Theorem inrresf 9901

Description: The right injection restricted to the right class of a disjoint union is a function from the right class into the disjoint union. (Contributed by AV, 27-Jun-2022.)

Assertion

Ref	Expression
inrresf	⊢ (inr ↾ 𝐵):𝐵⟶(𝐴 ⊔ 𝐵)

Proof of Theorem inrresf

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		djurf1o 9898	. . 3 ⊢ inr:V–1-1-onto→({1o} × V)
2		f1ofun 6822	. . 3 ⊢ (inr:V–1-1-onto→({1o} × V) → Fun inr)
3		ffvresb 7121	. . 3 ⊢ (Fun inr → ((inr ↾ 𝐵):𝐵⟶(𝐴 ⊔ 𝐵) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐵 (𝑥 ∈ dom inr ∧ (inr‘𝑥) ∈ (𝐴 ⊔ 𝐵))))
4	1, 2, 3	mp2b 10	. 2 ⊢ ((inr ↾ 𝐵):𝐵⟶(𝐴 ⊔ 𝐵) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐵 (𝑥 ∈ dom inr ∧ (inr‘𝑥) ∈ (𝐴 ⊔ 𝐵)))
5		elex 3474	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐵 → 𝑥 ∈ V)
6		opex 5445	. . . . 5 ⊢ ⟨1o, 𝑥⟩ ∈ V
7		df-inr 9888	. . . . 5 ⊢ inr = (𝑥 ∈ V ↦ ⟨1o, 𝑥⟩)
8	6, 7	dmmpti 6679	. . . 4 ⊢ dom inr = V
9	5, 8	eleqtrrdi 2872	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐵 → 𝑥 ∈ dom inr)
10		djurcl 9896	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐵 → (inr‘𝑥) ∈ (𝐴 ⊔ 𝐵))
11	9, 10	jca 520	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐵 → (𝑥 ∈ dom inr ∧ (inr‘𝑥) ∈ (𝐴 ⊔ 𝐵)))
12	4, 11	mprgbir 3084	1 ⊢ (inr ↾ 𝐵):𝐵⟶(𝐴 ⊔ 𝐵)

Syntax hints:   ↔ wb 209   ∧ wa 400   ∈ wcel 2141  ∀wral 3077  Vcvv 3453  {csn 4588  ⟨cop 4594   × cxp 5659  dom cdm 5661   ↾ cres 5663  Fun wfun 6530  ⟶wf 6532  –1-1-onto→wf1o 6535  ‘cfv 6536  1_oc1o 8445   ⊔ cdju 9883  inrcinr 9885

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1823  ax-4 1837  ax-5 1938  ax-6 1995  ax-7 2036  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-sep 5256  ax-nul 5268  ax-pr 5404  ax-un 7732

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1571  df-fal 1581  df-ex 1808  df-nf 1812  df-sb 2095  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rab 3415  df-v 3455  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4487  df-pw 4563  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4595  df-uni 4872  df-br 5109  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-om 7862  df-1st 7985  df-2nd 7986  df-1o 8452  df-dju 9886  df-inr 9888

This theorem is referenced by:  inrresf1  9902  updjudhcoinrg  9918  updjud  9919