Theorem infxrpnf 46274

Description: Adding plus infinity to a set does not affect its infimum. (Contributed by Glauco Siliprandi, 2-Jan-2022.)

Assertion

Ref	Expression
infxrpnf	⊢ (𝐴 ⊆ ℝ* → inf((𝐴 ∪ {+∞}), ℝ*, < ) = inf(𝐴, ℝ*, < ))

Proof of Theorem infxrpnf

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		id 23	. . . 4 ⊢ (𝐴 ⊆ ℝ* → 𝐴 ⊆ ℝ*)
2		pnfxr 11287	. . . . . 6 ⊢ +∞ ∈ ℝ*
3		snssi 4746	. . . . . 6 ⊢ (+∞ ∈ ℝ* → {+∞} ⊆ ℝ*)
4	2, 3	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ {+∞} ⊆ ℝ*
5	4	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝐴 ⊆ ℝ* → {+∞} ⊆ ℝ*)
6	1, 5	unssd 4138	. . 3 ⊢ (𝐴 ⊆ ℝ* → (𝐴 ∪ {+∞}) ⊆ ℝ*)
7	6	infxrcld 46218	. 2 ⊢ (𝐴 ⊆ ℝ* → inf((𝐴 ∪ {+∞}), ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
8		infxrcl 13386	. 2 ⊢ (𝐴 ⊆ ℝ* → inf(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
9		ssun1 4124	. . . 4 ⊢ 𝐴 ⊆ (𝐴 ∪ {+∞})
10	9	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝐴 ⊆ ℝ* → 𝐴 ⊆ (𝐴 ∪ {+∞}))
11		infxrss 13392	. . 3 ⊢ ((𝐴 ⊆ (𝐴 ∪ {+∞}) ∧ (𝐴 ∪ {+∞}) ⊆ ℝ*) → inf((𝐴 ∪ {+∞}), ℝ*, < ) ≤ inf(𝐴, ℝ*, < ))
12	10, 6, 11	syl2anc 596	. 2 ⊢ (𝐴 ⊆ ℝ* → inf((𝐴 ∪ {+∞}), ℝ*, < ) ≤ inf(𝐴, ℝ*, < ))
13		infeq1 9447	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 = ∅ → inf(𝐴, ℝ*, < ) = inf(∅, ℝ*, < ))
14		xrinf0 13391	. . . . . . . 8 ⊢ inf(∅, ℝ*, < ) = +∞
15	14, 2	eqeltri 2856	. . . . . . 7 ⊢ inf(∅, ℝ*, < ) ∈ ℝ*
16	15	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 = ∅ → inf(∅, ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
17	13, 16	eqeltrd 2860	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = ∅ → inf(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
18		xrltso 13192	. . . . . . . . 9 ⊢ < Or ℝ*
19		infsn 9477	. . . . . . . . 9 ⊢ (( < Or ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*) → inf({+∞}, ℝ*, < ) = +∞)
20	18, 2, 19	mp2an 705	. . . . . . . 8 ⊢ inf({+∞}, ℝ*, < ) = +∞
21	20	eqcomi 2769	. . . . . . 7 ⊢ +∞ = inf({+∞}, ℝ*, < )
22	21	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 = ∅ → +∞ = inf({+∞}, ℝ*, < ))
23	13, 14	eqtrdi 2811	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 = ∅ → inf(𝐴, ℝ*, < ) = +∞)
24		uneq1 4108	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 = ∅ → (𝐴 ∪ {+∞}) = (∅ ∪ {+∞}))
25		0un 4346	. . . . . . . . 9 ⊢ (∅ ∪ {+∞}) = {+∞}
26	25	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 = ∅ → (∅ ∪ {+∞}) = {+∞})
27	24, 26	eqtrd 2795	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 = ∅ → (𝐴 ∪ {+∞}) = {+∞})
28	27	infeq1d 9448	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 = ∅ → inf((𝐴 ∪ {+∞}), ℝ*, < ) = inf({+∞}, ℝ*, < ))
29	22, 23, 28	3eqtr4d 2805	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = ∅ → inf(𝐴, ℝ*, < ) = inf((𝐴 ∪ {+∞}), ℝ*, < ))
30	17, 29	xreqled 46160	. . . 4 ⊢ (𝐴 = ∅ → inf(𝐴, ℝ*, < ) ≤ inf((𝐴 ∪ {+∞}), ℝ*, < ))
31	30	adantl 487	. . 3 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ 𝐴 = ∅) → inf(𝐴, ℝ*, < ) ≤ inf((𝐴 ∪ {+∞}), ℝ*, < ))
32		neqne 2963	. . . 4 ⊢ (¬ 𝐴 = ∅ → 𝐴 ≠ ∅)
33		nfv 1947	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑥(𝐴 ⊆ ℝ* ∧ 𝐴 ≠ ∅)
34		nfv 1947	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑦(𝐴 ⊆ ℝ* ∧ 𝐴 ≠ ∅)
35		simpl 488	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ 𝐴 ≠ ∅) → 𝐴 ⊆ ℝ*)
36	35, 6	syl 18	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ 𝐴 ≠ ∅) → (𝐴 ∪ {+∞}) ⊆ ℝ*)
37		simpr 490	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑥 ∈ 𝐴)
38		ssel2 3926	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑥 ∈ ℝ*)
39	38	xrleidd 13203	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑥 ≤ 𝑥)
40		breq1 5106	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → (𝑦 ≤ 𝑥 ↔ 𝑥 ≤ 𝑥))
41	40	rspcev 3576	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ≤ 𝑥) → ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥)
42	37, 39, 41	syl2anc 596	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥)
43	42	ad4ant14 765	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∪ {+∞})) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥)
44		simpll 779	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∪ {+∞})) ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝐴 ⊆ ℝ* ∧ 𝐴 ≠ ∅))
45		elunnel1 4101	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ (𝐴 ∪ {+∞}) ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑥 ∈ {+∞})
46		elsni 4601	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ {+∞} → 𝑥 = +∞)
47	45, 46	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ (𝐴 ∪ {+∞}) ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑥 = +∞)
48	47	adantll 727	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∪ {+∞})) ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑥 = +∞)
49		simplr 781	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑥 = +∞) → 𝐴 ≠ ∅)
50		ssel2 3926	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → 𝑦 ∈ ℝ*)
51		pnfge 13181	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ* → 𝑦 ≤ +∞)
52	50, 51	syl 18	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → 𝑦 ≤ +∞)
53	52	adantlr 728	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ 𝑥 = +∞) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → 𝑦 ≤ +∞)
54		simplr 781	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ 𝑥 = +∞) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → 𝑥 = +∞)
55	53, 54	breqtrrd 5133	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ 𝑥 = +∞) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → 𝑦 ≤ 𝑥)
56	55	ralrimiva 3154	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ 𝑥 = +∞) → ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥)
57	56	adantlr 728	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑥 = +∞) → ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥)
58		r19.2z 4455	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ≠ ∅ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥) → ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥)
59	49, 57, 58	syl2anc 596	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑥 = +∞) → ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥)
60	44, 48, 59	syl2anc 596	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∪ {+∞})) ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐴) → ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥)
61	43, 60	pm2.61dan 825	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∪ {+∞})) → ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥)
62	33, 34, 35, 36, 61	infleinf2 46242	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ 𝐴 ≠ ∅) → inf(𝐴, ℝ*, < ) ≤ inf((𝐴 ∪ {+∞}), ℝ*, < ))
63	32, 62	sylan2 605	. . 3 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ ¬ 𝐴 = ∅) → inf(𝐴, ℝ*, < ) ≤ inf((𝐴 ∪ {+∞}), ℝ*, < ))
64	31, 63	pm2.61dan 825	. 2 ⊢ (𝐴 ⊆ ℝ* → inf(𝐴, ℝ*, < ) ≤ inf((𝐴 ∪ {+∞}), ℝ*, < ))
65	7, 8, 12, 64	xrletrid 13206	1 ⊢ (𝐴 ⊆ ℝ* → inf((𝐴 ∪ {+∞}), ℝ*, < ) = inf(𝐴, ℝ*, < ))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2955  ∀wral 3076  ∃wrex 3086   ∪ cun 3897   ⊆ wss 3899  ∅c0 4279  {csn 4584   class class class wbr 5103   Or wor 5562  infcinf 9411  +∞cpnf 11264  ℝ^*cxr 11266   < clt 11267   ≤ cle 11268

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7736  ax-cnex 11180  ax-resscn 11181  ax-1cn 11182  ax-icn 11183  ax-addcl 11184  ax-addrcl 11185  ax-mulcl 11186  ax-mulrcl 11187  ax-mulcom 11188  ax-addass 11189  ax-mulass 11190  ax-distr 11191  ax-i2m1 11192  ax-1ne0 11193  ax-1rid 11194  ax-rnegex 11195  ax-rrecex 11196  ax-cnre 11197  ax-pre-lttri 11198  ax-pre-lttrn 11199  ax-pre-ltadd 11200  ax-pre-mulgt0 11201  ax-pre-sup 11202

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-id 5550  df-po 5563  df-so 5564  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7370  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-er 8696  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-sup 9412  df-inf 9413  df-pnf 11269  df-mnf 11270  df-xr 11271  df-ltxr 11272  df-le 11273  df-sub 11467  df-neg 11468

This theorem is used by:  infxrpnf2  46291