Theorem rlmlvec 21480

Description: The ring module over a division ring is a vector space. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Oct-2015.)

Assertion

Ref	Expression
rlmlvec	⊢ (𝑅 ∈ DivRing → (ringLMod‘𝑅) ∈ LVec)

Proof of Theorem rlmlvec

Step	Hyp	Ref	Expression
1		drngring 20988	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ DivRing → 𝑅 ∈ Ring)
2		rlmlmod 21479	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (ringLMod‘𝑅) ∈ LMod)
3	1, 2	syl 18	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ DivRing → (ringLMod‘𝑅) ∈ LMod)
4		rlmsca 21474	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ DivRing → 𝑅 = (Scalar‘(ringLMod‘𝑅)))
5		id 23	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ DivRing → 𝑅 ∈ DivRing)
6	4, 5	eqeltrrd 2861	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ DivRing → (Scalar‘(ringLMod‘𝑅)) ∈ DivRing)
7		eqid 2760	. . 3 ⊢ (Scalar‘(ringLMod‘𝑅)) = (Scalar‘(ringLMod‘𝑅))
8	7	islvec 21380	. 2 ⊢ ((ringLMod‘𝑅) ∈ LVec ↔ ((ringLMod‘𝑅) ∈ LMod ∧ (Scalar‘(ringLMod‘𝑅)) ∈ DivRing))
9	3, 6, 8	sylanbrc 595	1 ⊢ (𝑅 ∈ DivRing → (ringLMod‘𝑅) ∈ LVec)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2144  ‘cfv 6538  Scalarcsca 17432  Ringcrg 20460  DivRingcdr 20981  LModclmod 21136  LVecclvec 21378  ringLModcrglmod 21448

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751  ax-cnex 11257  ax-resscn 11258  ax-1cn 11259  ax-icn 11260  ax-addcl 11261  ax-addrcl 11262  ax-mulcl 11263  ax-mulrcl 11264  ax-mulcom 11265  ax-addass 11266  ax-mulass 11267  ax-distr 11268  ax-i2m1 11269  ax-1ne0 11270  ax-1rid 11271  ax-rnegex 11272  ax-rrecex 11273  ax-cnre 11274  ax-pre-lttri 11275  ax-pre-lttrn 11276  ax-pre-ltadd 11277  ax-pre-mulgt0 11278

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7878  df-2nd 8002  df-frecs 8300  df-wrecs 8331  df-recs 8380  df-rdg 8419  df-er 8718  df-en 8975  df-dom 8976  df-sdom 8977  df-pnf 11346  df-mnf 11347  df-xr 11348  df-ltxr 11349  df-le 11350  df-sub 11544  df-neg 11545  df-nn 12337  df-2 12406  df-3 12407  df-4 12408  df-5 12409  df-6 12410  df-7 12411  df-8 12412  df-sets 17343  df-slot 17361  df-ndx 17373  df-base 17389  df-ress 17410  df-plusg 17442  df-mulr 17443  df-sca 17445  df-vsca 17446  df-ip 17447  df-0g 17613  df-mgm 18817  df-sgrp 18909  df-mnd 18925  df-grp 19148  df-subg 19334  df-mgp 20362  df-ur 20409  df-ring 20462  df-subrg 20823  df-drng 20983  df-lmod 21138  df-lvec 21379  df-sra 21449  df-rgmod 21450

This theorem is used by:  rlmnvc  25023  cnrlvec  25466  recvs  25468  qcvs  25469  rlmdim  34285