Theorem eltg2b 22903

Description: Membership in a topology generated by a basis. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Jun-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 10-Jan-2015.)

Assertion

Ref	Expression
eltg2b	⊢ (𝐵 ∈ 𝑉 → (𝐴 ∈ (topGen‘𝐵) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐵 (𝑥 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ⊆ 𝐴)))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐴   𝑥,𝐵,𝑦   𝑥,𝑉,𝑦

Proof of Theorem eltg2b

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eltg2 22902	. 2 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑉 → (𝐴 ∈ (topGen‘𝐵) ↔ (𝐴 ⊆ ∪ 𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐵 (𝑥 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ⊆ 𝐴))))
2		simpl 482	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ⊆ 𝐴) → 𝑥 ∈ 𝑦)
3	2	reximi 3074	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑦 ∈ 𝐵 (𝑥 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ⊆ 𝐴) → ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 ∈ 𝑦)
4		eluni2 4867	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ∪ 𝐵 ↔ ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 ∈ 𝑦)
5	3, 4	sylibr 234	. . . . 5 ⊢ (∃𝑦 ∈ 𝐵 (𝑥 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ⊆ 𝐴) → 𝑥 ∈ ∪ 𝐵)
6	5	ralimi 3073	. . . 4 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐵 (𝑥 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ⊆ 𝐴) → ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑥 ∈ ∪ 𝐵)
7		dfss3 3922	. . . 4 ⊢ (𝐴 ⊆ ∪ 𝐵 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑥 ∈ ∪ 𝐵)
8	6, 7	sylibr 234	. . 3 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐵 (𝑥 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ⊆ 𝐴) → 𝐴 ⊆ ∪ 𝐵)
9	8	pm4.71ri 560	. 2 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐵 (𝑥 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ⊆ 𝐴) ↔ (𝐴 ⊆ ∪ 𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐵 (𝑥 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ⊆ 𝐴)))
10	1, 9	bitr4di 289	1 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑉 → (𝐴 ∈ (topGen‘𝐵) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐵 (𝑥 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ⊆ 𝐴)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∈ wcel 2113  ∀wral 3051  ∃wrex 3060   ⊆ wss 3901  ∪ cuni 4863  ‘cfv 6492  topGenctg 17357

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rab 3400  df-v 3442  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-id 5519  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fv 6500  df-topgen 17363

This theorem is referenced by:  tg2  22909  tgcl  22913  eltop2  22919  tgss2  22931  basgen2  22933  2ndc1stc  23395  eltx  23512  tgqioo  24744  isfne2  36536