Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  matdim Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem matdim 32700
Description: Dimension of the space of square matrices. (Contributed by Thierry Arnoux, 20-May-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
matdim.a 𝐴 = (𝐼 Mat 𝑅)
matdim.n 𝑁 = (β™―β€˜πΌ)
Assertion
Ref Expression
matdim ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ DivRing) β†’ (dimβ€˜π΄) = (𝑁 Β· 𝑁))

Proof of Theorem matdim
Dummy variables π‘₯ 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpr 486 . . . 4 ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ DivRing) β†’ 𝑅 ∈ DivRing)
2 simpl 484 . . . . 5 ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ DivRing) β†’ 𝐼 ∈ Fin)
3 xpfi 9317 . . . . 5 ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝐼 ∈ Fin) β†’ (𝐼 Γ— 𝐼) ∈ Fin)
42, 2, 3syl2anc 585 . . . 4 ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ DivRing) β†’ (𝐼 Γ— 𝐼) ∈ Fin)
5 eqid 2733 . . . . 5 (𝑅 freeLMod (𝐼 Γ— 𝐼)) = (𝑅 freeLMod (𝐼 Γ— 𝐼))
65frlmdim 32696 . . . 4 ((𝑅 ∈ DivRing ∧ (𝐼 Γ— 𝐼) ∈ Fin) β†’ (dimβ€˜(𝑅 freeLMod (𝐼 Γ— 𝐼))) = (β™―β€˜(𝐼 Γ— 𝐼)))
71, 4, 6syl2anc 585 . . 3 ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ DivRing) β†’ (dimβ€˜(𝑅 freeLMod (𝐼 Γ— 𝐼))) = (β™―β€˜(𝐼 Γ— 𝐼)))
8 matdim.a . . . . . 6 𝐴 = (𝐼 Mat 𝑅)
98, 5matbas 21913 . . . . 5 ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ DivRing) β†’ (Baseβ€˜(𝑅 freeLMod (𝐼 Γ— 𝐼))) = (Baseβ€˜π΄))
109eqcomd 2739 . . . 4 ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ DivRing) β†’ (Baseβ€˜π΄) = (Baseβ€˜(𝑅 freeLMod (𝐼 Γ— 𝐼))))
11 eqidd 2734 . . . 4 ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ DivRing) β†’ (Baseβ€˜π΄) = (Baseβ€˜π΄))
12 ssidd 4006 . . . 4 ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ DivRing) β†’ (Baseβ€˜π΄) βŠ† (Baseβ€˜π΄))
138, 5matplusg 21914 . . . . 5 ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ DivRing) β†’ (+gβ€˜(𝑅 freeLMod (𝐼 Γ— 𝐼))) = (+gβ€˜π΄))
1413oveqdr 7437 . . . 4 (((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ DivRing) ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π΄) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜π΄))) β†’ (π‘₯(+gβ€˜(𝑅 freeLMod (𝐼 Γ— 𝐼)))𝑦) = (π‘₯(+gβ€˜π΄)𝑦))
155frlmlvec 21316 . . . . . . . . 9 ((𝑅 ∈ DivRing ∧ (𝐼 Γ— 𝐼) ∈ Fin) β†’ (𝑅 freeLMod (𝐼 Γ— 𝐼)) ∈ LVec)
161, 4, 15syl2anc 585 . . . . . . . 8 ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ DivRing) β†’ (𝑅 freeLMod (𝐼 Γ— 𝐼)) ∈ LVec)
17 lveclmod 20717 . . . . . . . 8 ((𝑅 freeLMod (𝐼 Γ— 𝐼)) ∈ LVec β†’ (𝑅 freeLMod (𝐼 Γ— 𝐼)) ∈ LMod)
1816, 17syl 17 . . . . . . 7 ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ DivRing) β†’ (𝑅 freeLMod (𝐼 Γ— 𝐼)) ∈ LMod)
1918adantr 482 . . . . . 6 (((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ DivRing) ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π΄)) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜π΄))) β†’ (𝑅 freeLMod (𝐼 Γ— 𝐼)) ∈ LMod)
20 simprl 770 . . . . . . 7 (((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ DivRing) ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π΄)) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜π΄))) β†’ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π΄)))
218, 5matsca 21915 . . . . . . . . . 10 ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ DivRing) β†’ (Scalarβ€˜(𝑅 freeLMod (𝐼 Γ— 𝐼))) = (Scalarβ€˜π΄))
2221fveq2d 6896 . . . . . . . . 9 ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ DivRing) β†’ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜(𝑅 freeLMod (𝐼 Γ— 𝐼)))) = (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π΄)))
2322eqcomd 2739 . . . . . . . 8 ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ DivRing) β†’ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π΄)) = (Baseβ€˜(Scalarβ€˜(𝑅 freeLMod (𝐼 Γ— 𝐼)))))
2423adantr 482 . . . . . . 7 (((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ DivRing) ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π΄)) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜π΄))) β†’ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π΄)) = (Baseβ€˜(Scalarβ€˜(𝑅 freeLMod (𝐼 Γ— 𝐼)))))
2520, 24eleqtrd 2836 . . . . . 6 (((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ DivRing) ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π΄)) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜π΄))) β†’ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜(𝑅 freeLMod (𝐼 Γ— 𝐼)))))
26 simprr 772 . . . . . . 7 (((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ DivRing) ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π΄)) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜π΄))) β†’ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜π΄))
2710adantr 482 . . . . . . 7 (((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ DivRing) ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π΄)) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜π΄))) β†’ (Baseβ€˜π΄) = (Baseβ€˜(𝑅 freeLMod (𝐼 Γ— 𝐼))))
2826, 27eleqtrd 2836 . . . . . 6 (((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ DivRing) ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π΄)) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜π΄))) β†’ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜(𝑅 freeLMod (𝐼 Γ— 𝐼))))
29 eqid 2733 . . . . . . 7 (Baseβ€˜(𝑅 freeLMod (𝐼 Γ— 𝐼))) = (Baseβ€˜(𝑅 freeLMod (𝐼 Γ— 𝐼)))
30 eqid 2733 . . . . . . 7 (Scalarβ€˜(𝑅 freeLMod (𝐼 Γ— 𝐼))) = (Scalarβ€˜(𝑅 freeLMod (𝐼 Γ— 𝐼)))
31 eqid 2733 . . . . . . 7 ( ·𝑠 β€˜(𝑅 freeLMod (𝐼 Γ— 𝐼))) = ( ·𝑠 β€˜(𝑅 freeLMod (𝐼 Γ— 𝐼)))
32 eqid 2733 . . . . . . 7 (Baseβ€˜(Scalarβ€˜(𝑅 freeLMod (𝐼 Γ— 𝐼)))) = (Baseβ€˜(Scalarβ€˜(𝑅 freeLMod (𝐼 Γ— 𝐼))))
3329, 30, 31, 32lmodvscl 20489 . . . . . 6 (((𝑅 freeLMod (𝐼 Γ— 𝐼)) ∈ LMod ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜(𝑅 freeLMod (𝐼 Γ— 𝐼)))) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜(𝑅 freeLMod (𝐼 Γ— 𝐼)))) β†’ (π‘₯( ·𝑠 β€˜(𝑅 freeLMod (𝐼 Γ— 𝐼)))𝑦) ∈ (Baseβ€˜(𝑅 freeLMod (𝐼 Γ— 𝐼))))
3419, 25, 28, 33syl3anc 1372 . . . . 5 (((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ DivRing) ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π΄)) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜π΄))) β†’ (π‘₯( ·𝑠 β€˜(𝑅 freeLMod (𝐼 Γ— 𝐼)))𝑦) ∈ (Baseβ€˜(𝑅 freeLMod (𝐼 Γ— 𝐼))))
3534, 27eleqtrrd 2837 . . . 4 (((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ DivRing) ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π΄)) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜π΄))) β†’ (π‘₯( ·𝑠 β€˜(𝑅 freeLMod (𝐼 Γ— 𝐼)))𝑦) ∈ (Baseβ€˜π΄))
368, 5matvsca 21917 . . . . 5 ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ DivRing) β†’ ( ·𝑠 β€˜(𝑅 freeLMod (𝐼 Γ— 𝐼))) = ( ·𝑠 β€˜π΄))
3736oveqdr 7437 . . . 4 (((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ DivRing) ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π΄)) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜π΄))) β†’ (π‘₯( ·𝑠 β€˜(𝑅 freeLMod (𝐼 Γ— 𝐼)))𝑦) = (π‘₯( ·𝑠 β€˜π΄)𝑦))
38 eqid 2733 . . . 4 (Scalarβ€˜π΄) = (Scalarβ€˜π΄)
39 eqidd 2734 . . . 4 ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ DivRing) β†’ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π΄)) = (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π΄)))
4021fveq2d 6896 . . . . 5 ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ DivRing) β†’ (+gβ€˜(Scalarβ€˜(𝑅 freeLMod (𝐼 Γ— 𝐼)))) = (+gβ€˜(Scalarβ€˜π΄)))
4140oveqdr 7437 . . . 4 (((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ DivRing) ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π΄)) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π΄)))) β†’ (π‘₯(+gβ€˜(Scalarβ€˜(𝑅 freeLMod (𝐼 Γ— 𝐼))))𝑦) = (π‘₯(+gβ€˜(Scalarβ€˜π΄))𝑦))
42 drngring 20364 . . . . . 6 (𝑅 ∈ DivRing β†’ 𝑅 ∈ Ring)
438matlmod 21931 . . . . . 6 ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) β†’ 𝐴 ∈ LMod)
4442, 43sylan2 594 . . . . 5 ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ DivRing) β†’ 𝐴 ∈ LMod)
458matsca2 21922 . . . . . 6 ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ DivRing) β†’ 𝑅 = (Scalarβ€˜π΄))
4645, 1eqeltrrd 2835 . . . . 5 ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ DivRing) β†’ (Scalarβ€˜π΄) ∈ DivRing)
4738islvec 20715 . . . . 5 (𝐴 ∈ LVec ↔ (𝐴 ∈ LMod ∧ (Scalarβ€˜π΄) ∈ DivRing))
4844, 46, 47sylanbrc 584 . . . 4 ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ DivRing) β†’ 𝐴 ∈ LVec)
4910, 11, 12, 14, 35, 37, 30, 38, 23, 39, 41, 16, 48dimpropd 32693 . . 3 ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ DivRing) β†’ (dimβ€˜(𝑅 freeLMod (𝐼 Γ— 𝐼))) = (dimβ€˜π΄))
50 hashxp 14394 . . . 4 ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝐼 ∈ Fin) β†’ (β™―β€˜(𝐼 Γ— 𝐼)) = ((β™―β€˜πΌ) Β· (β™―β€˜πΌ)))
512, 2, 50syl2anc 585 . . 3 ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ DivRing) β†’ (β™―β€˜(𝐼 Γ— 𝐼)) = ((β™―β€˜πΌ) Β· (β™―β€˜πΌ)))
527, 49, 513eqtr3d 2781 . 2 ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ DivRing) β†’ (dimβ€˜π΄) = ((β™―β€˜πΌ) Β· (β™―β€˜πΌ)))
53 matdim.n . . 3 𝑁 = (β™―β€˜πΌ)
5453, 53oveq12i 7421 . 2 (𝑁 Β· 𝑁) = ((β™―β€˜πΌ) Β· (β™―β€˜πΌ))
5552, 54eqtr4di 2791 1 ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ DivRing) β†’ (dimβ€˜π΄) = (𝑁 Β· 𝑁))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   Γ— cxp 5675  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7409  Fincfn 8939   Β· cmul 11115  β™―chash 14290  Basecbs 17144  +gcplusg 17197  Scalarcsca 17200   ·𝑠 cvsca 17201  Ringcrg 20056  DivRingcdr 20357  LModclmod 20471  LVecclvec 20713   freeLMod cfrlm 21301   Mat cmat 21907  dimcldim 32684
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-reg 9587  ax-inf2 9636  ax-ac2 10458  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-tp 4634  df-op 4636  df-ot 4638  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-iin 5001  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-se 5633  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-isom 6553  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-of 7670  df-rpss 7713  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-supp 8147  df-tpos 8211  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-1o 8466  df-oadd 8470  df-er 8703  df-map 8822  df-ixp 8892  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-fsupp 9362  df-sup 9437  df-oi 9505  df-r1 9759  df-rank 9760  df-dju 9896  df-card 9934  df-acn 9937  df-ac 10111  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-nn 12213  df-2 12275  df-3 12276  df-4 12277  df-5 12278  df-6 12279  df-7 12280  df-8 12281  df-9 12282  df-n0 12473  df-xnn0 12545  df-z 12559  df-dec 12678  df-uz 12823  df-fz 13485  df-fzo 13628  df-seq 13967  df-hash 14291  df-struct 17080  df-sets 17097  df-slot 17115  df-ndx 17127  df-base 17145  df-ress 17174  df-plusg 17210  df-mulr 17211  df-sca 17213  df-vsca 17214  df-ip 17215  df-tset 17216  df-ple 17217  df-ocomp 17218  df-ds 17219  df-hom 17221  df-cco 17222  df-0g 17387  df-gsum 17388  df-prds 17393  df-pws 17395  df-mre 17530  df-mrc 17531  df-mri 17532  df-acs 17533  df-proset 18248  df-drs 18249  df-poset 18266  df-ipo 18481  df-mgm 18561  df-sgrp 18610  df-mnd 18626  df-mhm 18671  df-submnd 18672  df-grp 18822  df-minusg 18823  df-sbg 18824  df-mulg 18951  df-subg 19003  df-ghm 19090  df-cntz 19181  df-cmn 19650  df-abl 19651  df-mgp 19988  df-ur 20005  df-ring 20058  df-oppr 20150  df-dvdsr 20171  df-unit 20172  df-invr 20202  df-nzr 20292  df-subrg 20317  df-drng 20359  df-lmod 20473  df-lss 20543  df-lsp 20583  df-lmhm 20633  df-lbs 20686  df-lvec 20714  df-sra 20785  df-rgmod 20786  df-dsmm 21287  df-frlm 21302  df-uvc 21338  df-mat 21908  df-dim 32685
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator