Theorem flddmn 38108

Description: A field is a domain. (Contributed by Jeff Madsen, 10-Jun-2010.)

Assertion

Ref	Expression
flddmn	⊢ (𝐾 ∈ Fld → 𝐾 ∈ Dmn)

Proof of Theorem flddmn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		divrngpr 38103	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ DivRingOps → 𝐾 ∈ PrRing)
2	1	anim1i 615	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ DivRingOps ∧ 𝐾 ∈ CRingOps) → (𝐾 ∈ PrRing ∧ 𝐾 ∈ CRingOps))
3		isfld2 38055	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ Fld ↔ (𝐾 ∈ DivRingOps ∧ 𝐾 ∈ CRingOps))
4		isdmn2 38105	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ Dmn ↔ (𝐾 ∈ PrRing ∧ 𝐾 ∈ CRingOps))
5	2, 3, 4	3imtr4i 292	1 ⊢ (𝐾 ∈ Fld → 𝐾 ∈ Dmn)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2111  DivRingOpscdrng 37998  Fldcfld 38041  CRingOpsccring 38043  PrRingcprrng 38096  Dmncdmn 38097

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-rep 5215  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5301  ax-pr 5368  ax-un 7668

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-nul 4281  df-if 4473  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-op 4580  df-uni 4857  df-iun 4941  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5171  df-id 5509  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-suc 6312  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-riota 7303  df-ov 7349  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-1o 8385  df-en 8870  df-grpo 30473  df-gid 30474  df-ginv 30475  df-ablo 30525  df-ass 37893  df-exid 37895  df-mgmOLD 37899  df-sgrOLD 37911  df-mndo 37917  df-rngo 37945  df-drngo 37999  df-fld 38042  df-crngo 38044  df-idl 38060  df-pridl 38061  df-prrngo 38098  df-dmn 38099

This theorem is referenced by: (None)