Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dvalveclem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dvalveclem 36981
Description: Lemma for dvalvec 36982. (Contributed by NM, 11-Oct-2013.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 22-Jun-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
dvalvec.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
dvalvec.v 𝑈 = ((DVecA‘𝐾)‘𝑊)
dvalveclem.t 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
dvalveclem.a + = (+g𝑈)
dvalveclem.e 𝐸 = ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)
dvalveclem.d 𝐷 = (Scalar‘𝑈)
dvalveclem.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
dvalveclem.p = (+g𝐷)
dvalveclem.m × = (.r𝐷)
dvalveclem.s · = ( ·𝑠𝑈)
Assertion
Ref Expression
dvalveclem ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → 𝑈 ∈ LVec)

Proof of Theorem dvalveclem
Dummy variables 𝑡 𝑓 𝑎 𝑏 𝑠 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dvalvec.h . . . . 5 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2 dvalveclem.t . . . . 5 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
3 dvalvec.v . . . . 5 𝑈 = ((DVecA‘𝐾)‘𝑊)
4 eqid 2765 . . . . 5 (Base‘𝑈) = (Base‘𝑈)
51, 2, 3, 4dvavbase 36969 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → (Base‘𝑈) = 𝑇)
65eqcomd 2771 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → 𝑇 = (Base‘𝑈))
7 dvalveclem.a . . . 4 + = (+g𝑈)
87a1i 11 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → + = (+g𝑈))
9 dvalveclem.d . . . 4 𝐷 = (Scalar‘𝑈)
109a1i 11 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → 𝐷 = (Scalar‘𝑈))
11 dvalveclem.s . . . 4 · = ( ·𝑠𝑈)
1211a1i 11 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → · = ( ·𝑠𝑈))
13 dvalveclem.e . . . . 5 𝐸 = ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)
14 eqid 2765 . . . . 5 (Base‘𝐷) = (Base‘𝐷)
151, 13, 3, 9, 14dvabase 36963 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → (Base‘𝐷) = 𝐸)
1615eqcomd 2771 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → 𝐸 = (Base‘𝐷))
17 dvalveclem.p . . . 4 = (+g𝐷)
1817a1i 11 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → = (+g𝐷))
19 dvalveclem.m . . . 4 × = (.r𝐷)
2019a1i 11 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → × = (.r𝐷))
211, 2, 13tendoidcl 36725 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → ( I ↾ 𝑇) ∈ 𝐸)
2221, 16eleqtrd 2846 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → ( I ↾ 𝑇) ∈ (Base‘𝐷))
23 dvalveclem.b . . . . . . . 8 𝐵 = (Base‘𝐾)
24 eqid 2765 . . . . . . . 8 (𝑓𝑇 ↦ ( I ↾ 𝐵)) = (𝑓𝑇 ↦ ( I ↾ 𝐵))
2523, 1, 2, 13, 24tendo1ne0 36784 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → ( I ↾ 𝑇) ≠ (𝑓𝑇 ↦ ( I ↾ 𝐵)))
26 eqid 2765 . . . . . . . . . 10 ((EDRing‘𝐾)‘𝑊) = ((EDRing‘𝐾)‘𝑊)
271, 26, 3, 9dvasca 36962 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → 𝐷 = ((EDRing‘𝐾)‘𝑊))
2827fveq2d 6379 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → (0g𝐷) = (0g‘((EDRing‘𝐾)‘𝑊)))
29 eqid 2765 . . . . . . . . 9 (0g‘((EDRing‘𝐾)‘𝑊)) = (0g‘((EDRing‘𝐾)‘𝑊))
3023, 1, 2, 26, 24, 29erng0g 36950 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → (0g‘((EDRing‘𝐾)‘𝑊)) = (𝑓𝑇 ↦ ( I ↾ 𝐵)))
3128, 30eqtrd 2799 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → (0g𝐷) = (𝑓𝑇 ↦ ( I ↾ 𝐵)))
3225, 31neeqtrrd 3011 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → ( I ↾ 𝑇) ≠ (0g𝐷))
3321, 21jca 507 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → (( I ↾ 𝑇) ∈ 𝐸 ∧ ( I ↾ 𝑇) ∈ 𝐸))
341, 2, 13, 3, 9, 19dvamulr 36968 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (( I ↾ 𝑇) ∈ 𝐸 ∧ ( I ↾ 𝑇) ∈ 𝐸)) → (( I ↾ 𝑇) × ( I ↾ 𝑇)) = (( I ↾ 𝑇) ∘ ( I ↾ 𝑇)))
3533, 34mpdan 678 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → (( I ↾ 𝑇) × ( I ↾ 𝑇)) = (( I ↾ 𝑇) ∘ ( I ↾ 𝑇)))
36 f1oi 6357 . . . . . . . 8 ( I ↾ 𝑇):𝑇1-1-onto𝑇
37 f1of 6320 . . . . . . . 8 (( I ↾ 𝑇):𝑇1-1-onto𝑇 → ( I ↾ 𝑇):𝑇𝑇)
38 fcoi2 6261 . . . . . . . 8 (( I ↾ 𝑇):𝑇𝑇 → (( I ↾ 𝑇) ∘ ( I ↾ 𝑇)) = ( I ↾ 𝑇))
3936, 37, 38mp2b 10 . . . . . . 7 (( I ↾ 𝑇) ∘ ( I ↾ 𝑇)) = ( I ↾ 𝑇)
4035, 39syl6eq 2815 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → (( I ↾ 𝑇) × ( I ↾ 𝑇)) = ( I ↾ 𝑇))
4122, 32, 403jca 1158 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → (( I ↾ 𝑇) ∈ (Base‘𝐷) ∧ ( I ↾ 𝑇) ≠ (0g𝐷) ∧ (( I ↾ 𝑇) × ( I ↾ 𝑇)) = ( I ↾ 𝑇)))
421, 26erngdv 36949 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → ((EDRing‘𝐾)‘𝑊) ∈ DivRing)
4327, 42eqeltrd 2844 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → 𝐷 ∈ DivRing)
44 eqid 2765 . . . . . . 7 (0g𝐷) = (0g𝐷)
45 eqid 2765 . . . . . . 7 (1r𝐷) = (1r𝐷)
4614, 19, 44, 45drngid2 19032 . . . . . 6 (𝐷 ∈ DivRing → ((( I ↾ 𝑇) ∈ (Base‘𝐷) ∧ ( I ↾ 𝑇) ≠ (0g𝐷) ∧ (( I ↾ 𝑇) × ( I ↾ 𝑇)) = ( I ↾ 𝑇)) ↔ (1r𝐷) = ( I ↾ 𝑇)))
4743, 46syl 17 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → ((( I ↾ 𝑇) ∈ (Base‘𝐷) ∧ ( I ↾ 𝑇) ≠ (0g𝐷) ∧ (( I ↾ 𝑇) × ( I ↾ 𝑇)) = ( I ↾ 𝑇)) ↔ (1r𝐷) = ( I ↾ 𝑇)))
4841, 47mpbid 223 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → (1r𝐷) = ( I ↾ 𝑇))
4948eqcomd 2771 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → ( I ↾ 𝑇) = (1r𝐷))
50 drngring 19023 . . . 4 (𝐷 ∈ DivRing → 𝐷 ∈ Ring)
5143, 50syl 17 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → 𝐷 ∈ Ring)
521, 3dvaabl 36980 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → 𝑈 ∈ Abel)
53 ablgrp 18464 . . . 4 (𝑈 ∈ Abel → 𝑈 ∈ Grp)
5452, 53syl 17 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → 𝑈 ∈ Grp)
551, 2, 13, 3, 11dvavsca 36973 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑠𝐸𝑡𝑇)) → (𝑠 · 𝑡) = (𝑠𝑡))
56553impb 1143 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑠𝐸𝑡𝑇) → (𝑠 · 𝑡) = (𝑠𝑡))
571, 2, 13tendocl 36723 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑠𝐸𝑡𝑇) → (𝑠𝑡) ∈ 𝑇)
5856, 57eqeltrd 2844 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑠𝐸𝑡𝑇) → (𝑠 · 𝑡) ∈ 𝑇)
591, 2, 13tendospdi1 36976 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑠𝐸𝑡𝑇𝑓𝑇)) → (𝑠‘(𝑡𝑓)) = ((𝑠𝑡) ∘ (𝑠𝑓)))
60 simpr1 1248 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑠𝐸𝑡𝑇𝑓𝑇)) → 𝑠𝐸)
611, 2ltrnco 36675 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑡𝑇𝑓𝑇) → (𝑡𝑓) ∈ 𝑇)
62613adant3r1 1233 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑠𝐸𝑡𝑇𝑓𝑇)) → (𝑡𝑓) ∈ 𝑇)
6360, 62jca 507 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑠𝐸𝑡𝑇𝑓𝑇)) → (𝑠𝐸 ∧ (𝑡𝑓) ∈ 𝑇))
641, 2, 13, 3, 11dvavsca 36973 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑠𝐸 ∧ (𝑡𝑓) ∈ 𝑇)) → (𝑠 · (𝑡𝑓)) = (𝑠‘(𝑡𝑓)))
6563, 64syldan 585 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑠𝐸𝑡𝑇𝑓𝑇)) → (𝑠 · (𝑡𝑓)) = (𝑠‘(𝑡𝑓)))
66573adant3r3 1235 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑠𝐸𝑡𝑇𝑓𝑇)) → (𝑠𝑡) ∈ 𝑇)
671, 2, 13tendocl 36723 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑠𝐸𝑓𝑇) → (𝑠𝑓) ∈ 𝑇)
68673adant3r2 1234 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑠𝐸𝑡𝑇𝑓𝑇)) → (𝑠𝑓) ∈ 𝑇)
6966, 68jca 507 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑠𝐸𝑡𝑇𝑓𝑇)) → ((𝑠𝑡) ∈ 𝑇 ∧ (𝑠𝑓) ∈ 𝑇))
701, 2, 3, 7dvavadd 36971 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑠𝑡) ∈ 𝑇 ∧ (𝑠𝑓) ∈ 𝑇)) → ((𝑠𝑡) + (𝑠𝑓)) = ((𝑠𝑡) ∘ (𝑠𝑓)))
7169, 70syldan 585 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑠𝐸𝑡𝑇𝑓𝑇)) → ((𝑠𝑡) + (𝑠𝑓)) = ((𝑠𝑡) ∘ (𝑠𝑓)))
7259, 65, 713eqtr4d 2809 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑠𝐸𝑡𝑇𝑓𝑇)) → (𝑠 · (𝑡𝑓)) = ((𝑠𝑡) + (𝑠𝑓)))
731, 2, 3, 7dvavadd 36971 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑡𝑇𝑓𝑇)) → (𝑡 + 𝑓) = (𝑡𝑓))
74733adantr1 1210 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑠𝐸𝑡𝑇𝑓𝑇)) → (𝑡 + 𝑓) = (𝑡𝑓))
7574oveq2d 6858 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑠𝐸𝑡𝑇𝑓𝑇)) → (𝑠 · (𝑡 + 𝑓)) = (𝑠 · (𝑡𝑓)))
76553adantr3 1212 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑠𝐸𝑡𝑇𝑓𝑇)) → (𝑠 · 𝑡) = (𝑠𝑡))
771, 2, 13, 3, 11dvavsca 36973 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑠𝐸𝑓𝑇)) → (𝑠 · 𝑓) = (𝑠𝑓))
78773adantr2 1211 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑠𝐸𝑡𝑇𝑓𝑇)) → (𝑠 · 𝑓) = (𝑠𝑓))
7976, 78oveq12d 6860 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑠𝐸𝑡𝑇𝑓𝑇)) → ((𝑠 · 𝑡) + (𝑠 · 𝑓)) = ((𝑠𝑡) + (𝑠𝑓)))
8072, 75, 793eqtr4d 2809 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑠𝐸𝑡𝑇𝑓𝑇)) → (𝑠 · (𝑡 + 𝑓)) = ((𝑠 · 𝑡) + (𝑠 · 𝑓)))
811, 2, 13, 3, 9, 17dvaplusgv 36966 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑠𝐸𝑡𝐸𝑓𝑇)) → ((𝑠 𝑡)‘𝑓) = ((𝑠𝑓) ∘ (𝑡𝑓)))
821, 2, 13, 3, 9, 17dvafplusg 36964 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → = (𝑎𝐸, 𝑏𝐸 ↦ (𝑓𝑇 ↦ ((𝑎𝑓) ∘ (𝑏𝑓)))))
83823ad2ant1 1163 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑠𝐸𝑡𝐸) → = (𝑎𝐸, 𝑏𝐸 ↦ (𝑓𝑇 ↦ ((𝑎𝑓) ∘ (𝑏𝑓)))))
8483oveqd 6859 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑠𝐸𝑡𝐸) → (𝑠 𝑡) = (𝑠(𝑎𝐸, 𝑏𝐸 ↦ (𝑓𝑇 ↦ ((𝑎𝑓) ∘ (𝑏𝑓))))𝑡))
85 eqid 2765 . . . . . . . . 9 (𝑎𝐸, 𝑏𝐸 ↦ (𝑓𝑇 ↦ ((𝑎𝑓) ∘ (𝑏𝑓)))) = (𝑎𝐸, 𝑏𝐸 ↦ (𝑓𝑇 ↦ ((𝑎𝑓) ∘ (𝑏𝑓))))
861, 2, 13, 85tendoplcl 36737 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑠𝐸𝑡𝐸) → (𝑠(𝑎𝐸, 𝑏𝐸 ↦ (𝑓𝑇 ↦ ((𝑎𝑓) ∘ (𝑏𝑓))))𝑡) ∈ 𝐸)
8784, 86eqeltrd 2844 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑠𝐸𝑡𝐸) → (𝑠 𝑡) ∈ 𝐸)
88873adant3r3 1235 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑠𝐸𝑡𝐸𝑓𝑇)) → (𝑠 𝑡) ∈ 𝐸)
89 simpr3 1252 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑠𝐸𝑡𝐸𝑓𝑇)) → 𝑓𝑇)
9088, 89jca 507 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑠𝐸𝑡𝐸𝑓𝑇)) → ((𝑠 𝑡) ∈ 𝐸𝑓𝑇))
911, 2, 13, 3, 11dvavsca 36973 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑠 𝑡) ∈ 𝐸𝑓𝑇)) → ((𝑠 𝑡) · 𝑓) = ((𝑠 𝑡)‘𝑓))
9290, 91syldan 585 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑠𝐸𝑡𝐸𝑓𝑇)) → ((𝑠 𝑡) · 𝑓) = ((𝑠 𝑡)‘𝑓))
93773adantr2 1211 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑠𝐸𝑡𝐸𝑓𝑇)) → (𝑠 · 𝑓) = (𝑠𝑓))
941, 2, 13, 3, 11dvavsca 36973 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑡𝐸𝑓𝑇)) → (𝑡 · 𝑓) = (𝑡𝑓))
95943adantr1 1210 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑠𝐸𝑡𝐸𝑓𝑇)) → (𝑡 · 𝑓) = (𝑡𝑓))
9693, 95oveq12d 6860 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑠𝐸𝑡𝐸𝑓𝑇)) → ((𝑠 · 𝑓) + (𝑡 · 𝑓)) = ((𝑠𝑓) + (𝑡𝑓)))
97673adant3r2 1234 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑠𝐸𝑡𝐸𝑓𝑇)) → (𝑠𝑓) ∈ 𝑇)
981, 2, 13tendospcl 36974 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑡𝐸𝑓𝑇) → (𝑡𝑓) ∈ 𝑇)
99983adant3r1 1233 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑠𝐸𝑡𝐸𝑓𝑇)) → (𝑡𝑓) ∈ 𝑇)
10097, 99jca 507 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑠𝐸𝑡𝐸𝑓𝑇)) → ((𝑠𝑓) ∈ 𝑇 ∧ (𝑡𝑓) ∈ 𝑇))
1011, 2, 3, 7dvavadd 36971 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑠𝑓) ∈ 𝑇 ∧ (𝑡𝑓) ∈ 𝑇)) → ((𝑠𝑓) + (𝑡𝑓)) = ((𝑠𝑓) ∘ (𝑡𝑓)))
102100, 101syldan 585 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑠𝐸𝑡𝐸𝑓𝑇)) → ((𝑠𝑓) + (𝑡𝑓)) = ((𝑠𝑓) ∘ (𝑡𝑓)))
10396, 102eqtrd 2799 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑠𝐸𝑡𝐸𝑓𝑇)) → ((𝑠 · 𝑓) + (𝑡 · 𝑓)) = ((𝑠𝑓) ∘ (𝑡𝑓)))
10481, 92, 1033eqtr4d 2809 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑠𝐸𝑡𝐸𝑓𝑇)) → ((𝑠 𝑡) · 𝑓) = ((𝑠 · 𝑓) + (𝑡 · 𝑓)))
1051, 2, 13tendospass 36975 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑠𝐸𝑡𝐸𝑓𝑇)) → ((𝑠𝑡)‘𝑓) = (𝑠‘(𝑡𝑓)))
1061, 13tendococl 36728 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑠𝐸𝑡𝐸) → (𝑠𝑡) ∈ 𝐸)
1071063adant3r3 1235 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑠𝐸𝑡𝐸𝑓𝑇)) → (𝑠𝑡) ∈ 𝐸)
108107, 89jca 507 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑠𝐸𝑡𝐸𝑓𝑇)) → ((𝑠𝑡) ∈ 𝐸𝑓𝑇))
1091, 2, 13, 3, 11dvavsca 36973 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑠𝑡) ∈ 𝐸𝑓𝑇)) → ((𝑠𝑡) · 𝑓) = ((𝑠𝑡)‘𝑓))
110108, 109syldan 585 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑠𝐸𝑡𝐸𝑓𝑇)) → ((𝑠𝑡) · 𝑓) = ((𝑠𝑡)‘𝑓))
111 simpr1 1248 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑠𝐸𝑡𝐸𝑓𝑇)) → 𝑠𝐸)
112111, 99jca 507 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑠𝐸𝑡𝐸𝑓𝑇)) → (𝑠𝐸 ∧ (𝑡𝑓) ∈ 𝑇))
1131, 2, 13, 3, 11dvavsca 36973 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑠𝐸 ∧ (𝑡𝑓) ∈ 𝑇)) → (𝑠 · (𝑡𝑓)) = (𝑠‘(𝑡𝑓)))
114112, 113syldan 585 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑠𝐸𝑡𝐸𝑓𝑇)) → (𝑠 · (𝑡𝑓)) = (𝑠‘(𝑡𝑓)))
115105, 110, 1143eqtr4d 2809 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑠𝐸𝑡𝐸𝑓𝑇)) → ((𝑠𝑡) · 𝑓) = (𝑠 · (𝑡𝑓)))
1161, 2, 13, 3, 9, 19dvamulr 36968 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑠𝐸𝑡𝐸)) → (𝑠 × 𝑡) = (𝑠𝑡))
1171163adantr3 1212 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑠𝐸𝑡𝐸𝑓𝑇)) → (𝑠 × 𝑡) = (𝑠𝑡))
118117oveq1d 6857 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑠𝐸𝑡𝐸𝑓𝑇)) → ((𝑠 × 𝑡) · 𝑓) = ((𝑠𝑡) · 𝑓))
11995oveq2d 6858 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑠𝐸𝑡𝐸𝑓𝑇)) → (𝑠 · (𝑡 · 𝑓)) = (𝑠 · (𝑡𝑓)))
120115, 118, 1193eqtr4d 2809 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑠𝐸𝑡𝐸𝑓𝑇)) → ((𝑠 × 𝑡) · 𝑓) = (𝑠 · (𝑡 · 𝑓)))
12121anim1i 608 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑠𝑇) → (( I ↾ 𝑇) ∈ 𝐸𝑠𝑇))
1221, 2, 13, 3, 11dvavsca 36973 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (( I ↾ 𝑇) ∈ 𝐸𝑠𝑇)) → (( I ↾ 𝑇) · 𝑠) = (( I ↾ 𝑇)‘𝑠))
123121, 122syldan 585 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑠𝑇) → (( I ↾ 𝑇) · 𝑠) = (( I ↾ 𝑇)‘𝑠))
124 fvresi 6632 . . . . 5 (𝑠𝑇 → (( I ↾ 𝑇)‘𝑠) = 𝑠)
125124adantl 473 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑠𝑇) → (( I ↾ 𝑇)‘𝑠) = 𝑠)
126123, 125eqtrd 2799 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑠𝑇) → (( I ↾ 𝑇) · 𝑠) = 𝑠)
1276, 8, 10, 12, 16, 18, 20, 49, 51, 54, 58, 80, 104, 120, 126islmodd 19138 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → 𝑈 ∈ LMod)
1289islvec 19376 . 2 (𝑈 ∈ LVec ↔ (𝑈 ∈ LMod ∧ 𝐷 ∈ DivRing))
129127, 43, 128sylanbrc 578 1 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → 𝑈 ∈ LVec)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 197  wa 384  w3a 1107   = wceq 1652  wcel 2155  wne 2937  cmpt 4888   I cid 5184  cres 5279  ccom 5281  wf 6064  1-1-ontowf1o 6067  cfv 6068  (class class class)co 6842  cmpt2 6844  Basecbs 16130  +gcplusg 16214  .rcmulr 16215  Scalarcsca 16217   ·𝑠 cvsca 16218  0gc0g 16366  Grpcgrp 17689  Abelcabl 18460  1rcur 18768  Ringcrg 18814  DivRingcdr 19016  LModclmod 19132  LVecclvec 19374  HLchlt 35306  LHypclh 35940  LTrncltrn 36057  TEndoctendo 36708  EDRingcedring 36709  DVecAcdveca 36958
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1890  ax-4 1904  ax-5 2005  ax-6 2070  ax-7 2105  ax-8 2157  ax-9 2164  ax-10 2183  ax-11 2198  ax-12 2211  ax-13 2352  ax-ext 2743  ax-rep 4930  ax-sep 4941  ax-nul 4949  ax-pow 5001  ax-pr 5062  ax-un 7147  ax-cnex 10245  ax-resscn 10246  ax-1cn 10247  ax-icn 10248  ax-addcl 10249  ax-addrcl 10250  ax-mulcl 10251  ax-mulrcl 10252  ax-mulcom 10253  ax-addass 10254  ax-mulass 10255  ax-distr 10256  ax-i2m1 10257  ax-1ne0 10258  ax-1rid 10259  ax-rnegex 10260  ax-rrecex 10261  ax-cnre 10262  ax-pre-lttri 10263  ax-pre-lttrn 10264  ax-pre-ltadd 10265  ax-pre-mulgt0 10266  ax-riotaBAD 34909
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 874  df-3or 1108  df-3an 1109  df-tru 1656  df-fal 1666  df-ex 1875  df-nf 1879  df-sb 2063  df-mo 2565  df-eu 2582  df-clab 2752  df-cleq 2758  df-clel 2761  df-nfc 2896  df-ne 2938  df-nel 3041  df-ral 3060  df-rex 3061  df-reu 3062  df-rmo 3063  df-rab 3064  df-v 3352  df-sbc 3597  df-csb 3692  df-dif 3735  df-un 3737  df-in 3739  df-ss 3746  df-pss 3748  df-nul 4080  df-if 4244  df-pw 4317  df-sn 4335  df-pr 4337  df-tp 4339  df-op 4341  df-uni 4595  df-int 4634  df-iun 4678  df-iin 4679  df-br 4810  df-opab 4872  df-mpt 4889  df-tr 4912  df-id 5185  df-eprel 5190  df-po 5198  df-so 5199  df-fr 5236  df-we 5238  df-xp 5283  df-rel 5284  df-cnv 5285  df-co 5286  df-dm 5287  df-rn 5288  df-res 5289  df-ima 5290  df-pred 5865  df-ord 5911  df-on 5912  df-lim 5913  df-suc 5914  df-iota 6031  df-fun 6070  df-fn 6071  df-f 6072  df-f1 6073  df-fo 6074  df-f1o 6075  df-fv 6076  df-riota 6803  df-ov 6845  df-oprab 6846  df-mpt2 6847  df-om 7264  df-1st 7366  df-2nd 7367  df-tpos 7555  df-undef 7602  df-wrecs 7610  df-recs 7672  df-rdg 7710  df-1o 7764  df-oadd 7768  df-er 7947  df-map 8062  df-en 8161  df-dom 8162  df-sdom 8163  df-fin 8164  df-pnf 10330  df-mnf 10331  df-xr 10332  df-ltxr 10333  df-le 10334  df-sub 10522  df-neg 10523  df-nn 11275  df-2 11335  df-3 11336  df-4 11337  df-5 11338  df-6 11339  df-n0 11539  df-z 11625  df-uz 11887  df-fz 12534  df-struct 16132  df-ndx 16133  df-slot 16134  df-base 16136  df-sets 16137  df-ress 16138  df-plusg 16227  df-mulr 16228  df-sca 16230  df-vsca 16231  df-0g 16368  df-proset 17194  df-poset 17212  df-plt 17224  df-lub 17240  df-glb 17241  df-join 17242  df-meet 17243  df-p0 17305  df-p1 17306  df-lat 17312  df-clat 17374  df-mgm 17508  df-sgrp 17550  df-mnd 17561  df-grp 17692  df-minusg 17693  df-cmn 18461  df-abl 18462  df-mgp 18757  df-ur 18769  df-ring 18816  df-oppr 18890  df-dvdsr 18908  df-unit 18909  df-invr 18939  df-dvr 18950  df-drng 19018  df-lmod 19134  df-lvec 19375  df-oposet 35132  df-ol 35134  df-oml 35135  df-covers 35222  df-ats 35223  df-atl 35254  df-cvlat 35278  df-hlat 35307  df-llines 35454  df-lplanes 35455  df-lvols 35456  df-lines 35457  df-psubsp 35459  df-pmap 35460  df-padd 35752  df-lhyp 35944  df-laut 35945  df-ldil 36060  df-ltrn 36061  df-trl 36115  df-tgrp 36699  df-tendo 36711  df-edring 36713  df-dveca 36959
This theorem is referenced by:  dvalvec  36982
  Copyright terms: Public domain W3C validator