Theorem lmhmlvec2 33588

Description: A homomorphism of left vector spaces has a left vector space as codomain. (Contributed by Thierry Arnoux, 7-May-2023.)

Assertion

Ref	Expression
lmhmlvec2	⊢ ((𝑉 ∈ LVec ∧ 𝐹 ∈ (𝑉 LMHom 𝑈)) → 𝑈 ∈ LVec)

Proof of Theorem lmhmlvec2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lmhmlmod2 20915	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑉 LMHom 𝑈) → 𝑈 ∈ LMod)
2	1	adantl 481	. 2 ⊢ ((𝑉 ∈ LVec ∧ 𝐹 ∈ (𝑉 LMHom 𝑈)) → 𝑈 ∈ LMod)
3		eqid 2729	. . . . 5 ⊢ (Scalar‘𝑉) = (Scalar‘𝑉)
4		eqid 2729	. . . . 5 ⊢ (Scalar‘𝑈) = (Scalar‘𝑈)
5	3, 4	lmhmsca 20913	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑉 LMHom 𝑈) → (Scalar‘𝑈) = (Scalar‘𝑉))
6	5	adantl 481	. . 3 ⊢ ((𝑉 ∈ LVec ∧ 𝐹 ∈ (𝑉 LMHom 𝑈)) → (Scalar‘𝑈) = (Scalar‘𝑉))
7	3	lvecdrng 20988	. . . 4 ⊢ (𝑉 ∈ LVec → (Scalar‘𝑉) ∈ DivRing)
8	7	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝑉 ∈ LVec ∧ 𝐹 ∈ (𝑉 LMHom 𝑈)) → (Scalar‘𝑉) ∈ DivRing)
9	6, 8	eqeltrd 2828	. 2 ⊢ ((𝑉 ∈ LVec ∧ 𝐹 ∈ (𝑉 LMHom 𝑈)) → (Scalar‘𝑈) ∈ DivRing)
10	4	islvec 20987	. 2 ⊢ (𝑈 ∈ LVec ↔ (𝑈 ∈ LMod ∧ (Scalar‘𝑈) ∈ DivRing))
11	2, 9, 10	sylanbrc 583	1 ⊢ ((𝑉 ∈ LVec ∧ 𝐹 ∈ (𝑉 LMHom 𝑈)) → 𝑈 ∈ LVec)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ‘cfv 6499  (class class class)co 7369  Scalarcsca 17199  DivRingcdr 20614  LModclmod 20742   LMHom clmhm 20902  LVecclvec 20985

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pr 5382

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-br 5103  df-opab 5165  df-id 5526  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fv 6507  df-ov 7372  df-oprab 7373  df-mpo 7374  df-lmhm 20905  df-lvec 20986

This theorem is referenced by:  imlmhm  33590  dimkerim  33596  algextdeglem8  33687