Theorem inidl 38534

Description: The intersection of two ideals is an ideal. (Contributed by Jeff Madsen, 16-Jun-2011.)

Assertion

Ref	Expression
inidl	⊢ ((𝑅 ∈ RingOps ∧ 𝐼 ∈ (Idl‘𝑅) ∧ 𝐽 ∈ (Idl‘𝑅)) → (𝐼 ∩ 𝐽) ∈ (Idl‘𝑅))

Proof of Theorem inidl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		intprg 4940	. . 3 ⊢ ((𝐼 ∈ (Idl‘𝑅) ∧ 𝐽 ∈ (Idl‘𝑅)) → ∩ {𝐼, 𝐽} = (𝐼 ∩ 𝐽))
2	1	3adant1 1144	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ RingOps ∧ 𝐼 ∈ (Idl‘𝑅) ∧ 𝐽 ∈ (Idl‘𝑅)) → ∩ {𝐼, 𝐽} = (𝐼 ∩ 𝐽))
3		prnzg 4738	. . . . . 6 ⊢ (𝐼 ∈ (Idl‘𝑅) → {𝐼, 𝐽} ≠ ∅)
4	3	adantr 484	. . . . 5 ⊢ ((𝐼 ∈ (Idl‘𝑅) ∧ 𝐽 ∈ (Idl‘𝑅)) → {𝐼, 𝐽} ≠ ∅)
5		prssi 4780	. . . . 5 ⊢ ((𝐼 ∈ (Idl‘𝑅) ∧ 𝐽 ∈ (Idl‘𝑅)) → {𝐼, 𝐽} ⊆ (Idl‘𝑅))
6	4, 5	jca 519	. . . 4 ⊢ ((𝐼 ∈ (Idl‘𝑅) ∧ 𝐽 ∈ (Idl‘𝑅)) → ({𝐼, 𝐽} ≠ ∅ ∧ {𝐼, 𝐽} ⊆ (Idl‘𝑅)))
7		intidl 38533	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ RingOps ∧ {𝐼, 𝐽} ≠ ∅ ∧ {𝐼, 𝐽} ⊆ (Idl‘𝑅)) → ∩ {𝐼, 𝐽} ∈ (Idl‘𝑅))
8	7	3expb 1134	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ RingOps ∧ ({𝐼, 𝐽} ≠ ∅ ∧ {𝐼, 𝐽} ⊆ (Idl‘𝑅))) → ∩ {𝐼, 𝐽} ∈ (Idl‘𝑅))
9	6, 8	sylan2 602	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ RingOps ∧ (𝐼 ∈ (Idl‘𝑅) ∧ 𝐽 ∈ (Idl‘𝑅))) → ∩ {𝐼, 𝐽} ∈ (Idl‘𝑅))
10	9	3impb 1128	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ RingOps ∧ 𝐼 ∈ (Idl‘𝑅) ∧ 𝐽 ∈ (Idl‘𝑅)) → ∩ {𝐼, 𝐽} ∈ (Idl‘𝑅))
11	2, 10	eqeltrrd 2864	1 ⊢ ((𝑅 ∈ RingOps ∧ 𝐼 ∈ (Idl‘𝑅) ∧ 𝐽 ∈ (Idl‘𝑅)) → (𝐼 ∩ 𝐽) ∈ (Idl‘𝑅))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   ∧ w3a 1099   = wceq 1561   ∈ wcel 2143   ≠ wne 2958   ∩ cin 3904   ⊆ wss 3905  ∅c0 4286  {cpr 4585  ∩ cint 4906  ‘cfv 6521  RingOpscrngo 38398  Idlcidl 38511

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1816  ax-4 1830  ax-5 1931  ax-6 1988  ax-7 2029  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-sep 5247  ax-nul 5257  ax-pow 5323  ax-pr 5391  ax-un 7718

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3an 1101  df-tru 1564  df-fal 1574  df-ex 1801  df-nf 1805  df-sb 2092  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rab 3416  df-v 3457  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-nul 4287  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-uni 4867  df-int 4907  df-br 5102  df-opab 5164  df-mpt 5183  df-id 5543  df-xp 5654  df-rel 5655  df-cnv 5656  df-co 5657  df-dm 5658  df-rn 5659  df-iota 6477  df-fun 6523  df-fv 6529  df-ov 7399  df-idl 38514

This theorem is referenced by: (None)