Theorem inrresf 9812

Description: The right injection restricted to the right class of a disjoint union is a function from the right class into the disjoint union. (Contributed by AV, 27-Jun-2022.)

Assertion

Ref	Expression
inrresf	⊢ (inr ↾ 𝐵):𝐵⟶(𝐴 ⊔ 𝐵)

Proof of Theorem inrresf

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		djurf1o 9809	. . 3 ⊢ inr:V–1-1-onto→({1o} × V)
2		f1ofun 6766	. . 3 ⊢ (inr:V–1-1-onto→({1o} × V) → Fun inr)
3		ffvresb 7059	. . 3 ⊢ (Fun inr → ((inr ↾ 𝐵):𝐵⟶(𝐴 ⊔ 𝐵) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐵 (𝑥 ∈ dom inr ∧ (inr‘𝑥) ∈ (𝐴 ⊔ 𝐵))))
4	1, 2, 3	mp2b 10	. 2 ⊢ ((inr ↾ 𝐵):𝐵⟶(𝐴 ⊔ 𝐵) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐵 (𝑥 ∈ dom inr ∧ (inr‘𝑥) ∈ (𝐴 ⊔ 𝐵)))
5		elex 3457	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐵 → 𝑥 ∈ V)
6		opex 5407	. . . . 5 ⊢ ⟨1o, 𝑥⟩ ∈ V
7		df-inr 9799	. . . . 5 ⊢ inr = (𝑥 ∈ V ↦ ⟨1o, 𝑥⟩)
8	6, 7	dmmpti 6626	. . . 4 ⊢ dom inr = V
9	5, 8	eleqtrrdi 2839	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐵 → 𝑥 ∈ dom inr)
10		djurcl 9807	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐵 → (inr‘𝑥) ∈ (𝐴 ⊔ 𝐵))
11	9, 10	jca 511	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐵 → (𝑥 ∈ dom inr ∧ (inr‘𝑥) ∈ (𝐴 ⊔ 𝐵)))
12	4, 11	mprgbir 3051	1 ⊢ (inr ↾ 𝐵):𝐵⟶(𝐴 ⊔ 𝐵)

Syntax hints:   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∈ wcel 2109  ∀wral 3044  Vcvv 3436  {csn 4577  ⟨cop 4583   × cxp 5617  dom cdm 5619   ↾ cres 5621  Fun wfun 6476  ⟶wf 6478  –1-1-onto→wf1o 6481  ‘cfv 6482  1_oc1o 8381   ⊔ cdju 9794  inrcinr 9796

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5235  ax-nul 5245  ax-pr 5371  ax-un 7671

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rab 3395  df-v 3438  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4285  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4859  df-br 5093  df-opab 5155  df-mpt 5174  df-tr 5200  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ord 6310  df-on 6311  df-lim 6312  df-suc 6313  df-iota 6438  df-fun 6484  df-fn 6485  df-f 6486  df-f1 6487  df-fo 6488  df-f1o 6489  df-fv 6490  df-om 7800  df-1st 7924  df-2nd 7925  df-1o 8388  df-dju 9797  df-inr 9799

This theorem is referenced by:  inrresf1  9813  updjudhcoinrg  9829  updjud  9830