MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  eltg2b Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem eltg2b 22782
Description: Membership in a topology generated by a basis. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Jun-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 10-Jan-2015.)
Assertion
Ref Expression
eltg2b (𝐵𝑉 → (𝐴 ∈ (topGen‘𝐵) ↔ ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 (𝑥𝑦𝑦𝐴)))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐴   𝑥,𝐵,𝑦   𝑥,𝑉,𝑦

Proof of Theorem eltg2b
StepHypRef Expression
1 eltg2 22781 . 2 (𝐵𝑉 → (𝐴 ∈ (topGen‘𝐵) ↔ (𝐴 𝐵 ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 (𝑥𝑦𝑦𝐴))))
2 simpl 482 . . . . . . 7 ((𝑥𝑦𝑦𝐴) → 𝑥𝑦)
32reximi 3083 . . . . . 6 (∃𝑦𝐵 (𝑥𝑦𝑦𝐴) → ∃𝑦𝐵 𝑥𝑦)
4 eluni2 4912 . . . . . 6 (𝑥 𝐵 ↔ ∃𝑦𝐵 𝑥𝑦)
53, 4sylibr 233 . . . . 5 (∃𝑦𝐵 (𝑥𝑦𝑦𝐴) → 𝑥 𝐵)
65ralimi 3082 . . . 4 (∀𝑥𝐴𝑦𝐵 (𝑥𝑦𝑦𝐴) → ∀𝑥𝐴 𝑥 𝐵)
7 dfss3 3970 . . . 4 (𝐴 𝐵 ↔ ∀𝑥𝐴 𝑥 𝐵)
86, 7sylibr 233 . . 3 (∀𝑥𝐴𝑦𝐵 (𝑥𝑦𝑦𝐴) → 𝐴 𝐵)
98pm4.71ri 560 . 2 (∀𝑥𝐴𝑦𝐵 (𝑥𝑦𝑦𝐴) ↔ (𝐴 𝐵 ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 (𝑥𝑦𝑦𝐴)))
101, 9bitr4di 289 1 (𝐵𝑉 → (𝐴 ∈ (topGen‘𝐵) ↔ ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 (𝑥𝑦𝑦𝐴)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 395  wcel 2105  wral 3060  wrex 3069  wss 3948   cuni 4908  cfv 6543  topGenctg 17390
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7729
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rab 3432  df-v 3475  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5574  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fv 6551  df-topgen 17396
This theorem is referenced by:  tg2  22788  tgcl  22792  eltop2  22798  tgss2  22810  basgen2  22812  2ndc1stc  23275  eltx  23392  tgqioo  24636  isfne2  35691
  Copyright terms: Public domain W3C validator