MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  infsn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem infsn 9502
Description: The infimum of a singleton. (Contributed by NM, 2-Oct-2007.)
Assertion
Ref Expression
infsn ((𝑅 Or 𝐴𝐵𝐴) → inf({𝐵}, 𝐴, 𝑅) = 𝐵)

Proof of Theorem infsn
StepHypRef Expression
1 dfsn2 4636 . . . 4 {𝐵} = {𝐵, 𝐵}
21infeq1i 9475 . . 3 inf({𝐵}, 𝐴, 𝑅) = inf({𝐵, 𝐵}, 𝐴, 𝑅)
3 infpr 9500 . . . 4 ((𝑅 Or 𝐴𝐵𝐴𝐵𝐴) → inf({𝐵, 𝐵}, 𝐴, 𝑅) = if(𝐵𝑅𝐵, 𝐵, 𝐵))
433anidm23 1418 . . 3 ((𝑅 Or 𝐴𝐵𝐴) → inf({𝐵, 𝐵}, 𝐴, 𝑅) = if(𝐵𝑅𝐵, 𝐵, 𝐵))
52, 4eqtrid 2778 . 2 ((𝑅 Or 𝐴𝐵𝐴) → inf({𝐵}, 𝐴, 𝑅) = if(𝐵𝑅𝐵, 𝐵, 𝐵))
6 ifid 4563 . 2 if(𝐵𝑅𝐵, 𝐵, 𝐵) = 𝐵
75, 6eqtrdi 2782 1 ((𝑅 Or 𝐴𝐵𝐴) → inf({𝐵}, 𝐴, 𝑅) = 𝐵)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1533  wcel 2098  ifcif 4523  {csn 4623  {cpr 4625   class class class wbr 5141   Or wor 5580  infcinf 9438
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pr 5420
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-nul 4318  df-if 4524  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-br 5142  df-opab 5204  df-po 5581  df-so 5582  df-cnv 5677  df-iota 6489  df-riota 7361  df-sup 9439  df-inf 9440
This theorem is referenced by:  infxrpnf  44733  limsup0  44987  limsuppnfdlem  44994  limsup10ex  45066
  Copyright terms: Public domain W3C validator