Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lmod1zrnlvec Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lmod1zrnlvec 44539
Description: There is a (left) module (a zero module) which is not a (left) vector space. (Contributed by AV, 29-Apr-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
lmod1zr.r 𝑅 = {⟨(Base‘ndx), {𝑍}⟩, ⟨(+g‘ndx), {⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩}⟩, ⟨(.r‘ndx), {⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩}⟩}
lmod1zr.m 𝑀 = ({⟨(Base‘ndx), {𝐼}⟩, ⟨(+g‘ndx), {⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}⟩, ⟨(Scalar‘ndx), 𝑅⟩} ∪ {⟨( ·𝑠 ‘ndx), {⟨⟨𝑍, 𝐼⟩, 𝐼⟩}⟩})
Assertion
Ref Expression
lmod1zrnlvec ((𝐼𝑉𝑍𝑊) → 𝑀 ∉ LVec)

Proof of Theorem lmod1zrnlvec
StepHypRef Expression
1 lmod1zr.r . . . . . 6 𝑅 = {⟨(Base‘ndx), {𝑍}⟩, ⟨(+g‘ndx), {⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩}⟩, ⟨(.r‘ndx), {⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩}⟩}
2 tpex 7462 . . . . . 6 {⟨(Base‘ndx), {𝑍}⟩, ⟨(+g‘ndx), {⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩}⟩, ⟨(.r‘ndx), {⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩}⟩} ∈ V
31, 2eqeltri 2907 . . . . 5 𝑅 ∈ V
4 lmod1zr.m . . . . . 6 𝑀 = ({⟨(Base‘ndx), {𝐼}⟩, ⟨(+g‘ndx), {⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}⟩, ⟨(Scalar‘ndx), 𝑅⟩} ∪ {⟨( ·𝑠 ‘ndx), {⟨⟨𝑍, 𝐼⟩, 𝐼⟩}⟩})
54lmodsca 16631 . . . . 5 (𝑅 ∈ V → 𝑅 = (Scalar‘𝑀))
63, 5mp1i 13 . . . 4 ((𝐼𝑉𝑍𝑊) → 𝑅 = (Scalar‘𝑀))
71rng1nnzr 20039 . . . . . . 7 (𝑍𝑊𝑅 ∉ NzRing)
8 df-nel 3122 . . . . . . 7 (𝑅 ∉ NzRing ↔ ¬ 𝑅 ∈ NzRing)
97, 8sylib 220 . . . . . 6 (𝑍𝑊 → ¬ 𝑅 ∈ NzRing)
10 drngnzr 20027 . . . . . 6 (𝑅 ∈ DivRing → 𝑅 ∈ NzRing)
119, 10nsyl 142 . . . . 5 (𝑍𝑊 → ¬ 𝑅 ∈ DivRing)
1211adantl 484 . . . 4 ((𝐼𝑉𝑍𝑊) → ¬ 𝑅 ∈ DivRing)
136, 12eqneltrrd 2931 . . 3 ((𝐼𝑉𝑍𝑊) → ¬ (Scalar‘𝑀) ∈ DivRing)
1413intnand 491 . 2 ((𝐼𝑉𝑍𝑊) → ¬ (𝑀 ∈ LMod ∧ (Scalar‘𝑀) ∈ DivRing))
15 df-nel 3122 . . 3 (𝑀 ∉ LVec ↔ ¬ 𝑀 ∈ LVec)
16 eqid 2819 . . . 4 (Scalar‘𝑀) = (Scalar‘𝑀)
1716islvec 19868 . . 3 (𝑀 ∈ LVec ↔ (𝑀 ∈ LMod ∧ (Scalar‘𝑀) ∈ DivRing))
1815, 17xchbinx 336 . 2 (𝑀 ∉ LVec ↔ ¬ (𝑀 ∈ LMod ∧ (Scalar‘𝑀) ∈ DivRing))
1914, 18sylibr 236 1 ((𝐼𝑉𝑍𝑊) → 𝑀 ∉ LVec)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 398   = wceq 1530  wcel 2107  wnel 3121  Vcvv 3493  cun 3932  {csn 4559  {ctp 4563  cop 4565  cfv 6348  ndxcnx 16472  Basecbs 16475  +gcplusg 16557  .rcmulr 16558  Scalarcsca 16560   ·𝑠 cvsca 16561  DivRingcdr 19494  LModclmod 19626  LVecclvec 19866  NzRingcnzr 20022
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1904  ax-6 1963  ax-7 2008  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2153  ax-12 2169  ax-ext 2791  ax-rep 5181  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7453  ax-cnex 10585  ax-resscn 10586  ax-1cn 10587  ax-icn 10588  ax-addcl 10589  ax-addrcl 10590  ax-mulcl 10591  ax-mulrcl 10592  ax-mulcom 10593  ax-addass 10594  ax-mulass 10595  ax-distr 10596  ax-i2m1 10597  ax-1ne0 10598  ax-1rid 10599  ax-rnegex 10600  ax-rrecex 10601  ax-cnre 10602  ax-pre-lttri 10603  ax-pre-lttrn 10604  ax-pre-ltadd 10605  ax-pre-mulgt0 10606
This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1082  df-3an 1083  df-tru 1533  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2063  df-mo 2616  df-eu 2648  df-clab 2798  df-cleq 2812  df-clel 2891  df-nfc 2961  df-ne 3015  df-nel 3122  df-ral 3141  df-rex 3142  df-reu 3143  df-rmo 3144  df-rab 3145  df-v 3495  df-sbc 3771  df-csb 3882  df-dif 3937  df-un 3939  df-in 3941  df-ss 3950  df-pss 3952  df-nul 4290  df-if 4466  df-pw 4539  df-sn 4560  df-pr 4562  df-tp 4564  df-op 4566  df-uni 4831  df-int 4868  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-riota 7106  df-ov 7151  df-oprab 7152  df-mpo 7153  df-om 7573  df-1st 7681  df-2nd 7682  df-tpos 7884  df-wrecs 7939  df-recs 8000  df-rdg 8038  df-1o 8094  df-oadd 8098  df-er 8281  df-en 8502  df-dom 8503  df-sdom 8504  df-fin 8505  df-dju 9322  df-card 9360  df-pnf 10669  df-mnf 10670  df-xr 10671  df-ltxr 10672  df-le 10673  df-sub 10864  df-neg 10865  df-nn 11631  df-2 11692  df-3 11693  df-4 11694  df-5 11695  df-6 11696  df-n0 11890  df-xnn0 11960  df-z 11974  df-uz 12236  df-fz 12885  df-hash 13683  df-struct 16477  df-ndx 16478  df-slot 16479  df-base 16481  df-sets 16482  df-plusg 16570  df-mulr 16571  df-sca 16573  df-vsca 16574  df-0g 16707  df-mgm 17844  df-sgrp 17893  df-mnd 17904  df-grp 18098  df-minusg 18099  df-mgp 19232  df-ur 19244  df-ring 19291  df-oppr 19365  df-dvdsr 19383  df-unit 19384  df-drng 19496  df-lvec 19867  df-nzr 20023
This theorem is referenced by:  lvecpsslmod  44552
  Copyright terms: Public domain W3C validator