Theorem imasubclem2 49903

Description: Lemma for imasubc 49949. (Contributed by Zhi Wang, 7-Nov-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
imasubclem1.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑉)
imasubclem1.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝑊)
imasubclem2.k	⊢ 𝐾 = (𝑦 ∈ 𝑋, 𝑧 ∈ 𝑌 ↦ ∪ 𝑥 ∈ ((◡𝐹 “ 𝐴) × (◡𝐺 “ 𝐵))((𝐻‘𝐶) “ 𝐷))

Assertion

Ref	Expression
imasubclem2	⊢ (𝜑 → 𝐾 Fn (𝑋 × 𝑌))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝐹   𝑥,𝐺   𝑦,𝑋,𝑧   𝑦,𝑌,𝑧   𝜑,𝑦,𝑧

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐴(𝑦,𝑧)   𝐵(𝑦,𝑧)   𝐶(𝑥,𝑦,𝑧)   𝐷(𝑥,𝑦,𝑧)   𝐹(𝑦,𝑧)   𝐺(𝑦,𝑧)   𝐻(𝑥,𝑦,𝑧)   𝐾(𝑥,𝑦,𝑧)   𝑉(𝑥,𝑦,𝑧)   𝑊(𝑥,𝑦,𝑧)   𝑋(𝑥)   𝑌(𝑥)

Proof of Theorem imasubclem2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		imasubclem1.f	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑉)
2		imasubclem1.g	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝑊)
3	1, 2	imasubclem1 49902	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∪ 𝑥 ∈ ((◡𝐹 “ 𝐴) × (◡𝐺 “ 𝐵))((𝐻‘𝐶) “ 𝐷) ∈ V)
4	3	adantr 485	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ 𝑌)) → ∪ 𝑥 ∈ ((◡𝐹 “ 𝐴) × (◡𝐺 “ 𝐵))((𝐻‘𝐶) “ 𝐷) ∈ V)
5	4	ralrimivva 3208	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑦 ∈ 𝑋 ∀𝑧 ∈ 𝑌 ∪ 𝑥 ∈ ((◡𝐹 “ 𝐴) × (◡𝐺 “ 𝐵))((𝐻‘𝐶) “ 𝐷) ∈ V)
6		imasubclem2.k	. . 3 ⊢ 𝐾 = (𝑦 ∈ 𝑋, 𝑧 ∈ 𝑌 ↦ ∪ 𝑥 ∈ ((◡𝐹 “ 𝐴) × (◡𝐺 “ 𝐵))((𝐻‘𝐶) “ 𝐷))
7	6	fnmpo 8062	. 2 ⊢ (∀𝑦 ∈ 𝑋 ∀𝑧 ∈ 𝑌 ∪ 𝑥 ∈ ((◡𝐹 “ 𝐴) × (◡𝐺 “ 𝐵))((𝐻‘𝐶) “ 𝐷) ∈ V → 𝐾 Fn (𝑋 × 𝑌))
8	5, 7	syl 18	1 ⊢ (𝜑 → 𝐾 Fn (𝑋 × 𝑌))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   = wceq 1570   ∈ wcel 2143  ∀wral 3079  Vcvv 3455  ∪ ciun 4956   × cxp 5659  ^◡ccnv 5660   “ cima 5664   Fn wfn 6531  ‘cfv 6536   ∈ cmpo 7412

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5238  ax-sep 5257  ax-nul 5269  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-nul 4287  df-if 4488  df-pw 4564  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4873  df-iun 4958  df-br 5110  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-id 5556  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-fv 6544  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-1st 7982  df-2nd 7983

This theorem is referenced by:  imaidfu  49908  imasubc  49949  imassc  49951  imasubc3  49954