Theorem lvecpropd 21407

Description: If two structures have the same components (properties), one is a left vector space iff the other one is. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Jun-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lvecpropd.1	⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝐾))
lvecpropd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝐿))
lvecpropd.3	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝑥(+g‘𝐾)𝑦) = (𝑥(+g‘𝐿)𝑦))
lvecpropd.4	⊢ (𝜑 → 𝐹 = (Scalar‘𝐾))
lvecpropd.5	⊢ (𝜑 → 𝐹 = (Scalar‘𝐿))
lvecpropd.6	⊢ 𝑃 = (Base‘𝐹)
lvecpropd.7	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝑥( ·𝑠 ‘𝐾)𝑦) = (𝑥( ·𝑠 ‘𝐿)𝑦))

Assertion

Ref	Expression
lvecpropd	⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ LVec ↔ 𝐿 ∈ LVec))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐵   𝑥,𝐾,𝑦   𝑥,𝐿,𝑦   𝑥,𝑃,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦

Allowed substitution hints:   𝐹(𝑥, 𝑦)

Proof of Theorem lvecpropd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lvecpropd.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝐾))
2		lvecpropd.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝐿))
3		lvecpropd.3	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝑥(+g‘𝐾)𝑦) = (𝑥(+g‘𝐿)𝑦))
4		lvecpropd.4	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = (Scalar‘𝐾))
5		lvecpropd.5	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = (Scalar‘𝐿))
6		lvecpropd.6	. . . 4 ⊢ 𝑃 = (Base‘𝐹)
7		lvecpropd.7	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝑥( ·𝑠 ‘𝐾)𝑦) = (𝑥( ·𝑠 ‘𝐿)𝑦))
8	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7	lmodpropd 21162	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ LMod ↔ 𝐿 ∈ LMod))
9	4, 5	eqtr3d 2797	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (Scalar‘𝐾) = (Scalar‘𝐿))
10	9	eleq1d 2845	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((Scalar‘𝐾) ∈ DivRing ↔ (Scalar‘𝐿) ∈ DivRing))
11	8, 10	anbi12d 644	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐾 ∈ LMod ∧ (Scalar‘𝐾) ∈ DivRing) ↔ (𝐿 ∈ LMod ∧ (Scalar‘𝐿) ∈ DivRing)))
12		eqid 2760	. . 3 ⊢ (Scalar‘𝐾) = (Scalar‘𝐾)
13	12	islvec 21341	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ LVec ↔ (𝐾 ∈ LMod ∧ (Scalar‘𝐾) ∈ DivRing))
14		eqid 2760	. . 3 ⊢ (Scalar‘𝐿) = (Scalar‘𝐿)
15	14	islvec 21341	. 2 ⊢ (𝐿 ∈ LVec ↔ (𝐿 ∈ LMod ∧ (Scalar‘𝐿) ∈ DivRing))
16	11, 13, 15	3bitr4g 317	1 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ LVec ↔ 𝐿 ∈ LVec))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ‘cfv 6527  (class class class)co 7408  Basecbs 17349  +_gcplusg 17390  Scalarcsca 17393   ·_𝑠 cvsca 17394  DivRingcdr 20942  LModclmod 21097  LVecclvec 21339

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7734  ax-cnex 11228  ax-resscn 11229  ax-1cn 11230  ax-icn 11231  ax-addcl 11232  ax-addrcl 11233  ax-mulcl 11234  ax-mulrcl 11235  ax-mulcom 11236  ax-addass 11237  ax-mulass 11238  ax-distr 11239  ax-i2m1 11240  ax-1ne0 11241  ax-1rid 11242  ax-rnegex 11243  ax-rrecex 11244  ax-cnre 11245  ax-pre-lttri 11246  ax-pre-lttrn 11247  ax-pre-ltadd 11248  ax-pre-mulgt0 11249

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3918  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5542  df-eprel 5547  df-po 5555  df-so 5556  df-fr 5600  df-we 5602  df-xp 5653  df-rel 5654  df-cnv 5655  df-co 5656  df-dm 5657  df-rn 5658  df-res 5659  df-ima 5660  df-pred 6293  df-ord 6354  df-on 6355  df-lim 6356  df-suc 6357  df-iota 6483  df-fun 6529  df-fn 6530  df-f 6531  df-f1 6532  df-fo 6533  df-f1o 6534  df-fv 6535  df-riota 7365  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-om 7861  df-2nd 7985  df-frecs 8277  df-wrecs 8308  df-recs 8357  df-rdg 8396  df-er 8695  df-en 8952  df-dom 8953  df-sdom 8954  df-pnf 11317  df-mnf 11318  df-xr 11319  df-ltxr 11320  df-le 11321  df-sub 11515  df-neg 11516  df-nn 12306  df-2 12375  df-sets 17304  df-slot 17322  df-ndx 17334  df-base 17350  df-plusg 17403  df-0g 17574  df-mgm 18778  df-sgrp 18870  df-mnd 18886  df-grp 19109  df-mgp 20323  df-ur 20370  df-ring 20423  df-lmod 21099  df-lvec 21340

This theorem is used by:  phlpropd  21923  tnglvec  34178