Theorem cnstrcvs 25467

Description: The set of complex numbers is a subcomplex vector space. The vector operation is +, and the scalar product is ·. (Contributed by NM, 5-Nov-2006.) (Revised by AV, 20-Sep-2021.)

Hypothesis

Ref	Expression
cnlmod.w	⊢ 𝑊 = ({⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩} ∪ {⟨(Scalar‘ndx), ℂfld⟩, ⟨( ·𝑠 ‘ndx), · ⟩})

Assertion

Ref	Expression
cnstrcvs	⊢ 𝑊 ∈ ℂVec

Proof of Theorem cnstrcvs

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnlmod.w	. . . . 5 ⊢ 𝑊 = ({⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩} ∪ {⟨(Scalar‘ndx), ℂfld⟩, ⟨( ·𝑠 ‘ndx), · ⟩})
2	1	cnlmod 25466	. . . 4 ⊢ 𝑊 ∈ LMod
3		cnfldex 21686	. . . . . 6 ⊢ ℂfld ∈ V
4		cnfldbas 21687	. . . . . . 7 ⊢ ℂ = (Base‘ℂfld)
5	4	ressid 17427	. . . . . 6 ⊢ (ℂfld ∈ V → (ℂfld ↾s ℂ) = ℂfld)
6	3, 5	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (ℂfld ↾s ℂ) = ℂfld
7	6	eqcomi 2769	. . . 4 ⊢ ℂfld = (ℂfld ↾s ℂ)
8		id 23	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → 𝑥 ∈ ℂ)
9		addcl 11285	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝑥 + 𝑦) ∈ ℂ)
10		negcl 11560	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → -𝑥 ∈ ℂ)
11		ax-1cn 11261	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℂ
12		mulcl 11287	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝑥 · 𝑦) ∈ ℂ)
13	8, 9, 10, 11, 12	cnsubrglem 21728	. . . 4 ⊢ ℂ ∈ (SubRing‘ℂfld)
14		qdass 4710	. . . . . . . 8 ⊢ ({⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩} ∪ {⟨(Scalar‘ndx), ℂfld⟩, ⟨( ·𝑠 ‘ndx), · ⟩}) = ({⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(Scalar‘ndx), ℂfld⟩} ∪ {⟨( ·𝑠 ‘ndx), · ⟩})
15	1, 14	eqtri 2783	. . . . . . 7 ⊢ 𝑊 = ({⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(Scalar‘ndx), ℂfld⟩} ∪ {⟨( ·𝑠 ‘ndx), · ⟩})
16	15	lmodsca 17504	. . . . . 6 ⊢ (ℂfld ∈ V → ℂfld = (Scalar‘𝑊))
17	3, 16	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ ℂfld = (Scalar‘𝑊)
18	17	isclmi 25403	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ ℂfld = (ℂfld ↾s ℂ) ∧ ℂ ∈ (SubRing‘ℂfld)) → 𝑊 ∈ ℂMod)
19	2, 7, 13, 18	mp3an 1490	. . 3 ⊢ 𝑊 ∈ ℂMod
20		cndrng 21712	. . . 4 ⊢ ℂfld ∈ DivRing
21	17	islvec 21384	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ LVec ↔ (𝑊 ∈ LMod ∧ ℂfld ∈ DivRing))
22	2, 20, 21	mpbir2an 724	. . 3 ⊢ 𝑊 ∈ LVec
23	19, 22	elini 4096	. 2 ⊢ 𝑊 ∈ (ℂMod ∩ LVec)
24		df-cvs 25450	. 2 ⊢ ℂVec = (ℂMod ∩ LVec)
25	23, 24	eleqtrri 2859	1 ⊢ 𝑊 ∈ ℂVec

This proof depends on syntax axioms:   = wceq 1569   ∈ wcel 2144  Vcvv 3450   ∩ cin 4089   ∪ cun 4149  {csn 4584  {cpr 4586  {ctp 4588  ⟨cop 4834  ‘cfv 6538  (class class class)co 7420  ℂcc 11201   + caddc 11206   · cmul 11208  ndxcnx 17376  Basecbs 17392   ↾_s cress 17413  +_gcplusg 17433  Scalarcsca 17436   ·_𝑠 cvsca 17437  SubRingcsubrg 20826  DivRingcdr 20985  LModclmod 21140  LVecclvec 21382  ℂ_fldccnfld 21683  ℂModcclm 25388  ℂVecccvs 25449

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751  ax-cnex 11259  ax-resscn 11260  ax-1cn 11261  ax-icn 11262  ax-addcl 11263  ax-addrcl 11264  ax-mulcl 11265  ax-mulrcl 11266  ax-mulcom 11267  ax-addass 11268  ax-mulass 11269  ax-distr 11270  ax-i2m1 11271  ax-1ne0 11272  ax-1rid 11273  ax-rnegex 11274  ax-rrecex 11275  ax-cnre 11276  ax-pre-lttri 11277  ax-pre-lttrn 11278  ax-pre-ltadd 11279  ax-pre-mulgt0 11280  ax-addf 11282  ax-mulf 11283

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4835  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7878  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-tpos 8246  df-frecs 8302  df-wrecs 8333  df-recs 8382  df-rdg 8421  df-1o 8479  df-er 8720  df-en 8977  df-dom 8978  df-sdom 8979  df-fin 8980  df-pnf 11348  df-mnf 11349  df-xr 11350  df-ltxr 11351  df-le 11352  df-sub 11546  df-neg 11547  df-div 11977  df-nn 12339  df-2 12408  df-3 12409  df-4 12410  df-5 12411  df-6 12412  df-7 12413  df-8 12414  df-9 12415  df-n0 12610  df-z 12697  df-dec 12818  df-uz 12969  df-fz 13643  df-struct 17330  df-sets 17347  df-slot 17365  df-ndx 17377  df-base 17393  df-ress 17414  df-plusg 17446  df-mulr 17447  df-starv 17448  df-sca 17449  df-vsca 17450  df-tset 17452  df-ple 17453  df-ds 17455  df-unif 17456  df-0g 17617  df-mgm 18821  df-sgrp 18913  df-mnd 18929  df-grp 19152  df-minusg 19153  df-subg 19338  df-cmn 20001  df-abl 20002  df-mgp 20366  df-rng 20380  df-ur 20413  df-ring 20466  df-cring 20467  df-oppr 20572  df-dvdsr 20592  df-unit 20593  df-invr 20623  df-dvr 20636  df-subrng 20803  df-subrg 20827  df-drng 20987  df-lmod 21142  df-lvec 21383  df-cnfld 21684  df-clm 25389  df-cvs 25450

This theorem is used by: (None)