Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dvalveclem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dvalveclem 39488
Description: Lemma for dvalvec 39489. (Contributed by NM, 11-Oct-2013.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 22-Jun-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
dvalvec.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
dvalvec.v 𝑈 = ((DVecA‘𝐾)‘𝑊)
dvalveclem.t 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
dvalveclem.a + = (+g𝑈)
dvalveclem.e 𝐸 = ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)
dvalveclem.d 𝐷 = (Scalar‘𝑈)
dvalveclem.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
dvalveclem.p = (+g𝐷)
dvalveclem.m × = (.r𝐷)
dvalveclem.s · = ( ·𝑠𝑈)
Assertion
Ref Expression
dvalveclem ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → 𝑈 ∈ LVec)

Proof of Theorem dvalveclem
Dummy variables 𝑡 𝑓 𝑎 𝑏 𝑠 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dvalvec.h . . . . 5 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2 dvalveclem.t . . . . 5 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
3 dvalvec.v . . . . 5 𝑈 = ((DVecA‘𝐾)‘𝑊)
4 eqid 2736 . . . . 5 (Base‘𝑈) = (Base‘𝑈)
51, 2, 3, 4dvavbase 39476 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → (Base‘𝑈) = 𝑇)
65eqcomd 2742 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → 𝑇 = (Base‘𝑈))
7 dvalveclem.a . . . 4 + = (+g𝑈)
87a1i 11 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → + = (+g𝑈))
9 dvalveclem.d . . . 4 𝐷 = (Scalar‘𝑈)
109a1i 11 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → 𝐷 = (Scalar‘𝑈))
11 dvalveclem.s . . . 4 · = ( ·𝑠𝑈)
1211a1i 11 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → · = ( ·𝑠𝑈))
13 dvalveclem.e . . . . 5 𝐸 = ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)
14 eqid 2736 . . . . 5 (Base‘𝐷) = (Base‘𝐷)
151, 13, 3, 9, 14dvabase 39470 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → (Base‘𝐷) = 𝐸)
1615eqcomd 2742 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → 𝐸 = (Base‘𝐷))
17 dvalveclem.p . . . 4 = (+g𝐷)
1817a1i 11 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → = (+g𝐷))
19 dvalveclem.m . . . 4 × = (.r𝐷)
2019a1i 11 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → × = (.r𝐷))
211, 2, 13tendoidcl 39232 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → ( I ↾ 𝑇) ∈ 𝐸)
2221, 16eleqtrd 2840 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → ( I ↾ 𝑇) ∈ (Base‘𝐷))
23 dvalveclem.b . . . . . . . 8 𝐵 = (Base‘𝐾)
24 eqid 2736 . . . . . . . 8 (𝑓𝑇 ↦ ( I ↾ 𝐵)) = (𝑓𝑇 ↦ ( I ↾ 𝐵))
2523, 1, 2, 13, 24tendo1ne0 39291 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → ( I ↾ 𝑇) ≠ (𝑓𝑇 ↦ ( I ↾ 𝐵)))
26 eqid 2736 . . . . . . . . . 10 ((EDRing‘𝐾)‘𝑊) = ((EDRing‘𝐾)‘𝑊)
271, 26, 3, 9dvasca 39469 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → 𝐷 = ((EDRing‘𝐾)‘𝑊))
2827fveq2d 6846 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → (0g𝐷) = (0g‘((EDRing‘𝐾)‘𝑊)))
29 eqid 2736 . . . . . . . . 9 (0g‘((EDRing‘𝐾)‘𝑊)) = (0g‘((EDRing‘𝐾)‘𝑊))
3023, 1, 2, 26, 24, 29erng0g 39457 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → (0g‘((EDRing‘𝐾)‘𝑊)) = (𝑓𝑇 ↦ ( I ↾ 𝐵)))
3128, 30eqtrd 2776 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → (0g𝐷) = (𝑓𝑇 ↦ ( I ↾ 𝐵)))
3225, 31neeqtrrd 3018 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → ( I ↾ 𝑇) ≠ (0g𝐷))
3321, 21jca 512 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → (( I ↾ 𝑇) ∈ 𝐸 ∧ ( I ↾ 𝑇) ∈ 𝐸))
341, 2, 13, 3, 9, 19dvamulr 39475 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (( I ↾ 𝑇) ∈ 𝐸 ∧ ( I ↾ 𝑇) ∈ 𝐸)) → (( I ↾ 𝑇) × ( I ↾ 𝑇)) = (( I ↾ 𝑇) ∘ ( I ↾ 𝑇)))
3533, 34mpdan 685 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → (( I ↾ 𝑇) × ( I ↾ 𝑇)) = (( I ↾ 𝑇) ∘ ( I ↾ 𝑇)))
36 f1oi 6822 . . . . . . . 8 ( I ↾ 𝑇):𝑇1-1-onto𝑇
37 f1of 6784 . . . . . . . 8 (( I ↾ 𝑇):𝑇1-1-onto𝑇 → ( I ↾ 𝑇):𝑇𝑇)
38 fcoi2 6717 . . . . . . . 8 (( I ↾ 𝑇):𝑇𝑇 → (( I ↾ 𝑇) ∘ ( I ↾ 𝑇)) = ( I ↾ 𝑇))
3936, 37, 38mp2b 10 . . . . . . 7 (( I ↾ 𝑇) ∘ ( I ↾ 𝑇)) = ( I ↾ 𝑇)
4035, 39eqtrdi 2792 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → (( I ↾ 𝑇) × ( I ↾ 𝑇)) = ( I ↾ 𝑇))
4122, 32, 403jca 1128 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → (( I ↾ 𝑇) ∈ (Base‘𝐷) ∧ ( I ↾ 𝑇) ≠ (0g𝐷) ∧ (( I ↾ 𝑇) × ( I ↾ 𝑇)) = ( I ↾ 𝑇)))
421, 26erngdv 39456 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → ((EDRing‘𝐾)‘𝑊) ∈ DivRing)
4327, 42eqeltrd 2838 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → 𝐷 ∈ DivRing)
44 eqid 2736 . . . . . . 7 (0g𝐷) = (0g𝐷)
45 eqid 2736 . . . . . . 7 (1r𝐷) = (1r𝐷)
4614, 19, 44, 45drngid2 20204 . . . . . 6 (𝐷 ∈ DivRing → ((( I ↾ 𝑇) ∈ (Base‘𝐷) ∧ ( I ↾ 𝑇) ≠ (0g𝐷) ∧ (( I ↾ 𝑇) × ( I ↾ 𝑇)) = ( I ↾ 𝑇)) ↔ (1r𝐷) = ( I ↾ 𝑇)))
4743, 46syl 17 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → ((( I ↾ 𝑇) ∈ (Base‘𝐷) ∧ ( I ↾ 𝑇) ≠ (0g𝐷) ∧ (( I ↾ 𝑇) × ( I ↾ 𝑇)) = ( I ↾ 𝑇)) ↔ (1r𝐷) = ( I ↾ 𝑇)))
4841, 47mpbid 231 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → (1r𝐷) = ( I ↾ 𝑇))
4948eqcomd 2742 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → ( I ↾ 𝑇) = (1r𝐷))
50 drngring 20192 . . . 4 (𝐷 ∈ DivRing → 𝐷 ∈ Ring)
5143, 50syl 17 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → 𝐷 ∈ Ring)
521, 3dvaabl 39487 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → 𝑈 ∈ Abel)
53 ablgrp 19567 . . . 4 (𝑈 ∈ Abel → 𝑈 ∈ Grp)
5452, 53syl 17 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → 𝑈 ∈ Grp)
551, 2, 13, 3, 11dvavsca 39480 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑠𝐸𝑡𝑇)) → (𝑠 · 𝑡) = (𝑠𝑡))
56553impb 1115 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑠𝐸𝑡𝑇) → (𝑠 · 𝑡) = (𝑠𝑡))
571, 2, 13tendocl 39230 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑠𝐸𝑡𝑇) → (𝑠𝑡) ∈ 𝑇)
5856, 57eqeltrd 2838 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑠𝐸𝑡𝑇) → (𝑠 · 𝑡) ∈ 𝑇)
591, 2, 13tendospdi1 39483 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑠𝐸𝑡𝑇𝑓𝑇)) → (𝑠‘(𝑡𝑓)) = ((𝑠𝑡) ∘ (𝑠𝑓)))
60 simpr1 1194 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑠𝐸𝑡𝑇𝑓𝑇)) → 𝑠𝐸)
611, 2ltrnco 39182 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑡𝑇𝑓𝑇) → (𝑡𝑓) ∈ 𝑇)
62613adant3r1 1182 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑠𝐸𝑡𝑇𝑓𝑇)) → (𝑡𝑓) ∈ 𝑇)
6360, 62jca 512 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑠𝐸𝑡𝑇𝑓𝑇)) → (𝑠𝐸 ∧ (𝑡𝑓) ∈ 𝑇))
641, 2, 13, 3, 11dvavsca 39480 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑠𝐸 ∧ (𝑡𝑓) ∈ 𝑇)) → (𝑠 · (𝑡𝑓)) = (𝑠‘(𝑡𝑓)))
6563, 64syldan 591 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑠𝐸𝑡𝑇𝑓𝑇)) → (𝑠 · (𝑡𝑓)) = (𝑠‘(𝑡𝑓)))
66573adant3r3 1184 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑠𝐸𝑡𝑇𝑓𝑇)) → (𝑠𝑡) ∈ 𝑇)
671, 2, 13tendocl 39230 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑠𝐸𝑓𝑇) → (𝑠𝑓) ∈ 𝑇)
68673adant3r2 1183 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑠𝐸𝑡𝑇𝑓𝑇)) → (𝑠𝑓) ∈ 𝑇)
6966, 68jca 512 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑠𝐸𝑡𝑇𝑓𝑇)) → ((𝑠𝑡) ∈ 𝑇 ∧ (𝑠𝑓) ∈ 𝑇))
701, 2, 3, 7dvavadd 39478 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑠𝑡) ∈ 𝑇 ∧ (𝑠𝑓) ∈ 𝑇)) → ((𝑠𝑡) + (𝑠𝑓)) = ((𝑠𝑡) ∘ (𝑠𝑓)))
7169, 70syldan 591 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑠𝐸𝑡𝑇𝑓𝑇)) → ((𝑠𝑡) + (𝑠𝑓)) = ((𝑠𝑡) ∘ (𝑠𝑓)))
7259, 65, 713eqtr4d 2786 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑠𝐸𝑡𝑇𝑓𝑇)) → (𝑠 · (𝑡𝑓)) = ((𝑠𝑡) + (𝑠𝑓)))
731, 2, 3, 7dvavadd 39478 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑡𝑇𝑓𝑇)) → (𝑡 + 𝑓) = (𝑡𝑓))
74733adantr1 1169 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑠𝐸𝑡𝑇𝑓𝑇)) → (𝑡 + 𝑓) = (𝑡𝑓))
7574oveq2d 7373 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑠𝐸𝑡𝑇𝑓𝑇)) → (𝑠 · (𝑡 + 𝑓)) = (𝑠 · (𝑡𝑓)))
76553adantr3 1171 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑠𝐸𝑡𝑇𝑓𝑇)) → (𝑠 · 𝑡) = (𝑠𝑡))
771, 2, 13, 3, 11dvavsca 39480 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑠𝐸𝑓𝑇)) → (𝑠 · 𝑓) = (𝑠𝑓))
78773adantr2 1170 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑠𝐸𝑡𝑇𝑓𝑇)) → (𝑠 · 𝑓) = (𝑠𝑓))
7976, 78oveq12d 7375 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑠𝐸𝑡𝑇𝑓𝑇)) → ((𝑠 · 𝑡) + (𝑠 · 𝑓)) = ((𝑠𝑡) + (𝑠𝑓)))
8072, 75, 793eqtr4d 2786 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑠𝐸𝑡𝑇𝑓𝑇)) → (𝑠 · (𝑡 + 𝑓)) = ((𝑠 · 𝑡) + (𝑠 · 𝑓)))
811, 2, 13, 3, 9, 17dvaplusgv 39473 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑠𝐸𝑡𝐸𝑓𝑇)) → ((𝑠 𝑡)‘𝑓) = ((𝑠𝑓) ∘ (𝑡𝑓)))
821, 2, 13, 3, 9, 17dvafplusg 39471 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → = (𝑎𝐸, 𝑏𝐸 ↦ (𝑓𝑇 ↦ ((𝑎𝑓) ∘ (𝑏𝑓)))))
83823ad2ant1 1133 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑠𝐸𝑡𝐸) → = (𝑎𝐸, 𝑏𝐸 ↦ (𝑓𝑇 ↦ ((𝑎𝑓) ∘ (𝑏𝑓)))))
8483oveqd 7374 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑠𝐸𝑡𝐸) → (𝑠 𝑡) = (𝑠(𝑎𝐸, 𝑏𝐸 ↦ (𝑓𝑇 ↦ ((𝑎𝑓) ∘ (𝑏𝑓))))𝑡))
85 eqid 2736 . . . . . . . . 9 (𝑎𝐸, 𝑏𝐸 ↦ (𝑓𝑇 ↦ ((𝑎𝑓) ∘ (𝑏𝑓)))) = (𝑎𝐸, 𝑏𝐸 ↦ (𝑓𝑇 ↦ ((𝑎𝑓) ∘ (𝑏𝑓))))
861, 2, 13, 85tendoplcl 39244 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑠𝐸𝑡𝐸) → (𝑠(𝑎𝐸, 𝑏𝐸 ↦ (𝑓𝑇 ↦ ((𝑎𝑓) ∘ (𝑏𝑓))))𝑡) ∈ 𝐸)
8784, 86eqeltrd 2838 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑠𝐸𝑡𝐸) → (𝑠 𝑡) ∈ 𝐸)
88873adant3r3 1184 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑠𝐸𝑡𝐸𝑓𝑇)) → (𝑠 𝑡) ∈ 𝐸)
89 simpr3 1196 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑠𝐸𝑡𝐸𝑓𝑇)) → 𝑓𝑇)
9088, 89jca 512 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑠𝐸𝑡𝐸𝑓𝑇)) → ((𝑠 𝑡) ∈ 𝐸𝑓𝑇))
911, 2, 13, 3, 11dvavsca 39480 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑠 𝑡) ∈ 𝐸𝑓𝑇)) → ((𝑠 𝑡) · 𝑓) = ((𝑠 𝑡)‘𝑓))
9290, 91syldan 591 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑠𝐸𝑡𝐸𝑓𝑇)) → ((𝑠 𝑡) · 𝑓) = ((𝑠 𝑡)‘𝑓))
93773adantr2 1170 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑠𝐸𝑡𝐸𝑓𝑇)) → (𝑠 · 𝑓) = (𝑠𝑓))
941, 2, 13, 3, 11dvavsca 39480 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑡𝐸𝑓𝑇)) → (𝑡 · 𝑓) = (𝑡𝑓))
95943adantr1 1169 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑠𝐸𝑡𝐸𝑓𝑇)) → (𝑡 · 𝑓) = (𝑡𝑓))
9693, 95oveq12d 7375 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑠𝐸𝑡𝐸𝑓𝑇)) → ((𝑠 · 𝑓) + (𝑡 · 𝑓)) = ((𝑠𝑓) + (𝑡𝑓)))
97673adant3r2 1183 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑠𝐸𝑡𝐸𝑓𝑇)) → (𝑠𝑓) ∈ 𝑇)
981, 2, 13tendospcl 39481 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑡𝐸𝑓𝑇) → (𝑡𝑓) ∈ 𝑇)
99983adant3r1 1182 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑠𝐸𝑡𝐸𝑓𝑇)) → (𝑡𝑓) ∈ 𝑇)
10097, 99jca 512 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑠𝐸𝑡𝐸𝑓𝑇)) → ((𝑠𝑓) ∈ 𝑇 ∧ (𝑡𝑓) ∈ 𝑇))
1011, 2, 3, 7dvavadd 39478 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑠𝑓) ∈ 𝑇 ∧ (𝑡𝑓) ∈ 𝑇)) → ((𝑠𝑓) + (𝑡𝑓)) = ((𝑠𝑓) ∘ (𝑡𝑓)))
102100, 101syldan 591 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑠𝐸𝑡𝐸𝑓𝑇)) → ((𝑠𝑓) + (𝑡𝑓)) = ((𝑠𝑓) ∘ (𝑡𝑓)))
10396, 102eqtrd 2776 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑠𝐸𝑡𝐸𝑓𝑇)) → ((𝑠 · 𝑓) + (𝑡 · 𝑓)) = ((𝑠𝑓) ∘ (𝑡𝑓)))
10481, 92, 1033eqtr4d 2786 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑠𝐸𝑡𝐸𝑓𝑇)) → ((𝑠 𝑡) · 𝑓) = ((𝑠 · 𝑓) + (𝑡 · 𝑓)))
1051, 2, 13tendospass 39482 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑠𝐸𝑡𝐸𝑓𝑇)) → ((𝑠𝑡)‘𝑓) = (𝑠‘(𝑡𝑓)))
1061, 13tendococl 39235 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑠𝐸𝑡𝐸) → (𝑠𝑡) ∈ 𝐸)
1071063adant3r3 1184 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑠𝐸𝑡𝐸𝑓𝑇)) → (𝑠𝑡) ∈ 𝐸)
108107, 89jca 512 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑠𝐸𝑡𝐸𝑓𝑇)) → ((𝑠𝑡) ∈ 𝐸𝑓𝑇))
1091, 2, 13, 3, 11dvavsca 39480 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑠𝑡) ∈ 𝐸𝑓𝑇)) → ((𝑠𝑡) · 𝑓) = ((𝑠𝑡)‘𝑓))
110108, 109syldan 591 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑠𝐸𝑡𝐸𝑓𝑇)) → ((𝑠𝑡) · 𝑓) = ((𝑠𝑡)‘𝑓))
111 simpr1 1194 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑠𝐸𝑡𝐸𝑓𝑇)) → 𝑠𝐸)
112111, 99jca 512 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑠𝐸𝑡𝐸𝑓𝑇)) → (𝑠𝐸 ∧ (𝑡𝑓) ∈ 𝑇))
1131, 2, 13, 3, 11dvavsca 39480 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑠𝐸 ∧ (𝑡𝑓) ∈ 𝑇)) → (𝑠 · (𝑡𝑓)) = (𝑠‘(𝑡𝑓)))
114112, 113syldan 591 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑠𝐸𝑡𝐸𝑓𝑇)) → (𝑠 · (𝑡𝑓)) = (𝑠‘(𝑡𝑓)))
115105, 110, 1143eqtr4d 2786 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑠𝐸𝑡𝐸𝑓𝑇)) → ((𝑠𝑡) · 𝑓) = (𝑠 · (𝑡𝑓)))
1161, 2, 13, 3, 9, 19dvamulr 39475 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑠𝐸𝑡𝐸)) → (𝑠 × 𝑡) = (𝑠𝑡))
1171163adantr3 1171 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑠𝐸𝑡𝐸𝑓𝑇)) → (𝑠 × 𝑡) = (𝑠𝑡))
118117oveq1d 7372 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑠𝐸𝑡𝐸𝑓𝑇)) → ((𝑠 × 𝑡) · 𝑓) = ((𝑠𝑡) · 𝑓))
11995oveq2d 7373 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑠𝐸𝑡𝐸𝑓𝑇)) → (𝑠 · (𝑡 · 𝑓)) = (𝑠 · (𝑡𝑓)))
120115, 118, 1193eqtr4d 2786 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑠𝐸𝑡𝐸𝑓𝑇)) → ((𝑠 × 𝑡) · 𝑓) = (𝑠 · (𝑡 · 𝑓)))
12121anim1i 615 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑠𝑇) → (( I ↾ 𝑇) ∈ 𝐸𝑠𝑇))
1221, 2, 13, 3, 11dvavsca 39480 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (( I ↾ 𝑇) ∈ 𝐸𝑠𝑇)) → (( I ↾ 𝑇) · 𝑠) = (( I ↾ 𝑇)‘𝑠))
123121, 122syldan 591 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑠𝑇) → (( I ↾ 𝑇) · 𝑠) = (( I ↾ 𝑇)‘𝑠))
124 fvresi 7119 . . . . 5 (𝑠𝑇 → (( I ↾ 𝑇)‘𝑠) = 𝑠)
125124adantl 482 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑠𝑇) → (( I ↾ 𝑇)‘𝑠) = 𝑠)
126123, 125eqtrd 2776 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑠𝑇) → (( I ↾ 𝑇) · 𝑠) = 𝑠)
1276, 8, 10, 12, 16, 18, 20, 49, 51, 54, 58, 80, 104, 120, 126islmodd 20328 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → 𝑈 ∈ LMod)
1289islvec 20565 . 2 (𝑈 ∈ LVec ↔ (𝑈 ∈ LMod ∧ 𝐷 ∈ DivRing))
129127, 43, 128sylanbrc 583 1 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → 𝑈 ∈ LVec)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 396  w3a 1087   = wceq 1541  wcel 2106  wne 2943  cmpt 5188   I cid 5530  cres 5635  ccom 5637  wf 6492  1-1-ontowf1o 6495  cfv 6496  (class class class)co 7357  cmpo 7359  Basecbs 17083  +gcplusg 17133  .rcmulr 17134  Scalarcsca 17136   ·𝑠 cvsca 17137  0gc0g 17321  Grpcgrp 18748  Abelcabl 19563  1rcur 19913  Ringcrg 19964  DivRingcdr 20185  LModclmod 20322  LVecclvec 20563  HLchlt 37812  LHypclh 38447  LTrncltrn 38564  TEndoctendo 39215  EDRingcedring 39216  DVecAcdveca 39465
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128  ax-riotaBAD 37415
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-tp 4591  df-op 4593  df-uni 4866  df-iun 4956  df-iin 4957  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-tpos 8157  df-undef 8204  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-1o 8412  df-er 8648  df-map 8767  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-nn 12154  df-2 12216  df-3 12217  df-4 12218  df-5 12219  df-6 12220  df-n0 12414  df-z 12500  df-uz 12764  df-fz 13425  df-struct 17019  df-sets 17036  df-slot 17054  df-ndx 17066  df-base 17084  df-ress 17113  df-plusg 17146  df-mulr 17147  df-sca 17149  df-vsca 17150  df-0g 17323  df-proset 18184  df-poset 18202  df-plt 18219  df-lub 18235  df-glb 18236  df-join 18237  df-meet 18238  df-p0 18314  df-p1 18315  df-lat 18321  df-clat 18388  df-mgm 18497  df-sgrp 18546  df-mnd 18557  df-grp 18751  df-minusg 18752  df-cmn 19564  df-abl 19565  df-mgp 19897  df-ur 19914  df-ring 19966  df-oppr 20049  df-dvdsr 20070  df-unit 20071  df-invr 20101  df-dvr 20112  df-drng 20187  df-lmod 20324  df-lvec 20564  df-oposet 37638  df-ol 37640  df-oml 37641  df-covers 37728  df-ats 37729  df-atl 37760  df-cvlat 37784  df-hlat 37813  df-llines 37961  df-lplanes 37962  df-lvols 37963  df-lines 37964  df-psubsp 37966  df-pmap 37967  df-padd 38259  df-lhyp 38451  df-laut 38452  df-ldil 38567  df-ltrn 38568  df-trl 38622  df-tgrp 39206  df-tendo 39218  df-edring 39220  df-dveca 39466
This theorem is referenced by:  dvalvec  39489
  Copyright terms: Public domain W3C validator