Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  infxrpnf Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem infxrpnf 42495
 Description: Adding plus infinity to a set does not affect its infimum. (Contributed by Glauco Siliprandi, 2-Jan-2022.)
Assertion
Ref Expression
infxrpnf (𝐴 ⊆ ℝ* → inf((𝐴 ∪ {+∞}), ℝ*, < ) = inf(𝐴, ℝ*, < ))

Proof of Theorem infxrpnf
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 id 22 . . . 4 (𝐴 ⊆ ℝ*𝐴 ⊆ ℝ*)
2 pnfxr 10746 . . . . . 6 +∞ ∈ ℝ*
3 snssi 4701 . . . . . 6 (+∞ ∈ ℝ* → {+∞} ⊆ ℝ*)
42, 3ax-mp 5 . . . . 5 {+∞} ⊆ ℝ*
54a1i 11 . . . 4 (𝐴 ⊆ ℝ* → {+∞} ⊆ ℝ*)
61, 5unssd 4093 . . 3 (𝐴 ⊆ ℝ* → (𝐴 ∪ {+∞}) ⊆ ℝ*)
76infxrcld 42437 . 2 (𝐴 ⊆ ℝ* → inf((𝐴 ∪ {+∞}), ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
8 infxrcl 12780 . 2 (𝐴 ⊆ ℝ* → inf(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
9 ssun1 4079 . . . 4 𝐴 ⊆ (𝐴 ∪ {+∞})
109a1i 11 . . 3 (𝐴 ⊆ ℝ*𝐴 ⊆ (𝐴 ∪ {+∞}))
11 infxrss 12786 . . 3 ((𝐴 ⊆ (𝐴 ∪ {+∞}) ∧ (𝐴 ∪ {+∞}) ⊆ ℝ*) → inf((𝐴 ∪ {+∞}), ℝ*, < ) ≤ inf(𝐴, ℝ*, < ))
1210, 6, 11syl2anc 587 . 2 (𝐴 ⊆ ℝ* → inf((𝐴 ∪ {+∞}), ℝ*, < ) ≤ inf(𝐴, ℝ*, < ))
13 infeq1 8986 . . . . . 6 (𝐴 = ∅ → inf(𝐴, ℝ*, < ) = inf(∅, ℝ*, < ))
14 xrinf0 12785 . . . . . . . 8 inf(∅, ℝ*, < ) = +∞
1514, 2eqeltri 2848 . . . . . . 7 inf(∅, ℝ*, < ) ∈ ℝ*
1615a1i 11 . . . . . 6 (𝐴 = ∅ → inf(∅, ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
1713, 16eqeltrd 2852 . . . . 5 (𝐴 = ∅ → inf(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
18 xrltso 12588 . . . . . . . . 9 < Or ℝ*
19 infsn 9015 . . . . . . . . 9 (( < Or ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*) → inf({+∞}, ℝ*, < ) = +∞)
2018, 2, 19mp2an 691 . . . . . . . 8 inf({+∞}, ℝ*, < ) = +∞
2120eqcomi 2767 . . . . . . 7 +∞ = inf({+∞}, ℝ*, < )
2221a1i 11 . . . . . 6 (𝐴 = ∅ → +∞ = inf({+∞}, ℝ*, < ))
2313, 14eqtrdi 2809 . . . . . 6 (𝐴 = ∅ → inf(𝐴, ℝ*, < ) = +∞)
24 uneq1 4063 . . . . . . . 8 (𝐴 = ∅ → (𝐴 ∪ {+∞}) = (∅ ∪ {+∞}))
25 0un 4291 . . . . . . . . 9 (∅ ∪ {+∞}) = {+∞}
2625a1i 11 . . . . . . . 8 (𝐴 = ∅ → (∅ ∪ {+∞}) = {+∞})
2724, 26eqtrd 2793 . . . . . . 7 (𝐴 = ∅ → (𝐴 ∪ {+∞}) = {+∞})
2827infeq1d 8987 . . . . . 6 (𝐴 = ∅ → inf((𝐴 ∪ {+∞}), ℝ*, < ) = inf({+∞}, ℝ*, < ))
2922, 23, 283eqtr4d 2803 . . . . 5 (𝐴 = ∅ → inf(𝐴, ℝ*, < ) = inf((𝐴 ∪ {+∞}), ℝ*, < ))
3017, 29xreqled 42375 . . . 4 (𝐴 = ∅ → inf(𝐴, ℝ*, < ) ≤ inf((𝐴 ∪ {+∞}), ℝ*, < ))
3130adantl 485 . . 3 ((𝐴 ⊆ ℝ*𝐴 = ∅) → inf(𝐴, ℝ*, < ) ≤ inf((𝐴 ∪ {+∞}), ℝ*, < ))
32 neqne 2959 . . . 4 𝐴 = ∅ → 𝐴 ≠ ∅)
33 nfv 1915 . . . . 5 𝑥(𝐴 ⊆ ℝ*𝐴 ≠ ∅)
34 nfv 1915 . . . . 5 𝑦(𝐴 ⊆ ℝ*𝐴 ≠ ∅)
35 simpl 486 . . . . 5 ((𝐴 ⊆ ℝ*𝐴 ≠ ∅) → 𝐴 ⊆ ℝ*)
3635, 6syl 17 . . . . 5 ((𝐴 ⊆ ℝ*𝐴 ≠ ∅) → (𝐴 ∪ {+∞}) ⊆ ℝ*)
37 simpr 488 . . . . . . . 8 ((𝐴 ⊆ ℝ*𝑥𝐴) → 𝑥𝐴)
38 ssel2 3889 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ⊆ ℝ*𝑥𝐴) → 𝑥 ∈ ℝ*)
3938xrleidd 12599 . . . . . . . 8 ((𝐴 ⊆ ℝ*𝑥𝐴) → 𝑥𝑥)
40 breq1 5039 . . . . . . . . 9 (𝑦 = 𝑥 → (𝑦𝑥𝑥𝑥))
4140rspcev 3543 . . . . . . . 8 ((𝑥𝐴𝑥𝑥) → ∃𝑦𝐴 𝑦𝑥)
4237, 39, 41syl2anc 587 . . . . . . 7 ((𝐴 ⊆ ℝ*𝑥𝐴) → ∃𝑦𝐴 𝑦𝑥)
4342ad4ant14 751 . . . . . 6 ((((𝐴 ⊆ ℝ*𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∪ {+∞})) ∧ 𝑥𝐴) → ∃𝑦𝐴 𝑦𝑥)
44 simpll 766 . . . . . . 7 ((((𝐴 ⊆ ℝ*𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∪ {+∞})) ∧ ¬ 𝑥𝐴) → (𝐴 ⊆ ℝ*𝐴 ≠ ∅))
45 elunnel1 4057 . . . . . . . . 9 ((𝑥 ∈ (𝐴 ∪ {+∞}) ∧ ¬ 𝑥𝐴) → 𝑥 ∈ {+∞})
46 elsni 4542 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ {+∞} → 𝑥 = +∞)
4745, 46syl 17 . . . . . . . 8 ((𝑥 ∈ (𝐴 ∪ {+∞}) ∧ ¬ 𝑥𝐴) → 𝑥 = +∞)
4847adantll 713 . . . . . . 7 ((((𝐴 ⊆ ℝ*𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∪ {+∞})) ∧ ¬ 𝑥𝐴) → 𝑥 = +∞)
49 simplr 768 . . . . . . . 8 (((𝐴 ⊆ ℝ*𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑥 = +∞) → 𝐴 ≠ ∅)
50 ssel2 3889 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 ⊆ ℝ*𝑦𝐴) → 𝑦 ∈ ℝ*)
51 pnfge 12579 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 ∈ ℝ*𝑦 ≤ +∞)
5250, 51syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ⊆ ℝ*𝑦𝐴) → 𝑦 ≤ +∞)
5352adantlr 714 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ⊆ ℝ*𝑥 = +∞) ∧ 𝑦𝐴) → 𝑦 ≤ +∞)
54 simplr 768 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ⊆ ℝ*𝑥 = +∞) ∧ 𝑦𝐴) → 𝑥 = +∞)
5553, 54breqtrrd 5064 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ⊆ ℝ*𝑥 = +∞) ∧ 𝑦𝐴) → 𝑦𝑥)
5655ralrimiva 3113 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ⊆ ℝ*𝑥 = +∞) → ∀𝑦𝐴 𝑦𝑥)
5756adantlr 714 . . . . . . . 8 (((𝐴 ⊆ ℝ*𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑥 = +∞) → ∀𝑦𝐴 𝑦𝑥)
58 r19.2z 4391 . . . . . . . 8 ((𝐴 ≠ ∅ ∧ ∀𝑦𝐴 𝑦𝑥) → ∃𝑦𝐴 𝑦𝑥)
5949, 57, 58syl2anc 587 . . . . . . 7 (((𝐴 ⊆ ℝ*𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑥 = +∞) → ∃𝑦𝐴 𝑦𝑥)
6044, 48, 59syl2anc 587 . . . . . 6 ((((𝐴 ⊆ ℝ*𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∪ {+∞})) ∧ ¬ 𝑥𝐴) → ∃𝑦𝐴 𝑦𝑥)
6143, 60pm2.61dan 812 . . . . 5 (((𝐴 ⊆ ℝ*𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∪ {+∞})) → ∃𝑦𝐴 𝑦𝑥)
6233, 34, 35, 36, 61infleinf2 42462 . . . 4 ((𝐴 ⊆ ℝ*𝐴 ≠ ∅) → inf(𝐴, ℝ*, < ) ≤ inf((𝐴 ∪ {+∞}), ℝ*, < ))
6332, 62sylan2 595 . . 3 ((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ ¬ 𝐴 = ∅) → inf(𝐴, ℝ*, < ) ≤ inf((𝐴 ∪ {+∞}), ℝ*, < ))
6431, 63pm2.61dan 812 . 2 (𝐴 ⊆ ℝ* → inf(𝐴, ℝ*, < ) ≤ inf((𝐴 ∪ {+∞}), ℝ*, < ))
657, 8, 12, 64xrletrid 12602 1 (𝐴 ⊆ ℝ* → inf((𝐴 ∪ {+∞}), ℝ*, < ) = inf(𝐴, ℝ*, < ))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1538   ∈ wcel 2111   ≠ wne 2951  ∀wral 3070  ∃wrex 3071   ∪ cun 3858   ⊆ wss 3860  ∅c0 4227  {csn 4525   class class class wbr 5036   Or wor 5446  infcinf 8951  +∞cpnf 10723  ℝ*cxr 10725   < clt 10726   ≤ cle 10727 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2729  ax-sep 5173  ax-nul 5180  ax-pow 5238  ax-pr 5302  ax-un 7465  ax-cnex 10644  ax-resscn 10645  ax-1cn 10646  ax-icn 10647  ax-addcl 10648  ax-addrcl 10649  ax-mulcl 10650  ax-mulrcl 10651  ax-mulcom 10652  ax-addass 10653  ax-mulass 10654  ax-distr 10655  ax-i2m1 10656  ax-1ne0 10657  ax-1rid 10658  ax-rnegex 10659  ax-rrecex 10660  ax-cnre 10661  ax-pre-lttri 10662  ax-pre-lttrn 10663  ax-pre-ltadd 10664  ax-pre-mulgt0 10665  ax-pre-sup 10666 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2557  df-eu 2588  df-clab 2736  df-cleq 2750  df-clel 2830  df-nfc 2901  df-ne 2952  df-nel 3056  df-ral 3075  df-rex 3076  df-reu 3077  df-rmo 3078  df-rab 3079  df-v 3411  df-sbc 3699  df-csb 3808  df-dif 3863  df-un 3865  df-in 3867  df-ss 3877  df-nul 4228  df-if 4424  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-op 4532  df-uni 4802  df-br 5037  df-opab 5099  df-mpt 5117  df-id 5434  df-po 5447  df-so 5448  df-xp 5534  df-rel 5535  df-cnv 5536  df-co 5537  df-dm 5538  df-rn 5539  df-res 5540  df-ima 5541  df-iota 6299  df-fun 6342  df-fn 6343  df-f 6344  df-f1 6345  df-fo 6346  df-f1o 6347  df-fv 6348  df-riota 7114  df-ov 7159  df-oprab 7160  df-mpo 7161  df-er 8305  df-en 8541  df-dom 8542  df-sdom 8543  df-sup 8952  df-inf 8953  df-pnf 10728  df-mnf 10729  df-xr 10730  df-ltxr 10731  df-le 10732  df-sub 10923  df-neg 10924 This theorem is referenced by:  infxrpnf2  42513
 Copyright terms: Public domain W3C validator