Theorem flddmn 38259

Description: A field is a domain. (Contributed by Jeff Madsen, 10-Jun-2010.)

Assertion

Ref	Expression
flddmn	⊢ (𝐾 ∈ Fld → 𝐾 ∈ Dmn)

Proof of Theorem flddmn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		divrngpr 38254	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ DivRingOps → 𝐾 ∈ PrRing)
2	1	anim1i 615	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ DivRingOps ∧ 𝐾 ∈ CRingOps) → (𝐾 ∈ PrRing ∧ 𝐾 ∈ CRingOps))
3		isfld2 38206	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ Fld ↔ (𝐾 ∈ DivRingOps ∧ 𝐾 ∈ CRingOps))
4		isdmn2 38256	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ Dmn ↔ (𝐾 ∈ PrRing ∧ 𝐾 ∈ CRingOps))
5	2, 3, 4	3imtr4i 292	1 ⊢ (𝐾 ∈ Fld → 𝐾 ∈ Dmn)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2113  DivRingOpscdrng 38149  Fldcfld 38192  CRingOpsccring 38194  PrRingcprrng 38247  Dmncdmn 38248

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-rep 5224  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3350  df-reu 3351  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-iun 4948  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-id 5519  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7315  df-ov 7361  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-1o 8397  df-en 8884  df-grpo 30568  df-gid 30569  df-ginv 30570  df-ablo 30620  df-ass 38044  df-exid 38046  df-mgmOLD 38050  df-sgrOLD 38062  df-mndo 38068  df-rngo 38096  df-drngo 38150  df-fld 38193  df-crngo 38195  df-idl 38211  df-pridl 38212  df-prrngo 38249  df-dmn 38250

This theorem is referenced by: (None)