Theorem matdim 33623

Description: Dimension of the space of square matrices. (Contributed by Thierry Arnoux, 20-May-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
matdim.a	⊢ 𝐴 = (𝐼 Mat 𝑅)
matdim.n	⊢ 𝑁 = (♯‘𝐼)

Assertion

Ref	Expression
matdim	⊢ ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ DivRing) → (dim‘𝐴) = (𝑁 · 𝑁))

Proof of Theorem matdim

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 484	. . . 4 ⊢ ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ DivRing) → 𝑅 ∈ DivRing)
2		simpl 482	. . . . 5 ⊢ ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ DivRing) → 𝐼 ∈ Fin)
3		xpfi 9204	. . . . 5 ⊢ ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝐼 ∈ Fin) → (𝐼 × 𝐼) ∈ Fin)
4	2, 2, 3	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ DivRing) → (𝐼 × 𝐼) ∈ Fin)
5		eqid 2731	. . . . 5 ⊢ (𝑅 freeLMod (𝐼 × 𝐼)) = (𝑅 freeLMod (𝐼 × 𝐼))
6	5	frlmdim 33619	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ (𝐼 × 𝐼) ∈ Fin) → (dim‘(𝑅 freeLMod (𝐼 × 𝐼))) = (♯‘(𝐼 × 𝐼)))
7	1, 4, 6	syl2anc 584	. . 3 ⊢ ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ DivRing) → (dim‘(𝑅 freeLMod (𝐼 × 𝐼))) = (♯‘(𝐼 × 𝐼)))
8		matdim.a	. . . . . 6 ⊢ 𝐴 = (𝐼 Mat 𝑅)
9	8, 5	matbas 22326	. . . . 5 ⊢ ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ DivRing) → (Base‘(𝑅 freeLMod (𝐼 × 𝐼))) = (Base‘𝐴))
10	9	eqcomd 2737	. . . 4 ⊢ ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ DivRing) → (Base‘𝐴) = (Base‘(𝑅 freeLMod (𝐼 × 𝐼))))
11		eqidd 2732	. . . 4 ⊢ ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ DivRing) → (Base‘𝐴) = (Base‘𝐴))
12		ssidd 3958	. . . 4 ⊢ ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ DivRing) → (Base‘𝐴) ⊆ (Base‘𝐴))
13	8, 5	matplusg 22327	. . . . 5 ⊢ ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ DivRing) → (+g‘(𝑅 freeLMod (𝐼 × 𝐼))) = (+g‘𝐴))
14	13	oveqdr 7374	. . . 4 ⊢ (((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ DivRing) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐴) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐴))) → (𝑥(+g‘(𝑅 freeLMod (𝐼 × 𝐼)))𝑦) = (𝑥(+g‘𝐴)𝑦))
15	5	frlmlvec 21696	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ (𝐼 × 𝐼) ∈ Fin) → (𝑅 freeLMod (𝐼 × 𝐼)) ∈ LVec)
16	1, 4, 15	syl2anc 584	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ DivRing) → (𝑅 freeLMod (𝐼 × 𝐼)) ∈ LVec)
17		lveclmod 21038	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 freeLMod (𝐼 × 𝐼)) ∈ LVec → (𝑅 freeLMod (𝐼 × 𝐼)) ∈ LMod)
18	16, 17	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ DivRing) → (𝑅 freeLMod (𝐼 × 𝐼)) ∈ LMod)
19	18	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ (((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ DivRing) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐴)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐴))) → (𝑅 freeLMod (𝐼 × 𝐼)) ∈ LMod)
20		simprl 770	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ DivRing) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐴)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐴))) → 𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐴)))
21	8, 5	matsca 22328	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ DivRing) → (Scalar‘(𝑅 freeLMod (𝐼 × 𝐼))) = (Scalar‘𝐴))
22	21	fveq2d 6826	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ DivRing) → (Base‘(Scalar‘(𝑅 freeLMod (𝐼 × 𝐼)))) = (Base‘(Scalar‘𝐴)))
23	22	eqcomd 2737	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ DivRing) → (Base‘(Scalar‘𝐴)) = (Base‘(Scalar‘(𝑅 freeLMod (𝐼 × 𝐼)))))
24	23	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ DivRing) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐴)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐴))) → (Base‘(Scalar‘𝐴)) = (Base‘(Scalar‘(𝑅 freeLMod (𝐼 × 𝐼)))))
25	20, 24	eleqtrd 2833	. . . . . 6 ⊢ (((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ DivRing) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐴)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐴))) → 𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘(𝑅 freeLMod (𝐼 × 𝐼)))))
26		simprr 772	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ DivRing) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐴)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐴))) → 𝑦 ∈ (Base‘𝐴))
27	10	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ DivRing) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐴)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐴))) → (Base‘𝐴) = (Base‘(𝑅 freeLMod (𝐼 × 𝐼))))
28	26, 27	eleqtrd 2833	. . . . . 6 ⊢ (((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ DivRing) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐴)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐴))) → 𝑦 ∈ (Base‘(𝑅 freeLMod (𝐼 × 𝐼))))
29		eqid 2731	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘(𝑅 freeLMod (𝐼 × 𝐼))) = (Base‘(𝑅 freeLMod (𝐼 × 𝐼)))
30		eqid 2731	. . . . . . 7 ⊢ (Scalar‘(𝑅 freeLMod (𝐼 × 𝐼))) = (Scalar‘(𝑅 freeLMod (𝐼 × 𝐼)))
31		eqid 2731	. . . . . . 7 ⊢ ( ·𝑠 ‘(𝑅 freeLMod (𝐼 × 𝐼))) = ( ·𝑠 ‘(𝑅 freeLMod (𝐼 × 𝐼)))
32		eqid 2731	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘(Scalar‘(𝑅 freeLMod (𝐼 × 𝐼)))) = (Base‘(Scalar‘(𝑅 freeLMod (𝐼 × 𝐼))))
33	29, 30, 31, 32	lmodvscl 20809	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 freeLMod (𝐼 × 𝐼)) ∈ LMod ∧ 𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘(𝑅 freeLMod (𝐼 × 𝐼)))) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘(𝑅 freeLMod (𝐼 × 𝐼)))) → (𝑥( ·𝑠 ‘(𝑅 freeLMod (𝐼 × 𝐼)))𝑦) ∈ (Base‘(𝑅 freeLMod (𝐼 × 𝐼))))
34	19, 25, 28, 33	syl3anc 1373	. . . . 5 ⊢ (((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ DivRing) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐴)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐴))) → (𝑥( ·𝑠 ‘(𝑅 freeLMod (𝐼 × 𝐼)))𝑦) ∈ (Base‘(𝑅 freeLMod (𝐼 × 𝐼))))
35	34, 27	eleqtrrd 2834	. . . 4 ⊢ (((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ DivRing) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐴)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐴))) → (𝑥( ·𝑠 ‘(𝑅 freeLMod (𝐼 × 𝐼)))𝑦) ∈ (Base‘𝐴))
36	8, 5	matvsca 22329	. . . . 5 ⊢ ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ DivRing) → ( ·𝑠 ‘(𝑅 freeLMod (𝐼 × 𝐼))) = ( ·𝑠 ‘𝐴))
37	36	oveqdr 7374	. . . 4 ⊢ (((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ DivRing) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐴)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐴))) → (𝑥( ·𝑠 ‘(𝑅 freeLMod (𝐼 × 𝐼)))𝑦) = (𝑥( ·𝑠 ‘𝐴)𝑦))
38		eqid 2731	. . . 4 ⊢ (Scalar‘𝐴) = (Scalar‘𝐴)
39		eqidd 2732	. . . 4 ⊢ ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ DivRing) → (Base‘(Scalar‘𝐴)) = (Base‘(Scalar‘𝐴)))
40	21	fveq2d 6826	. . . . 5 ⊢ ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ DivRing) → (+g‘(Scalar‘(𝑅 freeLMod (𝐼 × 𝐼)))) = (+g‘(Scalar‘𝐴)))
41	40	oveqdr 7374	. . . 4 ⊢ (((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ DivRing) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐴)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐴)))) → (𝑥(+g‘(Scalar‘(𝑅 freeLMod (𝐼 × 𝐼))))𝑦) = (𝑥(+g‘(Scalar‘𝐴))𝑦))
42		drngring 20649	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ DivRing → 𝑅 ∈ Ring)
43	8	matlmod 22342	. . . . . 6 ⊢ ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝐴 ∈ LMod)
44	42, 43	sylan2 593	. . . . 5 ⊢ ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ DivRing) → 𝐴 ∈ LMod)
45	8	matsca2 22333	. . . . . 6 ⊢ ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ DivRing) → 𝑅 = (Scalar‘𝐴))
46	45, 1	eqeltrrd 2832	. . . . 5 ⊢ ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ DivRing) → (Scalar‘𝐴) ∈ DivRing)
47	38	islvec 21036	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ LVec ↔ (𝐴 ∈ LMod ∧ (Scalar‘𝐴) ∈ DivRing))
48	44, 46, 47	sylanbrc 583	. . . 4 ⊢ ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ DivRing) → 𝐴 ∈ LVec)
49	10, 11, 12, 14, 35, 37, 30, 38, 23, 39, 41, 16, 48	dimpropd 33616	. . 3 ⊢ ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ DivRing) → (dim‘(𝑅 freeLMod (𝐼 × 𝐼))) = (dim‘𝐴))
50		hashxp 14338	. . . 4 ⊢ ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝐼 ∈ Fin) → (♯‘(𝐼 × 𝐼)) = ((♯‘𝐼) · (♯‘𝐼)))
51	2, 2, 50	syl2anc 584	. . 3 ⊢ ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ DivRing) → (♯‘(𝐼 × 𝐼)) = ((♯‘𝐼) · (♯‘𝐼)))
52	7, 49, 51	3eqtr3d 2774	. 2 ⊢ ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ DivRing) → (dim‘𝐴) = ((♯‘𝐼) · (♯‘𝐼)))
53		matdim.n	. . 3 ⊢ 𝑁 = (♯‘𝐼)
54	53, 53	oveq12i 7358	. 2 ⊢ (𝑁 · 𝑁) = ((♯‘𝐼) · (♯‘𝐼))
55	52, 54	eqtr4di 2784	1 ⊢ ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ DivRing) → (dim‘𝐴) = (𝑁 · 𝑁))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2111   × cxp 5614  ‘cfv 6481  (class class class)co 7346  Fincfn 8869   · cmul 11008  ♯chash 14234  Basecbs 17117  +_gcplusg 17158  Scalarcsca 17161   ·_𝑠 cvsca 17162  Ringcrg 20149  DivRingcdr 20642  LModclmod 20791  LVecclvec 21034   freeLMod cfrlm 21681   Mat cmat 22320  dimcldim 33606

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-rep 5217  ax-sep 5234  ax-nul 5244  ax-pow 5303  ax-pr 5370  ax-un 7668  ax-reg 9478  ax-inf2 9531  ax-ac2 10351  ax-cnex 11059  ax-resscn 11060  ax-1cn 11061  ax-icn 11062  ax-addcl 11063  ax-addrcl 11064  ax-mulcl 11065  ax-mulrcl 11066  ax-mulcom 11067  ax-addass 11068  ax-mulass 11069  ax-distr 11070  ax-i2m1 11071  ax-1ne0 11072  ax-1rid 11073  ax-rnegex 11074  ax-rrecex 11075  ax-cnre 11076  ax-pre-lttri 11077  ax-pre-lttrn 11078  ax-pre-ltadd 11079  ax-pre-mulgt0 11080

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4284  df-if 4476  df-pw 4552  df-sn 4577  df-pr 4579  df-tp 4581  df-op 4583  df-ot 4585  df-uni 4860  df-int 4898  df-iun 4943  df-iin 4944  df-br 5092  df-opab 5154  df-mpt 5173  df-tr 5199  df-id 5511  df-eprel 5516  df-po 5524  df-so 5525  df-fr 5569  df-se 5570  df-we 5571  df-xp 5622  df-rel 5623  df-cnv 5624  df-co 5625  df-dm 5626  df-rn 5627  df-res 5628  df-ima 5629  df-pred 6248  df-ord 6309  df-on 6310  df-lim 6311  df-suc 6312  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-isom 6490  df-riota 7303  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-of 7610  df-rpss 7656  df-om 7797  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-supp 8091  df-tpos 8156  df-frecs 8211  df-wrecs 8242  df-recs 8291  df-rdg 8329  df-1o 8385  df-2o 8386  df-oadd 8389  df-er 8622  df-map 8752  df-ixp 8822  df-en 8870  df-dom 8871  df-sdom 8872  df-fin 8873  df-fsupp 9246  df-sup 9326  df-oi 9396  df-r1 9654  df-rank 9655  df-dju 9791  df-card 9829  df-acn 9832  df-ac 10004  df-pnf 11145  df-mnf 11146  df-xr 11147  df-ltxr 11148  df-le 11149  df-sub 11343  df-neg 11344  df-nn 12123  df-2 12185  df-3 12186  df-4 12187  df-5 12188  df-6 12189  df-7 12190  df-8 12191  df-9 12192  df-n0 12379  df-xnn0 12452  df-z 12466  df-dec 12586  df-uz 12730  df-fz 13405  df-fzo 13552  df-seq 13906  df-hash 14235  df-struct 17055  df-sets 17072  df-slot 17090  df-ndx 17102  df-base 17118  df-ress 17139  df-plusg 17171  df-mulr 17172  df-sca 17174  df-vsca 17175  df-ip 17176  df-tset 17177  df-ple 17178  df-ocomp 17179  df-ds 17180  df-hom 17182  df-cco 17183  df-0g 17342  df-gsum 17343  df-prds 17348  df-pws 17350  df-mre 17485  df-mrc 17486  df-mri 17487  df-acs 17488  df-proset 18197  df-drs 18198  df-poset 18216  df-ipo 18431  df-mgm 18545  df-sgrp 18624  df-mnd 18640  df-mhm 18688  df-submnd 18689  df-grp 18846  df-minusg 18847  df-sbg 18848  df-mulg 18978  df-subg 19033  df-ghm 19123  df-cntz 19227  df-cmn 19692  df-abl 19693  df-mgp 20057  df-rng 20069  df-ur 20098  df-ring 20151  df-oppr 20253  df-dvdsr 20273  df-unit 20274  df-invr 20304  df-nzr 20426  df-subrg 20483  df-drng 20644  df-lmod 20793  df-lss 20863  df-lsp 20903  df-lmhm 20954  df-lbs 21007  df-lvec 21035  df-sra 21105  df-rgmod 21106  df-dsmm 21667  df-frlm 21682  df-uvc 21718  df-mat 22321  df-dim 33607

This theorem is referenced by: (None)