Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dvalveclem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dvalveclem 39517
Description: Lemma for dvalvec 39518. (Contributed by NM, 11-Oct-2013.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 22-Jun-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
dvalvec.h 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
dvalvec.v π‘ˆ = ((DVecAβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
dvalveclem.t 𝑇 = ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
dvalveclem.a + = (+gβ€˜π‘ˆ)
dvalveclem.e 𝐸 = ((TEndoβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
dvalveclem.d 𝐷 = (Scalarβ€˜π‘ˆ)
dvalveclem.b 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
dvalveclem.p ⨣ = (+gβ€˜π·)
dvalveclem.m Γ— = (.rβ€˜π·)
dvalveclem.s Β· = ( ·𝑠 β€˜π‘ˆ)
Assertion
Ref Expression
dvalveclem ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ π‘ˆ ∈ LVec)

Proof of Theorem dvalveclem
Dummy variables 𝑑 𝑓 π‘Ž 𝑏 𝑠 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dvalvec.h . . . . 5 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
2 dvalveclem.t . . . . 5 𝑇 = ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
3 dvalvec.v . . . . 5 π‘ˆ = ((DVecAβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
4 eqid 2737 . . . . 5 (Baseβ€˜π‘ˆ) = (Baseβ€˜π‘ˆ)
51, 2, 3, 4dvavbase 39505 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ (Baseβ€˜π‘ˆ) = 𝑇)
65eqcomd 2743 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ 𝑇 = (Baseβ€˜π‘ˆ))
7 dvalveclem.a . . . 4 + = (+gβ€˜π‘ˆ)
87a1i 11 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ + = (+gβ€˜π‘ˆ))
9 dvalveclem.d . . . 4 𝐷 = (Scalarβ€˜π‘ˆ)
109a1i 11 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ 𝐷 = (Scalarβ€˜π‘ˆ))
11 dvalveclem.s . . . 4 Β· = ( ·𝑠 β€˜π‘ˆ)
1211a1i 11 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ Β· = ( ·𝑠 β€˜π‘ˆ))
13 dvalveclem.e . . . . 5 𝐸 = ((TEndoβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
14 eqid 2737 . . . . 5 (Baseβ€˜π·) = (Baseβ€˜π·)
151, 13, 3, 9, 14dvabase 39499 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ (Baseβ€˜π·) = 𝐸)
1615eqcomd 2743 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ 𝐸 = (Baseβ€˜π·))
17 dvalveclem.p . . . 4 ⨣ = (+gβ€˜π·)
1817a1i 11 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ ⨣ = (+gβ€˜π·))
19 dvalveclem.m . . . 4 Γ— = (.rβ€˜π·)
2019a1i 11 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ Γ— = (.rβ€˜π·))
211, 2, 13tendoidcl 39261 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ ( I β†Ύ 𝑇) ∈ 𝐸)
2221, 16eleqtrd 2840 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ ( I β†Ύ 𝑇) ∈ (Baseβ€˜π·))
23 dvalveclem.b . . . . . . . 8 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
24 eqid 2737 . . . . . . . 8 (𝑓 ∈ 𝑇 ↦ ( I β†Ύ 𝐡)) = (𝑓 ∈ 𝑇 ↦ ( I β†Ύ 𝐡))
2523, 1, 2, 13, 24tendo1ne0 39320 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ ( I β†Ύ 𝑇) β‰  (𝑓 ∈ 𝑇 ↦ ( I β†Ύ 𝐡)))
26 eqid 2737 . . . . . . . . . 10 ((EDRingβ€˜πΎ)β€˜π‘Š) = ((EDRingβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
271, 26, 3, 9dvasca 39498 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ 𝐷 = ((EDRingβ€˜πΎ)β€˜π‘Š))
2827fveq2d 6851 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ (0gβ€˜π·) = (0gβ€˜((EDRingβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)))
29 eqid 2737 . . . . . . . . 9 (0gβ€˜((EDRingβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)) = (0gβ€˜((EDRingβ€˜πΎ)β€˜π‘Š))
3023, 1, 2, 26, 24, 29erng0g 39486 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ (0gβ€˜((EDRingβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)) = (𝑓 ∈ 𝑇 ↦ ( I β†Ύ 𝐡)))
3128, 30eqtrd 2777 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ (0gβ€˜π·) = (𝑓 ∈ 𝑇 ↦ ( I β†Ύ 𝐡)))
3225, 31neeqtrrd 3019 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ ( I β†Ύ 𝑇) β‰  (0gβ€˜π·))
3321, 21jca 513 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ (( I β†Ύ 𝑇) ∈ 𝐸 ∧ ( I β†Ύ 𝑇) ∈ 𝐸))
341, 2, 13, 3, 9, 19dvamulr 39504 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (( I β†Ύ 𝑇) ∈ 𝐸 ∧ ( I β†Ύ 𝑇) ∈ 𝐸)) β†’ (( I β†Ύ 𝑇) Γ— ( I β†Ύ 𝑇)) = (( I β†Ύ 𝑇) ∘ ( I β†Ύ 𝑇)))
3533, 34mpdan 686 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ (( I β†Ύ 𝑇) Γ— ( I β†Ύ 𝑇)) = (( I β†Ύ 𝑇) ∘ ( I β†Ύ 𝑇)))
36 f1oi 6827 . . . . . . . 8 ( I β†Ύ 𝑇):𝑇–1-1-onto→𝑇
37 f1of 6789 . . . . . . . 8 (( I β†Ύ 𝑇):𝑇–1-1-onto→𝑇 β†’ ( I β†Ύ 𝑇):π‘‡βŸΆπ‘‡)
38 fcoi2 6722 . . . . . . . 8 (( I β†Ύ 𝑇):π‘‡βŸΆπ‘‡ β†’ (( I β†Ύ 𝑇) ∘ ( I β†Ύ 𝑇)) = ( I β†Ύ 𝑇))
3936, 37, 38mp2b 10 . . . . . . 7 (( I β†Ύ 𝑇) ∘ ( I β†Ύ 𝑇)) = ( I β†Ύ 𝑇)
4035, 39eqtrdi 2793 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ (( I β†Ύ 𝑇) Γ— ( I β†Ύ 𝑇)) = ( I β†Ύ 𝑇))
4122, 32, 403jca 1129 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ (( I β†Ύ 𝑇) ∈ (Baseβ€˜π·) ∧ ( I β†Ύ 𝑇) β‰  (0gβ€˜π·) ∧ (( I β†Ύ 𝑇) Γ— ( I β†Ύ 𝑇)) = ( I β†Ύ 𝑇)))
421, 26erngdv 39485 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ ((EDRingβ€˜πΎ)β€˜π‘Š) ∈ DivRing)
4327, 42eqeltrd 2838 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ 𝐷 ∈ DivRing)
44 eqid 2737 . . . . . . 7 (0gβ€˜π·) = (0gβ€˜π·)
45 eqid 2737 . . . . . . 7 (1rβ€˜π·) = (1rβ€˜π·)
4614, 19, 44, 45drngid2 20218 . . . . . 6 (𝐷 ∈ DivRing β†’ ((( I β†Ύ 𝑇) ∈ (Baseβ€˜π·) ∧ ( I β†Ύ 𝑇) β‰  (0gβ€˜π·) ∧ (( I β†Ύ 𝑇) Γ— ( I β†Ύ 𝑇)) = ( I β†Ύ 𝑇)) ↔ (1rβ€˜π·) = ( I β†Ύ 𝑇)))
4743, 46syl 17 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ ((( I β†Ύ 𝑇) ∈ (Baseβ€˜π·) ∧ ( I β†Ύ 𝑇) β‰  (0gβ€˜π·) ∧ (( I β†Ύ 𝑇) Γ— ( I β†Ύ 𝑇)) = ( I β†Ύ 𝑇)) ↔ (1rβ€˜π·) = ( I β†Ύ 𝑇)))
4841, 47mpbid 231 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ (1rβ€˜π·) = ( I β†Ύ 𝑇))
4948eqcomd 2743 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ ( I β†Ύ 𝑇) = (1rβ€˜π·))
50 drngring 20206 . . . 4 (𝐷 ∈ DivRing β†’ 𝐷 ∈ Ring)
5143, 50syl 17 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ 𝐷 ∈ Ring)
521, 3dvaabl 39516 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ π‘ˆ ∈ Abel)
53 ablgrp 19574 . . . 4 (π‘ˆ ∈ Abel β†’ π‘ˆ ∈ Grp)
5452, 53syl 17 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ π‘ˆ ∈ Grp)
551, 2, 13, 3, 11dvavsca 39509 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑑 ∈ 𝑇)) β†’ (𝑠 Β· 𝑑) = (π‘ β€˜π‘‘))
56553impb 1116 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑑 ∈ 𝑇) β†’ (𝑠 Β· 𝑑) = (π‘ β€˜π‘‘))
571, 2, 13tendocl 39259 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑑 ∈ 𝑇) β†’ (π‘ β€˜π‘‘) ∈ 𝑇)
5856, 57eqeltrd 2838 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑑 ∈ 𝑇) β†’ (𝑠 Β· 𝑑) ∈ 𝑇)
591, 2, 13tendospdi1 39512 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑑 ∈ 𝑇 ∧ 𝑓 ∈ 𝑇)) β†’ (π‘ β€˜(𝑑 ∘ 𝑓)) = ((π‘ β€˜π‘‘) ∘ (π‘ β€˜π‘“)))
60 simpr1 1195 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑑 ∈ 𝑇 ∧ 𝑓 ∈ 𝑇)) β†’ 𝑠 ∈ 𝐸)
611, 2ltrnco 39211 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑑 ∈ 𝑇 ∧ 𝑓 ∈ 𝑇) β†’ (𝑑 ∘ 𝑓) ∈ 𝑇)
62613adant3r1 1183 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑑 ∈ 𝑇 ∧ 𝑓 ∈ 𝑇)) β†’ (𝑑 ∘ 𝑓) ∈ 𝑇)
6360, 62jca 513 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑑 ∈ 𝑇 ∧ 𝑓 ∈ 𝑇)) β†’ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ (𝑑 ∘ 𝑓) ∈ 𝑇))
641, 2, 13, 3, 11dvavsca 39509 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ (𝑑 ∘ 𝑓) ∈ 𝑇)) β†’ (𝑠 Β· (𝑑 ∘ 𝑓)) = (π‘ β€˜(𝑑 ∘ 𝑓)))
6563, 64syldan 592 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑑 ∈ 𝑇 ∧ 𝑓 ∈ 𝑇)) β†’ (𝑠 Β· (𝑑 ∘ 𝑓)) = (π‘ β€˜(𝑑 ∘ 𝑓)))
66573adant3r3 1185 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑑 ∈ 𝑇 ∧ 𝑓 ∈ 𝑇)) β†’ (π‘ β€˜π‘‘) ∈ 𝑇)
671, 2, 13tendocl 39259 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑓 ∈ 𝑇) β†’ (π‘ β€˜π‘“) ∈ 𝑇)
68673adant3r2 1184 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑑 ∈ 𝑇 ∧ 𝑓 ∈ 𝑇)) β†’ (π‘ β€˜π‘“) ∈ 𝑇)
6966, 68jca 513 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑑 ∈ 𝑇 ∧ 𝑓 ∈ 𝑇)) β†’ ((π‘ β€˜π‘‘) ∈ 𝑇 ∧ (π‘ β€˜π‘“) ∈ 𝑇))
701, 2, 3, 7dvavadd 39507 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ((π‘ β€˜π‘‘) ∈ 𝑇 ∧ (π‘ β€˜π‘“) ∈ 𝑇)) β†’ ((π‘ β€˜π‘‘) + (π‘ β€˜π‘“)) = ((π‘ β€˜π‘‘) ∘ (π‘ β€˜π‘“)))
7169, 70syldan 592 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑑 ∈ 𝑇 ∧ 𝑓 ∈ 𝑇)) β†’ ((π‘ β€˜π‘‘) + (π‘ β€˜π‘“)) = ((π‘ β€˜π‘‘) ∘ (π‘ β€˜π‘“)))
7259, 65, 713eqtr4d 2787 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑑 ∈ 𝑇 ∧ 𝑓 ∈ 𝑇)) β†’ (𝑠 Β· (𝑑 ∘ 𝑓)) = ((π‘ β€˜π‘‘) + (π‘ β€˜π‘“)))
731, 2, 3, 7dvavadd 39507 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑑 ∈ 𝑇 ∧ 𝑓 ∈ 𝑇)) β†’ (𝑑 + 𝑓) = (𝑑 ∘ 𝑓))
74733adantr1 1170 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑑 ∈ 𝑇 ∧ 𝑓 ∈ 𝑇)) β†’ (𝑑 + 𝑓) = (𝑑 ∘ 𝑓))
7574oveq2d 7378 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑑 ∈ 𝑇 ∧ 𝑓 ∈ 𝑇)) β†’ (𝑠 Β· (𝑑 + 𝑓)) = (𝑠 Β· (𝑑 ∘ 𝑓)))
76553adantr3 1172 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑑 ∈ 𝑇 ∧ 𝑓 ∈ 𝑇)) β†’ (𝑠 Β· 𝑑) = (π‘ β€˜π‘‘))
771, 2, 13, 3, 11dvavsca 39509 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑓 ∈ 𝑇)) β†’ (𝑠 Β· 𝑓) = (π‘ β€˜π‘“))
78773adantr2 1171 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑑 ∈ 𝑇 ∧ 𝑓 ∈ 𝑇)) β†’ (𝑠 Β· 𝑓) = (π‘ β€˜π‘“))
7976, 78oveq12d 7380 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑑 ∈ 𝑇 ∧ 𝑓 ∈ 𝑇)) β†’ ((𝑠 Β· 𝑑) + (𝑠 Β· 𝑓)) = ((π‘ β€˜π‘‘) + (π‘ β€˜π‘“)))
8072, 75, 793eqtr4d 2787 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑑 ∈ 𝑇 ∧ 𝑓 ∈ 𝑇)) β†’ (𝑠 Β· (𝑑 + 𝑓)) = ((𝑠 Β· 𝑑) + (𝑠 Β· 𝑓)))
811, 2, 13, 3, 9, 17dvaplusgv 39502 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑑 ∈ 𝐸 ∧ 𝑓 ∈ 𝑇)) β†’ ((𝑠 ⨣ 𝑑)β€˜π‘“) = ((π‘ β€˜π‘“) ∘ (π‘‘β€˜π‘“)))
821, 2, 13, 3, 9, 17dvafplusg 39500 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ ⨣ = (π‘Ž ∈ 𝐸, 𝑏 ∈ 𝐸 ↦ (𝑓 ∈ 𝑇 ↦ ((π‘Žβ€˜π‘“) ∘ (π‘β€˜π‘“)))))
83823ad2ant1 1134 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑑 ∈ 𝐸) β†’ ⨣ = (π‘Ž ∈ 𝐸, 𝑏 ∈ 𝐸 ↦ (𝑓 ∈ 𝑇 ↦ ((π‘Žβ€˜π‘“) ∘ (π‘β€˜π‘“)))))
8483oveqd 7379 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑑 ∈ 𝐸) β†’ (𝑠 ⨣ 𝑑) = (𝑠(π‘Ž ∈ 𝐸, 𝑏 ∈ 𝐸 ↦ (𝑓 ∈ 𝑇 ↦ ((π‘Žβ€˜π‘“) ∘ (π‘β€˜π‘“))))𝑑))
85 eqid 2737 . . . . . . . . 9 (π‘Ž ∈ 𝐸, 𝑏 ∈ 𝐸 ↦ (𝑓 ∈ 𝑇 ↦ ((π‘Žβ€˜π‘“) ∘ (π‘β€˜π‘“)))) = (π‘Ž ∈ 𝐸, 𝑏 ∈ 𝐸 ↦ (𝑓 ∈ 𝑇 ↦ ((π‘Žβ€˜π‘“) ∘ (π‘β€˜π‘“))))
861, 2, 13, 85tendoplcl 39273 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑑 ∈ 𝐸) β†’ (𝑠(π‘Ž ∈ 𝐸, 𝑏 ∈ 𝐸 ↦ (𝑓 ∈ 𝑇 ↦ ((π‘Žβ€˜π‘“) ∘ (π‘β€˜π‘“))))𝑑) ∈ 𝐸)
8784, 86eqeltrd 2838 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑑 ∈ 𝐸) β†’ (𝑠 ⨣ 𝑑) ∈ 𝐸)
88873adant3r3 1185 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑑 ∈ 𝐸 ∧ 𝑓 ∈ 𝑇)) β†’ (𝑠 ⨣ 𝑑) ∈ 𝐸)
89 simpr3 1197 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑑 ∈ 𝐸 ∧ 𝑓 ∈ 𝑇)) β†’ 𝑓 ∈ 𝑇)
9088, 89jca 513 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑑 ∈ 𝐸 ∧ 𝑓 ∈ 𝑇)) β†’ ((𝑠 ⨣ 𝑑) ∈ 𝐸 ∧ 𝑓 ∈ 𝑇))
911, 2, 13, 3, 11dvavsca 39509 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ((𝑠 ⨣ 𝑑) ∈ 𝐸 ∧ 𝑓 ∈ 𝑇)) β†’ ((𝑠 ⨣ 𝑑) Β· 𝑓) = ((𝑠 ⨣ 𝑑)β€˜π‘“))
9290, 91syldan 592 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑑 ∈ 𝐸 ∧ 𝑓 ∈ 𝑇)) β†’ ((𝑠 ⨣ 𝑑) Β· 𝑓) = ((𝑠 ⨣ 𝑑)β€˜π‘“))
93773adantr2 1171 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑑 ∈ 𝐸 ∧ 𝑓 ∈ 𝑇)) β†’ (𝑠 Β· 𝑓) = (π‘ β€˜π‘“))
941, 2, 13, 3, 11dvavsca 39509 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑑 ∈ 𝐸 ∧ 𝑓 ∈ 𝑇)) β†’ (𝑑 Β· 𝑓) = (π‘‘β€˜π‘“))
95943adantr1 1170 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑑 ∈ 𝐸 ∧ 𝑓 ∈ 𝑇)) β†’ (𝑑 Β· 𝑓) = (π‘‘β€˜π‘“))
9693, 95oveq12d 7380 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑑 ∈ 𝐸 ∧ 𝑓 ∈ 𝑇)) β†’ ((𝑠 Β· 𝑓) + (𝑑 Β· 𝑓)) = ((π‘ β€˜π‘“) + (π‘‘β€˜π‘“)))
97673adant3r2 1184 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑑 ∈ 𝐸 ∧ 𝑓 ∈ 𝑇)) β†’ (π‘ β€˜π‘“) ∈ 𝑇)
981, 2, 13tendospcl 39510 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑑 ∈ 𝐸 ∧ 𝑓 ∈ 𝑇) β†’ (π‘‘β€˜π‘“) ∈ 𝑇)
99983adant3r1 1183 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑑 ∈ 𝐸 ∧ 𝑓 ∈ 𝑇)) β†’ (π‘‘β€˜π‘“) ∈ 𝑇)
10097, 99jca 513 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑑 ∈ 𝐸 ∧ 𝑓 ∈ 𝑇)) β†’ ((π‘ β€˜π‘“) ∈ 𝑇 ∧ (π‘‘β€˜π‘“) ∈ 𝑇))
1011, 2, 3, 7dvavadd 39507 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ((π‘ β€˜π‘“) ∈ 𝑇 ∧ (π‘‘β€˜π‘“) ∈ 𝑇)) β†’ ((π‘ β€˜π‘“) + (π‘‘β€˜π‘“)) = ((π‘ β€˜π‘“) ∘ (π‘‘β€˜π‘“)))
102100, 101syldan 592 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑑 ∈ 𝐸 ∧ 𝑓 ∈ 𝑇)) β†’ ((π‘ β€˜π‘“) + (π‘‘β€˜π‘“)) = ((π‘ β€˜π‘“) ∘ (π‘‘β€˜π‘“)))
10396, 102eqtrd 2777 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑑 ∈ 𝐸 ∧ 𝑓 ∈ 𝑇)) β†’ ((𝑠 Β· 𝑓) + (𝑑 Β· 𝑓)) = ((π‘ β€˜π‘“) ∘ (π‘‘β€˜π‘“)))
10481, 92, 1033eqtr4d 2787 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑑 ∈ 𝐸 ∧ 𝑓 ∈ 𝑇)) β†’ ((𝑠 ⨣ 𝑑) Β· 𝑓) = ((𝑠 Β· 𝑓) + (𝑑 Β· 𝑓)))
1051, 2, 13tendospass 39511 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑑 ∈ 𝐸 ∧ 𝑓 ∈ 𝑇)) β†’ ((𝑠 ∘ 𝑑)β€˜π‘“) = (π‘ β€˜(π‘‘β€˜π‘“)))
1061, 13tendococl 39264 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑑 ∈ 𝐸) β†’ (𝑠 ∘ 𝑑) ∈ 𝐸)
1071063adant3r3 1185 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑑 ∈ 𝐸 ∧ 𝑓 ∈ 𝑇)) β†’ (𝑠 ∘ 𝑑) ∈ 𝐸)
108107, 89jca 513 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑑 ∈ 𝐸 ∧ 𝑓 ∈ 𝑇)) β†’ ((𝑠 ∘ 𝑑) ∈ 𝐸 ∧ 𝑓 ∈ 𝑇))
1091, 2, 13, 3, 11dvavsca 39509 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ((𝑠 ∘ 𝑑) ∈ 𝐸 ∧ 𝑓 ∈ 𝑇)) β†’ ((𝑠 ∘ 𝑑) Β· 𝑓) = ((𝑠 ∘ 𝑑)β€˜π‘“))
110108, 109syldan 592 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑑 ∈ 𝐸 ∧ 𝑓 ∈ 𝑇)) β†’ ((𝑠 ∘ 𝑑) Β· 𝑓) = ((𝑠 ∘ 𝑑)β€˜π‘“))
111 simpr1 1195 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑑 ∈ 𝐸 ∧ 𝑓 ∈ 𝑇)) β†’ 𝑠 ∈ 𝐸)
112111, 99jca 513 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑑 ∈ 𝐸 ∧ 𝑓 ∈ 𝑇)) β†’ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ (π‘‘β€˜π‘“) ∈ 𝑇))
1131, 2, 13, 3, 11dvavsca 39509 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ (π‘‘β€˜π‘“) ∈ 𝑇)) β†’ (𝑠 Β· (π‘‘β€˜π‘“)) = (π‘ β€˜(π‘‘β€˜π‘“)))
114112, 113syldan 592 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑑 ∈ 𝐸 ∧ 𝑓 ∈ 𝑇)) β†’ (𝑠 Β· (π‘‘β€˜π‘“)) = (π‘ β€˜(π‘‘β€˜π‘“)))
115105, 110, 1143eqtr4d 2787 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑑 ∈ 𝐸 ∧ 𝑓 ∈ 𝑇)) β†’ ((𝑠 ∘ 𝑑) Β· 𝑓) = (𝑠 Β· (π‘‘β€˜π‘“)))
1161, 2, 13, 3, 9, 19dvamulr 39504 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑑 ∈ 𝐸)) β†’ (𝑠 Γ— 𝑑) = (𝑠 ∘ 𝑑))
1171163adantr3 1172 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑑 ∈ 𝐸 ∧ 𝑓 ∈ 𝑇)) β†’ (𝑠 Γ— 𝑑) = (𝑠 ∘ 𝑑))
118117oveq1d 7377 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑑 ∈ 𝐸 ∧ 𝑓 ∈ 𝑇)) β†’ ((𝑠 Γ— 𝑑) Β· 𝑓) = ((𝑠 ∘ 𝑑) Β· 𝑓))
11995oveq2d 7378 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑑 ∈ 𝐸 ∧ 𝑓 ∈ 𝑇)) β†’ (𝑠 Β· (𝑑 Β· 𝑓)) = (𝑠 Β· (π‘‘β€˜π‘“)))
120115, 118, 1193eqtr4d 2787 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑑 ∈ 𝐸 ∧ 𝑓 ∈ 𝑇)) β†’ ((𝑠 Γ— 𝑑) Β· 𝑓) = (𝑠 Β· (𝑑 Β· 𝑓)))
12121anim1i 616 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑠 ∈ 𝑇) β†’ (( I β†Ύ 𝑇) ∈ 𝐸 ∧ 𝑠 ∈ 𝑇))
1221, 2, 13, 3, 11dvavsca 39509 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (( I β†Ύ 𝑇) ∈ 𝐸 ∧ 𝑠 ∈ 𝑇)) β†’ (( I β†Ύ 𝑇) Β· 𝑠) = (( I β†Ύ 𝑇)β€˜π‘ ))
123121, 122syldan 592 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑠 ∈ 𝑇) β†’ (( I β†Ύ 𝑇) Β· 𝑠) = (( I β†Ύ 𝑇)β€˜π‘ ))
124 fvresi 7124 . . . . 5 (𝑠 ∈ 𝑇 β†’ (( I β†Ύ 𝑇)β€˜π‘ ) = 𝑠)
125124adantl 483 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑠 ∈ 𝑇) β†’ (( I β†Ύ 𝑇)β€˜π‘ ) = 𝑠)
126123, 125eqtrd 2777 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑠 ∈ 𝑇) β†’ (( I β†Ύ 𝑇) Β· 𝑠) = 𝑠)
1276, 8, 10, 12, 16, 18, 20, 49, 51, 54, 58, 80, 104, 120, 126islmodd 20344 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ π‘ˆ ∈ LMod)
1289islvec 20581 . 2 (π‘ˆ ∈ LVec ↔ (π‘ˆ ∈ LMod ∧ 𝐷 ∈ DivRing))
129127, 43, 128sylanbrc 584 1 ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ π‘ˆ ∈ LVec)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2944   ↦ cmpt 5193   I cid 5535   β†Ύ cres 5640   ∘ ccom 5642  βŸΆwf 6497  β€“1-1-ontoβ†’wf1o 6500  β€˜cfv 6501  (class class class)co 7362   ∈ cmpo 7364  Basecbs 17090  +gcplusg 17140  .rcmulr 17141  Scalarcsca 17143   ·𝑠 cvsca 17144  0gc0g 17328  Grpcgrp 18755  Abelcabl 19570  1rcur 19920  Ringcrg 19971  DivRingcdr 20199  LModclmod 20338  LVecclvec 20579  HLchlt 37841  LHypclh 38476  LTrncltrn 38593  TEndoctendo 39244  EDRingcedring 39245  DVecAcdveca 39494
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5247  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-cnex 11114  ax-resscn 11115  ax-1cn 11116  ax-icn 11117  ax-addcl 11118  ax-addrcl 11119  ax-mulcl 11120  ax-mulrcl 11121  ax-mulcom 11122  ax-addass 11123  ax-mulass 11124  ax-distr 11125  ax-i2m1 11126  ax-1ne0 11127  ax-1rid 11128  ax-rnegex 11129  ax-rrecex 11130  ax-cnre 11131  ax-pre-lttri 11132  ax-pre-lttrn 11133  ax-pre-ltadd 11134  ax-pre-mulgt0 11135  ax-riotaBAD 37444
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-pss 3934  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-tp 4596  df-op 4598  df-uni 4871  df-iun 4961  df-iin 4962  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-om 7808  df-1st 7926  df-2nd 7927  df-tpos 8162  df-undef 8209  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-1o 8417  df-er 8655  df-map 8774  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-fin 8894  df-pnf 11198  df-mnf 11199  df-xr 11200  df-ltxr 11201  df-le 11202  df-sub 11394  df-neg 11395  df-nn 12161  df-2 12223  df-3 12224  df-4 12225  df-5 12226  df-6 12227  df-n0 12421  df-z 12507  df-uz 12771  df-fz 13432  df-struct 17026  df-sets 17043  df-slot 17061  df-ndx 17073  df-base 17091  df-ress 17120  df-plusg 17153  df-mulr 17154  df-sca 17156  df-vsca 17157  df-0g 17330  df-proset 18191  df-poset 18209  df-plt 18226  df-lub 18242  df-glb 18243  df-join 18244  df-meet 18245  df-p0 18321  df-p1 18322  df-lat 18328  df-clat 18395  df-mgm 18504  df-sgrp 18553  df-mnd 18564  df-grp 18758  df-minusg 18759  df-cmn 19571  df-abl 19572  df-mgp 19904  df-ur 19921  df-ring 19973  df-oppr 20056  df-dvdsr 20077  df-unit 20078  df-invr 20108  df-dvr 20119  df-drng 20201  df-lmod 20340  df-lvec 20580  df-oposet 37667  df-ol 37669  df-oml 37670  df-covers 37757  df-ats 37758  df-atl 37789  df-cvlat 37813  df-hlat 37842  df-llines 37990  df-lplanes 37991  df-lvols 37992  df-lines 37993  df-psubsp 37995  df-pmap 37996  df-padd 38288  df-lhyp 38480  df-laut 38481  df-ldil 38596  df-ltrn 38597  df-trl 38651  df-tgrp 39235  df-tendo 39247  df-edring 39249  df-dveca 39495
This theorem is referenced by:  dvalvec  39518
  Copyright terms: Public domain W3C validator