Theorem lmhmlvec2 33632

Description: A homomorphism of left vector spaces has a left vector space as codomain. (Contributed by Thierry Arnoux, 7-May-2023.)

Assertion

Ref	Expression
lmhmlvec2	⊢ ((𝑉 ∈ LVec ∧ 𝐹 ∈ (𝑉 LMHom 𝑈)) → 𝑈 ∈ LVec)

Proof of Theorem lmhmlvec2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lmhmlmod2 20966	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑉 LMHom 𝑈) → 𝑈 ∈ LMod)
2	1	adantl 481	. 2 ⊢ ((𝑉 ∈ LVec ∧ 𝐹 ∈ (𝑉 LMHom 𝑈)) → 𝑈 ∈ LMod)
3		eqid 2731	. . . . 5 ⊢ (Scalar‘𝑉) = (Scalar‘𝑉)
4		eqid 2731	. . . . 5 ⊢ (Scalar‘𝑈) = (Scalar‘𝑈)
5	3, 4	lmhmsca 20964	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑉 LMHom 𝑈) → (Scalar‘𝑈) = (Scalar‘𝑉))
6	5	adantl 481	. . 3 ⊢ ((𝑉 ∈ LVec ∧ 𝐹 ∈ (𝑉 LMHom 𝑈)) → (Scalar‘𝑈) = (Scalar‘𝑉))
7	3	lvecdrng 21039	. . . 4 ⊢ (𝑉 ∈ LVec → (Scalar‘𝑉) ∈ DivRing)
8	7	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝑉 ∈ LVec ∧ 𝐹 ∈ (𝑉 LMHom 𝑈)) → (Scalar‘𝑉) ∈ DivRing)
9	6, 8	eqeltrd 2831	. 2 ⊢ ((𝑉 ∈ LVec ∧ 𝐹 ∈ (𝑉 LMHom 𝑈)) → (Scalar‘𝑈) ∈ DivRing)
10	4	islvec 21038	. 2 ⊢ (𝑈 ∈ LVec ↔ (𝑈 ∈ LMod ∧ (Scalar‘𝑈) ∈ DivRing))
11	2, 9, 10	sylanbrc 583	1 ⊢ ((𝑉 ∈ LVec ∧ 𝐹 ∈ (𝑉 LMHom 𝑈)) → 𝑈 ∈ LVec)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2111  ‘cfv 6481  (class class class)co 7346  Scalarcsca 17164  DivRingcdr 20644  LModclmod 20793   LMHom clmhm 20953  LVecclvec 21036

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pr 5368

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-nul 4281  df-if 4473  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-op 4580  df-uni 4857  df-br 5090  df-opab 5152  df-id 5509  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fv 6489  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-lmhm 20956  df-lvec 21037

This theorem is referenced by:  imlmhm  33634  dimkerim  33640  algextdeglem8  33737