Theorem quslvec 33345

Description: If 𝑆 is a vector subspace in 𝑊, then 𝑄 = 𝑊 / 𝑆 is a vector space, called the quotient space of 𝑊 by 𝑆. (Contributed by Thierry Arnoux, 18-May-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
quslvec.n	⊢ 𝑄 = (𝑊 /s (𝑊 ~QG 𝑆))
quslvec.1	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LVec)
quslvec.2	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ (LSubSp‘𝑊))

Assertion

Ref	Expression
quslvec	⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ LVec)

Proof of Theorem quslvec

Step	Hyp	Ref	Expression
1		quslvec.n	. . 3 ⊢ 𝑄 = (𝑊 /s (𝑊 ~QG 𝑆))
2		eqid 2734	. . 3 ⊢ (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
3		quslvec.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LVec)
4	3	lveclmodd 21124	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
5		quslvec.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ (LSubSp‘𝑊))
6	1, 2, 4, 5	quslmod 33343	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ LMod)
7	1	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑄 = (𝑊 /s (𝑊 ~QG 𝑆)))
8	2	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊))
9		ovexd 7480	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑊 ~QG 𝑆) ∈ V)
10		eqid 2734	. . . 4 ⊢ (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑊)
11	7, 8, 9, 3, 10	quss 17601	. . 3 ⊢ (𝜑 → (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑄))
12	10	lvecdrng 21122	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ LVec → (Scalar‘𝑊) ∈ DivRing)
13	3, 12	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → (Scalar‘𝑊) ∈ DivRing)
14	11, 13	eqeltrrd 2839	. 2 ⊢ (𝜑 → (Scalar‘𝑄) ∈ DivRing)
15		eqid 2734	. . 3 ⊢ (Scalar‘𝑄) = (Scalar‘𝑄)
16	15	islvec 21121	. 2 ⊢ (𝑄 ∈ LVec ↔ (𝑄 ∈ LMod ∧ (Scalar‘𝑄) ∈ DivRing))
17	6, 14, 16	sylanbrc 582	1 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ LVec)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1537   ∈ wcel 2103  Vcvv 3482  ‘cfv 6572  (class class class)co 7445  Basecbs 17253  Scalarcsca 17309   /_s cqus 17560   ~_QG cqg 19157  DivRingcdr 20746  LModclmod 20875  LSubSpclss 20947  LVecclvec 21119

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2105  ax-9 2113  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2173  ax-ext 2705  ax-rep 5306  ax-sep 5320  ax-nul 5327  ax-pow 5386  ax-pr 5450  ax-un 7766  ax-cnex 11236  ax-resscn 11237  ax-1cn 11238  ax-icn 11239  ax-addcl 11240  ax-addrcl 11241  ax-mulcl 11242  ax-mulrcl 11243  ax-mulcom 11244  ax-addass 11245  ax-mulass 11246  ax-distr 11247  ax-i2m1 11248  ax-1ne0 11249  ax-1rid 11250  ax-rnegex 11251  ax-rrecex 11252  ax-cnre 11253  ax-pre-lttri 11254  ax-pre-lttrn 11255  ax-pre-ltadd 11256  ax-pre-mulgt0 11257

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2890  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3064  df-rex 3073  df-rmo 3383  df-reu 3384  df-rab 3439  df-v 3484  df-sbc 3799  df-csb 3916  df-dif 3973  df-un 3975  df-in 3977  df-ss 3987  df-pss 3990  df-nul 4348  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-tp 4653  df-op 4655  df-uni 4932  df-iun 5021  df-br 5170  df-opab 5232  df-mpt 5253  df-tr 5287  df-id 5597  df-eprel 5603  df-po 5611  df-so 5612  df-fr 5654  df-we 5656  df-xp 5705  df-rel 5706  df-cnv 5707  df-co 5708  df-dm 5709  df-rn 5710  df-res 5711  df-ima 5712  df-pred 6331  df-ord 6397  df-on 6398  df-lim 6399  df-suc 6400  df-iota 6524  df-fun 6574  df-fn 6575  df-f 6576  df-f1 6577  df-fo 6578  df-f1o 6579  df-fv 6580  df-riota 7401  df-ov 7448  df-oprab 7449  df-mpo 7450  df-om 7900  df-1st 8026  df-2nd 8027  df-frecs 8318  df-wrecs 8349  df-recs 8423  df-rdg 8462  df-1o 8518  df-er 8759  df-ec 8761  df-qs 8765  df-en 9000  df-dom 9001  df-sdom 9002  df-fin 9003  df-sup 9507  df-inf 9508  df-pnf 11322  df-mnf 11323  df-xr 11324  df-ltxr 11325  df-le 11326  df-sub 11518  df-neg 11519  df-nn 12290  df-2 12352  df-3 12353  df-4 12354  df-5 12355  df-6 12356  df-7 12357  df-8 12358  df-9 12359  df-n0 12550  df-z 12636  df-dec 12755  df-uz 12900  df-fz 13564  df-struct 17189  df-sets 17206  df-slot 17224  df-ndx 17236  df-base 17254  df-ress 17283  df-plusg 17319  df-mulr 17320  df-sca 17322  df-vsca 17323  df-ip 17324  df-tset 17325  df-ple 17326  df-ds 17328  df-0g 17496  df-imas 17563  df-qus 17564  df-mgm 18673  df-sgrp 18752  df-mnd 18768  df-grp 18971  df-minusg 18972  df-sbg 18973  df-subg 19158  df-nsg 19159  df-eqg 19160  df-cmn 19819  df-abl 19820  df-mgp 20157  df-rng 20175  df-ur 20204  df-ring 20257  df-lmod 20877  df-lss 20948  df-lvec 21120

This theorem is referenced by:  algextdeglem3  33702