Theorem lvecdrng 21342

Description: The set of scalars of a left vector space is a division ring. (Contributed by NM, 17-Apr-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
islvec.1	⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
lvecdrng	⊢ (𝑊 ∈ LVec → 𝐹 ∈ DivRing)

Proof of Theorem lvecdrng

Step	Hyp	Ref	Expression
1		islvec.1	. . 3 ⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
2	1	islvec 21341	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ LVec ↔ (𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐹 ∈ DivRing))
3	2	simprbi 503	1 ⊢ (𝑊 ∈ LVec → 𝐹 ∈ DivRing)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ‘cfv 6527  Scalarcsca 17393  DivRingcdr 20942  LModclmod 21097  LVecclvec 21339

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-ext 2732

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-sb 2100  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-rab 3413  df-v 3452  df-dif 3901  df-un 3903  df-ss 3915  df-nul 4279  df-if 4482  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-uni 4867  df-br 5103  df-iota 6483  df-fv 6535  df-lvec 21340

This theorem is used by:  lsslvec  21346  lvecvs0or  21348  lssvs0or  21350  lvecinv  21353  lspsnvs  21354  lspsneq  21362  lspfixed  21368  lspexch  21369  lspsolv  21383  islbs2  21394  islbs3  21395  obsne0  21993  islinds4  22103  nvctvc  24981  lssnvc  24983  cvsunit  25414  cvsdivcl  25416  cphsubrg  25463  cphreccl  25464  cphqss  25471  phclm  25515  ipcau2  25517  tcphcph  25520  hlprlem  25650  ishl2  25653  quslvec  33855  0nellinds  33860  lmhmlvec2  34185  dimlssid  34198  lfl1  40047  lkrsc  40074  eqlkr3  40078  lkrlsp  40079  lkrshp  40082  lduallvec  40131  dochkr1  42455  dochkr1OLDN  42456  lcfl7lem  42476  lclkrlem2m  42496  lclkrlem2o  42498  lclkrlem2p  42499  lcfrlem1  42519  lcfrlem2  42520  lcfrlem3  42521  lcfrlem29  42548  lcfrlem31  42550  lcfrlem33  42552  mapdpglem17N  42665  mapdpglem18  42666  mapdpglem19  42667  mapdpglem21  42669  mapdpglem22  42670  hdmapip1  42893  hgmapvvlem1  42900  hgmapvvlem2  42901  hgmapvvlem3  42902  prjspersym  43557  lincreslvec3  49516  isldepslvec2  49519