Theorem cnstrcvs 25109

Description: The set of complex numbers is a subcomplex vector space. The vector operation is +, and the scalar product is ·. (Contributed by NM, 5-Nov-2006.) (Revised by AV, 20-Sep-2021.)

Hypothesis

Ref	Expression
cnlmod.w	⊢ 𝑊 = ({⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩} ∪ {⟨(Scalar‘ndx), ℂfld⟩, ⟨( ·𝑠 ‘ndx), · ⟩})

Assertion

Ref	Expression
cnstrcvs	⊢ 𝑊 ∈ ℂVec

Proof of Theorem cnstrcvs

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnlmod.w	. . . . 5 ⊢ 𝑊 = ({⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩} ∪ {⟨(Scalar‘ndx), ℂfld⟩, ⟨( ·𝑠 ‘ndx), · ⟩})
2	1	cnlmod 25108	. . . 4 ⊢ 𝑊 ∈ LMod
3		cnfldex 21324	. . . . . 6 ⊢ ℂfld ∈ V
4		cnfldbas 21325	. . . . . . 7 ⊢ ℂ = (Base‘ℂfld)
5	4	ressid 17183	. . . . . 6 ⊢ (ℂfld ∈ V → (ℂfld ↾s ℂ) = ℂfld)
6	3, 5	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (ℂfld ↾s ℂ) = ℂfld
7	6	eqcomi 2746	. . . 4 ⊢ ℂfld = (ℂfld ↾s ℂ)
8		id 22	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → 𝑥 ∈ ℂ)
9		addcl 11120	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝑥 + 𝑦) ∈ ℂ)
10		negcl 11392	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → -𝑥 ∈ ℂ)
11		ax-1cn 11096	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℂ
12		mulcl 11122	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝑥 · 𝑦) ∈ ℂ)
13	8, 9, 10, 11, 12	cnsubrglem 21383	. . . 4 ⊢ ℂ ∈ (SubRing‘ℂfld)
14		qdass 4712	. . . . . . . 8 ⊢ ({⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩} ∪ {⟨(Scalar‘ndx), ℂfld⟩, ⟨( ·𝑠 ‘ndx), · ⟩}) = ({⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(Scalar‘ndx), ℂfld⟩} ∪ {⟨( ·𝑠 ‘ndx), · ⟩})
15	1, 14	eqtri 2760	. . . . . . 7 ⊢ 𝑊 = ({⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(Scalar‘ndx), ℂfld⟩} ∪ {⟨( ·𝑠 ‘ndx), · ⟩})
16	15	lmodsca 17260	. . . . . 6 ⊢ (ℂfld ∈ V → ℂfld = (Scalar‘𝑊))
17	3, 16	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ ℂfld = (Scalar‘𝑊)
18	17	isclmi 25045	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ ℂfld = (ℂfld ↾s ℂ) ∧ ℂ ∈ (SubRing‘ℂfld)) → 𝑊 ∈ ℂMod)
19	2, 7, 13, 18	mp3an 1464	. . 3 ⊢ 𝑊 ∈ ℂMod
20		cndrng 21365	. . . 4 ⊢ ℂfld ∈ DivRing
21	17	islvec 21068	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ LVec ↔ (𝑊 ∈ LMod ∧ ℂfld ∈ DivRing))
22	2, 20, 21	mpbir2an 712	. . 3 ⊢ 𝑊 ∈ LVec
23	19, 22	elini 4153	. 2 ⊢ 𝑊 ∈ (ℂMod ∩ LVec)
24		df-cvs 25092	. 2 ⊢ ℂVec = (ℂMod ∩ LVec)
25	23, 24	eleqtrri 2836	1 ⊢ 𝑊 ∈ ℂVec

Syntax hints:   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  Vcvv 3442   ∪ cun 3901   ∩ cin 3902  {csn 4582  {cpr 4584  {ctp 4586  ⟨cop 4588  ‘cfv 6500  (class class class)co 7368  ℂcc 11036   + caddc 11041   · cmul 11043  ndxcnx 17132  Basecbs 17148   ↾_s cress 17169  +_gcplusg 17189  Scalarcsca 17192   ·_𝑠 cvsca 17193  SubRingcsubrg 20514  DivRingcdr 20674  LModclmod 20823  LVecclvec 21066  ℂ_fldccnfld 21321  ℂModcclm 25030  ℂVecccvs 25091

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5226  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115  ax-addf 11117  ax-mulf 11118

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-tp 4587  df-op 4589  df-uni 4866  df-iun 4950  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5527  df-eprel 5532  df-po 5540  df-so 5541  df-fr 5585  df-we 5587  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-pred 6267  df-ord 6328  df-on 6329  df-lim 6330  df-suc 6331  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7325  df-ov 7371  df-oprab 7372  df-mpo 7373  df-om 7819  df-1st 7943  df-2nd 7944  df-tpos 8178  df-frecs 8233  df-wrecs 8264  df-recs 8313  df-rdg 8351  df-1o 8407  df-er 8645  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-fin 8899  df-pnf 11180  df-mnf 11181  df-xr 11182  df-ltxr 11183  df-le 11184  df-sub 11378  df-neg 11379  df-div 11807  df-nn 12158  df-2 12220  df-3 12221  df-4 12222  df-5 12223  df-6 12224  df-7 12225  df-8 12226  df-9 12227  df-n0 12414  df-z 12501  df-dec 12620  df-uz 12764  df-fz 13436  df-struct 17086  df-sets 17103  df-slot 17121  df-ndx 17133  df-base 17149  df-ress 17170  df-plusg 17202  df-mulr 17203  df-starv 17204  df-sca 17205  df-vsca 17206  df-tset 17208  df-ple 17209  df-ds 17211  df-unif 17212  df-0g 17373  df-mgm 18577  df-sgrp 18656  df-mnd 18672  df-grp 18878  df-minusg 18879  df-subg 19065  df-cmn 19723  df-abl 19724  df-mgp 20088  df-rng 20100  df-ur 20129  df-ring 20182  df-cring 20183  df-oppr 20285  df-dvdsr 20305  df-unit 20306  df-invr 20336  df-dvr 20349  df-subrng 20491  df-subrg 20515  df-drng 20676  df-lmod 20825  df-lvec 21067  df-cnfld 21322  df-clm 25031  df-cvs 25092

This theorem is referenced by: (None)