Theorem lvecdrng 21057

Description: The set of scalars of a left vector space is a division ring. (Contributed by NM, 17-Apr-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
islvec.1	⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
lvecdrng	⊢ (𝑊 ∈ LVec → 𝐹 ∈ DivRing)

Proof of Theorem lvecdrng

Step	Hyp	Ref	Expression
1		islvec.1	. . 3 ⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
2	1	islvec 21056	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ LVec ↔ (𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐹 ∈ DivRing))
3	2	simprbi 496	1 ⊢ (𝑊 ∈ LVec → 𝐹 ∈ DivRing)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  ‘cfv 6492  Scalarcsca 17180  DivRingcdr 20662  LModclmod 20811  LVecclvec 21054

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-ext 2708

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-sb 2068  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-rab 3400  df-v 3442  df-dif 3904  df-un 3906  df-ss 3918  df-nul 4286  df-if 4480  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-br 5099  df-iota 6448  df-fv 6500  df-lvec 21055

This theorem is referenced by:  lsslvec  21061  lvecvs0or  21063  lssvs0or  21065  lvecinv  21068  lspsnvs  21069  lspsneq  21077  lspfixed  21083  lspexch  21084  lspsolv  21098  islbs2  21109  islbs3  21110  obsne0  21680  islinds4  21790  nvctvc  24644  lssnvc  24646  cvsunit  25087  cvsdivcl  25089  cphsubrg  25136  cphreccl  25137  cphqss  25144  phclm  25188  ipcau2  25190  tcphcph  25193  hlprlem  25323  ishl2  25326  quslvec  33441  0nellinds  33451  lmhmlvec2  33776  dimlssid  33789  lfl1  39330  lkrsc  39357  eqlkr3  39361  lkrlsp  39362  lkrshp  39365  lduallvec  39414  dochkr1  41738  dochkr1OLDN  41739  lcfl7lem  41759  lclkrlem2m  41779  lclkrlem2o  41781  lclkrlem2p  41782  lcfrlem1  41802  lcfrlem2  41803  lcfrlem3  41804  lcfrlem29  41831  lcfrlem31  41833  lcfrlem33  41835  mapdpglem17N  41948  mapdpglem18  41949  mapdpglem19  41950  mapdpglem21  41952  mapdpglem22  41953  hdmapip1  42176  hgmapvvlem1  42183  hgmapvvlem2  42184  hgmapvvlem3  42185  prjspersym  42850  lincreslvec3  48728  isldepslvec2  48731