Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ccfldsrarelvec Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ccfldsrarelvec 33031
Description: The subring algebra of the complex numbers over the real numbers is a left vector space. (Contributed by Thierry Arnoux, 20-Aug-2023.)
Assertion
Ref Expression
ccfldsrarelvec ((subringAlg ‘ℂfld)‘ℝ) ∈ LVec

Proof of Theorem ccfldsrarelvec
Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cnring 21168 . . . . 5 fld ∈ Ring
2 ax-resscn 11170 . . . . 5 ℝ ⊆ ℂ
3 eqidd 2732 . . . . . . 7 (⊤ → ((subringAlg ‘ℂfld)‘ℝ) = ((subringAlg ‘ℂfld)‘ℝ))
43mptru 1547 . . . . . 6 ((subringAlg ‘ℂfld)‘ℝ) = ((subringAlg ‘ℂfld)‘ℝ)
5 cnfldbas 21149 . . . . . 6 ℂ = (Base‘ℂfld)
64, 5sraring 20954 . . . . 5 ((ℂfld ∈ Ring ∧ ℝ ⊆ ℂ) → ((subringAlg ‘ℂfld)‘ℝ) ∈ Ring)
71, 2, 6mp2an 689 . . . 4 ((subringAlg ‘ℂfld)‘ℝ) ∈ Ring
8 ringgrp 20133 . . . 4 (((subringAlg ‘ℂfld)‘ℝ) ∈ Ring → ((subringAlg ‘ℂfld)‘ℝ) ∈ Grp)
97, 8ax-mp 5 . . 3 ((subringAlg ‘ℂfld)‘ℝ) ∈ Grp
10 refld 21392 . . . . . 6 fld ∈ Field
11 isfld 20512 . . . . . 6 (ℝfld ∈ Field ↔ (ℝfld ∈ DivRing ∧ ℝfld ∈ CRing))
1210, 11mpbi 229 . . . . 5 (ℝfld ∈ DivRing ∧ ℝfld ∈ CRing)
1312simpli 483 . . . 4 fld ∈ DivRing
14 drngring 20508 . . . 4 (ℝfld ∈ DivRing → ℝfld ∈ Ring)
1513, 14ax-mp 5 . . 3 fld ∈ Ring
16 simpr1 1193 . . . . . . . . 9 ((𝑎 ∈ ℝ ∧ (𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ)) → 𝑏 ∈ ℝ)
1716recnd 11247 . . . . . . . 8 ((𝑎 ∈ ℝ ∧ (𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ)) → 𝑏 ∈ ℂ)
18 simpr3 1195 . . . . . . . 8 ((𝑎 ∈ ℝ ∧ (𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ)) → 𝑦 ∈ ℂ)
1917, 18mulcld 11239 . . . . . . 7 ((𝑎 ∈ ℝ ∧ (𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ)) → (𝑏 · 𝑦) ∈ ℂ)
20 simpr2 1194 . . . . . . . 8 ((𝑎 ∈ ℝ ∧ (𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ)) → 𝑥 ∈ ℂ)
2117, 18, 20adddid 11243 . . . . . . 7 ((𝑎 ∈ ℝ ∧ (𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ)) → (𝑏 · (𝑦 + 𝑥)) = ((𝑏 · 𝑦) + (𝑏 · 𝑥)))
22 simpl 482 . . . . . . . . 9 ((𝑎 ∈ ℝ ∧ (𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ)) → 𝑎 ∈ ℝ)
2322recnd 11247 . . . . . . . 8 ((𝑎 ∈ ℝ ∧ (𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ)) → 𝑎 ∈ ℂ)
2423, 17, 18adddird 11244 . . . . . . 7 ((𝑎 ∈ ℝ ∧ (𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ)) → ((𝑎 + 𝑏) · 𝑦) = ((𝑎 · 𝑦) + (𝑏 · 𝑦)))
2519, 21, 243jca 1127 . . . . . 6 ((𝑎 ∈ ℝ ∧ (𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ)) → ((𝑏 · 𝑦) ∈ ℂ ∧ (𝑏 · (𝑦 + 𝑥)) = ((𝑏 · 𝑦) + (𝑏 · 𝑥)) ∧ ((𝑎 + 𝑏) · 𝑦) = ((𝑎 · 𝑦) + (𝑏 · 𝑦))))
2623, 17, 18mulassd 11242 . . . . . 6 ((𝑎 ∈ ℝ ∧ (𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ)) → ((𝑎 · 𝑏) · 𝑦) = (𝑎 · (𝑏 · 𝑦)))
2718mullidd 11237 . . . . . 6 ((𝑎 ∈ ℝ ∧ (𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ)) → (1 · 𝑦) = 𝑦)
2825, 26, 27jca32 515 . . . . 5 ((𝑎 ∈ ℝ ∧ (𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ)) → (((𝑏 · 𝑦) ∈ ℂ ∧ (𝑏 · (𝑦 + 𝑥)) = ((𝑏 · 𝑦) + (𝑏 · 𝑥)) ∧ ((𝑎 + 𝑏) · 𝑦) = ((𝑎 · 𝑦) + (𝑏 · 𝑦))) ∧ (((𝑎 · 𝑏) · 𝑦) = (𝑎 · (𝑏 · 𝑦)) ∧ (1 · 𝑦) = 𝑦)))
2928ralrimivvva 3202 . . . 4 (𝑎 ∈ ℝ → ∀𝑏 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ ℂ ∀𝑦 ∈ ℂ (((𝑏 · 𝑦) ∈ ℂ ∧ (𝑏 · (𝑦 + 𝑥)) = ((𝑏 · 𝑦) + (𝑏 · 𝑥)) ∧ ((𝑎 + 𝑏) · 𝑦) = ((𝑎 · 𝑦) + (𝑏 · 𝑦))) ∧ (((𝑎 · 𝑏) · 𝑦) = (𝑎 · (𝑏 · 𝑦)) ∧ (1 · 𝑦) = 𝑦)))
3029rgen 3062 . . 3 𝑎 ∈ ℝ ∀𝑏 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ ℂ ∀𝑦 ∈ ℂ (((𝑏 · 𝑦) ∈ ℂ ∧ (𝑏 · (𝑦 + 𝑥)) = ((𝑏 · 𝑦) + (𝑏 · 𝑥)) ∧ ((𝑎 + 𝑏) · 𝑦) = ((𝑎 · 𝑦) + (𝑏 · 𝑦))) ∧ (((𝑎 · 𝑏) · 𝑦) = (𝑎 · (𝑏 · 𝑦)) ∧ (1 · 𝑦) = 𝑦))
312, 5sseqtri 4019 . . . . . . . 8 ℝ ⊆ (Base‘ℂfld)
3231a1i 11 . . . . . . 7 (⊤ → ℝ ⊆ (Base‘ℂfld))
333, 32srabase 20938 . . . . . 6 (⊤ → (Base‘ℂfld) = (Base‘((subringAlg ‘ℂfld)‘ℝ)))
3433mptru 1547 . . . . 5 (Base‘ℂfld) = (Base‘((subringAlg ‘ℂfld)‘ℝ))
355, 34eqtri 2759 . . . 4 ℂ = (Base‘((subringAlg ‘ℂfld)‘ℝ))
36 cnfldadd 21150 . . . . 5 + = (+g‘ℂfld)
373, 32sraaddg 20940 . . . . . 6 (⊤ → (+g‘ℂfld) = (+g‘((subringAlg ‘ℂfld)‘ℝ)))
3837mptru 1547 . . . . 5 (+g‘ℂfld) = (+g‘((subringAlg ‘ℂfld)‘ℝ))
3936, 38eqtri 2759 . . . 4 + = (+g‘((subringAlg ‘ℂfld)‘ℝ))
40 cnfldmul 21151 . . . . 5 · = (.r‘ℂfld)
413, 32sravsca 20946 . . . . . 6 (⊤ → (.r‘ℂfld) = ( ·𝑠 ‘((subringAlg ‘ℂfld)‘ℝ)))
4241mptru 1547 . . . . 5 (.r‘ℂfld) = ( ·𝑠 ‘((subringAlg ‘ℂfld)‘ℝ))
4340, 42eqtri 2759 . . . 4 · = ( ·𝑠 ‘((subringAlg ‘ℂfld)‘ℝ))
44 df-refld 21378 . . . . 5 fld = (ℂflds ℝ)
453, 32srasca 20944 . . . . . 6 (⊤ → (ℂflds ℝ) = (Scalar‘((subringAlg ‘ℂfld)‘ℝ)))
4645mptru 1547 . . . . 5 (ℂflds ℝ) = (Scalar‘((subringAlg ‘ℂfld)‘ℝ))
4744, 46eqtri 2759 . . . 4 fld = (Scalar‘((subringAlg ‘ℂfld)‘ℝ))
48 rebase 21379 . . . 4 ℝ = (Base‘ℝfld)
49 replusg 21383 . . . 4 + = (+g‘ℝfld)
50 remulr 21384 . . . 4 · = (.r‘ℝfld)
51 re1r 21386 . . . 4 1 = (1r‘ℝfld)
5235, 39, 43, 47, 48, 49, 50, 51islmod 20619 . . 3 (((subringAlg ‘ℂfld)‘ℝ) ∈ LMod ↔ (((subringAlg ‘ℂfld)‘ℝ) ∈ Grp ∧ ℝfld ∈ Ring ∧ ∀𝑎 ∈ ℝ ∀𝑏 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ ℂ ∀𝑦 ∈ ℂ (((𝑏 · 𝑦) ∈ ℂ ∧ (𝑏 · (𝑦 + 𝑥)) = ((𝑏 · 𝑦) + (𝑏 · 𝑥)) ∧ ((𝑎 + 𝑏) · 𝑦) = ((𝑎 · 𝑦) + (𝑏 · 𝑦))) ∧ (((𝑎 · 𝑏) · 𝑦) = (𝑎 · (𝑏 · 𝑦)) ∧ (1 · 𝑦) = 𝑦))))
539, 15, 30, 52mpbir3an 1340 . 2 ((subringAlg ‘ℂfld)‘ℝ) ∈ LMod
5447islvec 20860 . 2 (((subringAlg ‘ℂfld)‘ℝ) ∈ LVec ↔ (((subringAlg ‘ℂfld)‘ℝ) ∈ LMod ∧ ℝfld ∈ DivRing))
5553, 13, 54mpbir2an 708 1 ((subringAlg ‘ℂfld)‘ℝ) ∈ LVec
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wa 395  w3a 1086   = wceq 1540  wtru 1541  wcel 2105  wral 3060  wss 3949  cfv 6544  (class class class)co 7412  cc 11111  cr 11112  1c1 11114   + caddc 11116   · cmul 11118  Basecbs 17149  s cress 17178  +gcplusg 17202  .rcmulr 17203  Scalarcsca 17205   ·𝑠 cvsca 17206  Grpcgrp 18856  Ringcrg 20128  CRingccrg 20129  DivRingcdr 20501  Fieldcfield 20502  LModclmod 20615  LVecclvec 20858  subringAlg csra 20927  fldccnfld 21145  fldcrefld 21377
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7728  ax-cnex 11169  ax-resscn 11170  ax-1cn 11171  ax-icn 11172  ax-addcl 11173  ax-addrcl 11174  ax-mulcl 11175  ax-mulrcl 11176  ax-mulcom 11177  ax-addass 11178  ax-mulass 11179  ax-distr 11180  ax-i2m1 11181  ax-1ne0 11182  ax-1rid 11183  ax-rnegex 11184  ax-rrecex 11185  ax-cnre 11186  ax-pre-lttri 11187  ax-pre-lttrn 11188  ax-pre-ltadd 11189  ax-pre-mulgt0 11190  ax-addf 11192  ax-mulf 11193
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-tp 4634  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7859  df-1st 7978  df-2nd 7979  df-tpos 8214  df-frecs 8269  df-wrecs 8300  df-recs 8374  df-rdg 8413  df-1o 8469  df-er 8706  df-en 8943  df-dom 8944  df-sdom 8945  df-fin 8946  df-pnf 11255  df-mnf 11256  df-xr 11257  df-ltxr 11258  df-le 11259  df-sub 11451  df-neg 11452  df-div 11877  df-nn 12218  df-2 12280  df-3 12281  df-4 12282  df-5 12283  df-6 12284  df-7 12285  df-8 12286  df-9 12287  df-n0 12478  df-z 12564  df-dec 12683  df-uz 12828  df-fz 13490  df-struct 17085  df-sets 17102  df-slot 17120  df-ndx 17132  df-base 17150  df-ress 17179  df-plusg 17215  df-mulr 17216  df-starv 17217  df-sca 17218  df-vsca 17219  df-ip 17220  df-tset 17221  df-ple 17222  df-ds 17224  df-unif 17225  df-0g 17392  df-mgm 18566  df-sgrp 18645  df-mnd 18661  df-grp 18859  df-minusg 18860  df-subg 19040  df-cmn 19692  df-abl 19693  df-mgp 20030  df-rng 20048  df-ur 20077  df-ring 20130  df-cring 20131  df-oppr 20226  df-dvdsr 20249  df-unit 20250  df-invr 20280  df-dvr 20293  df-subrng 20435  df-subrg 20460  df-drng 20503  df-field 20504  df-lmod 20617  df-lvec 20859  df-sra 20931  df-cnfld 21146  df-refld 21378
This theorem is referenced by:  ccfldextdgrr  33032
  Copyright terms: Public domain W3C validator