Theorem infsupprpr 9462

Description: The infimum of a proper pair is less than the supremum of this pair. (Contributed by AV, 13-Mar-2023.)

Assertion

Ref	Expression
infsupprpr	⊢ ((𝑅 Or 𝐴 ∧ (𝐵 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶)) → inf({𝐵, 𝐶}, 𝐴, 𝑅)𝑅sup({𝐵, 𝐶}, 𝐴, 𝑅))

Proof of Theorem infsupprpr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		solin 5596	. . . 4 ⊢ ((𝑅 Or 𝐴 ∧ (𝐵 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴)) → (𝐵𝑅𝐶 ∨ 𝐵 = 𝐶 ∨ 𝐶𝑅𝐵))
2	1	3adantr3 1190	. . 3 ⊢ ((𝑅 Or 𝐴 ∧ (𝐵 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶)) → (𝐵𝑅𝐶 ∨ 𝐵 = 𝐶 ∨ 𝐶𝑅𝐵))
3		iftrue 4493	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵𝑅𝐶 → if(𝐵𝑅𝐶, 𝐵, 𝐶) = 𝐵)
4	3	adantr 485	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵𝑅𝐶 ∧ (𝑅 Or 𝐴 ∧ (𝐵 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶))) → if(𝐵𝑅𝐶, 𝐵, 𝐶) = 𝐵)
5		sotric 5599	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅 Or 𝐴 ∧ (𝐵 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴)) → (𝐵𝑅𝐶 ↔ ¬ (𝐵 = 𝐶 ∨ 𝐶𝑅𝐵)))
6	5	3adantr3 1190	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 Or 𝐴 ∧ (𝐵 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶)) → (𝐵𝑅𝐶 ↔ ¬ (𝐵 = 𝐶 ∨ 𝐶𝑅𝐵)))
7	6	biimpac 483	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵𝑅𝐶 ∧ (𝑅 Or 𝐴 ∧ (𝐵 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶))) → ¬ (𝐵 = 𝐶 ∨ 𝐶𝑅𝐵))
8		ioran 999	. . . . . . . 8 ⊢ (¬ (𝐵 = 𝐶 ∨ 𝐶𝑅𝐵) ↔ (¬ 𝐵 = 𝐶 ∧ ¬ 𝐶𝑅𝐵))
9		simprl 782	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((¬ 𝐶𝑅𝐵 ∧ (𝐵𝑅𝐶 ∧ (𝑅 Or 𝐴 ∧ (𝐵 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶)))) → 𝐵𝑅𝐶)
10		iffalse 4496	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (¬ 𝐶𝑅𝐵 → if(𝐶𝑅𝐵, 𝐵, 𝐶) = 𝐶)
11	10	adantr 485	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((¬ 𝐶𝑅𝐵 ∧ (𝐵𝑅𝐶 ∧ (𝑅 Or 𝐴 ∧ (𝐵 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶)))) → if(𝐶𝑅𝐵, 𝐵, 𝐶) = 𝐶)
12	9, 11	breqtrrd 5139	. . . . . . . . 9 ⊢ ((¬ 𝐶𝑅𝐵 ∧ (𝐵𝑅𝐶 ∧ (𝑅 Or 𝐴 ∧ (𝐵 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶)))) → 𝐵𝑅if(𝐶𝑅𝐵, 𝐵, 𝐶))
13	12	ex 417	. . . . . . . 8 ⊢ (¬ 𝐶𝑅𝐵 → ((𝐵𝑅𝐶 ∧ (𝑅 Or 𝐴 ∧ (𝐵 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶))) → 𝐵𝑅if(𝐶𝑅𝐵, 𝐵, 𝐶)))
14	8, 13	simplbiim 513	. . . . . . 7 ⊢ (¬ (𝐵 = 𝐶 ∨ 𝐶𝑅𝐵) → ((𝐵𝑅𝐶 ∧ (𝑅 Or 𝐴 ∧ (𝐵 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶))) → 𝐵𝑅if(𝐶𝑅𝐵, 𝐵, 𝐶)))
15	7, 14	mpcom 39	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵𝑅𝐶 ∧ (𝑅 Or 𝐴 ∧ (𝐵 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶))) → 𝐵𝑅if(𝐶𝑅𝐵, 𝐵, 𝐶))
16	4, 15	eqbrtrd 5133	. . . . 5 ⊢ ((𝐵𝑅𝐶 ∧ (𝑅 Or 𝐴 ∧ (𝐵 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶))) → if(𝐵𝑅𝐶, 𝐵, 𝐶)𝑅if(𝐶𝑅𝐵, 𝐵, 𝐶))
17	16	ex 417	. . . 4 ⊢ (𝐵𝑅𝐶 → ((𝑅 Or 𝐴 ∧ (𝐵 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶)) → if(𝐵𝑅𝐶, 𝐵, 𝐶)𝑅if(𝐶𝑅𝐵, 𝐵, 𝐶)))
18		eqneqall 2969	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 = 𝐶 → (𝐵 ≠ 𝐶 → if(𝐵𝑅𝐶, 𝐵, 𝐶)𝑅if(𝐶𝑅𝐵, 𝐵, 𝐶)))
19	18	2a1d 27	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 = 𝐶 → (𝐵 ∈ 𝐴 → (𝐶 ∈ 𝐴 → (𝐵 ≠ 𝐶 → if(𝐵𝑅𝐶, 𝐵, 𝐶)𝑅if(𝐶𝑅𝐵, 𝐵, 𝐶)))))
20	19	3impd 1367	. . . . 5 ⊢ (𝐵 = 𝐶 → ((𝐵 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶) → if(𝐵𝑅𝐶, 𝐵, 𝐶)𝑅if(𝐶𝑅𝐵, 𝐵, 𝐶)))
21	20	adantld 495	. . . 4 ⊢ (𝐵 = 𝐶 → ((𝑅 Or 𝐴 ∧ (𝐵 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶)) → if(𝐵𝑅𝐶, 𝐵, 𝐶)𝑅if(𝐶𝑅𝐵, 𝐵, 𝐶)))
22		pm3.22 464	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴) → (𝐶 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ 𝐴))
23	22	3adant3 1150	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶) → (𝐶 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ 𝐴))
24		sotric 5599	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅 Or 𝐴 ∧ (𝐶 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ 𝐴)) → (𝐶𝑅𝐵 ↔ ¬ (𝐶 = 𝐵 ∨ 𝐵𝑅𝐶)))
25	24	biimpd 232	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 Or 𝐴 ∧ (𝐶 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ 𝐴)) → (𝐶𝑅𝐵 → ¬ (𝐶 = 𝐵 ∨ 𝐵𝑅𝐶)))
26	23, 25	sylan2 604	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 Or 𝐴 ∧ (𝐵 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶)) → (𝐶𝑅𝐵 → ¬ (𝐶 = 𝐵 ∨ 𝐵𝑅𝐶)))
27	26	impcom 412	. . . . . 6 ⊢ ((𝐶𝑅𝐵 ∧ (𝑅 Or 𝐴 ∧ (𝐵 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶))) → ¬ (𝐶 = 𝐵 ∨ 𝐵𝑅𝐶))
28		ioran 999	. . . . . . 7 ⊢ (¬ (𝐶 = 𝐵 ∨ 𝐵𝑅𝐶) ↔ (¬ 𝐶 = 𝐵 ∧ ¬ 𝐵𝑅𝐶))
29		simpr 489	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((¬ 𝐵𝑅𝐶 ∧ 𝐶𝑅𝐵) → 𝐶𝑅𝐵)
30		iffalse 4496	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (¬ 𝐵𝑅𝐶 → if(𝐵𝑅𝐶, 𝐵, 𝐶) = 𝐶)
31		iftrue 4493	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐶𝑅𝐵 → if(𝐶𝑅𝐵, 𝐵, 𝐶) = 𝐵)
32	30, 31	breqan12d 5125	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((¬ 𝐵𝑅𝐶 ∧ 𝐶𝑅𝐵) → (if(𝐵𝑅𝐶, 𝐵, 𝐶)𝑅if(𝐶𝑅𝐵, 𝐵, 𝐶) ↔ 𝐶𝑅𝐵))
33	29, 32	mpbird 260	. . . . . . . . 9 ⊢ ((¬ 𝐵𝑅𝐶 ∧ 𝐶𝑅𝐵) → if(𝐵𝑅𝐶, 𝐵, 𝐶)𝑅if(𝐶𝑅𝐵, 𝐵, 𝐶))
34	33	a1d 26	. . . . . . . 8 ⊢ ((¬ 𝐵𝑅𝐶 ∧ 𝐶𝑅𝐵) → ((𝑅 Or 𝐴 ∧ (𝐵 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶)) → if(𝐵𝑅𝐶, 𝐵, 𝐶)𝑅if(𝐶𝑅𝐵, 𝐵, 𝐶)))
35	34	expimpd 458	. . . . . . 7 ⊢ (¬ 𝐵𝑅𝐶 → ((𝐶𝑅𝐵 ∧ (𝑅 Or 𝐴 ∧ (𝐵 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶))) → if(𝐵𝑅𝐶, 𝐵, 𝐶)𝑅if(𝐶𝑅𝐵, 𝐵, 𝐶)))
36	28, 35	simplbiim 513	. . . . . 6 ⊢ (¬ (𝐶 = 𝐵 ∨ 𝐵𝑅𝐶) → ((𝐶𝑅𝐵 ∧ (𝑅 Or 𝐴 ∧ (𝐵 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶))) → if(𝐵𝑅𝐶, 𝐵, 𝐶)𝑅if(𝐶𝑅𝐵, 𝐵, 𝐶)))
37	27, 36	mpcom 39	. . . . 5 ⊢ ((𝐶𝑅𝐵 ∧ (𝑅 Or 𝐴 ∧ (𝐵 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶))) → if(𝐵𝑅𝐶, 𝐵, 𝐶)𝑅if(𝐶𝑅𝐵, 𝐵, 𝐶))
38	37	ex 417	. . . 4 ⊢ (𝐶𝑅𝐵 → ((𝑅 Or 𝐴 ∧ (𝐵 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶)) → if(𝐵𝑅𝐶, 𝐵, 𝐶)𝑅if(𝐶𝑅𝐵, 𝐵, 𝐶)))
39	17, 21, 38	3jaoi 1454	. . 3 ⊢ ((𝐵𝑅𝐶 ∨ 𝐵 = 𝐶 ∨ 𝐶𝑅𝐵) → ((𝑅 Or 𝐴 ∧ (𝐵 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶)) → if(𝐵𝑅𝐶, 𝐵, 𝐶)𝑅if(𝐶𝑅𝐵, 𝐵, 𝐶)))
40	2, 39	mpcom 39	. 2 ⊢ ((𝑅 Or 𝐴 ∧ (𝐵 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶)) → if(𝐵𝑅𝐶, 𝐵, 𝐶)𝑅if(𝐶𝑅𝐵, 𝐵, 𝐶))
41		infpr 9461	. . . 4 ⊢ ((𝑅 Or 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴) → inf({𝐵, 𝐶}, 𝐴, 𝑅) = if(𝐵𝑅𝐶, 𝐵, 𝐶))
42		suppr 9428	. . . 4 ⊢ ((𝑅 Or 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴) → sup({𝐵, 𝐶}, 𝐴, 𝑅) = if(𝐶𝑅𝐵, 𝐵, 𝐶))
43	41, 42	breq12d 5122	. . 3 ⊢ ((𝑅 Or 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴) → (inf({𝐵, 𝐶}, 𝐴, 𝑅)𝑅sup({𝐵, 𝐶}, 𝐴, 𝑅) ↔ if(𝐵𝑅𝐶, 𝐵, 𝐶)𝑅if(𝐶𝑅𝐵, 𝐵, 𝐶)))
44	43	3adant3r3 1203	. 2 ⊢ ((𝑅 Or 𝐴 ∧ (𝐵 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶)) → (inf({𝐵, 𝐶}, 𝐴, 𝑅)𝑅sup({𝐵, 𝐶}, 𝐴, 𝑅) ↔ if(𝐵𝑅𝐶, 𝐵, 𝐶)𝑅if(𝐶𝑅𝐵, 𝐵, 𝐶)))
45	40, 44	mpbird 260	1 ⊢ ((𝑅 Or 𝐴 ∧ (𝐵 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶)) → inf({𝐵, 𝐶}, 𝐴, 𝑅)𝑅sup({𝐵, 𝐶}, 𝐴, 𝑅))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   ∨ wo 860   ∨ w3o 1102   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2143   ≠ wne 2958  ifcif 4487  {cpr 4591   class class class wbr 5109   Or wor 5568  supcsup 9396  infcinf 9397

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-sep 5257  ax-pr 5404

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-nul 4287  df-if 4488  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4873  df-br 5110  df-opab 5174  df-po 5569  df-so 5570  df-cnv 5669  df-iota 6492  df-riota 7367  df-sup 9398  df-inf 9399

This theorem is used by:  prproropf1olem2  48281