Theorem inidl 38049

Description: The intersection of two ideals is an ideal. (Contributed by Jeff Madsen, 16-Jun-2011.)

Assertion

Ref	Expression
inidl	⊢ ((𝑅 ∈ RingOps ∧ 𝐼 ∈ (Idl‘𝑅) ∧ 𝐽 ∈ (Idl‘𝑅)) → (𝐼 ∩ 𝐽) ∈ (Idl‘𝑅))

Proof of Theorem inidl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		intprg 4929	. . 3 ⊢ ((𝐼 ∈ (Idl‘𝑅) ∧ 𝐽 ∈ (Idl‘𝑅)) → ∩ {𝐼, 𝐽} = (𝐼 ∩ 𝐽))
2	1	3adant1 1130	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ RingOps ∧ 𝐼 ∈ (Idl‘𝑅) ∧ 𝐽 ∈ (Idl‘𝑅)) → ∩ {𝐼, 𝐽} = (𝐼 ∩ 𝐽))
3		prnzg 4729	. . . . . 6 ⊢ (𝐼 ∈ (Idl‘𝑅) → {𝐼, 𝐽} ≠ ∅)
4	3	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝐼 ∈ (Idl‘𝑅) ∧ 𝐽 ∈ (Idl‘𝑅)) → {𝐼, 𝐽} ≠ ∅)
5		prssi 4771	. . . . 5 ⊢ ((𝐼 ∈ (Idl‘𝑅) ∧ 𝐽 ∈ (Idl‘𝑅)) → {𝐼, 𝐽} ⊆ (Idl‘𝑅))
6	4, 5	jca 511	. . . 4 ⊢ ((𝐼 ∈ (Idl‘𝑅) ∧ 𝐽 ∈ (Idl‘𝑅)) → ({𝐼, 𝐽} ≠ ∅ ∧ {𝐼, 𝐽} ⊆ (Idl‘𝑅)))
7		intidl 38048	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ RingOps ∧ {𝐼, 𝐽} ≠ ∅ ∧ {𝐼, 𝐽} ⊆ (Idl‘𝑅)) → ∩ {𝐼, 𝐽} ∈ (Idl‘𝑅))
8	7	3expb 1120	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ RingOps ∧ ({𝐼, 𝐽} ≠ ∅ ∧ {𝐼, 𝐽} ⊆ (Idl‘𝑅))) → ∩ {𝐼, 𝐽} ∈ (Idl‘𝑅))
9	6, 8	sylan2 593	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ RingOps ∧ (𝐼 ∈ (Idl‘𝑅) ∧ 𝐽 ∈ (Idl‘𝑅))) → ∩ {𝐼, 𝐽} ∈ (Idl‘𝑅))
10	9	3impb 1114	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ RingOps ∧ 𝐼 ∈ (Idl‘𝑅) ∧ 𝐽 ∈ (Idl‘𝑅)) → ∩ {𝐼, 𝐽} ∈ (Idl‘𝑅))
11	2, 10	eqeltrrd 2830	1 ⊢ ((𝑅 ∈ RingOps ∧ 𝐼 ∈ (Idl‘𝑅) ∧ 𝐽 ∈ (Idl‘𝑅)) → (𝐼 ∩ 𝐽) ∈ (Idl‘𝑅))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1541   ∈ wcel 2110   ≠ wne 2926   ∩ cin 3899   ⊆ wss 3900  ∅c0 4281  {cpr 4576  ∩ cint 4895  ‘cfv 6477  RingOpscrngo 37913  Idlcidl 38026

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2179  ax-ext 2702  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5301  ax-pr 5368  ax-un 7663

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rab 3394  df-v 3436  df-dif 3903  df-un 3905  df-in 3907  df-ss 3917  df-nul 4282  df-if 4474  df-pw 4550  df-sn 4575  df-pr 4577  df-op 4581  df-uni 4858  df-int 4896  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5171  df-id 5509  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-iota 6433  df-fun 6479  df-fv 6485  df-ov 7344  df-idl 38029

This theorem is referenced by: (None)