Theorem zclmncvs 25344

Description: The ring of integers as left module over itself is a subcomplex module, but not a subcomplex vector space. The vector operation is +, and the scalar product is ·. (Contributed by AV, 22-Oct-2021.)

Hypothesis

Ref	Expression
zclmncvs.z	⊢ 𝑍 = (ringLMod‘ℤring)

Assertion

Ref	Expression
zclmncvs	⊢ (𝑍 ∈ ℂMod ∧ 𝑍 ∉ ℂVec)

Proof of Theorem zclmncvs

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zringring 21636	. . . . 5 ⊢ ℤring ∈ Ring
2		rlmlmod 21361	. . . . 5 ⊢ (ℤring ∈ Ring → (ringLMod‘ℤring) ∈ LMod)
3	1, 2	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (ringLMod‘ℤring) ∈ LMod
4		rlmsca 21356	. . . . . 6 ⊢ (ℤring ∈ Ring → ℤring = (Scalar‘(ringLMod‘ℤring)))
5	1, 4	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ ℤring = (Scalar‘(ringLMod‘ℤring))
6		df-zring 21634	. . . . 5 ⊢ ℤring = (ℂfld ↾s ℤ)
7	5, 6	eqtr3i 2791	. . . 4 ⊢ (Scalar‘(ringLMod‘ℤring)) = (ℂfld ↾s ℤ)
8		zsubrg 21607	. . . 4 ⊢ ℤ ∈ (SubRing‘ℂfld)
9		eqid 2766	. . . . 5 ⊢ (Scalar‘(ringLMod‘ℤring)) = (Scalar‘(ringLMod‘ℤring))
10	9	isclmi 25273	. . . 4 ⊢ (((ringLMod‘ℤring) ∈ LMod ∧ (Scalar‘(ringLMod‘ℤring)) = (ℂfld ↾s ℤ) ∧ ℤ ∈ (SubRing‘ℂfld)) → (ringLMod‘ℤring) ∈ ℂMod)
11	3, 7, 8, 10	mp3an 1490	. . 3 ⊢ (ringLMod‘ℤring) ∈ ℂMod
12		zclmncvs.z	. . . 4 ⊢ 𝑍 = (ringLMod‘ℤring)
13	12	eleq1i 2857	. . 3 ⊢ (𝑍 ∈ ℂMod ↔ (ringLMod‘ℤring) ∈ ℂMod)
14	11, 13	mpbir 234	. 2 ⊢ 𝑍 ∈ ℂMod
15		zringndrg 21655	. . . . . . . 8 ⊢ ℤring ∉ DivRing
16	15	neli 3069	. . . . . . 7 ⊢ ¬ ℤring ∈ DivRing
17	4	eqcomd 2772	. . . . . . . . 9 ⊢ (ℤring ∈ Ring → (Scalar‘(ringLMod‘ℤring)) = ℤring)
18	1, 17	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ (Scalar‘(ringLMod‘ℤring)) = ℤring
19	18	eleq1i 2857	. . . . . . 7 ⊢ ((Scalar‘(ringLMod‘ℤring)) ∈ DivRing ↔ ℤring ∈ DivRing)
20	16, 19	mtbir 326	. . . . . 6 ⊢ ¬ (Scalar‘(ringLMod‘ℤring)) ∈ DivRing
21	20	intnan 492	. . . . 5 ⊢ ¬ ((ringLMod‘ℤring) ∈ LMod ∧ (Scalar‘(ringLMod‘ℤring)) ∈ DivRing)
22	9	islvec 21262	. . . . 5 ⊢ ((ringLMod‘ℤring) ∈ LVec ↔ ((ringLMod‘ℤring) ∈ LMod ∧ (Scalar‘(ringLMod‘ℤring)) ∈ DivRing))
23	21, 22	mtbir 326	. . . 4 ⊢ ¬ (ringLMod‘ℤring) ∈ LVec
24	23	olci 880	. . 3 ⊢ (¬ (ringLMod‘ℤring) ∈ ℂMod ∨ ¬ (ringLMod‘ℤring) ∈ LVec)
25		df-nel 3068	. . . 4 ⊢ (𝑍 ∉ ℂVec ↔ ¬ 𝑍 ∈ ℂVec)
26		ianor 997	. . . . . 6 ⊢ (¬ ((ringLMod‘ℤring) ∈ ℂMod ∧ (ringLMod‘ℤring) ∈ LVec) ↔ (¬ (ringLMod‘ℤring) ∈ ℂMod ∨ ¬ (ringLMod‘ℤring) ∈ LVec))
27		elin 3924	. . . . . 6 ⊢ ((ringLMod‘ℤring) ∈ (ℂMod ∩ LVec) ↔ ((ringLMod‘ℤring) ∈ ℂMod ∧ (ringLMod‘ℤring) ∈ LVec))
28	26, 27	xchnxbir 336	. . . . 5 ⊢ (¬ (ringLMod‘ℤring) ∈ (ℂMod ∩ LVec) ↔ (¬ (ringLMod‘ℤring) ∈ ℂMod ∨ ¬ (ringLMod‘ℤring) ∈ LVec))
29		df-cvs 25320	. . . . . 6 ⊢ ℂVec = (ℂMod ∩ LVec)
30	12, 29	eleq12i 2859	. . . . 5 ⊢ (𝑍 ∈ ℂVec ↔ (ringLMod‘ℤring) ∈ (ℂMod ∩ LVec))
31	28, 30	xchnxbir 336	. . . 4 ⊢ (¬ 𝑍 ∈ ℂVec ↔ (¬ (ringLMod‘ℤring) ∈ ℂMod ∨ ¬ (ringLMod‘ℤring) ∈ LVec))
32	25, 31	bitri 278	. . 3 ⊢ (𝑍 ∉ ℂVec ↔ (¬ (ringLMod‘ℤring) ∈ ℂMod ∨ ¬ (ringLMod‘ℤring) ∈ LVec))
33	24, 32	mpbir 234	. 2 ⊢ 𝑍 ∉ ℂVec
34	14, 33	pm3.2i 476	1 ⊢ (𝑍 ∈ ℂMod ∧ 𝑍 ∉ ℂVec)

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   ∧ wa 401   ∨ wo 861   = wceq 1570   ∈ wcel 2146   ∉ wnel 3067   ∩ cin 3907  ‘cfv 6543  (class class class)co 7423  ℤcz 12609   ↾_s cress 17315  Scalarcsca 17338  Ringcrg 20346  SubRingcsubrg 20705  DivRingcdr 20864  LModclmod 21018  LVecclvec 21260  ringLModcrglmod 21330  ℂ_fldccnfld 21559  ℤ_ringczring 21633  ℂModcclm 25258  ℂVecccvs 25319

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2738  ax-rep 5243  ax-sep 5262  ax-nul 5274  ax-pow 5341  ax-pr 5409  ax-un 7745  ax-cnex 11174  ax-resscn 11175  ax-1cn 11176  ax-icn 11177  ax-addcl 11178  ax-addrcl 11179  ax-mulcl 11180  ax-mulrcl 11181  ax-mulcom 11182  ax-addass 11183  ax-mulass 11184  ax-distr 11185  ax-i2m1 11186  ax-1ne0 11187  ax-1rid 11188  ax-rnegex 11189  ax-rrecex 11190  ax-cnre 11191  ax-pre-lttri 11192  ax-pre-lttrn 11193  ax-pre-ltadd 11194  ax-pre-mulgt0 11195  ax-pre-sup 11196  ax-addf 11197

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2570  df-eu 2600  df-clab 2745  df-cleq 2758  df-clel 2841  df-nfc 2915  df-ne 2962  df-nel 3068  df-ral 3083  df-rex 3093  df-rmo 3372  df-reu 3373  df-rab 3420  df-v 3460  df-sbc 3748  df-csb 3857  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3928  df-nul 4290  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-tp 4599  df-op 4601  df-uni 4878  df-iun 4963  df-br 5115  df-opab 5179  df-mpt 5198  df-tr 5224  df-id 5561  df-eprel 5566  df-po 5574  df-so 5575  df-fr 5619  df-we 5621  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-pred 6309  df-ord 6370  df-on 6371  df-lim 6372  df-suc 6373  df-iota 6499  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7380  df-ov 7426  df-oprab 7427  df-mpo 7428  df-om 7872  df-1st 7995  df-2nd 7996  df-tpos 8231  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-er 8703  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-fin 8956  df-sup 9412  df-pnf 11263  df-mnf 11264  df-xr 11265  df-ltxr 11266  df-le 11267  df-sub 11461  df-neg 11462  df-div 11890  df-nn 12252  df-2 12321  df-3 12322  df-4 12323  df-5 12324  df-6 12325  df-7 12326  df-8 12327  df-9 12328  df-n0 12523  df-z 12610  df-dec 12730  df-uz 12881  df-rp 13035  df-fz 13554  df-seq 14058  df-exp 14118  df-cj 15176  df-re 15177  df-im 15178  df-sqrt 15312  df-abs 15313  df-gz 17015  df-struct 17232  df-sets 17249  df-slot 17267  df-ndx 17279  df-base 17295  df-ress 17316  df-plusg 17348  df-mulr 17349  df-starv 17350  df-sca 17351  df-vsca 17352  df-ip 17353  df-tset 17354  df-ple 17355  df-ds 17357  df-unif 17358  df-0g 17519  df-mgm 18723  df-sgrp 18806  df-mnd 18822  df-grp 19034  df-minusg 19035  df-subg 19220  df-cmn 19883  df-abl 19884  df-mgp 20248  df-rng 20262  df-ur 20295  df-ring 20348  df-cring 20349  df-oppr 20452  df-dvdsr 20472  df-unit 20473  df-invr 20503  df-dvr 20516  df-subrng 20682  df-subrg 20706  df-drng 20866  df-lmod 21020  df-lvec 21261  df-sra 21331  df-rgmod 21332  df-cnfld 21560  df-zring 21634  df-clm 25259  df-cvs 25320

This theorem is used by: (None)