MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  inrresf Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem inrresf 9911
Description: The right injection restricted to the right class of a disjoint union is a function from the right class into the disjoint union. (Contributed by AV, 27-Jun-2022.)
Assertion
Ref Expression
inrresf (inr β†Ύ 𝐡):𝐡⟢(𝐴 βŠ” 𝐡)

Proof of Theorem inrresf
Dummy variable π‘₯ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 djurf1o 9908 . . 3 inr:V–1-1-ontoβ†’({1o} Γ— V)
2 f1ofun 6836 . . 3 (inr:V–1-1-ontoβ†’({1o} Γ— V) β†’ Fun inr)
3 ffvresb 7124 . . 3 (Fun inr β†’ ((inr β†Ύ 𝐡):𝐡⟢(𝐴 βŠ” 𝐡) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐡 (π‘₯ ∈ dom inr ∧ (inrβ€˜π‘₯) ∈ (𝐴 βŠ” 𝐡))))
41, 2, 3mp2b 10 . 2 ((inr β†Ύ 𝐡):𝐡⟢(𝐴 βŠ” 𝐡) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐡 (π‘₯ ∈ dom inr ∧ (inrβ€˜π‘₯) ∈ (𝐴 βŠ” 𝐡)))
5 elex 3493 . . . 4 (π‘₯ ∈ 𝐡 β†’ π‘₯ ∈ V)
6 opex 5465 . . . . 5 ⟨1o, π‘₯⟩ ∈ V
7 df-inr 9898 . . . . 5 inr = (π‘₯ ∈ V ↦ ⟨1o, π‘₯⟩)
86, 7dmmpti 6695 . . . 4 dom inr = V
95, 8eleqtrrdi 2845 . . 3 (π‘₯ ∈ 𝐡 β†’ π‘₯ ∈ dom inr)
10 djurcl 9906 . . 3 (π‘₯ ∈ 𝐡 β†’ (inrβ€˜π‘₯) ∈ (𝐴 βŠ” 𝐡))
119, 10jca 513 . 2 (π‘₯ ∈ 𝐡 β†’ (π‘₯ ∈ dom inr ∧ (inrβ€˜π‘₯) ∈ (𝐴 βŠ” 𝐡)))
124, 11mprgbir 3069 1 (inr β†Ύ 𝐡):𝐡⟢(𝐴 βŠ” 𝐡)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∈ wcel 2107  βˆ€wral 3062  Vcvv 3475  {csn 4629  βŸ¨cop 4635   Γ— cxp 5675  dom cdm 5677   β†Ύ cres 5679  Fun wfun 6538  βŸΆwf 6540  β€“1-1-ontoβ†’wf1o 6543  β€˜cfv 6544  1oc1o 8459   βŠ” cdju 9893  inrcinr 9895
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pr 5428  ax-un 7725
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rab 3434  df-v 3477  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-1o 8466  df-dju 9896  df-inr 9898
This theorem is referenced by:  inrresf1  9912  updjudhcoinrg  9928  updjud  9929
  Copyright terms: Public domain W3C validator