Theorem lindsdom 38148

Description: A linearly independent set in a free linear module of finite dimension over a division ring is smaller than the dimension of the module. (Contributed by Brendan Leahy, 2-Jun-2021.)

Assertion

Ref	Expression
lindsdom	⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑋 ∈ (LIndS‘(𝑅 freeLMod 𝐼))) → 𝑋 ≼ 𝐼)

Proof of Theorem lindsdom

Dummy variables 𝑥 𝑓 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		drngring 20816	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ DivRing → 𝑅 ∈ Ring)
2		eqid 2769	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 freeLMod 𝐼) = (𝑅 freeLMod 𝐼)
3	2	frlmlmod 21864	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ Fin) → (𝑅 freeLMod 𝐼) ∈ LMod)
4	1, 3	sylan 591	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ Fin) → (𝑅 freeLMod 𝐼) ∈ LMod)
5		eqid 2769	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘(𝑅 freeLMod 𝐼)) = (Base‘(𝑅 freeLMod 𝐼))
6		eqid 2769	. . . . . . 7 ⊢ (LSubSp‘(𝑅 freeLMod 𝐼)) = (LSubSp‘(𝑅 freeLMod 𝐼))
7	5, 6	lssmre 21061	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 freeLMod 𝐼) ∈ LMod → (LSubSp‘(𝑅 freeLMod 𝐼)) ∈ (Moore‘(Base‘(𝑅 freeLMod 𝐼))))
8	4, 7	syl 18	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ Fin) → (LSubSp‘(𝑅 freeLMod 𝐼)) ∈ (Moore‘(Base‘(𝑅 freeLMod 𝐼))))
9	8	3adant3 1148	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑋 ∈ (LIndS‘(𝑅 freeLMod 𝐼))) → (LSubSp‘(𝑅 freeLMod 𝐼)) ∈ (Moore‘(Base‘(𝑅 freeLMod 𝐼))))
10		eqid 2769	. . . 4 ⊢ (mrCls‘(LSubSp‘(𝑅 freeLMod 𝐼))) = (mrCls‘(LSubSp‘(𝑅 freeLMod 𝐼)))
11		eqid 2769	. . . 4 ⊢ (mrInd‘(LSubSp‘(𝑅 freeLMod 𝐼))) = (mrInd‘(LSubSp‘(𝑅 freeLMod 𝐼)))
12	2	frlmsca 21868	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ Fin) → 𝑅 = (Scalar‘(𝑅 freeLMod 𝐼)))
13		simpl 487	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ Fin) → 𝑅 ∈ DivRing)
14	12, 13	eqeltrrd 2870	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ Fin) → (Scalar‘(𝑅 freeLMod 𝐼)) ∈ DivRing)
15		eqid 2769	. . . . . . . . 9 ⊢ (Scalar‘(𝑅 freeLMod 𝐼)) = (Scalar‘(𝑅 freeLMod 𝐼))
16	15	islvec 21199	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 freeLMod 𝐼) ∈ LVec ↔ ((𝑅 freeLMod 𝐼) ∈ LMod ∧ (Scalar‘(𝑅 freeLMod 𝐼)) ∈ DivRing))
17	4, 14, 16	sylanbrc 594	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ Fin) → (𝑅 freeLMod 𝐼) ∈ LVec)
18	6, 10, 5	lssacsex 21242	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 freeLMod 𝐼) ∈ LVec → ((LSubSp‘(𝑅 freeLMod 𝐼)) ∈ (ACS‘(Base‘(𝑅 freeLMod 𝐼))) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 (Base‘(𝑅 freeLMod 𝐼))∀𝑦 ∈ (Base‘(𝑅 freeLMod 𝐼))∀𝑧 ∈ (((mrCls‘(LSubSp‘(𝑅 freeLMod 𝐼)))‘(𝑥 ∪ {𝑦})) ∖ ((mrCls‘(LSubSp‘(𝑅 freeLMod 𝐼)))‘𝑥))𝑦 ∈ ((mrCls‘(LSubSp‘(𝑅 freeLMod 𝐼)))‘(𝑥 ∪ {𝑧}))))
19	17, 18	syl 18	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ Fin) → ((LSubSp‘(𝑅 freeLMod 𝐼)) ∈ (ACS‘(Base‘(𝑅 freeLMod 𝐼))) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 (Base‘(𝑅 freeLMod 𝐼))∀𝑦 ∈ (Base‘(𝑅 freeLMod 𝐼))∀𝑧 ∈ (((mrCls‘(LSubSp‘(𝑅 freeLMod 𝐼)))‘(𝑥 ∪ {𝑦})) ∖ ((mrCls‘(LSubSp‘(𝑅 freeLMod 𝐼)))‘𝑥))𝑦 ∈ ((mrCls‘(LSubSp‘(𝑅 freeLMod 𝐼)))‘(𝑥 ∪ {𝑧}))))
20	19	simprd 500	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ Fin) → ∀𝑥 ∈ 𝒫 (Base‘(𝑅 freeLMod 𝐼))∀𝑦 ∈ (Base‘(𝑅 freeLMod 𝐼))∀𝑧 ∈ (((mrCls‘(LSubSp‘(𝑅 freeLMod 𝐼)))‘(𝑥 ∪ {𝑦})) ∖ ((mrCls‘(LSubSp‘(𝑅 freeLMod 𝐼)))‘𝑥))𝑦 ∈ ((mrCls‘(LSubSp‘(𝑅 freeLMod 𝐼)))‘(𝑥 ∪ {𝑧})))
21	20	3adant3 1148	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑋 ∈ (LIndS‘(𝑅 freeLMod 𝐼))) → ∀𝑥 ∈ 𝒫 (Base‘(𝑅 freeLMod 𝐼))∀𝑦 ∈ (Base‘(𝑅 freeLMod 𝐼))∀𝑧 ∈ (((mrCls‘(LSubSp‘(𝑅 freeLMod 𝐼)))‘(𝑥 ∪ {𝑦})) ∖ ((mrCls‘(LSubSp‘(𝑅 freeLMod 𝐼)))‘𝑥))𝑦 ∈ ((mrCls‘(LSubSp‘(𝑅 freeLMod 𝐼)))‘(𝑥 ∪ {𝑧})))
22		dif0 4340	. . . . . 6 ⊢ ((Base‘(𝑅 freeLMod 𝐼)) ∖ ∅) = (Base‘(𝑅 freeLMod 𝐼))
23	22	linds1 21925	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ∈ (LIndS‘(𝑅 freeLMod 𝐼)) → 𝑋 ⊆ ((Base‘(𝑅 freeLMod 𝐼)) ∖ ∅))
24	23	3ad2ant3 1151	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑋 ∈ (LIndS‘(𝑅 freeLMod 𝐼))) → 𝑋 ⊆ ((Base‘(𝑅 freeLMod 𝐼)) ∖ ∅))
25		eqid 2769	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑅 unitVec 𝐼) = (𝑅 unitVec 𝐼)
26	25, 2, 5	uvcff 21906	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ Fin) → (𝑅 unitVec 𝐼):𝐼⟶(Base‘(𝑅 freeLMod 𝐼)))
27	1, 26	sylan 591	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ Fin) → (𝑅 unitVec 𝐼):𝐼⟶(Base‘(𝑅 freeLMod 𝐼)))
28	27	frnd 6712	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ Fin) → ran (𝑅 unitVec 𝐼) ⊆ (Base‘(𝑅 freeLMod 𝐼)))
29	28, 22	sseqtrrdi 3986	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ Fin) → ran (𝑅 unitVec 𝐼) ⊆ ((Base‘(𝑅 freeLMod 𝐼)) ∖ ∅))
30	29	3adant3 1148	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑋 ∈ (LIndS‘(𝑅 freeLMod 𝐼))) → ran (𝑅 unitVec 𝐼) ⊆ ((Base‘(𝑅 freeLMod 𝐼)) ∖ ∅))
31	5	linds1 21925	. . . . . 6 ⊢ (𝑋 ∈ (LIndS‘(𝑅 freeLMod 𝐼)) → 𝑋 ⊆ (Base‘(𝑅 freeLMod 𝐼)))
32	31	3ad2ant3 1151	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑋 ∈ (LIndS‘(𝑅 freeLMod 𝐼))) → 𝑋 ⊆ (Base‘(𝑅 freeLMod 𝐼)))
33		un0 4357	. . . . . . . 8 ⊢ (ran (𝑅 unitVec 𝐼) ∪ ∅) = ran (𝑅 unitVec 𝐼)
34	33	fveq2i 6882	. . . . . . 7 ⊢ ((mrCls‘(LSubSp‘(𝑅 freeLMod 𝐼)))‘(ran (𝑅 unitVec 𝐼) ∪ ∅)) = ((mrCls‘(LSubSp‘(𝑅 freeLMod 𝐼)))‘ran (𝑅 unitVec 𝐼))
35		eqid 2769	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (LSpan‘(𝑅 freeLMod 𝐼)) = (LSpan‘(𝑅 freeLMod 𝐼))
36	6, 35, 10	mrclsp 21084	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑅 freeLMod 𝐼) ∈ LMod → (LSpan‘(𝑅 freeLMod 𝐼)) = (mrCls‘(LSubSp‘(𝑅 freeLMod 𝐼))))
37	4, 36	syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ Fin) → (LSpan‘(𝑅 freeLMod 𝐼)) = (mrCls‘(LSubSp‘(𝑅 freeLMod 𝐼))))
38	37	fveq1d 6881	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ Fin) → ((LSpan‘(𝑅 freeLMod 𝐼))‘ran (𝑅 unitVec 𝐼)) = ((mrCls‘(LSubSp‘(𝑅 freeLMod 𝐼)))‘ran (𝑅 unitVec 𝐼)))
39		eqid 2769	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (LBasis‘(𝑅 freeLMod 𝐼)) = (LBasis‘(𝑅 freeLMod 𝐼))
40	2, 25, 39	frlmlbs 21912	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ Fin) → ran (𝑅 unitVec 𝐼) ∈ (LBasis‘(𝑅 freeLMod 𝐼)))
41	1, 40	sylan 591	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ Fin) → ran (𝑅 unitVec 𝐼) ∈ (LBasis‘(𝑅 freeLMod 𝐼)))
42	5, 39, 35	lbssp 21174	. . . . . . . . 9 ⊢ (ran (𝑅 unitVec 𝐼) ∈ (LBasis‘(𝑅 freeLMod 𝐼)) → ((LSpan‘(𝑅 freeLMod 𝐼))‘ran (𝑅 unitVec 𝐼)) = (Base‘(𝑅 freeLMod 𝐼)))
43	41, 42	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ Fin) → ((LSpan‘(𝑅 freeLMod 𝐼))‘ran (𝑅 unitVec 𝐼)) = (Base‘(𝑅 freeLMod 𝐼)))
44	38, 43	eqtr3d 2806	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ Fin) → ((mrCls‘(LSubSp‘(𝑅 freeLMod 𝐼)))‘ran (𝑅 unitVec 𝐼)) = (Base‘(𝑅 freeLMod 𝐼)))
45	34, 44	eqtrid 2816	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ Fin) → ((mrCls‘(LSubSp‘(𝑅 freeLMod 𝐼)))‘(ran (𝑅 unitVec 𝐼) ∪ ∅)) = (Base‘(𝑅 freeLMod 𝐼)))
46	45	3adant3 1148	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑋 ∈ (LIndS‘(𝑅 freeLMod 𝐼))) → ((mrCls‘(LSubSp‘(𝑅 freeLMod 𝐼)))‘(ran (𝑅 unitVec 𝐼) ∪ ∅)) = (Base‘(𝑅 freeLMod 𝐼)))
47	32, 46	sseqtrrd 3982	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑋 ∈ (LIndS‘(𝑅 freeLMod 𝐼))) → 𝑋 ⊆ ((mrCls‘(LSubSp‘(𝑅 freeLMod 𝐼)))‘(ran (𝑅 unitVec 𝐼) ∪ ∅)))
48		un0 4357	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ∪ ∅) = 𝑋
49		drngnzr 20828	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑅 ∈ DivRing → 𝑅 ∈ NzRing)
50	49	adantr 485	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ Fin) → 𝑅 ∈ NzRing)
51	12, 50	eqeltrrd 2870	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ Fin) → (Scalar‘(𝑅 freeLMod 𝐼)) ∈ NzRing)
52	4, 51	jca 520	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ Fin) → ((𝑅 freeLMod 𝐼) ∈ LMod ∧ (Scalar‘(𝑅 freeLMod 𝐼)) ∈ NzRing))
53	35, 15	lindsind2 21934	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑅 freeLMod 𝐼) ∈ LMod ∧ (Scalar‘(𝑅 freeLMod 𝐼)) ∈ NzRing) ∧ 𝑋 ∈ (LIndS‘(𝑅 freeLMod 𝐼)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → ¬ 𝑦 ∈ ((LSpan‘(𝑅 freeLMod 𝐼))‘(𝑋 ∖ {𝑦})))
54	53	3expa 1134	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝑅 freeLMod 𝐼) ∈ LMod ∧ (Scalar‘(𝑅 freeLMod 𝐼)) ∈ NzRing) ∧ 𝑋 ∈ (LIndS‘(𝑅 freeLMod 𝐼))) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → ¬ 𝑦 ∈ ((LSpan‘(𝑅 freeLMod 𝐼))‘(𝑋 ∖ {𝑦})))
55	52, 54	sylanl1 692	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑋 ∈ (LIndS‘(𝑅 freeLMod 𝐼))) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → ¬ 𝑦 ∈ ((LSpan‘(𝑅 freeLMod 𝐼))‘(𝑋 ∖ {𝑦})))
56	37	fveq1d 6881	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ Fin) → ((LSpan‘(𝑅 freeLMod 𝐼))‘(𝑋 ∖ {𝑦})) = ((mrCls‘(LSubSp‘(𝑅 freeLMod 𝐼)))‘(𝑋 ∖ {𝑦})))
57	56	eleq2d 2855	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ Fin) → (𝑦 ∈ ((LSpan‘(𝑅 freeLMod 𝐼))‘(𝑋 ∖ {𝑦})) ↔ 𝑦 ∈ ((mrCls‘(LSubSp‘(𝑅 freeLMod 𝐼)))‘(𝑋 ∖ {𝑦}))))
58	57	ad2antrr 738	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑋 ∈ (LIndS‘(𝑅 freeLMod 𝐼))) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → (𝑦 ∈ ((LSpan‘(𝑅 freeLMod 𝐼))‘(𝑋 ∖ {𝑦})) ↔ 𝑦 ∈ ((mrCls‘(LSubSp‘(𝑅 freeLMod 𝐼)))‘(𝑋 ∖ {𝑦}))))
59	55, 58	mtbid 327	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑋 ∈ (LIndS‘(𝑅 freeLMod 𝐼))) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → ¬ 𝑦 ∈ ((mrCls‘(LSubSp‘(𝑅 freeLMod 𝐼)))‘(𝑋 ∖ {𝑦})))
60	59	ralrimiva 3163	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑋 ∈ (LIndS‘(𝑅 freeLMod 𝐼))) → ∀𝑦 ∈ 𝑋 ¬ 𝑦 ∈ ((mrCls‘(LSubSp‘(𝑅 freeLMod 𝐼)))‘(𝑋 ∖ {𝑦})))
61	60	3impa 1125	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑋 ∈ (LIndS‘(𝑅 freeLMod 𝐼))) → ∀𝑦 ∈ 𝑋 ¬ 𝑦 ∈ ((mrCls‘(LSubSp‘(𝑅 freeLMod 𝐼)))‘(𝑋 ∖ {𝑦})))
62	10, 11	ismri2 17684	. . . . . . . 8 ⊢ (((LSubSp‘(𝑅 freeLMod 𝐼)) ∈ (Moore‘(Base‘(𝑅 freeLMod 𝐼))) ∧ 𝑋 ⊆ (Base‘(𝑅 freeLMod 𝐼))) → (𝑋 ∈ (mrInd‘(LSubSp‘(𝑅 freeLMod 𝐼))) ↔ ∀𝑦 ∈ 𝑋 ¬ 𝑦 ∈ ((mrCls‘(LSubSp‘(𝑅 freeLMod 𝐼)))‘(𝑋 ∖ {𝑦}))))
63	8, 31, 62	syl2an 607	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑋 ∈ (LIndS‘(𝑅 freeLMod 𝐼))) → (𝑋 ∈ (mrInd‘(LSubSp‘(𝑅 freeLMod 𝐼))) ↔ ∀𝑦 ∈ 𝑋 ¬ 𝑦 ∈ ((mrCls‘(LSubSp‘(𝑅 freeLMod 𝐼)))‘(𝑋 ∖ {𝑦}))))
64	63	3impa 1125	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑋 ∈ (LIndS‘(𝑅 freeLMod 𝐼))) → (𝑋 ∈ (mrInd‘(LSubSp‘(𝑅 freeLMod 𝐼))) ↔ ∀𝑦 ∈ 𝑋 ¬ 𝑦 ∈ ((mrCls‘(LSubSp‘(𝑅 freeLMod 𝐼)))‘(𝑋 ∖ {𝑦}))))
65	61, 64	mpbird 260	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑋 ∈ (LIndS‘(𝑅 freeLMod 𝐼))) → 𝑋 ∈ (mrInd‘(LSubSp‘(𝑅 freeLMod 𝐼))))
66	48, 65	eqeltrid 2873	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑋 ∈ (LIndS‘(𝑅 freeLMod 𝐼))) → (𝑋 ∪ ∅) ∈ (mrInd‘(LSubSp‘(𝑅 freeLMod 𝐼))))
67		simpr 489	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ Fin) → 𝐼 ∈ Fin)
68	25	uvcendim 21962	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝐼 ∈ Fin) → 𝐼 ≈ ran (𝑅 unitVec 𝐼))
69	49, 68	sylan 591	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ Fin) → 𝐼 ≈ ran (𝑅 unitVec 𝐼))
70		enfi 9167	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐼 ≈ ran (𝑅 unitVec 𝐼) → (𝐼 ∈ Fin ↔ ran (𝑅 unitVec 𝐼) ∈ Fin))
71	69, 70	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ Fin) → (𝐼 ∈ Fin ↔ ran (𝑅 unitVec 𝐼) ∈ Fin))
72	67, 71	mpbid 235	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ Fin) → ran (𝑅 unitVec 𝐼) ∈ Fin)
73	72	olcd 887	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ Fin) → (𝑋 ∈ Fin ∨ ran (𝑅 unitVec 𝐼) ∈ Fin))
74	73	3adant3 1148	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑋 ∈ (LIndS‘(𝑅 freeLMod 𝐼))) → (𝑋 ∈ Fin ∨ ran (𝑅 unitVec 𝐼) ∈ Fin))
75	9, 10, 11, 21, 24, 30, 47, 66, 74	mreexexd 17700	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑋 ∈ (LIndS‘(𝑅 freeLMod 𝐼))) → ∃𝑓 ∈ 𝒫 ran (𝑅 unitVec 𝐼)(𝑋 ≈ 𝑓 ∧ (𝑓 ∪ ∅) ∈ (mrInd‘(LSubSp‘(𝑅 freeLMod 𝐼)))))
76		simpl 487	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ≈ 𝑓 ∧ (𝑓 ∪ ∅) ∈ (mrInd‘(LSubSp‘(𝑅 freeLMod 𝐼)))) → 𝑋 ≈ 𝑓)
77		ovex 7441	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 unitVec 𝐼) ∈ V
78	77	rnex 7903	. . . . . 6 ⊢ ran (𝑅 unitVec 𝐼) ∈ V
79		elpwi 4571	. . . . . 6 ⊢ (𝑓 ∈ 𝒫 ran (𝑅 unitVec 𝐼) → 𝑓 ⊆ ran (𝑅 unitVec 𝐼))
80		ssdomg 8993	. . . . . 6 ⊢ (ran (𝑅 unitVec 𝐼) ∈ V → (𝑓 ⊆ ran (𝑅 unitVec 𝐼) → 𝑓 ≼ ran (𝑅 unitVec 𝐼)))
81	78, 79, 80	mpsyl 69	. . . . 5 ⊢ (𝑓 ∈ 𝒫 ran (𝑅 unitVec 𝐼) → 𝑓 ≼ ran (𝑅 unitVec 𝐼))
82		endomtr 9005	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ≈ 𝑓 ∧ 𝑓 ≼ ran (𝑅 unitVec 𝐼)) → 𝑋 ≼ ran (𝑅 unitVec 𝐼))
83	76, 81, 82	syl2anr 608	. . . 4 ⊢ ((𝑓 ∈ 𝒫 ran (𝑅 unitVec 𝐼) ∧ (𝑋 ≈ 𝑓 ∧ (𝑓 ∪ ∅) ∈ (mrInd‘(LSubSp‘(𝑅 freeLMod 𝐼))))) → 𝑋 ≼ ran (𝑅 unitVec 𝐼))
84	83	rexlimiva 3164	. . 3 ⊢ (∃𝑓 ∈ 𝒫 ran (𝑅 unitVec 𝐼)(𝑋 ≈ 𝑓 ∧ (𝑓 ∪ ∅) ∈ (mrInd‘(LSubSp‘(𝑅 freeLMod 𝐼)))) → 𝑋 ≼ ran (𝑅 unitVec 𝐼))
85	75, 84	syl 18	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑋 ∈ (LIndS‘(𝑅 freeLMod 𝐼))) → 𝑋 ≼ ran (𝑅 unitVec 𝐼))
86	69	ensymd 8998	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ Fin) → ran (𝑅 unitVec 𝐼) ≈ 𝐼)
87	86	3adant3 1148	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑋 ∈ (LIndS‘(𝑅 freeLMod 𝐼))) → ran (𝑅 unitVec 𝐼) ≈ 𝐼)
88		domentr 9006	. 2 ⊢ ((𝑋 ≼ ran (𝑅 unitVec 𝐼) ∧ ran (𝑅 unitVec 𝐼) ≈ 𝐼) → 𝑋 ≼ 𝐼)
89	85, 87, 88	syl2anc 595	1 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑋 ∈ (LIndS‘(𝑅 freeLMod 𝐼))) → 𝑋 ≼ 𝐼)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   ∨ wo 860   ∧ w3a 1101   = wceq 1567   ∈ wcel 2149  ∀wral 3085  ∃wrex 3095  Vcvv 3463   ∖ cdif 3910   ∪ cun 3911   ⊆ wss 3913  ∅c0 4294  𝒫 cpw 4564  {csn 4591   class class class wbr 5110  ran crn 5660  ⟶wf 6530  ‘cfv 6534  (class class class)co 7408   ≈ cen 8936   ≼ cdom 8937  Fincfn 8939  Basecbs 17265  Scalarcsca 17309  Moorecmre 17630  mrClscmrc 17631  mrIndcmri 17632  ACScacs 17633  Ringcrg 20311  NzRingcnzr 20591  DivRingcdr 20809  LModclmod 20955  LSubSpclss 21026  LSpanclspn 21066  LBasisclbs 21169  LVecclvec 21197   freeLMod cfrlm 21861   unitVec cuvc 21897  LIndSclinds 21920

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-rep 5239  ax-sep 5258  ax-nul 5268  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7730  ax-cnex 11152  ax-resscn 11153  ax-1cn 11154  ax-icn 11155  ax-addcl 11156  ax-addrcl 11157  ax-mulcl 11158  ax-mulrcl 11159  ax-mulcom 11160  ax-addass 11161  ax-mulass 11162  ax-distr 11163  ax-i2m1 11164  ax-1ne0 11165  ax-1rid 11166  ax-rnegex 11167  ax-rrecex 11168  ax-cnre 11169  ax-pre-lttri 11170  ax-pre-lttrn 11171  ax-pre-ltadd 11172  ax-pre-mulgt0 11173

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-tp 4596  df-op 4598  df-uni 4874  df-int 4914  df-iun 4959  df-iin 4960  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-tr 5220  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-se 5613  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6300  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6490  df-fun 6536  df-fn 6537  df-f 6538  df-f1 6539  df-fo 6540  df-f1o 6541  df-fv 6542  df-isom 6543  df-riota 7365  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-of 7672  df-om 7859  df-1st 7982  df-2nd 7983  df-supp 8153  df-tpos 8218  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-rdg 8393  df-1o 8449  df-2o 8450  df-er 8690  df-map 8822  df-ixp 8892  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-fsupp 9318  df-sup 9398  df-oi 9468  df-card 9921  df-pnf 11241  df-mnf 11242  df-xr 11243  df-ltxr 11244  df-le 11245  df-sub 11439  df-neg 11440  df-nn 12230  df-2 12299  df-3 12300  df-4 12301  df-5 12302  df-6 12303  df-7 12304  df-8 12305  df-9 12306  df-n0 12501  df-z 12588  df-dec 12708  df-uz 12859  df-fz 13532  df-fzo 13679  df-seq 14034  df-hash 14363  df-struct 17203  df-sets 17220  df-slot 17238  df-ndx 17250  df-base 17266  df-ress 17287  df-plusg 17319  df-mulr 17320  df-sca 17322  df-vsca 17323  df-ip 17324  df-tset 17325  df-ple 17326  df-ds 17328  df-hom 17330  df-cco 17331  df-0g 17490  df-gsum 17491  df-prds 17496  df-pws 17498  df-mre 17634  df-mrc 17635  df-mri 17636  df-acs 17637  df-mgm 18694  df-sgrp 18773  df-mnd 18789  df-mhm 18837  df-submnd 18838  df-grp 18999  df-minusg 19000  df-sbg 19001  df-mulg 19130  df-subg 19185  df-ghm 19280  df-cntz 19383  df-cmn 19848  df-abl 19849  df-mgp 20213  df-rng 20227  df-ur 20260  df-ring 20313  df-oppr 20415  df-dvdsr 20435  df-unit 20436  df-invr 20466  df-nzr 20592  df-subrg 20651  df-drng 20811  df-lmod 20957  df-lss 21027  df-lsp 21067  df-lmhm 21117  df-lbs 21170  df-lvec 21198  df-sra 21268  df-rgmod 21269  df-dsmm 21847  df-frlm 21862  df-uvc 21898  df-lindf 21921  df-linds 21922

This theorem is referenced by:  lindsenlbs  38149