Theorem lmod1zrnlvec 48411

Description: There is a (left) module (a zero module) which is not a (left) vector space. (Contributed by AV, 29-Apr-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
lmod1zr.r	⊢ 𝑅 = {⟨(Base‘ndx), {𝑍}⟩, ⟨(+g‘ndx), {⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩}⟩, ⟨(.r‘ndx), {⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩}⟩}
lmod1zr.m	⊢ 𝑀 = ({⟨(Base‘ndx), {𝐼}⟩, ⟨(+g‘ndx), {⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}⟩, ⟨(Scalar‘ndx), 𝑅⟩} ∪ {⟨( ·𝑠 ‘ndx), {⟨⟨𝑍, 𝐼⟩, 𝐼⟩}⟩})

Assertion

Ref	Expression
lmod1zrnlvec	⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑊) → 𝑀 ∉ LVec)

Proof of Theorem lmod1zrnlvec

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lmod1zr.r	. . . . . 6 ⊢ 𝑅 = {⟨(Base‘ndx), {𝑍}⟩, ⟨(+g‘ndx), {⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩}⟩, ⟨(.r‘ndx), {⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩}⟩}
2		tpex 7766	. . . . . 6 ⊢ {⟨(Base‘ndx), {𝑍}⟩, ⟨(+g‘ndx), {⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩}⟩, ⟨(.r‘ndx), {⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩}⟩} ∈ V
3	1, 2	eqeltri 2837	. . . . 5 ⊢ 𝑅 ∈ V
4		lmod1zr.m	. . . . . 6 ⊢ 𝑀 = ({⟨(Base‘ndx), {𝐼}⟩, ⟨(+g‘ndx), {⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}⟩, ⟨(Scalar‘ndx), 𝑅⟩} ∪ {⟨( ·𝑠 ‘ndx), {⟨⟨𝑍, 𝐼⟩, 𝐼⟩}⟩})
5	4	lmodsca 17372	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ V → 𝑅 = (Scalar‘𝑀))
6	3, 5	mp1i 13	. . . 4 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑊) → 𝑅 = (Scalar‘𝑀))
7	1	rng1nnzr 20776	. . . . . . 7 ⊢ (𝑍 ∈ 𝑊 → 𝑅 ∉ NzRing)
8		df-nel 3047	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∉ NzRing ↔ ¬ 𝑅 ∈ NzRing)
9	7, 8	sylib 218	. . . . . 6 ⊢ (𝑍 ∈ 𝑊 → ¬ 𝑅 ∈ NzRing)
10		drngnzr 20748	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ DivRing → 𝑅 ∈ NzRing)
11	9, 10	nsyl 140	. . . . 5 ⊢ (𝑍 ∈ 𝑊 → ¬ 𝑅 ∈ DivRing)
12	11	adantl 481	. . . 4 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑊) → ¬ 𝑅 ∈ DivRing)
13	6, 12	eqneltrrd 2862	. . 3 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑊) → ¬ (Scalar‘𝑀) ∈ DivRing)
14	13	intnand 488	. 2 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑊) → ¬ (𝑀 ∈ LMod ∧ (Scalar‘𝑀) ∈ DivRing))
15		df-nel 3047	. . 3 ⊢ (𝑀 ∉ LVec ↔ ¬ 𝑀 ∈ LVec)
16		eqid 2737	. . . 4 ⊢ (Scalar‘𝑀) = (Scalar‘𝑀)
17	16	islvec 21103	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ LVec ↔ (𝑀 ∈ LMod ∧ (Scalar‘𝑀) ∈ DivRing))
18	15, 17	xchbinx 334	. 2 ⊢ (𝑀 ∉ LVec ↔ ¬ (𝑀 ∈ LMod ∧ (Scalar‘𝑀) ∈ DivRing))
19	14, 18	sylibr 234	1 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑊) → 𝑀 ∉ LVec)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2108   ∉ wnel 3046  Vcvv 3480   ∪ cun 3949  {csn 4626  {ctp 4630  ⟨cop 4632  ‘cfv 6561  ndxcnx 17230  Basecbs 17247  +_gcplusg 17297  ._rcmulr 17298  Scalarcsca 17300   ·_𝑠 cvsca 17301  NzRingcnzr 20512  DivRingcdr 20729  LModclmod 20858  LVecclvec 21101

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-tp 4631  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-tpos 8251  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-oadd 8510  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-dju 9941  df-card 9979  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-4 12331  df-5 12332  df-6 12333  df-n0 12527  df-xnn0 12600  df-z 12614  df-uz 12879  df-fz 13548  df-hash 14370  df-struct 17184  df-sets 17201  df-slot 17219  df-ndx 17231  df-base 17248  df-plusg 17310  df-mulr 17311  df-sca 17313  df-vsca 17314  df-0g 17486  df-mgm 18653  df-sgrp 18732  df-mnd 18748  df-grp 18954  df-minusg 18955  df-cmn 19800  df-abl 19801  df-mgp 20138  df-rng 20150  df-ur 20179  df-ring 20232  df-oppr 20334  df-dvdsr 20357  df-unit 20358  df-nzr 20513  df-drng 20731  df-lvec 21102

This theorem is referenced by:  lvecpsslmod  48424