Theorem idfu2nda 49098

Description: Value of the morphism part of the identity functor. (Contributed by Zhi Wang, 10-Nov-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
idfu2nda.i	⊢ 𝐼 = (idfunc‘𝐶)
idfu2nda.d	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (𝐷 Func 𝐸))
idfu2nda.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝐷))
idfu2nda.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
idfu2nda.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
idfu2nda.h	⊢ (𝜑 → 𝐻 = (𝑋(Hom ‘𝐷)𝑌))

Assertion

Ref	Expression
idfu2nda	⊢ (𝜑 → (𝑋(2nd ‘𝐼)𝑌) = ( I ↾ 𝐻))

Proof of Theorem idfu2nda

Step	Hyp	Ref	Expression
1		idfu2nda.i	. . 3 ⊢ 𝐼 = (idfunc‘𝐶)
2		eqid 2729	. . 3 ⊢ (Base‘𝐶) = (Base‘𝐶)
3		idfu2nda.d	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (𝐷 Func 𝐸))
4	1, 3	eqeltrrid 2833	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (idfunc‘𝐶) ∈ (𝐷 Func 𝐸))
5		idfurcl 49093	. . . 4 ⊢ ((idfunc‘𝐶) ∈ (𝐷 Func 𝐸) → 𝐶 ∈ Cat)
6	4, 5	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ Cat)
7		eqid 2729	. . 3 ⊢ (Hom ‘𝐶) = (Hom ‘𝐶)
8		idfu2nda.x	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
9		idfu2nda.b	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝐷))
10	1, 3, 9	idfu1stalem 49095	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝐶))
11	8, 10	eleqtrd 2830	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (Base‘𝐶))
12		idfu2nda.y	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
13	12, 10	eleqtrd 2830	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (Base‘𝐶))
14	1, 2, 6, 7, 11, 13	idfu2nd 17784	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑋(2nd ‘𝐼)𝑌) = ( I ↾ (𝑋(Hom ‘𝐶)𝑌)))
15		idfu2nda.h	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐻 = (𝑋(Hom ‘𝐷)𝑌))
16		eqid 2729	. . . . 5 ⊢ (Hom ‘𝐷) = (Hom ‘𝐷)
17	1	idfucl 17788	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐶 ∈ Cat → 𝐼 ∈ (𝐶 Func 𝐶))
18	6, 17	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (𝐶 Func 𝐶))
19	18	func1st2nd 49071	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (1st ‘𝐼)(𝐶 Func 𝐶)(2nd ‘𝐼))
20	3	func1st2nd 49071	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (1st ‘𝐼)(𝐷 Func 𝐸)(2nd ‘𝐼))
21	19, 20	funchomf 49092	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (Homf ‘𝐶) = (Homf ‘𝐷))
22	2, 7, 16, 21, 11, 13	homfeqval 17603	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑋(Hom ‘𝐶)𝑌) = (𝑋(Hom ‘𝐷)𝑌))
23	15, 22	eqtr4d 2767	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐻 = (𝑋(Hom ‘𝐶)𝑌))
24	23	reseq2d 5930	. 2 ⊢ (𝜑 → ( I ↾ 𝐻) = ( I ↾ (𝑋(Hom ‘𝐶)𝑌)))
25	14, 24	eqtr4d 2767	1 ⊢ (𝜑 → (𝑋(2nd ‘𝐼)𝑌) = ( I ↾ 𝐻))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   I cid 5513   ↾ cres 5621  ‘cfv 6482  (class class class)co 7349  1^st c1st 7922  2^nd c2nd 7923  Basecbs 17120  Hom chom 17172  Catccat 17570   Func cfunc 17761  id_funccidfu 17762

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5218  ax-sep 5235  ax-nul 5245  ax-pow 5304  ax-pr 5371  ax-un 7671

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3395  df-v 3438  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-nul 4285  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4859  df-iun 4943  df-br 5093  df-opab 5155  df-mpt 5174  df-id 5514  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-iota 6438  df-fun 6484  df-fn 6485  df-f 6486  df-f1 6487  df-fo 6488  df-f1o 6489  df-fv 6490  df-riota 7306  df-ov 7352  df-oprab 7353  df-mpo 7354  df-1st 7924  df-2nd 7925  df-map 8755  df-ixp 8825  df-cat 17574  df-cid 17575  df-homf 17576  df-func 17765  df-idfu 17766

This theorem is referenced by:  imaidfu  49105  idfth  49153