Theorem infxrpnf 45571

Description: Adding plus infinity to a set does not affect its infimum. (Contributed by Glauco Siliprandi, 2-Jan-2022.)

Assertion

Ref	Expression
infxrpnf	⊢ (𝐴 ⊆ ℝ* → inf((𝐴 ∪ {+∞}), ℝ*, < ) = inf(𝐴, ℝ*, < ))

Proof of Theorem infxrpnf

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		id 22	. . . 4 ⊢ (𝐴 ⊆ ℝ* → 𝐴 ⊆ ℝ*)
2		pnfxr 11175	. . . . . 6 ⊢ +∞ ∈ ℝ*
3		snssi 4761	. . . . . 6 ⊢ (+∞ ∈ ℝ* → {+∞} ⊆ ℝ*)
4	2, 3	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ {+∞} ⊆ ℝ*
5	4	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝐴 ⊆ ℝ* → {+∞} ⊆ ℝ*)
6	1, 5	unssd 4141	. . 3 ⊢ (𝐴 ⊆ ℝ* → (𝐴 ∪ {+∞}) ⊆ ℝ*)
7	6	infxrcld 45514	. 2 ⊢ (𝐴 ⊆ ℝ* → inf((𝐴 ∪ {+∞}), ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
8		infxrcl 13237	. 2 ⊢ (𝐴 ⊆ ℝ* → inf(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
9		ssun1 4127	. . . 4 ⊢ 𝐴 ⊆ (𝐴 ∪ {+∞})
10	9	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝐴 ⊆ ℝ* → 𝐴 ⊆ (𝐴 ∪ {+∞}))
11		infxrss 13243	. . 3 ⊢ ((𝐴 ⊆ (𝐴 ∪ {+∞}) ∧ (𝐴 ∪ {+∞}) ⊆ ℝ*) → inf((𝐴 ∪ {+∞}), ℝ*, < ) ≤ inf(𝐴, ℝ*, < ))
12	10, 6, 11	syl2anc 584	. 2 ⊢ (𝐴 ⊆ ℝ* → inf((𝐴 ∪ {+∞}), ℝ*, < ) ≤ inf(𝐴, ℝ*, < ))
13		infeq1 9370	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 = ∅ → inf(𝐴, ℝ*, < ) = inf(∅, ℝ*, < ))
14		xrinf0 13242	. . . . . . . 8 ⊢ inf(∅, ℝ*, < ) = +∞
15	14, 2	eqeltri 2829	. . . . . . 7 ⊢ inf(∅, ℝ*, < ) ∈ ℝ*
16	15	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 = ∅ → inf(∅, ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
17	13, 16	eqeltrd 2833	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = ∅ → inf(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
18		xrltso 13044	. . . . . . . . 9 ⊢ < Or ℝ*
19		infsn 9400	. . . . . . . . 9 ⊢ (( < Or ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*) → inf({+∞}, ℝ*, < ) = +∞)
20	18, 2, 19	mp2an 692	. . . . . . . 8 ⊢ inf({+∞}, ℝ*, < ) = +∞
21	20	eqcomi 2742	. . . . . . 7 ⊢ +∞ = inf({+∞}, ℝ*, < )
22	21	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 = ∅ → +∞ = inf({+∞}, ℝ*, < ))
23	13, 14	eqtrdi 2784	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 = ∅ → inf(𝐴, ℝ*, < ) = +∞)
24		uneq1 4110	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 = ∅ → (𝐴 ∪ {+∞}) = (∅ ∪ {+∞}))
25		0un 4345	. . . . . . . . 9 ⊢ (∅ ∪ {+∞}) = {+∞}
26	25	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 = ∅ → (∅ ∪ {+∞}) = {+∞})
27	24, 26	eqtrd 2768	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 = ∅ → (𝐴 ∪ {+∞}) = {+∞})
28	27	infeq1d 9371	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 = ∅ → inf((𝐴 ∪ {+∞}), ℝ*, < ) = inf({+∞}, ℝ*, < ))
29	22, 23, 28	3eqtr4d 2778	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = ∅ → inf(𝐴, ℝ*, < ) = inf((𝐴 ∪ {+∞}), ℝ*, < ))
30	17, 29	xreqled 45456	. . . 4 ⊢ (𝐴 = ∅ → inf(𝐴, ℝ*, < ) ≤ inf((𝐴 ∪ {+∞}), ℝ*, < ))
31	30	adantl 481	. . 3 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ 𝐴 = ∅) → inf(𝐴, ℝ*, < ) ≤ inf((𝐴 ∪ {+∞}), ℝ*, < ))
32		neqne 2937	. . . 4 ⊢ (¬ 𝐴 = ∅ → 𝐴 ≠ ∅)
33		nfv 1915	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑥(𝐴 ⊆ ℝ* ∧ 𝐴 ≠ ∅)
34		nfv 1915	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑦(𝐴 ⊆ ℝ* ∧ 𝐴 ≠ ∅)
35		simpl 482	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ 𝐴 ≠ ∅) → 𝐴 ⊆ ℝ*)
36	35, 6	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ 𝐴 ≠ ∅) → (𝐴 ∪ {+∞}) ⊆ ℝ*)
37		simpr 484	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑥 ∈ 𝐴)
38		ssel2 3925	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑥 ∈ ℝ*)
39	38	xrleidd 13055	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑥 ≤ 𝑥)
40		breq1 5098	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → (𝑦 ≤ 𝑥 ↔ 𝑥 ≤ 𝑥))
41	40	rspcev 3573	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ≤ 𝑥) → ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥)
42	37, 39, 41	syl2anc 584	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥)
43	42	ad4ant14 752	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∪ {+∞})) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥)
44		simpll 766	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∪ {+∞})) ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝐴 ⊆ ℝ* ∧ 𝐴 ≠ ∅))
45		elunnel1 4103	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ (𝐴 ∪ {+∞}) ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑥 ∈ {+∞})
46		elsni 4594	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ {+∞} → 𝑥 = +∞)
47	45, 46	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ (𝐴 ∪ {+∞}) ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑥 = +∞)
48	47	adantll 714	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∪ {+∞})) ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑥 = +∞)
49		simplr 768	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑥 = +∞) → 𝐴 ≠ ∅)
50		ssel2 3925	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → 𝑦 ∈ ℝ*)
51		pnfge 13033	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ* → 𝑦 ≤ +∞)
52	50, 51	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → 𝑦 ≤ +∞)
53	52	adantlr 715	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ 𝑥 = +∞) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → 𝑦 ≤ +∞)
54		simplr 768	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ 𝑥 = +∞) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → 𝑥 = +∞)
55	53, 54	breqtrrd 5123	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ 𝑥 = +∞) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → 𝑦 ≤ 𝑥)
56	55	ralrimiva 3125	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ 𝑥 = +∞) → ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥)
57	56	adantlr 715	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑥 = +∞) → ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥)
58		r19.2z 4449	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ≠ ∅ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥) → ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥)
59	49, 57, 58	syl2anc 584	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑥 = +∞) → ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥)
60	44, 48, 59	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∪ {+∞})) ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐴) → ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥)
61	43, 60	pm2.61dan 812	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∪ {+∞})) → ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥)
62	33, 34, 35, 36, 61	infleinf2 45539	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ 𝐴 ≠ ∅) → inf(𝐴, ℝ*, < ) ≤ inf((𝐴 ∪ {+∞}), ℝ*, < ))
63	32, 62	sylan2 593	. . 3 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ ¬ 𝐴 = ∅) → inf(𝐴, ℝ*, < ) ≤ inf((𝐴 ∪ {+∞}), ℝ*, < ))
64	31, 63	pm2.61dan 812	. 2 ⊢ (𝐴 ⊆ ℝ* → inf(𝐴, ℝ*, < ) ≤ inf((𝐴 ∪ {+∞}), ℝ*, < ))
65	7, 8, 12, 64	xrletrid 13058	1 ⊢ (𝐴 ⊆ ℝ* → inf((𝐴 ∪ {+∞}), ℝ*, < ) = inf(𝐴, ℝ*, < ))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2113   ≠ wne 2929  ∀wral 3048  ∃wrex 3057   ∪ cun 3896   ⊆ wss 3898  ∅c0 4282  {csn 4577   class class class wbr 5095   Or wor 5528  infcinf 9334  +∞cpnf 11152  ℝ^*cxr 11154   < clt 11155   ≤ cle 11156

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7676  ax-cnex 11071  ax-resscn 11072  ax-1cn 11073  ax-icn 11074  ax-addcl 11075  ax-addrcl 11076  ax-mulcl 11077  ax-mulrcl 11078  ax-mulcom 11079  ax-addass 11080  ax-mulass 11081  ax-distr 11082  ax-i2m1 11083  ax-1ne0 11084  ax-1rid 11085  ax-rnegex 11086  ax-rrecex 11087  ax-cnre 11088  ax-pre-lttri 11089  ax-pre-lttrn 11090  ax-pre-ltadd 11091  ax-pre-mulgt0 11092  ax-pre-sup 11093

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2882  df-ne 2930  df-nel 3034  df-ral 3049  df-rex 3058  df-rmo 3347  df-reu 3348  df-rab 3397  df-v 3439  df-sbc 3738  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-nul 4283  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4861  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-id 5516  df-po 5529  df-so 5530  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-iota 6444  df-fun 6490  df-fn 6491  df-f 6492  df-f1 6493  df-fo 6494  df-f1o 6495  df-fv 6496  df-riota 7311  df-ov 7357  df-oprab 7358  df-mpo 7359  df-er 8630  df-en 8878  df-dom 8879  df-sdom 8880  df-sup 9335  df-inf 9336  df-pnf 11157  df-mnf 11158  df-xr 11159  df-ltxr 11160  df-le 11161  df-sub 11355  df-neg 11356

This theorem is referenced by:  infxrpnf2  45588