Theorem lmod1zrnlvec 49699

Description: There is a (left) module (a zero module) which is not a (left) vector space. (Contributed by AV, 29-Apr-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
lmod1zr.r	⊢ 𝑅 = {⟨(Base‘ndx), {𝑍}⟩, ⟨(+g‘ndx), {⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩}⟩, ⟨(.r‘ndx), {⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩}⟩}
lmod1zr.m	⊢ 𝑀 = ({⟨(Base‘ndx), {𝐼}⟩, ⟨(+g‘ndx), {⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}⟩, ⟨(Scalar‘ndx), 𝑅⟩} ∪ {⟨( ·𝑠 ‘ndx), {⟨⟨𝑍, 𝐼⟩, 𝐼⟩}⟩})

Assertion

Ref	Expression
lmod1zrnlvec	⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑊) → 𝑀 ∉ LVec)

Proof of Theorem lmod1zrnlvec

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lmod1zr.r	. . . . . 6 ⊢ 𝑅 = {⟨(Base‘ndx), {𝑍}⟩, ⟨(+g‘ndx), {⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩}⟩, ⟨(.r‘ndx), {⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩}⟩}
2		tpex 7762	. . . . . 6 ⊢ {⟨(Base‘ndx), {𝑍}⟩, ⟨(+g‘ndx), {⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩}⟩, ⟨(.r‘ndx), {⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩}⟩} ∈ V
3	1, 2	eqeltri 2856	. . . . 5 ⊢ 𝑅 ∈ V
4		lmod1zr.m	. . . . . 6 ⊢ 𝑀 = ({⟨(Base‘ndx), {𝐼}⟩, ⟨(+g‘ndx), {⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}⟩, ⟨(Scalar‘ndx), 𝑅⟩} ∪ {⟨( ·𝑠 ‘ndx), {⟨⟨𝑍, 𝐼⟩, 𝐼⟩}⟩})
5	4	lmodsca 17504	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ V → 𝑅 = (Scalar‘𝑀))
6	3, 5	mp1i 14	. . . 4 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑊) → 𝑅 = (Scalar‘𝑀))
7	1	rng1nnzr 21038	. . . . . . 7 ⊢ (𝑍 ∈ 𝑊 → 𝑅 ∉ NzRing)
8		df-nel 3062	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∉ NzRing ↔ ¬ 𝑅 ∈ NzRing)
9	7, 8	sylib 221	. . . . . 6 ⊢ (𝑍 ∈ 𝑊 → ¬ 𝑅 ∈ NzRing)
10		drngnzr 21007	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ DivRing → 𝑅 ∈ NzRing)
11	9, 10	nsyl 141	. . . . 5 ⊢ (𝑍 ∈ 𝑊 → ¬ 𝑅 ∈ DivRing)
12	11	adantl 487	. . . 4 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑊) → ¬ 𝑅 ∈ DivRing)
13	6, 12	eqneltrrd 2881	. . 3 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑊) → ¬ (Scalar‘𝑀) ∈ DivRing)
14	13	intnand 494	. 2 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑊) → ¬ (𝑀 ∈ LMod ∧ (Scalar‘𝑀) ∈ DivRing))
15		df-nel 3062	. . 3 ⊢ (𝑀 ∉ LVec ↔ ¬ 𝑀 ∈ LVec)
16		eqid 2760	. . . 4 ⊢ (Scalar‘𝑀) = (Scalar‘𝑀)
17	16	islvec 21384	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ LVec ↔ (𝑀 ∈ LMod ∧ (Scalar‘𝑀) ∈ DivRing))
18	15, 17	xchbinx 337	. 2 ⊢ (𝑀 ∉ LVec ↔ ¬ (𝑀 ∈ LMod ∧ (Scalar‘𝑀) ∈ DivRing))
19	14, 18	sylibr 237	1 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑊) → 𝑀 ∉ LVec)

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1569   ∈ wcel 2144   ∉ wnel 3061  Vcvv 3450   ∪ cun 4149  {csn 4584  {ctp 4588  ⟨cop 4834  ‘cfv 6538  ndxcnx 17376  Basecbs 17392  +_gcplusg 17433  ._rcmulr 17434  Scalarcsca 17436   ·_𝑠 cvsca 17437  NzRingcnzr 20767  DivRingcdr 20985  LModclmod 21140  LVecclvec 21382

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751  ax-cnex 11259  ax-resscn 11260  ax-1cn 11261  ax-icn 11262  ax-addcl 11263  ax-addrcl 11264  ax-mulcl 11265  ax-mulrcl 11266  ax-mulcom 11267  ax-addass 11268  ax-mulass 11269  ax-distr 11270  ax-i2m1 11271  ax-1ne0 11272  ax-1rid 11273  ax-rnegex 11274  ax-rrecex 11275  ax-cnre 11276  ax-pre-lttri 11277  ax-pre-lttrn 11278  ax-pre-ltadd 11279  ax-pre-mulgt0 11280

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4835  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7878  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-tpos 8246  df-frecs 8302  df-wrecs 8333  df-recs 8382  df-rdg 8421  df-1o 8479  df-oadd 8483  df-er 8720  df-en 8977  df-dom 8978  df-sdom 8979  df-fin 8980  df-dju 9985  df-card 10023  df-pnf 11348  df-mnf 11349  df-xr 11350  df-ltxr 11351  df-le 11352  df-sub 11546  df-neg 11547  df-nn 12339  df-2 12408  df-3 12409  df-4 12410  df-5 12411  df-6 12412  df-n0 12610  df-xnn0 12683  df-z 12697  df-uz 12969  df-fz 13643  df-hash 14478  df-struct 17330  df-sets 17347  df-slot 17365  df-ndx 17377  df-base 17393  df-plusg 17446  df-mulr 17447  df-sca 17449  df-vsca 17450  df-0g 17617  df-mgm 18821  df-sgrp 18913  df-mnd 18929  df-grp 19152  df-minusg 19153  df-cmn 20001  df-abl 20002  df-mgp 20366  df-rng 20380  df-ur 20413  df-ring 20466  df-oppr 20572  df-dvdsr 20592  df-unit 20593  df-nzr 20768  df-drng 20987  df-lvec 21383

This theorem is used by:  lvecpsslmod  49712