Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dvalveclem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dvalveclem 41008
Description: Lemma for dvalvec 41009. (Contributed by NM, 11-Oct-2013.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 22-Jun-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
dvalvec.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
dvalvec.v 𝑈 = ((DVecA‘𝐾)‘𝑊)
dvalveclem.t 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
dvalveclem.a + = (+g𝑈)
dvalveclem.e 𝐸 = ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)
dvalveclem.d 𝐷 = (Scalar‘𝑈)
dvalveclem.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
dvalveclem.p = (+g𝐷)
dvalveclem.m × = (.r𝐷)
dvalveclem.s · = ( ·𝑠𝑈)
Assertion
Ref Expression
dvalveclem ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → 𝑈 ∈ LVec)

Proof of Theorem dvalveclem
Dummy variables 𝑡 𝑓 𝑎 𝑏 𝑠 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dvalvec.h . . . . 5 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2 dvalveclem.t . . . . 5 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
3 dvalvec.v . . . . 5 𝑈 = ((DVecA‘𝐾)‘𝑊)
4 eqid 2735 . . . . 5 (Base‘𝑈) = (Base‘𝑈)
51, 2, 3, 4dvavbase 40996 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → (Base‘𝑈) = 𝑇)
65eqcomd 2741 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → 𝑇 = (Base‘𝑈))
7 dvalveclem.a . . . 4 + = (+g𝑈)
87a1i 11 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → + = (+g𝑈))
9 dvalveclem.d . . . 4 𝐷 = (Scalar‘𝑈)
109a1i 11 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → 𝐷 = (Scalar‘𝑈))
11 dvalveclem.s . . . 4 · = ( ·𝑠𝑈)
1211a1i 11 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → · = ( ·𝑠𝑈))
13 dvalveclem.e . . . . 5 𝐸 = ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)
14 eqid 2735 . . . . 5 (Base‘𝐷) = (Base‘𝐷)
151, 13, 3, 9, 14dvabase 40990 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → (Base‘𝐷) = 𝐸)
1615eqcomd 2741 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → 𝐸 = (Base‘𝐷))
17 dvalveclem.p . . . 4 = (+g𝐷)
1817a1i 11 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → = (+g𝐷))
19 dvalveclem.m . . . 4 × = (.r𝐷)
2019a1i 11 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → × = (.r𝐷))
211, 2, 13tendoidcl 40752 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → ( I ↾ 𝑇) ∈ 𝐸)
2221, 16eleqtrd 2841 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → ( I ↾ 𝑇) ∈ (Base‘𝐷))
23 dvalveclem.b . . . . . . . 8 𝐵 = (Base‘𝐾)
24 eqid 2735 . . . . . . . 8 (𝑓𝑇 ↦ ( I ↾ 𝐵)) = (𝑓𝑇 ↦ ( I ↾ 𝐵))
2523, 1, 2, 13, 24tendo1ne0 40811 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → ( I ↾ 𝑇) ≠ (𝑓𝑇 ↦ ( I ↾ 𝐵)))
26 eqid 2735 . . . . . . . . . 10 ((EDRing‘𝐾)‘𝑊) = ((EDRing‘𝐾)‘𝑊)
271, 26, 3, 9dvasca 40989 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → 𝐷 = ((EDRing‘𝐾)‘𝑊))
2827fveq2d 6911 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → (0g𝐷) = (0g‘((EDRing‘𝐾)‘𝑊)))
29 eqid 2735 . . . . . . . . 9 (0g‘((EDRing‘𝐾)‘𝑊)) = (0g‘((EDRing‘𝐾)‘𝑊))
3023, 1, 2, 26, 24, 29erng0g 40977 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → (0g‘((EDRing‘𝐾)‘𝑊)) = (𝑓𝑇 ↦ ( I ↾ 𝐵)))
3128, 30eqtrd 2775 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → (0g𝐷) = (𝑓𝑇 ↦ ( I ↾ 𝐵)))
3225, 31neeqtrrd 3013 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → ( I ↾ 𝑇) ≠ (0g𝐷))
3321, 21jca 511 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → (( I ↾ 𝑇) ∈ 𝐸 ∧ ( I ↾ 𝑇) ∈ 𝐸))
341, 2, 13, 3, 9, 19dvamulr 40995 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (( I ↾ 𝑇) ∈ 𝐸 ∧ ( I ↾ 𝑇) ∈ 𝐸)) → (( I ↾ 𝑇) × ( I ↾ 𝑇)) = (( I ↾ 𝑇) ∘ ( I ↾ 𝑇)))
3533, 34mpdan 687 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → (( I ↾ 𝑇) × ( I ↾ 𝑇)) = (( I ↾ 𝑇) ∘ ( I ↾ 𝑇)))
36 f1oi 6887 . . . . . . . 8 ( I ↾ 𝑇):𝑇1-1-onto𝑇
37 f1of 6849 . . . . . . . 8 (( I ↾ 𝑇):𝑇1-1-onto𝑇 → ( I ↾ 𝑇):𝑇𝑇)
38 fcoi2 6784 . . . . . . . 8 (( I ↾ 𝑇):𝑇𝑇 → (( I ↾ 𝑇) ∘ ( I ↾ 𝑇)) = ( I ↾ 𝑇))
3936, 37, 38mp2b 10 . . . . . . 7 (( I ↾ 𝑇) ∘ ( I ↾ 𝑇)) = ( I ↾ 𝑇)
4035, 39eqtrdi 2791 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → (( I ↾ 𝑇) × ( I ↾ 𝑇)) = ( I ↾ 𝑇))
4122, 32, 403jca 1127 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → (( I ↾ 𝑇) ∈ (Base‘𝐷) ∧ ( I ↾ 𝑇) ≠ (0g𝐷) ∧ (( I ↾ 𝑇) × ( I ↾ 𝑇)) = ( I ↾ 𝑇)))
421, 26erngdv 40976 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → ((EDRing‘𝐾)‘𝑊) ∈ DivRing)
4327, 42eqeltrd 2839 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → 𝐷 ∈ DivRing)
44 eqid 2735 . . . . . . 7 (0g𝐷) = (0g𝐷)
45 eqid 2735 . . . . . . 7 (1r𝐷) = (1r𝐷)
4614, 19, 44, 45drngid2 20769 . . . . . 6 (𝐷 ∈ DivRing → ((( I ↾ 𝑇) ∈ (Base‘𝐷) ∧ ( I ↾ 𝑇) ≠ (0g𝐷) ∧ (( I ↾ 𝑇) × ( I ↾ 𝑇)) = ( I ↾ 𝑇)) ↔ (1r𝐷) = ( I ↾ 𝑇)))
4743, 46syl 17 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → ((( I ↾ 𝑇) ∈ (Base‘𝐷) ∧ ( I ↾ 𝑇) ≠ (0g𝐷) ∧ (( I ↾ 𝑇) × ( I ↾ 𝑇)) = ( I ↾ 𝑇)) ↔ (1r𝐷) = ( I ↾ 𝑇)))
4841, 47mpbid 232 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → (1r𝐷) = ( I ↾ 𝑇))
4948eqcomd 2741 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → ( I ↾ 𝑇) = (1r𝐷))
50 drngring 20753 . . . 4 (𝐷 ∈ DivRing → 𝐷 ∈ Ring)
5143, 50syl 17 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → 𝐷 ∈ Ring)
521, 3dvaabl 41007 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → 𝑈 ∈ Abel)
53 ablgrp 19818 . . . 4 (𝑈 ∈ Abel → 𝑈 ∈ Grp)
5452, 53syl 17 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → 𝑈 ∈ Grp)
551, 2, 13, 3, 11dvavsca 41000 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑠𝐸𝑡𝑇)) → (𝑠 · 𝑡) = (𝑠𝑡))
56553impb 1114 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑠𝐸𝑡𝑇) → (𝑠 · 𝑡) = (𝑠𝑡))
571, 2, 13tendocl 40750 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑠𝐸𝑡𝑇) → (𝑠𝑡) ∈ 𝑇)
5856, 57eqeltrd 2839 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑠𝐸𝑡𝑇) → (𝑠 · 𝑡) ∈ 𝑇)
591, 2, 13tendospdi1 41003 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑠𝐸𝑡𝑇𝑓𝑇)) → (𝑠‘(𝑡𝑓)) = ((𝑠𝑡) ∘ (𝑠𝑓)))
60 simpr1 1193 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑠𝐸𝑡𝑇𝑓𝑇)) → 𝑠𝐸)
611, 2ltrnco 40702 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑡𝑇𝑓𝑇) → (𝑡𝑓) ∈ 𝑇)
62613adant3r1 1181 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑠𝐸𝑡𝑇𝑓𝑇)) → (𝑡𝑓) ∈ 𝑇)
6360, 62jca 511 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑠𝐸𝑡𝑇𝑓𝑇)) → (𝑠𝐸 ∧ (𝑡𝑓) ∈ 𝑇))
641, 2, 13, 3, 11dvavsca 41000 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑠𝐸 ∧ (𝑡𝑓) ∈ 𝑇)) → (𝑠 · (𝑡𝑓)) = (𝑠‘(𝑡𝑓)))
6563, 64syldan 591 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑠𝐸𝑡𝑇𝑓𝑇)) → (𝑠 · (𝑡𝑓)) = (𝑠‘(𝑡𝑓)))
66573adant3r3 1183 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑠𝐸𝑡𝑇𝑓𝑇)) → (𝑠𝑡) ∈ 𝑇)
671, 2, 13tendocl 40750 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑠𝐸𝑓𝑇) → (𝑠𝑓) ∈ 𝑇)
68673adant3r2 1182 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑠𝐸𝑡𝑇𝑓𝑇)) → (𝑠𝑓) ∈ 𝑇)
6966, 68jca 511 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑠𝐸𝑡𝑇𝑓𝑇)) → ((𝑠𝑡) ∈ 𝑇 ∧ (𝑠𝑓) ∈ 𝑇))
701, 2, 3, 7dvavadd 40998 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑠𝑡) ∈ 𝑇 ∧ (𝑠𝑓) ∈ 𝑇)) → ((𝑠𝑡) + (𝑠𝑓)) = ((𝑠𝑡) ∘ (𝑠𝑓)))
7169, 70syldan 591 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑠𝐸𝑡𝑇𝑓𝑇)) → ((𝑠𝑡) + (𝑠𝑓)) = ((𝑠𝑡) ∘ (𝑠𝑓)))
7259, 65, 713eqtr4d 2785 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑠𝐸𝑡𝑇𝑓𝑇)) → (𝑠 · (𝑡𝑓)) = ((𝑠𝑡) + (𝑠𝑓)))
731, 2, 3, 7dvavadd 40998 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑡𝑇𝑓𝑇)) → (𝑡 + 𝑓) = (𝑡𝑓))
74733adantr1 1168 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑠𝐸𝑡𝑇𝑓𝑇)) → (𝑡 + 𝑓) = (𝑡𝑓))
7574oveq2d 7447 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑠𝐸𝑡𝑇𝑓𝑇)) → (𝑠 · (𝑡 + 𝑓)) = (𝑠 · (𝑡𝑓)))
76553adantr3 1170 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑠𝐸𝑡𝑇𝑓𝑇)) → (𝑠 · 𝑡) = (𝑠𝑡))
771, 2, 13, 3, 11dvavsca 41000 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑠𝐸𝑓𝑇)) → (𝑠 · 𝑓) = (𝑠𝑓))
78773adantr2 1169 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑠𝐸𝑡𝑇𝑓𝑇)) → (𝑠 · 𝑓) = (𝑠𝑓))
7976, 78oveq12d 7449 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑠𝐸𝑡𝑇𝑓𝑇)) → ((𝑠 · 𝑡) + (𝑠 · 𝑓)) = ((𝑠𝑡) + (𝑠𝑓)))
8072, 75, 793eqtr4d 2785 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑠𝐸𝑡𝑇𝑓𝑇)) → (𝑠 · (𝑡 + 𝑓)) = ((𝑠 · 𝑡) + (𝑠 · 𝑓)))
811, 2, 13, 3, 9, 17dvaplusgv 40993 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑠𝐸𝑡𝐸𝑓𝑇)) → ((𝑠 𝑡)‘𝑓) = ((𝑠𝑓) ∘ (𝑡𝑓)))
821, 2, 13, 3, 9, 17dvafplusg 40991 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → = (𝑎𝐸, 𝑏𝐸 ↦ (𝑓𝑇 ↦ ((𝑎𝑓) ∘ (𝑏𝑓)))))
83823ad2ant1 1132 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑠𝐸𝑡𝐸) → = (𝑎𝐸, 𝑏𝐸 ↦ (𝑓𝑇 ↦ ((𝑎𝑓) ∘ (𝑏𝑓)))))
8483oveqd 7448 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑠𝐸𝑡𝐸) → (𝑠 𝑡) = (𝑠(𝑎𝐸, 𝑏𝐸 ↦ (𝑓𝑇 ↦ ((𝑎𝑓) ∘ (𝑏𝑓))))𝑡))
85 eqid 2735 . . . . . . . . 9 (𝑎𝐸, 𝑏𝐸 ↦ (𝑓𝑇 ↦ ((𝑎𝑓) ∘ (𝑏𝑓)))) = (𝑎𝐸, 𝑏𝐸 ↦ (𝑓𝑇 ↦ ((𝑎𝑓) ∘ (𝑏𝑓))))
861, 2, 13, 85tendoplcl 40764 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑠𝐸𝑡𝐸) → (𝑠(𝑎𝐸, 𝑏𝐸 ↦ (𝑓𝑇 ↦ ((𝑎𝑓) ∘ (𝑏𝑓))))𝑡) ∈ 𝐸)
8784, 86eqeltrd 2839 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑠𝐸𝑡𝐸) → (𝑠 𝑡) ∈ 𝐸)
88873adant3r3 1183 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑠𝐸𝑡𝐸𝑓𝑇)) → (𝑠 𝑡) ∈ 𝐸)
89 simpr3 1195 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑠𝐸𝑡𝐸𝑓𝑇)) → 𝑓𝑇)
9088, 89jca 511 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑠𝐸𝑡𝐸𝑓𝑇)) → ((𝑠 𝑡) ∈ 𝐸𝑓𝑇))
911, 2, 13, 3, 11dvavsca 41000 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑠 𝑡) ∈ 𝐸𝑓𝑇)) → ((𝑠 𝑡) · 𝑓) = ((𝑠 𝑡)‘𝑓))
9290, 91syldan 591 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑠𝐸𝑡𝐸𝑓𝑇)) → ((𝑠 𝑡) · 𝑓) = ((𝑠 𝑡)‘𝑓))
93773adantr2 1169 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑠𝐸𝑡𝐸𝑓𝑇)) → (𝑠 · 𝑓) = (𝑠𝑓))
941, 2, 13, 3, 11dvavsca 41000 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑡𝐸𝑓𝑇)) → (𝑡 · 𝑓) = (𝑡𝑓))
95943adantr1 1168 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑠𝐸𝑡𝐸𝑓𝑇)) → (𝑡 · 𝑓) = (𝑡𝑓))
9693, 95oveq12d 7449 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑠𝐸𝑡𝐸𝑓𝑇)) → ((𝑠 · 𝑓) + (𝑡 · 𝑓)) = ((𝑠𝑓) + (𝑡𝑓)))
97673adant3r2 1182 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑠𝐸𝑡𝐸𝑓𝑇)) → (𝑠𝑓) ∈ 𝑇)
981, 2, 13tendospcl 41001 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑡𝐸𝑓𝑇) → (𝑡𝑓) ∈ 𝑇)
99983adant3r1 1181 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑠𝐸𝑡𝐸𝑓𝑇)) → (𝑡𝑓) ∈ 𝑇)
10097, 99jca 511 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑠𝐸𝑡𝐸𝑓𝑇)) → ((𝑠𝑓) ∈ 𝑇 ∧ (𝑡𝑓) ∈ 𝑇))
1011, 2, 3, 7dvavadd 40998 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑠𝑓) ∈ 𝑇 ∧ (𝑡𝑓) ∈ 𝑇)) → ((𝑠𝑓) + (𝑡𝑓)) = ((𝑠𝑓) ∘ (𝑡𝑓)))
102100, 101syldan 591 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑠𝐸𝑡𝐸𝑓𝑇)) → ((𝑠𝑓) + (𝑡𝑓)) = ((𝑠𝑓) ∘ (𝑡𝑓)))
10396, 102eqtrd 2775 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑠𝐸𝑡𝐸𝑓𝑇)) → ((𝑠 · 𝑓) + (𝑡 · 𝑓)) = ((𝑠𝑓) ∘ (𝑡𝑓)))
10481, 92, 1033eqtr4d 2785 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑠𝐸𝑡𝐸𝑓𝑇)) → ((𝑠 𝑡) · 𝑓) = ((𝑠 · 𝑓) + (𝑡 · 𝑓)))
1051, 2, 13tendospass 41002 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑠𝐸𝑡𝐸𝑓𝑇)) → ((𝑠𝑡)‘𝑓) = (𝑠‘(𝑡𝑓)))
1061, 13tendococl 40755 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑠𝐸𝑡𝐸) → (𝑠𝑡) ∈ 𝐸)
1071063adant3r3 1183 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑠𝐸𝑡𝐸𝑓𝑇)) → (𝑠𝑡) ∈ 𝐸)
108107, 89jca 511 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑠𝐸𝑡𝐸𝑓𝑇)) → ((𝑠𝑡) ∈ 𝐸𝑓𝑇))
1091, 2, 13, 3, 11dvavsca 41000 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑠𝑡) ∈ 𝐸𝑓𝑇)) → ((𝑠𝑡) · 𝑓) = ((𝑠𝑡)‘𝑓))
110108, 109syldan 591 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑠𝐸𝑡𝐸𝑓𝑇)) → ((𝑠𝑡) · 𝑓) = ((𝑠𝑡)‘𝑓))
111 simpr1 1193 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑠𝐸𝑡𝐸𝑓𝑇)) → 𝑠𝐸)
112111, 99jca 511 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑠𝐸𝑡𝐸𝑓𝑇)) → (𝑠𝐸 ∧ (𝑡𝑓) ∈ 𝑇))
1131, 2, 13, 3, 11dvavsca 41000 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑠𝐸 ∧ (𝑡𝑓) ∈ 𝑇)) → (𝑠 · (𝑡𝑓)) = (𝑠‘(𝑡𝑓)))
114112, 113syldan 591 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑠𝐸𝑡𝐸𝑓𝑇)) → (𝑠 · (𝑡𝑓)) = (𝑠‘(𝑡𝑓)))
115105, 110, 1143eqtr4d 2785 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑠𝐸𝑡𝐸𝑓𝑇)) → ((𝑠𝑡) · 𝑓) = (𝑠 · (𝑡𝑓)))
1161, 2, 13, 3, 9, 19dvamulr 40995 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑠𝐸𝑡𝐸)) → (𝑠 × 𝑡) = (𝑠𝑡))
1171163adantr3 1170 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑠𝐸𝑡𝐸𝑓𝑇)) → (𝑠 × 𝑡) = (𝑠𝑡))
118117oveq1d 7446 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑠𝐸𝑡𝐸𝑓𝑇)) → ((𝑠 × 𝑡) · 𝑓) = ((𝑠𝑡) · 𝑓))
11995oveq2d 7447 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑠𝐸𝑡𝐸𝑓𝑇)) → (𝑠 · (𝑡 · 𝑓)) = (𝑠 · (𝑡𝑓)))
120115, 118, 1193eqtr4d 2785 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑠𝐸𝑡𝐸𝑓𝑇)) → ((𝑠 × 𝑡) · 𝑓) = (𝑠 · (𝑡 · 𝑓)))
12121anim1i 615 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑠𝑇) → (( I ↾ 𝑇) ∈ 𝐸𝑠𝑇))
1221, 2, 13, 3, 11dvavsca 41000 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (( I ↾ 𝑇) ∈ 𝐸𝑠𝑇)) → (( I ↾ 𝑇) · 𝑠) = (( I ↾ 𝑇)‘𝑠))
123121, 122syldan 591 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑠𝑇) → (( I ↾ 𝑇) · 𝑠) = (( I ↾ 𝑇)‘𝑠))
124 fvresi 7193 . . . . 5 (𝑠𝑇 → (( I ↾ 𝑇)‘𝑠) = 𝑠)
125124adantl 481 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑠𝑇) → (( I ↾ 𝑇)‘𝑠) = 𝑠)
126123, 125eqtrd 2775 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑠𝑇) → (( I ↾ 𝑇) · 𝑠) = 𝑠)
1276, 8, 10, 12, 16, 18, 20, 49, 51, 54, 58, 80, 104, 120, 126islmodd 20881 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → 𝑈 ∈ LMod)
1289islvec 21121 . 2 (𝑈 ∈ LVec ↔ (𝑈 ∈ LMod ∧ 𝐷 ∈ DivRing))
129127, 43, 128sylanbrc 583 1 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → 𝑈 ∈ LVec)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395  w3a 1086   = wceq 1537  wcel 2106  wne 2938  cmpt 5231   I cid 5582  cres 5691  ccom 5693  wf 6559  1-1-ontowf1o 6562  cfv 6563  (class class class)co 7431  cmpo 7433  Basecbs 17245  +gcplusg 17298  .rcmulr 17299  Scalarcsca 17301   ·𝑠 cvsca 17302  0gc0g 17486  Grpcgrp 18964  Abelcabl 19814  1rcur 20199  Ringcrg 20251  DivRingcdr 20746  LModclmod 20875  LVecclvec 21119  HLchlt 39332  LHypclh 39967  LTrncltrn 40084  TEndoctendo 40735  EDRingcedring 40736  DVecAcdveca 40985
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230  ax-riotaBAD 38935
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-tp 4636  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-tpos 8250  df-undef 8297  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-er 8744  df-map 8867  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-5 12330  df-6 12331  df-n0 12525  df-z 12612  df-uz 12877  df-fz 13545  df-struct 17181  df-sets 17198  df-slot 17216  df-ndx 17228  df-base 17246  df-ress 17275  df-plusg 17311  df-mulr 17312  df-sca 17314  df-vsca 17315  df-0g 17488  df-proset 18352  df-poset 18371  df-plt 18388  df-lub 18404  df-glb 18405  df-join 18406  df-meet 18407  df-p0 18483  df-p1 18484  df-lat 18490  df-clat 18557  df-mgm 18666  df-sgrp 18745  df-mnd 18761  df-grp 18967  df-minusg 18968  df-cmn 19815  df-abl 19816  df-mgp 20153  df-rng 20171  df-ur 20200  df-ring 20253  df-oppr 20351  df-dvdsr 20374  df-unit 20375  df-invr 20405  df-dvr 20418  df-drng 20748  df-lmod 20877  df-lvec 21120  df-oposet 39158  df-ol 39160  df-oml 39161  df-covers 39248  df-ats 39249  df-atl 39280  df-cvlat 39304  df-hlat 39333  df-llines 39481  df-lplanes 39482  df-lvols 39483  df-lines 39484  df-psubsp 39486  df-pmap 39487  df-padd 39779  df-lhyp 39971  df-laut 39972  df-ldil 40087  df-ltrn 40088  df-trl 40142  df-tgrp 40726  df-tendo 40738  df-edring 40740  df-dveca 40986
This theorem is referenced by:  dvalvec  41009
  Copyright terms: Public domain W3C validator