Theorem ccfldsrarelvec 33815

Description: The subring algebra of the complex numbers over the real numbers is a left vector space. (Contributed by Thierry Arnoux, 20-Aug-2023.)

Assertion

Ref	Expression
ccfldsrarelvec	⊢ ((subringAlg ‘ℂfld)‘ℝ) ∈ LVec

Proof of Theorem ccfldsrarelvec

Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnring 21374	. . . . 5 ⊢ ℂfld ∈ Ring
2		ax-resscn 11095	. . . . 5 ⊢ ℝ ⊆ ℂ
3		eqidd 2737	. . . . . . 7 ⊢ (⊤ → ((subringAlg ‘ℂfld)‘ℝ) = ((subringAlg ‘ℂfld)‘ℝ))
4	3	mptru 1549	. . . . . 6 ⊢ ((subringAlg ‘ℂfld)‘ℝ) = ((subringAlg ‘ℂfld)‘ℝ)
5		cnfldbas 21356	. . . . . 6 ⊢ ℂ = (Base‘ℂfld)
6	4, 5	sraring 21181	. . . . 5 ⊢ ((ℂfld ∈ Ring ∧ ℝ ⊆ ℂ) → ((subringAlg ‘ℂfld)‘ℝ) ∈ Ring)
7	1, 2, 6	mp2an 693	. . . 4 ⊢ ((subringAlg ‘ℂfld)‘ℝ) ∈ Ring
8		ringgrp 20219	. . . 4 ⊢ (((subringAlg ‘ℂfld)‘ℝ) ∈ Ring → ((subringAlg ‘ℂfld)‘ℝ) ∈ Grp)
9	7, 8	ax-mp 5	. . 3 ⊢ ((subringAlg ‘ℂfld)‘ℝ) ∈ Grp
10		refld 21599	. . . . . 6 ⊢ ℝfld ∈ Field
11		isfld 20717	. . . . . 6 ⊢ (ℝfld ∈ Field ↔ (ℝfld ∈ DivRing ∧ ℝfld ∈ CRing))
12	10, 11	mpbi 230	. . . . 5 ⊢ (ℝfld ∈ DivRing ∧ ℝfld ∈ CRing)
13	12	simpli 483	. . . 4 ⊢ ℝfld ∈ DivRing
14		drngring 20713	. . . 4 ⊢ (ℝfld ∈ DivRing → ℝfld ∈ Ring)
15	13, 14	ax-mp 5	. . 3 ⊢ ℝfld ∈ Ring
16		simpr1 1196	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑎 ∈ ℝ ∧ (𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ)) → 𝑏 ∈ ℝ)
17	16	recnd 11173	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑎 ∈ ℝ ∧ (𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ)) → 𝑏 ∈ ℂ)
18		simpr3 1198	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑎 ∈ ℝ ∧ (𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ)) → 𝑦 ∈ ℂ)
19	17, 18	mulcld 11165	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑎 ∈ ℝ ∧ (𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ)) → (𝑏 · 𝑦) ∈ ℂ)
20		simpr2 1197	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑎 ∈ ℝ ∧ (𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ)) → 𝑥 ∈ ℂ)
21	17, 18, 20	adddid 11169	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑎 ∈ ℝ ∧ (𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ)) → (𝑏 · (𝑦 + 𝑥)) = ((𝑏 · 𝑦) + (𝑏 · 𝑥)))
22		simpl 482	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑎 ∈ ℝ ∧ (𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ)) → 𝑎 ∈ ℝ)
23	22	recnd 11173	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑎 ∈ ℝ ∧ (𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ)) → 𝑎 ∈ ℂ)
24	23, 17, 18	adddird 11170	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑎 ∈ ℝ ∧ (𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ)) → ((𝑎 + 𝑏) · 𝑦) = ((𝑎 · 𝑦) + (𝑏 · 𝑦)))
25	19, 21, 24	3jca 1129	. . . . . 6 ⊢ ((𝑎 ∈ ℝ ∧ (𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ)) → ((𝑏 · 𝑦) ∈ ℂ ∧ (𝑏 · (𝑦 + 𝑥)) = ((𝑏 · 𝑦) + (𝑏 · 𝑥)) ∧ ((𝑎 + 𝑏) · 𝑦) = ((𝑎 · 𝑦) + (𝑏 · 𝑦))))
26	23, 17, 18	mulassd 11168	. . . . . 6 ⊢ ((𝑎 ∈ ℝ ∧ (𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ)) → ((𝑎 · 𝑏) · 𝑦) = (𝑎 · (𝑏 · 𝑦)))
27	18	mullidd 11163	. . . . . 6 ⊢ ((𝑎 ∈ ℝ ∧ (𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ)) → (1 · 𝑦) = 𝑦)
28	25, 26, 27	jca32 515	. . . . 5 ⊢ ((𝑎 ∈ ℝ ∧ (𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ)) → (((𝑏 · 𝑦) ∈ ℂ ∧ (𝑏 · (𝑦 + 𝑥)) = ((𝑏 · 𝑦) + (𝑏 · 𝑥)) ∧ ((𝑎 + 𝑏) · 𝑦) = ((𝑎 · 𝑦) + (𝑏 · 𝑦))) ∧ (((𝑎 · 𝑏) · 𝑦) = (𝑎 · (𝑏 · 𝑦)) ∧ (1 · 𝑦) = 𝑦)))
29	28	ralrimivvva 3183	. . . 4 ⊢ (𝑎 ∈ ℝ → ∀𝑏 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ ℂ ∀𝑦 ∈ ℂ (((𝑏 · 𝑦) ∈ ℂ ∧ (𝑏 · (𝑦 + 𝑥)) = ((𝑏 · 𝑦) + (𝑏 · 𝑥)) ∧ ((𝑎 + 𝑏) · 𝑦) = ((𝑎 · 𝑦) + (𝑏 · 𝑦))) ∧ (((𝑎 · 𝑏) · 𝑦) = (𝑎 · (𝑏 · 𝑦)) ∧ (1 · 𝑦) = 𝑦)))
30	29	rgen 3053	. . 3 ⊢ ∀𝑎 ∈ ℝ ∀𝑏 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ ℂ ∀𝑦 ∈ ℂ (((𝑏 · 𝑦) ∈ ℂ ∧ (𝑏 · (𝑦 + 𝑥)) = ((𝑏 · 𝑦) + (𝑏 · 𝑥)) ∧ ((𝑎 + 𝑏) · 𝑦) = ((𝑎 · 𝑦) + (𝑏 · 𝑦))) ∧ (((𝑎 · 𝑏) · 𝑦) = (𝑎 · (𝑏 · 𝑦)) ∧ (1 · 𝑦) = 𝑦))
31	2, 5	sseqtri 3970	. . . . . . . 8 ⊢ ℝ ⊆ (Base‘ℂfld)
32	31	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (⊤ → ℝ ⊆ (Base‘ℂfld))
33	3, 32	srabase 21172	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → (Base‘ℂfld) = (Base‘((subringAlg ‘ℂfld)‘ℝ)))
34	33	mptru 1549	. . . . 5 ⊢ (Base‘ℂfld) = (Base‘((subringAlg ‘ℂfld)‘ℝ))
35	5, 34	eqtri 2759	. . . 4 ⊢ ℂ = (Base‘((subringAlg ‘ℂfld)‘ℝ))
36		cnfldadd 21358	. . . . 5 ⊢ + = (+g‘ℂfld)
37	3, 32	sraaddg 21173	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → (+g‘ℂfld) = (+g‘((subringAlg ‘ℂfld)‘ℝ)))
38	37	mptru 1549	. . . . 5 ⊢ (+g‘ℂfld) = (+g‘((subringAlg ‘ℂfld)‘ℝ))
39	36, 38	eqtri 2759	. . . 4 ⊢ + = (+g‘((subringAlg ‘ℂfld)‘ℝ))
40		cnfldmul 21360	. . . . 5 ⊢ · = (.r‘ℂfld)
41	3, 32	sravsca 21176	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → (.r‘ℂfld) = ( ·𝑠 ‘((subringAlg ‘ℂfld)‘ℝ)))
42	41	mptru 1549	. . . . 5 ⊢ (.r‘ℂfld) = ( ·𝑠 ‘((subringAlg ‘ℂfld)‘ℝ))
43	40, 42	eqtri 2759	. . . 4 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘((subringAlg ‘ℂfld)‘ℝ))
44		df-refld 21585	. . . . 5 ⊢ ℝfld = (ℂfld ↾s ℝ)
45	3, 32	srasca 21175	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → (ℂfld ↾s ℝ) = (Scalar‘((subringAlg ‘ℂfld)‘ℝ)))
46	45	mptru 1549	. . . . 5 ⊢ (ℂfld ↾s ℝ) = (Scalar‘((subringAlg ‘ℂfld)‘ℝ))
47	44, 46	eqtri 2759	. . . 4 ⊢ ℝfld = (Scalar‘((subringAlg ‘ℂfld)‘ℝ))
48		rebase 21586	. . . 4 ⊢ ℝ = (Base‘ℝfld)
49		replusg 21590	. . . 4 ⊢ + = (+g‘ℝfld)
50		remulr 21591	. . . 4 ⊢ · = (.r‘ℝfld)
51		re1r 21593	. . . 4 ⊢ 1 = (1r‘ℝfld)
52	35, 39, 43, 47, 48, 49, 50, 51	islmod 20859	. . 3 ⊢ (((subringAlg ‘ℂfld)‘ℝ) ∈ LMod ↔ (((subringAlg ‘ℂfld)‘ℝ) ∈ Grp ∧ ℝfld ∈ Ring ∧ ∀𝑎 ∈ ℝ ∀𝑏 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ ℂ ∀𝑦 ∈ ℂ (((𝑏 · 𝑦) ∈ ℂ ∧ (𝑏 · (𝑦 + 𝑥)) = ((𝑏 · 𝑦) + (𝑏 · 𝑥)) ∧ ((𝑎 + 𝑏) · 𝑦) = ((𝑎 · 𝑦) + (𝑏 · 𝑦))) ∧ (((𝑎 · 𝑏) · 𝑦) = (𝑎 · (𝑏 · 𝑦)) ∧ (1 · 𝑦) = 𝑦))))
53	9, 15, 30, 52	mpbir3an 1343	. 2 ⊢ ((subringAlg ‘ℂfld)‘ℝ) ∈ LMod
54	47	islvec 21099	. 2 ⊢ (((subringAlg ‘ℂfld)‘ℝ) ∈ LVec ↔ (((subringAlg ‘ℂfld)‘ℝ) ∈ LMod ∧ ℝfld ∈ DivRing))
55	53, 13, 54	mpbir2an 712	1 ⊢ ((subringAlg ‘ℂfld)‘ℝ) ∈ LVec

Syntax hints:   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1542  ⊤wtru 1543   ∈ wcel 2114  ∀wral 3051   ⊆ wss 3889  ‘cfv 6498  (class class class)co 7367  ℂcc 11036  ℝcr 11037  1c1 11039   + caddc 11041   · cmul 11043  Basecbs 17179   ↾_s cress 17200  +_gcplusg 17220  ._rcmulr 17221  Scalarcsca 17223   ·_𝑠 cvsca 17224  Grpcgrp 18909  Ringcrg 20214  CRingccrg 20215  DivRingcdr 20706  Fieldcfield 20707  LModclmod 20855  LVecclvec 21097  subringAlg csra 21166  ℂ_fldccnfld 21352  ℝ_fldcrefld 21584

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5307  ax-pr 5375  ax-un 7689  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115  ax-addf 11117  ax-mulf 11118

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3062  df-rmo 3342  df-reu 3343  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-pss 3909  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-tp 4572  df-op 4574  df-uni 4851  df-iun 4935  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-tr 5193  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6265  df-ord 6326  df-on 6327  df-lim 6328  df-suc 6329  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-f1 6503  df-fo 6504  df-f1o 6505  df-fv 6506  df-riota 7324  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-om 7818  df-1st 7942  df-2nd 7943  df-tpos 8176  df-frecs 8231  df-wrecs 8262  df-recs 8311  df-rdg 8349  df-1o 8405  df-er 8643  df-en 8894  df-dom 8895  df-sdom 8896  df-fin 8897  df-pnf 11181  df-mnf 11182  df-xr 11183  df-ltxr 11184  df-le 11185  df-sub 11379  df-neg 11380  df-div 11808  df-nn 12175  df-2 12244  df-3 12245  df-4 12246  df-5 12247  df-6 12248  df-7 12249  df-8 12250  df-9 12251  df-n0 12438  df-z 12525  df-dec 12645  df-uz 12789  df-fz 13462  df-struct 17117  df-sets 17134  df-slot 17152  df-ndx 17164  df-base 17180  df-ress 17201  df-plusg 17233  df-mulr 17234  df-starv 17235  df-sca 17236  df-vsca 17237  df-ip 17238  df-tset 17239  df-ple 17240  df-ds 17242  df-unif 17243  df-0g 17404  df-mgm 18608  df-sgrp 18687  df-mnd 18703  df-grp 18912  df-minusg 18913  df-subg 19099  df-cmn 19757  df-abl 19758  df-mgp 20122  df-rng 20134  df-ur 20163  df-ring 20216  df-cring 20217  df-oppr 20317  df-dvdsr 20337  df-unit 20338  df-invr 20368  df-dvr 20381  df-subrng 20523  df-subrg 20547  df-drng 20708  df-field 20709  df-lmod 20857  df-lvec 21098  df-sra 21168  df-cnfld 21353  df-refld 21585

This theorem is referenced by:  ccfldextdgrr  33816