Theorem idfu2nda 49491

Description: Value of the morphism part of the identity functor. (Contributed by Zhi Wang, 10-Nov-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
idfu2nda.i	⊢ 𝐼 = (idfunc‘𝐶)
idfu2nda.d	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (𝐷 Func 𝐸))
idfu2nda.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝐷))
idfu2nda.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
idfu2nda.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
idfu2nda.h	⊢ (𝜑 → 𝐻 = (𝑋(Hom ‘𝐷)𝑌))

Assertion

Ref	Expression
idfu2nda	⊢ (𝜑 → (𝑋(2nd ‘𝐼)𝑌) = ( I ↾ 𝐻))

Proof of Theorem idfu2nda

Step	Hyp	Ref	Expression
1		idfu2nda.i	. . 3 ⊢ 𝐼 = (idfunc‘𝐶)
2		eqid 2737	. . 3 ⊢ (Base‘𝐶) = (Base‘𝐶)
3		idfu2nda.d	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (𝐷 Func 𝐸))
4	1, 3	eqeltrrid 2842	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (idfunc‘𝐶) ∈ (𝐷 Func 𝐸))
5		idfurcl 49486	. . . 4 ⊢ ((idfunc‘𝐶) ∈ (𝐷 Func 𝐸) → 𝐶 ∈ Cat)
6	4, 5	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ Cat)
7		eqid 2737	. . 3 ⊢ (Hom ‘𝐶) = (Hom ‘𝐶)
8		idfu2nda.x	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
9		idfu2nda.b	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝐷))
10	1, 3, 9	idfu1stalem 49488	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝐶))
11	8, 10	eleqtrd 2839	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (Base‘𝐶))
12		idfu2nda.y	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
13	12, 10	eleqtrd 2839	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (Base‘𝐶))
14	1, 2, 6, 7, 11, 13	idfu2nd 17815	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑋(2nd ‘𝐼)𝑌) = ( I ↾ (𝑋(Hom ‘𝐶)𝑌)))
15		idfu2nda.h	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐻 = (𝑋(Hom ‘𝐷)𝑌))
16		eqid 2737	. . . . 5 ⊢ (Hom ‘𝐷) = (Hom ‘𝐷)
17	1	idfucl 17819	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐶 ∈ Cat → 𝐼 ∈ (𝐶 Func 𝐶))
18	6, 17	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (𝐶 Func 𝐶))
19	18	func1st2nd 49464	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (1st ‘𝐼)(𝐶 Func 𝐶)(2nd ‘𝐼))
20	3	func1st2nd 49464	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (1st ‘𝐼)(𝐷 Func 𝐸)(2nd ‘𝐼))
21	19, 20	funchomf 49485	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (Homf ‘𝐶) = (Homf ‘𝐷))
22	2, 7, 16, 21, 11, 13	homfeqval 17634	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑋(Hom ‘𝐶)𝑌) = (𝑋(Hom ‘𝐷)𝑌))
23	15, 22	eqtr4d 2775	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐻 = (𝑋(Hom ‘𝐶)𝑌))
24	23	reseq2d 5948	. 2 ⊢ (𝜑 → ( I ↾ 𝐻) = ( I ↾ (𝑋(Hom ‘𝐶)𝑌)))
25	14, 24	eqtr4d 2775	1 ⊢ (𝜑 → (𝑋(2nd ‘𝐼)𝑌) = ( I ↾ 𝐻))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   I cid 5528   ↾ cres 5636  ‘cfv 6502  (class class class)co 7370  1^st c1st 7943  2^nd c2nd 7944  Basecbs 17150  Hom chom 17202  Catccat 17601   Func cfunc 17792  id_funccidfu 17793

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5226  ax-sep 5245  ax-nul 5255  ax-pow 5314  ax-pr 5381  ax-un 7692

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-iun 4950  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-id 5529  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-iota 6458  df-fun 6504  df-fn 6505  df-f 6506  df-f1 6507  df-fo 6508  df-f1o 6509  df-fv 6510  df-riota 7327  df-ov 7373  df-oprab 7374  df-mpo 7375  df-1st 7945  df-2nd 7946  df-map 8779  df-ixp 8850  df-cat 17605  df-cid 17606  df-homf 17607  df-func 17796  df-idfu 17797

This theorem is referenced by:  imaidfu  49498  idfth  49546