Theorem lindsdom 35698

Description: A linearly independent set in a free linear module of finite dimension over a division ring is smaller than the dimension of the module. (Contributed by Brendan Leahy, 2-Jun-2021.)

Assertion

Ref	Expression
lindsdom	⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑋 ∈ (LIndS‘(𝑅 freeLMod 𝐼))) → 𝑋 ≼ 𝐼)

Proof of Theorem lindsdom

Dummy variables 𝑥 𝑓 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		drngring 19913	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ DivRing → 𝑅 ∈ Ring)
2		eqid 2738	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 freeLMod 𝐼) = (𝑅 freeLMod 𝐼)
3	2	frlmlmod 20866	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ Fin) → (𝑅 freeLMod 𝐼) ∈ LMod)
4	1, 3	sylan 579	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ Fin) → (𝑅 freeLMod 𝐼) ∈ LMod)
5		eqid 2738	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘(𝑅 freeLMod 𝐼)) = (Base‘(𝑅 freeLMod 𝐼))
6		eqid 2738	. . . . . . 7 ⊢ (LSubSp‘(𝑅 freeLMod 𝐼)) = (LSubSp‘(𝑅 freeLMod 𝐼))
7	5, 6	lssmre 20143	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 freeLMod 𝐼) ∈ LMod → (LSubSp‘(𝑅 freeLMod 𝐼)) ∈ (Moore‘(Base‘(𝑅 freeLMod 𝐼))))
8	4, 7	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ Fin) → (LSubSp‘(𝑅 freeLMod 𝐼)) ∈ (Moore‘(Base‘(𝑅 freeLMod 𝐼))))
9	8	3adant3 1130	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑋 ∈ (LIndS‘(𝑅 freeLMod 𝐼))) → (LSubSp‘(𝑅 freeLMod 𝐼)) ∈ (Moore‘(Base‘(𝑅 freeLMod 𝐼))))
10		eqid 2738	. . . 4 ⊢ (mrCls‘(LSubSp‘(𝑅 freeLMod 𝐼))) = (mrCls‘(LSubSp‘(𝑅 freeLMod 𝐼)))
11		eqid 2738	. . . 4 ⊢ (mrInd‘(LSubSp‘(𝑅 freeLMod 𝐼))) = (mrInd‘(LSubSp‘(𝑅 freeLMod 𝐼)))
12	2	frlmsca 20870	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ Fin) → 𝑅 = (Scalar‘(𝑅 freeLMod 𝐼)))
13		simpl 482	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ Fin) → 𝑅 ∈ DivRing)
14	12, 13	eqeltrrd 2840	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ Fin) → (Scalar‘(𝑅 freeLMod 𝐼)) ∈ DivRing)
15		eqid 2738	. . . . . . . . 9 ⊢ (Scalar‘(𝑅 freeLMod 𝐼)) = (Scalar‘(𝑅 freeLMod 𝐼))
16	15	islvec 20281	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 freeLMod 𝐼) ∈ LVec ↔ ((𝑅 freeLMod 𝐼) ∈ LMod ∧ (Scalar‘(𝑅 freeLMod 𝐼)) ∈ DivRing))
17	4, 14, 16	sylanbrc 582	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ Fin) → (𝑅 freeLMod 𝐼) ∈ LVec)
18	6, 10, 5	lssacsex 20321	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 freeLMod 𝐼) ∈ LVec → ((LSubSp‘(𝑅 freeLMod 𝐼)) ∈ (ACS‘(Base‘(𝑅 freeLMod 𝐼))) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 (Base‘(𝑅 freeLMod 𝐼))∀𝑦 ∈ (Base‘(𝑅 freeLMod 𝐼))∀𝑧 ∈ (((mrCls‘(LSubSp‘(𝑅 freeLMod 𝐼)))‘(𝑥 ∪ {𝑦})) ∖ ((mrCls‘(LSubSp‘(𝑅 freeLMod 𝐼)))‘𝑥))𝑦 ∈ ((mrCls‘(LSubSp‘(𝑅 freeLMod 𝐼)))‘(𝑥 ∪ {𝑧}))))
19	17, 18	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ Fin) → ((LSubSp‘(𝑅 freeLMod 𝐼)) ∈ (ACS‘(Base‘(𝑅 freeLMod 𝐼))) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 (Base‘(𝑅 freeLMod 𝐼))∀𝑦 ∈ (Base‘(𝑅 freeLMod 𝐼))∀𝑧 ∈ (((mrCls‘(LSubSp‘(𝑅 freeLMod 𝐼)))‘(𝑥 ∪ {𝑦})) ∖ ((mrCls‘(LSubSp‘(𝑅 freeLMod 𝐼)))‘𝑥))𝑦 ∈ ((mrCls‘(LSubSp‘(𝑅 freeLMod 𝐼)))‘(𝑥 ∪ {𝑧}))))
20	19	simprd 495	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ Fin) → ∀𝑥 ∈ 𝒫 (Base‘(𝑅 freeLMod 𝐼))∀𝑦 ∈ (Base‘(𝑅 freeLMod 𝐼))∀𝑧 ∈ (((mrCls‘(LSubSp‘(𝑅 freeLMod 𝐼)))‘(𝑥 ∪ {𝑦})) ∖ ((mrCls‘(LSubSp‘(𝑅 freeLMod 𝐼)))‘𝑥))𝑦 ∈ ((mrCls‘(LSubSp‘(𝑅 freeLMod 𝐼)))‘(𝑥 ∪ {𝑧})))
21	20	3adant3 1130	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑋 ∈ (LIndS‘(𝑅 freeLMod 𝐼))) → ∀𝑥 ∈ 𝒫 (Base‘(𝑅 freeLMod 𝐼))∀𝑦 ∈ (Base‘(𝑅 freeLMod 𝐼))∀𝑧 ∈ (((mrCls‘(LSubSp‘(𝑅 freeLMod 𝐼)))‘(𝑥 ∪ {𝑦})) ∖ ((mrCls‘(LSubSp‘(𝑅 freeLMod 𝐼)))‘𝑥))𝑦 ∈ ((mrCls‘(LSubSp‘(𝑅 freeLMod 𝐼)))‘(𝑥 ∪ {𝑧})))
22		dif0 4303	. . . . . 6 ⊢ ((Base‘(𝑅 freeLMod 𝐼)) ∖ ∅) = (Base‘(𝑅 freeLMod 𝐼))
23	22	linds1 20927	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ∈ (LIndS‘(𝑅 freeLMod 𝐼)) → 𝑋 ⊆ ((Base‘(𝑅 freeLMod 𝐼)) ∖ ∅))
24	23	3ad2ant3 1133	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑋 ∈ (LIndS‘(𝑅 freeLMod 𝐼))) → 𝑋 ⊆ ((Base‘(𝑅 freeLMod 𝐼)) ∖ ∅))
25		eqid 2738	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑅 unitVec 𝐼) = (𝑅 unitVec 𝐼)
26	25, 2, 5	uvcff 20908	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ Fin) → (𝑅 unitVec 𝐼):𝐼⟶(Base‘(𝑅 freeLMod 𝐼)))
27	1, 26	sylan 579	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ Fin) → (𝑅 unitVec 𝐼):𝐼⟶(Base‘(𝑅 freeLMod 𝐼)))
28	27	frnd 6592	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ Fin) → ran (𝑅 unitVec 𝐼) ⊆ (Base‘(𝑅 freeLMod 𝐼)))
29	28, 22	sseqtrrdi 3968	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ Fin) → ran (𝑅 unitVec 𝐼) ⊆ ((Base‘(𝑅 freeLMod 𝐼)) ∖ ∅))
30	29	3adant3 1130	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑋 ∈ (LIndS‘(𝑅 freeLMod 𝐼))) → ran (𝑅 unitVec 𝐼) ⊆ ((Base‘(𝑅 freeLMod 𝐼)) ∖ ∅))
31	5	linds1 20927	. . . . . 6 ⊢ (𝑋 ∈ (LIndS‘(𝑅 freeLMod 𝐼)) → 𝑋 ⊆ (Base‘(𝑅 freeLMod 𝐼)))
32	31	3ad2ant3 1133	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑋 ∈ (LIndS‘(𝑅 freeLMod 𝐼))) → 𝑋 ⊆ (Base‘(𝑅 freeLMod 𝐼)))
33		un0 4321	. . . . . . . 8 ⊢ (ran (𝑅 unitVec 𝐼) ∪ ∅) = ran (𝑅 unitVec 𝐼)
34	33	fveq2i 6759	. . . . . . 7 ⊢ ((mrCls‘(LSubSp‘(𝑅 freeLMod 𝐼)))‘(ran (𝑅 unitVec 𝐼) ∪ ∅)) = ((mrCls‘(LSubSp‘(𝑅 freeLMod 𝐼)))‘ran (𝑅 unitVec 𝐼))
35		eqid 2738	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (LSpan‘(𝑅 freeLMod 𝐼)) = (LSpan‘(𝑅 freeLMod 𝐼))
36	6, 35, 10	mrclsp 20166	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑅 freeLMod 𝐼) ∈ LMod → (LSpan‘(𝑅 freeLMod 𝐼)) = (mrCls‘(LSubSp‘(𝑅 freeLMod 𝐼))))
37	4, 36	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ Fin) → (LSpan‘(𝑅 freeLMod 𝐼)) = (mrCls‘(LSubSp‘(𝑅 freeLMod 𝐼))))
38	37	fveq1d 6758	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ Fin) → ((LSpan‘(𝑅 freeLMod 𝐼))‘ran (𝑅 unitVec 𝐼)) = ((mrCls‘(LSubSp‘(𝑅 freeLMod 𝐼)))‘ran (𝑅 unitVec 𝐼)))
39		eqid 2738	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (LBasis‘(𝑅 freeLMod 𝐼)) = (LBasis‘(𝑅 freeLMod 𝐼))
40	2, 25, 39	frlmlbs 20914	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ Fin) → ran (𝑅 unitVec 𝐼) ∈ (LBasis‘(𝑅 freeLMod 𝐼)))
41	1, 40	sylan 579	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ Fin) → ran (𝑅 unitVec 𝐼) ∈ (LBasis‘(𝑅 freeLMod 𝐼)))
42	5, 39, 35	lbssp 20256	. . . . . . . . 9 ⊢ (ran (𝑅 unitVec 𝐼) ∈ (LBasis‘(𝑅 freeLMod 𝐼)) → ((LSpan‘(𝑅 freeLMod 𝐼))‘ran (𝑅 unitVec 𝐼)) = (Base‘(𝑅 freeLMod 𝐼)))
43	41, 42	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ Fin) → ((LSpan‘(𝑅 freeLMod 𝐼))‘ran (𝑅 unitVec 𝐼)) = (Base‘(𝑅 freeLMod 𝐼)))
44	38, 43	eqtr3d 2780	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ Fin) → ((mrCls‘(LSubSp‘(𝑅 freeLMod 𝐼)))‘ran (𝑅 unitVec 𝐼)) = (Base‘(𝑅 freeLMod 𝐼)))
45	34, 44	syl5eq 2791	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ Fin) → ((mrCls‘(LSubSp‘(𝑅 freeLMod 𝐼)))‘(ran (𝑅 unitVec 𝐼) ∪ ∅)) = (Base‘(𝑅 freeLMod 𝐼)))
46	45	3adant3 1130	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑋 ∈ (LIndS‘(𝑅 freeLMod 𝐼))) → ((mrCls‘(LSubSp‘(𝑅 freeLMod 𝐼)))‘(ran (𝑅 unitVec 𝐼) ∪ ∅)) = (Base‘(𝑅 freeLMod 𝐼)))
47	32, 46	sseqtrrd 3958	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑋 ∈ (LIndS‘(𝑅 freeLMod 𝐼))) → 𝑋 ⊆ ((mrCls‘(LSubSp‘(𝑅 freeLMod 𝐼)))‘(ran (𝑅 unitVec 𝐼) ∪ ∅)))
48		un0 4321	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ∪ ∅) = 𝑋
49		drngnzr 20446	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑅 ∈ DivRing → 𝑅 ∈ NzRing)
50	49	adantr 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ Fin) → 𝑅 ∈ NzRing)
51	12, 50	eqeltrrd 2840	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ Fin) → (Scalar‘(𝑅 freeLMod 𝐼)) ∈ NzRing)
52	4, 51	jca 511	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ Fin) → ((𝑅 freeLMod 𝐼) ∈ LMod ∧ (Scalar‘(𝑅 freeLMod 𝐼)) ∈ NzRing))
53	35, 15	lindsind2 20936	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑅 freeLMod 𝐼) ∈ LMod ∧ (Scalar‘(𝑅 freeLMod 𝐼)) ∈ NzRing) ∧ 𝑋 ∈ (LIndS‘(𝑅 freeLMod 𝐼)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → ¬ 𝑦 ∈ ((LSpan‘(𝑅 freeLMod 𝐼))‘(𝑋 ∖ {𝑦})))
54	53	3expa 1116	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝑅 freeLMod 𝐼) ∈ LMod ∧ (Scalar‘(𝑅 freeLMod 𝐼)) ∈ NzRing) ∧ 𝑋 ∈ (LIndS‘(𝑅 freeLMod 𝐼))) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → ¬ 𝑦 ∈ ((LSpan‘(𝑅 freeLMod 𝐼))‘(𝑋 ∖ {𝑦})))
55	52, 54	sylanl1 676	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑋 ∈ (LIndS‘(𝑅 freeLMod 𝐼))) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → ¬ 𝑦 ∈ ((LSpan‘(𝑅 freeLMod 𝐼))‘(𝑋 ∖ {𝑦})))
56	37	fveq1d 6758	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ Fin) → ((LSpan‘(𝑅 freeLMod 𝐼))‘(𝑋 ∖ {𝑦})) = ((mrCls‘(LSubSp‘(𝑅 freeLMod 𝐼)))‘(𝑋 ∖ {𝑦})))
57	56	eleq2d 2824	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ Fin) → (𝑦 ∈ ((LSpan‘(𝑅 freeLMod 𝐼))‘(𝑋 ∖ {𝑦})) ↔ 𝑦 ∈ ((mrCls‘(LSubSp‘(𝑅 freeLMod 𝐼)))‘(𝑋 ∖ {𝑦}))))
58	57	ad2antrr 722	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑋 ∈ (LIndS‘(𝑅 freeLMod 𝐼))) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → (𝑦 ∈ ((LSpan‘(𝑅 freeLMod 𝐼))‘(𝑋 ∖ {𝑦})) ↔ 𝑦 ∈ ((mrCls‘(LSubSp‘(𝑅 freeLMod 𝐼)))‘(𝑋 ∖ {𝑦}))))
59	55, 58	mtbid 323	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑋 ∈ (LIndS‘(𝑅 freeLMod 𝐼))) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → ¬ 𝑦 ∈ ((mrCls‘(LSubSp‘(𝑅 freeLMod 𝐼)))‘(𝑋 ∖ {𝑦})))
60	59	ralrimiva 3107	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑋 ∈ (LIndS‘(𝑅 freeLMod 𝐼))) → ∀𝑦 ∈ 𝑋 ¬ 𝑦 ∈ ((mrCls‘(LSubSp‘(𝑅 freeLMod 𝐼)))‘(𝑋 ∖ {𝑦})))
61	60	3impa 1108	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑋 ∈ (LIndS‘(𝑅 freeLMod 𝐼))) → ∀𝑦 ∈ 𝑋 ¬ 𝑦 ∈ ((mrCls‘(LSubSp‘(𝑅 freeLMod 𝐼)))‘(𝑋 ∖ {𝑦})))
62	10, 11	ismri2 17258	. . . . . . . 8 ⊢ (((LSubSp‘(𝑅 freeLMod 𝐼)) ∈ (Moore‘(Base‘(𝑅 freeLMod 𝐼))) ∧ 𝑋 ⊆ (Base‘(𝑅 freeLMod 𝐼))) → (𝑋 ∈ (mrInd‘(LSubSp‘(𝑅 freeLMod 𝐼))) ↔ ∀𝑦 ∈ 𝑋 ¬ 𝑦 ∈ ((mrCls‘(LSubSp‘(𝑅 freeLMod 𝐼)))‘(𝑋 ∖ {𝑦}))))
63	8, 31, 62	syl2an 595	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑋 ∈ (LIndS‘(𝑅 freeLMod 𝐼))) → (𝑋 ∈ (mrInd‘(LSubSp‘(𝑅 freeLMod 𝐼))) ↔ ∀𝑦 ∈ 𝑋 ¬ 𝑦 ∈ ((mrCls‘(LSubSp‘(𝑅 freeLMod 𝐼)))‘(𝑋 ∖ {𝑦}))))
64	63	3impa 1108	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑋 ∈ (LIndS‘(𝑅 freeLMod 𝐼))) → (𝑋 ∈ (mrInd‘(LSubSp‘(𝑅 freeLMod 𝐼))) ↔ ∀𝑦 ∈ 𝑋 ¬ 𝑦 ∈ ((mrCls‘(LSubSp‘(𝑅 freeLMod 𝐼)))‘(𝑋 ∖ {𝑦}))))
65	61, 64	mpbird 256	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑋 ∈ (LIndS‘(𝑅 freeLMod 𝐼))) → 𝑋 ∈ (mrInd‘(LSubSp‘(𝑅 freeLMod 𝐼))))
66	48, 65	eqeltrid 2843	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑋 ∈ (LIndS‘(𝑅 freeLMod 𝐼))) → (𝑋 ∪ ∅) ∈ (mrInd‘(LSubSp‘(𝑅 freeLMod 𝐼))))
67		simpr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ Fin) → 𝐼 ∈ Fin)
68	25	uvcendim 20964	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝐼 ∈ Fin) → 𝐼 ≈ ran (𝑅 unitVec 𝐼))
69	49, 68	sylan 579	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ Fin) → 𝐼 ≈ ran (𝑅 unitVec 𝐼))
70		enfi 8933	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐼 ≈ ran (𝑅 unitVec 𝐼) → (𝐼 ∈ Fin ↔ ran (𝑅 unitVec 𝐼) ∈ Fin))
71	69, 70	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ Fin) → (𝐼 ∈ Fin ↔ ran (𝑅 unitVec 𝐼) ∈ Fin))
72	67, 71	mpbid 231	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ Fin) → ran (𝑅 unitVec 𝐼) ∈ Fin)
73	72	olcd 870	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ Fin) → (𝑋 ∈ Fin ∨ ran (𝑅 unitVec 𝐼) ∈ Fin))
74	73	3adant3 1130	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑋 ∈ (LIndS‘(𝑅 freeLMod 𝐼))) → (𝑋 ∈ Fin ∨ ran (𝑅 unitVec 𝐼) ∈ Fin))
75	9, 10, 11, 21, 24, 30, 47, 66, 74	mreexexd 17274	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑋 ∈ (LIndS‘(𝑅 freeLMod 𝐼))) → ∃𝑓 ∈ 𝒫 ran (𝑅 unitVec 𝐼)(𝑋 ≈ 𝑓 ∧ (𝑓 ∪ ∅) ∈ (mrInd‘(LSubSp‘(𝑅 freeLMod 𝐼)))))
76		simpl 482	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ≈ 𝑓 ∧ (𝑓 ∪ ∅) ∈ (mrInd‘(LSubSp‘(𝑅 freeLMod 𝐼)))) → 𝑋 ≈ 𝑓)
77		ovex 7288	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 unitVec 𝐼) ∈ V
78	77	rnex 7733	. . . . . 6 ⊢ ran (𝑅 unitVec 𝐼) ∈ V
79		elpwi 4539	. . . . . 6 ⊢ (𝑓 ∈ 𝒫 ran (𝑅 unitVec 𝐼) → 𝑓 ⊆ ran (𝑅 unitVec 𝐼))
80		ssdomg 8741	. . . . . 6 ⊢ (ran (𝑅 unitVec 𝐼) ∈ V → (𝑓 ⊆ ran (𝑅 unitVec 𝐼) → 𝑓 ≼ ran (𝑅 unitVec 𝐼)))
81	78, 79, 80	mpsyl 68	. . . . 5 ⊢ (𝑓 ∈ 𝒫 ran (𝑅 unitVec 𝐼) → 𝑓 ≼ ran (𝑅 unitVec 𝐼))
82		endomtr 8753	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ≈ 𝑓 ∧ 𝑓 ≼ ran (𝑅 unitVec 𝐼)) → 𝑋 ≼ ran (𝑅 unitVec 𝐼))
83	76, 81, 82	syl2anr 596	. . . 4 ⊢ ((𝑓 ∈ 𝒫 ran (𝑅 unitVec 𝐼) ∧ (𝑋 ≈ 𝑓 ∧ (𝑓 ∪ ∅) ∈ (mrInd‘(LSubSp‘(𝑅 freeLMod 𝐼))))) → 𝑋 ≼ ran (𝑅 unitVec 𝐼))
84	83	rexlimiva 3209	. . 3 ⊢ (∃𝑓 ∈ 𝒫 ran (𝑅 unitVec 𝐼)(𝑋 ≈ 𝑓 ∧ (𝑓 ∪ ∅) ∈ (mrInd‘(LSubSp‘(𝑅 freeLMod 𝐼)))) → 𝑋 ≼ ran (𝑅 unitVec 𝐼))
85	75, 84	syl 17	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑋 ∈ (LIndS‘(𝑅 freeLMod 𝐼))) → 𝑋 ≼ ran (𝑅 unitVec 𝐼))
86	69	ensymd 8746	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ Fin) → ran (𝑅 unitVec 𝐼) ≈ 𝐼)
87	86	3adant3 1130	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑋 ∈ (LIndS‘(𝑅 freeLMod 𝐼))) → ran (𝑅 unitVec 𝐼) ≈ 𝐼)
88		domentr 8754	. 2 ⊢ ((𝑋 ≼ ran (𝑅 unitVec 𝐼) ∧ ran (𝑅 unitVec 𝐼) ≈ 𝐼) → 𝑋 ≼ 𝐼)
89	85, 87, 88	syl2anc 583	1 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑋 ∈ (LIndS‘(𝑅 freeLMod 𝐼))) → 𝑋 ≼ 𝐼)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∨ wo 843   ∧ w3a 1085   = wceq 1539   ∈ wcel 2108  ∀wral 3063  ∃wrex 3064  Vcvv 3422   ∖ cdif 3880   ∪ cun 3881   ⊆ wss 3883  ∅c0 4253  𝒫 cpw 4530  {csn 4558   class class class wbr 5070  ran crn 5581  ⟶wf 6414  ‘cfv 6418  (class class class)co 7255   ≈ cen 8688   ≼ cdom 8689  Fincfn 8691  Basecbs 16840  Scalarcsca 16891  Moorecmre 17208  mrClscmrc 17209  mrIndcmri 17210  ACScacs 17211  Ringcrg 19698  DivRingcdr 19906  LModclmod 20038  LSubSpclss 20108  LSpanclspn 20148  LBasisclbs 20251  LVecclvec 20279  NzRingcnzr 20441   freeLMod cfrlm 20863   unitVec cuvc 20899  LIndSclinds 20922

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-rep 5205  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rmo 3071  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-int 4877  df-iun 4923  df-iin 4924  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-se 5536  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-isom 6427  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-of 7511  df-om 7688  df-1st 7804  df-2nd 7805  df-supp 7949  df-tpos 8013  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-1o 8267  df-er 8456  df-map 8575  df-ixp 8644  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-fin 8695  df-fsupp 9059  df-sup 9131  df-oi 9199  df-card 9628  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-nn 11904  df-2 11966  df-3 11967  df-4 11968  df-5 11969  df-6 11970  df-7 11971  df-8 11972  df-9 11973  df-n0 12164  df-z 12250  df-dec 12367  df-uz 12512  df-fz 13169  df-fzo 13312  df-seq 13650  df-hash 13973  df-struct 16776  df-sets 16793  df-slot 16811  df-ndx 16823  df-base 16841  df-ress 16868  df-plusg 16901  df-mulr 16902  df-sca 16904  df-vsca 16905  df-ip 16906  df-tset 16907  df-ple 16908  df-ds 16910  df-hom 16912  df-cco 16913  df-0g 17069  df-gsum 17070  df-prds 17075  df-pws 17077  df-mre 17212  df-mrc 17213  df-mri 17214  df-acs 17215  df-mgm 18241  df-sgrp 18290  df-mnd 18301  df-mhm 18345  df-submnd 18346  df-grp 18495  df-minusg 18496  df-sbg 18497  df-mulg 18616  df-subg 18667  df-ghm 18747  df-cntz 18838  df-cmn 19303  df-abl 19304  df-mgp 19636  df-ur 19653  df-ring 19700  df-oppr 19777  df-dvdsr 19798  df-unit 19799  df-invr 19829  df-drng 19908  df-subrg 19937  df-lmod 20040  df-lss 20109  df-lsp 20149  df-lmhm 20199  df-lbs 20252  df-lvec 20280  df-sra 20349  df-rgmod 20350  df-nzr 20442  df-dsmm 20849  df-frlm 20864  df-uvc 20900  df-lindf 20923  df-linds 20924

This theorem is referenced by:  lindsenlbs  35699