Proof of Theorem infsupprpr
| Step | Hyp | Ref | Expression | 
|---|
| 1 |  | solin 5618 | . . . 4
⊢ ((𝑅 Or 𝐴 ∧ (𝐵 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴)) → (𝐵𝑅𝐶 ∨ 𝐵 = 𝐶 ∨ 𝐶𝑅𝐵)) | 
| 2 | 1 | 3adantr3 1171 | . . 3
⊢ ((𝑅 Or 𝐴 ∧ (𝐵 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶)) → (𝐵𝑅𝐶 ∨ 𝐵 = 𝐶 ∨ 𝐶𝑅𝐵)) | 
| 3 |  | iftrue 4530 | . . . . . . 7
⊢ (𝐵𝑅𝐶 → if(𝐵𝑅𝐶, 𝐵, 𝐶) = 𝐵) | 
| 4 | 3 | adantr 480 | . . . . . 6
⊢ ((𝐵𝑅𝐶 ∧ (𝑅 Or 𝐴 ∧ (𝐵 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶))) → if(𝐵𝑅𝐶, 𝐵, 𝐶) = 𝐵) | 
| 5 |  | sotric 5621 | . . . . . . . . 9
⊢ ((𝑅 Or 𝐴 ∧ (𝐵 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴)) → (𝐵𝑅𝐶 ↔ ¬ (𝐵 = 𝐶 ∨ 𝐶𝑅𝐵))) | 
| 6 | 5 | 3adantr3 1171 | . . . . . . . 8
⊢ ((𝑅 Or 𝐴 ∧ (𝐵 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶)) → (𝐵𝑅𝐶 ↔ ¬ (𝐵 = 𝐶 ∨ 𝐶𝑅𝐵))) | 
| 7 | 6 | biimpac 478 | . . . . . . 7
⊢ ((𝐵𝑅𝐶 ∧ (𝑅 Or 𝐴 ∧ (𝐵 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶))) → ¬ (𝐵 = 𝐶 ∨ 𝐶𝑅𝐵)) | 
| 8 |  | ioran 985 | . . . . . . . 8
⊢ (¬
(𝐵 = 𝐶 ∨ 𝐶𝑅𝐵) ↔ (¬ 𝐵 = 𝐶 ∧ ¬ 𝐶𝑅𝐵)) | 
| 9 |  | simprl 770 | . . . . . . . . . 10
⊢ ((¬
𝐶𝑅𝐵 ∧ (𝐵𝑅𝐶 ∧ (𝑅 Or 𝐴 ∧ (𝐵 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶)))) → 𝐵𝑅𝐶) | 
| 10 |  | iffalse 4533 | . . . . . . . . . . 11
⊢ (¬
𝐶𝑅𝐵 → if(𝐶𝑅𝐵, 𝐵, 𝐶) = 𝐶) | 
| 11 | 10 | adantr 480 | . . . . . . . . . 10
⊢ ((¬
𝐶𝑅𝐵 ∧ (𝐵𝑅𝐶 ∧ (𝑅 Or 𝐴 ∧ (𝐵 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶)))) → if(𝐶𝑅𝐵, 𝐵, 𝐶) = 𝐶) | 
| 12 | 9, 11 | breqtrrd 5170 | . . . . . . . . 9
⊢ ((¬
𝐶𝑅𝐵 ∧ (𝐵𝑅𝐶 ∧ (𝑅 Or 𝐴 ∧ (𝐵 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶)))) → 𝐵𝑅if(𝐶𝑅𝐵, 𝐵, 𝐶)) | 
| 13 | 12 | ex 412 | . . . . . . . 8
⊢ (¬
𝐶𝑅𝐵 → ((𝐵𝑅𝐶 ∧ (𝑅 Or 𝐴 ∧ (𝐵 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶))) → 𝐵𝑅if(𝐶𝑅𝐵, 𝐵, 𝐶))) | 
| 14 | 8, 13 | simplbiim 504 | . . . . . . 7
⊢ (¬
(𝐵 = 𝐶 ∨ 𝐶𝑅𝐵) → ((𝐵𝑅𝐶 ∧ (𝑅 Or 𝐴 ∧ (𝐵 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶))) → 𝐵𝑅if(𝐶𝑅𝐵, 𝐵, 𝐶))) | 
| 15 | 7, 14 | mpcom 38 | . . . . . 6
⊢ ((𝐵𝑅𝐶 ∧ (𝑅 Or 𝐴 ∧ (𝐵 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶))) → 𝐵𝑅if(𝐶𝑅𝐵, 𝐵, 𝐶)) | 
| 16 | 4, 15 | eqbrtrd 5164 | . . . . 5
⊢ ((𝐵𝑅𝐶 ∧ (𝑅 Or 𝐴 ∧ (𝐵 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶))) → if(𝐵𝑅𝐶, 𝐵, 𝐶)𝑅if(𝐶𝑅𝐵, 𝐵, 𝐶)) | 
| 17 | 16 | ex 412 | . . . 4
⊢ (𝐵𝑅𝐶 → ((𝑅 Or 𝐴 ∧ (𝐵 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶)) → if(𝐵𝑅𝐶, 𝐵, 𝐶)𝑅if(𝐶𝑅𝐵, 𝐵, 𝐶))) | 
| 18 |  | eqneqall 2950 | . . . . . . 7
⊢ (𝐵 = 𝐶 → (𝐵 ≠ 𝐶 → if(𝐵𝑅𝐶, 𝐵, 𝐶)𝑅if(𝐶𝑅𝐵, 𝐵, 𝐶))) | 
| 19 | 18 | 2a1d 26 | . . . . . 6
⊢ (𝐵 = 𝐶 → (𝐵 ∈ 𝐴 → (𝐶 ∈ 𝐴 → (𝐵 ≠ 𝐶 → if(𝐵𝑅𝐶, 𝐵, 𝐶)𝑅if(𝐶𝑅𝐵, 𝐵, 𝐶))))) | 
| 20 | 19 | 3impd 1348 | . . . . 5
⊢ (𝐵 = 𝐶 → ((𝐵 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶) → if(𝐵𝑅𝐶, 𝐵, 𝐶)𝑅if(𝐶𝑅𝐵, 𝐵, 𝐶))) | 
| 21 | 20 | adantld 490 | . . . 4
⊢ (𝐵 = 𝐶 → ((𝑅 Or 𝐴 ∧ (𝐵 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶)) → if(𝐵𝑅𝐶, 𝐵, 𝐶)𝑅if(𝐶𝑅𝐵, 𝐵, 𝐶))) | 
| 22 |  | pm3.22 459 | . . . . . . . . 9
⊢ ((𝐵 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴) → (𝐶 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ 𝐴)) | 
| 23 | 22 | 3adant3 1132 | . . . . . . . 8
⊢ ((𝐵 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶) → (𝐶 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ 𝐴)) | 
| 24 |  | sotric 5621 | . . . . . . . . 9
⊢ ((𝑅 Or 𝐴 ∧ (𝐶 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ 𝐴)) → (𝐶𝑅𝐵 ↔ ¬ (𝐶 = 𝐵 ∨ 𝐵𝑅𝐶))) | 
| 25 | 24 | biimpd 229 | . . . . . . . 8
⊢ ((𝑅 Or 𝐴 ∧ (𝐶 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ 𝐴)) → (𝐶𝑅𝐵 → ¬ (𝐶 = 𝐵 ∨ 𝐵𝑅𝐶))) | 
| 26 | 23, 25 | sylan2 593 | . . . . . . 7
⊢ ((𝑅 Or 𝐴 ∧ (𝐵 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶)) → (𝐶𝑅𝐵 → ¬ (𝐶 = 𝐵 ∨ 𝐵𝑅𝐶))) | 
| 27 | 26 | impcom 407 | . . . . . 6
⊢ ((𝐶𝑅𝐵 ∧ (𝑅 Or 𝐴 ∧ (𝐵 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶))) → ¬ (𝐶 = 𝐵 ∨ 𝐵𝑅𝐶)) | 
| 28 |  | ioran 985 | . . . . . . 7
⊢ (¬
(𝐶 = 𝐵 ∨ 𝐵𝑅𝐶) ↔ (¬ 𝐶 = 𝐵 ∧ ¬ 𝐵𝑅𝐶)) | 
| 29 |  | simpr 484 | . . . . . . . . . 10
⊢ ((¬
𝐵𝑅𝐶 ∧ 𝐶𝑅𝐵) → 𝐶𝑅𝐵) | 
| 30 |  | iffalse 4533 | . . . . . . . . . . 11
⊢ (¬
𝐵𝑅𝐶 → if(𝐵𝑅𝐶, 𝐵, 𝐶) = 𝐶) | 
| 31 |  | iftrue 4530 | . . . . . . . . . . 11
⊢ (𝐶𝑅𝐵 → if(𝐶𝑅𝐵, 𝐵, 𝐶) = 𝐵) | 
| 32 | 30, 31 | breqan12d 5158 | . . . . . . . . . 10
⊢ ((¬
𝐵𝑅𝐶 ∧ 𝐶𝑅𝐵) → (if(𝐵𝑅𝐶, 𝐵, 𝐶)𝑅if(𝐶𝑅𝐵, 𝐵, 𝐶) ↔ 𝐶𝑅𝐵)) | 
| 33 | 29, 32 | mpbird 257 | . . . . . . . . 9
⊢ ((¬
𝐵𝑅𝐶 ∧ 𝐶𝑅𝐵) → if(𝐵𝑅𝐶, 𝐵, 𝐶)𝑅if(𝐶𝑅𝐵, 𝐵, 𝐶)) | 
| 34 | 33 | a1d 25 | . . . . . . . 8
⊢ ((¬
𝐵𝑅𝐶 ∧ 𝐶𝑅𝐵) → ((𝑅 Or 𝐴 ∧ (𝐵 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶)) → if(𝐵𝑅𝐶, 𝐵, 𝐶)𝑅if(𝐶𝑅𝐵, 𝐵, 𝐶))) | 
| 35 | 34 | expimpd 453 | . . . . . . 7
⊢ (¬
𝐵𝑅𝐶 → ((𝐶𝑅𝐵 ∧ (𝑅 Or 𝐴 ∧ (𝐵 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶))) → if(𝐵𝑅𝐶, 𝐵, 𝐶)𝑅if(𝐶𝑅𝐵, 𝐵, 𝐶))) | 
| 36 | 28, 35 | simplbiim 504 | . . . . . 6
⊢ (¬
(𝐶 = 𝐵 ∨ 𝐵𝑅𝐶) → ((𝐶𝑅𝐵 ∧ (𝑅 Or 𝐴 ∧ (𝐵 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶))) → if(𝐵𝑅𝐶, 𝐵, 𝐶)𝑅if(𝐶𝑅𝐵, 𝐵, 𝐶))) | 
| 37 | 27, 36 | mpcom 38 | . . . . 5
⊢ ((𝐶𝑅𝐵 ∧ (𝑅 Or 𝐴 ∧ (𝐵 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶))) → if(𝐵𝑅𝐶, 𝐵, 𝐶)𝑅if(𝐶𝑅𝐵, 𝐵, 𝐶)) | 
| 38 | 37 | ex 412 | . . . 4
⊢ (𝐶𝑅𝐵 → ((𝑅 Or 𝐴 ∧ (𝐵 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶)) → if(𝐵𝑅𝐶, 𝐵, 𝐶)𝑅if(𝐶𝑅𝐵, 𝐵, 𝐶))) | 
| 39 | 17, 21, 38 | 3jaoi 1429 | . . 3
⊢ ((𝐵𝑅𝐶 ∨ 𝐵 = 𝐶 ∨ 𝐶𝑅𝐵) → ((𝑅 Or 𝐴 ∧ (𝐵 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶)) → if(𝐵𝑅𝐶, 𝐵, 𝐶)𝑅if(𝐶𝑅𝐵, 𝐵, 𝐶))) | 
| 40 | 2, 39 | mpcom 38 | . 2
⊢ ((𝑅 Or 𝐴 ∧ (𝐵 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶)) → if(𝐵𝑅𝐶, 𝐵, 𝐶)𝑅if(𝐶𝑅𝐵, 𝐵, 𝐶)) | 
| 41 |  | infpr 9544 | . . . 4
⊢ ((𝑅 Or 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴) → inf({𝐵, 𝐶}, 𝐴, 𝑅) = if(𝐵𝑅𝐶, 𝐵, 𝐶)) | 
| 42 |  | suppr 9512 | . . . 4
⊢ ((𝑅 Or 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴) → sup({𝐵, 𝐶}, 𝐴, 𝑅) = if(𝐶𝑅𝐵, 𝐵, 𝐶)) | 
| 43 | 41, 42 | breq12d 5155 | . . 3
⊢ ((𝑅 Or 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴) → (inf({𝐵, 𝐶}, 𝐴, 𝑅)𝑅sup({𝐵, 𝐶}, 𝐴, 𝑅) ↔ if(𝐵𝑅𝐶, 𝐵, 𝐶)𝑅if(𝐶𝑅𝐵, 𝐵, 𝐶))) | 
| 44 | 43 | 3adant3r3 1184 | . 2
⊢ ((𝑅 Or 𝐴 ∧ (𝐵 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶)) → (inf({𝐵, 𝐶}, 𝐴, 𝑅)𝑅sup({𝐵, 𝐶}, 𝐴, 𝑅) ↔ if(𝐵𝑅𝐶, 𝐵, 𝐶)𝑅if(𝐶𝑅𝐵, 𝐵, 𝐶))) | 
| 45 | 40, 44 | mpbird 257 | 1
⊢ ((𝑅 Or 𝐴 ∧ (𝐵 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶)) → inf({𝐵, 𝐶}, 𝐴, 𝑅)𝑅sup({𝐵, 𝐶}, 𝐴, 𝑅)) |