MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lvecpropd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lvecpropd 21018
Description: If two structures have the same components (properties), one is a left vector space iff the other one is. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Jun-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lvecpropd.1 (πœ‘ β†’ 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ))
lvecpropd.2 (πœ‘ β†’ 𝐡 = (Baseβ€˜πΏ))
lvecpropd.3 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) β†’ (π‘₯(+gβ€˜πΎ)𝑦) = (π‘₯(+gβ€˜πΏ)𝑦))
lvecpropd.4 (πœ‘ β†’ 𝐹 = (Scalarβ€˜πΎ))
lvecpropd.5 (πœ‘ β†’ 𝐹 = (Scalarβ€˜πΏ))
lvecpropd.6 𝑃 = (Baseβ€˜πΉ)
lvecpropd.7 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝑃 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) β†’ (π‘₯( ·𝑠 β€˜πΎ)𝑦) = (π‘₯( ·𝑠 β€˜πΏ)𝑦))
Assertion
Ref Expression
lvecpropd (πœ‘ β†’ (𝐾 ∈ LVec ↔ 𝐿 ∈ LVec))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝑦,𝐡   π‘₯,𝐾,𝑦   π‘₯,𝐿,𝑦   π‘₯,𝑃,𝑦   πœ‘,π‘₯,𝑦
Allowed substitution hints:   𝐹(π‘₯,𝑦)

Proof of Theorem lvecpropd
StepHypRef Expression
1 lvecpropd.1 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ))
2 lvecpropd.2 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐡 = (Baseβ€˜πΏ))
3 lvecpropd.3 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) β†’ (π‘₯(+gβ€˜πΎ)𝑦) = (π‘₯(+gβ€˜πΏ)𝑦))
4 lvecpropd.4 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐹 = (Scalarβ€˜πΎ))
5 lvecpropd.5 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐹 = (Scalarβ€˜πΏ))
6 lvecpropd.6 . . . 4 𝑃 = (Baseβ€˜πΉ)
7 lvecpropd.7 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝑃 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) β†’ (π‘₯( ·𝑠 β€˜πΎ)𝑦) = (π‘₯( ·𝑠 β€˜πΏ)𝑦))
81, 2, 3, 4, 5, 6, 7lmodpropd 20771 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝐾 ∈ LMod ↔ 𝐿 ∈ LMod))
94, 5eqtr3d 2768 . . . 4 (πœ‘ β†’ (Scalarβ€˜πΎ) = (Scalarβ€˜πΏ))
109eleq1d 2812 . . 3 (πœ‘ β†’ ((Scalarβ€˜πΎ) ∈ DivRing ↔ (Scalarβ€˜πΏ) ∈ DivRing))
118, 10anbi12d 630 . 2 (πœ‘ β†’ ((𝐾 ∈ LMod ∧ (Scalarβ€˜πΎ) ∈ DivRing) ↔ (𝐿 ∈ LMod ∧ (Scalarβ€˜πΏ) ∈ DivRing)))
12 eqid 2726 . . 3 (Scalarβ€˜πΎ) = (Scalarβ€˜πΎ)
1312islvec 20952 . 2 (𝐾 ∈ LVec ↔ (𝐾 ∈ LMod ∧ (Scalarβ€˜πΎ) ∈ DivRing))
14 eqid 2726 . . 3 (Scalarβ€˜πΏ) = (Scalarβ€˜πΏ)
1514islvec 20952 . 2 (𝐿 ∈ LVec ↔ (𝐿 ∈ LMod ∧ (Scalarβ€˜πΏ) ∈ DivRing))
1611, 13, 153bitr4g 314 1 (πœ‘ β†’ (𝐾 ∈ LVec ↔ 𝐿 ∈ LVec))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  β€˜cfv 6537  (class class class)co 7405  Basecbs 17153  +gcplusg 17206  Scalarcsca 17209   ·𝑠 cvsca 17210  DivRingcdr 20587  LModclmod 20706  LVecclvec 20950
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7853  df-2nd 7975  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-nn 12217  df-2 12279  df-sets 17106  df-slot 17124  df-ndx 17136  df-base 17154  df-plusg 17219  df-0g 17396  df-mgm 18573  df-sgrp 18652  df-mnd 18668  df-grp 18866  df-mgp 20040  df-ur 20087  df-ring 20140  df-lmod 20708  df-lvec 20951
This theorem is referenced by:  phlpropd  21548  tnglvec  33215
  Copyright terms: Public domain W3C validator