Theorem lindsdom 37608

Description: A linearly independent set in a free linear module of finite dimension over a division ring is smaller than the dimension of the module. (Contributed by Brendan Leahy, 2-Jun-2021.)

Assertion

Ref	Expression
lindsdom	⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑋 ∈ (LIndS‘(𝑅 freeLMod 𝐼))) → 𝑋 ≼ 𝐼)

Proof of Theorem lindsdom

Dummy variables 𝑥 𝑓 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		drngring 20645	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ DivRing → 𝑅 ∈ Ring)
2		eqid 2729	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 freeLMod 𝐼) = (𝑅 freeLMod 𝐼)
3	2	frlmlmod 21658	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ Fin) → (𝑅 freeLMod 𝐼) ∈ LMod)
4	1, 3	sylan 580	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ Fin) → (𝑅 freeLMod 𝐼) ∈ LMod)
5		eqid 2729	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘(𝑅 freeLMod 𝐼)) = (Base‘(𝑅 freeLMod 𝐼))
6		eqid 2729	. . . . . . 7 ⊢ (LSubSp‘(𝑅 freeLMod 𝐼)) = (LSubSp‘(𝑅 freeLMod 𝐼))
7	5, 6	lssmre 20872	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 freeLMod 𝐼) ∈ LMod → (LSubSp‘(𝑅 freeLMod 𝐼)) ∈ (Moore‘(Base‘(𝑅 freeLMod 𝐼))))
8	4, 7	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ Fin) → (LSubSp‘(𝑅 freeLMod 𝐼)) ∈ (Moore‘(Base‘(𝑅 freeLMod 𝐼))))
9	8	3adant3 1132	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑋 ∈ (LIndS‘(𝑅 freeLMod 𝐼))) → (LSubSp‘(𝑅 freeLMod 𝐼)) ∈ (Moore‘(Base‘(𝑅 freeLMod 𝐼))))
10		eqid 2729	. . . 4 ⊢ (mrCls‘(LSubSp‘(𝑅 freeLMod 𝐼))) = (mrCls‘(LSubSp‘(𝑅 freeLMod 𝐼)))
11		eqid 2729	. . . 4 ⊢ (mrInd‘(LSubSp‘(𝑅 freeLMod 𝐼))) = (mrInd‘(LSubSp‘(𝑅 freeLMod 𝐼)))
12	2	frlmsca 21662	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ Fin) → 𝑅 = (Scalar‘(𝑅 freeLMod 𝐼)))
13		simpl 482	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ Fin) → 𝑅 ∈ DivRing)
14	12, 13	eqeltrrd 2829	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ Fin) → (Scalar‘(𝑅 freeLMod 𝐼)) ∈ DivRing)
15		eqid 2729	. . . . . . . . 9 ⊢ (Scalar‘(𝑅 freeLMod 𝐼)) = (Scalar‘(𝑅 freeLMod 𝐼))
16	15	islvec 21011	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 freeLMod 𝐼) ∈ LVec ↔ ((𝑅 freeLMod 𝐼) ∈ LMod ∧ (Scalar‘(𝑅 freeLMod 𝐼)) ∈ DivRing))
17	4, 14, 16	sylanbrc 583	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ Fin) → (𝑅 freeLMod 𝐼) ∈ LVec)
18	6, 10, 5	lssacsex 21054	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 freeLMod 𝐼) ∈ LVec → ((LSubSp‘(𝑅 freeLMod 𝐼)) ∈ (ACS‘(Base‘(𝑅 freeLMod 𝐼))) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 (Base‘(𝑅 freeLMod 𝐼))∀𝑦 ∈ (Base‘(𝑅 freeLMod 𝐼))∀𝑧 ∈ (((mrCls‘(LSubSp‘(𝑅 freeLMod 𝐼)))‘(𝑥 ∪ {𝑦})) ∖ ((mrCls‘(LSubSp‘(𝑅 freeLMod 𝐼)))‘𝑥))𝑦 ∈ ((mrCls‘(LSubSp‘(𝑅 freeLMod 𝐼)))‘(𝑥 ∪ {𝑧}))))
19	17, 18	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ Fin) → ((LSubSp‘(𝑅 freeLMod 𝐼)) ∈ (ACS‘(Base‘(𝑅 freeLMod 𝐼))) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 (Base‘(𝑅 freeLMod 𝐼))∀𝑦 ∈ (Base‘(𝑅 freeLMod 𝐼))∀𝑧 ∈ (((mrCls‘(LSubSp‘(𝑅 freeLMod 𝐼)))‘(𝑥 ∪ {𝑦})) ∖ ((mrCls‘(LSubSp‘(𝑅 freeLMod 𝐼)))‘𝑥))𝑦 ∈ ((mrCls‘(LSubSp‘(𝑅 freeLMod 𝐼)))‘(𝑥 ∪ {𝑧}))))
20	19	simprd 495	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ Fin) → ∀𝑥 ∈ 𝒫 (Base‘(𝑅 freeLMod 𝐼))∀𝑦 ∈ (Base‘(𝑅 freeLMod 𝐼))∀𝑧 ∈ (((mrCls‘(LSubSp‘(𝑅 freeLMod 𝐼)))‘(𝑥 ∪ {𝑦})) ∖ ((mrCls‘(LSubSp‘(𝑅 freeLMod 𝐼)))‘𝑥))𝑦 ∈ ((mrCls‘(LSubSp‘(𝑅 freeLMod 𝐼)))‘(𝑥 ∪ {𝑧})))
21	20	3adant3 1132	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑋 ∈ (LIndS‘(𝑅 freeLMod 𝐼))) → ∀𝑥 ∈ 𝒫 (Base‘(𝑅 freeLMod 𝐼))∀𝑦 ∈ (Base‘(𝑅 freeLMod 𝐼))∀𝑧 ∈ (((mrCls‘(LSubSp‘(𝑅 freeLMod 𝐼)))‘(𝑥 ∪ {𝑦})) ∖ ((mrCls‘(LSubSp‘(𝑅 freeLMod 𝐼)))‘𝑥))𝑦 ∈ ((mrCls‘(LSubSp‘(𝑅 freeLMod 𝐼)))‘(𝑥 ∪ {𝑧})))
22		dif0 4341	. . . . . 6 ⊢ ((Base‘(𝑅 freeLMod 𝐼)) ∖ ∅) = (Base‘(𝑅 freeLMod 𝐼))
23	22	linds1 21719	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ∈ (LIndS‘(𝑅 freeLMod 𝐼)) → 𝑋 ⊆ ((Base‘(𝑅 freeLMod 𝐼)) ∖ ∅))
24	23	3ad2ant3 1135	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑋 ∈ (LIndS‘(𝑅 freeLMod 𝐼))) → 𝑋 ⊆ ((Base‘(𝑅 freeLMod 𝐼)) ∖ ∅))
25		eqid 2729	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑅 unitVec 𝐼) = (𝑅 unitVec 𝐼)
26	25, 2, 5	uvcff 21700	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ Fin) → (𝑅 unitVec 𝐼):𝐼⟶(Base‘(𝑅 freeLMod 𝐼)))
27	1, 26	sylan 580	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ Fin) → (𝑅 unitVec 𝐼):𝐼⟶(Base‘(𝑅 freeLMod 𝐼)))
28	27	frnd 6696	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ Fin) → ran (𝑅 unitVec 𝐼) ⊆ (Base‘(𝑅 freeLMod 𝐼)))
29	28, 22	sseqtrrdi 3988	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ Fin) → ran (𝑅 unitVec 𝐼) ⊆ ((Base‘(𝑅 freeLMod 𝐼)) ∖ ∅))
30	29	3adant3 1132	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑋 ∈ (LIndS‘(𝑅 freeLMod 𝐼))) → ran (𝑅 unitVec 𝐼) ⊆ ((Base‘(𝑅 freeLMod 𝐼)) ∖ ∅))
31	5	linds1 21719	. . . . . 6 ⊢ (𝑋 ∈ (LIndS‘(𝑅 freeLMod 𝐼)) → 𝑋 ⊆ (Base‘(𝑅 freeLMod 𝐼)))
32	31	3ad2ant3 1135	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑋 ∈ (LIndS‘(𝑅 freeLMod 𝐼))) → 𝑋 ⊆ (Base‘(𝑅 freeLMod 𝐼)))
33		un0 4357	. . . . . . . 8 ⊢ (ran (𝑅 unitVec 𝐼) ∪ ∅) = ran (𝑅 unitVec 𝐼)
34	33	fveq2i 6861	. . . . . . 7 ⊢ ((mrCls‘(LSubSp‘(𝑅 freeLMod 𝐼)))‘(ran (𝑅 unitVec 𝐼) ∪ ∅)) = ((mrCls‘(LSubSp‘(𝑅 freeLMod 𝐼)))‘ran (𝑅 unitVec 𝐼))
35		eqid 2729	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (LSpan‘(𝑅 freeLMod 𝐼)) = (LSpan‘(𝑅 freeLMod 𝐼))
36	6, 35, 10	mrclsp 20895	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑅 freeLMod 𝐼) ∈ LMod → (LSpan‘(𝑅 freeLMod 𝐼)) = (mrCls‘(LSubSp‘(𝑅 freeLMod 𝐼))))
37	4, 36	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ Fin) → (LSpan‘(𝑅 freeLMod 𝐼)) = (mrCls‘(LSubSp‘(𝑅 freeLMod 𝐼))))
38	37	fveq1d 6860	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ Fin) → ((LSpan‘(𝑅 freeLMod 𝐼))‘ran (𝑅 unitVec 𝐼)) = ((mrCls‘(LSubSp‘(𝑅 freeLMod 𝐼)))‘ran (𝑅 unitVec 𝐼)))
39		eqid 2729	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (LBasis‘(𝑅 freeLMod 𝐼)) = (LBasis‘(𝑅 freeLMod 𝐼))
40	2, 25, 39	frlmlbs 21706	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ Fin) → ran (𝑅 unitVec 𝐼) ∈ (LBasis‘(𝑅 freeLMod 𝐼)))
41	1, 40	sylan 580	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ Fin) → ran (𝑅 unitVec 𝐼) ∈ (LBasis‘(𝑅 freeLMod 𝐼)))
42	5, 39, 35	lbssp 20986	. . . . . . . . 9 ⊢ (ran (𝑅 unitVec 𝐼) ∈ (LBasis‘(𝑅 freeLMod 𝐼)) → ((LSpan‘(𝑅 freeLMod 𝐼))‘ran (𝑅 unitVec 𝐼)) = (Base‘(𝑅 freeLMod 𝐼)))
43	41, 42	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ Fin) → ((LSpan‘(𝑅 freeLMod 𝐼))‘ran (𝑅 unitVec 𝐼)) = (Base‘(𝑅 freeLMod 𝐼)))
44	38, 43	eqtr3d 2766	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ Fin) → ((mrCls‘(LSubSp‘(𝑅 freeLMod 𝐼)))‘ran (𝑅 unitVec 𝐼)) = (Base‘(𝑅 freeLMod 𝐼)))
45	34, 44	eqtrid 2776	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ Fin) → ((mrCls‘(LSubSp‘(𝑅 freeLMod 𝐼)))‘(ran (𝑅 unitVec 𝐼) ∪ ∅)) = (Base‘(𝑅 freeLMod 𝐼)))
46	45	3adant3 1132	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑋 ∈ (LIndS‘(𝑅 freeLMod 𝐼))) → ((mrCls‘(LSubSp‘(𝑅 freeLMod 𝐼)))‘(ran (𝑅 unitVec 𝐼) ∪ ∅)) = (Base‘(𝑅 freeLMod 𝐼)))
47	32, 46	sseqtrrd 3984	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑋 ∈ (LIndS‘(𝑅 freeLMod 𝐼))) → 𝑋 ⊆ ((mrCls‘(LSubSp‘(𝑅 freeLMod 𝐼)))‘(ran (𝑅 unitVec 𝐼) ∪ ∅)))
48		un0 4357	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ∪ ∅) = 𝑋
49		drngnzr 20657	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑅 ∈ DivRing → 𝑅 ∈ NzRing)
50	49	adantr 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ Fin) → 𝑅 ∈ NzRing)
51	12, 50	eqeltrrd 2829	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ Fin) → (Scalar‘(𝑅 freeLMod 𝐼)) ∈ NzRing)
52	4, 51	jca 511	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ Fin) → ((𝑅 freeLMod 𝐼) ∈ LMod ∧ (Scalar‘(𝑅 freeLMod 𝐼)) ∈ NzRing))
53	35, 15	lindsind2 21728	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑅 freeLMod 𝐼) ∈ LMod ∧ (Scalar‘(𝑅 freeLMod 𝐼)) ∈ NzRing) ∧ 𝑋 ∈ (LIndS‘(𝑅 freeLMod 𝐼)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → ¬ 𝑦 ∈ ((LSpan‘(𝑅 freeLMod 𝐼))‘(𝑋 ∖ {𝑦})))
54	53	3expa 1118	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝑅 freeLMod 𝐼) ∈ LMod ∧ (Scalar‘(𝑅 freeLMod 𝐼)) ∈ NzRing) ∧ 𝑋 ∈ (LIndS‘(𝑅 freeLMod 𝐼))) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → ¬ 𝑦 ∈ ((LSpan‘(𝑅 freeLMod 𝐼))‘(𝑋 ∖ {𝑦})))
55	52, 54	sylanl1 680	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑋 ∈ (LIndS‘(𝑅 freeLMod 𝐼))) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → ¬ 𝑦 ∈ ((LSpan‘(𝑅 freeLMod 𝐼))‘(𝑋 ∖ {𝑦})))
56	37	fveq1d 6860	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ Fin) → ((LSpan‘(𝑅 freeLMod 𝐼))‘(𝑋 ∖ {𝑦})) = ((mrCls‘(LSubSp‘(𝑅 freeLMod 𝐼)))‘(𝑋 ∖ {𝑦})))
57	56	eleq2d 2814	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ Fin) → (𝑦 ∈ ((LSpan‘(𝑅 freeLMod 𝐼))‘(𝑋 ∖ {𝑦})) ↔ 𝑦 ∈ ((mrCls‘(LSubSp‘(𝑅 freeLMod 𝐼)))‘(𝑋 ∖ {𝑦}))))
58	57	ad2antrr 726	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑋 ∈ (LIndS‘(𝑅 freeLMod 𝐼))) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → (𝑦 ∈ ((LSpan‘(𝑅 freeLMod 𝐼))‘(𝑋 ∖ {𝑦})) ↔ 𝑦 ∈ ((mrCls‘(LSubSp‘(𝑅 freeLMod 𝐼)))‘(𝑋 ∖ {𝑦}))))
59	55, 58	mtbid 324	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑋 ∈ (LIndS‘(𝑅 freeLMod 𝐼))) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → ¬ 𝑦 ∈ ((mrCls‘(LSubSp‘(𝑅 freeLMod 𝐼)))‘(𝑋 ∖ {𝑦})))
60	59	ralrimiva 3125	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑋 ∈ (LIndS‘(𝑅 freeLMod 𝐼))) → ∀𝑦 ∈ 𝑋 ¬ 𝑦 ∈ ((mrCls‘(LSubSp‘(𝑅 freeLMod 𝐼)))‘(𝑋 ∖ {𝑦})))
61	60	3impa 1109	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑋 ∈ (LIndS‘(𝑅 freeLMod 𝐼))) → ∀𝑦 ∈ 𝑋 ¬ 𝑦 ∈ ((mrCls‘(LSubSp‘(𝑅 freeLMod 𝐼)))‘(𝑋 ∖ {𝑦})))
62	10, 11	ismri2 17593	. . . . . . . 8 ⊢ (((LSubSp‘(𝑅 freeLMod 𝐼)) ∈ (Moore‘(Base‘(𝑅 freeLMod 𝐼))) ∧ 𝑋 ⊆ (Base‘(𝑅 freeLMod 𝐼))) → (𝑋 ∈ (mrInd‘(LSubSp‘(𝑅 freeLMod 𝐼))) ↔ ∀𝑦 ∈ 𝑋 ¬ 𝑦 ∈ ((mrCls‘(LSubSp‘(𝑅 freeLMod 𝐼)))‘(𝑋 ∖ {𝑦}))))
63	8, 31, 62	syl2an 596	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑋 ∈ (LIndS‘(𝑅 freeLMod 𝐼))) → (𝑋 ∈ (mrInd‘(LSubSp‘(𝑅 freeLMod 𝐼))) ↔ ∀𝑦 ∈ 𝑋 ¬ 𝑦 ∈ ((mrCls‘(LSubSp‘(𝑅 freeLMod 𝐼)))‘(𝑋 ∖ {𝑦}))))
64	63	3impa 1109	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑋 ∈ (LIndS‘(𝑅 freeLMod 𝐼))) → (𝑋 ∈ (mrInd‘(LSubSp‘(𝑅 freeLMod 𝐼))) ↔ ∀𝑦 ∈ 𝑋 ¬ 𝑦 ∈ ((mrCls‘(LSubSp‘(𝑅 freeLMod 𝐼)))‘(𝑋 ∖ {𝑦}))))
65	61, 64	mpbird 257	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑋 ∈ (LIndS‘(𝑅 freeLMod 𝐼))) → 𝑋 ∈ (mrInd‘(LSubSp‘(𝑅 freeLMod 𝐼))))
66	48, 65	eqeltrid 2832	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑋 ∈ (LIndS‘(𝑅 freeLMod 𝐼))) → (𝑋 ∪ ∅) ∈ (mrInd‘(LSubSp‘(𝑅 freeLMod 𝐼))))
67		simpr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ Fin) → 𝐼 ∈ Fin)
68	25	uvcendim 21756	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝐼 ∈ Fin) → 𝐼 ≈ ran (𝑅 unitVec 𝐼))
69	49, 68	sylan 580	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ Fin) → 𝐼 ≈ ran (𝑅 unitVec 𝐼))
70		enfi 9151	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐼 ≈ ran (𝑅 unitVec 𝐼) → (𝐼 ∈ Fin ↔ ran (𝑅 unitVec 𝐼) ∈ Fin))
71	69, 70	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ Fin) → (𝐼 ∈ Fin ↔ ran (𝑅 unitVec 𝐼) ∈ Fin))
72	67, 71	mpbid 232	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ Fin) → ran (𝑅 unitVec 𝐼) ∈ Fin)
73	72	olcd 874	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ Fin) → (𝑋 ∈ Fin ∨ ran (𝑅 unitVec 𝐼) ∈ Fin))
74	73	3adant3 1132	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑋 ∈ (LIndS‘(𝑅 freeLMod 𝐼))) → (𝑋 ∈ Fin ∨ ran (𝑅 unitVec 𝐼) ∈ Fin))
75	9, 10, 11, 21, 24, 30, 47, 66, 74	mreexexd 17609	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑋 ∈ (LIndS‘(𝑅 freeLMod 𝐼))) → ∃𝑓 ∈ 𝒫 ran (𝑅 unitVec 𝐼)(𝑋 ≈ 𝑓 ∧ (𝑓 ∪ ∅) ∈ (mrInd‘(LSubSp‘(𝑅 freeLMod 𝐼)))))
76		simpl 482	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ≈ 𝑓 ∧ (𝑓 ∪ ∅) ∈ (mrInd‘(LSubSp‘(𝑅 freeLMod 𝐼)))) → 𝑋 ≈ 𝑓)
77		ovex 7420	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 unitVec 𝐼) ∈ V
78	77	rnex 7886	. . . . . 6 ⊢ ran (𝑅 unitVec 𝐼) ∈ V
79		elpwi 4570	. . . . . 6 ⊢ (𝑓 ∈ 𝒫 ran (𝑅 unitVec 𝐼) → 𝑓 ⊆ ran (𝑅 unitVec 𝐼))
80		ssdomg 8971	. . . . . 6 ⊢ (ran (𝑅 unitVec 𝐼) ∈ V → (𝑓 ⊆ ran (𝑅 unitVec 𝐼) → 𝑓 ≼ ran (𝑅 unitVec 𝐼)))
81	78, 79, 80	mpsyl 68	. . . . 5 ⊢ (𝑓 ∈ 𝒫 ran (𝑅 unitVec 𝐼) → 𝑓 ≼ ran (𝑅 unitVec 𝐼))
82		endomtr 8983	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ≈ 𝑓 ∧ 𝑓 ≼ ran (𝑅 unitVec 𝐼)) → 𝑋 ≼ ran (𝑅 unitVec 𝐼))
83	76, 81, 82	syl2anr 597	. . . 4 ⊢ ((𝑓 ∈ 𝒫 ran (𝑅 unitVec 𝐼) ∧ (𝑋 ≈ 𝑓 ∧ (𝑓 ∪ ∅) ∈ (mrInd‘(LSubSp‘(𝑅 freeLMod 𝐼))))) → 𝑋 ≼ ran (𝑅 unitVec 𝐼))
84	83	rexlimiva 3126	. . 3 ⊢ (∃𝑓 ∈ 𝒫 ran (𝑅 unitVec 𝐼)(𝑋 ≈ 𝑓 ∧ (𝑓 ∪ ∅) ∈ (mrInd‘(LSubSp‘(𝑅 freeLMod 𝐼)))) → 𝑋 ≼ ran (𝑅 unitVec 𝐼))
85	75, 84	syl 17	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑋 ∈ (LIndS‘(𝑅 freeLMod 𝐼))) → 𝑋 ≼ ran (𝑅 unitVec 𝐼))
86	69	ensymd 8976	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ Fin) → ran (𝑅 unitVec 𝐼) ≈ 𝐼)
87	86	3adant3 1132	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑋 ∈ (LIndS‘(𝑅 freeLMod 𝐼))) → ran (𝑅 unitVec 𝐼) ≈ 𝐼)
88		domentr 8984	. 2 ⊢ ((𝑋 ≼ ran (𝑅 unitVec 𝐼) ∧ ran (𝑅 unitVec 𝐼) ≈ 𝐼) → 𝑋 ≼ 𝐼)
89	85, 87, 88	syl2anc 584	1 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑋 ∈ (LIndS‘(𝑅 freeLMod 𝐼))) → 𝑋 ≼ 𝐼)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ wo 847   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ∀wral 3044  ∃wrex 3053  Vcvv 3447   ∖ cdif 3911   ∪ cun 3912   ⊆ wss 3914  ∅c0 4296  𝒫 cpw 4563  {csn 4589   class class class wbr 5107  ran crn 5639  ⟶wf 6507  ‘cfv 6511  (class class class)co 7387   ≈ cen 8915   ≼ cdom 8916  Fincfn 8918  Basecbs 17179  Scalarcsca 17223  Moorecmre 17543  mrClscmrc 17544  mrIndcmri 17545  ACScacs 17546  Ringcrg 20142  NzRingcnzr 20421  DivRingcdr 20638  LModclmod 20766  LSubSpclss 20837  LSpanclspn 20877  LBasisclbs 20981  LVecclvec 21009   freeLMod cfrlm 21655   unitVec cuvc 21691  LIndSclinds 21714

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5234  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711  ax-cnex 11124  ax-resscn 11125  ax-1cn 11126  ax-icn 11127  ax-addcl 11128  ax-addrcl 11129  ax-mulcl 11130  ax-mulrcl 11131  ax-mulcom 11132  ax-addass 11133  ax-mulass 11134  ax-distr 11135  ax-i2m1 11136  ax-1ne0 11137  ax-1rid 11138  ax-rnegex 11139  ax-rrecex 11140  ax-cnre 11141  ax-pre-lttri 11142  ax-pre-lttrn 11143  ax-pre-ltadd 11144  ax-pre-mulgt0 11145

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3354  df-reu 3355  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3934  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-tp 4594  df-op 4596  df-uni 4872  df-int 4911  df-iun 4957  df-iin 4958  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-tr 5215  df-id 5533  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5591  df-se 5592  df-we 5593  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6274  df-ord 6335  df-on 6336  df-lim 6337  df-suc 6338  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-isom 6520  df-riota 7344  df-ov 7390  df-oprab 7391  df-mpo 7392  df-of 7653  df-om 7843  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-supp 8140  df-tpos 8205  df-frecs 8260  df-wrecs 8291  df-recs 8340  df-rdg 8378  df-1o 8434  df-2o 8435  df-er 8671  df-map 8801  df-ixp 8871  df-en 8919  df-dom 8920  df-sdom 8921  df-fin 8922  df-fsupp 9313  df-sup 9393  df-oi 9463  df-card 9892  df-pnf 11210  df-mnf 11211  df-xr 11212  df-ltxr 11213  df-le 11214  df-sub 11407  df-neg 11408  df-nn 12187  df-2 12249  df-3 12250  df-4 12251  df-5 12252  df-6 12253  df-7 12254  df-8 12255  df-9 12256  df-n0 12443  df-z 12530  df-dec 12650  df-uz 12794  df-fz 13469  df-fzo 13616  df-seq 13967  df-hash 14296  df-struct 17117  df-sets 17134  df-slot 17152  df-ndx 17164  df-base 17180  df-ress 17201  df-plusg 17233  df-mulr 17234  df-sca 17236  df-vsca 17237  df-ip 17238  df-tset 17239  df-ple 17240  df-ds 17242  df-hom 17244  df-cco 17245  df-0g 17404  df-gsum 17405  df-prds 17410  df-pws 17412  df-mre 17547  df-mrc 17548  df-mri 17549  df-acs 17550  df-mgm 18567  df-sgrp 18646  df-mnd 18662  df-mhm 18710  df-submnd 18711  df-grp 18868  df-minusg 18869  df-sbg 18870  df-mulg 19000  df-subg 19055  df-ghm 19145  df-cntz 19249  df-cmn 19712  df-abl 19713  df-mgp 20050  df-rng 20062  df-ur 20091  df-ring 20144  df-oppr 20246  df-dvdsr 20266  df-unit 20267  df-invr 20297  df-nzr 20422  df-subrg 20479  df-drng 20640  df-lmod 20768  df-lss 20838  df-lsp 20878  df-lmhm 20929  df-lbs 20982  df-lvec 21010  df-sra 21080  df-rgmod 21081  df-dsmm 21641  df-frlm 21656  df-uvc 21692  df-lindf 21715  df-linds 21716

This theorem is referenced by:  lindsenlbs  37609