Theorem eltg2b 22915

Description: Membership in a topology generated by a basis. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Jun-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 10-Jan-2015.)

Assertion

Ref	Expression
eltg2b	⊢ (𝐵 ∈ 𝑉 → (𝐴 ∈ (topGen‘𝐵) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐵 (𝑥 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ⊆ 𝐴)))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐴   𝑥,𝐵,𝑦   𝑥,𝑉,𝑦

Proof of Theorem eltg2b

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eltg2 22914	. 2 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑉 → (𝐴 ∈ (topGen‘𝐵) ↔ (𝐴 ⊆ ∪ 𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐵 (𝑥 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ⊆ 𝐴))))
2		simpl 482	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ⊆ 𝐴) → 𝑥 ∈ 𝑦)
3	2	reximi 3076	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑦 ∈ 𝐵 (𝑥 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ⊆ 𝐴) → ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 ∈ 𝑦)
4		eluni2 4869	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ∪ 𝐵 ↔ ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 ∈ 𝑦)
5	3, 4	sylibr 234	. . . . 5 ⊢ (∃𝑦 ∈ 𝐵 (𝑥 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ⊆ 𝐴) → 𝑥 ∈ ∪ 𝐵)
6	5	ralimi 3075	. . . 4 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐵 (𝑥 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ⊆ 𝐴) → ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑥 ∈ ∪ 𝐵)
7		dfss3 3924	. . . 4 ⊢ (𝐴 ⊆ ∪ 𝐵 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑥 ∈ ∪ 𝐵)
8	6, 7	sylibr 234	. . 3 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐵 (𝑥 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ⊆ 𝐴) → 𝐴 ⊆ ∪ 𝐵)
9	8	pm4.71ri 560	. 2 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐵 (𝑥 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ⊆ 𝐴) ↔ (𝐴 ⊆ ∪ 𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐵 (𝑥 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ⊆ 𝐴)))
10	1, 9	bitr4di 289	1 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑉 → (𝐴 ∈ (topGen‘𝐵) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐵 (𝑥 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ⊆ 𝐴)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∈ wcel 2114  ∀wral 3052  ∃wrex 3062   ⊆ wss 3903  ∪ cuni 4865  ‘cfv 6500  topGenctg 17369

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5243  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rab 3402  df-v 3444  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-id 5527  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fv 6508  df-topgen 17375

This theorem is referenced by:  tg2  22921  tgcl  22925  eltop2  22931  tgss2  22943  basgen2  22945  2ndc1stc  23407  eltx  23524  tgqioo  24756  isfne2  36555