Users' Mathboxes Mathbox for Jeff Hankins < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  isfne2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem isfne2 35826
Description: The predicate "𝐡 is finer than 𝐴". (Contributed by Jeff Hankins, 28-Sep-2009.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 11-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
isfne.1 𝑋 = βˆͺ 𝐴
isfne.2 π‘Œ = βˆͺ 𝐡
Assertion
Ref Expression
isfne2 (𝐡 ∈ 𝐢 β†’ (𝐴Fne𝐡 ↔ (𝑋 = π‘Œ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 βˆ€π‘¦ ∈ π‘₯ βˆƒπ‘§ ∈ 𝐡 (𝑦 ∈ 𝑧 ∧ 𝑧 βŠ† π‘₯))))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝑦,𝑧,𝐴   π‘₯,𝐡,𝑦,𝑧   π‘₯,𝐢,𝑦,𝑧
Allowed substitution hints:   𝑋(π‘₯,𝑦,𝑧)   π‘Œ(π‘₯,𝑦,𝑧)

Proof of Theorem isfne2
StepHypRef Expression
1 isfne.1 . . 3 𝑋 = βˆͺ 𝐴
2 isfne.2 . . 3 π‘Œ = βˆͺ 𝐡
31, 2isfne4 35824 . 2 (𝐴Fne𝐡 ↔ (𝑋 = π‘Œ ∧ 𝐴 βŠ† (topGenβ€˜π΅)))
4 dfss3 3968 . . . 4 (𝐴 βŠ† (topGenβ€˜π΅) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 π‘₯ ∈ (topGenβ€˜π΅))
5 eltg2b 22875 . . . . 5 (𝐡 ∈ 𝐢 β†’ (π‘₯ ∈ (topGenβ€˜π΅) ↔ βˆ€π‘¦ ∈ π‘₯ βˆƒπ‘§ ∈ 𝐡 (𝑦 ∈ 𝑧 ∧ 𝑧 βŠ† π‘₯)))
65ralbidv 3174 . . . 4 (𝐡 ∈ 𝐢 β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 π‘₯ ∈ (topGenβ€˜π΅) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 βˆ€π‘¦ ∈ π‘₯ βˆƒπ‘§ ∈ 𝐡 (𝑦 ∈ 𝑧 ∧ 𝑧 βŠ† π‘₯)))
74, 6bitrid 283 . . 3 (𝐡 ∈ 𝐢 β†’ (𝐴 βŠ† (topGenβ€˜π΅) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 βˆ€π‘¦ ∈ π‘₯ βˆƒπ‘§ ∈ 𝐡 (𝑦 ∈ 𝑧 ∧ 𝑧 βŠ† π‘₯)))
87anbi2d 629 . 2 (𝐡 ∈ 𝐢 β†’ ((𝑋 = π‘Œ ∧ 𝐴 βŠ† (topGenβ€˜π΅)) ↔ (𝑋 = π‘Œ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 βˆ€π‘¦ ∈ π‘₯ βˆƒπ‘§ ∈ 𝐡 (𝑦 ∈ 𝑧 ∧ 𝑧 βŠ† π‘₯))))
93, 8bitrid 283 1 (𝐡 ∈ 𝐢 β†’ (𝐴Fne𝐡 ↔ (𝑋 = π‘Œ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 βˆ€π‘¦ ∈ π‘₯ βˆƒπ‘§ ∈ 𝐡 (𝑦 ∈ 𝑧 ∧ 𝑧 βŠ† π‘₯))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1534   ∈ wcel 2099  βˆ€wral 3058  βˆƒwrex 3067   βŠ† wss 3947  βˆͺ cuni 4908   class class class wbr 5148  β€˜cfv 6548  topGenctg 17419  Fnecfne 35820
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7740
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rab 3430  df-v 3473  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4909  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5576  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-iota 6500  df-fun 6550  df-fv 6556  df-topgen 17425  df-fne 35821
This theorem is referenced by:  fness  35833  fneref  35834  fnessref  35841
  Copyright terms: Public domain W3C validator