Theorem matdim 33666

Description: Dimension of the space of square matrices. (Contributed by Thierry Arnoux, 20-May-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
matdim.a	⊢ 𝐴 = (𝐼 Mat 𝑅)
matdim.n	⊢ 𝑁 = (♯‘𝐼)

Assertion

Ref	Expression
matdim	⊢ ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ DivRing) → (dim‘𝐴) = (𝑁 · 𝑁))

Proof of Theorem matdim

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 484	. . . 4 ⊢ ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ DivRing) → 𝑅 ∈ DivRing)
2		simpl 482	. . . . 5 ⊢ ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ DivRing) → 𝐼 ∈ Fin)
3		xpfi 9358	. . . . 5 ⊢ ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝐼 ∈ Fin) → (𝐼 × 𝐼) ∈ Fin)
4	2, 2, 3	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ DivRing) → (𝐼 × 𝐼) ∈ Fin)
5		eqid 2737	. . . . 5 ⊢ (𝑅 freeLMod (𝐼 × 𝐼)) = (𝑅 freeLMod (𝐼 × 𝐼))
6	5	frlmdim 33662	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ (𝐼 × 𝐼) ∈ Fin) → (dim‘(𝑅 freeLMod (𝐼 × 𝐼))) = (♯‘(𝐼 × 𝐼)))
7	1, 4, 6	syl2anc 584	. . 3 ⊢ ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ DivRing) → (dim‘(𝑅 freeLMod (𝐼 × 𝐼))) = (♯‘(𝐼 × 𝐼)))
8		matdim.a	. . . . . 6 ⊢ 𝐴 = (𝐼 Mat 𝑅)
9	8, 5	matbas 22417	. . . . 5 ⊢ ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ DivRing) → (Base‘(𝑅 freeLMod (𝐼 × 𝐼))) = (Base‘𝐴))
10	9	eqcomd 2743	. . . 4 ⊢ ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ DivRing) → (Base‘𝐴) = (Base‘(𝑅 freeLMod (𝐼 × 𝐼))))
11		eqidd 2738	. . . 4 ⊢ ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ DivRing) → (Base‘𝐴) = (Base‘𝐴))
12		ssidd 4007	. . . 4 ⊢ ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ DivRing) → (Base‘𝐴) ⊆ (Base‘𝐴))
13	8, 5	matplusg 22418	. . . . 5 ⊢ ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ DivRing) → (+g‘(𝑅 freeLMod (𝐼 × 𝐼))) = (+g‘𝐴))
14	13	oveqdr 7459	. . . 4 ⊢ (((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ DivRing) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐴) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐴))) → (𝑥(+g‘(𝑅 freeLMod (𝐼 × 𝐼)))𝑦) = (𝑥(+g‘𝐴)𝑦))
15	5	frlmlvec 21781	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ (𝐼 × 𝐼) ∈ Fin) → (𝑅 freeLMod (𝐼 × 𝐼)) ∈ LVec)
16	1, 4, 15	syl2anc 584	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ DivRing) → (𝑅 freeLMod (𝐼 × 𝐼)) ∈ LVec)
17		lveclmod 21105	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 freeLMod (𝐼 × 𝐼)) ∈ LVec → (𝑅 freeLMod (𝐼 × 𝐼)) ∈ LMod)
18	16, 17	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ DivRing) → (𝑅 freeLMod (𝐼 × 𝐼)) ∈ LMod)
19	18	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ (((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ DivRing) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐴)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐴))) → (𝑅 freeLMod (𝐼 × 𝐼)) ∈ LMod)
20		simprl 771	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ DivRing) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐴)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐴))) → 𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐴)))
21	8, 5	matsca 22419	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ DivRing) → (Scalar‘(𝑅 freeLMod (𝐼 × 𝐼))) = (Scalar‘𝐴))
22	21	fveq2d 6910	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ DivRing) → (Base‘(Scalar‘(𝑅 freeLMod (𝐼 × 𝐼)))) = (Base‘(Scalar‘𝐴)))
23	22	eqcomd 2743	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ DivRing) → (Base‘(Scalar‘𝐴)) = (Base‘(Scalar‘(𝑅 freeLMod (𝐼 × 𝐼)))))
24	23	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ DivRing) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐴)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐴))) → (Base‘(Scalar‘𝐴)) = (Base‘(Scalar‘(𝑅 freeLMod (𝐼 × 𝐼)))))
25	20, 24	eleqtrd 2843	. . . . . 6 ⊢ (((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ DivRing) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐴)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐴))) → 𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘(𝑅 freeLMod (𝐼 × 𝐼)))))
26		simprr 773	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ DivRing) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐴)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐴))) → 𝑦 ∈ (Base‘𝐴))
27	10	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ DivRing) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐴)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐴))) → (Base‘𝐴) = (Base‘(𝑅 freeLMod (𝐼 × 𝐼))))
28	26, 27	eleqtrd 2843	. . . . . 6 ⊢ (((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ DivRing) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐴)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐴))) → 𝑦 ∈ (Base‘(𝑅 freeLMod (𝐼 × 𝐼))))
29		eqid 2737	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘(𝑅 freeLMod (𝐼 × 𝐼))) = (Base‘(𝑅 freeLMod (𝐼 × 𝐼)))
30		eqid 2737	. . . . . . 7 ⊢ (Scalar‘(𝑅 freeLMod (𝐼 × 𝐼))) = (Scalar‘(𝑅 freeLMod (𝐼 × 𝐼)))
31		eqid 2737	. . . . . . 7 ⊢ ( ·𝑠 ‘(𝑅 freeLMod (𝐼 × 𝐼))) = ( ·𝑠 ‘(𝑅 freeLMod (𝐼 × 𝐼)))
32		eqid 2737	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘(Scalar‘(𝑅 freeLMod (𝐼 × 𝐼)))) = (Base‘(Scalar‘(𝑅 freeLMod (𝐼 × 𝐼))))
33	29, 30, 31, 32	lmodvscl 20876	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 freeLMod (𝐼 × 𝐼)) ∈ LMod ∧ 𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘(𝑅 freeLMod (𝐼 × 𝐼)))) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘(𝑅 freeLMod (𝐼 × 𝐼)))) → (𝑥( ·𝑠 ‘(𝑅 freeLMod (𝐼 × 𝐼)))𝑦) ∈ (Base‘(𝑅 freeLMod (𝐼 × 𝐼))))
34	19, 25, 28, 33	syl3anc 1373	. . . . 5 ⊢ (((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ DivRing) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐴)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐴))) → (𝑥( ·𝑠 ‘(𝑅 freeLMod (𝐼 × 𝐼)))𝑦) ∈ (Base‘(𝑅 freeLMod (𝐼 × 𝐼))))
35	34, 27	eleqtrrd 2844	. . . 4 ⊢ (((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ DivRing) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐴)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐴))) → (𝑥( ·𝑠 ‘(𝑅 freeLMod (𝐼 × 𝐼)))𝑦) ∈ (Base‘𝐴))
36	8, 5	matvsca 22421	. . . . 5 ⊢ ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ DivRing) → ( ·𝑠 ‘(𝑅 freeLMod (𝐼 × 𝐼))) = ( ·𝑠 ‘𝐴))
37	36	oveqdr 7459	. . . 4 ⊢ (((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ DivRing) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐴)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐴))) → (𝑥( ·𝑠 ‘(𝑅 freeLMod (𝐼 × 𝐼)))𝑦) = (𝑥( ·𝑠 ‘𝐴)𝑦))
38		eqid 2737	. . . 4 ⊢ (Scalar‘𝐴) = (Scalar‘𝐴)
39		eqidd 2738	. . . 4 ⊢ ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ DivRing) → (Base‘(Scalar‘𝐴)) = (Base‘(Scalar‘𝐴)))
40	21	fveq2d 6910	. . . . 5 ⊢ ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ DivRing) → (+g‘(Scalar‘(𝑅 freeLMod (𝐼 × 𝐼)))) = (+g‘(Scalar‘𝐴)))
41	40	oveqdr 7459	. . . 4 ⊢ (((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ DivRing) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐴)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐴)))) → (𝑥(+g‘(Scalar‘(𝑅 freeLMod (𝐼 × 𝐼))))𝑦) = (𝑥(+g‘(Scalar‘𝐴))𝑦))
42		drngring 20736	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ DivRing → 𝑅 ∈ Ring)
43	8	matlmod 22435	. . . . . 6 ⊢ ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝐴 ∈ LMod)
44	42, 43	sylan2 593	. . . . 5 ⊢ ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ DivRing) → 𝐴 ∈ LMod)
45	8	matsca2 22426	. . . . . 6 ⊢ ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ DivRing) → 𝑅 = (Scalar‘𝐴))
46	45, 1	eqeltrrd 2842	. . . . 5 ⊢ ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ DivRing) → (Scalar‘𝐴) ∈ DivRing)
47	38	islvec 21103	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ LVec ↔ (𝐴 ∈ LMod ∧ (Scalar‘𝐴) ∈ DivRing))
48	44, 46, 47	sylanbrc 583	. . . 4 ⊢ ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ DivRing) → 𝐴 ∈ LVec)
49	10, 11, 12, 14, 35, 37, 30, 38, 23, 39, 41, 16, 48	dimpropd 33659	. . 3 ⊢ ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ DivRing) → (dim‘(𝑅 freeLMod (𝐼 × 𝐼))) = (dim‘𝐴))
50		hashxp 14473	. . . 4 ⊢ ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝐼 ∈ Fin) → (♯‘(𝐼 × 𝐼)) = ((♯‘𝐼) · (♯‘𝐼)))
51	2, 2, 50	syl2anc 584	. . 3 ⊢ ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ DivRing) → (♯‘(𝐼 × 𝐼)) = ((♯‘𝐼) · (♯‘𝐼)))
52	7, 49, 51	3eqtr3d 2785	. 2 ⊢ ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ DivRing) → (dim‘𝐴) = ((♯‘𝐼) · (♯‘𝐼)))
53		matdim.n	. . 3 ⊢ 𝑁 = (♯‘𝐼)
54	53, 53	oveq12i 7443	. 2 ⊢ (𝑁 · 𝑁) = ((♯‘𝐼) · (♯‘𝐼))
55	52, 54	eqtr4di 2795	1 ⊢ ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ DivRing) → (dim‘𝐴) = (𝑁 · 𝑁))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2108   × cxp 5683  ‘cfv 6561  (class class class)co 7431  Fincfn 8985   · cmul 11160  ♯chash 14369  Basecbs 17247  +_gcplusg 17297  Scalarcsca 17300   ·_𝑠 cvsca 17301  Ringcrg 20230  DivRingcdr 20729  LModclmod 20858  LVecclvec 21101   freeLMod cfrlm 21766   Mat cmat 22411  dimcldim 33649

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-reg 9632  ax-inf2 9681  ax-ac2 10503  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-tp 4631  df-op 4633  df-ot 4635  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-iin 4994  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-isom 6570  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-of 7697  df-rpss 7743  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-supp 8186  df-tpos 8251  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-2o 8507  df-oadd 8510  df-er 8745  df-map 8868  df-ixp 8938  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-fsupp 9402  df-sup 9482  df-oi 9550  df-r1 9804  df-rank 9805  df-dju 9941  df-card 9979  df-acn 9982  df-ac 10156  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-4 12331  df-5 12332  df-6 12333  df-7 12334  df-8 12335  df-9 12336  df-n0 12527  df-xnn0 12600  df-z 12614  df-dec 12734  df-uz 12879  df-fz 13548  df-fzo 13695  df-seq 14043  df-hash 14370  df-struct 17184  df-sets 17201  df-slot 17219  df-ndx 17231  df-base 17248  df-ress 17275  df-plusg 17310  df-mulr 17311  df-sca 17313  df-vsca 17314  df-ip 17315  df-tset 17316  df-ple 17317  df-ocomp 17318  df-ds 17319  df-hom 17321  df-cco 17322  df-0g 17486  df-gsum 17487  df-prds 17492  df-pws 17494  df-mre 17629  df-mrc 17630  df-mri 17631  df-acs 17632  df-proset 18340  df-drs 18341  df-poset 18359  df-ipo 18573  df-mgm 18653  df-sgrp 18732  df-mnd 18748  df-mhm 18796  df-submnd 18797  df-grp 18954  df-minusg 18955  df-sbg 18956  df-mulg 19086  df-subg 19141  df-ghm 19231  df-cntz 19335  df-cmn 19800  df-abl 19801  df-mgp 20138  df-rng 20150  df-ur 20179  df-ring 20232  df-oppr 20334  df-dvdsr 20357  df-unit 20358  df-invr 20388  df-nzr 20513  df-subrg 20570  df-drng 20731  df-lmod 20860  df-lss 20930  df-lsp 20970  df-lmhm 21021  df-lbs 21074  df-lvec 21102  df-sra 21172  df-rgmod 21173  df-dsmm 21752  df-frlm 21767  df-uvc 21803  df-mat 22412  df-dim 33650

This theorem is referenced by: (None)