Theorem lvecdrng 21195

Description: The set of scalars of a left vector space is a division ring. (Contributed by NM, 17-Apr-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
islvec.1	⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
lvecdrng	⊢ (𝑊 ∈ LVec → 𝐹 ∈ DivRing)

Proof of Theorem lvecdrng

Step	Hyp	Ref	Expression
1		islvec.1	. . 3 ⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
2	1	islvec 21194	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ LVec ↔ (𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐹 ∈ DivRing))
3	2	simprbi 502	1 ⊢ (𝑊 ∈ LVec → 𝐹 ∈ DivRing)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1563   ∈ wcel 2145  ‘cfv 6525  Scalarcsca 17303  DivRingcdr 20804  LModclmod 20950  LVecclvec 21192

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1818  ax-4 1832  ax-5 1933  ax-6 1990  ax-7 2031  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-ext 2737

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3an 1103  df-tru 1566  df-fal 1576  df-ex 1803  df-sb 2094  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-rab 3418  df-v 3459  df-dif 3910  df-un 3912  df-ss 3924  df-nul 4289  df-if 4484  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4869  df-br 5106  df-iota 6481  df-fv 6533  df-lvec 21193

This theorem is referenced by:  lsslvec  21199  lvecvs0or  21201  lssvs0or  21203  lvecinv  21206  lspsnvs  21207  lspsneq  21215  lspfixed  21221  lspexch  21222  lspsolv  21236  islbs2  21247  islbs3  21248  obsne0  21835  islinds4  21945  nvctvc  24818  lssnvc  24820  cvsunit  25251  cvsdivcl  25253  cphsubrg  25300  cphreccl  25301  cphqss  25308  phclm  25352  ipcau2  25354  tcphcph  25357  hlprlem  25487  ishl2  25490  quslvec  33595  0nellinds  33600  lmhmlvec2  33926  dimlssid  33939  lfl1  39706  lkrsc  39733  eqlkr3  39737  lkrlsp  39738  lkrshp  39741  lduallvec  39790  dochkr1  42114  dochkr1OLDN  42115  lcfl7lem  42135  lclkrlem2m  42155  lclkrlem2o  42157  lclkrlem2p  42158  lcfrlem1  42178  lcfrlem2  42179  lcfrlem3  42180  lcfrlem29  42207  lcfrlem31  42209  lcfrlem33  42211  mapdpglem17N  42324  mapdpglem18  42325  mapdpglem19  42326  mapdpglem21  42328  mapdpglem22  42329  hdmapip1  42552  hgmapvvlem1  42559  hgmapvvlem2  42560  hgmapvvlem3  42561  prjspersym  43201  lincreslvec3  49113  isldepslvec2  49116