Theorem dvalveclem 39488

Description: Lemma for dvalvec 39489. (Contributed by NM, 11-Oct-2013.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 22-Jun-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
dvalvec.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
dvalvec.v	⊢ 𝑈 = ((DVecA‘𝐾)‘𝑊)
dvalveclem.t	⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
dvalveclem.a	⊢ + = (+g‘𝑈)
dvalveclem.e	⊢ 𝐸 = ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)
dvalveclem.d	⊢ 𝐷 = (Scalar‘𝑈)
dvalveclem.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
dvalveclem.p	⊢ ⨣ = (+g‘𝐷)
dvalveclem.m	⊢ × = (.r‘𝐷)
dvalveclem.s	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑈)

Assertion

Ref	Expression
dvalveclem	⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → 𝑈 ∈ LVec)

Proof of Theorem dvalveclem

Dummy variables 𝑡 𝑓 𝑎 𝑏 𝑠 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dvalvec.h	. . . . 5 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2		dvalveclem.t	. . . . 5 ⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
3		dvalvec.v	. . . . 5 ⊢ 𝑈 = ((DVecA‘𝐾)‘𝑊)
4		eqid 2736	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝑈) = (Base‘𝑈)
5	1, 2, 3, 4	dvavbase 39476	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → (Base‘𝑈) = 𝑇)
6	5	eqcomd 2742	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → 𝑇 = (Base‘𝑈))
7		dvalveclem.a	. . . 4 ⊢ + = (+g‘𝑈)
8	7	a1i 11	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → + = (+g‘𝑈))
9		dvalveclem.d	. . . 4 ⊢ 𝐷 = (Scalar‘𝑈)
10	9	a1i 11	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → 𝐷 = (Scalar‘𝑈))
11		dvalveclem.s	. . . 4 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑈)
12	11	a1i 11	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → · = ( ·𝑠 ‘𝑈))
13		dvalveclem.e	. . . . 5 ⊢ 𝐸 = ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)
14		eqid 2736	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝐷) = (Base‘𝐷)
15	1, 13, 3, 9, 14	dvabase 39470	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → (Base‘𝐷) = 𝐸)
16	15	eqcomd 2742	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → 𝐸 = (Base‘𝐷))
17		dvalveclem.p	. . . 4 ⊢ ⨣ = (+g‘𝐷)
18	17	a1i 11	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → ⨣ = (+g‘𝐷))
19		dvalveclem.m	. . . 4 ⊢ × = (.r‘𝐷)
20	19	a1i 11	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → × = (.r‘𝐷))
21	1, 2, 13	tendoidcl 39232	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → ( I ↾ 𝑇) ∈ 𝐸)
22	21, 16	eleqtrd 2840	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → ( I ↾ 𝑇) ∈ (Base‘𝐷))
23		dvalveclem.b	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
24		eqid 2736	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑓 ∈ 𝑇 ↦ ( I ↾ 𝐵)) = (𝑓 ∈ 𝑇 ↦ ( I ↾ 𝐵))
25	23, 1, 2, 13, 24	tendo1ne0 39291	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → ( I ↾ 𝑇) ≠ (𝑓 ∈ 𝑇 ↦ ( I ↾ 𝐵)))
26		eqid 2736	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((EDRing‘𝐾)‘𝑊) = ((EDRing‘𝐾)‘𝑊)
27	1, 26, 3, 9	dvasca 39469	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → 𝐷 = ((EDRing‘𝐾)‘𝑊))
28	27	fveq2d 6846	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → (0g‘𝐷) = (0g‘((EDRing‘𝐾)‘𝑊)))
29		eqid 2736	. . . . . . . . 9 ⊢ (0g‘((EDRing‘𝐾)‘𝑊)) = (0g‘((EDRing‘𝐾)‘𝑊))
30	23, 1, 2, 26, 24, 29	erng0g 39457	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → (0g‘((EDRing‘𝐾)‘𝑊)) = (𝑓 ∈ 𝑇 ↦ ( I ↾ 𝐵)))
31	28, 30	eqtrd 2776	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → (0g‘𝐷) = (𝑓 ∈ 𝑇 ↦ ( I ↾ 𝐵)))
32	25, 31	neeqtrrd 3018	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → ( I ↾ 𝑇) ≠ (0g‘𝐷))
33	21, 21	jca 512	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → (( I ↾ 𝑇) ∈ 𝐸 ∧ ( I ↾ 𝑇) ∈ 𝐸))
34	1, 2, 13, 3, 9, 19	dvamulr 39475	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (( I ↾ 𝑇) ∈ 𝐸 ∧ ( I ↾ 𝑇) ∈ 𝐸)) → (( I ↾ 𝑇) × ( I ↾ 𝑇)) = (( I ↾ 𝑇) ∘ ( I ↾ 𝑇)))
35	33, 34	mpdan 685	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → (( I ↾ 𝑇) × ( I ↾ 𝑇)) = (( I ↾ 𝑇) ∘ ( I ↾ 𝑇)))
36		f1oi 6822	. . . . . . . 8 ⊢ ( I ↾ 𝑇):𝑇–1-1-onto→𝑇
37		f1of 6784	. . . . . . . 8 ⊢ (( I ↾ 𝑇):𝑇–1-1-onto→𝑇 → ( I ↾ 𝑇):𝑇⟶𝑇)
38		fcoi2 6717	. . . . . . . 8 ⊢ (( I ↾ 𝑇):𝑇⟶𝑇 → (( I ↾ 𝑇) ∘ ( I ↾ 𝑇)) = ( I ↾ 𝑇))
39	36, 37, 38	mp2b 10	. . . . . . 7 ⊢ (( I ↾ 𝑇) ∘ ( I ↾ 𝑇)) = ( I ↾ 𝑇)
40	35, 39	eqtrdi 2792	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → (( I ↾ 𝑇) × ( I ↾ 𝑇)) = ( I ↾ 𝑇))
41	22, 32, 40	3jca 1128	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → (( I ↾ 𝑇) ∈ (Base‘𝐷) ∧ ( I ↾ 𝑇) ≠ (0g‘𝐷) ∧ (( I ↾ 𝑇) × ( I ↾ 𝑇)) = ( I ↾ 𝑇)))
42	1, 26	erngdv 39456	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → ((EDRing‘𝐾)‘𝑊) ∈ DivRing)
43	27, 42	eqeltrd 2838	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → 𝐷 ∈ DivRing)
44		eqid 2736	. . . . . . 7 ⊢ (0g‘𝐷) = (0g‘𝐷)
45		eqid 2736	. . . . . . 7 ⊢ (1r‘𝐷) = (1r‘𝐷)
46	14, 19, 44, 45	drngid2 20204	. . . . . 6 ⊢ (𝐷 ∈ DivRing → ((( I ↾ 𝑇) ∈ (Base‘𝐷) ∧ ( I ↾ 𝑇) ≠ (0g‘𝐷) ∧ (( I ↾ 𝑇) × ( I ↾ 𝑇)) = ( I ↾ 𝑇)) ↔ (1r‘𝐷) = ( I ↾ 𝑇)))
47	43, 46	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → ((( I ↾ 𝑇) ∈ (Base‘𝐷) ∧ ( I ↾ 𝑇) ≠ (0g‘𝐷) ∧ (( I ↾ 𝑇) × ( I ↾ 𝑇)) = ( I ↾ 𝑇)) ↔ (1r‘𝐷) = ( I ↾ 𝑇)))
48	41, 47	mpbid 231	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → (1r‘𝐷) = ( I ↾ 𝑇))
49	48	eqcomd 2742	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → ( I ↾ 𝑇) = (1r‘𝐷))
50		drngring 20192	. . . 4 ⊢ (𝐷 ∈ DivRing → 𝐷 ∈ Ring)
51	43, 50	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → 𝐷 ∈ Ring)
52	1, 3	dvaabl 39487	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → 𝑈 ∈ Abel)
53		ablgrp 19567	. . . 4 ⊢ (𝑈 ∈ Abel → 𝑈 ∈ Grp)
54	52, 53	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → 𝑈 ∈ Grp)
55	1, 2, 13, 3, 11	dvavsca 39480	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇)) → (𝑠 · 𝑡) = (𝑠‘𝑡))
56	55	3impb 1115	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) → (𝑠 · 𝑡) = (𝑠‘𝑡))
57	1, 2, 13	tendocl 39230	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) → (𝑠‘𝑡) ∈ 𝑇)
58	56, 57	eqeltrd 2838	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) → (𝑠 · 𝑡) ∈ 𝑇)
59	1, 2, 13	tendospdi1 39483	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇 ∧ 𝑓 ∈ 𝑇)) → (𝑠‘(𝑡 ∘ 𝑓)) = ((𝑠‘𝑡) ∘ (𝑠‘𝑓)))
60		simpr1 1194	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇 ∧ 𝑓 ∈ 𝑇)) → 𝑠 ∈ 𝐸)
61	1, 2	ltrnco 39182	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑡 ∈ 𝑇 ∧ 𝑓 ∈ 𝑇) → (𝑡 ∘ 𝑓) ∈ 𝑇)
62	61	3adant3r1 1182	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇 ∧ 𝑓 ∈ 𝑇)) → (𝑡 ∘ 𝑓) ∈ 𝑇)
63	60, 62	jca 512	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇 ∧ 𝑓 ∈ 𝑇)) → (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ (𝑡 ∘ 𝑓) ∈ 𝑇))
64	1, 2, 13, 3, 11	dvavsca 39480	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ (𝑡 ∘ 𝑓) ∈ 𝑇)) → (𝑠 · (𝑡 ∘ 𝑓)) = (𝑠‘(𝑡 ∘ 𝑓)))
65	63, 64	syldan 591	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇 ∧ 𝑓 ∈ 𝑇)) → (𝑠 · (𝑡 ∘ 𝑓)) = (𝑠‘(𝑡 ∘ 𝑓)))
66	57	3adant3r3 1184	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇 ∧ 𝑓 ∈ 𝑇)) → (𝑠‘𝑡) ∈ 𝑇)
67	1, 2, 13	tendocl 39230	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑓 ∈ 𝑇) → (𝑠‘𝑓) ∈ 𝑇)
68	67	3adant3r2 1183	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇 ∧ 𝑓 ∈ 𝑇)) → (𝑠‘𝑓) ∈ 𝑇)
69	66, 68	jca 512	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇 ∧ 𝑓 ∈ 𝑇)) → ((𝑠‘𝑡) ∈ 𝑇 ∧ (𝑠‘𝑓) ∈ 𝑇))
70	1, 2, 3, 7	dvavadd 39478	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ ((𝑠‘𝑡) ∈ 𝑇 ∧ (𝑠‘𝑓) ∈ 𝑇)) → ((𝑠‘𝑡) + (𝑠‘𝑓)) = ((𝑠‘𝑡) ∘ (𝑠‘𝑓)))
71	69, 70	syldan 591	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇 ∧ 𝑓 ∈ 𝑇)) → ((𝑠‘𝑡) + (𝑠‘𝑓)) = ((𝑠‘𝑡) ∘ (𝑠‘𝑓)))
72	59, 65, 71	3eqtr4d 2786	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇 ∧ 𝑓 ∈ 𝑇)) → (𝑠 · (𝑡 ∘ 𝑓)) = ((𝑠‘𝑡) + (𝑠‘𝑓)))
73	1, 2, 3, 7	dvavadd 39478	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑡 ∈ 𝑇 ∧ 𝑓 ∈ 𝑇)) → (𝑡 + 𝑓) = (𝑡 ∘ 𝑓))
74	73	3adantr1 1169	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇 ∧ 𝑓 ∈ 𝑇)) → (𝑡 + 𝑓) = (𝑡 ∘ 𝑓))
75	74	oveq2d 7373	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇 ∧ 𝑓 ∈ 𝑇)) → (𝑠 · (𝑡 + 𝑓)) = (𝑠 · (𝑡 ∘ 𝑓)))
76	55	3adantr3 1171	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇 ∧ 𝑓 ∈ 𝑇)) → (𝑠 · 𝑡) = (𝑠‘𝑡))
77	1, 2, 13, 3, 11	dvavsca 39480	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑓 ∈ 𝑇)) → (𝑠 · 𝑓) = (𝑠‘𝑓))
78	77	3adantr2 1170	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇 ∧ 𝑓 ∈ 𝑇)) → (𝑠 · 𝑓) = (𝑠‘𝑓))
79	76, 78	oveq12d 7375	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇 ∧ 𝑓 ∈ 𝑇)) → ((𝑠 · 𝑡) + (𝑠 · 𝑓)) = ((𝑠‘𝑡) + (𝑠‘𝑓)))
80	72, 75, 79	3eqtr4d 2786	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇 ∧ 𝑓 ∈ 𝑇)) → (𝑠 · (𝑡 + 𝑓)) = ((𝑠 · 𝑡) + (𝑠 · 𝑓)))
81	1, 2, 13, 3, 9, 17	dvaplusgv 39473	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑡 ∈ 𝐸 ∧ 𝑓 ∈ 𝑇)) → ((𝑠 ⨣ 𝑡)‘𝑓) = ((𝑠‘𝑓) ∘ (𝑡‘𝑓)))
82	1, 2, 13, 3, 9, 17	dvafplusg 39471	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → ⨣ = (𝑎 ∈ 𝐸, 𝑏 ∈ 𝐸 ↦ (𝑓 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑎‘𝑓) ∘ (𝑏‘𝑓)))))
83	82	3ad2ant1 1133	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑡 ∈ 𝐸) → ⨣ = (𝑎 ∈ 𝐸, 𝑏 ∈ 𝐸 ↦ (𝑓 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑎‘𝑓) ∘ (𝑏‘𝑓)))))
84	83	oveqd 7374	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑡 ∈ 𝐸) → (𝑠 ⨣ 𝑡) = (𝑠(𝑎 ∈ 𝐸, 𝑏 ∈ 𝐸 ↦ (𝑓 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑎‘𝑓) ∘ (𝑏‘𝑓))))𝑡))
85		eqid 2736	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑎 ∈ 𝐸, 𝑏 ∈ 𝐸 ↦ (𝑓 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑎‘𝑓) ∘ (𝑏‘𝑓)))) = (𝑎 ∈ 𝐸, 𝑏 ∈ 𝐸 ↦ (𝑓 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑎‘𝑓) ∘ (𝑏‘𝑓))))
86	1, 2, 13, 85	tendoplcl 39244	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑡 ∈ 𝐸) → (𝑠(𝑎 ∈ 𝐸, 𝑏 ∈ 𝐸 ↦ (𝑓 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑎‘𝑓) ∘ (𝑏‘𝑓))))𝑡) ∈ 𝐸)
87	84, 86	eqeltrd 2838	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑡 ∈ 𝐸) → (𝑠 ⨣ 𝑡) ∈ 𝐸)
88	87	3adant3r3 1184	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑡 ∈ 𝐸 ∧ 𝑓 ∈ 𝑇)) → (𝑠 ⨣ 𝑡) ∈ 𝐸)
89		simpr3 1196	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑡 ∈ 𝐸 ∧ 𝑓 ∈ 𝑇)) → 𝑓 ∈ 𝑇)
90	88, 89	jca 512	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑡 ∈ 𝐸 ∧ 𝑓 ∈ 𝑇)) → ((𝑠 ⨣ 𝑡) ∈ 𝐸 ∧ 𝑓 ∈ 𝑇))
91	1, 2, 13, 3, 11	dvavsca 39480	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ ((𝑠 ⨣ 𝑡) ∈ 𝐸 ∧ 𝑓 ∈ 𝑇)) → ((𝑠 ⨣ 𝑡) · 𝑓) = ((𝑠 ⨣ 𝑡)‘𝑓))
92	90, 91	syldan 591	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑡 ∈ 𝐸 ∧ 𝑓 ∈ 𝑇)) → ((𝑠 ⨣ 𝑡) · 𝑓) = ((𝑠 ⨣ 𝑡)‘𝑓))
93	77	3adantr2 1170	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑡 ∈ 𝐸 ∧ 𝑓 ∈ 𝑇)) → (𝑠 · 𝑓) = (𝑠‘𝑓))
94	1, 2, 13, 3, 11	dvavsca 39480	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑡 ∈ 𝐸 ∧ 𝑓 ∈ 𝑇)) → (𝑡 · 𝑓) = (𝑡‘𝑓))
95	94	3adantr1 1169	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑡 ∈ 𝐸 ∧ 𝑓 ∈ 𝑇)) → (𝑡 · 𝑓) = (𝑡‘𝑓))
96	93, 95	oveq12d 7375	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑡 ∈ 𝐸 ∧ 𝑓 ∈ 𝑇)) → ((𝑠 · 𝑓) + (𝑡 · 𝑓)) = ((𝑠‘𝑓) + (𝑡‘𝑓)))
97	67	3adant3r2 1183	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑡 ∈ 𝐸 ∧ 𝑓 ∈ 𝑇)) → (𝑠‘𝑓) ∈ 𝑇)
98	1, 2, 13	tendospcl 39481	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑡 ∈ 𝐸 ∧ 𝑓 ∈ 𝑇) → (𝑡‘𝑓) ∈ 𝑇)
99	98	3adant3r1 1182	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑡 ∈ 𝐸 ∧ 𝑓 ∈ 𝑇)) → (𝑡‘𝑓) ∈ 𝑇)
100	97, 99	jca 512	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑡 ∈ 𝐸 ∧ 𝑓 ∈ 𝑇)) → ((𝑠‘𝑓) ∈ 𝑇 ∧ (𝑡‘𝑓) ∈ 𝑇))
101	1, 2, 3, 7	dvavadd 39478	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ ((𝑠‘𝑓) ∈ 𝑇 ∧ (𝑡‘𝑓) ∈ 𝑇)) → ((𝑠‘𝑓) + (𝑡‘𝑓)) = ((𝑠‘𝑓) ∘ (𝑡‘𝑓)))
102	100, 101	syldan 591	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑡 ∈ 𝐸 ∧ 𝑓 ∈ 𝑇)) → ((𝑠‘𝑓) + (𝑡‘𝑓)) = ((𝑠‘𝑓) ∘ (𝑡‘𝑓)))
103	96, 102	eqtrd 2776	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑡 ∈ 𝐸 ∧ 𝑓 ∈ 𝑇)) → ((𝑠 · 𝑓) + (𝑡 · 𝑓)) = ((𝑠‘𝑓) ∘ (𝑡‘𝑓)))
104	81, 92, 103	3eqtr4d 2786	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑡 ∈ 𝐸 ∧ 𝑓 ∈ 𝑇)) → ((𝑠 ⨣ 𝑡) · 𝑓) = ((𝑠 · 𝑓) + (𝑡 · 𝑓)))
105	1, 2, 13	tendospass 39482	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑡 ∈ 𝐸 ∧ 𝑓 ∈ 𝑇)) → ((𝑠 ∘ 𝑡)‘𝑓) = (𝑠‘(𝑡‘𝑓)))
106	1, 13	tendococl 39235	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑡 ∈ 𝐸) → (𝑠 ∘ 𝑡) ∈ 𝐸)
107	106	3adant3r3 1184	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑡 ∈ 𝐸 ∧ 𝑓 ∈ 𝑇)) → (𝑠 ∘ 𝑡) ∈ 𝐸)
108	107, 89	jca 512	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑡 ∈ 𝐸 ∧ 𝑓 ∈ 𝑇)) → ((𝑠 ∘ 𝑡) ∈ 𝐸 ∧ 𝑓 ∈ 𝑇))
109	1, 2, 13, 3, 11	dvavsca 39480	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ ((𝑠 ∘ 𝑡) ∈ 𝐸 ∧ 𝑓 ∈ 𝑇)) → ((𝑠 ∘ 𝑡) · 𝑓) = ((𝑠 ∘ 𝑡)‘𝑓))
110	108, 109	syldan 591	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑡 ∈ 𝐸 ∧ 𝑓 ∈ 𝑇)) → ((𝑠 ∘ 𝑡) · 𝑓) = ((𝑠 ∘ 𝑡)‘𝑓))
111		simpr1 1194	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑡 ∈ 𝐸 ∧ 𝑓 ∈ 𝑇)) → 𝑠 ∈ 𝐸)
112	111, 99	jca 512	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑡 ∈ 𝐸 ∧ 𝑓 ∈ 𝑇)) → (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ (𝑡‘𝑓) ∈ 𝑇))
113	1, 2, 13, 3, 11	dvavsca 39480	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ (𝑡‘𝑓) ∈ 𝑇)) → (𝑠 · (𝑡‘𝑓)) = (𝑠‘(𝑡‘𝑓)))
114	112, 113	syldan 591	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑡 ∈ 𝐸 ∧ 𝑓 ∈ 𝑇)) → (𝑠 · (𝑡‘𝑓)) = (𝑠‘(𝑡‘𝑓)))
115	105, 110, 114	3eqtr4d 2786	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑡 ∈ 𝐸 ∧ 𝑓 ∈ 𝑇)) → ((𝑠 ∘ 𝑡) · 𝑓) = (𝑠 · (𝑡‘𝑓)))
116	1, 2, 13, 3, 9, 19	dvamulr 39475	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑡 ∈ 𝐸)) → (𝑠 × 𝑡) = (𝑠 ∘ 𝑡))
117	116	3adantr3 1171	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑡 ∈ 𝐸 ∧ 𝑓 ∈ 𝑇)) → (𝑠 × 𝑡) = (𝑠 ∘ 𝑡))
118	117	oveq1d 7372	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑡 ∈ 𝐸 ∧ 𝑓 ∈ 𝑇)) → ((𝑠 × 𝑡) · 𝑓) = ((𝑠 ∘ 𝑡) · 𝑓))
119	95	oveq2d 7373	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑡 ∈ 𝐸 ∧ 𝑓 ∈ 𝑇)) → (𝑠 · (𝑡 · 𝑓)) = (𝑠 · (𝑡‘𝑓)))
120	115, 118, 119	3eqtr4d 2786	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑡 ∈ 𝐸 ∧ 𝑓 ∈ 𝑇)) → ((𝑠 × 𝑡) · 𝑓) = (𝑠 · (𝑡 · 𝑓)))
121	21	anim1i 615	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑠 ∈ 𝑇) → (( I ↾ 𝑇) ∈ 𝐸 ∧ 𝑠 ∈ 𝑇))
122	1, 2, 13, 3, 11	dvavsca 39480	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (( I ↾ 𝑇) ∈ 𝐸 ∧ 𝑠 ∈ 𝑇)) → (( I ↾ 𝑇) · 𝑠) = (( I ↾ 𝑇)‘𝑠))
123	121, 122	syldan 591	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑠 ∈ 𝑇) → (( I ↾ 𝑇) · 𝑠) = (( I ↾ 𝑇)‘𝑠))
124		fvresi 7119	. . . . 5 ⊢ (𝑠 ∈ 𝑇 → (( I ↾ 𝑇)‘𝑠) = 𝑠)
125	124	adantl 482	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑠 ∈ 𝑇) → (( I ↾ 𝑇)‘𝑠) = 𝑠)
126	123, 125	eqtrd 2776	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑠 ∈ 𝑇) → (( I ↾ 𝑇) · 𝑠) = 𝑠)
127	6, 8, 10, 12, 16, 18, 20, 49, 51, 54, 58, 80, 104, 120, 126	islmodd 20328	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → 𝑈 ∈ LMod)
128	9	islvec 20565	. 2 ⊢ (𝑈 ∈ LVec ↔ (𝑈 ∈ LMod ∧ 𝐷 ∈ DivRing))
129	127, 43, 128	sylanbrc 583	1 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → 𝑈 ∈ LVec)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2943   ↦ cmpt 5188   I cid 5530   ↾ cres 5635   ∘ ccom 5637  ⟶wf 6492  –1-1-onto→wf1o 6495  ‘cfv 6496  (class class class)co 7357   ∈ cmpo 7359  Basecbs 17083  +_gcplusg 17133  ._rcmulr 17134  Scalarcsca 17136   ·_𝑠 cvsca 17137  0_gc0g 17321  Grpcgrp 18748  Abelcabl 19563  1_rcur 19913  Ringcrg 19964  DivRingcdr 20185  LModclmod 20322  LVecclvec 20563  HLchlt 37812  LHypclh 38447  LTrncltrn 38564  TEndoctendo 39215  EDRingcedring 39216  DVecAcdveca 39465

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128  ax-riotaBAD 37415

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-tp 4591  df-op 4593  df-uni 4866  df-iun 4956  df-iin 4957  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-tpos 8157  df-undef 8204  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-1o 8412  df-er 8648  df-map 8767  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-nn 12154  df-2 12216  df-3 12217  df-4 12218  df-5 12219  df-6 12220  df-n0 12414  df-z 12500  df-uz 12764  df-fz 13425  df-struct 17019  df-sets 17036  df-slot 17054  df-ndx 17066  df-base 17084  df-ress 17113  df-plusg 17146  df-mulr 17147  df-sca 17149  df-vsca 17150  df-0g 17323  df-proset 18184  df-poset 18202  df-plt 18219  df-lub 18235  df-glb 18236  df-join 18237  df-meet 18238  df-p0 18314  df-p1 18315  df-lat 18321  df-clat 18388  df-mgm 18497  df-sgrp 18546  df-mnd 18557  df-grp 18751  df-minusg 18752  df-cmn 19564  df-abl 19565  df-mgp 19897  df-ur 19914  df-ring 19966  df-oppr 20049  df-dvdsr 20070  df-unit 20071  df-invr 20101  df-dvr 20112  df-drng 20187  df-lmod 20324  df-lvec 20564  df-oposet 37638  df-ol 37640  df-oml 37641  df-covers 37728  df-ats 37729  df-atl 37760  df-cvlat 37784  df-hlat 37813  df-llines 37961  df-lplanes 37962  df-lvols 37963  df-lines 37964  df-psubsp 37966  df-pmap 37967  df-padd 38259  df-lhyp 38451  df-laut 38452  df-ldil 38567  df-ltrn 38568  df-trl 38622  df-tgrp 39206  df-tendo 39218  df-edring 39220  df-dveca 39466

This theorem is referenced by:  dvalvec  39489