Users' Mathboxes Mathbox for Brendan Leahy < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lindsdom Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lindsdom 36101
Description: A linearly independent set in a free linear module of finite dimension over a division ring is smaller than the dimension of the module. (Contributed by Brendan Leahy, 2-Jun-2021.)
Assertion
Ref Expression
lindsdom ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑋 ∈ (LIndSβ€˜(𝑅 freeLMod 𝐼))) β†’ 𝑋 β‰Ό 𝐼)

Proof of Theorem lindsdom
Dummy variables π‘₯ 𝑓 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 drngring 20206 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ DivRing β†’ 𝑅 ∈ Ring)
2 eqid 2737 . . . . . . . 8 (𝑅 freeLMod 𝐼) = (𝑅 freeLMod 𝐼)
32frlmlmod 21171 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ Fin) β†’ (𝑅 freeLMod 𝐼) ∈ LMod)
41, 3sylan 581 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ Fin) β†’ (𝑅 freeLMod 𝐼) ∈ LMod)
5 eqid 2737 . . . . . . 7 (Baseβ€˜(𝑅 freeLMod 𝐼)) = (Baseβ€˜(𝑅 freeLMod 𝐼))
6 eqid 2737 . . . . . . 7 (LSubSpβ€˜(𝑅 freeLMod 𝐼)) = (LSubSpβ€˜(𝑅 freeLMod 𝐼))
75, 6lssmre 20443 . . . . . 6 ((𝑅 freeLMod 𝐼) ∈ LMod β†’ (LSubSpβ€˜(𝑅 freeLMod 𝐼)) ∈ (Mooreβ€˜(Baseβ€˜(𝑅 freeLMod 𝐼))))
84, 7syl 17 . . . . 5 ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ Fin) β†’ (LSubSpβ€˜(𝑅 freeLMod 𝐼)) ∈ (Mooreβ€˜(Baseβ€˜(𝑅 freeLMod 𝐼))))
983adant3 1133 . . . 4 ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑋 ∈ (LIndSβ€˜(𝑅 freeLMod 𝐼))) β†’ (LSubSpβ€˜(𝑅 freeLMod 𝐼)) ∈ (Mooreβ€˜(Baseβ€˜(𝑅 freeLMod 𝐼))))
10 eqid 2737 . . . 4 (mrClsβ€˜(LSubSpβ€˜(𝑅 freeLMod 𝐼))) = (mrClsβ€˜(LSubSpβ€˜(𝑅 freeLMod 𝐼)))
11 eqid 2737 . . . 4 (mrIndβ€˜(LSubSpβ€˜(𝑅 freeLMod 𝐼))) = (mrIndβ€˜(LSubSpβ€˜(𝑅 freeLMod 𝐼)))
122frlmsca 21175 . . . . . . . . 9 ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ Fin) β†’ 𝑅 = (Scalarβ€˜(𝑅 freeLMod 𝐼)))
13 simpl 484 . . . . . . . . 9 ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ Fin) β†’ 𝑅 ∈ DivRing)
1412, 13eqeltrrd 2839 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ Fin) β†’ (Scalarβ€˜(𝑅 freeLMod 𝐼)) ∈ DivRing)
15 eqid 2737 . . . . . . . . 9 (Scalarβ€˜(𝑅 freeLMod 𝐼)) = (Scalarβ€˜(𝑅 freeLMod 𝐼))
1615islvec 20581 . . . . . . . 8 ((𝑅 freeLMod 𝐼) ∈ LVec ↔ ((𝑅 freeLMod 𝐼) ∈ LMod ∧ (Scalarβ€˜(𝑅 freeLMod 𝐼)) ∈ DivRing))
174, 14, 16sylanbrc 584 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ Fin) β†’ (𝑅 freeLMod 𝐼) ∈ LVec)
186, 10, 5lssacsex 20621 . . . . . . 7 ((𝑅 freeLMod 𝐼) ∈ LVec β†’ ((LSubSpβ€˜(𝑅 freeLMod 𝐼)) ∈ (ACSβ€˜(Baseβ€˜(𝑅 freeLMod 𝐼))) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝒫 (Baseβ€˜(𝑅 freeLMod 𝐼))βˆ€π‘¦ ∈ (Baseβ€˜(𝑅 freeLMod 𝐼))βˆ€π‘§ ∈ (((mrClsβ€˜(LSubSpβ€˜(𝑅 freeLMod 𝐼)))β€˜(π‘₯ βˆͺ {𝑦})) βˆ– ((mrClsβ€˜(LSubSpβ€˜(𝑅 freeLMod 𝐼)))β€˜π‘₯))𝑦 ∈ ((mrClsβ€˜(LSubSpβ€˜(𝑅 freeLMod 𝐼)))β€˜(π‘₯ βˆͺ {𝑧}))))
1917, 18syl 17 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ Fin) β†’ ((LSubSpβ€˜(𝑅 freeLMod 𝐼)) ∈ (ACSβ€˜(Baseβ€˜(𝑅 freeLMod 𝐼))) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝒫 (Baseβ€˜(𝑅 freeLMod 𝐼))βˆ€π‘¦ ∈ (Baseβ€˜(𝑅 freeLMod 𝐼))βˆ€π‘§ ∈ (((mrClsβ€˜(LSubSpβ€˜(𝑅 freeLMod 𝐼)))β€˜(π‘₯ βˆͺ {𝑦})) βˆ– ((mrClsβ€˜(LSubSpβ€˜(𝑅 freeLMod 𝐼)))β€˜π‘₯))𝑦 ∈ ((mrClsβ€˜(LSubSpβ€˜(𝑅 freeLMod 𝐼)))β€˜(π‘₯ βˆͺ {𝑧}))))
2019simprd 497 . . . . 5 ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ Fin) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝒫 (Baseβ€˜(𝑅 freeLMod 𝐼))βˆ€π‘¦ ∈ (Baseβ€˜(𝑅 freeLMod 𝐼))βˆ€π‘§ ∈ (((mrClsβ€˜(LSubSpβ€˜(𝑅 freeLMod 𝐼)))β€˜(π‘₯ βˆͺ {𝑦})) βˆ– ((mrClsβ€˜(LSubSpβ€˜(𝑅 freeLMod 𝐼)))β€˜π‘₯))𝑦 ∈ ((mrClsβ€˜(LSubSpβ€˜(𝑅 freeLMod 𝐼)))β€˜(π‘₯ βˆͺ {𝑧})))
21203adant3 1133 . . . 4 ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑋 ∈ (LIndSβ€˜(𝑅 freeLMod 𝐼))) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝒫 (Baseβ€˜(𝑅 freeLMod 𝐼))βˆ€π‘¦ ∈ (Baseβ€˜(𝑅 freeLMod 𝐼))βˆ€π‘§ ∈ (((mrClsβ€˜(LSubSpβ€˜(𝑅 freeLMod 𝐼)))β€˜(π‘₯ βˆͺ {𝑦})) βˆ– ((mrClsβ€˜(LSubSpβ€˜(𝑅 freeLMod 𝐼)))β€˜π‘₯))𝑦 ∈ ((mrClsβ€˜(LSubSpβ€˜(𝑅 freeLMod 𝐼)))β€˜(π‘₯ βˆͺ {𝑧})))
22 dif0 4337 . . . . . 6 ((Baseβ€˜(𝑅 freeLMod 𝐼)) βˆ– βˆ…) = (Baseβ€˜(𝑅 freeLMod 𝐼))
2322linds1 21232 . . . . 5 (𝑋 ∈ (LIndSβ€˜(𝑅 freeLMod 𝐼)) β†’ 𝑋 βŠ† ((Baseβ€˜(𝑅 freeLMod 𝐼)) βˆ– βˆ…))
24233ad2ant3 1136 . . . 4 ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑋 ∈ (LIndSβ€˜(𝑅 freeLMod 𝐼))) β†’ 𝑋 βŠ† ((Baseβ€˜(𝑅 freeLMod 𝐼)) βˆ– βˆ…))
25 eqid 2737 . . . . . . . . 9 (𝑅 unitVec 𝐼) = (𝑅 unitVec 𝐼)
2625, 2, 5uvcff 21213 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ Fin) β†’ (𝑅 unitVec 𝐼):𝐼⟢(Baseβ€˜(𝑅 freeLMod 𝐼)))
271, 26sylan 581 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ Fin) β†’ (𝑅 unitVec 𝐼):𝐼⟢(Baseβ€˜(𝑅 freeLMod 𝐼)))
2827frnd 6681 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ Fin) β†’ ran (𝑅 unitVec 𝐼) βŠ† (Baseβ€˜(𝑅 freeLMod 𝐼)))
2928, 22sseqtrrdi 4000 . . . . 5 ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ Fin) β†’ ran (𝑅 unitVec 𝐼) βŠ† ((Baseβ€˜(𝑅 freeLMod 𝐼)) βˆ– βˆ…))
30293adant3 1133 . . . 4 ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑋 ∈ (LIndSβ€˜(𝑅 freeLMod 𝐼))) β†’ ran (𝑅 unitVec 𝐼) βŠ† ((Baseβ€˜(𝑅 freeLMod 𝐼)) βˆ– βˆ…))
315linds1 21232 . . . . . 6 (𝑋 ∈ (LIndSβ€˜(𝑅 freeLMod 𝐼)) β†’ 𝑋 βŠ† (Baseβ€˜(𝑅 freeLMod 𝐼)))
32313ad2ant3 1136 . . . . 5 ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑋 ∈ (LIndSβ€˜(𝑅 freeLMod 𝐼))) β†’ 𝑋 βŠ† (Baseβ€˜(𝑅 freeLMod 𝐼)))
33 un0 4355 . . . . . . . 8 (ran (𝑅 unitVec 𝐼) βˆͺ βˆ…) = ran (𝑅 unitVec 𝐼)
3433fveq2i 6850 . . . . . . 7 ((mrClsβ€˜(LSubSpβ€˜(𝑅 freeLMod 𝐼)))β€˜(ran (𝑅 unitVec 𝐼) βˆͺ βˆ…)) = ((mrClsβ€˜(LSubSpβ€˜(𝑅 freeLMod 𝐼)))β€˜ran (𝑅 unitVec 𝐼))
35 eqid 2737 . . . . . . . . . . 11 (LSpanβ€˜(𝑅 freeLMod 𝐼)) = (LSpanβ€˜(𝑅 freeLMod 𝐼))
366, 35, 10mrclsp 20466 . . . . . . . . . 10 ((𝑅 freeLMod 𝐼) ∈ LMod β†’ (LSpanβ€˜(𝑅 freeLMod 𝐼)) = (mrClsβ€˜(LSubSpβ€˜(𝑅 freeLMod 𝐼))))
374, 36syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ Fin) β†’ (LSpanβ€˜(𝑅 freeLMod 𝐼)) = (mrClsβ€˜(LSubSpβ€˜(𝑅 freeLMod 𝐼))))
3837fveq1d 6849 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ Fin) β†’ ((LSpanβ€˜(𝑅 freeLMod 𝐼))β€˜ran (𝑅 unitVec 𝐼)) = ((mrClsβ€˜(LSubSpβ€˜(𝑅 freeLMod 𝐼)))β€˜ran (𝑅 unitVec 𝐼)))
39 eqid 2737 . . . . . . . . . . 11 (LBasisβ€˜(𝑅 freeLMod 𝐼)) = (LBasisβ€˜(𝑅 freeLMod 𝐼))
402, 25, 39frlmlbs 21219 . . . . . . . . . 10 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ Fin) β†’ ran (𝑅 unitVec 𝐼) ∈ (LBasisβ€˜(𝑅 freeLMod 𝐼)))
411, 40sylan 581 . . . . . . . . 9 ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ Fin) β†’ ran (𝑅 unitVec 𝐼) ∈ (LBasisβ€˜(𝑅 freeLMod 𝐼)))
425, 39, 35lbssp 20556 . . . . . . . . 9 (ran (𝑅 unitVec 𝐼) ∈ (LBasisβ€˜(𝑅 freeLMod 𝐼)) β†’ ((LSpanβ€˜(𝑅 freeLMod 𝐼))β€˜ran (𝑅 unitVec 𝐼)) = (Baseβ€˜(𝑅 freeLMod 𝐼)))
4341, 42syl 17 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ Fin) β†’ ((LSpanβ€˜(𝑅 freeLMod 𝐼))β€˜ran (𝑅 unitVec 𝐼)) = (Baseβ€˜(𝑅 freeLMod 𝐼)))
4438, 43eqtr3d 2779 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ Fin) β†’ ((mrClsβ€˜(LSubSpβ€˜(𝑅 freeLMod 𝐼)))β€˜ran (𝑅 unitVec 𝐼)) = (Baseβ€˜(𝑅 freeLMod 𝐼)))
4534, 44eqtrid 2789 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ Fin) β†’ ((mrClsβ€˜(LSubSpβ€˜(𝑅 freeLMod 𝐼)))β€˜(ran (𝑅 unitVec 𝐼) βˆͺ βˆ…)) = (Baseβ€˜(𝑅 freeLMod 𝐼)))
46453adant3 1133 . . . . 5 ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑋 ∈ (LIndSβ€˜(𝑅 freeLMod 𝐼))) β†’ ((mrClsβ€˜(LSubSpβ€˜(𝑅 freeLMod 𝐼)))β€˜(ran (𝑅 unitVec 𝐼) βˆͺ βˆ…)) = (Baseβ€˜(𝑅 freeLMod 𝐼)))
4732, 46sseqtrrd 3990 . . . 4 ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑋 ∈ (LIndSβ€˜(𝑅 freeLMod 𝐼))) β†’ 𝑋 βŠ† ((mrClsβ€˜(LSubSpβ€˜(𝑅 freeLMod 𝐼)))β€˜(ran (𝑅 unitVec 𝐼) βˆͺ βˆ…)))
48 un0 4355 . . . . 5 (𝑋 βˆͺ βˆ…) = 𝑋
49 drngnzr 20748 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑅 ∈ DivRing β†’ 𝑅 ∈ NzRing)
5049adantr 482 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ Fin) β†’ 𝑅 ∈ NzRing)
5112, 50eqeltrrd 2839 . . . . . . . . . . 11 ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ Fin) β†’ (Scalarβ€˜(𝑅 freeLMod 𝐼)) ∈ NzRing)
524, 51jca 513 . . . . . . . . . 10 ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ Fin) β†’ ((𝑅 freeLMod 𝐼) ∈ LMod ∧ (Scalarβ€˜(𝑅 freeLMod 𝐼)) ∈ NzRing))
5335, 15lindsind2 21241 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑅 freeLMod 𝐼) ∈ LMod ∧ (Scalarβ€˜(𝑅 freeLMod 𝐼)) ∈ NzRing) ∧ 𝑋 ∈ (LIndSβ€˜(𝑅 freeLMod 𝐼)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) β†’ Β¬ 𝑦 ∈ ((LSpanβ€˜(𝑅 freeLMod 𝐼))β€˜(𝑋 βˆ– {𝑦})))
54533expa 1119 . . . . . . . . . 10 (((((𝑅 freeLMod 𝐼) ∈ LMod ∧ (Scalarβ€˜(𝑅 freeLMod 𝐼)) ∈ NzRing) ∧ 𝑋 ∈ (LIndSβ€˜(𝑅 freeLMod 𝐼))) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) β†’ Β¬ 𝑦 ∈ ((LSpanβ€˜(𝑅 freeLMod 𝐼))β€˜(𝑋 βˆ– {𝑦})))
5552, 54sylanl1 679 . . . . . . . . 9 ((((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑋 ∈ (LIndSβ€˜(𝑅 freeLMod 𝐼))) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) β†’ Β¬ 𝑦 ∈ ((LSpanβ€˜(𝑅 freeLMod 𝐼))β€˜(𝑋 βˆ– {𝑦})))
5637fveq1d 6849 . . . . . . . . . . 11 ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ Fin) β†’ ((LSpanβ€˜(𝑅 freeLMod 𝐼))β€˜(𝑋 βˆ– {𝑦})) = ((mrClsβ€˜(LSubSpβ€˜(𝑅 freeLMod 𝐼)))β€˜(𝑋 βˆ– {𝑦})))
5756eleq2d 2824 . . . . . . . . . 10 ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ Fin) β†’ (𝑦 ∈ ((LSpanβ€˜(𝑅 freeLMod 𝐼))β€˜(𝑋 βˆ– {𝑦})) ↔ 𝑦 ∈ ((mrClsβ€˜(LSubSpβ€˜(𝑅 freeLMod 𝐼)))β€˜(𝑋 βˆ– {𝑦}))))
5857ad2antrr 725 . . . . . . . . 9 ((((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑋 ∈ (LIndSβ€˜(𝑅 freeLMod 𝐼))) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) β†’ (𝑦 ∈ ((LSpanβ€˜(𝑅 freeLMod 𝐼))β€˜(𝑋 βˆ– {𝑦})) ↔ 𝑦 ∈ ((mrClsβ€˜(LSubSpβ€˜(𝑅 freeLMod 𝐼)))β€˜(𝑋 βˆ– {𝑦}))))
5955, 58mtbid 324 . . . . . . . 8 ((((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑋 ∈ (LIndSβ€˜(𝑅 freeLMod 𝐼))) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) β†’ Β¬ 𝑦 ∈ ((mrClsβ€˜(LSubSpβ€˜(𝑅 freeLMod 𝐼)))β€˜(𝑋 βˆ– {𝑦})))
6059ralrimiva 3144 . . . . . . 7 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑋 ∈ (LIndSβ€˜(𝑅 freeLMod 𝐼))) β†’ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 Β¬ 𝑦 ∈ ((mrClsβ€˜(LSubSpβ€˜(𝑅 freeLMod 𝐼)))β€˜(𝑋 βˆ– {𝑦})))
61603impa 1111 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑋 ∈ (LIndSβ€˜(𝑅 freeLMod 𝐼))) β†’ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 Β¬ 𝑦 ∈ ((mrClsβ€˜(LSubSpβ€˜(𝑅 freeLMod 𝐼)))β€˜(𝑋 βˆ– {𝑦})))
6210, 11ismri2 17519 . . . . . . . 8 (((LSubSpβ€˜(𝑅 freeLMod 𝐼)) ∈ (Mooreβ€˜(Baseβ€˜(𝑅 freeLMod 𝐼))) ∧ 𝑋 βŠ† (Baseβ€˜(𝑅 freeLMod 𝐼))) β†’ (𝑋 ∈ (mrIndβ€˜(LSubSpβ€˜(𝑅 freeLMod 𝐼))) ↔ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 Β¬ 𝑦 ∈ ((mrClsβ€˜(LSubSpβ€˜(𝑅 freeLMod 𝐼)))β€˜(𝑋 βˆ– {𝑦}))))
638, 31, 62syl2an 597 . . . . . . 7 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑋 ∈ (LIndSβ€˜(𝑅 freeLMod 𝐼))) β†’ (𝑋 ∈ (mrIndβ€˜(LSubSpβ€˜(𝑅 freeLMod 𝐼))) ↔ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 Β¬ 𝑦 ∈ ((mrClsβ€˜(LSubSpβ€˜(𝑅 freeLMod 𝐼)))β€˜(𝑋 βˆ– {𝑦}))))
64633impa 1111 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑋 ∈ (LIndSβ€˜(𝑅 freeLMod 𝐼))) β†’ (𝑋 ∈ (mrIndβ€˜(LSubSpβ€˜(𝑅 freeLMod 𝐼))) ↔ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 Β¬ 𝑦 ∈ ((mrClsβ€˜(LSubSpβ€˜(𝑅 freeLMod 𝐼)))β€˜(𝑋 βˆ– {𝑦}))))
6561, 64mpbird 257 . . . . 5 ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑋 ∈ (LIndSβ€˜(𝑅 freeLMod 𝐼))) β†’ 𝑋 ∈ (mrIndβ€˜(LSubSpβ€˜(𝑅 freeLMod 𝐼))))
6648, 65eqeltrid 2842 . . . 4 ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑋 ∈ (LIndSβ€˜(𝑅 freeLMod 𝐼))) β†’ (𝑋 βˆͺ βˆ…) ∈ (mrIndβ€˜(LSubSpβ€˜(𝑅 freeLMod 𝐼))))
67 simpr 486 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ Fin) β†’ 𝐼 ∈ Fin)
6825uvcendim 21269 . . . . . . . . 9 ((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝐼 ∈ Fin) β†’ 𝐼 β‰ˆ ran (𝑅 unitVec 𝐼))
6949, 68sylan 581 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ Fin) β†’ 𝐼 β‰ˆ ran (𝑅 unitVec 𝐼))
70 enfi 9141 . . . . . . . 8 (𝐼 β‰ˆ ran (𝑅 unitVec 𝐼) β†’ (𝐼 ∈ Fin ↔ ran (𝑅 unitVec 𝐼) ∈ Fin))
7169, 70syl 17 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ Fin) β†’ (𝐼 ∈ Fin ↔ ran (𝑅 unitVec 𝐼) ∈ Fin))
7267, 71mpbid 231 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ Fin) β†’ ran (𝑅 unitVec 𝐼) ∈ Fin)
7372olcd 873 . . . . 5 ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ Fin) β†’ (𝑋 ∈ Fin ∨ ran (𝑅 unitVec 𝐼) ∈ Fin))
74733adant3 1133 . . . 4 ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑋 ∈ (LIndSβ€˜(𝑅 freeLMod 𝐼))) β†’ (𝑋 ∈ Fin ∨ ran (𝑅 unitVec 𝐼) ∈ Fin))
759, 10, 11, 21, 24, 30, 47, 66, 74mreexexd 17535 . . 3 ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑋 ∈ (LIndSβ€˜(𝑅 freeLMod 𝐼))) β†’ βˆƒπ‘“ ∈ 𝒫 ran (𝑅 unitVec 𝐼)(𝑋 β‰ˆ 𝑓 ∧ (𝑓 βˆͺ βˆ…) ∈ (mrIndβ€˜(LSubSpβ€˜(𝑅 freeLMod 𝐼)))))
76 simpl 484 . . . . 5 ((𝑋 β‰ˆ 𝑓 ∧ (𝑓 βˆͺ βˆ…) ∈ (mrIndβ€˜(LSubSpβ€˜(𝑅 freeLMod 𝐼)))) β†’ 𝑋 β‰ˆ 𝑓)
77 ovex 7395 . . . . . . 7 (𝑅 unitVec 𝐼) ∈ V
7877rnex 7854 . . . . . 6 ran (𝑅 unitVec 𝐼) ∈ V
79 elpwi 4572 . . . . . 6 (𝑓 ∈ 𝒫 ran (𝑅 unitVec 𝐼) β†’ 𝑓 βŠ† ran (𝑅 unitVec 𝐼))
80 ssdomg 8947 . . . . . 6 (ran (𝑅 unitVec 𝐼) ∈ V β†’ (𝑓 βŠ† ran (𝑅 unitVec 𝐼) β†’ 𝑓 β‰Ό ran (𝑅 unitVec 𝐼)))
8178, 79, 80mpsyl 68 . . . . 5 (𝑓 ∈ 𝒫 ran (𝑅 unitVec 𝐼) β†’ 𝑓 β‰Ό ran (𝑅 unitVec 𝐼))
82 endomtr 8959 . . . . 5 ((𝑋 β‰ˆ 𝑓 ∧ 𝑓 β‰Ό ran (𝑅 unitVec 𝐼)) β†’ 𝑋 β‰Ό ran (𝑅 unitVec 𝐼))
8376, 81, 82syl2anr 598 . . . 4 ((𝑓 ∈ 𝒫 ran (𝑅 unitVec 𝐼) ∧ (𝑋 β‰ˆ 𝑓 ∧ (𝑓 βˆͺ βˆ…) ∈ (mrIndβ€˜(LSubSpβ€˜(𝑅 freeLMod 𝐼))))) β†’ 𝑋 β‰Ό ran (𝑅 unitVec 𝐼))
8483rexlimiva 3145 . . 3 (βˆƒπ‘“ ∈ 𝒫 ran (𝑅 unitVec 𝐼)(𝑋 β‰ˆ 𝑓 ∧ (𝑓 βˆͺ βˆ…) ∈ (mrIndβ€˜(LSubSpβ€˜(𝑅 freeLMod 𝐼)))) β†’ 𝑋 β‰Ό ran (𝑅 unitVec 𝐼))
8575, 84syl 17 . 2 ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑋 ∈ (LIndSβ€˜(𝑅 freeLMod 𝐼))) β†’ 𝑋 β‰Ό ran (𝑅 unitVec 𝐼))
8669ensymd 8952 . . 3 ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ Fin) β†’ ran (𝑅 unitVec 𝐼) β‰ˆ 𝐼)
87863adant3 1133 . 2 ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑋 ∈ (LIndSβ€˜(𝑅 freeLMod 𝐼))) β†’ ran (𝑅 unitVec 𝐼) β‰ˆ 𝐼)
88 domentr 8960 . 2 ((𝑋 β‰Ό ran (𝑅 unitVec 𝐼) ∧ ran (𝑅 unitVec 𝐼) β‰ˆ 𝐼) β†’ 𝑋 β‰Ό 𝐼)
8985, 87, 88syl2anc 585 1 ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑋 ∈ (LIndSβ€˜(𝑅 freeLMod 𝐼))) β†’ 𝑋 β‰Ό 𝐼)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∨ wo 846   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  βˆ€wral 3065  βˆƒwrex 3074  Vcvv 3448   βˆ– cdif 3912   βˆͺ cun 3913   βŠ† wss 3915  βˆ…c0 4287  π’« cpw 4565  {csn 4591   class class class wbr 5110  ran crn 5639  βŸΆwf 6497  β€˜cfv 6501  (class class class)co 7362   β‰ˆ cen 8887   β‰Ό cdom 8888  Fincfn 8890  Basecbs 17090  Scalarcsca 17143  Moorecmre 17469  mrClscmrc 17470  mrIndcmri 17471  ACScacs 17472  Ringcrg 19971  DivRingcdr 20199  LModclmod 20338  LSubSpclss 20408  LSpanclspn 20448  LBasisclbs 20551  LVecclvec 20579  NzRingcnzr 20743   freeLMod cfrlm 21168   unitVec cuvc 21204  LIndSclinds 21227
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5247  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-cnex 11114  ax-resscn 11115  ax-1cn 11116  ax-icn 11117  ax-addcl 11118  ax-addrcl 11119  ax-mulcl 11120  ax-mulrcl 11121  ax-mulcom 11122  ax-addass 11123  ax-mulass 11124  ax-distr 11125  ax-i2m1 11126  ax-1ne0 11127  ax-1rid 11128  ax-rnegex 11129  ax-rrecex 11130  ax-cnre 11131  ax-pre-lttri 11132  ax-pre-lttrn 11133  ax-pre-ltadd 11134  ax-pre-mulgt0 11135
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-pss 3934  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-tp 4596  df-op 4598  df-uni 4871  df-int 4913  df-iun 4961  df-iin 4962  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-se 5594  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-isom 6510  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-of 7622  df-om 7808  df-1st 7926  df-2nd 7927  df-supp 8098  df-tpos 8162  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-1o 8417  df-er 8655  df-map 8774  df-ixp 8843  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-fin 8894  df-fsupp 9313  df-sup 9385  df-oi 9453  df-card 9882  df-pnf 11198  df-mnf 11199  df-xr 11200  df-ltxr 11201  df-le 11202  df-sub 11394  df-neg 11395  df-nn 12161  df-2 12223  df-3 12224  df-4 12225  df-5 12226  df-6 12227  df-7 12228  df-8 12229  df-9 12230  df-n0 12421  df-z 12507  df-dec 12626  df-uz 12771  df-fz 13432  df-fzo 13575  df-seq 13914  df-hash 14238  df-struct 17026  df-sets 17043  df-slot 17061  df-ndx 17073  df-base 17091  df-ress 17120  df-plusg 17153  df-mulr 17154  df-sca 17156  df-vsca 17157  df-ip 17158  df-tset 17159  df-ple 17160  df-ds 17162  df-hom 17164  df-cco 17165  df-0g 17330  df-gsum 17331  df-prds 17336  df-pws 17338  df-mre 17473  df-mrc 17474  df-mri 17475  df-acs 17476  df-mgm 18504  df-sgrp 18553  df-mnd 18564  df-mhm 18608  df-submnd 18609  df-grp 18758  df-minusg 18759  df-sbg 18760  df-mulg 18880  df-subg 18932  df-ghm 19013  df-cntz 19104  df-cmn 19571  df-abl 19572  df-mgp 19904  df-ur 19921  df-ring 19973  df-oppr 20056  df-dvdsr 20077  df-unit 20078  df-invr 20108  df-drng 20201  df-subrg 20236  df-lmod 20340  df-lss 20409  df-lsp 20449  df-lmhm 20499  df-lbs 20552  df-lvec 20580  df-sra 20649  df-rgmod 20650  df-nzr 20744  df-dsmm 21154  df-frlm 21169  df-uvc 21205  df-lindf 21228  df-linds 21229
This theorem is referenced by:  lindsenlbs  36102
  Copyright terms: Public domain W3C validator