Theorem isfld2 39205

Description: Obsolete theorem, use isfld 21044 instead. The predicate "is a field". (Contributed by Jeff Madsen, 10-Jun-2010.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
isfld2	⊢ (𝐾 ∈ Fld ↔ (𝐾 ∈ DivRingOps ∧ 𝐾 ∈ CRingOps))

Proof of Theorem isfld2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		flddivrng 39199	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ Fld → 𝐾 ∈ DivRingOps)
2		fldcrngo 39204	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ Fld → 𝐾 ∈ CRingOps)
3	1, 2	jca 521	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ Fld → (𝐾 ∈ DivRingOps ∧ 𝐾 ∈ CRingOps))
4		iscrngo 39196	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ CRingOps ↔ (𝐾 ∈ RingOps ∧ 𝐾 ∈ Com2))
5	4	simprbi 503	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ CRingOps → 𝐾 ∈ Com2)
6		elin 4096	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ (DivRingOps ∩ Com2) ↔ (𝐾 ∈ DivRingOps ∧ 𝐾 ∈ Com2))
7	6	biimpri 231	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ DivRingOps ∧ 𝐾 ∈ Com2) → 𝐾 ∈ (DivRingOps ∩ Com2))
8		df-fld 39192	. . . 4 ⊢ Fld = (DivRingOps ∩ Com2)
9	7, 8	eleqtrrdi 2875	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ DivRingOps ∧ 𝐾 ∈ Com2) → 𝐾 ∈ Fld)
10	5, 9	sylan2 605	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ DivRingOps ∧ 𝐾 ∈ CRingOps) → 𝐾 ∈ Fld)
11	3, 10	impbii 212	1 ⊢ (𝐾 ∈ Fld ↔ (𝐾 ∈ DivRingOps ∧ 𝐾 ∈ CRingOps))

This proof depends on syntax axioms:   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∈ wcel 2147   ∩ cin 4092  RingOpscrngo 39094  DivRingOpscdrng 39148  Com2ccm2 39189  Fldcfld 39191  CRingOpsccring 39193

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5255  ax-nul 5266  ax-pr 5398  ax-un 7783

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rab 3417  df-v 3456  df-ss 3901  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4841  df-uni 4873  df-br 5109  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-id 5553  df-xp 5664  df-rel 5665  df-cnv 5666  df-co 5667  df-dm 5668  df-rn 5669  df-res 5670  df-iota 6520  df-fun 6568  df-fv 6574  df-1st 8035  df-2nd 8036  df-drngo 39149  df-fld 39192  df-crngo 39194

This theorem is used by:  flddmn  39258  isfldidl  39268