Theorem quslvec 33420

Description: If 𝑆 is a vector subspace in 𝑊, then 𝑄 = 𝑊 / 𝑆 is a vector space, called the quotient space of 𝑊 by 𝑆. (Contributed by Thierry Arnoux, 18-May-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
quslvec.n	⊢ 𝑄 = (𝑊 /s (𝑊 ~QG 𝑆))
quslvec.1	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LVec)
quslvec.2	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ (LSubSp‘𝑊))

Assertion

Ref	Expression
quslvec	⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ LVec)

Proof of Theorem quslvec

Step	Hyp	Ref	Expression
1		quslvec.n	. . 3 ⊢ 𝑄 = (𝑊 /s (𝑊 ~QG 𝑆))
2		eqid 2736	. . 3 ⊢ (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
3		quslvec.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LVec)
4	3	lveclmodd 21102	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
5		quslvec.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ (LSubSp‘𝑊))
6	1, 2, 4, 5	quslmod 33418	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ LMod)
7	1	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑄 = (𝑊 /s (𝑊 ~QG 𝑆)))
8	2	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊))
9		ovexd 7402	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑊 ~QG 𝑆) ∈ V)
10		eqid 2736	. . . 4 ⊢ (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑊)
11	7, 8, 9, 3, 10	quss 17510	. . 3 ⊢ (𝜑 → (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑄))
12	10	lvecdrng 21100	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ LVec → (Scalar‘𝑊) ∈ DivRing)
13	3, 12	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → (Scalar‘𝑊) ∈ DivRing)
14	11, 13	eqeltrrd 2837	. 2 ⊢ (𝜑 → (Scalar‘𝑄) ∈ DivRing)
15		eqid 2736	. . 3 ⊢ (Scalar‘𝑄) = (Scalar‘𝑄)
16	15	islvec 21099	. 2 ⊢ (𝑄 ∈ LVec ↔ (𝑄 ∈ LMod ∧ (Scalar‘𝑄) ∈ DivRing))
17	6, 14, 16	sylanbrc 584	1 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ LVec)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  Vcvv 3429  ‘cfv 6498  (class class class)co 7367  Basecbs 17179  Scalarcsca 17223   /_s cqus 17469   ~_QG cqg 19098  DivRingcdr 20706  LModclmod 20855  LSubSpclss 20926  LVecclvec 21097

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5307  ax-pr 5375  ax-un 7689  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3062  df-rmo 3342  df-reu 3343  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-pss 3909  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-tp 4572  df-op 4574  df-uni 4851  df-iun 4935  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-tr 5193  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6265  df-ord 6326  df-on 6327  df-lim 6328  df-suc 6329  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-f1 6503  df-fo 6504  df-f1o 6505  df-fv 6506  df-riota 7324  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-om 7818  df-1st 7942  df-2nd 7943  df-frecs 8231  df-wrecs 8262  df-recs 8311  df-rdg 8349  df-1o 8405  df-er 8643  df-ec 8645  df-qs 8649  df-en 8894  df-dom 8895  df-sdom 8896  df-fin 8897  df-sup 9355  df-inf 9356  df-pnf 11181  df-mnf 11182  df-xr 11183  df-ltxr 11184  df-le 11185  df-sub 11379  df-neg 11380  df-nn 12175  df-2 12244  df-3 12245  df-4 12246  df-5 12247  df-6 12248  df-7 12249  df-8 12250  df-9 12251  df-n0 12438  df-z 12525  df-dec 12645  df-uz 12789  df-fz 13462  df-struct 17117  df-sets 17134  df-slot 17152  df-ndx 17164  df-base 17180  df-ress 17201  df-plusg 17233  df-mulr 17234  df-sca 17236  df-vsca 17237  df-ip 17238  df-tset 17239  df-ple 17240  df-ds 17242  df-0g 17404  df-imas 17472  df-qus 17473  df-mgm 18608  df-sgrp 18687  df-mnd 18703  df-grp 18912  df-minusg 18913  df-sbg 18914  df-subg 19099  df-nsg 19100  df-eqg 19101  df-cmn 19757  df-abl 19758  df-mgp 20122  df-rng 20134  df-ur 20163  df-ring 20216  df-lmod 20857  df-lss 20927  df-lvec 21098

This theorem is referenced by:  algextdeglem3  33863