Theorem flddmn 38005

Description: A field is a domain. (Contributed by Jeff Madsen, 10-Jun-2010.)

Assertion

Ref	Expression
flddmn	⊢ (𝐾 ∈ Fld → 𝐾 ∈ Dmn)

Proof of Theorem flddmn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		divrngpr 38000	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ DivRingOps → 𝐾 ∈ PrRing)
2	1	anim1i 614	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ DivRingOps ∧ 𝐾 ∈ CRingOps) → (𝐾 ∈ PrRing ∧ 𝐾 ∈ CRingOps))
3		isfld2 37952	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ Fld ↔ (𝐾 ∈ DivRingOps ∧ 𝐾 ∈ CRingOps))
4		isdmn2 38002	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ Dmn ↔ (𝐾 ∈ PrRing ∧ 𝐾 ∈ CRingOps))
5	2, 3, 4	3imtr4i 292	1 ⊢ (𝐾 ∈ Fld → 𝐾 ∈ Dmn)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2104  DivRingOpscdrng 37895  Fldcfld 37938  CRingOpsccring 37940  PrRingcprrng 37993  Dmncdmn 37994

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2137  ax-11 2153  ax-12 2173  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5366  ax-pr 5430  ax-un 7747

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3an 1087  df-tru 1538  df-fal 1548  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2536  df-eu 2565  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2812  df-nfc 2888  df-ne 2937  df-ral 3058  df-rex 3067  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-nul 4340  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4915  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-id 5576  df-xp 5689  df-rel 5690  df-cnv 5691  df-co 5692  df-dm 5693  df-rn 5694  df-res 5695  df-ima 5696  df-suc 6386  df-iota 6510  df-fun 6560  df-fn 6561  df-f 6562  df-f1 6563  df-fo 6564  df-f1o 6565  df-fv 6566  df-riota 7381  df-ov 7428  df-1st 8007  df-2nd 8008  df-1o 8499  df-en 8979  df-grpo 30503  df-gid 30504  df-ginv 30505  df-ablo 30555  df-ass 37790  df-exid 37792  df-mgmOLD 37796  df-sgrOLD 37808  df-mndo 37814  df-rngo 37842  df-drngo 37896  df-fld 37939  df-crngo 37941  df-idl 37957  df-pridl 37958  df-prrngo 37995  df-dmn 37996

This theorem is referenced by: (None)