Users' Mathboxes Mathbox for Brendan Leahy < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lindsdom Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lindsdom 36995
Description: A linearly independent set in a free linear module of finite dimension over a division ring is smaller than the dimension of the module. (Contributed by Brendan Leahy, 2-Jun-2021.)
Assertion
Ref Expression
lindsdom ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑋 ∈ (LIndSβ€˜(𝑅 freeLMod 𝐼))) β†’ 𝑋 β‰Ό 𝐼)

Proof of Theorem lindsdom
Dummy variables π‘₯ 𝑓 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 drngring 20594 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ DivRing β†’ 𝑅 ∈ Ring)
2 eqid 2726 . . . . . . . 8 (𝑅 freeLMod 𝐼) = (𝑅 freeLMod 𝐼)
32frlmlmod 21644 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ Fin) β†’ (𝑅 freeLMod 𝐼) ∈ LMod)
41, 3sylan 579 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ Fin) β†’ (𝑅 freeLMod 𝐼) ∈ LMod)
5 eqid 2726 . . . . . . 7 (Baseβ€˜(𝑅 freeLMod 𝐼)) = (Baseβ€˜(𝑅 freeLMod 𝐼))
6 eqid 2726 . . . . . . 7 (LSubSpβ€˜(𝑅 freeLMod 𝐼)) = (LSubSpβ€˜(𝑅 freeLMod 𝐼))
75, 6lssmre 20813 . . . . . 6 ((𝑅 freeLMod 𝐼) ∈ LMod β†’ (LSubSpβ€˜(𝑅 freeLMod 𝐼)) ∈ (Mooreβ€˜(Baseβ€˜(𝑅 freeLMod 𝐼))))
84, 7syl 17 . . . . 5 ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ Fin) β†’ (LSubSpβ€˜(𝑅 freeLMod 𝐼)) ∈ (Mooreβ€˜(Baseβ€˜(𝑅 freeLMod 𝐼))))
983adant3 1129 . . . 4 ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑋 ∈ (LIndSβ€˜(𝑅 freeLMod 𝐼))) β†’ (LSubSpβ€˜(𝑅 freeLMod 𝐼)) ∈ (Mooreβ€˜(Baseβ€˜(𝑅 freeLMod 𝐼))))
10 eqid 2726 . . . 4 (mrClsβ€˜(LSubSpβ€˜(𝑅 freeLMod 𝐼))) = (mrClsβ€˜(LSubSpβ€˜(𝑅 freeLMod 𝐼)))
11 eqid 2726 . . . 4 (mrIndβ€˜(LSubSpβ€˜(𝑅 freeLMod 𝐼))) = (mrIndβ€˜(LSubSpβ€˜(𝑅 freeLMod 𝐼)))
122frlmsca 21648 . . . . . . . . 9 ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ Fin) β†’ 𝑅 = (Scalarβ€˜(𝑅 freeLMod 𝐼)))
13 simpl 482 . . . . . . . . 9 ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ Fin) β†’ 𝑅 ∈ DivRing)
1412, 13eqeltrrd 2828 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ Fin) β†’ (Scalarβ€˜(𝑅 freeLMod 𝐼)) ∈ DivRing)
15 eqid 2726 . . . . . . . . 9 (Scalarβ€˜(𝑅 freeLMod 𝐼)) = (Scalarβ€˜(𝑅 freeLMod 𝐼))
1615islvec 20952 . . . . . . . 8 ((𝑅 freeLMod 𝐼) ∈ LVec ↔ ((𝑅 freeLMod 𝐼) ∈ LMod ∧ (Scalarβ€˜(𝑅 freeLMod 𝐼)) ∈ DivRing))
174, 14, 16sylanbrc 582 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ Fin) β†’ (𝑅 freeLMod 𝐼) ∈ LVec)
186, 10, 5lssacsex 20995 . . . . . . 7 ((𝑅 freeLMod 𝐼) ∈ LVec β†’ ((LSubSpβ€˜(𝑅 freeLMod 𝐼)) ∈ (ACSβ€˜(Baseβ€˜(𝑅 freeLMod 𝐼))) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝒫 (Baseβ€˜(𝑅 freeLMod 𝐼))βˆ€π‘¦ ∈ (Baseβ€˜(𝑅 freeLMod 𝐼))βˆ€π‘§ ∈ (((mrClsβ€˜(LSubSpβ€˜(𝑅 freeLMod 𝐼)))β€˜(π‘₯ βˆͺ {𝑦})) βˆ– ((mrClsβ€˜(LSubSpβ€˜(𝑅 freeLMod 𝐼)))β€˜π‘₯))𝑦 ∈ ((mrClsβ€˜(LSubSpβ€˜(𝑅 freeLMod 𝐼)))β€˜(π‘₯ βˆͺ {𝑧}))))
1917, 18syl 17 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ Fin) β†’ ((LSubSpβ€˜(𝑅 freeLMod 𝐼)) ∈ (ACSβ€˜(Baseβ€˜(𝑅 freeLMod 𝐼))) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝒫 (Baseβ€˜(𝑅 freeLMod 𝐼))βˆ€π‘¦ ∈ (Baseβ€˜(𝑅 freeLMod 𝐼))βˆ€π‘§ ∈ (((mrClsβ€˜(LSubSpβ€˜(𝑅 freeLMod 𝐼)))β€˜(π‘₯ βˆͺ {𝑦})) βˆ– ((mrClsβ€˜(LSubSpβ€˜(𝑅 freeLMod 𝐼)))β€˜π‘₯))𝑦 ∈ ((mrClsβ€˜(LSubSpβ€˜(𝑅 freeLMod 𝐼)))β€˜(π‘₯ βˆͺ {𝑧}))))
2019simprd 495 . . . . 5 ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ Fin) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝒫 (Baseβ€˜(𝑅 freeLMod 𝐼))βˆ€π‘¦ ∈ (Baseβ€˜(𝑅 freeLMod 𝐼))βˆ€π‘§ ∈ (((mrClsβ€˜(LSubSpβ€˜(𝑅 freeLMod 𝐼)))β€˜(π‘₯ βˆͺ {𝑦})) βˆ– ((mrClsβ€˜(LSubSpβ€˜(𝑅 freeLMod 𝐼)))β€˜π‘₯))𝑦 ∈ ((mrClsβ€˜(LSubSpβ€˜(𝑅 freeLMod 𝐼)))β€˜(π‘₯ βˆͺ {𝑧})))
21203adant3 1129 . . . 4 ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑋 ∈ (LIndSβ€˜(𝑅 freeLMod 𝐼))) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝒫 (Baseβ€˜(𝑅 freeLMod 𝐼))βˆ€π‘¦ ∈ (Baseβ€˜(𝑅 freeLMod 𝐼))βˆ€π‘§ ∈ (((mrClsβ€˜(LSubSpβ€˜(𝑅 freeLMod 𝐼)))β€˜(π‘₯ βˆͺ {𝑦})) βˆ– ((mrClsβ€˜(LSubSpβ€˜(𝑅 freeLMod 𝐼)))β€˜π‘₯))𝑦 ∈ ((mrClsβ€˜(LSubSpβ€˜(𝑅 freeLMod 𝐼)))β€˜(π‘₯ βˆͺ {𝑧})))
22 dif0 4367 . . . . . 6 ((Baseβ€˜(𝑅 freeLMod 𝐼)) βˆ– βˆ…) = (Baseβ€˜(𝑅 freeLMod 𝐼))
2322linds1 21705 . . . . 5 (𝑋 ∈ (LIndSβ€˜(𝑅 freeLMod 𝐼)) β†’ 𝑋 βŠ† ((Baseβ€˜(𝑅 freeLMod 𝐼)) βˆ– βˆ…))
24233ad2ant3 1132 . . . 4 ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑋 ∈ (LIndSβ€˜(𝑅 freeLMod 𝐼))) β†’ 𝑋 βŠ† ((Baseβ€˜(𝑅 freeLMod 𝐼)) βˆ– βˆ…))
25 eqid 2726 . . . . . . . . 9 (𝑅 unitVec 𝐼) = (𝑅 unitVec 𝐼)
2625, 2, 5uvcff 21686 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ Fin) β†’ (𝑅 unitVec 𝐼):𝐼⟢(Baseβ€˜(𝑅 freeLMod 𝐼)))
271, 26sylan 579 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ Fin) β†’ (𝑅 unitVec 𝐼):𝐼⟢(Baseβ€˜(𝑅 freeLMod 𝐼)))
2827frnd 6719 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ Fin) β†’ ran (𝑅 unitVec 𝐼) βŠ† (Baseβ€˜(𝑅 freeLMod 𝐼)))
2928, 22sseqtrrdi 4028 . . . . 5 ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ Fin) β†’ ran (𝑅 unitVec 𝐼) βŠ† ((Baseβ€˜(𝑅 freeLMod 𝐼)) βˆ– βˆ…))
30293adant3 1129 . . . 4 ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑋 ∈ (LIndSβ€˜(𝑅 freeLMod 𝐼))) β†’ ran (𝑅 unitVec 𝐼) βŠ† ((Baseβ€˜(𝑅 freeLMod 𝐼)) βˆ– βˆ…))
315linds1 21705 . . . . . 6 (𝑋 ∈ (LIndSβ€˜(𝑅 freeLMod 𝐼)) β†’ 𝑋 βŠ† (Baseβ€˜(𝑅 freeLMod 𝐼)))
32313ad2ant3 1132 . . . . 5 ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑋 ∈ (LIndSβ€˜(𝑅 freeLMod 𝐼))) β†’ 𝑋 βŠ† (Baseβ€˜(𝑅 freeLMod 𝐼)))
33 un0 4385 . . . . . . . 8 (ran (𝑅 unitVec 𝐼) βˆͺ βˆ…) = ran (𝑅 unitVec 𝐼)
3433fveq2i 6888 . . . . . . 7 ((mrClsβ€˜(LSubSpβ€˜(𝑅 freeLMod 𝐼)))β€˜(ran (𝑅 unitVec 𝐼) βˆͺ βˆ…)) = ((mrClsβ€˜(LSubSpβ€˜(𝑅 freeLMod 𝐼)))β€˜ran (𝑅 unitVec 𝐼))
35 eqid 2726 . . . . . . . . . . 11 (LSpanβ€˜(𝑅 freeLMod 𝐼)) = (LSpanβ€˜(𝑅 freeLMod 𝐼))
366, 35, 10mrclsp 20836 . . . . . . . . . 10 ((𝑅 freeLMod 𝐼) ∈ LMod β†’ (LSpanβ€˜(𝑅 freeLMod 𝐼)) = (mrClsβ€˜(LSubSpβ€˜(𝑅 freeLMod 𝐼))))
374, 36syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ Fin) β†’ (LSpanβ€˜(𝑅 freeLMod 𝐼)) = (mrClsβ€˜(LSubSpβ€˜(𝑅 freeLMod 𝐼))))
3837fveq1d 6887 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ Fin) β†’ ((LSpanβ€˜(𝑅 freeLMod 𝐼))β€˜ran (𝑅 unitVec 𝐼)) = ((mrClsβ€˜(LSubSpβ€˜(𝑅 freeLMod 𝐼)))β€˜ran (𝑅 unitVec 𝐼)))
39 eqid 2726 . . . . . . . . . . 11 (LBasisβ€˜(𝑅 freeLMod 𝐼)) = (LBasisβ€˜(𝑅 freeLMod 𝐼))
402, 25, 39frlmlbs 21692 . . . . . . . . . 10 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ Fin) β†’ ran (𝑅 unitVec 𝐼) ∈ (LBasisβ€˜(𝑅 freeLMod 𝐼)))
411, 40sylan 579 . . . . . . . . 9 ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ Fin) β†’ ran (𝑅 unitVec 𝐼) ∈ (LBasisβ€˜(𝑅 freeLMod 𝐼)))
425, 39, 35lbssp 20927 . . . . . . . . 9 (ran (𝑅 unitVec 𝐼) ∈ (LBasisβ€˜(𝑅 freeLMod 𝐼)) β†’ ((LSpanβ€˜(𝑅 freeLMod 𝐼))β€˜ran (𝑅 unitVec 𝐼)) = (Baseβ€˜(𝑅 freeLMod 𝐼)))
4341, 42syl 17 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ Fin) β†’ ((LSpanβ€˜(𝑅 freeLMod 𝐼))β€˜ran (𝑅 unitVec 𝐼)) = (Baseβ€˜(𝑅 freeLMod 𝐼)))
4438, 43eqtr3d 2768 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ Fin) β†’ ((mrClsβ€˜(LSubSpβ€˜(𝑅 freeLMod 𝐼)))β€˜ran (𝑅 unitVec 𝐼)) = (Baseβ€˜(𝑅 freeLMod 𝐼)))
4534, 44eqtrid 2778 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ Fin) β†’ ((mrClsβ€˜(LSubSpβ€˜(𝑅 freeLMod 𝐼)))β€˜(ran (𝑅 unitVec 𝐼) βˆͺ βˆ…)) = (Baseβ€˜(𝑅 freeLMod 𝐼)))
46453adant3 1129 . . . . 5 ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑋 ∈ (LIndSβ€˜(𝑅 freeLMod 𝐼))) β†’ ((mrClsβ€˜(LSubSpβ€˜(𝑅 freeLMod 𝐼)))β€˜(ran (𝑅 unitVec 𝐼) βˆͺ βˆ…)) = (Baseβ€˜(𝑅 freeLMod 𝐼)))
4732, 46sseqtrrd 4018 . . . 4 ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑋 ∈ (LIndSβ€˜(𝑅 freeLMod 𝐼))) β†’ 𝑋 βŠ† ((mrClsβ€˜(LSubSpβ€˜(𝑅 freeLMod 𝐼)))β€˜(ran (𝑅 unitVec 𝐼) βˆͺ βˆ…)))
48 un0 4385 . . . . 5 (𝑋 βˆͺ βˆ…) = 𝑋
49 drngnzr 20607 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑅 ∈ DivRing β†’ 𝑅 ∈ NzRing)
5049adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ Fin) β†’ 𝑅 ∈ NzRing)
5112, 50eqeltrrd 2828 . . . . . . . . . . 11 ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ Fin) β†’ (Scalarβ€˜(𝑅 freeLMod 𝐼)) ∈ NzRing)
524, 51jca 511 . . . . . . . . . 10 ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ Fin) β†’ ((𝑅 freeLMod 𝐼) ∈ LMod ∧ (Scalarβ€˜(𝑅 freeLMod 𝐼)) ∈ NzRing))
5335, 15lindsind2 21714 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑅 freeLMod 𝐼) ∈ LMod ∧ (Scalarβ€˜(𝑅 freeLMod 𝐼)) ∈ NzRing) ∧ 𝑋 ∈ (LIndSβ€˜(𝑅 freeLMod 𝐼)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) β†’ Β¬ 𝑦 ∈ ((LSpanβ€˜(𝑅 freeLMod 𝐼))β€˜(𝑋 βˆ– {𝑦})))
54533expa 1115 . . . . . . . . . 10 (((((𝑅 freeLMod 𝐼) ∈ LMod ∧ (Scalarβ€˜(𝑅 freeLMod 𝐼)) ∈ NzRing) ∧ 𝑋 ∈ (LIndSβ€˜(𝑅 freeLMod 𝐼))) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) β†’ Β¬ 𝑦 ∈ ((LSpanβ€˜(𝑅 freeLMod 𝐼))β€˜(𝑋 βˆ– {𝑦})))
5552, 54sylanl1 677 . . . . . . . . 9 ((((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑋 ∈ (LIndSβ€˜(𝑅 freeLMod 𝐼))) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) β†’ Β¬ 𝑦 ∈ ((LSpanβ€˜(𝑅 freeLMod 𝐼))β€˜(𝑋 βˆ– {𝑦})))
5637fveq1d 6887 . . . . . . . . . . 11 ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ Fin) β†’ ((LSpanβ€˜(𝑅 freeLMod 𝐼))β€˜(𝑋 βˆ– {𝑦})) = ((mrClsβ€˜(LSubSpβ€˜(𝑅 freeLMod 𝐼)))β€˜(𝑋 βˆ– {𝑦})))
5756eleq2d 2813 . . . . . . . . . 10 ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ Fin) β†’ (𝑦 ∈ ((LSpanβ€˜(𝑅 freeLMod 𝐼))β€˜(𝑋 βˆ– {𝑦})) ↔ 𝑦 ∈ ((mrClsβ€˜(LSubSpβ€˜(𝑅 freeLMod 𝐼)))β€˜(𝑋 βˆ– {𝑦}))))
5857ad2antrr 723 . . . . . . . . 9 ((((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑋 ∈ (LIndSβ€˜(𝑅 freeLMod 𝐼))) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) β†’ (𝑦 ∈ ((LSpanβ€˜(𝑅 freeLMod 𝐼))β€˜(𝑋 βˆ– {𝑦})) ↔ 𝑦 ∈ ((mrClsβ€˜(LSubSpβ€˜(𝑅 freeLMod 𝐼)))β€˜(𝑋 βˆ– {𝑦}))))
5955, 58mtbid 324 . . . . . . . 8 ((((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑋 ∈ (LIndSβ€˜(𝑅 freeLMod 𝐼))) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) β†’ Β¬ 𝑦 ∈ ((mrClsβ€˜(LSubSpβ€˜(𝑅 freeLMod 𝐼)))β€˜(𝑋 βˆ– {𝑦})))
6059ralrimiva 3140 . . . . . . 7 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑋 ∈ (LIndSβ€˜(𝑅 freeLMod 𝐼))) β†’ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 Β¬ 𝑦 ∈ ((mrClsβ€˜(LSubSpβ€˜(𝑅 freeLMod 𝐼)))β€˜(𝑋 βˆ– {𝑦})))
61603impa 1107 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑋 ∈ (LIndSβ€˜(𝑅 freeLMod 𝐼))) β†’ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 Β¬ 𝑦 ∈ ((mrClsβ€˜(LSubSpβ€˜(𝑅 freeLMod 𝐼)))β€˜(𝑋 βˆ– {𝑦})))
6210, 11ismri2 17585 . . . . . . . 8 (((LSubSpβ€˜(𝑅 freeLMod 𝐼)) ∈ (Mooreβ€˜(Baseβ€˜(𝑅 freeLMod 𝐼))) ∧ 𝑋 βŠ† (Baseβ€˜(𝑅 freeLMod 𝐼))) β†’ (𝑋 ∈ (mrIndβ€˜(LSubSpβ€˜(𝑅 freeLMod 𝐼))) ↔ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 Β¬ 𝑦 ∈ ((mrClsβ€˜(LSubSpβ€˜(𝑅 freeLMod 𝐼)))β€˜(𝑋 βˆ– {𝑦}))))
638, 31, 62syl2an 595 . . . . . . 7 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑋 ∈ (LIndSβ€˜(𝑅 freeLMod 𝐼))) β†’ (𝑋 ∈ (mrIndβ€˜(LSubSpβ€˜(𝑅 freeLMod 𝐼))) ↔ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 Β¬ 𝑦 ∈ ((mrClsβ€˜(LSubSpβ€˜(𝑅 freeLMod 𝐼)))β€˜(𝑋 βˆ– {𝑦}))))
64633impa 1107 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑋 ∈ (LIndSβ€˜(𝑅 freeLMod 𝐼))) β†’ (𝑋 ∈ (mrIndβ€˜(LSubSpβ€˜(𝑅 freeLMod 𝐼))) ↔ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑋 Β¬ 𝑦 ∈ ((mrClsβ€˜(LSubSpβ€˜(𝑅 freeLMod 𝐼)))β€˜(𝑋 βˆ– {𝑦}))))
6561, 64mpbird 257 . . . . 5 ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑋 ∈ (LIndSβ€˜(𝑅 freeLMod 𝐼))) β†’ 𝑋 ∈ (mrIndβ€˜(LSubSpβ€˜(𝑅 freeLMod 𝐼))))
6648, 65eqeltrid 2831 . . . 4 ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑋 ∈ (LIndSβ€˜(𝑅 freeLMod 𝐼))) β†’ (𝑋 βˆͺ βˆ…) ∈ (mrIndβ€˜(LSubSpβ€˜(𝑅 freeLMod 𝐼))))
67 simpr 484 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ Fin) β†’ 𝐼 ∈ Fin)
6825uvcendim 21742 . . . . . . . . 9 ((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝐼 ∈ Fin) β†’ 𝐼 β‰ˆ ran (𝑅 unitVec 𝐼))
6949, 68sylan 579 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ Fin) β†’ 𝐼 β‰ˆ ran (𝑅 unitVec 𝐼))
70 enfi 9192 . . . . . . . 8 (𝐼 β‰ˆ ran (𝑅 unitVec 𝐼) β†’ (𝐼 ∈ Fin ↔ ran (𝑅 unitVec 𝐼) ∈ Fin))
7169, 70syl 17 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ Fin) β†’ (𝐼 ∈ Fin ↔ ran (𝑅 unitVec 𝐼) ∈ Fin))
7267, 71mpbid 231 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ Fin) β†’ ran (𝑅 unitVec 𝐼) ∈ Fin)
7372olcd 871 . . . . 5 ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ Fin) β†’ (𝑋 ∈ Fin ∨ ran (𝑅 unitVec 𝐼) ∈ Fin))
74733adant3 1129 . . . 4 ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑋 ∈ (LIndSβ€˜(𝑅 freeLMod 𝐼))) β†’ (𝑋 ∈ Fin ∨ ran (𝑅 unitVec 𝐼) ∈ Fin))
759, 10, 11, 21, 24, 30, 47, 66, 74mreexexd 17601 . . 3 ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑋 ∈ (LIndSβ€˜(𝑅 freeLMod 𝐼))) β†’ βˆƒπ‘“ ∈ 𝒫 ran (𝑅 unitVec 𝐼)(𝑋 β‰ˆ 𝑓 ∧ (𝑓 βˆͺ βˆ…) ∈ (mrIndβ€˜(LSubSpβ€˜(𝑅 freeLMod 𝐼)))))
76 simpl 482 . . . . 5 ((𝑋 β‰ˆ 𝑓 ∧ (𝑓 βˆͺ βˆ…) ∈ (mrIndβ€˜(LSubSpβ€˜(𝑅 freeLMod 𝐼)))) β†’ 𝑋 β‰ˆ 𝑓)
77 ovex 7438 . . . . . . 7 (𝑅 unitVec 𝐼) ∈ V
7877rnex 7900 . . . . . 6 ran (𝑅 unitVec 𝐼) ∈ V
79 elpwi 4604 . . . . . 6 (𝑓 ∈ 𝒫 ran (𝑅 unitVec 𝐼) β†’ 𝑓 βŠ† ran (𝑅 unitVec 𝐼))
80 ssdomg 8998 . . . . . 6 (ran (𝑅 unitVec 𝐼) ∈ V β†’ (𝑓 βŠ† ran (𝑅 unitVec 𝐼) β†’ 𝑓 β‰Ό ran (𝑅 unitVec 𝐼)))
8178, 79, 80mpsyl 68 . . . . 5 (𝑓 ∈ 𝒫 ran (𝑅 unitVec 𝐼) β†’ 𝑓 β‰Ό ran (𝑅 unitVec 𝐼))
82 endomtr 9010 . . . . 5 ((𝑋 β‰ˆ 𝑓 ∧ 𝑓 β‰Ό ran (𝑅 unitVec 𝐼)) β†’ 𝑋 β‰Ό ran (𝑅 unitVec 𝐼))
8376, 81, 82syl2anr 596 . . . 4 ((𝑓 ∈ 𝒫 ran (𝑅 unitVec 𝐼) ∧ (𝑋 β‰ˆ 𝑓 ∧ (𝑓 βˆͺ βˆ…) ∈ (mrIndβ€˜(LSubSpβ€˜(𝑅 freeLMod 𝐼))))) β†’ 𝑋 β‰Ό ran (𝑅 unitVec 𝐼))
8483rexlimiva 3141 . . 3 (βˆƒπ‘“ ∈ 𝒫 ran (𝑅 unitVec 𝐼)(𝑋 β‰ˆ 𝑓 ∧ (𝑓 βˆͺ βˆ…) ∈ (mrIndβ€˜(LSubSpβ€˜(𝑅 freeLMod 𝐼)))) β†’ 𝑋 β‰Ό ran (𝑅 unitVec 𝐼))
8575, 84syl 17 . 2 ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑋 ∈ (LIndSβ€˜(𝑅 freeLMod 𝐼))) β†’ 𝑋 β‰Ό ran (𝑅 unitVec 𝐼))
8669ensymd 9003 . . 3 ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ Fin) β†’ ran (𝑅 unitVec 𝐼) β‰ˆ 𝐼)
87863adant3 1129 . 2 ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑋 ∈ (LIndSβ€˜(𝑅 freeLMod 𝐼))) β†’ ran (𝑅 unitVec 𝐼) β‰ˆ 𝐼)
88 domentr 9011 . 2 ((𝑋 β‰Ό ran (𝑅 unitVec 𝐼) ∧ ran (𝑅 unitVec 𝐼) β‰ˆ 𝐼) β†’ 𝑋 β‰Ό 𝐼)
8985, 87, 88syl2anc 583 1 ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑋 ∈ (LIndSβ€˜(𝑅 freeLMod 𝐼))) β†’ 𝑋 β‰Ό 𝐼)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∨ wo 844   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  βˆ€wral 3055  βˆƒwrex 3064  Vcvv 3468   βˆ– cdif 3940   βˆͺ cun 3941   βŠ† wss 3943  βˆ…c0 4317  π’« cpw 4597  {csn 4623   class class class wbr 5141  ran crn 5670  βŸΆwf 6533  β€˜cfv 6537  (class class class)co 7405   β‰ˆ cen 8938   β‰Ό cdom 8939  Fincfn 8941  Basecbs 17153  Scalarcsca 17209  Moorecmre 17535  mrClscmrc 17536  mrIndcmri 17537  ACScacs 17538  Ringcrg 20138  NzRingcnzr 20414  DivRingcdr 20587  LModclmod 20706  LSubSpclss 20778  LSpanclspn 20818  LBasisclbs 20922  LVecclvec 20950   freeLMod cfrlm 21641   unitVec cuvc 21677  LIndSclinds 21700
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-tp 4628  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-iin 4993  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-se 5625  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-isom 6546  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-of 7667  df-om 7853  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-supp 8147  df-tpos 8212  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-1o 8467  df-er 8705  df-map 8824  df-ixp 8894  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-fsupp 9364  df-sup 9439  df-oi 9507  df-card 9936  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-4 12281  df-5 12282  df-6 12283  df-7 12284  df-8 12285  df-9 12286  df-n0 12477  df-z 12563  df-dec 12682  df-uz 12827  df-fz 13491  df-fzo 13634  df-seq 13973  df-hash 14296  df-struct 17089  df-sets 17106  df-slot 17124  df-ndx 17136  df-base 17154  df-ress 17183  df-plusg 17219  df-mulr 17220  df-sca 17222  df-vsca 17223  df-ip 17224  df-tset 17225  df-ple 17226  df-ds 17228  df-hom 17230  df-cco 17231  df-0g 17396  df-gsum 17397  df-prds 17402  df-pws 17404  df-mre 17539  df-mrc 17540  df-mri 17541  df-acs 17542  df-mgm 18573  df-sgrp 18652  df-mnd 18668  df-mhm 18713  df-submnd 18714  df-grp 18866  df-minusg 18867  df-sbg 18868  df-mulg 18996  df-subg 19050  df-ghm 19139  df-cntz 19233  df-cmn 19702  df-abl 19703  df-mgp 20040  df-rng 20058  df-ur 20087  df-ring 20140  df-oppr 20236  df-dvdsr 20259  df-unit 20260  df-invr 20290  df-nzr 20415  df-subrg 20471  df-drng 20589  df-lmod 20708  df-lss 20779  df-lsp 20819  df-lmhm 20870  df-lbs 20923  df-lvec 20951  df-sra 21021  df-rgmod 21022  df-dsmm 21627  df-frlm 21642  df-uvc 21678  df-lindf 21701  df-linds 21702
This theorem is referenced by:  lindsenlbs  36996
  Copyright terms: Public domain W3C validator