Theorem quslvec 32941

Description: If 𝑆 is a vector subspace in 𝑊, then 𝑄 = 𝑊 / 𝑆 is a vector space, called the quotient space of 𝑊 by 𝑆. (Contributed by Thierry Arnoux, 18-May-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
quslvec.n	⊢ 𝑄 = (𝑊 /s (𝑊 ~QG 𝑆))
quslvec.1	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LVec)
quslvec.2	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ (LSubSp‘𝑊))

Assertion

Ref	Expression
quslvec	⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ LVec)

Proof of Theorem quslvec

Step	Hyp	Ref	Expression
1		quslvec.n	. . 3 ⊢ 𝑄 = (𝑊 /s (𝑊 ~QG 𝑆))
2		eqid 2724	. . 3 ⊢ (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
3		quslvec.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LVec)
4	3	lveclmodd 20945	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
5		quslvec.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ (LSubSp‘𝑊))
6	1, 2, 4, 5	quslmod 32939	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ LMod)
7	1	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑄 = (𝑊 /s (𝑊 ~QG 𝑆)))
8	2	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊))
9		ovexd 7436	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑊 ~QG 𝑆) ∈ V)
10		eqid 2724	. . . 4 ⊢ (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑊)
11	7, 8, 9, 3, 10	quss 17491	. . 3 ⊢ (𝜑 → (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑄))
12	10	lvecdrng 20943	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ LVec → (Scalar‘𝑊) ∈ DivRing)
13	3, 12	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → (Scalar‘𝑊) ∈ DivRing)
14	11, 13	eqeltrrd 2826	. 2 ⊢ (𝜑 → (Scalar‘𝑄) ∈ DivRing)
15		eqid 2724	. . 3 ⊢ (Scalar‘𝑄) = (Scalar‘𝑄)
16	15	islvec 20942	. 2 ⊢ (𝑄 ∈ LVec ↔ (𝑄 ∈ LMod ∧ (Scalar‘𝑄) ∈ DivRing))
17	6, 14, 16	sylanbrc 582	1 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ LVec)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  Vcvv 3466  ‘cfv 6533  (class class class)co 7401  Basecbs 17143  Scalarcsca 17199   /_s cqus 17450   ~_QG cqg 19039  DivRingcdr 20577  LModclmod 20696  LSubSpclss 20768  LVecclvec 20940

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-rep 5275  ax-sep 5289  ax-nul 5296  ax-pow 5353  ax-pr 5417  ax-un 7718  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-pss 3959  df-nul 4315  df-if 4521  df-pw 4596  df-sn 4621  df-pr 4623  df-tp 4625  df-op 4627  df-uni 4900  df-iun 4989  df-br 5139  df-opab 5201  df-mpt 5222  df-tr 5256  df-id 5564  df-eprel 5570  df-po 5578  df-so 5579  df-fr 5621  df-we 5623  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-pred 6290  df-ord 6357  df-on 6358  df-lim 6359  df-suc 6360  df-iota 6485  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7357  df-ov 7404  df-oprab 7405  df-mpo 7406  df-om 7849  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-frecs 8261  df-wrecs 8292  df-recs 8366  df-rdg 8405  df-1o 8461  df-er 8699  df-ec 8701  df-qs 8705  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-fin 8939  df-sup 9433  df-inf 9434  df-pnf 11247  df-mnf 11248  df-xr 11249  df-ltxr 11250  df-le 11251  df-sub 11443  df-neg 11444  df-nn 12210  df-2 12272  df-3 12273  df-4 12274  df-5 12275  df-6 12276  df-7 12277  df-8 12278  df-9 12279  df-n0 12470  df-z 12556  df-dec 12675  df-uz 12820  df-fz 13482  df-struct 17079  df-sets 17096  df-slot 17114  df-ndx 17126  df-base 17144  df-ress 17173  df-plusg 17209  df-mulr 17210  df-sca 17212  df-vsca 17213  df-ip 17214  df-tset 17215  df-ple 17216  df-ds 17218  df-0g 17386  df-imas 17453  df-qus 17454  df-mgm 18563  df-sgrp 18642  df-mnd 18658  df-grp 18856  df-minusg 18857  df-sbg 18858  df-subg 19040  df-nsg 19041  df-eqg 19042  df-cmn 19692  df-abl 19693  df-mgp 20030  df-rng 20048  df-ur 20077  df-ring 20130  df-lmod 20698  df-lss 20769  df-lvec 20941

This theorem is referenced by:  algextdeglem3  33255