Theorem lvecdrng 21012

Description: The set of scalars of a left vector space is a division ring. (Contributed by NM, 17-Apr-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
islvec.1	⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
lvecdrng	⊢ (𝑊 ∈ LVec → 𝐹 ∈ DivRing)

Proof of Theorem lvecdrng

Step	Hyp	Ref	Expression
1		islvec.1	. . 3 ⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
2	1	islvec 21011	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ LVec ↔ (𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐹 ∈ DivRing))
3	2	simprbi 496	1 ⊢ (𝑊 ∈ LVec → 𝐹 ∈ DivRing)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ‘cfv 6511  Scalarcsca 17223  DivRingcdr 20638  LModclmod 20766  LVecclvec 21009

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-ext 2701

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-sb 2066  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-rab 3406  df-v 3449  df-dif 3917  df-un 3919  df-ss 3931  df-nul 4297  df-if 4489  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-br 5108  df-iota 6464  df-fv 6519  df-lvec 21010

This theorem is referenced by:  lsslvec  21016  lvecvs0or  21018  lssvs0or  21020  lvecinv  21023  lspsnvs  21024  lspsneq  21032  lspfixed  21038  lspexch  21039  lspsolv  21053  islbs2  21064  islbs3  21065  obsne0  21634  islinds4  21744  nvctvc  24588  lssnvc  24590  cvsunit  25031  cvsdivcl  25033  cphsubrg  25080  cphreccl  25081  cphqss  25088  phclm  25132  ipcau2  25134  tcphcph  25137  hlprlem  25267  ishl2  25270  quslvec  33331  0nellinds  33341  lmhmlvec2  33615  dimlssid  33628  lfl1  39063  lkrsc  39090  eqlkr3  39094  lkrlsp  39095  lkrshp  39098  lduallvec  39147  dochkr1  41472  dochkr1OLDN  41473  lcfl7lem  41493  lclkrlem2m  41513  lclkrlem2o  41515  lclkrlem2p  41516  lcfrlem1  41536  lcfrlem2  41537  lcfrlem3  41538  lcfrlem29  41565  lcfrlem31  41567  lcfrlem33  41569  mapdpglem17N  41682  mapdpglem18  41683  mapdpglem19  41684  mapdpglem21  41686  mapdpglem22  41687  hdmapip1  41910  hgmapvvlem1  41917  hgmapvvlem2  41918  hgmapvvlem3  41919  prjspersym  42595  lincreslvec3  48471  isldepslvec2  48474