Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  matdim Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem matdim 32986
Description: Dimension of the space of square matrices. (Contributed by Thierry Arnoux, 20-May-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
matdim.a 𝐴 = (𝐼 Mat 𝑅)
matdim.n 𝑁 = (β™―β€˜πΌ)
Assertion
Ref Expression
matdim ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ DivRing) β†’ (dimβ€˜π΄) = (𝑁 Β· 𝑁))

Proof of Theorem matdim
Dummy variables π‘₯ 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpr 483 . . . 4 ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ DivRing) β†’ 𝑅 ∈ DivRing)
2 simpl 481 . . . . 5 ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ DivRing) β†’ 𝐼 ∈ Fin)
3 xpfi 9321 . . . . 5 ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝐼 ∈ Fin) β†’ (𝐼 Γ— 𝐼) ∈ Fin)
42, 2, 3syl2anc 582 . . . 4 ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ DivRing) β†’ (𝐼 Γ— 𝐼) ∈ Fin)
5 eqid 2730 . . . . 5 (𝑅 freeLMod (𝐼 Γ— 𝐼)) = (𝑅 freeLMod (𝐼 Γ— 𝐼))
65frlmdim 32982 . . . 4 ((𝑅 ∈ DivRing ∧ (𝐼 Γ— 𝐼) ∈ Fin) β†’ (dimβ€˜(𝑅 freeLMod (𝐼 Γ— 𝐼))) = (β™―β€˜(𝐼 Γ— 𝐼)))
71, 4, 6syl2anc 582 . . 3 ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ DivRing) β†’ (dimβ€˜(𝑅 freeLMod (𝐼 Γ— 𝐼))) = (β™―β€˜(𝐼 Γ— 𝐼)))
8 matdim.a . . . . . 6 𝐴 = (𝐼 Mat 𝑅)
98, 5matbas 22135 . . . . 5 ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ DivRing) β†’ (Baseβ€˜(𝑅 freeLMod (𝐼 Γ— 𝐼))) = (Baseβ€˜π΄))
109eqcomd 2736 . . . 4 ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ DivRing) β†’ (Baseβ€˜π΄) = (Baseβ€˜(𝑅 freeLMod (𝐼 Γ— 𝐼))))
11 eqidd 2731 . . . 4 ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ DivRing) β†’ (Baseβ€˜π΄) = (Baseβ€˜π΄))
12 ssidd 4006 . . . 4 ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ DivRing) β†’ (Baseβ€˜π΄) βŠ† (Baseβ€˜π΄))
138, 5matplusg 22136 . . . . 5 ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ DivRing) β†’ (+gβ€˜(𝑅 freeLMod (𝐼 Γ— 𝐼))) = (+gβ€˜π΄))
1413oveqdr 7441 . . . 4 (((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ DivRing) ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π΄) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜π΄))) β†’ (π‘₯(+gβ€˜(𝑅 freeLMod (𝐼 Γ— 𝐼)))𝑦) = (π‘₯(+gβ€˜π΄)𝑦))
155frlmlvec 21537 . . . . . . . . 9 ((𝑅 ∈ DivRing ∧ (𝐼 Γ— 𝐼) ∈ Fin) β†’ (𝑅 freeLMod (𝐼 Γ— 𝐼)) ∈ LVec)
161, 4, 15syl2anc 582 . . . . . . . 8 ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ DivRing) β†’ (𝑅 freeLMod (𝐼 Γ— 𝐼)) ∈ LVec)
17 lveclmod 20863 . . . . . . . 8 ((𝑅 freeLMod (𝐼 Γ— 𝐼)) ∈ LVec β†’ (𝑅 freeLMod (𝐼 Γ— 𝐼)) ∈ LMod)
1816, 17syl 17 . . . . . . 7 ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ DivRing) β†’ (𝑅 freeLMod (𝐼 Γ— 𝐼)) ∈ LMod)
1918adantr 479 . . . . . 6 (((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ DivRing) ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π΄)) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜π΄))) β†’ (𝑅 freeLMod (𝐼 Γ— 𝐼)) ∈ LMod)
20 simprl 767 . . . . . . 7 (((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ DivRing) ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π΄)) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜π΄))) β†’ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π΄)))
218, 5matsca 22137 . . . . . . . . . 10 ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ DivRing) β†’ (Scalarβ€˜(𝑅 freeLMod (𝐼 Γ— 𝐼))) = (Scalarβ€˜π΄))
2221fveq2d 6896 . . . . . . . . 9 ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ DivRing) β†’ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜(𝑅 freeLMod (𝐼 Γ— 𝐼)))) = (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π΄)))
2322eqcomd 2736 . . . . . . . 8 ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ DivRing) β†’ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π΄)) = (Baseβ€˜(Scalarβ€˜(𝑅 freeLMod (𝐼 Γ— 𝐼)))))
2423adantr 479 . . . . . . 7 (((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ DivRing) ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π΄)) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜π΄))) β†’ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π΄)) = (Baseβ€˜(Scalarβ€˜(𝑅 freeLMod (𝐼 Γ— 𝐼)))))
2520, 24eleqtrd 2833 . . . . . 6 (((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ DivRing) ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π΄)) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜π΄))) β†’ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜(𝑅 freeLMod (𝐼 Γ— 𝐼)))))
26 simprr 769 . . . . . . 7 (((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ DivRing) ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π΄)) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜π΄))) β†’ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜π΄))
2710adantr 479 . . . . . . 7 (((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ DivRing) ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π΄)) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜π΄))) β†’ (Baseβ€˜π΄) = (Baseβ€˜(𝑅 freeLMod (𝐼 Γ— 𝐼))))
2826, 27eleqtrd 2833 . . . . . 6 (((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ DivRing) ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π΄)) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜π΄))) β†’ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜(𝑅 freeLMod (𝐼 Γ— 𝐼))))
29 eqid 2730 . . . . . . 7 (Baseβ€˜(𝑅 freeLMod (𝐼 Γ— 𝐼))) = (Baseβ€˜(𝑅 freeLMod (𝐼 Γ— 𝐼)))
30 eqid 2730 . . . . . . 7 (Scalarβ€˜(𝑅 freeLMod (𝐼 Γ— 𝐼))) = (Scalarβ€˜(𝑅 freeLMod (𝐼 Γ— 𝐼)))
31 eqid 2730 . . . . . . 7 ( ·𝑠 β€˜(𝑅 freeLMod (𝐼 Γ— 𝐼))) = ( ·𝑠 β€˜(𝑅 freeLMod (𝐼 Γ— 𝐼)))
32 eqid 2730 . . . . . . 7 (Baseβ€˜(Scalarβ€˜(𝑅 freeLMod (𝐼 Γ— 𝐼)))) = (Baseβ€˜(Scalarβ€˜(𝑅 freeLMod (𝐼 Γ— 𝐼))))
3329, 30, 31, 32lmodvscl 20634 . . . . . 6 (((𝑅 freeLMod (𝐼 Γ— 𝐼)) ∈ LMod ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜(𝑅 freeLMod (𝐼 Γ— 𝐼)))) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜(𝑅 freeLMod (𝐼 Γ— 𝐼)))) β†’ (π‘₯( ·𝑠 β€˜(𝑅 freeLMod (𝐼 Γ— 𝐼)))𝑦) ∈ (Baseβ€˜(𝑅 freeLMod (𝐼 Γ— 𝐼))))
3419, 25, 28, 33syl3anc 1369 . . . . 5 (((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ DivRing) ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π΄)) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜π΄))) β†’ (π‘₯( ·𝑠 β€˜(𝑅 freeLMod (𝐼 Γ— 𝐼)))𝑦) ∈ (Baseβ€˜(𝑅 freeLMod (𝐼 Γ— 𝐼))))
3534, 27eleqtrrd 2834 . . . 4 (((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ DivRing) ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π΄)) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜π΄))) β†’ (π‘₯( ·𝑠 β€˜(𝑅 freeLMod (𝐼 Γ— 𝐼)))𝑦) ∈ (Baseβ€˜π΄))
368, 5matvsca 22139 . . . . 5 ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ DivRing) β†’ ( ·𝑠 β€˜(𝑅 freeLMod (𝐼 Γ— 𝐼))) = ( ·𝑠 β€˜π΄))
3736oveqdr 7441 . . . 4 (((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ DivRing) ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π΄)) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜π΄))) β†’ (π‘₯( ·𝑠 β€˜(𝑅 freeLMod (𝐼 Γ— 𝐼)))𝑦) = (π‘₯( ·𝑠 β€˜π΄)𝑦))
38 eqid 2730 . . . 4 (Scalarβ€˜π΄) = (Scalarβ€˜π΄)
39 eqidd 2731 . . . 4 ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ DivRing) β†’ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π΄)) = (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π΄)))
4021fveq2d 6896 . . . . 5 ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ DivRing) β†’ (+gβ€˜(Scalarβ€˜(𝑅 freeLMod (𝐼 Γ— 𝐼)))) = (+gβ€˜(Scalarβ€˜π΄)))
4140oveqdr 7441 . . . 4 (((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ DivRing) ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π΄)) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π΄)))) β†’ (π‘₯(+gβ€˜(Scalarβ€˜(𝑅 freeLMod (𝐼 Γ— 𝐼))))𝑦) = (π‘₯(+gβ€˜(Scalarβ€˜π΄))𝑦))
42 drngring 20509 . . . . . 6 (𝑅 ∈ DivRing β†’ 𝑅 ∈ Ring)
438matlmod 22153 . . . . . 6 ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) β†’ 𝐴 ∈ LMod)
4442, 43sylan2 591 . . . . 5 ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ DivRing) β†’ 𝐴 ∈ LMod)
458matsca2 22144 . . . . . 6 ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ DivRing) β†’ 𝑅 = (Scalarβ€˜π΄))
4645, 1eqeltrrd 2832 . . . . 5 ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ DivRing) β†’ (Scalarβ€˜π΄) ∈ DivRing)
4738islvec 20861 . . . . 5 (𝐴 ∈ LVec ↔ (𝐴 ∈ LMod ∧ (Scalarβ€˜π΄) ∈ DivRing))
4844, 46, 47sylanbrc 581 . . . 4 ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ DivRing) β†’ 𝐴 ∈ LVec)
4910, 11, 12, 14, 35, 37, 30, 38, 23, 39, 41, 16, 48dimpropd 32979 . . 3 ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ DivRing) β†’ (dimβ€˜(𝑅 freeLMod (𝐼 Γ— 𝐼))) = (dimβ€˜π΄))
50 hashxp 14400 . . . 4 ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝐼 ∈ Fin) β†’ (β™―β€˜(𝐼 Γ— 𝐼)) = ((β™―β€˜πΌ) Β· (β™―β€˜πΌ)))
512, 2, 50syl2anc 582 . . 3 ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ DivRing) β†’ (β™―β€˜(𝐼 Γ— 𝐼)) = ((β™―β€˜πΌ) Β· (β™―β€˜πΌ)))
527, 49, 513eqtr3d 2778 . 2 ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ DivRing) β†’ (dimβ€˜π΄) = ((β™―β€˜πΌ) Β· (β™―β€˜πΌ)))
53 matdim.n . . 3 𝑁 = (β™―β€˜πΌ)
5453, 53oveq12i 7425 . 2 (𝑁 Β· 𝑁) = ((β™―β€˜πΌ) Β· (β™―β€˜πΌ))
5552, 54eqtr4di 2788 1 ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ DivRing) β†’ (dimβ€˜π΄) = (𝑁 Β· 𝑁))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 394   = wceq 1539   ∈ wcel 2104   Γ— cxp 5675  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7413  Fincfn 8943   Β· cmul 11119  β™―chash 14296  Basecbs 17150  +gcplusg 17203  Scalarcsca 17206   ·𝑠 cvsca 17207  Ringcrg 20129  DivRingcdr 20502  LModclmod 20616  LVecclvec 20859   freeLMod cfrlm 21522   Mat cmat 22129  dimcldim 32969
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7729  ax-reg 9591  ax-inf2 9640  ax-ac2 10462  ax-cnex 11170  ax-resscn 11171  ax-1cn 11172  ax-icn 11173  ax-addcl 11174  ax-addrcl 11175  ax-mulcl 11176  ax-mulrcl 11177  ax-mulcom 11178  ax-addass 11179  ax-mulass 11180  ax-distr 11181  ax-i2m1 11182  ax-1ne0 11183  ax-1rid 11184  ax-rnegex 11185  ax-rrecex 11186  ax-cnre 11187  ax-pre-lttri 11188  ax-pre-lttrn 11189  ax-pre-ltadd 11190  ax-pre-mulgt0 11191
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-tp 4634  df-op 4636  df-ot 4638  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-iin 5001  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-se 5633  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-isom 6553  df-riota 7369  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-of 7674  df-rpss 7717  df-om 7860  df-1st 7979  df-2nd 7980  df-supp 8151  df-tpos 8215  df-frecs 8270  df-wrecs 8301  df-recs 8375  df-rdg 8414  df-1o 8470  df-oadd 8474  df-er 8707  df-map 8826  df-ixp 8896  df-en 8944  df-dom 8945  df-sdom 8946  df-fin 8947  df-fsupp 9366  df-sup 9441  df-oi 9509  df-r1 9763  df-rank 9764  df-dju 9900  df-card 9938  df-acn 9941  df-ac 10115  df-pnf 11256  df-mnf 11257  df-xr 11258  df-ltxr 11259  df-le 11260  df-sub 11452  df-neg 11453  df-nn 12219  df-2 12281  df-3 12282  df-4 12283  df-5 12284  df-6 12285  df-7 12286  df-8 12287  df-9 12288  df-n0 12479  df-xnn0 12551  df-z 12565  df-dec 12684  df-uz 12829  df-fz 13491  df-fzo 13634  df-seq 13973  df-hash 14297  df-struct 17086  df-sets 17103  df-slot 17121  df-ndx 17133  df-base 17151  df-ress 17180  df-plusg 17216  df-mulr 17217  df-sca 17219  df-vsca 17220  df-ip 17221  df-tset 17222  df-ple 17223  df-ocomp 17224  df-ds 17225  df-hom 17227  df-cco 17228  df-0g 17393  df-gsum 17394  df-prds 17399  df-pws 17401  df-mre 17536  df-mrc 17537  df-mri 17538  df-acs 17539  df-proset 18254  df-drs 18255  df-poset 18272  df-ipo 18487  df-mgm 18567  df-sgrp 18646  df-mnd 18662  df-mhm 18707  df-submnd 18708  df-grp 18860  df-minusg 18861  df-sbg 18862  df-mulg 18989  df-subg 19041  df-ghm 19130  df-cntz 19224  df-cmn 19693  df-abl 19694  df-mgp 20031  df-rng 20049  df-ur 20078  df-ring 20131  df-oppr 20227  df-dvdsr 20250  df-unit 20251  df-invr 20281  df-nzr 20406  df-subrg 20461  df-drng 20504  df-lmod 20618  df-lss 20689  df-lsp 20729  df-lmhm 20779  df-lbs 20832  df-lvec 20860  df-sra 20932  df-rgmod 20933  df-dsmm 21508  df-frlm 21523  df-uvc 21559  df-mat 22130  df-dim 32970
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator