Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dvalveclem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dvalveclem 38029
Description: Lemma for dvalvec 38030. (Contributed by NM, 11-Oct-2013.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 22-Jun-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
dvalvec.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
dvalvec.v 𝑈 = ((DVecA‘𝐾)‘𝑊)
dvalveclem.t 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
dvalveclem.a + = (+g𝑈)
dvalveclem.e 𝐸 = ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)
dvalveclem.d 𝐷 = (Scalar‘𝑈)
dvalveclem.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
dvalveclem.p = (+g𝐷)
dvalveclem.m × = (.r𝐷)
dvalveclem.s · = ( ·𝑠𝑈)
Assertion
Ref Expression
dvalveclem ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → 𝑈 ∈ LVec)

Proof of Theorem dvalveclem
Dummy variables 𝑡 𝑓 𝑎 𝑏 𝑠 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dvalvec.h . . . . 5 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2 dvalveclem.t . . . . 5 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
3 dvalvec.v . . . . 5 𝑈 = ((DVecA‘𝐾)‘𝑊)
4 eqid 2824 . . . . 5 (Base‘𝑈) = (Base‘𝑈)
51, 2, 3, 4dvavbase 38017 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → (Base‘𝑈) = 𝑇)
65eqcomd 2830 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → 𝑇 = (Base‘𝑈))
7 dvalveclem.a . . . 4 + = (+g𝑈)
87a1i 11 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → + = (+g𝑈))
9 dvalveclem.d . . . 4 𝐷 = (Scalar‘𝑈)
109a1i 11 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → 𝐷 = (Scalar‘𝑈))
11 dvalveclem.s . . . 4 · = ( ·𝑠𝑈)
1211a1i 11 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → · = ( ·𝑠𝑈))
13 dvalveclem.e . . . . 5 𝐸 = ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)
14 eqid 2824 . . . . 5 (Base‘𝐷) = (Base‘𝐷)
151, 13, 3, 9, 14dvabase 38011 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → (Base‘𝐷) = 𝐸)
1615eqcomd 2830 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → 𝐸 = (Base‘𝐷))
17 dvalveclem.p . . . 4 = (+g𝐷)
1817a1i 11 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → = (+g𝐷))
19 dvalveclem.m . . . 4 × = (.r𝐷)
2019a1i 11 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → × = (.r𝐷))
211, 2, 13tendoidcl 37773 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → ( I ↾ 𝑇) ∈ 𝐸)
2221, 16eleqtrd 2919 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → ( I ↾ 𝑇) ∈ (Base‘𝐷))
23 dvalveclem.b . . . . . . . 8 𝐵 = (Base‘𝐾)
24 eqid 2824 . . . . . . . 8 (𝑓𝑇 ↦ ( I ↾ 𝐵)) = (𝑓𝑇 ↦ ( I ↾ 𝐵))
2523, 1, 2, 13, 24tendo1ne0 37832 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → ( I ↾ 𝑇) ≠ (𝑓𝑇 ↦ ( I ↾ 𝐵)))
26 eqid 2824 . . . . . . . . . 10 ((EDRing‘𝐾)‘𝑊) = ((EDRing‘𝐾)‘𝑊)
271, 26, 3, 9dvasca 38010 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → 𝐷 = ((EDRing‘𝐾)‘𝑊))
2827fveq2d 6670 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → (0g𝐷) = (0g‘((EDRing‘𝐾)‘𝑊)))
29 eqid 2824 . . . . . . . . 9 (0g‘((EDRing‘𝐾)‘𝑊)) = (0g‘((EDRing‘𝐾)‘𝑊))
3023, 1, 2, 26, 24, 29erng0g 37998 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → (0g‘((EDRing‘𝐾)‘𝑊)) = (𝑓𝑇 ↦ ( I ↾ 𝐵)))
3128, 30eqtrd 2860 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → (0g𝐷) = (𝑓𝑇 ↦ ( I ↾ 𝐵)))
3225, 31neeqtrrd 3094 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → ( I ↾ 𝑇) ≠ (0g𝐷))
3321, 21jca 512 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → (( I ↾ 𝑇) ∈ 𝐸 ∧ ( I ↾ 𝑇) ∈ 𝐸))
341, 2, 13, 3, 9, 19dvamulr 38016 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (( I ↾ 𝑇) ∈ 𝐸 ∧ ( I ↾ 𝑇) ∈ 𝐸)) → (( I ↾ 𝑇) × ( I ↾ 𝑇)) = (( I ↾ 𝑇) ∘ ( I ↾ 𝑇)))
3533, 34mpdan 683 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → (( I ↾ 𝑇) × ( I ↾ 𝑇)) = (( I ↾ 𝑇) ∘ ( I ↾ 𝑇)))
36 f1oi 6648 . . . . . . . 8 ( I ↾ 𝑇):𝑇1-1-onto𝑇
37 f1of 6611 . . . . . . . 8 (( I ↾ 𝑇):𝑇1-1-onto𝑇 → ( I ↾ 𝑇):𝑇𝑇)
38 fcoi2 6549 . . . . . . . 8 (( I ↾ 𝑇):𝑇𝑇 → (( I ↾ 𝑇) ∘ ( I ↾ 𝑇)) = ( I ↾ 𝑇))
3936, 37, 38mp2b 10 . . . . . . 7 (( I ↾ 𝑇) ∘ ( I ↾ 𝑇)) = ( I ↾ 𝑇)
4035, 39syl6eq 2876 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → (( I ↾ 𝑇) × ( I ↾ 𝑇)) = ( I ↾ 𝑇))
4122, 32, 403jca 1122 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → (( I ↾ 𝑇) ∈ (Base‘𝐷) ∧ ( I ↾ 𝑇) ≠ (0g𝐷) ∧ (( I ↾ 𝑇) × ( I ↾ 𝑇)) = ( I ↾ 𝑇)))
421, 26erngdv 37997 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → ((EDRing‘𝐾)‘𝑊) ∈ DivRing)
4327, 42eqeltrd 2917 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → 𝐷 ∈ DivRing)
44 eqid 2824 . . . . . . 7 (0g𝐷) = (0g𝐷)
45 eqid 2824 . . . . . . 7 (1r𝐷) = (1r𝐷)
4614, 19, 44, 45drngid2 19440 . . . . . 6 (𝐷 ∈ DivRing → ((( I ↾ 𝑇) ∈ (Base‘𝐷) ∧ ( I ↾ 𝑇) ≠ (0g𝐷) ∧ (( I ↾ 𝑇) × ( I ↾ 𝑇)) = ( I ↾ 𝑇)) ↔ (1r𝐷) = ( I ↾ 𝑇)))
4743, 46syl 17 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → ((( I ↾ 𝑇) ∈ (Base‘𝐷) ∧ ( I ↾ 𝑇) ≠ (0g𝐷) ∧ (( I ↾ 𝑇) × ( I ↾ 𝑇)) = ( I ↾ 𝑇)) ↔ (1r𝐷) = ( I ↾ 𝑇)))
4841, 47mpbid 233 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → (1r𝐷) = ( I ↾ 𝑇))
4948eqcomd 2830 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → ( I ↾ 𝑇) = (1r𝐷))
50 drngring 19431 . . . 4 (𝐷 ∈ DivRing → 𝐷 ∈ Ring)
5143, 50syl 17 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → 𝐷 ∈ Ring)
521, 3dvaabl 38028 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → 𝑈 ∈ Abel)
53 ablgrp 18833 . . . 4 (𝑈 ∈ Abel → 𝑈 ∈ Grp)
5452, 53syl 17 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → 𝑈 ∈ Grp)
551, 2, 13, 3, 11dvavsca 38021 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑠𝐸𝑡𝑇)) → (𝑠 · 𝑡) = (𝑠𝑡))
56553impb 1109 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑠𝐸𝑡𝑇) → (𝑠 · 𝑡) = (𝑠𝑡))
571, 2, 13tendocl 37771 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑠𝐸𝑡𝑇) → (𝑠𝑡) ∈ 𝑇)
5856, 57eqeltrd 2917 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑠𝐸𝑡𝑇) → (𝑠 · 𝑡) ∈ 𝑇)
591, 2, 13tendospdi1 38024 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑠𝐸𝑡𝑇𝑓𝑇)) → (𝑠‘(𝑡𝑓)) = ((𝑠𝑡) ∘ (𝑠𝑓)))
60 simpr1 1188 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑠𝐸𝑡𝑇𝑓𝑇)) → 𝑠𝐸)
611, 2ltrnco 37723 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑡𝑇𝑓𝑇) → (𝑡𝑓) ∈ 𝑇)
62613adant3r1 1176 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑠𝐸𝑡𝑇𝑓𝑇)) → (𝑡𝑓) ∈ 𝑇)
6360, 62jca 512 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑠𝐸𝑡𝑇𝑓𝑇)) → (𝑠𝐸 ∧ (𝑡𝑓) ∈ 𝑇))
641, 2, 13, 3, 11dvavsca 38021 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑠𝐸 ∧ (𝑡𝑓) ∈ 𝑇)) → (𝑠 · (𝑡𝑓)) = (𝑠‘(𝑡𝑓)))
6563, 64syldan 591 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑠𝐸𝑡𝑇𝑓𝑇)) → (𝑠 · (𝑡𝑓)) = (𝑠‘(𝑡𝑓)))
66573adant3r3 1178 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑠𝐸𝑡𝑇𝑓𝑇)) → (𝑠𝑡) ∈ 𝑇)
671, 2, 13tendocl 37771 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑠𝐸𝑓𝑇) → (𝑠𝑓) ∈ 𝑇)
68673adant3r2 1177 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑠𝐸𝑡𝑇𝑓𝑇)) → (𝑠𝑓) ∈ 𝑇)
6966, 68jca 512 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑠𝐸𝑡𝑇𝑓𝑇)) → ((𝑠𝑡) ∈ 𝑇 ∧ (𝑠𝑓) ∈ 𝑇))
701, 2, 3, 7dvavadd 38019 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑠𝑡) ∈ 𝑇 ∧ (𝑠𝑓) ∈ 𝑇)) → ((𝑠𝑡) + (𝑠𝑓)) = ((𝑠𝑡) ∘ (𝑠𝑓)))
7169, 70syldan 591 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑠𝐸𝑡𝑇𝑓𝑇)) → ((𝑠𝑡) + (𝑠𝑓)) = ((𝑠𝑡) ∘ (𝑠𝑓)))
7259, 65, 713eqtr4d 2870 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑠𝐸𝑡𝑇𝑓𝑇)) → (𝑠 · (𝑡𝑓)) = ((𝑠𝑡) + (𝑠𝑓)))
731, 2, 3, 7dvavadd 38019 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑡𝑇𝑓𝑇)) → (𝑡 + 𝑓) = (𝑡𝑓))
74733adantr1 1163 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑠𝐸𝑡𝑇𝑓𝑇)) → (𝑡 + 𝑓) = (𝑡𝑓))
7574oveq2d 7167 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑠𝐸𝑡𝑇𝑓𝑇)) → (𝑠 · (𝑡 + 𝑓)) = (𝑠 · (𝑡𝑓)))
76553adantr3 1165 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑠𝐸𝑡𝑇𝑓𝑇)) → (𝑠 · 𝑡) = (𝑠𝑡))
771, 2, 13, 3, 11dvavsca 38021 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑠𝐸𝑓𝑇)) → (𝑠 · 𝑓) = (𝑠𝑓))
78773adantr2 1164 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑠𝐸𝑡𝑇𝑓𝑇)) → (𝑠 · 𝑓) = (𝑠𝑓))
7976, 78oveq12d 7169 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑠𝐸𝑡𝑇𝑓𝑇)) → ((𝑠 · 𝑡) + (𝑠 · 𝑓)) = ((𝑠𝑡) + (𝑠𝑓)))
8072, 75, 793eqtr4d 2870 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑠𝐸𝑡𝑇𝑓𝑇)) → (𝑠 · (𝑡 + 𝑓)) = ((𝑠 · 𝑡) + (𝑠 · 𝑓)))
811, 2, 13, 3, 9, 17dvaplusgv 38014 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑠𝐸𝑡𝐸𝑓𝑇)) → ((𝑠 𝑡)‘𝑓) = ((𝑠𝑓) ∘ (𝑡𝑓)))
821, 2, 13, 3, 9, 17dvafplusg 38012 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → = (𝑎𝐸, 𝑏𝐸 ↦ (𝑓𝑇 ↦ ((𝑎𝑓) ∘ (𝑏𝑓)))))
83823ad2ant1 1127 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑠𝐸𝑡𝐸) → = (𝑎𝐸, 𝑏𝐸 ↦ (𝑓𝑇 ↦ ((𝑎𝑓) ∘ (𝑏𝑓)))))
8483oveqd 7168 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑠𝐸𝑡𝐸) → (𝑠 𝑡) = (𝑠(𝑎𝐸, 𝑏𝐸 ↦ (𝑓𝑇 ↦ ((𝑎𝑓) ∘ (𝑏𝑓))))𝑡))
85 eqid 2824 . . . . . . . . 9 (𝑎𝐸, 𝑏𝐸 ↦ (𝑓𝑇 ↦ ((𝑎𝑓) ∘ (𝑏𝑓)))) = (𝑎𝐸, 𝑏𝐸 ↦ (𝑓𝑇 ↦ ((𝑎𝑓) ∘ (𝑏𝑓))))
861, 2, 13, 85tendoplcl 37785 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑠𝐸𝑡𝐸) → (𝑠(𝑎𝐸, 𝑏𝐸 ↦ (𝑓𝑇 ↦ ((𝑎𝑓) ∘ (𝑏𝑓))))𝑡) ∈ 𝐸)
8784, 86eqeltrd 2917 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑠𝐸𝑡𝐸) → (𝑠 𝑡) ∈ 𝐸)
88873adant3r3 1178 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑠𝐸𝑡𝐸𝑓𝑇)) → (𝑠 𝑡) ∈ 𝐸)
89 simpr3 1190 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑠𝐸𝑡𝐸𝑓𝑇)) → 𝑓𝑇)
9088, 89jca 512 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑠𝐸𝑡𝐸𝑓𝑇)) → ((𝑠 𝑡) ∈ 𝐸𝑓𝑇))
911, 2, 13, 3, 11dvavsca 38021 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑠 𝑡) ∈ 𝐸𝑓𝑇)) → ((𝑠 𝑡) · 𝑓) = ((𝑠 𝑡)‘𝑓))
9290, 91syldan 591 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑠𝐸𝑡𝐸𝑓𝑇)) → ((𝑠 𝑡) · 𝑓) = ((𝑠 𝑡)‘𝑓))
93773adantr2 1164 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑠𝐸𝑡𝐸𝑓𝑇)) → (𝑠 · 𝑓) = (𝑠𝑓))
941, 2, 13, 3, 11dvavsca 38021 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑡𝐸𝑓𝑇)) → (𝑡 · 𝑓) = (𝑡𝑓))
95943adantr1 1163 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑠𝐸𝑡𝐸𝑓𝑇)) → (𝑡 · 𝑓) = (𝑡𝑓))
9693, 95oveq12d 7169 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑠𝐸𝑡𝐸𝑓𝑇)) → ((𝑠 · 𝑓) + (𝑡 · 𝑓)) = ((𝑠𝑓) + (𝑡𝑓)))
97673adant3r2 1177 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑠𝐸𝑡𝐸𝑓𝑇)) → (𝑠𝑓) ∈ 𝑇)
981, 2, 13tendospcl 38022 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑡𝐸𝑓𝑇) → (𝑡𝑓) ∈ 𝑇)
99983adant3r1 1176 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑠𝐸𝑡𝐸𝑓𝑇)) → (𝑡𝑓) ∈ 𝑇)
10097, 99jca 512 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑠𝐸𝑡𝐸𝑓𝑇)) → ((𝑠𝑓) ∈ 𝑇 ∧ (𝑡𝑓) ∈ 𝑇))
1011, 2, 3, 7dvavadd 38019 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑠𝑓) ∈ 𝑇 ∧ (𝑡𝑓) ∈ 𝑇)) → ((𝑠𝑓) + (𝑡𝑓)) = ((𝑠𝑓) ∘ (𝑡𝑓)))
102100, 101syldan 591 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑠𝐸𝑡𝐸𝑓𝑇)) → ((𝑠𝑓) + (𝑡𝑓)) = ((𝑠𝑓) ∘ (𝑡𝑓)))
10396, 102eqtrd 2860 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑠𝐸𝑡𝐸𝑓𝑇)) → ((𝑠 · 𝑓) + (𝑡 · 𝑓)) = ((𝑠𝑓) ∘ (𝑡𝑓)))
10481, 92, 1033eqtr4d 2870 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑠𝐸𝑡𝐸𝑓𝑇)) → ((𝑠 𝑡) · 𝑓) = ((𝑠 · 𝑓) + (𝑡 · 𝑓)))
1051, 2, 13tendospass 38023 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑠𝐸𝑡𝐸𝑓𝑇)) → ((𝑠𝑡)‘𝑓) = (𝑠‘(𝑡𝑓)))
1061, 13tendococl 37776 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑠𝐸𝑡𝐸) → (𝑠𝑡) ∈ 𝐸)
1071063adant3r3 1178 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑠𝐸𝑡𝐸𝑓𝑇)) → (𝑠𝑡) ∈ 𝐸)
108107, 89jca 512 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑠𝐸𝑡𝐸𝑓𝑇)) → ((𝑠𝑡) ∈ 𝐸𝑓𝑇))
1091, 2, 13, 3, 11dvavsca 38021 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑠𝑡) ∈ 𝐸𝑓𝑇)) → ((𝑠𝑡) · 𝑓) = ((𝑠𝑡)‘𝑓))
110108, 109syldan 591 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑠𝐸𝑡𝐸𝑓𝑇)) → ((𝑠𝑡) · 𝑓) = ((𝑠𝑡)‘𝑓))
111 simpr1 1188 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑠𝐸𝑡𝐸𝑓𝑇)) → 𝑠𝐸)
112111, 99jca 512 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑠𝐸𝑡𝐸𝑓𝑇)) → (𝑠𝐸 ∧ (𝑡𝑓) ∈ 𝑇))
1131, 2, 13, 3, 11dvavsca 38021 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑠𝐸 ∧ (𝑡𝑓) ∈ 𝑇)) → (𝑠 · (𝑡𝑓)) = (𝑠‘(𝑡𝑓)))
114112, 113syldan 591 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑠𝐸𝑡𝐸𝑓𝑇)) → (𝑠 · (𝑡𝑓)) = (𝑠‘(𝑡𝑓)))
115105, 110, 1143eqtr4d 2870 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑠𝐸𝑡𝐸𝑓𝑇)) → ((𝑠𝑡) · 𝑓) = (𝑠 · (𝑡𝑓)))
1161, 2, 13, 3, 9, 19dvamulr 38016 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑠𝐸𝑡𝐸)) → (𝑠 × 𝑡) = (𝑠𝑡))
1171163adantr3 1165 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑠𝐸𝑡𝐸𝑓𝑇)) → (𝑠 × 𝑡) = (𝑠𝑡))
118117oveq1d 7166 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑠𝐸𝑡𝐸𝑓𝑇)) → ((𝑠 × 𝑡) · 𝑓) = ((𝑠𝑡) · 𝑓))
11995oveq2d 7167 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑠𝐸𝑡𝐸𝑓𝑇)) → (𝑠 · (𝑡 · 𝑓)) = (𝑠 · (𝑡𝑓)))
120115, 118, 1193eqtr4d 2870 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑠𝐸𝑡𝐸𝑓𝑇)) → ((𝑠 × 𝑡) · 𝑓) = (𝑠 · (𝑡 · 𝑓)))
12121anim1i 614 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑠𝑇) → (( I ↾ 𝑇) ∈ 𝐸𝑠𝑇))
1221, 2, 13, 3, 11dvavsca 38021 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (( I ↾ 𝑇) ∈ 𝐸𝑠𝑇)) → (( I ↾ 𝑇) · 𝑠) = (( I ↾ 𝑇)‘𝑠))
123121, 122syldan 591 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑠𝑇) → (( I ↾ 𝑇) · 𝑠) = (( I ↾ 𝑇)‘𝑠))
124 fvresi 6930 . . . . 5 (𝑠𝑇 → (( I ↾ 𝑇)‘𝑠) = 𝑠)
125124adantl 482 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑠𝑇) → (( I ↾ 𝑇)‘𝑠) = 𝑠)
126123, 125eqtrd 2860 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑠𝑇) → (( I ↾ 𝑇) · 𝑠) = 𝑠)
1276, 8, 10, 12, 16, 18, 20, 49, 51, 54, 58, 80, 104, 120, 126islmodd 19562 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → 𝑈 ∈ LMod)
1289islvec 19798 . 2 (𝑈 ∈ LVec ↔ (𝑈 ∈ LMod ∧ 𝐷 ∈ DivRing))
129127, 43, 128sylanbrc 583 1 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → 𝑈 ∈ LVec)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 207  wa 396  w3a 1081   = wceq 1530  wcel 2106  wne 3020  cmpt 5142   I cid 5457  cres 5555  ccom 5557  wf 6347  1-1-ontowf1o 6350  cfv 6351  (class class class)co 7151  cmpo 7153  Basecbs 16475  +gcplusg 16557  .rcmulr 16558  Scalarcsca 16560   ·𝑠 cvsca 16561  0gc0g 16705  Grpcgrp 18035  Abelcabl 18829  1rcur 19173  Ringcrg 19219  DivRingcdr 19424  LModclmod 19556  LVecclvec 19796  HLchlt 36354  LHypclh 36988  LTrncltrn 37105  TEndoctendo 37756  EDRingcedring 37757  DVecAcdveca 38006
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1904  ax-6 1963  ax-7 2008  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2152  ax-12 2167  ax-13 2385  ax-ext 2796  ax-rep 5186  ax-sep 5199  ax-nul 5206  ax-pow 5262  ax-pr 5325  ax-un 7454  ax-cnex 10585  ax-resscn 10586  ax-1cn 10587  ax-icn 10588  ax-addcl 10589  ax-addrcl 10590  ax-mulcl 10591  ax-mulrcl 10592  ax-mulcom 10593  ax-addass 10594  ax-mulass 10595  ax-distr 10596  ax-i2m1 10597  ax-1ne0 10598  ax-1rid 10599  ax-rnegex 10600  ax-rrecex 10601  ax-cnre 10602  ax-pre-lttri 10603  ax-pre-lttrn 10604  ax-pre-ltadd 10605  ax-pre-mulgt0 10606  ax-riotaBAD 35957
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 844  df-3or 1082  df-3an 1083  df-tru 1533  df-fal 1543  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2063  df-mo 2615  df-eu 2649  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2897  df-nfc 2967  df-ne 3021  df-nel 3128  df-ral 3147  df-rex 3148  df-reu 3149  df-rmo 3150  df-rab 3151  df-v 3501  df-sbc 3776  df-csb 3887  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3955  df-pss 3957  df-nul 4295  df-if 4470  df-pw 4543  df-sn 4564  df-pr 4566  df-tp 4568  df-op 4570  df-uni 4837  df-int 4874  df-iun 4918  df-iin 4919  df-br 5063  df-opab 5125  df-mpt 5143  df-tr 5169  df-id 5458  df-eprel 5463  df-po 5472  df-so 5473  df-fr 5512  df-we 5514  df-xp 5559  df-rel 5560  df-cnv 5561  df-co 5562  df-dm 5563  df-rn 5564  df-res 5565  df-ima 5566  df-pred 6145  df-ord 6191  df-on 6192  df-lim 6193  df-suc 6194  df-iota 6311  df-fun 6353  df-fn 6354  df-f 6355  df-f1 6356  df-fo 6357  df-f1o 6358  df-fv 6359  df-riota 7109  df-ov 7154  df-oprab 7155  df-mpo 7156  df-om 7572  df-1st 7683  df-2nd 7684  df-tpos 7886  df-undef 7933  df-wrecs 7941  df-recs 8002  df-rdg 8040  df-1o 8096  df-oadd 8100  df-er 8282  df-map 8401  df-en 8502  df-dom 8503  df-sdom 8504  df-fin 8505  df-pnf 10669  df-mnf 10670  df-xr 10671  df-ltxr 10672  df-le 10673  df-sub 10864  df-neg 10865  df-nn 11631  df-2 11692  df-3 11693  df-4 11694  df-5 11695  df-6 11696  df-n0 11890  df-z 11974  df-uz 12236  df-fz 12886  df-struct 16477  df-ndx 16478  df-slot 16479  df-base 16481  df-sets 16482  df-ress 16483  df-plusg 16570  df-mulr 16571  df-sca 16573  df-vsca 16574  df-0g 16707  df-proset 17530  df-poset 17548  df-plt 17560  df-lub 17576  df-glb 17577  df-join 17578  df-meet 17579  df-p0 17641  df-p1 17642  df-lat 17648  df-clat 17710  df-mgm 17844  df-sgrp 17892  df-mnd 17903  df-grp 18038  df-minusg 18039  df-cmn 18830  df-abl 18831  df-mgp 19162  df-ur 19174  df-ring 19221  df-oppr 19295  df-dvdsr 19313  df-unit 19314  df-invr 19344  df-dvr 19355  df-drng 19426  df-lmod 19558  df-lvec 19797  df-oposet 36180  df-ol 36182  df-oml 36183  df-covers 36270  df-ats 36271  df-atl 36302  df-cvlat 36326  df-hlat 36355  df-llines 36502  df-lplanes 36503  df-lvols 36504  df-lines 36505  df-psubsp 36507  df-pmap 36508  df-padd 36800  df-lhyp 36992  df-laut 36993  df-ldil 37108  df-ltrn 37109  df-trl 37163  df-tgrp 37747  df-tendo 37759  df-edring 37761  df-dveca 38007
This theorem is referenced by:  dvalvec  38030
  Copyright terms: Public domain W3C validator