Theorem dvalveclem 38966

Description: Lemma for dvalvec 38967. (Contributed by NM, 11-Oct-2013.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 22-Jun-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
dvalvec.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
dvalvec.v	⊢ 𝑈 = ((DVecA‘𝐾)‘𝑊)
dvalveclem.t	⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
dvalveclem.a	⊢ + = (+g‘𝑈)
dvalveclem.e	⊢ 𝐸 = ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)
dvalveclem.d	⊢ 𝐷 = (Scalar‘𝑈)
dvalveclem.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
dvalveclem.p	⊢ ⨣ = (+g‘𝐷)
dvalveclem.m	⊢ × = (.r‘𝐷)
dvalveclem.s	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑈)

Assertion

Ref	Expression
dvalveclem	⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → 𝑈 ∈ LVec)

Proof of Theorem dvalveclem

Dummy variables 𝑡 𝑓 𝑎 𝑏 𝑠 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dvalvec.h	. . . . 5 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2		dvalveclem.t	. . . . 5 ⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
3		dvalvec.v	. . . . 5 ⊢ 𝑈 = ((DVecA‘𝐾)‘𝑊)
4		eqid 2738	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝑈) = (Base‘𝑈)
5	1, 2, 3, 4	dvavbase 38954	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → (Base‘𝑈) = 𝑇)
6	5	eqcomd 2744	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → 𝑇 = (Base‘𝑈))
7		dvalveclem.a	. . . 4 ⊢ + = (+g‘𝑈)
8	7	a1i 11	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → + = (+g‘𝑈))
9		dvalveclem.d	. . . 4 ⊢ 𝐷 = (Scalar‘𝑈)
10	9	a1i 11	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → 𝐷 = (Scalar‘𝑈))
11		dvalveclem.s	. . . 4 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑈)
12	11	a1i 11	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → · = ( ·𝑠 ‘𝑈))
13		dvalveclem.e	. . . . 5 ⊢ 𝐸 = ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)
14		eqid 2738	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝐷) = (Base‘𝐷)
15	1, 13, 3, 9, 14	dvabase 38948	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → (Base‘𝐷) = 𝐸)
16	15	eqcomd 2744	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → 𝐸 = (Base‘𝐷))
17		dvalveclem.p	. . . 4 ⊢ ⨣ = (+g‘𝐷)
18	17	a1i 11	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → ⨣ = (+g‘𝐷))
19		dvalveclem.m	. . . 4 ⊢ × = (.r‘𝐷)
20	19	a1i 11	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → × = (.r‘𝐷))
21	1, 2, 13	tendoidcl 38710	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → ( I ↾ 𝑇) ∈ 𝐸)
22	21, 16	eleqtrd 2841	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → ( I ↾ 𝑇) ∈ (Base‘𝐷))
23		dvalveclem.b	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
24		eqid 2738	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑓 ∈ 𝑇 ↦ ( I ↾ 𝐵)) = (𝑓 ∈ 𝑇 ↦ ( I ↾ 𝐵))
25	23, 1, 2, 13, 24	tendo1ne0 38769	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → ( I ↾ 𝑇) ≠ (𝑓 ∈ 𝑇 ↦ ( I ↾ 𝐵)))
26		eqid 2738	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((EDRing‘𝐾)‘𝑊) = ((EDRing‘𝐾)‘𝑊)
27	1, 26, 3, 9	dvasca 38947	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → 𝐷 = ((EDRing‘𝐾)‘𝑊))
28	27	fveq2d 6760	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → (0g‘𝐷) = (0g‘((EDRing‘𝐾)‘𝑊)))
29		eqid 2738	. . . . . . . . 9 ⊢ (0g‘((EDRing‘𝐾)‘𝑊)) = (0g‘((EDRing‘𝐾)‘𝑊))
30	23, 1, 2, 26, 24, 29	erng0g 38935	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → (0g‘((EDRing‘𝐾)‘𝑊)) = (𝑓 ∈ 𝑇 ↦ ( I ↾ 𝐵)))
31	28, 30	eqtrd 2778	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → (0g‘𝐷) = (𝑓 ∈ 𝑇 ↦ ( I ↾ 𝐵)))
32	25, 31	neeqtrrd 3017	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → ( I ↾ 𝑇) ≠ (0g‘𝐷))
33	21, 21	jca 511	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → (( I ↾ 𝑇) ∈ 𝐸 ∧ ( I ↾ 𝑇) ∈ 𝐸))
34	1, 2, 13, 3, 9, 19	dvamulr 38953	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (( I ↾ 𝑇) ∈ 𝐸 ∧ ( I ↾ 𝑇) ∈ 𝐸)) → (( I ↾ 𝑇) × ( I ↾ 𝑇)) = (( I ↾ 𝑇) ∘ ( I ↾ 𝑇)))
35	33, 34	mpdan 683	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → (( I ↾ 𝑇) × ( I ↾ 𝑇)) = (( I ↾ 𝑇) ∘ ( I ↾ 𝑇)))
36		f1oi 6737	. . . . . . . 8 ⊢ ( I ↾ 𝑇):𝑇–1-1-onto→𝑇
37		f1of 6700	. . . . . . . 8 ⊢ (( I ↾ 𝑇):𝑇–1-1-onto→𝑇 → ( I ↾ 𝑇):𝑇⟶𝑇)
38		fcoi2 6633	. . . . . . . 8 ⊢ (( I ↾ 𝑇):𝑇⟶𝑇 → (( I ↾ 𝑇) ∘ ( I ↾ 𝑇)) = ( I ↾ 𝑇))
39	36, 37, 38	mp2b 10	. . . . . . 7 ⊢ (( I ↾ 𝑇) ∘ ( I ↾ 𝑇)) = ( I ↾ 𝑇)
40	35, 39	eqtrdi 2795	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → (( I ↾ 𝑇) × ( I ↾ 𝑇)) = ( I ↾ 𝑇))
41	22, 32, 40	3jca 1126	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → (( I ↾ 𝑇) ∈ (Base‘𝐷) ∧ ( I ↾ 𝑇) ≠ (0g‘𝐷) ∧ (( I ↾ 𝑇) × ( I ↾ 𝑇)) = ( I ↾ 𝑇)))
42	1, 26	erngdv 38934	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → ((EDRing‘𝐾)‘𝑊) ∈ DivRing)
43	27, 42	eqeltrd 2839	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → 𝐷 ∈ DivRing)
44		eqid 2738	. . . . . . 7 ⊢ (0g‘𝐷) = (0g‘𝐷)
45		eqid 2738	. . . . . . 7 ⊢ (1r‘𝐷) = (1r‘𝐷)
46	14, 19, 44, 45	drngid2 19922	. . . . . 6 ⊢ (𝐷 ∈ DivRing → ((( I ↾ 𝑇) ∈ (Base‘𝐷) ∧ ( I ↾ 𝑇) ≠ (0g‘𝐷) ∧ (( I ↾ 𝑇) × ( I ↾ 𝑇)) = ( I ↾ 𝑇)) ↔ (1r‘𝐷) = ( I ↾ 𝑇)))
47	43, 46	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → ((( I ↾ 𝑇) ∈ (Base‘𝐷) ∧ ( I ↾ 𝑇) ≠ (0g‘𝐷) ∧ (( I ↾ 𝑇) × ( I ↾ 𝑇)) = ( I ↾ 𝑇)) ↔ (1r‘𝐷) = ( I ↾ 𝑇)))
48	41, 47	mpbid 231	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → (1r‘𝐷) = ( I ↾ 𝑇))
49	48	eqcomd 2744	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → ( I ↾ 𝑇) = (1r‘𝐷))
50		drngring 19913	. . . 4 ⊢ (𝐷 ∈ DivRing → 𝐷 ∈ Ring)
51	43, 50	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → 𝐷 ∈ Ring)
52	1, 3	dvaabl 38965	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → 𝑈 ∈ Abel)
53		ablgrp 19306	. . . 4 ⊢ (𝑈 ∈ Abel → 𝑈 ∈ Grp)
54	52, 53	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → 𝑈 ∈ Grp)
55	1, 2, 13, 3, 11	dvavsca 38958	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇)) → (𝑠 · 𝑡) = (𝑠‘𝑡))
56	55	3impb 1113	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) → (𝑠 · 𝑡) = (𝑠‘𝑡))
57	1, 2, 13	tendocl 38708	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) → (𝑠‘𝑡) ∈ 𝑇)
58	56, 57	eqeltrd 2839	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇) → (𝑠 · 𝑡) ∈ 𝑇)
59	1, 2, 13	tendospdi1 38961	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇 ∧ 𝑓 ∈ 𝑇)) → (𝑠‘(𝑡 ∘ 𝑓)) = ((𝑠‘𝑡) ∘ (𝑠‘𝑓)))
60		simpr1 1192	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇 ∧ 𝑓 ∈ 𝑇)) → 𝑠 ∈ 𝐸)
61	1, 2	ltrnco 38660	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑡 ∈ 𝑇 ∧ 𝑓 ∈ 𝑇) → (𝑡 ∘ 𝑓) ∈ 𝑇)
62	61	3adant3r1 1180	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇 ∧ 𝑓 ∈ 𝑇)) → (𝑡 ∘ 𝑓) ∈ 𝑇)
63	60, 62	jca 511	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇 ∧ 𝑓 ∈ 𝑇)) → (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ (𝑡 ∘ 𝑓) ∈ 𝑇))
64	1, 2, 13, 3, 11	dvavsca 38958	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ (𝑡 ∘ 𝑓) ∈ 𝑇)) → (𝑠 · (𝑡 ∘ 𝑓)) = (𝑠‘(𝑡 ∘ 𝑓)))
65	63, 64	syldan 590	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇 ∧ 𝑓 ∈ 𝑇)) → (𝑠 · (𝑡 ∘ 𝑓)) = (𝑠‘(𝑡 ∘ 𝑓)))
66	57	3adant3r3 1182	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇 ∧ 𝑓 ∈ 𝑇)) → (𝑠‘𝑡) ∈ 𝑇)
67	1, 2, 13	tendocl 38708	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑓 ∈ 𝑇) → (𝑠‘𝑓) ∈ 𝑇)
68	67	3adant3r2 1181	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇 ∧ 𝑓 ∈ 𝑇)) → (𝑠‘𝑓) ∈ 𝑇)
69	66, 68	jca 511	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇 ∧ 𝑓 ∈ 𝑇)) → ((𝑠‘𝑡) ∈ 𝑇 ∧ (𝑠‘𝑓) ∈ 𝑇))
70	1, 2, 3, 7	dvavadd 38956	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ ((𝑠‘𝑡) ∈ 𝑇 ∧ (𝑠‘𝑓) ∈ 𝑇)) → ((𝑠‘𝑡) + (𝑠‘𝑓)) = ((𝑠‘𝑡) ∘ (𝑠‘𝑓)))
71	69, 70	syldan 590	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇 ∧ 𝑓 ∈ 𝑇)) → ((𝑠‘𝑡) + (𝑠‘𝑓)) = ((𝑠‘𝑡) ∘ (𝑠‘𝑓)))
72	59, 65, 71	3eqtr4d 2788	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇 ∧ 𝑓 ∈ 𝑇)) → (𝑠 · (𝑡 ∘ 𝑓)) = ((𝑠‘𝑡) + (𝑠‘𝑓)))
73	1, 2, 3, 7	dvavadd 38956	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑡 ∈ 𝑇 ∧ 𝑓 ∈ 𝑇)) → (𝑡 + 𝑓) = (𝑡 ∘ 𝑓))
74	73	3adantr1 1167	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇 ∧ 𝑓 ∈ 𝑇)) → (𝑡 + 𝑓) = (𝑡 ∘ 𝑓))
75	74	oveq2d 7271	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇 ∧ 𝑓 ∈ 𝑇)) → (𝑠 · (𝑡 + 𝑓)) = (𝑠 · (𝑡 ∘ 𝑓)))
76	55	3adantr3 1169	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇 ∧ 𝑓 ∈ 𝑇)) → (𝑠 · 𝑡) = (𝑠‘𝑡))
77	1, 2, 13, 3, 11	dvavsca 38958	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑓 ∈ 𝑇)) → (𝑠 · 𝑓) = (𝑠‘𝑓))
78	77	3adantr2 1168	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇 ∧ 𝑓 ∈ 𝑇)) → (𝑠 · 𝑓) = (𝑠‘𝑓))
79	76, 78	oveq12d 7273	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇 ∧ 𝑓 ∈ 𝑇)) → ((𝑠 · 𝑡) + (𝑠 · 𝑓)) = ((𝑠‘𝑡) + (𝑠‘𝑓)))
80	72, 75, 79	3eqtr4d 2788	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑡 ∈ 𝑇 ∧ 𝑓 ∈ 𝑇)) → (𝑠 · (𝑡 + 𝑓)) = ((𝑠 · 𝑡) + (𝑠 · 𝑓)))
81	1, 2, 13, 3, 9, 17	dvaplusgv 38951	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑡 ∈ 𝐸 ∧ 𝑓 ∈ 𝑇)) → ((𝑠 ⨣ 𝑡)‘𝑓) = ((𝑠‘𝑓) ∘ (𝑡‘𝑓)))
82	1, 2, 13, 3, 9, 17	dvafplusg 38949	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → ⨣ = (𝑎 ∈ 𝐸, 𝑏 ∈ 𝐸 ↦ (𝑓 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑎‘𝑓) ∘ (𝑏‘𝑓)))))
83	82	3ad2ant1 1131	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑡 ∈ 𝐸) → ⨣ = (𝑎 ∈ 𝐸, 𝑏 ∈ 𝐸 ↦ (𝑓 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑎‘𝑓) ∘ (𝑏‘𝑓)))))
84	83	oveqd 7272	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑡 ∈ 𝐸) → (𝑠 ⨣ 𝑡) = (𝑠(𝑎 ∈ 𝐸, 𝑏 ∈ 𝐸 ↦ (𝑓 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑎‘𝑓) ∘ (𝑏‘𝑓))))𝑡))
85		eqid 2738	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑎 ∈ 𝐸, 𝑏 ∈ 𝐸 ↦ (𝑓 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑎‘𝑓) ∘ (𝑏‘𝑓)))) = (𝑎 ∈ 𝐸, 𝑏 ∈ 𝐸 ↦ (𝑓 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑎‘𝑓) ∘ (𝑏‘𝑓))))
86	1, 2, 13, 85	tendoplcl 38722	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑡 ∈ 𝐸) → (𝑠(𝑎 ∈ 𝐸, 𝑏 ∈ 𝐸 ↦ (𝑓 ∈ 𝑇 ↦ ((𝑎‘𝑓) ∘ (𝑏‘𝑓))))𝑡) ∈ 𝐸)
87	84, 86	eqeltrd 2839	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑡 ∈ 𝐸) → (𝑠 ⨣ 𝑡) ∈ 𝐸)
88	87	3adant3r3 1182	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑡 ∈ 𝐸 ∧ 𝑓 ∈ 𝑇)) → (𝑠 ⨣ 𝑡) ∈ 𝐸)
89		simpr3 1194	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑡 ∈ 𝐸 ∧ 𝑓 ∈ 𝑇)) → 𝑓 ∈ 𝑇)
90	88, 89	jca 511	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑡 ∈ 𝐸 ∧ 𝑓 ∈ 𝑇)) → ((𝑠 ⨣ 𝑡) ∈ 𝐸 ∧ 𝑓 ∈ 𝑇))
91	1, 2, 13, 3, 11	dvavsca 38958	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ ((𝑠 ⨣ 𝑡) ∈ 𝐸 ∧ 𝑓 ∈ 𝑇)) → ((𝑠 ⨣ 𝑡) · 𝑓) = ((𝑠 ⨣ 𝑡)‘𝑓))
92	90, 91	syldan 590	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑡 ∈ 𝐸 ∧ 𝑓 ∈ 𝑇)) → ((𝑠 ⨣ 𝑡) · 𝑓) = ((𝑠 ⨣ 𝑡)‘𝑓))
93	77	3adantr2 1168	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑡 ∈ 𝐸 ∧ 𝑓 ∈ 𝑇)) → (𝑠 · 𝑓) = (𝑠‘𝑓))
94	1, 2, 13, 3, 11	dvavsca 38958	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑡 ∈ 𝐸 ∧ 𝑓 ∈ 𝑇)) → (𝑡 · 𝑓) = (𝑡‘𝑓))
95	94	3adantr1 1167	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑡 ∈ 𝐸 ∧ 𝑓 ∈ 𝑇)) → (𝑡 · 𝑓) = (𝑡‘𝑓))
96	93, 95	oveq12d 7273	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑡 ∈ 𝐸 ∧ 𝑓 ∈ 𝑇)) → ((𝑠 · 𝑓) + (𝑡 · 𝑓)) = ((𝑠‘𝑓) + (𝑡‘𝑓)))
97	67	3adant3r2 1181	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑡 ∈ 𝐸 ∧ 𝑓 ∈ 𝑇)) → (𝑠‘𝑓) ∈ 𝑇)
98	1, 2, 13	tendospcl 38959	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑡 ∈ 𝐸 ∧ 𝑓 ∈ 𝑇) → (𝑡‘𝑓) ∈ 𝑇)
99	98	3adant3r1 1180	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑡 ∈ 𝐸 ∧ 𝑓 ∈ 𝑇)) → (𝑡‘𝑓) ∈ 𝑇)
100	97, 99	jca 511	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑡 ∈ 𝐸 ∧ 𝑓 ∈ 𝑇)) → ((𝑠‘𝑓) ∈ 𝑇 ∧ (𝑡‘𝑓) ∈ 𝑇))
101	1, 2, 3, 7	dvavadd 38956	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ ((𝑠‘𝑓) ∈ 𝑇 ∧ (𝑡‘𝑓) ∈ 𝑇)) → ((𝑠‘𝑓) + (𝑡‘𝑓)) = ((𝑠‘𝑓) ∘ (𝑡‘𝑓)))
102	100, 101	syldan 590	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑡 ∈ 𝐸 ∧ 𝑓 ∈ 𝑇)) → ((𝑠‘𝑓) + (𝑡‘𝑓)) = ((𝑠‘𝑓) ∘ (𝑡‘𝑓)))
103	96, 102	eqtrd 2778	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑡 ∈ 𝐸 ∧ 𝑓 ∈ 𝑇)) → ((𝑠 · 𝑓) + (𝑡 · 𝑓)) = ((𝑠‘𝑓) ∘ (𝑡‘𝑓)))
104	81, 92, 103	3eqtr4d 2788	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑡 ∈ 𝐸 ∧ 𝑓 ∈ 𝑇)) → ((𝑠 ⨣ 𝑡) · 𝑓) = ((𝑠 · 𝑓) + (𝑡 · 𝑓)))
105	1, 2, 13	tendospass 38960	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑡 ∈ 𝐸 ∧ 𝑓 ∈ 𝑇)) → ((𝑠 ∘ 𝑡)‘𝑓) = (𝑠‘(𝑡‘𝑓)))
106	1, 13	tendococl 38713	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑡 ∈ 𝐸) → (𝑠 ∘ 𝑡) ∈ 𝐸)
107	106	3adant3r3 1182	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑡 ∈ 𝐸 ∧ 𝑓 ∈ 𝑇)) → (𝑠 ∘ 𝑡) ∈ 𝐸)
108	107, 89	jca 511	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑡 ∈ 𝐸 ∧ 𝑓 ∈ 𝑇)) → ((𝑠 ∘ 𝑡) ∈ 𝐸 ∧ 𝑓 ∈ 𝑇))
109	1, 2, 13, 3, 11	dvavsca 38958	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ ((𝑠 ∘ 𝑡) ∈ 𝐸 ∧ 𝑓 ∈ 𝑇)) → ((𝑠 ∘ 𝑡) · 𝑓) = ((𝑠 ∘ 𝑡)‘𝑓))
110	108, 109	syldan 590	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑡 ∈ 𝐸 ∧ 𝑓 ∈ 𝑇)) → ((𝑠 ∘ 𝑡) · 𝑓) = ((𝑠 ∘ 𝑡)‘𝑓))
111		simpr1 1192	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑡 ∈ 𝐸 ∧ 𝑓 ∈ 𝑇)) → 𝑠 ∈ 𝐸)
112	111, 99	jca 511	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑡 ∈ 𝐸 ∧ 𝑓 ∈ 𝑇)) → (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ (𝑡‘𝑓) ∈ 𝑇))
113	1, 2, 13, 3, 11	dvavsca 38958	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ (𝑡‘𝑓) ∈ 𝑇)) → (𝑠 · (𝑡‘𝑓)) = (𝑠‘(𝑡‘𝑓)))
114	112, 113	syldan 590	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑡 ∈ 𝐸 ∧ 𝑓 ∈ 𝑇)) → (𝑠 · (𝑡‘𝑓)) = (𝑠‘(𝑡‘𝑓)))
115	105, 110, 114	3eqtr4d 2788	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑡 ∈ 𝐸 ∧ 𝑓 ∈ 𝑇)) → ((𝑠 ∘ 𝑡) · 𝑓) = (𝑠 · (𝑡‘𝑓)))
116	1, 2, 13, 3, 9, 19	dvamulr 38953	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑡 ∈ 𝐸)) → (𝑠 × 𝑡) = (𝑠 ∘ 𝑡))
117	116	3adantr3 1169	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑡 ∈ 𝐸 ∧ 𝑓 ∈ 𝑇)) → (𝑠 × 𝑡) = (𝑠 ∘ 𝑡))
118	117	oveq1d 7270	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑡 ∈ 𝐸 ∧ 𝑓 ∈ 𝑇)) → ((𝑠 × 𝑡) · 𝑓) = ((𝑠 ∘ 𝑡) · 𝑓))
119	95	oveq2d 7271	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑡 ∈ 𝐸 ∧ 𝑓 ∈ 𝑇)) → (𝑠 · (𝑡 · 𝑓)) = (𝑠 · (𝑡‘𝑓)))
120	115, 118, 119	3eqtr4d 2788	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑠 ∈ 𝐸 ∧ 𝑡 ∈ 𝐸 ∧ 𝑓 ∈ 𝑇)) → ((𝑠 × 𝑡) · 𝑓) = (𝑠 · (𝑡 · 𝑓)))
121	21	anim1i 614	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑠 ∈ 𝑇) → (( I ↾ 𝑇) ∈ 𝐸 ∧ 𝑠 ∈ 𝑇))
122	1, 2, 13, 3, 11	dvavsca 38958	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (( I ↾ 𝑇) ∈ 𝐸 ∧ 𝑠 ∈ 𝑇)) → (( I ↾ 𝑇) · 𝑠) = (( I ↾ 𝑇)‘𝑠))
123	121, 122	syldan 590	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑠 ∈ 𝑇) → (( I ↾ 𝑇) · 𝑠) = (( I ↾ 𝑇)‘𝑠))
124		fvresi 7027	. . . . 5 ⊢ (𝑠 ∈ 𝑇 → (( I ↾ 𝑇)‘𝑠) = 𝑠)
125	124	adantl 481	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑠 ∈ 𝑇) → (( I ↾ 𝑇)‘𝑠) = 𝑠)
126	123, 125	eqtrd 2778	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑠 ∈ 𝑇) → (( I ↾ 𝑇) · 𝑠) = 𝑠)
127	6, 8, 10, 12, 16, 18, 20, 49, 51, 54, 58, 80, 104, 120, 126	islmodd 20044	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → 𝑈 ∈ LMod)
128	9	islvec 20281	. 2 ⊢ (𝑈 ∈ LVec ↔ (𝑈 ∈ LMod ∧ 𝐷 ∈ DivRing))
129	127, 43, 128	sylanbrc 582	1 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → 𝑈 ∈ LVec)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∧ w3a 1085   = wceq 1539   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2942   ↦ cmpt 5153   I cid 5479   ↾ cres 5582   ∘ ccom 5584  ⟶wf 6414  –1-1-onto→wf1o 6417  ‘cfv 6418  (class class class)co 7255   ∈ cmpo 7257  Basecbs 16840  +_gcplusg 16888  ._rcmulr 16889  Scalarcsca 16891   ·_𝑠 cvsca 16892  0_gc0g 17067  Grpcgrp 18492  Abelcabl 19302  1_rcur 19652  Ringcrg 19698  DivRingcdr 19906  LModclmod 20038  LVecclvec 20279  HLchlt 37291  LHypclh 37925  LTrncltrn 38042  TEndoctendo 38693  EDRingcedring 38694  DVecAcdveca 38943

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-rep 5205  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879  ax-riotaBAD 36894

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rmo 3071  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-iun 4923  df-iin 4924  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-om 7688  df-1st 7804  df-2nd 7805  df-tpos 8013  df-undef 8060  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-1o 8267  df-er 8456  df-map 8575  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-fin 8695  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-nn 11904  df-2 11966  df-3 11967  df-4 11968  df-5 11969  df-6 11970  df-n0 12164  df-z 12250  df-uz 12512  df-fz 13169  df-struct 16776  df-sets 16793  df-slot 16811  df-ndx 16823  df-base 16841  df-ress 16868  df-plusg 16901  df-mulr 16902  df-sca 16904  df-vsca 16905  df-0g 17069  df-proset 17928  df-poset 17946  df-plt 17963  df-lub 17979  df-glb 17980  df-join 17981  df-meet 17982  df-p0 18058  df-p1 18059  df-lat 18065  df-clat 18132  df-mgm 18241  df-sgrp 18290  df-mnd 18301  df-grp 18495  df-minusg 18496  df-cmn 19303  df-abl 19304  df-mgp 19636  df-ur 19653  df-ring 19700  df-oppr 19777  df-dvdsr 19798  df-unit 19799  df-invr 19829  df-dvr 19840  df-drng 19908  df-lmod 20040  df-lvec 20280  df-oposet 37117  df-ol 37119  df-oml 37120  df-covers 37207  df-ats 37208  df-atl 37239  df-cvlat 37263  df-hlat 37292  df-llines 37439  df-lplanes 37440  df-lvols 37441  df-lines 37442  df-psubsp 37444  df-pmap 37445  df-padd 37737  df-lhyp 37929  df-laut 37930  df-ldil 38045  df-ltrn 38046  df-trl 38100  df-tgrp 38684  df-tendo 38696  df-edring 38698  df-dveca 38944

This theorem is referenced by:  dvalvec  38967