Theorem infxrpnf 44455

Description: Adding plus infinity to a set does not affect its infimum. (Contributed by Glauco Siliprandi, 2-Jan-2022.)

Assertion

Ref	Expression
infxrpnf	⊢ (𝐴 ⊆ ℝ* → inf((𝐴 ∪ {+∞}), ℝ*, < ) = inf(𝐴, ℝ*, < ))

Proof of Theorem infxrpnf

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		id 22	. . . 4 ⊢ (𝐴 ⊆ ℝ* → 𝐴 ⊆ ℝ*)
2		pnfxr 11272	. . . . . 6 ⊢ +∞ ∈ ℝ*
3		snssi 4811	. . . . . 6 ⊢ (+∞ ∈ ℝ* → {+∞} ⊆ ℝ*)
4	2, 3	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ {+∞} ⊆ ℝ*
5	4	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝐴 ⊆ ℝ* → {+∞} ⊆ ℝ*)
6	1, 5	unssd 4186	. . 3 ⊢ (𝐴 ⊆ ℝ* → (𝐴 ∪ {+∞}) ⊆ ℝ*)
7	6	infxrcld 44398	. 2 ⊢ (𝐴 ⊆ ℝ* → inf((𝐴 ∪ {+∞}), ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
8		infxrcl 13316	. 2 ⊢ (𝐴 ⊆ ℝ* → inf(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
9		ssun1 4172	. . . 4 ⊢ 𝐴 ⊆ (𝐴 ∪ {+∞})
10	9	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝐴 ⊆ ℝ* → 𝐴 ⊆ (𝐴 ∪ {+∞}))
11		infxrss 13322	. . 3 ⊢ ((𝐴 ⊆ (𝐴 ∪ {+∞}) ∧ (𝐴 ∪ {+∞}) ⊆ ℝ*) → inf((𝐴 ∪ {+∞}), ℝ*, < ) ≤ inf(𝐴, ℝ*, < ))
12	10, 6, 11	syl2anc 584	. 2 ⊢ (𝐴 ⊆ ℝ* → inf((𝐴 ∪ {+∞}), ℝ*, < ) ≤ inf(𝐴, ℝ*, < ))
13		infeq1 9473	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 = ∅ → inf(𝐴, ℝ*, < ) = inf(∅, ℝ*, < ))
14		xrinf0 13321	. . . . . . . 8 ⊢ inf(∅, ℝ*, < ) = +∞
15	14, 2	eqeltri 2829	. . . . . . 7 ⊢ inf(∅, ℝ*, < ) ∈ ℝ*
16	15	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 = ∅ → inf(∅, ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
17	13, 16	eqeltrd 2833	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = ∅ → inf(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
18		xrltso 13124	. . . . . . . . 9 ⊢ < Or ℝ*
19		infsn 9502	. . . . . . . . 9 ⊢ (( < Or ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*) → inf({+∞}, ℝ*, < ) = +∞)
20	18, 2, 19	mp2an 690	. . . . . . . 8 ⊢ inf({+∞}, ℝ*, < ) = +∞
21	20	eqcomi 2741	. . . . . . 7 ⊢ +∞ = inf({+∞}, ℝ*, < )
22	21	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 = ∅ → +∞ = inf({+∞}, ℝ*, < ))
23	13, 14	eqtrdi 2788	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 = ∅ → inf(𝐴, ℝ*, < ) = +∞)
24		uneq1 4156	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 = ∅ → (𝐴 ∪ {+∞}) = (∅ ∪ {+∞}))
25		0un 4392	. . . . . . . . 9 ⊢ (∅ ∪ {+∞}) = {+∞}
26	25	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 = ∅ → (∅ ∪ {+∞}) = {+∞})
27	24, 26	eqtrd 2772	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 = ∅ → (𝐴 ∪ {+∞}) = {+∞})
28	27	infeq1d 9474	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 = ∅ → inf((𝐴 ∪ {+∞}), ℝ*, < ) = inf({+∞}, ℝ*, < ))
29	22, 23, 28	3eqtr4d 2782	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = ∅ → inf(𝐴, ℝ*, < ) = inf((𝐴 ∪ {+∞}), ℝ*, < ))
30	17, 29	xreqled 44339	. . . 4 ⊢ (𝐴 = ∅ → inf(𝐴, ℝ*, < ) ≤ inf((𝐴 ∪ {+∞}), ℝ*, < ))
31	30	adantl 482	. . 3 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ 𝐴 = ∅) → inf(𝐴, ℝ*, < ) ≤ inf((𝐴 ∪ {+∞}), ℝ*, < ))
32		neqne 2948	. . . 4 ⊢ (¬ 𝐴 = ∅ → 𝐴 ≠ ∅)
33		nfv 1917	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑥(𝐴 ⊆ ℝ* ∧ 𝐴 ≠ ∅)
34		nfv 1917	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑦(𝐴 ⊆ ℝ* ∧ 𝐴 ≠ ∅)
35		simpl 483	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ 𝐴 ≠ ∅) → 𝐴 ⊆ ℝ*)
36	35, 6	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ 𝐴 ≠ ∅) → (𝐴 ∪ {+∞}) ⊆ ℝ*)
37		simpr 485	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑥 ∈ 𝐴)
38		ssel2 3977	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑥 ∈ ℝ*)
39	38	xrleidd 13135	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑥 ≤ 𝑥)
40		breq1 5151	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → (𝑦 ≤ 𝑥 ↔ 𝑥 ≤ 𝑥))
41	40	rspcev 3612	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ≤ 𝑥) → ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥)
42	37, 39, 41	syl2anc 584	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥)
43	42	ad4ant14 750	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∪ {+∞})) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥)
44		simpll 765	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∪ {+∞})) ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝐴 ⊆ ℝ* ∧ 𝐴 ≠ ∅))
45		elunnel1 4149	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ (𝐴 ∪ {+∞}) ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑥 ∈ {+∞})
46		elsni 4645	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ {+∞} → 𝑥 = +∞)
47	45, 46	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ (𝐴 ∪ {+∞}) ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑥 = +∞)
48	47	adantll 712	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∪ {+∞})) ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑥 = +∞)
49		simplr 767	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑥 = +∞) → 𝐴 ≠ ∅)
50		ssel2 3977	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → 𝑦 ∈ ℝ*)
51		pnfge 13114	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ* → 𝑦 ≤ +∞)
52	50, 51	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → 𝑦 ≤ +∞)
53	52	adantlr 713	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ 𝑥 = +∞) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → 𝑦 ≤ +∞)
54		simplr 767	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ 𝑥 = +∞) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → 𝑥 = +∞)
55	53, 54	breqtrrd 5176	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ 𝑥 = +∞) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → 𝑦 ≤ 𝑥)
56	55	ralrimiva 3146	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ 𝑥 = +∞) → ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥)
57	56	adantlr 713	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑥 = +∞) → ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥)
58		r19.2z 4494	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ≠ ∅ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥) → ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥)
59	49, 57, 58	syl2anc 584	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑥 = +∞) → ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥)
60	44, 48, 59	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∪ {+∞})) ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐴) → ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥)
61	43, 60	pm2.61dan 811	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∪ {+∞})) → ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥)
62	33, 34, 35, 36, 61	infleinf2 44423	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ 𝐴 ≠ ∅) → inf(𝐴, ℝ*, < ) ≤ inf((𝐴 ∪ {+∞}), ℝ*, < ))
63	32, 62	sylan2 593	. . 3 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ ¬ 𝐴 = ∅) → inf(𝐴, ℝ*, < ) ≤ inf((𝐴 ∪ {+∞}), ℝ*, < ))
64	31, 63	pm2.61dan 811	. 2 ⊢ (𝐴 ⊆ ℝ* → inf(𝐴, ℝ*, < ) ≤ inf((𝐴 ∪ {+∞}), ℝ*, < ))
65	7, 8, 12, 64	xrletrid 13138	1 ⊢ (𝐴 ⊆ ℝ* → inf((𝐴 ∪ {+∞}), ℝ*, < ) = inf(𝐴, ℝ*, < ))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2940  ∀wral 3061  ∃wrex 3070   ∪ cun 3946   ⊆ wss 3948  ∅c0 4322  {csn 4628   class class class wbr 5148   Or wor 5587  infcinf 9438  +∞cpnf 11249  ℝ^*cxr 11251   < clt 11252   ≤ cle 11253

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5574  df-po 5588  df-so 5589  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-sup 9439  df-inf 9440  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451

This theorem is referenced by:  infxrpnf2  44472