Theorem zclmncvs 25048

Description: The ring of integers as left module over itself is a subcomplex module, but not a subcomplex vector space. The vector operation is +, and the scalar product is ·. (Contributed by AV, 22-Oct-2021.)

Hypothesis

Ref	Expression
zclmncvs.z	⊢ 𝑍 = (ringLMod‘ℤring)

Assertion

Ref	Expression
zclmncvs	⊢ (𝑍 ∈ ℂMod ∧ 𝑍 ∉ ℂVec)

Proof of Theorem zclmncvs

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zringring 21359	. . . . 5 ⊢ ℤring ∈ Ring
2		rlmlmod 21110	. . . . 5 ⊢ (ℤring ∈ Ring → (ringLMod‘ℤring) ∈ LMod)
3	1, 2	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (ringLMod‘ℤring) ∈ LMod
4		rlmsca 21105	. . . . . 6 ⊢ (ℤring ∈ Ring → ℤring = (Scalar‘(ringLMod‘ℤring)))
5	1, 4	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ ℤring = (Scalar‘(ringLMod‘ℤring))
6		df-zring 21357	. . . . 5 ⊢ ℤring = (ℂfld ↾s ℤ)
7	5, 6	eqtr3i 2754	. . . 4 ⊢ (Scalar‘(ringLMod‘ℤring)) = (ℂfld ↾s ℤ)
8		zsubrg 21337	. . . 4 ⊢ ℤ ∈ (SubRing‘ℂfld)
9		eqid 2729	. . . . 5 ⊢ (Scalar‘(ringLMod‘ℤring)) = (Scalar‘(ringLMod‘ℤring))
10	9	isclmi 24977	. . . 4 ⊢ (((ringLMod‘ℤring) ∈ LMod ∧ (Scalar‘(ringLMod‘ℤring)) = (ℂfld ↾s ℤ) ∧ ℤ ∈ (SubRing‘ℂfld)) → (ringLMod‘ℤring) ∈ ℂMod)
11	3, 7, 8, 10	mp3an 1463	. . 3 ⊢ (ringLMod‘ℤring) ∈ ℂMod
12		zclmncvs.z	. . . 4 ⊢ 𝑍 = (ringLMod‘ℤring)
13	12	eleq1i 2819	. . 3 ⊢ (𝑍 ∈ ℂMod ↔ (ringLMod‘ℤring) ∈ ℂMod)
14	11, 13	mpbir 231	. 2 ⊢ 𝑍 ∈ ℂMod
15		zringndrg 21378	. . . . . . . 8 ⊢ ℤring ∉ DivRing
16	15	neli 3031	. . . . . . 7 ⊢ ¬ ℤring ∈ DivRing
17	4	eqcomd 2735	. . . . . . . . 9 ⊢ (ℤring ∈ Ring → (Scalar‘(ringLMod‘ℤring)) = ℤring)
18	1, 17	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ (Scalar‘(ringLMod‘ℤring)) = ℤring
19	18	eleq1i 2819	. . . . . . 7 ⊢ ((Scalar‘(ringLMod‘ℤring)) ∈ DivRing ↔ ℤring ∈ DivRing)
20	16, 19	mtbir 323	. . . . . 6 ⊢ ¬ (Scalar‘(ringLMod‘ℤring)) ∈ DivRing
21	20	intnan 486	. . . . 5 ⊢ ¬ ((ringLMod‘ℤring) ∈ LMod ∧ (Scalar‘(ringLMod‘ℤring)) ∈ DivRing)
22	9	islvec 21011	. . . . 5 ⊢ ((ringLMod‘ℤring) ∈ LVec ↔ ((ringLMod‘ℤring) ∈ LMod ∧ (Scalar‘(ringLMod‘ℤring)) ∈ DivRing))
23	21, 22	mtbir 323	. . . 4 ⊢ ¬ (ringLMod‘ℤring) ∈ LVec
24	23	olci 866	. . 3 ⊢ (¬ (ringLMod‘ℤring) ∈ ℂMod ∨ ¬ (ringLMod‘ℤring) ∈ LVec)
25		df-nel 3030	. . . 4 ⊢ (𝑍 ∉ ℂVec ↔ ¬ 𝑍 ∈ ℂVec)
26		ianor 983	. . . . . 6 ⊢ (¬ ((ringLMod‘ℤring) ∈ ℂMod ∧ (ringLMod‘ℤring) ∈ LVec) ↔ (¬ (ringLMod‘ℤring) ∈ ℂMod ∨ ¬ (ringLMod‘ℤring) ∈ LVec))
27		elin 3930	. . . . . 6 ⊢ ((ringLMod‘ℤring) ∈ (ℂMod ∩ LVec) ↔ ((ringLMod‘ℤring) ∈ ℂMod ∧ (ringLMod‘ℤring) ∈ LVec))
28	26, 27	xchnxbir 333	. . . . 5 ⊢ (¬ (ringLMod‘ℤring) ∈ (ℂMod ∩ LVec) ↔ (¬ (ringLMod‘ℤring) ∈ ℂMod ∨ ¬ (ringLMod‘ℤring) ∈ LVec))
29		df-cvs 25024	. . . . . 6 ⊢ ℂVec = (ℂMod ∩ LVec)
30	12, 29	eleq12i 2821	. . . . 5 ⊢ (𝑍 ∈ ℂVec ↔ (ringLMod‘ℤring) ∈ (ℂMod ∩ LVec))
31	28, 30	xchnxbir 333	. . . 4 ⊢ (¬ 𝑍 ∈ ℂVec ↔ (¬ (ringLMod‘ℤring) ∈ ℂMod ∨ ¬ (ringLMod‘ℤring) ∈ LVec))
32	25, 31	bitri 275	. . 3 ⊢ (𝑍 ∉ ℂVec ↔ (¬ (ringLMod‘ℤring) ∈ ℂMod ∨ ¬ (ringLMod‘ℤring) ∈ LVec))
33	24, 32	mpbir 231	. 2 ⊢ 𝑍 ∉ ℂVec
34	14, 33	pm3.2i 470	1 ⊢ (𝑍 ∈ ℂMod ∧ 𝑍 ∉ ℂVec)

Syntax hints:  ¬ wn 3   ∧ wa 395   ∨ wo 847   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ∉ wnel 3029   ∩ cin 3913  ‘cfv 6511  (class class class)co 7387  ℤcz 12529   ↾_s cress 17200  Scalarcsca 17223  Ringcrg 20142  SubRingcsubrg 20478  DivRingcdr 20638  LModclmod 20766  LVecclvec 21009  ringLModcrglmod 21079  ℂ_fldccnfld 21264  ℤ_ringczring 21356  ℂModcclm 24962  ℂVecccvs 25023

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5234  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711  ax-cnex 11124  ax-resscn 11125  ax-1cn 11126  ax-icn 11127  ax-addcl 11128  ax-addrcl 11129  ax-mulcl 11130  ax-mulrcl 11131  ax-mulcom 11132  ax-addass 11133  ax-mulass 11134  ax-distr 11135  ax-i2m1 11136  ax-1ne0 11137  ax-1rid 11138  ax-rnegex 11139  ax-rrecex 11140  ax-cnre 11141  ax-pre-lttri 11142  ax-pre-lttrn 11143  ax-pre-ltadd 11144  ax-pre-mulgt0 11145  ax-pre-sup 11146  ax-addf 11147

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3354  df-reu 3355  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3934  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-tp 4594  df-op 4596  df-uni 4872  df-iun 4957  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-tr 5215  df-id 5533  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5591  df-we 5593  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6274  df-ord 6335  df-on 6336  df-lim 6337  df-suc 6338  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-riota 7344  df-ov 7390  df-oprab 7391  df-mpo 7392  df-om 7843  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-tpos 8205  df-frecs 8260  df-wrecs 8291  df-recs 8340  df-rdg 8378  df-1o 8434  df-er 8671  df-en 8919  df-dom 8920  df-sdom 8921  df-fin 8922  df-sup 9393  df-pnf 11210  df-mnf 11211  df-xr 11212  df-ltxr 11213  df-le 11214  df-sub 11407  df-neg 11408  df-div 11836  df-nn 12187  df-2 12249  df-3 12250  df-4 12251  df-5 12252  df-6 12253  df-7 12254  df-8 12255  df-9 12256  df-n0 12443  df-z 12530  df-dec 12650  df-uz 12794  df-rp 12952  df-fz 13469  df-seq 13967  df-exp 14027  df-cj 15065  df-re 15066  df-im 15067  df-sqrt 15201  df-abs 15202  df-gz 16901  df-struct 17117  df-sets 17134  df-slot 17152  df-ndx 17164  df-base 17180  df-ress 17201  df-plusg 17233  df-mulr 17234  df-starv 17235  df-sca 17236  df-vsca 17237  df-ip 17238  df-tset 17239  df-ple 17240  df-ds 17242  df-unif 17243  df-0g 17404  df-mgm 18567  df-sgrp 18646  df-mnd 18662  df-grp 18868  df-minusg 18869  df-subg 19055  df-cmn 19712  df-abl 19713  df-mgp 20050  df-rng 20062  df-ur 20091  df-ring 20144  df-cring 20145  df-oppr 20246  df-dvdsr 20266  df-unit 20267  df-invr 20297  df-dvr 20310  df-subrng 20455  df-subrg 20479  df-drng 20640  df-lmod 20768  df-lvec 21010  df-sra 21080  df-rgmod 21081  df-cnfld 21265  df-zring 21357  df-clm 24963  df-cvs 25024

This theorem is referenced by: (None)