Theorem inrresf 9913

Description: The right injection restricted to the right class of a disjoint union is a function from the right class into the disjoint union. (Contributed by AV, 27-Jun-2022.)

Assertion

Ref	Expression
inrresf	⊢ (inr ↾ 𝐵):𝐵⟶(𝐴 ⊔ 𝐵)

Proof of Theorem inrresf

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		djurf1o 9910	. . 3 ⊢ inr:V–1-1-onto→({1o} × V)
2		f1ofun 6835	. . 3 ⊢ (inr:V–1-1-onto→({1o} × V) → Fun inr)
3		ffvresb 7126	. . 3 ⊢ (Fun inr → ((inr ↾ 𝐵):𝐵⟶(𝐴 ⊔ 𝐵) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐵 (𝑥 ∈ dom inr ∧ (inr‘𝑥) ∈ (𝐴 ⊔ 𝐵))))
4	1, 2, 3	mp2b 10	. 2 ⊢ ((inr ↾ 𝐵):𝐵⟶(𝐴 ⊔ 𝐵) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐵 (𝑥 ∈ dom inr ∧ (inr‘𝑥) ∈ (𝐴 ⊔ 𝐵)))
5		elex 3492	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐵 → 𝑥 ∈ V)
6		opex 5464	. . . . 5 ⊢ ⟨1o, 𝑥⟩ ∈ V
7		df-inr 9900	. . . . 5 ⊢ inr = (𝑥 ∈ V ↦ ⟨1o, 𝑥⟩)
8	6, 7	dmmpti 6694	. . . 4 ⊢ dom inr = V
9	5, 8	eleqtrrdi 2844	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐵 → 𝑥 ∈ dom inr)
10		djurcl 9908	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐵 → (inr‘𝑥) ∈ (𝐴 ⊔ 𝐵))
11	9, 10	jca 512	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐵 → (𝑥 ∈ dom inr ∧ (inr‘𝑥) ∈ (𝐴 ⊔ 𝐵)))
12	4, 11	mprgbir 3068	1 ⊢ (inr ↾ 𝐵):𝐵⟶(𝐴 ⊔ 𝐵)

Syntax hints:   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∈ wcel 2106  ∀wral 3061  Vcvv 3474  {csn 4628  ⟨cop 4634   × cxp 5674  dom cdm 5676   ↾ cres 5678  Fun wfun 6537  ⟶wf 6539  –1-1-onto→wf1o 6542  ‘cfv 6543  1_oc1o 8461   ⊔ cdju 9895  inrcinr 9897

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pr 5427  ax-un 7727

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3433  df-v 3476  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-1o 8468  df-dju 9898  df-inr 9900

This theorem is referenced by:  inrresf1  9914  updjudhcoinrg  9930  updjud  9931