Theorem matdim 33582

Description: Dimension of the space of square matrices. (Contributed by Thierry Arnoux, 20-May-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
matdim.a	⊢ 𝐴 = (𝐼 Mat 𝑅)
matdim.n	⊢ 𝑁 = (♯‘𝐼)

Assertion

Ref	Expression
matdim	⊢ ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ DivRing) → (dim‘𝐴) = (𝑁 · 𝑁))

Proof of Theorem matdim

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 484	. . . 4 ⊢ ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ DivRing) → 𝑅 ∈ DivRing)
2		simpl 482	. . . . 5 ⊢ ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ DivRing) → 𝐼 ∈ Fin)
3		xpfi 9209	. . . . 5 ⊢ ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝐼 ∈ Fin) → (𝐼 × 𝐼) ∈ Fin)
4	2, 2, 3	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ DivRing) → (𝐼 × 𝐼) ∈ Fin)
5		eqid 2729	. . . . 5 ⊢ (𝑅 freeLMod (𝐼 × 𝐼)) = (𝑅 freeLMod (𝐼 × 𝐼))
6	5	frlmdim 33578	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ (𝐼 × 𝐼) ∈ Fin) → (dim‘(𝑅 freeLMod (𝐼 × 𝐼))) = (♯‘(𝐼 × 𝐼)))
7	1, 4, 6	syl2anc 584	. . 3 ⊢ ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ DivRing) → (dim‘(𝑅 freeLMod (𝐼 × 𝐼))) = (♯‘(𝐼 × 𝐼)))
8		matdim.a	. . . . . 6 ⊢ 𝐴 = (𝐼 Mat 𝑅)
9	8, 5	matbas 22298	. . . . 5 ⊢ ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ DivRing) → (Base‘(𝑅 freeLMod (𝐼 × 𝐼))) = (Base‘𝐴))
10	9	eqcomd 2735	. . . 4 ⊢ ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ DivRing) → (Base‘𝐴) = (Base‘(𝑅 freeLMod (𝐼 × 𝐼))))
11		eqidd 2730	. . . 4 ⊢ ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ DivRing) → (Base‘𝐴) = (Base‘𝐴))
12		ssidd 3959	. . . 4 ⊢ ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ DivRing) → (Base‘𝐴) ⊆ (Base‘𝐴))
13	8, 5	matplusg 22299	. . . . 5 ⊢ ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ DivRing) → (+g‘(𝑅 freeLMod (𝐼 × 𝐼))) = (+g‘𝐴))
14	13	oveqdr 7377	. . . 4 ⊢ (((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ DivRing) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐴) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐴))) → (𝑥(+g‘(𝑅 freeLMod (𝐼 × 𝐼)))𝑦) = (𝑥(+g‘𝐴)𝑦))
15	5	frlmlvec 21668	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ (𝐼 × 𝐼) ∈ Fin) → (𝑅 freeLMod (𝐼 × 𝐼)) ∈ LVec)
16	1, 4, 15	syl2anc 584	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ DivRing) → (𝑅 freeLMod (𝐼 × 𝐼)) ∈ LVec)
17		lveclmod 21010	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 freeLMod (𝐼 × 𝐼)) ∈ LVec → (𝑅 freeLMod (𝐼 × 𝐼)) ∈ LMod)
18	16, 17	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ DivRing) → (𝑅 freeLMod (𝐼 × 𝐼)) ∈ LMod)
19	18	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ (((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ DivRing) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐴)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐴))) → (𝑅 freeLMod (𝐼 × 𝐼)) ∈ LMod)
20		simprl 770	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ DivRing) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐴)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐴))) → 𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐴)))
21	8, 5	matsca 22300	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ DivRing) → (Scalar‘(𝑅 freeLMod (𝐼 × 𝐼))) = (Scalar‘𝐴))
22	21	fveq2d 6826	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ DivRing) → (Base‘(Scalar‘(𝑅 freeLMod (𝐼 × 𝐼)))) = (Base‘(Scalar‘𝐴)))
23	22	eqcomd 2735	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ DivRing) → (Base‘(Scalar‘𝐴)) = (Base‘(Scalar‘(𝑅 freeLMod (𝐼 × 𝐼)))))
24	23	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ DivRing) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐴)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐴))) → (Base‘(Scalar‘𝐴)) = (Base‘(Scalar‘(𝑅 freeLMod (𝐼 × 𝐼)))))
25	20, 24	eleqtrd 2830	. . . . . 6 ⊢ (((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ DivRing) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐴)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐴))) → 𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘(𝑅 freeLMod (𝐼 × 𝐼)))))
26		simprr 772	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ DivRing) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐴)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐴))) → 𝑦 ∈ (Base‘𝐴))
27	10	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ DivRing) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐴)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐴))) → (Base‘𝐴) = (Base‘(𝑅 freeLMod (𝐼 × 𝐼))))
28	26, 27	eleqtrd 2830	. . . . . 6 ⊢ (((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ DivRing) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐴)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐴))) → 𝑦 ∈ (Base‘(𝑅 freeLMod (𝐼 × 𝐼))))
29		eqid 2729	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘(𝑅 freeLMod (𝐼 × 𝐼))) = (Base‘(𝑅 freeLMod (𝐼 × 𝐼)))
30		eqid 2729	. . . . . . 7 ⊢ (Scalar‘(𝑅 freeLMod (𝐼 × 𝐼))) = (Scalar‘(𝑅 freeLMod (𝐼 × 𝐼)))
31		eqid 2729	. . . . . . 7 ⊢ ( ·𝑠 ‘(𝑅 freeLMod (𝐼 × 𝐼))) = ( ·𝑠 ‘(𝑅 freeLMod (𝐼 × 𝐼)))
32		eqid 2729	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘(Scalar‘(𝑅 freeLMod (𝐼 × 𝐼)))) = (Base‘(Scalar‘(𝑅 freeLMod (𝐼 × 𝐼))))
33	29, 30, 31, 32	lmodvscl 20781	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 freeLMod (𝐼 × 𝐼)) ∈ LMod ∧ 𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘(𝑅 freeLMod (𝐼 × 𝐼)))) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘(𝑅 freeLMod (𝐼 × 𝐼)))) → (𝑥( ·𝑠 ‘(𝑅 freeLMod (𝐼 × 𝐼)))𝑦) ∈ (Base‘(𝑅 freeLMod (𝐼 × 𝐼))))
34	19, 25, 28, 33	syl3anc 1373	. . . . 5 ⊢ (((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ DivRing) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐴)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐴))) → (𝑥( ·𝑠 ‘(𝑅 freeLMod (𝐼 × 𝐼)))𝑦) ∈ (Base‘(𝑅 freeLMod (𝐼 × 𝐼))))
35	34, 27	eleqtrrd 2831	. . . 4 ⊢ (((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ DivRing) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐴)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐴))) → (𝑥( ·𝑠 ‘(𝑅 freeLMod (𝐼 × 𝐼)))𝑦) ∈ (Base‘𝐴))
36	8, 5	matvsca 22301	. . . . 5 ⊢ ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ DivRing) → ( ·𝑠 ‘(𝑅 freeLMod (𝐼 × 𝐼))) = ( ·𝑠 ‘𝐴))
37	36	oveqdr 7377	. . . 4 ⊢ (((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ DivRing) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐴)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐴))) → (𝑥( ·𝑠 ‘(𝑅 freeLMod (𝐼 × 𝐼)))𝑦) = (𝑥( ·𝑠 ‘𝐴)𝑦))
38		eqid 2729	. . . 4 ⊢ (Scalar‘𝐴) = (Scalar‘𝐴)
39		eqidd 2730	. . . 4 ⊢ ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ DivRing) → (Base‘(Scalar‘𝐴)) = (Base‘(Scalar‘𝐴)))
40	21	fveq2d 6826	. . . . 5 ⊢ ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ DivRing) → (+g‘(Scalar‘(𝑅 freeLMod (𝐼 × 𝐼)))) = (+g‘(Scalar‘𝐴)))
41	40	oveqdr 7377	. . . 4 ⊢ (((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ DivRing) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐴)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐴)))) → (𝑥(+g‘(Scalar‘(𝑅 freeLMod (𝐼 × 𝐼))))𝑦) = (𝑥(+g‘(Scalar‘𝐴))𝑦))
42		drngring 20621	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ DivRing → 𝑅 ∈ Ring)
43	8	matlmod 22314	. . . . . 6 ⊢ ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝐴 ∈ LMod)
44	42, 43	sylan2 593	. . . . 5 ⊢ ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ DivRing) → 𝐴 ∈ LMod)
45	8	matsca2 22305	. . . . . 6 ⊢ ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ DivRing) → 𝑅 = (Scalar‘𝐴))
46	45, 1	eqeltrrd 2829	. . . . 5 ⊢ ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ DivRing) → (Scalar‘𝐴) ∈ DivRing)
47	38	islvec 21008	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ LVec ↔ (𝐴 ∈ LMod ∧ (Scalar‘𝐴) ∈ DivRing))
48	44, 46, 47	sylanbrc 583	. . . 4 ⊢ ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ DivRing) → 𝐴 ∈ LVec)
49	10, 11, 12, 14, 35, 37, 30, 38, 23, 39, 41, 16, 48	dimpropd 33575	. . 3 ⊢ ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ DivRing) → (dim‘(𝑅 freeLMod (𝐼 × 𝐼))) = (dim‘𝐴))
50		hashxp 14341	. . . 4 ⊢ ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝐼 ∈ Fin) → (♯‘(𝐼 × 𝐼)) = ((♯‘𝐼) · (♯‘𝐼)))
51	2, 2, 50	syl2anc 584	. . 3 ⊢ ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ DivRing) → (♯‘(𝐼 × 𝐼)) = ((♯‘𝐼) · (♯‘𝐼)))
52	7, 49, 51	3eqtr3d 2772	. 2 ⊢ ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ DivRing) → (dim‘𝐴) = ((♯‘𝐼) · (♯‘𝐼)))
53		matdim.n	. . 3 ⊢ 𝑁 = (♯‘𝐼)
54	53, 53	oveq12i 7361	. 2 ⊢ (𝑁 · 𝑁) = ((♯‘𝐼) · (♯‘𝐼))
55	52, 54	eqtr4di 2782	1 ⊢ ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ DivRing) → (dim‘𝐴) = (𝑁 · 𝑁))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   × cxp 5617  ‘cfv 6482  (class class class)co 7349  Fincfn 8872   · cmul 11014  ♯chash 14237  Basecbs 17120  +_gcplusg 17161  Scalarcsca 17164   ·_𝑠 cvsca 17165  Ringcrg 20118  DivRingcdr 20614  LModclmod 20763  LVecclvec 21006   freeLMod cfrlm 21653   Mat cmat 22292  dimcldim 33565

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5218  ax-sep 5235  ax-nul 5245  ax-pow 5304  ax-pr 5371  ax-un 7671  ax-reg 9484  ax-inf2 9537  ax-ac2 10357  ax-cnex 11065  ax-resscn 11066  ax-1cn 11067  ax-icn 11068  ax-addcl 11069  ax-addrcl 11070  ax-mulcl 11071  ax-mulrcl 11072  ax-mulcom 11073  ax-addass 11074  ax-mulass 11075  ax-distr 11076  ax-i2m1 11077  ax-1ne0 11078  ax-1rid 11079  ax-rnegex 11080  ax-rrecex 11081  ax-cnre 11082  ax-pre-lttri 11083  ax-pre-lttrn 11084  ax-pre-ltadd 11085  ax-pre-mulgt0 11086

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3395  df-v 3438  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4285  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-tp 4582  df-op 4584  df-ot 4586  df-uni 4859  df-int 4897  df-iun 4943  df-iin 4944  df-br 5093  df-opab 5155  df-mpt 5174  df-tr 5200  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-se 5573  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6249  df-ord 6310  df-on 6311  df-lim 6312  df-suc 6313  df-iota 6438  df-fun 6484  df-fn 6485  df-f 6486  df-f1 6487  df-fo 6488  df-f1o 6489  df-fv 6490  df-isom 6491  df-riota 7306  df-ov 7352  df-oprab 7353  df-mpo 7354  df-of 7613  df-rpss 7659  df-om 7800  df-1st 7924  df-2nd 7925  df-supp 8094  df-tpos 8159  df-frecs 8214  df-wrecs 8245  df-recs 8294  df-rdg 8332  df-1o 8388  df-2o 8389  df-oadd 8392  df-er 8625  df-map 8755  df-ixp 8825  df-en 8873  df-dom 8874  df-sdom 8875  df-fin 8876  df-fsupp 9252  df-sup 9332  df-oi 9402  df-r1 9660  df-rank 9661  df-dju 9797  df-card 9835  df-acn 9838  df-ac 10010  df-pnf 11151  df-mnf 11152  df-xr 11153  df-ltxr 11154  df-le 11155  df-sub 11349  df-neg 11350  df-nn 12129  df-2 12191  df-3 12192  df-4 12193  df-5 12194  df-6 12195  df-7 12196  df-8 12197  df-9 12198  df-n0 12385  df-xnn0 12458  df-z 12472  df-dec 12592  df-uz 12736  df-fz 13411  df-fzo 13558  df-seq 13909  df-hash 14238  df-struct 17058  df-sets 17075  df-slot 17093  df-ndx 17105  df-base 17121  df-ress 17142  df-plusg 17174  df-mulr 17175  df-sca 17177  df-vsca 17178  df-ip 17179  df-tset 17180  df-ple 17181  df-ocomp 17182  df-ds 17183  df-hom 17185  df-cco 17186  df-0g 17345  df-gsum 17346  df-prds 17351  df-pws 17353  df-mre 17488  df-mrc 17489  df-mri 17490  df-acs 17491  df-proset 18200  df-drs 18201  df-poset 18219  df-ipo 18434  df-mgm 18514  df-sgrp 18593  df-mnd 18609  df-mhm 18657  df-submnd 18658  df-grp 18815  df-minusg 18816  df-sbg 18817  df-mulg 18947  df-subg 19002  df-ghm 19092  df-cntz 19196  df-cmn 19661  df-abl 19662  df-mgp 20026  df-rng 20038  df-ur 20067  df-ring 20120  df-oppr 20222  df-dvdsr 20242  df-unit 20243  df-invr 20273  df-nzr 20398  df-subrg 20455  df-drng 20616  df-lmod 20765  df-lss 20835  df-lsp 20875  df-lmhm 20926  df-lbs 20979  df-lvec 21007  df-sra 21077  df-rgmod 21078  df-dsmm 21639  df-frlm 21654  df-uvc 21690  df-mat 22293  df-dim 33566

This theorem is referenced by: (None)