Theorem lmod1zrnlvec 44543

Description: There is a (left) module (a zero module) which is not a (left) vector space. (Contributed by AV, 29-Apr-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
lmod1zr.r	⊢ 𝑅 = {⟨(Base‘ndx), {𝑍}⟩, ⟨(+g‘ndx), {⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩}⟩, ⟨(.r‘ndx), {⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩}⟩}
lmod1zr.m	⊢ 𝑀 = ({⟨(Base‘ndx), {𝐼}⟩, ⟨(+g‘ndx), {⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}⟩, ⟨(Scalar‘ndx), 𝑅⟩} ∪ {⟨( ·𝑠 ‘ndx), {⟨⟨𝑍, 𝐼⟩, 𝐼⟩}⟩})

Assertion

Ref	Expression
lmod1zrnlvec	⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑊) → 𝑀 ∉ LVec)

Proof of Theorem lmod1zrnlvec

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lmod1zr.r	. . . . . 6 ⊢ 𝑅 = {⟨(Base‘ndx), {𝑍}⟩, ⟨(+g‘ndx), {⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩}⟩, ⟨(.r‘ndx), {⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩}⟩}
2		tpex 7464	. . . . . 6 ⊢ {⟨(Base‘ndx), {𝑍}⟩, ⟨(+g‘ndx), {⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩}⟩, ⟨(.r‘ndx), {⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩}⟩} ∈ V
3	1, 2	eqeltri 2909	. . . . 5 ⊢ 𝑅 ∈ V
4		lmod1zr.m	. . . . . 6 ⊢ 𝑀 = ({⟨(Base‘ndx), {𝐼}⟩, ⟨(+g‘ndx), {⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}⟩, ⟨(Scalar‘ndx), 𝑅⟩} ∪ {⟨( ·𝑠 ‘ndx), {⟨⟨𝑍, 𝐼⟩, 𝐼⟩}⟩})
5	4	lmodsca 16633	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ V → 𝑅 = (Scalar‘𝑀))
6	3, 5	mp1i 13	. . . 4 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑊) → 𝑅 = (Scalar‘𝑀))
7	1	rng1nnzr 20041	. . . . . . 7 ⊢ (𝑍 ∈ 𝑊 → 𝑅 ∉ NzRing)
8		df-nel 3124	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∉ NzRing ↔ ¬ 𝑅 ∈ NzRing)
9	7, 8	sylib 220	. . . . . 6 ⊢ (𝑍 ∈ 𝑊 → ¬ 𝑅 ∈ NzRing)
10		drngnzr 20029	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ DivRing → 𝑅 ∈ NzRing)
11	9, 10	nsyl 142	. . . . 5 ⊢ (𝑍 ∈ 𝑊 → ¬ 𝑅 ∈ DivRing)
12	11	adantl 484	. . . 4 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑊) → ¬ 𝑅 ∈ DivRing)
13	6, 12	eqneltrrd 2933	. . 3 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑊) → ¬ (Scalar‘𝑀) ∈ DivRing)
14	13	intnand 491	. 2 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑊) → ¬ (𝑀 ∈ LMod ∧ (Scalar‘𝑀) ∈ DivRing))
15		df-nel 3124	. . 3 ⊢ (𝑀 ∉ LVec ↔ ¬ 𝑀 ∈ LVec)
16		eqid 2821	. . . 4 ⊢ (Scalar‘𝑀) = (Scalar‘𝑀)
17	16	islvec 19870	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ LVec ↔ (𝑀 ∈ LMod ∧ (Scalar‘𝑀) ∈ DivRing))
18	15, 17	xchbinx 336	. 2 ⊢ (𝑀 ∉ LVec ↔ ¬ (𝑀 ∈ LMod ∧ (Scalar‘𝑀) ∈ DivRing))
19	14, 18	sylibr 236	1 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑊) → 𝑀 ∉ LVec)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 398   = wceq 1533   ∈ wcel 2110   ∉ wnel 3123  Vcvv 3494   ∪ cun 3933  {csn 4560  {ctp 4564  ⟨cop 4566  ‘cfv 6349  ndxcnx 16474  Basecbs 16477  +_gcplusg 16559  ._rcmulr 16560  Scalarcsca 16562   ·_𝑠 cvsca 16563  DivRingcdr 19496  LModclmod 19628  LVecclvec 19868  NzRingcnzr 20024

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1907  ax-6 1966  ax-7 2011  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2173  ax-ext 2793  ax-rep 5182  ax-sep 5195  ax-nul 5202  ax-pow 5258  ax-pr 5321  ax-un 7455  ax-cnex 10587  ax-resscn 10588  ax-1cn 10589  ax-icn 10590  ax-addcl 10591  ax-addrcl 10592  ax-mulcl 10593  ax-mulrcl 10594  ax-mulcom 10595  ax-addass 10596  ax-mulass 10597  ax-distr 10598  ax-i2m1 10599  ax-1ne0 10600  ax-1rid 10601  ax-rnegex 10602  ax-rrecex 10603  ax-cnre 10604  ax-pre-lttri 10605  ax-pre-lttrn 10606  ax-pre-ltadd 10607  ax-pre-mulgt0 10608

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1536  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2066  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rmo 3146  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3772  df-csb 3883  df-dif 3938  df-un 3940  df-in 3942  df-ss 3951  df-pss 3953  df-nul 4291  df-if 4467  df-pw 4540  df-sn 4561  df-pr 4563  df-tp 4565  df-op 4567  df-uni 4832  df-int 4869  df-iun 4913  df-br 5059  df-opab 5121  df-mpt 5139  df-tr 5165  df-id 5454  df-eprel 5459  df-po 5468  df-so 5469  df-fr 5508  df-we 5510  df-xp 5555  df-rel 5556  df-cnv 5557  df-co 5558  df-dm 5559  df-rn 5560  df-res 5561  df-ima 5562  df-pred 6142  df-ord 6188  df-on 6189  df-lim 6190  df-suc 6191  df-iota 6308  df-fun 6351  df-fn 6352  df-f 6353  df-f1 6354  df-fo 6355  df-f1o 6356  df-fv 6357  df-riota 7108  df-ov 7153  df-oprab 7154  df-mpo 7155  df-om 7575  df-1st 7683  df-2nd 7684  df-tpos 7886  df-wrecs 7941  df-recs 8002  df-rdg 8040  df-1o 8096  df-oadd 8100  df-er 8283  df-en 8504  df-dom 8505  df-sdom 8506  df-fin 8507  df-dju 9324  df-card 9362  df-pnf 10671  df-mnf 10672  df-xr 10673  df-ltxr 10674  df-le 10675  df-sub 10866  df-neg 10867  df-nn 11633  df-2 11694  df-3 11695  df-4 11696  df-5 11697  df-6 11698  df-n0 11892  df-xnn0 11962  df-z 11976  df-uz 12238  df-fz 12887  df-hash 13685  df-struct 16479  df-ndx 16480  df-slot 16481  df-base 16483  df-sets 16484  df-plusg 16572  df-mulr 16573  df-sca 16575  df-vsca 16576  df-0g 16709  df-mgm 17846  df-sgrp 17895  df-mnd 17906  df-grp 18100  df-minusg 18101  df-mgp 19234  df-ur 19246  df-ring 19293  df-oppr 19367  df-dvdsr 19385  df-unit 19386  df-drng 19498  df-lvec 19869  df-nzr 20025

This theorem is referenced by:  lvecpsslmod  44556