Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cnstrcvs Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cnstrcvs 23725
 Description: The set of complex numbers is a subcomplex vector space. The vector operation is +, and the scalar product is ·. (Contributed by NM, 5-Nov-2006.) (Revised by AV, 20-Sep-2021.)
Hypothesis
Ref Expression
cnlmod.w 𝑊 = ({⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩} ∪ {⟨(Scalar‘ndx), ℂfld⟩, ⟨( ·𝑠 ‘ndx), · ⟩})
Assertion
Ref Expression
cnstrcvs 𝑊 ∈ ℂVec

Proof of Theorem cnstrcvs
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cnlmod.w . . . . 5 𝑊 = ({⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩} ∪ {⟨(Scalar‘ndx), ℂfld⟩, ⟨( ·𝑠 ‘ndx), · ⟩})
21cnlmod 23724 . . . 4 𝑊 ∈ LMod
3 cnfldex 20524 . . . . . 6 fld ∈ V
4 cnfldbas 20525 . . . . . . 7 ℂ = (Base‘ℂfld)
54ressid 16538 . . . . . 6 (ℂfld ∈ V → (ℂflds ℂ) = ℂfld)
63, 5ax-mp 5 . . . . 5 (ℂflds ℂ) = ℂfld
76eqcomi 2830 . . . 4 fld = (ℂflds ℂ)
8 id 22 . . . . 5 (𝑥 ∈ ℂ → 𝑥 ∈ ℂ)
9 addcl 10596 . . . . 5 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝑥 + 𝑦) ∈ ℂ)
10 negcl 10863 . . . . 5 (𝑥 ∈ ℂ → -𝑥 ∈ ℂ)
11 ax-1cn 10572 . . . . 5 1 ∈ ℂ
12 mulcl 10598 . . . . 5 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝑥 · 𝑦) ∈ ℂ)
138, 9, 10, 11, 12cnsubrglem 20571 . . . 4 ℂ ∈ (SubRing‘ℂfld)
14 qdass 4662 . . . . . . . 8 ({⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩} ∪ {⟨(Scalar‘ndx), ℂfld⟩, ⟨( ·𝑠 ‘ndx), · ⟩}) = ({⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(Scalar‘ndx), ℂfld⟩} ∪ {⟨( ·𝑠 ‘ndx), · ⟩})
151, 14eqtri 2844 . . . . . . 7 𝑊 = ({⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(Scalar‘ndx), ℂfld⟩} ∪ {⟨( ·𝑠 ‘ndx), · ⟩})
1615lmodsca 16618 . . . . . 6 (ℂfld ∈ V → ℂfld = (Scalar‘𝑊))
173, 16ax-mp 5 . . . . 5 fld = (Scalar‘𝑊)
1817isclmi 23661 . . . 4 ((𝑊 ∈ LMod ∧ ℂfld = (ℂflds ℂ) ∧ ℂ ∈ (SubRing‘ℂfld)) → 𝑊 ∈ ℂMod)
192, 7, 13, 18mp3an 1458 . . 3 𝑊 ∈ ℂMod
20 cndrng 20550 . . . 4 fld ∈ DivRing
2117islvec 19852 . . . 4 (𝑊 ∈ LVec ↔ (𝑊 ∈ LMod ∧ ℂfld ∈ DivRing))
222, 20, 21mpbir2an 710 . . 3 𝑊 ∈ LVec
2319, 22elini 4145 . 2 𝑊 ∈ (ℂMod ∩ LVec)
24 df-cvs 23708 . 2 ℂVec = (ℂMod ∩ LVec)
2523, 24eleqtrri 2911 1 𝑊 ∈ ℂVec
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   = wceq 1538   ∈ wcel 2115  Vcvv 3471   ∪ cun 3908   ∩ cin 3909  {csn 4540  {cpr 4542  {ctp 4544  ⟨cop 4546  ‘cfv 6328  (class class class)co 7130  ℂcc 10512   + caddc 10517   · cmul 10519  ndxcnx 16459  Basecbs 16462   ↾s cress 16463  +gcplusg 16544  Scalarcsca 16547   ·𝑠 cvsca 16548  DivRingcdr 19478  SubRingcsubrg 19507  LModclmod 19610  LVecclvec 19850  ℂfldccnfld 20521  ℂModcclm 23646  ℂVecccvs 23707 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2178  ax-ext 2793  ax-rep 5163  ax-sep 5176  ax-nul 5183  ax-pow 5239  ax-pr 5303  ax-un 7436  ax-cnex 10570  ax-resscn 10571  ax-1cn 10572  ax-icn 10573  ax-addcl 10574  ax-addrcl 10575  ax-mulcl 10576  ax-mulrcl 10577  ax-mulcom 10578  ax-addass 10579  ax-mulass 10580  ax-distr 10581  ax-i2m1 10582  ax-1ne0 10583  ax-1rid 10584  ax-rnegex 10585  ax-rrecex 10586  ax-cnre 10587  ax-pre-lttri 10588  ax-pre-lttrn 10589  ax-pre-ltadd 10590  ax-pre-mulgt0 10591  ax-addf 10593  ax-mulf 10594 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2623  df-eu 2654  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2892  df-nfc 2960  df-ne 3008  df-nel 3112  df-ral 3131  df-rex 3132  df-reu 3133  df-rmo 3134  df-rab 3135  df-v 3473  df-sbc 3750  df-csb 3858  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4267  df-if 4441  df-pw 4514  df-sn 4541  df-pr 4543  df-tp 4545  df-op 4547  df-uni 4812  df-int 4850  df-iun 4894  df-br 5040  df-opab 5102  df-mpt 5120  df-tr 5146  df-id 5433  df-eprel 5438  df-po 5447  df-so 5448  df-fr 5487  df-we 5489  df-xp 5534  df-rel 5535  df-cnv 5536  df-co 5537  df-dm 5538  df-rn 5539  df-res 5540  df-ima 5541  df-pred 6121  df-ord 6167  df-on 6168  df-lim 6169  df-suc 6170  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-riota 7088  df-ov 7133  df-oprab 7134  df-mpo 7135  df-om 7556  df-1st 7664  df-2nd 7665  df-tpos 7867  df-wrecs 7922  df-recs 7983  df-rdg 8021  df-1o 8077  df-oadd 8081  df-er 8264  df-en 8485  df-dom 8486  df-sdom 8487  df-fin 8488  df-pnf 10654  df-mnf 10655  df-xr 10656  df-ltxr 10657  df-le 10658  df-sub 10849  df-neg 10850  df-div 11275  df-nn 11616  df-2 11678  df-3 11679  df-4 11680  df-5 11681  df-6 11682  df-7 11683  df-8 11684  df-9 11685  df-n0 11876  df-z 11960  df-dec 12077  df-uz 12222  df-fz 12876  df-struct 16464  df-ndx 16465  df-slot 16466  df-base 16468  df-sets 16469  df-ress 16470  df-plusg 16557  df-mulr 16558  df-starv 16559  df-sca 16560  df-vsca 16561  df-tset 16563  df-ple 16564  df-ds 16566  df-unif 16567  df-0g 16694  df-mgm 17831  df-sgrp 17880  df-mnd 17891  df-grp 18085  df-minusg 18086  df-subg 18255  df-cmn 18887  df-mgp 19219  df-ur 19231  df-ring 19278  df-cring 19279  df-oppr 19352  df-dvdsr 19370  df-unit 19371  df-invr 19401  df-dvr 19412  df-drng 19480  df-subrg 19509  df-lmod 19612  df-lvec 19851  df-cnfld 20522  df-clm 23647  df-cvs 23708 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator