Theorem lmod1zrnlvec 48619

Description: There is a (left) module (a zero module) which is not a (left) vector space. (Contributed by AV, 29-Apr-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
lmod1zr.r	⊢ 𝑅 = {⟨(Base‘ndx), {𝑍}⟩, ⟨(+g‘ndx), {⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩}⟩, ⟨(.r‘ndx), {⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩}⟩}
lmod1zr.m	⊢ 𝑀 = ({⟨(Base‘ndx), {𝐼}⟩, ⟨(+g‘ndx), {⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}⟩, ⟨(Scalar‘ndx), 𝑅⟩} ∪ {⟨( ·𝑠 ‘ndx), {⟨⟨𝑍, 𝐼⟩, 𝐼⟩}⟩})

Assertion

Ref	Expression
lmod1zrnlvec	⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑊) → 𝑀 ∉ LVec)

Proof of Theorem lmod1zrnlvec

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lmod1zr.r	. . . . . 6 ⊢ 𝑅 = {⟨(Base‘ndx), {𝑍}⟩, ⟨(+g‘ndx), {⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩}⟩, ⟨(.r‘ndx), {⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩}⟩}
2		tpex 7685	. . . . . 6 ⊢ {⟨(Base‘ndx), {𝑍}⟩, ⟨(+g‘ndx), {⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩}⟩, ⟨(.r‘ndx), {⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩}⟩} ∈ V
3	1, 2	eqeltri 2829	. . . . 5 ⊢ 𝑅 ∈ V
4		lmod1zr.m	. . . . . 6 ⊢ 𝑀 = ({⟨(Base‘ndx), {𝐼}⟩, ⟨(+g‘ndx), {⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}⟩, ⟨(Scalar‘ndx), 𝑅⟩} ∪ {⟨( ·𝑠 ‘ndx), {⟨⟨𝑍, 𝐼⟩, 𝐼⟩}⟩})
5	4	lmodsca 17234	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ V → 𝑅 = (Scalar‘𝑀))
6	3, 5	mp1i 13	. . . 4 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑊) → 𝑅 = (Scalar‘𝑀))
7	1	rng1nnzr 20692	. . . . . . 7 ⊢ (𝑍 ∈ 𝑊 → 𝑅 ∉ NzRing)
8		df-nel 3034	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∉ NzRing ↔ ¬ 𝑅 ∈ NzRing)
9	7, 8	sylib 218	. . . . . 6 ⊢ (𝑍 ∈ 𝑊 → ¬ 𝑅 ∈ NzRing)
10		drngnzr 20665	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ DivRing → 𝑅 ∈ NzRing)
11	9, 10	nsyl 140	. . . . 5 ⊢ (𝑍 ∈ 𝑊 → ¬ 𝑅 ∈ DivRing)
12	11	adantl 481	. . . 4 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑊) → ¬ 𝑅 ∈ DivRing)
13	6, 12	eqneltrrd 2854	. . 3 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑊) → ¬ (Scalar‘𝑀) ∈ DivRing)
14	13	intnand 488	. 2 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑊) → ¬ (𝑀 ∈ LMod ∧ (Scalar‘𝑀) ∈ DivRing))
15		df-nel 3034	. . 3 ⊢ (𝑀 ∉ LVec ↔ ¬ 𝑀 ∈ LVec)
16		eqid 2733	. . . 4 ⊢ (Scalar‘𝑀) = (Scalar‘𝑀)
17	16	islvec 21040	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ LVec ↔ (𝑀 ∈ LMod ∧ (Scalar‘𝑀) ∈ DivRing))
18	15, 17	xchbinx 334	. 2 ⊢ (𝑀 ∉ LVec ↔ ¬ (𝑀 ∈ LMod ∧ (Scalar‘𝑀) ∈ DivRing))
19	14, 18	sylibr 234	1 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑊) → 𝑀 ∉ LVec)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2113   ∉ wnel 3033  Vcvv 3437   ∪ cun 3896  {csn 4575  {ctp 4579  ⟨cop 4581  ‘cfv 6486  ndxcnx 17106  Basecbs 17122  +_gcplusg 17163  ._rcmulr 17164  Scalarcsca 17166   ·_𝑠 cvsca 17167  NzRingcnzr 20429  DivRingcdr 20646  LModclmod 20795  LVecclvec 21038

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-rep 5219  ax-sep 5236  ax-nul 5246  ax-pow 5305  ax-pr 5372  ax-un 7674  ax-cnex 11069  ax-resscn 11070  ax-1cn 11071  ax-icn 11072  ax-addcl 11073  ax-addrcl 11074  ax-mulcl 11075  ax-mulrcl 11076  ax-mulcom 11077  ax-addass 11078  ax-mulass 11079  ax-distr 11080  ax-i2m1 11081  ax-1ne0 11082  ax-1rid 11083  ax-rnegex 11084  ax-rrecex 11085  ax-cnre 11086  ax-pre-lttri 11087  ax-pre-lttrn 11088  ax-pre-ltadd 11089  ax-pre-mulgt0 11090

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2882  df-ne 2930  df-nel 3034  df-ral 3049  df-rex 3058  df-rmo 3347  df-reu 3348  df-rab 3397  df-v 3439  df-sbc 3738  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3918  df-nul 4283  df-if 4475  df-pw 4551  df-sn 4576  df-pr 4578  df-tp 4580  df-op 4582  df-uni 4859  df-int 4898  df-iun 4943  df-br 5094  df-opab 5156  df-mpt 5175  df-tr 5201  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6253  df-ord 6314  df-on 6315  df-lim 6316  df-suc 6317  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-riota 7309  df-ov 7355  df-oprab 7356  df-mpo 7357  df-om 7803  df-1st 7927  df-2nd 7928  df-tpos 8162  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8297  df-rdg 8335  df-1o 8391  df-oadd 8395  df-er 8628  df-en 8876  df-dom 8877  df-sdom 8878  df-fin 8879  df-dju 9801  df-card 9839  df-pnf 11155  df-mnf 11156  df-xr 11157  df-ltxr 11158  df-le 11159  df-sub 11353  df-neg 11354  df-nn 12133  df-2 12195  df-3 12196  df-4 12197  df-5 12198  df-6 12199  df-n0 12389  df-xnn0 12462  df-z 12476  df-uz 12739  df-fz 13410  df-hash 14240  df-struct 17060  df-sets 17077  df-slot 17095  df-ndx 17107  df-base 17123  df-plusg 17176  df-mulr 17177  df-sca 17179  df-vsca 17180  df-0g 17347  df-mgm 18550  df-sgrp 18629  df-mnd 18645  df-grp 18851  df-minusg 18852  df-cmn 19696  df-abl 19697  df-mgp 20061  df-rng 20073  df-ur 20102  df-ring 20155  df-oppr 20257  df-dvdsr 20277  df-unit 20278  df-nzr 20430  df-drng 20648  df-lvec 21039

This theorem is referenced by:  lvecpsslmod  48632