Theorem lvecdrng 20721

Description: The set of scalars of a left vector space is a division ring. (Contributed by NM, 17-Apr-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
islvec.1	⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
lvecdrng	⊢ (𝑊 ∈ LVec → 𝐹 ∈ DivRing)

Proof of Theorem lvecdrng

Step	Hyp	Ref	Expression
1		islvec.1	. . 3 ⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
2	1	islvec 20720	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ LVec ↔ (𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐹 ∈ DivRing))
3	2	simprbi 497	1 ⊢ (𝑊 ∈ LVec → 𝐹 ∈ DivRing)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  ‘cfv 6543  Scalarcsca 17202  DivRingcdr 20361  LModclmod 20475  LVecclvec 20718

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-ext 2703

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-sb 2068  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-rab 3433  df-v 3476  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-nul 4323  df-if 4529  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-br 5149  df-iota 6495  df-fv 6551  df-lvec 20719

This theorem is referenced by:  lsslvec  20725  lvecvs0or  20727  lssvs0or  20729  lvecinv  20732  lspsnvs  20733  lspsneq  20741  lspfixed  20747  lspexch  20748  lspsolv  20762  islbs2  20773  islbs3  20774  obsne0  21286  islinds4  21396  nvctvc  24224  lssnvc  24226  cvsunit  24654  cvsdivcl  24656  cphsubrg  24704  cphreccl  24705  cphqss  24712  phclm  24756  ipcau2  24758  tcphcph  24761  hlprlem  24891  ishl2  24894  quslvec  32516  0nellinds  32528  lmhmlvec2  32763  lfl1  38026  lkrsc  38053  eqlkr3  38057  lkrlsp  38058  lkrshp  38061  lduallvec  38110  dochkr1  40435  dochkr1OLDN  40436  lcfl7lem  40456  lclkrlem2m  40476  lclkrlem2o  40478  lclkrlem2p  40479  lcfrlem1  40499  lcfrlem2  40500  lcfrlem3  40501  lcfrlem29  40528  lcfrlem31  40530  lcfrlem33  40532  mapdpglem17N  40645  mapdpglem18  40646  mapdpglem19  40647  mapdpglem21  40649  mapdpglem22  40650  hdmapip1  40873  hgmapvvlem1  40880  hgmapvvlem2  40881  hgmapvvlem3  40882  prjspersym  41431  lincreslvec3  47241  isldepslvec2  47244