Theorem dvalveclem 41027

Description: Lemma for dvalvec 41028. (Contributed by NM, 11-Oct-2013.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 22-Jun-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
dvalvec.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
dvalvec.v	⊢ 𝑈 = ((DVecA‘𝐾)‘𝑊)
dvalveclem.t	⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
dvalveclem.a	⊢ + = (+g‘𝑈)
dvalveclem.e	⊢ 𝐸 = ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)
dvalveclem.d	⊢ 𝐷 = (Scalar‘𝑈)
dvalveclem.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
dvalveclem.p	⊢ ⨣ = (+g‘𝐷)
dvalveclem.m	⊢ × = (.r‘𝐷)
dvalveclem.s	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑈)

Assertion

Ref	Expression
dvalveclem	⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → 𝑈 ∈ LVec)

Proof of Theorem dvalveclem

Dummy variables 𝑡 𝑓 𝑎 𝑏 𝑠 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dvalvec.h	. . . . 5 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2		dvalveclem.t	. . . . 5 ⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
3		dvalvec.v	. . . . 5 ⊢ 𝑈 = ((DVecA‘𝐾)‘𝑊)
4		eqid 2737	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝑈) = (Base‘𝑈)
5	1, 2, 3, 4	dvavbase 41015	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → (Base‘𝑈) = 𝑇)
6	5	eqcomd 2743	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → 𝑇 = (Base‘𝑈))
7		dvalveclem.a	. . . 4 ⊢ + = (+g‘𝑈)
8	7	a1i 11	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → + = (+g‘𝑈))
9		dvalveclem.d	. . . 4 ⊢ 𝐷 = (Scalar‘𝑈)
10	9	a1i 11	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → 𝐷 = (Scalar‘𝑈))
11		dvalveclem.s	. . . 4 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑈)
12	11	a1i 11	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → · = ( ·𝑠 ‘𝑈))
13		dvalveclem.e	. . . . 5 ⊢ 𝐸 = ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)
14		eqid 2737	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝐷) = (Base‘𝐷)
15	1, 13, 3, 9, 14	dvabase 41009	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → (Base‘𝐷) = 𝐸)
16	15	eqcomd 2743	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → 𝐸 = (Base‘𝐷))
17		dvalveclem.p	. . . 4 ⊢ ⨣ = (+g‘𝐷)
18	17	a1i 11	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → ⨣ = (+g‘𝐷))
19		dvalveclem.m	. . . 4 ⊢ × = (.r‘𝐷)
20	19	a1i 11	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → × = (.r‘𝐷))
21	1, 2, 13	tendoidcl 40771	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → ( I ↾ 𝑇) ∈ 𝐸)
22	21, 16	eleqtrd 2843	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → ( I ↾ 𝑇) ∈ (Base‘𝐷))
23		dvalveclem.b	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
24		eqid 2737	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑓 ∈ 𝑇 ↦ ( I ↾ 𝐵)) = (𝑓 ∈ 𝑇 ↦ ( I ↾ 𝐵))
25	23, 1, 2, 13, 24	tendo1ne0 40830	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → ( I ↾ 𝑇) ≠ (𝑓 ∈ 𝑇 ↦ ( I ↾ 𝐵)))
26		eqid 2737	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((EDRing‘𝐾)‘𝑊) = ((EDRing‘𝐾)‘𝑊)
27	1, 26, 3, 9	dvasca 41008	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → 𝐷 = ((EDRing‘𝐾)‘𝑊))
28	27	fveq2d 6910	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → (0g‘𝐷) = (0g‘((EDRing‘𝐾)‘𝑊)))
29		eqid 2737	. . . . . . . . 9 ⊢ (0g‘((EDRing‘𝐾)‘𝑊)) = (0g‘((EDRing‘𝐾)‘𝑊))
30	23, 1, 2, 26, 24, 29	erng0g 40996	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → (0g‘((EDRing‘𝐾)‘𝑊)) = (𝑓 ∈ 𝑇 ↦ ( I ↾ 𝐵)))
31	28, 30	eqtrd 2777	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → (0g‘𝐷) = (𝑓 ∈ 𝑇 ↦ ( I ↾ 𝐵)))
32	25, 31	neeqtrrd 3015	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → ( I ↾ 𝑇) ≠ (0g‘𝐷))
33	21, 21	jca 511	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → (( I ↾ 𝑇) ∈ 𝐸 ∧ ( I ↾ 𝑇) ∈ 𝐸))
34	1, 2, 13, 3, 9, 19	dvamulr 41014	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (( I ↾ 𝑇) ∈ 𝐸 ∧ ( I ↾ 𝑇) ∈ 𝐸)) → (( I ↾ 𝑇) × ( I ↾ 𝑇)) = (( I ↾ 𝑇) ∘ ( I ↾ 𝑇)))
35	33, 34	mpdan 687	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → (( I ↾ 𝑇) × ( I ↾ 𝑇)) = (( I ↾ 𝑇) ∘ ( I ↾ 𝑇)))
36		f1oi 6886	. . . . . . . 8 ⊢ ( I ↾ 𝑇):𝑇–1-1-onto→𝑇
37		f1of 6848	. . . . . . . 8 ⊢ (( I ↾ 𝑇):𝑇–1-1-onto→𝑇 → ( I ↾ 𝑇):𝑇⟶𝑇)
38		fcoi2 6783	. . . . . . . 8 ⊢ (( I ↾ 𝑇):𝑇⟶𝑇 → (( I ↾ 𝑇) ∘ ( I ↾ 𝑇)) = ( I ↾ 𝑇))
39	36, 37, 38	mp2b 10	. . . . . . 7 ⊢ (( I ↾ 𝑇) ∘ ( I ↾ 𝑇)) = ( I ↾ 𝑇)
40	35, 39	eqtrdi 2793	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → (( I ↾ 𝑇) × ( I ↾ 𝑇)) = ( I ↾ 𝑇))
41	22, 32, 40	3jca 1129	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → (( I ↾ 𝑇) ∈ (Base‘𝐷) ∧ ( I ↾ 𝑇) ≠ (0g‘𝐷) ∧ (( I ↾ 𝑇) × ( I ↾ 𝑇)) = ( I ↾ 𝑇)))
42	1, 26	erngdv 40995	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → ((EDRing‘𝐾)‘𝑊) ∈ DivRing)
43	27, 42	eqeltrd 2841	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → 𝐷 ∈ DivRing)
44		eqid 2737	. . . . . . 7 ⊢ (0g‘𝐷) = (0g‘𝐷)
45		eqid 2737	. . . . . . 7 ⊢ (1r‘𝐷) = (1r‘𝐷)
46	14, 19, 44, 45	drngid2 20752	. . . . . 6 ⊢ (𝐷 ∈ DivRing → ((( I ↾ 𝑇) ∈ (Base‘𝐷) ∧ ( I ↾ 𝑇) ≠ (0g‘𝐷) ∧ (( I ↾ 𝑇) × ( I ↾ 𝑇)) = ( I ↾ 𝑇)) ↔ (1r‘𝐷) = ( I ↾ 𝑇)))
47	43, 46	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → ((( I ↾ 𝑇) ∈ (Base‘𝐷) ∧ ( I ↾ 𝑇) ≠ (0g‘𝐷) ∧ (( I ↾ 𝑇) × ( I ↾ 𝑇)) = ( I ↾ 𝑇)) ↔ (1r‘𝐷) = ( I ↾ 𝑇)))
48	41, 47	mpbid 232	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → (1r‘𝐷) = ( I ↾ 𝑇))
49	48	eqcomd 2743	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → ( I ↾ 𝑇) = (1r‘𝐷))
50		drngring 20736	. . . 4 ⊢ (𝐷 ∈ DivRing → 𝐷 ∈ Ring)
51	43, 50	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → 𝐷 ∈ Ring)
52	1, 3	dvaabl 41026	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → 𝑈 ∈ Abel)
53		ablgrp 19803	. . . 4 ⊢ (𝑈 ∈ Abel → 𝑈 ∈ Grp)
54	52, 53	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → 𝑈 ∈ Grp)
55	1, 2, 13, 3, 11	dvavsca 41019	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇)) → (𝑠 · 𝑡) = (𝑠‘𝑡))
56	55	3impb 1115	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) → (𝑠 · 𝑡) = (𝑠‘𝑡))
57	1, 2, 13	tendocl 40769	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) → (𝑠‘𝑡) ∈ 𝑇)
58	56, 57	eqeltrd 2841	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) → (𝑠 · 𝑡) ∈ 𝑇)
59	1, 2, 13	tendospdi1 41022	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇 ∧ 𝑓 ∈ 𝑇)) → (𝑠‘(𝑡 ∘ 𝑓)) = ((𝑠‘𝑡) ∘ (𝑠‘𝑓)))
60		simpr1 1195	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇 ∧ 𝑓 ∈ 𝑇)) → 𝑠 ∈ 𝐸)
61	1, 2	ltrnco 40721	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑡 ∈ 𝑇 ∧ 𝑓 ∈ 𝑇) → (𝑡 ∘ 𝑓) ∈ 𝑇)
62	61	3adant3r1 1183	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇 ∧ 𝑓 ∈ 𝑇)) → (𝑡 ∘ 𝑓) ∈ 𝑇)
63	60, 62	jca 511	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇 ∧ 𝑓 ∈ 𝑇)) → (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ (𝑡 ∘ 𝑓) ∈ 𝑇))
64	1, 2, 13, 3, 11	dvavsca 41019	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ (𝑡 ∘ 𝑓) ∈ 𝑇)) → (𝑠 · (𝑡 ∘ 𝑓)) = (𝑠‘(𝑡 ∘ 𝑓)))
65	63, 64	syldan 591	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇 ∧ 𝑓 ∈ 𝑇)) → (𝑠 · (𝑡 ∘ 𝑓)) = (𝑠‘(𝑡 ∘ 𝑓)))
66	57	3adant3r3 1185	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇 ∧ 𝑓 ∈ 𝑇)) → (𝑠‘𝑡) ∈ 𝑇)
67	1, 2, 13	tendocl 40769	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑓 ∈ 𝑇) → (𝑠‘𝑓) ∈ 𝑇)
68	67	3adant3r2 1184	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇 ∧ 𝑓 ∈ 𝑇)) → (𝑠‘𝑓) ∈ 𝑇)
69	66, 68	jca 511	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇 ∧ 𝑓 ∈ 𝑇)) → ((𝑠‘𝑡) ∈ 𝑇 ∧ (𝑠‘𝑓) ∈ 𝑇))
70	1, 2, 3, 7	dvavadd 41017	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ ((𝑠‘𝑡) ∈ 𝑇 ∧ (𝑠‘𝑓) ∈ 𝑇)) → ((𝑠‘𝑡) + (𝑠‘𝑓)) = ((𝑠‘𝑡) ∘ (𝑠‘𝑓)))
71	69, 70	syldan 591	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇 ∧ 𝑓 ∈ 𝑇)) → ((𝑠‘𝑡) + (𝑠‘𝑓)) = ((𝑠‘𝑡) ∘ (𝑠‘𝑓)))
72	59, 65, 71	3eqtr4d 2787	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇 ∧ 𝑓 ∈ 𝑇)) → (𝑠 · (𝑡 ∘ 𝑓)) = ((𝑠‘𝑡) + (𝑠‘𝑓)))
73	1, 2, 3, 7	dvavadd 41017	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑡 ∈ 𝑇 ∧ 𝑓 ∈ 𝑇)) → (𝑡 + 𝑓) = (𝑡 ∘ 𝑓))
74	73	3adantr1 1170	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇 ∧ 𝑓 ∈ 𝑇)) → (𝑡 + 𝑓) = (𝑡 ∘ 𝑓))
75	74	oveq2d 7447	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇 ∧ 𝑓 ∈ 𝑇)) → (𝑠 · (𝑡 + 𝑓)) = (𝑠 · (𝑡 ∘ 𝑓)))
76	55	3adantr3 1172	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇 ∧ 𝑓 ∈ 𝑇)) → (𝑠 · 𝑡) = (𝑠‘𝑡))
77	1, 2, 13, 3, 11	dvavsca 41019	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑓 ∈ 𝑇)) → (𝑠 · 𝑓) = (𝑠‘𝑓))
78	77	3adantr2 1171	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇 ∧ 𝑓 ∈ 𝑇)) → (𝑠 · 𝑓) = (𝑠‘𝑓))
79	76, 78	oveq12d 7449	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇 ∧ 𝑓 ∈ 𝑇)) → ((𝑠 · 𝑡) + (𝑠 · 𝑓)) = ((𝑠‘𝑡) + (𝑠‘𝑓)))
80	72, 75, 79	3eqtr4d 2787	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇 ∧ 𝑓 ∈ 𝑇)) → (𝑠 · (𝑡 + 𝑓)) = ((𝑠 · 𝑡) + (𝑠 · 𝑓)))
81	1, 2, 13, 3, 9, 17	dvaplusgv 41012	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑡 ∈ 𝐸 ∧ 𝑓 ∈ 𝑇)) → ((𝑠 ⨣ 𝑡)‘𝑓) = ((𝑠‘𝑓) ∘ (𝑡‘𝑓)))
82	1, 2, 13, 3, 9, 17	dvafplusg 41010	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → ⨣ = (𝑎 ∈ 𝐸, 𝑏 ∈ 𝐸 ↦ (𝑓 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑎‘𝑓) ∘ (𝑏‘𝑓)))))
83	82	3ad2ant1 1134	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑡 ∈ 𝐸) → ⨣ = (𝑎 ∈ 𝐸, 𝑏 ∈ 𝐸 ↦ (𝑓 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑎‘𝑓) ∘ (𝑏‘𝑓)))))
84	83	oveqd 7448	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑡 ∈ 𝐸) → (𝑠 ⨣ 𝑡) = (𝑠(𝑎 ∈ 𝐸, 𝑏 ∈ 𝐸 ↦ (𝑓 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑎‘𝑓) ∘ (𝑏‘𝑓))))𝑡))
85		eqid 2737	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑎 ∈ 𝐸, 𝑏 ∈ 𝐸 ↦ (𝑓 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑎‘𝑓) ∘ (𝑏‘𝑓)))) = (𝑎 ∈ 𝐸, 𝑏 ∈ 𝐸 ↦ (𝑓 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑎‘𝑓) ∘ (𝑏‘𝑓))))
86	1, 2, 13, 85	tendoplcl 40783	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑡 ∈ 𝐸) → (𝑠(𝑎 ∈ 𝐸, 𝑏 ∈ 𝐸 ↦ (𝑓 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑎‘𝑓) ∘ (𝑏‘𝑓))))𝑡) ∈ 𝐸)
87	84, 86	eqeltrd 2841	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑡 ∈ 𝐸) → (𝑠 ⨣ 𝑡) ∈ 𝐸)
88	87	3adant3r3 1185	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑡 ∈ 𝐸 ∧ 𝑓 ∈ 𝑇)) → (𝑠 ⨣ 𝑡) ∈ 𝐸)
89		simpr3 1197	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑡 ∈ 𝐸 ∧ 𝑓 ∈ 𝑇)) → 𝑓 ∈ 𝑇)
90	88, 89	jca 511	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑡 ∈ 𝐸 ∧ 𝑓 ∈ 𝑇)) → ((𝑠 ⨣ 𝑡) ∈ 𝐸 ∧ 𝑓 ∈ 𝑇))
91	1, 2, 13, 3, 11	dvavsca 41019	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ ((𝑠 ⨣ 𝑡) ∈ 𝐸 ∧ 𝑓 ∈ 𝑇)) → ((𝑠 ⨣ 𝑡) · 𝑓) = ((𝑠 ⨣ 𝑡)‘𝑓))
92	90, 91	syldan 591	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑡 ∈ 𝐸 ∧ 𝑓 ∈ 𝑇)) → ((𝑠 ⨣ 𝑡) · 𝑓) = ((𝑠 ⨣ 𝑡)‘𝑓))
93	77	3adantr2 1171	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑡 ∈ 𝐸 ∧ 𝑓 ∈ 𝑇)) → (𝑠 · 𝑓) = (𝑠‘𝑓))
94	1, 2, 13, 3, 11	dvavsca 41019	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑡 ∈ 𝐸 ∧ 𝑓 ∈ 𝑇)) → (𝑡 · 𝑓) = (𝑡‘𝑓))
95	94	3adantr1 1170	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑡 ∈ 𝐸 ∧ 𝑓 ∈ 𝑇)) → (𝑡 · 𝑓) = (𝑡‘𝑓))
96	93, 95	oveq12d 7449	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑡 ∈ 𝐸 ∧ 𝑓 ∈ 𝑇)) → ((𝑠 · 𝑓) + (𝑡 · 𝑓)) = ((𝑠‘𝑓) + (𝑡‘𝑓)))
97	67	3adant3r2 1184	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑡 ∈ 𝐸 ∧ 𝑓 ∈ 𝑇)) → (𝑠‘𝑓) ∈ 𝑇)
98	1, 2, 13	tendospcl 41020	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑡 ∈ 𝐸 ∧ 𝑓 ∈ 𝑇) → (𝑡‘𝑓) ∈ 𝑇)
99	98	3adant3r1 1183	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑡 ∈ 𝐸 ∧ 𝑓 ∈ 𝑇)) → (𝑡‘𝑓) ∈ 𝑇)
100	97, 99	jca 511	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑡 ∈ 𝐸 ∧ 𝑓 ∈ 𝑇)) → ((𝑠‘𝑓) ∈ 𝑇 ∧ (𝑡‘𝑓) ∈ 𝑇))
101	1, 2, 3, 7	dvavadd 41017	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ ((𝑠‘𝑓) ∈ 𝑇 ∧ (𝑡‘𝑓) ∈ 𝑇)) → ((𝑠‘𝑓) + (𝑡‘𝑓)) = ((𝑠‘𝑓) ∘ (𝑡‘𝑓)))
102	100, 101	syldan 591	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑡 ∈ 𝐸 ∧ 𝑓 ∈ 𝑇)) → ((𝑠‘𝑓) + (𝑡‘𝑓)) = ((𝑠‘𝑓) ∘ (𝑡‘𝑓)))
103	96, 102	eqtrd 2777	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑡 ∈ 𝐸 ∧ 𝑓 ∈ 𝑇)) → ((𝑠 · 𝑓) + (𝑡 · 𝑓)) = ((𝑠‘𝑓) ∘ (𝑡‘𝑓)))
104	81, 92, 103	3eqtr4d 2787	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑡 ∈ 𝐸 ∧ 𝑓 ∈ 𝑇)) → ((𝑠 ⨣ 𝑡) · 𝑓) = ((𝑠 · 𝑓) + (𝑡 · 𝑓)))
105	1, 2, 13	tendospass 41021	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑡 ∈ 𝐸 ∧ 𝑓 ∈ 𝑇)) → ((𝑠 ∘ 𝑡)‘𝑓) = (𝑠‘(𝑡‘𝑓)))
106	1, 13	tendococl 40774	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑡 ∈ 𝐸) → (𝑠 ∘ 𝑡) ∈ 𝐸)
107	106	3adant3r3 1185	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑡 ∈ 𝐸 ∧ 𝑓 ∈ 𝑇)) → (𝑠 ∘ 𝑡) ∈ 𝐸)
108	107, 89	jca 511	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑡 ∈ 𝐸 ∧ 𝑓 ∈ 𝑇)) → ((𝑠 ∘ 𝑡) ∈ 𝐸 ∧ 𝑓 ∈ 𝑇))
109	1, 2, 13, 3, 11	dvavsca 41019	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ ((𝑠 ∘ 𝑡) ∈ 𝐸 ∧ 𝑓 ∈ 𝑇)) → ((𝑠 ∘ 𝑡) · 𝑓) = ((𝑠 ∘ 𝑡)‘𝑓))
110	108, 109	syldan 591	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑡 ∈ 𝐸 ∧ 𝑓 ∈ 𝑇)) → ((𝑠 ∘ 𝑡) · 𝑓) = ((𝑠 ∘ 𝑡)‘𝑓))
111		simpr1 1195	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑡 ∈ 𝐸 ∧ 𝑓 ∈ 𝑇)) → 𝑠 ∈ 𝐸)
112	111, 99	jca 511	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑡 ∈ 𝐸 ∧ 𝑓 ∈ 𝑇)) → (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ (𝑡‘𝑓) ∈ 𝑇))
113	1, 2, 13, 3, 11	dvavsca 41019	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ (𝑡‘𝑓) ∈ 𝑇)) → (𝑠 · (𝑡‘𝑓)) = (𝑠‘(𝑡‘𝑓)))
114	112, 113	syldan 591	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑡 ∈ 𝐸 ∧ 𝑓 ∈ 𝑇)) → (𝑠 · (𝑡‘𝑓)) = (𝑠‘(𝑡‘𝑓)))
115	105, 110, 114	3eqtr4d 2787	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑡 ∈ 𝐸 ∧ 𝑓 ∈ 𝑇)) → ((𝑠 ∘ 𝑡) · 𝑓) = (𝑠 · (𝑡‘𝑓)))
116	1, 2, 13, 3, 9, 19	dvamulr 41014	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑡 ∈ 𝐸)) → (𝑠 × 𝑡) = (𝑠 ∘ 𝑡))
117	116	3adantr3 1172	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑡 ∈ 𝐸 ∧ 𝑓 ∈ 𝑇)) → (𝑠 × 𝑡) = (𝑠 ∘ 𝑡))
118	117	oveq1d 7446	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑡 ∈ 𝐸 ∧ 𝑓 ∈ 𝑇)) → ((𝑠 × 𝑡) · 𝑓) = ((𝑠 ∘ 𝑡) · 𝑓))
119	95	oveq2d 7447	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑡 ∈ 𝐸 ∧ 𝑓 ∈ 𝑇)) → (𝑠 · (𝑡 · 𝑓)) = (𝑠 · (𝑡‘𝑓)))
120	115, 118, 119	3eqtr4d 2787	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑡 ∈ 𝐸 ∧ 𝑓 ∈ 𝑇)) → ((𝑠 × 𝑡) · 𝑓) = (𝑠 · (𝑡 · 𝑓)))
121	21	anim1i 615	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑠 ∈ 𝑇) → (( I ↾ 𝑇) ∈ 𝐸 ∧ 𝑠 ∈ 𝑇))
122	1, 2, 13, 3, 11	dvavsca 41019	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (( I ↾ 𝑇) ∈ 𝐸 ∧ 𝑠 ∈ 𝑇)) → (( I ↾ 𝑇) · 𝑠) = (( I ↾ 𝑇)‘𝑠))
123	121, 122	syldan 591	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑠 ∈ 𝑇) → (( I ↾ 𝑇) · 𝑠) = (( I ↾ 𝑇)‘𝑠))
124		fvresi 7193	. . . . 5 ⊢ (𝑠 ∈ 𝑇 → (( I ↾ 𝑇)‘𝑠) = 𝑠)
125	124	adantl 481	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑠 ∈ 𝑇) → (( I ↾ 𝑇)‘𝑠) = 𝑠)
126	123, 125	eqtrd 2777	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑠 ∈ 𝑇) → (( I ↾ 𝑇) · 𝑠) = 𝑠)
127	6, 8, 10, 12, 16, 18, 20, 49, 51, 54, 58, 80, 104, 120, 126	islmodd 20864	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → 𝑈 ∈ LMod)
128	9	islvec 21103	. 2 ⊢ (𝑈 ∈ LVec ↔ (𝑈 ∈ LMod ∧ 𝐷 ∈ DivRing))
129	127, 43, 128	sylanbrc 583	1 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → 𝑈 ∈ LVec)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1540   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2940   ↦ cmpt 5225   I cid 5577   ↾ cres 5687   ∘ ccom 5689  ⟶wf 6557  –1-1-onto→wf1o 6560  ‘cfv 6561  (class class class)co 7431   ∈ cmpo 7433  Basecbs 17247  +_gcplusg 17297  ._rcmulr 17298  Scalarcsca 17300   ·_𝑠 cvsca 17301  0_gc0g 17484  Grpcgrp 18951  Abelcabl 19799  1_rcur 20178  Ringcrg 20230  DivRingcdr 20729  LModclmod 20858  LVecclvec 21101  HLchlt 39351  LHypclh 39986  LTrncltrn 40103  TEndoctendo 40754  EDRingcedring 40755  DVecAcdveca 41004

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-riotaBAD 38954

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-tp 4631  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-iin 4994  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-tpos 8251  df-undef 8298  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-er 8745  df-map 8868  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-4 12331  df-5 12332  df-6 12333  df-n0 12527  df-z 12614  df-uz 12879  df-fz 13548  df-struct 17184  df-sets 17201  df-slot 17219  df-ndx 17231  df-base 17248  df-ress 17275  df-plusg 17310  df-mulr 17311  df-sca 17313  df-vsca 17314  df-0g 17486  df-proset 18340  df-poset 18359  df-plt 18375  df-lub 18391  df-glb 18392  df-join 18393  df-meet 18394  df-p0 18470  df-p1 18471  df-lat 18477  df-clat 18544  df-mgm 18653  df-sgrp 18732  df-mnd 18748  df-grp 18954  df-minusg 18955  df-cmn 19800  df-abl 19801  df-mgp 20138  df-rng 20150  df-ur 20179  df-ring 20232  df-oppr 20334  df-dvdsr 20357  df-unit 20358  df-invr 20388  df-dvr 20401  df-drng 20731  df-lmod 20860  df-lvec 21102  df-oposet 39177  df-ol 39179  df-oml 39180  df-covers 39267  df-ats 39268  df-atl 39299  df-cvlat 39323  df-hlat 39352  df-llines 39500  df-lplanes 39501  df-lvols 39502  df-lines 39503  df-psubsp 39505  df-pmap 39506  df-padd 39798  df-lhyp 39990  df-laut 39991  df-ldil 40106  df-ltrn 40107  df-trl 40161  df-tgrp 40745  df-tendo 40757  df-edring 40759  df-dveca 41005

This theorem is referenced by:  dvalvec  41028