Users' Mathboxes Mathbox for Jeff Madsen < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  flddmn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem flddmn 35495
Description: A field is a domain. (Contributed by Jeff Madsen, 10-Jun-2010.)
Assertion
Ref Expression
flddmn (𝐾 ∈ Fld → 𝐾 ∈ Dmn)

Proof of Theorem flddmn
StepHypRef Expression
1 divrngpr 35490 . . 3 (𝐾 ∈ DivRingOps → 𝐾 ∈ PrRing)
21anim1i 617 . 2 ((𝐾 ∈ DivRingOps ∧ 𝐾 ∈ CRingOps) → (𝐾 ∈ PrRing ∧ 𝐾 ∈ CRingOps))
3 isfld2 35442 . 2 (𝐾 ∈ Fld ↔ (𝐾 ∈ DivRingOps ∧ 𝐾 ∈ CRingOps))
4 isdmn2 35492 . 2 (𝐾 ∈ Dmn ↔ (𝐾 ∈ PrRing ∧ 𝐾 ∈ CRingOps))
52, 3, 43imtr4i 295 1 (𝐾 ∈ Fld → 𝐾 ∈ Dmn)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 399  wcel 2112  DivRingOpscdrng 35385  Fldcfld 35428  CRingOpsccring 35430  PrRingcprrng 35483  Dmncdmn 35484
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2773  ax-rep 5157  ax-sep 5170  ax-nul 5177  ax-pow 5234  ax-pr 5298  ax-un 7445
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2601  df-eu 2632  df-clab 2780  df-cleq 2794  df-clel 2873  df-nfc 2941  df-ne 2991  df-ral 3114  df-rex 3115  df-reu 3116  df-rmo 3117  df-rab 3118  df-v 3446  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3887  df-un 3889  df-in 3891  df-ss 3901  df-pss 3903  df-nul 4247  df-if 4429  df-pw 4502  df-sn 4529  df-pr 4531  df-tp 4533  df-op 4535  df-uni 4804  df-iun 4886  df-br 5034  df-opab 5096  df-mpt 5114  df-tr 5140  df-id 5428  df-eprel 5433  df-po 5442  df-so 5443  df-fr 5482  df-we 5484  df-xp 5529  df-rel 5530  df-cnv 5531  df-co 5532  df-dm 5533  df-rn 5534  df-res 5535  df-ima 5536  df-ord 6166  df-on 6167  df-lim 6168  df-suc 6169  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-riota 7097  df-ov 7142  df-om 7565  df-1st 7675  df-2nd 7676  df-1o 8089  df-er 8276  df-en 8497  df-dom 8498  df-sdom 8499  df-fin 8500  df-grpo 28280  df-gid 28281  df-ginv 28282  df-ablo 28332  df-ass 35280  df-exid 35282  df-mgmOLD 35286  df-sgrOLD 35298  df-mndo 35304  df-rngo 35332  df-drngo 35386  df-fld 35429  df-crngo 35431  df-idl 35447  df-pridl 35448  df-prrngo 35485  df-dmn 35486
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator