Theorem infsn 8570

Description: The infimum of a singleton. (Contributed by NM, 2-Oct-2007.)

Assertion

Ref	Expression
infsn	⊢ ((𝑅 Or 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) → inf({𝐵}, 𝐴, 𝑅) = 𝐵)

Proof of Theorem infsn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dfsn2 4330	. . . 4 ⊢ {𝐵} = {𝐵, 𝐵}
2	1	infeq1i 8544	. . 3 ⊢ inf({𝐵}, 𝐴, 𝑅) = inf({𝐵, 𝐵}, 𝐴, 𝑅)
3		infpr 8569	. . . 4 ⊢ ((𝑅 Or 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) → inf({𝐵, 𝐵}, 𝐴, 𝑅) = if(𝐵𝑅𝐵, 𝐵, 𝐵))
4	3	3anidm23 1531	. . 3 ⊢ ((𝑅 Or 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) → inf({𝐵, 𝐵}, 𝐴, 𝑅) = if(𝐵𝑅𝐵, 𝐵, 𝐵))
5	2, 4	syl5eq 2817	. 2 ⊢ ((𝑅 Or 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) → inf({𝐵}, 𝐴, 𝑅) = if(𝐵𝑅𝐵, 𝐵, 𝐵))
6		ifid 4265	. 2 ⊢ if(𝐵𝑅𝐵, 𝐵, 𝐵) = 𝐵
7	5, 6	syl6eq 2821	1 ⊢ ((𝑅 Or 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) → inf({𝐵}, 𝐴, 𝑅) = 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 382   = wceq 1631   ∈ wcel 2145  ifcif 4226  {csn 4317  {cpr 4319   class class class wbr 4787   Or wor 5170  infcinf 8507

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-sep 4916  ax-nul 4924  ax-pr 5035

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-nul 4064  df-if 4227  df-sn 4318  df-pr 4320  df-op 4324  df-uni 4576  df-br 4788  df-opab 4848  df-po 5171  df-so 5172  df-cnv 5258  df-iota 5993  df-riota 6757  df-sup 8508  df-inf 8509

This theorem is referenced by:  infxrpnf  40185  limsup0  40439  limsuppnfdlem  40446  limsup10ex  40518