Theorem ccfldsrarelvec 33862

Description: The subring algebra of the complex numbers over the real numbers is a left vector space. (Contributed by Thierry Arnoux, 20-Aug-2023.)

Assertion

Ref	Expression
ccfldsrarelvec	⊢ ((subringAlg ‘ℂfld)‘ℝ) ∈ LVec

Proof of Theorem ccfldsrarelvec

Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnring 21376	. . . . 5 ⊢ ℂfld ∈ Ring
2		ax-resscn 11093	. . . . 5 ⊢ ℝ ⊆ ℂ
3		eqidd 2741	. . . . . . 7 ⊢ (⊤ → ((subringAlg ‘ℂfld)‘ℝ) = ((subringAlg ‘ℂfld)‘ℝ))
4	3	mptru 1554	. . . . . 6 ⊢ ((subringAlg ‘ℂfld)‘ℝ) = ((subringAlg ‘ℂfld)‘ℝ)
5		cnfldbas 21358	. . . . . 6 ⊢ ℂ = (Base‘ℂfld)
6	4, 5	sraring 21183	. . . . 5 ⊢ ((ℂfld ∈ Ring ∧ ℝ ⊆ ℂ) → ((subringAlg ‘ℂfld)‘ℝ) ∈ Ring)
7	1, 2, 6	mp2an 698	. . . 4 ⊢ ((subringAlg ‘ℂfld)‘ℝ) ∈ Ring
8		ringgrp 20217	. . . 4 ⊢ (((subringAlg ‘ℂfld)‘ℝ) ∈ Ring → ((subringAlg ‘ℂfld)‘ℝ) ∈ Grp)
9	7, 8	ax-mp 5	. . 3 ⊢ ((subringAlg ‘ℂfld)‘ℝ) ∈ Grp
10		refld 21601	. . . . . 6 ⊢ ℝfld ∈ Field
11		isfld 20719	. . . . . 6 ⊢ (ℝfld ∈ Field ↔ (ℝfld ∈ DivRing ∧ ℝfld ∈ CRing))
12	10, 11	mpbi 231	. . . . 5 ⊢ (ℝfld ∈ DivRing ∧ ℝfld ∈ CRing)
13	12	simpli 484	. . . 4 ⊢ ℝfld ∈ DivRing
14		drngring 20715	. . . 4 ⊢ (ℝfld ∈ DivRing → ℝfld ∈ Ring)
15	13, 14	ax-mp 5	. . 3 ⊢ ℝfld ∈ Ring
16		simpr1 1201	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑎 ∈ ℝ ∧ (𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ)) → 𝑏 ∈ ℝ)
17	16	recnd 11171	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑎 ∈ ℝ ∧ (𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ)) → 𝑏 ∈ ℂ)
18		simpr3 1203	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑎 ∈ ℝ ∧ (𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ)) → 𝑦 ∈ ℂ)
19	17, 18	mulcld 11163	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑎 ∈ ℝ ∧ (𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ)) → (𝑏 · 𝑦) ∈ ℂ)
20		simpr2 1202	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑎 ∈ ℝ ∧ (𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ)) → 𝑥 ∈ ℂ)
21	17, 18, 20	adddid 11167	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑎 ∈ ℝ ∧ (𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ)) → (𝑏 · (𝑦 + 𝑥)) = ((𝑏 · 𝑦) + (𝑏 · 𝑥)))
22		simpl 483	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑎 ∈ ℝ ∧ (𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ)) → 𝑎 ∈ ℝ)
23	22	recnd 11171	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑎 ∈ ℝ ∧ (𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ)) → 𝑎 ∈ ℂ)
24	23, 17, 18	adddird 11168	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑎 ∈ ℝ ∧ (𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ)) → ((𝑎 + 𝑏) · 𝑦) = ((𝑎 · 𝑦) + (𝑏 · 𝑦)))
25	19, 21, 24	3jca 1134	. . . . . 6 ⊢ ((𝑎 ∈ ℝ ∧ (𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ)) → ((𝑏 · 𝑦) ∈ ℂ ∧ (𝑏 · (𝑦 + 𝑥)) = ((𝑏 · 𝑦) + (𝑏 · 𝑥)) ∧ ((𝑎 + 𝑏) · 𝑦) = ((𝑎 · 𝑦) + (𝑏 · 𝑦))))
26	23, 17, 18	mulassd 11166	. . . . . 6 ⊢ ((𝑎 ∈ ℝ ∧ (𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ)) → ((𝑎 · 𝑏) · 𝑦) = (𝑎 · (𝑏 · 𝑦)))
27	18	mullidd 11161	. . . . . 6 ⊢ ((𝑎 ∈ ℝ ∧ (𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ)) → (1 · 𝑦) = 𝑦)
28	25, 26, 27	jca32 520	. . . . 5 ⊢ ((𝑎 ∈ ℝ ∧ (𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ)) → (((𝑏 · 𝑦) ∈ ℂ ∧ (𝑏 · (𝑦 + 𝑥)) = ((𝑏 · 𝑦) + (𝑏 · 𝑥)) ∧ ((𝑎 + 𝑏) · 𝑦) = ((𝑎 · 𝑦) + (𝑏 · 𝑦))) ∧ (((𝑎 · 𝑏) · 𝑦) = (𝑎 · (𝑏 · 𝑦)) ∧ (1 · 𝑦) = 𝑦)))
29	28	ralrimivvva 3186	. . . 4 ⊢ (𝑎 ∈ ℝ → ∀𝑏 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ ℂ ∀𝑦 ∈ ℂ (((𝑏 · 𝑦) ∈ ℂ ∧ (𝑏 · (𝑦 + 𝑥)) = ((𝑏 · 𝑦) + (𝑏 · 𝑥)) ∧ ((𝑎 + 𝑏) · 𝑦) = ((𝑎 · 𝑦) + (𝑏 · 𝑦))) ∧ (((𝑎 · 𝑏) · 𝑦) = (𝑎 · (𝑏 · 𝑦)) ∧ (1 · 𝑦) = 𝑦)))
30	29	rgen 3056	. . 3 ⊢ ∀𝑎 ∈ ℝ ∀𝑏 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ ℂ ∀𝑦 ∈ ℂ (((𝑏 · 𝑦) ∈ ℂ ∧ (𝑏 · (𝑦 + 𝑥)) = ((𝑏 · 𝑦) + (𝑏 · 𝑥)) ∧ ((𝑎 + 𝑏) · 𝑦) = ((𝑎 · 𝑦) + (𝑏 · 𝑦))) ∧ (((𝑎 · 𝑏) · 𝑦) = (𝑎 · (𝑏 · 𝑦)) ∧ (1 · 𝑦) = 𝑦))
31	2, 5	sseqtri 3970	. . . . . . . 8 ⊢ ℝ ⊆ (Base‘ℂfld)
32	31	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (⊤ → ℝ ⊆ (Base‘ℂfld))
33	3, 32	srabase 21174	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → (Base‘ℂfld) = (Base‘((subringAlg ‘ℂfld)‘ℝ)))
34	33	mptru 1554	. . . . 5 ⊢ (Base‘ℂfld) = (Base‘((subringAlg ‘ℂfld)‘ℝ))
35	5, 34	eqtri 2763	. . . 4 ⊢ ℂ = (Base‘((subringAlg ‘ℂfld)‘ℝ))
36		cnfldadd 21360	. . . . 5 ⊢ + = (+g‘ℂfld)
37	3, 32	sraaddg 21175	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → (+g‘ℂfld) = (+g‘((subringAlg ‘ℂfld)‘ℝ)))
38	37	mptru 1554	. . . . 5 ⊢ (+g‘ℂfld) = (+g‘((subringAlg ‘ℂfld)‘ℝ))
39	36, 38	eqtri 2763	. . . 4 ⊢ + = (+g‘((subringAlg ‘ℂfld)‘ℝ))
40		cnfldmul 21362	. . . . 5 ⊢ · = (.r‘ℂfld)
41	3, 32	sravsca 21178	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → (.r‘ℂfld) = ( ·𝑠 ‘((subringAlg ‘ℂfld)‘ℝ)))
42	41	mptru 1554	. . . . 5 ⊢ (.r‘ℂfld) = ( ·𝑠 ‘((subringAlg ‘ℂfld)‘ℝ))
43	40, 42	eqtri 2763	. . . 4 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘((subringAlg ‘ℂfld)‘ℝ))
44		df-refld 21587	. . . . 5 ⊢ ℝfld = (ℂfld ↾s ℝ)
45	3, 32	srasca 21177	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → (ℂfld ↾s ℝ) = (Scalar‘((subringAlg ‘ℂfld)‘ℝ)))
46	45	mptru 1554	. . . . 5 ⊢ (ℂfld ↾s ℝ) = (Scalar‘((subringAlg ‘ℂfld)‘ℝ))
47	44, 46	eqtri 2763	. . . 4 ⊢ ℝfld = (Scalar‘((subringAlg ‘ℂfld)‘ℝ))
48		rebase 21588	. . . 4 ⊢ ℝ = (Base‘ℝfld)
49		replusg 21592	. . . 4 ⊢ + = (+g‘ℝfld)
50		remulr 21593	. . . 4 ⊢ · = (.r‘ℝfld)
51		re1r 21595	. . . 4 ⊢ 1 = (1r‘ℝfld)
52	35, 39, 43, 47, 48, 49, 50, 51	islmod 20861	. . 3 ⊢ (((subringAlg ‘ℂfld)‘ℝ) ∈ LMod ↔ (((subringAlg ‘ℂfld)‘ℝ) ∈ Grp ∧ ℝfld ∈ Ring ∧ ∀𝑎 ∈ ℝ ∀𝑏 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ ℂ ∀𝑦 ∈ ℂ (((𝑏 · 𝑦) ∈ ℂ ∧ (𝑏 · (𝑦 + 𝑥)) = ((𝑏 · 𝑦) + (𝑏 · 𝑥)) ∧ ((𝑎 + 𝑏) · 𝑦) = ((𝑎 · 𝑦) + (𝑏 · 𝑦))) ∧ (((𝑎 · 𝑏) · 𝑦) = (𝑎 · (𝑏 · 𝑦)) ∧ (1 · 𝑦) = 𝑦))))
53	9, 15, 30, 52	mpbir3an 1348	. 2 ⊢ ((subringAlg ‘ℂfld)‘ℝ) ∈ LMod
54	47	islvec 21101	. 2 ⊢ (((subringAlg ‘ℂfld)‘ℝ) ∈ LVec ↔ (((subringAlg ‘ℂfld)‘ℝ) ∈ LMod ∧ ℝfld ∈ DivRing))
55	53, 13, 54	mpbir2an 717	1 ⊢ ((subringAlg ‘ℂfld)‘ℝ) ∈ LVec

Syntax hints:   ∧ wa 396   ∧ w3a 1092   = wceq 1547  ⊤wtru 1548   ∈ wcel 2119  ∀wral 3054   ⊆ wss 3890  ‘cfv 6492  (class class class)co 7363  ℂcc 11034  ℝcr 11035  1c1 11037   + caddc 11039   · cmul 11041  Basecbs 17177   ↾_s cress 17198  +_gcplusg 17218  ._rcmulr 17219  Scalarcsca 17221   ·_𝑠 cvsca 17222  Grpcgrp 18907  Ringcrg 20212  CRingccrg 20213  DivRingcdr 20708  Fieldcfield 20709  LModclmod 20857  LVecclvec 21099  subringAlg csra 21168  ℂ_fldccnfld 21354  ℝ_fldcrefld 21586

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2712  ax-rep 5206  ax-sep 5225  ax-nul 5235  ax-pow 5301  ax-pr 5369  ax-un 7685  ax-cnex 11092  ax-resscn 11093  ax-1cn 11094  ax-icn 11095  ax-addcl 11096  ax-addrcl 11097  ax-mulcl 11098  ax-mulrcl 11099  ax-mulcom 11100  ax-addass 11101  ax-mulass 11102  ax-distr 11103  ax-i2m1 11104  ax-1ne0 11105  ax-1rid 11106  ax-rnegex 11107  ax-rrecex 11108  ax-cnre 11109  ax-pre-lttri 11110  ax-pre-lttrn 11111  ax-pre-ltadd 11112  ax-pre-mulgt0 11113  ax-addf 11115  ax-mulf 11116

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2719  df-cleq 2732  df-clel 2815  df-nfc 2889  df-ne 2936  df-nel 3040  df-ral 3055  df-rex 3065  df-rmo 3345  df-reu 3346  df-rab 3393  df-v 3434  df-sbc 3731  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4269  df-if 4462  df-pw 4538  df-sn 4563  df-pr 4565  df-tp 4567  df-op 4569  df-uni 4846  df-iun 4930  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5161  df-tr 5187  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7320  df-ov 7366  df-oprab 7367  df-mpo 7368  df-om 7814  df-1st 7938  df-2nd 7939  df-tpos 8173  df-frecs 8228  df-wrecs 8259  df-recs 8308  df-rdg 8346  df-1o 8402  df-er 8640  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-fin 8894  df-pnf 11179  df-mnf 11180  df-xr 11181  df-ltxr 11182  df-le 11183  df-sub 11377  df-neg 11378  df-div 11806  df-nn 12173  df-2 12242  df-3 12243  df-4 12244  df-5 12245  df-6 12246  df-7 12247  df-8 12248  df-9 12249  df-n0 12436  df-z 12523  df-dec 12643  df-uz 12787  df-fz 13460  df-struct 17115  df-sets 17132  df-slot 17150  df-ndx 17162  df-base 17178  df-ress 17199  df-plusg 17231  df-mulr 17232  df-starv 17233  df-sca 17234  df-vsca 17235  df-ip 17236  df-tset 17237  df-ple 17238  df-ds 17240  df-unif 17241  df-0g 17402  df-mgm 18606  df-sgrp 18685  df-mnd 18701  df-grp 18910  df-minusg 18911  df-subg 19097  df-cmn 19755  df-abl 19756  df-mgp 20120  df-rng 20132  df-ur 20161  df-ring 20214  df-cring 20215  df-oppr 20315  df-dvdsr 20335  df-unit 20336  df-invr 20366  df-dvr 20379  df-subrng 20525  df-subrg 20549  df-drng 20710  df-field 20711  df-lmod 20859  df-lvec 21100  df-sra 21170  df-cnfld 21355  df-refld 21587

This theorem is referenced by:  ccfldextdgrr  33863