I ↾ (𝑋(Hom ‘𝐶)𝑌)))
25	14, 24	eqtr4d 2775	1 ⊢ (𝜑 → (𝑋(2nd ‘𝐼)𝑌) = ( I ↾ 𝐻))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   I cid 5519   ↾ cres 5627  ‘cfv 6493  (class class class)co 7360  1^st c1st 7933  2^nd c2nd 7934  Basecbs 17140  Hom chom 17192  Catccat 17591   Func cfunc 17782  id_funccidfu 17783

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5225  ax-sep 5242  ax-nul 5252  ax-pow 5311  ax-pr 5378  ax-un 7682

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3062  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3401  df-v 3443  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-nul 4287  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4582  df-pr 4584  df-op 4588  df-uni 4865  df-iun 4949  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-id 5520  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-iota 6449  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-1st 7935  df-2nd 7936  df-map 8769  df-ixp 8840  df-cat 17595  df-cid 17596  df-homf 17597  df-func 17786  df-idfu 17787

This theorem is referenced by:  imaidfu  49422  idfth  49470