Theorem infxrpnf 46143

Description: Adding plus infinity to a set does not affect its infimum. (Contributed by Glauco Siliprandi, 2-Jan-2022.)

Assertion

Ref	Expression
infxrpnf	⊢ (𝐴 ⊆ ℝ* → inf((𝐴 ∪ {+∞}), ℝ*, < ) = inf(𝐴, ℝ*, < ))

Proof of Theorem infxrpnf

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		id 23	. . . 4 ⊢ (𝐴 ⊆ ℝ* → 𝐴 ⊆ ℝ*)
2		pnfxr 11264	. . . . . 6 ⊢ +∞ ∈ ℝ*
3		snssi 4752	. . . . . 6 ⊢ (+∞ ∈ ℝ* → {+∞} ⊆ ℝ*)
4	2, 3	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ {+∞} ⊆ ℝ*
5	4	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝐴 ⊆ ℝ* → {+∞} ⊆ ℝ*)
6	1, 5	unssd 4146	. . 3 ⊢ (𝐴 ⊆ ℝ* → (𝐴 ∪ {+∞}) ⊆ ℝ*)
7	6	infxrcld 46087	. 2 ⊢ (𝐴 ⊆ ℝ* → inf((𝐴 ∪ {+∞}), ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
8		infxrcl 13361	. 2 ⊢ (𝐴 ⊆ ℝ* → inf(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
9		ssun1 4132	. . . 4 ⊢ 𝐴 ⊆ (𝐴 ∪ {+∞})
10	9	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝐴 ⊆ ℝ* → 𝐴 ⊆ (𝐴 ∪ {+∞}))
11		infxrss 13367	. . 3 ⊢ ((𝐴 ⊆ (𝐴 ∪ {+∞}) ∧ (𝐴 ∪ {+∞}) ⊆ ℝ*) → inf((𝐴 ∪ {+∞}), ℝ*, < ) ≤ inf(𝐴, ℝ*, < ))
12	10, 6, 11	syl2anc 595	. 2 ⊢ (𝐴 ⊆ ℝ* → inf((𝐴 ∪ {+∞}), ℝ*, < ) ≤ inf(𝐴, ℝ*, < ))
13		infeq1 9438	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 = ∅ → inf(𝐴, ℝ*, < ) = inf(∅, ℝ*, < ))
14		xrinf0 13366	. . . . . . . 8 ⊢ inf(∅, ℝ*, < ) = +∞
15	14, 2	eqeltri 2859	. . . . . . 7 ⊢ inf(∅, ℝ*, < ) ∈ ℝ*
16	15	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 = ∅ → inf(∅, ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
17	13, 16	eqeltrd 2863	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = ∅ → inf(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
18		xrltso 13167	. . . . . . . . 9 ⊢ < Or ℝ*
19		infsn 9468	. . . . . . . . 9 ⊢ (( < Or ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*) → inf({+∞}, ℝ*, < ) = +∞)
20	18, 2, 19	mp2an 704	. . . . . . . 8 ⊢ inf({+∞}, ℝ*, < ) = +∞
21	20	eqcomi 2772	. . . . . . 7 ⊢ +∞ = inf({+∞}, ℝ*, < )
22	21	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 = ∅ → +∞ = inf({+∞}, ℝ*, < ))
23	13, 14	eqtrdi 2814	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 = ∅ → inf(𝐴, ℝ*, < ) = +∞)
24		uneq1 4116	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 = ∅ → (𝐴 ∪ {+∞}) = (∅ ∪ {+∞}))
25		0un 4354	. . . . . . . . 9 ⊢ (∅ ∪ {+∞}) = {+∞}
26	25	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 = ∅ → (∅ ∪ {+∞}) = {+∞})
27	24, 26	eqtrd 2798	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 = ∅ → (𝐴 ∪ {+∞}) = {+∞})
28	27	infeq1d 9439	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 = ∅ → inf((𝐴 ∪ {+∞}), ℝ*, < ) = inf({+∞}, ℝ*, < ))
29	22, 23, 28	3eqtr4d 2808	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = ∅ → inf(𝐴, ℝ*, < ) = inf((𝐴 ∪ {+∞}), ℝ*, < ))
30	17, 29	xreqled 46029	. . . 4 ⊢ (𝐴 = ∅ → inf(𝐴, ℝ*, < ) ≤ inf((𝐴 ∪ {+∞}), ℝ*, < ))
31	30	adantl 486	. . 3 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ 𝐴 = ∅) → inf(𝐴, ℝ*, < ) ≤ inf((𝐴 ∪ {+∞}), ℝ*, < ))
32		neqne 2966	. . . 4 ⊢ (¬ 𝐴 = ∅ → 𝐴 ≠ ∅)
33		nfv 1944	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑥(𝐴 ⊆ ℝ* ∧ 𝐴 ≠ ∅)
34		nfv 1944	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑦(𝐴 ⊆ ℝ* ∧ 𝐴 ≠ ∅)
35		simpl 487	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ 𝐴 ≠ ∅) → 𝐴 ⊆ ℝ*)
36	35, 6	syl 18	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ 𝐴 ≠ ∅) → (𝐴 ∪ {+∞}) ⊆ ℝ*)
37		simpr 489	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑥 ∈ 𝐴)
38		ssel2 3933	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑥 ∈ ℝ*)
39	38	xrleidd 13178	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑥 ≤ 𝑥)
40		breq1 5113	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → (𝑦 ≤ 𝑥 ↔ 𝑥 ≤ 𝑥))
41	40	rspcev 3582	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ≤ 𝑥) → ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥)
42	37, 39, 41	syl2anc 595	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥)
43	42	ad4ant14 764	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∪ {+∞})) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥)
44		simpll 778	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∪ {+∞})) ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝐴 ⊆ ℝ* ∧ 𝐴 ≠ ∅))
45		elunnel1 4109	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ (𝐴 ∪ {+∞}) ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑥 ∈ {+∞})
46		elsni 4607	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ {+∞} → 𝑥 = +∞)
47	45, 46	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ (𝐴 ∪ {+∞}) ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑥 = +∞)
48	47	adantll 726	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∪ {+∞})) ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑥 = +∞)
49		simplr 780	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑥 = +∞) → 𝐴 ≠ ∅)
50		ssel2 3933	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → 𝑦 ∈ ℝ*)
51		pnfge 13156	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ* → 𝑦 ≤ +∞)
52	50, 51	syl 18	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → 𝑦 ≤ +∞)
53	52	adantlr 727	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ 𝑥 = +∞) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → 𝑦 ≤ +∞)
54		simplr 780	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ 𝑥 = +∞) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → 𝑥 = +∞)
55	53, 54	breqtrrd 5140	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ 𝑥 = +∞) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → 𝑦 ≤ 𝑥)
56	55	ralrimiva 3157	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ 𝑥 = +∞) → ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥)
57	56	adantlr 727	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑥 = +∞) → ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥)
58		r19.2z 4461	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ≠ ∅ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥) → ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥)
59	49, 57, 58	syl2anc 595	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑥 = +∞) → ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥)
60	44, 48, 59	syl2anc 595	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∪ {+∞})) ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐴) → ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥)
61	43, 60	pm2.61dan 824	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∪ {+∞})) → ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥)
62	33, 34, 35, 36, 61	infleinf2 46111	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ 𝐴 ≠ ∅) → inf(𝐴, ℝ*, < ) ≤ inf((𝐴 ∪ {+∞}), ℝ*, < ))
63	32, 62	sylan2 604	. . 3 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ ¬ 𝐴 = ∅) → inf(𝐴, ℝ*, < ) ≤ inf((𝐴 ∪ {+∞}), ℝ*, < ))
64	31, 63	pm2.61dan 824	. 2 ⊢ (𝐴 ⊆ ℝ* → inf(𝐴, ℝ*, < ) ≤ inf((𝐴 ∪ {+∞}), ℝ*, < ))
65	7, 8, 12, 64	xrletrid 13181	1 ⊢ (𝐴 ⊆ ℝ* → inf((𝐴 ∪ {+∞}), ℝ*, < ) = inf(𝐴, ℝ*, < ))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 400   = wceq 1570   ∈ wcel 2143   ≠ wne 2958  ∀wral 3079  ∃wrex 3089   ∪ cun 3904   ⊆ wss 3906  ∅c0 4287  {csn 4590   class class class wbr 5110   Or wor 5570  infcinf 9402  +∞cpnf 11241  ℝ^*cxr 11243   < clt 11244   ≤ cle 11245

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-sep 5258  ax-nul 5270  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7734  ax-cnex 11157  ax-resscn 11158  ax-1cn 11159  ax-icn 11160  ax-addcl 11161  ax-addrcl 11162  ax-mulcl 11163  ax-mulrcl 11164  ax-mulcom 11165  ax-addass 11166  ax-mulass 11167  ax-distr 11168  ax-i2m1 11169  ax-1ne0 11170  ax-1rid 11171  ax-rnegex 11172  ax-rrecex 11173  ax-cnre 11174  ax-pre-lttri 11175  ax-pre-lttrn 11176  ax-pre-ltadd 11177  ax-pre-mulgt0 11178  ax-pre-sup 11179

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3746  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-nul 4288  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4874  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-id 5558  df-po 5571  df-so 5572  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-er 8695  df-en 8945  df-dom 8946  df-sdom 8947  df-sup 9403  df-inf 9404  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11444  df-neg 11445

This theorem is referenced by:  infxrpnf2  46160