Theorem lindsdom 37660

Description: A linearly independent set in a free linear module of finite dimension over a division ring is smaller than the dimension of the module. (Contributed by Brendan Leahy, 2-Jun-2021.)

Assertion

Ref	Expression
lindsdom	⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑋 ∈ (LIndS‘(𝑅 freeLMod 𝐼))) → 𝑋 ≼ 𝐼)

Proof of Theorem lindsdom

Dummy variables 𝑥 𝑓 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		drngring 20657	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ DivRing → 𝑅 ∈ Ring)
2		eqid 2731	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 freeLMod 𝐼) = (𝑅 freeLMod 𝐼)
3	2	frlmlmod 21692	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ Fin) → (𝑅 freeLMod 𝐼) ∈ LMod)
4	1, 3	sylan 580	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ Fin) → (𝑅 freeLMod 𝐼) ∈ LMod)
5		eqid 2731	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘(𝑅 freeLMod 𝐼)) = (Base‘(𝑅 freeLMod 𝐼))
6		eqid 2731	. . . . . . 7 ⊢ (LSubSp‘(𝑅 freeLMod 𝐼)) = (LSubSp‘(𝑅 freeLMod 𝐼))
7	5, 6	lssmre 20905	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 freeLMod 𝐼) ∈ LMod → (LSubSp‘(𝑅 freeLMod 𝐼)) ∈ (Moore‘(Base‘(𝑅 freeLMod 𝐼))))
8	4, 7	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ Fin) → (LSubSp‘(𝑅 freeLMod 𝐼)) ∈ (Moore‘(Base‘(𝑅 freeLMod 𝐼))))
9	8	3adant3 1132	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑋 ∈ (LIndS‘(𝑅 freeLMod 𝐼))) → (LSubSp‘(𝑅 freeLMod 𝐼)) ∈ (Moore‘(Base‘(𝑅 freeLMod 𝐼))))
10		eqid 2731	. . . 4 ⊢ (mrCls‘(LSubSp‘(𝑅 freeLMod 𝐼))) = (mrCls‘(LSubSp‘(𝑅 freeLMod 𝐼)))
11		eqid 2731	. . . 4 ⊢ (mrInd‘(LSubSp‘(𝑅 freeLMod 𝐼))) = (mrInd‘(LSubSp‘(𝑅 freeLMod 𝐼)))
12	2	frlmsca 21696	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ Fin) → 𝑅 = (Scalar‘(𝑅 freeLMod 𝐼)))
13		simpl 482	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ Fin) → 𝑅 ∈ DivRing)
14	12, 13	eqeltrrd 2832	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ Fin) → (Scalar‘(𝑅 freeLMod 𝐼)) ∈ DivRing)
15		eqid 2731	. . . . . . . . 9 ⊢ (Scalar‘(𝑅 freeLMod 𝐼)) = (Scalar‘(𝑅 freeLMod 𝐼))
16	15	islvec 21044	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 freeLMod 𝐼) ∈ LVec ↔ ((𝑅 freeLMod 𝐼) ∈ LMod ∧ (Scalar‘(𝑅 freeLMod 𝐼)) ∈ DivRing))
17	4, 14, 16	sylanbrc 583	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ Fin) → (𝑅 freeLMod 𝐼) ∈ LVec)
18	6, 10, 5	lssacsex 21087	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 freeLMod 𝐼) ∈ LVec → ((LSubSp‘(𝑅 freeLMod 𝐼)) ∈ (ACS‘(Base‘(𝑅 freeLMod 𝐼))) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 (Base‘(𝑅 freeLMod 𝐼))∀𝑦 ∈ (Base‘(𝑅 freeLMod 𝐼))∀𝑧 ∈ (((mrCls‘(LSubSp‘(𝑅 freeLMod 𝐼)))‘(𝑥 ∪ {𝑦})) ∖ ((mrCls‘(LSubSp‘(𝑅 freeLMod 𝐼)))‘𝑥))𝑦 ∈ ((mrCls‘(LSubSp‘(𝑅 freeLMod 𝐼)))‘(𝑥 ∪ {𝑧}))))
19	17, 18	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ Fin) → ((LSubSp‘(𝑅 freeLMod 𝐼)) ∈ (ACS‘(Base‘(𝑅 freeLMod 𝐼))) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 (Base‘(𝑅 freeLMod 𝐼))∀𝑦 ∈ (Base‘(𝑅 freeLMod 𝐼))∀𝑧 ∈ (((mrCls‘(LSubSp‘(𝑅 freeLMod 𝐼)))‘(𝑥 ∪ {𝑦})) ∖ ((mrCls‘(LSubSp‘(𝑅 freeLMod 𝐼)))‘𝑥))𝑦 ∈ ((mrCls‘(LSubSp‘(𝑅 freeLMod 𝐼)))‘(𝑥 ∪ {𝑧}))))
20	19	simprd 495	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ Fin) → ∀𝑥 ∈ 𝒫 (Base‘(𝑅 freeLMod 𝐼))∀𝑦 ∈ (Base‘(𝑅 freeLMod 𝐼))∀𝑧 ∈ (((mrCls‘(LSubSp‘(𝑅 freeLMod 𝐼)))‘(𝑥 ∪ {𝑦})) ∖ ((mrCls‘(LSubSp‘(𝑅 freeLMod 𝐼)))‘𝑥))𝑦 ∈ ((mrCls‘(LSubSp‘(𝑅 freeLMod 𝐼)))‘(𝑥 ∪ {𝑧})))
21	20	3adant3 1132	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑋 ∈ (LIndS‘(𝑅 freeLMod 𝐼))) → ∀𝑥 ∈ 𝒫 (Base‘(𝑅 freeLMod 𝐼))∀𝑦 ∈ (Base‘(𝑅 freeLMod 𝐼))∀𝑧 ∈ (((mrCls‘(LSubSp‘(𝑅 freeLMod 𝐼)))‘(𝑥 ∪ {𝑦})) ∖ ((mrCls‘(LSubSp‘(𝑅 freeLMod 𝐼)))‘𝑥))𝑦 ∈ ((mrCls‘(LSubSp‘(𝑅 freeLMod 𝐼)))‘(𝑥 ∪ {𝑧})))
22		dif0 4327	. . . . . 6 ⊢ ((Base‘(𝑅 freeLMod 𝐼)) ∖ ∅) = (Base‘(𝑅 freeLMod 𝐼))
23	22	linds1 21753	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ∈ (LIndS‘(𝑅 freeLMod 𝐼)) → 𝑋 ⊆ ((Base‘(𝑅 freeLMod 𝐼)) ∖ ∅))
24	23	3ad2ant3 1135	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑋 ∈ (LIndS‘(𝑅 freeLMod 𝐼))) → 𝑋 ⊆ ((Base‘(𝑅 freeLMod 𝐼)) ∖ ∅))
25		eqid 2731	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑅 unitVec 𝐼) = (𝑅 unitVec 𝐼)
26	25, 2, 5	uvcff 21734	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ Fin) → (𝑅 unitVec 𝐼):𝐼⟶(Base‘(𝑅 freeLMod 𝐼)))
27	1, 26	sylan 580	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ Fin) → (𝑅 unitVec 𝐼):𝐼⟶(Base‘(𝑅 freeLMod 𝐼)))
28	27	frnd 6665	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ Fin) → ran (𝑅 unitVec 𝐼) ⊆ (Base‘(𝑅 freeLMod 𝐼)))
29	28, 22	sseqtrrdi 3971	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ Fin) → ran (𝑅 unitVec 𝐼) ⊆ ((Base‘(𝑅 freeLMod 𝐼)) ∖ ∅))
30	29	3adant3 1132	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑋 ∈ (LIndS‘(𝑅 freeLMod 𝐼))) → ran (𝑅 unitVec 𝐼) ⊆ ((Base‘(𝑅 freeLMod 𝐼)) ∖ ∅))
31	5	linds1 21753	. . . . . 6 ⊢ (𝑋 ∈ (LIndS‘(𝑅 freeLMod 𝐼)) → 𝑋 ⊆ (Base‘(𝑅 freeLMod 𝐼)))
32	31	3ad2ant3 1135	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑋 ∈ (LIndS‘(𝑅 freeLMod 𝐼))) → 𝑋 ⊆ (Base‘(𝑅 freeLMod 𝐼)))
33		un0 4343	. . . . . . . 8 ⊢ (ran (𝑅 unitVec 𝐼) ∪ ∅) = ran (𝑅 unitVec 𝐼)
34	33	fveq2i 6831	. . . . . . 7 ⊢ ((mrCls‘(LSubSp‘(𝑅 freeLMod 𝐼)))‘(ran (𝑅 unitVec 𝐼) ∪ ∅)) = ((mrCls‘(LSubSp‘(𝑅 freeLMod 𝐼)))‘ran (𝑅 unitVec 𝐼))
35		eqid 2731	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (LSpan‘(𝑅 freeLMod 𝐼)) = (LSpan‘(𝑅 freeLMod 𝐼))
36	6, 35, 10	mrclsp 20928	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑅 freeLMod 𝐼) ∈ LMod → (LSpan‘(𝑅 freeLMod 𝐼)) = (mrCls‘(LSubSp‘(𝑅 freeLMod 𝐼))))
37	4, 36	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ Fin) → (LSpan‘(𝑅 freeLMod 𝐼)) = (mrCls‘(LSubSp‘(𝑅 freeLMod 𝐼))))
38	37	fveq1d 6830	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ Fin) → ((LSpan‘(𝑅 freeLMod 𝐼))‘ran (𝑅 unitVec 𝐼)) = ((mrCls‘(LSubSp‘(𝑅 freeLMod 𝐼)))‘ran (𝑅 unitVec 𝐼)))
39		eqid 2731	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (LBasis‘(𝑅 freeLMod 𝐼)) = (LBasis‘(𝑅 freeLMod 𝐼))
40	2, 25, 39	frlmlbs 21740	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ Fin) → ran (𝑅 unitVec 𝐼) ∈ (LBasis‘(𝑅 freeLMod 𝐼)))
41	1, 40	sylan 580	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ Fin) → ran (𝑅 unitVec 𝐼) ∈ (LBasis‘(𝑅 freeLMod 𝐼)))
42	5, 39, 35	lbssp 21019	. . . . . . . . 9 ⊢ (ran (𝑅 unitVec 𝐼) ∈ (LBasis‘(𝑅 freeLMod 𝐼)) → ((LSpan‘(𝑅 freeLMod 𝐼))‘ran (𝑅 unitVec 𝐼)) = (Base‘(𝑅 freeLMod 𝐼)))
43	41, 42	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ Fin) → ((LSpan‘(𝑅 freeLMod 𝐼))‘ran (𝑅 unitVec 𝐼)) = (Base‘(𝑅 freeLMod 𝐼)))
44	38, 43	eqtr3d 2768	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ Fin) → ((mrCls‘(LSubSp‘(𝑅 freeLMod 𝐼)))‘ran (𝑅 unitVec 𝐼)) = (Base‘(𝑅 freeLMod 𝐼)))
45	34, 44	eqtrid 2778	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ Fin) → ((mrCls‘(LSubSp‘(𝑅 freeLMod 𝐼)))‘(ran (𝑅 unitVec 𝐼) ∪ ∅)) = (Base‘(𝑅 freeLMod 𝐼)))
46	45	3adant3 1132	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑋 ∈ (LIndS‘(𝑅 freeLMod 𝐼))) → ((mrCls‘(LSubSp‘(𝑅 freeLMod 𝐼)))‘(ran (𝑅 unitVec 𝐼) ∪ ∅)) = (Base‘(𝑅 freeLMod 𝐼)))
47	32, 46	sseqtrrd 3967	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑋 ∈ (LIndS‘(𝑅 freeLMod 𝐼))) → 𝑋 ⊆ ((mrCls‘(LSubSp‘(𝑅 freeLMod 𝐼)))‘(ran (𝑅 unitVec 𝐼) ∪ ∅)))
48		un0 4343	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ∪ ∅) = 𝑋
49		drngnzr 20669	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑅 ∈ DivRing → 𝑅 ∈ NzRing)
50	49	adantr 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ Fin) → 𝑅 ∈ NzRing)
51	12, 50	eqeltrrd 2832	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ Fin) → (Scalar‘(𝑅 freeLMod 𝐼)) ∈ NzRing)
52	4, 51	jca 511	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ Fin) → ((𝑅 freeLMod 𝐼) ∈ LMod ∧ (Scalar‘(𝑅 freeLMod 𝐼)) ∈ NzRing))
53	35, 15	lindsind2 21762	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑅 freeLMod 𝐼) ∈ LMod ∧ (Scalar‘(𝑅 freeLMod 𝐼)) ∈ NzRing) ∧ 𝑋 ∈ (LIndS‘(𝑅 freeLMod 𝐼)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → ¬ 𝑦 ∈ ((LSpan‘(𝑅 freeLMod 𝐼))‘(𝑋 ∖ {𝑦})))
54	53	3expa 1118	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝑅 freeLMod 𝐼) ∈ LMod ∧ (Scalar‘(𝑅 freeLMod 𝐼)) ∈ NzRing) ∧ 𝑋 ∈ (LIndS‘(𝑅 freeLMod 𝐼))) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → ¬ 𝑦 ∈ ((LSpan‘(𝑅 freeLMod 𝐼))‘(𝑋 ∖ {𝑦})))
55	52, 54	sylanl1 680	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑋 ∈ (LIndS‘(𝑅 freeLMod 𝐼))) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → ¬ 𝑦 ∈ ((LSpan‘(𝑅 freeLMod 𝐼))‘(𝑋 ∖ {𝑦})))
56	37	fveq1d 6830	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ Fin) → ((LSpan‘(𝑅 freeLMod 𝐼))‘(𝑋 ∖ {𝑦})) = ((mrCls‘(LSubSp‘(𝑅 freeLMod 𝐼)))‘(𝑋 ∖ {𝑦})))
57	56	eleq2d 2817	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ Fin) → (𝑦 ∈ ((LSpan‘(𝑅 freeLMod 𝐼))‘(𝑋 ∖ {𝑦})) ↔ 𝑦 ∈ ((mrCls‘(LSubSp‘(𝑅 freeLMod 𝐼)))‘(𝑋 ∖ {𝑦}))))
58	57	ad2antrr 726	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑋 ∈ (LIndS‘(𝑅 freeLMod 𝐼))) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → (𝑦 ∈ ((LSpan‘(𝑅 freeLMod 𝐼))‘(𝑋 ∖ {𝑦})) ↔ 𝑦 ∈ ((mrCls‘(LSubSp‘(𝑅 freeLMod 𝐼)))‘(𝑋 ∖ {𝑦}))))
59	55, 58	mtbid 324	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑋 ∈ (LIndS‘(𝑅 freeLMod 𝐼))) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → ¬ 𝑦 ∈ ((mrCls‘(LSubSp‘(𝑅 freeLMod 𝐼)))‘(𝑋 ∖ {𝑦})))
60	59	ralrimiva 3124	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑋 ∈ (LIndS‘(𝑅 freeLMod 𝐼))) → ∀𝑦 ∈ 𝑋 ¬ 𝑦 ∈ ((mrCls‘(LSubSp‘(𝑅 freeLMod 𝐼)))‘(𝑋 ∖ {𝑦})))
61	60	3impa 1109	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑋 ∈ (LIndS‘(𝑅 freeLMod 𝐼))) → ∀𝑦 ∈ 𝑋 ¬ 𝑦 ∈ ((mrCls‘(LSubSp‘(𝑅 freeLMod 𝐼)))‘(𝑋 ∖ {𝑦})))
62	10, 11	ismri2 17544	. . . . . . . 8 ⊢ (((LSubSp‘(𝑅 freeLMod 𝐼)) ∈ (Moore‘(Base‘(𝑅 freeLMod 𝐼))) ∧ 𝑋 ⊆ (Base‘(𝑅 freeLMod 𝐼))) → (𝑋 ∈ (mrInd‘(LSubSp‘(𝑅 freeLMod 𝐼))) ↔ ∀𝑦 ∈ 𝑋 ¬ 𝑦 ∈ ((mrCls‘(LSubSp‘(𝑅 freeLMod 𝐼)))‘(𝑋 ∖ {𝑦}))))
63	8, 31, 62	syl2an 596	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑋 ∈ (LIndS‘(𝑅 freeLMod 𝐼))) → (𝑋 ∈ (mrInd‘(LSubSp‘(𝑅 freeLMod 𝐼))) ↔ ∀𝑦 ∈ 𝑋 ¬ 𝑦 ∈ ((mrCls‘(LSubSp‘(𝑅 freeLMod 𝐼)))‘(𝑋 ∖ {𝑦}))))
64	63	3impa 1109	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑋 ∈ (LIndS‘(𝑅 freeLMod 𝐼))) → (𝑋 ∈ (mrInd‘(LSubSp‘(𝑅 freeLMod 𝐼))) ↔ ∀𝑦 ∈ 𝑋 ¬ 𝑦 ∈ ((mrCls‘(LSubSp‘(𝑅 freeLMod 𝐼)))‘(𝑋 ∖ {𝑦}))))
65	61, 64	mpbird 257	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑋 ∈ (LIndS‘(𝑅 freeLMod 𝐼))) → 𝑋 ∈ (mrInd‘(LSubSp‘(𝑅 freeLMod 𝐼))))
66	48, 65	eqeltrid 2835	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑋 ∈ (LIndS‘(𝑅 freeLMod 𝐼))) → (𝑋 ∪ ∅) ∈ (mrInd‘(LSubSp‘(𝑅 freeLMod 𝐼))))
67		simpr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ Fin) → 𝐼 ∈ Fin)
68	25	uvcendim 21790	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝐼 ∈ Fin) → 𝐼 ≈ ran (𝑅 unitVec 𝐼))
69	49, 68	sylan 580	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ Fin) → 𝐼 ≈ ran (𝑅 unitVec 𝐼))
70		enfi 9102	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐼 ≈ ran (𝑅 unitVec 𝐼) → (𝐼 ∈ Fin ↔ ran (𝑅 unitVec 𝐼) ∈ Fin))
71	69, 70	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ Fin) → (𝐼 ∈ Fin ↔ ran (𝑅 unitVec 𝐼) ∈ Fin))
72	67, 71	mpbid 232	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ Fin) → ran (𝑅 unitVec 𝐼) ∈ Fin)
73	72	olcd 874	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ Fin) → (𝑋 ∈ Fin ∨ ran (𝑅 unitVec 𝐼) ∈ Fin))
74	73	3adant3 1132	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑋 ∈ (LIndS‘(𝑅 freeLMod 𝐼))) → (𝑋 ∈ Fin ∨ ran (𝑅 unitVec 𝐼) ∈ Fin))
75	9, 10, 11, 21, 24, 30, 47, 66, 74	mreexexd 17560	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑋 ∈ (LIndS‘(𝑅 freeLMod 𝐼))) → ∃𝑓 ∈ 𝒫 ran (𝑅 unitVec 𝐼)(𝑋 ≈ 𝑓 ∧ (𝑓 ∪ ∅) ∈ (mrInd‘(LSubSp‘(𝑅 freeLMod 𝐼)))))
76		simpl 482	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ≈ 𝑓 ∧ (𝑓 ∪ ∅) ∈ (mrInd‘(LSubSp‘(𝑅 freeLMod 𝐼)))) → 𝑋 ≈ 𝑓)
77		ovex 7385	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 unitVec 𝐼) ∈ V
78	77	rnex 7846	. . . . . 6 ⊢ ran (𝑅 unitVec 𝐼) ∈ V
79		elpwi 4556	. . . . . 6 ⊢ (𝑓 ∈ 𝒫 ran (𝑅 unitVec 𝐼) → 𝑓 ⊆ ran (𝑅 unitVec 𝐼))
80		ssdomg 8928	. . . . . 6 ⊢ (ran (𝑅 unitVec 𝐼) ∈ V → (𝑓 ⊆ ran (𝑅 unitVec 𝐼) → 𝑓 ≼ ran (𝑅 unitVec 𝐼)))
81	78, 79, 80	mpsyl 68	. . . . 5 ⊢ (𝑓 ∈ 𝒫 ran (𝑅 unitVec 𝐼) → 𝑓 ≼ ran (𝑅 unitVec 𝐼))
82		endomtr 8940	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ≈ 𝑓 ∧ 𝑓 ≼ ran (𝑅 unitVec 𝐼)) → 𝑋 ≼ ran (𝑅 unitVec 𝐼))
83	76, 81, 82	syl2anr 597	. . . 4 ⊢ ((𝑓 ∈ 𝒫 ran (𝑅 unitVec 𝐼) ∧ (𝑋 ≈ 𝑓 ∧ (𝑓 ∪ ∅) ∈ (mrInd‘(LSubSp‘(𝑅 freeLMod 𝐼))))) → 𝑋 ≼ ran (𝑅 unitVec 𝐼))
84	83	rexlimiva 3125	. . 3 ⊢ (∃𝑓 ∈ 𝒫 ran (𝑅 unitVec 𝐼)(𝑋 ≈ 𝑓 ∧ (𝑓 ∪ ∅) ∈ (mrInd‘(LSubSp‘(𝑅 freeLMod 𝐼)))) → 𝑋 ≼ ran (𝑅 unitVec 𝐼))
85	75, 84	syl 17	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑋 ∈ (LIndS‘(𝑅 freeLMod 𝐼))) → 𝑋 ≼ ran (𝑅 unitVec 𝐼))
86	69	ensymd 8933	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ Fin) → ran (𝑅 unitVec 𝐼) ≈ 𝐼)
87	86	3adant3 1132	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑋 ∈ (LIndS‘(𝑅 freeLMod 𝐼))) → ran (𝑅 unitVec 𝐼) ≈ 𝐼)
88		domentr 8941	. 2 ⊢ ((𝑋 ≼ ran (𝑅 unitVec 𝐼) ∧ ran (𝑅 unitVec 𝐼) ≈ 𝐼) → 𝑋 ≼ 𝐼)
89	85, 87, 88	syl2anc 584	1 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑋 ∈ (LIndS‘(𝑅 freeLMod 𝐼))) → 𝑋 ≼ 𝐼)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ wo 847   ∧ w3a 1086   = wceq 1541   ∈ wcel 2111  ∀wral 3047  ∃wrex 3056  Vcvv 3436   ∖ cdif 3894   ∪ cun 3895   ⊆ wss 3897  ∅c0 4282  𝒫 cpw 4549  {csn 4575   class class class wbr 5093  ran crn 5620  ⟶wf 6483  ‘cfv 6487  (class class class)co 7352   ≈ cen 8872   ≼ cdom 8873  Fincfn 8875  Basecbs 17126  Scalarcsca 17170  Moorecmre 17490  mrClscmrc 17491  mrIndcmri 17492  ACScacs 17493  Ringcrg 20157  NzRingcnzr 20433  DivRingcdr 20650  LModclmod 20799  LSubSpclss 20870  LSpanclspn 20910  LBasisclbs 21014  LVecclvec 21042   freeLMod cfrlm 21689   unitVec cuvc 21725  LIndSclinds 21748

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-rep 5219  ax-sep 5236  ax-nul 5246  ax-pow 5305  ax-pr 5372  ax-un 7674  ax-cnex 11068  ax-resscn 11069  ax-1cn 11070  ax-icn 11071  ax-addcl 11072  ax-addrcl 11073  ax-mulcl 11074  ax-mulrcl 11075  ax-mulcom 11076  ax-addass 11077  ax-mulass 11078  ax-distr 11079  ax-i2m1 11080  ax-1ne0 11081  ax-1rid 11082  ax-rnegex 11083  ax-rrecex 11084  ax-cnre 11085  ax-pre-lttri 11086  ax-pre-lttrn 11087  ax-pre-ltadd 11088  ax-pre-mulgt0 11089

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3917  df-nul 4283  df-if 4475  df-pw 4551  df-sn 4576  df-pr 4578  df-tp 4580  df-op 4582  df-uni 4859  df-int 4898  df-iun 4943  df-iin 4944  df-br 5094  df-opab 5156  df-mpt 5175  df-tr 5201  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-se 5573  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6254  df-ord 6315  df-on 6316  df-lim 6317  df-suc 6318  df-iota 6443  df-fun 6489  df-fn 6490  df-f 6491  df-f1 6492  df-fo 6493  df-f1o 6494  df-fv 6495  df-isom 6496  df-riota 7309  df-ov 7355  df-oprab 7356  df-mpo 7357  df-of 7616  df-om 7803  df-1st 7927  df-2nd 7928  df-supp 8097  df-tpos 8162  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8297  df-rdg 8335  df-1o 8391  df-2o 8392  df-er 8628  df-map 8758  df-ixp 8828  df-en 8876  df-dom 8877  df-sdom 8878  df-fin 8879  df-fsupp 9252  df-sup 9332  df-oi 9402  df-card 9838  df-pnf 11154  df-mnf 11155  df-xr 11156  df-ltxr 11157  df-le 11158  df-sub 11352  df-neg 11353  df-nn 12132  df-2 12194  df-3 12195  df-4 12196  df-5 12197  df-6 12198  df-7 12199  df-8 12200  df-9 12201  df-n0 12388  df-z 12475  df-dec 12595  df-uz 12739  df-fz 13414  df-fzo 13561  df-seq 13915  df-hash 14244  df-struct 17064  df-sets 17081  df-slot 17099  df-ndx 17111  df-base 17127  df-ress 17148  df-plusg 17180  df-mulr 17181  df-sca 17183  df-vsca 17184  df-ip 17185  df-tset 17186  df-ple 17187  df-ds 17189  df-hom 17191  df-cco 17192  df-0g 17351  df-gsum 17352  df-prds 17357  df-pws 17359  df-mre 17494  df-mrc 17495  df-mri 17496  df-acs 17497  df-mgm 18554  df-sgrp 18633  df-mnd 18649  df-mhm 18697  df-submnd 18698  df-grp 18855  df-minusg 18856  df-sbg 18857  df-mulg 18987  df-subg 19042  df-ghm 19131  df-cntz 19235  df-cmn 19700  df-abl 19701  df-mgp 20065  df-rng 20077  df-ur 20106  df-ring 20159  df-oppr 20261  df-dvdsr 20281  df-unit 20282  df-invr 20312  df-nzr 20434  df-subrg 20491  df-drng 20652  df-lmod 20801  df-lss 20871  df-lsp 20911  df-lmhm 20962  df-lbs 21015  df-lvec 21043  df-sra 21113  df-rgmod 21114  df-dsmm 21675  df-frlm 21690  df-uvc 21726  df-lindf 21749  df-linds 21750

This theorem is referenced by:  lindsenlbs  37661