Theorem lmhmlvec2 34304

Description: A homomorphism of left vector spaces has a left vector space as codomain. (Contributed by Thierry Arnoux, 7-May-2023.)

Assertion

Ref	Expression
lmhmlvec2	⊢ ((𝑉 ∈ LVec ∧ 𝐹 ∈ (𝑉 LMHom 𝑈)) → 𝑈 ∈ LVec)

Proof of Theorem lmhmlvec2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lmhmlmod2 21319	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑉 LMHom 𝑈) → 𝑈 ∈ LMod)
2	1	adantl 487	. 2 ⊢ ((𝑉 ∈ LVec ∧ 𝐹 ∈ (𝑉 LMHom 𝑈)) → 𝑈 ∈ LMod)
3		eqid 2763	. . . . 5 ⊢ (Scalar‘𝑉) = (Scalar‘𝑉)
4		eqid 2763	. . . . 5 ⊢ (Scalar‘𝑈) = (Scalar‘𝑈)
5	3, 4	lmhmsca 21317	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑉 LMHom 𝑈) → (Scalar‘𝑈) = (Scalar‘𝑉))
6	5	adantl 487	. . 3 ⊢ ((𝑉 ∈ LVec ∧ 𝐹 ∈ (𝑉 LMHom 𝑈)) → (Scalar‘𝑈) = (Scalar‘𝑉))
7	3	lvecdrng 21392	. . . 4 ⊢ (𝑉 ∈ LVec → (Scalar‘𝑉) ∈ DivRing)
8	7	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝑉 ∈ LVec ∧ 𝐹 ∈ (𝑉 LMHom 𝑈)) → (Scalar‘𝑉) ∈ DivRing)
9	6, 8	eqeltrd 2863	. 2 ⊢ ((𝑉 ∈ LVec ∧ 𝐹 ∈ (𝑉 LMHom 𝑈)) → (Scalar‘𝑈) ∈ DivRing)
10	4	islvec 21391	. 2 ⊢ (𝑈 ∈ LVec ↔ (𝑈 ∈ LMod ∧ (Scalar‘𝑈) ∈ DivRing))
11	2, 9, 10	sylanbrc 595	1 ⊢ ((𝑉 ∈ LVec ∧ 𝐹 ∈ (𝑉 LMHom 𝑈)) → 𝑈 ∈ LVec)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1569   ∈ wcel 2146  ‘cfv 6546  (class class class)co 7427  Scalarcsca 17443  DivRingcdr 20992  LModclmod 21147   LMHom clmhm 21306  LVecclvec 21389

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1944  ax-6 2001  ax-7 2042  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2196  ax-12 2215  ax-ext 2735  ax-sep 5251  ax-nul 5262  ax-pr 5394

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2101  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rab 3416  df-v 3455  df-sbc 3742  df-ss 3900  df-dif 4049  df-in 4093  df-un 4153  df-nul 4281  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4838  df-uni 4870  df-br 5106  df-opab 5170  df-id 5549  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-iota 6500  df-fun 6548  df-fv 6554  df-ov 7430  df-oprab 7431  df-mpo 7432  df-lmhm 21309  df-lvec 21390

This theorem is used by:  imlmhm  34306  dimkerim  34312  algextdeglem8  34409