MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  eltg2b Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem eltg2b 22325
Description: Membership in a topology generated by a basis. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Jun-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 10-Jan-2015.)
Assertion
Ref Expression
eltg2b (𝐡 ∈ 𝑉 β†’ (𝐴 ∈ (topGenβ€˜π΅) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 βˆƒπ‘¦ ∈ 𝐡 (π‘₯ ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 βŠ† 𝐴)))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝑦,𝐴   π‘₯,𝐡,𝑦   π‘₯,𝑉,𝑦

Proof of Theorem eltg2b
StepHypRef Expression
1 eltg2 22324 . 2 (𝐡 ∈ 𝑉 β†’ (𝐴 ∈ (topGenβ€˜π΅) ↔ (𝐴 βŠ† βˆͺ 𝐡 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 βˆƒπ‘¦ ∈ 𝐡 (π‘₯ ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 βŠ† 𝐴))))
2 simpl 484 . . . . . . 7 ((π‘₯ ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 βŠ† 𝐴) β†’ π‘₯ ∈ 𝑦)
32reximi 3084 . . . . . 6 (βˆƒπ‘¦ ∈ 𝐡 (π‘₯ ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 βŠ† 𝐴) β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ 𝐡 π‘₯ ∈ 𝑦)
4 eluni2 4870 . . . . . 6 (π‘₯ ∈ βˆͺ 𝐡 ↔ βˆƒπ‘¦ ∈ 𝐡 π‘₯ ∈ 𝑦)
53, 4sylibr 233 . . . . 5 (βˆƒπ‘¦ ∈ 𝐡 (π‘₯ ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 βŠ† 𝐴) β†’ π‘₯ ∈ βˆͺ 𝐡)
65ralimi 3083 . . . 4 (βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 βˆƒπ‘¦ ∈ 𝐡 (π‘₯ ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 βŠ† 𝐴) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 π‘₯ ∈ βˆͺ 𝐡)
7 dfss3 3933 . . . 4 (𝐴 βŠ† βˆͺ 𝐡 ↔ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 π‘₯ ∈ βˆͺ 𝐡)
86, 7sylibr 233 . . 3 (βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 βˆƒπ‘¦ ∈ 𝐡 (π‘₯ ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 βŠ† 𝐴) β†’ 𝐴 βŠ† βˆͺ 𝐡)
98pm4.71ri 562 . 2 (βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 βˆƒπ‘¦ ∈ 𝐡 (π‘₯ ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 βŠ† 𝐴) ↔ (𝐴 βŠ† βˆͺ 𝐡 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 βˆƒπ‘¦ ∈ 𝐡 (π‘₯ ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 βŠ† 𝐴)))
101, 9bitr4di 289 1 (𝐡 ∈ 𝑉 β†’ (𝐴 ∈ (topGenβ€˜π΅) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 βˆƒπ‘¦ ∈ 𝐡 (π‘₯ ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 βŠ† 𝐴)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∈ wcel 2107  βˆ€wral 3061  βˆƒwrex 3070   βŠ† wss 3911  βˆͺ cuni 4866  β€˜cfv 6497  topGenctg 17324
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3407  df-v 3446  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-id 5532  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fv 6505  df-topgen 17330
This theorem is referenced by:  tg2  22331  tgcl  22335  eltop2  22341  tgss2  22353  basgen2  22355  2ndc1stc  22818  eltx  22935  tgqioo  24179  isfne2  34860
  Copyright terms: Public domain W3C validator