Theorem matdim 33792

Description: Dimension of the space of square matrices. (Contributed by Thierry Arnoux, 20-May-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
matdim.a	⊢ 𝐴 = (𝐼 Mat 𝑅)
matdim.n	⊢ 𝑁 = (♯‘𝐼)

Assertion

Ref	Expression
matdim	⊢ ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ DivRing) → (dim‘𝐴) = (𝑁 · 𝑁))

Proof of Theorem matdim

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 484	. . . 4 ⊢ ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ DivRing) → 𝑅 ∈ DivRing)
2		simpl 482	. . . . 5 ⊢ ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ DivRing) → 𝐼 ∈ Fin)
3		xpfi 9232	. . . . 5 ⊢ ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝐼 ∈ Fin) → (𝐼 × 𝐼) ∈ Fin)
4	2, 2, 3	syl2anc 585	. . . 4 ⊢ ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ DivRing) → (𝐼 × 𝐼) ∈ Fin)
5		eqid 2737	. . . . 5 ⊢ (𝑅 freeLMod (𝐼 × 𝐼)) = (𝑅 freeLMod (𝐼 × 𝐼))
6	5	frlmdim 33788	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ (𝐼 × 𝐼) ∈ Fin) → (dim‘(𝑅 freeLMod (𝐼 × 𝐼))) = (♯‘(𝐼 × 𝐼)))
7	1, 4, 6	syl2anc 585	. . 3 ⊢ ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ DivRing) → (dim‘(𝑅 freeLMod (𝐼 × 𝐼))) = (♯‘(𝐼 × 𝐼)))
8		matdim.a	. . . . . 6 ⊢ 𝐴 = (𝐼 Mat 𝑅)
9	8, 5	matbas 22369	. . . . 5 ⊢ ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ DivRing) → (Base‘(𝑅 freeLMod (𝐼 × 𝐼))) = (Base‘𝐴))
10	9	eqcomd 2743	. . . 4 ⊢ ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ DivRing) → (Base‘𝐴) = (Base‘(𝑅 freeLMod (𝐼 × 𝐼))))
11		eqidd 2738	. . . 4 ⊢ ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ DivRing) → (Base‘𝐴) = (Base‘𝐴))
12		ssidd 3959	. . . 4 ⊢ ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ DivRing) → (Base‘𝐴) ⊆ (Base‘𝐴))
13	8, 5	matplusg 22370	. . . . 5 ⊢ ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ DivRing) → (+g‘(𝑅 freeLMod (𝐼 × 𝐼))) = (+g‘𝐴))
14	13	oveqdr 7396	. . . 4 ⊢ (((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ DivRing) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐴) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐴))) → (𝑥(+g‘(𝑅 freeLMod (𝐼 × 𝐼)))𝑦) = (𝑥(+g‘𝐴)𝑦))
15	5	frlmlvec 21728	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ (𝐼 × 𝐼) ∈ Fin) → (𝑅 freeLMod (𝐼 × 𝐼)) ∈ LVec)
16	1, 4, 15	syl2anc 585	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ DivRing) → (𝑅 freeLMod (𝐼 × 𝐼)) ∈ LVec)
17		lveclmod 21070	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 freeLMod (𝐼 × 𝐼)) ∈ LVec → (𝑅 freeLMod (𝐼 × 𝐼)) ∈ LMod)
18	16, 17	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ DivRing) → (𝑅 freeLMod (𝐼 × 𝐼)) ∈ LMod)
19	18	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ (((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ DivRing) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐴)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐴))) → (𝑅 freeLMod (𝐼 × 𝐼)) ∈ LMod)
20		simprl 771	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ DivRing) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐴)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐴))) → 𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐴)))
21	8, 5	matsca 22371	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ DivRing) → (Scalar‘(𝑅 freeLMod (𝐼 × 𝐼))) = (Scalar‘𝐴))
22	21	fveq2d 6846	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ DivRing) → (Base‘(Scalar‘(𝑅 freeLMod (𝐼 × 𝐼)))) = (Base‘(Scalar‘𝐴)))
23	22	eqcomd 2743	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ DivRing) → (Base‘(Scalar‘𝐴)) = (Base‘(Scalar‘(𝑅 freeLMod (𝐼 × 𝐼)))))
24	23	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ DivRing) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐴)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐴))) → (Base‘(Scalar‘𝐴)) = (Base‘(Scalar‘(𝑅 freeLMod (𝐼 × 𝐼)))))
25	20, 24	eleqtrd 2839	. . . . . 6 ⊢ (((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ DivRing) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐴)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐴))) → 𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘(𝑅 freeLMod (𝐼 × 𝐼)))))
26		simprr 773	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ DivRing) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐴)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐴))) → 𝑦 ∈ (Base‘𝐴))
27	10	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ DivRing) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐴)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐴))) → (Base‘𝐴) = (Base‘(𝑅 freeLMod (𝐼 × 𝐼))))
28	26, 27	eleqtrd 2839	. . . . . 6 ⊢ (((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ DivRing) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐴)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐴))) → 𝑦 ∈ (Base‘(𝑅 freeLMod (𝐼 × 𝐼))))
29		eqid 2737	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘(𝑅 freeLMod (𝐼 × 𝐼))) = (Base‘(𝑅 freeLMod (𝐼 × 𝐼)))
30		eqid 2737	. . . . . . 7 ⊢ (Scalar‘(𝑅 freeLMod (𝐼 × 𝐼))) = (Scalar‘(𝑅 freeLMod (𝐼 × 𝐼)))
31		eqid 2737	. . . . . . 7 ⊢ ( ·𝑠 ‘(𝑅 freeLMod (𝐼 × 𝐼))) = ( ·𝑠 ‘(𝑅 freeLMod (𝐼 × 𝐼)))
32		eqid 2737	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘(Scalar‘(𝑅 freeLMod (𝐼 × 𝐼)))) = (Base‘(Scalar‘(𝑅 freeLMod (𝐼 × 𝐼))))
33	29, 30, 31, 32	lmodvscl 20841	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 freeLMod (𝐼 × 𝐼)) ∈ LMod ∧ 𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘(𝑅 freeLMod (𝐼 × 𝐼)))) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘(𝑅 freeLMod (𝐼 × 𝐼)))) → (𝑥( ·𝑠 ‘(𝑅 freeLMod (𝐼 × 𝐼)))𝑦) ∈ (Base‘(𝑅 freeLMod (𝐼 × 𝐼))))
34	19, 25, 28, 33	syl3anc 1374	. . . . 5 ⊢ (((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ DivRing) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐴)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐴))) → (𝑥( ·𝑠 ‘(𝑅 freeLMod (𝐼 × 𝐼)))𝑦) ∈ (Base‘(𝑅 freeLMod (𝐼 × 𝐼))))
35	34, 27	eleqtrrd 2840	. . . 4 ⊢ (((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ DivRing) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐴)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐴))) → (𝑥( ·𝑠 ‘(𝑅 freeLMod (𝐼 × 𝐼)))𝑦) ∈ (Base‘𝐴))
36	8, 5	matvsca 22372	. . . . 5 ⊢ ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ DivRing) → ( ·𝑠 ‘(𝑅 freeLMod (𝐼 × 𝐼))) = ( ·𝑠 ‘𝐴))
37	36	oveqdr 7396	. . . 4 ⊢ (((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ DivRing) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐴)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐴))) → (𝑥( ·𝑠 ‘(𝑅 freeLMod (𝐼 × 𝐼)))𝑦) = (𝑥( ·𝑠 ‘𝐴)𝑦))
38		eqid 2737	. . . 4 ⊢ (Scalar‘𝐴) = (Scalar‘𝐴)
39		eqidd 2738	. . . 4 ⊢ ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ DivRing) → (Base‘(Scalar‘𝐴)) = (Base‘(Scalar‘𝐴)))
40	21	fveq2d 6846	. . . . 5 ⊢ ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ DivRing) → (+g‘(Scalar‘(𝑅 freeLMod (𝐼 × 𝐼)))) = (+g‘(Scalar‘𝐴)))
41	40	oveqdr 7396	. . . 4 ⊢ (((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ DivRing) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐴)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐴)))) → (𝑥(+g‘(Scalar‘(𝑅 freeLMod (𝐼 × 𝐼))))𝑦) = (𝑥(+g‘(Scalar‘𝐴))𝑦))
42		drngring 20681	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ DivRing → 𝑅 ∈ Ring)
43	8	matlmod 22385	. . . . . 6 ⊢ ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝐴 ∈ LMod)
44	42, 43	sylan2 594	. . . . 5 ⊢ ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ DivRing) → 𝐴 ∈ LMod)
45	8	matsca2 22376	. . . . . 6 ⊢ ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ DivRing) → 𝑅 = (Scalar‘𝐴))
46	45, 1	eqeltrrd 2838	. . . . 5 ⊢ ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ DivRing) → (Scalar‘𝐴) ∈ DivRing)
47	38	islvec 21068	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ LVec ↔ (𝐴 ∈ LMod ∧ (Scalar‘𝐴) ∈ DivRing))
48	44, 46, 47	sylanbrc 584	. . . 4 ⊢ ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ DivRing) → 𝐴 ∈ LVec)
49	10, 11, 12, 14, 35, 37, 30, 38, 23, 39, 41, 16, 48	dimpropd 33785	. . 3 ⊢ ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ DivRing) → (dim‘(𝑅 freeLMod (𝐼 × 𝐼))) = (dim‘𝐴))
50		hashxp 14369	. . . 4 ⊢ ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝐼 ∈ Fin) → (♯‘(𝐼 × 𝐼)) = ((♯‘𝐼) · (♯‘𝐼)))
51	2, 2, 50	syl2anc 585	. . 3 ⊢ ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ DivRing) → (♯‘(𝐼 × 𝐼)) = ((♯‘𝐼) · (♯‘𝐼)))
52	7, 49, 51	3eqtr3d 2780	. 2 ⊢ ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ DivRing) → (dim‘𝐴) = ((♯‘𝐼) · (♯‘𝐼)))
53		matdim.n	. . 3 ⊢ 𝑁 = (♯‘𝐼)
54	53, 53	oveq12i 7380	. 2 ⊢ (𝑁 · 𝑁) = ((♯‘𝐼) · (♯‘𝐼))
55	52, 54	eqtr4di 2790	1 ⊢ ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ DivRing) → (dim‘𝐴) = (𝑁 · 𝑁))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   × cxp 5630  ‘cfv 6500  (class class class)co 7368  Fincfn 8895   · cmul 11043  ♯chash 14265  Basecbs 17148  +_gcplusg 17189  Scalarcsca 17192   ·_𝑠 cvsca 17193  Ringcrg 20180  DivRingcdr 20674  LModclmod 20823  LVecclvec 21066   freeLMod cfrlm 21713   Mat cmat 22363  dimcldim 33775

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5226  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690  ax-reg 9509  ax-inf2 9562  ax-ac2 10385  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-tp 4587  df-op 4589  df-ot 4591  df-uni 4866  df-int 4905  df-iun 4950  df-iin 4951  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5527  df-eprel 5532  df-po 5540  df-so 5541  df-fr 5585  df-se 5586  df-we 5587  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-pred 6267  df-ord 6328  df-on 6329  df-lim 6330  df-suc 6331  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-isom 6509  df-riota 7325  df-ov 7371  df-oprab 7372  df-mpo 7373  df-of 7632  df-rpss 7678  df-om 7819  df-1st 7943  df-2nd 7944  df-supp 8113  df-tpos 8178  df-frecs 8233  df-wrecs 8264  df-recs 8313  df-rdg 8351  df-1o 8407  df-2o 8408  df-oadd 8411  df-er 8645  df-map 8777  df-ixp 8848  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-fin 8899  df-fsupp 9277  df-sup 9357  df-oi 9427  df-r1 9688  df-rank 9689  df-dju 9825  df-card 9863  df-acn 9866  df-ac 10038  df-pnf 11180  df-mnf 11181  df-xr 11182  df-ltxr 11183  df-le 11184  df-sub 11378  df-neg 11379  df-nn 12158  df-2 12220  df-3 12221  df-4 12222  df-5 12223  df-6 12224  df-7 12225  df-8 12226  df-9 12227  df-n0 12414  df-xnn0 12487  df-z 12501  df-dec 12620  df-uz 12764  df-fz 13436  df-fzo 13583  df-seq 13937  df-hash 14266  df-struct 17086  df-sets 17103  df-slot 17121  df-ndx 17133  df-base 17149  df-ress 17170  df-plusg 17202  df-mulr 17203  df-sca 17205  df-vsca 17206  df-ip 17207  df-tset 17208  df-ple 17209  df-ocomp 17210  df-ds 17211  df-hom 17213  df-cco 17214  df-0g 17373  df-gsum 17374  df-prds 17379  df-pws 17381  df-mre 17517  df-mrc 17518  df-mri 17519  df-acs 17520  df-proset 18229  df-drs 18230  df-poset 18248  df-ipo 18463  df-mgm 18577  df-sgrp 18656  df-mnd 18672  df-mhm 18720  df-submnd 18721  df-grp 18878  df-minusg 18879  df-sbg 18880  df-mulg 19010  df-subg 19065  df-ghm 19154  df-cntz 19258  df-cmn 19723  df-abl 19724  df-mgp 20088  df-rng 20100  df-ur 20129  df-ring 20182  df-oppr 20285  df-dvdsr 20305  df-unit 20306  df-invr 20336  df-nzr 20458  df-subrg 20515  df-drng 20676  df-lmod 20825  df-lss 20895  df-lsp 20935  df-lmhm 20986  df-lbs 21039  df-lvec 21067  df-sra 21137  df-rgmod 21138  df-dsmm 21699  df-frlm 21714  df-uvc 21750  df-mat 22364  df-dim 33776

This theorem is referenced by: (None)