Theorem ccfldsrarelvec 34092

Description: The subring algebra of the complex numbers over the real numbers is a left vector space. (Contributed by Thierry Arnoux, 20-Aug-2023.)

Assertion

Ref	Expression
ccfldsrarelvec	⊢ ((subringAlg ‘ℂfld)‘ℝ) ∈ LVec

Proof of Theorem ccfldsrarelvec

Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnring 21581	. . . . 5 ⊢ ℂfld ∈ Ring
2		ax-resscn 11175	. . . . 5 ⊢ ℝ ⊆ ℂ
3		eqidd 2767	. . . . . . 7 ⊢ (⊤ → ((subringAlg ‘ℂfld)‘ℝ) = ((subringAlg ‘ℂfld)‘ℝ))
4	3	mptru 1577	. . . . . 6 ⊢ ((subringAlg ‘ℂfld)‘ℝ) = ((subringAlg ‘ℂfld)‘ℝ)
5		cnfldbas 21563	. . . . . 6 ⊢ ℂ = (Base‘ℂfld)
6	4, 5	sraring 21344	. . . . 5 ⊢ ((ℂfld ∈ Ring ∧ ℝ ⊆ ℂ) → ((subringAlg ‘ℂfld)‘ℝ) ∈ Ring)
7	1, 2, 6	mp2an 705	. . . 4 ⊢ ((subringAlg ‘ℂfld)‘ℝ) ∈ Ring
8		ringgrp 20351	. . . 4 ⊢ (((subringAlg ‘ℂfld)‘ℝ) ∈ Ring → ((subringAlg ‘ℂfld)‘ℝ) ∈ Grp)
9	7, 8	ax-mp 5	. . 3 ⊢ ((subringAlg ‘ℂfld)‘ℝ) ∈ Grp
10		refld 21806	. . . . . 6 ⊢ ℝfld ∈ Field
11		isfld 20877	. . . . . 6 ⊢ (ℝfld ∈ Field ↔ (ℝfld ∈ DivRing ∧ ℝfld ∈ CRing))
12	10, 11	mpbi 233	. . . . 5 ⊢ (ℝfld ∈ DivRing ∧ ℝfld ∈ CRing)
13	12	simpli 489	. . . 4 ⊢ ℝfld ∈ DivRing
14		drngring 20871	. . . 4 ⊢ (ℝfld ∈ DivRing → ℝfld ∈ Ring)
15	13, 14	ax-mp 5	. . 3 ⊢ ℝfld ∈ Ring
16		simpr1 1213	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑎 ∈ ℝ ∧ (𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ)) → 𝑏 ∈ ℝ)
17	16	recnd 11255	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑎 ∈ ℝ ∧ (𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ)) → 𝑏 ∈ ℂ)
18		simpr3 1215	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑎 ∈ ℝ ∧ (𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ)) → 𝑦 ∈ ℂ)
19	17, 18	mulcld 11247	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑎 ∈ ℝ ∧ (𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ)) → (𝑏 · 𝑦) ∈ ℂ)
20		simpr2 1214	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑎 ∈ ℝ ∧ (𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ)) → 𝑥 ∈ ℂ)
21	17, 18, 20	adddid 11251	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑎 ∈ ℝ ∧ (𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ)) → (𝑏 · (𝑦 + 𝑥)) = ((𝑏 · 𝑦) + (𝑏 · 𝑥)))
22		simpl 488	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑎 ∈ ℝ ∧ (𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ)) → 𝑎 ∈ ℝ)
23	22	recnd 11255	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑎 ∈ ℝ ∧ (𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ)) → 𝑎 ∈ ℂ)
24	23, 17, 18	adddird 11252	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑎 ∈ ℝ ∧ (𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ)) → ((𝑎 + 𝑏) · 𝑦) = ((𝑎 · 𝑦) + (𝑏 · 𝑦)))
25	19, 21, 24	3jca 1146	. . . . . 6 ⊢ ((𝑎 ∈ ℝ ∧ (𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ)) → ((𝑏 · 𝑦) ∈ ℂ ∧ (𝑏 · (𝑦 + 𝑥)) = ((𝑏 · 𝑦) + (𝑏 · 𝑥)) ∧ ((𝑎 + 𝑏) · 𝑦) = ((𝑎 · 𝑦) + (𝑏 · 𝑦))))
26	23, 17, 18	mulassd 11250	. . . . . 6 ⊢ ((𝑎 ∈ ℝ ∧ (𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ)) → ((𝑎 · 𝑏) · 𝑦) = (𝑎 · (𝑏 · 𝑦)))
27	18	mullidd 11245	. . . . . 6 ⊢ ((𝑎 ∈ ℝ ∧ (𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ)) → (1 · 𝑦) = 𝑦)
28	25, 26, 27	jca32 525	. . . . 5 ⊢ ((𝑎 ∈ ℝ ∧ (𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ)) → (((𝑏 · 𝑦) ∈ ℂ ∧ (𝑏 · (𝑦 + 𝑥)) = ((𝑏 · 𝑦) + (𝑏 · 𝑥)) ∧ ((𝑎 + 𝑏) · 𝑦) = ((𝑎 · 𝑦) + (𝑏 · 𝑦))) ∧ (((𝑎 · 𝑏) · 𝑦) = (𝑎 · (𝑏 · 𝑦)) ∧ (1 · 𝑦) = 𝑦)))
29	28	ralrimivvva 3214	. . . 4 ⊢ (𝑎 ∈ ℝ → ∀𝑏 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ ℂ ∀𝑦 ∈ ℂ (((𝑏 · 𝑦) ∈ ℂ ∧ (𝑏 · (𝑦 + 𝑥)) = ((𝑏 · 𝑦) + (𝑏 · 𝑥)) ∧ ((𝑎 + 𝑏) · 𝑦) = ((𝑎 · 𝑦) + (𝑏 · 𝑦))) ∧ (((𝑎 · 𝑏) · 𝑦) = (𝑎 · (𝑏 · 𝑦)) ∧ (1 · 𝑦) = 𝑦)))
30	29	rgen 3084	. . 3 ⊢ ∀𝑎 ∈ ℝ ∀𝑏 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ ℂ ∀𝑦 ∈ ℂ (((𝑏 · 𝑦) ∈ ℂ ∧ (𝑏 · (𝑦 + 𝑥)) = ((𝑏 · 𝑦) + (𝑏 · 𝑥)) ∧ ((𝑎 + 𝑏) · 𝑦) = ((𝑎 · 𝑦) + (𝑏 · 𝑦))) ∧ (((𝑎 · 𝑏) · 𝑦) = (𝑎 · (𝑏 · 𝑦)) ∧ (1 · 𝑦) = 𝑦))
31	2, 5	sseqtri 3988	. . . . . . . 8 ⊢ ℝ ⊆ (Base‘ℂfld)
32	31	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (⊤ → ℝ ⊆ (Base‘ℂfld))
33	3, 32	srabase 21335	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → (Base‘ℂfld) = (Base‘((subringAlg ‘ℂfld)‘ℝ)))
34	33	mptru 1577	. . . . 5 ⊢ (Base‘ℂfld) = (Base‘((subringAlg ‘ℂfld)‘ℝ))
35	5, 34	eqtri 2789	. . . 4 ⊢ ℂ = (Base‘((subringAlg ‘ℂfld)‘ℝ))
36		cnfldadd 21565	. . . . 5 ⊢ + = (+g‘ℂfld)
37	3, 32	sraaddg 21336	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → (+g‘ℂfld) = (+g‘((subringAlg ‘ℂfld)‘ℝ)))
38	37	mptru 1577	. . . . 5 ⊢ (+g‘ℂfld) = (+g‘((subringAlg ‘ℂfld)‘ℝ))
39	36, 38	eqtri 2789	. . . 4 ⊢ + = (+g‘((subringAlg ‘ℂfld)‘ℝ))
40		cnfldmul 21567	. . . . 5 ⊢ · = (.r‘ℂfld)
41	3, 32	sravsca 21339	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → (.r‘ℂfld) = ( ·𝑠 ‘((subringAlg ‘ℂfld)‘ℝ)))
42	41	mptru 1577	. . . . 5 ⊢ (.r‘ℂfld) = ( ·𝑠 ‘((subringAlg ‘ℂfld)‘ℝ))
43	40, 42	eqtri 2789	. . . 4 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘((subringAlg ‘ℂfld)‘ℝ))
44		df-refld 21792	. . . . 5 ⊢ ℝfld = (ℂfld ↾s ℝ)
45	3, 32	srasca 21338	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → (ℂfld ↾s ℝ) = (Scalar‘((subringAlg ‘ℂfld)‘ℝ)))
46	45	mptru 1577	. . . . 5 ⊢ (ℂfld ↾s ℝ) = (Scalar‘((subringAlg ‘ℂfld)‘ℝ))
47	44, 46	eqtri 2789	. . . 4 ⊢ ℝfld = (Scalar‘((subringAlg ‘ℂfld)‘ℝ))
48		rebase 21793	. . . 4 ⊢ ℝ = (Base‘ℝfld)
49		replusg 21797	. . . 4 ⊢ + = (+g‘ℝfld)
50		remulr 21798	. . . 4 ⊢ · = (.r‘ℝfld)
51		re1r 21800	. . . 4 ⊢ 1 = (1r‘ℝfld)
52	35, 39, 43, 47, 48, 49, 50, 51	islmod 21022	. . 3 ⊢ (((subringAlg ‘ℂfld)‘ℝ) ∈ LMod ↔ (((subringAlg ‘ℂfld)‘ℝ) ∈ Grp ∧ ℝfld ∈ Ring ∧ ∀𝑎 ∈ ℝ ∀𝑏 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ ℂ ∀𝑦 ∈ ℂ (((𝑏 · 𝑦) ∈ ℂ ∧ (𝑏 · (𝑦 + 𝑥)) = ((𝑏 · 𝑦) + (𝑏 · 𝑥)) ∧ ((𝑎 + 𝑏) · 𝑦) = ((𝑎 · 𝑦) + (𝑏 · 𝑦))) ∧ (((𝑎 · 𝑏) · 𝑦) = (𝑎 · (𝑏 · 𝑦)) ∧ (1 · 𝑦) = 𝑦))))
53	9, 15, 30, 52	mpbir3an 1360	. 2 ⊢ ((subringAlg ‘ℂfld)‘ℝ) ∈ LMod
54	47	islvec 21262	. 2 ⊢ (((subringAlg ‘ℂfld)‘ℝ) ∈ LVec ↔ (((subringAlg ‘ℂfld)‘ℝ) ∈ LMod ∧ ℝfld ∈ DivRing))
55	53, 13, 54	mpbir2an 724	1 ⊢ ((subringAlg ‘ℂfld)‘ℝ) ∈ LVec

This proof depends on syntax axioms:   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570  ⊤wtru 1571   ∈ wcel 2146  ∀wral 3082   ⊆ wss 3908  ‘cfv 6543  (class class class)co 7423  ℂcc 11116  ℝcr 11117  1c1 11119   + caddc 11121   · cmul 11123  Basecbs 17294   ↾_s cress 17315  +_gcplusg 17335  ._rcmulr 17336  Scalarcsca 17338   ·_𝑠 cvsca 17339  Grpcgrp 19031  Ringcrg 20346  CRingccrg 20347  DivRingcdr 20864  Fieldcfield 20865  LModclmod 21018  LVecclvec 21260  subringAlg csra 21329  ℂ_fldccnfld 21559  ℝ_fldcrefld 21791

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2738  ax-rep 5243  ax-sep 5262  ax-nul 5274  ax-pow 5341  ax-pr 5409  ax-un 7745  ax-cnex 11174  ax-resscn 11175  ax-1cn 11176  ax-icn 11177  ax-addcl 11178  ax-addrcl 11179  ax-mulcl 11180  ax-mulrcl 11181  ax-mulcom 11182  ax-addass 11183  ax-mulass 11184  ax-distr 11185  ax-i2m1 11186  ax-1ne0 11187  ax-1rid 11188  ax-rnegex 11189  ax-rrecex 11190  ax-cnre 11191  ax-pre-lttri 11192  ax-pre-lttrn 11193  ax-pre-ltadd 11194  ax-pre-mulgt0 11195  ax-addf 11197  ax-mulf 11198

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2570  df-eu 2600  df-clab 2745  df-cleq 2758  df-clel 2841  df-nfc 2915  df-ne 2962  df-nel 3068  df-ral 3083  df-rex 3093  df-rmo 3372  df-reu 3373  df-rab 3420  df-v 3460  df-sbc 3748  df-csb 3857  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3928  df-nul 4290  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-tp 4599  df-op 4601  df-uni 4878  df-iun 4963  df-br 5115  df-opab 5179  df-mpt 5198  df-tr 5224  df-id 5561  df-eprel 5566  df-po 5574  df-so 5575  df-fr 5619  df-we 5621  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-pred 6309  df-ord 6370  df-on 6371  df-lim 6372  df-suc 6373  df-iota 6499  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7380  df-ov 7426  df-oprab 7427  df-mpo 7428  df-om 7872  df-1st 7995  df-2nd 7996  df-tpos 8231  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-er 8703  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-fin 8956  df-pnf 11263  df-mnf 11264  df-xr 11265  df-ltxr 11266  df-le 11267  df-sub 11461  df-neg 11462  df-div 11890  df-nn 12252  df-2 12321  df-3 12322  df-4 12323  df-5 12324  df-6 12325  df-7 12326  df-8 12327  df-9 12328  df-n0 12523  df-z 12610  df-dec 12730  df-uz 12881  df-fz 13554  df-struct 17232  df-sets 17249  df-slot 17267  df-ndx 17279  df-base 17295  df-ress 17316  df-plusg 17348  df-mulr 17349  df-starv 17350  df-sca 17351  df-vsca 17352  df-ip 17353  df-tset 17354  df-ple 17355  df-ds 17357  df-unif 17358  df-0g 17519  df-mgm 18723  df-sgrp 18806  df-mnd 18822  df-grp 19034  df-minusg 19035  df-subg 19220  df-cmn 19883  df-abl 19884  df-mgp 20248  df-rng 20262  df-ur 20295  df-ring 20348  df-cring 20349  df-oppr 20452  df-dvdsr 20472  df-unit 20473  df-invr 20503  df-dvr 20516  df-subrng 20682  df-subrg 20706  df-drng 20866  df-field 20867  df-lmod 21020  df-lvec 21261  df-sra 21331  df-cnfld 21560  df-refld 21792

This theorem is used by:  ccfldextdgrr  34093