Theorem lvecdrng 21410

Description: The set of scalars of a left vector space is a division ring. (Contributed by NM, 17-Apr-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
islvec.1	⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
lvecdrng	⊢ (𝑊 ∈ LVec → 𝐹 ∈ DivRing)

Proof of Theorem lvecdrng

Step	Hyp	Ref	Expression
1		islvec.1	. . 3 ⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
2	1	islvec 21409	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ LVec ↔ (𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐹 ∈ DivRing))
3	2	simprbi 503	1 ⊢ (𝑊 ∈ LVec → 𝐹 ∈ DivRing)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2147  ‘cfv 6558  Scalarcsca 17460  DivRingcdr 21010  LModclmod 21165  LVecclvec 21407

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-ext 2735

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-sb 2102  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-rab 3417  df-v 3456  df-ss 3901  df-dif 4050  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-br 5107  df-iota 6512  df-fv 6566  df-lvec 21408

This theorem is used by:  lsslvec  21414  lvecvs0or  21416  lssvs0or  21418  lvecinv  21421  lspsnvs  21422  lspsneq  21430  lspfixed  21436  lspexch  21437  lspsolv  21451  islbs2  21462  islbs3  21463  obsne0  22061  islinds4  22171  nvctvc  25049  lssnvc  25051  cvsunit  25482  cvsdivcl  25484  cphsubrg  25531  cphreccl  25532  cphqss  25539  phclm  25583  ipcau2  25585  tcphcph  25588  hlprlem  25718  ishl2  25721  quslvec  33991  0nellinds  33996  lmhmlvec2  34321  dimlssid  34334  lfl1  40319  lkrsc  40346  eqlkr3  40350  lkrlsp  40351  lkrshp  40354  lduallvec  40403  dochkr1  42727  dochkr1OLDN  42728  lcfl7lem  42748  lclkrlem2m  42768  lclkrlem2o  42770  lclkrlem2p  42771  lcfrlem1  42791  lcfrlem2  42792  lcfrlem3  42793  lcfrlem29  42820  lcfrlem31  42822  lcfrlem33  42824  mapdpglem17N  42937  mapdpglem18  42938  mapdpglem19  42939  mapdpglem21  42941  mapdpglem22  42942  hdmapip1  43165  hgmapvvlem1  43172  hgmapvvlem2  43173  hgmapvvlem3  43174  prjspersym  43828  lincreslvec3  49799  isldepslvec2  49802