Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dvalveclem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dvalveclem 40409
Description: Lemma for dvalvec 40410. (Contributed by NM, 11-Oct-2013.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 22-Jun-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
dvalvec.h 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
dvalvec.v π‘ˆ = ((DVecAβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
dvalveclem.t 𝑇 = ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
dvalveclem.a + = (+gβ€˜π‘ˆ)
dvalveclem.e 𝐸 = ((TEndoβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
dvalveclem.d 𝐷 = (Scalarβ€˜π‘ˆ)
dvalveclem.b 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
dvalveclem.p ⨣ = (+gβ€˜π·)
dvalveclem.m Γ— = (.rβ€˜π·)
dvalveclem.s Β· = ( ·𝑠 β€˜π‘ˆ)
Assertion
Ref Expression
dvalveclem ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ π‘ˆ ∈ LVec)

Proof of Theorem dvalveclem
Dummy variables 𝑑 𝑓 π‘Ž 𝑏 𝑠 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dvalvec.h . . . . 5 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
2 dvalveclem.t . . . . 5 𝑇 = ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
3 dvalvec.v . . . . 5 π‘ˆ = ((DVecAβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
4 eqid 2726 . . . . 5 (Baseβ€˜π‘ˆ) = (Baseβ€˜π‘ˆ)
51, 2, 3, 4dvavbase 40397 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ (Baseβ€˜π‘ˆ) = 𝑇)
65eqcomd 2732 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ 𝑇 = (Baseβ€˜π‘ˆ))
7 dvalveclem.a . . . 4 + = (+gβ€˜π‘ˆ)
87a1i 11 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ + = (+gβ€˜π‘ˆ))
9 dvalveclem.d . . . 4 𝐷 = (Scalarβ€˜π‘ˆ)
109a1i 11 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ 𝐷 = (Scalarβ€˜π‘ˆ))
11 dvalveclem.s . . . 4 Β· = ( ·𝑠 β€˜π‘ˆ)
1211a1i 11 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ Β· = ( ·𝑠 β€˜π‘ˆ))
13 dvalveclem.e . . . . 5 𝐸 = ((TEndoβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
14 eqid 2726 . . . . 5 (Baseβ€˜π·) = (Baseβ€˜π·)
151, 13, 3, 9, 14dvabase 40391 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ (Baseβ€˜π·) = 𝐸)
1615eqcomd 2732 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ 𝐸 = (Baseβ€˜π·))
17 dvalveclem.p . . . 4 ⨣ = (+gβ€˜π·)
1817a1i 11 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ ⨣ = (+gβ€˜π·))
19 dvalveclem.m . . . 4 Γ— = (.rβ€˜π·)
2019a1i 11 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ Γ— = (.rβ€˜π·))
211, 2, 13tendoidcl 40153 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ ( I β†Ύ 𝑇) ∈ 𝐸)
2221, 16eleqtrd 2829 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ ( I β†Ύ 𝑇) ∈ (Baseβ€˜π·))
23 dvalveclem.b . . . . . . . 8 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
24 eqid 2726 . . . . . . . 8 (𝑓 ∈ 𝑇 ↦ ( I β†Ύ 𝐡)) = (𝑓 ∈ 𝑇 ↦ ( I β†Ύ 𝐡))
2523, 1, 2, 13, 24tendo1ne0 40212 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ ( I β†Ύ 𝑇) β‰  (𝑓 ∈ 𝑇 ↦ ( I β†Ύ 𝐡)))
26 eqid 2726 . . . . . . . . . 10 ((EDRingβ€˜πΎ)β€˜π‘Š) = ((EDRingβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
271, 26, 3, 9dvasca 40390 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ 𝐷 = ((EDRingβ€˜πΎ)β€˜π‘Š))
2827fveq2d 6889 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ (0gβ€˜π·) = (0gβ€˜((EDRingβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)))
29 eqid 2726 . . . . . . . . 9 (0gβ€˜((EDRingβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)) = (0gβ€˜((EDRingβ€˜πΎ)β€˜π‘Š))
3023, 1, 2, 26, 24, 29erng0g 40378 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ (0gβ€˜((EDRingβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)) = (𝑓 ∈ 𝑇 ↦ ( I β†Ύ 𝐡)))
3128, 30eqtrd 2766 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ (0gβ€˜π·) = (𝑓 ∈ 𝑇 ↦ ( I β†Ύ 𝐡)))
3225, 31neeqtrrd 3009 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ ( I β†Ύ 𝑇) β‰  (0gβ€˜π·))
3321, 21jca 511 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ (( I β†Ύ 𝑇) ∈ 𝐸 ∧ ( I β†Ύ 𝑇) ∈ 𝐸))
341, 2, 13, 3, 9, 19dvamulr 40396 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (( I β†Ύ 𝑇) ∈ 𝐸 ∧ ( I β†Ύ 𝑇) ∈ 𝐸)) β†’ (( I β†Ύ 𝑇) Γ— ( I β†Ύ 𝑇)) = (( I β†Ύ 𝑇) ∘ ( I β†Ύ 𝑇)))
3533, 34mpdan 684 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ (( I β†Ύ 𝑇) Γ— ( I β†Ύ 𝑇)) = (( I β†Ύ 𝑇) ∘ ( I β†Ύ 𝑇)))
36 f1oi 6865 . . . . . . . 8 ( I β†Ύ 𝑇):𝑇–1-1-onto→𝑇
37 f1of 6827 . . . . . . . 8 (( I β†Ύ 𝑇):𝑇–1-1-onto→𝑇 β†’ ( I β†Ύ 𝑇):π‘‡βŸΆπ‘‡)
38 fcoi2 6760 . . . . . . . 8 (( I β†Ύ 𝑇):π‘‡βŸΆπ‘‡ β†’ (( I β†Ύ 𝑇) ∘ ( I β†Ύ 𝑇)) = ( I β†Ύ 𝑇))
3936, 37, 38mp2b 10 . . . . . . 7 (( I β†Ύ 𝑇) ∘ ( I β†Ύ 𝑇)) = ( I β†Ύ 𝑇)
4035, 39eqtrdi 2782 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ (( I β†Ύ 𝑇) Γ— ( I β†Ύ 𝑇)) = ( I β†Ύ 𝑇))
4122, 32, 403jca 1125 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ (( I β†Ύ 𝑇) ∈ (Baseβ€˜π·) ∧ ( I β†Ύ 𝑇) β‰  (0gβ€˜π·) ∧ (( I β†Ύ 𝑇) Γ— ( I β†Ύ 𝑇)) = ( I β†Ύ 𝑇)))
421, 26erngdv 40377 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ ((EDRingβ€˜πΎ)β€˜π‘Š) ∈ DivRing)
4327, 42eqeltrd 2827 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ 𝐷 ∈ DivRing)
44 eqid 2726 . . . . . . 7 (0gβ€˜π·) = (0gβ€˜π·)
45 eqid 2726 . . . . . . 7 (1rβ€˜π·) = (1rβ€˜π·)
4614, 19, 44, 45drngid2 20608 . . . . . 6 (𝐷 ∈ DivRing β†’ ((( I β†Ύ 𝑇) ∈ (Baseβ€˜π·) ∧ ( I β†Ύ 𝑇) β‰  (0gβ€˜π·) ∧ (( I β†Ύ 𝑇) Γ— ( I β†Ύ 𝑇)) = ( I β†Ύ 𝑇)) ↔ (1rβ€˜π·) = ( I β†Ύ 𝑇)))
4743, 46syl 17 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ ((( I β†Ύ 𝑇) ∈ (Baseβ€˜π·) ∧ ( I β†Ύ 𝑇) β‰  (0gβ€˜π·) ∧ (( I β†Ύ 𝑇) Γ— ( I β†Ύ 𝑇)) = ( I β†Ύ 𝑇)) ↔ (1rβ€˜π·) = ( I β†Ύ 𝑇)))
4841, 47mpbid 231 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ (1rβ€˜π·) = ( I β†Ύ 𝑇))
4948eqcomd 2732 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ ( I β†Ύ 𝑇) = (1rβ€˜π·))
50 drngring 20594 . . . 4 (𝐷 ∈ DivRing β†’ 𝐷 ∈ Ring)
5143, 50syl 17 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ 𝐷 ∈ Ring)
521, 3dvaabl 40408 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ π‘ˆ ∈ Abel)
53 ablgrp 19705 . . . 4 (π‘ˆ ∈ Abel β†’ π‘ˆ ∈ Grp)
5452, 53syl 17 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ π‘ˆ ∈ Grp)
551, 2, 13, 3, 11dvavsca 40401 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑑 ∈ 𝑇)) β†’ (𝑠 Β· 𝑑) = (π‘ β€˜π‘‘))
56553impb 1112 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑑 ∈ 𝑇) β†’ (𝑠 Β· 𝑑) = (π‘ β€˜π‘‘))
571, 2, 13tendocl 40151 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑑 ∈ 𝑇) β†’ (π‘ β€˜π‘‘) ∈ 𝑇)
5856, 57eqeltrd 2827 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑑 ∈ 𝑇) β†’ (𝑠 Β· 𝑑) ∈ 𝑇)
591, 2, 13tendospdi1 40404 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑑 ∈ 𝑇 ∧ 𝑓 ∈ 𝑇)) β†’ (π‘ β€˜(𝑑 ∘ 𝑓)) = ((π‘ β€˜π‘‘) ∘ (π‘ β€˜π‘“)))
60 simpr1 1191 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑑 ∈ 𝑇 ∧ 𝑓 ∈ 𝑇)) β†’ 𝑠 ∈ 𝐸)
611, 2ltrnco 40103 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑑 ∈ 𝑇 ∧ 𝑓 ∈ 𝑇) β†’ (𝑑 ∘ 𝑓) ∈ 𝑇)
62613adant3r1 1179 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑑 ∈ 𝑇 ∧ 𝑓 ∈ 𝑇)) β†’ (𝑑 ∘ 𝑓) ∈ 𝑇)
6360, 62jca 511 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑑 ∈ 𝑇 ∧ 𝑓 ∈ 𝑇)) β†’ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ (𝑑 ∘ 𝑓) ∈ 𝑇))
641, 2, 13, 3, 11dvavsca 40401 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ (𝑑 ∘ 𝑓) ∈ 𝑇)) β†’ (𝑠 Β· (𝑑 ∘ 𝑓)) = (π‘ β€˜(𝑑 ∘ 𝑓)))
6563, 64syldan 590 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑑 ∈ 𝑇 ∧ 𝑓 ∈ 𝑇)) β†’ (𝑠 Β· (𝑑 ∘ 𝑓)) = (π‘ β€˜(𝑑 ∘ 𝑓)))
66573adant3r3 1181 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑑 ∈ 𝑇 ∧ 𝑓 ∈ 𝑇)) β†’ (π‘ β€˜π‘‘) ∈ 𝑇)
671, 2, 13tendocl 40151 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑓 ∈ 𝑇) β†’ (π‘ β€˜π‘“) ∈ 𝑇)
68673adant3r2 1180 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑑 ∈ 𝑇 ∧ 𝑓 ∈ 𝑇)) β†’ (π‘ β€˜π‘“) ∈ 𝑇)
6966, 68jca 511 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑑 ∈ 𝑇 ∧ 𝑓 ∈ 𝑇)) β†’ ((π‘ β€˜π‘‘) ∈ 𝑇 ∧ (π‘ β€˜π‘“) ∈ 𝑇))
701, 2, 3, 7dvavadd 40399 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ((π‘ β€˜π‘‘) ∈ 𝑇 ∧ (π‘ β€˜π‘“) ∈ 𝑇)) β†’ ((π‘ β€˜π‘‘) + (π‘ β€˜π‘“)) = ((π‘ β€˜π‘‘) ∘ (π‘ β€˜π‘“)))
7169, 70syldan 590 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑑 ∈ 𝑇 ∧ 𝑓 ∈ 𝑇)) β†’ ((π‘ β€˜π‘‘) + (π‘ β€˜π‘“)) = ((π‘ β€˜π‘‘) ∘ (π‘ β€˜π‘“)))
7259, 65, 713eqtr4d 2776 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑑 ∈ 𝑇 ∧ 𝑓 ∈ 𝑇)) β†’ (𝑠 Β· (𝑑 ∘ 𝑓)) = ((π‘ β€˜π‘‘) + (π‘ β€˜π‘“)))
731, 2, 3, 7dvavadd 40399 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑑 ∈ 𝑇 ∧ 𝑓 ∈ 𝑇)) β†’ (𝑑 + 𝑓) = (𝑑 ∘ 𝑓))
74733adantr1 1166 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑑 ∈ 𝑇 ∧ 𝑓 ∈ 𝑇)) β†’ (𝑑 + 𝑓) = (𝑑 ∘ 𝑓))
7574oveq2d 7421 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑑 ∈ 𝑇 ∧ 𝑓 ∈ 𝑇)) β†’ (𝑠 Β· (𝑑 + 𝑓)) = (𝑠 Β· (𝑑 ∘ 𝑓)))
76553adantr3 1168 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑑 ∈ 𝑇 ∧ 𝑓 ∈ 𝑇)) β†’ (𝑠 Β· 𝑑) = (π‘ β€˜π‘‘))
771, 2, 13, 3, 11dvavsca 40401 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑓 ∈ 𝑇)) β†’ (𝑠 Β· 𝑓) = (π‘ β€˜π‘“))
78773adantr2 1167 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑑 ∈ 𝑇 ∧ 𝑓 ∈ 𝑇)) β†’ (𝑠 Β· 𝑓) = (π‘ β€˜π‘“))
7976, 78oveq12d 7423 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑑 ∈ 𝑇 ∧ 𝑓 ∈ 𝑇)) β†’ ((𝑠 Β· 𝑑) + (𝑠 Β· 𝑓)) = ((π‘ β€˜π‘‘) + (π‘ β€˜π‘“)))
8072, 75, 793eqtr4d 2776 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑑 ∈ 𝑇 ∧ 𝑓 ∈ 𝑇)) β†’ (𝑠 Β· (𝑑 + 𝑓)) = ((𝑠 Β· 𝑑) + (𝑠 Β· 𝑓)))
811, 2, 13, 3, 9, 17dvaplusgv 40394 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑑 ∈ 𝐸 ∧ 𝑓 ∈ 𝑇)) β†’ ((𝑠 ⨣ 𝑑)β€˜π‘“) = ((π‘ β€˜π‘“) ∘ (π‘‘β€˜π‘“)))
821, 2, 13, 3, 9, 17dvafplusg 40392 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ ⨣ = (π‘Ž ∈ 𝐸, 𝑏 ∈ 𝐸 ↦ (𝑓 ∈ 𝑇 ↦ ((π‘Žβ€˜π‘“) ∘ (π‘β€˜π‘“)))))
83823ad2ant1 1130 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑑 ∈ 𝐸) β†’ ⨣ = (π‘Ž ∈ 𝐸, 𝑏 ∈ 𝐸 ↦ (𝑓 ∈ 𝑇 ↦ ((π‘Žβ€˜π‘“) ∘ (π‘β€˜π‘“)))))
8483oveqd 7422 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑑 ∈ 𝐸) β†’ (𝑠 ⨣ 𝑑) = (𝑠(π‘Ž ∈ 𝐸, 𝑏 ∈ 𝐸 ↦ (𝑓 ∈ 𝑇 ↦ ((π‘Žβ€˜π‘“) ∘ (π‘β€˜π‘“))))𝑑))
85 eqid 2726 . . . . . . . . 9 (π‘Ž ∈ 𝐸, 𝑏 ∈ 𝐸 ↦ (𝑓 ∈ 𝑇 ↦ ((π‘Žβ€˜π‘“) ∘ (π‘β€˜π‘“)))) = (π‘Ž ∈ 𝐸, 𝑏 ∈ 𝐸 ↦ (𝑓 ∈ 𝑇 ↦ ((π‘Žβ€˜π‘“) ∘ (π‘β€˜π‘“))))
861, 2, 13, 85tendoplcl 40165 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑑 ∈ 𝐸) β†’ (𝑠(π‘Ž ∈ 𝐸, 𝑏 ∈ 𝐸 ↦ (𝑓 ∈ 𝑇 ↦ ((π‘Žβ€˜π‘“) ∘ (π‘β€˜π‘“))))𝑑) ∈ 𝐸)
8784, 86eqeltrd 2827 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑑 ∈ 𝐸) β†’ (𝑠 ⨣ 𝑑) ∈ 𝐸)
88873adant3r3 1181 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑑 ∈ 𝐸 ∧ 𝑓 ∈ 𝑇)) β†’ (𝑠 ⨣ 𝑑) ∈ 𝐸)
89 simpr3 1193 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑑 ∈ 𝐸 ∧ 𝑓 ∈ 𝑇)) β†’ 𝑓 ∈ 𝑇)
9088, 89jca 511 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑑 ∈ 𝐸 ∧ 𝑓 ∈ 𝑇)) β†’ ((𝑠 ⨣ 𝑑) ∈ 𝐸 ∧ 𝑓 ∈ 𝑇))
911, 2, 13, 3, 11dvavsca 40401 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ((𝑠 ⨣ 𝑑) ∈ 𝐸 ∧ 𝑓 ∈ 𝑇)) β†’ ((𝑠 ⨣ 𝑑) Β· 𝑓) = ((𝑠 ⨣ 𝑑)β€˜π‘“))
9290, 91syldan 590 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑑 ∈ 𝐸 ∧ 𝑓 ∈ 𝑇)) β†’ ((𝑠 ⨣ 𝑑) Β· 𝑓) = ((𝑠 ⨣ 𝑑)β€˜π‘“))
93773adantr2 1167 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑑 ∈ 𝐸 ∧ 𝑓 ∈ 𝑇)) β†’ (𝑠 Β· 𝑓) = (π‘ β€˜π‘“))
941, 2, 13, 3, 11dvavsca 40401 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑑 ∈ 𝐸 ∧ 𝑓 ∈ 𝑇)) β†’ (𝑑 Β· 𝑓) = (π‘‘β€˜π‘“))
95943adantr1 1166 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑑 ∈ 𝐸 ∧ 𝑓 ∈ 𝑇)) β†’ (𝑑 Β· 𝑓) = (π‘‘β€˜π‘“))
9693, 95oveq12d 7423 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑑 ∈ 𝐸 ∧ 𝑓 ∈ 𝑇)) β†’ ((𝑠 Β· 𝑓) + (𝑑 Β· 𝑓)) = ((π‘ β€˜π‘“) + (π‘‘β€˜π‘“)))
97673adant3r2 1180 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑑 ∈ 𝐸 ∧ 𝑓 ∈ 𝑇)) β†’ (π‘ β€˜π‘“) ∈ 𝑇)
981, 2, 13tendospcl 40402 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑑 ∈ 𝐸 ∧ 𝑓 ∈ 𝑇) β†’ (π‘‘β€˜π‘“) ∈ 𝑇)
99983adant3r1 1179 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑑 ∈ 𝐸 ∧ 𝑓 ∈ 𝑇)) β†’ (π‘‘β€˜π‘“) ∈ 𝑇)
10097, 99jca 511 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑑 ∈ 𝐸 ∧ 𝑓 ∈ 𝑇)) β†’ ((π‘ β€˜π‘“) ∈ 𝑇 ∧ (π‘‘β€˜π‘“) ∈ 𝑇))
1011, 2, 3, 7dvavadd 40399 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ((π‘ β€˜π‘“) ∈ 𝑇 ∧ (π‘‘β€˜π‘“) ∈ 𝑇)) β†’ ((π‘ β€˜π‘“) + (π‘‘β€˜π‘“)) = ((π‘ β€˜π‘“) ∘ (π‘‘β€˜π‘“)))
102100, 101syldan 590 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑑 ∈ 𝐸 ∧ 𝑓 ∈ 𝑇)) β†’ ((π‘ β€˜π‘“) + (π‘‘β€˜π‘“)) = ((π‘ β€˜π‘“) ∘ (π‘‘β€˜π‘“)))
10396, 102eqtrd 2766 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑑 ∈ 𝐸 ∧ 𝑓 ∈ 𝑇)) β†’ ((𝑠 Β· 𝑓) + (𝑑 Β· 𝑓)) = ((π‘ β€˜π‘“) ∘ (π‘‘β€˜π‘“)))
10481, 92, 1033eqtr4d 2776 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑑 ∈ 𝐸 ∧ 𝑓 ∈ 𝑇)) β†’ ((𝑠 ⨣ 𝑑) Β· 𝑓) = ((𝑠 Β· 𝑓) + (𝑑 Β· 𝑓)))
1051, 2, 13tendospass 40403 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑑 ∈ 𝐸 ∧ 𝑓 ∈ 𝑇)) β†’ ((𝑠 ∘ 𝑑)β€˜π‘“) = (π‘ β€˜(π‘‘β€˜π‘“)))
1061, 13tendococl 40156 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑑 ∈ 𝐸) β†’ (𝑠 ∘ 𝑑) ∈ 𝐸)
1071063adant3r3 1181 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑑 ∈ 𝐸 ∧ 𝑓 ∈ 𝑇)) β†’ (𝑠 ∘ 𝑑) ∈ 𝐸)
108107, 89jca 511 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑑 ∈ 𝐸 ∧ 𝑓 ∈ 𝑇)) β†’ ((𝑠 ∘ 𝑑) ∈ 𝐸 ∧ 𝑓 ∈ 𝑇))
1091, 2, 13, 3, 11dvavsca 40401 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ((𝑠 ∘ 𝑑) ∈ 𝐸 ∧ 𝑓 ∈ 𝑇)) β†’ ((𝑠 ∘ 𝑑) Β· 𝑓) = ((𝑠 ∘ 𝑑)β€˜π‘“))
110108, 109syldan 590 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑑 ∈ 𝐸 ∧ 𝑓 ∈ 𝑇)) β†’ ((𝑠 ∘ 𝑑) Β· 𝑓) = ((𝑠 ∘ 𝑑)β€˜π‘“))
111 simpr1 1191 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑑 ∈ 𝐸 ∧ 𝑓 ∈ 𝑇)) β†’ 𝑠 ∈ 𝐸)
112111, 99jca 511 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑑 ∈ 𝐸 ∧ 𝑓 ∈ 𝑇)) β†’ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ (π‘‘β€˜π‘“) ∈ 𝑇))
1131, 2, 13, 3, 11dvavsca 40401 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ (π‘‘β€˜π‘“) ∈ 𝑇)) β†’ (𝑠 Β· (π‘‘β€˜π‘“)) = (π‘ β€˜(π‘‘β€˜π‘“)))
114112, 113syldan 590 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑑 ∈ 𝐸 ∧ 𝑓 ∈ 𝑇)) β†’ (𝑠 Β· (π‘‘β€˜π‘“)) = (π‘ β€˜(π‘‘β€˜π‘“)))
115105, 110, 1143eqtr4d 2776 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑑 ∈ 𝐸 ∧ 𝑓 ∈ 𝑇)) β†’ ((𝑠 ∘ 𝑑) Β· 𝑓) = (𝑠 Β· (π‘‘β€˜π‘“)))
1161, 2, 13, 3, 9, 19dvamulr 40396 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑑 ∈ 𝐸)) β†’ (𝑠 Γ— 𝑑) = (𝑠 ∘ 𝑑))
1171163adantr3 1168 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑑 ∈ 𝐸 ∧ 𝑓 ∈ 𝑇)) β†’ (𝑠 Γ— 𝑑) = (𝑠 ∘ 𝑑))
118117oveq1d 7420 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑑 ∈ 𝐸 ∧ 𝑓 ∈ 𝑇)) β†’ ((𝑠 Γ— 𝑑) Β· 𝑓) = ((𝑠 ∘ 𝑑) Β· 𝑓))
11995oveq2d 7421 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑑 ∈ 𝐸 ∧ 𝑓 ∈ 𝑇)) β†’ (𝑠 Β· (𝑑 Β· 𝑓)) = (𝑠 Β· (π‘‘β€˜π‘“)))
120115, 118, 1193eqtr4d 2776 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑑 ∈ 𝐸 ∧ 𝑓 ∈ 𝑇)) β†’ ((𝑠 Γ— 𝑑) Β· 𝑓) = (𝑠 Β· (𝑑 Β· 𝑓)))
12121anim1i 614 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑠 ∈ 𝑇) β†’ (( I β†Ύ 𝑇) ∈ 𝐸 ∧ 𝑠 ∈ 𝑇))
1221, 2, 13, 3, 11dvavsca 40401 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (( I β†Ύ 𝑇) ∈ 𝐸 ∧ 𝑠 ∈ 𝑇)) β†’ (( I β†Ύ 𝑇) Β· 𝑠) = (( I β†Ύ 𝑇)β€˜π‘ ))
123121, 122syldan 590 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑠 ∈ 𝑇) β†’ (( I β†Ύ 𝑇) Β· 𝑠) = (( I β†Ύ 𝑇)β€˜π‘ ))
124 fvresi 7167 . . . . 5 (𝑠 ∈ 𝑇 β†’ (( I β†Ύ 𝑇)β€˜π‘ ) = 𝑠)
125124adantl 481 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑠 ∈ 𝑇) β†’ (( I β†Ύ 𝑇)β€˜π‘ ) = 𝑠)
126123, 125eqtrd 2766 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑠 ∈ 𝑇) β†’ (( I β†Ύ 𝑇) Β· 𝑠) = 𝑠)
1276, 8, 10, 12, 16, 18, 20, 49, 51, 54, 58, 80, 104, 120, 126islmodd 20712 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ π‘ˆ ∈ LMod)
1289islvec 20952 . 2 (π‘ˆ ∈ LVec ↔ (π‘ˆ ∈ LMod ∧ 𝐷 ∈ DivRing))
129127, 43, 128sylanbrc 582 1 ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ π‘ˆ ∈ LVec)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   β‰  wne 2934   ↦ cmpt 5224   I cid 5566   β†Ύ cres 5671   ∘ ccom 5673  βŸΆwf 6533  β€“1-1-ontoβ†’wf1o 6536  β€˜cfv 6537  (class class class)co 7405   ∈ cmpo 7407  Basecbs 17153  +gcplusg 17206  .rcmulr 17207  Scalarcsca 17209   ·𝑠 cvsca 17210  0gc0g 17394  Grpcgrp 18863  Abelcabl 19701  1rcur 20086  Ringcrg 20138  DivRingcdr 20587  LModclmod 20706  LVecclvec 20950  HLchlt 38733  LHypclh 39368  LTrncltrn 39485  TEndoctendo 40136  EDRingcedring 40137  DVecAcdveca 40386
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-riotaBAD 38336
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-tp 4628  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-iin 4993  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7853  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-tpos 8212  df-undef 8259  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-1o 8467  df-er 8705  df-map 8824  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-4 12281  df-5 12282  df-6 12283  df-n0 12477  df-z 12563  df-uz 12827  df-fz 13491  df-struct 17089  df-sets 17106  df-slot 17124  df-ndx 17136  df-base 17154  df-ress 17183  df-plusg 17219  df-mulr 17220  df-sca 17222  df-vsca 17223  df-0g 17396  df-proset 18260  df-poset 18278  df-plt 18295  df-lub 18311  df-glb 18312  df-join 18313  df-meet 18314  df-p0 18390  df-p1 18391  df-lat 18397  df-clat 18464  df-mgm 18573  df-sgrp 18652  df-mnd 18668  df-grp 18866  df-minusg 18867  df-cmn 19702  df-abl 19703  df-mgp 20040  df-rng 20058  df-ur 20087  df-ring 20140  df-oppr 20236  df-dvdsr 20259  df-unit 20260  df-invr 20290  df-dvr 20303  df-drng 20589  df-lmod 20708  df-lvec 20951  df-oposet 38559  df-ol 38561  df-oml 38562  df-covers 38649  df-ats 38650  df-atl 38681  df-cvlat 38705  df-hlat 38734  df-llines 38882  df-lplanes 38883  df-lvols 38884  df-lines 38885  df-psubsp 38887  df-pmap 38888  df-padd 39180  df-lhyp 39372  df-laut 39373  df-ldil 39488  df-ltrn 39489  df-trl 39543  df-tgrp 40127  df-tendo 40139  df-edring 40141  df-dveca 40387
This theorem is referenced by:  dvalvec  40410
  Copyright terms: Public domain W3C validator