Theorem imasubclem2 49292

Description: Lemma for imasubc 49338. (Contributed by Zhi Wang, 7-Nov-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
imasubclem1.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑉)
imasubclem1.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝑊)
imasubclem2.k	⊢ 𝐾 = (𝑦 ∈ 𝑋, 𝑧 ∈ 𝑌 ↦ ∪ 𝑥 ∈ ((◡𝐹 “ 𝐴) × (◡𝐺 “ 𝐵))((𝐻‘𝐶) “ 𝐷))

Assertion

Ref	Expression
imasubclem2	⊢ (𝜑 → 𝐾 Fn (𝑋 × 𝑌))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝐹   𝑥,𝐺   𝑦,𝑋,𝑧   𝑦,𝑌,𝑧   𝜑,𝑦,𝑧

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐴(𝑦,𝑧)   𝐵(𝑦,𝑧)   𝐶(𝑥,𝑦,𝑧)   𝐷(𝑥,𝑦,𝑧)   𝐹(𝑦,𝑧)   𝐺(𝑦,𝑧)   𝐻(𝑥,𝑦,𝑧)   𝐾(𝑥,𝑦,𝑧)   𝑉(𝑥,𝑦,𝑧)   𝑊(𝑥,𝑦,𝑧)   𝑋(𝑥)   𝑌(𝑥)

Proof of Theorem imasubclem2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		imasubclem1.f	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑉)
2		imasubclem1.g	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝑊)
3	1, 2	imasubclem1 49291	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∪ 𝑥 ∈ ((◡𝐹 “ 𝐴) × (◡𝐺 “ 𝐵))((𝐻‘𝐶) “ 𝐷) ∈ V)
4	3	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ 𝑌)) → ∪ 𝑥 ∈ ((◡𝐹 “ 𝐴) × (◡𝐺 “ 𝐵))((𝐻‘𝐶) “ 𝐷) ∈ V)
5	4	ralrimivva 3177	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑦 ∈ 𝑋 ∀𝑧 ∈ 𝑌 ∪ 𝑥 ∈ ((◡𝐹 “ 𝐴) × (◡𝐺 “ 𝐵))((𝐻‘𝐶) “ 𝐷) ∈ V)
6		imasubclem2.k	. . 3 ⊢ 𝐾 = (𝑦 ∈ 𝑋, 𝑧 ∈ 𝑌 ↦ ∪ 𝑥 ∈ ((◡𝐹 “ 𝐴) × (◡𝐺 “ 𝐵))((𝐻‘𝐶) “ 𝐷))
7	6	fnmpo 8011	. 2 ⊢ (∀𝑦 ∈ 𝑋 ∀𝑧 ∈ 𝑌 ∪ 𝑥 ∈ ((◡𝐹 “ 𝐴) × (◡𝐺 “ 𝐵))((𝐻‘𝐶) “ 𝐷) ∈ V → 𝐾 Fn (𝑋 × 𝑌))
8	5, 7	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → 𝐾 Fn (𝑋 × 𝑌))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  ∀wral 3049  Vcvv 3438  ∪ ciun 4944   × cxp 5620  ^◡ccnv 5621   “ cima 5625   Fn wfn 6485  ‘cfv 6490   ∈ cmpo 7358

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2706  ax-rep 5222  ax-sep 5239  ax-nul 5249  ax-pow 5308  ax-pr 5375  ax-un 7678

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2809  df-nfc 2883  df-ne 2931  df-ral 3050  df-rex 3059  df-rab 3398  df-v 3440  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4579  df-pr 4581  df-op 4585  df-uni 4862  df-iun 4946  df-br 5097  df-opab 5159  df-mpt 5178  df-id 5517  df-xp 5628  df-rel 5629  df-cnv 5630  df-co 5631  df-dm 5632  df-rn 5633  df-res 5634  df-ima 5635  df-iota 6446  df-fun 6492  df-fn 6493  df-f 6494  df-fv 6498  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-1st 7931  df-2nd 7932

This theorem is referenced by:  imaidfu  49297  imasubc  49338  imassc  49340  imasubc3  49343