Theorem lveclmod 21040

Description: A left vector space is a left module. (Contributed by NM, 9-Dec-2013.)

Assertion

Ref	Expression
lveclmod	⊢ (𝑊 ∈ LVec → 𝑊 ∈ LMod)

Proof of Theorem lveclmod

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2731	. . 3 ⊢ (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑊)
2	1	islvec 21038	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ LVec ↔ (𝑊 ∈ LMod ∧ (Scalar‘𝑊) ∈ DivRing))
3	2	simplbi 497	1 ⊢ (𝑊 ∈ LVec → 𝑊 ∈ LMod)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2111  ‘cfv 6481  Scalarcsca 17164  DivRingcdr 20644  LModclmod 20793  LVecclvec 21036

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-ext 2703

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-sb 2068  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-rab 3396  df-v 3438  df-dif 3900  df-un 3902  df-ss 3914  df-nul 4281  df-if 4473  df-sn 4574  df-pr 4576  df-op 4580  df-uni 4857  df-br 5090  df-iota 6437  df-fv 6489  df-lvec 21037

This theorem is referenced by:  lveclmodd  21041  lsslvec  21043  lvecvs0or  21045  lssvs0or  21047  lvecvscan  21048  lvecvscan2  21049  lvecinv  21050  lspsnvs  21051  lspsneleq  21052  lspsncmp  21053  lspsnne1  21054  lspsnnecom  21056  lspabs2  21057  lspabs3  21058  lspsneq  21059  ellspsn4  21061  lspdisj  21062  lspdisjb  21063  lspdisj2  21064  lspfixed  21065  lspexch  21066  lspexchn1  21067  lspindpi  21069  lvecindp  21075  lvecindp2  21076  lsmcv  21078  lspsolv  21080  lssacsex  21081  lspsnat  21082  lsppratlem2  21085  lsppratlem3  21086  lsppratlem4  21087  lsppratlem6  21089  lspprat  21090  islbs2  21091  islbs3  21092  lbsacsbs  21093  lbsextlem2  21096  lbsextlem3  21097  lbsextlem4  21098  phllmod  21567  isphld  21591  islinds4  21772  lvecisfrlm  21780  cvsi  25057  0nellinds  33335  lindssn  33343  linds2eq  33346  exsslsb  33609  lvecdim0i  33618  lssdimle  33620  tngdim  33626  matdim  33628  lbslsat  33629  lsatdim  33630  drngdimgt0  33631  lindsunlem  33637  lindsun  33638  lbsdiflsp0  33639  dimkerim  33640  qusdimsum  33641  fedgmullem1  33642  fedgmullem2  33643  fedgmul  33644  extdg1id  33679  ccfldextdgrr  33685  lindsadd  37652  lshpnelb  39082  lshpnel2N  39083  lshpdisj  39085  lshpcmp  39086  lsatcmp  39101  lsatcmp2  39102  lsatel  39103  lsatelbN  39104  lsatfixedN  39107  lsmcv2  39127  lsatcv0  39129  lsatcveq0  39130  lsat0cv  39131  lcvp  39138  lcv1  39139  lcv2  39140  lsatexch  39141  lsatnem0  39143  lsatexch1  39144  lsatcv0eq  39145  lsatcv1  39146  lsatcvatlem  39147  lsatcvat  39148  lsatcvat2  39149  lsatcvat3  39150  islshpcv  39151  l1cvpat  39152  l1cvat  39153  lfl1  39168  lkrsc  39195  lkrscss  39196  eqlkr  39197  eqlkr3  39199  lkrlsp  39200  lkrlsp3  39202  lkrshp  39203  lkrshp3  39204  lkrshpor  39205  lkrshp4  39206  lshpsmreu  39207  lshpkrlem1  39208  lshpkrlem4  39211  lshpkrlem5  39212  lshpkrlem6  39213  lshpkr  39215  lshpkrex  39216  lfl1dim  39219  lfl1dim2N  39220  lduallvec  39252  lduallkr3  39260  lkrpssN  39261  ldual1dim  39264  lkrss2N  39267  lkreqN  39268  lkrlspeqN  39269  dva0g  41125  dia1dim2  41160  dia1dimid  41161  dia2dimlem5  41166  dia2dimlem7  41168  dia2dimlem9  41170  dia2dimlem10  41171  dia2dimlem13  41174  dvhlmod  41208  diblsmopel  41269  lclkrlem2m  41617  lclkrlem2n  41618  lcfrlem1  41640  lcfrlem2  41641  lcfrlem3  41642  lcdlmod  41690  baerlem3lem1  41805  baerlem5alem1  41806  baerlem5blem1  41807  baerlem3lem2  41808  baerlem5alem2  41809  baerlem5blem2  41810  baerlem5amN  41814  baerlem5bmN  41815  baerlem5abmN  41816  mapdindp0  41817  mapdindp1  41818  mapdindp2  41819  mapdindp3  41820  mapdindp4  41821  lspindp5  41868  lvecgrp  42629  lvecring  42630  prjspersym  42699  prjsper  42700  prjspreln0  42701  prjspvs  42702  prjspeclsp  42704  0prjspn  42720  lincreslvec3  48582  isldepslvec2  48585  lindssnlvec  48586  lvecpsslmod  48607