Theorem lmhmlvec2 34362

Description: A homomorphism of left vector spaces has a left vector space as codomain. (Contributed by Thierry Arnoux, 7-May-2023.)

Assertion

Ref	Expression
lmhmlvec2	⊢ ((𝑉 ∈ LVec ∧ 𝐹 ∈ (𝑉 LMHom 𝑈)) → 𝑈 ∈ LVec)

Proof of Theorem lmhmlvec2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lmhmlmod2 21358	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑉 LMHom 𝑈) → 𝑈 ∈ LMod)
2	1	adantl 487	. 2 ⊢ ((𝑉 ∈ LVec ∧ 𝐹 ∈ (𝑉 LMHom 𝑈)) → 𝑈 ∈ LMod)
3		eqid 2763	. . . . 5 ⊢ (Scalar‘𝑉) = (Scalar‘𝑉)
4		eqid 2763	. . . . 5 ⊢ (Scalar‘𝑈) = (Scalar‘𝑈)
5	3, 4	lmhmsca 21356	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑉 LMHom 𝑈) → (Scalar‘𝑈) = (Scalar‘𝑉))
6	5	adantl 487	. . 3 ⊢ ((𝑉 ∈ LVec ∧ 𝐹 ∈ (𝑉 LMHom 𝑈)) → (Scalar‘𝑈) = (Scalar‘𝑉))
7	3	lvecdrng 21431	. . . 4 ⊢ (𝑉 ∈ LVec → (Scalar‘𝑉) ∈ DivRing)
8	7	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝑉 ∈ LVec ∧ 𝐹 ∈ (𝑉 LMHom 𝑈)) → (Scalar‘𝑉) ∈ DivRing)
9	6, 8	eqeltrd 2864	. 2 ⊢ ((𝑉 ∈ LVec ∧ 𝐹 ∈ (𝑉 LMHom 𝑈)) → (Scalar‘𝑈) ∈ DivRing)
10	4	islvec 21430	. 2 ⊢ (𝑈 ∈ LVec ↔ (𝑈 ∈ LMod ∧ (Scalar‘𝑈) ∈ DivRing))
11	2, 9, 10	sylanbrc 595	1 ⊢ ((𝑉 ∈ LVec ∧ 𝐹 ∈ (𝑉 LMHom 𝑈)) → 𝑈 ∈ LVec)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2147  ‘cfv 6566  (class class class)co 7451  Scalarcsca 17475  DivRingcdr 21031  LModclmod 21186   LMHom clmhm 21345  LVecclvec 21428

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5255  ax-nul 5266  ax-pr 5398

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-ss 3901  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4841  df-uni 4873  df-br 5109  df-opab 5174  df-id 5553  df-xp 5664  df-rel 5665  df-cnv 5666  df-co 5667  df-dm 5668  df-iota 6520  df-fun 6568  df-fv 6574  df-ov 7454  df-oprab 7455  df-mpo 7456  df-lmhm 21348  df-lvec 21429

This theorem is used by:  imlmhm  34364  dimkerim  34370  algextdeglem8  34467