Theorem infsn 9465

Description: The infimum of a singleton. (Contributed by NM, 2-Oct-2007.)

Assertion

Ref	Expression
infsn	⊢ ((𝑅 Or 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) → inf({𝐵}, 𝐴, 𝑅) = 𝐵)

Proof of Theorem infsn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dfsn2 4605	. . . 4 ⊢ {𝐵} = {𝐵, 𝐵}
2	1	infeq1i 9437	. . 3 ⊢ inf({𝐵}, 𝐴, 𝑅) = inf({𝐵, 𝐵}, 𝐴, 𝑅)
3		infpr 9463	. . . 4 ⊢ ((𝑅 Or 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) → inf({𝐵, 𝐵}, 𝐴, 𝑅) = if(𝐵𝑅𝐵, 𝐵, 𝐵))
4	3	3anidm23 1423	. . 3 ⊢ ((𝑅 Or 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) → inf({𝐵, 𝐵}, 𝐴, 𝑅) = if(𝐵𝑅𝐵, 𝐵, 𝐵))
5	2, 4	eqtrid 2777	. 2 ⊢ ((𝑅 Or 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) → inf({𝐵}, 𝐴, 𝑅) = if(𝐵𝑅𝐵, 𝐵, 𝐵))
6		ifid 4532	. 2 ⊢ if(𝐵𝑅𝐵, 𝐵, 𝐵) = 𝐵
7	5, 6	eqtrdi 2781	1 ⊢ ((𝑅 Or 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) → inf({𝐵}, 𝐴, 𝑅) = 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ifcif 4491  {csn 4592  {cpr 4594   class class class wbr 5110   Or wor 5548  infcinf 9399

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pr 5390

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-dif 3920  df-un 3922  df-ss 3934  df-nul 4300  df-if 4492  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-br 5111  df-opab 5173  df-po 5549  df-so 5550  df-cnv 5649  df-iota 6467  df-riota 7347  df-sup 9400  df-inf 9401

This theorem is referenced by:  infxrpnf  45449  limsup0  45699  limsuppnfdlem  45706  limsup10ex  45778