Theorem inrresf 9497

Description: The right injection restricted to the right class of a disjoint union is a function from the right class into the disjoint union. (Contributed by AV, 27-Jun-2022.)

Assertion

Ref	Expression
inrresf	⊢ (inr ↾ 𝐵):𝐵⟶(𝐴 ⊔ 𝐵)

Proof of Theorem inrresf

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		djurf1o 9494	. . 3 ⊢ inr:V–1-1-onto→({1o} × V)
2		f1ofun 6641	. . 3 ⊢ (inr:V–1-1-onto→({1o} × V) → Fun inr)
3		ffvresb 6919	. . 3 ⊢ (Fun inr → ((inr ↾ 𝐵):𝐵⟶(𝐴 ⊔ 𝐵) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐵 (𝑥 ∈ dom inr ∧ (inr‘𝑥) ∈ (𝐴 ⊔ 𝐵))))
4	1, 2, 3	mp2b 10	. 2 ⊢ ((inr ↾ 𝐵):𝐵⟶(𝐴 ⊔ 𝐵) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐵 (𝑥 ∈ dom inr ∧ (inr‘𝑥) ∈ (𝐴 ⊔ 𝐵)))
5		elex 3416	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐵 → 𝑥 ∈ V)
6		opex 5333	. . . . 5 ⊢ ⟨1o, 𝑥⟩ ∈ V
7		df-inr 9484	. . . . 5 ⊢ inr = (𝑥 ∈ V ↦ ⟨1o, 𝑥⟩)
8	6, 7	dmmpti 6500	. . . 4 ⊢ dom inr = V
9	5, 8	eleqtrrdi 2842	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐵 → 𝑥 ∈ dom inr)
10		djurcl 9492	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐵 → (inr‘𝑥) ∈ (𝐴 ⊔ 𝐵))
11	9, 10	jca 515	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐵 → (𝑥 ∈ dom inr ∧ (inr‘𝑥) ∈ (𝐴 ⊔ 𝐵)))
12	4, 11	mprgbir 3066	1 ⊢ (inr ↾ 𝐵):𝐵⟶(𝐴 ⊔ 𝐵)

Syntax hints:   ↔ wb 209   ∧ wa 399   ∈ wcel 2112  ∀wral 3051  Vcvv 3398  {csn 4527  ⟨cop 4533   × cxp 5534  dom cdm 5536   ↾ cres 5538  Fun wfun 6352  ⟶wf 6354  –1-1-onto→wf1o 6357  ‘cfv 6358  1_oc1o 8173   ⊔ cdju 9479  inrcinr 9481

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2018  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2160  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5177  ax-nul 5184  ax-pr 5307  ax-un 7501

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3or 1090  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2073  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2809  df-nfc 2879  df-ne 2933  df-ral 3056  df-rex 3057  df-rab 3060  df-v 3400  df-sbc 3684  df-dif 3856  df-un 3858  df-in 3860  df-ss 3870  df-pss 3872  df-nul 4224  df-if 4426  df-pw 4501  df-sn 4528  df-pr 4530  df-tp 4532  df-op 4534  df-uni 4806  df-br 5040  df-opab 5102  df-mpt 5121  df-tr 5147  df-id 5440  df-eprel 5445  df-po 5453  df-so 5454  df-fr 5494  df-we 5496  df-xp 5542  df-rel 5543  df-cnv 5544  df-co 5545  df-dm 5546  df-rn 5547  df-res 5548  df-ord 6194  df-on 6195  df-lim 6196  df-suc 6197  df-iota 6316  df-fun 6360  df-fn 6361  df-f 6362  df-f1 6363  df-fo 6364  df-f1o 6365  df-fv 6366  df-om 7623  df-1st 7739  df-2nd 7740  df-1o 8180  df-dju 9482  df-inr 9484

This theorem is referenced by:  inrresf1  9498  updjudhcoinrg  9514  updjud  9515