Theorem isfld2 38543

Description: The predicate "is a field". (Contributed by Jeff Madsen, 10-Jun-2010.)

Assertion

Ref	Expression
isfld2	⊢ (𝐾 ∈ Fld ↔ (𝐾 ∈ DivRingOps ∧ 𝐾 ∈ CRingOps))

Proof of Theorem isfld2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		flddivrng 38537	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ Fld → 𝐾 ∈ DivRingOps)
2		fldcrngo 38542	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ Fld → 𝐾 ∈ CRingOps)
3	1, 2	jca 520	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ Fld → (𝐾 ∈ DivRingOps ∧ 𝐾 ∈ CRingOps))
4		iscrngo 38534	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ CRingOps ↔ (𝐾 ∈ RingOps ∧ 𝐾 ∈ Com2))
5	4	simprbi 502	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ CRingOps → 𝐾 ∈ Com2)
6		elin 3929	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ (DivRingOps ∩ Com2) ↔ (𝐾 ∈ DivRingOps ∧ 𝐾 ∈ Com2))
7	6	biimpri 231	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ DivRingOps ∧ 𝐾 ∈ Com2) → 𝐾 ∈ (DivRingOps ∩ Com2))
8		df-fld 38530	. . . 4 ⊢ Fld = (DivRingOps ∩ Com2)
9	7, 8	eleqtrrdi 2880	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ DivRingOps ∧ 𝐾 ∈ Com2) → 𝐾 ∈ Fld)
10	5, 9	sylan2 604	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ DivRingOps ∧ 𝐾 ∈ CRingOps) → 𝐾 ∈ Fld)
11	3, 10	impbii 212	1 ⊢ (𝐾 ∈ Fld ↔ (𝐾 ∈ DivRingOps ∧ 𝐾 ∈ CRingOps))

Syntax hints:   ↔ wb 209   ∧ wa 400   ∈ wcel 2149   ∩ cin 3912  RingOpscrngo 38432  DivRingOpscdrng 38486  Com2ccm2 38527  Fldcfld 38529  CRingOpsccring 38531

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-sep 5261  ax-nul 5271  ax-pr 5405  ax-un 7733

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rab 3424  df-v 3465  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-nul 4295  df-if 4493  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4877  df-br 5114  df-opab 5178  df-mpt 5197  df-id 5557  df-xp 5668  df-rel 5669  df-cnv 5670  df-co 5671  df-dm 5672  df-rn 5673  df-res 5674  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fv 6545  df-1st 7985  df-2nd 7986  df-drngo 38487  df-fld 38530  df-crngo 38532

This theorem is referenced by:  flddmn  38596  isfldidl  38606