MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  eltg2b Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem eltg2b 21175
Description: Membership in a topology generated by a basis. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Jun-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 10-Jan-2015.)
Assertion
Ref Expression
eltg2b (𝐵𝑉 → (𝐴 ∈ (topGen‘𝐵) ↔ ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 (𝑥𝑦𝑦𝐴)))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐴   𝑥,𝐵,𝑦   𝑥,𝑉,𝑦

Proof of Theorem eltg2b
StepHypRef Expression
1 eltg2 21174 . 2 (𝐵𝑉 → (𝐴 ∈ (topGen‘𝐵) ↔ (𝐴 𝐵 ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 (𝑥𝑦𝑦𝐴))))
2 simpl 476 . . . . . . 7 ((𝑥𝑦𝑦𝐴) → 𝑥𝑦)
32reximi 3192 . . . . . 6 (∃𝑦𝐵 (𝑥𝑦𝑦𝐴) → ∃𝑦𝐵 𝑥𝑦)
4 eluni2 4677 . . . . . 6 (𝑥 𝐵 ↔ ∃𝑦𝐵 𝑥𝑦)
53, 4sylibr 226 . . . . 5 (∃𝑦𝐵 (𝑥𝑦𝑦𝐴) → 𝑥 𝐵)
65ralimi 3134 . . . 4 (∀𝑥𝐴𝑦𝐵 (𝑥𝑦𝑦𝐴) → ∀𝑥𝐴 𝑥 𝐵)
7 dfss3 3810 . . . 4 (𝐴 𝐵 ↔ ∀𝑥𝐴 𝑥 𝐵)
86, 7sylibr 226 . . 3 (∀𝑥𝐴𝑦𝐵 (𝑥𝑦𝑦𝐴) → 𝐴 𝐵)
98pm4.71ri 556 . 2 (∀𝑥𝐴𝑦𝐵 (𝑥𝑦𝑦𝐴) ↔ (𝐴 𝐵 ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 (𝑥𝑦𝑦𝐴)))
101, 9syl6bbr 281 1 (𝐵𝑉 → (𝐴 ∈ (topGen‘𝐵) ↔ ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 (𝑥𝑦𝑦𝐴)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 198  wa 386  wcel 2107  wral 3090  wrex 3091  wss 3792   cuni 4673  cfv 6137  topGenctg 16488
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2055  ax-8 2109  ax-9 2116  ax-10 2135  ax-11 2150  ax-12 2163  ax-13 2334  ax-ext 2754  ax-sep 5019  ax-nul 5027  ax-pow 5079  ax-pr 5140  ax-un 7228
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-3an 1073  df-tru 1605  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-mo 2551  df-eu 2587  df-clab 2764  df-cleq 2770  df-clel 2774  df-nfc 2921  df-ral 3095  df-rex 3096  df-rab 3099  df-v 3400  df-sbc 3653  df-dif 3795  df-un 3797  df-in 3799  df-ss 3806  df-nul 4142  df-if 4308  df-pw 4381  df-sn 4399  df-pr 4401  df-op 4405  df-uni 4674  df-br 4889  df-opab 4951  df-mpt 4968  df-id 5263  df-xp 5363  df-rel 5364  df-cnv 5365  df-co 5366  df-dm 5367  df-iota 6101  df-fun 6139  df-fv 6145  df-topgen 16494
This theorem is referenced by:  tg2  21181  tgcl  21185  eltop2  21191  tgss2  21203  basgen2  21205  2ndc1stc  21667  eltx  21784  tgqioo  23015  isfne2  32929
  Copyright terms: Public domain W3C validator