Theorem infsn 9422

Description: The infimum of a singleton. (Contributed by NM, 2-Oct-2007.)

Assertion

Ref	Expression
infsn	⊢ ((𝑅 Or 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) → inf({𝐵}, 𝐴, 𝑅) = 𝐵)

Proof of Theorem infsn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dfsn2 4595	. . . 4 ⊢ {𝐵} = {𝐵, 𝐵}
2	1	infeq1i 9394	. . 3 ⊢ inf({𝐵}, 𝐴, 𝑅) = inf({𝐵, 𝐵}, 𝐴, 𝑅)
3		infpr 9420	. . . 4 ⊢ ((𝑅 Or 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) → inf({𝐵, 𝐵}, 𝐴, 𝑅) = if(𝐵𝑅𝐵, 𝐵, 𝐵))
4	3	3anidm23 1424	. . 3 ⊢ ((𝑅 Or 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) → inf({𝐵, 𝐵}, 𝐴, 𝑅) = if(𝐵𝑅𝐵, 𝐵, 𝐵))
5	2, 4	eqtrid 2784	. 2 ⊢ ((𝑅 Or 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) → inf({𝐵}, 𝐴, 𝑅) = if(𝐵𝑅𝐵, 𝐵, 𝐵))
6		ifid 4522	. 2 ⊢ if(𝐵𝑅𝐵, 𝐵, 𝐵) = 𝐵
7	5, 6	eqtrdi 2788	1 ⊢ ((𝑅 Or 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) → inf({𝐵}, 𝐴, 𝑅) = 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ifcif 4481  {csn 4582  {cpr 4584   class class class wbr 5100   Or wor 5539  infcinf 9356

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5243  ax-pr 5379

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-nul 4288  df-if 4482  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-br 5101  df-opab 5163  df-po 5540  df-so 5541  df-cnv 5640  df-iota 6456  df-riota 7325  df-sup 9357  df-inf 9358

This theorem is referenced by:  infxrpnf  45804  limsup0  46052  limsuppnfdlem  46059  limsup10ex  46131