Theorem zclmncvs 25104

Description: The ring of integers as left module over itself is a subcomplex module, but not a subcomplex vector space. The vector operation is +, and the scalar product is ·. (Contributed by AV, 22-Oct-2021.)

Hypothesis

Ref	Expression
zclmncvs.z	⊢ 𝑍 = (ringLMod‘ℤring)

Assertion

Ref	Expression
zclmncvs	⊢ (𝑍 ∈ ℂMod ∧ 𝑍 ∉ ℂVec)

Proof of Theorem zclmncvs

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zringring 21404	. . . . 5 ⊢ ℤring ∈ Ring
2		rlmlmod 21155	. . . . 5 ⊢ (ℤring ∈ Ring → (ringLMod‘ℤring) ∈ LMod)
3	1, 2	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (ringLMod‘ℤring) ∈ LMod
4		rlmsca 21150	. . . . . 6 ⊢ (ℤring ∈ Ring → ℤring = (Scalar‘(ringLMod‘ℤring)))
5	1, 4	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ ℤring = (Scalar‘(ringLMod‘ℤring))
6		df-zring 21402	. . . . 5 ⊢ ℤring = (ℂfld ↾s ℤ)
7	5, 6	eqtr3i 2761	. . . 4 ⊢ (Scalar‘(ringLMod‘ℤring)) = (ℂfld ↾s ℤ)
8		zsubrg 21375	. . . 4 ⊢ ℤ ∈ (SubRing‘ℂfld)
9		eqid 2736	. . . . 5 ⊢ (Scalar‘(ringLMod‘ℤring)) = (Scalar‘(ringLMod‘ℤring))
10	9	isclmi 25033	. . . 4 ⊢ (((ringLMod‘ℤring) ∈ LMod ∧ (Scalar‘(ringLMod‘ℤring)) = (ℂfld ↾s ℤ) ∧ ℤ ∈ (SubRing‘ℂfld)) → (ringLMod‘ℤring) ∈ ℂMod)
11	3, 7, 8, 10	mp3an 1463	. . 3 ⊢ (ringLMod‘ℤring) ∈ ℂMod
12		zclmncvs.z	. . . 4 ⊢ 𝑍 = (ringLMod‘ℤring)
13	12	eleq1i 2827	. . 3 ⊢ (𝑍 ∈ ℂMod ↔ (ringLMod‘ℤring) ∈ ℂMod)
14	11, 13	mpbir 231	. 2 ⊢ 𝑍 ∈ ℂMod
15		zringndrg 21423	. . . . . . . 8 ⊢ ℤring ∉ DivRing
16	15	neli 3038	. . . . . . 7 ⊢ ¬ ℤring ∈ DivRing
17	4	eqcomd 2742	. . . . . . . . 9 ⊢ (ℤring ∈ Ring → (Scalar‘(ringLMod‘ℤring)) = ℤring)
18	1, 17	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ (Scalar‘(ringLMod‘ℤring)) = ℤring
19	18	eleq1i 2827	. . . . . . 7 ⊢ ((Scalar‘(ringLMod‘ℤring)) ∈ DivRing ↔ ℤring ∈ DivRing)
20	16, 19	mtbir 323	. . . . . 6 ⊢ ¬ (Scalar‘(ringLMod‘ℤring)) ∈ DivRing
21	20	intnan 486	. . . . 5 ⊢ ¬ ((ringLMod‘ℤring) ∈ LMod ∧ (Scalar‘(ringLMod‘ℤring)) ∈ DivRing)
22	9	islvec 21056	. . . . 5 ⊢ ((ringLMod‘ℤring) ∈ LVec ↔ ((ringLMod‘ℤring) ∈ LMod ∧ (Scalar‘(ringLMod‘ℤring)) ∈ DivRing))
23	21, 22	mtbir 323	. . . 4 ⊢ ¬ (ringLMod‘ℤring) ∈ LVec
24	23	olci 866	. . 3 ⊢ (¬ (ringLMod‘ℤring) ∈ ℂMod ∨ ¬ (ringLMod‘ℤring) ∈ LVec)
25		df-nel 3037	. . . 4 ⊢ (𝑍 ∉ ℂVec ↔ ¬ 𝑍 ∈ ℂVec)
26		ianor 983	. . . . . 6 ⊢ (¬ ((ringLMod‘ℤring) ∈ ℂMod ∧ (ringLMod‘ℤring) ∈ LVec) ↔ (¬ (ringLMod‘ℤring) ∈ ℂMod ∨ ¬ (ringLMod‘ℤring) ∈ LVec))
27		elin 3917	. . . . . 6 ⊢ ((ringLMod‘ℤring) ∈ (ℂMod ∩ LVec) ↔ ((ringLMod‘ℤring) ∈ ℂMod ∧ (ringLMod‘ℤring) ∈ LVec))
28	26, 27	xchnxbir 333	. . . . 5 ⊢ (¬ (ringLMod‘ℤring) ∈ (ℂMod ∩ LVec) ↔ (¬ (ringLMod‘ℤring) ∈ ℂMod ∨ ¬ (ringLMod‘ℤring) ∈ LVec))
29		df-cvs 25080	. . . . . 6 ⊢ ℂVec = (ℂMod ∩ LVec)
30	12, 29	eleq12i 2829	. . . . 5 ⊢ (𝑍 ∈ ℂVec ↔ (ringLMod‘ℤring) ∈ (ℂMod ∩ LVec))
31	28, 30	xchnxbir 333	. . . 4 ⊢ (¬ 𝑍 ∈ ℂVec ↔ (¬ (ringLMod‘ℤring) ∈ ℂMod ∨ ¬ (ringLMod‘ℤring) ∈ LVec))
32	25, 31	bitri 275	. . 3 ⊢ (𝑍 ∉ ℂVec ↔ (¬ (ringLMod‘ℤring) ∈ ℂMod ∨ ¬ (ringLMod‘ℤring) ∈ LVec))
33	24, 32	mpbir 231	. 2 ⊢ 𝑍 ∉ ℂVec
34	14, 33	pm3.2i 470	1 ⊢ (𝑍 ∈ ℂMod ∧ 𝑍 ∉ ℂVec)

Syntax hints:  ¬ wn 3   ∧ wa 395   ∨ wo 847   = wceq 1541   ∈ wcel 2113   ∉ wnel 3036   ∩ cin 3900  ‘cfv 6492  (class class class)co 7358  ℤcz 12488   ↾_s cress 17157  Scalarcsca 17180  Ringcrg 20168  SubRingcsubrg 20502  DivRingcdr 20662  LModclmod 20811  LVecclvec 21054  ringLModcrglmod 21124  ℂ_fldccnfld 21309  ℤ_ringczring 21401  ℂModcclm 25018  ℂVecccvs 25079

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-rep 5224  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680  ax-cnex 11082  ax-resscn 11083  ax-1cn 11084  ax-icn 11085  ax-addcl 11086  ax-addrcl 11087  ax-mulcl 11088  ax-mulrcl 11089  ax-mulcom 11090  ax-addass 11091  ax-mulass 11092  ax-distr 11093  ax-i2m1 11094  ax-1ne0 11095  ax-1rid 11096  ax-rnegex 11097  ax-rrecex 11098  ax-cnre 11099  ax-pre-lttri 11100  ax-pre-lttrn 11101  ax-pre-ltadd 11102  ax-pre-mulgt0 11103  ax-pre-sup 11104  ax-addf 11105

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3350  df-reu 3351  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-pss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-tp 4585  df-op 4587  df-uni 4864  df-iun 4948  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-tr 5206  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7809  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-tpos 8168  df-frecs 8223  df-wrecs 8254  df-recs 8303  df-rdg 8341  df-1o 8397  df-er 8635  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-sup 9345  df-pnf 11168  df-mnf 11169  df-xr 11170  df-ltxr 11171  df-le 11172  df-sub 11366  df-neg 11367  df-div 11795  df-nn 12146  df-2 12208  df-3 12209  df-4 12210  df-5 12211  df-6 12212  df-7 12213  df-8 12214  df-9 12215  df-n0 12402  df-z 12489  df-dec 12608  df-uz 12752  df-rp 12906  df-fz 13424  df-seq 13925  df-exp 13985  df-cj 15022  df-re 15023  df-im 15024  df-sqrt 15158  df-abs 15159  df-gz 16858  df-struct 17074  df-sets 17091  df-slot 17109  df-ndx 17121  df-base 17137  df-ress 17158  df-plusg 17190  df-mulr 17191  df-starv 17192  df-sca 17193  df-vsca 17194  df-ip 17195  df-tset 17196  df-ple 17197  df-ds 17199  df-unif 17200  df-0g 17361  df-mgm 18565  df-sgrp 18644  df-mnd 18660  df-grp 18866  df-minusg 18867  df-subg 19053  df-cmn 19711  df-abl 19712  df-mgp 20076  df-rng 20088  df-ur 20117  df-ring 20170  df-cring 20171  df-oppr 20273  df-dvdsr 20293  df-unit 20294  df-invr 20324  df-dvr 20337  df-subrng 20479  df-subrg 20503  df-drng 20664  df-lmod 20813  df-lvec 21055  df-sra 21125  df-rgmod 21126  df-cnfld 21310  df-zring 21402  df-clm 25019  df-cvs 25080

This theorem is referenced by: (None)