Theorem lvecpropd 21059

Description: If two structures have the same components (properties), one is a left vector space iff the other one is. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Jun-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lvecpropd.1	⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝐾))
lvecpropd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝐿))
lvecpropd.3	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝑥(+g‘𝐾)𝑦) = (𝑥(+g‘𝐿)𝑦))
lvecpropd.4	⊢ (𝜑 → 𝐹 = (Scalar‘𝐾))
lvecpropd.5	⊢ (𝜑 → 𝐹 = (Scalar‘𝐿))
lvecpropd.6	⊢ 𝑃 = (Base‘𝐹)
lvecpropd.7	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝑥( ·𝑠 ‘𝐾)𝑦) = (𝑥( ·𝑠 ‘𝐿)𝑦))

Assertion

Ref	Expression
lvecpropd	⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ LVec ↔ 𝐿 ∈ LVec))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐵   𝑥,𝐾,𝑦   𝑥,𝐿,𝑦   𝑥,𝑃,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦

Allowed substitution hints:   𝐹(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem lvecpropd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lvecpropd.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝐾))
2		lvecpropd.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝐿))
3		lvecpropd.3	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝑥(+g‘𝐾)𝑦) = (𝑥(+g‘𝐿)𝑦))
4		lvecpropd.4	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = (Scalar‘𝐾))
5		lvecpropd.5	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = (Scalar‘𝐿))
6		lvecpropd.6	. . . 4 ⊢ 𝑃 = (Base‘𝐹)
7		lvecpropd.7	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝑥( ·𝑠 ‘𝐾)𝑦) = (𝑥( ·𝑠 ‘𝐿)𝑦))
8	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7	lmodpropd 20812	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ LMod ↔ 𝐿 ∈ LMod))
9	4, 5	eqtr3d 2767	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (Scalar‘𝐾) = (Scalar‘𝐿))
10	9	eleq1d 2810	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((Scalar‘𝐾) ∈ DivRing ↔ (Scalar‘𝐿) ∈ DivRing))
11	8, 10	anbi12d 630	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐾 ∈ LMod ∧ (Scalar‘𝐾) ∈ DivRing) ↔ (𝐿 ∈ LMod ∧ (Scalar‘𝐿) ∈ DivRing)))
12		eqid 2725	. . 3 ⊢ (Scalar‘𝐾) = (Scalar‘𝐾)
13	12	islvec 20993	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ LVec ↔ (𝐾 ∈ LMod ∧ (Scalar‘𝐾) ∈ DivRing))
14		eqid 2725	. . 3 ⊢ (Scalar‘𝐿) = (Scalar‘𝐿)
15	14	islvec 20993	. 2 ⊢ (𝐿 ∈ LVec ↔ (𝐿 ∈ LMod ∧ (Scalar‘𝐿) ∈ DivRing))
16	11, 13, 15	3bitr4g 313	1 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ LVec ↔ 𝐿 ∈ LVec))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  ‘cfv 6543  (class class class)co 7416  Basecbs 17179  +_gcplusg 17232  Scalarcsca 17235   ·_𝑠 cvsca 17236  DivRingcdr 20628  LModclmod 20747  LVecclvec 20991

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7738  ax-cnex 11194  ax-resscn 11195  ax-1cn 11196  ax-icn 11197  ax-addcl 11198  ax-addrcl 11199  ax-mulcl 11200  ax-mulrcl 11201  ax-mulcom 11202  ax-addass 11203  ax-mulass 11204  ax-distr 11205  ax-i2m1 11206  ax-1ne0 11207  ax-1rid 11208  ax-rnegex 11209  ax-rrecex 11210  ax-cnre 11211  ax-pre-lttri 11212  ax-pre-lttrn 11213  ax-pre-ltadd 11214  ax-pre-mulgt0 11215

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3769  df-csb 3885  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3956  df-pss 3959  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7372  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7869  df-2nd 7992  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-er 8723  df-en 8963  df-dom 8964  df-sdom 8965  df-pnf 11280  df-mnf 11281  df-xr 11282  df-ltxr 11283  df-le 11284  df-sub 11476  df-neg 11477  df-nn 12243  df-2 12305  df-sets 17132  df-slot 17150  df-ndx 17162  df-base 17180  df-plusg 17245  df-0g 17422  df-mgm 18599  df-sgrp 18678  df-mnd 18694  df-grp 18897  df-mgp 20079  df-ur 20126  df-ring 20179  df-lmod 20749  df-lvec 20992

This theorem is referenced by:  phlpropd  21591  tnglvec  33367