Theorem quslvec 33314

Description: If 𝑆 is a vector subspace in 𝑊, then 𝑄 = 𝑊 / 𝑆 is a vector space, called the quotient space of 𝑊 by 𝑆. (Contributed by Thierry Arnoux, 18-May-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
quslvec.n	⊢ 𝑄 = (𝑊 /s (𝑊 ~QG 𝑆))
quslvec.1	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LVec)
quslvec.2	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ (LSubSp‘𝑊))

Assertion

Ref	Expression
quslvec	⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ LVec)

Proof of Theorem quslvec

Step	Hyp	Ref	Expression
1		quslvec.n	. . 3 ⊢ 𝑄 = (𝑊 /s (𝑊 ~QG 𝑆))
2		eqid 2734	. . 3 ⊢ (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
3		quslvec.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LVec)
4	3	lveclmodd 21073	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
5		quslvec.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ (LSubSp‘𝑊))
6	1, 2, 4, 5	quslmod 33312	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ LMod)
7	1	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑄 = (𝑊 /s (𝑊 ~QG 𝑆)))
8	2	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊))
9		ovexd 7447	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑊 ~QG 𝑆) ∈ V)
10		eqid 2734	. . . 4 ⊢ (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑊)
11	7, 8, 9, 3, 10	quss 17561	. . 3 ⊢ (𝜑 → (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑄))
12	10	lvecdrng 21071	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ LVec → (Scalar‘𝑊) ∈ DivRing)
13	3, 12	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → (Scalar‘𝑊) ∈ DivRing)
14	11, 13	eqeltrrd 2834	. 2 ⊢ (𝜑 → (Scalar‘𝑄) ∈ DivRing)
15		eqid 2734	. . 3 ⊢ (Scalar‘𝑄) = (Scalar‘𝑄)
16	15	islvec 21070	. 2 ⊢ (𝑄 ∈ LVec ↔ (𝑄 ∈ LMod ∧ (Scalar‘𝑄) ∈ DivRing))
17	6, 14, 16	sylanbrc 583	1 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ LVec)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1539   ∈ wcel 2107  Vcvv 3463  ‘cfv 6540  (class class class)co 7412  Basecbs 17228  Scalarcsca 17275   /_s cqus 17520   ~_QG cqg 19108  DivRingcdr 20696  LModclmod 20825  LSubSpclss 20896  LVecclvec 21068

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2706  ax-rep 5259  ax-sep 5276  ax-nul 5286  ax-pow 5345  ax-pr 5412  ax-un 7736  ax-cnex 11192  ax-resscn 11193  ax-1cn 11194  ax-icn 11195  ax-addcl 11196  ax-addrcl 11197  ax-mulcl 11198  ax-mulrcl 11199  ax-mulcom 11200  ax-addass 11201  ax-mulass 11202  ax-distr 11203  ax-i2m1 11204  ax-1ne0 11205  ax-1rid 11206  ax-rnegex 11207  ax-rrecex 11208  ax-cnre 11209  ax-pre-lttri 11210  ax-pre-lttrn 11211  ax-pre-ltadd 11212  ax-pre-mulgt0 11213

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2808  df-nfc 2884  df-ne 2932  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rmo 3363  df-reu 3364  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3771  df-csb 3880  df-dif 3934  df-un 3936  df-in 3938  df-ss 3948  df-pss 3951  df-nul 4314  df-if 4506  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-tp 4611  df-op 4613  df-uni 4888  df-iun 4973  df-br 5124  df-opab 5186  df-mpt 5206  df-tr 5240  df-id 5558  df-eprel 5564  df-po 5572  df-so 5573  df-fr 5617  df-we 5619  df-xp 5671  df-rel 5672  df-cnv 5673  df-co 5674  df-dm 5675  df-rn 5676  df-res 5677  df-ima 5678  df-pred 6301  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6493  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7869  df-1st 7995  df-2nd 7996  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-1o 8487  df-er 8726  df-ec 8728  df-qs 8732  df-en 8967  df-dom 8968  df-sdom 8969  df-fin 8970  df-sup 9463  df-inf 9464  df-pnf 11278  df-mnf 11279  df-xr 11280  df-ltxr 11281  df-le 11282  df-sub 11475  df-neg 11476  df-nn 12248  df-2 12310  df-3 12311  df-4 12312  df-5 12313  df-6 12314  df-7 12315  df-8 12316  df-9 12317  df-n0 12509  df-z 12596  df-dec 12716  df-uz 12860  df-fz 13529  df-struct 17165  df-sets 17182  df-slot 17200  df-ndx 17212  df-base 17229  df-ress 17252  df-plusg 17285  df-mulr 17286  df-sca 17288  df-vsca 17289  df-ip 17290  df-tset 17291  df-ple 17292  df-ds 17294  df-0g 17456  df-imas 17523  df-qus 17524  df-mgm 18621  df-sgrp 18700  df-mnd 18716  df-grp 18922  df-minusg 18923  df-sbg 18924  df-subg 19109  df-nsg 19110  df-eqg 19111  df-cmn 19767  df-abl 19768  df-mgp 20105  df-rng 20117  df-ur 20146  df-ring 20199  df-lmod 20827  df-lss 20897  df-lvec 21069

This theorem is referenced by:  algextdeglem3  33690