Theorem lvecdrng 20715

Description: The set of scalars of a left vector space is a division ring. (Contributed by NM, 17-Apr-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
islvec.1	⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
lvecdrng	⊢ (𝑊 ∈ LVec → 𝐹 ∈ DivRing)

Proof of Theorem lvecdrng

Step	Hyp	Ref	Expression
1		islvec.1	. . 3 ⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
2	1	islvec 20714	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ LVec ↔ (𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐹 ∈ DivRing))
3	2	simprbi 497	1 ⊢ (𝑊 ∈ LVec → 𝐹 ∈ DivRing)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  ‘cfv 6543  Scalarcsca 17199  DivRingcdr 20356  LModclmod 20470  LVecclvec 20712

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-ext 2703

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-sb 2068  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-rab 3433  df-v 3476  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-nul 4323  df-if 4529  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-br 5149  df-iota 6495  df-fv 6551  df-lvec 20713

This theorem is referenced by:  lsslvec  20718  lvecvs0or  20720  lssvs0or  20722  lvecinv  20725  lspsnvs  20726  lspsneq  20734  lspfixed  20740  lspexch  20741  lspsolv  20755  islbs2  20766  islbs3  20767  obsne0  21279  islinds4  21389  nvctvc  24216  lssnvc  24218  cvsunit  24646  cvsdivcl  24648  cphsubrg  24696  cphreccl  24697  cphqss  24704  phclm  24748  ipcau2  24750  tcphcph  24753  hlprlem  24883  ishl2  24886  quslvec  32466  0nellinds  32478  lmhmlvec2  32699  lfl1  37935  lkrsc  37962  eqlkr3  37966  lkrlsp  37967  lkrshp  37970  lduallvec  38019  dochkr1  40344  dochkr1OLDN  40345  lcfl7lem  40365  lclkrlem2m  40385  lclkrlem2o  40387  lclkrlem2p  40388  lcfrlem1  40408  lcfrlem2  40409  lcfrlem3  40410  lcfrlem29  40437  lcfrlem31  40439  lcfrlem33  40441  mapdpglem17N  40554  mapdpglem18  40555  mapdpglem19  40556  mapdpglem21  40558  mapdpglem22  40559  hdmapip1  40782  hgmapvvlem1  40789  hgmapvvlem2  40790  hgmapvvlem3  40791  prjspersym  41350  lincreslvec3  47153  isldepslvec2  47156