Theorem imasubclem2 50552

Description: Lemma for imasubc 50598. (Contributed by Zhi Wang, 7-Nov-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
imasubclem1.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑉)
imasubclem1.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝑊)
imasubclem2.k	⊢ 𝐾 = (𝑦 ∈ 𝑋, 𝑧 ∈ 𝑌 ↦ ∪ 𝑥 ∈ ((◡𝐹 “ 𝐴) × (◡𝐺 “ 𝐵))((𝐻‘𝐶) “ 𝐷))

Assertion

Ref	Expression
imasubclem2	⊢ (𝜑 → 𝐾 Fn (𝑋 × 𝑌))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝐹   𝑥,𝐺   𝑦,𝑋,𝑧   𝑦,𝑌,𝑧   𝜑,𝑦,𝑧

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐴(𝑦, 𝑧)   𝐵(𝑦, 𝑧)   𝐶(𝑥, 𝑦, 𝑧)   𝐷(𝑥, 𝑦, 𝑧)   𝐹(𝑦, 𝑧)   𝐺(𝑦, 𝑧)   𝐻(𝑥, 𝑦, 𝑧)   𝐾(𝑥, 𝑦, 𝑧)   𝑉(𝑥, 𝑦, 𝑧)   𝑊(𝑥, 𝑦, 𝑧)   𝑋(𝑥)   𝑌(𝑥)

Proof of Theorem imasubclem2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		imasubclem1.f	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑉)
2		imasubclem1.g	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝑊)
3	1, 2	imasubclem1 50551	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∪ 𝑥 ∈ ((◡𝐹 “ 𝐴) × (◡𝐺 “ 𝐵))((𝐻‘𝐶) “ 𝐷) ∈ V)
4	3	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ 𝑌)) → ∪ 𝑥 ∈ ((◡𝐹 “ 𝐴) × (◡𝐺 “ 𝐵))((𝐻‘𝐶) “ 𝐷) ∈ V)
5	4	ralrimivva 3209	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑦 ∈ 𝑋 ∀𝑧 ∈ 𝑌 ∪ 𝑥 ∈ ((◡𝐹 “ 𝐴) × (◡𝐺 “ 𝐵))((𝐻‘𝐶) “ 𝐷) ∈ V)
6		imasubclem2.k	. . 3 ⊢ 𝐾 = (𝑦 ∈ 𝑋, 𝑧 ∈ 𝑌 ↦ ∪ 𝑥 ∈ ((◡𝐹 “ 𝐴) × (◡𝐺 “ 𝐵))((𝐻‘𝐶) “ 𝐷))
7	6	fnmpo 8115	. 2 ⊢ (∀𝑦 ∈ 𝑋 ∀𝑧 ∈ 𝑌 ∪ 𝑥 ∈ ((◡𝐹 “ 𝐴) × (◡𝐺 “ 𝐵))((𝐻‘𝐶) “ 𝐷) ∈ V → 𝐾 Fn (𝑋 × 𝑌))
8	5, 7	syl 18	1 ⊢ (𝜑 → 𝐾 Fn (𝑋 × 𝑌))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2147  ∀wral 3080  Vcvv 3454  ∪ ciun 4956   × cxp 5656  ^◡ccnv 5657   “ cima 5661   Fn wfn 6561  ‘cfv 6566   ∈ cmpo 7453

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5238  ax-sep 5255  ax-nul 5266  ax-pow 5334  ax-pr 5398  ax-un 7783

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4841  df-uni 4873  df-iun 4958  df-br 5109  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-id 5553  df-xp 5664  df-rel 5665  df-cnv 5666  df-co 5667  df-dm 5668  df-rn 5669  df-res 5670  df-ima 5671  df-iota 6520  df-fun 6568  df-fn 6569  df-f 6570  df-fv 6574  df-oprab 7455  df-mpo 7456  df-1st 8035  df-2nd 8036

This theorem is used by:  imaidfu  50557  imasubc  50598  imassc  50600  imasubc3  50603