Users' Mathboxes Mathbox for Jeff Hankins < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  isfne2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem isfne2 35735
Description: The predicate "𝐡 is finer than 𝐴". (Contributed by Jeff Hankins, 28-Sep-2009.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 11-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
isfne.1 𝑋 = βˆͺ 𝐴
isfne.2 π‘Œ = βˆͺ 𝐡
Assertion
Ref Expression
isfne2 (𝐡 ∈ 𝐢 β†’ (𝐴Fne𝐡 ↔ (𝑋 = π‘Œ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 βˆ€π‘¦ ∈ π‘₯ βˆƒπ‘§ ∈ 𝐡 (𝑦 ∈ 𝑧 ∧ 𝑧 βŠ† π‘₯))))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝑦,𝑧,𝐴   π‘₯,𝐡,𝑦,𝑧   π‘₯,𝐢,𝑦,𝑧
Allowed substitution hints:   𝑋(π‘₯,𝑦,𝑧)   π‘Œ(π‘₯,𝑦,𝑧)

Proof of Theorem isfne2
StepHypRef Expression
1 isfne.1 . . 3 𝑋 = βˆͺ 𝐴
2 isfne.2 . . 3 π‘Œ = βˆͺ 𝐡
31, 2isfne4 35733 . 2 (𝐴Fne𝐡 ↔ (𝑋 = π‘Œ ∧ 𝐴 βŠ† (topGenβ€˜π΅)))
4 dfss3 3965 . . . 4 (𝐴 βŠ† (topGenβ€˜π΅) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 π‘₯ ∈ (topGenβ€˜π΅))
5 eltg2b 22813 . . . . 5 (𝐡 ∈ 𝐢 β†’ (π‘₯ ∈ (topGenβ€˜π΅) ↔ βˆ€π‘¦ ∈ π‘₯ βˆƒπ‘§ ∈ 𝐡 (𝑦 ∈ 𝑧 ∧ 𝑧 βŠ† π‘₯)))
65ralbidv 3171 . . . 4 (𝐡 ∈ 𝐢 β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 π‘₯ ∈ (topGenβ€˜π΅) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 βˆ€π‘¦ ∈ π‘₯ βˆƒπ‘§ ∈ 𝐡 (𝑦 ∈ 𝑧 ∧ 𝑧 βŠ† π‘₯)))
74, 6bitrid 283 . . 3 (𝐡 ∈ 𝐢 β†’ (𝐴 βŠ† (topGenβ€˜π΅) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 βˆ€π‘¦ ∈ π‘₯ βˆƒπ‘§ ∈ 𝐡 (𝑦 ∈ 𝑧 ∧ 𝑧 βŠ† π‘₯)))
87anbi2d 628 . 2 (𝐡 ∈ 𝐢 β†’ ((𝑋 = π‘Œ ∧ 𝐴 βŠ† (topGenβ€˜π΅)) ↔ (𝑋 = π‘Œ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 βˆ€π‘¦ ∈ π‘₯ βˆƒπ‘§ ∈ 𝐡 (𝑦 ∈ 𝑧 ∧ 𝑧 βŠ† π‘₯))))
93, 8bitrid 283 1 (𝐡 ∈ 𝐢 β†’ (𝐴Fne𝐡 ↔ (𝑋 = π‘Œ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 βˆ€π‘¦ ∈ π‘₯ βˆƒπ‘§ ∈ 𝐡 (𝑦 ∈ 𝑧 ∧ 𝑧 βŠ† π‘₯))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  βˆ€wral 3055  βˆƒwrex 3064   βŠ† wss 3943  βˆͺ cuni 4902   class class class wbr 5141  β€˜cfv 6536  topGenctg 17390  Fnecfne 35729
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7721
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rab 3427  df-v 3470  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-id 5567  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fv 6544  df-topgen 17396  df-fne 35730
This theorem is referenced by:  fness  35742  fneref  35743  fnessref  35750
  Copyright terms: Public domain W3C validator