Theorem lvecpropd 21210

Description: If two structures have the same components (properties), one is a left vector space iff the other one is. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Jun-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lvecpropd.1	⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝐾))
lvecpropd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝐿))
lvecpropd.3	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝑥(+g‘𝐾)𝑦) = (𝑥(+g‘𝐿)𝑦))
lvecpropd.4	⊢ (𝜑 → 𝐹 = (Scalar‘𝐾))
lvecpropd.5	⊢ (𝜑 → 𝐹 = (Scalar‘𝐿))
lvecpropd.6	⊢ 𝑃 = (Base‘𝐹)
lvecpropd.7	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝑥( ·𝑠 ‘𝐾)𝑦) = (𝑥( ·𝑠 ‘𝐿)𝑦))

Assertion

Ref	Expression
lvecpropd	⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ LVec ↔ 𝐿 ∈ LVec))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐵   𝑥,𝐾,𝑦   𝑥,𝐿,𝑦   𝑥,𝑃,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦

Allowed substitution hints:   𝐹(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem lvecpropd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lvecpropd.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝐾))
2		lvecpropd.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝐿))
3		lvecpropd.3	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝑥(+g‘𝐾)𝑦) = (𝑥(+g‘𝐿)𝑦))
4		lvecpropd.4	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = (Scalar‘𝐾))
5		lvecpropd.5	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = (Scalar‘𝐿))
6		lvecpropd.6	. . . 4 ⊢ 𝑃 = (Base‘𝐹)
7		lvecpropd.7	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝑥( ·𝑠 ‘𝐾)𝑦) = (𝑥( ·𝑠 ‘𝐿)𝑦))
8	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7	lmodpropd 20965	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ LMod ↔ 𝐿 ∈ LMod))
9	4, 5	eqtr3d 2793	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (Scalar‘𝐾) = (Scalar‘𝐿))
10	9	eleq1d 2841	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((Scalar‘𝐾) ∈ DivRing ↔ (Scalar‘𝐿) ∈ DivRing))
11	8, 10	anbi12d 640	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐾 ∈ LMod ∧ (Scalar‘𝐾) ∈ DivRing) ↔ (𝐿 ∈ LMod ∧ (Scalar‘𝐿) ∈ DivRing)))
12		eqid 2756	. . 3 ⊢ (Scalar‘𝐾) = (Scalar‘𝐾)
13	12	islvec 21144	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ LVec ↔ (𝐾 ∈ LMod ∧ (Scalar‘𝐾) ∈ DivRing))
14		eqid 2756	. . 3 ⊢ (Scalar‘𝐿) = (Scalar‘𝐿)
15	14	islvec 21144	. 2 ⊢ (𝐿 ∈ LVec ↔ (𝐿 ∈ LMod ∧ (Scalar‘𝐿) ∈ DivRing))
16	11, 13, 15	3bitr4g 316	1 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ LVec ↔ 𝐿 ∈ LVec))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 398   = wceq 1554   ∈ wcel 2136  ‘cfv 6510  (class class class)co 7385  Basecbs 17221  +_gcplusg 17262  Scalarcsca 17265   ·_𝑠 cvsca 17266  DivRingcdr 20751  LModclmod 20900  LVecclvec 21142

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1809  ax-4 1823  ax-5 1924  ax-6 1981  ax-7 2022  ax-8 2138  ax-9 2146  ax-10 2169  ax-11 2185  ax-12 2206  ax-ext 2728  ax-sep 5240  ax-nul 5250  ax-pow 5316  ax-pr 5384  ax-un 7707  ax-cnex 11119  ax-resscn 11120  ax-1cn 11121  ax-icn 11122  ax-addcl 11123  ax-addrcl 11124  ax-mulcl 11125  ax-mulrcl 11126  ax-mulcom 11127  ax-addass 11128  ax-mulass 11129  ax-distr 11130  ax-i2m1 11131  ax-1ne0 11132  ax-1rid 11133  ax-rnegex 11134  ax-rrecex 11135  ax-cnre 11136  ax-pre-lttri 11137  ax-pre-lttrn 11138  ax-pre-ltadd 11139  ax-pre-mulgt0 11140

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 857  df-3or 1096  df-3an 1097  df-tru 1557  df-fal 1567  df-ex 1794  df-nf 1798  df-sb 2085  df-mo 2560  df-eu 2590  df-clab 2735  df-cleq 2748  df-clel 2831  df-nfc 2905  df-ne 2952  df-nel 3056  df-ral 3071  df-rex 3081  df-rmo 3361  df-reu 3362  df-rab 3409  df-v 3450  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4281  df-if 4475  df-pw 4551  df-sn 4577  df-pr 4579  df-op 4583  df-uni 4860  df-iun 4945  df-br 5095  df-opab 5157  df-mpt 5176  df-tr 5202  df-id 5535  df-eprel 5540  df-po 5548  df-so 5549  df-fr 5593  df-we 5595  df-xp 5646  df-rel 5647  df-cnv 5648  df-co 5649  df-dm 5650  df-rn 5651  df-res 5652  df-ima 5653  df-pred 6277  df-ord 6338  df-on 6339  df-lim 6340  df-suc 6341  df-iota 6466  df-fun 6512  df-fn 6513  df-f 6514  df-f1 6515  df-fo 6516  df-f1o 6517  df-fv 6518  df-riota 7342  df-ov 7388  df-oprab 7389  df-mpo 7390  df-om 7836  df-2nd 7960  df-frecs 8250  df-wrecs 8281  df-recs 8330  df-rdg 8369  df-er 8666  df-en 8917  df-dom 8918  df-sdom 8919  df-pnf 11208  df-mnf 11209  df-xr 11210  df-ltxr 11211  df-le 11212  df-sub 11406  df-neg 11407  df-nn 12201  df-2 12270  df-sets 17176  df-slot 17194  df-ndx 17206  df-base 17222  df-plusg 17275  df-0g 17446  df-mgm 18650  df-sgrp 18729  df-mnd 18745  df-grp 18954  df-mgp 20163  df-ur 20204  df-ring 20257  df-lmod 20902  df-lvec 21143

This theorem is referenced by:  phlpropd  21680  tnglvec  33863