Theorem lvecpropd 21134

Description: If two structures have the same components (properties), one is a left vector space iff the other one is. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Jun-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lvecpropd.1	⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝐾))
lvecpropd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝐿))
lvecpropd.3	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝑥(+g‘𝐾)𝑦) = (𝑥(+g‘𝐿)𝑦))
lvecpropd.4	⊢ (𝜑 → 𝐹 = (Scalar‘𝐾))
lvecpropd.5	⊢ (𝜑 → 𝐹 = (Scalar‘𝐿))
lvecpropd.6	⊢ 𝑃 = (Base‘𝐹)
lvecpropd.7	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝑥( ·𝑠 ‘𝐾)𝑦) = (𝑥( ·𝑠 ‘𝐿)𝑦))

Assertion

Ref	Expression
lvecpropd	⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ LVec ↔ 𝐿 ∈ LVec))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐵   𝑥,𝐾,𝑦   𝑥,𝐿,𝑦   𝑥,𝑃,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦

Allowed substitution hints:   𝐹(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem lvecpropd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lvecpropd.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝐾))
2		lvecpropd.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝐿))
3		lvecpropd.3	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝑥(+g‘𝐾)𝑦) = (𝑥(+g‘𝐿)𝑦))
4		lvecpropd.4	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = (Scalar‘𝐾))
5		lvecpropd.5	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = (Scalar‘𝐿))
6		lvecpropd.6	. . . 4 ⊢ 𝑃 = (Base‘𝐹)
7		lvecpropd.7	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝑥( ·𝑠 ‘𝐾)𝑦) = (𝑥( ·𝑠 ‘𝐿)𝑦))
8	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7	lmodpropd 20888	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ LMod ↔ 𝐿 ∈ LMod))
9	4, 5	eqtr3d 2774	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (Scalar‘𝐾) = (Scalar‘𝐿))
10	9	eleq1d 2822	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((Scalar‘𝐾) ∈ DivRing ↔ (Scalar‘𝐿) ∈ DivRing))
11	8, 10	anbi12d 633	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐾 ∈ LMod ∧ (Scalar‘𝐾) ∈ DivRing) ↔ (𝐿 ∈ LMod ∧ (Scalar‘𝐿) ∈ DivRing)))
12		eqid 2737	. . 3 ⊢ (Scalar‘𝐾) = (Scalar‘𝐾)
13	12	islvec 21068	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ LVec ↔ (𝐾 ∈ LMod ∧ (Scalar‘𝐾) ∈ DivRing))
14		eqid 2737	. . 3 ⊢ (Scalar‘𝐿) = (Scalar‘𝐿)
15	14	islvec 21068	. 2 ⊢ (𝐿 ∈ LVec ↔ (𝐿 ∈ LMod ∧ (Scalar‘𝐿) ∈ DivRing))
16	11, 13, 15	3bitr4g 314	1 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ LVec ↔ 𝐿 ∈ LVec))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ‘cfv 6500  (class class class)co 7368  Basecbs 17148  +_gcplusg 17189  Scalarcsca 17192   ·_𝑠 cvsca 17193  DivRingcdr 20674  LModclmod 20823  LVecclvec 21066

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-iun 4950  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5527  df-eprel 5532  df-po 5540  df-so 5541  df-fr 5585  df-we 5587  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-pred 6267  df-ord 6328  df-on 6329  df-lim 6330  df-suc 6331  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7325  df-ov 7371  df-oprab 7372  df-mpo 7373  df-om 7819  df-2nd 7944  df-frecs 8233  df-wrecs 8264  df-recs 8313  df-rdg 8351  df-er 8645  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-pnf 11180  df-mnf 11181  df-xr 11182  df-ltxr 11183  df-le 11184  df-sub 11378  df-neg 11379  df-nn 12158  df-2 12220  df-sets 17103  df-slot 17121  df-ndx 17133  df-base 17149  df-plusg 17202  df-0g 17373  df-mgm 18577  df-sgrp 18656  df-mnd 18672  df-grp 18878  df-mgp 20088  df-ur 20129  df-ring 20182  df-lmod 20825  df-lvec 21067

This theorem is referenced by:  phlpropd  21622  tnglvec  33789