Theorem cnstrcvs 25337

Description: The set of complex numbers is a subcomplex vector space. The vector operation is +, and the scalar product is ·. (Contributed by NM, 5-Nov-2006.) (Revised by AV, 20-Sep-2021.)

Hypothesis

Ref	Expression
cnlmod.w	⊢ 𝑊 = ({⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩} ∪ {⟨(Scalar‘ndx), ℂfld⟩, ⟨( ·𝑠 ‘ndx), · ⟩})

Assertion

Ref	Expression
cnstrcvs	⊢ 𝑊 ∈ ℂVec

Proof of Theorem cnstrcvs

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnlmod.w	. . . . 5 ⊢ 𝑊 = ({⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩} ∪ {⟨(Scalar‘ndx), ℂfld⟩, ⟨( ·𝑠 ‘ndx), · ⟩})
2	1	cnlmod 25336	. . . 4 ⊢ 𝑊 ∈ LMod
3		cnfldex 21562	. . . . . 6 ⊢ ℂfld ∈ V
4		cnfldbas 21563	. . . . . . 7 ⊢ ℂ = (Base‘ℂfld)
5	4	ressid 17329	. . . . . 6 ⊢ (ℂfld ∈ V → (ℂfld ↾s ℂ) = ℂfld)
6	3, 5	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (ℂfld ↾s ℂ) = ℂfld
7	6	eqcomi 2775	. . . 4 ⊢ ℂfld = (ℂfld ↾s ℂ)
8		id 23	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → 𝑥 ∈ ℂ)
9		addcl 11200	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝑥 + 𝑦) ∈ ℂ)
10		negcl 11475	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → -𝑥 ∈ ℂ)
11		ax-1cn 11176	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℂ
12		mulcl 11202	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝑥 · 𝑦) ∈ ℂ)
13	8, 9, 10, 11, 12	cnsubrglem 21604	. . . 4 ⊢ ℂ ∈ (SubRing‘ℂfld)
14		qdass 4724	. . . . . . . 8 ⊢ ({⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩} ∪ {⟨(Scalar‘ndx), ℂfld⟩, ⟨( ·𝑠 ‘ndx), · ⟩}) = ({⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(Scalar‘ndx), ℂfld⟩} ∪ {⟨( ·𝑠 ‘ndx), · ⟩})
15	1, 14	eqtri 2789	. . . . . . 7 ⊢ 𝑊 = ({⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(Scalar‘ndx), ℂfld⟩} ∪ {⟨( ·𝑠 ‘ndx), · ⟩})
16	15	lmodsca 17406	. . . . . 6 ⊢ (ℂfld ∈ V → ℂfld = (Scalar‘𝑊))
17	3, 16	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ ℂfld = (Scalar‘𝑊)
18	17	isclmi 25273	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ ℂfld = (ℂfld ↾s ℂ) ∧ ℂ ∈ (SubRing‘ℂfld)) → 𝑊 ∈ ℂMod)
19	2, 7, 13, 18	mp3an 1490	. . 3 ⊢ 𝑊 ∈ ℂMod
20		cndrng 21588	. . . 4 ⊢ ℂfld ∈ DivRing
21	17	islvec 21262	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ LVec ↔ (𝑊 ∈ LMod ∧ ℂfld ∈ DivRing))
22	2, 20, 21	mpbir2an 724	. . 3 ⊢ 𝑊 ∈ LVec
23	19, 22	elini 4155	. 2 ⊢ 𝑊 ∈ (ℂMod ∩ LVec)
24		df-cvs 25320	. 2 ⊢ ℂVec = (ℂMod ∩ LVec)
25	23, 24	eleqtrri 2865	1 ⊢ 𝑊 ∈ ℂVec

This proof depends on syntax axioms:   = wceq 1570   ∈ wcel 2146  Vcvv 3458   ∪ cun 3906   ∩ cin 3907  {csn 4594  {cpr 4596  {ctp 4598  ⟨cop 4600  ‘cfv 6543  (class class class)co 7423  ℂcc 11116   + caddc 11121   · cmul 11123  ndxcnx 17278  Basecbs 17294   ↾_s cress 17315  +_gcplusg 17335  Scalarcsca 17338   ·_𝑠 cvsca 17339  SubRingcsubrg 20705  DivRingcdr 20864  LModclmod 21018  LVecclvec 21260  ℂ_fldccnfld 21559  ℂModcclm 25258  ℂVecccvs 25319

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2738  ax-rep 5243  ax-sep 5262  ax-nul 5274  ax-pow 5341  ax-pr 5409  ax-un 7745  ax-cnex 11174  ax-resscn 11175  ax-1cn 11176  ax-icn 11177  ax-addcl 11178  ax-addrcl 11179  ax-mulcl 11180  ax-mulrcl 11181  ax-mulcom 11182  ax-addass 11183  ax-mulass 11184  ax-distr 11185  ax-i2m1 11186  ax-1ne0 11187  ax-1rid 11188  ax-rnegex 11189  ax-rrecex 11190  ax-cnre 11191  ax-pre-lttri 11192  ax-pre-lttrn 11193  ax-pre-ltadd 11194  ax-pre-mulgt0 11195  ax-addf 11197  ax-mulf 11198

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2570  df-eu 2600  df-clab 2745  df-cleq 2758  df-clel 2841  df-nfc 2915  df-ne 2962  df-nel 3068  df-ral 3083  df-rex 3093  df-rmo 3372  df-reu 3373  df-rab 3420  df-v 3460  df-sbc 3748  df-csb 3857  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3928  df-nul 4290  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-tp 4599  df-op 4601  df-uni 4878  df-iun 4963  df-br 5115  df-opab 5179  df-mpt 5198  df-tr 5224  df-id 5561  df-eprel 5566  df-po 5574  df-so 5575  df-fr 5619  df-we 5621  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-pred 6309  df-ord 6370  df-on 6371  df-lim 6372  df-suc 6373  df-iota 6499  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7380  df-ov 7426  df-oprab 7427  df-mpo 7428  df-om 7872  df-1st 7995  df-2nd 7996  df-tpos 8231  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-er 8703  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-fin 8956  df-pnf 11263  df-mnf 11264  df-xr 11265  df-ltxr 11266  df-le 11267  df-sub 11461  df-neg 11462  df-div 11890  df-nn 12252  df-2 12321  df-3 12322  df-4 12323  df-5 12324  df-6 12325  df-7 12326  df-8 12327  df-9 12328  df-n0 12523  df-z 12610  df-dec 12730  df-uz 12881  df-fz 13554  df-struct 17232  df-sets 17249  df-slot 17267  df-ndx 17279  df-base 17295  df-ress 17316  df-plusg 17348  df-mulr 17349  df-starv 17350  df-sca 17351  df-vsca 17352  df-tset 17354  df-ple 17355  df-ds 17357  df-unif 17358  df-0g 17519  df-mgm 18723  df-sgrp 18806  df-mnd 18822  df-grp 19034  df-minusg 19035  df-subg 19220  df-cmn 19883  df-abl 19884  df-mgp 20248  df-rng 20262  df-ur 20295  df-ring 20348  df-cring 20349  df-oppr 20452  df-dvdsr 20472  df-unit 20473  df-invr 20503  df-dvr 20516  df-subrng 20682  df-subrg 20706  df-drng 20866  df-lmod 21020  df-lvec 21261  df-cnfld 21560  df-clm 25259  df-cvs 25320

This theorem is used by: (None)