Theorem infxrpnf 42495

Description: Adding plus infinity to a set does not affect its infimum. (Contributed by Glauco Siliprandi, 2-Jan-2022.)

Assertion

Ref	Expression
infxrpnf	⊢ (𝐴 ⊆ ℝ* → inf((𝐴 ∪ {+∞}), ℝ*, < ) = inf(𝐴, ℝ*, < ))

Proof of Theorem infxrpnf

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		id 22	. . . 4 ⊢ (𝐴 ⊆ ℝ* → 𝐴 ⊆ ℝ*)
2		pnfxr 10746	. . . . . 6 ⊢ +∞ ∈ ℝ*
3		snssi 4701	. . . . . 6 ⊢ (+∞ ∈ ℝ* → {+∞} ⊆ ℝ*)
4	2, 3	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ {+∞} ⊆ ℝ*
5	4	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝐴 ⊆ ℝ* → {+∞} ⊆ ℝ*)
6	1, 5	unssd 4093	. . 3 ⊢ (𝐴 ⊆ ℝ* → (𝐴 ∪ {+∞}) ⊆ ℝ*)
7	6	infxrcld 42437	. 2 ⊢ (𝐴 ⊆ ℝ* → inf((𝐴 ∪ {+∞}), ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
8		infxrcl 12780	. 2 ⊢ (𝐴 ⊆ ℝ* → inf(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
9		ssun1 4079	. . . 4 ⊢ 𝐴 ⊆ (𝐴 ∪ {+∞})
10	9	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝐴 ⊆ ℝ* → 𝐴 ⊆ (𝐴 ∪ {+∞}))
11		infxrss 12786	. . 3 ⊢ ((𝐴 ⊆ (𝐴 ∪ {+∞}) ∧ (𝐴 ∪ {+∞}) ⊆ ℝ*) → inf((𝐴 ∪ {+∞}), ℝ*, < ) ≤ inf(𝐴, ℝ*, < ))
12	10, 6, 11	syl2anc 587	. 2 ⊢ (𝐴 ⊆ ℝ* → inf((𝐴 ∪ {+∞}), ℝ*, < ) ≤ inf(𝐴, ℝ*, < ))
13		infeq1 8986	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 = ∅ → inf(𝐴, ℝ*, < ) = inf(∅, ℝ*, < ))
14		xrinf0 12785	. . . . . . . 8 ⊢ inf(∅, ℝ*, < ) = +∞
15	14, 2	eqeltri 2848	. . . . . . 7 ⊢ inf(∅, ℝ*, < ) ∈ ℝ*
16	15	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 = ∅ → inf(∅, ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
17	13, 16	eqeltrd 2852	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = ∅ → inf(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
18		xrltso 12588	. . . . . . . . 9 ⊢ < Or ℝ*
19		infsn 9015	. . . . . . . . 9 ⊢ (( < Or ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*) → inf({+∞}, ℝ*, < ) = +∞)
20	18, 2, 19	mp2an 691	. . . . . . . 8 ⊢ inf({+∞}, ℝ*, < ) = +∞
21	20	eqcomi 2767	. . . . . . 7 ⊢ +∞ = inf({+∞}, ℝ*, < )
22	21	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 = ∅ → +∞ = inf({+∞}, ℝ*, < ))
23	13, 14	eqtrdi 2809	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 = ∅ → inf(𝐴, ℝ*, < ) = +∞)
24		uneq1 4063	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 = ∅ → (𝐴 ∪ {+∞}) = (∅ ∪ {+∞}))
25		0un 4291	. . . . . . . . 9 ⊢ (∅ ∪ {+∞}) = {+∞}
26	25	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 = ∅ → (∅ ∪ {+∞}) = {+∞})
27	24, 26	eqtrd 2793	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 = ∅ → (𝐴 ∪ {+∞}) = {+∞})
28	27	infeq1d 8987	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 = ∅ → inf((𝐴 ∪ {+∞}), ℝ*, < ) = inf({+∞}, ℝ*, < ))
29	22, 23, 28	3eqtr4d 2803	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = ∅ → inf(𝐴, ℝ*, < ) = inf((𝐴 ∪ {+∞}), ℝ*, < ))
30	17, 29	xreqled 42375	. . . 4 ⊢ (𝐴 = ∅ → inf(𝐴, ℝ*, < ) ≤ inf((𝐴 ∪ {+∞}), ℝ*, < ))
31	30	adantl 485	. . 3 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ 𝐴 = ∅) → inf(𝐴, ℝ*, < ) ≤ inf((𝐴 ∪ {+∞}), ℝ*, < ))
32		neqne 2959	. . . 4 ⊢ (¬ 𝐴 = ∅ → 𝐴 ≠ ∅)
33		nfv 1915	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑥(𝐴 ⊆ ℝ* ∧ 𝐴 ≠ ∅)
34		nfv 1915	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑦(𝐴 ⊆ ℝ* ∧ 𝐴 ≠ ∅)
35		simpl 486	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ 𝐴 ≠ ∅) → 𝐴 ⊆ ℝ*)
36	35, 6	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ 𝐴 ≠ ∅) → (𝐴 ∪ {+∞}) ⊆ ℝ*)
37		simpr 488	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑥 ∈ 𝐴)
38		ssel2 3889	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑥 ∈ ℝ*)
39	38	xrleidd 12599	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑥 ≤ 𝑥)
40		breq1 5039	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → (𝑦 ≤ 𝑥 ↔ 𝑥 ≤ 𝑥))
41	40	rspcev 3543	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ≤ 𝑥) → ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥)
42	37, 39, 41	syl2anc 587	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥)
43	42	ad4ant14 751	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∪ {+∞})) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥)
44		simpll 766	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∪ {+∞})) ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝐴 ⊆ ℝ* ∧ 𝐴 ≠ ∅))
45		elunnel1 4057	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ (𝐴 ∪ {+∞}) ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑥 ∈ {+∞})
46		elsni 4542	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ {+∞} → 𝑥 = +∞)
47	45, 46	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ (𝐴 ∪ {+∞}) ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑥 = +∞)
48	47	adantll 713	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∪ {+∞})) ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑥 = +∞)
49		simplr 768	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑥 = +∞) → 𝐴 ≠ ∅)
50		ssel2 3889	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → 𝑦 ∈ ℝ*)
51		pnfge 12579	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ* → 𝑦 ≤ +∞)
52	50, 51	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → 𝑦 ≤ +∞)
53	52	adantlr 714	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ 𝑥 = +∞) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → 𝑦 ≤ +∞)
54		simplr 768	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ 𝑥 = +∞) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → 𝑥 = +∞)
55	53, 54	breqtrrd 5064	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ 𝑥 = +∞) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → 𝑦 ≤ 𝑥)
56	55	ralrimiva 3113	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ 𝑥 = +∞) → ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥)
57	56	adantlr 714	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑥 = +∞) → ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥)
58		r19.2z 4391	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ≠ ∅ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥) → ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥)
59	49, 57, 58	syl2anc 587	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑥 = +∞) → ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥)
60	44, 48, 59	syl2anc 587	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∪ {+∞})) ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐴) → ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥)
61	43, 60	pm2.61dan 812	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∪ {+∞})) → ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥)
62	33, 34, 35, 36, 61	infleinf2 42462	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ 𝐴 ≠ ∅) → inf(𝐴, ℝ*, < ) ≤ inf((𝐴 ∪ {+∞}), ℝ*, < ))
63	32, 62	sylan2 595	. . 3 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ ¬ 𝐴 = ∅) → inf(𝐴, ℝ*, < ) ≤ inf((𝐴 ∪ {+∞}), ℝ*, < ))
64	31, 63	pm2.61dan 812	. 2 ⊢ (𝐴 ⊆ ℝ* → inf(𝐴, ℝ*, < ) ≤ inf((𝐴 ∪ {+∞}), ℝ*, < ))
65	7, 8, 12, 64	xrletrid 12602	1 ⊢ (𝐴 ⊆ ℝ* → inf((𝐴 ∪ {+∞}), ℝ*, < ) = inf(𝐴, ℝ*, < ))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1538   ∈ wcel 2111   ≠ wne 2951  ∀wral 3070  ∃wrex 3071   ∪ cun 3858   ⊆ wss 3860  ∅c0 4227  {csn 4525   class class class wbr 5036   Or wor 5446  infcinf 8951  +∞cpnf 10723  ℝ^*cxr 10725   < clt 10726   ≤ cle 10727

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2729  ax-sep 5173  ax-nul 5180  ax-pow 5238  ax-pr 5302  ax-un 7465  ax-cnex 10644  ax-resscn 10645  ax-1cn 10646  ax-icn 10647  ax-addcl 10648  ax-addrcl 10649  ax-mulcl 10650  ax-mulrcl 10651  ax-mulcom 10652  ax-addass 10653  ax-mulass 10654  ax-distr 10655  ax-i2m1 10656  ax-1ne0 10657  ax-1rid 10658  ax-rnegex 10659  ax-rrecex 10660  ax-cnre 10661  ax-pre-lttri 10662  ax-pre-lttrn 10663  ax-pre-ltadd 10664  ax-pre-mulgt0 10665  ax-pre-sup 10666

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2557  df-eu 2588  df-clab 2736  df-cleq 2750  df-clel 2830  df-nfc 2901  df-ne 2952  df-nel 3056  df-ral 3075  df-rex 3076  df-reu 3077  df-rmo 3078  df-rab 3079  df-v 3411  df-sbc 3699  df-csb 3808  df-dif 3863  df-un 3865  df-in 3867  df-ss 3877  df-nul 4228  df-if 4424  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-op 4532  df-uni 4802  df-br 5037  df-opab 5099  df-mpt 5117  df-id 5434  df-po 5447  df-so 5448  df-xp 5534  df-rel 5535  df-cnv 5536  df-co 5537  df-dm 5538  df-rn 5539  df-res 5540  df-ima 5541  df-iota 6299  df-fun 6342  df-fn 6343  df-f 6344  df-f1 6345  df-fo 6346  df-f1o 6347  df-fv 6348  df-riota 7114  df-ov 7159  df-oprab 7160  df-mpo 7161  df-er 8305  df-en 8541  df-dom 8542  df-sdom 8543  df-sup 8952  df-inf 8953  df-pnf 10728  df-mnf 10729  df-xr 10730  df-ltxr 10731  df-le 10732  df-sub 10923  df-neg 10924

This theorem is referenced by:  infxrpnf2  42513