Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  infxrpnf Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem infxrpnf 44091
Description: Adding plus infinity to a set does not affect its infimum. (Contributed by Glauco Siliprandi, 2-Jan-2022.)
Assertion
Ref Expression
infxrpnf (𝐴 ⊆ ℝ* → inf((𝐴 ∪ {+∞}), ℝ*, < ) = inf(𝐴, ℝ*, < ))

Proof of Theorem infxrpnf
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 id 22 . . . 4 (𝐴 ⊆ ℝ*𝐴 ⊆ ℝ*)
2 pnfxr 11264 . . . . . 6 +∞ ∈ ℝ*
3 snssi 4810 . . . . . 6 (+∞ ∈ ℝ* → {+∞} ⊆ ℝ*)
42, 3ax-mp 5 . . . . 5 {+∞} ⊆ ℝ*
54a1i 11 . . . 4 (𝐴 ⊆ ℝ* → {+∞} ⊆ ℝ*)
61, 5unssd 4185 . . 3 (𝐴 ⊆ ℝ* → (𝐴 ∪ {+∞}) ⊆ ℝ*)
76infxrcld 44034 . 2 (𝐴 ⊆ ℝ* → inf((𝐴 ∪ {+∞}), ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
8 infxrcl 13308 . 2 (𝐴 ⊆ ℝ* → inf(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
9 ssun1 4171 . . . 4 𝐴 ⊆ (𝐴 ∪ {+∞})
109a1i 11 . . 3 (𝐴 ⊆ ℝ*𝐴 ⊆ (𝐴 ∪ {+∞}))
11 infxrss 13314 . . 3 ((𝐴 ⊆ (𝐴 ∪ {+∞}) ∧ (𝐴 ∪ {+∞}) ⊆ ℝ*) → inf((𝐴 ∪ {+∞}), ℝ*, < ) ≤ inf(𝐴, ℝ*, < ))
1210, 6, 11syl2anc 585 . 2 (𝐴 ⊆ ℝ* → inf((𝐴 ∪ {+∞}), ℝ*, < ) ≤ inf(𝐴, ℝ*, < ))
13 infeq1 9467 . . . . . 6 (𝐴 = ∅ → inf(𝐴, ℝ*, < ) = inf(∅, ℝ*, < ))
14 xrinf0 13313 . . . . . . . 8 inf(∅, ℝ*, < ) = +∞
1514, 2eqeltri 2830 . . . . . . 7 inf(∅, ℝ*, < ) ∈ ℝ*
1615a1i 11 . . . . . 6 (𝐴 = ∅ → inf(∅, ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
1713, 16eqeltrd 2834 . . . . 5 (𝐴 = ∅ → inf(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
18 xrltso 13116 . . . . . . . . 9 < Or ℝ*
19 infsn 9496 . . . . . . . . 9 (( < Or ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*) → inf({+∞}, ℝ*, < ) = +∞)
2018, 2, 19mp2an 691 . . . . . . . 8 inf({+∞}, ℝ*, < ) = +∞
2120eqcomi 2742 . . . . . . 7 +∞ = inf({+∞}, ℝ*, < )
2221a1i 11 . . . . . 6 (𝐴 = ∅ → +∞ = inf({+∞}, ℝ*, < ))
2313, 14eqtrdi 2789 . . . . . 6 (𝐴 = ∅ → inf(𝐴, ℝ*, < ) = +∞)
24 uneq1 4155 . . . . . . . 8 (𝐴 = ∅ → (𝐴 ∪ {+∞}) = (∅ ∪ {+∞}))
25 0un 4391 . . . . . . . . 9 (∅ ∪ {+∞}) = {+∞}
2625a1i 11 . . . . . . . 8 (𝐴 = ∅ → (∅ ∪ {+∞}) = {+∞})
2724, 26eqtrd 2773 . . . . . . 7 (𝐴 = ∅ → (𝐴 ∪ {+∞}) = {+∞})
2827infeq1d 9468 . . . . . 6 (𝐴 = ∅ → inf((𝐴 ∪ {+∞}), ℝ*, < ) = inf({+∞}, ℝ*, < ))
2922, 23, 283eqtr4d 2783 . . . . 5 (𝐴 = ∅ → inf(𝐴, ℝ*, < ) = inf((𝐴 ∪ {+∞}), ℝ*, < ))
3017, 29xreqled 43975 . . . 4 (𝐴 = ∅ → inf(𝐴, ℝ*, < ) ≤ inf((𝐴 ∪ {+∞}), ℝ*, < ))
3130adantl 483 . . 3 ((𝐴 ⊆ ℝ*𝐴 = ∅) → inf(𝐴, ℝ*, < ) ≤ inf((𝐴 ∪ {+∞}), ℝ*, < ))
32 neqne 2949 . . . 4 𝐴 = ∅ → 𝐴 ≠ ∅)
33 nfv 1918 . . . . 5 𝑥(𝐴 ⊆ ℝ*𝐴 ≠ ∅)
34 nfv 1918 . . . . 5 𝑦(𝐴 ⊆ ℝ*𝐴 ≠ ∅)
35 simpl 484 . . . . 5 ((𝐴 ⊆ ℝ*𝐴 ≠ ∅) → 𝐴 ⊆ ℝ*)
3635, 6syl 17 . . . . 5 ((𝐴 ⊆ ℝ*𝐴 ≠ ∅) → (𝐴 ∪ {+∞}) ⊆ ℝ*)
37 simpr 486 . . . . . . . 8 ((𝐴 ⊆ ℝ*𝑥𝐴) → 𝑥𝐴)
38 ssel2 3976 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ⊆ ℝ*𝑥𝐴) → 𝑥 ∈ ℝ*)
3938xrleidd 13127 . . . . . . . 8 ((𝐴 ⊆ ℝ*𝑥𝐴) → 𝑥𝑥)
40 breq1 5150 . . . . . . . . 9 (𝑦 = 𝑥 → (𝑦𝑥𝑥𝑥))
4140rspcev 3612 . . . . . . . 8 ((𝑥𝐴𝑥𝑥) → ∃𝑦𝐴 𝑦𝑥)
4237, 39, 41syl2anc 585 . . . . . . 7 ((𝐴 ⊆ ℝ*𝑥𝐴) → ∃𝑦𝐴 𝑦𝑥)
4342ad4ant14 751 . . . . . 6 ((((𝐴 ⊆ ℝ*𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∪ {+∞})) ∧ 𝑥𝐴) → ∃𝑦𝐴 𝑦𝑥)
44 simpll 766 . . . . . . 7 ((((𝐴 ⊆ ℝ*𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∪ {+∞})) ∧ ¬ 𝑥𝐴) → (𝐴 ⊆ ℝ*𝐴 ≠ ∅))
45 elunnel1 4148 . . . . . . . . 9 ((𝑥 ∈ (𝐴 ∪ {+∞}) ∧ ¬ 𝑥𝐴) → 𝑥 ∈ {+∞})
46 elsni 4644 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ {+∞} → 𝑥 = +∞)
4745, 46syl 17 . . . . . . . 8 ((𝑥 ∈ (𝐴 ∪ {+∞}) ∧ ¬ 𝑥𝐴) → 𝑥 = +∞)
4847adantll 713 . . . . . . 7 ((((𝐴 ⊆ ℝ*𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∪ {+∞})) ∧ ¬ 𝑥𝐴) → 𝑥 = +∞)
49 simplr 768 . . . . . . . 8 (((𝐴 ⊆ ℝ*𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑥 = +∞) → 𝐴 ≠ ∅)
50 ssel2 3976 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 ⊆ ℝ*𝑦𝐴) → 𝑦 ∈ ℝ*)
51 pnfge 13106 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 ∈ ℝ*𝑦 ≤ +∞)
5250, 51syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ⊆ ℝ*𝑦𝐴) → 𝑦 ≤ +∞)
5352adantlr 714 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ⊆ ℝ*𝑥 = +∞) ∧ 𝑦𝐴) → 𝑦 ≤ +∞)
54 simplr 768 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ⊆ ℝ*𝑥 = +∞) ∧ 𝑦𝐴) → 𝑥 = +∞)
5553, 54breqtrrd 5175 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ⊆ ℝ*𝑥 = +∞) ∧ 𝑦𝐴) → 𝑦𝑥)
5655ralrimiva 3147 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ⊆ ℝ*𝑥 = +∞) → ∀𝑦𝐴 𝑦𝑥)
5756adantlr 714 . . . . . . . 8 (((𝐴 ⊆ ℝ*𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑥 = +∞) → ∀𝑦𝐴 𝑦𝑥)
58 r19.2z 4493 . . . . . . . 8 ((𝐴 ≠ ∅ ∧ ∀𝑦𝐴 𝑦𝑥) → ∃𝑦𝐴 𝑦𝑥)
5949, 57, 58syl2anc 585 . . . . . . 7 (((𝐴 ⊆ ℝ*𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑥 = +∞) → ∃𝑦𝐴 𝑦𝑥)
6044, 48, 59syl2anc 585 . . . . . 6 ((((𝐴 ⊆ ℝ*𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∪ {+∞})) ∧ ¬ 𝑥𝐴) → ∃𝑦𝐴 𝑦𝑥)
6143, 60pm2.61dan 812 . . . . 5 (((𝐴 ⊆ ℝ*𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∪ {+∞})) → ∃𝑦𝐴 𝑦𝑥)
6233, 34, 35, 36, 61infleinf2 44059 . . . 4 ((𝐴 ⊆ ℝ*𝐴 ≠ ∅) → inf(𝐴, ℝ*, < ) ≤ inf((𝐴 ∪ {+∞}), ℝ*, < ))
6332, 62sylan2 594 . . 3 ((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ ¬ 𝐴 = ∅) → inf(𝐴, ℝ*, < ) ≤ inf((𝐴 ∪ {+∞}), ℝ*, < ))
6431, 63pm2.61dan 812 . 2 (𝐴 ⊆ ℝ* → inf(𝐴, ℝ*, < ) ≤ inf((𝐴 ∪ {+∞}), ℝ*, < ))
657, 8, 12, 64xrletrid 13130 1 (𝐴 ⊆ ℝ* → inf((𝐴 ∪ {+∞}), ℝ*, < ) = inf(𝐴, ℝ*, < ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 397   = wceq 1542  wcel 2107  wne 2941  wral 3062  wrex 3071  cun 3945  wss 3947  c0 4321  {csn 4627   class class class wbr 5147   Or wor 5586  infcinf 9432  +∞cpnf 11241  *cxr 11243   < clt 11244  cle 11245
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7720  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183  ax-pre-sup 11184
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-id 5573  df-po 5587  df-so 5588  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-er 8699  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-sup 9433  df-inf 9434  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443
This theorem is referenced by:  infxrpnf2  44108
  Copyright terms: Public domain W3C validator