Users' Mathboxes Mathbox for Jeff Hankins < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  isfne2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem isfne2 36325
Description: The predicate "𝐵 is finer than 𝐴". (Contributed by Jeff Hankins, 28-Sep-2009.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 11-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
isfne.1 𝑋 = 𝐴
isfne.2 𝑌 = 𝐵
Assertion
Ref Expression
isfne2 (𝐵𝐶 → (𝐴Fne𝐵 ↔ (𝑋 = 𝑌 ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝑥𝑧𝐵 (𝑦𝑧𝑧𝑥))))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝑧,𝐴   𝑥,𝐵,𝑦,𝑧   𝑥,𝐶,𝑦,𝑧
Allowed substitution hints:   𝑋(𝑥,𝑦,𝑧)   𝑌(𝑥,𝑦,𝑧)

Proof of Theorem isfne2
StepHypRef Expression
1 isfne.1 . . 3 𝑋 = 𝐴
2 isfne.2 . . 3 𝑌 = 𝐵
31, 2isfne4 36323 . 2 (𝐴Fne𝐵 ↔ (𝑋 = 𝑌𝐴 ⊆ (topGen‘𝐵)))
4 dfss3 3984 . . . 4 (𝐴 ⊆ (topGen‘𝐵) ↔ ∀𝑥𝐴 𝑥 ∈ (topGen‘𝐵))
5 eltg2b 22982 . . . . 5 (𝐵𝐶 → (𝑥 ∈ (topGen‘𝐵) ↔ ∀𝑦𝑥𝑧𝐵 (𝑦𝑧𝑧𝑥)))
65ralbidv 3176 . . . 4 (𝐵𝐶 → (∀𝑥𝐴 𝑥 ∈ (topGen‘𝐵) ↔ ∀𝑥𝐴𝑦𝑥𝑧𝐵 (𝑦𝑧𝑧𝑥)))
74, 6bitrid 283 . . 3 (𝐵𝐶 → (𝐴 ⊆ (topGen‘𝐵) ↔ ∀𝑥𝐴𝑦𝑥𝑧𝐵 (𝑦𝑧𝑧𝑥)))
87anbi2d 630 . 2 (𝐵𝐶 → ((𝑋 = 𝑌𝐴 ⊆ (topGen‘𝐵)) ↔ (𝑋 = 𝑌 ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝑥𝑧𝐵 (𝑦𝑧𝑧𝑥))))
93, 8bitrid 283 1 (𝐵𝐶 → (𝐴Fne𝐵 ↔ (𝑋 = 𝑌 ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝑥𝑧𝐵 (𝑦𝑧𝑧𝑥))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395   = wceq 1537  wcel 2106  wral 3059  wrex 3068  wss 3963   cuni 4912   class class class wbr 5148  cfv 6563  topGenctg 17484  Fnecfne 36319
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rab 3434  df-v 3480  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5583  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fv 6571  df-topgen 17490  df-fne 36320
This theorem is referenced by:  fness  36332  fneref  36333  fnessref  36340
  Copyright terms: Public domain W3C validator