Theorem infsn 9543

Description: The infimum of a singleton. (Contributed by NM, 2-Oct-2007.)

Assertion

Ref	Expression
infsn	⊢ ((𝑅 Or 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) → inf({𝐵}, 𝐴, 𝑅) = 𝐵)

Proof of Theorem infsn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dfsn2 4644	. . . 4 ⊢ {𝐵} = {𝐵, 𝐵}
2	1	infeq1i 9516	. . 3 ⊢ inf({𝐵}, 𝐴, 𝑅) = inf({𝐵, 𝐵}, 𝐴, 𝑅)
3		infpr 9541	. . . 4 ⊢ ((𝑅 Or 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) → inf({𝐵, 𝐵}, 𝐴, 𝑅) = if(𝐵𝑅𝐵, 𝐵, 𝐵))
4	3	3anidm23 1420	. . 3 ⊢ ((𝑅 Or 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) → inf({𝐵, 𝐵}, 𝐴, 𝑅) = if(𝐵𝑅𝐵, 𝐵, 𝐵))
5	2, 4	eqtrid 2787	. 2 ⊢ ((𝑅 Or 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) → inf({𝐵}, 𝐴, 𝑅) = if(𝐵𝑅𝐵, 𝐵, 𝐵))
6		ifid 4571	. 2 ⊢ if(𝐵𝑅𝐵, 𝐵, 𝐵) = 𝐵
7	5, 6	eqtrdi 2791	1 ⊢ ((𝑅 Or 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) → inf({𝐵}, 𝐴, 𝑅) = 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1537   ∈ wcel 2106  ifcif 4531  {csn 4631  {cpr 4633   class class class wbr 5148   Or wor 5596  infcinf 9479

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pr 5438

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-dif 3966  df-un 3968  df-ss 3980  df-nul 4340  df-if 4532  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-br 5149  df-opab 5211  df-po 5597  df-so 5598  df-cnv 5697  df-iota 6516  df-riota 7388  df-sup 9480  df-inf 9481

This theorem is referenced by:  infxrpnf  45396  limsup0  45650  limsuppnfdlem  45657  limsup10ex  45729