Theorem ccfldsrarelvec 33429

Description: The subring algebra of the complex numbers over the real numbers is a left vector space. (Contributed by Thierry Arnoux, 20-Aug-2023.)

Assertion

Ref	Expression
ccfldsrarelvec	⊢ ((subringAlg ‘ℂfld)‘ℝ) ∈ LVec

Proof of Theorem ccfldsrarelvec

Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnring 21322	. . . . 5 ⊢ ℂfld ∈ Ring
2		ax-resscn 11195	. . . . 5 ⊢ ℝ ⊆ ℂ
3		eqidd 2726	. . . . . . 7 ⊢ (⊤ → ((subringAlg ‘ℂfld)‘ℝ) = ((subringAlg ‘ℂfld)‘ℝ))
4	3	mptru 1540	. . . . . 6 ⊢ ((subringAlg ‘ℂfld)‘ℝ) = ((subringAlg ‘ℂfld)‘ℝ)
5		cnfldbas 21287	. . . . . 6 ⊢ ℂ = (Base‘ℂfld)
6	4, 5	sraring 21083	. . . . 5 ⊢ ((ℂfld ∈ Ring ∧ ℝ ⊆ ℂ) → ((subringAlg ‘ℂfld)‘ℝ) ∈ Ring)
7	1, 2, 6	mp2an 690	. . . 4 ⊢ ((subringAlg ‘ℂfld)‘ℝ) ∈ Ring
8		ringgrp 20182	. . . 4 ⊢ (((subringAlg ‘ℂfld)‘ℝ) ∈ Ring → ((subringAlg ‘ℂfld)‘ℝ) ∈ Grp)
9	7, 8	ax-mp 5	. . 3 ⊢ ((subringAlg ‘ℂfld)‘ℝ) ∈ Grp
10		refld 21555	. . . . . 6 ⊢ ℝfld ∈ Field
11		isfld 20639	. . . . . 6 ⊢ (ℝfld ∈ Field ↔ (ℝfld ∈ DivRing ∧ ℝfld ∈ CRing))
12	10, 11	mpbi 229	. . . . 5 ⊢ (ℝfld ∈ DivRing ∧ ℝfld ∈ CRing)
13	12	simpli 482	. . . 4 ⊢ ℝfld ∈ DivRing
14		drngring 20635	. . . 4 ⊢ (ℝfld ∈ DivRing → ℝfld ∈ Ring)
15	13, 14	ax-mp 5	. . 3 ⊢ ℝfld ∈ Ring
16		simpr1 1191	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑎 ∈ ℝ ∧ (𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ)) → 𝑏 ∈ ℝ)
17	16	recnd 11272	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑎 ∈ ℝ ∧ (𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ)) → 𝑏 ∈ ℂ)
18		simpr3 1193	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑎 ∈ ℝ ∧ (𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ)) → 𝑦 ∈ ℂ)
19	17, 18	mulcld 11264	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑎 ∈ ℝ ∧ (𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ)) → (𝑏 · 𝑦) ∈ ℂ)
20		simpr2 1192	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑎 ∈ ℝ ∧ (𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ)) → 𝑥 ∈ ℂ)
21	17, 18, 20	adddid 11268	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑎 ∈ ℝ ∧ (𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ)) → (𝑏 · (𝑦 + 𝑥)) = ((𝑏 · 𝑦) + (𝑏 · 𝑥)))
22		simpl 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑎 ∈ ℝ ∧ (𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ)) → 𝑎 ∈ ℝ)
23	22	recnd 11272	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑎 ∈ ℝ ∧ (𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ)) → 𝑎 ∈ ℂ)
24	23, 17, 18	adddird 11269	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑎 ∈ ℝ ∧ (𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ)) → ((𝑎 + 𝑏) · 𝑦) = ((𝑎 · 𝑦) + (𝑏 · 𝑦)))
25	19, 21, 24	3jca 1125	. . . . . 6 ⊢ ((𝑎 ∈ ℝ ∧ (𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ)) → ((𝑏 · 𝑦) ∈ ℂ ∧ (𝑏 · (𝑦 + 𝑥)) = ((𝑏 · 𝑦) + (𝑏 · 𝑥)) ∧ ((𝑎 + 𝑏) · 𝑦) = ((𝑎 · 𝑦) + (𝑏 · 𝑦))))
26	23, 17, 18	mulassd 11267	. . . . . 6 ⊢ ((𝑎 ∈ ℝ ∧ (𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ)) → ((𝑎 · 𝑏) · 𝑦) = (𝑎 · (𝑏 · 𝑦)))
27	18	mullidd 11262	. . . . . 6 ⊢ ((𝑎 ∈ ℝ ∧ (𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ)) → (1 · 𝑦) = 𝑦)
28	25, 26, 27	jca32 514	. . . . 5 ⊢ ((𝑎 ∈ ℝ ∧ (𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ)) → (((𝑏 · 𝑦) ∈ ℂ ∧ (𝑏 · (𝑦 + 𝑥)) = ((𝑏 · 𝑦) + (𝑏 · 𝑥)) ∧ ((𝑎 + 𝑏) · 𝑦) = ((𝑎 · 𝑦) + (𝑏 · 𝑦))) ∧ (((𝑎 · 𝑏) · 𝑦) = (𝑎 · (𝑏 · 𝑦)) ∧ (1 · 𝑦) = 𝑦)))
29	28	ralrimivvva 3194	. . . 4 ⊢ (𝑎 ∈ ℝ → ∀𝑏 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ ℂ ∀𝑦 ∈ ℂ (((𝑏 · 𝑦) ∈ ℂ ∧ (𝑏 · (𝑦 + 𝑥)) = ((𝑏 · 𝑦) + (𝑏 · 𝑥)) ∧ ((𝑎 + 𝑏) · 𝑦) = ((𝑎 · 𝑦) + (𝑏 · 𝑦))) ∧ (((𝑎 · 𝑏) · 𝑦) = (𝑎 · (𝑏 · 𝑦)) ∧ (1 · 𝑦) = 𝑦)))
30	29	rgen 3053	. . 3 ⊢ ∀𝑎 ∈ ℝ ∀𝑏 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ ℂ ∀𝑦 ∈ ℂ (((𝑏 · 𝑦) ∈ ℂ ∧ (𝑏 · (𝑦 + 𝑥)) = ((𝑏 · 𝑦) + (𝑏 · 𝑥)) ∧ ((𝑎 + 𝑏) · 𝑦) = ((𝑎 · 𝑦) + (𝑏 · 𝑦))) ∧ (((𝑎 · 𝑏) · 𝑦) = (𝑎 · (𝑏 · 𝑦)) ∧ (1 · 𝑦) = 𝑦))
31	2, 5	sseqtri 4014	. . . . . . . 8 ⊢ ℝ ⊆ (Base‘ℂfld)
32	31	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (⊤ → ℝ ⊆ (Base‘ℂfld))
33	3, 32	srabase 21067	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → (Base‘ℂfld) = (Base‘((subringAlg ‘ℂfld)‘ℝ)))
34	33	mptru 1540	. . . . 5 ⊢ (Base‘ℂfld) = (Base‘((subringAlg ‘ℂfld)‘ℝ))
35	5, 34	eqtri 2753	. . . 4 ⊢ ℂ = (Base‘((subringAlg ‘ℂfld)‘ℝ))
36		cnfldadd 21289	. . . . 5 ⊢ + = (+g‘ℂfld)
37	3, 32	sraaddg 21069	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → (+g‘ℂfld) = (+g‘((subringAlg ‘ℂfld)‘ℝ)))
38	37	mptru 1540	. . . . 5 ⊢ (+g‘ℂfld) = (+g‘((subringAlg ‘ℂfld)‘ℝ))
39	36, 38	eqtri 2753	. . . 4 ⊢ + = (+g‘((subringAlg ‘ℂfld)‘ℝ))
40		cnfldmul 21291	. . . . 5 ⊢ · = (.r‘ℂfld)
41	3, 32	sravsca 21075	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → (.r‘ℂfld) = ( ·𝑠 ‘((subringAlg ‘ℂfld)‘ℝ)))
42	41	mptru 1540	. . . . 5 ⊢ (.r‘ℂfld) = ( ·𝑠 ‘((subringAlg ‘ℂfld)‘ℝ))
43	40, 42	eqtri 2753	. . . 4 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘((subringAlg ‘ℂfld)‘ℝ))
44		df-refld 21541	. . . . 5 ⊢ ℝfld = (ℂfld ↾s ℝ)
45	3, 32	srasca 21073	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → (ℂfld ↾s ℝ) = (Scalar‘((subringAlg ‘ℂfld)‘ℝ)))
46	45	mptru 1540	. . . . 5 ⊢ (ℂfld ↾s ℝ) = (Scalar‘((subringAlg ‘ℂfld)‘ℝ))
47	44, 46	eqtri 2753	. . . 4 ⊢ ℝfld = (Scalar‘((subringAlg ‘ℂfld)‘ℝ))
48		rebase 21542	. . . 4 ⊢ ℝ = (Base‘ℝfld)
49		replusg 21546	. . . 4 ⊢ + = (+g‘ℝfld)
50		remulr 21547	. . . 4 ⊢ · = (.r‘ℝfld)
51		re1r 21549	. . . 4 ⊢ 1 = (1r‘ℝfld)
52	35, 39, 43, 47, 48, 49, 50, 51	islmod 20751	. . 3 ⊢ (((subringAlg ‘ℂfld)‘ℝ) ∈ LMod ↔ (((subringAlg ‘ℂfld)‘ℝ) ∈ Grp ∧ ℝfld ∈ Ring ∧ ∀𝑎 ∈ ℝ ∀𝑏 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ ℂ ∀𝑦 ∈ ℂ (((𝑏 · 𝑦) ∈ ℂ ∧ (𝑏 · (𝑦 + 𝑥)) = ((𝑏 · 𝑦) + (𝑏 · 𝑥)) ∧ ((𝑎 + 𝑏) · 𝑦) = ((𝑎 · 𝑦) + (𝑏 · 𝑦))) ∧ (((𝑎 · 𝑏) · 𝑦) = (𝑎 · (𝑏 · 𝑦)) ∧ (1 · 𝑦) = 𝑦))))
53	9, 15, 30, 52	mpbir3an 1338	. 2 ⊢ ((subringAlg ‘ℂfld)‘ℝ) ∈ LMod
54	47	islvec 20993	. 2 ⊢ (((subringAlg ‘ℂfld)‘ℝ) ∈ LVec ↔ (((subringAlg ‘ℂfld)‘ℝ) ∈ LMod ∧ ℝfld ∈ DivRing))
55	53, 13, 54	mpbir2an 709	1 ⊢ ((subringAlg ‘ℂfld)‘ℝ) ∈ LVec

Syntax hints:   ∧ wa 394   ∧ w3a 1084   = wceq 1533  ⊤wtru 1534   ∈ wcel 2098  ∀wral 3051   ⊆ wss 3945  ‘cfv 6547  (class class class)co 7417  ℂcc 11136  ℝcr 11137  1c1 11139   + caddc 11141   · cmul 11143  Basecbs 17179   ↾_s cress 17208  +_gcplusg 17232  ._rcmulr 17233  Scalarcsca 17235   ·_𝑠 cvsca 17236  Grpcgrp 18894  Ringcrg 20177  CRingccrg 20178  DivRingcdr 20628  Fieldcfield 20629  LModclmod 20747  LVecclvec 20991  subringAlg csra 21060  ℂ_fldccnfld 21283  ℝ_fldcrefld 21540

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7739  ax-cnex 11194  ax-resscn 11195  ax-1cn 11196  ax-icn 11197  ax-addcl 11198  ax-addrcl 11199  ax-mulcl 11200  ax-mulrcl 11201  ax-mulcom 11202  ax-addass 11203  ax-mulass 11204  ax-distr 11205  ax-i2m1 11206  ax-1ne0 11207  ax-1rid 11208  ax-rnegex 11209  ax-rrecex 11210  ax-cnre 11211  ax-pre-lttri 11212  ax-pre-lttrn 11213  ax-pre-ltadd 11214  ax-pre-mulgt0 11215  ax-addf 11217  ax-mulf 11218

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3775  df-csb 3891  df-dif 3948  df-un 3950  df-in 3952  df-ss 3962  df-pss 3965  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-tp 4634  df-op 4636  df-uni 4909  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6305  df-ord 6372  df-on 6373  df-lim 6374  df-suc 6375  df-iota 6499  df-fun 6549  df-fn 6550  df-f 6551  df-f1 6552  df-fo 6553  df-f1o 6554  df-fv 6555  df-riota 7373  df-ov 7420  df-oprab 7421  df-mpo 7422  df-om 7870  df-1st 7992  df-2nd 7993  df-tpos 8230  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-1o 8485  df-er 8723  df-en 8963  df-dom 8964  df-sdom 8965  df-fin 8966  df-pnf 11280  df-mnf 11281  df-xr 11282  df-ltxr 11283  df-le 11284  df-sub 11476  df-neg 11477  df-div 11902  df-nn 12243  df-2 12305  df-3 12306  df-4 12307  df-5 12308  df-6 12309  df-7 12310  df-8 12311  df-9 12312  df-n0 12503  df-z 12589  df-dec 12708  df-uz 12853  df-fz 13517  df-struct 17115  df-sets 17132  df-slot 17150  df-ndx 17162  df-base 17180  df-ress 17209  df-plusg 17245  df-mulr 17246  df-starv 17247  df-sca 17248  df-vsca 17249  df-ip 17250  df-tset 17251  df-ple 17252  df-ds 17254  df-unif 17255  df-0g 17422  df-mgm 18599  df-sgrp 18678  df-mnd 18694  df-grp 18897  df-minusg 18898  df-subg 19082  df-cmn 19741  df-abl 19742  df-mgp 20079  df-rng 20097  df-ur 20126  df-ring 20179  df-cring 20180  df-oppr 20277  df-dvdsr 20300  df-unit 20301  df-invr 20331  df-dvr 20344  df-subrng 20487  df-subrg 20512  df-drng 20630  df-field 20631  df-lmod 20749  df-lvec 20992  df-sra 21062  df-cnfld 21284  df-refld 21541

This theorem is referenced by:  ccfldextdgrr  33430