MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  eltg2b Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem eltg2b 22875
Description: Membership in a topology generated by a basis. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Jun-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 10-Jan-2015.)
Assertion
Ref Expression
eltg2b (𝐡 ∈ 𝑉 β†’ (𝐴 ∈ (topGenβ€˜π΅) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 βˆƒπ‘¦ ∈ 𝐡 (π‘₯ ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 βŠ† 𝐴)))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝑦,𝐴   π‘₯,𝐡,𝑦   π‘₯,𝑉,𝑦

Proof of Theorem eltg2b
StepHypRef Expression
1 eltg2 22874 . 2 (𝐡 ∈ 𝑉 β†’ (𝐴 ∈ (topGenβ€˜π΅) ↔ (𝐴 βŠ† βˆͺ 𝐡 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 βˆƒπ‘¦ ∈ 𝐡 (π‘₯ ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 βŠ† 𝐴))))
2 simpl 482 . . . . . . 7 ((π‘₯ ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 βŠ† 𝐴) β†’ π‘₯ ∈ 𝑦)
32reximi 3081 . . . . . 6 (βˆƒπ‘¦ ∈ 𝐡 (π‘₯ ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 βŠ† 𝐴) β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ 𝐡 π‘₯ ∈ 𝑦)
4 eluni2 4912 . . . . . 6 (π‘₯ ∈ βˆͺ 𝐡 ↔ βˆƒπ‘¦ ∈ 𝐡 π‘₯ ∈ 𝑦)
53, 4sylibr 233 . . . . 5 (βˆƒπ‘¦ ∈ 𝐡 (π‘₯ ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 βŠ† 𝐴) β†’ π‘₯ ∈ βˆͺ 𝐡)
65ralimi 3080 . . . 4 (βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 βˆƒπ‘¦ ∈ 𝐡 (π‘₯ ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 βŠ† 𝐴) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 π‘₯ ∈ βˆͺ 𝐡)
7 dfss3 3968 . . . 4 (𝐴 βŠ† βˆͺ 𝐡 ↔ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 π‘₯ ∈ βˆͺ 𝐡)
86, 7sylibr 233 . . 3 (βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 βˆƒπ‘¦ ∈ 𝐡 (π‘₯ ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 βŠ† 𝐴) β†’ 𝐴 βŠ† βˆͺ 𝐡)
98pm4.71ri 560 . 2 (βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 βˆƒπ‘¦ ∈ 𝐡 (π‘₯ ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 βŠ† 𝐴) ↔ (𝐴 βŠ† βˆͺ 𝐡 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 βˆƒπ‘¦ ∈ 𝐡 (π‘₯ ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 βŠ† 𝐴)))
101, 9bitr4di 289 1 (𝐡 ∈ 𝑉 β†’ (𝐴 ∈ (topGenβ€˜π΅) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 βˆƒπ‘¦ ∈ 𝐡 (π‘₯ ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 βŠ† 𝐴)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∈ wcel 2099  βˆ€wral 3058  βˆƒwrex 3067   βŠ† wss 3947  βˆͺ cuni 4908  β€˜cfv 6548  topGenctg 17419
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7740
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rab 3430  df-v 3473  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4909  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5576  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-iota 6500  df-fun 6550  df-fv 6556  df-topgen 17425
This theorem is referenced by:  tg2  22881  tgcl  22885  eltop2  22891  tgss2  22903  basgen2  22905  2ndc1stc  23368  eltx  23485  tgqioo  24729  isfne2  35826
  Copyright terms: Public domain W3C validator